UNIDAD 2 – 2 – ACTIVIDAD ACTIVIDAD 3 MATEMATICA II Fraire, Damián.
Dada la función: f ( x)
x
2
16
4 x
4
a) Exprese en notación de intervalo el dominio de f:
−∞,4 ∪4,+∞
b) Calcule: 2
lim
x
2
lim x
3
16
lim( x 2 16) 4
4 x
x
3
4
43 2
lim x
3
lim
x
16
x
2
16
4 lim
3
x
3
x
lim 4 x
3
3
x
3
4
7
7
( x 4)( x 4)
3
4 x
x
3
lim 4 lim x x
7
43
4 x lim x 3 x
9 16
4 x
lim x 2 lim 16
lim(4 x) x
(3)2 16
4
4 x
x 3
x
16
3
x
lim 4 x
3
3
4 1 4 3
4 x 4 4
x
c) Demuestre, mediante la definición de límite, el resultado obtenido en el apartado anterior. Dado un demostrar la existencia de un función afín: Buscamos probar que: 2
lim x 3
x
16
4 x
4
3
por medio de la gráfica de f siendo f una
Para ello, dado cualquier ε debo ser capaz de demostrar la existencia de un δ de tal manera que si los x no se separan en más de δ del 3 (sin ser 3) pueda asegurar que los f(x) no se separan en más de ε de 3. Para ello realizamos la gráfica de la función:
f ( x)
x
2
16
4 x
4
Sea P el punto donde la recta y = 3 – ε corta a la gráfica de f, por P trazamos una recta vertical que corta al eje X en a. Sea Q el punto donde la recta y = 3 + ε corta a la gráfica de f, por Q trazamos una recta vertical que corta al eje X en b. Ahora bien, llamemos a la distancia δ1:
3 – a a = δ1
(1)
Y a la distancia δ2:
b – 3 3 = δ2
(2)
Observamos que si x ϵ (a,b) podemos asegurar que f(x) (1 - ε , 1+ ε )
Despejando de (1) obtenemos Despejando de (2) obtenemos
a = 3 - δ1 b = 3 +δ2
Por lo cual podemos decir que: Si x ϵ (a,b) - {3}= (3 - δ1 , 3 + δ2 ) - {3} podemos asegurar que f(x) ϵ (3 - ε, 3 + ε ). Obtenemos un solo δ para construir un entorno reducido de 3. Tomamos
δ =
al menor entre δ1 , δ2
Diremos: δ = mín { δ1 , δ2 } Podemos asegurar que: si x ϵ (3 - δ , 3 + δ ) - {3} Entonces f(x) ϵ (3 -ε , 3 +ε ). Llegando así a mostrar gráficamente que lim x 3
x
2
16
4 x
43
d) Analice la continuidad de f en todos los reales. Si corresponde, explicite y
Clasifique el/los puntos de discontinuidad. Y e) Analice la continuidad de f en su dominio . Si corresponde, explicite y clasifique el/los puntos de discontinuidad.
X-
f ( x)
x
2
16
4 x 2,9 2,99 2,999
2,9 2,99 2,999 xϵ
4
X+
f ( x)
x
2
16
4 x 3,1 3,01 3,001
3,1 3,01 3,001 xϵ
4
Definición de Continuidad de una función en un punto de acumulación de su dominio. Sea f una función y sea a D f , a punto de acumulación del D f Decimos que f es continua en a si y sólo si lim f ( x) f ( a) x a
Sea la función: 2
lim x 3
x
16
4
4 x
Analicemos la continuidad de esta función son todos los números reales excepto aquellos que me anulen el denominador, punto a tener en cuenta primero debemos mirar si se pueden simplificar el numerador y el denominador para hallar el dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación resultante si esa ecuación se anula para algún valor del dominio son todos los valores menos es os. Pero en este caso al estar e star sumando el 4 no se nos presenta inconveniente por lo que la función es continua en todo su dominio Para todo “a” ϵ
Df resulta que:
f (a )
a
2
16
lim f ( x) lim
x a
Por lo tanto:
4a xa
x
4
2
16
4 x
4
a
2
16
4a
4
lim f ( x) f ( a)
x a
Acá concluimos que la función es continua para todo punto de su dominio, una función es continua en su dominio cuando lo es en todos sus puntos (para darnos más cuenta si para realizar la gráfica no tenemos que levantar el lápiz del papel)
f)
Grafique la función.
Ejercicio 30:
a) Limites nulos en el infinito:
logx logx) lim ( → x
1) lim ( →
b) Limites indeterminados Son aquellos afectados por límite de cociente, diferencias y producto de funciones, a los que, al reemplazar la variable por un valor re al, generan indeterminación. Ejemplo de indeterminaciones:
;
; ∞− ∞ ; 0∗ ∞
Ejemplos de límites indeterminados
− → − Al resolver:
lim − 4 = 0 → lim −2 −2 0 → − ) ( → − − Al reemplazar variable por 2, resulta
∞− ∞
Indeterminación cero elevado a la cero:
c)
Funciones con asíntotas verticales
Las asíntotas son rectas a la c ual la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables tiende a infinito.
Las asíntotas pueden ser -
Verticales
-
Horizontales
-
Oblicuas
Asíntotas verticales, si existe un “a” tal que:
lim = ∞ → Ejemplo:
