Unidad 4. Problemas Clasicos de La Geometria Analitica

Geometría Analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

2° semestre

Geometría analítica I

Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría

Clave: 05141211/06141211


Índice Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica ................................................................ 3 Presentación de la unidad ............................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ................................................................................................................... 4 Competencia específica .................................................................................................................. 5 4.1. Definiciones alternativas de las secciones cónicas ............................................................. 5 4.1.1. Deducción de las cónicas usando las esferas de Dandelin ..................................... 12 4.1.2. Definición de las cónicas por su excentricidad ........................................................... 12 4.2. Rectas tangentes a cónicas .................................................................................................. 14 4.2.1. Tangentes a la circunferencia ....................................................................................... 15 4.2.2. Tangentes a la parábola ................................................................................................. 20 4.2.3. Tangentes a la elipse ...................................................................................................... 26 4.2.4. Tangentes a la hipérbola ................................................................................................ 28 4.3. Aplicaciones ............................................................................................................................. 31 4.3.1. Propiedades de reflexión de las cónicas ..................................................................... 32 4.3.2. Las cónicas y la astronomía .......................................................................................... 36 4.3.3. Problemas de movimiento .............................................................................................. 43 4.3.4. Otros problemas que usan la geometría analítica ..................................................... 49 Actividad 3. Aplicaciones Aplicaciones de la geometrí geometría a analítica analítica ................................................................ 51 Evidencia de aprendizaje: La aplicación de la geometría analítica ........................................ 51 Cierre de la unidad ......................................................................................................................... 51 Para saber más ............................................................................................................................... 51 Consideraciones específicas de la unidad ....................................

¡Error! Marcador no definido.

Fuentes de consulta ....................................................................................................................... 52

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Presentación de la unidad “Al igual que nuestro sistema de numeración indo -arábico, la geometría analítica y sus retoños son algo aparentemente tan natural, y por ello, tan aceptado de antemano, que hay que hacer un auténtico esfuerzo para recordar que son inventos humanos y no aspectos innatos de nuestra naturaleza conceptual o biológica.” John Allen Paulos 1

La recta y las cónicas no son meramente objetos geométricos, sino que sirven para modelar y explicar diferentes fenómenos. Por ejemplo, todo fenómeno de proporcionalidad directa se modela por medio de una recta, en cambio, los de proporcionalidad inversa se modelan con una hipérbola. Las cónicas, a lo largo de la historia, han permitido describir diferentes fenómenos físicos y sirven de sustento a muchas aplicaciones tecnológicas, seguramente las más conocidas son las antenas parabólicas. Sin embargo, el camino para lograr este conocimiento ha tomado mucho tiempo.

Arquímedes Arquímedes (siglo III a. C.) –quien además de ser un gran matemático fue un escribió diversos tratados tratados sobre sobre las cónicas, cónicas, entre entre ellos, “sobre “sobre sobresaliente ingeniero –, escribió la medida del círculo”, o “sobre la cuadratura de la parábola”, donde determina el área de un segmento parabólico. Existe una leyenda –porque este hecho histórico no ha sido plenamente comprobado – que cuenta que, para defender su ciudad, Siracusa, diseñó un

espejo parabólico capaz de concentrar los rayos solares sobre las naves romanas hasta el punto de incendiarlas. Otros científicos también lograron grandes avances en su época al demostrar la relación de las cónicas con el mundo físico, citemos por ejemplo a Galileo y a Kepler, quienes con sus experimentos y análisis dieron nacimiento a una nueva disciplina: la mecánica, el estudio matemático de cuerpos en movimiento.

1

Paulos, A. (2003)

Más allá de los números . España: Tusquets Editores, S. A. p. 129.

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Galileo Galilei, en el siglo XVI, reconoció y demostró que las trayectorias trayectoria s de los proyectiles son parabólicas. Kepler, en el siglo XVII, resolvió el enigma del movimiento de los planetas al estudiar la órbita descrita por Marte, alrededor del Sol, y establecer que era de forma elíptica con el Sol situado en uno de sus focos. Posteriormente, Isaac Newton enunció la Ley de la gravitación universal, basándose en el descubrimiento de Kepler.

Como puedes darte cuenta, el estudio de las cónicas no se agota con el conocimiento de su ecuación (canónica o general), sino que es mucho más amplio. En esta unidad deseamos brindarte una perspectiva de diferentes aplicaciones de las cónicas, tanto en la propia matemática como en otras disciplinas científicas.

Propósitos de la unidad

Esta unidad te permitirá: Identificar similitudes y diferencias entre las diferentes definiciones de las cónicas, ya sea como secciones de un cono, como lugar geométrico (definición bifocal) o a partir de su excentricidad. Reconocer las propiedades de las cónicas y sus aplicaciones en otras ciencias, como la física o la economía. Utilizar y relacionar las propiedades de los objetos geométricos (punto, recta, cónicas) para la modelación y solución de problemas. Usar lenguajes de distintos tipos: verbal, gráfico, algebraico, simbólico y saber realizar el tránsito de uno a otro. Desarrollar Desarroll ar la capacidad para plantear y resolver problemas y plantear, considerando diversas alternativas, creando un plan de trabajo, interpretando y comprobando tus resultados. 

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Geometría Analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica Competencia específica

Utilizarás la geometría analítica para modelar fenómenos físicos y sociales aplicando las propiedades, ecuaciones o gráficas de los lugares geométricos.

4.1. Definiciones alternativas de las secciones cónicas

En la unidad anterior, se definieron las secciones cónicas como las curvas que se obtienen al cortar, con un plano, un cono doble.


Imagina la siguiente construcción en el espacio: Se tiene una recta fija, a la cual llamaremos Al girar la generatriz alrededor del eje se eje y una recta secante a ella, que forma un cono de revolución. denominaremos generatriz , que forma con el eje un ángulo.

Finalmente observamos la formación de un cono doble con su eje. Las secciones cónicas se forman por la intersección del cono circular recto con un plano, al que llamaremos

.

Dependiendo del ángulo que forman el plano y el eje del cono, se obtendrán las distint as cónicas.

Geometría Analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica Circunferencia

El plano forma un ángulo de 90° con el eje del cono.

Elipse

El ángulo que forma el plano con el eje del cono, es mayor que el ángulo que forma el eje con la generatriz.

Parábola

El ángulo entre el plano y el eje del cono es igual al ángulo q ue forman el eje y la generatriz.


