Unidad III y IV Lenguajes y Automatas i

Lenguajes y Autómatas I UNIDAD III: Autómatas Finitos UNIDAD IV: Máquina de Turing Profesor: I.S.C: Rosemberg López Jiménez

José Del Carmen Méndez Candelaria

Ingeniería en Sistemas Computacionales Computacionales 6º Semestre Grupo C

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Libertad de espíritu en ciencia y tecnología

Contenido INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 2 ................................................................................................ 3

3.1 Definición formal ............................................................................................................................... 4 3.2 Clasificación de AF AF ........................................................................................................................... 5 3.3 Conversión de un AFND a AFD ....................................................................................................... 9 3.4 Representación de de ER usando AFND ............................................................................................. 11 3.5 Minimización de de estados en un AF AF ................................................................................................. 13 3.6 Aplicaciones (definición de un caso de estudio) .............................................................................. 14 .............................................................................................. 19 Adentrándose a la Historia de la MT ....................................................................................................

20

4.1 Definición formal MT 4 ............................................................................................................... 20 4.2 Construcción modular modular de una una MT ............................................................................................... 23 4.3 Lenguajes aceptados aceptados por la la MT. ................................................................................................. 25

CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................... 28 BIBLIOGRAFÍA AF ........................................................................................................................... 29 BIBLIOGRAFIA MT .......................................................................................................................... 30
















INTRODUCCIÓN En el siguiente escrito se abordarán temas a cerca de los autómatas finitos y subtemas de la 3ª unidad del plan de estudios de la materia LENGUAJES Y AUTOMATAS I; donde se aprenderá y conocerá la importancia del estudio de los autómatas dentro de los procesos de desarrollo de software, y algunas aplicaciones. Partiendo del conocimiento de sus comportamientos, aspectos y características más relevantes de estos autómatas. Los autómatas son esencialmente importantes en las actividades sociales, ya que se encuentran dentro de todo tipo de maquinaria y aplicaciones desarrolladas, donde estas tienen las funcionalidades específicas con las que realizan sus operaciones y actividades; además de sus comportamientos, características y funcionalidad que tienden los autómatas se detallara cómo influyen en la vida social y real de los ser humanos. Los autómatas finitos, son antes de todos logísticas matemáticas, en las que se realizan operaciones en cada estado de los eventos, estos eventos pueden ser de un solo estado o varios; al tener acciones con estados de dos o más eventos, los autómatas finitos tienden a cambiar de finitos determinísticos a no determinísticos. Dentro de estas hojas se denotan las esquematizaciones de los nuevos autómatas finitos:

 Determinísticos  No Determinísticos Se conocerán su estructuras, funcionalidades y comportamientos entre estos dos tipos de autómatas, dentro de ello se abarcara las conversiones o transformaciones entre estos autómatas. Como breve definición un autómata finito o máquina de estado finito: es un modelo matemático de un sistema que recibe una cadena constituida por símbolos de un alfabeto y determina si esa cadena pertenece al lenguaje que el autómata reconoce. En la sección de la MT, se conocerá deforma formal que es una máquina de Turing y sus componentes; además de ello se detallara de forma explícita algunos conceptos sobre su desarrollo y formación. La máquina de Turing es un dispositivo capaz de establecer los problemas intratables, para conocer si es resolutorio o no. Tales confirmaciones se deben y se detallan de cada proceso u problemas matemáticos de la vida real. Al igual que los AF la máquina de Turing utiliza estructuras, transiciones y formas de conformación para la representación de los modelos matemáticos, de situación en las que se desea conocer si estos tienen soluciones, ya que un computador no puede definir dicha confirmación, ya que es un proceso tardado.































