Solucionario
1
Introducción al lenguaje gráfico
1.1. Observa los ejemplos del libro. Elige una de las imágenes dibujando con lápices de colores dos versiones, una mediante una representación objetiva y otra subjetiva. Solución: figuras 1 y 2
1.2. Dada la señal vial del ejemplo del libro, dibuja una señal original de libre invención, invención, basada en el triángulo como mensaje de peligro. Solución: figura 3
4
Solucionario
1.3. Dibuja una señal vial que indique indique prohibición utilizando los códigos visuales ya establecidos establecidos sobre su forma y color. Solución: figura 4
1.4. Dibuja las iniciales de tu nombre y apellido, adaptándolas a dos formas fundamentales. fundamentales. Solución: figuras 5 y 6
1.5. El neoplasticismo de algunas manifestaciones artísticas del siglo XX llega a ser pura geometría. Reproduce el cuadro del ejemplo del libro utilizando material de dibujo técnico. Solución: figura 7
Solucionario
5
1.3. Dibuja una señal vial que indique indique prohibición utilizando los códigos visuales ya establecidos establecidos sobre su forma y color. Solución: figura 4
1.4. Dibuja las iniciales de tu nombre y apellido, adaptándolas a dos formas fundamentales. fundamentales. Solución: figuras 5 y 6
1.5. El neoplasticismo de algunas manifestaciones artísticas del siglo XX llega a ser pura geometría. Reproduce el cuadro del ejemplo del libro utilizando material de dibujo técnico. Solución: figura 7
Solucionario
5
Solucionario
2
Trazados fundamentales en el plano
2.1. Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado. 1.
C
En primer lugar, se halla el cuadrado JBHK equivalente al triángulo ABC dado.
3.
H
K
2. A continuación, y partiendo de un rectángulo LBMN cualquiera que tenga sus lados en la relación 1/2, se halla el cuadrado equivalente RBQS .
X
E
U
V F
Por último, basta con determinar el rectángulo YBVX , semejante al LBMN : se traza la recta BT hasta cortar al lado JK en U ; por este punto pasa el lado VX , que a su vez se corta con la recta BN en el punto X .
S N
Q
T
M 1
G A
Y
D
J
L
R
P
B 2
FIG. 1
2.2. Dibuja el cuadrado cuadrado equivalente a un hexágono hexágono regular de lado 20 mm. 1.
Se dibuja un triángulo GHE equivalente al hexágono ABCDEF dado.
2.
Se halla el rectángulo GHIF equivalente al triángulo anterior.
3.
Se determina el cuadrado equivalente al rectángulo GHIF .
E
D
L
N
MHLN I
C
F
K A
G
M
J
B
H
FIG. 2
2.3. Dibuja un triángulo triángulo equivalente equivalente a un círculo de radio 15 mm. 1.
Se dibuja el círculo de diámetro AB = 30 mm, y se halla el cuadrado BEFD equivalente.
2.
Se halla un triángulo HEL equivalente al cuadrado hallado en el p unto anterior. L
r
D
K F
J
C
A
1
2
3
4 H
5
6
B G
E
I
FIG. 3
6
Solucionario
F
2.4. Dados cuatro cuadrados cuyos cuyos lados miden miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos. 1.
Se dibuja el triángulo rectángulo ABC , de manera que los catetos midan: AB = 30 y AC = 25 mm.
2.
Se dibuja el triángulo rectángulo BCD, de manera que el cateto BC sea igual a la hipotenusa hallada y el cateto BD valga 20 mm.
3.
Se halla el triángulo rectángulo CDE , tal que el cateto CD sea igual a la hipotenusa hallada en el punto anterior y el cateto CE mida 15 mm.
4.
El cuadrado DEFG cuyo lado es igual a la hipotenusa DE tiene por área la suma de los cuadrados dados.
G
E
15 C
D 25 20 30
B
A
FIG. 4
G
2.5. Dibuja la circunferencia circunferencia que tiene tiene por área área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm. 1.
Se dibuja el triángulo rectángulo ABC , de manera que los catetos midan: AB = 20 y BC = 15 mm.
2.
Se dibuja el triángulo rectángulo ACG, de manera que el cateto AC sea igual a la hipotenusa hallada y el cateto CG mida 10 mm.
3.
El círculo que tiene por diámetro la hipotenusa AG del punto anterior tiene por área la suma de los círculos dados.
H C J F
E
D A
B
FIG. 5
2.6. Dibuja el pentágono pentágono regular que tiene tiene por área el doble de otro otro que tiene por por radio 25 mm. 1.
Se dibuja el pentágono HIJBG de 25 mm de radio con centro en el punto A.
2.
Se dibuja el círculo de centro O cuya área sea el doble de la del círculo de centro A que circunscribe el pentágono anterior.
3.
Se dibuja el pentágono PQRNS inscrito en la circunferencia de centro O. N
B R
S
O J
G A
E D
F
Q
P
I
H
r C
K
M
L FIG. 6
Solucionario
7
Solucionario
3
Trazado de polígonos
3.1. Dibuja un triángulo rectángulo MNP , conociendo la mediana de la hipotenusa NA = 37,5 mm y la mediana de uno de los catetos MB = 50 mm. 1.
Sobre una recta r se toma el segmento BM = 50 mm (figura 1).
2.
Se dibuja el arco capaz de 90º sobre el segmento BM .
3.
Se divide el segmento BM en tres partes iguales, y con centro en la división 1 se dibuja un arco de radio 25 mm hasta cortar al arco capaz en el punto A.
4.
El punto de división 1 es el baricentro del triángulo ABC , y dista una parte de la base y dos partes del vértice. Mediana AN = 37,5 mm; cada parte, 12,5 mm.
5.
Sobre el segmento A1 se mide la mediana de la hipotenusa, y se obtiene el punto N .
6.
Uniendo B con N y A con M , obtendremos el otro vértice C del triángulo donde se corten.