Hipérbola

a) El ángulo que forma el plano con el eje del cono, es menor que el ángulo que forma el eje con la generatriz. b) El plano es paralelo al eje del cono. En ambos casos el plano corta las dos ramas del cono y es lo que hace que la hipérbola se considere una sola curva con dos ramas.

Las secciones cónicas se pueden clasificar de la siguiente manera: La parábola, elipse e hipérbola son secciones cónicas no degeneradas . La circunferencia es también considerada un caso particular de la elipse, en donde los dos focos coinciden en un solo punto, que corresponde al centro de la circunferencia. Las otras secciones que se forman con casos particulares del corte del plano con el cono se denominan cónicas degeneradas .

Geometría Analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica A fin de tener un panorama general sobre las cónicas degeneradas a continuación se presenta brevemente la definición del lugar geométrico para cada caso particular.

Geometría Analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica Las siguientes cónicas degeneradas se obtienen cuando el plano pasa exactamente por el vértice del cono. Nombre Vista en tres dimensiones Corte frontal Punto El ángulo que forma el En este ejemplo de corte que es plano con el eje del perpendicular al eje del cono. cono es mayor que el ángulo que forma el eje con la generatriz.

La intersección que se obtiene es un único punto (el vértice).

Recta El ángulo entre el plano y el eje del cono es igual al ángulo que forman el eje y la generatriz.

Lo que nos indica que el plano es tangente al cono, por lo que contiene a una de las generatrices.

Geometría Analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica Dos rectas

El ángulo que forma el plano con el eje del cono es menor que el ángulo que forma el eje con la generatriz.

El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida que disminuye, hasta alcanzar el máximo, es decir, el ángulo entre las dos rectas será igual a cuando el plano contenga al eje del cono .

Cuando el plano contiene al eje del cono y, por lo tanto, pasa exactamente por el vértice, se forman dos líneas rectas, como las que se muestran a continuación ( .

Conforme el ángulo se aproxima a dos líneas se acercan entre sí

las

Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica 4.1.1. Deducción de las cónicas usando las esferas de Dandelin

Las cónicas no degeneradas se pueden deducir mediante el uso de las esferas de Dandelin , este enfoque nos permite estudiar sus propiedades por métodos puramente geométricos y deducir de esta forma su definición como lugar geométrico, de la manera en la que se han presentado en la unidad anterior.

4.1.2. Definición de las cónicas por su excentricidad La excentricidad como la razón entre la distancia del centro al foco y la distancia del centro al vértice

Una propiedad muy interesante que cumplen la elipse y la hipérbola es que la razón de la distancia del centro al foco y la distancia del centro a la directriz es un valor constante, al que denominaremos excentricidad y se representa como:

Por la definición de la elipse: De allí podemos deducir que:

La excentricidad de la elipse nos indica que tan “alargada” es, por lo que cuando el foco

se acerca más al centro, es decir, el valor de es cada vez más pequeño, por lo tanto el valor de la excentricidad se aproxima cada vez más a cero, y será cada vez más parecida a una circunferencia. De allí que la circunferencia sea la cónica que tiene excentricidad cero, lo que se puede interpretar considerando que los dos focos de la elipse coinciden con el centro de la circunferencia, por lo que . Por otra parte, si la excentricidad está cercana a 1, la elipse es alargada y se asemeja cada vez más a un segmento de recta (por lo que algunos autores consideran que éste es la cónica con excentricidad igual a 1).

Por la definición de la hipérbola: Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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De allí podemos deducir que:

Es decir, La excentricidad de la hipérbola es una característica de la forma de su rectángulo principal y, por lo tanto, de la misma hipérbola. Si la excentricidad está cercana a 1, la hipérbola parece contraerse hacia el eje transversal, pero cuando la excentricidad es grande la hipérbola se asemeja a dos líneas paralelas al eje conjugado. Esto se debe a que cuanto menor sea la excentricidad de la hipérbola, más alargado será su rectángulo principal en la dirección del eje que une los vértices, de igual forma, cuanto mayor sea la excentricidad, más angosto será su rectángulo principal en esa misma dirección. En la siguiente escena podrás explorar el efecto de variar el valor de la excentricidad, de acuerdo a esta definición, y la cónica que se forma. La excentricidad como la razón de la distancia de un punto al foco y la distancia de un punto a la directriz es constante.

Como vimos, cada esfera de Dandelin interseca el cono en una circunferencia, a la cual hemos llamado circunferencia de tangencia. La intersección del plano que contiene a la circunferencia de tangencia y del plano que contiene a la sección cónica será una línea, a la cual llamaremos directriz.

En el caso de la parábola, se mostró que se forma una sola directriz. En la elipse y la hipérbola, se forman dos directrices, las cuales son paralelas entre sí. De manera que también podemos definir las cónicas en términos de un foco y una directriz. Sea una recta fija, llamada directriz, y un punto fijo, llamado foco, que no está sobre esa recta. Se llama cónica al lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de y , tal que la razón de su distancia al foco y a la directriz es siempre igual a una constante , denominada excentricidad .

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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Donde es un número positivo. En otras palabras, las cónicas se pueden caracterizar como el conjunto de los puntos del plano cuya distancia al foco es igual a veces su distancia a la directriz.

La de la cónica, de acuerdo con esta definición, nos permite determinar qué tipo de cónica es: Si

Si

Si

, es una parábola.

, es una elipse.

, es una hipérbola.

4.2. Rectas tangentes a cónicas El problema de determinar la tangente a una curva, dado uno punto que pertenece a dicha curva, interesó a los matemáticos griegos de la antigüedad, quienes, a partir de las


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica observaciones realizadas en los círculos, concibieron a la tangente como la recta que corta a una curva sin tocarla. En los elementos de Euclides, Libro III, se establece 2: Definición 2. Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a la circunferencia y siendo alargada, no corta a la circunferencia. Definición 3. Dos circunferencias son tangentes cuando, tocándose el uno

con el otro, no se cortan. Apolonio, además de estudiar la generación de las cónicas, estudia sus propiedades, entre las que incluye las tangentes. Cabe mencionar que en su libro IV se estudian los puntos de intersección de las cónicas, en donde destaca un método para trazar dos tangentes a una cónica desde un punto. Antes de iniciar con el estudio de las rectas tangentes a las cónicas, explora la siguiente escena.

