1.
Formulación de modelos de programación lineal con 2 variables
1.
Programación de producción - Jorge Sánchez es un carpintero que fabrica dos productos de madera: sillas y marcos. Su producción está limitada por las disponibilidades en listones de madera (36 semanales), por las horas de mano de obra contratada (48 semanales) y por las horas de trabajo disponibles en la máquina cepilladora automática (70 semanales). Cada silla requiere 4 listones de madera, 3 horas de mano de obra y 10 horas de cepilladora. Cada marco requiere 4 listones, 6 horas hombre y 5 horas de cepilladora. Jorge obtiene 300 y 200 soles de utilidades por cada silla y marco respectivamente. Presente un modelo de programación lineal que permita determinar las cantidades a fabricar de sillas y marcos y haga máximas las utilidades.
2.
Programación de dietas – Sebastián Alvarado acude al psiquiatra y éste le informa que su falta de entusiasmo se debe a un déficit de tiamina y niacín prescribiéndole de 0.96 mg y 9.6 mg diarios, respectivamente. El doctor le sugiere que obtenga, al menos la mitad de la dosis, mediante un desayuno a base de cereales. Sebastián, que no cuenta con demasiados recursos económicos, trata de hacer mínimo el costo de los cereales. Una vez en el supermercado, se informa acerca de los dos únicos cereales que le agradan: A y B. Cereal A B
Tiamina por Onza 0.12 mg. 0.13 mg.
Niacín por Onza 0.60 mg. 1.60 mg.
Costo por Onza $ 14 $ 24
Determinar el modelo de programación lineal que determine la mezcla a realizar para que el costo de cereales sea mínimo y asegure con ello la obtención de la mitad de la dosis diaria prescrita por el psiquiatra mediante un desayuno a base de cereales. 3.
Programación de producción – Tanit S.A. es una pequeña empresa fabricante de carteras de cuero. Una importante cadena de tiendas por departamentos está interesada en adquirir en los próximos tres meses todas las carteras que pueda producir Tanit en sus dos tipos (cartera estándar y cartera de lujo). Gracias a un análisis cuidadoso de los procesos de fabricación de los productos, se obtuvo los tiempos necesarios de producción (en horas) para las tres operaciones de manufactura por producto, tal como se muestra en la siguiente tabla: Producto Cartera Estándar Cartera de Lujo
Tiempo de producción (horas) Corte Costura Acabado 0,5 1,0 0,5 1,5 0,5 0,5
El departamento de Contabilidad ha determinado que las utilidades unitarias de la cartera estándar y la de lujo son 20 y 15 soles respectivamente. El departamento de Producción estima que para los siguientes tres meses estarán disponibles 750 horas de tiempo para Corte, 600 horas de tiempo para Costura y 350 horas de tiempo para Acabado. También se sabe que el lote mínimo de producción es de 300 unidades, en cualquier combinación de las cantidades de productos. Presente un modelo de programación lineal que permita determinar la cantidad de carteras de cada tipo debe fabricar la empresa los próximos tres meses, de tal manera que se obtenga la máxima utilidad dentro de los límites capacidad de producción mencionados. Investigación Operativa 1
1
4.
Programación de producción – Sánchez Cabinet S.A. produce dos tipos de sillas, un tipo es la silla lisa y el otro tipo es la silla tallada. La empresa cuenta con dos líneas de producción, una para cada tipo de silla. También hay dos departamentos de producción (A y B) y ambos intervienen en la producción de cada tipo de silla. La capacidad de la línea de producción de sillas lisas es de 70 unidades diarias y la de sillas talladas es de 50 unidades. En el departamento A cada silla lisa requiere 1 hora de trabajo y cada silla tallada 2 horas. Actualmente, en el departamento A se puede asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día para la producción de ambos tipos de sillas. En el departamento B, cada silla lisa requiere 1 hora de trabajo, igual que para cada silla tallada. En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento B para la producción de ambos tipos de sillas. La utilidad es de $20 por cada silla lisa y $10 por cada silla tallada. Determine un modelo de programación lineal que permite determinar la cantidad diaria de sillas de cada tipo a producir diariamente a fin de maximizar las utilidades.
5.