N
2 5
B
O M
2
r
1
A
P FIG. 1
8
Solucionario
3.2. Dado el croquis de la figura del libro, dibuja el terreno delimitado por los puntos ABCDE con los siguientes datos. •
Triángulo BEC : BE = 50 mm, altura sobre BC = 42,5 mm y mediana sobre BE = 42,5 mm.
•
Triángulo ABE : altura sobre AE = 35 mm y altura sobre AB = 30 mm.
•
Triángulo CDE : altura sobre CE = 25 mm y altura sobre CD = 42,5 mm.
1.
Sobre una recta r se dibuja el segmento EB = 50 mm (figura 2).
2.
Con centro en E se traza un arco de radio 42,5 mm, que marcará la altura sobre el lado BC .
3.
Se traza la recta s tangente a este arco por el punto B.
4.
Con centro en F , punto medio de EB, se corta a la recta s con la distancia de la mediana sobre BE = 42,5 mm, y se obtiene el punto C .
5.
Con centro en B se traza el arco de radio 35 mm, la altura sobre AE .
6.
Con centro en E se traza un arco de radio 30 mm, la altura sobre AB.
7.
El punto de corte de ambos arcos es el punto A.
8.
Se traza la recta t paralela a EC a una distancia de 25 mm, que es la altura sobre CE .
9.
Con centro en E y radio la altura sobre CD = 42,5 mm se traza un arco hasta cortar a la recta t en el punto D.
s
A 4 2 , 5
5 3
3 0
B E
r
F 4 2 ,5
C
5 2
D t
FIG. 2
Solucionario
9
Solucionario 3.3. Dados los segmentos AB = 90 mm, BC = 50 mm y CA = 115 mm, construye el cuadrilátero inscribible, siendo AB y BC dos de sus lados, y AC una de sus diagonales. Los lados AD y DC son iguales. 1.
Se dibuja el segmento AB = 90 mm (figura 3).
2.
Con centro en B y radio 50 mm, se traza un arco.
3.
Con centro en A y radio 115 mm, se traza un arco.
4.
Donde se cortan ambos arcos es el punto C .
5.
El centro de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero se obtiene trazando las mediatrices de dos de los segmentos; por ejemplo, el AB y el BC .
6.
Por el punto medio de la diagonal AC se traza la mediatriz hasta cortar a la circunferencia en el punto D, ya que los lados AD y CD son iguales.
D
C O
B
A
FIG. 3
3.4. Dibuja las posibles soluciones para obtener el triángulo ABC del que se conocen los siguientes datos. Lado a = 50 mm, ángulo A = 45º y mediana del vértice A = 50 mm. 1.
Sobre una recta r se dibuja el segmento a = 50 mm, y se obtienen los puntos B y C (figura 4).
2.
Se traza el arco capaz de 45º sobre el lado BC , y se obtiene el centro O.
3.
Con centro en el punto medio E del lado BC y con radio el de la mediana de A = 50 mm se trazan dos arcos que cortarán al arco capaz en los puntos A y A1, que son las soluciones.
10
Solucionario
3.5. Construye un octógono regular conocida la distancia entre lados opuestos, que es de 50 mm. 1.
Se dibuja el cuadrado ABCD de lado 50 mm (figura 5).
2.
Se dibuja la circunferencia inscrita al cuadrado ABCD.
3.
Se trazan las diagonales AC y BD, y los ejes del cuadrado.
4.
Por los puntos 1, 2 , 3, …, 8 de corte de la circunferencia con los ejes y diagonales se trazan las tangentes a la circunferencia.
5.
Los puntos de corte de estas tangentes dan lugar a los puntos E , F , G, …, L del octógono.
A
F
E
B
1 2
8 L
G 0
3
7
K
H 4
6 5 D
J
I
C
FIG. 5
3.6. Dibuja un rectángulo sabiendo que la suma de sus lados es 60 mm y que el ángulo que forman las diagonales es 120º. 1.
Sobre una recta r se dibuja el segmento a + b, y se obtienen los puntos A y M (figura 6).
2.
Por el punto M se traza la recta s que forme 45º con la recta r .
3.
Por el punto A se traza la recta t diagonal del rectángulo que forma 30º con la recta r , ya que las diagonales forman 120º entre sí, por lo que una de ellas forma 30º con el lado mayor d el rectángulo.
4.
Donde se corten las rectas s y t se obtiene otro vértice C del rectángulo.
5.
Por el punto C se traza la recta perpendicular a la recta r , y se obtiene el punto B.
6.
Por el punto A se traza la recta perpendicular a la recta r ; y por el punto C , la recta paralela a la recta r , con lo que se obtiene el otro vértice D.
Solucionario
11
Solucionario
4
Transformaciones geométricas
4.1. Halla el punto homólogo del C , conociendo un par de segmentos homólogos AB y A’B’ y un punto doble M (figura 1).
B
M
1.
Se halla el centro O de homología (figura 2): punto de intersección de los rayos AA’ y BB’ .
2.
Se halla el eje e de homología: recta que une el punto R de intersección de las rectas homólogas AB y A’B’ con el punto doble M -M’ .
3.
C
A
A
B
FIG. 1
O
La recta s que une los puntos B y C corta al eje en el punto S . La recta s’ , homóloga de s, se halla al unir S con el punto C . El punto C’ , homólogo de C , se halla donde se corta el rayo OC con s’ .
C A
s
r B
M-M’ e A
S
R
r B s
FIG. 2
C
RL
4.2. En la homología dada (figura 3), halla la figura homóloga del rectángulo ABCD. 1.
2.
3.
Se determina el centro O de la homología (figura 4): llamando r a la recta que une los puntos A y B (que corta al eje en el punto doble B-B’ y a la recta límite en R’’ ), y llamando r’ , homóloga de r , a la recta que une los puntos A’ y B’ , el centro O de la homología se halla donde se corta la recta r’’ , paralela a r’ trazada por R’’ , con la recta a que une dos puntos homólogos, A y A’ .
