SERIES 4.1 DEFINICION DE SERIES
Una sucesión o una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto (1, 2,3, …) de los enteros positivos. Los números en el contra dominio de la sucesión se llaman elementos de la sucesión. i la sucesión tiene un primer y último número, entonces se dice !ue la sucesión es finita. "n caso contrario se dice !ue es infinita. i el n#esimo elemento elemento de la sucesión est$ est$ dado por f(n) entonces entonces la sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma (n, f (n)) donde n es un entero positivo.
4.1.1SERIES FINITAS
%l contrario de la serie infinita !ue contiene un número infinito de t&rminos, una serie finita es una serie !ue contiene un número finito de t&rminos o en otras pala'ras, contiene predefinido el primer y el último t&rmino. Un ejemplo de serie finita podra ser de la forma
%!u *i+ es el ndice de la suma y toma los valores desde 1 (el lmite inferior) asta n (lm (lmit ite e supe superi rior or). ). % deno denota ta el t&rm t&rmin ino o -ene -enera ral. l. Las Las seri series es fini finita tas s son son ampliamente utiliadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos. "/isten dos tipos posi'les de series finitas Series Aritméticas Una sucesión aritm&tica tiene un número finito de t&rminos !ue difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser 0, , , 14…5. Una serie aritm&tica es simplemente la suma de la sucesión aritm&tica.
una suces sucesión ión -eom& -eom&tr trica ica el cocie cociente nte de 2 t&rmin t&rminos os Series Geométricas Geométricas "n una consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser 0,
, 1…5. Una ve m$s una serie -eom&trica es sencillamente la suma de la sucesión -eom&trica. Una serie puede conver-er en ciertos valores y en caso !ue no converja entonces se dice !ue la serie es diver-ente. "/isten numerosas prue'as disponi'les con el fin de encontrar el car$cter conver-ente o diver-ente de la serie. 6ropiedades de las series finitas 1). La suma o resta de dos series finitas es e!uivalente a la suma de las series por separado.
2). Una constante si es común a todos los t&rminos de la serie puede ser e/cluida de la suma de los t&rminos de la serie.
%dem$s de estas propiedades, e/isten al-unos teoremas importantes !ue pueden resultar muy útiles al tratar con las cuestiones !ue involucran el concepto de serie. Uno de los teoremas m$s importantes de las series dice !ue La suma de n t&rminos de la serie es i-ual a n (n 7 1) 8 2. e puede pro'ar como ea la suma de la serie se representada como . "scri'iendo , una ve a la inversa y una ve de forma re-ular, o'tenemos 9 1 7 2 7 37 …7 n 9 n 7 (n # 1) 7 (n # 2)…. 7 1 %ora, sumando estas dos ecuaciones o'tenemos, 2 9 (n 7 1) 7 (n 7 1) 7 (n 7 1)…. 7 (n 7 1)
:omo contiene n t&rminos, por lo tanto, 2 tam'i&n de'e contener n t&rminos. 6or tanto, 2 9 n (n 7 1) %ora, dividiendo cada lado por 2, o'tenemos 9 n (n 7 1) 8 2, lo cual demuestra el teorema. 4.1.2 SERIES INFINITAS
Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de ;;sumas infinitas;;
∑a
n
=a 1+ a2+ a3 + … + an
n →1
"s una serie infinita (o simplemente una serie) los t&rminos
a1 + a 2+ … + an
son
los t&rminos de la serie. "n al-unas series es conveniente empear con el ndice n94 o al-ún otro entero. :omo convenio de escritura, es común representar una serie infinita como
∑a
n
,=. "n tales casos, el valor inicial para ndice de'e
deducirse del conte/to esta'lecido. 6ara encontrar la suma de una serie infinita considere la si-uiente sucesión de sumas parciales. 19a1 29a17a2 n9a1 7a27a3…………7an i esta sucesión de sumas parciales conver-e se dice !ue la serie conver-e y tiene la suma indicada en la definición si-uiente. >"?<@<:
" "B<" :A@C"BD"@E" F >
>ada una serie infinita
n9a1 7a27a3…………7an
∑a n=1
n
la e#nesima suma parcial est$ dada por
∞
i la sucesión de sumas parciales
{s } n
conver-e a entonces la serie
∑a
n
n= 1
conver-e. "l limite se llama suma de la serie 9a1 7a27a3…………7an7…….