Programación de producción – Petroil S.A. es una empresa que fabrica una variedad de sustancias químicas derivadas del petróleo. En un proceso particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: “Aditivo para combustible” y “Disolvente de pintura”. Los requerimientos de insumo por tonelada de producto son los siguientes:
insumo 1 insumo 2 insumo 3
Aditivo para combustible 0,4 toneladas -.0,6 toneladas
Disolvente de pintura 0,5 toneladas 0,2 toneladas 0,3 toneladas
Para el siguiente periodo de producción, la cantidad disponible para la producción es de 20 toneladas de insumo 1; 5 toneladas de insumo 2 y 21 toneladas de insumo 3. Las utilidades generadas por los productos son de $40 por cada tonelada de aditivo para combustible y $30 por cada tonelada de disolvente para pintura. Presente un modelo de programación lineal que permite determinar, para el siguiente periodo de producción, la cantidad de toneladas de los productos a fabricar a fin de maximizar las utilidades. 6.
Programación de producción - Nectar S.A. tiene una máquina que opera 150 horas a la semana y que sirve para destilar jugo de naranja y de piña, y así obtener concentrados de cada tipo de fruta. En una hora la máquina puede destilar 25 galones de jugo de naranja ó 20 galones de jugo de piña. En el proceso de destilado del jugo de naranja, 25 galones de jugo se transforman en 17,5 galones de concentrado. En el proceso de destilado del jugo de piña, 20 galones de jugo se transforman en 10 galones de concentrado. Hasta 1000 galones de concentrado de cada tipo de fruta pueden almacenarse en tanques separados después de su procesamiento. La ganancia neta por cada galón de concentrado de naranja es S/. 0,55 y por cada galón de concentrado de piña es S/. 0,40. Cada fin de semana se despachan los concentrados producido y vendidos, de tal manera que al inicio de la semana, los tanques de almacenamiento están vacíos. Se desea maximizar la ganancia neta semanal por la venta de concentrados, para lo cual se pide:
Investigación Operativa 1
2
Desarrolle un modelo de programación lineal definiendo las variables como la cantidad de concentrado de naranja y piña a producir semanalmente. b. Desarrolle un modelo de programación lineal definiendo las variables como la cantidad de jugo de naranja y piña a procesar semanalmente. a.
7.
Programación de producción – Le Cuir S.A. fabrica dos tipos de cinturones de cuero, el cinturón tipo A (de mayor calidad) y el cinturón tipo B (de menor calidad). Las utilidades unitarias de los cinturones A y B son $ 400 y $ 300 respectivamente. Cada cinturón del tipo A requiere dos veces el tiempo de fabricación que uno del tipo B. Si todos los cinturones que se fabricaran en un día fueran tipo B, la compañía podría hacer 1 000. El aprovisionamiento de cuero es suficiente sólo para 800 cinturones por día (combinando los cinturones tipo A y B). La demanda diaria máxima de cinturones tipo A es de 400 unidades y de 700 unidades de cinturones tipo B. Elabore un modelo de programación lineal que permita determinar la cantidad de cinturones de cada tipo a fabricar diariamente y que maximice las utilidades.
8.
Programación de cursos de capacitación – Como parte de una iniciativa de mejoramiento de la calidad, los empleados de Electronic S.A. completan un curso de capacitación de tres días en ¨Trabajo en equipo¨ y un curso de capacitación de dos días en ¨Solución de problemas¨. El gerente de recursos humanos ha solicitado que se ofrezcan al menos 8 veces el curso de capacitación en ¨Trabajo en equipo¨ y al menos 10 del curso de capacitación en ¨Solución de problemas¨ durante los siguientes 6 meses. Además, la gerencia general de Electronic S.A. ha especificado que se deben ofrecer al menos 25 cursos de capacitación durante ese periodo. Electronic S.A. emplea un asesor para impartir los cursos de capacitación. Durante el siguiente semestre, el asesor tiene 84 días disponibles para los cursos de capacitación. Cada curso de “Trabajo en equipo” cuesta 2000 soles y cada curso de “Solución de problemas” cuesta 1500 soles. Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar la cantidad de cursos de cada tipo que deben ofrecerse y que además sea al menor costo total posible.
9.
Programación de producción – Bevco elabora una bebida carbonatada con sabor a naranja que le llama Oranj mediante la combinación de agua carbonatada de naranja y jugo de naranja. Cada onza de agua carbonatada de naranja contiene 0,5 onzas de azúcar y 1 mg de vitamina C. Cada onza de jugo de naranja contiene 0,25 onzas de azúcar y 3 mg. de vitamina C. Bevco gasta 2 centavos por producir una onza de agua carbonatada de naranja y 3 centavos por elaborar una onza de jugo de naranja. Además se decidió que la botella de 10 onzas de Oranj debe contener por lo menos 20 mg de vitamina C y, cuanto mucho, 4 onzas de azúcar. Presente un modelo de programación lineal que permita a Bevco elaborar Oranj cumpliendo los requisitos planteados al menor costo.
10.