A
B
eje
A D
La recta s es la que une los puntos A y D, y corta al eje en el punto S . La recta s’ , homóloga de s, se halla al unir S con A’ . El punto D’ , homólogo de D, se encuentra donde se cortan las rectas s’ y d , que une el centro O con D.
C
FIG. 3
O
La recta t , que une los puntos C y D, corta al eje en el punto T . La recta t’ , homóloga de t , se halla al unir los puntos T y D’ . Por tanto, el punto C’ , homólogo de C , está donde se corta la recta t’ y el rayo c que une el centro O con C .
r '
R' b
a
c
RL
d
C t D'
A r
s
B-B’
T eje S s
r A
D t C
12
Solucionario
FIG. 4
4.3. En una homología de centro V , eje E y recta límite RL, determina la figura homóloga del cuadrilátero ABCD (figura 5). 1.
La recta r , que une los puntos A y D, corta a la recta límite l en R’ y al eje e en R (figura 6). La recta homóloga r’ se halla al trazar por R la paralela a la VR’ .
2.
La recta a, que une el centro de homología V con A, se corta con r’ en el punto A’ , homólogo de A; la recta d , que une V con D, se corta con r’ en D’ , homólogo de D.
3.
La recta s’ –paralela al eje e, trazada por D’ – es homóloga de la recta s, que une los puntos C y D por ser también esta paralela al eje.
4.
l
A
V
B
e
C
D
La recta c , que une V con C , corta a s’ en C’ , homólogo del punto C .
El polígono A’B’C’D’ es la figura homóloga que se pide.
R'
l r '
A A
a r
V
b
r
c
d
R
e
B-B’
D' C s
C
FIG. 6
D
s
4.4. Halla el punto afín del B conociendo el eje y un par de puntos afines A y A’ (figura 7). 1.
2.
Se elige un punto C cualquiera, y se une con A mediante la recta r hasta cortar al eje en el punto R (figura 8). La recta r’ que une R con A’ es la recta homóloga de r . El punto C’ de intersección de r’ con la paralela a la dirección a de afinidad, definida por los puntos homólogos A y A’ , es el homólogo de C . Se unen los puntos B y C mediante la recta s hasta cortar al eje en el punto S . La recta s’ que une los puntos S y C’ es la recta homóloga de s. Donde se corta la recta s’ con la recta a-b está el punto B’ homólogo de B. B
a-b
A s
r B C c
A
s r
C eje S
R FIG. 8
Solucionario
13
A
B A
eje FIG. 7
FIG. 5
Solucionario 4.5. Halla la figura afín del triángulo ABC , conociendo el eje y un punto A’ afín del A (figura 9). 1.
La dirección de afinidad queda definida por la recta a, que une los puntos afines A y A’ (figura 10). Como la recta t (que une A y C ) es paralela al eje, su afín t’ será la paralela al eje trazada por A’ . Donde la recta c , paralela a la dirección de afinidad trazada por el punto C , se corta con t’ , se obtiene C’ .
2.
La recta r , que une A y B, corta al eje en el punto R ; la recta s, que une B y C , lo corta en el punto S . La recta r’ , afín de r , se halla al unir R y A’ , y la recta s’ se halla al unir S y C’ .
3.
Las rectas r’ y s’ se cortarán en el punto B’ , homólogo de B; en nuestro caso, fuera de los límites del dibujo.
b B
B
B
r r
A
A
a A
C
s
s
t C
c
A C
t eje
eje S
R
FIG. 9
FIG. 10
4.6. Definida una afinidad ortogonal por el eje e y el par de puntos afines AA’ (figura 11), a) representa los ejes de la cónica homóloga a la circunferencia dada, que es tangente al eje, b) determina los focos de la cónica, y c) dibuja la cónica. A
e
O A
FIG. 11
1.
La dirección de afinidad a, definida por la recta AA’ , es perpendicular al eje (figura 12). Se unen los puntos A y O mediante la recta r hasta cortar al eje en R , y se unen los puntos R y A’ mediante la recta r’ , afín de r . Donde r’ se
F'
3.
4.
Se eligen en la circunferencia de centro O una serie de puntos, B, C , D, …, y se hallan sus puntos afines, B’ , C’ , D’ , …, siguiendo los pasos realizados para hallar O’ . Los ejes de la elipse son los segmentos D’H’ y B’F’ , afines de los segmentos DH y BF ; paralelo y perpendicular al eje respectivamente. Los focos 1 y 2 de la elipse se hallan donde se corta el arco de centro F’ y radio O’H’ con el eje de la elipse D’H’ .
14
A O'
D'
corta con la para-lela a la dirección de afinidad trazada por O, se obtiene O’ , punto afín de O. 2.
G'
E'
1
r
m
n e
R
N
H 2 s a
C
B-
S
M
J J
C n
m
s
r D
H
O A G
E F
Solucionario
FIG. 12
4.7. En la figura 13, la circunferencia pasa por el centro de inversión O , y se conoce el inverso de P , que es P’ . Halla la figura inversa del arco PQ . 1.
En una inversión, la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión O es una recta r , perpendicular a la recta que une O con el centro de la circunferencia (figura 14). Por tanto, por el punto P’ se traza la recta r , perpendicular a la recta OC .
2.
La recta que une el punto Q con O se corta con la recta r en Q’ , punto inverso de Q. El segmento P’Q’ es la figura inversa del arco PQ.
P
P
r P
P'
O
C
O
Q' Q
FIG. 13
FIG. 14
Q
4.8. Traza la figura inversa de la dada –a trazo continuo– (figura 15), sabiendo que O es el centro de inversión y A y B puntos dobles. El punto C es el centro de la circunferencia que pasa por O , A, C 1 y B, y el punto C 1 es el centro del arco ACB. Indica la solución con trazo grueso. A
O
C1
C
FIG. 15
B
1.
2.
3.
Tal como se ha dicho en el ejercicio anterior, en una inversión, la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión O es una recta perpendicular a la recta que une O con el centro de la circunferencia (figura 16). Por tanto, dado que los puntos A y B son puntos dobles, la recta r que los une es la inversa de dicha circunferencia.
