"Así como el gusano roe el capullo más precoz antes de abrirse, así el amor trastorna la inteligencia joven y apasionada" (William Shakespeare)
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MATRICES MATRIZ Es un arreglo u ordenamiento, en forma rectangular, de m × n elementos (números, funciones, etc.) dispuestos en “m” filas (líneas horizontales) y “n” columnas (líneas verticales). Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m × n y ésta se encierra entre “corchetes” o “paréntesis”. EJEMPLO 01: 1
−2
3
5
3
1 4×3
3 −2 0 0 1 −2 A= B = −4 0 2 1 4 −5 2×3
Una matriz de orden 1 × n (de una sola fila) se denomina matriz fila y otra de orden m sola columna) se denomina matriz columna. EJEMPLO 02: 1 2 C = ( 7 6 −3 ) 1×3 D= 3 a11 a12 a13 L 4 4×1 Matriz Fila Matriz Columna a 21 a 22 a 23 L A = a 31 a 32 a 33 L Una matriz de orden m × n, en general, se representa así: M M M O a m1 a m2 a m3 L
× 1 (de una
a1n ÷ a 2n ÷ a 3n ÷ ÷ M÷ a mn ÷ m× n
Notación de LEIBNITZ Donde aij se denomina elemento de la matriz, siendo el primer subíndice (i) el número de la fila y el segundo subíndice (j) el número de la columna a las que pertenece dicho elemento. EJEMPLO 03: El elemento a24 está ubicado en la fila 2 y columna 4. El elemento a35 está ubicado en la fila 3 y columna 5. La matriz anterior se puede representar, en forma abreviada, así: A = ( a ij ) m×n
Notación de KRONECKER Donde i = 1, 2, 3,..., m y j = 1, 2, 3,..., n MATRIZ CUADRADA Es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas. Una matriz de “n” filas y “n” columnas se denomina matriz de orden n. EJEMPLO: a11 a12 a13 a11 a12 A= B = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 2×2 a 31 a 32 a 33 3×3 MATRIZ NULA Es aquella donde todos sus elementos son iguales a cero generalmente lo denotaremos por O.
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EJEMPLO: 0 0 0 0 0 0 0 A= B = 0 0 0 0 0 0 0 2×3 0 0 0 0 3×4 IGUALDAD DE MATRICES Sean dos matrices A y B del mismo orden, es decir: A = (aij ) m×n y B = (bij ) m×n Las matrices A y B son iguales si sus elementos correspondientes son respectivamente iguales:
A = B ⇔ aij = bij
∀i, j
EJEMPLO: Hallar los valores de a, b, c y d para que las matrices sean iguales: −4 a + 2b 2a + b 19 A= B = 3c + d 15 13 c + 3d Si son iguales se debe cumplir que: 2a + b = 19, a + 2b = – 4, c + 3d = 13, 3c + d = 15 De donde: a = 14, b = – 9, c = 4, d = 3 OPERACIONES CON MATRICES 1. Adición De Matrices.- Sean A = (aij ) m×n y B = (bij ) m×n dos matrices, entonces la adición de las matrices A y B denotada por (A + B), es otra matriz C = (cij ) m×n llamada matriz suma, tal que:
cij = aij + bij
∀i, j
EJEMPLO: Sean las matrices: 3 4 1 −2 3 +1 4 − 2 4 A = 2 2 B = 1 3 C = A + B = 2 +1 2 + 3 = 3 1 5 4 −1 1 + 4 5 − 1 5 3×2 3×2 2. Multiplicación De Una Matriz Por Un Escalar.- Sea entonces:
2 5 4 3×2
la matriz A = (aij ) m×n y un escalar k (k ≠ 0),
kA = Ak = (kaij ) m×n
Es decir, el escalar k multiplica a cada EJEMPLO: Sea
2 0 A = −1 1 3 −2 3×2
uno de los elementos de la matriz A.
6 0 −10 0 A.3 = − 3 3 − 5.A = entonces: 5 −5 9 −6 −15 10 3×2 3×2
3. Multiplicación De Matrices.- Sean dos matrices A = (aij ) m× p y B = (bij ) p×n entonces el producto de multiplicar las matrices A y B es otra matriz C = AB = (cij ) m×n tal que: p
cij = ∑ aik bkj
i = 1,..., m
j = 1,..., n
k =1
Observación: Para que la multiplicación de matrices esté bien definida el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.
