Unidad 2c

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

ELEMENTOS DE DIBUJO TÉCNICO

Autor: Arq. JENNYFER BARRERA PRIETO

BOGOTÁ 2012 1


ÍNDICE DE CONTENIDO ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO............................ 9 UNIDAD 2. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA ................................................................... 12 CAPÍTULO 4. PROYECTIVA ................................................................................. 12 Lección 16. Axonometría ............................................................................... 12 a) Axonometría Caballera ........................................................................ 13 b) Axonometría Militar ............................................................................... 13 c) Axonometría Isométrica........................................................................ 14 Lección 17. Sistemas de Representación ISO A – ISO E .................................... 15 a) ISO A ........................................................................................................ 15 b) ISO E ......................................................................................................... 18 Lección 18. Clasificación de Rectas y Planos en el espacio. ......................... 19 a) Clasificación de Rectas: ....................................................................... 24 b) Clasificación de Planos: ....................................................................... 33 Lección 19. Interpretación de Sólidos ................................................................. 39 Lección 20. Interpretación de Vistas ................................................................... 47 CAPÍTULO 5. PROYECTIVA II .............................................................................. 51 Lección 21. Acotado y Escalas ..................................................................... 51 Lección 22. Secciones .................................................................................... 60 Lección 23. Proyecciones Auxiliares ............................................................. 63 Lección 24. Búsqueda del Proyecto ............................................................ 73 Lección 25. Aplicación en Proyecto ............................................................ 73 CAPÍTULO 6. DESCRIPTIVA .................................................................................. 75 Lección 26. Visibilidad .................................................................................... 75 Lección 27. Relaciones espaciales............................................................... 79 Lección 28. Nociones Topográficas - Líneas ............................................... 90 Lección 29. Nociones Topográficas - Planos .............................................. 96 Lección 30. Aplicación en Proyecto .......................................................... 100 CAPÍTULO 7. INTERSECCIONES ......................................................................... 100 Lección 31. Intersección Línea – Plano, Método del Filo y Plano Cortante .......................................................................................................... 101 Lección 32. Intersección Plano – Plano, Método del Filo y Plano Cortante .......................................................................................................... 106 Lección 33. Intersección Plano - Sólido, Método del Filo y Plano Cortante .......................................................................................................... 112 Lección 34. Intersección Sólido - Sólido, Método del Filo ....................... 125 Lección 35. Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante . 133 CAPÍTULO 8. DESARROLLOS ............................................................................. 141 Lección 36. Método del Giro ....................................................................... 141 Lección 37. Desarrollo por Líneas Paralelas en Poliedros Regulares ..... 147 Lección 38. Desarrollo por Líneas Paralelas en Poliedros Irregulares .... 149 2


Lección 39. Desarrollo por Líneas Radiales ............................................... 153 Lección 40. Desarrollo por Triangulación .................................................. 158 Bibliografía ............................................................................................................. 162

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ÍNDICE DE CUADROS Tabla 1. Clasificación de rectas representadas en el Sistema ISO A ..................................................... 25 Tabla 2. Identificación de Rectas en sólido ..................................................................................................... 32 Tabla 3. Resumen de Posición de rectas y sus características en proyecciones principales ...... 33 Tabla 4. Posición de los planos en el espacio, Sistema ISO A ................................................................... 34 Tabla 5. Identificación de Planos ......................................................................................................................... 38 Tabla 6. Resumen de Posición de planos y sus características en proyecciones principales..... 39 Tabla 7. Escalas y su relación matemática ...................................................................................................... 60

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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Axonometría Caballera ......................................................................................................................... 13 Figura 2. Axonometría Militar .............................................................................................................................. 14 Figura 3. Axonometría Isométrica ...................................................................................................................... 14 Figura 4. Abstracción de vistas en el Sistema ISO A .................................................................................... 16 Figura 5. Símbolo ISO A ........................................................................................................................................... 18 Figura 6. Símbolo ISO E ........................................................................................................................................... 19 Figura 7. Proyecciones Principales en ISO A, dentro del espacio Geométrico ................................. 20 Figura 8. Representación en ISO A de línea de Verdadera Longitud .................................................... 22 Figura 9. Representación Sistema ISO A de planos...................................................................................... 23 Figura 10. Representación Sistema ISO A de planos con vista Lateral ................................................ 23 Figura 11. Verdadera Magnitud de una Plano ............................................................................................... 24 Figura 12. Línea Vertical en Espacio Geométrico ......................................................................................... 26 Figura 13. Línea Horizontal paralela a línea de Referencia en Espacio Geométrico...................... 28 Figura 14. Línea Horizontal Declinada en espacio Geométrico .............................................................. 28 Figura 15. Línea Horizontal de punta en Espacio Geométrico ................................................................ 30 Figura 16. Línea Inclinada Frontal en Espacio Geométrico ...................................................................... 30 Figura 17. Línea Inclinada de Perfil en Espacio Geométrico.................................................................... 31 Figura 18. Línea Inclinada Cualesquiera en Espacio Geométrico .......................................................... 32 Figura 19. Isométrico contenido por las 7 posiciones de las rectas. .................................................... 32 Figura 20. Plano Vertical Frontal en el espacio Geométrico .................................................................... 35 Figura 21. Plano Vertical Vertical ó Declinado en el espacio Geométrico .......................................... 35 Figura 22. Plano Vertical Lateral ó de Filo en el espacio Geométrico .................................................. 36 Figura 23. Plano Horizontal en el espacio Geométrico .............................................................................. 36 Figura 24. Plano Inclinado Frontal ó Paralelo a Línea de Referencia en el espacio Geométrico ........................................................................................................................................................................................... 37 Figura 25. Plano Inclinado cualesquiera en el espacio Geométrico ...................................................... 37 Figura 26. Plano Inclinado de perfil ó de Filo en el espacio Geométrico ............................................ 38 Figura 27. Isométrico contenido con los 7 planos........................................................................................ 38 Figura 28. Sólido......................................................................................................................................................... 40 Figura 29. Sólido dentro de prisma de malla transparente...................................................................... 40 Figura 30. Sólido con planos identificados por colores ............................................................................. 41 Figura 31. Malla para vistas principales ISO A .............................................................................................. 42 Figura 32. Vistas principales de sólido ISO A ................................................................................................. 42 Figura 33. Vistas principales de sólido con planos identificados por colores .................................. 43 Figura 34. Vistas y Sólidos con puntos .............................................................................................................. 44 Figura 35. Proceso 1: inclusión del primer elemento ................................................................................. 45 Figura 36. Proceso 2 y 3: Adición de dos elementos ................................................................................... 45 Figura 37. Proceso 4 y 5: Adición de un elemento y extracción de uno existente .......................... 46 Figura 38. Proceso 1 y 2: posición del primer y segundo volumen ...................................................... 47

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Figura 39. Proceso 3 y 4: Adición del tercer y cuarto volumen .............................................................. 48 Figura 40. Proceso 5: Adición del quinto elemento ..................................................................................... 48 Figura 41. Vistas principales en ISO A y sólido.............................................................................................. 49 Figura 42. Elementos de la Cota........................................................................................................................... 52 Figura 43. Dimensionamiento en cadena......................................................................................................... 52 Figura 44. Dimensionamiento en paralelo desde una característica común .................................... 53 Figura 45. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota perpendicular ........................................................................................................................................................................................... 54 Figura 46. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota cerca a cabezas de flecha........................................................................................................................................................ 54 Figura 47. Dimensionamiento por Coordenadas con tabla de Tabulación ........................................ 55 Figura 48. Dimensionamiento por Coordenadas con puntos arbitrarios ........................................... 56 Figura 49. Dimensionamiento Combinado...................................................................................................... 56 Figura 50. Acotado de elementos equidistantes ........................................................................................... 57 Figura 51. Acotado de elementos con las mismas características ......................................................... 57 Figura 52. Elemento extraído de un plano general a escala 1:25 y detalles a escala 1:12.5....... 58 Figura 53. Relación proporcional de la Escala ............................................................................................... 59 Figura 54. Plano de corte y sección obtenida ................................................................................................. 60 Figura 55. Sección en planta y Alzado ............................................................................................................... 61 Figura 56. Corte de Terreno .................................................................................................................................. 62 Figura 57. Isométrico y coordenadas en vistas ............................................................................................. 63 Figura 58. Posición de Observador con respecto a la vista ...................................................................... 64 Figura 59. Vista Frontal en Depurado ............................................................................................................... 65 Figura 60. Vista Lateral en Depurado ................................................................................................................ 66 Figura 61. Isométrico base para ejercicio........................................................................................................ 67 Figura 62. Vistas Frontal y Superior de isométrico en el Sistema ISO A y localización de observador.................................................................................................................................................................... 68 Figura 63. Trazo de Línea de Referencia e indicación de líneas de proyección de cada punto del objeto .............................................................................................................................................................................. 69 Figura 64. Paso de medidas, ubicación de puntos, unión de puntos y definición de visibilidad ........................................................................................................................................................................................... 71 Figura 65. Ejercicio para la interpretación de visibilidad ......................................................................... 76 Figura 66. Visibilidad correcta del ejercicio ................................................................................................... 78 Figura 67. Punto sobre recta ................................................................................................................................. 79 Figura 68. Punto exterior a Recta........................................................................................................................ 80 Figura 69. Líneas que se cortan y líneas que se cruzan ............................................................................. 80 Figura 70. Líneas Paralelas .................................................................................................................................... 81 Figura 71. Líneas perpendiculares ..................................................................................................................... 82 Figura 72. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 1 y 2 ......................................... 83 Figura 73. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 3................................................. 84 Figura 74. Proceso Menor Distancia Normal, Método del Plano ............................................................ 85

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Figura 75. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 1 .................................. 86 Figura 76. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 2 y 3 ........................... 87 Figura 77. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 4 y 5........................... 88 Figura 78. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 1 ............................... 89 Figura 79. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 2 y 3 ........................ 90 Figura 80.Procedimiento para obtener la Verdadera Longitud ............................................................. 91 Figura 81. Rumbo....................................................................................................................................................... 92 Figura 82. Azimut....................................................................................................................................................... 93 Figura 83. Distancia Topográfica......................................................................................................................... 93 Figura 84. Ángulo de Inclinación ......................................................................................................................... 94 Figura 85. Pendiente................................................................................................................................................. 95 Figura 86. Procedimiento para obtener Verdadera Magnitud ................................................................ 96 Figura 87. Rumbo....................................................................................................................................................... 97 Figura 88. Buzamiento............................................................................................................................................. 98 Figura 89. Ejemplo de Buzamiento..................................................................................................................... 98 Figura 90. Sentido de Caída ................................................................................................................................... 99 Figura 1. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2 ........................................... 102 Figura 2. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Filo. Paso 3 y 4 ........................................... 103 Figura 3. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Plano cortante. Paso 1. .......................... 104 Figura 4. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Plano cortante. Paso 2 y 3..................... 105 Figura 5. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2 ........................................... 106 Figura 6. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 3. ................................................ 107 Figura 7. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 4. ................................................ 108 Figura 8. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 5. ................................................ 108 Figura 9. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Plano Cortante. Paso 1 y 2. ................... 109 Figura 10. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4.................. 111 Figura 11. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Plano Cortante. Paso 5. ....................... 112 Figura 12. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 1. ............................................. 113 Figura 13. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 2. ............................................. 113 Figura 14. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 3. ............................................. 114 Figura 15. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 4. ............................................. 116 Figura 16. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 5. ............................................. 117 Figura 17. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 6. ............................................. 119 Figura 18. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1. ...................... 120 Figura 19. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2. ...................... 121 Figura 20. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4................. 121 Figura 21. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 5. ...................... 122 Figura 22. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 6 y 7................ 123 Figura 23. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 8. ...................... 124 Figura 24. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 9. ...................... 124 Figura 25. Poliedros Irregulares: Pirámides: recta, oblicua, truncada ............................................. 125

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Figura 26. Poliedros Irregulares: Prismas: recto, oblicuo, Truncado................................................ 126 Figura 27. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 1. ............................................ 127 Figura 28. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 2. ............................................ 128 Figura 29. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 3. ............................................ 129 Figura 30. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 4. ............................................ 130 Figura 31. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 5. ............................................ 130 Figura 32. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 6. ............................................ 132 Figura 33. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 7. ............................................ 133 Figura 34. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1. ..................... 134 Figura 35. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2. ..................... 136 Figura 36. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3. ..................... 138 Figura 37. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 4. ..................... 140 Figura 38. Isométrico de recta que gira alrededor de un eje. Método del Giro ............................. 142 Figura 39. Método del Giro para hallar Verdadera Longitud y ángulo de recta ........................... 143 Figura 40. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 1.. 144 Figura 41. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 2 y 3 ........................................................................................................................................................................................ 145 Figura 42. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 4.. 146 Figura 43. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 1. ................................................................ 147 Figura 44. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 2. ................................................................ 148 Figura 45. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 3. ................................................................ 149 Figura 46. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 1. ................................................................ 150 Figura 47. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 2. ................................................................ 151 Figura 48. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas................................................................................. 152 Figura 49. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 3. ................................................................ 153 Figura 50. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 1. ................................................................. 154 Figura 51. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 2. ................................................................. 154 Figura 52. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 3. ................................................................. 155 Figura 53. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 4. ................................................................. 156 Figura 54. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 5. ................................................................. 156 Figura 55. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 6. ................................................................. 157 Figura 56. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 7 y 8. .......................................................... 157 Figura 57. Desarrollo de un Adaptador. Paso 1.......................................................................................... 158 Figura 58. Desarrollo de un Adaptador. Paso 2 y 3 .................................................................................. 159 Figura 59. Desarrollo de un Adaptador. Paso 4 y 5 .................................................................................. 160 Figura 60. Desarrollo de un Adaptador. Paso 6.......................................................................................... 161

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El contenido didáctico del curso académico Elementos de Dibujo Técnico fue diseñado por Jennyfer Magerly Barrera Prieto, quien es Arquitecta. Se ha desempeñado como docente universitario, residente de obra y diseñadora de proyectos. Para citar este material por favor hacerlo de la siguiente manera: Barrera, J. (2012). Elementos de Dibujo Técnico. Módulo didáctico. Bogotá: Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.

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UNIDAD 2 Nombre de la Unidad

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 4

PROYECTIVA

Lección 16

Axonometría

Lección 17

Sistemas de Representación ISO A – ISO E

Lección 18

Clasificación de rectas y planos en el espacio

Lección 19

Interpretación de Sólidos

Lección 20

Interpretación de Vistas

CAPÍTULO 5

PROYECTIVA II

Lección 21

Acotado y Escalas

Lección 22

Secciones

Lección 23

Proyecciones Auxiliares

Lección 24

Búsqueda del proyecto

Lección 25

Aplicación en Proyecto

CAPÍTULO 6

DESCRIPTIVA

Lección 26

Visibilidad

Lección 27

Relaciones espaciales

Lección 28

Nociones Topográficas - Líneas

Lección 29

Nociones Topográficas - Planos

Lección 30

Aplicación en Proyecto

CAPÍTULO 7

INTERSECCIONES

Lección 31

Intersección Línea-Plano, Método del Filo y Plano Cortante

Lección 32

Intersección Plano-Plano, Método del Filo y Plano Cortante

Lección 33

Intersección Plano-sólido, Método del Filo y Plano Cortante 10


Lección 34

Intersección Sólido-Sólido, Método del Filo

Lección 35

Intersección Sólido-Sólido, Método del Plano Cortante

CAPÍTULO 8

DESARROLLOS

Lección 36

Método del Giro

Lección 37

Desarrollo por Líneas paralelas en Poliedros Regulares

Lección 38

Desarrollo por Líneas paralelas en Poliedros Irregulares

Lección 39

Desarrollo por Líneas Radiales

Lección 40

Desarrollo por Triangulación

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UNIDAD 2. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 4. PROYECTIVA

La Proyectiva es la iniciación del dibujo a través de la interpretación de vistas, por medio del cual se entiende la ubicación de los puntos, y unión de éstos en el espacio. La comprensión espacial se logra con la abstracción de las formas reales e interpretación de las mismas, por lo tanto la proyectiva son estrategias encaminadas a la transformación de objetos reales, por lo tanto tridimensionales, a una representación sobre un plano bidimensional, sobre el cual se pueden plasmar dibujos que generen tridimensionalidad, caso de las Axonometrías, hasta la representación proporcional de cada una de las vistas que componen el objeto, y a través de estas se logre visualizar el objeto real desde varios puntos de vista del observador, el cual es el encargado de señalar los puntos de referencia. Lección 16. Axonometría Este sistema permite observar un objeto sobre las tres coordenadas, con sus tres vistas principales. Cada una de las Axonometrías hace énfasis en una vista o conjunto de vista que desea predomine, de tal forma que cada una de estas representaciones tridimensionales de un objeto, lo transforma y lo proyecta con un fin específico, buscando siempre la jerarquía de una proyección ó del conjunto. El dibujo axonométrico trabaja a partir de las tres coordenadas, X, Y y Z, y al variar el ángulo existente entre las mismas se logra transformar el tipo de axonometría que se está representando; con sus ángulos también se transforman las proporciones de la representación, pues aunque la axonometría trabaja con las medidas reales del objeto, dependiendo del tipo de dibujo axonométrico que se desea realizar, se modifican sus proporciones, lo cual busca darle mayor jerarquía a una de sus proyecciones ó simplemente hacer ver el dibujo más armonioso. Para iniciar la explicación de cada una de las axonometrías a estudiar se hará un breve repaso del sistema de coordenadas, ya que para efectos de localización en el espacio se hace necesario tener claridad sobre el significado de cada una de las componentes de las relaciones espaciales. El eje X define la longitud de un objeto y representa el ancho del mismo en su vista Frontal; el eje Y es la profundidad de un elemento, lo que determina el espesor de un 12


material o el alejamiento que éste tiene del plano Frontal. El eje Z señala la altura del objeto, entonces este se debe encontrar en los planos de alzado, como las proyecciones Frontal y Lateral. La axonometría permite visualizar los planos principales: Frontal, Lateral y Superior. a) Axonometría Caballera Es una representación tridimensional en la que se jerarquiza la vista frontal de un objeto, por lo tanto la proyección vertical, la cual mantiene las dimensiones reales, por lo tanto el eje X y el Z están en una proporción 1:1. El eje X maneja un ángulo de 0°, el eje Z de 90°. En el eje Y se manejan ángulos que varían entre 1° y 89°, pero el más utilizado es el de 45°, pues su uso hace resaltar la vista en alzado. Este eje reduce la proporción de sus medidas reales a la mitad, aunque si se desea obtener una representación caballera exacta, se debe aplicar el factor de reducción gráfico que corresponde a 2/3 de la medida real. Figura 1. Axonometría Caballera

b) Axonometría Militar Representación tridimensional en la cual los ejes Y y X son ortogonales y giran sobre un mismo eje, el cual puede variar su ángulo entre 0° y 90°, por lo tanto si X tiene un ángulo de 45°, Y por su parte tendrá un ángulo de 90° - 45° lo que significa que Y = 90° - X. Los ángulos más utilizados para este dibujo son el de 30° y 60°. Las proporciones de las coordenadas son 1:1 para X y Y, la coordenada Z disminuye a la mitad su dimensión real, esto con el fin de jerarquizar la proyección superior, plano horizontal ó de la planta. 13

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 2. Axonometría Militar

c) Axonometría Isométrica En esta representación todas sus dimensiones son reales, aunque sus ángulos internos no lo sean, lo que significa que las proporciones de las coordenadas X, Y y Z son 1:1, pero el objeto no contará con los ángulos internos reales, pues esta axonometría se dibuja con un ángulo de 30° para el eje X y para el eje Y, por lo tanto, el interior del objeto se ampliará, aunque su aspecto es bastante real. Esta axonometría es la más utilizada al representar un objeto de forma tridimensional, ya que permite ver sus dimensiones reales, sin disminución alguna. Figura 3. Axonometría Isométrica

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Lección 17. Sistemas de Representación ISO A – ISO E La forma adecuada de representar un espacio tridimensional en dos dimensiones, es a través de los Sistemas Internacionales de Representación: ISO A e ISO E; Estos métodos pueden variar su nombre, algunos de estos son: ISO A: Método del tercer ángulo: Sistema Americano: ASA ISO E: Método del primer ángulo: Sistema Europeo: DIN En el primer capítulo se hizo una explicación de la Normativa Técnica Colombiana 1777, la cual hace referencia a los Sistemas de Representación. En esta lección se va a enfatizar en profundizar en el tema y en la aplicación del mismo. a) ISO A Cuando se hace referencia al Sistema de Representación ISO A, se entiende que un objeto real va a ser representado a través de una posición de vistas organizada analógicamente con el significado del nombre de sus proyecciones, por lo tanto, la vista superior debe ser ubicada en un área superior, valga la redundancia; la vista Lateral Derecha es entonces localizada a la derecha de la vista Frontal; la proyección Lateral Izquierda se dibuja a la izquierda de la Frontal y la Vista Inferior, pues es representada en la parte inferior de la Frontal. Como se puede deducir de la descripción realizada, la posición adecuada de las vistas en este Sistema, depende de la localización de los planos en el objeto, los cuales permanecen estáticos en éste y tiene que ser el observador el que gira en torno al elemento. Se podría decir que es un objeto que se encuentra suspendido al interior de un cubo transparente, por lo tanto el observador puede tener contacto con el cubo, análogo al exterior, mas no con el objeto, pues éste se halla en su interior. Para su representación el observador debe recurrir a situarse frente a la proyección deseada y plasmarla en el cubo transparente, lo que significa que la proyección es representada en un plano anterior al objeto y por esta razón la vista puede situarse en la posición lógica, según lo indica su nombre. En el siguiente ejemplo se mostrará un objeto dentro de un cubo transparente. La base del sólido se encuentra en la línea de Tierra, por lo tanto, la base del cubo transparente y la del sólido es la misma. El sólido tiene cada plano identificado con un color diferente, esperando que con esto se le facilite al estudiante abstraer el objeto. La representación consiste en generar líneas paralelas al plano al cual corresponden, lo que quiere decir que para obtener la vista Frontal del sólido se deben trazar líneas de construcción (grises) paralelas al eje Y, debido a que sobre éste se localiza la profundidad del objeto, la cual no es posible observar desde una vista Frontal, ya que ésta representa las coordenadas X y Z, 15


las cuales corresponden al ancho y la altura del objeto (Paso 2). Al obtener las líneas de construcción de cada uno de los vértices, identificados con números, se puede iniciar la construcción de la vista. Se observa el sólido y se unen los puntos, lo cual depende específicamente del orden de los mismos en el sólido. Esto quiere decir que el punto 1 se une con 2, 6 y 5, éste último punto se encuentra en la zona posterior del objeto, por lo tanto se encuentra invisible. Los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 se localizan sobre la línea de Tierra, lo que señala esto es que estos puntos se deben ubicar en la línea de inferior de cada proyección realizada, a la que corresponda, en la proyección donde esta línea de Tierra pueda ser visible, por lo tanto esto aplicará solo para las proyecciones en alzado. Figura 4. Abstracción de vistas en el Sistema ISO A

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En la figura anterior se están mostrando los pasos necesarios para la realización de las vistas con el método ISO A, el cual presenta el medio de representación en un plano anterior al objeto y sobre el cual se plasman los trazos que corresponde a la vista. Se deben pasar los puntos por medio de líneas de construcción que se proyectan de forma perpendicular al plano, por lo tanto, paralelas a la coordenada que no se puede proyectar en el plano referente, lo que quiere decir que en el plano Frontal, el cual muestra los ejes X y Z, se deben proyectar líneas de construcción paralelas a la coordenada Y, eje de la vista Lateral. Luego de proyectar cada una de las líneas correspondientes a los vértices de los planos que conforman el sólido, se identifican con números que logran abstraer de forma más clara la morfología del objeto. Las vistas son señaladas con los números del volumen, indicando los puntos que se localizan sobre ese eje que proyecta la línea de construcción, lo que quiere decir que si el plano se muestra de forma perpendicular al plano de proyección que se está realizando, se deben marcar los puntos que se encuentren cercanos y lejanos de éste plano, indicando primero el número más cercano al observador y separado por comas los números que se van alejando. La presentación del proceso de construcción de las proyecciones principales de un sólido en un cubo transparente están dirigidas a dar claridad sobre la metodología del Sistema de Representación y su lógica, la cual está basada en la representación en dos dimensiones de un objeto Tridimensional localizado en un plano anterior al de la proyección.

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Para la identificación del Sistema de Representación bajo el cual se está rigiendo el dibujo se realiza un símbolo que señala la metodología; éste símbolo presenta un cono en dos de sus proyecciones principales, la Frontal y la Lateral derecha. Los dos símbolos de los dos sistemas representan el mismo objeto, pero la posición de las vistas es la que indica el sistema de Representación. En este caso, la vista Frontal tiene en su lado derecho ubicado la vista Lateral derecha, indicando así que éste es el Sistema Americano. Las líneas tipo G que se encuentran en medio del símbolo revelan simetría del objeto. Figura 5. Símbolo ISO A

b) ISO E El Sistema de Representación ISO E también puede ser comparado con una caja dentro de la cual se encuentra un objeto, un sólido, pero a diferencia del anterior Sistema, esta caja no es transparente sino que es una caja oscura, la cual no permite que el observador tenga acceso visual a su contenido, por lo tanto se hace necesario ingresar a ésta y observar desde su interior el volumen que se localiza en ella. Al tener que ingresar a la caja el observador se va a encontrar ubicado entre el plano exterior de la caja (plano anterior) y una de las caras del objeto, por lo tanto si se desea hacer una representación bidimensional de este, necesariamente se debe proyectar en el plano posterior de la caja, ya que el observador está dándole la espalda al plano anterior, lo que impide la realización del dibujo en ésta, pues si se hiciera así, no tendría el contacto con los dos elementos principales que intervienen en la proyección: el objeto y el medio en el que se representan los planos, pero si se procede a realizar la proyección de la vista en el plano posterior, el observador tendrá contacto constante con los dos elementos: objeto y medio de representación, por esta razón es que las vistas se localizan de forma diferente, pues si el observador se moviliza en torno al objeto y su proyección se debe realizar después del éste, la ubicación de las vistas será la contraria a lo que indica su nombre. Es así como la lateral derecha se localiza en el lado izquierdo, pues si el observador se encuentra dentro de la caja frente a la vista lateral derecha y su proyección debe realizarse después del objeto, ésta quedará en el lado opuesto de la vista, por lo tanto queda en la cara izquierda del cubo oscuro.

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La proyección de las vistas es realizada con el mismo procedimiento del otro Sistema, la diferencia radica en la posición del observador con respecto al objeto y el medio de representación, pero una vista lateral derecha siempre va a ser igual desde cualquiera de los dos métodos, ésta no varía, solo cambia la posición en la cual esta se ubica dentro del Sistema de Representación. Para indicar el Sistema con el cual se está dibujando, fue asignado un símbolo para cada método de Representación, que constituye un cono que es mostrado en sus dos vistas principales: Frontal y Lateral Derecha. La localización de la vista Lateral derecha con respecto a la Frontal, es la que define el Sistema de Representación. Figura 6. Símbolo ISO E

Lección 18. Clasificación de Rectas y Planos en el espacio. Un objeto se representa con seis proyecciones principales, tomando como base las caras de un cubo, de esta forma se traduce un modelo tridimensional a un espacio geométrico, donde cada cara del cubo señala un punto de vista del observador y debido a que éste se encuentra de forma perpendicular al modelo, los planos que conforman el objeto no podrán localizarse en el espacio con relación a la distancia existente entre éste y el observador, pues el observador logra diferenciar en alguna medida los planos cercanos y los que se encuentran a mayor distancia inician un proceso de distorsión ó deformación que reduce el tamaño a nivel vertical del elemento y la profundidad se ve anulada, a lo que se le llama perspectiva. En el dibujo de dos dimensiones, se busca interpretar un objeto a través de la representación proporcional del mismo, por medio de las proyecciones ó vistas de cada cara del modelo, pero para ello se debe tener previo conocimiento de las líneas y planos que conforman el objeto y lograr comprender su posición en el espacio, para lograr interpretar un sólido, modelo u objeto sin permitir que la perspectiva distorsione la realidad, porque debido a los ángulos de las axonometrías ó de la visión del ser humano, puede parecer que una línea horizontal sea inclinada, por esta se hace necesario 19


comprender a cabalidad las características de las posiciones de las líneas y planos en el espacio, lo que involucra entender el comportamiento de éstos en las diferentes proyecciones y su extensión en el espacio infinito. Figura 7. Proyecciones Principales en ISO A, dentro del espacio Geométrico

S

F

L

En la anterior figura se encuentran proyectadas las vistas principales en el espacio geométrico representado por un cubo enmallado; A través de líneas de proyección ó de construcción (líneas verdes) se trasladan de forma perpendicular a cada plano los puntos que el observador puede diferenciar, por lo tanto estas líneas de construcción son el rayo visual del observador, ya que este se localiza frente a cada plano que conforman al objeto y por esta razón las líneas que se encuentran de forma perpendicular a él, las va a percibir como un punto y no como línea, pero si la línea es paralela a su posición, el observador la podrá ver con la longitud real que tiene este elemento. Las líneas discontinuas, son líneas ocultas, éstas se encuentran detrás de un elemento al cual se le llama plano, y por tal razón el observador no la logra ver, pero en los dibujos técnicos estas líneas se deben proyectar a través del trazo discontinuo, localizándola en la posición que ocupan en la vista a la cual se hace referencia.

