Unidad 3

METODOS NUMERICOS

UNIDAD 3 INTERPOLA INTERPOLACION CION

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (x k,yk), obtener una función f que verifique

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos x k se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline  o la interpolación polinómica de Hermite.

3.1 3.1 Interpolació n li neal.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

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El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (x0, y0), (x1, y1),........., (x n, yn) Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x 0 y xn) de esta función. La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres. Interpolación lineal: consiste en evaluar el polinomio obtenido para estimar valores de la función entre los dos puntos disponibles.

Para  interpolar números   por ejemplo el valor de la función f(x) cuando y = 6, necesitaremos una coordenada por encima y otra por debajo de “y”. Por ejemplo al ver la imagen utilizamos la coordenada (8,8) y la coordenada (4,4), para interpolar el valor de x cuando y vale 6 primero: Nos paramos en la gráfica cuando y=6, trazamos desde ese punto cuando y=6, una línea totalmente vertical que corte el eje x, el valor de x en el punto que se corto el eje x, es el resultado de la interpolación gráfica. Gráfico Interpolación Lineal

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En la gráfica se observa que la interpolación lineal da como resultado una recta que se ajusta a dos puntos dados, donde f(a) y f(b) son valores conocidos de f(x) en x=a y x=b, estos puntos se aproximan a los resultados de la primera derivada de la función. Características: Es la base para varios modelos numéricos fundamentales. Al integrar la función, se deduce el modelo de integración llamado regla del trapecio. Por la interpolación lineal se obtiene una recta que se ajusta a dos datos dados; es decir, mediante la ecuación se puede conocer todos los valores de f(x) que correspondan a los valores de x. Entre más pequeño es el intervalo entre los puntos, más exacto será la aproximación. •

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Ventajas: la interpolación lineal es rápida y fácil, ya que solamente se hace el cálculo de trayectoria de dos puntos. A pesar que se puede producir errores de cálculo entre intervalos, existe la función de error que puede aproximar “x” a “x n”, que representaría el punto medio entre los dos puntos. Entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación. •

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Desventajas: La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa. Si el comportamiento no corresponde al de una línea recta los valores calculados no son correctos. Por interconectar dos puntos en línea recta de un polinomio los resultados no se ajustan con exactitud para calcular el punto medio entre los mismo, por ello es más efectivo el método cuadrático. • •

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En ocasiones te encontrarás que tienes una serie de datos tabulados, en los que se presenta la relación entre dos variables x, y y  para las cuales necesitas conocer el valor de y, para un determinado valor de x  que precisamente no aparece en la tabla en cuestión, pero que si está dentro del rango de valores de referencia:

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De esta forma, y con relación a la figura anterior, si deseamos conocer el valor de y, cuando x es igual a 2.5, tendríamos que seleccionar dos pares de datos desde la tabla, entre los cuales se encuentre el valor de 2.5 referido. En este caso, los datos disponibles nos indican que tenemos que seleccionar los pares de valores (x0=2, y0=3) y (x1=4, y1=6). Con esto, podremos aplicar la fórmula de Interpolación Lineal: yx – y0 = x – x0 y1 – y0 = x1 – x0 Y obtener el valor cuando x = 2.5:

En realidad la fórmula de Interpolación Lineal es la ecuación de una recta y, por lo tanto, estaremos suponiendo durante su aplicación que la relación entre x y y es lineal. También se puede obtener la formula, utilizando triángulos semejantes,

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que es una fórmula de interpolación lineal . La notación f 1(x) designa que éste es un polinomio de interpolación de primer grado. Además de representar la pendiente de la línea que une los puntos, el término [f(x 1) – f(x0)] / (x1 – x 0) es una aproximación en diferencia dividida finita a la primer derivada.

3.2 Formul a de int erpol ación de Lagrang e.

Vale decir que existen otros métodos de Interpolación, como la cuadrática o la cúbica, pero la más utilizada es la Interpolación Lineal, siempre y cuando los valores utilizados de x 0, y x 1 estén lo suficientemente cercanos entre sí como para aceptar el comportamiento lineal referido. Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial. Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:

Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se 5

ajusta a los n+1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.  Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n+1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio, entre ellos están los polinomios de Newton y de Lagrange. La interpolación de polinomios de Lagrange es simplemente una formulación del polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias divididas. Características: Generalmente los puntos más cercanos al punto desconocido, ejercen más influencia que los más lejanos. Se trata de utilizar igual número de puntos a un lado y al otro del punto desconocido. La distancia entre los diferentes puntos (x) (nodos) no necesariamente debe ser la misma. •