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EJEMPLO 01: Sean las matrices: 3 1 1 2 A= B= 2 2 2×2 3 5 2×2 EJEMPLO 02: Sean las matrices:
3.1 + 1.3 3.2 + 1.5 6 11 C = A.B = C= 2.1 + 2.3 2.2 + 2.5 2× 2 8 14 2×2
1 2 −1 2 −1 A = B = 4 0 3 1 1 2 ×3 −1 3 3×2
8 −5 C = A.B = 6 9 2× 2
TRAZA DE UNA MATRIZ A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y se denota por: n
traza(A) = a11 + a 22 + a 33 + ... + a nn = ∑ a ii i =1
EJEMPLO: 6 −1 3 Sea A = 2 −2 1 Traza(A) = 6 + (– 2) + 5 = 9 4 −3 5 3×3 PROPIEDADES 1. k(A + B) = kA + kB = (A + B)k 2. – A = (– 1).A 3. A – B = A + (– B) 4. (k + q).A = k.A + q.A 5. A(B + C) = AB + AC 6. (A + B)C = AC + BC 7. ABC = A(BC) = (AB)C 8. AB ≠ BA; si ocurre AB = BA, entonces se dice que las matrices son permutables. 9. Traza(A + B) = Traza(A) + Traza(B) 10. Traza(AB) = Traza(BA) PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sean: 3 x 6 z A= B= Hallar x + y + z + w si A y B son iguales. −5 − y 2×2 w 2 2× 2 2. Halle el valor de x. y.u.v si las matrices A y B son iguales: x + y u + v 5 3 A= B= x − y u − v 2× 2 3 −1 2×2 3.
Sean: −1 2 A= 3 0 2× 2
y−x x B= z + y w − 2z 2× 2
Encuentra “w”, para que A y B sean iguales:
4. Sean las matrices : x − 3y x 2 6 − y −4 −8 A= B= C= Si 1 y 1 6 − x 2× 2 2× 2 2 3 2× 2
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A = B hallar la traza de B + C.
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5. Sean: −4 5 A = −7 6 −1 8 3×2 6. Dado que: 1 0 A= 2 1 2x 2
2 −1 B = 7 0 Hallar B – 5A y luego indicar el mayor de sus elementos. −3 5 3×2 1 −1 B= Encuentre A.B y luego indicar el mayor de sus elementos. 2 0 2x 2
7. Si : 3 −5 M= −1 2
2 5 N= 1 3
Hallar: traza ( M .N )
1 2 1 0 B= 8. Siendo A = ; 3 1 2×2 4 1 2× 2 No es cierto que: a) A + B = B + A b) A(A +B) = A2 + AB c) A(A – B) = A2 – AB 2 2 d) (A + B)(A – B) = A – B e) (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB 9. Sean: 2 −1 4 8 1 A = −1 2 y B= Hallar: traza ( A.B ) 2 −1 3 2×3 0 1 3×2 10. Sean las matrices: 2 −1 A= y 3 1 2× 2
m 1 B= n 5 2× 2 Si A y B son permutables respecto a la multiplicación. Calcular el valor de m + n. 11. Si : a + b a b 4 a 6 A= B= C= c d c + d 3 2×2 2× 2 −1 2d 2×2
Cumplen la siguiente igualdad: 3A – B = C
Indique el valor de: a.b.c.d MATRICES ESPECIALES: 1. Matriz Identidad: Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y los otros cero, recibe el nombre de la matriz identidad o matriz unidad. Se denota como I n 1 0 0 0 0 1 0 0 I = In = 0 0 1 0 0 0 0 1
1, si i = j 0, si i ≠ j
2. Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada de la forma D = [ d ij ] Se representa usualmente por
D = diag ( d11 , d 22 , d33 ,L , d nn )
3 Ejemplo D= 0 0
0 −6 0
0 0 D = diag ( 3, −6, −1) −1
3. Matriz Escalar: Una matriz cuadrada E= [k δij ]=k I n , para cualquier constante k, recibe el nombre de una matriz escalar.
