Uned Introduccion a La Microeconomia Ejercicios Practicos Preguntas y Respuestas

CAPÍTULO 4.- LA DEMANDA

Ejercicio 4.1. Dada la siguiente función de demanda del bien X correspondiente a un determinado consumidor:



Y p x



pz

. Determinar si el bien es ordinario o

Giffen; si es normal o inferior; y si el bien Z es complementario, sustitutivo o independiente del bien X. Podemos observar que la cantidad demandada x demandada x del del bien X depende directamente del nivel de renta del consumidor Y , e inversamente del precio p precio p x del bien X y del precio p precio p z del del bien Z. Por tanto, podemos concluir que: a) Se trata de un bien ordinario o ordinario o corriente. corriente. Porque un aumento/disminución de p x da lugar a una reducción/aumento de la cantidad demandada. Por tanto, podemos afirmar que la curva de demanda-precio del bien es decreciente. b) Se trata de un bien normal . Porque un aumento/disminución del nivel de renta Y da da lugar a un aumento/disminución de la cantidad demandada. Por tanto, podemos afirmar que la curva de demanda-renta del bien es creciente. c) El bien Z es un bien complementario bruto, bruto, o simplemente complementario, del bien X. Porque un aumento/disminución de p z provoca provoca una disminución/aumento de la cantidad demandada del bien X.

Ejercicio 4.2. Dada la siguiente función de demanda del bien X correspondiente a un determinado consumidor:



1

Y

2

p x

. Determinar si el bien es ordinario o Giffen;

si es normal o inferior; y si el bien Z es complementario, sustitutivo o independiente del bien X. Podemos observar que la cantidad demandada x demandada x del del bien X depende directamente del nivel de renta del consumidor Y e e inversamente del precio p precio p x del bien X. En cambio, no depende en absoluto del precio del bien Z.

F. Ibáñez - M. Matilla - R. Osuna

Ejercicios - Introducción a la Microeconomía

21/08/2013

1/155

CAPÍTULO 4

La demanda

2/9

Por tanto, podemos concluir que: d) Se trata de un bien ordinario o ordinario o corriente. corriente. Porque un aumento/disminución de p x da lugar a una reducción/aumento de la cantidad demandada. Por tanto, podemos afirmar que la curva de demanda-precio del bien es decreciente. e) Se trata de un bien normal . Porque un aumento/disminución del nivel de renta Y da da lugar a un aumento/disminución de la cantidad demandada. Por tanto, podemos afirmar que la curva de demanda-renta del bien es creciente. f) El bien Z es un bien independiente bruto, bruto , o simplemente independiente, del bien X. Porque una alteración de p de p z no no afecta a la cantidad demandada del bien X.

Ejercicio 4.3. En el mercado de un producto hay sólo dos consumidores con sendas curvas inversas de demanda:



10



x1

y



10

1 

2

x2 .

Obtener la curva inversa

de demanda del mercado. Dado el enunciado, la primera tentación es sumar las curvas inversas de demanda de am bos consumidores para obtener la curva inversa de demanda del mercado que se nos pide: 1

3

 10  x   10  x   20  X 2 2   1

2

1



x2



X

Pero este procedimiento es un grave error. Porque lo que hemos hecho es fijar una determinada cantidad, por ejemplo 6 unidades, demandada por cada uno de los consumidores, y hemos sumado los precios que están dispuestos a pagar cada uno de ellos, precios que son diferentes: 4 para el primer consumidor y 7 para el segundo consumidor. El resultado es que, de acuerdo con la función que hemos obtenido más arriba, cuando en el mercado se demanda la cantidad de 6, ambos consumidores en conjunto están dispuestos a pagar un precio de 4+7=11:

(6)  20 20 


3 2



6  11


21/08/2013

2/155

CAPÍTULO 4

La demanda

2/9

Por tanto, podemos concluir que: d) Se trata de un bien ordinario o ordinario o corriente. corriente. Porque un aumento/disminución de p x da lugar a una reducción/aumento de la cantidad demandada. Por tanto, podemos afirmar que la curva de demanda-precio del bien es decreciente. e) Se trata de un bien normal . Porque un aumento/disminución del nivel de renta Y da da lugar a un aumento/disminución de la cantidad demandada. Por tanto, podemos afirmar que la curva de demanda-renta del bien es creciente. f) El bien Z es un bien independiente bruto, bruto , o simplemente independiente, del bien X. Porque una alteración de p de p z no no afecta a la cantidad demandada del bien X.

Ejercicio 4.3. En el mercado de un producto hay sólo dos consumidores con sendas curvas inversas de demanda:



10



x1

y



10

1 

2

x2 .

Obtener la curva inversa

de demanda del mercado. Dado el enunciado, la primera tentación es sumar las curvas inversas de demanda de am bos consumidores para obtener la curva inversa de demanda del mercado que se nos pide: 1

3

 10  x   10  x   20  X 2 2   1

2

1



x2



X

Pero este procedimiento es un grave error. Porque lo que hemos hecho es fijar una determinada cantidad, por ejemplo 6 unidades, demandada por cada uno de los consumidores, y hemos sumado los precios que están dispuestos a pagar cada uno de ellos, precios que son diferentes: 4 para el primer consumidor y 7 para el segundo consumidor. El resultado es que, de acuerdo con la función que hemos obtenido más arriba, cuando en el mercado se demanda la cantidad de 6, ambos consumidores en conjunto están dispuestos a pagar un precio de 4+7=11:

(6)  20 20 


3 2



6  11


21/08/2013

2/155

CAPÍTULO 4

La demanda

3/9

Lo cual es absurdo, porque ambos consumidores pagan el mismo precio siempre, pero a cada precio demandan normalmente una cantidad diferente, de acuerdo con sus respectivas curvas de demanda individuales. Por tanto, el procedimiento correcto a seguir para obtener la curva inversa de demanda del mercado es obtener previamente la curva de demanda del mercado, como la suma horizontal de las curvas de demanda individuales. Y luego invertir la función. En consecuencia, las curvas de demanda individuales serán respe ctivamente:

1



10



p

2



20



2 p

Las cuales están definidas para el mismo intervalo de variación del precio del bien, que hace que las cantidades demandadas por ambos consumidores sean no-negativas:

0  p  10 .

Por tanto, la curva de demanda del mercado será la suma pura y simple de ambas funciones:



x1  x2



10  p    20  2 p   30  3 p

que también está definida dentro del mismo intervalo de variación del precio del bien. Este procedimiento es correcto. Porque fijado un determinado precio, por ejemplo de 5, la cantidad demandada por el primer consumidor es 5 y la demandada por el segundo consumidor es 10. Por tanto, la cantidad total demandada en el mercado por ambos consumidores a ese precio será: 5+10=15; como puede obtenerse directamente sustituyendo p sustituyendo p=5 =5 en la función anterior. Esto es, ambos consumidores pagan siempre el mismo precio, el que sea, pero demandan cantidades en general diferentes. La suma de esas cantidades demandadas por cada consumidor es la cantidad demandada en el mercado. Ahora si invertimos esta última función (la curva de demanda del mercado), obtendremos la curva inversa de demanda del mercado que se nos pide:



21/08/2013

3/155

CAPÍTULO 4

La demanda



10

1 

3

4/9

X

La cual está definida para el intervalo de variación del precio del bien tanto, para el siguiente intervalo de variación de la cantidad demandada:

0  p  10 ,

30  X  0 .

y, por

Porque

cuando p=0, entonces X =30, y cuando p=10, entonces X =0.

Ejercicio 4.4. En el mercado de un producto existen 40 consumidores con la siguiente curva inversa de demanda cada uno de ellos:



10



x1

. Y además

hay 60 consumidores con la siguiente curva inversa de demanda cada uno de ellos:



20



x2

. Obtener la curva inversa de demanda del mercado.

Determinar la cantidad demandada en el mercado cuando el precio es 6, y cuando el precio es 15. Determinar el precio vigente en el mercado cuando se demanda una cantidad de 240, y una cantidad de 800 unidades del bien. Para obtener la curva inversa de demanda del mercado debemos previamente obtener la curva de demanda del mercado. Y para ello debemos sumar horizontalmente las curvas de demanda individuales de cada uno de los consumidores, teniendo en cuenta el intervalo de variación del precio para el cual están definidas cada una de ellas. Por tanto, dado el enunciado, lo primero que tenemos que obtener son las curvas de demanda de cada grupo de consumidores. Curva de demanda del primer grupo de consumidores

Curva de demanda de un consumidor del grupo :

1



10



p,

definida dentro del intervalo

0  p  10 .

Curva de demanda de los 40 consumidores del grupo:

40





40 10



p 



400



40 p ,

de-

finida dentro del mismo intervalo de variación del precio del bien. Curva de demanda del segundo grupo de consumidores

Curva de demanda de un consumidor del grupo :

2



20



p,

definida dentro del intervalo

0  p  20 .



21/08/2013

4/155

CAPÍTULO 4

La demanda

5/9

Curva de demanda de los 60 consumidores del grupo:

60





60 20



p 



1.200



60 p ,

definida dentro del mismo intervalo de variación del precio del bien. Veamos ahora la curva de demanda del mercado: a) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del siguiente intervalo:

0  p  10 ,

ambos grupos de consumidores demandan una cantidad no-negativa del bien. Luego la curva de demanda del mercado sería la suma de las curvas de demanda de ambos grupos de consumidores:



X 40  X 60



 400  40 p   1.200  60 p   1.600  100 p

b) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del siguiente intervalo:

10  p  20 ,

sólo el segundo grupo de consumidores demanda una cantidad no-negativa del bien. Luego la curva de demanda del mercado sería la curva de demanda de este grupo de consumidores:



X 60

1.200





60 p

Nótese que ambos tramos de la curva de demanda del mercado coinciden para p=10, siendo la cantidad demandada en el mercado 600, según se obtiene de sustituir en ambas ecuaciones. Y esa cantidad demandada en el mercado corresponde en su totalidad al segundo grupo de consumidores, pues la cantidad demandada por el primer grupo de consumidores es cero a ese precio. Luego la curva inversa de demanda del mercado, que es lo que se nos pide, estará com puesta igualmente de dos tramos: a) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del intervalo:

0  p  10 sería

la

función inversa de la correspondiente curva de demanda del mercado:




16

X 

100


21/08/2013

5/155

CAPÍTULO 4

La demanda

6/9

Que, por tanto, está definida dentro del siguiente intervalo de variación de la cantidad demandada:

1.600  X  600 ;

pues cuando p=0, entonces X =1.600, y cuan-

do p=10, entonces X =600. b) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del intervalo:

10  p  20 ,

sería la

función inversa de la correspondiente curva de demanda del mercado:



X

20



60

Que, por tanto, está definida dentro del siguiente intervalo de variación de la cantidad demandada:

600  X  0 ;

pues cuando p=10, entonces X =600, y cuando

p=20, entonces X =0. Teniendo ahora muy en cuenta los intervalos de variación del precio y de la cantidad demandada en el mercado para los cuales están definidas la correspondiente curva de demanda del mercado y la curva inversa de demanda del mercado, podemos concluir que: a) Cuando el precio es 6 se demandará en el mercado una cantidad: (6



1.600  100  6  1.000

b) Cuando el precio es 15 se demandará en el merc ado una cantidad: (15



1.200  6015  300

c) Cuando la cantidad demandada en el mercado es 240, el precio vi gente debe ser:

(240)



20

240 

60



16

d) Cuando la cantidad demandada en el mercado es 800, el precio vigente debe ser:

(800) 16 


800 

100



8


21/08/2013

6/155

CAPÍTULO 4

La demanda

7/9

Ejercicio 4.5. Supongamos que tenemos dos consumidores que tienen sendas curvas de demanda definidas para intervalos diferentes de variación del precio del bien, tales como:  =  −  y  =  − . ¿Por qué la curva de demanda del mercado no es la suma pura y simple de ambas curvas de demanda individuales? Si la curva de demanda del mercado fuera la suma pura y simple de ambas curvas de demanda individuales, tendríamos:

 =  +  = 42 − 6 La cual estaría definida para el siguiente intervalo de variación del precio del bien:

0≤≤7 Dentro de este intervalo de variación del precio del bien, la cantidad demandada por am bos consumidores simultáneamente en el mercado resulta ser no-negativa. Pero esta posible curva de demanda del mercado y el correspondiente intervalo de variación del precio del bien que hemos obtenido resultan inconsistentes. Pues el precio máximo que está dispuesto a pagar el primer consumidor es 5, por lo que cuando el precio de mercado es mayor que 5, por ejemplo 6, el primer consumidor demandaría una cantidad negativa según su curva de demanda individual:

 (6) = 10 − 2 × 6 = −2 lo cual es absurdo. En cambio, el segundo consumidor sí demandaría una cantidad positiva a ese precio:

 (6) = 32 − 4 × 6 = 8 pues el precio máximo que está dispuesto a pagar es 8 según su curva de demanda individual. Luego la curva de demanda del mercado que hemos obtenido, al ser la suma de las curvas de demanda individuales de ambos consumidores, nos indica la cantidad demandada simultáneamente por ambos para p=6, que será:



21/08/2013

7/155

CAPÍTULO 4

La demanda

8/9

−2 + 8 = 6 Efectivamente, a partir de la curva de demanda del mercado obtenida resulta:

(6) = 42 − 6 × 6 = 6 Pero todo esto es un simple juego algebraico carente por completo de sentido económico, pues el primer consumidor jamás demandará una cantidad negativa del bien. No tiene sentido económico. De ahí que la curva de demanda del mercado de más arriba:

 =  +  = 42 − 6 sólo puede estar definida en términos económicos, no meramente matemáticos, para un intervalo de variación del precio del bien tal que:

0≤≤5 esto es, para precios no mayores que 5, que es cuando ambos consumidores demandan una cantidad no-negativa del bien, y su suma es la cantidad demandada en el mercado. Pero para precios superiores a 5 y no mayores que 8, entonces la curva de demanda del mercado coincide con la curva de demanda individual del segundo consumidor, que es el que demanda una cantidad no-negativa del bien. Pero como para p=5, el primer consumidor demanda cero unidades del bien, podemos definir la curva de demanda del mercado del siguiente modo:

 =  = 32 − 4

5≤≤8

Como puede apreciarse, la curva de demanda del mercado como la suma de las curvas de demanda individuales sin más se equivoca no sólo en el cálculo real de la cantidad demandada en el mercado en conjunto por ambos consumidores para algunos precios, sino incluso en el intervalo de variación del precio del bien para el que existe una demanda de mercado nonegativa: el precio de mercado puede llegar a 8 y no quedarse sólo en 7 según nuestro ejem plo.



21/08/2013

8/155

CAPÍTULO 4


La demanda


9/9

21/08/2013

9/155

CAPÍTULO 5. LA OFERTA

Ejercicio 5.1. Consideremos la siguiente curva lineal de oferta individual correspondiente a la empresa 1:

1

 10  4 p

; y supongamos, además, que el

precio mínimo al que esta empresa ofrece una cantidad positiva es

=5.

p 1

Consideremos otra empresa (empresa 2) que tuviera la siguiente curva de oferta:

2



20  2 p

; y supongamos, además, que el precio mínimo al que esta

empresa ofrece una cantidad positiva es

=10. ¿Cuál sería la curva de oferta

p 2

del mercado en el supuesto en que sólo operaran ambas empresas como oferentes? La curva de oferta del mercado nos debe indicar la cantidad total ofrecida por todas las empresas que operan en el mercado en función del precio del bien, dado que todas las empresas cobran el mismo precio al vender el bien, pero en general ofrecerán cantidades diferentes al mismo precio. Pues bien, la suma de las cantidades ofrecidas por todas las empresas para cada precio del bien sería lo que se denomina la oferta del mercado, para distinguirla de la oferta de una empresa individual; y la función que la representa, se denomina la curva de oferta del mercado, para distinguirla de la curva de oferta individual de una determinada em presa. Puesto que ambas empresas siempre ofrecen una cantidad no-negativa del bien para cualquier precio no-negativo, de acuerdo con sus correspondientes curvas de oferta, no hay ningún problema en sumar ambas curvas de oferta individuales para obtener la curva de oferta del mercado:



x1  x2



10  4 p    20  2 p   30  6 p

donde X es la cantidad ofrecida en el mercado por ambas empresas simultáneamente. Pero hay que tener en cuenta que esta curva de oferta del mercado sólo es válida cuando ambas empresas ofrecen una cantidad positiva, es decir, cuando el precio de mercado no es inferior a 10 (

 10 ).


Pues cuando es inferior a 10, la segunda empresa no ofrece nada, dado


21/08/2013

10/155

CAPÍTULO 5

La oferta

2/3

que sólo lo hace la primera empresa. Y cuando el precio de mercado es inferior a 5, la cantidad ofrecida por ambas empresas es cero. Por tanto, la curva de oferta del mercado correctamente obtenida tendría tres tramos: a)



x1  x2  30  6 p para precios de mercado

 10 ,

en que ambas empresas

ofrecen una cantidad positiva del bien. b)



x1

 10  4

p para precios de mercado

5  p  10 ,

en que sólo la primera em-

presa ofrecería una cantidad positiva del bien. La segunda empresa no ofrecería nada: la curva de oferta del mercado coincidiría con la curva de oferta de la primera empresa. c)

 x1 

x2



0 para

precios de mercado inferiores a 5 ( p<5), en que ninguna de las

dos empresas ofrece nada. Representación gráfica de esta curva de oferta del mercado aparece en la Figura 5.1.

p 2



p

20  2 p 1

 10  4 p 

8

30  6 p

 10  4

p

10 5

x

30

Curvas de oferta individuales

50

90

X

Curva de oferta del mercado

Figura 5.1. Curva de oferta del mercado

Como puede observarse en la Figura 5.1, aparecen dos discontinuidades en la curva de oferta del mercado. Una de ellas cuando el precio es igual a 10, que es cuando la segunda em presa se incorpora y empieza a ofrecer una cantidad positiva.



21/08/2013

11/155

CAPÍTULO 5

La oferta

3/3

Pues para precios próximos a 10 pero inferiores, la cantidad ofrecida en el mercado se corresponde con la cantidad ofrecida por la primera empresa, que tiende a ser 50. Y para el precio 10, la cantidad ofrecida en el mercado por ambas empresas es 90. La segunda discontinuidad tiene lugar para p=5. Pues también puede observarse que para precios inferiores a 5, la cantidad ofrecida en el mercado es cero por parte de ambas empresas. Pero para el precio de 5 la cantidad ofrecida es 30 por parte de la primera empresa. Por tanto, la conclusión que podemos obtener al comparar la Figura 5.1 de más arriba con la Figura 5.4 del capítulo teórico, es que para que la curva de oferta del mercado sea continua a partir de un determinado precio mínimo, todas las empresas deben coincidir en ese precio mínimo para el cual ofrecen una cantidad positiva, por debajo del cual la cantidad ofrecida por todas ellas es cero. Aunque a ese precio mínimo cada empresa pueda ofrecer una cantidad diferente, es decir, aunque cada empresa tenga una curva de oferta diferente.



21/08/2013

12/155

CAPÍTULO 6. EL EQUILIBRIO DEL MERCADO

Ejercicio 6.1. Muéstrese gráficamente que con el precio de equilibrio la cantidad intercambiada en un mercado cualquiera es la máxima posible.

Curva de demanda del mercado

p


p M pe pm X m

X e

X M

X

Figura 6.1

Con el precio de equilibrio pe, la cantidad intercambiada en el mercado (producida y vendida por los oferentes y demandada efectivamente por los consumidores) es X e. Se dice cantidad intercambiada del bien porque este último pasa de estar en manos de los productores a manos de los consumidores, que son los demandantes del bien. Consideremos ahora un precio p M superior al precio de equilibrio del mercado. La cantidad ofrecida por los productores es X M , pero la cantidad demandada por los consumidores es X m. Y ésta es precisamente la cantidad que se intercambiaría en el mercado entre productores y consumidores. Pues el exceso de oferta existente, por una cuantía equivalente a ( X M - X m), quedaría en manos de los productores como stocks invendidos, por lo que no se intercambiaría en el mercado al no ser demandada por los consumidores. De la misma forma, si consideramos un precio pm inferior al precio de equilibrio del mercado. La cantidad demandada por los consumidores es X M , pero la cantidad ofrecida por los



21/08/2013

13/155

CAPÍTULO 6

El equilibrio del mercado

2/11

productores es X m. Y ésta es precisamente la cantidad que se intercambiaría en el mercado entre productores y consumidores. Pues los productores no están dispuestos a satisfacer com pletamente la cantidad demandada por los consumidores, motivo por el cual existe un exceso de demanda en el mercado por una cuantía equivalente a ( X M - X m).

Ejercicio 6.2. Consideremos un mercado estándar de un producto con las siguientes curvas de oferta y demanda:

c  pS ,

S 

D



a



pD ;

donde c , k ,

a

y b son parámetros positivos. Compárese, desde un punto de vista formal, la asignación de recursos resultante con la que tiene lugar cuando se establece un impuesto indirecto de cuantía t . En el epígrafe 6.2 del capítulo teórico ya obtuvimos algebraicamente el precio y la cantidad de equilibrio en ausencia de impuestos:

e 

a c

e 

b  k

a



c

b  k

Ahora vamos a obtener formalmente la asignación de recursos resultante cuando las autoridades establecen un impuesto indirecto de cuantía t . Puesto que debe cumplirse que: D 

pS  t

es decir, el precio que pagan los consumidores es la suma del precio que perciben los productores por cada unidad que les venden más el impuesto indirecto que percibe el Estado (piénsese en el impuesto sobre carburantes). Entonces tenemos las tres ecuaciones siguientes para determinar la asignación de recursos resultante en esta nueva situación (precio y cantidad cambiada): S 

c  kpS

D



a bpD 

D 

pS  t

Puesto que en el equilibrio debe cumplirse que:

S




X D



X t


21/08/2013

14/155

CAPÍTULO 6


3/11

Esto nos indica que la cantidad ofrecida y vendida por los productores debe ser igual a la cantidad demandada por los consumidores en el equilibrio, como es obvio por otra parte. En cambio, el precio que pagan los consumidores no coincide con el que perciben los productores, como consecuencia del impuesto, como vamos a ver a continuación. Entonces, sustituyendo, tendremos a partir de las ecuaciones anteriores: c  kpS

a  b( pS  t )



Resultando finalmente que el precio que perciben los productores por cada unidad que venden es:

S 

a  c  bt bk



a c



bk

pe

Que, como puede apreciarse, es inferior al precio de equilibrio inicial, resultante de la asignación de recursos en el mercado sin impuestos. Lógicamente, el precio que deben pagar los consumidores por cada unidad del bien que adquieren sería:

D 

pS



t



a  c  kt bk



a c



bk

pe

Que, como puede apreciarse, es mayor que el precio de equilibrio inicial, resultante de la asignación de recursos en el mercado sin impuestos. Lógicamente, la diferencia entre el precio que pagan los consumidores y el que perciben los productores se corresponde con la cuantía del impuesto t , como puede comprobarse fácilmente. Por otra parte, la cantidad cambiada en el equilibrio del mercado con impuestos es menor que la correspondiente al equilibrio inicial del mercado sin impuestos. Pues basta sustituir en la ecuación de la curva de demanda del mercado o en la de oferta del mercado, indistintamente, el correspondiente precio pagado por los consumidores o percibido por los productores, respectivamente, para llegar al siguiente resultado:



21/08/2013

15/155

CAPÍTULO 6


t



a b

a  c  kt bk



ck

a  c  bt bk



4/11

ak  bc  bkt bk



ak  bc bk



Xe

Ejercicio 6.3. Consideremos las hipotéticas curvas de oferta y demanda que aparecen en las Figuras 6.2, 6.3 y 6.4. ¿Es estable o inestable el equilibrio del mercado?

p

Exceso de demanda


p M


pm Exceso de oferta

X Figura 6.2

El equilibrio del mercado es inestable. Porque para un precio superior al de equilibrio, tal como p M , existe exceso de demanda. Lo que empuja al precio de mercado a subir, alejándolo del equilibrio, en lugar de hacerlo converger a él. Y a un precio inferior al de equilibrio, tal como pm, existe exceso de oferta. Lo que empuja al precio de mercado a bajar, alejándolo del equilibrio, en lugar de hacerlo converger a él. Esto es obviamente un caso hipotético e irreal, porque en el corto plazo es imposible que la curva de oferta del mercado sea decreciente. Pues, como veremos en el capítulo 15, la curva de oferta a corto plazo de una empresa competitiva es su curva de costes marginales, que es creciente. Y la curva de oferta del mercado es la suma horizontal de las curvas de costes marginales de las empresas que operan en él.



21/08/2013

16/155

CAPÍTULO 6


p


5/11

Exceso de oferta

p M Curva de oferta del mercado pm Exceso de demanda

X Figura 6.3

En la Figura 6.3 el equilibrio es estable. Pues para precios superiores al de equilibrio existe exceso de oferta y para precios inferiores, exceso de demanda.

p

Exceso de demanda


p M Curva de demanda del mercado pm

Exceso de oferta

X

Figura 6.4

En la Figura 6.4, el equilibrio vuelve a ser inestable.



