1I.- Potenciación: Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número llamado amado base tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado de esta operación se le llama potencia. a = base n = exponente p= potencia
a 2 .5 a 2 .5 a 2 ...5 a 2 a 5 . a 5 . a 5 ... a 5
m
20 veces veces
am = a n a =
nα β
a
EJERCICIOS
A) 1
B) a -30
B) 2
C) 3
− 2−1
− 2 −1
⋅ 8 9
D)4
−4 − 2
−1
1.- Simplificar:
256
C) a30
D)
a
E)
NIVEL II
NIVEL I
E = 16 − 4
E) 3
50 vece vecess
También se tiene que: β α n
D)4
−1
5.- Simplificar
3.- Radicación: Radicación: La raíz n-ésima de un número a (no negativo cunado n es par), llamada radicando; es otra expresión talque esta raíz elevada a n, nos da el radicando a, es decir:
n
E)
−1
β
a =b↔a=b
4.- Determinar el valor de:
( (a m ) n ) α = a mn αβ
(an )m=anm
− 3 − 0 ,5
1 9 3 2
Se obtiene:
am = a m−n an n a = a n b b n − a n = b n b a
Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable.
4.-Si x y = 2, hallar el valor de
E = ( x x
y
A) 1
B) -1
) ( x ) ( 4 y ) y− y
C)-2
3
− y
D)2
2
Las ecuaciones pueden ser: x3 + 3x2 – 7 = 0
2
Ecuaciones
E) 0
Algebraicas cas
x − 3 − z = 0
5.-Hallar el valor de a +b en: 2
2
b a −b
A) 1 NIVEL I 1-A
B) 5
C)10
aab = 34/ 3 a b ab D)13
2-A
3-C
4-B
5-C
NIVEL II 1-E 2-C 6-E 7-B
3-B 8-A
4-D 9-B
5-D 10 - B
3-D
4-C
5-C
Ecuaciones Trascendentes
E) 9
2-D
ecuación fraccionaria ecuación irracional
22x – 4x + 1 = 0
ecuación exponencial
log x – x 3 = 0
ecuación logarítmica
sen x – 8 = 0
ecuación trigonométrica
Clasificación de las ecuaciones según su solución A) Ecuación ón compatible.compatible.- Es aquella aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. B) Ecuación compatible determinada.- Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución. x - 3 = 0 Ejemplo: c.s. = { 3 }
NIVEL III 1-E
y + 1 =0 x x − 2
ecuación polinomial
C) Ecuación compatible indeterminada.- Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución, es decir su solución son todos los números reales. ( x – 3 ) = x – 3 Ejemplo: x = x 0 x = 0 c.s. = R D) Ecuación incompatible.- Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir su solución es el vacío. x – 4 = x + 5 Ejemplo: 0x = 9 c.s. = φ donde φ denota el conjunto vacio.
Una fracción fracción irreducible tiene la siguiente propiedad, al sumar cinco unidades a su numerador y 9 unidades al denominador, la fracción no cambia de valor. La suma de sus términos es: a) 10 b) 14 c) 18 d) 28 e) 36 A una pollada asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres hombres es el quíntuplo del número de mujeres y éste el triple de los niños. Hallar el número de hombres. a) 367 b) 234 c) 315 d) 400 e) 600 A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose en total 968 unidades. La suma de los dígitos que forman el número par mencionado es: a) 14 b) 16 c) 20 d) 12 e) 18 La suma de 4 números diferentes ferentes es 24, 24, la suma de los 2 mayores es el doble de la suma de los 2 menores, la suma del menor con el mayor es igual a la suma de los otros 2 números. Halle la suma de las diferencias del mayor con el menor y de los intermedios mayor con menor. (suponer que m es el número mayor) a) 32 b) 8 c) 4 d) 4m – 32 e) 32 – 4m
5.
Dos números números suman 2320. Si uno de ellos le transfiere 240 unidades al otro, ambos quedan con igual cantidad. El menor número es igual a: a) 202 b) 840 c) 1320 d) 920 e) 1400
6.
Se tiene tiene tres menores números naturales consecutivos de tres cifras, cuya cuya suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tres números es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7.
Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro cuatro impares que le siguen, dé un total de 905? a) 175 b) 183 c) 191 d) 177 e) 181
8.
Hallar un número cuyo quíntuplo aumentado en su triple del quíntuplo da 500. a) 30 b) 36 c) 25 d) 45 e) 50
9.
La señora Maritza, tuvo a los 24 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos? a) 9 b) 11 c) 33 d) 13 e) n.a.
4
10.
La suma de dos números es 74, su cociente es 9, dando dando de residuo duo 4. ¿Cuál es la diferencia de estos números? a) 40 b) 60 c) 50 d) 20 e) 30
11.