4.2.1. Tangentes a la circunferencia Recta tangente a una circunferencia

Una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca en un único punto . Esta recta tiene dos propiedades: engreída a) La recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia que va de a . b) La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio de dicha circunferencia. Una recta es normal a una circunferencia si es perpendicular a la recta tangente en el punto . De manera que el radio de la circunferencia que une al centro con el punto de tangencia, pertenece a la recta normal en dicho punto. Recta tangente a un punto que pertenece a una circunferencia.

Para encontrar la recta tangente a un punto que pertenece a la circunferencia, primero se debe encontrar la pendiente del radio . Por la propiedad de perpendicularidad de las rectas, se cumple que , de esta forma es posible encontrar la pendiente de la recta buscada y con la ecuación punto-pendiente se resuelve el problema. Ejemplo 1.

2

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/03/definicioneslibro3.htm


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto . Lo primero es transformar la ecuación de su forma general a la forma canónica

El centro es La pendiente entre el centro

y el punto

es

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en Por lo que la ecuación de la recta tangente en Ecuación canónica de la recta tangente

es

es Ecuación general de la recta tangente

Recta tangente a un punto exterior a una circunferencia Ejemplo 2

Encuentra la recta tangente a la circunferencia punto .

que pasa por el


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Primero vamos a averiguar la ecuación de la familia de rectas (o haz de rectas) que pasa por el punto . Suponemos que la pendiente de esta familia es .

Ecuación canónica de la familia de rectas

Ecuación general de la familia de rectas Los coeficientes de la ecuación general son:

La segunda propiedad de las rectas tangentes nos indica que de esta familia de rectas es necesario encontrar la recta cuya distancia al centro de la circunferencia es igual al radio, es decir De la ecuación de la circunferencia podemos determinar las coordenadas del centro y del radio

Ahora aplicamos la fórmula de distancia del punto a una recta

Nota. Observa que la del lado izquierdo de la igualdad indica el centro de la circunferencia y la del lado derecho de la igualdad indica el término independiente de la ecuación de la recta.

Resolviendo la ecuación para Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Donde:

,

y

Se obtienen dos soluciones para el valor de la pendiente

Las soluciones nos indican que existen dos rectas que son tangentes a la circunferencia y pasan por el punto . A continuación deducimos la ecuación de cada una de las rectas, sustituyendo en las ecuaciones de las rectas encontradas anteriormente: Ecuación canónica de la recta tangente 1

Ecuación general de la recta 1

Ecuación canónica de la recta tangente 2

Ecuación general de la recta 2

A partir de estas dos situaciones, se puede proponer una gran variedad de problemas, variando los datos conocidos, como el que se muestra a continuación. Ejemplo 3


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Encuentra la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta punto y pasa por el punto

en el

Una buena estrategia es representar los datos del problema

De allí podemos deducir que el centro de la circunferencia pertenece a la recta que es perpendicular a la recta dada y que además para por el punto .

La ecuación de la recta es

Ecuación canónica de la recta

Ecuación general de la recta

Las coordenadas del centro, como pertenecen a la recta , satisfacen la ecuación, es decir,

Por otra parte, la distancia de

a

debe ser igual que la distancia de

a

Simplificando la ecuación anterior Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Sustituyendo el valor obtenido de centro

en (1) se puede encontrar el valor de la abscisa del

Una vez conocidas las coordenadas del centro , falta encontrar el valor del radio para poder definir la ecuación de la circunferencia buscada

La ecuación de la circunferencia buscada es O en su forma general

4.2.2. Tangentes a la parábola Teorema Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica La recta tangente a una parábola en un punto es la bisectriz del ángulo formado por la recta que une el foco con el punto y la recta que es perpendicular a la directriz y pasa por el punto (recta .

Observa que la recta tangente a una cónica en un punto es aquella que interseca a la cónica en un solo punto, de manera que todos los demás puntos que pertenecen a esta recta se encuentran en una sola de las regiones determinadas por la cónica.

A continuación deduciremos la ecuación de la recta tangente a la parábola utilizando para ello el cálculo diferencial. Ecuación canónica de la parábola horizontal

Ecuación canónica de la parábola vertical

Sea Sea Sabemos que la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de con respecto a

Derivando implícitamente la ecuación canónica de la parábola con respecto a , obtenemos

Para dejar expresada la ecuación anterior en términos de las variables despejar de la ecuación canónica el valor de

y , podemos

Sustituyendo

De manera que en el punto de tangencia

la pendiente de la recta tangente es

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto

que pertenece a la


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica circunferencia es

Si la parábola tiene su vértice en el origen, la ecuación se simplifica

Ejemplo 1

¿Cuál es el punto de intersección de las rectas tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto? Solución

Lo primero es poder determinar los elementos geométricos de la parábola para poder definir los extremos del lado recto, para ello transformamos la ecuación general de la parábola a su forma canónica

Por la forma de la ecuación podemos establecer que la parábola es horizontal y abre hacia la derecha. A partir de la ecuación también podemos deducir sus elementos geométricos. Vértice Longitud del Extremos del lado recto lado recto

Sustituimos las coordenadas de y ejemplo

para poder encontrar la ecuación mostrada en este

Ecuación de la recta tangente en el punto

Ecuación de la recta tangente en el punto


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica El punto de intersección de las dos rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones

Las soluciones son

Por lo tanto, el punto de intersección es

Ejemplo 2.

En el diseño de carreteras se utiliza el trazo de curvas verticales . “Una curva vertical es un arco de parábola de eje vertical que une dos tangentes del alineamiento vertical; la curva vertical puede ser en columpio o en cresta, la curva vertical en columpio es una curva vertical cuya concavidad queda hacia arriba, y la curva vertical en cresta es aquella cuya concavidad queda hacia abajo.” 3

De manera simplificada los elementos a considerar se muestran a continuación:

Donde: PIV Punto de intersección de las tangentes verticales PCV Punto en donde comienza la curva vertical PTV Punto en donde termina la curva vertical PSV Punto cualquiera sobre la curva vertical 3

http://caminos.construaprende.com/entrada/Tesis1/cap3/cap3_8.php


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica p1 Pendiente de la tangente de entrada,

en m/m p2 Pendiente de la tangente de salida, en m/m L Longitud de la curva vertical, en metros E Externa, en metros F Flecha, en metros Zo Elevación del PCV, en metros

4

Un ingeniero desea construir un puente sobre un río de de ancho para unir dos carreteras. A un lado la carretera tiene una pendiente ascendente del 5%, y al otro lado, una pendiente descendente de 4%. El ingeniero desea que el puente describa una cuerva vertical en cresta y se una suavemente con los extremos de la carretera. Convéncelo de que no es posible construir un puente de esa forma y propón otra curva que pueda permitirle realizar el puente. Nombremos al punto donde comienza la curva vertical y al punto donde termina. Las ecuaciones de las rectas que pasan por esos puntos con las inclinaciones de 5% y 4%, respectivamente, son: Tangente en

Tangente en

La parábola que pasa por los puntos expresión Donde

y

y

se puede definir por medio de la siguiente

son las raíces de la parábola y

es una constante de proporcionalidad.

Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto es

Por lo que la pendiente de la recta tangente de esa parábola es

4

Imagen adaptada de

http://caminos.construaprende.com/entrada/Tesis1/cap3/cap3_8.php


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De aquí podemos ver que para la pendiente de la recta tangente en

Sabemos que la abscisa del punto es conocidos y resolver la ecuación para

es

, por lo que podemos sustituir los valores

Repitiendo el procedimiento para el punto Conocemos que

Observamos de este resultado que se obtienen dos valores distintos para la ecuación de la parábola, por lo que se definen dos parábolas: Parábola 1

Parábola 2

La primera es aquella en la que la recta tangente que pasa por el punto tiene una inclinación de 5%, la segunda en la que la recta tangente que pasa por el punto tiene una inclinación de 4%. Por lo tanto, no se puede trazar una curva vertical que permita unir ambos extremos de carretera con las condiciones propuestas.

Observa que en las áreas marcadas en los rectángulos rojos, las parábolas y su recta tangente en el punto y , respectivamente, tienen un comportamiento similar.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica 4.2.3. Tangentes a la elipse Teorema

La recta tangente a la elipse en un punto dado es la bisectriz del ángulo formado por las rectas que unen los focos con el punto de tangencia, es decir, las rectas y , con la propiedad de que todos los puntos de la recta tangente están fuera de la elipse. Si se trazan las rectas y y sus correspondientes bisectrices, una de ellas cumplirá con las propiedades del Teorema y corresponde a la recta tangente, la otra será la recta normal, la cual es además perpendicular a la recta tangente en el punto .

A continuación se muestran las ecuaciones de la recta tangente a la elipse en el punto Recta tangente a la elipse horizontal

Recta tangente a la elipse vertical

Recta tangente a la elipse horizontal con centro en el origen

Recta tangente a la elipse vertical con centro en el origen

Ejemplo

Desde el punto

se han trazado tangentes a la elipse

Calcula los puntos de tangencia y la distancia une dichos puntos.

del punto

a la cuerda de la elipse que

Solución

En la fórmula de la recta tangente a la elipse, el punto es un punto que pertenece a la recta y las coordenadas son el punto de tangencia. Con estas consideraciones, sabemos que , por lo que las incógnitas son . Los valores de los semiejes, y , podemos deducirlos de la forma de la ecuación canónica. Sustituimos lo que conocemos en la ecuación de la recta tangente a la elipse horizontal.


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¿Qué significa esta recta que hemos encontrado? Realicemos la gráfica para representar lo que hasta ahora conocemos.

Observamos que la ecuación de la recta recién encontrada interseca a la elipse en los puntos y , que son justamente los puntos de tangencia, por lo que necesitamos encontrar las coordenadas de dichos puntos. Para ello, debemos resolver el sistema de ecuaciones conformado por la ecuación de la elipse y la ecuación general de la recta (2)

Con el propósito de facilitar los cálculos, transformamos la ecuación canónica de la elipse a su forma general

Entonces, el sistema a resolver es el siguiente

Despejamos

en la ecuación (3) y sustituimos en (4)


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Desarrollamos y simplificamos

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos dos valores para Sabemos que las abscisas de estos dos puntos pertenecen a la elipse y a la recta que contiene los puntos de tangencia, por lo que para encontrar el valor de sus respectivas ordenadas podríamos sustituir en cualquiera de estas ecuaciones, pero por ser más directo, las sustituiremos en la ecuación (1) de la recta. Primer punto

Segundo punto

Los puntos y son los puntos de tangencia, los que determinan la cuerda buscada, pero además sabemos que esa cuerda pertenece a la recta , definida por la ecuación (2), a la que llamaremos . Por lo tanto, el problema se transforma en encontrar la distancia del punto a la recta, es decir,

En conclusión, la distancia del punto a la cuerda de la elipse que une los puntos de tangencia es unidades.

4.2.4. Tangentes a la hipérbola Teorema

La recta tangente a la hipérbola en un punto dado es la bisectriz del ángulo formado por las rectas que unen los focos con el punto de tangencia, es decir, las rectas y , con la propiedad de que todos los puntos de la recta tangente, con excepción de , están fuera de las ramas de la hipérbola.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Al igual que en la elipse, si se trazan las rectas y y sus correspondientes bisectrices, una de ellas cumplirá con las propiedades del Teorema y corresponde a la recta tangente; la otra será la recta normal, la cual es además perpendicular a la recta tangente en el punto .

A continuación se muestran las ecuaciones de la recta tangente a la hipérbola en el punto

Recta tangente a la hipérbola horizontal

Recta tangente a la hipérbola vertical

Recta tangente a la hipérbola horizontal con centro en el origen

Recta tangente a la hipérbola vertical con centro en el origen

Ejemplo

Encuentra las ecuaciones de las tangentes de la hipérbola Que son paralelas a la recta

.

Solución

Lo primero es conocer la pendiente de la recta dada para poder resolver el problema. Sabemos que

Las rectas buscadas, por la condición de paralelismo, deberán tener una pendiente Ya que conocemos la pendiente, es posible determinar la ecuación de la recta tangente, pero primero debemos saber si la hipérbola es vertical u horizontal, por ello transformamos la ecuación a su forma canónica.