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Ventajas: Es el método que permite resolver interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Una ventaja de la interpolación de Lagrange es que el método no necesita espaciados uniformemente en los valores de x.   El método resulta óptimo para abordar diferentes problemas de interpolación. •

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Desventajas: No siempre funciona correctamente con una gran cantidad de puntos. A medida que crece el grado del polinomio interpolador, se percibe una creciente variación entre puntos. La cantidad de cálculos necesaria para una interpolación en grande. La evaluación del error no es fácil. •

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Se puede expresar de manera concisa como:

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La ecuación se puede derivar de manera directa a partir del polinomio de Newton. Sin embargo, el racional resaltado de la formulación de Lagrange Li(x) se puede captar de manera directa al darse cuenta que cada término será 1 en x=xi y 0 en todos los otros puntos de la muestra. De esa manera, cada producto Li(x)f(xi) toma el valor de f(xi) en el punto de muestra xi. En consecuencia, la sumatoria de todos los productos designados para la ecuación es el único polinomio de n-ésimo orden que pasa de manera exacta a través de todos los n+1 puntos. Ejercicio: Use una interpolación del polinomio de Lagrange de primer y segundo orden para evaluar ln(2). x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x1) = 1.386294 x2 = 6 f(x2) = 1.701760 Solución. El polinomio de primer orden se puede usar para obtener la estimación en x=2.

El valor de ln(2) = 0.6931472  Al incrementar el grado del polinomio de interpolación de Lagrange, el valor calculado se va aproximando al valor verdadero. 7

Ejercicio: Construir el polinomio interpolador por el método de Lagrange, que pase por los puntos: {(1,1.5), (2, 3.9), (3, 9), (4, 15)}. Solución: Sustituyendo se obtiene finalmente el polinomio interpolador: L0(x)

L1(x)

L2(x)

L3(x)

f 3(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x) f 3(x) = 1.5 L0(x) + 3.9 L 1(x) +9 L2(x) + 15 L3(x) f 3(x) = -0.3 x3 + 3.15 x 2 – 4.95 x + 3.6

En resumen, para casos donde el orden del polinomio es desconocido, el método de Newton tiene ventajas en el conocimiento que proporciona el respecto al comportamiento de las fórmulas de diferente orden. Cuando se ejecuta solo una interpolación, las formulaciones de Lagrange y Newton requieren un notable esfuerzo computacional. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. Debido a que no requiere de cálculos y almacenaje de diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa a menudo cuando el orden del polinomio es conoce a priori.

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3.3 Métodos de interpolación hacia adelante y hacia atrás de Newton para punto s equidistantes.

Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada: a) Hacia adelante, b) hacia atrás y c) centrales.

a) Formula de Newton o formula hacia adelante de Newton-Gregory.. Diferencias progresivas: Son llamadas diferencias hacia delante y que para toda i=0,1,2,3...n y k=0,1,2,3...n, se definen como : primeras diferencias :  ∆1f i = f i+1 - f i segundas diferencias :  ∆2f i =  ∆1f i+1 –  ∆1f i terceras diferencias :  ∆3f i =  ∆2f i+1 -  ∆2f i k- écimas diferencias  ∆kf i =  ∆k-1f i+1 -  ∆k-1f i • • • •

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donde  ∆ es el operador de diferencias progresivas Consideramos la función tabular con espaciamiento “h” constante x f(x) x0 f 0 x1=x0+h x1-x0=h f 1 x2=x0+2h x2-x0=2h f 2 … … … xk=x0+kh xk-x0=kh f k xn=x0+nh xn-x0=nh f n

Como los denominadores de las diferencias dividas siempre van a ser kh, k=1,2,…,n, podemos definir las diferencias dividas:  ∆0f 0 = f 0 = f(x0)  ∆1f 0 = f 1 - f 0  ∆nf 0 =  ∆n-1f i+1 –  ∆n-1f i Pn(x0+ht)= ∆0f 0+ ∆1f 0 t +  ∆2f 0 t(t-1)/2! +  ∆3f 0 t(t-1)(t-2)/3!…+  ∆nf 0 t(t-1)(t-2)…(t-n+1)/n! Donde t = (x – x0) / h

ó

x = x0 + h t

ó

h = (x – x0) / t

Se puede escribir también:

 A la fórmula anterior se le llama fórmula de diferencias divididas progresivas de Newton y generalmente se utiliza cuando el valor x que se quiere aproximar se encuentra más cerca de x0 que de xn. Ejercicio: En base a la función tabular que se muestra: x f(x) 0 -5 1 1 2 9 3 25 4 55 5 105 10

1) preparar la tabla de diferencias divididas progresivas de Newton: 2) hallar la función, teniendo como condiciones iniciales: x0 =1, f(x0)=1 Solución: 1) tabla de diferencias divididas progresivas: x

f(x) 1ras diferencias

0 1 2 3 4 5

-5 1 9 25 55 105

 ∆1f 0=f 1-f 0=1-(-5) = 6  ∆1f 1=f 2-f 1=9-1 = 8  ∆1f 2=f 3-f 2=25-9 = 16  ∆1f 3=f 4-f 3=55-25 = 30  ∆1f 4=f 5-f 4=105-55 = 50

2das diferencias

3ras diferencias

∆2f 0= ∆1f 1- ∆1f 0=8-6 = 2 ∆2f 1= ∆1f 2- ∆1f 1=16-8 = 8 ∆2f 2= ∆1f 3- ∆1f 2=30-16 = 14 ∆2f 3= ∆1f 4- ∆1f 3=50-30 = 20

Queda entonces la tabla de resultados: x f(x)  ∆1f 0 -5 1 1 6 2 9 8 3 25 16 4 55 30 5 105 50 3 Por ser  ∆ f constante, corresponde a un polinomio exacto.

 ∆2f

∆3f 0= ∆2f 1- ∆2f 0=8-2 ∆3f 1= ∆2f 2- ∆2f 1=14-8 ∆3f 2= ∆2f3- ∆2f 2=20-14

=6 =6 =6

 ∆3f

2 8 6 14 6 20 6 polinomio de tercer grado y es un

2) hallar la función explicita, teniendo como condiciones iniciales: x 0  =1, f 0=1, la tabla de resultado queda como: x f(x)  ∆1f  ∆2f  ∆3f 1 1 2 9 8 3 25 16 8 4 55 30 14 6 5 105 50 20 6 Reemplazando en la ecuación general : Pn(x0+ht)= ∆0f 0+ ∆1f 0 t +  ∆2f 0 t(t-1)/2! +  ∆3f 0 t(t-1)(t-2)/3! dado que  ∆0f 0 = f 0 = f(x0),  ∆1f 0=8,  ∆2f 0=8,  ∆3f 0=6: Pn(x0+h t) = 1+8t+8t(t-1)/2!+6t(t-1)(t-2)/3! Pn(x0+h t) = 1+8t+4t 2 –4t+t3 –3t2+2t = t3+t2+6t+1 = t(t2+t+6)+1

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x=x0+ht,

h = x1-x0 = 2-1 = 1, por tanto t=(x–x0)/h = (x-1)/1 = x-1

Pn(x) = (x-1)((x-1)2+(x-1)+6)+1 = (x-1)(x2-2x+1+x-1+6)+1= (x-1)(x2-x+6)+1 Pn(x) = (x3-x2+6x-x2+x-6)+1 Pn (x) = x 3-2x 2+7x-5

b) Newton hacia atrás

Hacemos algo parecido al caso anterior, pero ahora resulta que: 0 f i = f i 1f  = f  – f  i i i-1 nf  = n-1f  – n-1f  i i i-1 El polinomio queda: Pn(xn+ht)= 0f n+ 1f n t+ 2f nt(t+1)/2!+ 3f nt(t+1)(t+2)+…+ nf nt(t+1)(t+2)…(t+n-1)/n! Donde t = (x – xn) / h

ó

x = xn + h t

ó

h = (x – xn) / t

Se puede escribir también: Esta fórmula se conoce como fórmula de diferencias divididas regresivas de Newton y se utiliza cuando el valor x que se quiere aproximar se encuentra más cerca de xn  que de x0. Donde es el operador de diferencias regresivas, nótese que el caso hacia adelante usa fuertemente los datos de la primera fila de la tabla, y aquí del último. Esto puede convenir para reordenarlos si se sabe dónde están los menos confiables. En la tabla de diferencias divididas, los coeficientes para la fórmula progresiva de Newton se encuentran en la diagonal (superior), y para la fórmula regresiva se encuentra en la diagonal (inferior).