21/08/2013

17/155

CAPÍTULO 6


6/11

Como puede apreciarse, una curva de demanda creciente, algo inusual y poco frecuente, puede dar origen a un equilibrio estable o inestable, dependiendo de la inclinación de esta curva con respecto a la curva de oferta, que hemos pintado en ambos casos creciente.

Ejercicio 6.4. Supongamos una situación de equilibrio en un mercado estándar y un desplazamiento posterior de la curva de demanda del mercado provocado por un aumento de la demanda. A los productores: ¿Les conviene ofrecer la misma cantidad intercambiada en el equilibrio inicial al nuevo precio de equilibrio, en lugar de la cantidad intercambiada en el equilibrio final? ¿Les conviene ofrecer la cantidad intercambiada en el equilibrio final al precio de equilibrio inicial, en lugar de al nuevo precio de equilibrio?

Curvas de demanda del mercado p


p2 p1

Aumento de la demanda

X 1

X 2

X

Figura 6.5

Sabemos que los puntos situados sobre la curva de oferta del mercado son las combinaciones precio-cantidad que maximizan el beneficio de los productores. Pasamos, por tanto, de una asignación de recursos inicial ( p1, X 1) a otra final ( p2, X 2), debida a un aumento de la demanda (desplazamiento hacia la derecha de la curva de demanda del mercado por algún motivo).



21/08/2013

18/155

CAPÍTULO 6


7/11

En consecuencia, a los productores les interesa ofrecer la cantidad X 1 del equilibrio inicial al precio de equilibrio inicial p1 y, por tanto, les interesa ofrecer esa misma cantidad al precio p2, que es más elevado (los beneficios serían mayores, o las pérdidas menores). Pero a este precio les interesa todavía más ofrecer la cantidad X 2 correspondiente al equilibrio final, y no la cantidad X 1, pues con ello maximizarían su beneficio (los beneficios serían todavía mayores). Esto es debido a que, como decimos, sólo las combinaciones precio-cantidad situadas sobre la curva de oferta del mercado maximizan el beneficio de los productores. Por otra parte, es evidente que a los productores no les interesa ofrecer la cantidad X 2 del equilibrio final al precio p1 del equilibrio inicial, porque es más bajo que el precio p2 del equilibrio final (los beneficios serían menores, o las pérdidas mayores), y, además, con este último precio maximizarían su beneficio.

CONCLUSIÓN: Puesto que cualquier punto de equilibrio está situado lógicamente sobre la curva de oferta del mercado, y esta curva de oferta es la suma horizontal de las curvas de oferta de cada una de las empresas que operan en él. Todos los puntos de equilibrio del mercado conllevan la maximización del beneficio por parte de todas las empresas que operan en él . Por lo que es lógico que ninguna empresa esté interesada en otro tipo de combinaciones precio-cantidad, como son las combinaciones precio-cantidad propuestas en el enunciado del problema, que no sean las coordenadas de algún punto situado sobre la curva de oferta del mercado.



21/08/2013

19/155

CAPÍTULO 6


8/11

Ejercicio 6.5. Consideremos un mercado competitivo donde existen dos grupos de empresas. Dentro del primer grupo, formado por 100 empresas, la curva de oferta una cualquiera de ellas es:

1

 10 

p

; y el precio mínimo al que ofrecen

una cantidad positiva todas ellas es 10. El segundo grupo, formado por 200 empresas, tiene la siguiente curva de oferta una cualquiera de ellas: 2



20  2 p

; y el precio mínimo al que ofrecen todas ellas una cantidad positiva

es 20. Por otra parte, en el mercado existen dos grupos de consumidores. El primero formado por 400 consumidores con la siguiente curva de demanda cada uno de ellos:

1



10



2 p

. Y el segundo grupo formado por 800

consumidores con la siguiente curva de demanda cada uno de ellos:

1



20



p

. Determinar la asignación de recursos resultante: precio y cantidad intercambiada en el equilibrio del mercado. Lo que hay que hacer en primer lugar es obtener la curva de oferta y la curva de demanda del mercado.

Curva de oferta del mercado Curva de oferta del primer grupo de empresas a)

100

b)

100



0  p  10

0

x1  100 10  p   1.000  100 p

 100

 10

Curva de oferta del segundo grupo de empresas a)

200

b)

200



0



200 x2

0  p  20 



200 20  2 p

  4.000  400 p

 20

Curva de oferta del mercado a)



b)



0 , 0  p  10 .

X100

Ninguna empresa ofrece nada.

 1.000  100

p,

10  p  20 .

Sólo ofrecen las empresas del primer gru-

po.



21/08/2013

20/155

CAPÍTULO 6

c)




X100  X 200



9/11

1.000  100 p    4.000  400 p   5.000  500 p ,

 20 .

Ofre-

cen las empresas de ambos grupos.

Curva de demanda del mercado Curva de demanda del primer grupo de consumidores a)

400



400 x1





400 10  2 p

  4.000  800 p

0  p  5 .

Curva de demanda del segundo grupo de consumidores a)

800



800 x2





800 20



p



16.000



800 p

0  p  20

Curva de demanda del mercado a)



X 400  X 800



 4.000  800 p   16.000  800 p   20.000 1.600 p ,

0  p  5 .

Demandan ambos grupos de consumidores. b)



X 800



16.000



800 p , 5  p  20 .

Sólo demanda el segundo grupo de consu-

midores. Veamos ahora el equilibrio del mercado. Hay que seguir un procedimiento de prueba y error. Para ello, tomamos sendos tramos de la curva de oferta y de demanda del mercado que sean consistentes en cuanto al intervalo de variación del precio del bien, y vamos probando hasta obtener el equilibrio del mercado, si es que resulta posible. Por ejemplo, tomamos el siguiente tramo de la curva de oferta del mercado: 

X100  X 200

5.000  500 

p

 20

Y el siguiente tramo de la curva de demanda del mercado:



X 800

16.000





800 p

5  p  20

El único precio de equilibrio compatible con ambos tramos de la curva de oferta y demanda del mercado es 20. Pero a este precio, la cantidad demandada por los consumidores es ce ro,



21/08/2013

21/155

CAPÍTULO 6


10/11

en cambio la cantidad ofrecida por las empresas es positiva. Luego hay exceso de oferta, con lo que el equilibrio del mercado, si tiene lugar, debe darse a un precio más bajo. Pero si el precio del mercado es inferior a 20, entonces las 200 empresas del segundo gru po no ofrecerían ninguna cantidad, con lo que sería operativo el siguiente tramo de la curva de oferta del mercado donde sólo ofrecen las 100 empresas del primer grupo: 

X100  1.000  100 p

10  p  20

Veamos si entonces es posible el equilibrio del mercado para precios comprendidos entre 10 y 20, porque para precios inferiores a 10, ni siquiera las 100 empresas del primer grupo ofrecerían nada. Es decir, la oferta del mercado sería cero, por lo que no sería posible el equilibrio: habría exceso de demanda para precios de mercado inferiores a 10, porque la cantidad demandada sería positiva a esos precios, y la cantidad ofrecida sería cero. En consecuencia, el posible equilibrio del mercado para precios comprendidos entre 10 y 20 debe plantearse con los siguientes tramos de las curvas de oferta y demanda del mercado, respectivamente: 

X100  1.000  100 p



X 800  16.000  800 p

10  p  20

5  p  20

En consecuencia, en el posible equilibrio tendrá que cumplirse que la cantidad ofrecida y la demandada coinciden: e  1.000  100

pe

900 pe



15.000

 16.000  800

pe

pe = 16,67

Este precio de equilibrio es consistente con el tramo utilizado de la curva de oferta del mercado, porque es inferior a 20 y no es inferior 10; y además, como tampoco es inferior a 5, este precio de equilibrio es consistente también con el tramo utilizado de la curva de demanda del mercado.



21/08/2013

22/155

CAPÍTULO 6


11/11

En consecuencia, en el equilibrio del mercado sólo ofrecen las 100 empresas del primer grupo, y sólo demandan una cantidad positiva los 800 consumidores del segundo grupo. Y la cantidad cambiada en el mercado en el equilibrio sería:  = 1.000 + 100 × 16,67 = 16.000 − 800 × 16,67 = 2.666,67



21/08/2013

23/155

CAPÍTULO 7.- LA RECTA PRESUPUESTARIA

Ejercicio 7.1. Dados los precios de los bienes (4,2) y el nivel de renta del consumidor: 40 unidades monetarias. Determinar si las siguientes cestas de bienes pertenecen o no al conjunto presupuestario del consumidor: (2,5), (5,10) y (8,5). Obtener la ecuación de la recta presupuestaria. Para saber si una cesta de bienes pertenece o no al conjunto presupuestario, hay que calcular cuánto cuesta adquirirla a los precios vigentes de los bienes: a) Cesta (2,5), coste de adquisición:

2  4  5 2

 18

unidades monetarias. Luego el

consumidor al adquirir esta cesta no gastaría toda su renta. En consecuencia, esta cesta de bienes pertenece al interior del conjunto presupuestario del consumidor . b) Cesta (5,10), coste de adquisición:

5  4 10  2

 40

unidades monetarias. Luego

el consumidor al adquirir esta cesta gastaría toda su renta. En consecuencia, esta cesta de bienes pertenece al conjunto presupuestario del consumidor y estaría situada sobre la recta presupuestaria, es decir, en la frontera del conjunto presupuestario. c) Cesta (8,5), coste de adquisición:

8  4  5  2  42 unidades

monetarias. Luego el

consumidor no podría adquirir esta cesta de bienes con la renta de la que dispone, que son 40 unidades monetarias. En consecuencia, esta cesta de bienes no pertenece al conjunto presupuestario del consumidor. La ecuación de la recta presupuestaria, dados los precios de los bienes (4,2) y el nivel de renta del consumidor Y =40, sería obviamente: 4 x  2 z  40




20



2 x


21/08/2013

24/155

CAPÍTULO 7

La recta presupuestaria

2/7

Ejercicio 7.2. Un consumidor puede comprar, dados los precios de los bienes y el nivel de renta del que disfruta, las siguientes cestas de bienes: (4,6) y (6,4) gastando toda su renta. Obtener la ecuación de la recta presupuestaria. Determinar coste de oportunidad del consumidor de incrementar en una unidad la cantidad consumida el primer bien. Determinar la renta real o capacidad adquisitiva del consumidor en términos de cada uno de los bienes. Sean x y z las cantidades consumidas de ambos bienes X y Z, respectivamente, p x y p z los correspondientes precios, e Y el nivel de renta del consumidor. La ecuación de la recta presupuestaria sería:

p x

Y

zpz  Y







p z

p x p z

x

Por tanto, para determinar la ecuación de la recta presupuestaria, lo que debemos determinar es la ordenada en el origen Y p z , por una parte, y, por otra, la pendiente de la misma en valor absoluto

x

pz

, es decir, el precio relativo de ambos bienes.

Si el consumidor gasta toda su renta cuando adquiere cada una de las cestas de bienes a las que hace referencia el enunciado, entonces debe cumplirse necesariamente: 4 p x



6 p z



Y

6 p x



4 pz  Y

Dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro por p z , resultará:

4

p x p z



6

Y pz

6

p x p z



4

Y pz

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

x

pz e Y p z . Resolviéndo-

lo obtendremos:

x

pz



1

Y p z  10

Por tanto, la ecuación de la recta presupuestaria sería:  10  x



21/08/2013

25/155

CAPÍTULO 7


3/7

La pendiente de la recta presupuestaria sería: dz  

dx

p x p z

1

 

y nos indica el coste de oportunidad del consumidor de adquirir en el mercado una unidad adicional del bien X ( dx=1), pues tiene que renunciar a consumir una unidad del bien Z, dado que dz =-1. Por otra parte, la capacidad adquisitiva o renta real del consumidor en términos del bien Z serían 10 unidades de esta mercancía, que son las que puede adquirir el consumidor como máximo gastando toda su renta, cuando no consume nada del bien X ( x=0):

máx



Y pz



10

Como es lógico, la capacidad adquisitiva o renta real del consumidor en términos del bien X serían también 10 unidades de esta mercancía, que son las que puede adquirir el consumidor como máximo gastando toda su renta, pues eso requiere que no consuma nada del bien Z. Con lo que si en la ecuación de la recta presupuestaria hacemos z =0, resultará:

máx



Y px



10

Naturalmente, nosotros también podíamos haber obtenido la ecuación de la recta presu puestaria sabiendo que se trata de una línea recta que pasa por dos puntos: (4,6) y (6,4), pues el consumidor gasta toda su renta en adquirir por separado ambas cestas de bienes. Con lo que lógicamente ambas cestas de bienes estarán situadas sobre la recta presupuestaria. Recordando del bachillerato la expresión formal de una recta que pasa por los puntos ( x1, z 1) y ( x2, z 2): z

2

x

2





z

1

x

1

z



z

x



x



1 1

Sustituyendo tendremos:



21/08/2013

26/155

CAPÍTULO 7


4



6

4/7

z  4 

6



4

x



6

Donde operando resulta lo mismo que antes:



10



x

Ejercicio 7.3. Dado el precio relativo de ambos bienes p /p =3, un consumidor puede x

z

comprar la siguiente cesta: (4,6), gastando toda su renta. Obtener la ecuación de la recta presupuestaria. La ecuación genérica de la recta presupuestaria sería: Y 



p x

p z

pz

x

Conocemos la pendiente en valor absoluto de la recta presupuestaria

x

pz

, por lo que lo

único que nos queda es determinar la ordenada en el origen Y p z . Si el consumidor al gastar toda su renta es capaz de adquirir la cesta de bienes (4,6), es que la recta presupuestaria pasa por este punto. Con lo que deberá satisfacerse:

6



Y p z

Y p z

 3 4



18

Por tanto, la ecuación de la recta presupuestaria sería:



18



3 x

Naturalmente, nosotros también podíamos haber obtenido la ecuación de la recta presu puestaria sabiendo que se trata de una línea recta decreciente que pasa por el punto: (4,6) y tiene una pendiente igual a -3. Recordando del bachillerato la expresión de una recta que pasa por el punto ( x1, z 1) y tiene una pendiente



: 


z1   ( x  x1 )


21/08/2013

27/155

CAPÍTULO 7


5/7

Sustituyendo tendremos: 

6  3 x  4

 18  3 x

Ejercicio 7.4. Dados los precios de los bienes y la renta del consumidor, la cantidad máxima que éste puede adquirir del bien X son 15 unidades, y la cantidad máxima que puede adquirir del bien Z son 60 unidades. Hallar la ecuación de la recta presupuestaria. Lógicamente partimos de lo siguiente:

máx



Y px



15



máx

Y pz



60

Nosotros podemos obtener el precio relativo de ambos bienes del siguiente modo: p x p z

Y pz



Y px

60 

15



4

Como la ecuación genérica de la recta presupuestaria es:



Y p z



p x pz

x

Sustituyendo resultará:



60



4 x

Ejercicio 7.5. Un consumidor puede comprar la siguiente cesta de bienes: (20,10), gastando toda su renta; y la cantidad máxima que puede adquirir del bien X es 40 unidades. Obtener la ecuación de la recta presupuestaria. Lógicamente, se cumple que:

máx



Y px



40

Partiendo de la ecuación de la recta presupuestaria: p x




zpz  Y


21/08/2013

28/155

CAPÍTULO 7


6/7

Dividiendo por p x miembro a miembro resultará:

z



p z p x



Y px

Puesto que la cesta (20,10) es asequible para el consumidor gastando toda su renta, estará situada sobre la recta presupuestaria, por lo que deberá cumplirse:

20  10

p z



p z

40



2

p x

p x

Por tanto, sustituyendo en la anterior ecuación de la recta presupuestaria resultará: 

2 z  40



20



0, 5 x

Ejercicio 7.6. Dada la siguiente ecuación de la recta presupuestaria:

2 x 

z 

8

. Si los

precios de ambos bienes se reducen a la mitad y el nivel de renta del consumidor no se altera, obtener la nueva ecuación de la recta presupuestaria. La ecuación de la recta presupuestaria puede rescribirse del siguiente modo:



8



2 x

Como la expresión genérica de la recta presupuestaria es:



Y p z



p x pz

x

Si el precio de ambos bienes se reduce a la mitad, el precio relativo

x

pz



2 no

se alte-

ra, y, por tanto, tampoco lo hace la pendiente de la recta presupuestaria. Pero sí se altera la ordenada en el origen Y p z



8,

que se duplicaría y pasaría a ser 16.

Luego hay un desplazamiento paralelo de la recta presupuestaria alejándose del origen de coordenadas, adoptando ahora la siguiente expresión formal:  16  2 x



21/08/2013

29/155

CAPÍTULO 7


7/7

Se deja al lector que obtenga la expresión de la nueva recta presupuestaria cuando el precio de ambos bienes se duplica y la renta del consumidor no varía. Resultará: 

4  2 x

Es decir, tendrá lugar un desplazamiento paralelo de la recta presupuestaria acercándose al origen de coordenadas, puesto que disminuye la ordenada en el origen (pasa a ser 4), pero la pendiente no se altera.



21/08/2013

30/155

CAPÍTULO 9.-

ESTÁTICA

COMPARATIVA

DE

LA

DEMANDA

Ejercicio 9.1. Cuando los precios de los bienes son (4,2), el consumidor, gastando toda su renta, elige la cesta (6,5). Y cuando los precios de los bienes son (2,4), el consumidor elige la cesta (5,6) gastando toda su renta. Comprobar si se cumple o no el axioma débil de la preferencia revelada. Cuando el consumidor adquiere la cesta de bienes (6,5) a los precios (4,2) está gastando la siguiente cantidad de dinero: (6, 5)  (4, 2)  6  4  5  2  34 euros, que es la renta de la que dispone. Veamos cuánto cuesta la otra cesta de bienes (5,6) a los mismos precios (4,2): (5, 6)  (4, 2)  5  4  6  2  32 euros

Luego el consumidor en la situación inicial, cuando elige la cesta de bienes (6,5) está revelando directamente que prefiere esta cesta a la cesta

(5,6), porque esta última cesta de bienes

forma parte del conjunto presupuestario inicial del consumidor, es decir, puede adquirirla dado que su renta es 34 euros y esta última cesta de bienes cuesta 32 euros. Veamos ahora qué sucede cuando en la segunda situación el consumidor elige la cesta (5,6), gastando toda su renta, cuando los precios de los bienes son (2,4). Su nivel de renta sería ahora: (5, 6)  (2, 4)  5  2  6  4  34 euros

Se trata de una mera coincidencia, porque el nivel de renta del consumidor en la segunda situación podía haber sido distinto. Veamos cuánto cuesta la primera cesta de bienes (6,5) a los nuevos precios (2,4): (6, 5)  (2, 4)  6  2  5  4  32 euros



21/08/2013

31/155

CAPÍTULO 9

Estática comparativa de la demanda

2/8

Luego el consumidor en la nueva situación, cuando elige la cesta de bienes (5,6) está revelando directamente que prefiere esta cesta a la primera cesta

(6,5), porque esta última cesta

de bienes forma parte del conjunto presupuestario final del consumidor, es decir, puede adquirirla dado que su renta es 34 euros y esta última cesta de bienes cuesta 32 euros con los nuevos precios de los bienes. En consecuencia, este consumidor tiene un comportamiento que no es coherente: incurre en contradicción al revelar directamente en un primer momento que prefiere la primera cesta a la segunda, y después al revelar directamente lo contrario. Luego viola el axioma débil de la preferencia revelada.

Ejercicio 9.2. Cuando los precios de los bienes son (4,2), el consumidor, gastando toda su renta, elige la cesta (6,5). Y cuando los precios de los bienes son (2,4), el consumidor elige la cesta (6,6) gastando toda su renta. Comprobar si se cumple o no el axioma débil de la preferencia revelada. Cuando el consumidor adquiere la cesta de bienes (6,5) a los precios (4,2) está gastando la siguiente cantidad de dinero: (6, 5)  (4, 2)  6  4  5  2  34 euros, que es la renta de la que dispone. Veamos cuánto cuesta la otra cesta de bienes (6,6) a los mismos precios (4,2): (6, 6)  (4, 2)  6  4  6  2  36 euros

Luego el consumidor en la situación inicial, cuando elige la cesta de bienes (6,5) no puede revelar directamente que prefiere esta cesta a la cesta

(6,6), porque esta última cesta de bie-

nes no forma parte del conjunto presupuestario inicial del consumidor, dado que este último no puede adquirirla pues su renta es 34 euros y esta última cesta de bienes cuesta 36 euros. Veamos ahora qué sucede cuando en la segunda situación el consumidor elige la cesta (6,6), gastando toda su renta, cuando los precios de los bienes son (2,4). Su nivel de renta sería ahora: (6, 6)  (2, 4)  6  2  6  4  36 euros

Veamos cuánto cuesta la primera cesta de bienes (6,5) a los nuevos precios (2,4):



21/08/2013

32/155

CAPÍTULO 9


3/8

(6, 5)  (2, 4)  6  2  5  4  32 euros

Luego el consumidor en la nueva situación, cuando elige la cesta de bienes (6,6), está revelando directamente que prefiere esta cesta a la primera cesta (6,5), porque esta última cesta

de bienes forma parte del conjunto presupuestario final del consumidor, es decir, puede adquirirla dado que su renta es 36 euros y esta última cesta de bienes cuesta 32 euros con los nuevos precios de los bienes. En consecuencia, este consumidor tiene un comportamiento que es coherente: no incurre en contradicción al revelar simplemente de forma directa en la situación final que prefiere la segunda cesta a la primera, dado que en la situación inicial no reveló directamente que prefería la primera cesta de bienes, que eligió, a la segunda. Luego no viola el axioma débil de la preferencia revelada.

Ejercicio 9.3. Cuando los precios de los bienes son (5,1) el consumidor, gastando toda su renta, elige la cesta (5,10). ¿Por qué no puede revelar directamente que prefiere esta cesta a la cesta (7,4)? ¿Por qué tampoco puede revelar que prefiere la cesta (7,4) a la cesta (5,1)? Compárese esta situación con aquella otra en que los precios de los bienes fueran (3,1). Efectivamente, la primera cesta de bienes (5,10) cuesta a los precios (5,1): (5,10)  (5,1)  5  5  10 1  35

euros

Y éste es precisamente el nivel de renta del que disfruta el consumidor, pues gasta toda ella en adquirir esta cesta de bienes. En cambio, la segunda cesta de bienes (7,4) cuesta a los precios (5,1): (7, 4)  (5,1)  7  5  4 1  39

euros

Luego si el consumidor elige la primera cesta (5,10) gastando toda su renta, no puede revelar directamente que prefiere esta cesta a la cesta de bienes (7,4), porque esta última no forma parte del conjunto presupuestario del consumidor, es decir, se trata de una cesta de bienes que no es asequible o alcanzable para este último, dados los precios vigentes de los bienes y el nivel de renta del que dispone.



21/08/2013

33/155

CAPÍTULO 9


4/8

El consumidor en esta situación no puede revelar ninguna preferencia ni de la primera cesta sobre la segunda, ni de la segunda cesta sobre la primera, a pesar de ser la segunda cesta de bienes más cara. Porque el hecho de que una cesta de bienes sea más cara que la elegida cuando el consumidor gasta toda su renta, es compatible con el hecho de que puede existir un conjunto de precios para el cual ambas cestas de bienes cuesten lo mismo, y el consumidor, según sus preferencias, podría elegir una cesta u otra gastando toda su renta. Por lo que nosotros en la situación inicial en que la segunda cesta es más cara que la primera, la elegida por el consumidor gastando toda la renta, no podemos prejuzgar las preferencias del consumidor en ningún sentido. Comprobemos, pues, que a los precios (3,1) ambas cestas de bienes cuestan lo mismo: a) (5,10)  (3,1)  5  3 10 1  25 euros b) (7, 4)  (3,1)  7  3  4 1  25 euros

Luego puede suceder que los precios vigentes sean (3,1) y la renta del consumidor sean 25 euros. Esto es posible. Y en estas circunstancias el consumidor podría elegir cualquiera de las dos cestas de bienes que estamos considerando, gastando toda su renta, dependiendo de sus preferencias particulares. En esta nueva situación, al elegir una cesta u otra, sí estaría revelando sus preferencias, porque ambas cestas de bienes sí pertenecerían al nuevo conjunto presupuestario del consumidor. Pero en la situación inicial, cuando los precios de los bienes son (5,1), nosotros no podemos determinar cuáles son sus preferencias: porque al elegir la primera cesta, la segunda es más cara, es decir, no forma parte del conjunto presupuestario del consumidor, y por ello este último no puede revelar ninguna preferencia de una cesta sobre otra en ningún sentido.