A-A’ r
O
C
Por el centro O de inversión se traza una recta cualquiera que corta a la circunferencia de centro C en el punto M , y a la recta r en el punto M’ , inverso del anterior.
C’1
C1
C
E
E '
Se elige un punto E cualquiera de la circunferencia de centro C 1, y se hace pasar por los puntos M , M’ y E una circunferencia que corta a la de centro C 1 en el punto E’ , inverso del punto E . Por tanto, la figura inversa de la circunferencia de centro en C 1 es una circunferencia de igual radio y centro, pero cuyos puntos inversos no coinciden.
Solucionario
M
M
B-B’
15
FIG. 16
Solucionario 4.9. En la inversión determinada por su centro O y el par de puntos inversos A- A’ (figura 17), halla el punto B’ .
O
A
A
B FIG. 17
1.
Se elige un punto C cualquiera (figura 18), y se hace pasar por los puntos A, A’ y C una circunferencia que se corta con la recta OC en el punto C’ , inverso de C .
2.
Se traza la circunferencia de centro Q, que pasa por los puntos B, C y C’ . Esta circunferencia corta a la recta OB en el punto B’ , inverso de B.
C s
C A
O B
A
B r
P
Q FIG. 18
16
Solucionario
4.10. Dibuja la circunferencia inversa de la dada, siendo A-A’ un par de puntos inversos (figura 19).
A A O
FIG. 19
1.
La recta OA corta a la circunferencia dada de centro C en el punto B (figura 20).
2.
Como los puntos A’ y B son homotéticos, por A’ se traza una recta paralela a BC hasta cortar a la recta OC en C’ , centro de la circunferencia inversa de la dada. Donde la circunferencia de centro C’ se corta con la recta OB se encuentra B’ , punto inverso del B.
B A
B O
A C
C
FIG. 20
Solucionario
17
Solucionario
5
Trazado de tangencias
5.1. Dada la circunferencia de centro O y dos de sus diámetros AB y CD, dibuja las circunferencias tangentes interiores a la dada, y que, además, sean tangentes a los diámetros dados AB y CD. Indica con claridad los puntos de tangencia. 1.
2.
3. 4.
Se trazan las bisectrices r y s de los ángulos que forman los diámetros AB y CD (figura 1).
r T 1
E
Por los puntos T 1 y T 2 se trazan las tangentes m y n a la circunferencia dada, que se cortan con los diámetros AB y CD en los puntos E y F .
m
b1 O
D
Se trazan las bisectrices b1 y b2 de los ángulos en E y en F .
1
b 2
O
O 4
F
B
s
O 2
Donde se cortan las rectas b1 con OT 1, y b2 con OT 2 dan los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas. Las otras dos circunferencias de centros O3 y O4 se obtienen llevando las mismas distancias OO1 y OO2 sobre los ejes.
A
O
3
T 2
C
n FIG. 1
5.
Los puntos de tangencia se obtienen trazando por los centros O1 y O2 las rectas perpendiculares a los diámetros dados, AB y CD.
5.2. Conocidos los puntos A, B y C , traza las circunferencias de centros los puntos dados, y que sean tangentes entre sí. 1.
Se dibuja el triángulo formado por los puntos A, B y C (figura 2).
2.
Se obtiene el incentro 1 del triángulo ABC , y se dibuja la circunferencia inscrita al triángulo.
3.
Los puntos de tangencia T 1, T 2 y T 3 de la circunferencia con los lados del triángulo definen los radios CT 1, BT 2 y AT 3 de las circunferencias solución.
C T 1
A
1 T 3
T 2
B FIG. 2
18
Solucionario
5.3. Dibuja a escala 1:1 el pomo de la figura, indicando los trazados geométricos realizados. 1.
Con centros en O y O’ se trazan las circunferencias de radios 50 + 15 y 50 - 15 (figura 3).
2.
El punto de corte de las circunferencias de radio 50 - 15 es el centro O1 del arco de cierre del pomo.
3.
Con centro en P y radio 20 se traza una circunferencia, y con centro en O’ se trazan las circunferencias de radios 50 + 20 y 50 - 20.
4.
Donde se corten las circunferencias de radios 70 y 20 son los centros O2 y O3 de las soluciones.
5.
Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros de las dos circunferencias.
5 0 - 15
O 2
O
2 0 P
T 3 T 1 O1
5 0 + 1 5
T 3
T 4
1 5 5 0 -
5 0 + 1 5
O3
O´
5 0 + 2 0
FIG. 3
Solucionario
19
Solucionario 5.4. Dibuja a escala 1:1 el eslabón de la figura, indicando los puntos de tangencia. Los puntos de tangencia se obtienen trazando las rectas perpendiculares por los centros de las circunferencias a las rectas tangentes comunes exteriores (figura 4).
20
1 3
T 3
1 5
T 7
T 1
T 2
T 4
T 5
T 6
T 8
T 9
T 10
T 11
T 12
FIG. 4
5.5. Dibuja la figura a escala 1:1 compuesta por circunferencias tangentes a otras dos, conocidos los puntos de tangencia T y S ; y un hexágono regular conocidos los vértices C y E . Indica los centros y puntos de tangencia. 1.
El centro estará en la recta O’T (figura 5).
2.
Se trazan las circunferencias de centro O’ y radios 23 + 6,5 y 23 - 6,5, y donde corten a la recta O’T son los puntos T’ y T’’ .
3.
Las mediatrices de OT’ y OT’’ dan los centros O1 y O2 .
4.
La solución, en nuestro caso, es el O2 .
T´ O´ 2 T T´´
5 6 , + 2 3
M O
C
O´ 2 O1 3 - 6
N
,5
S O 2
FIG. 5
20
Solucionario
D
Solucionario
21
Solucionario
6
Curvas técnicas
6.1. Dibuja la hipocicloide normal con los siguientes datos: -
Ruleta de centro O’ y radio O’P = 15 mm.
-
Base de centro O y radio OP = 70 mm.