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Relación entre diferencias hacia adelante y hacia atrás: nf  =  ∆nf   j  j-1

Ejercicio: Aproximar ƒ(1.2) y ƒ(2.4) con los siguientes datos de la tabla y las fórmulas apropiadas de diferencias divididas xi 1 1.5 2 2.5 f(xi) 1 0.8 0.65 0.55 Solución: Para aproximar ƒ(1.2) se usa la fórmula de diferencias divididas progresivas, ya que x=1.2 está más cerca de x0=1 que de xn=2.5. h=x1-x0=1.5-1=0.5 x=x0+ht 1.2 = 1+0.5 t luego t = 0.4 Se construye la tabla de diferencias divididas progresivas: x

f(x) 1ras diferencias

1 1 1.5 0.8 2 0.65 2.5 0.55

2das diferencias

 ∆1f 0=f 1-f 0=0.8-1=-0.2  ∆1f 1=f 2-f 1=0.65-0.8=-0.15  ∆1f 2=f 3-f 2=0.55-0.65=-0.1

∆2f 0= ∆1f 1- ∆1f 0=-0.15-(-0.2)=0.05 ∆2f 1= ∆1f 2- ∆1f 1=-0.1-(-0.15)=0.05

Pn(x0+ht) =  ∆0f 0 +  ∆1f 0 t +  ∆2f 0 t (t-1) / 2! Pn(1.2) = 1+(-0.2)(0.4)+0.05(0.4)(0.4-1)/2! = 0.914 Para aproximar ƒ(2.4) se usa la fórmula de diferencias divididas regresivas ya que x=2.4 está más cerca de xn = x3 = 2.5 que de x 0 = 1 h=xn - xn-1=2.5 - 2=0.5 x=xn+ht 2.4 = 2.5 +0.5 t luego t = - 0.2. Se construye la tabla de diferencias divididas regresivas: x

f(x) 1ras diferencias

1 1 1.5 0.8 2 0.65 2.5 0.55

2das diferencias

 ∆1f 1=f 1-f 0=0.8-1=-0.2  ∆1f 2=f 2-f 1=0.65-0.8=-0.15  ∆1f 3=f 3-f 2=0.55-0.65=-0.1

∆2f 2= ∆1f 2- ∆1f 1=-0.15-(-0.2)=0.05 ∆2f 3= ∆1f 3- ∆1f 2=-0.1-(-0.15)=0.05

Pn(xn+h t) = 0f n+ 1f n t+ 2f n t(t+1)/2! Pn(xn+h t) = 0.55+(-0.1)(-0.2)+0.05(-0.2)(-0.2+1)/2! = 0.55+0.02-.004 = 0.566

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3.4 Aplicaciones de la int erpolación.

Ejercicio: Por un recibo de gas en el que se han consumido 10 m 3 se han pagado $50 y por 16 m 3 se han pagado $71 ¿Cuánto habrá que pagar por un consumo de $15? Solución Puntos uno (10, 50) y dos (16, 71), la fórmula de interpolación lineal queda: y = y1 + (y2-y1)(x-x1)/(x2-x1) y = 50 + (71-50)*(15-10)/(16-10) = 50 + 21*5/6 = $67.50

Ejercicio: Apliquemos esta para resolver un problema químico clásico. Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente: Temperatura Ti °C Densidad ρi kg/m3 Observación i T f(T) 0 94 929 1 205 902 2 371 860 Escribir el polinomio de Lagrange que se ajusta a los datos experimentales y determinar la densidad para T=251°C. Solución:

f(T)= Graficando esta expresión. 14

Como se ve, el ajuste del polinomio a los datos experimentales corresponde a una parábola y se puede determinar ahora un valor de densidad para una temperatura no reportada. b) Calcúlese ahora el valor de la densidad para T=251°C sustituyendo en la expresión, se tiene: f(251)= f(251) = 890.5 kg /cm3 Esta aproximación tiene un error de 5.53%.

3.5 Uso de herramientas computacionales.

Interpolación lineal.