21/08/2013

34/155

CAPÍTULO 9


5/8

Ejercicio 9.4. Un consumidor, gastando toda su renta, demanda la cesta de bienes (3,4) siendo los precios de los bienes (2,1), expresados en euros por unidad, por ejemplo. Si el precio del segundo bien se incrementa en dos euros por unidad, permaneciendo constante el precio del primer bien. Calcular la variación compensada de la renta. La variación compensada de la renta es la variación del nivel de renta del consumidor que debe tener lugar cuando se altera el precio de los bienes y deseamos que este último mantenga su capacidad adquisitiva. Es decir, que el consumidor ante los nuevos precios de los bienes pueda seguir comprando exactamente la misma cesta inicial gastando toda su renta. Veamos cuál es la renta inicial del consumidor que le permite comprar la cesta de bienes (3,4) cuando los precios son (2,1): (3, 4)  (2,1)  3  2  4 1  10

euros

Si el precio del segundo bien se incrementa en dos euros por unidad, los nuevos precios de los bienes serán (2,3). Por tanto, si queremos que el consumidor pueda adquirir la misma cesta de bienes, gastando toda su renta, a los nuevos precios, deberá disponer del siguiente nivel de renta: (3, 4)  (2, 3)  3 2  4  3  18

euros

Por tanto, el nivel de renta del consumidor deberá incrementarse en 8 unidades monetarias para mantener su capacidad adquisitiva o renta real en términos de la cesta de bienes que estamos considerando. Y este incremento de 8 euros en el nivel de renta del consumidor sería por definición la variación compensada de la renta . Nosotros también podíamos haber llegado al mismo resultado de otro modo, simplemente multiplicando la cantidad demandada del bien (4 unidades) cuyo precio ha variado, por la variación del precio del bien (2 euros por unidad), de esta forma también obtendríamos la variación compensada de la renta que se nos pide: un incremento de 8 euros.



21/08/2013

35/155

CAPÍTULO 9


6/8

Ejercicio 9.5. Consideremos la siguiente función general de demanda del bien X:

1

Y

2

p x



. El consumidor dispone de una renta inicial de

=40 euros, y el

Y

precio del bien X es de 5 euros por unidad. Si el precio de este bien se incrementa en dos euros por unidad, obtener la variación de la cantidad demandada

del

bien

X

debida

al

efecto-total,

y

las

variaciones

correspondientes de la cantidad demandada del bien debidas al efectosustitución y al efecto-renta. La cantidad inicialmente demandada del bien X sería: 1 40 I





4

2 5

La cantidad finalmente demandada por el consumidor con el mismo nivel de renta, cuando el precio del bien X son 7 euros, sería: 1 40 F





2 7

2,86

Por tanto, la variación de la cantidad demandada del bien X debida al efecto-total sería:  x  x F  xI 

2, 86  4  1,14

Es decir, tendría lugar una disminución en 1,14 unidades la cantidad demandada del bien X, como consecuencia de haberse incrementado en 2 euros por unidad el precio de este bien. Calculemos ahora la variación de la cantidad demandada del bien X debida al efectosustitución. En primer lugar debemos calcular la variación compensada de la renta, que será igual, como bien sabemos, a la cantidad inicialmente demandada del bien (4 unidades) multi plicada por la variación del precio del bien (2 euros por unidad). Luego la variación compensada de la renta deben ser 8 euros, con lo que el consumidor deberá disfrutar de un nivel de renta de 48 euros para que pueda seguir comprando, si lo desea, la misma cantidad del bien X (4 unidades) cuando el precio de este último es de 7 euros por unidad.



21/08/2013

36/155

CAPÍTULO 9


7/8

Pero dadas las preferencias de este consumidor materializadas en la función de demanda del bien que estamos manejando, aquél decide demandar cuando su nivel de renta son 48 euros y el precio del bien es de 7 euros por unidad la siguiente cantidad del bien X: 1 48 C





2 7

3,43

Ésta sería la cantidad demandada del bien con el nuevo precio del mismo cuando compensamos al consumidor con un incremento de su nivel de renta (la variación compensada de la renta) con objeto de que pueda seguir adquiriendo si lo desea la misma cantidad del bien en cuestión. Por tanto, la diferencia entre 3,43 y 4 (la cantidad inicialmente demandada por el consumidor), debe ser la variación de la cantidad demandada del bien debida al efectosustitución: ( x) ES

 xC  xI  3, 43  4  0,57

Como puede verse, el efecto-sustitución es negativo, porque un aumento del precio del bien da lugar a una reducción de la cantidad demandada debida a ese efecto. En consecuencia, la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta debe ser:  x  x

ES

 x

ER

 x

ER

 x  x

ES

 1,14  0, 57  0, 57

Como puede verse, el efecto-renta es negativo, porque un aumento del precio del bien da lugar a una reducción de la cantidad demandada debida a ese efecto, lo cual es lógico porque se trata de un bien normal, tal como puede comprobarse al observar la función de demanda del bien.

OBSERVACIÓN: Los cálculos de la variación de la cantidad demandada debida al efecto-sustitución y la correspondiente al efecto-renta están justificados porque estamos considerando una variación finita del precio del bien, no una variación infinitesimal. La expresión general de la variación de la cantidad demandada del bien debida al efectorenta, que obtuvimos en el capítulo teórico:



21/08/2013

37/155

CAPÍTULO 9


 dx  ER

 

x1dpx

8/8

dx dY

sólo es aplicable cuando la variación del precio del bien es infinitesimal , no finita como en nuestro ejemplo. Si aplicáramos esta fórmula resultaría con los datos de nuestro ejemplo:

 dx  ER

 

x I dpx

1 2 p x

42

 

1 25

0,80

 

que sería la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta. Por lo que la variación de la cantidad demandada debida al efecto-sustitución no sería igual a -0,57, tal como nosotros hemos obtenido antes, sino:  x  x

ES

 x

ER

 x

ES

 x  x

ER

 1,14  0,80  0, 34

Estos cálculos no son correctos, porque al emplear la derivada dx/dY en la expresión anterior, esto nos obliga a considerar sólo variaciones infinitesimales del precio del bien, por lo que tal expresión no es aplicable cuando tiene lugar una variación finita del precio del bien como en el ejemplo que hemos manejado.



21/08/2013

38/155

CAPÍTULO 11.- ELASTICIDADES Y VARIACIÓN DEL INGRESO

Ejercicio 11.1. Si la curva de demanda es



k ,

donde k es una constante positiva,

determinar el valor de la elasticidad-precio en cualquiera de sus puntos. La representación gráfica de esta curva de demanda sería una línea recta horizontal de ordenada en el origen k , donde representamos el precio del bien. Por tanto, la elasticidad en valor absoluto sería igual a infinito, como ya sabemos. Vamos a demostrarlo formalmente:



dx x 

dp p

La cantidad demandada puede variar de cualquier modo:

dx x



tiva del precio del bien siempre es cero: dp p  0 k  0 . Por tanto,

0,

pero la variación rela-

  

.

También podíamos haber empleado la siguiente argumentación, para llegar al mismo resultado:



x p 

dp x

Como la representación gráfica de la curva de demanda es una línea recta horizontal, re presentando el precio en el eje de ordenadas, tendremos que la pendiente sería: dp dx



0

Que nosotros también podríamos haber obtenido simplemente derivando con respecto de x la expresión funcional de la curva de demanda



k .

Por tanto, dx dp   , si consideramos que se trata de una línea recta decreciente.



21/08/2013

39/155

CAPÍTULO 11

Elasticidades y variación del ingreso

2/22

En consecuencia, cualesquiera que fueren los valores de p y x, la elasticidad de esta curva de demanda será:

  

en todos sus puntos. Se dice, pues, que esta curva de demanda es

perfectamente elástica.




, donde k es una constante positiva,

determinar el valor de la elasticidad-precio en cualquiera de sus puntos. La representación gráfica de esta curva de demanda sería una línea recta vertical con abscisa en el origen k , donde representamos la cantidad demandada del bien. Por tanto, la elasticidad en valor absoluto sería igual a cero, como ya sabemos. Vamos a demostrarlo formalmente:



dx x 

dp p

El precio del bien puede variar de cualquier modo: dp p  0 y esto no afecta a la cantidad demandada, puesto que la variación relativa del cantidad demandada del bien siempre es cero: dx x



0 k 0. 

Por tanto,





0.

También podíamos haber empleado la siguiente argumentación, para llegar al mismo resultado:



dx p 

dp x

Como la representación gráfica de la curva de demanda es una línea recta vertical, representando la cantidad demandada en el eje de abscisas, tendremos que la pendiente, considerando que se trata de una línea recta decreciente, sería: dp dx  

Por tanto, dx dp



0 . Que nosotros también podríamos haber obtenido simplemente deri-

vando respecto de p la expresión funcional de la curva de demanda





k .

21/08/2013

40/155

CAPÍTULO 11


3/22

De ahí que cualesquiera que fueren los valores de p y x, la elasticidad de esta curva de demanda será igual a cero en todos sus puntos. Se trata, pues, de una curva de demanda completamente inelástica o rígida.




10(5  p 5  p

, definida para

0  p  5 .

Obtener el valor de la elasticidad-precio para p =3. Obtener el precio que hace que la elasticidad en valor absoluto sea infinito. Obtener el precio que hace que la elasticidad sea cero. Partamos de la fórmula de la elasticidad-precio:

 

dx p dp x

Lo primero que hay que obtener es la pendiente de la curva de demanda: dx dp



10(5  p) 10(5  p)



(5  p)

2

 

100 (5  p)

2

Y, a continuación, sustituir en la expresión de la elasticidad:

  

100

p 2

(5  p) 10(5  p) 5  p

 

10 p 25 

p

2

De esta forma obtenemos la elasticidad en función del precio del bien. Lógicamente, cuando p=3, resulta que la elasticidad en valor absoluto es igual a 1,875. La elasticidad es igual a infinito, cuando se anula el denominador:

25



p

2 

0.

De donde

resulta que p=5. Lo que conlleva que la cantidad demandada debe ser forzosamente igual a cero, algo que es evidente a partir de la propia definición de la elasticidad para que esta última sea igual a infinito en valor absoluto. Obviamente, la elasticidad es cero cuando p=0, también según la propia definición de la elasticidad, y, por tanto, x=10.



21/08/2013

41/155

CAPÍTULO 11


Ejercicio 11.4. Si la curva inversa de demanda es 0  x  400 .



40

4/22

x 

10

, definida para

Obtener el valor de la elasticidad-precio para x =100. Obtener el

precio y la cantidad que hacen que elasticidad en valor absoluto sea igual a 4. Nosotros podemos obtener la curva de demanda:



400 10 p ,

y proceder como en el

ejercicio anterior, resultando la elasticidad como función del precio del bien. Y a partir de ahí calcular lo que se nos pide. O, también, podemos trabajar directamente con la curva inversa de demanda y obtener la elasticidad en función de la cantidad demandada del bien. Obtengamos, pues, dx dp . Para ello, debemos obtener primero, partiendo de la curva inversa de demanda: dp

1  

dx

Por lo que tendremos:

dx dp

 10

10

.

Sustituyendo ahora en la expresión de la elasticidad, resultará:

 

dx p dp x

 10

40 

x

10   400  x x x

Ya tenemos la elasticidad-precio en función de la cantidad demandada del bien. Por tanto, si x=100, entonces la elasticidad en valor absoluto es 3. Si la elasticidad en valor absoluto es 4. Entonces debe cumplirse que: 400



x 

4

x

De donde resulta x=80, y, de ahí, sustituyendo en la función inversa de demanda, p=32.



21/08/2013

42/155

CAPÍTULO 11


5/22

Ejercicio 11.5. Demostrar que la elasticidad de la curva de demanda lineal de la Figura 11.1 es igual a la unidad en el punto A, donde es tangente a la otra curva de demanda: una hipérbola equilátera cuya expresión funcional es p k 

, siendo k una constante. Y que tal elasticidad-precio es mayor que uno en el punto B, y menor que uno en el punto C.

Hipérbola equilátera p 

B

pA

A

C

xA

x Figura 11.1

Puede comprobarse que la elasticidad-precio, tomada en valor absoluto, de la hipérbola equilátera es igual a la unidad en todos sus puntos. En particular en el punto A. Como la curva de demanda lineal es tangente a la hipérbola en ese punto, ambas tienen la misma pendiente; y como las coordenadas del punto A son las mismas, la elasticidad-precio de la curva de demanda lineal en ese punto es igual a la unidad en valor absoluto:

 A  

dx

p

A  1  dp x   A A

Ahora, si nos movemos a lo largo de la curva de demanda lineal hacia el punto B, como la pendiente no se altera, la elasticidad-precio será mayor que uno, pues varían las coordenadas aumentando el precio y disminuyendo la cantidad demandada.



21/08/2013

43/155

CAPÍTULO 11


6/22

En cambio, si nos movemos a lo largo de la curva de demanda lineal hacia el punto C, la elasticidad-precio será menor que uno, pues las coordenadas se alteran disminuyendo el precio y aumentando la cantidad demandada.

Ejercicio 11.6. Obtener la elasticidad-precio de la siguiente curva de oferta:



kp

,

donde k y β son parámetros positivos. La elasticidad-precio de una curva de oferta de la forma

 



S ( p) es por definición:

S p p dp

x

Por tanto, tendremos: S p dp

k  p 

1









k  p 

1



p kp 





Lógicamente, si la curva de oferta es lineal y parte del origen de coordenadas, precisamente cuando β =1, entonces la elasticidad es unitaria en todos los puntos.

Ejercicio 11.7. Dada una curva de oferta



a  kp

, donde a ,

k

y β son parámetros

positivos, ¿cómo varía la elasticidad-precio cuando aumenta el precio del bien? La elasticidad-precio de la curva de oferta sería ahora:





k  p 

1

p a  kp 





kp a  kp 





También podemos rescribir la expresión de la elasticidad del siguiente modo:

 

 a kp 

1

Por lo que fácilmente puede deducirse que cuando el precio aumenta, el denominador principal de la expresión disminuye. Por lo que la elasticidad-precio de la curva de oferta aumenta.



21/08/2013

44/155

CAPÍTULO 11


7/22

Lógicamente cuando el precio del bien tiende a infinito, la elasticidad de la curva de oferta tiende al valor del parámetro β .

Ejercicio 11.8. Razónese acerca de cuál de las dos curvas de oferta pintadas en la Figura 11.2 es más elástica en el punto de intersección A:

p

S 2 S 1 A

pA

x

xA Figura 11.2

Nosotros sabemos de antemano que las curvas de demanda o de oferta más horizontales son más elásticas que las curvas de demanda o de oferta más verticales, que son más rígidas o inelásticas. Por tanto, la curva de oferta S 1 es más elástica que la curva de oferta S 2. Pero el razonamiento riguroso debe hacerse en un punto en común que tengan ambas curvas de oferta, dado que la elasticidad de una curva de oferta o de demanda no tiene por qué ser constante en todos sus puntos, sino que varía a lo largo de la curva correspondiente. Efectivamente, en el punto A ambas curvas tienen las mismas coordenadas preciocantidad. Luego sólo difieren en su pendiente en ese punto: S2

S 1

 dp   dp        dx  A  dx  A

La curva de oferta S 2 es más inclinada o vertical (tiene mayor pendiente dp/dx, según la representación gráfica) que la curva S 1 en el punto A, así es cómo se interpreta esa expresión. Luego es evidente que se cumplirá:



21/08/2013

45/155

CAPÍTULO 11


8/22

 dx   dx        dp  A  dp  A 2

1

Por tanto, la curva de oferta S 1 es más elástica que la curva de oferta S 2 en el punto A, porque la elasticidad es el resultado de multiplicar el valor de esta pendiente (dx/dp) en el punto A por las coordenadas precio-cantidad de este punto, que son las mismas en ambos casos:

 A

dx

p

   A  dp  A x A

Ejercicio 11.9. Dada la siguiente curva de demanda-renta del bien X: a





aY

, donde

es un parámetro positivo y β otro parámetro de signo indeterminado.

Determinar el signo de este último parámetro para que el bien X sea inferior, para que sea un bien normal, y para que su demanda no dependa del nivel de renta. Determinar los valores de este parámetro para que el bien X sea un bien necesario, de lujo o de elasticidad-renta unitaria. En primer lugar, para determinar si el bien X es un bien normal o inferior, debemos estudiar el signo de variación de la cantidad demandada del bien al variar la renta, es decir, el signo de la derivada con respecto a Y de la curva de demanda-renta del enunciado: dx dY





a  Y

1



Lógicamente, como a es un parámetro positivo, el signo de esta derivada depende del signo del parámetro β . En consecuencia, si este parámetro es positivo, se trataría de un bien normal, y si este parámetro es negativo, se trataría de un bien inferior. Y si este parámetro es igual a cero, entonces la cantidad demandada del bien no dependería del nivel de renta:



a

Para contestar a la segunda cuestión, de si el bien X es un bien necesario, de lujo o de elasticidad-renta unitaria, lógicamente habrá que considerar que se trata de un bien normal y, de ahí, habrá que determinar el valor de la elasticidad-renta.

Recordando la expresión formal de esta última:



21/08/2013

46/155

CAPÍTULO 11


 Y

dx Y 

dY x





a Y

1



Y



aY



9/22



Lógicamente, si se tratara de un bien inferior la elasticidad-renta sería negativa. Y al tratarse de un bien normal, la elasticidad-renta es positiva (   0 ). En consecuencia, podemos afirmar que: a) Si se trata de un bien necesario, la elasticidad-renta debe ser menor que 1: 0    1 .

b) Si se trata de un bien de lujo, la elasticidad-renta debe ser mayor que 1:   1 . c) Y si se trata de un bien de elasticidad-renta unitaria:   1 . Se deja al lector que realice la representación gráfica correspondiente en estos tres casos de la curva de demanda-renta, representando en el eje de abscisas la variable renta. En el primer caso se tratará de una curva creciente y cóncava. En el segundo caso se tratará de una curva creciente y convexa. En el tercer caso, se tratará de una línea recta creciente. Y en los tres casos todas las curvas partirán del origen de coordenadas. Efectivamente, bastará estudiar el signo de la segunda derivada de la curva demanda-renta del enunciado: d 2x 2

dY



a  (  1)Y  



2

El signo de esta derivada depende de que el valor del parámetro β sea menor, mayor o igual a 1. Por lo que la curva demanda-renta, que es creciente en los tres casos al tratarse de un bien normal (   0 ) dado que la primera derivada es positiva, será cóncava en el primer caso (segunda derivada negativa) (bien necesario), convexa en el segundo (segunda derivada positiva) (bien de lujo), y de pendiente constante en el tercer caso (segunda derivada igual a cero) (bien de elasticidad-renta unitaria), es decir, una línea recta. Y en todos los casos partirá del origen de coordenadas.



21/08/2013

47/155

CAPÍTULO 11


Ejercicio 11.10. Dada la curva de demanda-renta del bien X:

10/22



aY



2

bY

, donde a y b

son parámetros positivos. Representarla gráficamente con la variable renta en el eje de abscisas. Y establecer los intervalos de variación de la renta en que el bien X se comporta como un bien normal, y como un bien inferior. Determinar si se trata de un bien necesario, de lujo o de elasticidad-renta unitaria cuando se comporta como un bien normal. La cantidad demandada es cero cuando el nivel de renta es:



aY



bY

2



Y (a



bY )



Y

0



Y

0



a b

Veamos el comportamiento de la primera derivada: x dY



a



2b

Veamos el comportamiento de la segunda derivada: 2

d x 2

dY

 2b 

0

Luego se trata de una curva cóncava, de pendiente: a) Positiva, cuando

a  2 Y  0 .

Es decir, cuando

Y  a 2b .

Dentro de este intervalo

de variación de la renta el bien es normal. b) Negativa, cuando

a  2 Y  0 .

Es decir, cuando Y



a

2b .

Dentro de este interva-

lo de variación de la renta el bien es inferior. c) Cero, cuando

a  2 Y  0 .

Es decir, cuando Y



a

2b .

Con lo que la curva de

demanda-renta alcanza su máximo. Y este valor máximo de la función es: 2

a  a  (Y  a 2b)  a b   2b  2b  4b a

2

La representación gráfica, pues, sería como sigue:



21/08/2013

48/155

CAPÍTULO 11


11/22

x Curva de demanda-renta 

aY



2

bY

a2/4b

Bien normal

0

Bien in erior

a/2b

Y

a/b

Figura 11.3

Obtengamos la expresión de la elasticidad-renta en general para este bien: x Y 

Y



dY x



(a 2bY ) 

Y aY



a bY

2





a

2



Y

bY

Si se trata de un bien normal ( a  2bY  0 ), el denominador de la fracción es positivo y mayor que el numerador. Por tanto, la elasticidad-renta es menor que uno para valores de la renta tales que

0 Y



a 2b .

Siendo la elasticidad-renta igual a uno cuando Y =0.

Luego cuando el bien X se comporta como un bien normal, entonces se trata de un bien necesario, lógicamente para niveles de renta positivos. Cuando la curva de demanda-renta alcanza su máximo ( a Y



a 2b ,



2bY



0 ),

es decir, cuando

entonces numerador se anula y el denominador toma un valor positivo. Por tanto,

la elasticidad-renta es cero. Cuando el bien X se comporta como un bien inferior ( a  2bY  0 ), es decir, cuando

Y



a 2b , el numerador toma valores negativos y el denominador de la fracción toma valores

positivos hasta que se anula cuando Y




a b . Por tanto la elasticidad-renta es negativa, como


21/08/2013

49/155

CAPÍTULO 11


12/22

es lógico al tratarse de un bien inferior, y toma el valor menos infinito cuando se alcanza este último nivel de renta.

Ejercicio 11.11. Consideremos la siguiente curva de demanda lineal: donde

a



a



p,

y b son parámetros positivos. Obtener la curva del ingreso marginal.

Determinar cuándo se anula éste. Y cuándo el ingreso total alcanza su máximo. Y los correspondientes valores de la elasticidad-precio de la curva de demanda. El ingreso marginal depende por definición de la cantidad demandada del bien y es la primera derivada de la función del ingreso total respecto de la cantidad demandada. Por tanto, debemos obtener en primer lugar la función del ingreso total dependiente de la variable x. Para ello, lo primero que tenemos que hacer es obtener la curva inversa de demanda:



a

a bp 



b

x 

b

Como puede apreciarse, la curva inversa de demanda es una línea recta decreciente de pendiente en valor absoluto

1 b y

punto de vista económico para

0

ordenada en el origen a b . Y está bien definida desde un x

a

, en que el precio del bien es no-negativo.

Por lo que el ingreso total en función de la cantidad demandada x sería:

I ( x)  px 

ax  x2 b

Que, lógicamente, toma valores no-negativos para

0 xa,

y se anula para p=0 ( x=a) y

para x=0 ( p=a/b). Obtengamos ahora la función del ingreso marginal, que no es más que la derivada respecto de x de esta última función: dI ( x) I ( x)  dx




a  2x b


21/08/2013

50/155

CAPÍTULO 11


13/22

Como puede apreciarse, la curva del ingreso marginal es una línea recta decreciente de pendiente en valor absoluto 2 b (el doble de inclinada que la curva inversa de demanda) y ordenada en el origen a b (la misma ordenada que la de la curva inversa de demanda, donde coinciden). Toma valores positivos para xa/ 2. Si derivamos nuevamente respecto de x la función del ingreso marginal, tendremos: 2

d I ( x)

I ( x) 

dx

2



2 b

0



De donde se infiere que el ingreso marginal es decreciente a medida que aumenta la cantidad demandada (porque su derivada es negativa), algo que ya sabíamos, y que la curva del ingreso total es cóncava respecto del origen de coordenadas (porque la segunda derivada del ingreso total es negativa). ¿Cuándo alcanza su máximo el ingreso total? Cuando su primera derivada, el ingreso marginal, es igual a cero:

I ( x)



dI ( x) dx



a  2x b





0

a



2

a 2b

Además, se cumple la condición de segundo orden para alcanzar un máximo de la función del ingreso total en ese punto, pues se trata de una curva cóncava. Ese ingreso máximo sería:

I ( x

a

2

a   2  2 2)   a

2

b

a

2

4b

Pero si el ingreso marginal es igual a cero, sabemos que la elasticidad-precio de la curva de demanda es igual a la unidad, dado que:

I ( x) 


dI ( x)

x dp

1

 p 1    p 1   dx p dx     


21/08/2013

51/155

CAPÍTULO 11


14/22

Con lo que podemos afirmar que el ingreso total, que es cero cuando x=0, crece, es decir, el ingreso marginal es positivo por tratarse de la primera derivada, hasta el punto en que x=a/2 (en ese intervalo la elasticidad-precio de la curva de demanda es mayor que uno en valor absoluto). En este último punto el ingreso total alcanza su máximo, pues el ingreso marginal se anula, y, por tanto, la elasticidad-precio de la curva de demanda es igual a uno en valor absoluto. Posteriormente el ingreso total decrece, y por tanto, el ingreso marginal es negativo por tratarse de la primera derivada, para valores x>a/2, por lo que la elasticidad-precio de la curva de demanda es menor que uno en valor absoluto en ese intervalo. La representación gráfica de la curva de demanda, de la curva del ingreso marginal y de la curva del ingreso total serían las siguientes:

p 

a/b

1

Curva de demanda x=a-bp 



1

a/2b

Ingreso total 

a

a/2

1

x

Ingreso marginal

Figura 11.4



21/08/2013

52/155

CAPÍTULO 11


Ejercicio 11.12. Dada la curva de demanda



a



p,

15/22

obtener el ingreso del

productor o el gasto del consumidor en función del precio del bien. Y representar gráficamente la función del ingreso total con el precio del bien en el eje de abscisas. Estudiar el comportamiento del ingreso total con la elasticidad-precio de la curva de demanda. Sabemos que el ingreso del productor o el gasto del consumidor es por definición: I



px

Sustituyendo, tendremos:

I ( p )  px  p( a  bp)  ap  bp 2 Ya tenemos el ingreso total del productor o el gasto del consumidor en función del precio del bien. Veamos si hay algún valor de p para el que se anula la función del ingreso total. Como es obvio, el ingreso total es cero cuando p=0, es decir, cuando x=a. Y también cuando p=a/b, es decir, cuando x=0. Para estudiar la forma que adopta la curva del ingreso total al variar el precio de bien, estudiemos su primera derivada: dI ( p) dp

La cual, como es obvio, se anula cuando:



a 2bp 

a 

2b

a 

2

Por otra parte, se trata de un máximo de la función del ingreso total porque la segunda derivada es negativa. La función del ingreso total es cóncava: d 2 I ( p) dp 2

2b  0

 

Por tanto, sustituyendo en la función del ingreso total, el valor máximo del ingreso es:



21/08/2013

53/155

CAPÍTULO 11


2

16/22

 a  a b    I ( p  a 2b)  a 2b  2b  4b a

2

La primera derivada que hemos obtenido anteriormente es positiva, esto es, la función del ingreso total es creciente, dentro del siguiente intervalo: I p



dp

a  2bp  0



a

a



2b

2

La primera derivada es negativa, esto es, la función del ingreso total es decreciente, dentro del siguiente intervalo: dI ( p) dp



a  2bp  0



a

a



2b

2

Luego ya tenemos todos los datos para representar gráficamente la función del ingreso total.