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La Geometría Descriptiva estudia el punto, la línea y el plano, siendo estos elementos conceptuales, ya que no pueden ser palpables, pero es a través de éstos que se logra interpretar un objeto real. El punto ocupa un lugar en el espacio aunque no tiene dimensiones, la línea está conformada por varios puntos lo que permite que ésta tenga una longitud, y el plano tiene un área, pero al igual que los anteriores conceptos, son intangibles. En una representación como la anterior se pueden observar los puntos localizados en la unión de las líneas, éstos son los llamados vértices, y las líneas conforman aristas que uniéndose generan superficies. El estudio de las rectas permite comprender las características y posiciones reales en el espacio y con ello descifrar su verdadera forma, las variaciones visuales que pueden provocar y las diversas presentaciones en las proyecciones. En la Geometría Descriptiva se debe descubrir la verdadera forma de las líneas y planos que conforman un objeto, esto es consecuente con su objetivo el cual va encaminado a la representación de los objetos reales tridimensional traducidos a dos dimensiones de forma proporcional y real, localizando cada punto, línea y plano en el lugar correcto y con su forma adecuada, por lo tanto, el estudio de las rectas y planos debe enfocarse en la traducción de un elemento en su posición real en el espacio a una posición que proporcione las características reales del mismo, con sus dimensiones, ángulos y formas correctas, es por esta razón que se han creado procedimientos guiados a descubrir las Verdaderas Longitudes en las rectas y las Verdaderas Magnitudes en los Planos. La Verdadera Longitud se consigue situando al observador frente al objeto, por lo tanto su posición es paralela a la posición del objeto. Esta característica tiene su razón en que solo al encontrarse de frente a un objeto el ser humano podrá observar su forma real, sin intrusiones de la perspectiva, la cual juega un papel importante en la observación de un elemento, pues es por ésta que no es posible ver un elemento con su longitud real cuando éste se encuentra con una posición declinada sobre la Horizontal o Vertical, y no sobre un mismo plano visual, por lo tanto si un observador está en un plano vertical, sus dos ojos ocupan el mismo plano visual y miran de frente a un objeto, sólo podrán verlo con su forma real cuando éste también se encuentre ocupando un plano paralelo a los ojos del observador. Para dar un ejemplo y que el tema se haga más comprensible, se puede tomar un marcador, esfero ó lápiz, y ponerlo de forma Horizontal sobre una mesa, pero no se va a localizar paralelo al borde de la mesa sino que su posición sobre ésta es declinada; el observador debe situarse frente a la mesa, paralelo al borde de la misma y que sus ojos queden a filo con la parte Horizontal de la mesa, por lo tanto el observador se agachará, se acercará al borde de la mesa y verá sobre la misma el marcador con una longitud cualquiera, pero esta longitud no va a ser la real, ya que su posición en la mesa no está paralela al borde donde se localizan los ojos del observador, el resultado será que el observador va a tener una imagen equívoca del marcador, pues la percepción de su 21


longitud será menor a la real, dependiendo del grado de inclinación que se le haya dado al elemento sobre la Horizontal, sobre la mesa; pero si el elemento es girado y puesto de forma paralela al borde de la mesa en el cual los ojos del observador se encuentran ubicados, podrá ser visto en su Verdadera Longitud, pues no existe la intervención de la perspectiva, no existen ángulos diferentes de los planos en los cuales se localizan tanto el observador como el elemento y cada uno ocupa un plano paralelo al otro, con esto se garantiza su morfología real; Esta es la Verdadera Longitud. La Verdadera Longitud presenta las siguientes características en su proyección bidimensional: El elemento (La Recta) se debe encontrar en una vista anterior de forma paralela a la línea de Referencia, lo que indica que en la siguiente proyección se mostrará en su Verdadera dimensión, a lo que se le llama: Verdadera Longitud. Y si se realiza una vista perpendicular a la Verdadera Longitud debe verse como punto, esto es debido a que al encontrarse en una posición perpendicular a la vista del Observador su rayo visual sólo podrá observar el primer punto que contiene la recta, pues éste tapará al posterior. Figura 8. Representación en ISO A de línea de Verdadera Longitud

En la figura anterior se puede observar que la recta m,s se localiza en la proyección Frontal con su Verdadera Longitud, debido a que en una vista anterior, en esta caso la proyección Lateral Derecha, la recta m,s se encuentra de forma paralela a la Línea de Referencia, para este caso la línea que separa las dos vistas es la F – L, y al realizar una proyección perpendicular a la recta en Verdadera Longitud (VL) ésta aparece como un punto, es el caso de la proyección Horizontal en la cual la línea de Referencia H – F se encuentra de forma perpendicular a la recta m,s, dando como resultado en la proyección Horizontal una representación de la recta como un punto identificado como m, s. La Verdadera Magnitud es un término utilizado para los planos, debido a que éstos no solo están conformado por líneas, longitudes, sino que también por ángulos, los cuales permiten establecer una forma, por ello no es suficiente con encontrar la Verdadera Longitud de una de las líneas que conforman un plano sino que se debe encontrar la verdadera relación que hay entre una línea y otra.

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Para hallar la verdadera Magnitud de un plano se debe trabajar con las líneas que lo conforman, y para que sea más comprensible se puede tener en la mente a una escuadra de 60° la cual representaría a un plano triangular. El proceso para hallar la Verdadera Magnitud es el siguiente: Hacer una revisión de las proyecciones del dibujo y verificar si alguna de las líneas que conforman el plano tiene una posición paralela a la Línea de Referencia. Figura 9. Representación Sistema ISO A de planos

En el caso de la figura anterior se puede observar que tanto en la proyección Horizontal como en la Vertical las rectas 1,2 y 4,3 se encuentran de forma paralela a la línea de Referencia H – F. El siguiente paso es hacer una vista perpendicular a la recta en Verdadera Longitud para verla como un punto. En el caso de la representación que se está analizando se van a tomar como rectas en Verdadera Longitud las líneas 1,2 y 4,3 localizadas en la vista Frontal, esto con el fín de tener en la representación la línea de Referencia perpendicular a las rectas en VL sin necesidad de realizar una vista adicional, sin que quiera decir que las rectas 1,2 y 4,3 de la proyección Horizontal no se encuentran en VL, porque también estas lo están pero para efectos del dibujo se van a tomar las rectas de la vista Frontal. Entonces, recapitulando, se tiene una recta paralela a la línea de referencia, en este caso las rectas 1,2 y 3,4 de la Horizontal, en la siguiente proyección, en la Frontal, éstas rectas estarán en su Verdadera Longitud, y a éstas se les traza una Línea de Referencia perpendicular con el fin de verlas como punto y por lo tanto, encontrar el filo del plano, lo que quiere decir que el plano se mostrará como línea. Figura 10. Representación Sistema ISO A de planos con vista Lateral

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Cuando se obtiene la vista de Filo, al igual que con las líneas, se debe trazar una proyección paralela a ésta para poder ver su Verdadera Magnitud, lo que nos sitúa frente al objeto. Tomando la Escuadra de ejemplo, se toma la escuadra y el observador la inclina, teniendo en cuenta que ésta se debe encontrar por el lado de su espesor, por el filo, por el lado que se ve como si ésta fuese una línea, igual que en la figura anterior, y posterior a ello se gira 90° la escuadra ó el observador se mueve de tal forma que quede frente a la escuadra, la cual se debe ver con su forma real (Triangular), sus ángulos y todas las líneas que la conforman en dimensiones reales. En el ejercicio de la figura anterior no se procederá a realizar el siguiente paso, el cual consiste en trazar una Línea de Referencia paralela al filo porque este tema se verá en las próximas lecciones. Para lograr entender la Verdadera Magnitud se mostrará a continuación una figura que muestra el plano en Verdadera Magnitud, ya que en sus dos proyecciones: anterior y posterior, se muestra como un filo, como una línea, por lo tanto la proyección común a los dos filos se debe encontrar en VM (Verdadera Magnitud). Figura 11. Verdadera Magnitud de una Plano

Para lograr entender con mayor claridad el tema y las relaciones existentes entre los puntos, las líneas y los planos se deben comprender las posiciones que toman éstos elementos en el espacio Geométrico. A continuación se procederá a dar explicación de la Clasificación de las rectas y de Planos en el espacio. a) Clasificación de Rectas: Las líneas rectas pueden localizarse en el espacio en diversas posiciones, por lo que en ocasiones éstas se perciben como puntos ó de menor longitud a la real. Las variaciones radican en la posición del observador con respecto a la línea y la posición que ésta asume en el espacio geométrico. Existe una clasificación de las rectas que señala las posiciones típicas de las mismas en el espacio, las cuales se clasifican en siete (7): 24

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Tabla 1. Clasificación de rectas representadas en el Sistema ISO A



Vertical: Esta línea es la perpendicular al plano Horizontal, por lo tanto forma con éste un ángulo de 90°; Esta es proyectada entonces como un punto en la vista Superior e Inferior, ya que éstas proyecciones son de índole Horizontal. En una vista de Alzado (Frontal, Laterales, Posterior) se va a proyectar como una línea completamente Vertical, por lo que en éstas proyecciones se verá en su Verdadera Longitud, lo que quiere decir que su dimensión al medirla en cualquiera de estas proyecciones de Alzado será la medida real. La recta vertical es la línea que forma un elemento con el centro de la tierra debido a la gravedad, por lo tanto esta recta se establece en el espacio geométrico de forma paralela a las líneas de referencia verticales, tales como la Frontal con la Lateral, y esta con la Posterior. Esta puede ser desplazada en el espacio geométrico, intangible, sin sufrir alteración alguna, pues su posición no se modificará, mantendrá el ángulo con el plano 25


Horizontal y sus dimensiones se podrán verificar en las proyecciones de alzados. Figura 12. Línea Vertical en Espacio Geométrico

Las líneas verticales son análogas a la recta que forma el hilo de la plomada al encontrarse estática, por lo tanto en una línea que desde cualquier ángulo de alzado se verá siempre vertical. Desde arriba, localizados en un punto superior a la línea recta vertical y mirando hacia abajo se podrá ver la línea como un punto, esto debido a que el punto superior, punto de mayor cercanía al observador, se encuentra tapando el segundo punto, el más lejano al observador, ya que esta línea vertical está en una posición perpendicular al plano Horizontal; Para comprender esta posición, deben ubicar un marcador de forma vertical sobre una mesa, por lo tanto debe estar soportado por la base ó tapa del marcador, cuando se observa alrededor del marcador, paralelo a su longitud, se ve con una longitud real, pero si se mira desde un punto superior a la posición del marcador, sobre la tapa ó la base de mismo, se puede ver solo una parte del marcador, ya sea su tapa ó su base (según la posición en la que se halla ubicado), no se podrá observar su longitud, ésta proyección representa la Horizontal y la vista de la tapa es el punto que se dibuja. 

Horizontal: Es una línea que tiene sus puntos al mismo nivel, la línea que forma el agua en estado de calma; Un vaso que contenga agua, aunque este sea girado, el agua siempre permanecerá con la Horizontal; a ésta Horizontal se le llama la Horizontal perfecta. Esta línea debe ser paralela entonces al plano Horizontal, lo que quiere decir que en la proyección Horizontal ésta se verá con una longitud real. En las demás vistas puede varias su proyección, pues de forma similar a la aguja de la brújula, ésta se podrá mover en el plano, pero siempre permanecerá paralela a éste, por lo tanto, se establecerá en el plano Horizontal.

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o Horizontal paralela a línea de referencia: Esta línea se localiza de forma paralela a la línea constituida por la proyección Superior y la Frontal; a éstas líneas, Aristas, se les llama Línea de Referencia, pues es a través de ellas que se puede relacionar una superficie, ó vista, con otra, pues si no fuese por la existencia intangible de esta arista, no se podrían identificar los diferentes planos en el espacio. La Recta descansa sobre un nivel Horizontal y se localiza sobre éste plano (Horizontal), sin que ello involucre tener que reposar sobre la cara Superior ó Inferior (Arriba ó abajo del Cubo), pues el Espacio Geométrico está conformado por infinitos planos Horizontales, limitados por el cubo que es su representación tridimensional, pero ésta representación no es más que eso: representación, pues éste puede prolongarse indefinidamente y seguir conformando los planos que contiene; es para efectos del dibujo que se limita el Espacio Geométrico. En la figura siguiente se puede observar con ayuda de las líneas guía punteadas, que la recta Horizontal (de color rojo) reposa en el medio de los límites del Espacio Geométrico, esta posición es paralela a la línea de Referencia. Al proyectar las líneas de construcción a las vistas principales (Frontal, Superior y Lateral Derecha) se obtiene: En la Frontal una línea Horizontal en dimensiones Reales, en su Verdadera Longitud; en la Proyección Superior se encontrará una línea Horizontal con su Longitud Real, en Verdadera Longitud; En la vista Lateral Derecha se verá la línea como un punto, ya que se encuentra de forma perpendicular a la visual del observador y al proyectar los puntos de la línea, el punto más cercano al observador va a ocultar al más lejano. Al abstraer las imágenes a cada una de las proyecciones principales en el Espacio Geométrico, se realiza la representación en el Sistema ISO A, como se muestra en el cuadro de la Figura 12, y se obtiene una línea Horizontal en la Vista Superior la cual es separada de la Vista Frontal a través de una línea paralela a la recta Horizontal de la Superior; en la Vista Frontal la recta se encuentra paralela a la línea de Referencia y por lo tanto, también a la recta en la Horizontal; la Línea de Referencia que separa la Vista Frontal de la Lateral Derecha está en posición perpendicular a la Línea de Referencia H – F (Horizontal - Frontal) ya que en éstas vistas se muestran los objetos y sus proyecciones en Alzado, por lo tanto deben señalar Verticalidad. En la Vista Lateral se encontrará como un punto a la recta, la cual debe encontrarse separada de la línea de Referencia F 27


– L (Frontal – Lateral Derecha) con la separación que existe entre la línea de Referencia H – F y la recta en la vista Horizontal ó Superior, ya que ocupan el mismo lugar en el espacio y se debe representar de la misma forma, como se observa en las figuras, tanto la Bidimensional como la Tridimensional. Figura 13. Línea Horizontal paralela a línea de Referencia en Espacio Geométrico

o Horizontal Declinada: Esta recta se encuentra sobre el plano Horizontal, pero su posición no es paralela ni perpendicular a ninguna de las Líneas de Referencia que limitan el espacio geométrico, pues se encuentra con un ángulo de inclinación variable, sin que éste se presente con una pendiente, por lo tanto la inclinación solo se dará a nivel horizontal no en el vertical, porque su posición, para pertenecer a la condición de esta clasificación de recta, está ceñida por el descanso de ésta sobre un plano horizontal y es en éste que puede sufrir rotación ó giros, sin levantar alguna de las esquinas de la recta. Figura 14. Línea Horizontal Declinada en espacio Geométrico

Al proyectar la recta sobre cada uno de las vistas del espacio geométrico se verá de la siguiente forma: en la vista Frontal la recta se encontrará paralela a la Línea de Referencia H – F, la cual divide 28


las caras Superior y Frontal; esta proyección no mostrará a la recta en su dimensión real, ya que una de sus esquinas se encuentra más cercana al plano donde se halla el observador y la otra esquina está localizada a mayor distancia, por lo tanto no se encuentra paralela al observador. En la vista Lateral, la recta estará perpendicular a la Línea de Referencia que separa la vistas Frontal de la Lateral, y su dimensión tampoco será real debido a que la posición de la recta establece uno de los extremos de sus más lejos y el otro cercano al observador. Al ubicar los ojos del observador en la vista Superior, la recta no tendrá alguna relación de paralelismo ni de perpendicularidad con ninguna de las Líneas de Referencia, ya que se encuentra declinada, por lo que no forma un ángulo recto con ninguna de las Líneas de Referencia; en esta proyección la recta se muestra en su dimensión real, es en esta vista donde se puede ver la Verdadera Longitud de la misma y en la cual se puede medir su distancia, pues aunque su posición no conforme un ángulo recto con ninguno de los límites del espacio Geométrico, la recta está establecida sobre un plano Horizontal paralelo a la posición del Observador. o Horizontal de punta: La recta Horizontal de Punta se localiza sobre un plano Horizontal y forma con la Línea de Referencia H – F, que separa la Vista Horizontal de la Frontal, un ángulo de 90°, por lo tanto su relación con esta es de perpendicularidad. La característica de esta recta es que en la Vista Superior es vista como una línea transversal a la Línea de Referencia H – F, en la vista Frontal se presenta como un punto y en la Lateral como una línea perpendicular a la Línea de Referencia F – L, Línea de referencia Vertical. Esta posición permite que tanto en la Vista Superior como en la Lateral, la recta sea proyectada en su dimensión real, por lo tanto, que en estas se pueda ver en su Verdadera Longitud. La Vista Frontal la muestra como un punto, ya que la recta al encontrarse sobre el plano horizontal y de forma perpendicular al plano Frontal (formando un ángulo de 90° con éste), proyecta a la recta por uno de sus lados, por lo tanto el punto más cercano al observador va a ocultar el que se encuentra más lejano, ya que el observador se encuentra en una posición paralela al plano en el que se está proyectando y sólo es posible ver una de las caras de la recta. 29

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 15. Línea Horizontal de punta en Espacio Geométrico



Inclinada: Las rectas inclinadas son las que se ubican en el espacio con alguna pendiente y por lo tanto forman con el plano Horizontal un ángulo diferente a 0° y 90°, pero cuando son inclinadas cualesquiera con ninguno de los planos forman ángulos de 0° ó 90°. o Frontal: La recta inclinada Frontal se encuentra sobre éste plano, el Frontal, ó uno paralelo a él, por lo tanto la pendiente que tiene ésta es con respecto a la Horizontal y está localizada sobre el plano Frontal ó uno paralelo a éste. Por lo tanto, es en la vista Frontal en la que la recta se va a proyectar con su verdadera dimensión, pues ésta se encuentra en un plano paralelo a la posición del observador, por lo tanto en la vista Frontal es en donde la recta está en Verdadera Longitud. En la vista Superior la recta está en falsa longitud, pues la inclinación de ésta es sobre el eje vertical, por lo tanto en una vista Horizontal no se proyectará como una línea inclinada, sino que parecerá ser una recta horizontal paralela a la línea de Referencia. En la vista Lateral se verá como una línea vertical y no se mostrará real. Figura 16. Línea Inclinada Frontal en Espacio Geométrico

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o De Perfil: La recta de perfil se encuentra en el espacio Geométrico sobre un plano lateral ó uno paralelo a éste. Su verdadera Longitud es mostrada en una vista de Perfil, de allí su nombre, por lo tanto es en una vista Lateral en donde la recta se muestra en la posición real que ocupa en el espacio, allí se encuentra con la inclinación y la longitud verdadera. En la vista Superior la recta se muestra perpendicular a la Línea de Referencia H – F y su dimensión no es la real, ya que la recta está inclinada en la Vertical, no sobre la Horizontal, por lo tanto en la vista superior se verá con menor longitud de la que tiene realmente. En la vista Frontal la recta se presenta como una vertical, perpendicular a la línea de Referencia H – F, y debido a que la recta está inclinada en la vista lateral, en la frontal se verá reducida su dimensión, ya que uno de los puntos de la recta está más cercano al observador y el otro se localiza a una mayor distancia. En la Vista Lateral se puede observar con la inclinación real y por lo tanto con su Verdadera Longitud, debido a que el observador se localiza en una posición paralela a la ubicación de la recta. Figura 17. Línea Inclinada de Perfil en Espacio Geométrico

o Cualesquiera: Esta recta es la que posee un ángulo diferente a 0° y 90° con todos los planos, por lo tanto no se verá en Verdadera Longitud en ninguna de las proyecciones principales del espacio Geométrico, ya que la posición de la recta en el espacio no se establece sobre un mismo plano, sino que inicia en un plano y termina en otro, por lo tanto, no es paralelo a ninguno de los planos principales del espacio Geométrico. Para ver sus Verdadera Longitud 31


se debe proceder a la realización de vistas Auxiliares, que en lecciones posteriores se explicarán. Figura 18. Línea Inclinada Cualesquiera en Espacio Geométrico

Para concluir con la posición de las rectas en el espacio Geométrico se mostrará un volumen que contiene las 7 posiciones de las rectas. Figura 19. Isométrico contenido por las 7 posiciones de las rectas.

Tabla 2. Identificación de Rectas en sólido

Identificación de las Rectas Vertical Vertical 1,6 – 2,7 – 3,9 – 4,10 – 5,14 Paralela a la Línea de Referencia 1,2 – 4,5 – 6,8 – 11,12 – 13,14 Horizontal Declinada 2,3 – 7,9 De punta 1,5 – 3,4 – 8,10 – 11,14 – 12,13 Frontal 10,13 Inclinada De Perfil 6,11 Cualesquiera 8,12

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En la siguiente tabla se mostrará un resumen de la posición de las rectas en el espacio y las características de las proyecciones en cada una de las tres vistas principales, indicando en qué vista se puede ver en Verdadera Longitud (VL), en cuál en Falsa Longitud (FL) y en dónde se ve como punto. Tabla 3. Resumen de Posición de rectas y sus características en proyecciones principales Tipo de Recta

VERTICAL

HORIZONTAL

INCLINADA

Plano de proyección

Vertical

Paralela a L.R.

Declinada

De punta

Frontal

De Perfil

Cualesquiera

SUPERIOR

Punto VL VL

VL VL Punto

VL FL FL

VL Punto VL

FL VL FL

FL FL VL

FL FL FL

FRONTAL LATERAL

b) Clasificación de Planos: Así como las líneas, los planos también tienen diferentes posiciones en el espacio. Se entiende por plano a una superficie compuesta solo por dos dimensiones: ancho y alto (X - Y), no posee espesor. Este a superficie está limitada por dos líneas extendidas en el espacio y cortadas por otra; estas líneas pueden ser paralelas ó tener diferentes puntos no alineados. Se busca descubrir en el Plano la Verdadera Magnitud (VM) basada en las Verdaderas Longitudes de las líneas que lo componen y la forma real del plano, por lo tanto, sus ángulos correctos. El Plano se proyecta en Verdadera Magnitud cuando tiene una posición paralela al observador, por lo tanto debe verse como filo (como línea) en una proyección anterior, de esta forma se asegura el giro de 90° que tiene que realizar cada proyección, por lo tanto en la siguiente vista, si se encuentra la Línea de Referencia paralela a la posición del Observador, se podrá ver en su Verdadera Magnitud. Son siete las posiciones de los Planos en el espacio Geométrico. A diferencia de las rectas, los planos tienen una única posición Horizontal, tres verticales y tres inclinadas. En la siguiente tabla se mostrará en depurado, las tres vistas principales (Frontal, Superior y Lateral Derecha) y las proyecciones del plano en cada una de estas.

33


Tabla 4. Posición de los planos en el espacio, Sistema ISO A



Vertical: A diferencia de las rectas, los planos presentan tres posiciones Verticales en el espacio Geométrico, debido a que el plano rota de forma perpendicular al plano Horizontal, estableciendo tres presentaciones características: cuando se localiza paralelamente al plano Frontal, cuando se encuentra de forma oblicua con respecto a las Líneas de Referencia y cuando se presenta de forma paralela a la proyección Lateral. Se debe tener en cuenta que las 3 variedades de esta posición, mantienen la perpendicularidad con la Horizontal, por lo tanto el plano gira sobre un eje que forma con la Horizontal un ángulo de 90°. o Vertical Frontal: Este plano se encuentra en una proyección paralela a la vista Frontal, por lo tanto es en ésta vista donde se encuentra 34


en su verdadera Magnitud (VM), lo que quiere decir que se puede observar con su forma, área y ángulos reales. Figura 20. Plano Vertical Frontal en el espacio Geométrico

o Vertical Vertical ó Vertical Declinado: Este plano no queda paralelo a ninguna de las vistas principales; en la proyección Horizontal se presenta como filo (como una línea), debido a que el plano gira sobre el eje vertical y se muestra de forma declinada en el Horizontal. En la Vista Frontal y en la Vista Lateral se muestran en Falsa Longitud, y en la Vista Horizontal como Filo. Figura 21. Plano Vertical Vertical ó Declinado en el espacio Geométrico

o Vertical Lateral ó de Filo: El plano Lateral, como su nombre lo indica, se presenta en una posición paralela a la vista Lateral, por lo tanto se verá con su verdadera forma y ángulos en esta vista, indicando que las todas líneas que componen el plano están en Verdadera Longitud, lo que permite al plano mostrarse en Verdadera Magnitud. En la Vista Superior se verá como un Filo, al igual que en la Frontal, por lo tanto se verán como una línea. En la Vista Lateral se muestra como un plano, pues al estar en posición paralela a la proyección 35


Lateral, por lo tanto al Observador, se podrá ver en su Verdadera Magnitud.

Figura 22. Plano Vertical Lateral ó de Filo en el espacio Geométrico



Horizontal: El plano Horizontal tiene una posición única, que se puede definir como una posición paralela al agua en reposo. En la vista Frontal y Lateral se mostrará como un Filo con una posición perpendicular a la Línea de Referencia F - L, debido a que todos sus puntos se encuentran en un mismo nivel, un mismo plano: el plano es Horizontal. En la vista Superior se verá con su verdadera Magnitud. Figura 23. Plano Horizontal en el espacio Geométrico



Inclinado: Este plano forma un ángulo diferente a 0° y 90° con respecto al plano Horizontal. Se pueden presentar tres posiciones diferentes de los planos en el espacio: cuando el plano tiene una inclinación hacia la frontal, cuando se inclina en la vista Lateral y cuando esté inclinado con respecto a todas las proyecciones. o Inclinado Paralelo a la línea de Referencia: En esta posición el plano se presenta inclinado hacia la vista Frontal, por lo tanto en esta vista se presenta en Falsa Magnitud, ya que uno ó varios puntos de los 36


que conforman el plano se encuentran en un plano cercano al observador y otros más separados del mismo, por esta razón el observador encontrará reducida el área del plano. En la vista Superior también se muestra en Falsa Magnitud. La proyección Lateral se presenta como un filo (como una línea) debido a que la inclinación tiene relación con la Frontal y ésta es paralela a la Línea de Referencia H – F, permitiendo que en la proyección Lateral se oculten los puntos más lejanos del plano por los más cercanos al Observador, pues su posición es perpendicular a la ubicación Lateral del Observador. Figura 24. Plano Inclinado Frontal ó Paralelo a Línea de Referencia en el espacio Geométrico

o Inclinado Cualesquiera: Este plano está inclinado con respecto a todas las vistas, por lo tanto está en Falsa Magnitud en todas las proyecciones principales. Figura 25. Plano Inclinado cualesquiera en el espacio Geométrico

o Inclinado de Perfil: El plano que pertenece a esta posición, se inclina hacia la vista Lateral de forma paralela, en esta vista se verá en falsa Magnitud, al igual que en la vista Superior, pues su dimensiones son menores a las reales. En la vista Frontal se muestra como un filo, pues el plano está en una posición perpendicular a ésta. 37


Figura 26. Plano Inclinado de perfil ó de Filo en el espacio Geométrico

A manera de conclusión se presentará un sólido que contiene los 7 planos descritos. Se enumeran los vértices para poder identificar en una tabla los planos que se referencian. En el sólido se realizan líneas ocultas (segmentadas de color rojo) las cuales se encuentran en un plano posterior y es oculto por los planos anteriores. Figura 27. Isométrico contenido con los 7 planos

Tabla 5. Identificación de Planos

Identificación de las Planos Horizontal Horizontal 1,2,3,4,5 – 11,12,15,16 – 12,13,14 Frontal 1,2,6,7 – 7,8,13 – 4,5,10,15,16 – 9,12,14 Vertical Vertical ó de Filo 3,4,9,10 – 8,9,14 – 1,5,6,11,16 – 7,12,13 Declinado 2,3,7,9 Frontal 6,7,11,12 Inclinada De Perfil 9,10,12,15 Cualesquiera 8,13,14 38


En la siguiente tabla se indican las características que presentan los planos en las proyecciones Vertical Frontal, Lateral y en la Horizontal. Para indicar la Verdadera Magnitud del plano se reducirá a VM y cuando se muestre en Falsa Magnitud se señalará con FM. Tabla 6. Resumen de Posición de planos y sus características en proyecciones principales Tipo de Recta

HORIZONTAL

VERTICAL

Plano de proyección

Horizontal

Frontal

De Perfil

SUPERIOR

VM FILO FILO

FILO VM FILO

FILO FILO VM

FRONTAL LATERAL

INCLINADO Vertical Frontal

FILO FM FM

FM FM FILO

De Cualesquiera Perfil

FM FILO FM

FM FM FM

Lección 19. Interpretación de Sólidos En las lecciones anteriores se hizo un acercamiento a la abstracción de las vistas a partir de un sólido, pero es en esta lección en la que se profundizará a través de ejercicios que favorecerán la comprensión espacial, por lo tanto, la ubicación de los planos en éste. Se inicia el proceso de aproximación a la comprensión espacial por medio del objeto, pues es factible que observando un cuerpo representado de forma tridimensional, sea más cómodo para el estudiante su configuración espacial y por lo tanto, su traducción a dos dimensiones. Para lograr adquirir habilidades visuales y destrezas manuales, se deben poner en práctica los consejos dados en Lecciones anteriores. Se debe realizar una detallada observación del objeto, analizar los ejes que se están manejando, la ubicación de las líneas en el espacio y su posición: vertical, horizontal ó inclinada, también deben clasificarse los planos y unirlos para conformar el objeto desde la lógica y no desde la representación visual que fomenta la perspectiva, la cual maneja puntos de fuga que no pueden ser aplicados en este tipo de dibujo: el dibujo Técnico empleado en la Geometría Descriptiva. Por lo tanto, la observación debe clasificar los planos que conforman el sólido, empezando por el plano inferior, sobre el cual se apoya el objeto, y se deben identificar las líneas que hacen parte de este plano, con ello se está definiendo la Línea de Tierra que indica una línea de contacto, la línea de suelo, línea de apoyo de todo objeto, pues aunque se esté dibujando con ángulos que provocan efectos visuales de deformación de los planos, se deben manejar continuidades espaciales a 39


través de la lógica de los ejes y coordenadas, entendiéndose con esto que las líneas paralelas a la coordenada X, va a ser una línea de tipo Horizontal; las líneas ubicadas sobre la coordenada Y y sus paralelas, son líneas Horizontales pero que se encuentran frente a una vista Lateral; y las líneas que se encuentren sobre la coordenada Z, señalan altura, y sus paralelas son líneas Verticales. Si alguna línea no es paralela a ninguna de estas tres coordenadas va a ser una línea inclinada, conformando un plano inclinado. Figura 28. Sólido