{s }
i
diver-e, entonces la serie diver-e
n
4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA RUE!A DE "A RA#ON Y RUE!A DE "A RAI# ∞
e dice !ue la serie infinita
∑ U
n
n= 1
es a'solutamente conver-ente si la serie
∞
∑|U | n
n= 1
es conver-ente.
Una serie es conver-ente, pero no a'solutamente conver-ente se dice !ue es condicionalmente conver-ente. ∞
•
E"AB"G% 6rue'a de la raón. ea
∑ U
n
n= 1
una serie infinita dada, para
la cual toda U n H 4 entonces
i
i
i
lim n →∞
lim n →∞
lim n →∞
| | U n+ 1 U n
9L I1 la serie dada es a'solutamente conver-ente.
| |
9L 1 o 'ien
| |
91 no se puede concluir nada acerca de la diver-encia.
U n+ 1 U n
˃
lim n →∞
| | U n+ 1 U n
¿∞ ,
la serie dada es diver-ente.
U n+ 1 U n
∞
•
i
i
i
∑ U
E"AB"G% 6rue'a de la ra.
lim n →∞
lim n →∞
lim n →∞
√ |U |
n
n=1
una serie infinita especfica para la
n
n
9LI1 la serie es a'solutamente conver-ente.
√ |U |
9L 1 o 'ien si
√ |U |
91 no podemos o'tener nin-una conclusión.
n
n
˃
lim n →∞
√ |U | n
n
97J, la serie es diver-ente.
n
n
4.$ SERIE DE OTENCIAS
Una serie de la forma
"n la serie !ue los coeficientes, reci'e el nom're de series de potencia de /. analó-icamente una serie de la forma
Se %e&omi&a serie %e 'ote&cias %e ( )* a+.
Una serie de potencias alrededor de /94 es una serie de la forma
Una serie de potencias alrededor de /9c es una serie de la forma
"n el cual el centro es c, y los coeficientes an son los t&rminos de una sucesión. CAMO DE CONVERGENCIA, es el conjunto de los valores de / para los cuales
una serie de potencias es conver-ente. "videntemente (1) es conver-ente para / 9 4 y (2) lo es para / 9 a. cuando e/istan otros valores de / para las cuales las series (1) y (2) sean conver-entes, estas lo ser$n, o 'ien para todos los valores de /, o 'ien para todos los valores de / pertenecientes a un intervalo finito (a'ierto, cerrado o semia'ierto) cuyo punto medio es / 9 4 para (1) y / (2).
i la serie de potencias
la función en
tiene radio de conver-encia
definida por
es continua
y deriva'le.
Becuerda de c$lculo !ue una serie de potencias en ( x – a) es una serie de la forma
e dice !ue es una serie %e 'ote&cias ce&tra%a e& a.
"a serie co&-ere, Si e)iste e/ si0ie&te /mite %e /as s0mas 'arcia/es, I&ter-a/o %e co&-ere&cia
"s el conjunto de números reales x o intervalo para los !ue la serie conver-e. Ra%io %e co&-ere&cia
i R es el radio de conver-encia, la serie de potencias conver-e para K x – aK < R y diver-e para K x – aK > R. i B 9 4 la serie conver-e solo para / 9 a. F si la serie conver-e para todo /, entonces escri'imos B 9 J.
Co&-ere&cia aso/0ta
>entro de su intervalo de conver-encia, una serie de potencias conver-e a'solutamente. "s decir, la si-uiente serie conver-e
r0ea %e co&-ere&cia (criterio %e/ cocie&te+ uponiendo c n ≠ 4 para todo n, y
i L I 1, la serie conver-e a'solutamente si L M 1, la serie diver-e y si L 9 1, el criterio no es concluyente
U&a serie %e 'ote&cias %e3i&e 0&a 30&ci&
cuyo dominio es el intervalo de conver-encia de la serie, donde es continua, deriva'le e inte-ra'le
F0&ci& a&a/tica e& 0& '0&to
Una función f(x) es analtica en un punto a, si se puede representar mediante una serie de potencias en ( x – a) con un radio de conver-encia positivo. 6or ejemplo Aritmética %e series %e 'ote&cias
Las series de potencias se pueden com'inar mediante operaciones de suma, resta, multiplicación y división.