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4 Así la matriz E = 0 0
0 4 0
0 0 en la que E =4I, es una matriz escalar. 4
4. Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la diagonal principal son todos ceros. Esto es aij = 0 , si i>j 5. Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros. Esto es aij = 0 , si i
1 0 A= 0 0 1 3 A= 2 1
3 3 2 2 2 1 0 6 2 0 0 3 0 0 0 2 0 0 2 6 0 5 9 7
6. Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden m × n , se llama matriz transpuesta de A, se denota At , a la matriz n × m cuyos elementos se obtiene intercambiando las filas por la columnas. −3 A = 2 2
−6 4 3
−3 A = −6 2
2 −1 , la transpuesta es 0
t
2 4 −1
2 3 0
7. Matriz Simétrica: Una matriz A es simétrica, si los elementos de A cumplen que aij = a ji . Esto es si A = At . −1 2 4 2 4 −1 t A = 2 − 2 2 A = 2 −2 2 = A 2 4 4 2 4 4
Propiedades: Si At , B t son respectivamente las transpuesta de las matrices A y B, λ un escalar.
1. ( At ) t = A
t 2. ( λA) = λAt
t 3. ( A + B ) = At + B t
t 4. ( AB ) = B t At
5. ( I n ) = I n t
Ejemplo: Dadas la matrices 1 1 2 A = −1 2 4 2 3 1
4 −1 0 B = 3 2 −1 0 5 −2
−1 3 C=0 4 2 −1
1 −1 2 D= 1 2 5
b) ( 3A − I 3 ) ( I 3 − B )
Calcular: a) (CD )t − A2 Solución: a) CD
2 −1 3 0 4 1 −1 2 4 = 1 2 5 = 1 2 −1
A = 2
7 13 8 20 , −4 −1 1 1 2 1 1 2 4 9 8 −1 2 4 −1 2 4 5 15 10 ; = 2 3 1 2 3 1 1 11 17
1 1 2 b) 3A − I 3 = 3 −1 2 4 − 2 3 1
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entonces
2 4 1 t CD = ( ) 7 8 −4 13 20 −1
(CD ) − A t
1 0 0 3 3 6 0 1 0 −3 6 12 − = 0 0 1 6 9 3
2
2 4 1 = 7 8 −4 13 20 −1
-
4 9 8 −2 −5 −7 5 15 10 2 −7 −14 = 1 11 17 12 9 −18
1 0 0 2 3 6 0 1 0 −3 5 12 = 0 0 1 6 9 2
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1 0 0 I 3 − B = 0 1 0 − 0 0 1
4 −1 0 −3 1 0 3 2 −1 −3 −1 1 = 0 5 −2 0 −5 3
( 3A − I 3 ) ( I 3 − B )
2 3 6 −3 1 0 −15 −31 21 = −3 5 12 −3 −1 1 = −6 −68 41 6 9 2 0 −5 3 −45 −13 15
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1) Dadas las matrices: 5 3 A= 0 5
1 0 −8 0 7 B= C = 0 3 Hallar: a) AB 1 3 2 7 1
b) CA c) A2 d) BC
2 1 1 A = 3 1 2 1 − 1 0 1 1 0 1 0 , B = 1 2 1 ; Calcular: 1 1 0 1 3 1 1 2 1 4 2 , B = − 2 − 3 , C = 3 0 − 1 , 0 4 − 1 5 1 4
2) Hallar f ( A) , si f ( x) = x 2 − x , 3) Dadas las matrices
2 0 A = 3 0 5 1
4) Dadas las matrices:
1 0 A = 2 − 1 2 2
2 3
A+B, A-B, AB, BA, AA, BB, A3=AAA.
Hallar: 3A+2C, AC, CA, AB.
1 0
5) Calcular: A2 − 3 A − I siendo: A = , I = 0 1 1 1 6)
2 A + B = Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: A − 3B =
1 − 1 x
1
2 3 1 1 −4 − 3 − 2 −1 0 − 1
x 3
7) Resolver la siguiente ecuación matricial: 3 2 y = y − 1 2 8) Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple M t .M = I , donde I es la matriz identidad y M t es la 1 1 0 transpuesta de M. Determinar si la matriz 1 − 1 1 es ortogonal. 1 0 − 1
9) Hallar las matrices A simétricas de orden 2 tales que A2 = A .