Problema de mezclas – Pet House proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Pet House es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros ofrecida por Pet House se elabora mezclando dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros balanceada”: Los datos para las dos alimentos para perros son las siguientes: Alimento para perros My Pet Cusquicho
Investigación Operativa 1
Costo por onza (soles) 2 2
Proteínas (unidades por onza) 1 3
Grasa (gramos por onza) 3 1
3
Pet House desea asegurar que cada perro reciba máximo 12 unidades de proteínas y como mínimo 12 gramos de grasas cada día y quiere hacerlo al menor costo mediante una mezcla de los tipos de alimentos para perro. De acuerdo a lo planteado, formule el modelo de programación lineal. 11.
Programación de producción – Taco S.A. produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de productos se destina esencialmente a aplicaciones de construcción (E). La otra línea está destinada a la industria maderera (F). Los equipos se producen en los mismos departamentos y con las mismas máquinas y personal. Haciendo uso de las proyecciones económicas para el próximo mes, el gerente de Taco S. A. juzga que durante ese mes será posible vender todos equipos E y F que se produzcan. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes, es decir, ¿cuántos equipos E y F deben producirse para maximizar la utilidad? Taco S. A. tendrá una utilidad de $5 000 por cada equipo E y $4 000 por cada equipo F. Para la producción del próximo mes, el departamento A tiene 150 horas disponibles. En este departamento cada equipo E consume 10 horas de operación mecánica y cada equipo F consume 15 horas. Para la producción del próximo mes, el departamento B tiene 160 horas disponibles. En este departamento, cada equipo E consume 20 horas mientras que cada equipo F consume 10 horas. Un compromiso con los trabajadores establece que el total mensual de horas de trabajo que se dedicarán a la verificación de los productos terminados debe ser por lo menos 150 horas. Para el próximo mes los trabajadores han aceptado reducir en 10% dicho acuerdo. Cada equipo E requiere 30 horas de comprobación y cada equipo F requiere de 10 horas. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha definido que para la política de operación es necesario construir al menos un equipo F por cada 3 equipos E. Un cliente importante ha ordenado un total de por lo menos cinco equipos (en cualquier combinación de E y F) para el próximo mes, así que por lo menos debe producirse dicha cantidad. Formule un modelo de programación lineal de la situación planteada de tal manera que maximice las utilidades que se obtendrían al producir y vender los equipos E y F.
12.
Programación de la producción - Smash S.A. fabrica raquetas de tenis de tamaños normal y grande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras debido al uso de una aleación especial de magnesio y grafito. Cada raqueta de tamaño normal utiliza 0,125 Kg. de aleación especial y cada raqueta grande utiliza 0,4 Kg. de aleación especial. Para el siguiente periodo de producción de dos semanas sólo hay disponible 80 Kg. de aleación especial. Cada raqueta de tamaño normal ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada raqueta tamaño grande utiliza 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de $10 por cada raqueta normal y $15 por cada raqueta grande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de la raqueta de tamaño normal. produccion total: x1+x2 Debido a la naturaleza única de los productos, la empresa venderá todas las raquetas que puede producir. Se pide que desarrolle un modelo de programación lineal que permita determinar el número de raquetas a producir y maximice la contribución a la utilidad las dos siguientes semanas.
Investigación Operativa 1
4
13.
Programación de la producción - Una empresa tiene limitado el suministro de dos ingredientes que se utilizan en la producción de aderezos, los cuales se venden en botellas. La empresa usa dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir sea curry y/o pimentón. En el siguiente cuadro se presentan datos adicionales: Ingredientes (onzas / botella) HB1 HB2 6 3 2 3 10 000 onzas 9 000 onzas
Aderezo Curry Pimentón Disponibilidad
Precio de venta por botella (soles / botella) 3,5 2,5
Formule un modelo de programación lineal adecuado para determinar el plan óptimo de producción de aderezos, teniendo en cuenta que se desea maximizar los ingresos por la venta de los productos. 14.
Problema de mezclas - Un nuevo producto puede ser obtenido mezclando insumos de dos proveedores diferentes. Los análisis han demostrado que para producir el nuevo producto con las cualidades adecuadas mínimas se debe contar con tres elementos básicos que para abreviar designaremos A, B y C. En particular, cada tonelada del producto debe contener por lo menos 5 Kg. del el elemento A, por lo menos 100 Kg. del elemento B y al menos 30 Kg. del elemento C. El insumo de cada uno de los dos proveedores contienen los tres elementos básicos, pero en diferentes proporciones. La composición, en kilogramos, de cada elemento básico por tonelada de insumo es: Elemento básico A B C
Insumo Proveedor 1 10 90 45
Proveedor 2 3 150 25
Los costos por tonelada de insumo de cada uno de los proveedores se muestran en la siguiente tabla: Costo de una tonelada (soles)
Proveedor 1 800
Proveedor 2 400
Se pide encontrar el modelo de programación lineal que permita obtener una tonelada del nuevo producto que cumpla los requisitos antes mencionados al menor costo posible. Defina apropiadamente las variables de decisión. 15.