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Por la forma de la ecuación podemos determinar que es una parábola vertical, además y . La ecuación de la recta tangente a la parábola vertical es

Donde el punto de tangencia tiene coordenadas y es cualquier punto perteneciente a la recta. Transformamos la ecuación de la recta tangente a su forma canónica

De aquí obtenemos que la pendiente de las rectas tangentes buscadas es

Como

y

pertenecen a la hipérbola, podemos sustituir este valor en su ecuación

Resolviendo para se obtienen dos soluciones, que son las coordenadas de los puntos de tangencia, a los que nombraremos y . Por lo tanto, y y Sustituimos en la ecuación (1) Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Las coordenadas de los dos puntos de tangencia son Con estos valores podemos fácilmente encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes, sustituyéndolas en la ecuación de la forma punto-pendiente o en la ecuación de la recta tangente a la hipérbola. Ecuación de la recta tangente a la hipérbola en

Ecuación de la recta tangente a la hipérbola en

4.3. Aplicaciones

Si observas a tu alrededor te darás cuenta de que las cónicas están presentes en diferentes objetos de tu vida diaria: 1. La circunferencia (como sección de una esfera, un cilindro o un cono) en las formas de las monedas, en todo tipo de ruedas, en arquitectura para la construcción de bóvedas, arcos, rosetones, etcétera. 2. La parábola en los arcos de puentes y puentes colgantes, además de ser el principio de funcionamiento del radar y las antenas parabólicas. 3. La elipse, en el diseño arquitectónico (arcos elípticos, ventanales). 4. La hipérbola, en la zona de audibilidad o en esculturas cinéticas. Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Respecto a los fenómenos físicos, su valor radica en la capacidad de permitirnos comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico mediante una representación geométrica o modelación, en un plano, y la obtención y análisis de la ecuación que describe el lugar geométrico así representado. Sin embargo, debemos tener presente que estas curvas son idealizaciones de objetos de la realidad material y que, para modelar, en ocasiones se hace necesario tener presente que hay ciertas variables implícitas en el modelo. Además, no sólo es en modelos físicos donde se ve su aplicación, también en la modelación de comportamiento de otros campos, como la economía, en donde las ecuaciones y sus gráficas nos permiten analizar el comportamiento de ciertos problemas, los cuales se transforman en el análisis de una recta, una parábola o incluso una hipérbola. Para mayor información puedes consultar el siguiente link: http://culturaclasicasagunt.wikispaces.com/file/view/Matematicas_Sagunto08.pdf

Actividad 1. Leyes de Kepler

.Revisa el documento de actividades, donde se te dará la indicaciones precisas para la realización de la actividad.

4.3.1. Propiedades de reflexión de las cónicas La reflexión es el cambio en la dirección de un rayo de luz cuando éste no logra traspasar la interfaz entre dos medios. Este fenómeno ocurre con: la luz visible, las ondas sonoras, las microondas, los rayos X, entre otros. 5

Este fenómeno ocurre con: la luz visible, las ondas sonoras, las microondas, los rayos X, entre otros. El principio de reflexión de la luz establece que, si un rayo choca contra una superficie plana, se refleja de tal manera que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

5

http://www.astrored.org/enciclopedia/glosario/reflexion-optica.html Imagen adaptada. p. 118.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica El ángulo de incidencia sobre una superficie es aquel que se forma por el rayo incidente y la normal. El ángulo de reflexión es el que se forma por el rayo reflejado y la normal. El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie pertenecen al mismo plano. Propiedad de reflexión de la parábola

6

Sea la recta tangente a la parábola en un punto , es la recta paralela al eje de la parábola que pasa por y es la recta que une al foco y el punto . Entonces, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. 7

La tangente es la bisectriz del ángulo entre las rectas y .

Lo anterior indica que, cuando una onda se mueve de forma paralela al eje de la parábola y choca con ésta, se refleja hacia el foco y viceversa, si del foco emana una onda, cuando choca con la parábola, ésta se refleja paralelamente al eje. Al girar una parábola sobre uno de sus ejes se forma una superficie llamada paraboloide. Esta superficie tiene muchas aplicaciones, principalmente en óptica y electrónica. Por ejemplo, si se coloca una fuente luminosa en el foco y se tiene una superficie reflejante 6

Ideas adaptadas de http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes/historia.pdf Oteyza, E., et al. (2005). Geometría analítica . México: Pearson Educación. p. 238.

7


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica con forma de paraboloide, la luz puntual se transmite en forma de rayos paralelos al eje del paraboloide Las antenas parabólicas utilizan la propiedad de reflexión de las ondas electromagnéticas para enviar o recibir señales, utilizando el foco como emisor o receptor, respectivamente.

Propiedad de reflexión de la elipse

Sean un punto de una elipse, la recta tangente a la elipse en el punto , sean también y las rectas que unen a y a los focos y de la elipse, respectivamente. Entonces, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión formados por y este par de rectas son iguales. 8 La recta tangente a una elipse en un punto forma ángulos iguales con las rectas que pasan por los focos, es decir, . Por lo tanto, la tangente es la bisectriz del ángulo entre y .

Si por el punto trazamos la recta normal a la recta tangente (es decir, una recta perpendicular a la recta tangente), observamos que también formará ángulos iguales entre la recta normal y las rectas que pasan por los focos. Por lo tanto, se cumple lo establecido en la definición de la propiedad de reflexión. La recta normal, que pasa por el punto , es la bisectriz del ángulo . Al girar la elipse sobre uno de sus ejes se forma una superficie llamada elipsoide. Consideremos que giramos la elipse sobre su eje mayor y que esta superficie es un espejo. Si un rayo de luz parte de uno de los focos, al chocar contra el espejo, debido a la propiedad de la tangente, se reflejará hacia el otro foco. Propiedad de reflexión de la elipse 8

Oteyza, E., et al (2005).

Geometría analítica .

México: Pearson Educación. p. 290.


34


La reflexión de la elipse tiene diversas aplicaciones, por ejemplo, para fabricar hornos en los que se desea concentrar el calor en un punto determinado, de manera que se coloca la fuente de calor en uno de los focos, y en el otro, el objeto que se desea calentar. Otro ámbito de aplicación es en la arquitectura, para el diseño de “galerías de los suspiros”, en donde si la galería es un elipsoide y una fuente emite un sonido (débil) en

uno de los focos, se escuchará claramente en el otro foco, lo que permite que se dé un fenómeno singular: dos personas situadas cada una en los focos de una elipse pueden mantener una conversación, hablando en voz baja y a pesar del ruido exterior.

Propiedad de reflexión de la hipérbola

Sean un punto de una elipse, la recta tangente a la elipse en el punto y y las rectas que unen a y a los focos y de la hipérbola, respectivamente. Entonces, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión formados por y este par de rectas, son iguales. 9 La recta tangente a una hipérbola en un punto forma ángulos iguales con las rectas y que pasan por los focos, es decir, . Por lo tanto, la tangente es la bisectriz del ángulo entre y .