Se tiene un sólido con formas variables que lo conforman, a éste se le señalan las líneas invisibles con el fin de clarificar la morfología real del objeto. Para esclarecer la verdadera forma del sólido, a continuación se inserta el volumen dentro de un prisma enmallado, con el cual se pueden observar las divisiones y espacios que ocupan las partes del sólido. Figura 29. Sólido dentro de prisma de malla transparente

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Este mismo sólido es definido por colores que identifican los tipos de planos que lo conforman, señalando cada plano con un color que lo caracteriza. El color Verde señala el plano Vertical Frontal; El color Gris claro indica el plano Vertical Lateral; El color verde tierra identifica el plano Horizontal; El azul es el plano inclinado paralelo a la línea de referencia; el gris oscuro es un plano inclinado de perfil y el café es un inclinado cualesquiera. Los isométricos deben mostrar sus tres vistas principales y a partir de su ubicación en el espacio, se inicia la clasificación de los planos contenidos en el mismo. En este sólido se identifican 4 planos verticales Frontal que ocupan el espacio geométrico a diferentes profundidades, pero necesariamente paralelos (Plano anterior sobre la proyección Frontal, plano del volumen prismático, plano de la cuña y plano posterior); Se identifican 3 planos Horizontales, uno ubicado sobre la proyección Superior, a mayor distancia otro plano Horizontal y el plano de la base: el inferior; Hacen parte del plano Vertical Lateral 2 superficies, la que se puede observar de color gris claro y la que se encuentra en la vista lateral Izquierda; De los planos inclinados son únicos, por lo tanto solo se pueden identificar uno de cada tipo en este sólido. Figura 30. Sólido con planos identificados por colores

Al abstraer mentalmente las vistas del sólido y comprender su morfología, se inicia su paso a dos dimensiones. Se trabajará en el Sistema de Representación ISO A (del tercer cuadrante), con tres vistas principales: Superior, Frontal y Lateral Derecha; Las vistas deben separarse por medio de dos líneas tipo K, llamadas líneas de Referencia, que debe cubrir la longitud de la vista principal, la Frontal, y extenderse un poco hacia las vistas Lateral y Superior. A esta disposición se le está añadiendo, como parte de esta explicación, 41


una malla que permite modular el sólido, sin que estas sean utilizadas al momento de su realización, sólo cumplen con la función de señalar con mayor claridad la posición de las vistas y cada uno de sus planos. Figura 31. Malla para vistas principales ISO A

Cuando se defina el espacio que ocuparán las vistas, se inicia el proceso de proyección de estas, utilizando los códigos de líneas adecuados, teniendo en cuenta que todas las líneas que conforman el sólido son contorno, por lo tanto las vistas estarán compuestas por líneas tipo A. Figura 32. Vistas principales de sólido ISO A

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Se realiza cada una de las proyecciones principales con el mismo tipo de línea, teniendo como base la malla. En la siguiente figura se identificarán los planos a partir de los colores dados en el sólido. Figura 33. Vistas principales de sólido con planos identificados por colores

Para mayor claridad en la interpretación de los objetos es conveniente señalar los vértices identificando los puntos, ya sea con números o letras en minúscula, de esta manera se puede comprender de forma más simple la posición de las líneas y planos que componen el sólido en el espacio, pues debido a los ángulos que maneja el isométrico para revelar sus vistas principales, algunas líneas y planos pueden tender a presentarse de forma diferente frente al observador. El sólido que se está utilizando para el estudio de los planos y la abstracción de sus vistas puede presentar inconvenientes visuales, debido a que algunos de sus planos parecen ocupar de forma diferente el espacio y pueden confundirse con las rectas que están involucrados en otros tipos de planos. Es el caso del vértice 17 al cual llegan las líneas 17, 9 (Vertical), 17, 12 (Inclinada Lateral) y 17, 3 (Inclinada Frontal), parecen convertir el plano compuesto por los puntos 17, 3, 2, 9 en un plano Inclinado, cuando éste es Vertical Frontal, debido a la confusión que genera el encontrarse varias líneas en un mismo campos visual del sólido. Para evadir estas confusiones visuales se deben establecer ejes ó identificar las coordenadas, señalando mentalmente un prisma externo que limita el sólido. En el caso del sólido de este análisis, en la figura que se encuentra a continuación, se marca un prisma inicial sobre el cual se realizó un proceso de moldeamiento que terminó constituyéndose como el sólido que contiene varios planos y es base del análisis de esta lección. 43


Para la interpretación de un sólido se debe iniciar el análisis del mismo, a partir de los tipos de líneas y planos que lo conforman, también la demarcación de las unidades, los puntos que lo identifican y sus caras. Este sólido está compuesto por seis planos, cuenta con 20 puntos y la base morfológica es un prisma rectangular. Se empieza el descubrimiento de sus vistas, las cuales se van a realizar en el sistema ISO A, y se realizarán las tres vistas principales (Frontal, Superior y Lateral). Figura 34. Vistas y Sólidos con puntos

En la interpretación de vistas es muy importante señalar las líneas ocultas, las cuales se encuentran detrás de un plano, por lo tanto el observador no las puede ver, pero se pueden percibir al conocer el sólido en su totalidad, y también se deben señalar los nombres de los puntos, iniciando por los números más cercanos al observador y separados por los más lejanos con una coma. Se mostrará paso a paso el proceso de creación de un sólido y la confusión que puede generar al final si no se mira la individualidad de los planos, sino dejándose llevar por la deformación de la perspectiva. A partir de un prisma cuadrado (Cubo) se inicia un proceso de moldeamiento, instalando en él elementos geométricos que permitirán transformarlo en un sólido conformado por diferentes planos. Cada plano se identificará con un color característico:  

Plano Vertical Frontal: Verde Plano vertical Lateral: Gris claro 44


    

Plano Vertical Vertical: Fucsia Plano Horizontal: Verde arena Inclinado paralelo a la Línea de Referencia: Azul Inclinado lateral ó de filo: Gris oscuro Inclinado Cualesquiera: Café Figura 35. Proceso 1: inclusión del primer elemento

En estas primera figuras se puede observar la inclusión al espacio geométrico de un prisma rectangular conformado por tres planos: Horizontal, Vertical Frontal y Vertical Lateral. Figura 36. Proceso 2 y 3: Adición de dos elementos

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En este proceso se observa la adición de dos elementos al volumen inicial; un prisma triangular con un plano inclinado paralelo a la línea de referencia y un volumen con un plano inclinado cualesquiera, a su vez estos son conformados por planos verticales laterales y uno de ellos también con uno vertical Frontal. Figura 37. Proceso 4 y 5: Adición de un elemento y extracción de uno existente

Se adiciona un prisma triangular, también llamado cuña, con plano inclinado de filo, prisma que también está compuesto por el plano Vertical Frontal y Vertical de perfil, este último se localiza en el mismo plano ó espacio del primer volumen, el prisma rectangular, por lo tanto, las líneas verticales que separarían a estos dos prismas se eliminan, porque se localizan en un mismo plano espacial y estas líneas imaginarias son trazadas sólo cuando hay un cambio de nivel ó de profundidad en el espacio geométrico. La quinta intervención en el volumen no es una adición, es una sustracción de un volumen existente, del prisma rectangular, al cual se le extrae una parte en forma diagonal, visto desde la Horizontal, y completamente Vertical, por lo tanto es un plano Vertical Vertical. Al ver el resultado final del proceso realizado, algunos de sus planos son confusos debido a la forma en que se representa un dibujo tridimensional, pero si el observador se detiene a identificar cada una de las líneas y planos que lo conforman e inicia un barrido de identificación de las relaciones espaciales existentes en éste (paralelismo, perpendicularidad, intersecciones), logrará abstraer mentalmente la morfología real del sólido y podrá plasmarlo en dos dimensiones con mayor facilidad.

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Lección 20. Interpretación de Vistas Al haber aprendido a identificar los planos y líneas que conforman un sólido, se procede a trabajar de forma inversa. A partir de las vistas principales, ya sean 3 vistas dadas ó dos, se debe interpretar el sólido. El resultado de esta abstracción conlleva a un mejor manejo de la caracterización de las formas espaciales y su correcto dibujo. Las líneas intangibles con las que se representa un sólido son límites físicos existentes, que en el dibujo se representa a través de la línea. Esta a su vez también permite señalar los cambios de profundidades y asimismo los cambios de direcciones, a lo cual se le ha identificado como tipos de planos (posición de planos). A continuación se procederá a señalar en las vistas principales las formas que van a hacer parte de un proceso de moldeamiento, como se hizo en la lección anterior, pero esta vez desde la vista hacia el sólido. Figura 38. Proceso 1 y 2: posición del primer y segundo volumen

En estos dos primeros pasos del proceso se inserta un volumen que se proyecta de forma rectangular en la vista Frontal y la Superior, y en la Vista Lateral como un cuadrado. Al seguir la descripción se puede identificar que en la vista Superior el rectángulo ocupa una posición posterior de la malla guía y en la vista Lateral se localiza en la zona inferior derecha de la malla. En el segundo paso se puede observar la adición de un volumen de forma cuadrada en la vista Frontal y Superior, pero en la Lateral éste se presenta como un triángulo. En la Vista Frontal y Lateral se puede observar que éste nuevo volumen está 47


sobrepuesto en el existente. En la vista Superior se ve un rectángulo divido en dos cuadrados. Se debe analizar que en las tres vistas la adición del segundo volumen no ha eliminado las líneas del rectángulo inicial, lo que indica que o son planos diferentes los que se están realizando ó que se encuentran a diferentes profundidades. Figura 39. Proceso 3 y 4: Adición del tercer y cuarto volumen

En el tercer paso se adiciona un tercer elemento, el cual en la vista Frontal se muestra como un triángulo con la inclinación a nivel vertical, en la Superior como un triángulo con la inclinación a nivel horizontal y en la Lateral como un triángulo con la inclinación a nivel vertical también; esto indica que este volumen está inclinado en todas las caras. La cuarta adición es un volumen que en la vista Frontal se muestra como un triángulo con inclinación a nivel vertical, en la vista Superior se percibe como un cuadrado y en la Lateral como un rectángulo. La posición de estos dos últimos volumenes es anterior a los primeros, por lo tanto, se encuentran mas cerca del observador. Figura 40. Proceso 5: Adición del quinto elemento

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Este quinto paso solo se percibe en la vista Superior, siendo una intervención al volumen incial: el rectángulo, y debido a que mantiene los mismo puntos del elemento inicial, no se observa cambio alguno en las otras dos vistas, pues al parecer es un elemento vertical, ya que no se ve en la vista Lateral con alguna inclinación. El proceso de este solido es el inverso al de la lección anterior, pero es el mismo sólido el cual se está representando. A continuación se volverá a colocar la imagen para su análisis y comparación con sus vistas. Figura 41. Vistas principales en ISO A y sólido

Como se puede observar, la cuña que se ubica sobre el prima rectangular se muestra como un cuadrado tanto en la vista Superior como en la Frontal, esto debido a que el observador no logra diferenciar las distancias real existente entre él y los puntos del volumen, por esta razón en estas dos vistas el plano inclinado paralelo a la Línea de Referencia se muestra en Falsa Magnitud, porque su área no es la verdadera, es reducida, en la vista Frontal a su altura y en la Vista Superior a su profundidad. La vista Lateral revelaba la forma real de este elemento, porque es en esta donde se muestra que en un perfil es un triángulo. El prisma rectangular se podía ver como un rectángulo en la Vista Superior y Frontal, su posición era inferior y posterior lo que indica la localización dentro del volumen final. La vista lateral de este prisma era cuadrada, con esta vista se determina que este es un elemento básico, que no puede ser un triángulo porque se vería reflejado en esta vista y que no puede ser circular pues en esta vista se tendría que revelar, es entonces como entre las tres vistas principales se van revelando las formas reales de los objetos, debido a que cada una de ellas muestra la posición en el espacio, las características de los planos en el espacio y la morfología de los mismos. Muestran las tres 49


coordenadas en lsa tres vistas: En la Frontal se identifican el ancho y la altura de un elemento, en la Superior la profundidad y el ancho, y en la Lateral la profundidad y la altura del objeto. Estas tres vistas se complementan, se deben trabajar en conjunto para lograr interpretar un objeto.

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CAPÍTULO 5. PROYECTIVA II

En esta segunda parte de la Proyectiva se procederá a aplicar los conceptos aprendidos a elementos reales, adicional a ello se profundizará en las normativas y sus conceptos serán utilizados en los dibujos que se realizarán en este capítulo, los cuales son la base para la presentación de cualquier proyecto. También se presentarán las bases investigativas para dar inicio al trabajo final de esta asignatura, en el cual se deberán aplicar todos los conceptos aprendidos. Lección 21. Acotado y Escalas El Acotado en un dibujo es el dimensionamiento ó medidas de una edificación, objeto o máquina, la cual está representada de forma proporcional (escalado). Se pueden encontrar varios tipos de dimensionamiento y la utilización de estos depende de la precisión y tolerancia de las medidas, el espacio disponible para su señalamiento y la escala en la que se representará. La tolerancia depende del tamaño de un elemento y de la precisión requerida para su funcionalidad, es la variación que pueda tener una medida, ya sea por el aumento o disminución de decimales en su medida real, pues al disminuir decimales en el señalamiento de una cota, también se estará reduciendo la exactitud de la medida; en algunos elementos no es de gran importancia la incorporación de cierta cantidad de decimales al dibujo, pero cuando en el dibujo se realizan elementos de tamaños reducidos, estos requieren una mayor precisión, por estas razones existen varios tipos de acotado. Se debe tener en cuenta que para acotar un elemento, el texto de la cota debe estar dispuesto de forma clara, en una posición de lectura que siga el criterio de lectura: de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. La letra del valor de la cota no debe llevarse la atención del dibujo, deber ser visible, pero no debe perturbar la comprensión de la representación. El texto de la cota debe tener proporción con el tamaño de los textos de referencia que pueda tener el dibujo, si hubiese varios niveles de textos, el tamaño del valor de la cota debe coincidir con el de un nivel menor, sin perder la visibilidad. El texto de la cota deberá mantener su tamaño aunque se varíen las escalas de los elementos allí representados, lo que quiere decir que si un dibujo se está representando en un plano a escala 1:100 y a en el mismo plano aparece un detalle a escala 1:5, deben mantener el tamaño del texto, no debe sufrir ninguna alteración, ni proporcional, ni de estilo. Las 51


terminaciones de las cotas también deben mantener una proporción con el dibujo y con el texto de la cota. Las partes ó elementos de la cota son los siguientes: Figura 42. Elementos de la Cota



Dimensionamiento en cadena: Es utilizado cuando la acumulación de tolerancias no interfiere con el resultado y con la funcionalidad del elemento representado. Este tipo de acotado es usado en las edificaciones y elementos a los cuales no se les limita su funcionalidad por la disminución de algunos decimales, por lo tanto, en su mayoría es empleado para elementos de gran tamaño. La representación de este dimensionamiento se realiza de forma continua, estableciendo ejes de medidas paralelos a las aristas del dibujo, en ningún caso podrán situarse sobre alguna de estas y debe evitarse localizarlas al interior del dibujo. Figura 43. Dimensionamiento en cadena

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

Dimensionamiento desde una característica común: Es utilizado para dimensionar un objeto que posee un punto común, por lo tanto todas sus medidas tienen origen en el mismo punto y el señalamiento de las medidas se realiza de forma paralela, distribuyendo las medidas de menor a mayor según las cercanía al objeto para evitar cruce de líneas y confusiones. Este tipo de dimensionamiento proporciona mayor exactitud en las medidas y es aplicado a los levantamientos de edificaciones y también para los elementos que no son de gran precisión, pero tienen coincidencia en un punto común. El proceso para acotar un elemento con este tipo de dimensionamiento es, como primer paso, localizar un punto de referencia común para la toma de las medidas, este punto debe estar ubicado en un extremo del objeto para que de éste lugar puedan generarse todas medidas. De forma paralela al segmento a referenciar se localizará la primera cota y seguidamente, desde el mismo punto donde se originó esta medida, se iniciará la definición de la siguiente dimensión, ubicando la línea de cota a mayor distanciamiento del elemento y de forma paralela a la cota anterior. De esta forma se tomarán las medidas que manejen una misma dirección y un punto común. El resultado de este acotamiento es la obtención de una cota final que señale la dimensión total del elemento acotado. El inconveniente de este tipo de acotado es el espacio ocupado por el señalamiento de las cotas en paralelo. Figura 44. Dimensionamiento en paralelo desde una característica común

En la Figura anterior se está acotando de forma paralela desde un punto común un objeto constituido por varios elementos, se puede observar que las cotas coinciden en un punto común, el cual es el inicio de todas las medidas establecidas en cada 53


una de las dos direcciones de acotamiento, pero debido al gran espacio que pueden ocupar la indicación de todas las medidas de un objeto, se ha creado paralelamente a este tipo de acotado con medidas sobrepuestas, el cual mantiene el punto de referencia, pero a diferencia del acotado que se acaba de describir, solo se realiza una línea de cota y con un círculo en la parte inicial del acotamiento se señala que todas las cotas parten de este punto, también la terminación de las cotas se realiza con un flecha y de forma perpendicular a la terminación se indicará la medida, ó también se podrá señalar de forma paralela a la línea de cota, pero no se situará de forma centrada, sino alineada a la finalización de cada medida. Figura 45. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota perpendicular 1

Figura 46. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota cerca a cabezas de flecha 2

Esta variación de este tipo de dimensionamiento debe realizarse siguiendo las particularidades descritas para evitar confusiones, por lo tanto se debe señalar el punto común con un círculo en la línea de cota y junto a éste el valor de la cota, el cual es cero; para las cotas siguientes se debe señalar el valor de la cota en el segmento cercano a la cabeza de flecha que señala la finalización del fragmento al que se está haciendo referencia. ICONTEC. NTC 1960. Bogotá: Instituto Colombiano de Normas Técnicas y certificación (ICONTEC), 1996, p. 16 2 Ibid., p. 16 1

54




Dimensionamiento por Coordenadas: Este dimensionamiento es útil para la realización de levantamientos topográficos ó señalamiento de puntos distantes, debido a que maneja una tabulación para cada coordenada, dando precisión de la localización de los puntos según las coordenadas X e Y, estableciendo el punto exacto de ubicación, sin necesidad de recurrir al acotamiento de cada punto, dimensionamiento en serie, ni tampoco al dimensionamiento desde un punto común, los cuales pueden convertir la identificación de cada punto en un proceso complejo. Figura 47. Dimensionamiento por Coordenadas con tabla de Tabulación 3

En la figura anterior se tiene un objeto con diferentes perforaciones, localizado en variados puntos del elemento, adicional a ello, cada perforación tiene una característica dimensional diferente. Para que la representación gráfica de este elemento no se torne confusa, se recurre a este tipo de acotado, el cual señala cada perforación con un número que lo identifica y se realiza un tabla en la cual se ubican los puntos señalados en el dibujo, la localización de cada uno de estos vanos en las coordenadas X e Y, y el diámetro de los agujeros. Es importante que en el dibujo se señale el origen de las coordenadas, como se puede ver en la figura anterior, en la cual se establece el punto cero y con las flechas se origen se genera la dirección de las medidas en las coordenadas allí estipuladas.

3

ICONTEC. Op. Cit., p. 17.

55


Cuando se tiene un terreno con puntos arbitrarios, se puede realizar un señalamiento de coordenadas con una cuadrícula mental, identificando en cada punto la medida correspondiente a cada coordenada, dependiendo de la medida generada al realizar el levantamiento topográfico. Figura 48. Dimensionamiento por Coordenadas con puntos arbitrarios4



Dimensionamiento combinado: Cuando sea necesario puede recurrirse a mezclar los tipos de dimensionamiento, por lo tanto se pueden utilizar el dimensionamiento en cadena y desde un punto común, esto con el fin de dar claridad al dibujo. Figura 49. Dimensionamiento Combinado

4

ICONTEC. Op. Cit., p. 18.

56


En la figura anterior se mezclaron los dos tipos de dimensionamiento y se tomó como punto común el eje central del elemento al cual se está acotando, pero como el punto común no se encuentra en un extremo se acota en dos direcciones: hacia la izquierda y hacia la derecha, desde el mismo punto común, pero este punto también puede variar debido a que han tomado direcciones diferentes. Al finalizar el acotamiento con punto común se señala una cota general con el dimensionamiento de cadena. Cuando existe un objeto que contenga elementos que se repitan simétricamente ó de forma equidistante, se pueden prescindir del dimensionamiento de cada uno de ellos y simplificar el acotado señalando uno de estos, y a los demás elementos idénticos se les podrá realizar una cota general y una anotación de las repeticiones del elemento y su dimensión individual, si fuera necesario. Figura 50. Acotado de elementos equidistantes

También puede utilizarse la simplificación de los elementos repetidos para señalar características de medidas o materialidad. Figura 51. Acotado de elementos con las mismas características

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Al realizar el acotado es de gran importancia tener en cuenta la escala en la cual va a ser presentado el dibujo. Para ello es necesario tener en cuenta los siguientes criterios:  Analizar el tamaño del elemento u objeto que va a ser representado, los detalles que éste puede suministrar ó si solo se van a presentar elementos generales.  Tamaño y cercanía de elementos.  Claridad de elementos que hacen parte de un todo. Cuando se tiene en cuenta qué es lo que se desea mostrar en una representación, se debe empezar a traducir a la implementación de la escala a utilizar. La representación de plantas generales, normalmente se realiza a una escala 1:50, 1:100 ó 1:200, depende de su tamaño. Elementos que hacen parte de una estructura general, pero que se desean extraer del todo, se puede representar a una escala de 1:25. Cuando son acercamientos de elementos de reducido tamaño como son las piezas, se pueden dibujar a escala 1:10, 1:12.5 ó 1:5, dependiendo del detalle al cual se quiera llegar. Figura 52. Elemento extraído de un plano general a escala 1:25 y detalles a escala 1:12.5

Se deben tener las diferentes escalas en un mismo juego de planos, pero el tamaño del texto y los elementos de la cota deben coincidir en su tamaño, y las medidas que se señalen deben ser las verdaderas, las del objeto real. Si un objeto tiene 10 mts y en el dibujo estos 10 mts se ven reducidos a una medida real de 10 cms, se debe traducir la medida según la escala e indicar la medida del objeto en su realidad, por lo tanto, la cota debe indicar los 10 mts del objeto real, no se señalará la medida del objeto representado, 58


del objeto escalado, sino que el dibujo permitirá ver en un tamaño menor ó mayor al tamaño real de un objeto, según sea el caso, pero que le brinda todo el dimensionamiento necesario para poder trabajar a partir de este. Figura 53. Relación proporcional de la Escala

En la figura anterior se está realizando el objeto real y su representación; presentan una relación proporcional y su geometría se mantiene intacta. La intervención de la escala es buscar que el dibujo se muestre a un tamaño adecuado, ya sea ampliando o reduciendo el objeto en la representación. En esta figura se está representado un objeto que tiene una relación de 1 : 2, en donde 1 corresponde a la realidad y el 2, las veces que se ha reducido o aumentado en el dibujo esa realidad, en este caso como es 1 : 2 se ha reducido dos veces, por lo tanto una unidad en el dibujo corresponde a dos unidades del objeto real, lo que quiere decir que si un objeto real tiene 2 cms de altura, en el dibujo se dibujará 1 cm, pues su relación es de 1 : 2. Existe una manera fácil de obtener las medidas en la escala correspondiente: Medida Realidad Escala

=

1 = 9.25 m = 0.0925 mt = 9.25 cms = Escala 1 : 100 100 100

La anterior fórmula puede utilizarse con cualquiera de las escalas de reducción (1 : X), pues en las de ampliación (Y : 1), la posición en la forma de nombrar fue diferente y por lo tanto también es diferente la posición de las unidades en la fórmula, por lo tanto es la unidad de la escala la que debe colocarse sobre la unidad de la realidad: Escala = Medida Realidad

10 1

=

10 = 125 cms = Escala 5 : 1 8 cms 59

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Tabla 7. Escalas y su relación matemática

Escala 1 : 2000 1 : 500 1 : 200 1 : 100 1 : 50 1 : 20 1 : 10 1:5 1:2

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

= = = = = = = = =

Escalas y su relación Matemática Equivalente Planos de aplicación 2000 cm = 20 mts Planos Generales 500 cm = 5 mts Localización General 200 cm = 2 mts Plantas de grandes dimensiones 100 cm = 1 mt Planta de edificación ó lote 50 cm = 0.5 mt Cortes y plantas de objetos 20 cm = 0.2 mt Elementos ó piezas generales 10 cm = 0.1 mt Cortes de elementos ó piezas 5 cm = 0.05 mt Detalles constructivos 2 cm = 0.02 mt Detalles de uniones, de taller

Lección 22. Secciones Las secciones son utilizadas para observar el interior de un objeto, edificación ó elemento; Esta vista es generada a través de planos de corte que traspasan al objeto y lo parten en dos, un plano anterior al corte y uno posterior. Las secciones se pueden realizar en un plano Horizontal ó vertical, por lo tanto las plantas son secciones de un plano Horizontal. Figura 54. Plano de corte y sección obtenida

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En la anterior figura se puede observar un objeto que está siendo atravesado por un plano cortante, el cual representa la línea del recorrido de la sección que en este caso es Vertical; la figura se divide en dos partes, una anterior y otra posterior, la sección que se escoge para ser dibujada es la que se encuentra achurada, debido a la posición del observador, el cual señala que está en una posición anterior y dirige su mirada a una posición posterior del plano cortante. Se dibujará en la sección todo lo que se encuentre sobre el plano cortante ó que sea visible desde el área de corte, por lo tanto, que no haya ningún plano que interrumpa la representación de algún elemento posterior al plano cortante. Las secciones ó también llamados cortes, pueden ser totales ó parciales, depende de lo que se desee mostrar ó aclarar. Figura 55. Sección en planta y Alzado

En la anterior figura se está representando un detalle de un elemento que es tomado de un plano general y abstraído de este para señalar sus dimensiones, materialidad y características. Se realiza una sección en planta y a partir de ésta se indica una sección en alzado. En la sección en alzado se está cortando el tubo hueco (el de color verde), la 61


platina (color azul) y el pedestal donde se van a posar (color cían); Los anclajes se encuentran en un plano posterior al que indica el corte 1.1 pero son visibles porque no existen ningún otro elemento anterior que los obstruya ó impida verlos. El siguiente corte es de un terreno y se hace necesario representarlo para señalar la existencia del Talud en el mismo, la inclinación y también puede señalarse el tipo de terreno, las dimensiones, ángulo de inclinación y/ó pendiente que este posea. Figura 56. Corte de Terreno5

Con el uso de las secciones se puede tener acceso al interior del objeto y según su escala de representación, hasta su materialidad, espesor y detalles que no son posibles observar cuando se está representando un elemento desde el exterior. Se realizan los cortes cuando se necesite señalar los compartimentos internos, los elementos que conforman un objeto ó las secciones que se puedan encontrar en el interior de un objeto y que no puedan ser percibidas desde una vista exterior. Los cortes ó secciones deben indicar las dimensiones que mejor representen; en el caso de una sección Vertical, estará cortando los elementos Horizontales, por lo tanto las mejores medidas que puede señalar este tipo de sección son las que tienen características de Verticalidad. Las Secciones Horizontales cortan los elementos Verticales, en este caso se deben señalar las dimensiones Horizontales. Para los cortes es importante tener en cuenta las intensidades de las líneas y los achurados de los elementos, ya que no todos los elementos los estará cortando el plano cortante y tampoco todos se encontrarán sobre el mismo plano. Los elementos a achurar son sólo los que se localicen en el plano cortante, por lo tanto, elementos que se estén cortando por el efecto imaginario del traspaso del plano cortante. La intensidad de línea de los elementos cortados por el plano cortante, será de mayor grosor debido a que se SENA. Construcción de casas Sismorresistentes de uno y dos pisos. Cimentaciones y Desagües. SENA, 2006. P. 28.