Solución: figura 1
4’
3’
5’ 6’
2’
7 ’ P8
1’
8’
1 8
P
O3
2
P1
O 4
O5
O 2 P 2
7
O1
O’
P7 O6 P5
P3 P 4
3
6 5
4
45º O FIG. 1
22
Solucionario
O7
P6
O8
6.2. Dibuja la evolvente de radio PA = 18 mm. Solución: figura 2
H
G
6 5
7
P
8 A
4 B 1
3 2
C
F D
E FIG. 2
Solucionario
23
Solucionario 6.3. Dibuja la cardioide, siendo PP 1 = 40 mm.
Solución: figura 3
P1
11
A12
1
10
2 P 3
9 8 4 7 6
5
FIG. 3
24
Solucionario
6.4. Dibuja la cicloide de radio 25 mm.
Solución: figura 4
P 4 4 P3
3
P5
5
O
P 2
2
O 2
O3
O 4
O5
O6
P6
O7
O8
O1
6
1
P7
P1
7
P8
8
P
1’
2’
3’
4’
5’
6’
7 ’
8’
FIG. 4
Solucionario
25
Solucionario
7
Curvas cónicas
7.1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF’ = 42 mm. Determina el eje mayor AB, así como las tangentes desde un punto P que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm. 1.
C
La distancia CF es el semieje mayor a (figura 1).
2.
Se traza la circunferencia focal de centro F’ y radio 2a.
3.
Se traza la circunferencia de centro P y radio PF , que corta a la anterior en los puntos G y H .
4.
2 a
r G
a
F
A
F ’
P
Las mediatrices r y s de los segmentos GF y HF son las tangentes a la elipse desde el punto P .
B
AB=2a s
D H
FIG. 1
7.2. Desde un punto P , traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB, y a 25 mm de B. 1.
Con centro en C y radio a se traza un arco para obtener los focos F y F’ (figura 2).
2.
Se traza un arco con centro en A y radio 2a.
3.
Se traza un arco con centro en P y radio PF’ .
4. Ambos arcos se cortan en los puntos G y H . 5.
Las mediatrices r y s de los segmentos GF’ y HF’ son las tangentes a la elipse desde el punto P . G
C
r
a
A
F ’
B
P
F
s
2a
D
H
FIG. 2
26
Solucionario
7.3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias. Se aplica el método de afinidad. 1.
Se traza la circunferencia de centro O y radio a (figura 3).
2.
Los puntos C y C’ son afines.
3.
Se toma un punto cualquiera E de la recta r , y se une con C mediante la recta m.
4.
5.
6. 7.
C’ G’
r C
La recta m corta al eje de afinidad AB en el punto E’’ , que, al unirlo con el punto C’ , se obtiene la recta m’ , que es recta afín de la recta m.
m’
Se halla el punto afín del punto E –que es el punto E’–, y se une con el punto HH’ , que es donde la recta r corta al eje de afinidad AB mediante la recta r’ .
E ’
Donde la recta r’ corta a la circunferencia, se obtienen los puntos G’ y F’ .
G
m O
B
HH’
A F
E
D
F ’
Los puntos G y F afines de los puntos G’ y F’ son los puntos de intersección de la recta r con la elipse.
r ’ E ’ FIG. 3
7.4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros. 1.
Se traza el arco de centro O y radio OA, que corta a la prolongación del eje menor CD en el punto M (figura 4).
2.
Se unen los puntos A y C , y se traza el arco con centro en C y radio CM hasta cortar a la recta AC en el punto N .
3.
4.
Se traza la mediatriz del segmento AN , la cual corta a los ejes mayor y menor o a su prolongación en los puntos O1 y O2 , centros del óvalo. Los otros dos centros O3 y O4 son simétricos a los anteriores con relación a los ejes.
O 4 M
C T 4
T 1 N O1
A
Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros O1O2 , O1O4, O3O2 y O3O4 para obtener T 4, T 3, T 1 y T 2.
T 3
O3
O
D
B
T 2
O 2
FIG. 4
Solucionario
27
Solucionario 7.5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F’ , y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P . 1.
Por definición de elipse, la distancia EF + EF’ = 2a; con lo que se obtiene el eje mayor AB (figura 5).
2.
Con centro en F y radio a, trazamos un arco para obtener el eje menor CD.
3. A continuación, se procede como en la actividad 1.
G
r
P C E
H B s
A F
F’
D
FIG. 5
7.6. De una hipérbola se sabe que 2 a = 29 mm, y la distancia focal 2 c = 44 mm. Obtén uno de sus puntos P , y traza por él la tangente y la normal a la cónica. 1.
Se toma un punto cualquiera A del eje real (figura 6).
2.
Se traza un arco con centro en F 1 y radio V 1 A, y otro arco con centro en F 2 y radio V 2 A .
3.
El punto de corte de ambos arcos es un punto P de la curva.
4.
Las bisectrices de los ángulos formados por los radios vectores PF 1 y PF 2 son las rectas tangente t y normal n.
t P
n
F1
F 2 V 1
A
V 2
FIG. 6
28
Solucionario
7.7. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F 1 y F 2, y la recta t a la que es tangente. 1.
Las proyecciones ortogonales F’ 1 y F’ 2 de los focos sobre la recta tangente t pertenecen a la circunferencia principal (figura 7).
2.
La distancia F’ 1F’ 2 es el radio de dicha circunferencia, con lo que se obtienen los puntos A y B del eje mayor.
3.
Con centro en un foco y radio a se obtienen los puntos C y D del eje menor.
4.
Conocidos los ejes, se traza la elipse por puntos siguiendo la teoría estudiada.
t
A F 1
F ’1
C 1 2 3
O
F 2
F 2’
D B
FIG. 7
Solucionario
29
Solucionario
Hacia la universidad 1.
Trazados geométricos
Dibuja el trapecio ABCD, cuyos lados cumplen las relaciones: AB – CD = 20, BC = DA = 30 y la diagonal
AC = 60 mm. 1.
Se dibuja el triángulo isósceles BCE (figura 1), cuya base BE mide 20 mm y los lados iguales BC y CE miden 30 mm.
2.
Con centro en el punto C y radio 60 mm se traza un arco de circunferencia hasta cortar a la prolongación de la base BE en el punto A.
3.
Por último, por el punto C se traza la paralela al lado AB, y por el punto A, la paralela al lado CE , que se cortan en el punto D.
C
D
60
30
30
=
=
A
E
= 20
B FIG. 1
2.
Construye un cuadrilátero ABCD inscribible en una circunferencia, de modo que AB = 20, BD = 60 y AD = 50 mm, siendo BC = CD. 1.
Se dibuja el triángulo ABD (figura 2) con los datos del ejercicio.
2.
Se dibuja la circunferencia que pasa por los tres puntos: las mediatrices de los lados se cortan en el punto O, centro de la circunferencia.
3.
La mediatriz del lado BD se corta con la circunferencia en el vértice C .
D
= 50 O
C
60
=
A 20
FIG. 2
B
30
Solucionario
3.
Construye un rombo de 40 mm de lado, cuyas diagonales sumen 100 mm. 1.
Sobre una recta r se sitúa un segmento EC de longitud 50 mm; la mitad de la suma de las diagonales (figura 3).
2.
Por el extremo E se dibuja una recta t que forme 45º con la recta r , y con centro en el otro extremo C y radio 40 mm se dibuja un arco que se corta con la recta t en el vértice D.
3.
Por el punto D se dibuja la recta s perpendicular a r , y que se cortan en el punto F . El vértice B es simétrico del D respecto del punto F , y el vértice A es simétrico del C respeto del mismo punto.
D t A
E
45º
F
C
r
s
B FIG. 3
4.
Dado el lado a = 70 mm de un triángulo ABC : a) Dibuja el triángulo ABC , sabiendo que el ángulo  = 60º y el lado b = 60 mm. b) Halla el ortocentro del triángulo dibujado. c) Mediante la homotecia de centro, el ortocentro del triángulo obtenido y razón R = 2, dibuja el triángulo A’B’C’ , homólogo del triángulo ABC . 1.
2.
3.
4.
Situado el lado a = BC = 70 mm (figura 4), se dibuja el arco capaz de 60º respecto de este segmento, cuyo centro está en el punto D.
A
Con centro en C y radio b = 60 mm, se traza un arco de circunferencia que se corta con el arco capaz anterior en el punto A.
A
El ortocentro O de triángulo ABC se obtiene al trazar las alturas de los lados. Se une el punto O con los tres vértices, y se trasladan las distancias OA’ = 2 OA, OB’ = 2OB y OC’ = 2 OC , de manera que el triángulo A’B’C’ tienen los lados paralelos al triángulo ABC , siendo nomotético con el mismo.
Solucionario
60º 90º
c D r
b O
a B B
C C
(escala 1:2) FIG. 4
31
Solucionario 5.
Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio, que pasa por el punto P (figura 5) y que intercepta un segmento de 4 cm en la recta r .
P
r
(escala 1:2) FIG. 5
1.
Sobre la recta r se elige un segmento AB cualquiera de 4 cm (figura 6). Haciendo centro en A y en B se trazan sendos arcos de 5 cm de radio, que se cortan en el punto C . Dicho punto C es el centro de una circunferencia de 5 cm, que corta a la recta r según el segmento AB de 4 cm.
2.
Por el punto P se traza una recta s paralela a r , que se corta con la circunferencia en los puntos E y F .
3.
Por el punto P se traza una recta paralela al segmento EC , que se corta con la paralela a r trazada por C en el punto D; centro de la circunferencia de radio 50 mm, que corta a r según el segmento MN de 40 mm.
F s
D
P
N C
E
B
r
M
A (escala 1:2)
32
Solucionario
FIG. 6
6.
Se define una homología por los pares de puntos homólogos AA’ y OO’ y por el punto doble M -M’ (figura 7), y un hexágono regular ABCDEF del que se conoce su vértice A y el centro de la circunferencia circunscrita O : a)
Dibuja el hexágono regular.
b)
Halla el centro y el eje de homología.
c)
Traza la figura homóloga del hexágono regular.
M-M’ O'
A A
O
FIG. 7
1.
El centro de la homología V se encuentra donde se cortan las rectas OO’ y AA’ (figura 8).
2.
El eje de homología es la recta e que une el punto R de intersección de las rectas OA y O’A’ con el punto doble M -M’ .
3.
Se dibuja el hexágono regular de radio OA. Para hallar los homólogos de los vértices del hexágono se actúa de la siguiente forma: a) se unen los puntos O y B con la recta s hasta cortar al eje e en el punto S ; b) se une el punto S con O’ , homólogo del punto O, mediante la recta s’ , homóloga de s; y c) por último, se une B con el centro V hasta cortar a s’ en B’ . Las mismas rectas homólogas s y s’ sirven para hallar E’ , homólogo de E .
Con los demás vértices se actúa de forma análoga.
V
D'
C
M-M’
E ' e
B
s
S
O' F '
m s
r
M m A
B
n
R A C
r N O
n
F D E
Solucionario
FIG. 8
33
Solucionario 7.
Dibuja un hexágono regular de 8 cm de diagonal mayor, situado entre las rectas r y s (figura 9), que tenga un lado en la recta r y un vértice en la recta s.
r
s (escala 1:4) FIG. 9
1.
Se dibuja un hexágono regular cualquiera, de 4 cm de radio (figura 10) con un lado AB = 4 cm, situado en la recta s.
2.
Por el punto D se traza una paralela a la recta s, hasta cortar a la recta r en el punto D’ .
3.
Se realiza una traslación del hexágono según el segmento DD’ , trazando paralelas a la recta r por todos los vértices, y trasladando sobre dichas paralelas los segmentos DD’ = EE’ = FF’ = … Los lados del hexágono A’B’C’D’E’F’ son paralelos a los correspondientes lados del hexágono ABCDEF .