10) Dadas las matrices: 1 −1 0 2 −1 1 2 −1 2 1 −1 A = 3 0 −1 , B = 0 3 −1 , C = , D = 0 1 3 1 1 1 3 −2 −1 2 0 1 1 Hallar: AB, BA, 3A+2B, CA, CB, CD, A2 , B 2 , 3A+ A2 , B 2 -AB. 1
2
11) Sea A = 4 −3 calcular A2 , A3 Hallar f ( A) donde f ( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 + x + 5 . x
y
x
6
4
x+ y
12) Hallar x, y, z y w si: 3 = + z w −1 2 w z + w − 1 2 w + 3 Ciclo: 2012-0
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DETERMINANTES Definición: a toda matriz cuadrada An le asociamos un número real llamado determinante, An , a11
simbolizado de la forma: An =
a12
a13 ... a1n
a21 a22
a23 ... a2 n
...
...
...
an1 an 2
... ...
an3 ... ann
Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el determinante. Cálculo de un determinante. a) Regla de Sarrus. Orden 2 × 2 : se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal y se substrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.
a a a a A = 11 12 ⇒ det( A) = 11 12 = a11a22 − a21a12 a21 a22 a21 a22 Orden 3 × 3 Solo para matrices de orden 3x3 se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos.
Sea la matriz
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
la multiplicación de diagonales es:
O lo que es igual: det( A) = (a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a32 a21 ) − (a13a22 a31 + a12 a21a33 + a11a23a32 ) SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Definición: Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de ecuaciones de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 ; donde : i = 1,..., m j = 1,...n aij , bi ∈ R M am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm - aij son los coeficientes del sistema. - bi son los términos independientes del sistema. - x j son las incógnitas del sistema.
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Se denomina solución del sistema a todo vector ( s1 , s 2 ,...s n ) que verifica las siguientes igualdades:
a11s1 + a12 s2 + a13 s3 + ... + a1n sn = b1 a s + a s + a s + ... + a s = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 .......(1) M am1s1 + am 2 s2 + am3 s3 + ... + amn sn = bm Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am2
... a1n x1 b1 ... a 2 n x 2 b2 = , o bien ... a mn x m bm
A x=b
Donde: A es la matriz de los coeficientes del sistema, vector de términos independientes del sistema.
x el vector de las incógnitas del sistema y b el
Clasificación de los sistemas de ecuaciones en función del conjunto de soluciones: 1) 2) 3) 4)
Sistema Incompatible (S.I): cuando no admite solución. Sistema Compatible (S.C): cuando admite más de una solución. Sistema Compatible y Determinado (S.C.D): esto es, que tenga una única solución. Sistema Compatible e Indeterminado (S.C.I): esto es, que tenga infinitas soluciones.
Clasificación de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus términos independientes: 1) Homogéneo: el vector b es nulo. 2) No homogéneo: al menos alguna de las componentes de b es distinta de cero. Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se representa por ( A | b ) , a la matriz que se obtiene de añadir a la
matriz A la matriz columna
b
. Por tanto toma la forma:
Teorema de Rouché Frobenius:
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2 n b2 A|b = M M am1 am2 ... amn bm
( )
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es: 1) Compatible si y sólo si Ran( A) = Ran( A | b) . Además: a) Si Ran( A) = Ran( A | b) = n = número de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado, es decir tiene una única solución. b) Si Ran( A) = Ran( A | b) < n entonces el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. 2) Incompatible si y sólo si Ran( A) ≠ Ran( A | b) y no tiene solución.
Observación:
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Todos los sistemas homogéneos de la forma A x =0 son compatibles, Ran ( A) = Ran( A | 0) , y
siempre admite como solución: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0,..., xn = 0 denominada solución trivial. El sistema homogéneo A x =0 de m ecuaciones lineales con n incógnitas: - Sólo tiene solución trivial si Ran( A) = n - Admite infinitas soluciones si Ran( A) < n . MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LOS SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1) REGLA DE CRAMER: Los pasos a seguir para resolver los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada ( A | b ) asociada al sistema de ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
a) ir sustituyendo la primera columna del det( A) por los términos independientes. b) dividir el resultado de este determinante entre el det( A) para hallar el valor de la primera incógnita; c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 x − 2 y = 1 x + 5y = 3
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Solución:
3 −2 5
( A | b ) = 1
1 3
1 −2 3 −5 5 + 6 11 x= = = ; 17 17 17
det( A) =
3 −2 = 15 − (−2) = 17 1 5
3 1 1 3 9 −1 8 y= = = 17 17 17 EJERCICIOS.