3.1 Definición formal Defi Defi ni ción ción 1 El Autómata Finito es la máquina más restrictiva de todas y desde luego que se puede definir como un caso particular de una MT. También podemos verla como un AP sin pila. Obviamente que al sacarle la pila lo único que queda es la cinta finita de entrada. Este modelo matemático abstracto representa la solución del problema de aceptación de lenguajes de tipo 3 o LR. 3.1a Defi Defi ni ción ción 2 Son máquinas formales que se usan para reconocer lenguajes regulares. Lenguajes más sencillos, los lenguajes que son generados por gramáticas regulares. Con ello se deduce que un autómata autómata fi ni to es; una máquina con un número finito de estados es; que lee símbolos de una cinta de entrada infinita. El comportamiento de la máquina está determinado únicamente por el estado en que se encuentra y el símbolo en la cinta de entrada. Al leer un símbolo de la cinta de entrada cambia de estado estado y avanza en la cinta de entrada. Cuando ya no quedan símbolos por leer, se detiene. Aun cuando la cinta es infinita, la cadena que guía el comportamiento del autómata no lo es. Esta cadena puede ser tan larga como se quiera, pero siempre finita. 3.1b Defi Defi ni ción ción 3 Un autómata finito tiene un conjunto de estados y su “control” pasa de un estado a otro en respuesta a las “entradas” externas. Una de las diferencias fundamentales entre las clases de autómatas finitos autómatas finitos es si dicho control es “determinista”, lo que quiere decir que el autómata no puede encontrarse encontrarse en más de un estado a un mismo tiempo, tiempo, o “no determinista”, determinista”, lo que significa significa 3.1c que sí puede estar en varios estados a la vez. Un autómata finito es un vector de tres elementos M elementos M = (I,S,δ, F)donde I es el conjunto conjunto finito de entradas, S es el conjunto finito de estados (no vacío), δ es la función de transición de estados y F es el conjunto finito de estados finales (incluidos en S).3.1d

Un autómata es una representación gráfica que muestra el proceso de reconocimiento de una cadena de entrada. La simbología utilizada es simple: 3.1e Diagrama

Descripción Un círculo representa un estado n, donde n es un número natural o bien una letra, generalmente. Un arco representa la lectura de un símbolo a en la entrada. Transición
















Estado de aceptación f.

3.2 Clasificación de AF Un AF tiene un conjunto de estados y su control se mueve de estado en estado, en respuesta a entradas externas. Estas entradas forman las cadenas a ser analizadas. Los estados de un AF, son de tres tipos: estado inicial, que permite empezar la ejecución del autómata; estados finales o estados “de aceptación” que permiten realizar la salida de aceptación de la cadena de entrada en el caso de que no haya más símbolos en la entrada, y estados intermedios, que son los que permiten pasar del estado inicial a algún estado final. Los AF se dividen en diversas clases, dependiendo de si su control es “determinista”

(lo que significa que el autómata no puede estar en más de un estado simultáneamente) o “no determinista” (lo que significa significa que el autómata puede estar en varios estados al mismo 3.2 tiempo). Los autómatas finitos se pueden clasificar en función del tipo de control como:

Deterministas, el autómata únicamente puede estar en un estado en un momento determinado. No Deterministas, el autómata puede estar en varios estados simultáneamente. Ambos definen los mismos lenguajes (regulares), sin embargo los No deterministas permiten describir más eficientemente determinados problemas.3.2a Para conocer más afondo sobre los autómatas finitos determinísticos y no determinísticos, a continuación se detallara de forma breve cada uno de estos autómatas; ya que es necesario para poder entender y comprender el siguiente tema de conversiones de un autómata finito no determinístico a un autómata finito determinístico. 

Definiciones de autómatas finitos no determinísticos y determinísticos.

Autómata finito determinístico (AFD); es aquel que siempre está en un solo estado después de leer cualquier secuencia de entradas; la palabra determinista nos dice que para cada entrada existe un único estado al que el autómata puede llegar partiendo del estado actual; comencemos dando la definición formal. El autómata finito determinista. El término “determinista” hace referencia al hecho de cada entrada, existe único estado al el


















Un AFD genera un solo tipo de salida: acepta o no una secuencia de símbolos de entrada. Esa aceptación está representada si el autómata se encuentra en algún estado del conjunto F. El comportamiento de un AFD, comienza en el estado inicial (q0), y según se van recibiendo los símbolos de la entrada transita entre los estados (del conjunto Q), de acuerdo a la función de transición f. Si en un determinado momento se encuentra en un estado de aceptación (del conjunto F), reconoce como válida la cadena formada por los símbolos de entrada leídos hasta el momento. Si no, no es aceptada.

Fig. 1. AFD. Representación de un autómata finito determinístico

Definición Un Autómata Finito Determinístico (AFD) es una quíntupla: Un quíntupla: M = (Q;∑; q 0; f; F ), donde Q Es un conjunto nito no vacío (los elementos de Q son llamados estados) ∑ es un conjunto de símbolos de símbolos de entrada al que llamaremos alfabeto. q1∈ q1∈ Q, es un estado al que llamaremos estado inicial. f Es una función Q x ∑ → Q que se llama función de transición; esta recibe como argumentos un estado y una entrada y devuelve un estado. q F ∁ Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados finales o de aceptación. 