C D'
B G'
r E'
C
D
t
A
F' G
B s
E (escala 1:2) A FIG. 10
F
34
Solucionario
8.
Dibuja los segmentos de 45 mm de longitud que sean paralelos a la recta r (figura 11), y que tengan uno de sus extremos en la circunferencia c y el otro extremo en la recta s. 1.
Se dibuja una recta t cualquiera, paralela a la recta r , que corte a la recta s en el punto A (figura 12); a continuación, se traslada sobre t el segmento AB = 45 mm.
2.
Por el punto B se traza la recta s’ paralela a la recta s, y que corta a la circunferencia en los puntos C y D.
3.
Por los puntos C y D se trazan sendas paralelas a r hasta cortar a la recta s en los puntos E y F respectivamente. Los segmentos CE y DF son las dos soluciones al ejercicio.
s
B
t r
r
A c
s
O
C
(escala 1:2)
c s’
E
FIG. 11
O
D F FIG. 12
9.
Determina el segmento AB que pasa por el punto P conocido (figura 13), cuyos extremos se sitúan sobre las rectas a y b respectivamente, y cumpliéndose la relación PA = 2 PB. 1.
Sea C el punto de intersección de las rectas dadas a y b (figura 14). Por el punto P se traza la recta r paralela a la recta b hasta cortar a la recta a en el punto D.
2.
Se divide el segmento CD en dos partes iguales mediante la mediatriz del segmento, obteniendo el punto medio E .
3.
Haciendo centro en el punto D y radio DE se describe un arco de circunferencia que corta la recta a en el punto B.
4.
La recta que une los puntos P y B corta a la recta b en el punto A, de manera que PA = 2 PB.
B a
a
D
P
r
P
E C
b FIG. 13
Solucionario
b
A
FIG. 14
35
Solucionario 10. Determina la figura inversa de la ABCA (figura 15) en una inversión de centro O , tal que C ≡ C’ . 1.
A
O
La figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro O de inversión, como la que se corresponde con el arco ACB dado (figura 16), es una recta perpendicular a la recta que une el centro O de inversión con el centro D de la circunferencia. Por tanto, el segmento A’B’ de intersección de las rectas OA y OB con la recta perpendicular a OC , trazada por C -C’ , es el segmento inverso del arco ACB.
2. Al revés, la figura inversa de un segmento AB respecto del centro O es un arco de la circunferencia que pasa por O, y tiene su centro en la recta perpendicular a AB que pasa por O. Por tanto, la circunferencia que pasa por los puntos A’ , B’ y O es la figura inversa de la recta que pasa por los puntos A y B, y el punto D’ es el inverso del punto D. En resumen, el arco A’D’B’ es la figura inversa del segmento AB.
C-C’
B
FIG. 15
A
A P D
O
D'
C-C’
B
FIG. 16
B
11. Dibuja los arcos de circunferencia tangentes en el punto P a la recta r y a la circunferencia representada (figura 17), determinando con precisión los centros y puntos de tangencia a la circunferencia. 1.
Por el punto P se traza la recta perpendicular a r (figura 18), y se traslada sobre ella los segmentos PA = PB, igual al radio de la circunferencia dada de centro O.
2.
Se unen los puntos A y B con el centro O. Los puntos M y N de intersección de las mediatrices de los segmentos OA y OB con la recta AB son los centros de los arcos de circunferencia tangentes a la circunferencia dada y a la recta r en el punto P .
3.
r
P
FIG. 17
El punto C de intersección de la circunferencia dada con la recta OM es el punto de tangencia de dicha circunferencia con la de centro M , y el punto D de intersección con la recta ON es el punto de tangencia con la circunferencia de centro N .
N O D
r C
M B P A
FIG. 18
36
Solucionario
12. Dibuja la figura geométrica representada (figura 19), a escala 2:1, dejando constancia de las construcciones geométricas realizadas y determinando los centros de los arcos y los puntos de tangencia.
7
R 4 0
2 5
' 5 1 7
5 ' 7 1 R
30 FIG. 19
1.
Con centro en el punto A se dibujan dos circunferencias de radio 17,5 y 10,5 mm (figura 20), y con centro en el punto B, separado 30 mm del punto A, se dibujan otras dos circunferencias de radio 25 y 18 mm.
2.
Con centro en A y radio 17,5 + 17,5 = 35 mm se dibuja un arco de circunferencia, y con centro en B y radio 25 + 17,5 = 42'5 mm se dibuja otro arco que se corta con el anterior en el punto C , centro de los arcos EF y GH .
3.
Con centro en A y radio 40 - 17,5 = 22,5 mm se dibuja un arco de circunferencia, y con centro en B y radio 40 - 25 = 15 mm se dibuja otro arco que se corta con el anterior en el punto D, centro de los arcos IJ y KL.
4.
Los puntos de tangencia de las distintas soluciones se obtienen al unir los pares de centros correspondientes.
L J K I B
A
D
c a
G d
H
E
b F
C
Solucionario
FIG. 20
37
Solucionario 13. Se desea construir dos enlaces, de forma que se una la circunferencia c con las rectas r 1 y r 2 (figura 21), sabiendo que entre c y r 2, la tangencia sobre c está en T 2 , y entre c y r 1, la tangencia sobre r 1 está en T 1. Señala todos los puntos de tangencia.
50 r 2
c
T 2 45º
T 1
r 1 40
60 FIG. 21
1.
Por el punto T 1 se traza la perpendicular a la recta r 1, y se traslada el segmento T 1 A igual al radio de la circunferencia c dada (figura 22).
2.
El punto M de intersección de la mediatriz del segmento AO con la recta AT 1 es el centro de la circunferencia tangente a la de centro O y a la recta r 1 en el punto T 1. El punto D de tangencia con la circunferencia c se halla al unir los centros O y M .
3.
Por el punto T 2 se traza la tangente a la circunferencia dada hasta cortar a la recta r 2 en el punto C . Se dibuja la bisectriz del ángulo que forma la tangente con r 2 .
4.