1) Calcular los siguientes determinantes: −4 8 11 5 7 −6 , , A) 1 3 6 −1 −6 7 1 −3 2 1 −3 2 3 1 0 5 2 −7 , 2 −2 4 B) 5 2 −7 , 0 0 0 4 0 1 5 0 7 4
−3 2
1 −3 −2
3 −1 0
3 2 −7 , 2 −2 4 C) −1 2 7 , 0 −4 1 4 3 1 0 0 7 2) Los consumos anuales de cuatro familias a, b, c y d en pan, carne y mantequilla vienen dados en la matriz A. los precios de esos mismos productos en los años 1990, 1991, 1992, 1993 y 1994 vienen dados en la matriz B. la matriz C= AB, nos da el gasto total (en esos productos) de cada familia en cada año. Encontrar C.
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CONSUMOS A4×3 = pan carne mant . 157 8 430 545 210 1 80 3 120 860 110 0
a b c d
B3×5
PRECIOS 90 91 92 93 94 = 81 87 95 100 105 pan 770 700 750 800 860 carne 840 910 800 1000 1050 mant.
3) Encuentra la matriz C que verifica: 2 A + 3B − C = 0 donde 1 4 2 5 A= , B= 6 2 6 3
4) Resuélvanse, cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x + 2 y = −3 2 x + y − z = −6 a) e) 3 x − y + z = −5 −2 x − 4 y = 5 4 x + 2 y − 2 z = −1 x + 2 y = −3 b) 3 x + 6 y = − 9 2 x − y + 3 z = −1 x + 2 y + 3 z = 9 f) 4 x − 2 y + 6 z = −5 −2 x + y − 3 z = − 7 c) 4 x + 5 y + 6 z = 24 3 x + y − 2 z = 4 x + y + z = 2 2 x + y − z = 11 g) 2 x + y + 3 z = 1 x + 2 y + z = 4 d) x − 3 y = −20 4 x + 2 y + 5 z = 8 x + y + z = 8 h) 7 x + y + 6 z = 7 x + 7 y + z = 1
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MATRICES. 1. Un grupo de inversionistas que planean abrir un centro comercial decidieron incluir un supermercado, una peluquería, una tienda miscelánea, una farmacia y una pastelería. Estimaron el costo inicial y la renta garantizada (ambas en dólares por pie cuadrado) para cada tipo de tienda, respectivamente, como sigue: costo inicial: 18, 10, 8, 10 y 10; renta garantizada: 2.7, 1.5, 1.0, 2.0 y 1.7. Escriba esta información primero como una matriz de 5 × 2 y luego como una matriz de 2 × 5 . 2. Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias. Como parte del tratamiento, se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruz lleva la dieta I; Jiménez la dieta II, y Sánchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses 1, 2, 3 y 4, dichos niveles eran: - Cruz: 220, 215, 210 y 205. - Jiménez: 220, 210, 200 y 195. - Sánchez: 215,205, 195 y 190. Represente esta información en una matriz 3 × 4 . Ciclo: 2012-0
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3. El inventario de una librería universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción 2320; referencia, 1890.Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de una librería orientada al mercado preparatoriano es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción 1790; referencia, 1980. Rústica: ficción, 3100; no ficción, 1720; referencia, 2710; libros de texto, 2050. a) Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A. b) Represente el inventario de la librería preparatoriana como una matriz B. c) Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario total de la nueva librería. 4. Un dietista prepara una dieta especificando las cantidades que un paciente debe tomar de cuatro grupos básicos de alimentos: grupo I, carnes; grupo II, frutas y legumbres; grupo III, panes y harinas; grupo IV, productos lácteos. Las cantidades se dan en “intercambios” que representan 1 onza (carne), 1/2 taza (frutas y legumbres), 1 rebanada (pan), 8 onzas (leche), u otras medidas apropiadas. a) El número de “intercambios” para el desayuno para cada uno de los cuatro grupos de alimentos, son respectivamente, 2, 1, 2 y 1; para la comida, 3, 2, 2 y 1; y para la cena, 4, 3, 2 y 1. Escriba una matriz de 3 × 4 usando esta información. b) Las cantidades de grasa, carbohidratos y proteínas en cada grupo de alimentos, respectivamente, son como sigue. - Grasas: 5, 0, 0, 10 - Carbohidratos: 0, 10, 15, 12 - Proteínas: 7, 1, 2, 8 Use esta información para escribir una matriz de 4 X 3. c) Hay 8 calorías por unidad de grasas, 4 calorías por unidad de carbohidratos y 5 calorías por unidad de proteínas; resuma estos datos en una matriz de 3 ×1 . 5. Al principio de un experimento en laboratorio, cinco ratas jóvenes midieron 5.6, 6.4, 6.9, 7.6 y 6.1 centímetros de longitud y pesaron 144, 138, 149, 152 y 146 gramos, respectivamente. a) Escriba una matriz de 2 × 5 usando esta información. b) Al final de dos semanas, sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 y 10.8 centímetros y pesaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Escriba una matriz de 2 × 5 con esta información. c) Use resta de matrices con las matrices encontradas en (a) y (b) para escribir una matriz que dé la cantidad de cambio en longitud y peso para cada rata. d) La siguiente semana las ratas crecieron 1.8, 1.5, 2.3, 1.8 y 2.0 centímetros, respectivamente, y ganaron 25, 22, 29, 33 y 20 gramos, respectivamente. Establezca una matriz con esos incrementos y use la adición matricial para encontrar sus longitudes y pesos al final de esa semana.