Existen dos notaciones preferibles para describir los autómatas:
















b) El nodo correspondiente al estado inicial q0, tendrá una un a flecha sin origen (o arco entrante) no etiquetado. c) Los nodos correspondientes correspondientes a los estados de aceptación (los que pertenecen a F) están marcados con un doble círculo. Los que no pertenecen a F tienen un círculo simple. d) Habrá un arco etiquetado con a entre el nodo p y el nodo q, si f(p,a) = q. Si existen varios símbolos de entrada que provocan una transición del estado p a q, entonces el arco entre p y q puede estar etiquetado con la lista de esos símbolos. símbolos .3.2.a Un autómata puede ser representado mediante un grafo graf o dirigido (digrafo) el cual se conoce como diagrama de transiciones, donde los vértices del mismo corresponden a los estados del autómata, en el caso del estado inicial este tendrá una flecha que apunta hacia él, y los los estados finales se representaran mediante un circulo con línea doble; si existe una transición transici ón del estado q al p sobre la entrada a entonces existe un arco con etiqueta a que va del estado q al estado p en el diagrama de transición. El autómata acepta una cadena  si la secuencia de transiciones correspondientes a los símbolos de  conducen del estado inicial a un estado final. 3.2b Si se modifica el modelo del autómata finito, para permitirle ninguna, una o más transiciones de un estado sobre el mismo símbolo de entrada, al nuevo modelo lo conoceremos como autómata estado s simultáneamente. finito no determinístico. Tiene la capacidad de estar en varios estados La diferencia entre AFD y un AFN está en la función de transición. Para el AFN, f es una función que toma como argumentos un estado y un símbolo de entrada, pero devuelve un conjunto de cero, uno o más estados (en vez de devolver un estado, como en el caso del AFD). Definición : Un Autómata Finito No Determinístico (AFND) es una quíntupla M = (Q; ∑; I; R; F ), donde Q es un conjunto de estados ∑ es un alfabeto. I ∁ Q es un conjunto de d e estados a los cuales llamaremos estados iniciales. ∑
















Fig. 2 AFND: representación de autómatas finitos no determinísticos



Tabla de transiciones

Una tabla de transiciones es una representación tabular convencional de una función como f, que recibe dos argumentos y devuelve un valor. Esta tabla tendrá las siguientes características: 3.2c a) En las filas filas estarán los estados q ∈Q b) El estado inicial se precederá del símbolo -> c) Cada estado final se precederá del símbolo * d) En las columnas estarán los símbolos de entrada a ∈ Σ e) El valor correspondiente a la fila del estado qy a la entrada aes el estado que determine f(q,a)
















3.3 Conversión de un AFND a AFD

Fig. 4 autómata finito no determinista determinista

Se observa que el AFN de la Figura 1, tiene dos transiciones desde el estado “0” con la entrada “a”; es decir, puede ir al estado “0” o al 1.

Ahora se introduce un algoritmo para construir a partir de un AFND un AFD que reconozca el mismo lenguaje. Este algoritmo se le conoce como construcción de subconjuntos, es útil para simular un AFND por medio de un programa de computador.

Construcción de subconjuntos. Construcción de un AFD a partir de un AFN. Entrada. Un AFN N. Salida. Un AFD D que acepta el mismo lenguaje.
















a el siguiente símbolo de entrada. Al ver a, “N” puede trasladarse a cualquiera de los estados del conjunto mover (T, a). Cuando se permiten transiciones- ? , N puede encontrarse en cualquiera de los estados de cerradura-? (T, a), después de ver la “a”. Se construyen estados “D”; el conjunto de estados de “D”; y tranD, la tabla de transiciones de “D”, de la siguiente forma. Cada estado de “D” corresponde a un conjunto de estados de AFN en los que podría estar estar “N”

después de leer alguna secuencia de símbolos de entrada, incluidas todas las posibles transiciones- ? anteriores o posteriores a la lectura de símbolos. El estado de inicio de “D”es cerradura-? (s0). Se añaden los estados y las transiciones a “D”. Un estado de “D” es un estado de aceptación si es un conjunto de estados de AFN que contenga al menos un estado de aceptación de “N”. El cálculo de cerradura-? (T) es un proceso típico de búsqueda en un grafo de nodos alcanzables alcanz ables desde un conjunto dado de nodos. En este caso, los estados de “T” son el conjunto dado de nodos, y el grafo está compuesto solamente por las aristas del AFN etiquetadas por ? . Un algoritmo sencillo para calcular cerradura-? (T) utiliza una estructura de datos tipo pila para guardar estados en cuyas aristas no se hayan buscado transiciones etiquetadas con ? .