Asignación de tiempos - La gerencia de Tecno S.A. desea desarrollar un modelo que le ayude a asignar el tiempo de sus técnicos para llamadas de servicio de contrato a clientes tanto actuales como nuevos. En el periodo de planeación de 2 semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo para los técnicos. A fin de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos $800 de ingresos durante el periodo de 2 semanas. El tiempo de los técnicos para los clientes actuales genera $25 la hora, pero para clientes nuevos sólo genera $8 la hora, porque en muchos casos el contacto con un cliente nuevo no llega a generar servicios. Para asegurarse de que se mantienen contactos con los clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del tiempo utilizado en contactos con clientes actuales. Para los requerimientos de ingresos y de políticas enunciadas, Tecno S.A. desearía determinar cómo asignar el tiempo de los técnicos entre clientes actuales y nuevos, a fin de maximizar el número total de clientes en contacto durante el periodo de 2 semanas. Los técnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente actual y de una hora para cada contacto de cliente nuevo. Formule un modelo de programación lineal que permita a Tecno S.A. asignar el tiempo de los técnicos entre clientes actuales y nuevos, definiendo las variables como: Investigación Operativa 1
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a. El número de clientes normales y nuevos contactados las próximas 2 semanas. b. El tiempo dedicado a clientes normales y nuevos las próximas 2 semanas. 16.
Programación de la producción – Fundiciones S.A. fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores eléctricos. Cada pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación. Para ello, se requiere cantidades mínimas de diversos materiales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Hay dos materiales para el proceso de forjado y refinación. Una libra de mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de hierro colado. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de hierro colado. Los costos por libra de cada mineral son de 20 y 30 soles respectivamente. El objetivo de la empresa es minimizar el costo de fabricación de las piezas de metal a partir de la mezcla de los minerales, de manera que se satisfagan las especificaciones. Plantee un modelo de programación lineal para lograr dicho objetivo.
17.
Programación de la producción – Lácteos Peruanos S.A. produce dos quesos crema: Franck y Shutte, utilizando como insumos el queso mantecoso suave y el queso mantecoso fuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 0,4 Kg y después se venden a distribuidores en todo el país. El queso crema Frank contiene 80% de queso mantecoso suave y 20% de queso mantecoso fuerte. El queso crema Shutte contiene 60% de queso mantecoso suave y 40% de queso mantecoso fuerte. Este año, la cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8 100 Kg. de queso mantecoso suave a S/. 12 por Kg. y hasta 3 000 Kg. de queso mantecoso fuerte a S/. 14 por Kg. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso, es de S/. 0,20 por recipiente. Cada recipiente del queso Franck se vende a S/. 6,20 y cada recipiente del queso Shutte a S/. 6,50. Desarrolle un modelo de programación lineal que permita estimar el número de recipientes de cada tipo de queso que deberá producir Lácteos Peruanos S. A. para maximizar sus utilidades.
18.
Programación de la producción - Infoplast S.A. es un pequeño fabricante de productos de plástico que se utilizan en las industrias automotriz y computación. Tiene un contrato importante con una gran empresa de computadoras que implica la producción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa. Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección. La máquina MAQ1 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresora por hora y la MAQ2 tiene una capacidad de producción de 40 cajas por hora. Ambas máquinas utilizan la misma materia prima para producir las cajas de la impresora: la MAQ1 utiliza 40 kilogramos de materia prima por hora y la MAQ2 utiliza 50 kilogramos por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Infoplast que produzca tantas cajas durante la semana siguiente como sea posible y pagará 18 dólares por caja que pueda entregar. Sin embargo, la siguiente semana es un periodo de vacaciones programadas para la mayor parte de trabajadores de producción de Infoplast. Durante ese tiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento, la MAQ1 estará disponible a lo más 15 horas y la MAQ2 a lo más 10 horas. Sin embargo, en razón del elevado costo de preparación involucrado con ambas máquinas, la administración requiere que, si se programa producción en cualquiera de estas máquinas, la máquina deberá operarse por lo menos durante 5 horas. El proveedor de la materia prima utilizada en el proceso de producción le ha informado a Infoplast que tendrá disponible un máximo de 1 000 Kg. para la producción de la siguiente semana. El costo de esta materia prima es de $6 por kilogramo, y además Infoplast estima que los costos por hora de operación de la MAQ1 y de la MAQ2 son de $50 y $75 respectivamente. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que permita encontrar el plan de producción óptima que maximice la utilidad, definiendo como variables la cantidad de cajas de impresoras que produce cada máquina. Investigación Operativa 1
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b. Desarrolle un modelo de programación lineal que permita encontrar el plan de producción óptima que maximice la utilidad definiendo como variables el tiempo de producción asignado a cada máquina. 19.
Programación de producción - Un taller mecánico tiene tres (3) máquinas disponibles (A, B y C) para hacer unos productos de los tipos 1 y 2. Se desea programar las máquinas de tal forma que se obtenga la máxima utilidad posible. Para hacer este trabajo, se dispone de un número determinado de horas en cada máquina, que se señalan en la tabla siguiente: Máquina A B C
Tiempo Disponible (en horas) 72 162 100
Los tiempos (en horas) que emplea cada lote de 100 unidades de cada producto de los tipos 1 y 2, en cada una de las máquinas se indica en el cuadro siguiente: Máquina Lote de producto tipo 1 Lote de producto tipo 2
A 12 12
B 9 36
C 20 10
Las ganancias o utilidades que proporcionan cada lote de 100 unidades son de $10 y $7 para el tipo 1 y el tipo 2 respectivamente. Formule el modelo de programación lineal definiendo adecuada las variables. 20.
Cuotas de promoción – Inka Motors S.A. (IMSA) ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo. Como parte de la campaña de mercadotecnia, IMSA ha desarrollado una presentación de ventas en vídeo tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas IMSA actuales, como a propietarios de vehículos deportivos de la competencia. IMSA se refiere a estos dos mercado-objetivos como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Las personas que reciban el vídeo promocional también recibirán un cupón para un recorrido de prueba del nuevo modelo de IMSA durante el fin de semana. Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es decir, el porcentaje de personas que hacen el recorrido de prueba del modelo nuevo respecto del total que recibe la nueva promoción. IMSA estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de clientes nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que recibiendo la nueva promoción y haciendo el recorrido, efectúa la compra. Los estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas es del 12% para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo. El costo de cada promoción, excluyendo el costo del recorrido de prueba, es de $5 por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de $4 por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevos. La administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a un mínimo de 30 000 clientes actuales y a un mínimo de 10 000 clientes nuevos. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del nuevo vehículo debe ser por lo menos el doble del número de clientes nuevos que hagan el recorrido de la prueba. El presupuesto de mercadotecnia para las promociones es de $ 1 200 000, excluyendo el costo del recorrido. Determine el modelo de programación lineal que permita determinar el número de promociones que deberán ser enviadas a cada grupo de clientes para maximizar las ventas totales.
21.
Programación de la producción - Focus S.A. fabrica y vende ropa especial para excursionismo. La administración de la empresa ha decidido iniciar la producción de dos nuevas casacas diseñadas para climas extremadamente fríos. Los nombres seleccionados para los dos modelos son Monteazul e Himalaya. La planta de fabricación tiene disponibles 120 horas del departamento de Corte. Para el Investigación Operativa 1
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departamento de Costura se tiene una cantidad de horas tal que si produjera sólo casacas Monteazul haría 360 unidades y si sólo produjera casacas Himalaya haría 480 unidades. Cada Monteazul requiere de 30 minutos de corte y cada Himalaya requiere de 20 minutos de corte. El costo de mano de obra y materia prima es de $150 para cada Monteazul y de $50 para cada Himalaya. Los precios al menudeo a través del catálogo por correo de la empresa son de $250 para cada Monteazul y de $200 para cada Himalaya. Dado que la administración cree que la casaca Monteazul mejorará la imagen de la empresa, ha decidido que por lo menos el 20% del total de la producción debe corresponder a este modelo. La administración también ha considerado que para lograr un buen posicionamiento de los productos, debe fabricar al menos una casaca Himalaya por cada tres casacas Monteazul. Considerando que la empresa venderá todas las casacas que produzca, formule un modelo de programación lineal que maximice las utilidades logradas por las ventas de las casacas. 22.
Programación de la producción - Petroil S.A. lleva a cabo dos procesos de producción por medio de los cuales fabrica dos productos: fluido para encender carbón y fluido para encendedores. La empresa intenta decidir cuántas horas debe realizar cada uno de dichos procesos. Las cantidades (en litros) de insumos y productos correspondientes a la operación de los procesos en una hora se muestran en la siguiente tabla: INSUMOS
PROCESO 1 PROCESO 2
Kerosene
Benceno
3 12
9 6
PRODUCTOS Fluido para encender Fluido para carbón encendedores 15 6 9 24
Debido a un programa de asignación, las cantidades máximas de kerosene y de benceno disponibles son 300 y 450 litros respectivamente. Los compromisos contraídos en términos de venta imponen la necesidad de producir cuando menos 600 litros de fluido para encender carbón y 225 litros de fluido para encendedores. Las ganancias por hora que generan los procesos 1 y 2 son 450 y 390 soles, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal para maximizar las ganancias. 23.
Distribución de camas - La Clínica Arenales tiene actualmente una capacidad de 600 camas además de laboratorios, quirófanos y equipos de rayos X. Para incrementar sus ingresos, la administración de la clínica ha decidido hacer una ampliación de 90 camas en una fracción de terreno adyacente que se utiliza actualmente como estacionamiento. La administración considera que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de rayos X no se utilizan en su totalidad en el presente y no necesitan ampliarse para atender a pacientes adicionales. Las 90 camas deberán ser asignadas al personal médico y al personal quirúrgico para sus pacientes. Suponga que la clínica está abierta 365 días al año y que todas las camas serán ocupadas. Se sabe que la permanencia promedio en la clínica de un paciente médico es de 8 días y genera ingresos por $ 2 280. El paciente quirúrgico en promedio permanece en la clínica 5 días y genera un ingreso de $ 1 515. El laboratorio puede manejar 15 000 pruebas por año más de las que maneja actualmente. El paciente médico en promedio requiere 3,1 exámenes de laboratorio, en tanto que el paciente quirúrgico requiere en promedio 2,6 exámenes. Además, el paciente médico promedio requiere 1 estudio de rayos X, mientras que el paciente quirúrgico promedio requiere 2 estudios de rayos X. Si la clínica expandiera su capacidad en 90 camas, el departamento de rayos X podría manejar hasta 7 000 estudios adicionales sin un costo significativo. Investigación Operativa 1
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Por último, la administración estima que podrían hacerse 2 800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes. Los pacientes médicos no requieren cirugía mientras que cada paciente quirúrgico, en general, es operado una vez. Desarrolle un modelo de programación lineal que permita determinar cuántas camas de la ampliación les correspondería al personal médico y cuántas al personal quirúrgico de manera que se maximice los ingresos. 24.
Distribución de viviendas. En la ciudad se va a demoler un barrio de 10 kilómetros cuadrados y la alcaldía debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Si se construyera sólo viviendas de bajo costo en un kilómetro cuadrados, se podrían construir 20 unidades. El terreno que ocupa una vivienda de bajo costo es 25% menor a la que ocupa una vivienda de medio costo. Los costos por unidad de las viviendas a bajo y medio costo son 130 mil soles y 180 mil soles, respectivamente. Los límites superior e inferior establecidos por la alcaldía sobre el número de viviendas de bajo costo son 60 y 100 respectivamente. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe estar entre 30 y 70. Se estima que el mercado potencial combinado máximo para las viviendas es de 150 (que es menor que la suma de los límites de los mercados individuales debido al traslape entre los dos mercados). Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea por lo menos de 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo medio. Formule el modelo de programación lineal que permita cumplir las condiciones establecidas con el menor costo total.
25.
Problema de dieta - Cierta persona requiere por razones de salud como mínimo una cantidad diaria de 6 000 unidades de carbohidratos, 4 000 unidades de proteínas y 3 500 unidades de grasas. Los carbohidratos, proteínas y grasas se encuentran principalmente en dos alimentos diferentes A y B. La cantidad de cada uno de estos nutrientes presentes en los dos alimentos por cada 100 gramos de cada alimento y los requerimientos mínimos diarios se muestran en la siguiente tabla: Nutriente 1. 2. 3.
Carbohidratos Proteínas Grasas
Alimento A
Alimento B
500 300 500
200 200 100
Requerimiento diario mínimo de unidades de nutriente 6 000 4 000 3 500
Si se sabe que el costo de 100 g. del alimento A es S/. 1,50 y el costo de 100 g. del alimento B es S/. 0,60. Desarrolle el modelo de programación lineal que obtenga la mezcla de ambos alimentos y pueda cumplir la dieta al menor costo. 26.