I, x Curva de demanda x=a-b

a



Ingreso total

1

a/2 



1



1

a/2b

a/b

p

Figura 11.5

Vamos a relacionar ahora el comportamiento del ingreso total con la elasticidad-precio de la curva de demanda. Nosotros sabemos que debe cumplirse que:



21/08/2013

54/155

CAPÍTULO 11


I p dp

17/22

 x 1   

Por tanto, tendremos: a) Cuando el ingreso total es creciente al aumentar el precio del bien (derivada anterior positiva), la elasticidad-precio de la curva de demanda debe ser menor que uno en valor absoluto, es decir, la curva de demanda-precio debe ser inelástica o rígida. Y esto sucede cuando el precio del bien es menor que a/2b y, por tanto, la cantidad demandada es mayor que a/2. b) Cuando el ingreso total es decreciente al aumentar el precio del bien (derivada anterior negativa), la elasticidad-precio de la curva de demanda debe ser mayor que uno en valor absoluto, es decir, la curva de demanda-precio debe ser elástica. Y esto sucede cuando el precio del bien es mayor que a/2b y, por tanto, la cantidad demandada es menor que a/2. c) Cuando el ingreso total es constante al aumentar el precio del bien (derivada anterior igual a cero), el primero alcanza su máximo. Por tanto, la elasticidad precio de la curva de demanda debe ser igual a uno en valor absoluto, es decir, la curva de demanda-precio debe tener elasticidad unitaria en ese punto. Y esto sucede cuando el precio del bien es igual a a/2b y, por tanto, la cantidad demandada es igual a a/2.

Ejercicio 11.13. Dada la curva de demanda



k p,

obtener el ingreso del productor

o el gasto del consumidor en función del precio del bien. Y representar gráficamente la función del ingreso total con la variable precio en el eje de abscisas. La curva de demanda se trata obviamente de una hipérbola equilátera de la forma: x



k

La función del ingreso total sería:

I




px  p

k p



k


21/08/2013

55/155

CAPÍTULO 11


18/22

Es decir, el ingreso del productor o el gasto de consumidor es constante a medida que varía el precio del bien, y, por tanto, la cantidad demandada. En consecuencia, la función del ingreso total representada gráficamente se trataría de la una línea recta horizontal paralela al eje de abscisas, con ordenada en el origen igual a k :

I, x

Ingreso total I



k

k Curva de demanda





1

p Figura 11.6

Como bien sabemos, la elasticidad-precio de la curva de demanda sería unitaria en todos los puntos, por lo que el ingreso del productor o gasto del consumidor debe constante al variar el precio del bien o la cantidad demandada, dado que debe cumplirse que: I p dp

 x 1   

con lo que la derivada de esta expresión sería igual a cero.

Ejercicio 11.14. En un mercado regulado o intervenido cualquiera, si se fija un precio máximo inferior al de equilibrio en el mercado no-intervenido, ¿cómo varían los ingresos de los productores con respecto a los obtenidos en el equilibrio en este último mercado? Si se fija un precio máximo inferior al de equilibrio en el mercado no-intervenido (por ejemplo, precio máximo del alquiler de viviendas), donde la cantidad ofrecida es igual a la



21/08/2013

56/155

CAPÍTULO 11


19/22

demandada, habrá exceso de demanda en el mercado intervenido, es decir, los consumidores o demandantes estarán dispuestos a demandar más viviendas en alquiler que las que los propietarios están dispuestos a ofrecer. Como el precio máximo que puede alcanzarse es menor y también la cantidad cambiada en el mercado intervenido en relación con los respectivos valores de equilibrio en el mercado no-intervenido, los ingresos de los productores serán menores en cualquier caso respecto de la situación de equilibrio en este último mercado, donde impera el libre juego de las fuerzas de la oferta y la demanda. Esto puede observarse en la siguiente figura:

p D S

pe pmáx

xo

xe

xd

x

Figura 11.7

En el mercado no-intervenido, no-intervenido, el precio y la cantidad de equilibrio equilibrio son ( pe , , x e). Al fijarse un precio máximo pmáx alcanzable en el mercado regulado inferior al de equilibrio, entonces existe exceso de demanda en demanda en este mercado: ( x xd - xo), y la cantidad producida e intercambiada en el mercado es x es xo, esto es, la cantidad que están dispuestos a ofrecer los productores al precio p cio pmáx. Luego es evidente que el ingreso de los productores, y, por tanto, el gasto de los consumidores, pasa de ser p ser pe x xe a p a pmáx x xo, por lo que obviamente disminuye.



21/08/2013

57/155

CAPÍTULO 11


20/22

Ejercicio 11.15. En un mercado regulado o intervenido cualquiera, si se fija un precio mínimo superior al de equilibrio, ¿cómo varían los ingresos de los productores con respecto a los obtenidos en el equilibrio del mercado nointervenido? Si se fija un precio mínimo superior al de equilibrio (por ejemplo, un salario-mínimo, un precio del alquiler mínimo), habrá exceso de oferta, es decir, los demandantes estarán dis puestos a demandar menos de lo que los l os oferentes están dispuestos a ofrecer en el mercado. Como el precio mínimo que puede alcanzarse en el mercado intervenido es mayor y la cantidad cambiada es menor a los correspondientes valores de equilibrio en el mercado nointervenido, la variación del ingreso de los productores productores dependerá del valor que que tome la elasticidad-precio de la curva de demanda. Esto puede observarse en la siguiente figura:

p D S pmín pe

xd

xe

xo

x

Figura 11.8

En el mercado no-intervenido, el precio y la cantidad de equilibrio son ( p ( pe , , xe). Al fijarse un precio mínimo p mínimo pmín alcanzable en el mercado regulado superior al de equilibrio, entonces existe exceso de oferta en oferta en este mercado: ( xo - xd ), ), y la cantidad producida e intercambiada en el mercado es xd , esto es, la cantidad que están dispuestos a demandar los consumidores al precio p precio pmín. Luego es evidente que el ingreso de los productores, y, por tanto, el gasto de los consumidores, pasa de ser p ser pe x xe a p a pmín xd , por lo que obviamente puede variar en cualquier dirección.



21/08/2013

58/155

CAPÍTULO 11


21/22

Si la curva de demanda-precio es elástica cuando el precio pasa de pe a pmín, entonces como el precio aumenta en el mercado intervenido, tendrá lugar una reducción de la cantidad demanda en mayor proporción que el incremento del precio, con lo que los ingresos de los productores se verán reducidos. Lo contrario sucederá si la curva de demanda-precio es inelástica o rígida en ese intervalo de variación del precio del bien, porque los ingresos de los productores se verán incrementados al disminuir la cantidad demandada en menor proporción que el aumento del precio del bien. Y si la elasticidad-precio es unitaria, los ingresos de los productores no se verían alterados, porque precio y cantidad demandada variarán en la misma proporción. Desde un punto de vista formal, basta interpretar en cada caso la expresión que relaciona la variación del ingreso del productor, al variar el precio del bien, con la elasticidad-precio de la curva de demanda: dI ( p) dp

 x 1   

Si la elasticidad es mayor que uno en valor absoluto, la derivada será negativa (disminuirán los ingresos al aumentar el precio del bien); si la elasticidad es menor que uno en valor absoluto, la derivada será positiva (aumentarán los ingresos al aumentar el precio del bien). Y, finalmente, la derivada será cero cuando la elasticidad es unitaria (los ingresos no sufrirán alteración alguna al aumentar el precio del bien).

Ejercicio 11.16. Dada la siguiente curva de demanda-renta del bien X:



aY

,

donde a es un parámetro positivo y β otro parámetro de signo indeterminado. Determinar los valores de este último parámetro para que la proporción de la renta gastada en el bien X ( p x / Y ) aumente, disminuya o sea constante al incrementarse la renta. Nosotros ya sabemos que el parámetro β es la elasticidad-renta de la curva de demanda del enunciado:



21/08/2013

59/155

CAPÍTULO 11


 Y

dx Y 

dY x





a Y

Y

1





aY



22/22



Y también sabemos, además, que la forma en que varía la proporción de la renta gastada en el bien X ( x

) al variar la renta depende del valor de la elasticidad-renta:

d  px Y  dY

px( Y 1) 



2

Y

Por tanto, tendremos los siguientes casos: a) Bien de lujo:  Y



  1 . La proporción de la renta gastada en el bien X aumenta al

aumentar el nivel de renta, porque la derivada anterior es positiva. b) Bien de elasticidad-renta unitaria: 



1.

La proporción de la renta gastada en el

bien X no se altera al aumentar el nivel de renta, porque la derivada anterior es igual a cero. c) Bien necesario:

0    1 .

La proporción de la renta gastada en el bien X disminu-

ye al aumentar el nivel de renta, porque la derivada anterior es negativa. d) Bien cuya demanda no depende del nivel de renta: 



0.

La proporción de la ren-

ta gastada en el bien X disminuye al aumentar el nivel de renta por el mismo motivo. e) Bien inferior:   0 . La proporción de la renta gastada en el bien X disminuye al aumentar el nivel de renta por el mismo motivo.



21/08/2013

60/155

CAPÍTULO 12.- LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

Ejercicio 12.1. Dada la siguiente función de producción, con dos factores variables v 1

y

v 2

:

 5v2   

v

1

3

 v12  2v1  . Obtener la función o curva de la productividad 

total del primer factor cuando

v 2

=1; y las curvas de las productividades media

y marginal correspondientes. Obtener la cantidad aplicada del factor variable que permite alcanzar el Óptimo Técnico y el Máximo Técnico. Representar gráficamente las tres funciones anteriores. Como la cantidad empleada del segundo factor variable

v2 está dada, este factor actúa co-

mo si fuera un factor fijo. Por lo que la función o curva de la productividad total del primer factor sería obviamente:

 5 

v

3

 v  2v   2

Hemos eliminado el subíndice para ahorrar notación. Como es obvio, cuando v=0, la cantidad producida es x=0. Luego la curva de la productividad total del factor variable parte de origen de coordenadas. La función o curva de la productividad marginal de este factor vari able sería:



dx dv



2

 5 v  2v  2



Y la función o curva de la productividad media de este factor sería:

*

x v

Sabemos que en el

 5  

v

3

 v  2 

Óptimo Técnico la productividad media del factor variable alcanza su

máximo. Por lo que deberá cumplirse como condición necesaria que la derivada de la función



21/08/2013

61/155

CAPÍTULO 12

La función de producción

2/7

de la productividad media respecto de la cantidad empleada del factor variable debe ser igual a cero: dx * dv

 5  

2v 3

 1  0 

De donde obtendremos: vOT =1,5; x*máx=13,75. Se trata efectivamente de un máximo de esta función, porque al calcular la segunda derivada: d x* dv

2

10  2  5     3  3

resulta que es negativa, luego la función de la productividad media del factor variable es una curva cóncava. Por otra parte, estudiemos la curva de la productividad marginal del factor variable. Calculemos su primera derivada e igualémosla a cero: dx dv

2



d x dv

2





5 2v  2  0 

De donde se obtiene: v I =1; x’ máx=15. Que es el máximo de la función de la productividad marginal. Porque si calculamos la segunda derivada de esta función tendremos: d x dv

2



5

 2   10

Resulta que es negativa, luego la función de la productividad marginal del factor variable es una curva cóncava. También podemos comprobar que las productividades media y marginal coinciden en dos casos:

a) Cuando la cantidad empleada del factor variable es cero, y, por tanto, la cantidad producida es también cero. Ambas productividades son iguales a 10.



21/08/2013

62/155

CAPÍTULO 12


3/7

b) Cuando la productividad media del factor variable alcanza su máximo, es decir, cuando vOT =1,5. Ambas productividades son iguales a 13,75. Finalmente, si estudiamos el comportamiento de la primera derivada de la función de la productividad marginal del factor variable, podemos determinar la forma de la curva de la productividad total de este factor: dx dv

2



d x dv

2



 5 2v  2



Sabemos que esta derivada se anula cuando v=1, en que la productividad marginal alcanza su máximo. Luego éste será el punto de inflexión de la curva de la productividad total del factor variable. Puesto que esta derivada es positiva para v<1 y negativa para v>1, y se trata de la segunda derivada de la curva de la productividad total del factor variable. Por tanto, esta curva será convexa en un primer momento, alcanzará su punto de inflexión cuando v=1, y luego será cóncava. Finalmente, el Máximo

Técnico de la curva de la productividad total del factor variable

tiene lugar, obviamente, cuando la productividad marginal de este factor, la primera derivada de la función anterior, es igual a cero:



dx dv



2



 5 v  2v  2  0

De donde se obtiene v MT =2,73 y, por tanto:

 5  máx 

2,73 3

 2, 732  2  2, 73   30, 65 

Para cantidades aplicadas del factor variable mayores que 2,73, la productividad marginal es negativa, con lo que la curva de la productividad total del factor variable será decreciente a partir de este punto. Y para cantidades aplicadas del factor variable menores que 2,73, la productividad marginal toma valores positivos, por lo que la curva de la productividad total del factor variable es creciente.



21/08/2013

63/155

CAPÍTULO 12


4/7

Por tanto, el Máximo Técnico se corresponde con el máximo de la función de la productividad total del factor variable, dado que la productividad marginal, su primera derivada, se anula y la primera función es cóncava en este punto, como puede comprobarse fácilmente. Con lo que, resumiendo los resultados obtenidos, tendremos:

a) La curva de la productividad media es una curva cóncava con un máximo en el punto (vOT =1,5; x*máx=13,75), que es el

Óptimo Técnico.

b) La curva de la productividad marginal es una curva cóncava también con un máximo en el punto ( v I =1; x’ máx=15).

c) Las productividades marginal y media coinciden cuando v=0 (10) y cuando vOT =1,5 (13,75). d) La curva de la productividad total del factor variable parte del origen de coordenadas, es convexa en un primer momento, tiene un punto de inflexión en ( v I =1;

x=13,33), y luego es una curva cóncava. e) Esta curva es creciente en un primer momento, alcanza su máximo (el Máximo Técnico) cuando la productividad marginal es igual a cero, es decir, cuando (v MT =2,73;

xmáx=30,65). A partir de ahí, como la productividad marginal es negati-

va, la curva de la productividad total del factor variable es decreciente.



21/08/2013

64/155

CAPÍTULO 12


5/7

x’, x* Productividad marginal 15

Óptimo Técnico

13,75

Productividad media

10

Máximo Técnico 1

1,5

v

2,73 Figura 12.1

x Curva de la productividad total 30,65

Máximo Técnico 13,33

Punto de inflexión

1

2,73

v

Figura 12.2



21/08/2013

65/155

CAPÍTULO 12


6/7

Ejercicio 12.2. Dada la siguiente función de la productividad marginal del factor variable v :



2

  5 v  2v  2

.

Obtener la función de la productividad total de

este factor. Nosotros tenemos que obtener la función de la productividad total del factor variable

V de

la forma:



F v

Puesto que partimos del hecho de la productividad marginal es la deri vada respecto de v de la productividad total:



dx dv



dF (v) dv

 F 

(v)

Entonces es evidente que podemos escribir: dx  F (v)dv



dx 

F (v)dv

 F (v)  k

Es decir, la productividad total es la integral indefinida de la productividad marginal, esto es, la función primitiva de esta última función. Por lo que aplicando este hecho a nuestro ejemplo, resultará:

  5  v  2v  2  dv  5    2

v

3

3

 v  2v   k  2

donde k es la constante de integración. Como sabemos, cuando la cantidad aplicada del factor variable es v=0, entonces la cantidad producida debe ser x=0. Por lo que resulta que la constante de integración k es igual a cero. Con lo que finalmente tendremos una función de la productividad total del factor variable de la siguiente forma:



21/08/2013

66/155

CAPÍTULO 12


 5  

v

7/7

3

3

 v 2  2v  

Como puede apreciarse, hemos recorrido el camino inverso al del ejercicio anterior.



21/08/2013

67/155

CAPÍTULO 13.- COSTES DE PRODUCCIÓN

Ejercicio 13.1. Dada la siguiente función de costes totales, donde x es la cantidad producida:

C ( x)

x

 100  5   x 2  2 x  . Determinar el coste fijo y la función del  3 

coste fijo medio. Obtener la función del coste variable, del coste variable medio y del coste medio. Obtener la función del coste marginal. Obtener el nivel de producción correspondiente al Míni m o d e Exp lo tac ión y al Ópti m o de Explotación . Representar gráficamente las funciones: coste variable medio,

coste medio y coste marginal, por una parte, y, por otra, la función del coste variable. Como es obvio, el coste total es el resultado de sumar el coste fijo más el coste variable. Por lo que el coste fijo es 100, y la función del coste fijo medio sería: 100

CF

CFMe( x)





x

x

Por tanto, la función del coste variable sería:

Cv ( x)

x

 5   x2  2x   3 

dado que todos los términos de esta expresión dependen del nivel de producción x. La función del coste variable medio sería: *

Cv ( x)



Cv ( x) x

x

2

 5  x  2   3 

Y la función del coste medio:



21/08/2013

68/155

CAPÍTULO 13

Costes de producción

C *( x)



C ( x)



x

100 x

2/16

x

 5  x  2  3 

Como puede verse, es la suma del coste fijo medio más el coste variable medio. La función del coste marginal sería: C ( x) 

dC( x) dx

Cv x





2

 5 x  2x  2

dx



Sabemos que en el Mínimo de Explotación el coste variable medio alcanza su mínimo. Por lo que deberá cumplirse como condición necesaria, que la derivada de la función del coste variable medio respecto del nivel de producción debe ser igual a cero: dCv ( x) dx

 2x   5  1  0  3 

De donde obtendremos: x ME =1,5; C v*mín=6,25. Se trata efectivamente de un mínimo de esta función, porque al calcular la segunda derivada: d Cv ( x) dx

2

 2  10  5    3 3

resulta que es positiva, luego la función del coste variable medio es una curva convexa. Por otra parte, estudiemos la función del coste marginal. Calculemos su primera derivada e igualémosla a cero: dC ( x) dx

2

2



d C ( x) dx

2



d Cv ( x) dx

2



5  2 x  2   0

De donde se obtiene: x I =1; C’ ( x) mín=5. Que es el mínimo de la función del coste marginal. Porque si calculamos la segunda derivada de esta función tendremos:



21/08/2013

69/155

CAPÍTULO 13


3/16

2

d C ( x) dx

2

5

 2  10

Resulta que es positiva, luego la función del coste marginal es una curva convexa. También podemos comprobar que el coste marginal y el coste variable medio coinciden en dos casos: a) Cuando el nivel de producción es cero. Ambos costes de producción son iguales a 10. b) Cuando el coste variable medio alcanza su mínimo, es decir, en el Mínimo de Ex plotación x ME =1,5. Ambos costes de producción son iguales a 6,25. Finalmente, si estudiamos el comportamiento de la primera derivada de la función del coste marginal, podemos determinar la forma de la curva del coste variable: dC( x) dx

2



d Cv ( x) dx

2



5  2 x  2 

Sabemos que esta derivada se anula cuando x=1, en que el coste marginal alcanza su mínimo. Luego éste será el punto de inflexión de la curva del coste variable, dado que se trata de la segunda derivada de esta función: C v (1)

1

 5   1  2   6, 67 3 

Además, puesto que esta derivada es negativa para x<1 y positiva para x>1, la curva del coste variable será cóncava en un primer momento, alcanzará su punto de inflexión, y luego será convexa. Finalmente, el Óptimo de Explotación tiene lugar cuando el coste medio alcanza su valor mínimo. Por tanto la primera derivada de esta función debe ser igual a cero: C

x

dx



3

10 x




100 x

2

15x

2x

 5  1  0  3 

2 

300



0


21/08/2013

70/155

CAPÍTULO 13


4/16

Obtenemos como solución un valor aproximado: 3,69  xOE  3, 70

C *(3, 70)



100

 5 3, 70 

3, 70 3

 3, 70  2   27, 03  14,32  41,35 

No es necesario saber resolver una ecuación consistente en un polinomio de tercer grado. Lo que sucede que para tener una función del coste variable medio decreciente y luego creciente, con un mínimo, la obtención del coste medio mínimo conlleva resolver en este caso una ecuación de este tipo. La única información que tenemos al respecto para obtener una solución aproximada es que el nivel de producción correspondiente al Óptimo de Explotación es siempre mayor que el correspondiente al Mínimo de Explotación ( x ME =1,5). En lo sucesivo utilizaremos funciones de costes marginales y, por tanto, de costes varia bles medios, más sencillas, siempre crecientes, con un mínimo cuando x=0. Por otra parte, se trata efectivamente de un mínimo de la función del coste medio que nosotros estamos manejando, porque calculando la segunda derivada de esta función tendremos: d C *( x) dx

2



200 10 x

3



3



0

por lo que la función del coste medio es una curva convexa. Con lo que, resumiendo los resultados obtenidos, tendremos: a) La curva del coste fijo medio es una hipérbola equilátera de la forma: CFMe



100 .

No la representaremos gráficamente.

b) La curva del coste variable medio es una curva convexa con un mínimo en el punto ( x ME =1,5; C v*mín=6,25), que es el Mínimo de Explotación. c) La curva del coste marginal es una curva convexa también con un mínimo en el punto ( x I =1; C’ ( x) mín=5). d) El coste variable medio y el coste marginal coinciden cuando x=0 (10) y cuando x ME =1,5 (6,25).



21/08/2013

71/155

CAPÍTULO 13


5/16

e) La curva del coste medio es una curva convexa que alcanza su mínimo en el Óptimo de Explotación, cuando ( 3, 69  x

OE



3, 70 ;

C *(3,70)=41,35).

f) La curva del coste variable parte del origen de coordenadas, es cóncava en un primer momento, tiene un punto de inflexión en ( x I =1; C v(1)=6,67), y luego es una curva convexa.

C ’, C v*, C * Coste Medio

10

Coste Marginal

Mínimo de Explotación

Coste Variable Medio

6,25 5

Óptimo de Explotación

1

1,5

3,70

x

Figura 13.1

C v Coste Variable

Punto de inflexión 6,67 Mínimo de Explotación

1 F. Ibáñez - M. Matilla - R. Osuna

1,5


x 21/08/2013

72/155

CAPÍTULO 13


6/16

Ejercicio 13.2. Dada la siguiente función de costes totales, donde x es la cantidad producida:

C ( x)



9 x 2 108x  324 .