Implementación de los algoritmos para convertir un AFN en un AFD Para la implementación de estos algoritmos se utiliza el AFN “N”. Que acepta el lenguaje (a|b)*abb. Se aplica el Algoritmo 2. Construcción de subconjuntos a “N”. El estado de inicio del AFD equivalente es cerradura-? (0), que es A = {0,1,2,4,7}, puesto que estos son alcanzados desde el estado 0 por un camino camino en que todas las aristas están etiquetadas por ? . El alfabeto de símbolos de entrada es {a, b}. Ahora el algoritmo indica que debe marcarse “A” y después calcular cerradura- ? (mover(A, a)). Calculando primero mover(A, a), el conjunto de estados de “N” que tiene transiciones en “a” desde miembros de “A”. Entre los estados 0,1,2,4 y 7 sólo 2 y 7 tienen dichas transiciones, a 3 y a 8, de modo que: cerradura- ? (mover({0,1,2,4,7}, a)) =cerradura- ? (3,8) = {1,2,3,4,6,7,8} Este conjunto se denominará “B”. Así, tranD[A, a] = B. Se presenta el cálculo de la cerradura-


















3.4 Representació Representaciónn de ER ER usando AFND ERs, AFDs y AFNDs son mecanismos equivalentes para denotar los lenguajes regulares. En estas tres secciones demostraremos esto mediante convertir ER →AFND → AFD → ER. Las

dos primeras conversiones son muy relevantes en la práctica, pues permiten construir verificadores o buscadores eficientes a partir de ERs.3.4 Definición : La función Th convierte ERs en AFNDs según las siguientes reglas.
















Representación de la expresión regular

Existen algoritmos que relacionan la especificación de tokens -expresiones regulares-, con el reconocimiento de éstos -autómatas finitos-. Es posible po sible dada una expresión regular obtener el AFD que reconozca las cadenas del lenguaje denotado por la expresión regular. También es posible obtener el AFND que reconozca el lenguaje representado por dicha expresión regular. El algoritmo que permite construir el autómata finito determinístico está fuera del alcance de estas notas ( el alumno no tiene los prerrequisitos para su estudio en este curso). Sin embargo, el algoritmo utilizado para la construcción del autómata finito no determinístico AFND, es relativamente sencillo s encillo de aplicar, ya que se basa en reglas r eglas simples. Existen
















b) Para la expresión regular st(concatenación), construir el AFND, N(st) :

c) Para la expresión regular s*, construir el AFND, N(s*) :

3.5 Minimizaci Minimización ón de estados estados en un AF Dos estados de un autómata finito determinista son estados equivalentes si al unirse en un sólo estado, pueden reconocer el mismo lenguaje regular que si estuviesen separados. Esta unión de estados implica la unión tanto de sus transiciones de entrada
















3.6 Aplicaciones (definición de un caso de estudio) Construcción del vehículo evasor de obstáculos 3.6 Uno de los primeros trabajos que comenzaron a formalizar la dinámica de robots móviles es (Crowley, 1989) en el que se utilizan dispositivos ultrasónicos en el vehículo para su posicionamiento y orientación. orient ación. En (Maes, ( Maes, 1990) se muestra un estudio del comportamiento de robots autónomos y se divide en construcción de mapas, exploración, transitar y evasión de obstáculos. En (Seng, 1997) se plantea como una un a de las mayores problemáticas de la navegación robótica la localización y se proponen los pasos claves para el diseño, calibración y modelado de autómatas. Hay otros autores que refuerzan la evasión de objetos o desarrollo de trayectorias mediante técnicas de navegación como son: navegación inercial, compases magnéticos y triangulación. (Borenstein, 1997). (Betke, 1997) considera que el autómata puede reconocer marcas especificas en el medio por el cual se desplaza usando reconocimiento de patrones patron es visuales. La localización robótica así como la evasión de obstáculos del autómata, ha llegado a ser uno de los problemas fundamentales en los robots móviles, y por ello, en (Fox, 1999) se presenta una versión de la localización Markov, en donde la idea principal es mantener una densidad de probabilidad sobre el espacio de todas las localizaciones posibles de un robot en su entorno. El Vehículo Evasor de Obstáculos (VEO de aquí en adelante) obtiene información del medio por el cual transita a través de unos fotodiodos y unas fotorresistencias que actúan como
