Programación de producción - Table S.A. fabrica dos tipos de muebles de madera: el tipo 1 y el tipo 2. Todos los muebles son elaborados en el taller de manufactura. Si el taller de manufactura estuviera destinado exclusivamente a la fabricación de los muebles tipo 1, entonces podría fabricar 16 unidades en un día. Si el taller de manufactura estuviera dedicado por completo a la fabricación de los muebles tipo 2, entonces se podría fabricar 12 unidades por día. La materia prima que se utiliza debe ser preparada y se cuenta diariamente con una capacidad de preparación de 700 pies cuadrados de madera y toda la materia prima preparada debe ser utilizada ese mismo día. Se necesitan 25 pies cuadrados de madera preparada por cada mueble tipo 1. Cada mueble tipo 2 necesita 15 pies cuadrados de madera preparada. En el proceso de preparación de la madera se pierde el 5% para el caso del mueble tipo 1 y 10% para el mueble tipo 2. El precio de venta del mueble tipo 1 es de 1600 soles y el del tipo 2 es de 1250. La madera se adquiere sin preparar y su costo, por pie cuadrado, es de 20 soles. Desarrolle un Investigación Operativa 1
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modelo de programación lineal que permita obtener el plan de producción óptimo de muebles de Table S.A. para obtener la máxima utilidad diaria. 27.
Programación de ventas - La vendedora de colonias, Irene Alvarado, tiene a su cargo la venta de 2 fragancias para caballeros: Sebas y Freddo; y desea establecer un plan mensual de ventas a fin de maximizar sus utilidades durante los meses siguientes. Para cada mes, Irene Alvarado estima ser capaz de colocar a lo más 20 unidades de la colonia Sebas y 78 unidades de Freddo, pero también sabe que debe colocar al menos 48 unidades de la colonia Freddo para satisfacer su cuota mínima de ventas. Irene Alvarado recibe una comisión del 10% sobre la venta total que realiza, sin embargo, ella debe asumir los costos de las llamadas que son estimados en 0,5 soles por minuto. Está dispuesta a emplear no más de 300 minutos por mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos están disponibles:
Sebas Freddo
Precio de venta (soles / unidad)
Tiempo empleado (minutos / llamada)
Porcentaje de efectividad (ventas / llamada)
70 30
5 2
50 % 60%
Plantee un modelo de programación lineal que permita precisar el plan operativo mensual de ventas de Irene Alvarado, de acuerdo al objetivo planteado: a. b. c.
28.
Definiendo como las variables del modelo las cantidades de colonias Sebas y Freddo a vender. Definiendo como las variables del modelo las cantidades de llamadas a realizar para vender las colonias Sebas y Freddo. Definiendo como las variables del modelo los tiempos empleados en llamadas a clientes para vender las colonias Sebas y Freddo.
Programación de producción - Better Fitness S.A. fabrica equipos de ejercicios en su planta en el Callao. Recientemente la empresa lanzó dos máquinas universales de pesas, la BF-100 y la BF-200, con tanto éxito que todas las máquinas que se fabriquen serán vendidas inmediatamente. La BF-100 consiste en una unidad de de estructura, una estación de prensa y una estación pec-dec. Cada estructura producida requiere 4 horas de maquinado y soldadura y 2 horas de pintura y terminado. Cada estación de prensa requiere 2 horas de maquinado y soldadura y 1 hora de pintura y terminado. Cada estación pec-dec requiere 2 horas de maquinado y soldadura y 2 horas de pintura y terminado. Además, se dedican 2 horas al armado, prueba y empaque de cada BF-100. Los costos de la materia prima son de $450 para cada estructura, $300 para cada estación de prensa y $250 para cada estación pec-dec; los costos del empaque se estiman en $50 por unidad. La BF-200 consiste en una unidad de estructura, una estación de prensa, una estación pec-dec y una estación de prensa de pierna. Cada estructura producida requiere 5 horas de maquinado y soldadura y 4 horas de pintura y terminado. Cada estación de prensa requiere 3 horas de maquinado y soldadura y 2 horas de pintura y terminado. Cada estación pec-dec requiere 2 horas de maquinado y soldadura y 2 horas de pintura y terminado. Cada estación de prensa de pierna requiere 2 horas de maquinado y soldadura y 2 horas de pintura y terminado. Además, se dedican 2 horas al armado, prueba y empaque de cada BF-200. Los costos de la materia prima son de $650 para cada estructura, $400 para cada estación de prensa, $250 para cada estación pec-dec y $200 por cada estación de pierna; los costos del empaque se estiman en $75 por unidad. Para el siguiente periodo se dispondrá de 600 horas para maquinado y soldadura, 450 horas para pintura y terminado y 140 horas para armado, prueba y empaque. Los costos de mano de obra actuales Investigación Operativa 1
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son $20 por hora de maquinado y soldadura, $15 por hora de pintura y terminado y $12 por hora de armado, prueba y empaque. El precio de venta es de $2400 por cada BF-100 y $3500 por cada BF-200. Se estableció que la cantidad BF-200 producidas debe ser al menos 25% de la producción total. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la cantidad de equipos BF-100 y BF-200 a producir y obtener la máxima utilidad. 29.
