Teoría de números (Lic. matemática)
Grupo 551108_2
Actividad Colaborativa Unidad 1: Paso 2 - Actividad colaborativa Unidad 1
Presentado por: Antonio José Barrios, cód.: Javier David Ortega Vergara, cód.: Vanessa Oemis Velásquez Mercado, cód.: 1.102.844.008 Samir Alberto Guevara, cód.: Mario Gabriel Herazo, Cód.: 1100626954
Docente JUAN CARLOS BENAVIDES
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD CEAD corozal Licenciatura en matemáticas
INTRODUCCION La presente actividad dentro de la estructura general de curso, aborda el estudio de los objetos y procesos matemáticos relacionados Sistemas de Numeración. Inducción matemática, con definiciones recursivas: suma, multiplicación y algoritmo de la división con números primos, sistema de numeración, MCD y Teorema fundamental de la aritmética.
Para lograr tales propósitos, se diseñó la actividad en torno a la aplicación de los conceptos anteriores, requeridos para la realización de una serie de ejercicios contextualizados, los cuales tienen como temas fundamentales: Inducción matemática, definiciones recursivas: suma, multiplicación y algoritmo de la división, números primos, sistema de numeración, MCD y Teorema fundamental de la aritmética y sus aplicaciones, los cuales llevan un lineamiento para la solución de estas, como lo es el uso adecuado de las propiedades y métodos de eliminación.
La consecución del objetivo grupal ha sido fiel evidencia y a la vez determinante para constatar la importancia del aprendizaje de los conceptos del sistema numérico, con la anotación que estas últimas son muy variadas al momento de desarrollarlas, y la socialización del trabajo colaborativo
Estos conocimientos son vitales en la cotidianidad matemática, y es necesario que los estudiantes y futuros docentes aprendamos a organizarla, clasificarla y adaptarla, toda vez que podamos motivar su aprendizaje haciendo fácil su comprensión a los estudiantes,
por medio de
actividades que contribuyen a prepararlo para la vida y a desarrollar su pensamiento, en este caso para realizar un trabajo con unos resultados positivos o significativos, fundamentales en el ejercicio matemático y sus infinitas aplicaciones..
OBJETIVO GENERAL: Al finalizar, el alumno, conocerá estructura general de curso, aborda el estudio de las características y principales procesos matemáticos relacionados Sistemas de Numeración. Inducción matemática, con definiciones recursivas: suma, multiplicación y algoritmo de la división con números primos, sistema de numeración, MCD y Teo rema fundamental de la aritmética. Y sobre todo tendrá una visión general e integral que le permitirá comprender el complejo problema de las adicciones
OBJETIVOS ESPEFICICOS:
Identificar los problemas relacionados con el sistema numérico
Reconocer e identificar la deficiones recursiva como la suma, multiplicación
Formular problemas de logaritmo y sistema de numeración MCD
Combina teoremas de aritmética.
PREGUNTAS INICIALES 1. ¿Cómo se relacionan el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo? El mínimo común múltiplo (M.C.M) y el máximo común divisor (M.C.D) son dos operaciones y procesos matemáticos muy utilizados en la simplificación o búsqueda de un múltiplo o divisor común de un grupo de números o una situación determinada. Ambos procesos tienen como base la descomposición de números en sus factores primos, sin embargo difieren en que uno el M.C.M toma como base el múltiplo o en su defecto en el proceso los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente, estos se multiplican y se encuentra en M.C.M; mientras que el M.C.D, toma el menor de los divisores que contengan la situación, en caso de realización del proceso se toman los factores primos comunes con su menor exponente y se multiplican ofreciendo como resultado el M.C.D. Existe una relación entre estos dos procesos y es que el producto de M.C.M multiplicado por el M.C.D de una cantidad de números iguales es igual al producto de dichos números. Como se muestra: M.C.D (A, B)×M.C.M (A, B)=A×B.
2. ¿Qué características tiene el método de demostración inducción matemática y cuáles son los pasos básicos para su desarrollo? El método de demostración de inducción matemática permite demostrar proposiciones a partir de razonamientos basados en una variable n que toma valores de números enteros. Algunas características de esta son:
Permite demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.
Se basa en pasos básicos de demostración los cuales son: Comprobación, Hipótesis de Inducción, Tesis y Demostración.
A continuación evidenciamos como se desarrollan y se llevan a cabo los pasos en la inducción matemática: El primero es de Comprobación, consiste en comprobar si n y la proposición es verdadera . Segundo paso es de Hipótesis de Inducción, en el que se asumen que y esto nos lleva a la Tesis que predice que .
Por último se da el proceso de demostración que si se cumple para , entonces también
tiene la misma validez.
3. ¿ En qué campos de la ciencia se utiliza el sistema binario, decimal y
hexadecimal?