El punto N de intersección de la bisectriz anterior con la recta OT 2 es el centro de la circunferencia tangente a la de centro O en el punto T 2 y a la recta r 2. El punto E de tangencia con r 2 se halla al trazar por N la perpendicular a la recta.
r 2
E
N c T 2 M D B O
C
r 1
T 1
(escala 3:4)
A FIG. 22
38
Solucionario
14. Determina las circunferencias tangentes a la circunferencia c dada (figura 23), que pasan por los puntos A y B.
c
A
B
FIG. 23
1.
Se traza la recta m mediatriz del segmento AB (figura 24), donde se encontrarán los centros de las circunferencias solución.
2.
Se traza una circunferencia cualquiera que pase por los puntos A y B y corte a la circunferencia dada en dos puntos C y D. El punto E de intersección de la recta CD con la recta AB es el centro radical de estas dos circunferencias y de las soluciones.
3.
Por el punto E se trazan las tangentes a la circunferencia dada de centro O, obteniendo los puntos de tangencia G y H , que son los puntos de tangencia de las circunferencias que se piden.
4.
Las rectas que unen el punto O con G y H se cortan con la recta m en los puntos M y N , centros de las soluciones.
E
C
H
G
A
c
F m N
M D
B
O
(escala 2:1)
Solucionario
FIG. 24
39
Solucionario 15. Representa la arandela cuya circunferencia exterior es tangente a la recta t (figura 25), y la interior, de 10 mm menos de radio, pasa por los puntos A y B.
A
B
t FIG. 25
1.
Se traza la recta r , paralela a la recta t , a una distancia de 10 mm (figura 26), que corta a la recta AB en N .
2.
Se dibuja la mediatriz del segmento AB, que corta a la recta AB en el punto M .
3.
Con centro en el punto A o en el punto B se traza un arco de circunferencia de radio MN que corta a la mediatriz m en los puntos C y D, centros de las circunferencias solución.
4.
Para hallar el punto de tangencia con la recta t , se traza por C la recta perpendicular hasta cortar a la recta en el punto G. Hay otra solución si se toma en consideración el punto D como centro de las circunferencias.
A M
m D
C B
r
t
N
F
H
E
G FIG. 26
40
Solucionario
16. Dibuja la curva plana que describe un punto de una circunferencia de radio 20 mm, que rueda exteriormente sin resbalar sobre otra circunferencia de radio 50 mm. ¿Cómo se denomina dicha curva? Puede simularse una circunferencia por el octógono inscrito en ella. El trazado de dicha curva puede empezarse en un punto arbitrario. La curva que describe un punto P de una circunferencia ruleta que rueda sin resbalar sobre el exterior de otra circunferencia base se denomina epicicloide. Para dibujar una epicicloide, nos remitimos a la construcción que aparece en el libro de texto (figura 27).
P 4 P3
P5 O 4 O3
O5
5 r
O 2
4
3
P 2
5'
O6
5
2
P6
6
O1
O 7
1 7
P1 O
P
P 7 O8
8 P8
O'
(escala 1:2) FIG. 27
17. Dibuja la curva plana que describe un punto de una circunferencia de radio 10 mm, que rueda interiormente sin resbalar sobre otra circunferencia de radio 50 mm. ¿Cómo se denomina dicha curva? Puede simularse una circunferencia por el octógono inscrito en ella. El trazado de dicha curva puede empezarse en un punto arbitrario. La curva que describe un punto P de una circunferencia ruleta que rueda sin resbalar sobre el interior de otra circunferencia base se denomina hipocicloide. Para dibujar la hipocicloide, nos remitimos a la construcción que aparece en el libro de texto (figura 28).
4
3
r
5'
2
5
6
5
7
1 P
O 2 P1 P 2 O1
O3
P3
O
O 4 O5
P 4
P5
P8
P 7 O 7 P6 O8
FIG. 28
O'
Solucionario
8
O6
41
Solucionario 18. Construye una hipérbola, dados los siguientes datos: a) Longitud de su eje real A1- A2 = 60 mm. b) Distancia entre sus focos F 1-F 2 = 80 mm. Determina, como mínimo, cuatro puntos en cada lado y las dos asíntotas. 1.
Sobre un eje e cualquiera y con los datos dados se sitúan los puntos A1, A2 , F 1 y F 2 de forma simétrica respecto de un punto O (figura 29).
2.
Se elige un punto 1 cualquiera en el eje real A1 A2 , situado a la izquierda del foco de la izquierda o a la derecha del foco de la derecha.
3.
Con centros en F 1 y F 2, y radios A11 y A2 1 se trazan arcos que se cortan en puntos de la hipérbola.
4.
Repitiendo la misma operación con otros puntos – 2 , 3, etc.–, se obtienen puntos que, unidos posteriormente con plantilla o a mano, nos definen la hipérbola.
5 4 3 2 1 F 1 A1
A 2
O
F 2
(escala 1:2)
e
FIG. 29
19. Se desea construir un puente cuya estructura está definida por una parábola; los datos se muestran en la figura 30. Construye la parábola, dadas la recta directriz y el foco F , y halla los valores de las distancias 1 y 2, intersección de la parábola con el puente y con el suelo. 1.
Situados los datos así como el vértice A de la parábola en el punto medio del segmento BF (figura 31) se dibuja la parábola, para cuya construcción remitimos al lector al libro de texto, de manera que las distancias desde cada punto C de la parábola al foco F y a la recta directriz d tienen el mismo valor.
2.
Para determinar los puntos E , E’ , G y G’ se toman los puntos 4 y 6 de intersección de las rectas s y r con el eje, y se hallan los puntos de la parábola que corresponden a dichos puntos, obteniendo así las distancias EE’ = 52,0 mm y GG’ = 62,3 mm, aproximadamente.
D'
directriz
B
d
D
A
5 1
F
F C
0 4
1 2
C
3 E'
puente
4
s
E
5
0 1
G'
suelo
6
r
G
distancia 1 52'0
distancia 2 FIG. 30
42
62'3
Solucionario
FIG. 31