Obtener nivel de output correspondiente al

, y los valores del coste medio, variable medio, fijo Óptim o de Ex plo tación medio y marginal correspondientes correspondientes.. Obtengamos en primer lugar la función del coste variable, dado que el coste fijo es 324: Cv ( x)



9 x2  108x

La función del coste variable medio sería entonces: *

Cv ( x )



Cv ( x) x



9 x  108

Como puede apreciarse, se trata de una curva más sencilla que la del ejercicio anterior, puesto que siempre es creciente, y el mínimo tiene lugar cuando x=0. x=0. Se trata de una línea recta de pendiente 9 y ordenada en el origen 108. La función del coste marginal sería: C ( x) 

C x dx

 18x  108

También se trata de una curva más sencilla que la del ejercicio anterior, puesto que siem pre es creciente, y el mínimo tiene lugar cuando x=0. x=0. Se trata de una línea recta de pendiente 18 y ordenada en el origen 108. Como puede apreciarse, cuando x=0 x=0 el coste variable medio y el coste marginal coinciden (108). Y, finalmente, la curva del coste marginal tiene el doble de pendiente que la del coste variable medio, por tanto, la primera se sitúa por encima de esta última. En otras palabras, el coste marginal siempre es mayor que el coste variable medio cuando x>0. x>0. Por lo que forzosamente la curva del coste variable medio debe ser siempre creciente. Finalmente, la función del coste medio sería:



21/08/2013

73/155

CAPÍTULO 13


C

*

C ( x)

( x) 

x



9 x  108 

7/16

324 x

Lógicamente, Lógicamente, el Óptimo de Explotación se Explotación se alcanza cuando el coste medio es mínimo. Por tanto, como condición necesaria, la primera derivada de esta función f unción debe ser igual a cero: dC

*

( x)

dx

 9

324 x

2



0

De donde resulta x resulta x=6. =6. Se trata efectivamente de un mínimo de la función del coste medio, porque al obtener la segunda derivada: 2

d C

*

dx

( x)

2



648 x

3



0

resulta que es positiva, luego la función del coste medio es una curva convexa. x=6: Obtengamos los valores particulares de todas las funciones anteriores cuando x=6: a) Coste medio:

*

C

(6)  9  6  108 

b) Coste variable medio: c) Coste fijo medio: d) Coste marginal:

*

C v (6)



CFMe(6) 

324 6



216 .

9  6 108  162 .

324 6

 54

.

C (6 )  18  6  108  216 .

En cualquier caso ya sabíamos que era

igual al coste medio, pues la curva del coste marginal corta a la curva del coste medio en su punto mínimo, es decir, cuando se alcanza el Óptimo de Explotación. Explotación .

Ejercicio 13.3. Dada la siguiente función del coste marginal, donde x es la cantidad producida:

C( x)  2 x  8

. Obtener la función del coste variable y del coste total,

sabiendo que cuando x =4, entonces el coste total es 100. Determinar el coste fijo. Puesto que partimos del hecho de que el coste marginal es la derivada respecto de x, x, bien del coste variable, bien del coste total:



21/08/2013

74/155

CAPÍTULO 13


C ( x) 

dC( x)

Cv x



dx

dx

8/16

 2x  8

Entonces es evidente que podemos escribir: dCv ( x)

 C ( x)dx

dC ( x)

 C ( x)dx

Cv ( x)



dCv ( x)

C ( x)



dC( x)

C( x) dx





C ( x) dx

 x 2  8 x  kcv

 x2  8 x  kct

Es decir, tanto el coste variable como el coste total son la integral indefinida del coste marginal, esto es, la función primitiva de esta última función. Lo único que cambia es la constante de integración, k cv respectivamente. cv y k ct ct respectivamente. Como sabemos, cuando la cantidad producida es x=0, x=0, entonces el coste variable es igual a cero. Por lo que resulta que la constante de integración k cv cv es igual a cero: Cv ( x)



x

2



8x

x=0 coincide Pero el coste total, al ser la suma del coste variable más el coste fijo, cuando x=0 con este último. Por lo que tomando los datos del enunciado, cuando cuando x=4 x=4 el coste total será: C

4  16 16  32 

ct

 100

ct



52

Con lo que la función del coste total adoptará la siguiente forma: C ( x)



x

2



8x  52 52

donde 52 es naturalmente el coste fijo.



21/08/2013

75/155

CAPÍTULO 13


9/16

Ejercicio 13.4. Dada una función de producción de corto plazo con un factor variable: x =F(v) , siendo el resto factores fijos. Si el precio del factor variable se incrementa, ¿qué sucede con la curva de costes marginales? ¿Y con la curva del coste variable medio? Si el precio de algún factor fijo se incrementa, ¿qué sucede con las curvas de costes marginales, de costes variables medios y de costes medios? Nosotros conocemos la relación entre el coste marginal y la productividad marginal del factor variable: C ( x )



w F (v)

donde w es el precio del factor variable. Si se altera w, la curva de la productividad marginal del factor variable

F (v)

no se altera,

pero sí lo hace la curva del coste marginal. De forma que si aumenta w, para cada cantidad aplicada del factor variable y, por tanto, para cada cantidad producida correspondiente del bien, el coste marginal es ahora mayor que antes. Por lo que tiene lugar un desplazamiento hacia arriba de la curva del coste marginal . Lo contrario sucedería si se redujera el precio del factor variable. Por otra parte, también conocemos la relación entre el coste variable medio y la productividad media del factor variable: *

Cv ( x)

w 

x *

Por un razonamiento semejante se llega a la misma conclusión: que un aumento de w da lugar a un desplazamiento hacia arriba de la curva del coste variable medio , dado que la curva de la productividad media del factor variable no sufre ninguna alteración. Si ahora lo que aumenta es el precio de algún factor fijo, entonces ni los costes marginales ni los costes variables medios se alteran. Pero sí aumentaría el coste medio, debido a un aumento del coste fijo medio. Por lo que tendría lugar un desplazamiento hacia arriba de la cur-



21/08/2013

76/155

CAPÍTULO 13


10/16

va del coste medio: ahora para cada nivel de producción el coste medio es mayor, porque ha aumentado el coste fijo medio.

Ejercicio 13.5. Dada una función de producción de largo plazo con dos factores variables K (capital) y L (trabajo), de la forma:

a



b

K L

; donde a y b son dos

parámetros positivos y x es la cantidad producida. Determinar los rendimientos de escala de esta función de producción en función de los valores de estos parámetros, cuando se emplean ambos factores en una determinada proporción fija, cualquiera que fuere ésta, tal como

k1



K1 L1 .

Determinar también el comportamiento del coste medio de producción a medida que aumenta el nivel de output, cuando los precios de ambos factores, r y w respectivamente, permanecen inalterados.

Si se emplea la siguiente cantidad de ambos factores productivos ( K 1, L1), se obtendrá la siguiente cantidad de producto: a

1



b

K1 L1

Ahora aumentamos la cantidad empleada de ambos factores productivos, guardando siem pre la proporción: k 1



K 1 L1

Por ejemplo, la cantidad empleada de cada factor productivo se multiplica por un número t >0, de la siguiente forma: (tK 1, tL1). Obtendremos el siguiente nivel de output: a

b

 tK  tL  1

1



t

a b

a

b

K1 L1



t

a b

x1

Es decir, la cantidad producida ahora es t a+b veces la cantidad producida inicialmente x1. Por tanto, los rendimientos de escala de la función de producción que estamos manejando dependen de lo que sumen los parámetros a y b: a) Si a+b=1. Entonces, los rendimientos de escala son constantes, porque al multiplicar por t la cantidad empleada de ambos factores productivos, la cantidad produci-



21/08/2013

77/155

CAPÍTULO 13


11/16

da se multiplica también por t . Es decir, el nivel de producción crece en la misma proporción que las cantidades empleadas de ambos factores. b) Si a+b<1. Entonces, los rendimientos de escala son decrecientes, porque al multi plicar por t la cantidad empleada de ambos factores productivos, la cantidad producida se multiplica por un factor menor que t . Es decir, el nivel de producción crece en menor proporción que las cantidades empleadas de ambos factores. c) Si a+b>1. Entonces, los rendimientos de escala son crecientes, porque al multiplicar por t la cantidad empleada de ambos factores productivos, la cantidad producida se multiplica por un factor mayor que t . Es decir, el nivel de producción crece en mayor proporción que las cantidades empleadas de ambos factores. Para determinar la evolución del coste medio de producción, consideramos que los precios de los factores productivos están dados y, por tanto, esto conlleva que ambos factores se com binan siempre en una determinada proporción inalterable, por ejemplo k 1. Para estudiar el comportamiento del coste medio de producción, debemos estudiar previamente el comportamiento del coste total de producción, por una parte, y, por otra, el com portamiento de la cantidad producida a medida que se emplea una mayor cantidad de ambos factores, combinados siempre en la misma proporción inalterable. El coste de producción correspondiente al nivel de output x1 puede expresarse del siguiente modo: C1



rK1



wL1



r

K 1 L1

L1



wL1



 rk

1





w L1

Puesto que los precios de ambos factores productivos están dados, así como la proporción en que se combinan estos últimos, el término entre paréntesis de la expresión anterior es una constante, con lo que el coste de producción será siempre proporcional a la cantidad empleada del factor trabajo. Y puede expresarse de forma general del siguiente modo: C



(rk1  w) L

Por otra parte, cuando se emplea la siguiente cantidad de ambos factores productivos ( K 1, L1), se obtiene el nivel de producción x1, el cual puede expresarse del siguiente modo:



21/08/2013

78/155

CAPÍTULO 13


1

 K

a

1

 K   L

b

1

L1

L1

1

  

12/16

a

 k a L a b

b

L1

1

1

En general, si la cantidad empleada de trabajo es L en lugar de L1, y ambos factores se combinan siempre en la proporción k 1, la cantidad producida se determinará del siguiente modo: 

a

a b

k1 L

Es decir, el nivel de output que se obtiene siempre es proporcional a la cantidad empleada del factor trabajo elevada al exponente a+b, dado que la proporción en que se combinan am bos factores productivos es una constante. Por tanto, para determinar la evolución del coste medio de producción a medida que aumenta el nivel de output, tendremos que comparar cómo evoluciona el coste de producción dividido por la cantidad producida cuando aumenta la cantidad empleada del factor trabajo: C* 

C x

r 

w L

1  a

a b

k1 L

r 

1  a

w

1( a b )

L

k 1

En esta expresión, la fracción que aparece es una constante, por lo que el coste medio de producción depende de la cantidad empleada de trabajo, que es tanto como decir, de la cantidad empleada de ambos factores productivos o del nivel de producción, pero elevada a un exponente en el que aparecen los parámetros a y b, cuya suma define los rendimientos de escala de la función de producción. Fácilmente puede interpretarse que como el coste de producción crece proporcionalmente con la cantidad empleada de trabajo y el nivel de producción crece también pero en una pro porción que depende de los rendimientos de escala de la función de producción, tendremos tres casos: a) a+b=1, rendimientos constantes de escala. El coste medio es constante (dado que el exponente de la expresión anterior es cero) a medida que aumenta la cantidad empleada del factor trabajo, y, por tanto, la cantidad producida. Esto es debido a que el coste de producción y la cantidad producida crecen siempre en la misma



21/08/2013

79/155

CAPÍTULO 13


13/16

proporción en que crece la cantidad aplicada del factor trabajo, y, por tanto, de am bos factores productivos. b) a+b<1, rendimientos decrecientes de escala. El coste medio es creciente (dado que el exponente de la expresión anterior es positivo) a medida que aumenta la cantidad empleada del factor trabajo, y, por tanto, la cantidad producida. Esto es debido a que la cantidad producida crece en menor proporción que la cantidad aplicada del factor trabajo, y, por tanto, que el coste de producción. c) a+b>1, rendimientos crecientes de escala. El coste medio es decreciente (dado que el exponente de la expresión anterior es negativo) a medida que aumenta la cantidad empleada del factor trabajo, y, por tanto, la cantidad producida. Esto es debido a que la cantidad producida crece en mayor proporción que la cantidad aplicada del factor trabajo, y, por tanto, que el coste de producción.

Ejercicio 13.6. Dada la siguiente familia de curvas de costes a corto plazo: Cc

 16a 

 x

3

 32 x

2

 275 x

4a



2

. Donde a es un parámetro positivo que guarda

relación con el tamaño de la planta. Obtener la función de costes a largo plazo y la dimensión óptima de la empresa. Obtener la función de costes a corto plazo correspondiente al tamaño óptimo de la empresa y determinar el Óptimo de Explotación. Para obtener la función de costes a largo plazo, debemos determinar el tamaño óptimo de la planta en función del nivel de producción. Y esto se hace minimizando el coste de producción con respecto al parámetro a, que guarda relación con el tamaño de la planta, tomando como un dato el nivel de producción. Por lo que la correspondiente derivada parcial de la función del enunciado debe ser igual a cero:

 x3  32 x2  275 x  C c  16  0 2 4a a De donde obtendremos:



21/08/2013

80/155

CAPÍTULO 13


3

14/16

2

x  32 x  275 x

a

8

Que nos permite determinar en cada caso el tamaño óptimo de la planta (que nos permite incurrir en el coste de producción mínimo), representado mediante un determinado valor del parámetro a, en función del volumen de output que deseamos producir. Ahora introducimos esta expresión en la familia de curvas de costes a corto plazo del enunciado, lo que nos permite eliminar el parámetro a; y de esta forma obtendremos la función de costes de largo plazo que buscamos como envolvente de la familia de curvas de costes de corto plazo de la que partíamos:

C L ( x)



16

x

3



32x

2



275x

8



 x 4

3

x



3

32 x 2  275x 



32 x

2



275x



4  x 3  32x 2



275x 

8

Esta función de costes de largo plazo nos indica el coste mínimo de producir cada nivel de output, puesto que siempre estamos utilizando con este objeto el tamaño óptimo de la planta correspondiente. La curva de costes medios a largo plazo sería entonces: *

C L ( x)



C L x



4  x 2  32 x  275 

La dimensión óptima de la empresa es el nivel de producción que minimiza el coste medio a largo plazo. Por tanto, para obtenerla debemos calcular la primera derivada de la función del coste medio a largo plazo con respecto al nivel de producción, e igualarla a cero: *

dC L ( x) dx



4  2 x 32  



0

De donde resulta x=16, que es la dimensión óptima de la empresa. Efectivamente, se trata de un mínimo de la función del coste medio a largo plazo, porque si calculamos la segunda derivada resulta que es positiva, es decir, la curva del coste medio a largo plazo es convexa:



21/08/2013

81/155

CAPÍTULO 13


2

15/16

*

d C L ( x ) dx



2

4  2  8

El tamaño óptimo de la empresa se corresponde con el tamaño de la planta, es decir, el correspondiente valor del parámetro a, tal que resulta óptimo (el coste de producción correspondiente es mínimo) para obtener el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa, que sería, pues, el volumen de producción típico asociado al tamaño óptimo de la empresa. Por tanto, el tamaño óptimo de la empresa lo podemos determinar a partir de la expresión obtenida anteriormente, que relaciona el tamaño óptimo de la planta con el nivel de producción, introduciendo el valor particular x=16: x

3

a 

 32 x

2

 275 x

8

a=38

Por tanto, la función de costes a corto plazo correspondiente al tamaño óptimo de la em presa sería:

Cc ( x)

(tamaño óptimo de la empresa)



16  38 

 x

3



32 x 2  275 x  4  38



608 

x

3



32 x 2



275 x 

152

El Óptimo de Explotación correspondiente al tamaño óptimo de la empresa es el nivel de producción que minimiza el coste medio a corto plazo, y, por tanto, va asociado al mínimo de la siguiente función de costes medios:

*

Cc ( x )




Cc ( x)


x



608 x



 x

3



32 x 2  275 x  152x

Nosotros podemos calcular entonces la primera derivada de esta función de costes medios e igualarla a cero, para obtener el nivel de producción que minimiza el coste medio a corto plazo. Pero sabemos de antemano que para el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa ( x=16) se alcanza el óptimo de explotación correspondiente al tamaño óptimo de la empresa, es decir, el correspondiente mínimo de la anterior curva de costes medios a corto plazo. Y que, además, este coste medio mínimo a corto plazo se corresponde con



21/08/2013

82/155

CAPÍTULO 13


16/16

el coste medio mínimo a largo plazo, dado que la dimensión óptima de la empresa es el volumen de producción típico asociado al tamaño óptimo de la empresa. No obstante, el lector puede comprobar fácilmente que el coste medio mínimo a corto plazo asociado al tamaño óptimo de la empresa coincide con el coste medio mínimo a largo plazo, que tiene lugar cuando la cantidad producida es x=16: *

C L (16)



4 16

2



32 16  275   76

Por lo que no es necesario realizar ningún cálculo adicional, en particular, obtener una derivada muy complicada correspondiente a la función de costes medios a corto plazo anterior, e igualarla a cero.



21/08/2013

83/155

CAPÍTULO 14.- MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO

Ejercicio 14.1. Dada la función de demanda a la que se enfrenta una empresa y su función de costes medios que aparecen en el gráfico, determinar para los niveles de producción

x 1, x 2

y

x 3 si

la empresa obtiene beneficios positivos,

pérdidas o beneficios cero.

Curva de demanda a la que se enfrenta la empresa

p C *

Curva de costes medios

x1

x2

x3

x

Figura 14.1

La curva de demanda a la que se enfrenta la empresa o curva de demanda de la empresa, nos indica la cantidad que están dispuestos a demandar los consumidores a esa empresa en función del precio que tienen que pagar por cada unidad del bien que adquieren. O bien, la función inversa nos indica el precio que están dispuestos pagar los consumidores por demandar a la empresa la cantidad de producto de que se trate. Y la curva del coste medio nos indica el coste medio en el que incurre la empresa en función de la cantidad producida por esta última. Por tanto, si consideramos el nivel de producción x1, puede observarse en el gráfico que el coste medio de producir esta cantidad es menor que el precio que los consumidores están dis puestos a pagar por demandarla. Por tanto, si la empresa produce y vende la cantidad de pro-



21/08/2013

84/155

CAPÍTULO 14

Maximización del beneficio

2/21

ducto x1, obtendría beneficios positivos, porque el precio que están dispuestos a pagar los consumidores es mayor que el coste medio en el que incurre la empresa al producir esta cantidad. Por tanto, los beneficios unitarios serían positivos (la diferencia entre el precio y el coste medio), y de ahí los beneficios totales. Empleando un razonamiento semejante, si la empresa produce y vende el nivel de output x2, entonces sus beneficios serían cero, porque el precio que están dispuestos a pagar los consumidores coincide con el coste medio en el que incurre la empresa al producir esa cantidad del bien. Por tanto, los beneficios unitarios serían cero, y de ahí los beneficios totales. Y, por el mismo motivo, cuando la empresa produce y vende la cantidad de producto x3, obtiene beneficios unitarios negativos (pérdidas), pues el precio que están dispuestos a pagar los consumidores es menor que el coste medio de producción. Y, de ahí, los beneficios totales también serían negativos, pues son el resultado de multiplicar los beneficios unitarios por la cantidad de output de que se trate, en este caso x3.

Ejercicio 14.2. Demostrar que si la curva de demanda de una empresa es una curva decreciente, entonces la correspondiente curva de ingresos marginales deberá estar situada siempre por debajo de la primera; es decir, el ingreso marginal es siempre inferior al precio que están dispuestos a pagar los consumidores cuando la cantidad demandada por estos últimos es positiva, tal como aparece en la Figura 14.2. ¿Qué sucedería si la curva de demanda de la empresa fuera una línea recta horizontal, es decir, se tratara de una curva de demanda perfectamente elástica?



21/08/2013

85/155

CAPÍTULO 14


3/21

p I’

Curva del Ingreso Marginal de la empresa

Curva de demanda de la empresa

x Figura 14.2

Partamos de la expresión funcional del ingreso total de la empresa, que coincide con el gasto en que incurren los consumidores cuando demandan a esa empresa la cantidad de producto x que se trate: I ( x)

px



Donde a su vez el precio que están dispuestos a pagar los consumidores depende de la cantidad del bien que demandan a la empresa, dependencia que viene recogida por la curva inversa de demanda de la empresa: 1

De ( x) 



Derivemos ahora la función del ingreso total de la empresa con respecto a la cantidad demandada x, para que podamos obtener la función del ingreso marginal de la empresa:

I ( x) 

dI ( x) dx



px

dp dx

Basta interpretar ahora esta expresión: Cuando x=0, entonces el ingreso marginal coincide siempre con el precio que están dispuestos a pagar los consumidores; por eso ambas curvas siempre coinciden cuando tocan el eje de ordenadas.



21/08/2013

86/155

CAPÍTULO 14


4/21

Pero cuando x>0, entonces el ingreso marginal es siempre inferior al precio que están dis puestos a pagar los consumidores, porque la pendiente de la curva inversa de demanda de la empresa es finita y negativa, al ser esta última decreciente, como hemos supuesto de entrada. Por este motivo, la correspondiente curva del ingreso marginal siempre se sitúa por debajo de la curva de demanda de la empresa cuando esta última es decreciente. Ahora bien, supongamos que la curva de demanda de la empresa fuera una línea recta horizontal (que fuera perfectamente elástica), en lugar de una curva decreciente como habíamos supuesto en un principio. En tal caso, como la pendiente dp/dx sería cero, entonces el ingreso marginal siempre coincidiría con el precio que están dispuestos a pagar los consumidores, cualquiera que fuere la cantidad demandada. Por lo que la curva del ingreso marginal de la empresa coincidiría completamente con la curva de demanda de esta última. Pero sabemos, además, que la curva inversa de demanda de la empresa es la curva del ingreso medio de esta última, porque el precio que están dispuestos pagar los consumidores por demandar una determinada cantidad de producto a la empresa es el ingreso medio que percibe esta última al vender esa cantidad de producto. Por lo que cuando el ingreso medio de la empresa es decreciente (curva de demanda de la empresa decreciente, de pendiente negativa y finita), el ingreso marginal correspondiente siempre debe ser inferior al ingreso medio, salvo cuando x=0 en que ambos coinciden. Y cuando el ingreso medio es constante (curva de demanda de la empresa horizontal, perfectamente elástica) entonces el ingreso marginal coincide siempre con el ingreso medio de la em presa. Esta intuición puede demostrarse más rigurosamente del siguiente modo. Partiendo de la expresión del ingreso medio de una empresa:

 ∗ () =

 ( ) 

y derivando con respecto al nivel de producción x. Tendremos:

∗ () 


=

 ′ () − () 2

=

 ′ () −  ∗ () 


21/08/2013

87/155

CAPÍTULO 14


5/21

A partir de aquí se infiere que cuando el nivel de producción es positivo, si el ingreso medio es decreciente a medida que aumenta el nivel de producción (la derivada anterior es negativa), entonces el ingreso marginal es forzosamente menor que el ingreso medio. Pero si el ingreso medio es constante (la derivada anterior es igual a cero), entonces coincide con el ingreso marginal, que, por tanto, también permanecería constante a medida que aumenta el nivel de producción.

Ejercicio 14.3. Determinar en la Figura 14.3, donde aparecen la curva de ingresos marginales y de costes marginales de una empresa, en cuál de los tres niveles de producción señalados esta última maximiza el beneficio. I’ C’

Ingreso marginal

x1

x2

Coste marginal

x3

x

Figura 14.3

En primer lugar, para los niveles de producción x1 y x3, el ingreso marginal es igual al coste marginal. Luego de entrada serían los dos posibles niveles de output maximizadores del beneficio de la empresa. En cambio, para el nivel de producción x2, el ingreso marginal es mayor que el coste marginal, luego a la empresa le interesa aumentar la cantidad producida, pues con ello aumentarían sus beneficios. Si tomamos ahora el nivel de producción x1, vemos que si aumentamos en una unidad la cantidad producida y vendida, como el ingreso marginal es mayor que el coste marginal correspondiente a esa unidad adicional de producto, obtendríamos beneficios adicionales positivos al producir y vender esa unidad adicional del producto. Luego el nivel de producción x1 no maximiza el beneficio de la empresa.



21/08/2013

88/155

CAPÍTULO 14


6/21

De hecho los beneficios de la empresa se verían incrementados si esta última produjera y vendiera las unidades adicionales de producto que exceden de x1, hasta alcanzar el nivel de output x3, pues para todas ellas el ingreso marginal es mayor que el coste marginal. Si tomamos ahora el nivel de producción x3, vemos que si aumentamos en una unidad la cantidad producida y vendida, como el ingreso marginal es menor que el coste marginal para esa unidad adicional de producto, obtendríamos pérdidas al producir y vender esta última. Luego los beneficios se verían reducidos con respecto a los obtenidos produciendo y vendiendo la cantidad de producto x3. En consecuencia, el nivel de producción x3 maximiza el beneficio de la empresa.