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encuentran a mayor cercanía del observador y los elementos que se vayan alejando del observador, se les disminuirá la intensidad de la línea. Lección 23. Proyecciones Auxiliares Las vistas Auxiliares son proyecciones diferentes a las principales, por lo tanto el observador se podrá ubicar desde cualquier otro punto visual alrededor del objeto y con un ángulo cualquiera, resultando de estas posiciones infinitos puntos de vista que adicionarán información al objeto. Las vistas Auxiliares son utilizadas para obtener la forma real de un objeto, analizar uniones de elementos, detalles constructivos ó analizar las relaciones espaciales de los elementos. Las vistas principales de un objeto señalan medidas referentes al ancho, alto y espesor, pero debido a que todas las formas que se encuentran en un objeto no pertenecen solo a estas tres coordenadas, sino que pueden encontrarse entre dos ó tres coordenadas, se hace necesario recurrir a las vistas auxiliares para determinar sus medidas reales. En la siguiente figura se tiene un objeto representado de forma axonométrica y se identifican cada una de sus proyecciones con un color diferente. Adyacente al isométrico se establecen las medidas que representan las vistas principales, las cuales se encuentran organizadas arbitrariamente. Figura 57. Isométrico y coordenadas en vistas

X = Ancho Y = Alejamiento – Profundidad Z = Altura 63


Debido a que la posición del observador con respecto a cada una de las vistas principales es paralela al plano de representación de su proyección, cuando se hallan planos inclinados en alguna de sus vistas, éstos no se percibirán en un plano localizado paralelo a éste, sino que serán identificados en un plano perpendicular a éste, pues se mostrará la inclinación que posee. En la siguiente figura se señala la posición del observador con respecto a cada una de las tres vistas principales y se revela la imagen que se obtendrá del plano inclinado desde la vista Superior, vista en la cual se encuentran localizados los planos inclinados del objeto. En la vista Superior se puede observar una línea de color magenta que indica la longitud real de una arista que compone el plano inclinado; a través de una proyección perpendicular a la vista Superior se proyecta el inicio y el final de la línea inclinada para colocarla en una posición paralela al plano Superior, dando como resultado una línea, representada de color amarillo, de menor dimensión a la real debido a que el plano principal, en este caso Horizontal, no tendrá en cuenta la inclinación del plano, sino que tomará como longitud y forma la proyección del inicio y final del plano representado, estableciéndolo en una posición paralela a la vista que se está representando, en este caso la superior. Figura 58. Posición de Observador con respecto a la vista

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La dimensión del plano inclinado y las líneas que lo conforman son reducidas, debido a que la proyección a la cual se está representando, no es paralela a los planos que la conforman. En la siguiente figura se mostrará el objeto con el cual se está trabajando en esta lección (casa con cubierta a dos aguas) de forma depurada, lo que significa que se desplegarán cada una de sus vistas principales y se localizarán en un mismo plano, permitiendo que se visualicen en dos dimensiones, pues todas sus vistas (en este caso las tres principales) deben localizarse en un mismo plano. En el caso de la siguiente figura, se está tomando como referencia la vista Frontal y a partir de ésta se van a desplegar las otras dos vistas principales (Superior y Lateral Derecha). Debido a que la vista Superior está compuesta por dos planos inclinados (cubierta a dos aguas), el giro de esta vista no va a completar los 90° que son necesario realizar para la visualización real de las vistas, por esta razón sus planos no se podrán observar con las dimensiones reales, pues para poder establecerse en el mismo plano en el cual se encuentran las vistas Frontal y Lateral Derecha, no puede girar los 90° que gira la vista Latetal Derecha, la cual si se puede observar en Verdadera Magnitud, ya que su posición es paralela al plano de representación. Figura 59. Vista Frontal en Depurado

Se debe buscar entonces que los planos inclinados, localizados en la vista Superior, giren 90° para poder obtener su Verdadera Magnitud. Se trabajará entonces a partir de la vista Lateral, la cual posee las aristas reales de la inclinación de los planos de la proyección Superior. A partir de esta vista se buscará establecer las otras dos vistas en un mismo plano y observarlas en su Verdadera Magnitud. Se tiene entonces como vista común a la Proyección Lateral Derecha, a partir de ésta se desplegarán las otras dos vistas que hacen parte de las vistas principales. La proyección Frontal gira 90° y queda con su Verdadera Magnitud y sobre el mismo plano que se ubica la vista Lateral Derecha; la Vista superior, 65


debido a que la vista Lateral Derecha no está compuesta por una sola línea en el costado adyacente a la proyección Superior, se fragmentará en dos planos desplegados desde las aristas que proyecta la vista lateral derecha. Estos planos se mostrarán en verdadera Magnitud, ya que están girando los 90° necesario para encontrarse de forma paralela al plano de proyección y para localizarse sobre el mismo plano en que se están proyectando las otras dos vistas principales. Figura 60. Vista Lateral en Depurado

Por lo tanto, se debe buscar que cada una de las vistas gire los 90° necesarios, para poder verlas en Verdadera Magnitud, esto se consigue a partir del análisis de las líneas y planos que conforman el objeto que se está representando. En este caso, las líneas que conforman el plano Superior son líneas inclinadas de perfil, por lo tanto, en la vista Frontal y en la Superior se van a mostrar en Falsa longitud, pero en la vista Lateral se mostrarán en verdadera Longitud, lo que quiere decir que es a partir de esta vista que se puede obtener la verdadera forma de los planos que conforman la Proyección Superior, pues también, al integrar las líneas y conformar el plano, éste se encuentra en una posición paralela a la línea de referencia y se muestra como filo en la vista lateral; indica que su posición con respecto a la proyección Lateral es completamente perpendicular, por lo tanto al girar hacia la vista lateral, tendrá que desplazarse 90° hacia esta proyección, pues para ser perpendicular a la vista, debe enconetrarse con relación a la Vista Lateral a 90°, y cómo descubrir que es compeltamente perpendicular a la proyección lateral: pues en el depurado se puede observar que en la vista lateral sólo se muestran dos inclinaciones, como si el plano superior estuviera conformado por dos líneas inclinadas; con lo cual se puede descubrir que las líneas que conforman el plano superior están de forma perpendicular a éste plano, pues para que el punto mas cercano al observador oculte el 66


punto más lejano de la línea que hace parte del plano inclinado, es necesario que cumpla con este requisito. Figura 61. Isométrico base para ejercicio

Las vistas auxiliares son proyecciones adyacentes, las cuales mantienen una vista común para no perder contacto entre ellas. En las vista de depurado, que se ponían como ejemplo en las figuras anteriores, la vista común, en la primera representación de depurado era la Frontal, y en la segunda representación era la Vista Lateral Derecha, pues es a través de estas que las otras dos vistas se pueden relacionar, porque no existe contacto directo entre estas al realizar el depurado ó al realizar su representación en dos dimensiones, solo es a través de la vista común que puede obtenerse una continuidad espacial. Para la realización de las vistas auxiliares se requiere una posición cualquiera del observador, la cual se señalará con la definición de la línea de Referencia, ésta se colocará de forma perpendicular a la proyección visual del observador. Comúnmente se inicia el proceso de vistas auxiliares a partir de dos principales, ya sean Frontal y Superior ó Frontal y Lateral Derecha. En el ejercicio que se va a realizar como 67


ejemplo en esta lección se tomarán las vistas Superior y Frontal como las proyecciones iniciales. A partir del isométrico representado se obtienen las proyecciones. En la vista Frontal se encuentra el plano Vertical Frontal y el plano inclinado paralelo a la línea de Referencia de la cubierta. Para mayor claridad en cada vértice se señalarán los puntos que indican las vistas, puntos que se localizaron en el isométrico. Al dibujar la vista Frontal se deben trazar las líneas de construcción ó de proyección, las cuales se indicarán de forma perpendicular a la Línea de Referencia H – F; con estas líneas se podrán obtener los límites Laterales de la vista Superior, ya que la vista Frontal tiene relación con la Horizontal sólo con las medidas que hacen referencia a la coordenada X, por lo tanto, al ancho. La profundidad de la vista Superior solo se podrá definir tomando como referencia el isométrico, ó si existiera la vista Lateral, a partir de la profundidad de esta. En este caso, las medidas se tomaron del isométrico y de forma proporcional se realizaron las proyecciones. Se debe tener en cuenta que para la realización de la vista Superior, la medida que se toma para la profundidad de la misma es la longitud que forma la arista imaginaria que va desde los puntos 6 al 7; no debe tenerse en cuenta la medida real de las aristas 6, 10 ó 10, 7 ó 5,9 ó 9, 8, esto debido a que estos planos no son paralelos a la proyección superior y por lo tanto no se verán con su verdadera forma, sino como la proyección de sus puntos a través de la perpendicular de cada uno de éstos hacia la proyección Superior, por lo tanto se reducirá en la medida que se elimine la inclinación. Figura 62. Vistas Frontal y Superior de isométrico en el Sistema ISO A y localización de observador

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El observador se encuentra en una posición, con referencia al objeto, de 45°, por lo tanto se debe trazar la Línea de Referencia de forma perpendicular a la línea de proyección visual del observador, indicada en la figura con la Flecha. La Línea de Referencia, de color magenta, se establece con una longitud adecuada para que las líneas de construcción se localicen dentro de ésta. El tipo de Línea de la Línea de Referencia debe ser tipo K y su grosor debe ser capaz de hacer ver en el dibujo los límites de las vistas. Las líneas de construcción ó de proyección, están identificadas con color amarillo, deben trazarse desde cada punto de la proyección anterior a la Auxiliar (en este ejemplo, la proyección anterior es la Horizontal) y de forma perpendicular a la Línea de referencia extenderse hasta la vista Auxiliar (en este caso es identificada con la letra mayúscula W). Figura 63. Trazo de Línea de Referencia e indicación de líneas de proyección de cada punto del objeto

Para armar la vista auxiliar se debe trabajar tanto con la vista anterior (H) como con la adyacente a la común (F). La vista adyacente a la común servirá de apoyo con las medidas, lo que significa que es de la Frontal, en este caso, las medidas que se van a tomar para trasportarlas a la vista auxiliar y crear la vista que pertenece a esta proyección. Estas medidas se toman debido a que la vista auxiliar que se está creando tiene relación con la 69


proyección anterior (H) sólo para la localización de los puntos, pero para determinar el distanciamiento de estos, se debe recurrir a la proyección adyacente a la común (F), porque es en ésta en donde se encontrarán las medidas de la coordenada que se necesitan para trazar la segunda parte de las medidas de una vista. Una vista está compuesta por dos medidas, una de esas medidas es ofrecida por la proyección anterior (H) de la cual surge la posición horizontal de los puntos, pero se necesita otra medida para poder establecer la vista, es por ello que se recurre a la vista Frontal para tomar el distanciamiento del objeto con respecto a la Línea de Referencia Común (H - F). También se puede explicar de la siguiente forma: si generamos de la proyección en dos dimensiones, nuevamente un cubo que represente el espacio geométrico, se podrá observar que la vista anterior, por lo tanto la Horizontal, queda en la parte superior del cubo; la vista Frontal queda en un plano anterior Vertical, y el plano auxiliar “W” se va a localizar de forma vertical declinada, en un plano adyacente al plano Posterior y Lateral, y sólo podrá tener relación con el plano Frontal a través del plano Horizontal que se une con estas dos vistas por medio de las aristas que los separan, aristas identificadas como Líneas de Referencia. Debido a que tanto la Vista Frontal como la auxiliar “W” tienen en común las medidas verticales, éstas son pasadas a la vista auxiliar, y es a través de la vista común “H” que se pueden conectar y mantener el distanciamiento Horizontal de los puntos. Las medidas tomadas entonces, para decirlo de otra forma, son las localizadas en la tercera distancia, contada desde la proyección Horizontal en la relación que tiene la vista con la Línea de Referencia de la vista Auxiliar. La segunda medida es la distancia de la vista Horizontal con la Línea de referencia de la Frontal. La tercera medida es la de la Línea de Referencia H – F con la vista Frontal, y es ésta medida la que debe ser tomada para localizar los puntos en la vista auxiliar. Sobre cada línea de construcción ó proyección se deben localizar las distancias tomadas desde la tercera distancia, entendiendo que cada línea de proyección viene desde un punto específico, lo que quiere decir es que si la línea de construcción sale del punto 4, la medida que se va a localizar sobre esta línea debe ser la del punto 4, la cual fue tomada de la tercera distancia con relación al punto 4, de la proyección Frontal en este caso, y teniendo en cuenta que las medidas a pasar deben tomarse de la tercera distancia, establecida desde la Línea de Referencia H – F (en este caso), individualmente, hasta cada punto de la vista Frontal; estas medidas son pasadas a la Auxiliar desde la Línea de Referencia H – W (en este caso) hasta donde marque la medida abstraida de la tercera distancia y sobre la línea correspondiente al punto a pasar. En el ejemplo que se está desarrollando, debido a que las aristas 9,10; 5,8 con 6,7; y 1;4 con 2,3 son paralelas a Línea de Referencia, las medidas a tomar son solo tres, ya que la distancia del punto 9 y el 10 es la misma, y la distancia de los puntos 5, 8, 6 y 7 va a ser la misma debido a que se encuentran a la misma distancia de la Línea de Referencia, estos puntos se encuentran paralelos a la Línea de Referencia. Al pasar los puntos a la vista 70


Auxiliar, estos puntos también van a quedar paralelos a la línea de Refencia debido a que las medidas son las mismas en la tercera distancia y por lo tanto, en la Vsita Auxiliar estas medidas no tienen por qué variar. En la vista Auxiliar se tienen los puntos 9, 10 a una distancia de 2.57 con respecto a la línea de referencia; los puntos 8, 7, 5, 6 se encuentran a una distancia de 5.57 de la línea de Referencia y los puntos 2, 3, 1, 4 se encuentran a 13.57 de la Línea de Referencia. Figura 64. Paso de medidas, ubicación de puntos, unión de puntos y definición de visibilidad

Para la unión de los puntos se debe recurrir a observar los puntos que se unen en el isométrico. Los puntos 8 y 3 no se van a unir nunca porque se encuentran en lugares distantes. El punto 8 se une con los puntos 4, también con el punto 9 y con el 7. Entonces, 71


se inicia el proceso de unión de los puntos en la vista Auxiliar. El punto 4 se une con los puntos 3, el 8 y el 1. El punto 9 se une con el punto 10, con el 5 y el 8. Así se hace con todos los puntos, se verifica que todos los puntos ya tengan todas las líneas que llegan a él y esto se puede hacer de forma organizada ó aleatoria, como en el caso de esta explicación, la cual no se hizo con un órden lógico sino fue arbitrario. Al tener la unión de los puntos se debe descubrir la visibilidad de las líneas, porque hay partes del objeto que van a ser tapadas por planos anteriores y que no van a permitir que éstos puedan ser vistos por el Observador. Las reglas de la visibilidad son las siguientes: 

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Todo contorno es visible: en el caso de la vista auxiliar, el contorno de esta vista está conformado por los puntos 9, 8, 4, 3, 1, 2, 6, 10; estos puntos son contorno debido a que son los que se encuentran más alejados del centro del objeto de esta vista (W), los que se localizan en el exterior de la vista. Los puntos más cercanos al Observador son Visibles: Se está descubriendo la visibilidad de la vista Auxiliar, por lo tanto, el observador se encuentra en la Vista Auxiliar mirando hacia la vista Anterior (H) y los puntos que él tenga más cerca y sin ningún obstáculo, punto ó arista anterior, se pueden ver perfectamente. Por lo tanto, el punto 7, 3 es completamente visible, porque es el punto más cercano al observador. Después siguen los puntos 8, 4, también el 10 y el 6, 2, los cuales no encuentran ningún obstáculo entre el observador y el punto. Pueden ser invisibles los puntos que tienen obstrucción en la extensión de la línea de construcción, caso de los puntos 9 y 5, 1, éstos se encuentran al final de la vista Horizontal y además la línea de proyección tiene que atrevasar aristas de la misma vista. Por líneas que se cruzan: Cuando no hay claridad en la deducción de puntos cercanos ó más lejanos para definir visibilidad, se recurre al método de líneas que se cruzan, el cual es el más seguro. Consiste en revisar en la vista a la cual se le está descubriendo la visibilidad si se están cruzando líneas, porque dos líneas que se cruzan no pueden ser visibles, una de ellas tiene que ser visible y la otro oculta; luego de verificar cuáles líneas se cruzan se recurre a la vista anterior, en este ejemplo es la vista H, para verificar cuál de esas dos líneas que se estaban cruzando está en una posición más cercana al observador.

De esta forma se termina una vista Auxiliar y si se desea realizar otra vista auxiliar a partir de la Auxiliar “W” se tiene que proceder de la misma forma: se identifica una ubicación arbitraria del observador, luego se dibuja la línea de Referencia de forma perpendicular a la proyección visual del observador, luego se trazan las líneas de construcción desde cada punto de la vista anterior, que en este supuesto caso sería la vista anterior sería la Auxiliar W, se toman las medidas de la tercera distancia, adyacente a la común (la común en este caso sería la auxiliar W, y la adyacente a la común es la H) y se transladan a la Auxiliar identificada con una letra mayúscula cualquiera; luego se unen los puntos y se determina la visibilidad. 72


Lección 24. Búsqueda del Proyecto En esta parte del curso el estudiante debe iniciar una investigación de manera individual, en la cual de forma objetiva se asesore y enfatice una línea de investigación, teniendo en cuenta que su escogencia debe estar guiada al abordaje de la disciplina desde el dibujo técnico, por lo tanto debe ser aplicable en el desarrollo de proyectos. Cuando el estudiante haya decidido qué línea tomar, iniciará su proceso de recolección de información, contextualización y observación de referencias, a través de proyectos ó ejercicios desarrollados en libros, para con ello conformar un repertorio ó también llamado estado del arte que permita tener un soporte teórico y gráfico al futuro desarrollo del proyecto final. Lección 25. Aplicación en Proyecto Para la realización de cualquier proyecto, se debe tener en cuenta cómo hacer un adecuado levantamiento del terreno; en la lección de acotado se señala cómo a partir de coordenadas se puede realizar la ubicación de los puntos y la estructuración de un límite determinado de lote. Es importante tener especial cuidado con la presentación y la escala en la cual va a ser representado, pues si la información que se quiere mostrar es de carácter general, como la localización del lote en donde se va a trabajar, la escala debe ser mayor que si se va a mostrar un detalle del funcionamiento de una máquina o un motor. El tamaño del texto, la importancia de las referencias y de los valores de las cotas deben mantener un mismo tamaño, aunque se manejen varias escalas de presentación, no puede habar variedad entre los tamaños ni la fuente que se ha tomado en el juego de planos. Debe analizarse qué tan cerca del plano se debe hacer el observado, par con ello definir por lógica el tamaño adecuado para el texto, sabiendo que éste no debe captar toda la atención del observador, pero tampoco puede quedar perdido entre el dibujo. Las líneas de cota no pueden confundirse con las líneas que conforman el dibujo, por lo tanto, su ubicación y el grosor de sus líneas deben variar del dibujo. Para la realización de los cortes, se deben hacer cortes de terreno, estableciendo tipos de terreno y definiendo con el achurado las materialidades, acotando, si fuera necesario, los espesores, longitudes ó áreas. Siempre se debe hacer corte de los elementos que puedan ampliar la información, ó sobre alguna información que no se encuentre consignada en alguno de los demás dibujos, ó los que puedan aclarar aspectos de funcionamiento, dimensionalidad ó relación entre elementos. Cuando se realizan los cortes es de gran importancia el manejo de las intensidades, debido a que un corte debe mostrar profundidad en el dibujo y si ésta no es manejada con intensidades, es muy probable que 73


el dibujo parezca plano y no represente correctamente la realidad del objeto. Sólo debe achurarse lo que se está cortando, por lo tanto, se deben achurar los elementos a los cuales traspase el plano cortante. Las proyecciones auxiliares van a ser de gran ayuda al buscar definir las formas de los planos que conforman el objeto a analizar ó realizar, para conseguir las vistas verdaderas de cada uno y a través de esto, si fuera necesario, lograr desarrollar el objeto en la realidad. Se deben conjugar todos los conocimientos hasta aquí adquiridos para iniciar el desarrollo del proyecto, la realización de planos y el análisis de su funcionamiento, para saber qué debe presentarse para que el proyecto sea realizable y que se muestre con claridad y buena presentación.

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CAPÍTULO 6. DESCRIPTIVA La Geometría descriptiva es una ciencia aplicada de carácter multidisciplinario, cuyo objetivo consiste en resolver gráficamente problemas representables, relacionados con las áreas afines a la medición, el diseño, y la construcción; ésta permite localizar, comprender, y analizar los elementos geométricos situados en el espacio para relacionarlos entre sí; posteriormente, interpretar y manejar dicha información en un medio bidimensional.6

En la Geometría descriptiva se deben tener en cuenta los conceptos de dibujo previos: las vistas auxiliares, las metodologías, la interpretación de vistas, la precisión, y debe existir un gran sentido de lógica para lograr abstraer las figuras que se están representando de forma bidimensional, a elementos reales que se relacionan con otros tridimensionalmente. Lección 26. Visibilidad En el capítulo anterior se presentaba una introducción de visibilidad en los elementos. En esta lección se va a profundizar en estos conocimientos y a partir de aplicaciones en ejercicios se demostrará la forma correcta de obtener la visibilidad. Existen 3 procedimientos para obtener la visibilidad correcta de un elemento en determinada vista, los cuales son: la regla del contorno, la de cercanía y la de líneas que se cruzan. Estas tres reglas de visibilidad son reales y tienen una lógica aplicada a las representaciones bidimensionales que pueden utilizarse en ejercicios de proyecciones de un objeto u elementos desde cualquier punto visual. Cuando se trabaja con un solo objeto se puede deducir la visibilidad por las dos primeras reglas: contorno y cercanía; pues se va a hacer evidente la posición de las aristas con respecto al observador, entendiendo que estas aristas no son líneas que no poseen ningún espesor en el espacio, sino que son planos conformados por líneas y por lo tanto tienen un área llamada superficie. La superficie se puede relacionar con un muro de una vivienda, en la cual existen diferentes posiciones de muros con respecto al plano Horizontal (piso y placa); la visibilidad que el observador pueda tener de algún elemento que se encuentre en la vivienda depende de la posición del observador, que consisten en ubicar los ojos del observador en un lugar determinado y con un ángulo visual establecido; los elementos VALENCIA GARCÍA, German. Geometría Descriptiva, paso a paso. Bogotá: Ecoe Ediciones, 2009. P. 13

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que conforman la vivienda, al igual que los elementos de las vistas, se encuentran estáticos en el espacio, pero la visual de determinado elemento varía por la posición que adquiera el observador. Por ejemplo, el observador se encuentra dentro de una habitación en la cual se encuentra la puerta abierta completamente, el observador se encuentra en el muro opuesto a la puerta, pero su mirada está dirigida hacia la puerta; ¿Qué puede ver el observador? Observa el marco de la puerta, el espesor de la hoja de la puerta, el muro junto a la puerta y de pronto, depende del diseño de la habitación, un muro que se encuentra al borde de la puerta de forma perpendicular; esto es lo que el observador ve dentro de la habitación, pero como la puerta de la habitación se encuentra abierta y el observador está dirigiendo su mirada hacia la puerta, el observador también puede ver lo que se encuentra posterior al plano en el cual se localiza la puerta y el muro adyacente a esta; entonces, en el vano de la puerta el observador alcanza a visualizar un muro posterior del Hall de habitaciones, de pronto alcanza a ver las escaleras; allí se crea ya en la mente del dibujante un espacio real, el cual debe ser traducido a un espacio geométrico. Cuando sucede lo contrario, cuando se inicia desde el espacio Geométrico y se busca interpretarlo mentalmente para lograr verlo como un espacio real, allí es donde entra la lógica y la capacidad de abstracción del dibujante. Figura 65. Ejercicio para la interpretación de visibilidad

En la figura anterior se tienen dos vistas principales, Horizontal y Frontal, y una proyección auxiliar resultante de la vista Frontal. La visibilidad de las proyecciones Superior y Frontal no tienen algún inconveniente, ya que las aristas se ocultan entre ellas, lo que quiere decir 76


que, en la proyección Frontal, la arista e, b oculta a la arista e, c ya que al mirar la vista Horizontal se puede ver la posición perpendicular que tiene la arista b, c con respecto a la Línea de Referencia y los rectas se encuentran en verdadera Longitud debido a la relación que estas tienen con la Línea de Referencia, se encuentran de forma paralela a la Línea de Referencia con lo cual se puede deducir que en la siguiente proyección se encuentran en Verdadera Longitud, y en las dos vistas principales, las aristas toman una posición paralela y otra perpendicular a la Línea de Referencia, por lo tanto, en las dos proyecciones éstas líneas se encuentran en Verdadera Longitud. A la vista Auxiliar “M” se le debe señalar su visibilidad correcta, lo cual consiste en revisar desde la posición del observador qué es lo que éste alcanza a ver. La localización del observador es anterior a la Línea de Referencia de la Vista Auxiliar, por lo tanto el observador se encuentra en la vista Auxiliar M, ya que es a esta vista la que le debemos descubrir la visibilidad, y los rayos visuales del observador están representados por las líneas de construcción (de color amarillo), pues éste se encuentra de forma paralela a la Línea de Referencia F – M, mirando hacia la proyección anterior (F) y por lo tanto su mirada tiene rayos de proyección perpendiculares a la Línea de Referencia. Según las reglas de Visibilidad, lo que se encuentre en el contorno es Visible, por lo tanto, en la vista Auxiliar “M” el contorno está conformado por las aristas que forman los puntos a, e, d, c, b; ya que son estos puntos los que se encuentran más alejados del centro del dibujo en esa vista. Ahora, queda faltando definir la visibilidad de la recta a, d, la cual debe descubrirse por la regla de la Cercanía. Entonces, si el Observador se encuentra en “M” mirando hacia “F” lo primero que él encuentra, sin alguna interrupción es la arista conformada por e, b y junto a ésta, a la misma distancia está la arista e, c; éstas líneas si no se encontraran en el contorno de la proyección Auxiliar, serían visibles, porque su posición con respecto al observador es cercana y no se hallan elementos que interrumpan la visual del observador con respecto a éstas (cuando se especifica que no hay elementos que obstruyan la visual de alguna recta, se refiere a que las líneas de construcción ó de proyección tienen un recorrido hasta la Línea de Referencia sin algún obstáculo, por lo tanto sin la presencia de alguna línea adicional anterior a la que se hace referencia). Ahora bien, la línea a la cual se le debe descubrir la visibilidad es la a, d, la cual tiene una posición lejana con respecto al observador, ya que es el último punto que se encuentra, el más alejado de la visual del observador, que en este caso se podría decir que el observador es la misma Línea de Referencia F – M, entonces este punto probablemente sea invisible, ya que es el punto más lejano con respecto a la posición del observador. Ahora bien, se dice que probablemente sea invisible, debido a que no todos los lejanos son invisibles necesariamente, ya que algunos puntos lejanos pueden ser visibles por el tamaño que tengan, ya que algunos pueden tener una altura mayor a los elementos anteriores y por lo tanto pueda visualizarlo el observador.

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Para poder resolver con claridad la visibilidad de este punto se debe recurrir a la regla de las Líneas que se cruzan, la cual consiste en revisar en la vista Auxiliar qué línea se cruza con la recta a la cual se le desea hallar la visibilidad. Entonces, e, b se está cruzando con a, d; ahora, una de las dos líneas es visible y la otra es invisible, debido a que no son líneas solamente sino que son la representación de los límites de un plano que tiene superficie, por lo tanto dos líneas que se cruzan no pueden ser visibles, una de ellas es visible y la otra es oculta. Al haber identificado las líneas que se cruzan en la vista Auxiliar, se debe recurrir a la proyección anterior para revisar cuál es la línea que se encuentra en una posición anterior para así definir su visibilidad. En la proyección Frontal la línea e, b se encuentra antes que la recta a, d, con lo cual se define que la recta e, b es visible y la línea a, d es invisible. Figura 66. Visibilidad correcta del ejercicio

También es importante hacer un análisis de la posición del observador con respecto al objeto antes de iniciar a definir visibilidades, pues al identificar mentalmente cómo está mirando el observador se puede entender qué planos serán visibles y cuáles quedarán ocultos. En este caso el observador tiene una posición inclinada superior del objeto, por lo tanto, por lógica se puede afirmar que la base de la pirámide estará oculta: a, d, c, b son los puntos que conforman la base de la pirámide y el plano conformado por estos puntos no es visible en la vista Auxiliar, debido a que el observador está mirando desde un punto superior a la pirámide.