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6. La matriz A representa los números de tres tipos de cuentas bancarias el primero de enero en el Banco Central y sus sucursales. Cuentas cheques Oficina matriz 2820 Sucursal del Oeste 1030 Sucursal del Norte 1170
de Cuentas de ahorro Cuentas de depósitos a plazo 1470 520 540
1120 480 460
2820 1470 1120 A = 1030 520 480 1170 540 460
La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo, 260 B = 140 120
120 60 70
110 50 50
120 C = 70 60
80 30 20
80 40 40
a) Encuentre la matriz D, la cual representa el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada lugar. b) Debido a la apertura de una fábrica cercana, se prevé un incremento de 10% en la cantidad de cuentas en cada lugar durante el segundo trimestre. Escriba una matriz E que refleje este incremento previsto. 1 3 −7 3 7. Calcule la matriz: 3B – 1/5 ( A – C), si: A = , B= , −5 2 0 −1 6 1 C= −2 5 −4 6 6 −3 8. Calcule las matriz:1/2A+1/3B - (A – C) si: A = , B= , 2 0 9 −12 −3 −1 C= 7 15 9. Un fabricante de camisetas tiene la siguiente producción (en cientos de piezas) en 10 30 40
0 10 20
sus fabrica de:
TRUJILLO:
34 22 10
60 10 8
78 46 , 0
CAJAMARCA :
50 0 30
a) Determine la matriz de la producción total en las dos plantas b) Si la producción de Trujillo se incrementa un 50% y un 25% en Cajamarca, calcule la nueva matriz que represente el total de ambas plantas. 10. Hay tres tiendas de abarrotes en Cajamarca. Esta semana, la tienda I vendió 88 paquetes de pan, 48 cuartos de leche, 16 tarros de crema de maní y 112 libras de carnes frías. La tienda II vendió 105 paquetes de pan, 72 cuartos de leche, 21 Ciclo: 2012-0
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tarros de crema de maní y 147 libras de carnes frías. La tienda III vendió 60 paquetes de pan, 40 cuartos de leche, nada de crema de maní y 50 libras de carnes frías. a) Use una matriz de 3 × 4 para expresar la información sobre las ventas de las tres tiendas. b) Durante la siguiente semana, las ventas de esos productos en la tienda 1 se incrementaron 25%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 1/3 y las ventas en la tienda III se incrementaron 10%. Escriba la matriz de ventas para esa semana. c) Escriba una matriz que represente las ventas totales en el periodo de las dos semanas. 11. Una compañía de juguetes tiene plantas en Boston, Chicago y Seattle que fabrican cohetes y robots de juguete. La siguiente tabla da los costos de producción (en dólares) para cada artículo en la planta de Boston: Cohetes Robots Material 4.27 6.94 Mano de obra 3.45 3.65 a) En Chicago, un cohete cuesta $4.05 por materiales $3.27 por mano de obra; un robot cuesta $7.1 por materiales y $3.51 por mano de obra. En Seattle, los costos materiales son de $4.40 para los cohetes y de $6.90 los robots; los costos de mano de obra son de $3.54 para los cohetes y de $3.76 para los robots. Escriba las matrices de costos de producción para Chicago y Seattle. b) Suponga que cada planta hace el mismo número de cada artículo. Escriba una matriz que exprese los costos promedio de producción para las tres plantas. c)Suponga que los costos de mano de obra se incrementan en $0.11 por artículo en Chicago y los costos por material se incrementan ahí en $0.37 para un cohete y $ 0.42 para un robot. ¿Cuál es la nueva matriz de costos producción para Chicago? d) Después de los incrementos en costo en Chicago, la planta de Boston cierra y la producción se divide en partes iguales entre las otras dos plantas. ¿Cuál es la matriz que ahora expresa los costos promedio de producción para todo el país? 12. La siguiente tabla da los logros educativos de la población de 25 años de edad y mayores en Estados Unidos. Año 1940 1950 1959 1970 1980 1987 1991