Ejercicio 14.4. Dada la curva de demanda de la empresa



12

(36  p)

, obtener la

curva de ingresos marginales de esta última. Determinar la cantidad producida y vendida, así como el precio correspondiente, que maximiza el ingreso de la empresa. Determinar este ingreso máximo y la elasticidad de la curva de demanda de la empresa en ese punto. Determinar el intervalo de variación de los posibles niveles de producción maximizadores del beneficio de la empresa, habida cuenta de que el coste marginal de obtener cualquier nivel de producción por parte de esta última es siempre positivo. La función de ingresos marginales de una empresa es la derivada de la función de ingresos totales de esta última con respecto a la cantidad vendida x, que es demandada por los consumidores. Por tanto, tenemos que obtener en primer lugar la función de ingresos totales de la empresa en función de la cantidad demandada x y no en función del precio del bien. Con este objeto, debemos obtener previamente la función inversa de demanda de la empresa:



(36



12

p)



36



p



36



x

2

Por tanto, la función de ingresos totales de la empresa, como función de la cantidad demandada x por parte de los consumidores, sería: I ( x)




px



(36 x 2 ) x 



36x



x

3


21/08/2013

89/155

CAPÍTULO 14


7/21

Ahora podemos derivar esta función respecto de x para obtener la función del ingreso marginal de la empresa: I x

I ( x) 

 36  3 x

dx

2

Para que el ingreso total de la empresa sea máximo, la primera derivada de esta función, es decir, el ingreso marginal, debe ser igual a cero, por lo que obtendremos:

I ( x) 

I x dx



36  3x 2



x=3,46

0

Y efectivamente se trata de un máximo de la función del ingreso total, porque al obtener la segunda derivada de esta función: 2

I ( x ) 

d I ( x) dx

2

6x



resulta que es negativa para cualquier cantidad demandada mayor que cero, por lo que la función del ingreso total de la empresa es una curva cóncava. El precio correspondiente que maximiza el ingreso total de la empresa lo obtenemos sustituyendo en la función inversa de demanda de esta última el valor x=3,46:



36



x

2

p=24,03

Y el ingreso máximo de la empresa que se nos pide, lo obtendríamos sustituyendo en la función del ingreso total: I (3,46)



36  3,46  3,463



83,14

La elasticidad de la curva de demanda de la empresa en este punto en que el ingreso total es máximo, la obtendríamos del siguiente modo:

  


x p dp x


21/08/2013

90/155

CAPÍTULO 14


8/21

Obtengamos en primer lugar la pendiente de la curva de demanda: x

1 

dp

1

dp dx



2x



Por lo que introduciendo los valores particulares de precio y cantidad correspondientes al ingreso máximo de la empresa en la expresión de la elasticidad, tendremos:

  

x p dp x

p

1

 

2x x





p 2x

2

24, 03



2  3, 46

2



1

Esto no es ninguna sorpresa, pues ya sabíamos de antemano que cuando el ingreso marginal es igual a cero, la elasticidad-precio de la curva de demanda, sea la curva de demanda del mercado, de un consumidor o de una empresa, es igual a l a unidad tomada en valor absoluto. Por este motivo, nosotros también podíamos haber obtenido el precio o la cantidad demandada que hacen que el ingreso total de la empresa alcance un máximo a partir de la fórmula de la elasticidad-precio:



36

p 



2 x 2



x

p 

2x2

2(36



p)



1

Tendríamos entonces las dos ecuaciones siguientes: 36



x



2 

2x

2(36



2

3 x

p)

2 

3 p

36



72

x=3,46 p=24

Finalmente, si el coste marginal de la empresa es siempre positivo, como el nivel de output maximizador del beneficio requiere que el ingreso marginal sea igual al coste marginal, entonces el ingreso marginal debe ser también positivo. Recordando la función del ingreso marginal de la empresa:

I ( x)




dI ( x) dx



36  3x 2


21/08/2013

91/155

CAPÍTULO 14


9/21

Podemos concluir entonces que el nivel de producción maximizador del beneficio debe ser x<3,46. Porque cuando x=3,46, entonces el ingreso marginal es cero; y cuando x>3,46, el ingreso marginal es negativo. Se deja al lector que compruebe que cuando x<3,46, la elasticidad-precio de la curva de demanda de la empresa es mayor que uno en valor absoluto; y cuando x>3,46, esta elasticidad es menor que uno. Luego el nivel de output maximizador del beneficio siempre se sitúa en el tramo elástico de la curva de demanda de la empresa cuando, como es normal, el coste marginal al que se enfrenta esta última es positivo, algo que ya sabíamos de antemano.

Ejercicio 14.5. Dada la siguiente función de demanda de la empresa: k es



kp

1



, donde

un parámetro positivo. Obtener la función del ingreso marginal de la

empresa. ¿Existe algún nivel de producción maximizador del beneficio cuando el coste marginal es siempre positivo para cualquier nivel de producción, incluido x =0? ¿Qué ocurriría si el precio máximo que están dispuestos a pagar los consumidores fuera p =20? La curva de demanda de la empresa es una hipérbola equilátera de la forma: x  k Esto quiere decir que el gasto del consumidor o consumidores, y, por tanto, el ingreso total de la empresa, es constante siempre e igual a k , y, por tanto, no viene afectado por la variación del precio o de la cantidad demandada por aquéllos. En consecuencia, si una variación de la cantidad demandada a la empresa por los consumidores no afecta a los ingresos de esta última, que son siempre constantes, entonces es que el ingreso marginal es siempre cero. Para demostrarlo formalmente, obtengamos como de costumbre la curva inversa de demanda de la empresa:




kx




21/08/2013

92/155

CAPÍTULO 14


10/21

Por lo que la función del ingreso total de la empresa sería: I ( x)  px  kx 1x  k 

En consecuencia, la función del ingreso marginal, que es la derivada respecto de x, sería:

I ( x)



dI ( x) dx



0

Luego si el ingreso marginal es cero cualquiera que fuere la cantidad demandada por los consumidores a la empresa, y el coste marginal es siempre positivo, cualquiera que fuere la cantidad producida por esta última, entonces no existe en principio ningún nivel de producción positivo que sea maximizador del beneficio, en el que el ingreso marginal pueda ser igual al coste marginal. Por otra parte, como el ingreso marginal es siempre cero, esto nos indica que la elasticidad de la curva de demanda de la empresa es siempre unitaria en valor absoluto cualquiera que fuere la cantidad demandada por los consumidores. Algo que ya sabíamos de antemano, porque tal curva es una hipérbola equilátera. Por lo que no existe ningún tramo de la misma en el que tal elasticidad pueda ser mayor que uno, condición necesaria para que el ingreso marginal sea igual al coste marginal positivo de la empresa. Luego con esta curva de demanda de la empresa no existe en principio ningún nivel de producción positivo maximizador del beneficio, porque el coste marginal es siempre mayor que el ingreso marginal, por lo que a la empresa le interesa reducir el nivel de producción haciéndolo tender continuamente a cero. En tal caso, sus ingresos no se verían alterados mientras x>0 (siempre son iguales a k ), pero reduciría costes al reducir el nivel de producción, porque el coste marginal es siempre positivo; por lo que los beneficios de la empresa siempre aumentarían al hacer tender el nivel de producción a cero, pero manteniéndolo positivo. Porque si la empresa no produce nada ( x=0), entonces sus ingresos se convierten automáticamente en cero, porque la empresa no puede cobrar un precio positivo a los consumidores sin venderles nada a cambio. Luego a la empresa le interesaría producir un nivel de output positivo tendente a cero si el coste marginal de la primera unidad producida, infinitamente pequeña, que coincide con el



21/08/2013

93/155

CAPÍTULO 14


11/21

coste variable medio, y, por tanto, con el coste variable de esa unidad de producto, no es mayor que k , que son los ingresos que obtendría al venderla. Ahora bien, si fuera así, nosotros no podemos determinar en sí el nivel de output maximizador del beneficio, pues se trata de un nivel de producción positivo pero infinitamente pequeño: tendente a cero, pero sin ser cero. Sólo habría un nivel de producción maximizador del beneficio, y sería cero, en el caso de que a la empresa le interesara cerrar en lugar de producir un nivel de output positivo tendente a cero del que venimos hablando. Esto es, cuando el coste marginal de la primera unidad producida, infinitamente pequeña, fuera mayor que los ingresos que obtendría al venderla, que serían k . Dado que, como hemos visto, el coste marginal de esa primera unidad coincide con el coste variable, y, por tanto, se cumpliría la condición de cierre de la empresa en el corto plazo.

NOTA: Lo que parece incoherente en los razonamientos anteriores es suponer que los consumidores puedan demandar una cantidad infinitamente pequeña del bien de que se trate, aunque sea perfectamente divisible (por ejemplo, una diezmillonésima de gramo de azúcar). Lo lógico es que la unidad mínima del bien demandada por los consumidores sea finita. Con lo que existirá un precio máximo que estarán dispuestos a pagar por ella cuando la función de demanda es una hipérbola equilátera, como hemos supuesto. Esto es lo lógico. Porque lo que un consumidor está dispuesto a pagar como máximo por una pequeña cantidad del bien, depende de sus preferencias, pero también de lo que puede pagar, es decir, de su nivel de renta. Por lo que es lógico que el precio máximo que está dispuesto a pagar un consumidor por la primera unidad suficientemente pequeña del bien sea un precio finito. En tal caso, podría haber un nivel de producción maximizador del beneficio correspondiente a esta cantidad mínima, finita, que los consumidores están dispuestos a demandar a un precio también finito, el máximo que están dispuestos a pagar (en nuestro caso sería 20 según el enunciado, con lo que la cantidad mínima demandada sería k /20). Sin embargo, el ingreso marginal (cero) seguiría siendo inferior al coste marginal (mayor que cero), porque esto no cambia la elasticidad-precio de la curva de demanda que estamos



21/08/2013

94/155

CAPÍTULO 14


12/21

manejando. Se trataría, pues, de una excepción a la regla general que debe cumplirse para que el beneficio sea máximo. Esto hace que una hipérbola equilátera, como tal curva de demanda, no es está bien definida en sí misma, si no se especifica un precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar por la primera unidad del bien, al poder ser esta última infinitamente pequeña si el bien es perfectamente divisible, y, por tanto, el precio que están dispuestos a pagar por ella los consumidores infinitamente grande. Por ello, al establecer un precio máximo dentro de la propia función de demanda que estamos manejando (hipérbola equilátera), que los consumidores están dispuestos a pagar, como es lo lógico, esto equivale a establecer una cantidad finita mínima que puedan demandar estos últimos: no tiene sentido que los consumidores, sobre todo si son muchos, aunque ni tan siquiera un sólo consumidor, demanden una diezmillonésima de gramo de azúcar, por ejemplo. En resumen, una hipérbola equilátera sólo está bie n definida como función de demanda, de un consumidor o de varios consumidores, cuando fijamos un precio máximo, finito, que estén dispuestos a pagar estos últimos, y, por tanto, exista una cantidad mínima, también finita, que estén dispuestos a demandar los consumidores del bien de que se trate, a una empresa particular o al conjunto de empresas que operan en el mercado. Y este nivel de producción mínimo maximizaría el beneficio de la empresa, siempre que no le interesara cerrar.

Ejercicio 14.6. Dada la función de ingresos marginales de una empresa: I ( x)



36  3 x2 .

Obtener la función de ingresos totales y la función de demanda

de la empresa. Puesto que sabemos que la función de ingresos marginales es la derivada de la función de los ingresos totales:

I ( x) 

I x dx

 36  3x

2

Podemos escribir: dI ( x)



I ( x)dx


I ( x)



dI ( x)



I ( x) dx

I ( x)

  36  3 x2  dx  36 x  x3  k


21/08/2013

95/155

CAPÍTULO 14


13/21

Es decir, la función del ingreso total es la integral indefinida de la función del ingreso marginal, esto es, la función primitiva de esta última función. La constante de integración k es obviamente igual a cero, porque cuando la cantidad demandada por los consumidores, y vendida por la empresa, es cero, el ingreso total de ésta es también cero (no puede obtener ingresos la empresa si no vende nada). Por lo que la función del ingreso total resultante sería: ( x)



36 x



x

3

Y la función de demanda de la empresa la podemos deducir de la propia definición del ingreso total, resultado de multiplicar el precio que están dispuestos a pagar los consumidores por la cantidad demandada por estos últimos: ( x)

px





36 x



x

3

De donde obtendríamos la función inversa de demanda de la empresa, que, por otra parte, sabemos que es la función de ingresos medios de esta última: I ( x) 

x



36 x 2 

Y a partir de aquí, despejando x en función de p, obtendríamos la función de demanda de la empresa:



(36



12

p)

Como puede verse, hemos recorrido el camino inverso al seguido en el ejer cicio 14.4.

Ejercicio 14.7. Dada la función de demanda de una empresa:



12

(36  p)

, y la

función de costes totales de esta última: C ( x)  x 2 10 x 100 . Determinar el nivel de producción y el precio de equilibrio de la empresa en el corto plazo. Determinar el beneficio máximo de la empresa. El nivel de producción de equilibrio de una empresa cualquiera en el corto plazo es aquél en el que esta última maximiza su beneficio. Con este motivo, la primera condición que debe



21/08/2013

96/155

CAPÍTULO 14


14/21

cumplirse es que, para ese nivel de producción, el ingreso marginal debe ser igual al coste marginal. La función del ingreso total e ingreso marginal ya la obtuvimos anteriormente, en el ejercicio 14.4, así que no vamos a repetir aquí el procedimiento es tándar utilizado en estos casos: ( x)



36 x



I ( x)

x



36  3 x2

Obtengamos ahora la función del coste marginal:

C ( x) 

dC ( x)

 2 x  10

dx

Igualemos ambas funciones para determinar el posible nivel de output maximizador del beneficio: 36  3 x

2



2 x  10

3 x

2

 2 x  26 

0

De donde obtenemos como solución de esta ecuación de segundo grado: xe=2,63. Comprobemos que se cumple la condición de segundo orden para la maximización del beneficio:

I ( xe )  6 xe  C ( xe )  2 .

Es evidente que se cumple esta condición porque la curva

de ingresos marginales es decreciente y la curva de costes marginales es creciente. Comprobemos ahora si se cumple o no la condición de cierre de la empresa. Para ello, en primer lugar debemos determinar el precio al que la empresa puede vender el nivel de producción xe=2,63. Sustituyendo en la función de demanda de la empresa tendremos:

e



2, 63



(36



12

pe )

2, 63



36



pe

e 

29,08

Obtengamos ahora el coste variable medio en el que incurre la empresa, correspondiente al nivel de producción xe=2,63:

Cv ( x)



x

2




10 x

*

Cv ( x) 

Cv x x



x  10

*

C v (2,63)




2,63 10  12,63

21/08/2013

97/155

CAPÍTULO 14


15/21

Puesto que se cumple que el precio al que puede vender la empresa es mayor que el coste variable medio en que incurre produciendo xe=2,63 unidades de producto, entonces a la em presa no le interesa cerrar sino lanzar al mercado este volumen de producción, que maximiza su beneficio. Se trata, pues, del nivel de producción de equilibrio de la empresa en el corto plazo. Calculemos ahora el beneficio de la empresa cuando produce y vende el nivel de output xe=2,63. Para ello tendremos que calcular los correspondientes ingresos totales que obtiene la empresa y los costes totales en los que incurre: ( x)

C ( x)  x

2





36 x



x

3

10 x 100

(2,63)  36  2,63  2,633

C (2,63)





76,49

2,632  10  2,63 100  133,22

Luego la empresa obtiene pérdidas (beneficios negativos): B( x)



I ( x)



C (x)

B(2,63)



I (2,63)



C (2,63)

76,49 133,22





56,73

 

Y aun así le interesa mantenerse operativa, pues sus pérdidas son inferiores a los costes fi jos de la empresa (100), que es el importe que esta última perdería si cerrara: B(0)



I (0)



C (0)



0 100 

100

 

Ejercicio 14.8. De acuerdo con los datos del ejercicio anterior, ¿el nivel de producción obtenido x =2,63 puede ser de equilibrio para la empresa en el largo plazo? Si no fuera así, ¿existe algún nivel de producción para el cual la empresa pueda alcanzar una situación de equilibrio en el largo plazo con los datos del enunciado? Si no fuera así, ¿qué puede hacer la empresa para mantenerse operativa en el largo plazo? El nivel de producción x=2,63 en el que los beneficios de la empresa son -56,73, es de equilibrio para la empresa en el corto plazo, pero no puede serlo de ningún modo en el largo plazo. Porque la condición que debe cumplirse para esto último es que la empresa no obtenga pérdidas (que obtenga beneficios no-negativos), pues, en caso contrario, le interesaría no permanecer en el mercado y desaparecer como empresa, sin incurrir en ningún coste fijo por ello.



21/08/2013

98/155

CAPÍTULO 14


16/21

Hemos visto que partiendo de la función de demanda de la empresa y de su función de costes totales, el nivel de producción x=2,63 maximiza su beneficio, y aun así la empresa obtiene pérdidas. Luego es imposible que la empresa pueda alcanzar una situación de equilibrio a largo plazo con los datos del enunciado. En otras palabras, con estos datos no existe ningún nivel de producción de equilibrio a largo plazo para la empresa que pueda alcanzar. Luego la empresa podría soportar pérdidas a corto plazo permaneciendo operativa, dado que perdería más si cerrara (el importe de los costes fijos). Pero estas pérdidas no son soportables en el largo plazo, pues, de seguir así, le interesaría desinstalarse y liquidar la empresa, saliendo así definitivamente del mercado. Luego si la empresa quiere continuar con su actividad, en el largo plazo deberá obtener beneficios no-negativos (cero o positivos), y para ello tendrá que: a) Adaptar su tamaño para reducir costes: desplazamiento hacia abajo de su función de costes totales (para todos o algunos niveles de producción los costes totales serían ahora menores). b) Y/o tratar de ampliar la demanda del producto encontrando nuevos o mejores clientes: desplazamiento hacia la derecha de la función de demanda de la empresa (para el mismo precio ahora la cantidad demandada es mayor por parte de los consumidores, porque su número ha aumentado o lo ha hecho su nivel de renta, o porque el producto se ha hecho más atractivo para ellos). De esta forma, la empresa podría aprovechar las economías de escala, reduciendo el coste medio de producción al aumentar la cantidad producida, siempre que pueda venderla en el mercado a un precio positivo, que sea rentable para la empresa, y, a la vez, atractivo para los consumidores. Porque ahora la cantidad demandada por estos últimos es mayor para cada precio, y, por tanto, ha aumentado la dimensión del mercado al que se enfrenta la empresa. En resumen, para que la empresa del enunciado pueda adaptarse y sobrevivir en el largo plazo, debe cambiar la función de costes y/o la función de demanda del enunciado, con objeto de que la empresa pueda encontrar un nivel de producción maximizador del beneficio que le reporte beneficios no-negativos. Si no fuera así, la empresa terminaría desinstalándose en el largo plazo, y, por tanto, desaparecería del mercado.



21/08/2013

99/155

CAPÍTULO 14


17/21

Ejercicio 14.9. Una empresa con la siguiente función de costes totales: C x tiene la siguiente función de demanda:



15



p



10x  1 ,

. Determinar los niveles de

producción y los precios correspondientes que permiten a la empresa obtener un beneficio igual a cero. Determinar el nivel de producción y el precio correspondiente que maximiza el beneficio de la empresa. Determinar este nivel de beneficio. Si el beneficio igual a cero, es que la cantidad producida por la empresa lleva asociado un coste medio de producción que es exactamente igual al precio que los consumidores están dispuestos a pagar por demandar aquélla, o, lo que es lo mismo, el precio al que la empresa puede vender a estos últimos la citada cantidad de producto. Obtengamos, por tanto, la función del coste medio de la empresa:

C * ( x)

C x 



x

10 

1 x

Obtengamos la curva inversa de demanda de la empresa:



15



x

Lógicamente, el beneficio de la empresa es cero cuando el beneficio unitario es también cero, es decir, cuando el coste medio de producción es igual al precio al que la empresa puede vender la cantidad de producto de que se trate. Y esto, como es obvio, tiene lugar cuando la curva de costes medios de la empresa coincide con la curva inversa de demanda de esta última. Por tanto, para que los beneficios sean cero, deberá cumplirse:



15  x  C * ( x)  10 

1 x

15  x

 10 

1 x

De donde se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado: 2



5 x  1  0

Cuyas soluciones son: x son: x1=4,79, x =4,79, x2=0,21.



21/08/2013

100/155

CAPÍTULO 14


18/21

Los precios correspondientes a los que la empresa puede vender sendas cantidades de producto los podemos determinar a partir de la función inversa de demanda:



15



15  4,79 ,79  10,21

1 

x

2



15 0,21 14,79 ,79 



También podíamos haber obtenido los niveles de output que hacen que el beneficio de la empresa sea igual a cero, igualando a cero la función de beneficios, como diferencia entre la función de ingresos totales y costes totales. Efectivamente, la función de ingresos totales de la empresa sería: I ( x)



px



15



x x



15x



x

2

Y, por tanto, la función de beneficios sería: B( x)



I ( x)  C( x)



15 x



2

x

 10 x 1 





5 x

2

x



1

Igualándola a cero, obtendríamos la misma ecuación que obtuvimos anteriormente, a partir de la cual pudimos determinar los niveles de output a los que corresponde un beneficio igual a cero: 2



5 x  1  0

Vamos ahora a determinar el nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa, empleando, como es lógico, el procedimiento desarrollado en el ejercic io 14.7. La condición de primer orden para que el beneficio sea máximo es que el ingreso marginal sea igual al coste marginal. Obtengamos primero la función del ingreso marginal a partir de la función del ingreso total que ya obtuvimos anteriormente:

I ( x)



I x dx



15  2 x

Obtengamos en segundo lugar la función de costes marginales de la empresa:



21/08/2013

101/155

CAPÍTULO 14


C ( x)

C x





dx

19/21

10

La condición de primer orden para la maximización del beneficio conlleva lógicamente la siguiente igualdad: 15



2 x



x M =2,5 =2,5

10

Y sustituyendo en la función inversa de demanda, obtendremos el precio correspondiente al que puede vender la empresa esta cantidad de producto:



15



x

M



15 2, 5 12, 5 



Por otra parte, se cumple la condición de segundo orden para la maximización del beneficio: I ( x M )  2  C ( xM )  0

No es necesario comprobar si se cumple o no la condición de cierre, cier re, pues hemos visto que la empresa es capaz de obtener un beneficio igual a cero para ciertos niveles de producción, por lo que el beneficio máximo no puede ser nunca negativo. Por este motivo, a la empresa no puede interesarle nunca cerrar, porque si lo hiciera, entonces obtendría unas pérdidas de 1, que es el importe de los costes fijos: B(0)



I (0)



C (0)



0 1 

1

 

Determinemos ahora este beneficio máximo de la empresa como la diferencia entre los ingresos totales y costes totales totale s asociados al nivel de producción que estamos considerando: I ( x)



15x



x

2

(2, 5) 5)  15  2, 5  2, 5

C ( x)  10x  1 B ( x )  I ( x )  C ( x )


5) B(2, 5)

C (2, 5) 5)





5) I (2, 5)



31, 25 25

10  2, 5 1  26



5) C (2, 5)



31, 25 25 26






5, 25 25

21/08/2013

102/155

CAPÍTULO 14


20/21

Para concluir, hemos visto que el beneficio de la empresa es cero cuando produce 0,21 unidades, alcanza un máximo cuando produce 2,5 unidades, y vuelve a ser cero cuando produce 4,79 unidades. Por tanto, todos los niveles de producción comprendidos entre 0,21 y 4,79 podrían ser de equilibrio a largo plazo para la empresa, pues con ellos esta última obtiene beneficios nonegativos. Lógicamente el nivel de producción de 2,5 unidades es de equilibrio a corto plazo, y puede ser de equilibrio largo plazo para la empresa, pues esta última no sólo maximiza su beneficio, sino que además éste es no-negativo.

NOTA: Para obtener el nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa no tenemos necesariamente que seguir el camino empleado hasta ahora de igualar el ingreso marginal al coste marginal. Podemos maximizar directamente la función de beneficios, obtenida esta última como diferencia entre la función de ingresos totales y costes totales. Efectivamente, la función de beneficios sería la siguiente: B( x)



I ( x)  C( x)



15 x



2

x

 10 x 1 





5 x

2

x



1

Como condición necesaria para que el beneficio sea máximo, la primera derivada de esta función debe ser igual a cero: B x 

dx

5 2 x 



0

De donde resulta x M =2,5, lo mismo que obtuvimos anteriormente. Naturalmente, se cumple la condición de segundo orden para la maximización del beneficio: 2

d B( x ) dx

2

2

 

Como puede verse, la función de beneficios es cóncava, porque su segunda derivada es negativa; por lo que efectivamente se trata de un máximo de esta función. Sustituyendo en la función de beneficios obtenemos el beneficio máximo:



21/08/2013

103/155

CAPÍTULO 14


B(2, 5)



2

5  2, 5  2, 5



21/21

1  5, 25

Lo mismo que obtuvimos anteriormente.



21/08/2013

104/155

CAPÍTULO 15.- COMPETENCIA PERFECTA: EQUILIBRIO EN EL CORTO PLAZO

Ejercicio 15.1. Determinar la función de demanda a la que se enfrenta cualquiera de las empresas que operan dentro de un mercado perfectamente competitivo, en el que la curva de oferta agregada de la industria es: demanda agregada es:



4.400



p.