Conocemos los datos de ( x1, y1) y de (x2, y2) y queremos conocer el valor desconocido de y cuando se proporciona la abscisa x1
Existen otros procedimiento de interpolación: nearest, cubic, spline, etc. Creamos el script interpolacion, y seleccionamos el procedimiento por defecto 'linear'

x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44]; y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52]; xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0]; yy=interp1(x,y,xx,'linear'); disp([xx' yy']) Corremos el script interpolacion en la ventana de comandos >> interpolacion 1.0000 2.1500 2.0000 0.2491 3.5000 7.6073 5.5000 6.8489 8.0000 3.1674 Completamos el script interpolacion  para incluir la representación gráfica de los datos (color rojo) y los interpolados linealmente (color verde) x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44]; y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52]; xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0]; yy=interp1(x,y,xx,'linear'); disp([xx' yy']) hold on plot(x,y,'-o','markersize',4,'markerfacecolor','r') plot(xx,yy,'o','markersize',5,'markerfacecolor','g') xlabel('x') ylabel('y') title('Interpolación lineal'); hold off

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Con la interpolación lineal hay que ser cuidadoso. En la figura de la izquierda tenemos la aproximación lineal (en rojo) de una función (en negro) que es muy pobre ya que los puntos están muy separados. Añadiendo un punto intermedio, mejora la aproximación lineal.

Splines Es otro modo de interpolación que produce muy buenos resultados y cuya explicación se puede encontrar en textos de cálculo numérico. x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44]; y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52]; xx=linspace(x(1),x(end),80); yy=interp1(x,y,xx,'spline'); plot(xx,yy,x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r') xlabel('x') ylabel('y') title('Interpolación spline');

Como podemos apreciar, esta gráfica difiere significativamente, de la primera. 17

Microsoft Excel no cuenta con una Función específica para la realización de la Interpolación Lineal y, por lo tanto, lo que haremos será plantear, a través de otras funciones disponibles en este programa, la hoja de cálculo que te permita obtener el valor de y, para determinado valor de x, sin necesidad de estar “buscando” los valores de x0, y0, x1 y y1. ¿Cómo implementar la interpolación Lineal en una Hoja de Microsoft Excel? Si bien el cálculo sin la ayuda de funciones es sencillo utilizando bien sea una calculadora o al mismo Excel, la ventaja de la implementación que vamos a realizar es que no será necesario ubicar visualmente (o manualmente), entre los datos (que en alguna ocasión podrán ser unos cuantos), los valores de referencia para la aplicación de la fórmula de Interpolación Lineal. De esta forma debemos realizar las siguientes implementaciones: 1.- Utilizar la Función COINCIDIR de Excel para Determinar la Posición de los Valores x0 y y0 en la Fórmula de Interpolación Lineal. La función COINCIDIR busca un elemento especificado en un rango de celdas y, a continuación, devuelve la posición relativa de ese elemento en el rango. De forma opcional, podremos indicar el tipo de coincidencia deseado. En el caso de la Interpolación Lineal, colocaremos 1 (valor por defecto) para poder obtener el valor inmediatamente inferior o igual al valor buscado.

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2.- Utilizar la función ÍNDICE de Microsoft Excel para determinar los valores de x 0, y0, x1 y y1 en la fórmula de Interpolación Lineal. Con la función INDICE podremos obtener el valor de la variable que ocupa determinada posición dentro de un rango especificado. De esta forma, y como veremos en la siguiente figura, logramos obtener los valores de referencia para la fórmula de Interpolación Lineal:

3.- Implementar la Fórmula de Interpolación Lineal en la Hoja de Cálculo. Conocidos los valores de nuestros datos, lo que queda es realizar la Interpolación Lineal en la Hoja de Cálculo:

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Realizar el ejercicio anterior realizando lo siguiente: 1) Graficar usando tipo dispersión 2) Modificar el formato de líneas de tendencias, anotando paloma a los recuadros, presentación ecuación del gráfico y presentar el valor de R 2 (dispersión debe ser mayor a 0.95). 3) Escribir la ecuación del punto 2) en una celda para hacer la proyección (extrapolación) o interpolación, dado un valor de x.

 A continuación se presenta un programa en MATLAB para la interpolación de Lagrange. clear; clc; fprintf('Interpolacion con el Metodo del Polinomio de Lagrange\n\n'); n=input('grado del polinolio: '); for i=1:n+1 x(1,i)=input('dame los valores de xi:'); end for i=1:n+1 xi(1,i)=input('dame los valores de f(xi):'); end xint=input('Numero para el que desea interpolar x: '); fxint=0; i=1; while i<=n+1 L=1; J=0; while J<=n if i~=J+1 L=L*(xint-x(1,J+1))/(x(1,i)-x(1,J+1)); End J=J+1; End fxint=fxint+L*xi(1,i); i=i+1; end fprintf('\nresultado interpolado xi: %d',fxint'); plot(x,xi) grid xlabel('x');ylabel('y') 20