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Lección 27. Relaciones espaciales En esta lección se estudiarán las Relaciones espaciales de los elementos que conforman el espacio geométrico, a través de las propiedades geométricas del punto, la recta y el plano, referidas al cruzamiento, el paralelismo, la perpendicularidad y la intersección de estos elementos en el espacio geométrico. Se deberá tener en cuenta para el análisis de los comportamientos de elementos en el espacio, la abstracción mental de las posiciones que cada elemento que interviene en determinado comportamiento toma en cada proyección, ya que el tener claridad sobre la posición del elemento, se podrán determinar características que éste puede ofrecer en determinadas vistas. Se hace una introducción elemental, en la cual se localiza una recta a, b en una posición cualesquiera, a la cual acompañan en el espacio dos puntos: m y n; En la proyección Horizontal los puntos m y n se encuentran entre la proyección de la recta a, b, pero en la proyección Vertical el punto m se percibe fuera de la recta, por lo tanto se concluye que el punto m no pertenece a la recta, pero el punto n, por encontrarse en las dos proyecciones sobre la recta, pertenece a la misma. Figura 67. Punto sobre recta

En la siguiente figura se proyectan la recta a, b con los puntos m y r, en las vistas Horizontal, Vertical y Lateral Derecha; La posición de la recta en el espacio es inclinada de perfil, por lo tanto se muestra en falsa longitud tanto en la vista Frontal como en la Superior, pero en la vista Lateral se mostrará con su posición verdadera y su longitud real. Se observa que los puntos m y r se muestran sobre la recta en la vista Horizontal y vertical; en la vista Lateral el punto m se sitúa sobre la recta a, b pero el punto r se encuentra a un 79


lado de la recta, por lo tanto el punto r no pertenece a la recta y el punto m pertenece a la recta. Figura 68. Punto exterior a Recta

En la siguiente figura se presentan dos casos de líneas que poseen diferentes direcciones en el espacio geométrico y es posible que se corten en el espacio ó se presente el caso de cruzamiento, por lo tanto las rectas no se tocarían. Figura 69. Líneas que se cortan y líneas que se cruzan

El corte de las rectas consiste en tener un punto común de contacto entre las dos rectas que intervienen en el comportamiento geométrico; La recta a, b (color azul) y la recta c, d (color negro) tienen una posición cualesquiera en el espacio, pero al relacionar las 80


proyecciones que se presentan en la vista Horizontal y Vertical, se puede encontrar correspondencia entre el supuesto punto de contacto, al cual se llamará punto 1, 2, lo que quiere decir que por encontrarse el punto de contacto relacionado perpendicularmente en las dos proyecciones, el punto es común, por lo tanto las rectas a, b y c, d se interceptan. En el segundo caso que se presenta en la anterior figura (lado derecho), las rectas a, b y c, d también tienen una posición cualesquiera en el espacio geométrico, pero en este caso el punto de contacto (1,2) no está correlacionado en las dos vistas, por lo tanto, el punto de contacto 1,2 en la Horizontal, es diferente al punto de contacto en la proyección Vertical, ya que no mantienen la perpendicularidad de los puntos, indicando que no existe un punto común de contacto, ya que este no se mantiene en las dos proyecciones, señalando que las rectas no se tocan sino que se cruzan en el espacio geométrico. El siguiente caso presenta la propiedad geométrica del paralelismo, en la cual se describen dos rectas a, b y c, d en tres proyecciones: Horizontal, Vertical y Lateral. Para que exista paralelismo en el espacio geométrico, las líneas deben presentarse de forma paralela en todas sus proyecciones, ya que el paralelismo indica que las rectas se encuentran en planos adyacentes y aunque éstas se extendieran infinitamente jamás se tocarían, ya que mantienen la misma dirección y ángulo, pero están sobre diferentes planos espaciales. Figura 70. Líneas Paralelas

Para entender la perpendicularidad es necesario repasar el Teorema 10 el cual dice lo siguiente: 81


“Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando una de las rectas se visualiza en Verdadera Longitud, y se proyecta el ángulo de 90° entre ambas” Por lo tanto para encontrar la perpendicularidad entre dos rectas, debe presentarse una de ellas en Verdadera Longitud y formar con otra de las líneas que llega a ésta un ángulo de 90°. Recapitulando, para que una recta se encuentre en Verdadera Longitud, debe situarse de forma paralela a la línea de Referencia en una proyección anterior. En la figura siguiente se presenta un plano triangular a, b, c que tiene una de sus rectas, a, b, en la proyección Horizontal de forma paralela a la Línea de Referencia H – F, por lo tanto la siguiente proyección, en este caso la vista Frontal, se presentará la recta a, b en Verdadera Longitud, ésta a su vez forma con la recta a, c un ángulo de 90°, señalando que su correspondencia es de perpendicularidad. Figura 71. Líneas perpendiculares

A la perpendicularidad también se le llama Menor Distancia Normal, ya que es la distancia más corta dada desde un punto externo a la recta, unida a ésta a través de otra recta que se conecta de forma perpendicular. La menor distancia es útil, por ejemplo, para problemas de tuberías, en los cuales se presenten dos tuberías y se necesite hallar una tercera que las una por el lugar más corto, es en este caso donde se utiliza el proceso de la menor distancia. Las siguientes figuras van a guiar el proceso correcto para conseguir la menor distancia entre una recta a, b y un punto m localizado al exterior de la recta. 82


Figura 72. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 1 y 2

Recordando el Teorema 10, se debe buscar ver la recta en Verdadera Longitud para lograr unir el punto con la recta a, b a través de una segunda recta que forma con ésta un ángulo de 90°. Para conseguir ver la recta a, b en Verdadera Longitud se trazará una proyección Auxiliar J paralela a la misma y en ésta se proyectará con su Verdadera Longitud. Al tener la recta a, b con su Verdadera Longitud en la proyección Auxiliar J, se procederá a trazar una línea desde el punto m hasta la recta de forma perpendicular a ésta, por tanto, la línea con origen en el punto m, debe formar con la recta a, b un ángulo de 90° en la proyección auxiliar; el punto de contacto entre la recta a, b y la línea que tiene origen en el punto m se identificará con alguna letra, en este caso la letra n. Para obtener la Verdadera Longitud de la menor distancia, recta m, n, se debe realizar una vista Auxiliar L paralela a la recta y se mostrará con su verdadera Longitud. Ahora, se debe proceder a pasar la menor distancia a las demás proyecciones anteriores siguiendo el siguiente proceso: a partir del punto n de la proyección Auxiliar J, se trazará una línea de proyección (de forma perpendicular a la Línea de Referencia) y cuando ésta haga contacto con la recta a, b se señalará el punto n y se unirá con el punto m. Siguiendo este procedimiento se debe llevar el punto a las demás vistas, en las cuales se mostrará la 83


menor distancia de la recta a, b, en falsa longitud y solo en la Vista Auxiliar J se mostrará la perpendicularidad existente entre la recta a, b con la recta m, n. Figura 73. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 3.

También es posible obtener la menor Distancia siguiendo otro procedimiento, por el método del Plano, el cual consiste en unir la recta a, b con el punto m a través de líneas imaginarias y de esta forma conformar el plano a, b, m. El procedimiento a seguir es el siguiente: a partir de la línea a, b que se presenta en las vistas Horizontal y Vertical, de cada extremo de la línea se extienden líneas imaginarias que unen el punto m con la recta y de esta forma se convierte a la línea con el punto en un plano con una posición cualesquiera en el espacio geométrico. Luego se debe buscar dejar el plano en Verdadera Magnitud, por lo tanto se traza una línea auxiliar paralela a la línea de referencia H – V y al trasladar los puntos a la siguiente 84


proyección, la línea Auxiliar quedará en Verdadera Longitud. El siguiente paso es ver el plano como filo, para ello se busca que la línea en Verdadera Longitud quede como punto y de esta forma el plano se verá como filo, entonces se traza una proyección Auxiliar “J” perpendicular a la línea en Verdadera Longitud y es en ésta proyección donde se presentará el plano como filo. Después de tener el plano como filo se debe trazar una proyección Auxiliar “U” paralela al filo para lograr ver el plano con su Verdadera Magnitud. El anterior procedimiento es necesario para lograr tener el punto y la línea en un mismo plano y que la línea de la menor distancia quede verdaderamente de forma perpendicular a la recta a, b. Ahora, teniendo el plano imaginario en Verdadera Magnitud se debe trazar una recta desde el punto “m” hasta la recta a, b, de forma perpendicular una línea a la cual se le llamará m, n; ésta es la Menor Distancia y se presentará en la vista auxiliar “U” con su Verdadera Longitud. Después de haber trazado la menor distancia en la vista Auxiliar “U” se devuelve el punto “n” (punto de encuentro de la recta con origen m hacia la recta a, b) a las proyecciones anteriores de forma perpendicular a cada una de las Líneas de Referencia correspondientes. De esta forma se señala la Menor Distancia Normal en cada una de las proyecciones correspondientes, pero ésta solo se presenta con su Verdadera Longitud en la proyección Auxiliar “U”. Tanto el método directo como el del plano es seguro y es posible utilizarlo para conseguir la Menor Distancia Normal de una línea a un punto exterior a la recta. Figura 74. Proceso Menor Distancia Normal, Método del Plano

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En el caso de los planos, para obtener la Menor Distancia de un punto externo al plano se debe realizar de la forma anterior, pero cuando se tiene un plano que posee una de sus líneas en una posición perpendicular a la Línea de Referencia, por lo tanto que contenga una de sus líneas con una posición inclinada de perfil (recta a, b), se debe seguir el siguiente procedimiento: Se tiene un plano a, b, c y un punto externo “m”; Se debe trazar una línea auxiliar al plano en una de sus proyecciones, en este caso se toma la proyección vertical, y se traza la línea auxiliar desde uno de los vértices del plano hacia el costado opuesto, quedando una recta con origen en el punto “c” hasta un punto localizado en la arista a, b y denominado “j”. Este punto “j” se debe trasladar a la proyección H, pero cómo buscar el lugar en donde se localizará el punto “j” cuando la recta es perpendicular a la Línea de Referencia y no existe ningún punto que pueda cortar con la arista a, b en el punto “j”. Figura 75. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 1

En este caso, cuando el plano presenta una de sus líneas en una posición perpendicular a la Línea de Referencia se debe trazar otra línea auxiliar que corte a la línea auxiliar c, j en un punto determinado. Se traza entonces una recta que inicia en el vértice “a” y culmina en el punto “o” localizado en la arista b, c. Cuando se tiene el punto de corte, al cual se denominará “t” se trasladan los puntos de la recta auxiliar a, o a la proyección H, y también se localiza el punto de corte “t” en ésta proyección; teniendo como referencia el punto por el cual debe pasar la línea auxiliar c, j se traza una recta en la proyección H que inicie en el vértice “c” y que pase por el punto “t”, ésta se prolongará hasta que corte con la arista a, b, y éste será el punto “j”. De esta forma se obtiene la línea auxiliar c, j. 86

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 76. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 2 y 3

El siguiente paso a seguir es obtener el filo del plano con la ayuda de la línea auxiliar c, j; para ello se traza una proyección Auxiliar “J” perpendicular a la línea en Verdadera Longitud y se pasan las medidas tomadas desde la tercera distancia, en este caso desde el plano a, b, c y el punto m de la proyección Vertical con relación a la Línea de Referencia H – V, y se trasladan a la proyección “J”. Al tener el plano a, b, c como filo y el punto m en la proyección Auxiliar “J”, se procede a trazar la Menor Distancia Normal, la cual consiste en formar un ángulo de 90° entre la recta que tiene origen en el punto m, con el filo del plano a, b, c; el punto de contacto de la recta de origen en el punto m con el plano a, b, c, se identifica con una letra, para esta ocasión con la letra “n”. Después de trazar la Menor Distancia Normal en Verdadera Longitud desde el punto m hasta el filo del plano, se devuelven el punto n hacia las anteriores proyecciones. En la Vista Horizontal la Menor Distancia Normal es señalada desde el punto m hasta el n, pero ¿con qué ángulo debe colocarse? la posición de la recta es la lógica de la posición que debe tener una línea en la proyección anterior cuando ésta se muestra con su verdadera Longitud en la siguiente proyección, por lo tanto en la Proyección Horizontal ésta línea m, n estará de forma paralela a la Línea de Referencia H – J, pues es la única forma de que en la proyección J ésta recta m, n se presente en verdadera Longitud. Para pasar el punto n a la proyección Vertical, se debe pasar la ubicación del punto con la línea de proyección desde la Horizontal hacia la Vertical, y la localización exacta del punto se hará con la toma 87


de la tercera distancia, ésta es la medida habida desde el punto n hacia la Línea de Referencia H – J y ésta se traslada a la proyección Vertical, midiendo desde la Línea de referencia H – V hasta donde lo indica la distancia tomada en la proyección J, teniendo en cuenta que esta medida debe colocarse sobre la línea de construcción que viene de la proyección Horizontal. De esta forma queda señalada la Menor Distancia Normal en todas sus proyecciones. Figura 77. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 4 y 5

En el siguiente caso se presentará un ejercicio de un plano con un punto exterior al mismo y se deberá indicar la Menor Distancia Normal, la Menor Distancia Horizontal y la Menor Distancia con un ángulo señalado. Hasta el momento sólo se ha estudiado la Menor Distancia Normal, ahora se añadirán a ésta las otras dos Menores Distancias, las cuales pueden trabajarse de forma independiente ó en conjunto, como en este caso. La Menor Distancia Horizontal es la que es señalada de forma paralela a la Horizontal, por lo tanto, a la Línea de Referencia H – K que es la que indica la presencia de un plano Horizontal, lo que quiere decir que es una vista en planta de un objeto y debido a que la línea de Referencia H – J es la que tiene relación con esta proyección, cualquier línea Horizontal que se quiera mostrar, debe presentarse en una posición paralela a ésta. La Menor Distancia con un ángulo dado es la que forma con la Horizontal un determinado ángulo, el cual debe ser señalado en el problema, y a partir del ángulo se trazará la recta desde el punto m hacia el plano como filo.

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En el siguiente ejemplo se presenta un plano a, b, c en la proyección Horizontal y Frontal y un punto exterior m; el plano a, b, c presenta una de sus rectas en una posición paralela a la línea de referencia H – V en la proyección Vertical, por lo tanto no es necesario trazar una línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia para proyectarla en la siguiente vista en Verdadera Longitud, pues en las líneas contenidas en el plano ya existe una con esta posición; la línea que presenta una posición paralela a la Línea de Referencia H – V es la arista a, b, por lo tanto en la proyección Horizontal ésta se muestra con su Verdadera Longitud. El siguiente paso es realizar una Vista Auxiliar K perpendicular a la línea en Verdadera Longitud (a, b) para proyectar el plano como filo; desde el punto m se trazará la Menor Distancia Normal hacia el filo del plano a, b, c. Se devolverá el punto n a cada de las proyecciones, teniendo en cuenta que la recta m, n en la proyección Auxiliar K se muestra con su Verdadera Longitud, por lo tanto en la proyección H (proyección anterior) ésta recta tendrá una posición paralela a la Línea de Referencia H – K. Para el paso de la menor Distancia a la proyección Vertical, deberá tomarse la tercera distancia. Figura 78. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 1

La Menor Distancia Horizontal será trazada desde el punto m hasta el filo del plano a, b, c con una posición paralela a la Línea de Referencia, por lo tanto una posición Horizontal. El corte de la línea Horizontal con el plano de filo se identificará con una letra, en este caso la “p”. Después se devolverá el punto “p” a las proyecciones anteriores, recordando que la Menor Distancia Horizontal se encuentra en Verdadera Longitud, lo que conlleva a que se 89


muestre de forma paralela a Línea de Referencia H – K en la proyección anterior H. El paso de la Menor Distancia Horizontal a la proyección vertical, se deberá hacer con las medidas de la tercera distancia. Figura 79. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 2 y 3

El señalamiento de la Menor Distancia con un ángulo dado debe trazarse con respecto a la Horizontal, teniendo en cuenta que un ángulo de inclinación debe verse en una proyección Vertical, como en este caso en donde la Vista Auxiliar K es adyacente a la Horizontal, por lo tanto es una proyección en alzado. El ángulo que debe señalar es de 25°, el cual se debe indicar desde la Horizontal, en este caso se tiene como referencia la línea de la Menor Distancia Horizontal y es partir de ésta que se indicarán los 25° y con esta inclinación se trazará la recta que tiene origen en el punto m y se prolonga hasta el filo del plano a, b, c. El paso del punto e, el cual identifica la recta con ángulo de 25°, será pasado a las anteriores vistas siguiendo el proceso de las anteriores Menores Distancias, por lo tanto en la proyección anterior K ésta se verá de forma paralela a la Línea de Referencia H – K, pues en la proyección K se encuentra en Verdadera Longitud. Lección 28. Nociones Topográficas - Líneas En esta lección se estudiarán las características de las que puedan dotarse los elementos en el espacio, pues cada uno de éstos se localiza en uno o varios planos del espacio, pero la información de su posición exacta aún no se ha especificado y para ello se estudian las nociones topográficas de los elementos, en este caso: las líneas. 90


Las nociones topográficas, en este caso de líneas, incluyen una descripción exacta de la relación de la recta en el plano Horizontal y las coordenadas, también su distancia topográfica; la relación de ésta con el plano vertical, por lo tanto señalan el ángulo de inclinación y la pendiente. Son estas características de posicionamiento las que permiten entender a cabalidad la situación de un elemento en el espacio geométrico. La verdadera Longitud es la distancia real que existe entre un extremo de la recta con el otro y su obtención es posible cuando la recta se encuentra en una posición paralela a la Línea de Referencia ó cuando se muestra como un punto en una proyección anterior. Estas indicaciones son lógicas al trasladar el dibujo bidimensional a un espacio tridimensional, en el cual el observador es el que define la localización de la Línea de Referencia y por ello, solo al encontrarse completamente frente a la recta será posible verla con su verdadera posición en el espacio y con su verdadera dimensión. Cuando la recta se presenta como punto, la siguiente proyección será Verdadera Longitud debido a que cuando se muestra como punto se está indicando que el observador se encuentra de forma perpendicular a la recta, por lo tanto el punto más cercano de la recta oculta al más lejano, y cuando se realiza la siguiente proyección se estará seleccionando un plano paralelo a la posición que ocupa la recta, ya que si se recuerda, cada Vista ó proyección gira 90° con relación a la siguiente, por esta razón es la siguiente proyección al punto la que se presentará en Verdadera Longitud. Figura 80.Procedimiento para obtener la Verdadera Longitud

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Al haber obtenido la verdadera posición de una recta y su Verdadera Longitud se debe poder traducir a un espacio real y para ello se debe indicar la dirección que ésta tiene en el plano sobre el cual se localiza, a esto se le conoce como Rumbo, el cual consiste en señalar la dirección de una línea recta estableciendo su desplazamiento desde su punto inicial, el cual se localiza en el origen de los puntos cardenales, hasta el otro punto de la recta. El rumbo es una orientación geográfica en un plano Horizontal, por lo tanto para señalar el rumbo de una recta, ésta debe encontrarse sobre el plano Horizontal, sin necesidad de presentarse en ésta con su Verdadera Longitud, ya que el terreno posee altibajos que no interfieren en el señalamiento del desplazamiento Horizontal de la recta. El rumbo debe indicarse teniendo como referencia el Norte (N) y el Sur (S) y la variación de éstos son el Este (E) y el Oeste (O), lo que quiere decir que los ángulo con los cuales se deberá localizar una recta con su rumbo deben varia de 0° hasta 90° de la siguiente forma. Recta a 60° Nor – Este (N - E), recta a 30° Nor – Oeste (N - O), recta a 60° Sur – Este (S - E) y recta a 25° Sur – Oeste (S - O); por lo tanto la recta debe señalarse en uno de los cuatro cuadrantes de los ejes cardinales y siempre va a tener relación con los ejes mayores: Norte y Sur, y éstos se referenciarán con los horizontales: Este y Oeste. Para lograr indicar la dirección de la recta es importante tener en cuenta que se hará en la proyección Horizontal, se dibujará en el origen de la recta los ejes cardinales en una dimensión apropiada y que no reduzca la jerarquía de la recta, y teniendo en cuenta que el Norte (N) será el punto más lejano de la Línea de Referencia y el Sur (S) el más cercano a la línea de Referencia. En la siguiente imagen se muestra una recta en las proyecciones Horizontal y Frontal, y es en la proyección Horizontal en la cual se establece su rumbo enunciando el ángulo de desviación que posee con respecto al eje Norte y referenciado con el Este; por lo tanto su rumbo es 60° Nor – Este (N - E) Figura 81. Rumbo

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El Azimut es el ángulo que forma la línea recta con el Norte, por lo tanto sólo deberá tenerse como referencia el Norte, estableciendo los ángulos de desplazamiento en sentido de las manecillas del reloj, lo que quiere decir que el ángulo aumentará de izquierda hacia la derecha. Figura 82. Azimut

La Distancia Topográfica es la medida de una recta desde un punto extremo hasta el otro, tomada en la proyección Horizontal y sin que sea relevante su Verdadera Longitud, ya que la distancia Topográfica es la medida que se determina a vuelo de pájaro de la tierra, sin que interese la inclinación, la profundidad ó sus pendiente, solo es necesario medir la distancia que es proyectada en la horizontal. Esta distancia es la que se señala en los planos ó mapas del territorio, en los cuales se está midiendo desde arriba sin aumentar la longitud de las líneas de curvas de nivel por su profundidad. Figura 83. Distancia Topográfica

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Tanto el rumbo, como el Azimut y la Distancia Topográfica son medidas que se obtienen en la proyección Horizontal. Ahora, el Ángulo de Inclinación es el ángulo que una línea recta forma con el plano Horizontal, éste ángulo puede ser de ascenso ó descenso y puede variar entre los 0° hasta los 90°. Para poder medir el ángulo de Inclinación, la recta tiene que estar proyectada en una Vista de alzado, Vertical, y debe mostrarse con su Verdadera Longitud. En el siguiente ejemplo se tiene una recta a, b en una posición cualesquiera que se muestra en las proyecciones Horizontal y Vertical. Debido a que el ángulo de Inclinación debe tomarse en una proyección de Alzado y con relación a la Horizontal, no es correcto que se realice una proyección Auxiliar a partir de la vista Frontal, ya que esta proyección sería una vista probablemente Horizontal, por lo tanto la línea de Tierra (representación de la Horizontal) no se vería como filo sino que por lo contrario ocuparía el fondo de la recta y ésta se posaría sobre la horizontal, lo que quiere decir que el observador vería la recta sobre el plano Horizontal. Para poder señalar el Ángulo de Inclinación debe ser una proyección adyacente a la Horizontal y al tener la VL en ésta se traza una línea paralela a la Línea de Referencia Horizontal H – A y se toma el ángulo en relación a ésta. Figura 84. Ángulo de Inclinación

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La pendiente también es tomada en una proyección Vertical, pero a diferencia del ángulo de Inclinación, ésta no necesita que la recta se presente con su Verdadera Longitud, pues ésta consiste en señalar la relación existente entre la distancia topográfica y la altura. El dato de la pendiente es dado en porcentaje. La operación puede realizarse de dos formas, la primera de ellas es tomar la altura o variación que tiene el extremo de la recta (extremo más lejano de la línea de Referencia) en relación al otro punto de la recta, señalándolo desde la línea que indica el plano Horizontal: línea de Tierra, y dividirlo con la distancia Topográfica y ésta relación se multiplicará por 100. Pendiente =

altura x 100 Distancia topográfica

También es posible señalar un valor conocido en la distancia topográfica, el cual representará las cien unidades de la distancia topográfica de la recta y éste punto se trasladará a la proyección Vertical, en la cual se medirá la altura; la altura será la pendiente de la recta. Figura 85. Pendiente

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Lección 29. Nociones Topográficas - Planos Para la definición y caracterización de los planos, también es importante reconocerlos y abstraerlo, por ello se debe adquirir habilidad en los procesos necesario para obtener los resultados necesarios, y esto es posible a través de la comprensión espacial de los elementos que se establecen en éste. La Verdadera Magnitud de un plano es la forma real de un plano y por lo tanto, las verdadera Longitudes de sus aristas y las relaciones entre éstas, por lo tanto sus ángulos reales. Figura 86. Procedimiento para obtener Verdadera Magnitud

Para obtener la Verdadera Magnitud (VM) se debe buscar una línea paralela a la Línea de Referencia en cualquiera de sus dos proyecciones principales, si no existiera alguna, se debe trazar una línea Auxiliar en el plano, paralela a la Línea de Referencia en una de sus 96


dos proyecciones. La siguiente proyección mostrará a la recta con su Verdadera Longitud y con referencia a éste se trazará una proyección Auxiliar, en este caso J, de forma perpendicular (perpendicular a la recta a, e) y en ésta proyección el plano se verá de filo y la línea Auxiliar quedará como un punto. Ahora, se proyectará una Línea de Referencia paralela al filo, con lo cual se consigue ver el plano con su Verdadera Magnitud. En la proyección Auxiliar V el plano se presenta con su forma real. Para obtener el Rumbo del plano dele trabajarse con una línea que se encuentre en Verdadera Longitud en la proyección Horizontal, si el plano no la contiene debe trazarse una línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia H – F en la proyección Frontal y trasladar los puntos para que en la siguiente proyección (H) ésta recta auxiliar se presente con su verdadera Longitud. Se debe definir el origen del plano, en este caso se toma el punto “a” como punto de inicio, y es en éste en el cual se localizan los ejes de los puntos cardinales, los cuales pueden ser dibujados con solo un eje mayor, en el caso de la siguiente figura se podría mostrar solo la línea del eje del Sur (S), ya que el ángulo de la recta del plano hace referencia a éste, pero se dibujan todos los ejes para evitar confusiones en este ejemplo. Debido a que se define que el origen es el punto “a” éste debe localizarse en el foco de los ejes cardinales, y ya que la recta va descendiendo se debe relacionar con el eje Sur (S) del plano Cardinal y con relación al Este, formando un ángulo de 53° Sur – Este (S -E). Figura 87. Rumbo

Para definir el ángulo de inclinación de un plano se hace por medio del Buzamiento, el cual señala el ángulo de declinación de un plano visto de filo en un plano de proyección 97


adyacente a la Horizontal, por lo tanto, en un plano de Alzado. El buzamiento indica el sentido de hundimiento y no el sentido de elevación. Figura 88. Buzamiento

El Buzamiento mide el ángulo de inmersión del plano con respecto al plano Horizontal, por lo tanto se toma el punto “b” del plano como el punto más lejano, lo que está a mayor distancia del plano Horizontal y el punto “a” es el que toca al plano Horizontal, el cual también se muestra como filo. En el ejemplo de la siguiente figura se tiene un plano a, b, c y se proyecta a una vista auxiliar su filo y tomando como su base el punto más lejano “a” a línea de Referencia H – J se debe trazar una línea de tierra paralela a ésta que pase por el punto “a”, y con referencia en ésta se señala el ángulo de declinación ó de hundimiento del plano a, b, c. 56° es el Buzamiento del plano a, b, c. Figura 89. Ejemplo de Buzamiento

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Es necesario que cuando se defina el Buzamiento también se señale el Sentido de caída, el cual indica en un plano Horizontal la declinación del plano. Esto es como si se tuviera una mesa con una declinación y se colocara sobre ésta una gota de agua, la dirección que tomaría la gota de agua sobre la mesa es el sentido de caída del plano. El sentido de caída es el paso siguiente a la definición del Buzamiento, ya que éste se define con la estipulación del Buzamiento. Ahora bien, en la proyección anterior al filo donde se definió el Buzamiento, por lo tanto en la proyección Horizontal, a partir de la Línea de Verdadera Longitud se debe señalar con una flecha el sentido de caída, por lo tanto el sentido de caída es una línea perpendicular a la línea del rumbo del plano (VL) en su proyección Horizontal, y teniendo claro que el Norte el el punto más lejano de la Línea de Referencia H – V y que es perpendicular a ésta, se debe señalar el sentido de caída con respecto a los ejes cardinales. En este caso, el sentido de caída tiene una dirección Nor – Oeste. Es importante tener claro que la flecha que indica el sentido de caída dede dirigirse hacia la inclinación que posee el plano en la proyección de filo, por lo tanto la flecha de caída está señalando que el punto “b” es el que está más cercano a la Línea de Referencia H – J en la zona izquierda del plano de proección, y el punto “a” es el que se encuentra más lejano a ésta Línea de Referencia y se localiza en la zona inferior derecha del plano de proyección Auxiliar J. Figura 90. Sentido de Caída

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Lección 30. Aplicación en Proyecto Todo proyecto debe ser expuesto y dado a conocer, y esto es posible a través de la información gráfica que se brinda de éste, por tal razón es necesario aprender a expresar las ideas a través de dibujos, ya sean bidimensionales ó tridimensionales. Las representaciones gráficas deben ser lo suficientemente claras para todos los observadores, por esta razón deben seguir criterios de presentación Universales, leyes que se deben aplicar a cada interpretación gráfica, por lo tanto la forma en que se expresa debe ser lo más cercana a la realidad del objeto y para ello la expresión gráfica, enfatizada en las proporciones, las intensidades de líneas, manejo de escalas correctamente, tipos de líneas y adecuado dimensionamiento, ejercen un papel de gran importancia, y estas características pueden enaltecer un proyecto ó perjudicarlo. De igual forma, la interpretación dada a un objeto en un dibujo debe ser abstraída correctamente, esto se evidencia en las vistas de un dibujo, en donde la visibilidad juega un papel importante, pues si no se comprende a cabalidad la información proporcionada desde cada proyección en el espacio geométrico, su construcción real implicará afectaciones económicas, temporales, de mano de obra y hasta empresariales; por lo tanto, en la claridad y veracidad de una representación está el principio de una correcta interpretación, ulterior construcción y adecuado funcionamiento, de un elemento planteado a nivel gráfico. Para evitar los errores de interpretación y de dibujo, el estudiante deberá tener una abstracción mental desarrollada, la cual pueda ser planteada gráficamente, a través de normas de presentación fijadas.

CAPÍTULO 7. INTERSECCIONES

Las Intersecciones hacen parte de los tipos de relaciones espaciales existentes entre los elementos geométricos; ésta se presenta cuando el elemento no se encuentra en una posición de paralelismo con otro, ó cuando una recta no está haciendo parte de un plano, cuando no se presentan las anteriores situaciones nombradas, entonces se intercepta con el elemento al que hace referencia.

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La intersección por lo tanto es el encuentro de dos elementos geométricos que se cortan entre sí, formando una sección de penetración, la cual puede ser un punto, una línea ó un área, esto depende de los elementos que se estén relacionando. La intersección entre un plano y una recta da como resultado una penetración que conforma un punto; la sección de la intersección de dos planos, es una línea; la intersección de un plano con un poliedro, resulta en una sección recta, y de la intersección de dos poliedros resulta una sección conformada por varias líneas localizadas en diferentes planos espaciales y unidas entre sí, conociéndose como la “curva de intersección espacial”. Lección 31. Intersección Línea – Plano, Método del Filo y Plano Cortante La intersección de una recta con un plano es un punto común a los elementos geométricos. Esta intersección es fundamental para el buen desarrollo y aplicación de las demás intersecciones, ya que la abstracción mental de la penetración de un elemento, como la recta, con otro, el plano, en un espacio geométrico, permitirá señalar posiciones de formas geométricas, a las cuales no se tiene acceso, ya que éstas están conformadas por líneas imaginarias que limitan un espacio y localizan un plano real en un espacio geométrico, pero que al ser entendidas desde su elemento básico: la recta, se podrá llegar a comprender los demás elementos que se conforman por este primordial. Existen dos métodos por los cuales se pueden llegar a obtener el punto de penetración real de los dos elementos que intervienen en la relación espacial: el método del Filo ó de Perfil, y el Método del Plano Cortante. Los dos métodos son confiables y deben llegar al mismo resultado, ya que están expresando la consecuencia de una relación espacial real entre dos elementos. El Método del Filo ó también llamado de Perfil, busca llevar al plano que interviene en la intersección a Filo, por lo tanto, busca hacerlo ver como una línea, y con ello conseguir el punto de contacto entre los dos elementos (la recta con el plano). El Método del Plano Cortante trabaja con las dos vistas dadas (Horizontal y Vertical), a partir de ellas selecciona elementos que parezcan intervenir en la relación espacial y a uno de ellos, en una de sus proyecciones, le traza un plano cortante imaginario que se extiende infinitamente hacia el otro elemento que se está interviniendo, por lo tanto necesariamente lo va a traspasar y con ello se consigue que se corten en determinados puntos que luego se transformarán en un solo punto de penetración, a través de un proceso que se explicará más adelante.