400 

p,

y la curva de

Obtener la curva del ingreso medio y del

ingreso marginal de una cualquiera de las empresas de la industria. Lógicamente, el equilibrio del mercado tiene lugar cuando la oferta agregada es igual a la demanda agregada: 400  pe



4.400  pe

De donde se obtiene que el precio de equilibrio es pe=2.000 y la cantidad intercambiada es X e=2.400 (ofrecida por el conjunto de empresas de la industria y demandada por los consumidores). En consecuencia, la curva de demanda a la que se enfrenta cualquiera de las empresas que operan dentro de la industria, al ser todas ellas precio-aceptantes, no sería la curva de demanda del mercado de más arriba, sino, como sabemos, una línea recta horizontal cuya ordenada en el origen es el precio de equilibrio del mercado: p=2.000. Ésta sería la expresión funcional de la línea recta horizontal a la que nos estamos refiriendo, lo que puede interpretarse como que cualquiera que sea la cantidad producida por la em presa, puede venderla siempre al mismo precio (2.000). Dado que la cantidad máxima que puede producir una empresa es insignificante en relación con la oferta total de la industria. Por lo que al alterar la empresa la cantidad ofrecida, ello no afecta al precio de equilibrio del mercado, que es un dato para esta última. Una empresa competitiva aislada no se enfrenta ella sola a la curva de demanda del mercado. Es el conjunto de empresas competitivas el que abastece la demanda del mercado.



21/08/2013

105/155

CAPÍTULO 15

Competencia perfecta: equilibrio en el corto plazo

2/16

Lógicamente, como también sabemos, la curva del ingreso medio y del ingreso marginal de una empresa competitiva coincide con la curva de demanda a la que se enfrenta la empresa, que en este caso sería p=2.000.

Ejercicio 15.2. Una empresa que opera en un mercado perfectamente competitivo tiene la siguiente función de costes:

C ( x)



8x3  48x2  96x  200

.

Obtener su

curva de oferta. Obtener la elasticidad de la curva de oferta cuando el precio de mercado es 216. Nosotros sabemos que la curva de oferta de una empresa competitiva es su curva de costes marginales, en su tramo creciente, situado por encima de la correspondiente curva del coste variable medio. Obtengamos, pues, la curva de costes marginales y la curva del coste variable medio de la empresa en cuestión:

C( x) 

C x dx

2

 24 x  96 x  96

*

Cv ( x)



Cv ( x ) x



8 x3  48x 2  96 x x



8x 2  48x  96

Sabemos que el coste marginal coincide con el coste variable medio cuando éste último alcanza su valor mínimo, para el nivel de producción denominado Mínimo de Explotación. Por tanto, para obtener este último, bien podemos igualar ambas funciones de costes y obtener el nivel de output correspondiente, bien podemos obtener el mínimo de la curva del coste variable medio, igualando su primera derivada a cero. Empleemos este segundo método: *

dCv ( x) dx



16 x 48 0 



x=3

Efectivamente, se trata de un mínimo de la función del coste variable medio, porque su segunda derivada es positiva (la función es convexa): d Cv ( x) dx2


 16


21/08/2013

106/155

CAPÍTULO 15


3/16

Por otra parte, el lector puede comprobar que el coste variable medio y el coste marginal coinciden para este nivel de producción, que es el Mínimo de Explotación: C(3)



*

C v (3)



24

En consecuencia, la curva de oferta de la empresa competitiva que nos ocupa resultaría de la igualdad entre el precio y el coste marginal, cuando este último es creciente y mayor o igual que el coste variable medio; puesto que si fuera menor, se cumpliría la condición de cierre de la empresa. Por tanto, la curva de oferta de la empresa adoptaría la siguiente expresión formal: a)

2

 C ( x)  24 x  96 x  96

para

3

, y, por tanto,

 24

.

b) x=0 para p<24 (coincidiría con el eje de ordenadas). Naturalmente, la primera se trata de una curva de oferta creciente porque la curva de costes marginales es creciente, sin más que comprobar que su primera derivada es positiva para niveles de producción no inferiores a 3, y, por tanto, para precios de mercado no inferiores a 24: dp dx



dC ( x) dx



48 x  96

Esta derivada es positiva, y por tanto la función de oferta es creciente, para valores x>2. Obtengamos ahora la expresión funcional de la elasticidad de la curva de oferta:  

dx p dp x

En primer lugar, obtengamos la pendiente de la curva de oferta dx dp . Lo más fácil es retomar dp dx , obtenida más arriba, e invertir la fracción: x dp



1 48 x  96

Por lo que sustituyendo en la fórmula de la elasticidad, tendremos: F. Ibáñez - M. Matilla - R. Osuna


21/08/2013

107/155

CAPÍTULO 15


 

1

24 x



48 x  96

96 x  96 x



24 x



4/16

96 x  96

(48 x  96) x

Puesto que cuando p=216, la cantidad ofrecida por la empresa es x=5, resultante de resolver la siguiente ecuación de segundo grado: 

216  24 x

2

 96 x  96

24 x

2

 96 x 120  0

Entonces, sustituyendo en la expresión de la elasticidad, resultará:





0,30 .

Ejercicio 15.3. Una empresa opera en un mercado de perfectamente competitivo, con la siguiente curva de costes marginales:

2

C( x)  6 x  24 x  40

, donde x es la

cantidad producida. Determinar el precio de mercado y la cantidad ofrecida por la empresa para los cuales a esta última le resulta indiferente producir ese nivel de output o cerrar. Como resulta evidente, se nos está pidiendo que obtengamos el Mínimo de Explotación de la empresa, y el coste variable medio mínimo correspondiente, que sería el precio al que la empresa le es indiferente producir ese output mínimo o cerrar. En consecuencia, lo primero que tenemos que obtener es la curva del coste variable como la función primitiva de la función del coste marginal: C( x) 

Cv ( x)



dCv ( x)



dC ( x) dx 

dCv ( x) dx

(6 x 2  24 x  40) dx  2 x 3 12 x 2  40 x  k

donde k =0 es una constante de integración, puesto que el coste variable es cero cuando la cantidad producida es cero. Por tanto, la función del coste variable medio sería: * v

C ( x) 


Cv ( x) x



2 x3 12 x 2  40 x x



2x

2

 12 x  40


21/08/2013

108/155

CAPÍTULO 15


5/16

Luego para obtener el Mínimo de Explotación de esta empresa, podemos igualar las funciones del coste variable medio y del coste marginal, o bien, podemos minimizar la función del coste variable medio, calculando su primera derivada e igualándola a cero. Procedamos de este segundo modo: *

dCv ( x) dx

4 x 12







0

x=3

Efectivamente, se trata de un mínimo de la función del coste variable medio, porque su segunda derivada es positiva (la función es convexa): 2

*

d Cv ( x) dx

2



4

Por otra parte, el lector puede comprobar que el coste variable medio y el coste marginal coinciden para este nivel de producción, que es el Mínimo de Explotación: C(3)



C v (3)



22

Luego p=22 es el precio al que la empresa le resulta indiferente producir x=3 o cerrar.

Ejercicio 15.4. Consideremos una empresa perfectamente competitiva con la siguiente función de costes totales, donde C ( x)



9x

2



108 x  324 .

es la cantidad producida:

x

Determinar el precio de mercado y la cantidad ofrecida

por la empresa para los cuales esta última obtiene un beneficio igual a cero. Como resulta evidente, se nos está pidiendo que obtengamos el Óptimo de Explotación de la empresa, y el coste medio mínimo correspondiente, que sería el precio al que la empresa obtendría un beneficio igual a cero. Obtengamos en primer lugar la función del coste medio: C* ( x) 

C x x



9 x  108 

324 x

En segundo lugar, la función del coste marginal:



21/08/2013

109/155

CAPÍTULO 15


C ( x) 

C x

6/16

 18x  108

dx

Lógicamente, el Óptimo de Explotación se alcanza cuando el coste medio es mínimo, y éste coincide, como sabemos, con el coste marginal. Por tanto, para obtener el óptimo de explotación, bien podemos igualar ambas funciones de costes, o bien podemos minimizar la función del coste medio, calculando su primera derivada e igualándola a cero: dC

*

( x)

dx



9

324 

x

2



0

De donde resulta x=6. Se trata efectivamente de un mínimo de la función del coste medio, porque al obtener la segunda derivada: d 2 C * ( x) dx2



648 x3

0

resulta que es positiva, luego la función del coste medio es una curva convexa. Por otra parte, el lector puede comprobar que el coste medio y el coste marginal coinciden para este nivel de producción: *

C(6)  C

(6)  216

Luego p=216 es el precio con el que la empresa obtendría un beneficio igual a cero ofreciendo la cantidad x=6.

Ejercicio 15.5. En un mercado competitivo operan siguiente curva de costes marginales

C( x)  a  bx

empresas iguales, con la

n

correspondiente

a

una

cualquiera de estas empresas (donde a y b son parámetros positivos). Obtener la curva de oferta de la industria. Como puede verse la curva de costes marginales es una línea recta creciente, de pendiente b y ordenada en el origen a.



21/08/2013

110/155

CAPÍTULO 15


7/16

Lógicamente, la curva del coste variable sería la primitiva de la función anterior: Cv ( x)

  C( x)dx    a  bx  dx  ax 

b

x

2

2

puesto que la constante de integración es cero. La función del coste variable medio sería: *

Cv ( x)



Cv ( x)



x

a

b

x

2

En este caso, el coste variable medio mínimo tiene lugar cuando x=0, que sería el Mínimo de Explotación, y coincidiría con el coste marginal que es a. Obtengamos la curva de oferta a corto plazo de una empresa cualquiera. Para ello partimos de la igualdad entre precio de mercado y el coste marginal:  C( x)  a  bx

A partir de aquí, despejando x, obtenemos la curva de oferta: 

a



b

1 b

p

Lo cual implica que cuando p=a la cantidad ofrecida es cero, que es el Mínimo de Explotación de esta empresa. Y sigue siendo cero la cantidad ofrecida para precios inferiores a a. ¿Cuál sería la curva de oferta de la industria? Supongamos que X sea la cantidad ofrecida por las n empresas, todas iguales, es decir, con la misma curva de costes marginales. Por definición, tendremos: n

  xi i 1

i



a b



1 b

p

donde xi es la cantidad ofrecida por la empresa i-ésima.



21/08/2013

111/155

CAPÍTULO 15


8/16

Por tanto, la curva de oferta de la industria sería:

 

an b



n b

p

Es fácil observar que la pendiente dp/dX de esta curva de oferta: X dp



n

p

b

dX



n

tiende a cero a medida que aumenta el número de empresas. Por lo que la curva de oferta de la industria tiende a ser completamente horizontal, es decir, perfectamente elástica (al representar el precio en el eje de ordenadas), a medida que aumenta el número de empresas que integran la industria, a pesar de que la curva de oferta de cada una ellas sea una curva creciente. Esto tiene sentido. Pues un determinado aumento del precio de mercado da lugar a un incremento tanto mayor en la cantidad ofrecida por el conjunto de empresas establecidas en la industria, cuando permitimos que aumente el número de empresas mediante la instalación de otras nuevas. Porque si el número de empresas está dado, como sucede en el análisis de corto plazo, el incremento de la cantidad producida será menor (por las limitaciones impuestas por la capacidad productiva instalada) que si nuevas empresas se instalan en la industria, contri buyendo a aumentar la cantidad ofrecida en el mercado, debido a un incremento de la capacidad productiva instalada en la industria, que sólo puede tener lugar dentro de un análisis de largo plazo. Por este motivo, la curva de oferta de la industria es más elástica en el largo plazo que en el corto plazo, pues en el primer caso puede haber instalación de nuevas empresas que aumenten la cantidad ofrecida en mayor medida ante un aumento del precio del bien; pero en el segundo caso el número de empresas está dado, y, por tanto, el incremento de la cantidad ofrecida en las mismas circunstancias tendría lugar en una proporción menor.



21/08/2013

112/155

CAPÍTULO 15


9/16

Ejercicio 15.6. En un mercado perfectamente competitivo, en el que la curva de oferta agregada de la industria es: es:



800



p , operan, entre otras,

costes totales: C3 ( x3 )



C1 ( x1 )





608 

p , y la

tres empresas con las siguientes curvas de

4 x12  64 x1  64 ,

16 x32  32 x3 144 .

curva de demanda agregada

C2 ( x2 )  x2

2



36 x2



y

324

Determinar en el equilibrio del mercado, el beneficio

que obtiene cada una de las empresas y la cantidad producida por cada una de ellas. Lógicamente, el equilibrio del mercado tiene lugar cuando la oferta agregada es igual a la demanda agregada: 608  p



800  p

De donde se obtiene que el precio de equilibrio es p=96 y la cantidad intercambiada es X =704, ofrecida por el conjunto de empresas que operan en la industria y demandada por el conjunto de consumidores. Para determinar la cantidad ofrecida por cada una de las empresas del enunciado, en primer lugar debemos obtener las correspondientes curvas de oferta, es decir, sus respectivas curvas de costes marginales: C1 ( x1 )  8x1  64

C2 ( x2 )  2 x2  36

C3 ( x3 )  32 x3  32

Por tanto, para el precio de equilibrio del mercado, la cantidad ofrecida en principio por cada una de las empresas, que maximiza su beneficio respectivo, se obtiene de la igualdad entre ese precio de equilibrio del mercado y el coste marginal correspondiente:  96  C1 ( x1 )  8x1  64

 96  C2 ( x2 )  2 x2  36

 96  C3 ( x3 )  32 x3  32


x1=4 x2=30 x3=2


21/08/2013

113/155

CAPÍTULO 15


10/16

Esto es debido a que las empresas en competencia perfecta son precio-aceptantes, es decir, toman como dado el precio de equilibrio del mercado, de modo de cada una de ellas no tiene ninguna influencia sobre él al variar por su cuenta la cantidad ofrecida. Calculemos el beneficio obtenido por cada una de las empresas: 4

B1

B2 30





I1

I2 30

4



 C

1

4

C 2 30





B3 (2)  I 3 (2)  C 3 (2)



96  4  384  0

96  30  2.304  576

96  2  272  80

En resumen, todas las empresas venden las respectivas cantidades producidas al mismo precio de mercado (96), obteniendo los correspondientes ingresos. La primera obtiene beneficios cero, la segunda beneficios positivos, y la tercera, pérdidas al producir un nivel de output de 2. Lógicamente, sólo en este último caso es pertinente contemplar la posibilidad de que esta última empresa cierre. Con este objeto, lo que tenemos que hacer es calcular las pérdidas que tendría la tercera empresa si cerrara. Serían 144, el importe de los costes fijos: B3

0



I3

0

 C

3

0



96  0 144  144

Luego a la tercera empresa le interesa producir un output de 2 en lugar de cerrar, pues las pérdidas en el primer caso son menores que en el segundo. No obstante, como ejercicio, el lector puede comprobar que el Mínimo de Explotación de cada una de las empresas se corresponde con x=0, al ser las respectivas curvas de costes variables medios y costes marginales crecientes, con un mínimo, por tanto, para este nivel de output. Y como además sabemos que para ese nivel de producción el coste marginal y el coste variable medio coinciden. Calculando el coste marginal correspondiente a x=0 para cada una de



21/08/2013

114/155

CAPÍTULO 15


11/16

las empresas, podemos determinar el precio correspondiente a partir del cual cada una de ellas puede ofrecer un nivel de producción positivo: 

C1 (0)  C v1 (0)  64 *



C2 (0)  C v 2 (0)  36 *



C3 (0)  C v3 (0)  32 *

Como el precio de equilibrio del mercado es 96, lógicamente a las tres empresas les interesa ofrecer un nivel de producción positivo, es decir, a ninguna empresa le interesa cerrar; porque el precio de mercado al que pueden vender es mayor que el respectivo coste variable medio en el que incurren. Puede observarse también, que el coste marginal en el que incurre cada una de las empresas al producir el correspondiente nivel de output maximizador del beneficio es el mismo, pues coincide con el precio de equilibrio del mercado. Pero la cantidad producida por cada una de ellas es diferente, porque las tres empresas no son iguales, dado que tienen diferentes curvas de costes marginales. Efectivamente, tomemos la tercera empresa. Con un nivel de producción de 2 incurre en unos costes marginales iguales a 96, que coinciden con el precio de equilibrio del mercado. Pero la primera empresa, con el mismo nivel de producción, incurre en unos costes marginales iguales a 80. Luego no se encuentra en equilibrio. Debe incrementar su nivel de producción hasta 4 para alcanzar un coste marginal exactamente igual a 96, y que coincida, pues, con el precio de equilibrio del mercado. Y lo mismo podría argumentarse con la segunda empresa, cuyo nivel de producción de equilibrio es 30. Con lo que las dos primeras empresas, con menores costes marginales para el nivel de producción x=2, producen más en el equilibrio del mercado que la tercera empresa. Por el mismo razonamiento, la segunda empresa, con menores costes marginales para x=4 que la primera empresa, produce más en el equilibrio del mercado que esta última. En otras palabras, las empresas más eficientes producen un nivel de output mayor que las empresas menos eficientes en el equilibrio de un mercado perfectamente competitivo, a pesar de que incurran en los mismos costes marginales en el punto de equilibrio.



21/08/2013

115/155

CAPÍTULO 15


12/16

Ejercicio 15.7. En un mercado de competencia perfecta, donde operan 800 empresas, todas iguales, con la siguiente curva de costes totales por parte de una cualquiera de ellas: industria es:

C ( x)

 400  300 p .



4x2  2x  8 .

La curva de demanda agregada de la

Determinar el precio de equilibrio del mercado, la

cantidad ofrecida por cada una de las empresas y el beneficio total de la industria. Para obtener el precio de equilibrio del mercado debemos determinar la curva de oferta agregada de la industria, por lo que en primer lugar debemos obtener la curva de oferta de una cualquiera de las empresas, que es en principio su curva de costes marginales:  C ( x) 

dC ( x) dx

 8x  2

Despejando, la curva de oferta de la empresa i-ésima sería:

i



1 4



1 8

p

Puede comprobarse que el coste variable medio alcanza su mínimo para x=0 y coincide con el coste marginal, que es 2. Por tanto, p=2 es el precio al que a la empresa le es indiferente ofrecer una cantidad positiva o cerrar. Pero cuando p=2, la cantidad ofrecida por la empresa es también cero. Por lo que a precios inferiores, la cantidad ofrecida por esta última seguiría siendo cero. Con lo que la curva de oferta agregada de la industria, al ser todas las empresas iguales, adoptaría la siguiente forma:



  ∑  800(− 14 + 18 )  −200 +100 =



2

Veamos ahora el precio de equilibrio del mercado, resultante de la igualdad entre oferta y demanda agregada en la industria: 200  100 p  400  300 p


pe=1,5


21/08/2013

116/155

CAPÍTULO 15


13/16

Luego a este precio, a todas las empresas les interesa cerrar, con lo que el nivel de output en la industria en su conjunto sería cero. ¿Cuál sería el beneficio de la empresa i-ésima? Lógicamente, si permanece cerrada obtendría una pérdida equivalente al importe de sus costes fijos, que son 8: Bi

0

Ii



0



C i

0



0 8 

Por lo que las pérdidas totales de la industria serían:

8

 

8  800  6.400 .

Ejercicio 15.8. En un mercado de competencia perfecta, con la siguiente función de demanda agregada:



2.250



625 p

, operan dos grupos de empresas. Hay

3.000 con la siguiente función de costes totales por parte de una cualquiera de ellas:

C1 ( x1 )



4 x12  2 x1  8 ,

y 2.000 con la siguiente:

C2 ( x2 )



8x2 2  4 x2 16 .

Determinar el precio de equilibrio del mercado y los beneficios de cada grupo de empresas. Para obtener el precio de equilibrio del mercado debemos determinar la curva de oferta agregada de la industria, por lo que en primer lugar debemos obtener la curva de oferta de una cualquiera de las empresas de cada grupo, que es en principio su curva de costes marginales:  C1 ( x1 ) 

 C2 ( x2 ) 

C x1 dx1 dC ( x2 ) dx2

 8x1  2

 16 x2  4

Despejando, la curva de oferta de una empresa cualquiera de cada grupo sería respectivamente:

1  

1 4



1 8

p

1 2

 

4

1 

16

p

Puede comprobarse que el coste variable medio alcanza su mínimo cuando el nivel de producción es cero en ambos casos, y coincide con el coste marginal correspondiente, que es respectivamente 2 y 4. Por tanto, p=2 y p=4 son, respectivamente, el precio mínimo al que a



21/08/2013

117/155

CAPÍTULO 15


14/16

la empresa de cada grupo le es indiferente ofrecer una cantidad positiva o cerrar. Pero cuando p=2 o p=4, respectivamente, la cantidad ofrecida por la empresa de cada grupo es también cero. Por lo que a precios inferiores la cantidad ofrecida seguiría siendo cero en ambos casos. Con lo que la curva de oferta agregada para el primer grupo de empresas, adoptaría la siguiente forma: 1

1

1

 3.000 x  3.000    p   750  375 p  4 8  1

2

Y para el segundo grupo de empresas sería la siguiente: 1

2

1

 2.000 x  2.000    p   500  125 p  4 16  1

4

En consecuencia, para que ambos grupos de empresas ofrezcan una cantidad positiva en el mercado, el precio de equilibrio no puede ser nunca igual o menor que 4. Si fuera así, sólo ofrecería una cantidad positiva el primer grupo de empresas, y, por tanto, la curva de oferta agregada de la industria coincidiría con la de este grupo, siempre que el precio de equilibrio del mercado no fuera igual o menor que 2. Pues en ese caso, ni siquiera el primer grupo de empresas ofrecería una cantidad positiva. Por todo ello, la curva de oferta agregada de la industria en su conjunto quedaría bien definida del siguiente modo: a) X =0 cuando b)



X1

0  p  2 .

750  375 p cuando



4  p  2

. Sólo ofrece el primer grupo de empre-

sas, el segundo grupo de empresas cierra. c)



X1  X 2

 750  375

p  500 125 p  1.250  500 p cuando



4.

Ambos

grupos de empresas ofrecen, aunque el segundo sólo ofrece una cantidad positiva cuando el precio de mercado es mayor que 4. Luego, dada la curva de demanda del mercado, es decir, referida a toda la industria, vamos a probar con la tercera curva de oferta a ver qué precio de equilibrio resulta:



21/08/2013

118/155

CAPÍTULO 15


1.250  500 p 

2.250  625 p

15/16

p=3,11

Con este precio el segundo grupo de empresas no ofrecería nada (todas las empresas de este grupo cerrarían); por tanto, este precio de equilibrio resulta inconsistente con la curva de oferta manejada. El verdadero precio de equilibrio del mercado sólo podrá obtenerse con la curva de oferta de la industria referida al primer grupo de empresas: 750  375 p 

2.250  625 p

pe=3

Éste será, pues, el precio de equilibrio del mercado, que es consistente con las curvas de oferta y demanda manejadas. Y la cantidad total demandada por los consumidores será: X e=375, ofrecida en su totalidad por el primer grupo de empresas. Por lo que la cantidad ofrecida por una cualquiera de ellas sería: 375 1e





3.000

0,13

Resultado que nosotros también podíamos haber obtenido a partir de la curva de oferta de una empresa del primer grupo (la correspondiente curva de costes marginales), introduciendo el precio de equilibrio del mercado:  3  C1 ( x1 )  8x1  2

1e

0,13



Determinemos ahora el beneficio de una de las empresas de este grupo: B1 (0,13)



I1 (0,13)  C 1 (0,13)



0,13 3  4  0,13 2  2 0,13 8



0, 39 8, 33

7, 94



Luego la pérdida total soportada por el primer grupo de empresas sería: 3.000  7, 94  23.820



21/08/2013

119/155

CAPÍTULO 15


16/16

Como las empresas del segundo grupo cerrarían, sus pérdidas equivaldrían al importe de los costes fijos correspondientes. Las pérdidas de una cualquiera de las empresas del segundo grupo serían: B2 (0)



I 2 (0)



C 2 (0)



0 16 

16

 

Y las pérdidas del conjunto de empresas de este segundo grupo serían: 2.000 16

 32.000

Por lo que las pérdidas totales en la industria resultan ser: 23.820  32.000  55.820



21/08/2013

120/155

CAPÍTULO 16.- COMPETENCIA PERFECTA: EQUILIBRIO EN EL LARGO PLAZO

Ejercicio 16.1. Una empresa que opera en un mercado perfectamente competitivo, que se encuentra en una situación de equilibrio en el largo plazo, tiene la siguiente función de costes:

C ( x)



2 x2  4 x  200

.

Determinar el precio de

equilibrio en el largo plazo y la cantidad producida por la empresa. Si la curva de demanda de la industria o mercado es:



10.440 10 p 

. Determinar la

cantidad ofrecida por el conjunto de empresas de la industria y demandada por los consumidores, así como el número de empresas que tienen cabida en la industria en el equilibrio del largo plazo. Nosotros sabemos que si un mercado competitivo se encuentra en equilibrio en el largo plazo, todas las empresas que operan en la industria adoptan como tamaño de la planta el tamaño óptimo de la empresa, que lleva asociado la correspondiente curva de costes a corto plazo. Y todas las empresas de la industria lanzan al mercado el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa o escala mínima eficiente. Además, este nivel de producción es el óptimo de explotación del tamaño óptimo de la empresa, es decir, el coste medio de producción a corto plazo alcanza su mínimo; y lo mismo sucede con el coste medio de producción de largo plazo para este nivel de producción, pues la dimensión óptima de la empresa es a su vez el volumen de producción típico correspondiente al tamaño óptimo de la empresa. Dado esto, la curva de costes totales del enunciado está referida al corto plazo, pues aparecen costes fijos, por lo que se trata de la curva de costes asociada al tamaño óptimo de la em presa, al encontrarse todas las empresas de la industria en situación de equilibrio en el largo plazo, de acuerdo con el enunciado. En tal caso, debemos determinar en primer lugar la dimensión óptima de la empresa, que se correspondería con el mínimo de la curva de costes medios a corto plazo del enunciado, pues se trata del óptimo de explotación asociado al tamaño óptimo de la empresa.