Dé ejemplos reales de su utilidad. El sistema binario, decimal y hexadecimal son sistemas numéricos que integran un conjunto de símbolos y reglas para representar datos, por lo que son muy importantes en muchos campos científicos y de estudio no solo es de utilidad y estudio para las matemáticas, sino también otras carreras y ciencias importantes a nivel humano. La utilización real se ve en muchos casos y situaciones, por ejemplo un docente con énfasis o licenciado en matemáticas enseña y utiliza en muchos momentos estos sistemas de numeración para desarrollar sus clases o enseñar algunas temáticas específicas. En el campo de las ingenierías sobre todo en la de sistemas y electrónica, los datos de programación y de numeración que utilizan para cualquier evento o proceso que desarrollen por lo general se maneja en códigos números binarios o decimales, en búsqueda de comodidad y facilidad para estos procesos. En la computación y las TIC son muy utilizadas en la programación y fabricación de software por eso es muy necesario manejar este tipo de conocimientos.
Resolución de los ejercicios
1. Demostrar utilizando inducción matemática. A. Comprobamos cuando .
Luego entonces se cumple para , cuando .
Por lo tanto se cumple. Ahora veamos que se cumpla para
Luego se cumple para , entonces
b) Probamos para 1.
Suponemos que es válido para <
Probamos para k+1
Tomamos
Sumamos En ambos lados
Luego se cumple para k+1
Así la expresión es verdadera
Paso base: n=1
Verdadera
Paso de inducción: Se asume que para n también es verdadera Comprobamos que para n+1 también es verdadera
Probamos para 1
Es verdadero Suponemos que se cumple para k
Probamos para k+1
Tomamos la expresión para k
Y sumamos en ambos lados
Por tanto la expresión es verdadera, así la expresión inicial se cumple para todo n
e)
Comprobamos valor cuando :
Por lo tanto se cumple para . Veamos que se cumpla en :
Veamos que se cumpla para :
Luego se cumple para , entonces
f)
.
Cuando , vemos si cumple en :
Por lo tanto se cumple para . Veamos que se cumpla para :
Veamos que se cumpla para :
Luego se cumple para , entonces
2. Utilizando el algoritmo de división, halle: a) a=100, b=-7 b) a=-100, b=-7
a) a=100, b=-7
b) a=-100, b=-7
3 Demuestre que: a) Sea tales que y Entonces
Sea tales que y Entonces
.
B. Sean m, c y d enteros. Demuestre que si , entonces . Si donde Entonces
n
c kdc
Simplificamos c
n
kdc
d
1
kd
kd
k
n
C. Sean m, n, d1 y d2 enteros. Demuestre que si y , entonces . Sean d 1 m d 2 n
m d 1 k 1 donde k 1 m d 2 k 2 donde k 2
Podemos decir que mn (d 1 k 1 )(d 2 k 2 )
Despejando nos queda
d 1d 2 mn
k 1k 2
Se cumple el argumento con cociente .
6. Escriba en binarios los siguientes números decimales:
a) 35 = 100011 b) 48 = 110000 c) 7586= 1110110100010 d) 58742= 1110010101110110 7. Expresar en decimales los siguientes números binarios:
a) 1101 = 13 b) 101011= 43 c) 0001101= 13 d) 101010110 = 342
CONCLUSIÓN Con la información anteriormente dada podemos decir que es importante realizar el reconocimiento general del trabajo a desarrollar ya es enormemente útil y saberlo utilizarlo. Por otro lado, saber exactamente en donde nos encontramos, para así poder entender lo que vamos a realizar, porque en muchas ocasiones no estamos en el lugar indicado y no podemos captar de manera precisa lo que queremos realizar y decir, de manera coherente lo que se está diciendo de nuestra licenciatura en matemática. Por ende el profesor actúa como un compañero en el proceso de investigación sin dirigir este proceso. En este enfoque, el aprendizaje de procedimientos es secundario al desarrollo del pensamiento matemático ya que esta tecnología nos facilita más nuestro aprendizaje autónomo En la medida en que el docente tome conciencia de la importancia de contar con una buena formación, cualquiera sea la disciplina o el campo en el que actúe, el camino que se recorra por parte del estudiante y el profesor habrá sido más fructífero y sencillo. Esto obedece entonces a contar con una serie de conocimientos, técnicas, instrumentos y metodologías que permitan reflexionar sobre una mirada integrada en el nivel de la educación.
BIBLIOGRAFÍA
JOHNSONBAUGH, Richard, Matemáticas Discretas. Editorial Pearson. México. 2005.
EPP, Susanna. Matemáticas Discretas con aplicaciones. Cuarta edición. Editorial Cengage Learning. México 2012.
Lipschutz,Seymour. Matemáticas discretas. Tercera edición. Editorial Mc Graw Hill. México 2009