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En esta Lección se enseñará a obtener el punto de penetración de dos elementos que se interceptan en el espacio geométrico, trabajando a partir de ejemplos que se presentarán por medio del proceso a realizar en todos los ejercicios relacionados, por lo tanto se mostrará paso a paso el proceso que el estudiante debe seguir para obtener el punto de penetración. El primer método que se va a presentar es el de Filo, el cual es el más seguro, ya que al dejar al plano en una vista auxiliar, adicional a las dadas, como filo se hace más fácil señalar el punto de contacto y la visibilidad en las proyecciones. Figura 91. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2

Se presenta un plano a, b, c con una recta m, n, la cual al parecer lo interceptará, ya que ésta no está mostrándose paralela a ninguna de las rectas que conforman el plano y se encuentra en una posición cualesquiera, al igual que el plano, por lo tanto debe llevarse a filo para comprobar si existe un contacto, una penetración. Para llevar el plano a Filo se procede de la forma en que siempre se debe hacer: si no existe una línea contenida en el plano que sea paralela a la Línea de Referencia, se trazará una recta auxiliar paralela a la Línea de Referencia, la cual surgirá desde un punto del plano; luego ésta se proyectará a la siguiente Vista, en la cual se mostrará con su Verdadera Longitud; Luego se deberá trazar una proyección Auxiliar de forma perpendicular a la Línea en Verdadera Longitud (c, e) para verla como punto y por lo tanto 102


al plano como filo. Al obtener la vista del filo también se proyectará la recta, con ello se consigue el punto contacto entre el plano y la recta, punto al cual se le denominó “p”. Figura 92. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Filo. Paso 3 y 4

El punto de penetración debe devolverse a las vistas Horizontal y Frontal para así localizar la intersección en todas sus proyecciones. La forma adecuada para devolver tal punto es a través de las líneas de proyección, las cuales se trazan de una proyección a otra de forma perpendicular a la Línea de Referencia a la que atraviesan, y se situará el punto en donde tenga contacto la línea de proyección con la recta m, n. La visibilidad de la línea será definida por cercanía ó por el método de las líneas que se cruzan. El método de cercanía se utilizará para obtener la visibilidad correcta en la proyección Horizontal, ya que ésta se basa en la proyección de Filo para obtenerla. En ésta se debe observar que en la proyección Auxiliar J se tiene la recta m, n con el plano como filo, y lo que queda antes del plano es la segmento de la recta “m” hasta el punto de penetración “p”, por lo tanto de la recta el segmento “m” hasta el punto de contacto con el plano, punto “p”, será visible, luego la recta se volverá invisible, hasta los límites del plano a, b, c, por lo tanto, lo que esté después del punto de penetración será invisible, ya que se encuentra por detrás del plano y el observador no podrá verlo. Esto es en el caso de los elementos en la proyección Horizontal. Para descubrir la Visibilidad de la proyección Frontal, el observador debe estar localizado en ésta y debe mirar hacia la proyección Horizontal pues es de ésta de la cual se obtendrá la visibilidad de los elementos de la Frontal. En este caso se trabajará a partir de las líneas que se cruzan, entonces, en la proyección Frontal se cruzan la recta m, n con la línea c, a, del plano; el observador debe mirar hacia la proyección Horizontal desde la proyección frontal y verificar en qué posición se encuentran las líneas que se cruzan en la vista 103


Frontal; La línea m, n se encuentra en una posición anterior que la línea c, a, ya que el punto “m” es el más cercano al observador, mientras que la recta c, a, tiene a la recta m, n antes que ella, por lo tanto la recta visible va a ser el segmento de la recta “m” hasta la intersección “p”, debido a que el punto “m” es el que se encuentra antes del plano y el punto “n” está después del plano y del punto de penetración, por lo tanto, solo el segmento m, p es el visible. Ahora, por el Método del Plano Cortante se debe escoger un eje, una línea, el cual será extendido de forma perpendicular a la posición de la recta y se prolongará indefinidamente, de modo que corte el plano a, b, c, en algún punto necesariamente, sin importar su posición en el espacio, pues como el plano cortante no es limitado tendrá que hacer contacto con éste. Figura 93. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Plano cortante. Paso 1.

El ejercicio presenta el plano a, b, c y la recta m, n, elementos que se interceptan en algún punto, el cual va a ser definido a través de la configuración de un Plano Cortante imaginario, el cual se localizará en la prolongación de la recta m, n y se extenderá de forma perpendicular a ésta, buscando cortar el plano a, b, c y definir dos puntos de contacto del plano con el Plano Cortante – 1. El Plano Cortante 1 se puede señalar en cualquiera de las proyecciones, en este caso se realiza en la proyección Horizontal y éste debe indicarse con un tono de línea inferior al de los elementos y con el tipo de línea K. Los puntos en los que corta el Plano Cortante al plano a, b, c, se definirán con un número ó letra, en este caso se utilizaron los número 1 y 2. Los puntos de contacto se trasladarán a la siguiente proyección, en este caso a la 104


Frontal, y se establecerán sobre la arista del plano a, b, c, que esté cortando el Plano Cortante, por lo tanto el punto 1 corta la arista c, b y el punto 2 corta a la arista a, b, por ello al trasladar los puntos de contacto a la siguiente proyección se establecerán sobre las aristas del Plano a, b, c; se debe unir el punto 1 con el 2 en esta proyección con línea tipo F. Figura 94. Proceso Intersección Recta – Plano, Método del Plano cortante. Paso 2 y 3.

La intersección de la recta formada por el punto 1 y el 2 en la proyección Frontal con la línea m, n, es el punto real de intersección: punto “p”; éste punto debe devolverse a la proyección anterior, proyección Horizontal, y donde corte la línea de proyección con la recta m, n, se indicará el punto “p”. Para la definición de la visibilidad se deberá realizar necesariamente por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal la recta m, p se cruza con la línea c, b, el observador ubicado en esta proyección deberá mirar hacia la proyección Frontal para la verificación de la posición de las rectas; se puede ver que el segmento m, p, se encuentra antes que la recta c, b, por lo tanto la recta m, p, será la visible en la Vista Horizontal y la recta p, n, será oculta hasta el límite del plano a, b, c. En la proyección Frontal se tomarán dos líneas que se cruzan: m, p con c, a. El observador dirigirá su mirada hacia la proyección Horizontal y verificará cuál de las dos se encuentra en una posición anterior, por lo tanto más cerca del observador. La recta m, p se localiza más cerca al observador que la recta a, c, por lo tanto la recta m, p en la proyección Frontal será el segmento de la recta visible y el segmento p, n será oculto hasta los límites del plano a, b, c. 105


Lección 32. Intersección Plano – Plano, Método del Filo y Plano Cortante Se continuará trabajando con los dos métodos aprendidos en la lección anterior, pero se varían los elementos que se relacionan. En este caso los elementos que entran en contacto son dos planos. En el método del Filo ó también llamado de Perfil, se debe colocar a uno de los dos planos como un Filo en una proyección Auxiliar. En el ejemplo que se presentan en esta lección se traza una línea auxiliar al plano m, n, o, de forma paralela a la Línea de Referencia H – F y se proyecta a la siguiente Vista, en este caso a la Horizontal, en la cual se mostrará en Verdadera Longitud; a partir de esta recta se trazará un Línea de Referencia perpendicular para definir el plano m, n, o, como un Filo y se haga evidente los puntos de contacto con el plano a, b, c. Figura 95. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2

En la proyección Auxiliar se definen los dos puntos de contacto del Filo con el plano a, b, c, y se identifican con una letra ó un número, en este caso el punto 1 se localiza sobre la arista c, b, y el punto 2 sobre la arista a, b. Estos puntos se deben devolver a las proyecciones anteriores a través de las líneas de construcción ó de proyección, las cuales deben quedar de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atraviesan y localizarse sobre las aristas que se encuentran, según lo indica el Filo. El punto 1 se traslada de la proyección Auxiliar J a la proyección anterior H y deben situarse en las aristas correspondientes; el punto 1 sobre la arista c, b, el punto 2 sobre la arista a, b. Debido a que la recta de la intersección formada por el punto 1 y el punto 2 en 106


la proyección Horizontal se encuentra por fuera del cruce de los dos planos, el segmento del punto 1 que se encuentra sobre uno de los planos (a, b, c) se debe acortar, señalando el punto 1’, el cual forma con el punto 2 la intersección real de los planos. Los puntos 1’ y el 2 se deben trasladar a la proyección siguiente, proyección Frontal, y localizarse sobre las aristas que se encuentran en la Horizontal. El punto 2 sobre la arista a, b, y el punto 1’ sobre la arista o, n. Los puntos 1’ y 2 se deben unir con una línea continua e intensa que señale la intersección de los dos planos. Figura 96. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 3.

Se debe definir la visibilidad correcta de los planos y para ello se debe proceder a la proyección anterior para verificar el segmento del plano más cercano al observador. Para definir la visibilidad de los planos en la Horizontal se observa la proyección Auxiliar J, en la cual el plano m, n, o, se presenta como filo; el segmento a, c, se encuentra antes que el segmento de la recta m, o, por lo tanto a, c, va a ser visible hasta la línea de intersección, después de la intersección cambia la visibilidad, entonces, el plano a, b, c, deja de ser visible y pasa a ser invisible, lo que quiere decir que después de la intersección el plano a, b, c, queda por debajo del plano m, n, o. Si no se tiene seguridad absoluta sobre la definición de la visibilidad, se verificará con otras líneas, por ejemplo, el segmento n, m , será visible porque en la proyección anterior (J) se están mostrando antes que el segmento del plano a, b, c, por lo tanto en la parte superior de la intersección de la 107


proyección Horizontal, la recta n, m es la visible por localizarse más cerca del observador y antes que la recta b, c. Esta definición es el resultado del método de las líneas que se cruzan. Para la definición de la visibilidad en la proyección Frontal debe procederse de la misma forma: el observador se localiza en la proyección Frontal y verifica dos líneas que se crucen en esta proyección, mira hacia la proyección Horizontal y verifica cuál de las dos líneas se encuentra en una posición anterior a la otra. Figura 97. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 4.

La siguiente figura muestra de forma clara la intersección real de dos planos, en este paso se omitieron las líneas ocultas y se achuró uno de los planos, para que existiera mayor claridad sobre la verdadera intersección entre los planos, la cual es una intersección parcial, no es total, debido a que el plano m, n, o, no atraviesa por completo el plano a, b, c. Figura 98. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Filo. Paso 5.

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El método del Plano Cortante consiste en establecer dos aristas de un plano que se crucen completamente con el otro, y en estas se establecerán dos planos cortantes que atravesarán al otro plano. En el ejemplo se tomó como referencia el plano a, c, b, y los planos cortantes se establecen sobre las aristas a, c, como Plano Cortante 1, y a, b, como Plano Cortante 2. Cada Plano Cortante corta al otro plano (m, n, o) en dos puntos: El plano Cortante 1 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 1 y 2, y el plano Cortante 2 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 3 y 4. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección y colocarse sobre las aristas que el Plano Cortante intercepta, por lo tanto el punto 1 se localizará sobre la arista m, o, debido a que el plano Cortante 1 tiene contacto con esta arista en el punto 1; el Plano Cortante 1 también tiene contacto con el otro plano en la arista n, o, en el punto 2. El Plano Cortante 2 tiene contacto con el plano m, n, o en los puntos 3 y 4; el punto 3 se localiza en la arista m, o, y el punto 4 sobre la arista m, n. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección (Frontal) y situarse sobre las aristas correspondientes del plano m, n, o. Figura 99. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Plano Cortante. Paso 1 y 2.

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En la proyección Frontal se deben identificar los puntos que pertenecen al mismo plano Cortante: 1 y 2 son del PC-1, 3 y 4 son del PC-2. Los puntos que pertenecen a cada plano se unirán por medio de líneas discontinuas, formando dos rectas segmentada en la proyección Frontal. Esta recta que conforman los puntos de contacto deben pasar, tocar ó interceptar a las aristas sobre las que se localizan los planos cortantes. El plano Cortante 1 es una extensión de la arista a, c y el plano Cortante 2 de la arista a, c, por lo tanto las líneas que unen los puntos de contacto en la proyección Frontal deben pasar ó tocar a las aristas del plano Cortante al cual pertenezcan. Esto quiere decir que la recta conformada por el punto 3 y 4 deberá pasar ó tocar a la arista que contiene el Plano Cortante 2, del cual resultaron estos puntos de contacto, y efectivamente, en la proyección Frontal la recta 3, 4, pasa por la arista a, b: Éste es el punto real de intersección, al cual se le llamará “p”. En el caso de los puntos 1 y 2, pertenecientes a la arista a, c, no llegan a tener contacto con la arista que contiene el plano cortante, ya que el punto 2 queda sobre la arista n, o, del otro plano, y la línea de los puntos de contacto no pasa por la arista a, c. El procedimiento a seguir es la extensión de las líneas que deben tocarse (1, 2 con a, c) en la dirección que poseen. La línea 1, 2 y la línea de la arista a, b, se prolongan para que pueda darse la intersección en un punto común. Esto se debe realizar sabiendo que los planos son infinitos y que son limitados a través de unas líneas. Se localiza entonces la intersección de la recta 1, 2 con la arista a, c, en el punto 2’ ó 2. Se deben unir los puntos de intersección p y 2, pero debido a que se sale del contacto real de los dos planos, se debe limitar la línea de intercepción a los límites de los dos planos, limitar al contacto de los dos planos, por lo tanto la línea de intersección real es la establecida desde el punto 110


“p” hasta el punto “e”. Los puntos se trasladan a la proyección anterior (H) y se localizan sobre las aristas correspondientes: p sobre a, b, y e sobre n, o. Figura 100. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4.

Luego de haber definido la línea de la intersección real entre los dos planos, el siguiente paso es señalar la visibilidad correcta, ésta se realiza por medio del método de las líneas que se cruzan. Para identificar los segmentos de los planos que van a ser visibles en la proyección Horizontal, se ubicará al observador en ésta Vista e identificará dos líneas que se crucen y se procederá a su verificación en la siguiente proyección; la posición de cada una de estas con respecto al observador, será la clave para la determinación de la visibilidad. La línea a, c, se cruza con la línea m, o, en la proyección Horizontal, al verificar la localización de éstas en la proyección Frontal, se puede ver que la línea a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, o, por lo tanto en la proyección Horizontal la recta visible es la a, c. Esto significa que a, c es completamente visible y las líneas que lleguen a estos puntos serán visibles hasta la línea de intersección, después de la intersección cambiará la visibilidad, lo que quiere decir que al otro lado de la línea de intersección el plano m, n, o será el visible y el a, b, c, será el invisible. Para determinar la visibilidad de los planos en la proyección Frontal, se ubica al observador en esta proyección y se identifican dos líneas que se crucen en ésta vista, se verifica la posición de las mismas en la siguiente proyección (H) y se determina cuál de las 111


dos rectas es la visible y a partir de esta definición, el resto de la visibilidad se hará por lógica. En la proyección Frontal se cruzan las líneas a, c, con m, n. En la proyección Horizontal la recta a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, n, indicando que a, c, será la visible y todas la líneas que lleguen a ésta hasta la intersección, después de ésta cambia la visibilidad. Figura 101. Proceso Intersección Plano – Plano, Método del Plano Cortante. Paso 5.

Lección 33. Intersección Plano - Sólido, Método del Filo y Plano Cortante En el campo de la Ingeniería y en el de la arquitectura se hace uso de la Geometría Descriptiva para descifrar la relación real entre los elementos que intervienen en el diseño de tuberías, ductos, cubiertas, columnas y vigas, entre otros. Las relaciones existentes entre éstos elementos debe descifrarse en el diseño y establecerse a plenitud, para que en el momento de su ejecución no haya campo de error, lo cual pueda perjudicar el adecuado funcionamiento de los elementos, y también intervenir en la fidelidad de las cantidades de obra y la compra de materiales, y con ello afectar el resultado del diseño, poner en riesgo vidas humanas y como consecuencia de éstos errores también se comprenderían las pérdidas económicas. 112


La intersección de elementos en un diseño debe asumirse con responsabilidad, y a través de la técnica establecer las relaciones geométricas reales entre los mismos, definiendo con exactitud los ángulos, la sección de intersección, las longitudes y magnitudes reales de los objetos que están involucrados en el diseño. En el proceso que se definirá en las figuras mostradas a continuación se estará señalando la sección de contacto de los dos elementos que intervienen en la relación geométrica y la cual puede ser obtenida a través del método del Filo ó el método de los Planos Cortantes. En las primeras figuras se realizará paso a paso el proceso del Método del Filo, para obtener la sección entre un prisma rectangular y un plano triangular. Figura 102. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 1.

Se presenta un prisma rectangular con aristas paralelas identificadas como: 1-1’, 2-2’, 3-3’ y 4-4’; el plano triangular se identifica con las letras a, b, c. Para obtener la sección de la intersección por el método de Perfil, se debe llevar al plano a filo, por lo tanto se realizará una proyección Auxiliar perpendicular a una de las líneas contenidas en el plano (a, b, c) en Verdadera Longitud, si ésta no existiera se trazaría una línea auxiliar de forma paralela a la Línea de Referencia, ubicada en cualquiera de las dos proyecciones (H ó F), en este caso se toma como paso inicial la proyección Horizontal y es en ésta donde se traza la línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia, luego se trasladan los puntos a la siguiente proyección (F) con la ayuda de las líneas de proyección, las cuales deben trazarse de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atravesarán. Figura 103. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 2.

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En la proyección Frontal se encuentra la línea auxiliar a, e, en Verdadera Longitud y con relación a ésta se debe trazar una proyección Auxiliar perpendicular (J) en la cual se visualizará el plano a, b, c, como filo. La idea de llevar el plano a, b, c, a filo es identificar con claridad los puntos por los que el plano atraviesa ó tiene contacto con el sólido, señalando el punto de contacto del filo con las aristas del prisma rectangular. En esta figura, se muestra en la proyección auxiliar el plano como filo y el sólido sin visibilidad, debido a que la visibilidad es identificada en este momento, en donde el estudiante debe revisar la proyección anterior (F) ubicado desde la proyección Auxiliar (J) y verificar por cercanía ó por líneas que se cruzan (método de mayor seguridad) las líneas que serían visibles en la proyección Auxiliar. Figura 104. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 3.

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En esta figura se define la visibilidad del prisma rectangular en la proyección Auxiliar (J), determinado por medio del método de las líneas que se cruzan, entonces como en la proyección “J” se están cruzando las aristas 3,3’ con la 2’,1’ se revisa la proyección anterior “F” y se obtiene que la arista anterior es la 3,3’ y que la arista 2’,1’ se encuentra en la zona posterior, por lo tanto es la que se localiza más lejos del observador, por esta razón la arista 3, 3’ va a ser visible en la proyección Auxiliar y la arista 2’, 1’ será invisible; con el resto de las visibilidades de procede de las misma forma, sabiendo que el contorno siempre va a ser visible, por lo tanto las aristas 2, 1, 4, 4’, 3’, 2’ van a ser visibles por estar localizadas en el contorno de esta proyección. Se localizan los puntos de contacto entre el prisma rectangular y el plano de filo, puntos localizados de la siguiente manera: punto p en la arista 4, 4’; punto m localizado sobre la arista 1, 1’; punto n sobre la arista 3, 3’ y por último el punto u encontrado en la arista 2, 2’. De esta manera se devolverán los puntos a las proyecciones anteriores, siguiendo los criterios de localización ya enunciados. 115

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 105. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 4.

Teniendo los puntos sobre las aristas correspondientes en todas las proyecciones, se deben unir con orden lógico, lo que quiere decir que un punto localizado sobre la arista 2, 2’ se podrá unir con otro que se encuentre en un plano adyacente, por ejemplo: 1, 1’ ó 3, 3’, pero no podrá unirse a otro que se localice en una cara que no tenga relación directa con ésta, como por ejemplo un punto que situado en la arista 4, 4’. Por lo tanto, se unirán los puntos y se definirá simultáneamente la visibilidad de los mismos con ayuda de la lógica, pues si los puntos conforman una línea sobre una cara invisible, no podrán los puntos de la sección ser visibles. En la proyección Frontal, el punto p, localizado en la arista 4, 4’ se unirá a los puntos que se encuentren en las aristas 3, 3’ y 1, 1’, por lo tanto se unirá con los puntos n y m, simultáneamente; éstos puntos se unirán a través de líneas visibles, ya que se localizan sobre caras visibles, pues la cara conformada por los puntos 1, 4, 4’, 1’ es visible y sobre ésta se encuentra la línea p, m; ahora, la cara en la cual se localiza la línea p, n es la 116


conformada por los puntos 4, 3, 4’, 3’, la cual también es visible, según lo evidencian las líneas que conforman las caras, ya que son continuas, señalando por lo tanto que son caras visibles. El punto “u” se establece en la arista 2, 2’ y en proyección Frontal ésta arista es invisible, por lo tanto, toda línea que se origine de ésta arista va a ser invisible por localizarse en una cara invisible, pues al abstraer mentalmente el prisma, se podrá ver con claridad que las caras ocultas son las 2, 2’, 3, 3’ y 2, 2’, 1, 1’, por lo tanto las líneas de la sección que se localicen sobre estas caras también estarán ocultas, lo que quiere decir que la recta m, u y n, u, serán invisibles. Se debe proceder de la misma forma en la proyección Horizontal, uniendo puntos adyacentes a través de líneas y definiendo la visibilidad en éstas a través de la lógica de las caras. Entonces en la proyección Horizontal se establecerá la sección con las rectas u, m, p siendo visibles y p, n, u quedarán ocultas. Figura 106. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 5.

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El paso 5 consiste en definir la visibilidad de los elementos que se relacionan, pues ya está definida la sección de la intersección, pero ahora es necesario hacer lógica la intersección, por lo tanto, entenderla. Se inicia el proceso de visibilidad desde el filo hacia la Frontal. El observador se localiza en la proyección Frontal, ya que es a ésta vista a la cual se le debe definir la visibilidad; el observador mirará hacia la proyección auxiliar (J) y definirá qué sección del filo es la visible y qué sección del sólido no está interferida por el plano de filo, esto lo que quiere decir en otras palabras, es que al trazar las líneas de proyección hacia la Frontal desde la Auxiliar, las líneas de proyección que no sean interrumpidas por otra arista, serán visibles, por ejemplo, la línea de proyección que sale del punto c, del punto p, del punto 4’ y del punto a, no están obstruidas por ninguna arista, lo que las hace visibles, a diferencia de las líneas de proyección que se originan en los puntos 2’, b, u, los cuales son interrumpidos por aristas como 3, 3’, 4, 4’, las cuales impedirán su visibilidad. Entonces, el segmento 4’, p del sólido es visible completamente y el segmento c, a hasta el punto p será visible. Con estas dos definiciones de visibilidad se puede obtener el resto de las visibilidades. Si 4’, p es visible, estará indicando que todo el segmento del prisma localizado en la zona posterior de la sección de intersección será visible (las caras visibles) y la sección del plano a, b, c, que pasen por este segmento de visibilidad del prisma serán invisibles. Por lo tanto: 4’, p – m, 1’ – n, 3’ - 1’, 4’, 3’, serán visibles, por localizarse en el segmento en el cual el prisma queda sobre el plano, situación manifiesta en la proyección auxiliar con la localización del segmento 4’, p totalmente visible, lo que define que el segmento del prisma posterior a la sección es visible. Ahora, como a, c, también se identificó plenamente como visible en la proyección Auxiliar, entonces en la Frontal ésta quedará sobre el prisma y será visible completamente, ocultando los segmentos del prisma que se localicen en los límites del plano a, b, c, antes de la sección de intersección. Para la definición de la Visibilidad de la Horizontal se realizará con ayuda del método de las líneas que se cruzan, por lo tanto el observador situado en la proyección Horizontal establece dos líneas que se crucen para definir su visibilidad mirando la posición de las dos líneas en la proyección anterior, en este caso en la Frontal. Se deben tener varias opciones de líneas que se crucen, ya que algunas no se muestran con tanta claridad y se deberá verificar con otras que sean contundentes. Por ejemplo, a, b se cruza con 1, 1’, quién es visible?, se supone que “a” es el punto más cercano al observador, entonces a, b, sería visible, pero no es tan claro, por lo tanto es mejor comprobar con otros puntos que se muestren con mayor claridad, caso de las líneas c, b, con 1, 1’, al revisar la proyección anterior (F) la línea 1, 1’ está en una posición anterior, con respecto al observador, que la línea c, b, la cual se encuentra lejos del observador, lo que quiere decir que 1, 1’ va a ser visible y c, b, será invisible en la proyección Horizontal, teniendo en cuenta que 1, 1’ cambiará su visibilidad después de la sección de intersección, por lo tanto la línea visible es 1’, m. A partir de la definición de dos líneas contundentes como 1, 1’ y c, b, se puede obtener por lógica la visibilidad del resto de los elementos, teniendo claro que la visibilidad de un elemento cambia antes y después de la sección de intersección. 118


En la siguiente figura se muestra de forma más clara la intersección de los dos elementos y se puede verificar la visibilidad. En la proyección Horizontal, antes a la sección el prisma es visible y después de la sección el visible es el plano. En la proyección Frontal antes de la sección es visible el prisma y después de la sección es el plano. Figura 107. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Filo. Paso 6.

Para obtener la sección de la intersección del prisma y el plano a, b, c, por medio del Método del Plano cortante se debe proceder de la siguiente forma: se toma uno de los elementos que intervienen en la intersección, puede ser el plano ó el prisma, en el caso del ejercicio se toma el prisma, debido a que todas sus aristas son paralelas y de esta manera es más fácil de identificar los puntos de contacto. Se identifican las aristas del sólido que entran en contacto con el plano, en este caso todas las aristas se cruzan con el plano, pero si el plano triangular tuviese su vértice b antes que la arista 2, 2’, no sería necesario tomar en cuenta esta arista, ya que no tendría objeto alguno señalar un Plano cortante sobre ésta si ésta no se relaciona con el plano. 119


Ahora, como todas las aristas del sólido se cruzan con el plano a, b, c, se deben señalar Planos cortantes sobre cada una de éstas aristas, definiendo los planos con líneas tipo K que se prolongan con la misma dirección de las aristas sobre las que se posan e identificando cada Plano Cortante con un nombre determinado y un orden lógico. En el caso del ejemplo se señalan los planos por medio de colores para dar mayor claridad y con nombres: el Plano Cortante 1 (PC-1) se establece sobre la arista 1, 1’; el PC-2 sobre la arista 2, 2’; el PC-3 en la arista 3, 3’ y el PC-4 sobre la 4, 4’. También los planos Cortantes pueden ser determinados por el orden de consecución de las aristas, por ejemplo, la arista 2, 2’ es la que se encuentra en la zona superior de la representación, entonces ésta puede ser el PC-1, el PC-2 podría ser la arista 3, 3’ que consecutivamente se localiza, éste también puede ser un orden lógico. Figura 108. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1.

Luego de definir los Planos Cortantes deben señalarse los puntos de contacto entre cada Plano Cortante y el plano a, b, c. El Plano Cortante 2 traspasa al plano a, b, c, en las aristas a, b, en el punto “m” y en la arista c, b, en el punto “n”. Éstos puntos se intersección se trasladarán a la proyección siguiente (F) y se establecerán sobre las aristas correspondientes. Entonces, el punto “m” se pasa con ayuda de una línea de proyección perpendicular a la Línea de Referencia (color gris) y se localiza en la intersección de ésta con la arista que corta el plano cortante, lo que quiere decir que el punto “m” se pasa a la proyección Frontal y en donde corte la línea de proyección con la arista a, b, allí se colocará el punto “m”. Para localizar el punto “n” se debe proceder de la misma forma, por lo tanto, en la proyección Frontal, el punto “n” se localizará sobre la arista c, b. Como los puntos m y n pertenecen al mismo plano Cortante, se unirán a través de una línea punteada (tipo F). 120


Figura 109. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2.

Para los siguientes planos se debe proceder de la misma forma, encontrando los puntos de contacto del plano Cortante con las aristas del plano a, b, c. Figura 110. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4.

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Se obtienen todos los puntos de intersección, dos puntos por cada plano cortante: El PC-2 tiene los puntos m y n, donde m se localiza sobre la arista a, b y n sobre la arista c, b; el PC-3 señala los puntos de contacto q y r, q sobre la arista a, b y r sobre c, b; PC-1 corta en los puntos f y s, donde f se localiza sobre la arista a, b y s sobre la arista c, b; el PC-4 identifica dos puntos “x” y “y”, donde “x” corta a la arista a, b, y “y” a la c, b. Se trasladan los puntos a la vista Frontal y se unen los que pertenecen al mismo plano Cortante. El paso 5 consiste en definir un solo punto de intersección por Plano Cortante, lo cual se consigue de la siguiente forma: la recta conformada por los puntos m, n pertenecen al PC2, el cual se posa sobre la arista 2, 2’, por tal razón, la recta m, n debe interceptar la arista 2, 2’ y es allí en donde se localiza la intersección real; éste punto de intersección, identificado como 2f, debe devolverse a la proyección anterior (H) y situarse sobre la arista correspondiente, arista 2, 2’. Figura 111. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 5.

La recta q, r pertenece al PC-3 (color cián) por lo tanto debe interceptar la arista que contiene este Plano Cortante, arista 3, 3’, el punto de contacto será la intersección real y se trasladará a la anterior proyección (H) donde se ubicará sobre la arista 3, 3’, arista que contiene el Plano Cortante correspondiente a los puntos q, r. Posterior a ello se deben 122


unir los puntos de intersección real, analizando qué puntos pueden unirse: 2 con 3, 2 con 1, 3 con 4, 4 con 1. Figura 112. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 6 y 7.

Siguiendo este proceso se determinan todos los puntos de intersección real, por lo tanto cada recta conformada por los puntos de corte del Plano Cortante con el plano a, b, c, señalará un punto de intersección real, el cual estará ubicado sobre la arista en la cual se posa el Plano Cortante determinado, posterior a ello se trasladará el punto de intersección real a la proyección anterior y se unirán definiendo los puntos que son adyacentes y pueden tener relación directa, por lo tanto los puntos se unirán así: 1 con 2, 2 con 3, 3 con 4 y 4 con 1, de esta forma se cierra la sección de intersección, la cual es completa, ya que el plano y el sólido se están atravesando plenamente, ya que si fuera parcial, la intersección no formarían una sección rectangular, sino que se conformaría una sección en forma de U. También es importante definir la visibilidad simultáneamente al trazo de las líneas de la sección, para evitar borrar después de haberlas dibujado, por lo tanto se debe analizar la cara sobre la cual va a quedar definida una línea y dependiendo de si la cara es visible ó por el contrario está oculta, las líneas como consecuencia también adoptarán sus características de visibilidad. Las caras visibles son las conformadas por los puntos 2, 2’, 1’, 1, también la cara 1, 1’, 4’, 4, por lo tanto las líneas que se localicen sobre estas caras serán visibles, pero las trazadas sobre las caras 2, 2’, 3’, 3 y 3, 3’, 4’, 4, serán ocultas debido a que estas caras no son visibles, por lo tanto las líneas trazadas sobre éstas serán dibujadas con líneas segmentadas.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 113. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 8.

El paso 9 consiste en la definición de la visibilidad de los elementos que intervienen en la intersección. Figura 114. Proceso Intersección Plano – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 9.

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El proceso de visibilidad se hará por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal c, b se cruza con 1, 1’ y al revisar la proyección Frontal c, b, se encuentra después de la recta 1, 1’, por lo tanto c, b va a estar oculta en el cruce de estas dos rectas y 1, 1’ será visible en el cruce de las dos rectas, hasta que llegue a la sección de intersección, en la cual se cambiará la visibilidad del objeto. Para la proyección Frontal se revisan dos líneas que se crucen y se verifica en la proyección anterior (H) analizando la posición de la misma con respecto al observador: la recta a, c se cruza con la línea 1, 1’, al revisar en la proyección Horizontal, la línea a, c se localiza antes que la línea a, 1, 1’, por lo tanto en la proyección Frontal la recta a, c será visible y ocultará a la recta 1, 1’ hasta la sección de intersección, luego de la sección cambiará la visibilidad. De esta forma se define la relación real de los objetos que intervienen en un diseño y a través de la Geometría Descriptiva es posible determinar la relación que puedan tener los objetos representados en un determinado diseño. Lección 34. Intersección Sólido - Sólido, Método del Filo En la presente lección y en la siguiente se presentarán los dos métodos para conseguir la intersección entre sólidos, en este caso se expondrán los procesos relacionados con los poliedros, ya sean regulares ó irregulares. Los Poliedros son figuras tridimensionales que están limitadas por caras planas y a los límites de estas caras se les llama aristas. Los Poliedros regulares son los sólidos que mantienen un eje común paralelo a todas sus caras, y éstas siempre va a ser iguales, por lo tanto su forma será idéntica a las demás caras que componen el sólido. Los Poliedros Irregulares son los sólidos que presentan diferentes caras, los más utilizados son los prismas y las pirámides. Las pirámides tienen un vértice común y una base poligonal. Figura 115. Poliedros Irregulares: Pirámides: recta, oblicua, truncada

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Los prismas son los que tienen caras verticales y una base y una tapa. Tanto las pirámides como los prismas se pueden presentar de forma recta, lo que quiere decir que el eje de la figura tridimensional se encuentra formando 90° con su base. Los Poliedros Irregulares Oblicuos son los que se establecen de forma inclinada con respecto a su base, por lo tanto el eje del sólido formará un ángulo diferente a 90° con la base. Y los sólidos Truncados se caracterizan por tener un corte ya sea del vértice ó un corte inclinado de la cara superior del objeto, por lo tanto su base y su tapa no serán paralelas. Figura 116. Poliedros Irregulares: Prismas: recto, oblicuo, Truncado

Esta introducción a los poliedros se hace necesaria para el reconocimiento de los elementos que se estudiarán y que se pondrán en práctica en la vida profesional, ya que los anteriores temas tratados en esta asignatura son la base para el acercamiento al propósito final: entender y abstraer los objetos de la realidad para interpretarlos de forma correcta y exacta a través de los procesos de la Geometría Descriptiva; y los objetos reales son elementos que poseen espesores, dimensiones, áreas, posiciones, materialidad, ángulos, por lo tanto, la línea, el punto y el plano son abstractos, pero su explicación es el proceso que permite al estudiante comprender los conceptos y la abstracción de elementos en un espacio geométrico, para la correcta interpretación y representación de los objetos tridimensionales. A través de un proceso plasmado gráficamente, se evidenciarán los pasos necesarios para obtener la sección de la intersección de un sólido con otro sólido, que en este caso son dos prismas, uno de ellos rectangular y el otro triangular. Se presentan dos prismas que se interceptan en la proyección Horizontal y Frontal. El Método que se va a seguir para obtener la sección de la intersección, será el del Filo ó de Perfil, por lo tanto se hace necesario realizar una vista Auxiliar adyacente a una de las dos proyecciones principales. 126


Debido a que son sólidos los que se encuentran en el ejercicio, no se puede dejar a uno de ellos como filo, pues en realidad un sólido tienen masa, espesor, volumen, por lo tanto lo que se debe buscar es mostrarlos ó proyectarlos de perfil ó en su sección recta, lo que quiere decir que sus aristas deben quedar como puntos en esta proyección, por lo tanto, el punto de la arista más cercano al observador debe ocultar al más lejano, permitiendo que se vea en la proyección Auxiliar una de las bases del sólido (tapa ó base), por consiguiente se verá el sólido como un plano. En el ejemplo utilizado para la explicación, uno de los prismas se presenta con su sección recta en la proyección Horizontal, el prisma rectangular (r, s, t, u), ya que se está mostrando como un plano pues las aristas quedan como un punto en esta proyección, pero el prisma a, a’, b’, b, c, c’, se presenta en las dos proyecciones principales como un sólido, por lo tanto se debe tomar como referencia una de sus proyecciones, ya sea la Horizontal ó la Frontal, para obtener su sección recta en una Vista Auxiliar. En el ejemplo se realiza la proyección Auxiliar a partir de la proyección del prisma triangular Frontal, y debido a que se busca mostrar a las aristas del prisma triangular como un punto, se debe trazar una Línea de Referencia perpendicular a las aristas del prisma triangular para que así los puntos más cercanos al observador oculten los más lejanos y pueda verse el sólido como un plano, por lo tanto los vértices se identificarán con los puntos cercanos y lejanos, de la siguiente manera: a’, a – b’, b – c’, c; y con ello se está indicando que el punto a’ está antes que el punto “a” y que la posición de los dos es perpendicular. Figura 117. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 1.

Al haber conseguido la sección recta de los dos prismas, se debe proceder a marcar los puntos de intersección de los sólidos, señalándolos en las secciones rectas de los dos 127


prismas, con relación a las aristas del otro sólido con el cual tienen relación. Se inicia el proceso de identificación de los puntos de contacto en la Vista Horizontal; Se identifican cuatro puntos; la cara del sólido en sección recta: r, r’, u, u’, corta a la arista c, c’ del prisma triangular en el punto 1 y la cara del prisma rectangular u, u’, t, t’ corta al prisma triangular en la arista c, c’ en el punto 2. La cara del prisma rectangular s, s’, t, t’ corta al prisma triangular en el punto 4 en la arista b, b’ y la cara r, r’, s, s’, del prisma rectangular corta al prisma triangular en el punto 3 de su arista b, b’. Estos puntos se trasladan a través de líneas de proyección, de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atraviesan, y se ubican en la arista respectiva, por lo tanto en la arista a la que corta la cara del prisma rectangular, que en la proyección anterior se mostraba en su sección recta. Entonces, el punto 3 y 4 se debe trasladar a la proyección Frontal y situarlos sobre la arista b, b’, ya que la sección recta en la proyección Horizontal corta esta arista con sus caras r, r’, s, s’ y s, s’, t, t’, las cuales se encuentran de forma perpendicular a las líneas que se visualizan en esta proyección H, lo que quiere decir que las caras del prisma se muestran como un filo, configurando cuatro filos que establecen la sección recta del prisma rectangular, si de esta forma se entendiera con mayor claridad el tema. Figura 118. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 2.

Cada punto de contacto identificado en la proyección Horizontal debe ser trasladado a la proyección Frontal, por lo tanto en la proyección frontal quedarán dos puntos (3 y 4) sobre la arista b, b’ y dos puntos (1 y 2) sobre la arista c, c’. Ahora, en la sección recta del prisma triangular, localizada en la proyección Auxiliar J, se deben localizar puntos de corte del prisma triangular con las aristas del prisma rectangular, de forma consecutiva con la 128


numeración antes designada y localizar los puntos con un orden lógico, ya sea por aristas adyacentes de las caras ó por aristas consecutivas. En el ejemplo se inicia la localización de los puntos a partir de la arista oculta r, r’ con los puntos 5 y 6, continúan los puntos 7 y 8 en la arista adyacente s, s’, y finalmente los puntos 9 y 10 en la arista t, t’. Figura 119. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 3.

El siguiente paso es el traslado de los puntos de la proyección Auxiliar J a la proyección anterior, Vista Frontal, y localizarlos sobre las aristas correspondientes. Se inicia con el paso de los puntos 9 y 10, los cuales deben trasladarse por medio de las líneas de proyección, éstas a su vez deben formar un ángulo de 90° con la Línea de Referencia F – J, pues es con ésta con la que tienen una relación, ya que la atraviesan; los puntos deben situarse en la proyección anterior F sobre la arista t, t’, la cual es la arista a la que corta el prisma triangular en su sección recta en estos puntos. El punto 7 y 8 se ubicará sobre la arista s, s’ y el punto 5 y 6 sobre la arista r, r’ y se trasladarán con el mismo proceso realizado para el paso de los puntos 9 y 10.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 120. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 4.

Ahora los puntos se deben pasar a las demás proyecciones, por lo tanto los puntos que se ubicaron en la proyección Horizontal y se trasladaron a la Frontal, también deberán situarse en la proyección Auxiliar, y los encontrados en la Auxiliar y pasados a la Frontal, se trasladarán a la Horizontal, de tal forma que todas las proyecciones presenten la totalidad de puntos de intersección. Figura 121. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 5.

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Después de haber localizado la totalidad de los puntos en las tres proyecciones, se iniciará la unión de los mismos a partir de la aparición simultánea de éstos sobre la misma cara de las secciones rectas, lo que quiere decir que el punto 5 se unirá con el punto 9 ya que en las dos proyecciones de perfil (sección recta) aparecen sobre la misma cara, pero los puntos 5 con 7 no se unirán, debido a que en la proyección Auxiliar J los puntos no se localizan sobre una misma cara en la sección recta, aunque en la proyección Horizontal aparecen en la misma cara del perfil; por lo tanto, para la unión correcta de los puntos deben aparecer en la misma cara de forma simultánea en las proyecciones rectas de los dos sólidos. Esta unión de puntos también, aparte de ser un proceso establecido y con un sistema de desarrollo verificable, es un recorrido abstracto de la unión de los volúmenes y captación mental de la morfología de los mismos, por lo tanto el análisis de la conectividad de las rectas de la sección debe generarse a partir de la lógica formal, sabiendo que en la proyección Frontal se encuentra un prisma rectangular que está atravesando parcialmente de forma vertical un prisma triangular que se muestra en esta proyección con dos vertientes, lo que quiere decir que el punto 2 y el 1 son el origen de dos ramificaciones, las cuales se posarán sobre la cara inclinada superior e inferior del prisma triangular en la proyección frontal. Estos datos son tomados simultáneamente de las proyecciones adyacentes a la Frontal, pues en la vista Horizontal se puede ver que el prisma rectangular ingresa de forma parcial al prisma triangular, se dice que es parcial debido a que no lo atraviesa completamente, no alcanza a romper la última arista del prisma triangular (a, a’); y sobre la posición que toma el prisma triangular en la Frontal, también es percibida en la vista adyacente Auxiliar, ya que es en ésta donde se muestra por un lado y por lo tanto se logra entender su posición en el espacio geométrico. La visibilidad de las líneas debe señalarse a medida que se van realizando, por lo tanto deben tenerse en cuenta para la designación de su visibilidad la cercanía de los puntos tanto en la proyección Horizontal como en la proyección Auxiliar J. Los puntos más cercanos al observador, el cual se localiza en la proyección Frontal, definitivamente son el punto 1 y el 2, y esto se puede comprobar a partir de un análisis básico, el cual consiste en la observación de la continuidad lineal de las líneas de proyección de cada uno de los puntos que conforman la intersección, ya que al trasladarse a la proyección Frontal el observador debe determinar que las líneas de proyección de los puntos de intersección que no presentan algún obstáculo en su recorrido, referidos a aristas ó líneas del mismo sólido ó del otro con el cual se está relacionando, serán completamente visibles pues el observador no tiene ningún impedimento para lograr percibirlos. Estos dos puntos principales se localizan en caras diferentes del prisma rectangular, por lo tanto el punto 1 y 2 no se unirán jamás, ya que no tienen relación directa, pues los puntos no se localizan sobre la arista central sino que se encuentran en 131


las caras adyacentes a ésta arista. Cada punto, 1 y 2 ramifica a dos puntos más con los cuales se unirá; el punto 2 se muestra en la proyección de perfil del prisma triangular como el primer punto encontrado y el segundo es el punto 1, por lo tanto, si se analizan tridimensionalmente las figuras, se puede llegar a la conclusión de que como el punto 2 está en una cara anterior se deberá unir con los puntos que se encuentran en la arista t, t’ localizados en un plano anterior, y el punto 1 se unirá con los que se encuentran en la arista r, r’ ubicados en la cara posterior oculta de la proyección Auxiliar. Adicional a este análisis se verifica la configuración de los puntos en la proyección Horizontal y se encuentra que efectivamente el punto 1 se localiza en la misma cara de los puntos 5 y 6, tanto del prisma rectangular como del prisma triangular y van a ser visibles, debido a que las caras en las que se localizan los puntos referenciados son visibles desde la proyección Frontal, según lo indica la proyección Auxiliar en donde se muestra que la cara b, b’, c, c’, a, a’ están orientadas hacia la proyección Frontal. Los puntos 3, 4, 7 y 8 se localizan sobre la cara posterior del prisma triangular, cara b, b’, a, a’, por lo tanto estos puntos va a ser invisibles por localizarse sobre caras ocultas. Figura 122. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 6.

La unión de puntos se hará de la siguiente forma: 5 con 3, 3 con 7, 7 con 4, 4 con 9, los cuales serán invisibles. Los puntos inferiores de la sección serán los siguientes: 10 con 8 y 8 con 6, ya que estos puntos son los que se establecen en la segunda posición del nombramiento de los puntos, por lo tanto los puntos señalados en esta segunda posición deben unirse simultáneamente y teniendo en cuenta que estos también se localizan en una cara oculta del prisma triangular. 132

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 123. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Filo. Paso 7.

Ahora, hay secciones del sólido que se deben irrumpir o eliminar, debido a que el prisma rectangular atraviesa de forma vertical el prisma triangular, por lo tanto como el sólido es una masa compacta, para permitir su paso se hace necesario que se eliminen las secciones que obstruyan su recorrido, tanto para el paso del prisma rectangular como del prisma triangular, por lo tanto del prisma rectangular se eliminará la sección que va desde el punto 9 al punto 10, por lo tanto la sección conformada por los puntos 9, 2, 10 y 5, 1, 6. Y del prisma triangular se eliminarán las secciones basándose en la sección recta presentada en la proyección Horizontal, por lo tanto se eliminará una sección de la arista c, c’ localizada entre los puntos 1 y 2, y una sección de la arista b, b’ entre los puntos 3 y 4. De esta forma queda definida la intersección de dos prismas, en los cuales se identificaron la sección de corte y se definió la intervención de cada elemento en relación generada. Lección 35. Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante Para la Intersección de dos prismas por el método de Planos Cortantes, se tomó un ejercicio diferente con la intervención de dos volúmenes, un prisma triangular recto con un prisma triangular truncado y oblicuo. El primero de estos está identificado por los puntos s, s’, r, r’, t, t’; el segundo de éstos está compuesto por las caras a, a’, b, b’ y c, c’. En la proyección Horizontal se encuentra al prisma triangular recto de perfil (sección recta), el cual intercepta parcialmente al prisma triangular oblicuo truncado ya que el primero traspasa completamente al segundo (según se puede observar en la proyección 133


Frontal) por sus aristas a, a’ y b, b’, sin llegar a intervenir a la arista c, c’ (evidenciado en la proyección Horizontal). Para la determinación de los Planos Cortantes, se deben tomar como referencia a todas aristas, las cuales indican cambios de dirección del sólido, por lo tanto las aristas a señalar en la proyección Horizontal (ya que es en esta proyección donde se está mostrando la sección recta), son las aristas - a, a’, b, b’ - del prisma triangular oblicuo truncado que tienen relación con el otro prisma (triangular recto), del cual se tomarán también aristas, que en el caso de este prisma triangular recto, se están mostrando como punto, debido a su posición perpendicular a la proyección Horizontal (sección recta), pero que intervienen en la definición de la sección de la intersección, debido a que cada arista señala un cambio de dirección del sólido y por lo tanto también un cambio de dirección de la sección, por esta razón también deberán tomarse como referencia para la ubicación de los Planos Cortantes, a las aristas (vistas como punto) del prisma triangular recto, que intervienen en la sección de la intersección, tales como t, t’ y r, r’. Por lo tanto para la definición de las Planos Cortantes entre prismas, se debe tener en cuenta que uno de los dos prismas deberá presentarse en una de las dos proyecciones principales dadas, con su sección recta (de perfil) y en ésta proyección se deberán señalar todas la aristas que estén involucradas en la interesección, lo que quiere decir que todas la aristas que se crucen con el otro sólido deberán llevar un Plano Cortante y no solo se establecerán sobre un prisma, sino que se deberán tener en cuenta a las aristas de los dos prismas que intervienen, esto debido a que no se cuenta con un plano Auxiliar y por ello es en esta proyección (en donde se muestra a uno sus prismas con su sección recta), en donde se establecen los planos Cortantes en todas las aristas localizadas dentro del cruce de sólidos. Figura 124. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1.

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Entonces, los Planos Cortantes se localizarán sobre la arista a, a’ y b, b’ del prisma triangular oblicuo truncado, y sobre las aristas, mostradas como punto, t, t’ y r, r’ del prisma tringular recto. El señalamiento de los puntos se hace a partir de los puntos de corte de los Planos Cortantes, por lo tanto el PC-1 localizado sobre la arista a, a’, corta en el punto 1 a la cara r, r’, s, s’ y el punto 2 sobre la cara s, s’, t, t’. El PC-2 señalado por la presencia de la arista t, t’ del prisma triangular recto, se extiene de forma paralela al Plano Cortante 1, por lo tanto no solo cortará a la arista t, t’ sino que también tendrá intervención sobre las aristas del prismas triangular oblicuo truncado, pues como se había explicado en lecciones anteriores, los Planos Cortantes se extienden ilimitadamente, tanto en la dirección de la arista sobre la que se posan como también en dirección perpendicular a ésta, por lo tanto cortará todas las caras que se localicen en su trayecto, pero debido a que la intersección solo se encuetra en un determinado sector del prisma triangular oblicuo truncado no se hace necesario identificar todos los puntos que corta el PC-2, ya que es evidente que por la tapa y la base del prisma no hay relación entre los volumenes, por esta razón solo deberán tomarse en cuenta los puntos que corte el Plano Cortante 2 dentro de los límites del encuentro de los dos sólidos. En el PC-2 se señalarán el punto 3, 4 en la arista t, t’, debido a que esta arista se choca con dos caras del prisma triangular oblicuo truncado, lo que indica que deben existir dos puntos de encuentro, ya que al ver simultáneamente las proyecciones Horizontal y Frontal, se evidenciará que la arista t, t’ está pasando por las caras - a, a’, b, b’ - y - a, a’, c, c’ -, y es por esta razón que en esta arista se señalan dos puntos, lo cual es lógico al analizar que la posición de esta arista es perpendicular y no se está visualizando por su longitud sino de forma perpendicular a ésta. También dos puntos son señalados en las demás aristas, sólo que en los otros casos éstas aparecen por su longitud, caso de la arista – a, a’ – la cual señala dos puntos de intersección (1 y 2), y así debe ser en todas las aristas, ya que se están interviniendo dos sólidos que poseen varias superficies, por lo tanto están compuestos de varias caras. Debido a que se está incursionando en la realción espacial ente dos elementos que poseen espesores y que por lo tanto hacen parte de la realidad de nuestros objetos, la descripción de los proceso se hace más extensa, por ello, el análisis del PC-2 se prolonga y prolongará por varios párrafos, de tal forma que en los siguientes párrafos también se harán indicaciones sobre este Plano Cortante. El Plano Cortante 2 aunque corta la cara r, r’, s, s’ del prisma triangular recto no se le señala punto alguno, debido a que el paso del plano cortante por esta cara no indicará algún cambio de posiciones de los puntos, ya que la cara del sólido se localiza sobre una cara del otro sólido también, no están sobre aristas, entonces no existe la necesidad de señalar otro punto, aunque si se hiciera no habría inconveniente, pues lo que sucedería es que el punto señalado en esta cara debido al corte del PC-2 indicaría un punto por donde 135


necesarimente va a pasar la recta de la sección que va desde los puntos de los Planos cortantes de las aristas adyacentes: a, a’ y b, b’, ya que sobre estos Planos Cortantes sí se están indicando puntos necesariamente, porque señalan cambio de dirección de los planos que conforman cada sólido, por el contrario, si se colocara el punto, al cual se esta haciendo referencia en esta explicación, del PC-2 como no se localiza sobre una arista paralela a los Planos Cortantes, tampoco sobre una arista perpendicular, entonces no sería determinante su denominación, pero si se hiciera, tampoco afectaría negativamente el ejercicio. El paso de los puntos se debe realizar a través de las líneas de proyección, las cuales localizarán a los puntos de contacto en la sigueinte proyección. El punto 1 y 2 del PC-1 se situará sobre la arista - a, a’ – la cual es la arista sobre la que se están situando en la proyección Horizontal. En el caso del corte del PC-2 en los puntos 3 y 4 establecidos sobre la arista t, t’, éstos se deben proyectar a la siguiente proyección, pero debido a que la arista es perpendicular a la proyección Horizontal, no es posible definir en qué lugar de la extensión de la arista t, t’ se deben colocar, ya que en la proyección Horizontal no se puede obtener el lugar en donde se encontrará pues en esta proyección la arista aparace como un punto; Debido a ello se debe proceder a analizar cómo se obtendrán el lugar exacto de la localización de los puntos que se encuentran sobre esta arista. Figura 125. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2.

Como el PC-2 corta también a la base y tapa del otro sólido (prisma triangular oblicuo truncado) se debe analizar si es viable la localización de otros puntos de corte por estas aristas, teniendo en cuenta que los puntos se deben localizar sobre aristas que no sean perpendiculares a la Línea de Referencia y que tampoco se pueden presentar como un 136


punto, por esta razón el PC-2 corta la tapa del prisma triangular oblicuo truncado, ya que es la única opción viable para el señalamiento de los puntos, pues el señalamiento de los puntos sobre la base de este prisma no sería viable, ya que se está formando un ángulo de 90° entre las aristas y la Línea de Referencia H – F, por lo tanto no se podría ubicar tampoco punto alguno en la siguiente proyección. Ahora, los puntos señalados en la tapa del prisma truncado es la opción adecuada, debido a que todas las aristas que conforman la cara de la tapa se encuentran en posiciones diferentes y no forman un ángulo de 90° con la Línea de Referencia, por lo tanto cualquier punto establecido sobre estas aristas se podrían trasladar a la siguiente proyección con precisión. Los puntos que se van a indicar en la tapa van a hacer referencia a los puntos de la arista t, t’, ya que sobre la tapa no hay intersección real de los sólidos pues no existe un cruce de líneas de los prismas, y la indicación de los puntos sobre esta solo es un procedimiento necesario para el señalamiento exacto de los puntos de corte del PC-2, por esta razón los puntos de corte sobre las aristas de la tapa del prisma truncado se denominrán 3’ y 4’, en donde 3’ es el punto localizado en la cara anterior y el 4’ en la cara inferior, la cual es oculta en la proyección Horizontal. Esta organización de los puntos es importante de señalar, ya que en el señalamiento de los puntos de la arista t, t’, se coloca en una posición anterior al punto 3 y después separado con una coma se nombra el punto 4, con lo que se está indicando que el punto 3 está más cerca al observador que el punto 4, sabiendo que el observador se localiza en la proyección Horizontal en este caso de nombramiento de los puntos de los elementos en la proyección Horizontal. El paso de los puntos 3’ y 4’ se realiza con el mismo procedimiento de traslado de cualquier punto, por medio de una línea de proyección que atraviesa de forma perpendicular la Línea de Referencia y se localiza sobre la arista respectiva, por lo tanto el punto 3’ se ubica sobre la arista a’, b’ y el punto 4’ sobre la arista a’, c’. Después de localizar los puntos sobre sus aristas deben ser trasladados a la intersección real, por lo tanto a la arista t, t’; el procedimiento que se va a seguir es el siguiente: desde los puntos localizados ya en la proyección Frontal (3’ y 4’) por medio de líneas de proyección con dirección paralela a las aristas del prisma oblicuo truncado, se trasladan los puntos hasta que éstos se encuentren con la arista respectiva, arista t, t’. El traslado de los puntos se hizo de forma paralela a las aristas del prisma triangular oblicuo truncado, debido a que los Planos Cortantes se están colocando en la proyección anterior sobre las aristas de este prisma (triangular oblicuo truncado) y las adicionales se establecen de forma paralela a éstas, por lo tanto en la proyección Frontal también los Planos Cortantes van a ser paralelos y éstos se encuentran sobre las tres aristas del prisma oblicuo y los dos Planos Cortantes adiciones, como no están localizados sobre ninguna arista de este sólido sino sobre una cara de éste, no son visibles, entonces se deben señalar sabiendo que es un plano imaginario, pero que al igual que las aristas del prisma oblicuo también se visualizarían paralelos a éstas aristas.

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Después del paso de los puntos de los primeros dos Planos Cortantes se deben pasar también los demás puntos de los dos Planos Cortantes faltantes: PC-3 y PC-4. Los puntos (5 y 6) del PC-3 se encuentran sobre la arista b, b’ y se trasladan a la proyección Frontal a la arista respectiva; en el caso de los puntos (7 y 8) de la arista r, r’ sucede los mismo que con los puntos de corte de la arista t, t’ determinados por el PC-2, entonces la forma de proceder va a ser la misma: se señalarán en la tapa del prisma oblicuo truncado y se trasladarán a la siguiente proyección, proyección frontal, y luego de forma paralela a las aristas del prisma triangular oblicuo truncado se ubicarán sobre la arista correspondiente, arista r, r’. El siguiente paso es la unión de los puntos por medio de líneas contínuas ó segmentadas que conformarán la sección de la intersección real de los sólidos. La unión correcta de los puntos se determina por el análisis correcto de la posición espacial de los elementos y la cercanía al observador de los mismos, entonces, el punto 7 y 8 se muestran en proyección Horizontal como los puntos más cercanos al observador, el cual se encuentra desde la proyección frontal mirando hacia la Horizontal. El análisis tanto de la unión correcta de los puntos como de su visibilidad depende de la comprensión de que no son líneas las que conforman estos formas geométricas, sino que son sueperficies, tienen masa y por lo tanto una cara puede ocultar a otra, debido a que son compactas. En el caso del punto 7 y 8, se puede entender el punto 7 está en la parte superior de la arista r, r’, y como se hace evidente en la señalización de éstos en la proyección Frontal, éste se localiza sobre la cara b, b’, c, c’. El punto 8 debe encontrarse también sobre la arista r, r’ pero su localización va a ser en un punto posterior al punto 7, por lo tanto como se percibe en la proyección Frontal, el punto está ubicado sobre la cara c, c’, a, a’. Figura 126. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3.