¿Qué cantidad de arroz de 6 soles el kilo debe mezclarse con arroz de 10 soles el kilo para obtener 120 kilos de mezcla, de manera que, vendidos a 7 soles el kilo, no se produzca pérdida ni ganancia? a) 100 y 20 b) 80 y 40 c) 70 y 50 d) 90 y 30 e) 60 y 60
12.
Preguntando a Esteban por su edad, responde: si el doble doble de mi edad se quitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene Esteban? a) 51 años b) 37 años c) 39 años d) 43 años e) 63 años
13.
Percy nació cuando Maritza tenía 18 años. Si actualmente la suma de sus sus edades 64 años. ¿Cuántos años tiene maritza? a) 31 b) 41 c) 27 d) 39 e) 26
14.
El doble de un número sumado con el triple de otro da como resultado 8, y el quíntuplo del segundo es igual al triple del primero aumentado en 7. Dar la suma de ambos números. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
15.
Dos obreros trabajan juntos ganando semanalmente uno de ellos s/. 20 más que el otro. Después de igual número de semanas reciben s/. 2400 y s/. 2100 respectivamente ¿Cuánto gana semanalmente cada uno de los obreros? a) 110 y 130 b) 220 y 240 c) 160 y 180 d) 100 y 120 e)140 y 160
16.
Si tú piensas en un número, cuya mitad es igual a cuatro unidades unidades más que una tercera parte del número que tienes en mente. ¿Qué número es? a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48
17.
Vendí la octava parte de mis naranjas, naranjas, después la sexta parte y finalmente la quinta parte de lo que tenía. Al contarlas me quedan la mitad, menos una de las que traje. ¿Cuántas eran? a) 140 b) 102 c) 130 d) 120 e) 150
18.
La suma de las edades de Alan y Jorge es 65 años, y dentro de 10 años, la edad de Jorge será los 5/12 de la de Alan. ¿cuál es la edad de Alan? a) 60 años b) 50 años c) 35 años d) 25 años e) 15 años
19.
El total recaudado por concepto de 900 boletos de rifa fue de 950 soles, si los estudiantes pagaron s/. 0.75 por cada boleto y las demás persona pagaron s/. 1.25 por cada boleto. ¿Cuántos boletos de estos últimos se vendieron? a) 350 b) 380 c) 550 d) 500 e) 450
2.2.Conjuntos acotados A) Cota superio superior r Un número real k es una cota superior de un subconjunto no vacío S de de R sí y k ; sólo sí: x k ; ∀ x ∈ S
Un café que se vende a s/. 6 el kilo, se mezcla con café café que se vende vende a s/. 5 el kilo, para producir 20 kilos de una mezcla que se venderá a s/. 5.40 el kilo ¿Cuántos kilos se utilizará de cada clase? a) 6 y 14 b)8 y12 c) 7 y 13 d) 9 y 11 e) 4 y 16 Calcule la solución de la ecuación a) 30
b) 5
1 11 − 2 x
c) 20
=
3 7 − 2 10
+
4
B)
8+ 4 3
d) 13
e) 10
Cota inferior k ; Un número real k es es una cota inferior de s si y sólo si x k ;
∀ x ∈ S
2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
C o tas infe rio res
2.1.Intervalos Sean dos números reales a y b tales que a
B) Intervalo abierto:
x ∈ R / a x x b b} [ a,b] = { x
x ∈ R / a < x < b } ] a,b[ = { x
a
x
b
a
x
b
a
x
x ∈ R / a < x b b} C) Intervalo semiabierto: ] a,b] = { x
x ∈ R / a x x < b} [a,b[ = { x
D) Intervalos infinitos:
a x
x ∈ R / x a a} [ a,+[ = { x a
x ∈ R / x > a} ]a,+[ = { x
] ,b] =
x ∈ R / x a a} { x
x ∈ R / x < b } ] ,b[ = { x
a
x
C o t a s s u p e r io r e s
C)
Supremo Un número real c se llama supremo de un subconjunto no vacío S de de R , y se escribe c = sup S si: si: c es cota superior de S ( x c c, ∀ x ∈ S ) ( x • c es la menor cota superior de S , es decir: • ∀k ∈ R / x k k , ∀ x ∈ S , entonces k c c Si Por lo tanto, c no necesariamente pertenece a S
D)
Ínfimo Un número real d se llama ínfimo de un subconjunto no vacío S de R , y se escribe c = inf S si: si: • d es x d , ∀ x∈ S ) es cota inferior de S ( ( x d es • es la mayor de las cotas inferiores de S , es decir: d Si ∀ k ∈ R / x k , ∀ x ∈ S , entonces k Por lo tanto, d no no necesariamente pertenece a S
E)
Máximo Si c es supremo de S y y c S , entonces c es máximo de S ( (c = máx S )
F)
Mínimo Si d es es ínfimo de S y y d S , entonces d es es mínimo de S ( (d = = min S ) Ejemplo: dado el conjunto S = = ]2, 5] el sup S =5, =5, además 5 S , entonces el máx S = = 5. el ínf S = = 2, pero 2 ∉ S , entonces S no tiene mínimo.
b b
S
∈
∈
∈
x
x
a
x
b
Problemas 1. Se sabe que el número de conejos que que cría Juan es tal que el triple disminuido en 5, es mayor que 33, y el cuádruple aumentado en 9 es menor que 65. Calcule el número de conejos a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
La diferencia entre entre las edades de Jorge Jorge y Raúl es mayor que 4, pero menor que 7. Si Raúl tiene 36 años. Determinar el producto de los dígitos de la edad de Jorge. a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Para la confección de un un determinado número de problemas, problemas, se duplicó este número y se eliminaron 40 que eran muy fáciles, quedando menos de 60. Si se hubiera triplicado el número original y aumentado 20, habrían más de 164. ¿Cuál es la suma de los dígitos de la cantidad de problemas que había inicialmente? a) 5 b) 13 c) 12 d) 11 e) 6
7.
∈
a = a2
2 = a2 a a
Propiedades adicionales 8. = b ↔ b 0 0 ∧ (a = b v a = -b) 9. ↔ a = b ∨ a = -b 10. Si b > 0 entonces: • < b ↔ -b < a < b • b ↔ -b a b 11. > b ↔ a > b ∨ a < -b b ↔ a b ∨ a -b
Un kilo de naranjas contiene entre 50 y 100 unidades de vitamina. Si cada kilogramo cuesta entre 1.5 y 2.4 soles. ¿Cuánto será lo máximo a gastar por consumir 400 unidades de vitamina? a) 9.6 soles b) 12 soles c) 19.2 soles d) 20.2 soles e) 24 soles
5. El número de libros que tiene Miguel en su biblioteca es tal que si le disminuimos 20 y luego lo dividimos por 4, resulta mayor que 8, en cambio, si le agregamos 5 y luego lo dividimos por 6, resulta menor que 10. Si luego adquiere 2 colecciones de 6 libros cada una ¿Cuántos libros tendría Miguel luego de la compra? a) 24 b) 25 c) 52 d) 55 e) 66 6.
Propiedades 0, 0, ∀ a R ∧ = 0 ⇔ a = 0 =-a a.b = a+b (desigualdad (de sigualdad triangular)
Ejercicios
Un bisabuelo aficionado a la matemática, nota que el número de de nietos que que tiene es igual al triple del número de hijos menos cinco, y el número de bisnietos es igual al doble del número de nietos, aumentado en 3. Se da cuenta también que el exceso del número de nietos sobre el número de hijos es mayor que 6 y el exceso del número de bisnietos sobre el número de nietos es menor que 17. Calcular el número de bisnietos que tiene a) 6 b) 13 c) 23 d) 30 e) 36 Max tiene cierta cantidad cantidad de caramelos, se come 5 y le restan más de la tercera parte, luego se compra 10 más con lo que tendría menos de 14 caramelos. Indicar cuántos tenía inicialmente a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42
3. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real a denotado por a se define como: a , si a ≥ 0 a = − a , si a < 0 Geométricamente a es la distancia entre el punto donde se encuentra a y el cero.
6
1.
Resolver 7x= 4 – x a) x=4 b) x=1/2 c) x=-1/2 x=2/3 d) x=-2/3 x=1/2 e) x=-2/3 x=4
2.
Resolver 2x +2= 6x – 18 a) x=2 x=5 b) x=3 c) x=-2 x=3 d) x=5 e) x=2
3.
Resolver x2 + 2= 2x + 1 x=2 b) x=-1/3 o x=1 x=1 c) x=-1/2 o x=1 x=1 d) x=1 a) x=-1/2 o x=2
4.
Resolver x2 -2 x – 3 = 0 a) x=-1, x=3 b) x=3 c) x=1, x=-3 d) x=-3, x=3 e) x=-1, x=1
5.
Resolver x - 2 = 3 - 2x a) x=1 x=5/3 b) x=-5/3 x=-1 c) x=-5/3 x=1 d) x=5/3 e) x=1
6.
Hallar el conjunto solución de: x - 3= x – 3 a) x=0 x=3 b) x∈ R c) 3 d) x=3 e) x∈φ
7.
Se cumple que: x - 2 < 5 , y se tiene x + 1
e) x=-1/2