La forma en que se encuentran distribuidos los cuatro sensores en el vehículo se puede apreciar en la figura 2, donde cada uno de los sensores establece un bit en el bus de direcciones de la memoria RAM, teniendo por consecuencia 24direcciones definidas en la memoria. El sensor 4 establece el primer bit de izquierda a derecha en el bus de direcciones, es decir el bit menos significativo, el sensor 3 establece el segundo segund o bit, el sensor 2 el tercer bbit, it, y el sensor 1 el cuarto bit, es decir el más significativo s ignificativo. Cabe mencionar que bajo ninguna presencia de obstáculo los sensores arrojan de manera permanente un bit en estado 0 hacia el bus de direcciones de la memoria, pero con la presencia de un obstáculo, estos arrojan un bit en estado 1. La presencia de un obstáculo en el sensor 1 arrojaría como resultado la secuencia de bits 1000 por ejemplo (ver figura 5). En cada una de las direcciones de la memoria RAM determinadas por los sensores, existe una instrucción cargada que establece la dirección de giro del motor, después de haber interactuado con el puente H transistorizado, el cual requiere de 2 bits de control (teniendo por tanto 4 posibles entradas) para realizar 3 acciones básicas que son: giro del motor hacia un sentido, giro hacia el lado contrario y permanencia estática del motor. Estas acciones se ejemplifican con mayor claridad en la tabla 1. Tabla 1. Operación del puente H y direcciones de giro de los motores. Entrada al Puente H (Bits de Control) 00 01

Estado del Motor Permanencia estática Giro hacia delante


















Tabla 2. Programa cargado en la memoria RAM de VEO.

Entradas (Sensores)

Alfabeto

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

a b c d e f g h

∑

Entradas al puente H 0101 0001 0111 0101 0010 0110 0110 0110

Acción evasora

Entradas (Sensores)

Alfabeto

A C D A F G G G

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

i j k l m n ñ o

∑

Entradas al puente H 1000 0110 0110 0110 1010 0110 0110 0110

Las acciones evasoras mencionadas en la tabla 2, se describen en la tabla 3.

Acción evasora E G G G B G G G
















Figura 4. Acciones evasoras del vehículo VEO.

a) Estrategias evasivas

b) Conjunto de trayectorias válidas

Antes de presentar el diagrama de transiciones que caracteriza la dinámica de VEO, es necesario n ecesario
















manera formal su dinámica, lo cual no representaba una tarea tan sencilla, pues VEO tiene bien definidos 7 posibles estados, lo cual cual complica un poco su entendimiento. Se puede notar por inspección directa por parte del lector a través de un análisis al diagrama de transición y a la función de transición presentados en este trabajo en las figuras 7 y 8 respectivamente, que el siguiente estado del vehículo, con siete estados finitos y siete entradas conocidas, se puede estimar de una forma muy sencilla y concisa, lo cual representó uno de los retos primordiales de este trabajo.































Poco de hi stor i a 4.0 A finales del siglo XIX, el matemático David Hilbert se preguntó si era posible encontrar un algoritmo para determinar la verdad o falsedad de cualquier proposición matemática. En particular, se preguntaba si existiría un modo de determinar si cualquier fórmula del cálculo de predicados de primer orden, aplicado a enteros, es verdadera. Dado que el cálculo de predicados de primer orden sobre los enteros es suficientemente potente como para expresar frases como esta gramática es ambigua, si Hilbert hubiera tenido éxito, existirían algoritmos para dichos dicho s problemas, que ahora a hora sabemos sabe mos que no existen esta proposición se conoce con el nombre de problema de Hilbert.


















su descubrimiento de mayor transcendencia, ya que abrió el camino de la ciencia de la Computación, que a su vez nos lleva al computador que en estos momentos estoy utilizando para escribir esto, o al que usted está usando u sando para leerlo. En definitiva, Alan Turing fue uno de los científicos más importantes de la primera mitad del siglo XX y, sin duda, una de las mentes que más influyó en la manera actual que tenemos de ver el mundo e interactuar con él.
















Defi Defi ni ción ción 2: 4.1a

La Máquina de Turing (MT) es el modelo de autómata con máxima capacidad computacional: la unidad de control puede desplazarse a izquierda o derecha y sobre escribir símbolos la cinta de entrada.
















• s ∈ K es el estado inicial

• transición.

, Es la función de
















alguna casilla a la derecha del símbolo no blanco que se encuentre más a la derecha, entonces algunos caracteres prefijos o sufijos de x1 x2 ...xn serán espacios en blanco, siendo i = 1 o i = n, respectivamente.
















•

Moverse hacia la derecha d erecha (): Esta es una MT que, qu e, pase lo que qu e pase, se mueve m ueve hacia la derecha una casilla y se detiene. = ({ s} ,Σ ,Σ ,δ,s) , , donde

•

.

Escribir el símbolo b ∈ Σ (b): Esta es una MT que, pase lo que pase, escribe b en la cinta













































































Unidad III y IV Lenguajes y Automatas i

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