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Hombres % Mujeres % 4 años de 4 años de 4 años de 4 años de bachillerato o universida bachillerato universidad o más más d o más o más 22.7% 5.5% 26.3% 3.8% 32.6 7.3 36.0 5.2 42.2 10.3 45.2 6.0 55.0 14.1 55.4 8.2 69.1 20.8 68.1 13.5 76.0 23.6 75.3 16.5 78.5 24.3 78.3 18.8
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a) Escriba una matriz para los logros educativos de los hombres. b) Escriba una matriz para los logros educativos de las mujeres. c) Use las matrices de las partes (a) y (b) para escribir una matriz que muestre cuánta más (o menos) educación han logrado los hombres que las mujeres. 13. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1 , M 2 , M 3 , M 4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de M 1 , M 2 , M 3 , M 4 usadas por unidad del producto son: 4, 3, 2, y 5, respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias es de 5, 7, 6 y 3 dólares, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto como el producto de dos matrices. 14. Guillermo y Miguel tienen acciones de la bolsa, dadas por la matriz BAC 200 A = 100
GM 300 200
IBM 100 400
TRW 200 Guillermo al 0 Miguel
cierre de operaciones en cierto día,
54 BAC 48 GM los precios de las acciones están dados por la matriz B = . Calcule AB, 98 IBM 82 TRW
y explique el significado de las entradas de la matriz AB. 225 110 50 Sala I 15. Cinema Center tiene cuatro salas, de la I a la IV. El precio de cada función es de $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto. A = 75 180 225 Sala II 280 85 110 Sala III La asistencia a la matinée del domingo está dada por la matriz. 0 250 225 Sala IV Niño Estudiante Adulto Escriba un vector columna B que represente el precio de la entrada. Luego, calcule AB, el vector columna que representa el ingreso bruto de cada sala. Por último, encuentre el ingreso total por concepto de entradas en dicha matinée.
16. B y B, S.A. de C.V., empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado está dado por la matriz Modelo I II III IV 60 80 120 40 N .Y . A = 20 30 60 10 Conn. 10 15 30 5 Mass.
Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25000 $30000, respectivamente, para cada modelo de casa I al IV. a. Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa. b. Encuentre la utilidad total esperada por B y B, SA en cada estado, si se venden todas las casas. Ciclo: 2012-0
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17. Tres asesores en redes, Alan, María Esteban, recibieron un bono a fin de año, de $10 000 cada uno, y decidieron invertir en un plan de retiro 401K auspiciado por su empresa. Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo accionario I, un fondo de desarrollo II, y un fondo global III. Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del año se resumen en la matriz A y los réditos de los tres fondos después de un año están dados por la matriz B: I
II
III
4000 3000 3000 Alan A = 2000 5000 3000 María 2000 3000 5000 Esteban
0.18 I B = 0.24 II 0.12 III
¿Cuál empleado obtuvo los mejores réditos en su inversión para el año en cuestión? ¿Quién obtuvo los peores réditos? 18. Un comité de admisión de una universidad anticipa la inscripción de 8000 estudiantes de primer ingreso para el próximo año. Para satisfacer las cuotas de ingreso, se ha clasificado a los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz A. Hombre Mujer 2700 A = 800 500
3000 Local 700 Foráneo 300 Extranjero
LyC
Artes Admón Ing.
0.25 0.20 B= 0.30 0.35
0.30 0.25 Hombres 0.25 0.10 Mujer
Al utilizar los datos acumulados de años anteriores, el comité de admisión considera que estos estudiantes optarán por asistir a la Facultad de Letras y Ciencias, a la Facultad de Artes, la Escuela de Administración y la Escuela de Ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz B. Encuentre la matriz AB que muestra el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que se espera que se inscriban en cada facultad o escuela.
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