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Ahora, la unión de los puntos también necesita de su correcto análisis y al haber entendido la posición de los primero dos puntos se pueden empezar a unir los demás, entonces como el punto 7 está enla cara b, b’, c, c’ se debe unir con otro localizado sobre una arista, pero una arista anterior y no posterior, por lo tanto se unirá con los puntos 5 y 6 localizados sobre las aristas b, b’ (H), pero la línea 7, 8 será oculta ya que la línea se ubica sobre la cara r, r’, s, s’ del prisma triangular recto y ésta cara se encuentra detrás de la cara r, r’, t, t’, por lo tanto no será visible en la Frontal. Por el contrario, la línea 7, 6 será visible ya que se localiza sobre la cara visible del plano triangular recto. La unión de los demás puntos es la siguiente: 6 se une con 3, ya que 3 se encuentra en un plano anterior del prisma triangular oblicuo truncado, por lo tanto se ubica sobre la cara b, b’, a, a’, pero 6 no se unirá con 4 porque 4 está en la cara inferior del prisma triangular oblicuo (esto se entiende por la forma en que se nombran los puntos, y el punto 3 está antes que el 4, indicando que el punto 3 está en un plano anterior y el plano 4 en uno posterior). El punto 3 se unirá con el punto 2, ya que el punto dos está en la arista que culmina la cara en la que se ubica el punto 3; luego el punto 2 se devolverá por la cara inferior del prisma oblicuo y se unirá en esta cara con el punto 4 localizado en esta cara inferior; El punto 4 se une con otro punto que se encuentra en una localización posterior, el punto 8, ya que está sobre la cara en la que se ubica el punto 4 (cara c, c’, a, a’); el punto 8 se unirá con el punto 1, pues aunque el punto 1 se encuentre en el límite de una cara anterior, también es el límite de la cara inferior sobre la cual se ubica el punto 8. Y luego 1 se une con 5 sobre la cara b, b’, a, a’ y se cierra la sección. Para aclarar algunas confusiones que puedan surgir al realizar la unión correcta de los puntos, se va a explicar por qué el punto 2 no se une con el 1, cuando estos dos son adyacente y es debido a que se encuentran en caras opuestas, ya que el punto 1 está ubicado sobre la cara r, r’, s, s’ del prisma triangular recto y el punto se encuentra sobre la cara s, s’, t, t’, además si se analiza con detenimiento el prisma triangular recto no está ingresando totalmente al prisma triangular oblicuo truncado, por lo tanto no hay forma alguna de que pase una recta que conecta a los puntos 1 y 2, pues estos están separados por masa, allí no los separa una línea, sino el espesor del prisma triangular recto. La siguiente figura muestra las secciones de líneas que deben ser eliminadas y la visibilidad correcta. Debido a que el prisma triangular recto traspasa completamente al prisma triangular oblicuo truncado por sus caras a, a’, a, b’ y parte de la cara a, a’, c, c’ se deben quitar partes del otro prisma al cual está atravesando el prisma triangular recto, ya que si esto no se hiciese, no fuese posible insertar un volumen en otro, si no se rompe y no se eliminan parte del otro volumen, no esistiría la intersección real, por lo tanto, la sección de la arista a, a’ localizada al interior de las aristas del prisma recto se eliminan, al igual que las de las aristas b, b’. Finalmente esta es la sección de la intersección real. 139


Figura 127. Proceso Intersección Sólido – Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 4.

Antes de terminar el capítulo de Intersecciones se hace una aclaración sobre los procedimientos. En las lecciones se muestran los pasos del proceso para obtener la sección de la intersección, y se muestran en diferentes imágenes, proceso en el cual también se eliminan ciertos elementos como las líneas de proyección, las auxiliares y letras de identificación, entre uno y otro proceso, como también se eliminana en algunos casos las líneas ocultas; se hace la aclaración de que el dibujo es solo uno, el ejercicio solo debe ser uno, las diferentes figuras presentadas para mostrar el procedimiento correcto para obtener la sección, son los pasos que el estudiante debe seguir y debe realizar en el ejercicio entregado inicialmente, por lo tanto, a partir de las dos proyecciones principales entregadas para obtener la intersección, el estudiantes realizará todos los pasos descritos en este capítulo y en la lección correspondiente, sobre el ejercicio inicial, no deberán hacer varias veces las vistas Horizontal y Frontal, sino que a partir de las dos vistas principales se inicia paso a paso el proceso descrito en la lección correspondiente, pero que acá se presentó en diferentes figuras buscando que fuese más claro para el estudiante entender el proceso, y no presentarles una sóla imagen con el proceso total y culminado, ya que tantas líneas de proyección podrían llegar a causar confusión absoluta en los lectores.

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CAPÍTULO 8. DESARROLLOS

Para que un objeto pueda construirse a partir de la representación, se hace necesario realizar el desarrollo de esta figura, lo cual consiste en plasmar una figura tridimensional en un mismo plano bidimensional, en el cual se dibuja con las Verdaderas Magnitudes y Verdaderas Longitudes. El objeto es desdoblado, por lo tanto es una forma de obtener una figura tridimensional a través del dibujo real de cada una de sus caras extendidas en un mismo plano, en el cual se proyecta con sus medidas reales, y cada una de sus caras es dividida por la presencia de las aristas, las cuales se proyectan dentro del mismo desarrollo, sin necesidad de separar las caras por partes, solo se proyectan las aristas en el desdoblamiento de la figura. Con este procedimiento se busca que se ahorre material y adhesivo, logrando con esto economizar y realizar un objeto a través de su configuración tridimensional, la cual es desdoblada y colocada sobre una misma superficie.

Lección 36. Método del Giro Este método consiste en mover un elemento a partir de su eje de rotación estando el observador inmóvil, por lo tanto no se hace necesario la realización de vistas auxiliares para proyectar al elemento con una característica determinada. Para la realización de cualquier procedimiento deseado, se hace necesario trabajar con las dos proyecciones principales, y a partir de las teorías aprendidas en lecciones anteriores con los métodos tradicionales de proyección; en cada una de éstas proyecciones se deben generar proyecciones adyacentes a los elementos pero localizados sobre la misma vista, a través del movimiento de los elementos en forma circular, a partir de un eje determinado, el cual permanecerá estático en las dos proyecciones principales, en donde el paso circular y el eje de rotación se relacionan perpendicularmente, por lo tanto el eje visto como un punto en la proyección Horizontal se visualizará en la proyección Frontal como una recta vertical, y cuando en la proyección Horizontal los elementos rotan sobre el paso circular, en la Frontal éste paso circular se proyectará como una línea de proyección paralela a la Línea de Referencia, ya que el movimiento del paso circular es sobre el plano Horizontal y éste se verá desde la Frontal como una línea Horizontal, que se desplazará sobre una misma superficies: el Plano Horizontal.

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En la siguiente figura se representa tridimensionalmente a la recta a, c, en donde el eje de rotación es un elemento vertical, perpendicular al Plano Horizontal, localizado en un punto determinado de la recta y ésta a su vez tendrá en el otro extremo el paso circular ubicado sobre la superficie Horizontal. La idea del método del Giro es permitir que la recta rote a partir de su eje estático sobre el paso circular, con lo cual se asegura que sus medidas no se modificarán, sólo posibilitará que el observador pueda situarse frente al elemento para visualizarlo con su forma y medidas reales, sin necesidad de recurrir a la realización de proyecciones auxiliares, por lo tanto este método permitirá que el observador se mantenga estático y sea el elemento el que se traslade por el paso circular para establecerse en una posición determinada. Figura 128. Isométrico de recta que gira alrededor de un eje. Método del Giro

Este ejemplo se muestra en la siguiente representación bidimensional, en la cual se puede evidenciar la posición real de la recta en la proyección Horizontal y por lo tanto su proyección en la Vista Frontal, en la cual ésta recta no es posible verla con sus medidas reales, ya que en la proyección horizontal no se encuentra de forma paralela a la Línea de Referencia y por esta razón, en la proyección Frontal no se mostrará con su verdadera Longitud. El procedimiento para conseguir ver a la recta con su Verdadera Longitud a partir del método del Giro, es seleccionar un punto que servirá para determinar el eje estático del elemento y proyectarlo a la Vista Frontal, en la cual éste se presentará de forma vertical y perpendicular a la Horizontal. Después de haber determinado el punto estático se debe rotar la recta a, c, en la proyección Horizontal, sobre el paso de rotación para que no pierda sus medidas reales, y se colocará en una posición paralela a la Línea de Referencia 142


buscando que en la siguiente Vista se proyecte con su Verdadera Longitud. La rotación del elemento en la Vista Horizontal puede realizarse en cualquier sentido, pero se sugiere que se haga en el sentido que involucre menor desplazamiento. Las líneas de la rotación deben realizarse con el tipo de línea E ó F (segmentada) y señalando el punto con la letra determinada y adicionándole la letra “r”, indicando que es el elemento rotado. Después de haberlo rotado en la proyección Horizontal, se proyectará el punto de la recta rotada, punto “Cr”, y a partir de su eje estático se trazará la recta hasta la intersección de la línea de proyección con la línea horizontal en la Frontal, la cual representa el paso circular (línea Horizontal paralela a la Línea de Referencia) que se establece sobre el punto “c” y será extendido de forma paralela a la Línea de Referencia, por medio de una línea de proyección del paso circular, hasta el punto “Cr”. En la proyección Frontal quedará entonces definida la Verdadera Longitud de la recta a, c en la recta a, Cr. Figura 129. Método del Giro para hallar Verdadera Longitud y ángulo de recta

En el caso de los planos también es posible realizar los procedimientos que se hacían con el método tradicional, en este caso se deberá tomar un vértice estático para establecer el eje de rotación. En las siguientes figuras se presentará un plano a, b, c, con una posición 143


cualesquiera en su proyección Horizontal y Frontal y se desea obtener la Verdadera Magnitud del plano. Para este procedimiento se deben hacer varios pasos, con la misma lógica de las proyecciones auxiliares, la diferencia con este método es que acá solo se rotarán los elementos sobre la misma proyección, sin necesidad de crear nuevas proyecciones. El primer paso para lograr obtener la Verdadera Longitud es la realización de una línea paralela a la Línea de Referencia, para que en la siguiente proyección ésta se muestre con su Verdadera Longitud. En el ejemplo se realiza la línea auxiliar en la proyección frontal y se traslada a la Horizontal, en la cual ésta queda en Verdadera Longitud. A la línea Auxiliar en Verdadera Longitud se le trazará otra línea adicional que la corte de forma perpendicular, por lo tanto que se origine en un punto del plano, punto del eje estático, y se proyecte hacia la recta c, e, de forma perpendicular, esto con el fin de tener un elemento guía que relacione el plano, en el siguiente paso a realizar, con la Línea de Referencia. Figura 130. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 1

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El paso 2 consiste en girar el plano de la proyección Horizontal sobre el eje “a” y dejar a la recta c, e, de forma perpendicular a la Línea de Referencia, con ello se conseguirá proyectar al plano a, b, c, como Filo en la siguiente proyección. La forma correcta de rotar el plano es a partir de la línea adicional perpendicular a la recta c, e, ya que ésta se deberá colocar de forma paralela a la Línea de Referencia y a partir de la posición de ésta se establecerán las siguientes rectas, teniendo en cuenta el distanciamiento de éstas con la recta adicional y con la línea auxiliar c, e. Por lo tanto, se gira la recta adicional a, s y a partir de ésta se traza la recta auxiliar c, e pasando sus medidas y la relación de esta con la recta adicional; teniendo los punto a, c, y e definidos gracias al señalamiento de las rectas a, s y c, e se unen los punto a, c y a, e, éste último se extenderá hasta el punto b y se unirá con el punto c. Figura 131. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 2 y 3

En el paso 3 se trasladarán los puntos a la proyección Frontal con ayuda de las líneas de proyección, las cuales son perpendiculares a la Línea de Referencia, y se establecerá el 145


punto, en el lugar donde la línea de proyección de la Horizontal corte con la línea del paso circular, la cual es paralela a la línea de Referencia, y es originada en los puntos del plano Frontal, por lo tanto la línea de proyección del punto “b” se unirá con el filo del paso circular del punto “b” y de esa forma con cada punto, terminando por unir lógicamente los puntos, en este caso se proyectarán como filo. En este paso también es posible medir el ángulo de inclinación del plano, ya que se encuentra como filo en una proyección de alzado, adyacente a la Horizontal. Figura 132. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 4

El último paso para obtener la Verdadera Magnitud del plano es rotar el filo del plano, pero para ello es necesario cambiar el eje estático, ya que si esto no se realiza, los pasos se sobrepondrán y no será posible ver con claridad el procedimiento realizado. Entonces el eje estático se trasladará al punto brF (punto b rotado localizado en la Frontal) y a partir de este se girará y se señalarán todos los puntos, buscando que el filo quede de forma 146


paralela a la Línea de Referencia para que así se pueda ver en la siguiente proyección el plano en verdadera Magnitud. Al tener la proyección del filo de forma paralela a la Línea de Referencia, se trasladarán sus puntos a la proyección Horizontal por medio de las líneas de proyección, y en el lugar en donde corte con las líneas del paso circular mostradas como filo, se establecerá cada punto, dependiendo de la proyección de cada uno de ellos y el encuentra con la línea referente. De esta forma se realiza el proceso para conseguir cualquier procedimiento deseado de los elementos geométricos y de sus relaciones, ya que también es posible obtener a partir de este método los ángulos de inclinación y también los ángulos que forman dos elementos. Lección 37. Desarrollo por Líneas Paralelas en Poliedros Regulares Para realizar el desarrollo por líneas Paralelas de cualquier elemento se debe tener como información principal la sección recta en una de las proyecciones, la Verdadera Longitud de las aristas y Verdadera Magnitud de la base del sólido, si ésta información no se tuviese, necesariamente se debe obtener, ya que con ésta se conforman los datos necesarios para realizar el desarrollo. Figura 133. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 1.

En la figura anterior se tiene en la proyección Frontal a las Aristas en verdadera Longitud; en la proyección Horizontal, la base y la tapa se encuentran en Verdadera Magnitud y la sección recta, en este caso, es la misma Verdadera Magnitud. 147


Para iniciar el desarrollo se debe establecer un eje de desarrollo que generalmente se encuentra en un punto central de las aristas del sólido, éste eje se extiende lateralmente para establecer sobre éste el desarrollo. La información necesaria para iniciar el proceso es señalar y verificar las medidas que son necesarias para la realización del desarrollo, las cuales son: lados de la sección recta, altura de las aristas en Verdadera Longitud y Verdadera Magnitud, que en este caso no se hace necesaria, ya que la sección recta es análoga a la Verdadera Magnitud. Se desplazan los puntos de las aristas, para poder tener un origen del desarrollo, el cual debe ubicarse en una posición adyacente a la proyección Frontal, debido a que es por ésta por la cual se establece el eje. Se realiza la primera Arista por la cual se va a iniciar el desarrollo, en el ejemplo de inicia por a’, d’; luego se debe señalar el ancho del volumen, por lo tanto se traslada la medida d1, después se traza la arista que continúa al finalizar la distancia 1, arista a, d, y ésta se debe indicar a partir de la posición que tiene en la proyección Frontal, en este caso como es un poliedro regular, la distancia de las líneas superiores e inferiores con respecto al eje van a ser siempre las mismas, ya que el prisma cuadrado no varía, es uniforme. Con este procedimiento se realiza el paso de cada cara del prisma cuadrado y se finaliza con la arista que se inició, debido a que estas dos deben unirse para culminar el desarrollo, el cual consiste en que en un proceso posterior, este elemento bidimensional se pueda construir tridimensionalmente y su configuración sea real. Figura 134. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 2.

El siguiente paso es la colocación de las tapas del prisma, las cuales deben establecerse en un lugar que posibilite el menor gasto de material y adhesivo. Las tapas debe ser las 148


Verdaderas Magnitudes de estos planos del prisma, en este caso como la Verdadera Magnitud y la Sección recta es la misma no se presentan inconvenientes, pero para otros casos que puedan presentarse se debe tener en cuenta que las tapas lógicamente deben tener sus medidas reales, por lo tanto se debe dibujar con su Verdadera Magnitud, no con la sección recta, ya que esta última proyecta la distancia horizontal real entre las aristas, pero no proyecta en algunos casos el área real de las tapas del objeto, ya que la sección recta es el corte perpendicular de las Aristas en Verdadera Longitud, por lo tanto, la sección recta busca que las aristas se vean como punto para definir la separación real entre una y otra. Figura 135. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 3.

Los límites del desarrollo se deben hacer con líneas fuertes, pero las líneas internas, líneas de dobleces, se deben dibujar con líneas más suaves y se les pueden adicionar dos puntos adyacentes ubicados sobre las aristas de doblez, indicando que éstas aristas no son para su corte sino que señalan los límites de cada plano del sólido y por lo tanto la el recorrido de los dobleces para el armado del elemento desarrollado. Lección 38. Desarrollo por Líneas Paralelas en Poliedros Irregulares Para el desarrollo de cualquier elemento se hace necesario tener sus aristas en Verdadera Longitud, en el caso de este ejemplo que el prisma oblicuo no se presenta con sus Aristas en Verdadera Longitud, debe realizarse una proyección Auxiliar en la cual se proyecten las 149


aristas con su verdadera Longitud y a partir de ésta obtener la sección recta para establecer, de la primera proyección auxiliar, la verdadera longitud de las aristas y de la siguiente, la distancia real entre éstas. Para obtener la Verdadera Longitud de las aristas se traza una Línea de Referencia paralela a las aristas en la proyección Frontal y con la ayuda de las líneas de proyección se indican las líneas de cada punto y a partir de la tercera distancia se establece la posición del punto en la vista Auxiliar. Se unen lógicamente los puntos y se determina la visibilidad por cercanía. Posterior a ello se establece el eje de desarrollo en un punto adecuado perpendicular a las aristas. Figura 136. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 1.

El siguiente paso es obtener la Verdadera Magnitud de las tapas y para ello se debe trazar una proyección Auxiliar paralela al filo de la cara de la tapa, por lo tanto paralela a la arista a’, d’, b’, c’, y en ésta vista Auxiliar se mostrará la Verdadera Magnitud de las tapas, que en este caso es la misma tanto para la base como para la tapa, por lo tanto no se hace necesario establecer otra proyección Auxiliar, pues debido a que los dos filos son paralelos se puede determinar que las tapas son iguales. En esta proyección se deben obtener las medidas del ancho y la altura de las caras respectivas a la tapa y base del prisma oblicuo.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Elementos de Dibujo Técnico Figura 137. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 2.

Posterior a la obtención de la Verdadera Magnitud de las tapas, se debe conseguir la sección recta, por lo tanto es necesario realizar una proyección Auxiliar de forma perpendicular a las aristas que se encuentran en Verdadera Longitud y es a partir de ésta que se establece la distancia con la cual se van a separar las longitudes verdadera de las aristas en el desarrollo. En la siguiente figura se puede observar que se inicia el proceso del desarrollo, se señala su eje y la proyección se gira buscando que el desarrollo pueda darse de forma paralela a la Horizontal, sin cambiar la proyección en sí, solo su posición. Para este desarrollo se debe tener en cuenta el punto de inicio de la arista con respecto al eje, ya que cuando un elemento es oblicuo ó presenta truncamiento éstas medidas variarán en referencia al eje y esto afectará al desarrollo. En la figura se muestra que aunque todas las aristas no se presentan a la misma distancia del eje, las aristas se definen 151


con la misma distancia del eje en su desarrollo, y es por esta razón que este desarrollo no se realizó adecuadamente. Figura 138. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas.

En la siguiente figura se muestra el desarrollo correctamente, en el cual se determinó un punto de inicio con una arista, en este caso a, a’, y a una distancia determinada del eje tanto de su extremo superior como del inferior. La distancia horizontal es la d1 de la sección recta y ésta siempre se establece de forma paralela al eje; la siguiente arista es la b, b’ y la distancia del extremo superior de la arista es la misma distancia del extremo inferior al eje. La siguiente distancia de separación de aristas es la d2, la cual aísla la arista b, b’ de la c, c’, ésta medida se señala paralela al eje. La arista c, c’, se puede observar en la proyección adyacente al desarrollo, tiene una menor distancia del eje al extremo superior de la arista y una mayor distancia al extremo inferior, por lo tanto el traslado del punto de la arista del extremo superior, al realizarse de forma paralela al eje, va a localizarse en un punto más cercano al eje y el extremo inferior en un punto más lejano del este. Por esta razón el desarrollo queda con algunas líneas declinadas y con otras de forma paralela al eje, debido a que el prisma es oblicuo y no es un prisma recto, por tal razón su construcción resultará de la unión de las aristas en la proyección en la cual se muestran en Verdadera Longitud con las distancias de la sección recta. Se debe tener especial cuidado con el traslado de los puntos, la selección de la distancia a la cual se van a establecer las aristas y la comparación de las cotas de las aristas con respecto al eje d desarrollo. Si estos elementos se cumplen el desarrollo será correcto y al doblarse se configurará la figura real, de lo contrario se obtendrá un elemento completamente diferente al premeditado. 152


Para la posición de las tapas se deben localizar las Verdaderas Magnitudes de estas caras de forma adyacente a una de las aristas inferiores y superiores, estableciendo de esta manera la base y la tapa del sólido, y con ello se culmina el desarrollo del prisma oblicuo. Figura 139. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso 3.

Lección 39. Desarrollo por Líneas Radiales Los desarrollos por líneas radiales son utilizados para los conos y las pirámides, ya que son elementos que tienen un vértice común. Para el desarrollo de pirámides o conos truncados deben encontrarse las líneas que conforman el volumen en verdadera longitud hasta el vértice común, por lo tanto estas líneas deben prolongarse hasta este punto con el fin de conformar un punto común de referencia entre los elementos que configuran el volumen y posterior a ello, cuando ya se obtengan los datos de las medidas reales de las líneas, se eliminan los segmentos añadidos, para establecer el truncamiento de la pirámide o cono. El desarrollo de una pirámide oblicua truncada requiere el prolongamiento de las aristas que la conforman para lograr establecer un vértice común y a partir de éste generar el eje del desarrollo. Las aristas de la pirámide deben aparecer en Verdadera Longitud y debido a que en las proyecciones principales dadas estas no se presentan con tal característica se procede a conseguirlas por el método del giro, por lo tanto en la proyección Horizontal se van a rotar sobre el eje localizado en el vértice hasta dejarla en una posición paralela a la Línea de Referencia y posterior a ello se traslada hacia la proyección Frontal el punto de la longitud de la arista rotada (Ver figura 51). 153


Figura 140. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 1.


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Cuando se ha rotado una de las aristas de la pirámide en la proyección Horizontal desde el vértice común, éste punto rotado se proyectará a la siguiente vista y en ésta se trazará la arista en Verdadera Longitud desde el vértice común hasta el extremo opuesto 2r (en este caso) de la proyección Horizontal y en la unión de este con la línea de tierra se indicará la recta v, 2r con su longitud real. Figura 142. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 3.

Cada una de las aristas debe ser rotada con un radio V hasta cada punto de la base de las aristas que conforman la pirámide, y se llevará el paso circular del punto base a una posición paralela a la Línea de Referencia, lo cual permite que en la siguiente proyección ésta recta se presente en Verdadera Longitud, por tal razón al pasar el punto rotado a la siguiente vista, ésta línea se presentará con su Verdadera Longitud. Se debe tener en cuenta que el vértice común es el punto final y más alejado de la línea de tierra (base) de la pirámide y del cual se proyectan todas las aristas. Este proceso se realiza en la proyección Horizontal de forma independiente con cada línea, y cada una de éstas deberán ser trasladadas por medio de líneas de proyección a la Vista Frontal en la cual se ubicará el punto base rotado en la intersección de la línea de proyección de la arista girada con la línea base de la pirámide en la proyección Frontal. 155




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Luego de haber obtenido las aristas en Verdadera Longitud, se debe restar en la parte superior de éstas la sección recta que corresponde a los segmentos del truncamiento, trasladando los puntos del Truncamiento de la proyección Frontal hacia las aristas rotadas correspondientes, las cuales se encuentran en verdadera Longitud; por lo tanto los puntos c y d del truncamiento se localizan sobre las aristas 3 y 4, y su nivel de altura se trazará con una línea paralela a la línea de Referencia hasta la arista correspondiente. Figura 145. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 6.

Para el inicio del desarrollo se debe escoger una arista que será con la que se iniciará y terminará el proceso del desarrollo; en el caso del ejemplo se escoge la arista v, 1r (arista en Verdadera Longitud) y para la unión de los siguientes puntos se toma la primer distancia entre aristas, la cual está siendo proyectada en Verdadera Magnitud (por lo tanto sus líneas se encontrarán en Verdadera Longitud) en la proyección Horizontal, debido a que en la Frontal éstas aristas se encuentran como filo; se pasa la medida 1, 2 correspondiente a la separación de las aristas v, 1 y v, 2 en la base y con el compás se traza el arco con esta medida tomada sobre el punto 1r de la arista establecida para el desarrollo y desde el vértice se traza el radio con la longitud de la arista 2r; con ello se establece la primera cara de la pirámide. Figura 146. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 7 y 8.

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Se debe seguir el mismo procedimiento con cada una de las aristas y distancias para establecer el desarrollo de la pirámide, pero debido a que esta es truncada se deben eliminar los segmentos que no poseen superficie debido al corte recto del truncamiento, por tal razón se deben pasar las medidas señaladas en la proyección adyacente a la Frontal, en la cual se colocaban a las aristas en Verdadera Longitud y se indicaba el punto de corte del truncamiento; éstas medidas se trasladan al desarrollo y se restan las partes de la zona superior de la pirámide. Adicional a ello se deberá añadir a la figura del desarrollo la base de la pirámide (Verdadera Magnitud de la base) y la tapa del truncamiento (Verdadera Magnitud de la tapa), ésta última no se encuentra en las figuras y se consigue por medio de una proyección paralela al truncamiento, en la cual ésta se mostrará con sus dimensiones reales. Lección 40. Desarrollo por Triangulación Debido a que por los anteriores métodos solo es posible realizar el desarrollo de los prismas (desarrollo por líneas paralelas) y de las pirámides ó conos (desarrollo por líneas radiales), se hace necesario establecer un método por el cual se pueda obtener el desarrollo de los volúmenes que difieren de los anteriores, por tal razón el desarrollo por Triangulación es el proceso a seguir para lograr conformar figuras regulares dentro de las caras de forma irregular, buscando dividir las caras planas de un objeto en varios triángulos y a partir de sus diagonales conseguir el desarrollo. Figura 147. Desarrollo de un Adaptador. Paso 1

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El primer paso a seguir es dividir las caras de la figura en dos triángulos, teniendo en cuenta que éstas diagonales surgen en un vértice común y terminarán en un vértice común, por lo tanto la diagonal que se traza desde el vértice 4 hacia el vértice “a” proyectará desde este último punto otra diagonal hasta el vértice 2 y desde éste se establecerá otra línea hacia el vértice c y de allí se trazará la última diagonal para concluir en el punto 4. Estas diagonales se proyectarán a la siguiente proyección, Vista Frontal, después de ello se deberán obtener las Verdaderas Longitudes de cada arista a través del método del giro y éstas se trasladarán a la proyección Frontal, luego se generará un eje que señalará un vértice común y la base de la terminación de cada arista en Verdadera Longitud. Figura 148. Desarrollo de un Adaptador. Paso 2 y 3

Posterior a ello se deberá crear un nuevo eje, adyacente al de las aristas en Verdadera Longitud, en el cual se trazarán las diagonales en Verdadera Longitud, las cuales fueron conseguidas por medio del método del giro también. Es importante señalar que cada arista y diagonal debe estar identificada con los puntos correspondientes, para que con estos datos sea posible realizar el desarrollo. Habiendo obtenido los datos necesarios para el desarrollo como los son: Verdadera Longitud de aristas y diagonales, y Verdadera Magnitud de base y tapa (las cuales por encontrarse como filo en la proyección Frontal, se establecen en verdadera Magnitud en la proyección Horizontal) se puede inciar el desarrollo del adaptador ó también llamado campana. 159


Para iniciar el desarrollo se escoge una arista cualquiera por la cual se desee iniciar y terminar el desarrollo; en el ejemplo se escoge a la arista en Verdadera Longitud 1, a. Sabiendo que el punto 1 de la arista se encuentra en la parte superior de la campana y que le punto “a” se localiza en la base de la misma se deben establecer lógicamente las posiciones para iniciar el proceso del desarrollo. Desde el punto 1 de la arista se toma la medida de la distancia 1, 2, y se describe un arco con tal distancia; para completar el plano se describe un arco desde el punto “a” con radio 2a, el cual señala la diagonal de la cara a, b, 2, 1 en verdadera Longitud. Se consigue la primera parte de la cara a, b, 2, 1 y se continuará con el proceso, ubicando las distancias en los puntos a los que se conecta, por lo tanto al tener el desarrollo del primer segmento de la cara de la campana, quedan expuestos para continuar con el desarrollo, los puntos 2 y “a”. Desde “a” se debe señalar el arco con radio a, b, y desde el punto 2 se describirá un arco con distacia 2, b; con estas distancias se concluye la primera cara de la campana. Figura 149. Desarrollo de un Adaptador. Paso 4 y 5

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El proceso de conformación de las caras del desarrollo debe continuar de la forma en la que se realizó la primera cara del desarrollo. Los siguientes puntos para realizar el desarrollo se establecerán desde el último punto tenido en cuenta. Para la segunda cara de la campana se inicia colocando la punta del compás en el punto b y con radio b, c se establece el primer arco, y para señalar el lugar de empalme, se traza desde el punto 2 un arco con radio 2’c’, de la diagonal en Verdadera Longitud. Después, desde el punto c, que fue el punto que se estableció con la unión de los puntos en el paso anterior, se continuará con el proceso de la configuración de las caras del desarrollo. Figura 150. Desarrollo de un Adaptador. Paso 6

De esta forma se termina con el desarrollo de las caras. Para culminar con el desarrollo se deben ubicar la tapa y la base en Verdadera Magnitud en las aristas que corresponda.

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Bibliografía ICONTEC. 1975. Normativa Técnica Colombiana 1001. Bogotá : ICONTEC, 1975. pág. 18. —. 1988. NTC 1580. Bogotá : ICONTEC, 1988. pág. 3. —. 1980. NTC 1594. Bogotá : ICONTEC, 1980. pág. 3. —. 1981. NTC 1687. 1. Bogotá : ICONTEC, 1981. pág. 13. —. 2001. NTC 1777. Bogotá : ICONTEC, 2001. pág. 27. —. 1997. NTC 1912. Bogotá : ICONTEC, 1997. pág. 4. —. 2001. NTC 1914. Bogotá : ICONTEC, 2001. pág. 5. —. 1996. NTC 1960. Bogotá : ICONTEC, 1996. pág. 29. —. 2002. NTC 2058. Bogotá : ICONTEC, 2002. pág. 3. —. 2002. NTC 2099. Bogotá : ICONTEC, 2002. pág. 4. VALENCIA GARCÍA, Germán. 2009. Geometría Descriptiva paso a paso. Bogotá : Ecoe Ediciones, 2009. pág. 306.

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Unidad 2c

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