Esta propiedad de reflexión de la hipérbola se utiliza en los espejos o reflectores hiperbólicos, en los cuales los rayos emitidos desde un foco de una hipérbola se reflejan en la rama más alejada de dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos por el otro foco.10 9

Oteyza, E., et al (2005). Geometría analítica . México: Pearson Educación. p. 290. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0122-04/conicas/hiperbola.html

10


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La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos.

Las propiedades de reflexión de las cónicas se utilizan para construir telescopios. A continuación se muestra el diseño de dos telescopios. Telescopio parabólico-hiperbólico , en el cual se combinan dos espejos, uno hiperbólico y otro parabólico, como se muestra en el siguiente diagrama.

Telescopio que incorpora las tres cónicas en su diseño.

11

En ciertos diseños, el Foco tiene la propiedad de ser el foco tanto de la parábola como de una de las ramas de la hipérbola.

4.3.2. Las cónicas y la astronomía

Una de las grandes aportaciones de Kepler son precisamente las leyes que llevan su nombre y que describen las leyes que rigen el movimiento de los planetas. En el estudio de la geometría analítica, cabe resaltar la primera ley: “Los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.” 12 11

http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/imagenes/teles.gif


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Además de los planetas, algunos cometas también siguen trayectorias elípticas, uno de los más conocidos es el cometa Halley. A continuación se incluye una tabla 13 con la excentricidad de algunos cuerpos celestes y la distancia media de los planetas al Sol. La distancia media de un planeta al Sol es el semieje mayor de la órbita elíptica

.

Tabla de cuerpos celestes Cuerpo celeste

Excentricidad

Distancia media (U.A.)

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón (planetoide) Cometa Halley

0.206 0.007 0.027 0.093 0.048 0.056 0.047 0.009 0.25 0.967

0.387 0.723 1 1.52 5.2 9.54 19.18 30.06 39.44 17.858

Nota. La unidad astronómica (U.A.) es la distancia media de la Tierra al Sol. A continuación te presentamos unos ejemplos. Ejemplo 1 Cuando un asteroide se aproxima a la Tierra más que Venus, se denomina “rozador de la Tierra”. 12

http://www.luventicus.org/articulos/03C002/index.html

13

Tabla adaptada de Oteyza, et al.


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El 24 de abril de 1932, el astrónomo alemán Karl Reinmuth descubrió un asteroide rozador al que llamó Apolo. Es un asteroide muy particular porque su perihelio se encuentra a sólo 95 millones de kilómetros del Sol y su afelio está a 353 millones de km del Sol, por lo que su excentricidad es grande. 14 Perihelio: es el punto en el cual un objeto celeste que gira alrededor de una estrella, como el Sol, se encuentra a la mínima distancia de ella. Afelio: es el punto en el cual un objeto celeste que gira alrededor de una estrella, como el Sol, se encuentra a la máxima distancia de ella. Compara ambas órbitas de manera gráfica, para ello toma en cuenta las siguientes sugerencias: Supón que la órbita de Apolo se encuentra en el mismo plano que la órbita de la Tierra. Elige un sistema de referencia con las unidades adecuadas para comparar ambas órbitas. Ubica el Sol en el origen (recuerda que es uno de los focos de la elipse) 





Solución

a) Órbita de la Tierra Por la información mostrada en la tabla de cuerpos celestes, conocemos que la excentricidad de la tierra es y la distancia media es de 1 U.A. De allí es sencillo deducir la distancia del centro a uno de los focos.

Y se puede obtener también el valor de

Con estos datos podemos obtener la ecuación de la órbita de la Tierra y graficarla

Centro Focos Vértices 14

Datos obtenidos de http://www.astromia.com/astronomia/rozadores.htm


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Extremos del semieje menor

b) Órbita de Apolo De los datos del problema, podemos calcular el valor de , para poder comparar las órbitas en la misma gráfica, conviene utilizar también la escala de unidades astronómicas. Copérnico determinó que la distancia media de la Tierra al Sol era de 150 millones de kilómetros, utilizaremos este valor como una aproximación para realizar los siguientes cálculos. Afelio:

Perihelio Para poder comparar las órbitas, consideraremos que el afelio y el perihelio se alinean al igual que los de la órbita de la Tierra, por lo que uno de los vértices tiene coordenadas y el otro vértice tiene coordenadas . Sabemos que el foco también se encuentra en el Sol, por lo que sus coordenadas son De manera que esta parte del problema se transforma en “encontrar la ecuación de una elipse conocidos uno de sus focos y sus vértices”.

Los vértices determinan el diámetro focal, por lo que el punto medio será el centro de la elipse


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Con esta información podemos deducir el valor del centro a los vértices y del foco a uno de los vértices.

Sustituimos estos valores en

La excentricidad de la órbita es:

Con estos datos podemos obtener la ecuación de la órbita de la Tierra y graficarla

Centro Focos Vértices Extremos del semieje menor

En la imagen, las líneas punteadas indican el eje menor de las órbitas respectivas. Como puedes apreciar, en la órbita de la Tierra (color azul) los focos son muy cercanos y, como la excentricidad es cercana a cero, la forma de la órbita tiende a la de una circunferencia.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica En cambio, en la órbita de Apolo (color verde) los focos tienen mayor distancia, al ser la excentricidad , la elipse es alargada. La excentricidad del asteroide Apolo se puede considerar muy grande, en comparación con las de los planetas mencionados en la tabla de cuerpos celestes. Cabe mencionar que la alineación de las órbitas fue una convención para poder compararlas, por ese motivo los ejes mayores están alineados. Ejemplo 2.

Grafica la órbita del cometa Halley, considera al Sol en el origen del sistema de coordenadas y utiliza las unidades astronómicas para expresar tus resultados. Encuentra la distancia del afelio y del perihelio de la órbita del cometa Halley y compáralas.