Programación de producción - Chemco S.A. elabora dos productos: A y B. Cada libra de materia prima cuesta 25 soles. Ésta se somete a un proceso y rinde 3 onzas del producto A y 1 onza del producto B. Cuesta 1 sol y toma 2 horas de mano de obra procesar cada libra de materia prima. Cada onza de producto A se puede usar de dos maneras diferentes: se puede vender por 10 soles la onza o se puede someter a un proceso para elaborar 0,9 onzas de producto B, lo cual requiere 2 horas de mano de obra y cuesta 1 un sol. Cada onza de producto B se puede vender a 20 soles la onza. La cantidad máxima que se puede vender del producto A es 5 000 onzas y del producto B es 4 000 onzas. Se dispone de un máximo de 25 000 horas de mano de obra. a. Elabore un diagrama en el que esquemáticamente se muestre el proceso productivo de los productos. b. Elabore un modelo de programación lineal que utilice sólo dos variables y que permita determinar cómo maximizar las utilidades de Chemco S.A.
30.
Programación de producción - Una empresa dedicada a la producción de alambre galvanizado está considerando la posibilidad de producir, a partir de alambrón (diámetro de 5,5 cm. de diámetro), dos tipos de alambre galvanizado: de calibre 10 (4,05 cm de diámetro) y de calibre 6 (3,10 cm de diámetro). Para producir los alambres en los calibres mencionados, éstos deben pasar por dos procesos: el trefilado, en el que el alambrón se reduce de diámetro al del calibre requerido, y el galvanizado, en el que el alambre es recubierto por una capa de zinc para protegerlo de la oxidación. Si bien los procesos son independientes, estos deben programarse durante la semana porque la empresa cuenta sólo con un equipo de trefilado y un equipo de galvanizado alambrón
alambrón
Etapa de Trefilado
Etapa de Galvanizado
Etapa de Trefilado
Etapa de Galvanizado
alambre calibre 10
alambre calibre 6
El precio de venta por kilogramo de producto es de 10 soles en el alambre de calibre 10 y de 8 soles en el alambre de calibre 6. El costo del alambrón es de 4,5 soles por kilogramo. El tiempo de producción diaria es de 8 horas y se trabaja 5 días a la semana. La capacidad de producción de cada materia prima que ingresa a una etapa de fabricación es:
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Producto Trefilado (kilogramo / hora) Galvanizado (kilogramos / hora)
Calibre 10 20 60
Calibre 6 60 30
Trefilar un kilogramo de alambrón cuesta 1,3 soles y galvanizar un kilogramo de alambre cuesta 0,7 soles. La eficiencia de cada etapa de producción, es decir, el peso obtenido al final de cada etapa comparado con el peso al inicio de dicha etapa, está indicada en la siguiente tabla: Producto Trefilado Galvanizado
Calibre 10 90% 99%
Calibre 6 95% 99%
Si bien todo lo que se produzca se venderá, hay compromisos con clientes de 1300 kilogramos del alambre calibre 10 y de 900 kilogramos del alambre calibre 6 cada semana. Además por cada 12 kilogramos de alambre de calibre 10, debe fabricarse por lo menos 7,5 kilogramos de alambre de calibre 6. Formule un modelo de programación lineal adecuado, que permita determinar la cantidad de materia prima que se debe destinar a cada producto, sabiendo que se desea maximizar las utilidades generadas por la producción en una semana.
Revisión bibliográfica: HILLIER, Frederik S.y LIEBERMAN Gerald - Investigación de operaciones. México D. F. McGraw-Hill. Novena edición. Capítulo 3 – Introducción a la programación lineal – páginas de 21 a 80. MATHUR, K. y SOLOW, D. Investigación de operaciones, el arte de la toma de decisiones. México D. F. Prentice-Hall Hispanoamericana. Primera edición. Capítulo 3 - Aplicaciones de programación lineal – páginas de 62 a 117 EPPEN G. D.; GOULD F. J. y otros. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. México D. F. Prentice-Hall Hispanoamericana. Quinta edición. Capítulo 3 – Optimización lineal – páginas de 65 a 127. WINSTON, Wayne - Investigación de operaciones. México D. F. International Thompson Editores S.A. Cuarta edición. Capítulo 3 – Introducción a la programación lineal – páginas de 49 a 127. ANDERSON, David; SWEENEY, Dennis y WILLIAMS, Thomas – Métodos cuantitativos para los negocios. México D. F. International Thompson Editores S.A. Novena edición. Capítulo 7 – Introducción a la programación lineal – páginas de 223 a 282.
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