Por los datos del problema y de la tabla de cuerpos celestes podemos determinar que el Sol corresponde a uno de los focos y tiene coordenadas y la excentricidad es De aquí que el valor de Por la definición de excentricidad Finalmente, el valor de Para poder encontrar la ecuación de la elipse y graficarla, es necesario conocer las coordenadas del centro Como conocemos el valor de , es posible deducir las coordenadas del centro; como la elipse es horizontal, se cumple que Por lo tanto, podemos deducir los valores de y , que son la abscisa y la ordenada del centro, respectivamente.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica El centro se ubica en De allí podemos deducir los vértices de la elipse porque conocemos que y

También podemos deducir las coordenadas del segundo foco y de los extremos del semieje menor

Con estos datos es posible encontrar la ecuación de la elipse y graficarla

Observa que en este caso, la excentricidad es cercana a uno, por lo que el valor de es muy próximo a . Geométricamente esto se aprecia en que los focos tienden a acercarse a los vértices respectivos. La distancia mínima (perihelio) del cometa al Sol es El perihelio se encuentra a 0.589 U. A. La distancia máxima (afelio) del cometa al Sol es El afelio se encuentra a 35.127 U. A. Para responder a la pregunta formulada al inicio, podemos comparar estas distancias por medio de: a) La diferencia entre ellas b) Un cociente Reflexiona sobre el significado de cada uno de estos resultados: ¿Qué información se obtiene al comparar por medio de un cociente? ¿Y utilizando una diferencia? Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Por último, en la siguiente gráfica se muestra la órbita de la Tierra (en color azul) y la del cometa Halley (en color gris), ambas curvas con el Sol en el mismo foco; en ellas se aprecia la influencia de la excentricidad en la forma que toma la cónica.

4.3.3. Problemas de movimiento

En el sistema de navegación LORAN (del inglés L O ng RA nge N avigation , navegación de largo alcance) utiliza la propiedad expresada en la definición de la parábola como principio de funcionamiento. Ejemplo. Un gran salto 15

Para predecir la distancia que un atleta saltará se puede realizar un análisis de movimiento y encontrar la ecuación de la trayectoria que realiza en su salto. Una forma de hacerlo es analizar el centro de masa del cuerpo humano.

Este centro se analiza como si fuera el movimiento puntual sin importar ya lo que el resto del cuerpo haga. Entonces se puede describir la trayectoria por medio de una parábola. 15

Actividad cuyas imágenes fueron tomadas del video Un gran salto. Videos desarrollados por BBC TV : Encyclopaedia Britannica, (1991) [London, England] Ficha disponible en: http://trove.nla.gov.au/work/22415440?c=music&selectedversion=NBD44436466 Video con doblaje al español en http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_seyret&task=videodirectlink&id=145


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Existen diferentes factores que influyen en el salto de un atleta, por ejemplo: la máxima velocidad lograda al llegar a la marca (desde donde inicia el salto), el ángulo óptimo de impulso alcanzado, la altura máxima alcanzada en el salto, etcétera. En este ejemplo analizaremos solamente la trayectoria, conviene por tanto situar el origen de los ejes de referencia en el momento en el que inicia el salto. Analizando el gráfico se puede leer el punto de inicio del salto (considerando el centro de masa), la altura máxima alcanzada y el punto al que llega hasta el final del salto:

Con estos puntos se puede obtener la ecuación de la parábola; como se sabe que es vertical, la ecuación general de la parábola es Ten cuidado de no confundir los valores de los coeficientes con las coordenadas del punto que lleva el mismo nombre: Dividiendo la ecuación de la parábola entre el coeficiente , se tiene: Los cuales podemos renombrar como: Sustituimos las coordenadas de los puntos , ecuaciones:

y , se obtienen las siguientes

Simplificando y reorganizando los términos, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Al resolver el sistema de ecuaciones, los valores de los coeficientes son:


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Por lo tanto, la ecuación general de la parábola es Transformando la ecuación a la forma ordinaria, podemos ver los elementos geométricos y graficarla: Completando el TCP

¿Qué información nos brinda esta ecuación? Por ejemplo, de la lectura de la ecuación (2), podemos determinar que el vértice se encuentra en Por lo tanto, el punto más alto (del centro de masa) durante el salto, fue de 1.861 m. Un valor muy cercano al que obtuvimos de la lectura en la gráfica. Ahora, encontremos las raíces de la ecuación, utilicemos para ello la ecuación (1) para reducir los errores resultantes de las aproximaciones que realizamos en los cálculos. Resolviendo la ecuación

De acuerdo con el modelo, la máxima distancia alcanzada por el atleta es de 7 m. En las ecuaciones (1) y (2), están implícitas diversas variables de física, como las que mencionamos anteriormente. En un estudio más completo, estas variables deberían ser explícitas para poder manipularlas y observar los efectos en la distancia del salto, producto de cada una de ellas. Lo importante es reflexionar sobre el potencial que da la modelación de fenómenos de física para poder resolver problemas en diversos ámbitos. Veamos un último ejemplo en donde reconocerás el papel que juega la tecnología, su potencial y limitaciones. Ejemplo Lanzamiento de martillo. Primož Kozmus es un atleta d e lanzamiento de martillo que en

los Juegos Olímpicos de Pekín 2008 obtuvo el primer lugar con un lanzamiento de 82 metros. Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Los lanzadores de martillo compiten lanzando una bola pesada adosada a un alambre metálico con un asidero en el extremo. La bola, el alambre y el asa, juntos, pesan como mínimo 7.26 kg y como máximo 7.285 kg, en la categoría masculina. La distancia desde el asa hasta la bola forma una unidad de una longitud máxima de 1.2 metros. Además, si el martillo no cae en el terreno de un arco de 90°, el lanzamiento no se considera válido. 16 Supongamos que el siguiente diagrama ilustra el lanzamiento de Primož Kozmus, la

trayectoria que siguió el martillo se muestra en color rojo y el punto al que llegó es .

Consideremos que el atleta está girando sobre sí mismo y ubicado en el origen del sistema de referencias propuesto, como la longitud del alambre es de 1.2 m, entonces la bola del martillo describe una circunferencia que tiene la siguiente ecuación Al soltar al martillo este seguirá una trayectoria que corresponde a la recta tangente al punto en el que fue liberado. Entonces el problema se transforma en encontrar la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto . Primero vamos a averiguar la ecuación de la familia de rectas (o haz de rectas) que pasa por el punto . Suponemos que la pendiente de esta familia es . Ecuación canónica de la familia de rectas

Ecuación general de la familia de rectas

La segunda propiedad de las rectas tangentes nos indica que de esta familia de rectas es necesario encontrar la recta cuya distancia al centro de la circunferencia es igual al radio, es decir Ahora aplicamos la fórmula de distancia del punto a una recta

16

http://elatletismo.galeon.com/enlaces1656466.html


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Resolviendo la ecuación para

A continuación deducimos la ecuación de cada una de las rectas, sustituyendo en las ecuaciones de las rectas encontradas anteriormente Ecuación canónica de la recta tangente 1

Ecuación canónica de la recta tangente 2

Como conocemos la pendiente de la recta tangente, podemos encontrar la ecuación que contiene al radio que pasa por el punto de tangencia, sabemos que su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente. En otras palabras, estamos buscando la recta normal que pasa por los correspondientes puntos de tangencia y que además, por las condiciones del problema, sabemos que pasa por el origen, por lo que sus ecuaciones son: Ecuación canónica de la recta normal 1

Ecuación canónica de la recta normal 2

Por lo tanto, el punto de tangencia es el punto de intersección de la recta normal con la recta tangente, por lo que debemos resolver el sistema de ecuaciones Punto de tangencia 1

Punto de tangencia 2


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Igualamos el sistema de ecuaciones y resolvemos para

Sustituimos en una de las ecuaciones de la recta, en este caso en la recta tangente, para encontrar el valor de la ordenada

Los puntos de tangencia son para la recta tangente 1

para la recta tangente 2

Hasta aquí los procedimientos son correctos; sin embargo, al sustituir en la ecuación de la circunferencia, obtenemos los siguientes resultados:

Esto sucede porque se van acumulando errores al utilizar aproximaciones durante los diferentes cálculos que se van realizando. Es por este motivo que en el diseño se utilizan programas (software) especializados que permiten disminuir los errores.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica A continuación se muestran las coordenadas de los puntos de tangencia y la ecuación de la recta tangente a la circunferencia obtenidas por medio de un programa de computación.

Para dar respuesta a nuestro problema utilizaremos estos resultados. Si el atleta gira en el sentido de las manecillas del reloj, al soltar el martillo, seguirá la trayectoria que indica la recta en color azul, es decir, irá de hacia , por lo que el punto en el que soltó el martillo, aproximando el resultado hasta centímetros, es ¿Qué pasaría si hubiera soltado el martillo en el punto ? Este habría seguido la trayectoria indicada por la recta, pero en dirección contraria, por lo que habría salido del área indicada por el arco de circunferencia y el lanzamiento no sería válido.

Actividad 2. Problemas de movimiento En el sistema de navegación LORAN (del inglés LOng RAnge Navigation, navegación de largo alcance) utiliza la propiedad expresada en la definición de la parábola como principio de funcionamiento.

4.3.4. Otros problemas que usan la geometría analítica

En este último tema veremos ejemplos de diferentes características, tanto del ámbito matemático como dentro del contexto de ciencias afines, como la economía. Ejemplo Más sobre lugares geométricos.

Paso 1. Encuentra el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes externamente a las circunferencias y . Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Paso 2 Realizamos un diagrama para poder analizar la información que conocemos

Paso 3 representa el centro de las circunferencias buscadas, como son tangentes con las circunferencias propuestas, entonces la distancia de a cada uno de los centros es igual a la suma de los radios, es decir, Además, se debe cumplir que De donde

Paso 4 Vemos que la diferencia entre los radios es igual a un valor constante, por lo que, por la definición de la hipérbola, el lugar geométrico buscado es una hipérbola cuyos focos serán los centros de cada una de las circunferencias. El centro de la hipérbola será el punto medio de los centros de las circunferencias dadas.

Paso 5 La distancia entre los centros de las circunferencias es igual a la distancia entre los focos

La distancia del centro a uno de los focos es

Sabemos que


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es

Ahora se presentan una serie de ejemplos de ámbitos en los cuales se utiliza la geometría analítica para resolver problemas. Da clic en cada link para leer los ejemplos correspondientes.

Actividad 3. Aplicaciones de la geometría analítica

Evidencia de aprendizaje: La aplicación de la geometría analítica

Cierre de la unidad

Has terminado el estudio de la asignatura de Geometría analítica I. Se espera que hayas aprendido a apreciar la belleza de las curvas, ya que tienen una gran importancia para el desarrollo tecnológico. Los temas expuestos te serán de gran utilidad en el estudio de las asignaturas posteriores, por ejemplo: Geometría analítica II, Cálculo y Topología. A lo largo del curso has aprendido a realizar demostraciones geométricas -una de las labores más importantes del (la) matemático(a)- y a modelar problemas de diversas áreas que requieren de la aplicación de las cónicas; pero sobre todo a aprender que las matemáticas son parte del arte, de la vida cotidiana y del desarrollo tecnológico.

Para saber más En el siguiente enlace podrás ver un ejemplo de gráficos que se utilizan para el diseño de carreteras. http://www.mtc.gob.pe/portal/transportes/caminos_ferro/manual/DG2001/GRAFICOS/403-01.jpg 



En la actividad introductoria al tema de la hipérbola de laUnidad 3, por medio de la papiroflexia logramos esbozar la curva. Cada una de las rectas que se define al doblar el papel tiene la propiedad de ser una recta tangente a la cónica.


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Geometría analítica I Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica 





"Una antena parabólica puede servir también para la observación a distancia, sin más que colocar un espejo que refleje los rayos procedentes de los objetos a observar y un sistema de lentes que concentren estos rayos sobre la parábola. Este procedimiento se utiliza en la Torre Tavira, en Cádiz, España; con una pantalla de unos tres metros de diámetro se puede ver con nitidez todo lo que ocurre hasta unos 40 kilómetros de distancia". Te invitamos a que visites la siguiente página si deseas conocer más sobre esta torre. http://www.torretavira.com/es/funcionamiento.php Si lo deseas consulta la demostración de las propiedades de reflexión de la parábola y la elipse en las siguientes páginas. En ellas se aplica el cálculo diferencial. http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/ aplicac_parabola.html#prop_opt



http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/ aplicac_elipse.html#prop_opt Realiza la lectura que se presenta en la siguiente página para conocer las Leyes de Kepler.



Fuentes de consulta Bibliográficas : Paulos, A. (2003). Más allá de los números. España: Tusquets Editores, S. A. p. 129. 

Electrónicas : 

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--- (s.f.). Asteroides rozadores de la Tierra y objetos Apolo. Consultado en: http://www.astromia.com/astronomia/rozadores.htm --- (s.f.). Cónicas y cuadráticas . Fundación Polar: Venezuela. Consultado en: http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes/historia.pdf Euclides (2000). Elementos, España: Biblioteca Básica Gredos. Traducción de Puertas Castaño María Luisa. Consultado en: http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm -- (2006). Formas cuadráticas y cónicas . Consultado en: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/egirondo/docencia/0506GeometriaI/capit ulo8.pdf --- (s.f.). Las cónicas, lugares geométricos . Consultado en: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0122-04/conicas/hiperbola.html


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Unidad 4. Problemas Clasicos de La Geometria Analitica

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