21/08/2013

121/155

CAPÍTULO 16

Competencia perfecta: equilibrio en el largo plazo

2/7

La función de costes medios a corto plazo sería pues:

C

*

( x) 

C ( x) x

2 x 2  4 x  200



x



2x  4 

200 x

El mínimo de esta función tiene lugar cuando su primera derivada es igual a cero: dC

*

( x) 

dx

2

200 

x

2



0

x DO=10

Obtengamos la segunda derivada: 2

d C

*

dx

( x)

2



400 x

3



0

que nos indica que la función del coste medio es convexa, por lo que se trata efectivamente de un mínimo de tal función. En consecuencia x DO=10 es la dimensión óptima de la empresa dentro de este mercado perfectamente competitivo en situación de equilibrio en el largo plazo. Y, por tanto, es el nivel de output que esta empresa, y todas y cada una de las empresas que forman parte de la industria, lanza al mercado en el largo plazo. Por otra parte, el precio de equilibrio en el largo plazo en la industria coincidiría con el coste medio asociado a este nivel de producción, que es el coste medio mínimo a corto y largo plazo, puesto que todas las empresas de la industria obtienen un beneficio de cero en el equilibrio del mercado en el largo plazo:

e 

*

C (10)  2  10  4 

200 10



44

Ahora, si tomamos la curva de demanda del mercado, podemos determinar, dado el precio de equilibrio a largo plazo, la cantidad total demandada por los consumidores del producto de que se trate, y ofrecida por el conjunto de empresas que forman parte de la industria competitiva; cada una de ellas, a su vez, lanzando al mercado el nivel de output denominado dimensión óptima de la empresa (o escala mínima eficiente) obtenido anteriormente.



21/08/2013

122/155

CAPÍTULO 16


3/7

La cantidad total demandada por los consumidores será: (44)  10.440  10 44

X e=10.000

Por lo que si la dimensión óptima de la empresa es x DO=10, el número de empresas que tienen cabida en la industria en el largo plazo será de: X e

10.000 

x DO



10

1.000 empresas, todas ellas iguales.

Ejercicio 16.2. La función de costes a largo plazo a la que tiene acceso cada una de las empresas que forman parte de una industria en competencia perfecta es: C L ( x)



x

3



10 x 2  40 x .

Y la curva de demanda del mercado es:



26.000



400 p

.

Se pide determinar el número de empresas que forman parte de la industria en una situación de equilibrio en el largo plazo. Se trata de un ejercicio semejante al anterior, con la diferencia de que en el enunciado se nos da la curva de costes a largo plazo de las empresas de la industria y no la curva de costes a corto plazo de una de ellas asociada al tamaño óptimo de la empresa. Pero como la correspondiente curva de costes medios a corto plazo alcanza su mínimo para el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa, y lo mismo sucede con la curva de costes medios a largo plazo, ahora en este ejercicio habrá que obtener el mínimo de esta última curva de costes medios. La función de costes medios a largo plazo sería:

*

C L ( x)



C L ( x) x

x 

3



10 x 2  40 x x



x

2



10 x  40

Calculando su primera derivada e igualándola a cero obtenemos la dimensión óptima de la empresa: *

dC L ( x) dx



2 x 10 



0

x DO=5

Es fácil comprobar que la función del coste medio a largo plazo es convexa. Se deja esto en manos del lector.



21/08/2013

123/155

CAPÍTULO 16


4/7

Por otra parte, sabemos que el precio de equilibrio a largo plazo en la industria se corres pondería con el coste medio mínimo a largo plazo, pues todas las empresas tendrían entonces un beneficio igual a cero:

e 

C L* (5)  52 10  5  40 15

Ahora, dada la curva de demanda del mercado, determinamos la cantidad total demandada por los consumidores a este precio de equilibrio de largo plazo, que es ofrecida por el conjunto de empresas de la industria: 15



26.000  40015

X e=20.000

Por lo que si la dimensión óptima de la empresa es x DO=5, el número de empresas que tienen cabida en la industria en el largo plazo será de: X e x DO



20.000 5




Ejercicio 16.3. Consideremos una industria competitiva donde todas las empresas tiene acceso a la siguiente familia de curvas de costes a corto plazo: CC ( x)



a

 x

3



8x

2

a



20 x 

2

, donde x representa el nivel de output, y a es un

parámetro positivo relacionado con el tamaño de la planta. Obtener la curva de costes medios a largo plazo a la que tienen acceso todas las empresas de la industria. Si la curva de demanda del mercado es:



100.000 100 p 

, y éste se

encuentra en situación de equilibrio en el largo plazo, obtener la curva de costes medios a corto plazo de una cualquiera de estas empresas, y el número de empresas que tienen cabida en la industria en el equilibrio del largo plazo. Tenemos una familia de curvas de costes a corto plazo, asociadas cada una de ellas a un determinado tamaño de la planta representado por el correspondiente valor del parámetro a. Nosotros ya sabemos obtener la curva de costes a largo plazo, a la que tienen acceso todas las empresas de la industria, como la envolvente de esta familia de curvas de costes a corto plazo.



21/08/2013

124/155

CAPÍTULO 16


5/7

Para ello debemos minimizar la función de costes del enunciado con respecto al parámetro a, tomando como dado el nivel de producción, igualando la primera derivada a cero:

CC ( x) a

 1

 x

3

2

 8 x  20 x a



2

0

De donde resulta la expresión que relaciona el tamaño óptimo de la planta con el nivel de producción que queremos obtener: obtener: 3

a ( x)  x



8x2  20x

Introduciendo ahora esta expresión en la función de costes del enunciado, resulta la función de costes a largo plazo que buscamos:

C L ( x)



x

3



8x 2



20 x 

 x

3

x

3



8x



2

8x



2

20 x 



20 x



2( x3 8 x 2



20 x)

dado que, como puede observarse, han desaparecido los costes fijos. Esta función de costes a largo plazo nos indica, como sabemos, el coste mínimo de producción del nivel de output de que se trate, pues para obtenerlo estamos utilizando el corres pondiente tamaño óptimo de la planta (el valor óptimo óptimo del parámetro a). Con lo que la función del coste medio a largo plazo que se nos pide sería:

*

C L ( x)



C L ( x) x



2( x

3



8x

2



20 x)

x



2( x 2  8x  20)

Obtengamos ahora el nivel de producción denominado la dimensión óptima de la empresa, que se corresponde con el mínimo de esta curva de costes medios a largo plazo. Calculemos entonces su primera derivada e igualémosla a cero: *

dC L ( x) dx



2(2 x 8) 



0

x DO=4

Se trata efectivamente de un mínimo de esta función porque su segunda derivada (4) es positiva (la función del coste medio a largo plazo es convexa).



21/08/2013

125/155

CAPÍTULO 16


6/7

Puesto que hemos determinado el nivel de producción que va a lanzar al mercado cualquiera de las empresas que operan dentro de esta industria competitiva en situación de equili brio en el largo plazo, podemos determinar el tamaño t amaño óptimo de la empresa, es decir, el valor correspondiente del parámetro a: 3

(4)  4

a



2

8 4



20  4 16 16

Introduciendo este valor en la familia de curvas de costes del enunciado, obtenemos la función de costes a corto plazo de cualquiera de las empresas que operan en la industria, pues en ella aparecen los costes fijos asociados al tamaño óptimo de la empresa, que es el que adoptan todas ellas:

TOE

CC ( x)  16 

 x

3



8x

2



20x 

2

16

Con lo que la función de costes medios a corto plazo de una cualquiera de las empresas de la industria que se nos pide sería:

TOE

*TOE

CC

( x) 

CC

x

( x)



16 x



x



3



8x 2



20 x 

2

16x

Ahora se nos pide el número de empresas que operan en la industria en una situación de equilibrio de largo plazo. Sabemos que todas ellas lanzan al mercado el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa. Pero necesitamos saber la dimensión del mercado, es decir, la cantidad demandada por los consumidores y producida y ofrecida por el conjunto de empresas. Para ello debemos determinar el precio de equilibrio del mercado en el largo plazo y echar mano a continuación de la curva de demanda agregada del mercado o de la industria del enunciado. El precio de equilibrio de largo plazo no es más que el coste medio mínimo a largo plazo que, a su vez, coincide con el coste medio mínimo a corto plazo asociado al tamaño óptimo de la empresa, pues los beneficios de todas y cada una de las empresas son cero.



21/08/2013

126/155

CAPÍTULO 16


7/7

Por otra parte, ambos costes medios mínimos tienen lugar, como sabemos, cuando la em presa lanza al mercado el nivel de producción denominado dimensión dimensión óptima de la empresa (o escala mínima eficiente):

e 

C L* (4)  2(42  8  4  20)  8

El lector puede comprobar que el coste medio a corto plazo asociado al tamaño óptimo de la empresa es también 8 para el mismo nivel de producción. El que este coste medio alcance su mínimo es más difícil de comprobar, pues habría que calcular la primera derivada de la función e igualarla a cero, y esto es complicado. Así que mejor es creerse lo que dice la teoría. Luego la cantidad total demandada por los consumidores a las empresas de la industria, y producida y ofrecida por estas últimas, será: (8)  100.00 .000  100 8

X e=99.200

Por lo que si la dimensión óptima de la empresa es x es x DO=4, el número de empresas que tienen cabida en la industria en el largo lar go plazo será de: X e x DO



99.200 4




NOTA: Como habrá observado el lector, en todos los ejercicios de este capítulo se nos pide lo mismo: determinar la dimensión óptima de la empresa, el precio de equilibrio de largo plazo, y el número de empresas que operan en la industria. Lo único que cambia es el enunciado y, por tanto, el tipo ti po de curvas de costes que se nos proponen. Una veces es la curva de costes a largo plazo a la que tienen acceso todas las empresas de la industria; otras veces es la curva de costes a corto plazo asociada al tamaño óptimo de la empresa, que es el que adoptan todas las empresas en el equilibrio del largo plazo; y otras veces es la familia de curvas de costes a corto plazo asociadas al tamaño de la planta correspondiente a la que tienen acceso todas las em presas de la industria.



21/08/2013

127/155

CAPÍTULO 17.- EL MONOPOLIO DE OFERTA

Ejercicio 17.1. Una empresa monopolista abastece el mercado de un producto cuya curva de demanda es:



87 12



p 12

. Además, emplea un tamaño de planta tal que

la curva de costes variables es:

Cv ( x)



x

3



12 x

2



60 x .


equilibrio y la cantidad producida e intercambiada en el mercado, así como el importe de los costes fijos que hace que el beneficio obtenido por la empresa sea positivo. Calcular la elasticidad de la curva de demanda del mercado en el punto de equilibrio. Una empresa monopolista, que maximiza su beneficio en el corto plazo, lanza al mercado un nivel de producción de equilibrio tal que el ingreso marginal es igual al coste marginal. Por tanto, debemos obtener primero la curva de ingresos marginales de la empresa y a continuación la curva de costes marginales. En primer lugar, obtengamos la función del ingreso total de la empresa a partir de la curva inversa de demanda del mercado, con objeto de que la variable independiente sea el nivel de producción y no el precio de mercado:



I ( x)



87

px





12 x

87 x 12 x 2 

De donde la función del ingreso marginal resultante es:

I ( x)



dI ( x) dx



87  24 x

Obtengamos ahora la función del coste marginal:

C ( x) 


dCv ( x) dx

2

 3x  24 x  60


21/08/2013

128/155

CAPÍTULO 17

El monopolio de oferta

2/28

El equilibrio del monopolio de oferta tiene lugar cuando el ingreso marginal es igual al coste marginal: 87  24 x



3x

2



xe=3

24x  60

Para este nivel de producción se cumple la condición de primer orden para la maximización del beneficio por parte de la empresa monopolista. Veamos si se cumple la condición de segundo orden:

I ( xe ) 

dI ( x) dx

 24  6 xe  24 

dC ( x) dx

 C ( xe )

Efectivamente se cumple, porque la pendiente de la curva del coste marginal para el nivel de producción xe=3 es -6 (el coste marginal es decreciente). Nótese que la maximización del beneficio por parte de esta empresa tiene lugar para un nivel de producción en el que el coste marginal es

decreciente. Esto es posible en el monopo-

lio de oferta y no en competencia perfecta, porque en el primer caso la curva del ingreso marginal es decreciente, pero a mayor ritmo, que la del coste marginal. En cambio, en competencia perfecta el ingreso marginal es constante siempre, lo que obliga a que el coste marginal sea creciente para el nivel de producción en el que la empresa maximiza su beneficio. Veamos ahora otra curiosidad. Obtengamos el nivel de producción denominado Mínimo

de Explotación (término más apropiado para la competencia perfecta, por lo que veremos a continuación), es decir, aquel nivel de output para el cual el coste variable medio alcanza su mínimo. Obtengamos primero la curva del coste variable medio:

*

Cv ( x)



Cv ( x) x



x

2



12 x  60

El nivel de producción que minimiza la función del coste variable medio se obtiene de igualar la primera derivada de esta función a cero: *

dCv ( x) dx


 2 x  12  0

x ME =6


21/08/2013

129/155

CAPÍTULO 17


3/28

La segunda derivada es positiva, lo que indica que se trata efectivamente de un mínimo, porque la curva del coste variable medio es convexa. La conclusión que se obtiene de este cálculo adicional es que la

empresa monopolista del

enunciado lanza al mercado un nivel de output de equilibrio que es inferior al Mínimo de Explotación, algo imposible en el marco de la competencia perfecta. ¿Por qué? Porque

no se cumple para la empresa monopolista la condición de cierre , dado que el

precio de mercado al que puede vender el nivel de producción de equilibrio xe=3, que se obtiene a partir de la curva inversa de demanda del mercado, es: (3)  87 12  3

pe=51

Y este precio de equilibrio es mayor que el coste variable medio correspondiente a xe=3: *

2

Cv (3)  3



12  3  60  33  51  pe

Como puede apreciarse, es perfectamente posible que una empresa monopolista lance al mercado un nivel de producción inferior al Mínimo de Explotación, algo que no era posible en competencia perfecta, puesto que automáticamente se cumplía la condición de cierre de la empresa. Ya que el precio de mercado, que era igual al coste marginal, era automáticamente inferior al coste variable medio en que incurría la empresa (para niveles de producción inferiores al Mínimo de Explotación, el coste marginal es siempre menor que el coste variable medio). Pero en el monopolio de oferta, para el nivel de output de equilibrio, el precio de mercado al que la empresa puede vender es mayor que el coste marginal en el que incurre, así que tam bién puede ser mayor que el coste variable medio en el que incurre la empresa cuando lanza al mercado un nivel de producción inferior al Mínimo de Explotación. Y así sucede en este caso que nos ocupa. Veamos ahora el posible beneficio que obtiene la empresa al lanzar al mercado el nivel de output de equilibrio xe=3 al precio pe=51. En primer lugar, determinemos los ingresos totales que obtiene la empresa:



21/08/2013

130/155

CAPÍTULO 17


I (3)  pe xe



51 3  87  3 12 3

2



4/28

153

En segundo lugar, los costes totales en los que incurre la empresa al producir ese nivel de output: C ( x)  Cv ( x)  CF

C (3)



Cv (3)  CF





3

x

12 x2  60 x  CF



33 12  32  60 3  CF



99  CF

Por tanto, si la empresa obtuviera un beneficio positivo, los costes fijos deberían ser: B(3)



I (3)  C (3)



153  (99  CF )  0

CF <54

En consecuencia, si los costes fijos de la empresa en los que incurre en el corto plazo, dado el tamaño de la planta adoptado, son inferiores a 54, la empresa tendrá beneficios positivos. Si son mayores que 54, tendrá pérdidas; y si son iguales a 54, tendrá be neficios cero. Pero en el caso que la empresa tuviera pérdidas porque los costes fijos fueran mayores que 54, aun así, a la empresa no le interesará cerrar, porque perdería menos si no cerrara que los costes fijos, cualquiera que fuere el importe de estos últimos, que serían las pérdidas en que incurriría si cerrase. Dado que el precio de equilibrio del mercado al ser mayor que el coste variable medio para xe=3, como hemos visto anteriormente, nos indica que la empresa está sufragando una parte de los costes fijos, una vez cubiertos los costes variables en que incurre la empresa al producir ese nivel de output; por lo que las pérdidas siempre serían mayores si cerrara. Obtengamos ahora la elasticidad de la curva de demanda del mercado en el punto de equilibrio del monopolio:



dx p  

dp x

1 51 



12 3

1, 42

Como puede apreciarse, la elasticidad es mayor que uno en valor absoluto, algo que ya sa bíamos de antemano; porque la empresa monopolista se s itúa siempre en el equilibrio, cuando maximiza su beneficio, en el tramo elástico de la curva de demanda del mercado a la que se enfrenta.



21/08/2013

131/155

CAPÍTULO 17


5/28

Nosotros también podíamos haber llegado al mismo resultado empleando la expresión que relaciona el ingreso marginal con la elasticidad-precio de la curva de demanda:

I ( x)  p 1 

 

I (3)

 87  24  3  15  51 1  

1 

1 

 

 





51 51  15

 1, 42




30

p 

12

que la curva de costes es:

C ( x)

. Además, emplea un tamaño de la planta tal 

x

3



12 x 2  60 x  600 .


equilibrio y la cantidad producida e intercambiada en el mercado, así como el beneficio o pérdida obtenido por la empresa. Calcular la elasticidad de la curva de demanda en el punto de equilibrio. Se trata de un ejercicio semejante al anterior, sólo que ahora se nos da la curva de costes totales en lugar de la curva de costes variables. Se trata, además, de una curva de costes de corto plazo, pues aparecen costes fijos. La maximización del beneficio tiene lugar, como sabemos, igualando el ingreso marginal al coste marginal. Curva de ingresos marginales de la empresa:



360



12 x

I ( x)  px  360 x 12 x

I ( x) 

dI ( x) dx



2

360  24 x

Curva de costes marginales:

C ( x) 


dC ( x) dx

2

 3 x  24 x  60


21/08/2013

132/155

CAPÍTULO 17


6/28

Equilibrio del monopolio de oferta en el corto plazo (ingreso marginal igual al coste marginal):

xe=10

360  24 x  3x2  24x  60


I ( xe ) 

dI ( x) dx

 24  6 xe  24 

dC ( x) dx

 C ( xe )

Efectivamente se cumple, porque la pendiente de la curva del coste marginal para el nivel de producción xe=10 es 36 (el coste marginal es creciente). En este ejemplo, la maximización del beneficio por parte de la empresa tiene lugar para un nivel de producción en el que el coste marginal es

creciente, siendo la curva del ingreso mar-

ginal decreciente, como es normal. Obtengamos el nivel de producción denominado Mínimo

de Explotación, es decir, aquel

nivel de output para el cual el coste variable medio alcanza su mínimo. Obtengamos primero la curva del coste variable medio:

*

Cv ( x)



Cv ( x) x

x 

3



12 x 2  60 x x



x

2



12 x  60

El nivel de producción que minimiza la función del coste variable medio se obtiene de igualar la primera derivada de esta función a cero: *

dCv ( x) dx



2 x 12 



0

x ME =6

La segunda derivada es positiva, lo que indica que se trata efectivamente de un mínimo, porque la curva del coste variable medio es convexa.



21/08/2013

133/155

CAPÍTULO 17


7/28

Ahora la empresa monopolista lanza al mercado un nivel de producción superior al Míni-

mo de Explotación. Porque no se cumple para la empresa monopolista la condición de cierre , dado que el precio de mercado al que puede vender el nivel de producción de equilibrio

xe=10, que se obtiene a partir de la curva inversa de demanda del mercado, es: (10)  360 12 10

pe=240

Y este precio de equilibrio es mayor que el coste variable medio correspondiente a xe=10: Cv (10)  10



12 10  60  40  240  pe

Veamos ahora el posible beneficio que obtiene la empresa al lanzar al mercado el nivel de output de equilibrio xe=10 al precio pe=240. En primer lugar, determinemos los ingresos totales que obtiene la empresa: I (10)  pe xe



240 10  360 10 12 10

2



2.400

En segundo lugar, los costes totales en los que incurre la empresa al producir ese nivel de output: C (10)



103 12 102  60 10  600  1.000

Por tanto, el beneficio de la empresa es: B(10)



I (10)



C (10)



2.400 1.000 1.400 



También podríamos haber obtenido un equilibrio a corto plazo para la empr esa monopolista con pérdidas, o con beneficios cero. Bastaría con incrementar convenientemente el importe de los costes fijos de la empresa, tal como procedimos en el ejercicio anterior. Se deja al lector que calcule la elasticidad-precio de la curva de demanda del mercado en el equilibrio:





2.



21/08/2013

134/155

CAPÍTULO 17


8/28

Ejercicio 17.3. Una empresa monopolista abastece el mercado de un producto cuya curva de demanda es: costes de largo plazo:



30

p 

12 C ( x)



x

3

. Además, se enfrenta a la siguiente curva de



12 x

2



60 x .

Determinar el precio de equilibrio

en el largo plazo y la cantidad producida e intercambiada en el mercado; así como el beneficio de la empresa. ¿Existe exceso capacidad, capacidad óptima o capacidad insuficiente en el tamaño de la planta seleccionado por la empresa en el equilibrio del largo plazo? El equilibrio en el largo plazo tiene lugar cuando la empresa maximiza su beneficio, igualando el ingreso marginal al coste marginal. Puesto que ambas funciones son las mismas que las del ejercicio anterior, obtendremos:

xe=10 pe=240 Como puede observarse fácilmente, han desparecido los costes fijos (600) en la función de costes del ejercicio anterior, por tratarse de una función de costes de largo plazo. Por tanto, el beneficio de la empresa en el equilibrio de largo plazo se ha incrementado en esa cantidad. Por lo que pasa ahora a ser de 2.000. Puede comprobarlo fácilmente el lector. Vamos a centrarnos, pues, en la planta seleccionada por la empresa y, por tanto, en el grado de utilización de la capacidad productiva instalada en el equilibrio del largo plazo por aquélla. Como tenemos la curva de costes a largo plazo, sabemos que cuando la empresa quiere obtener el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa, esta última selecciona en el largo plazo el tamaño de la planta denominado tamaño óptimo de la empresa. De forma que el nivel de output dimensión óptima de la empresa (o escala mínima eficiente) que hace que el coste medio a largo plazo alcance su mínimo, se corresponde con el óptimo de explotación del tamaño óptimo de la empresa. Por eso se dice que la empresa de tamaño óptimo tiene una capacidad productiva instalada óptima, es decir, que no hay exceso de capacidad o capacidad ociosa, ni capacidad productiva insuficiente. Ahora bien, si la empresa produce en el equilibrio del largo plazo un nivel de output inferior a la dimensión óptima de la empresa, entonces en el largo plazo está seleccionando nece-



21/08/2013

135/155

CAPÍTULO 17


9/28

sariamente un tamaño de planta inferior al tamaño óptimo de la empresa, y, además, el nivel de producción que obtiene se sitúa por debajo del óptimo de explotación de la planta utilizada (se dice que la empresa trabaja por debajo del óptimo de explotación). Por eso se dice también en este caso que la empresa funciona con exceso de capacidad, que hay capacidad ociosa, o que la capacidad productiva instalada se encuentra infrautilizada. En cambio sucede todo lo contrario si la empresa obtiene en el equilibrio del largo plazo un nivel de producción superior a la dimensión óptima de la empresa. Se dice que esta última funciona con capacidad productiva insuficiente, porque trabaja por encima del óptimo de ex plotación de la planta instalada. Por tanto, para contestar a lo que se nos pregunta, debemos determinar en primer lugar el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa, para el cual el coste medio de producción de largo plazo alcanza su valor mínimo. Pero esto ya lo hicimos en el ejercicio anterior al obtener el nivel de producción que minimizaba el coste variable medio, dado que ahora, al no existir costes fijos, ambos tipos de coste medios coinciden. Por este motivo, la dimensión óptima de la empresa resultante sería:

x DO=6. Por tanto, la empresa del enunciado obtiene en el equilibrio del largo plazo un nivel de producción superior a la dimensión óptima de la empresa. Luego está trabajando con capacidad productiva insuficiente, es decir, está sobreutilizando por encima del óptimo de explotación la capacidad productiva instalada. Naturalmente el lector puede comprender fácilmente que pueden construirse situaciones de equilibrio en el largo plazo en las que el monopolio de oferta, obteniendo beneficios positivos (o al menos no negativos), trabaja con capacidad óptima y con exceso de capacidad productiva instalada. Ahora bien, si una empresa monopolista obtiene beneficios cero en el largo plazo, forzosamente funcionará con exceso de capacidad, porque al ser la curva de demanda de mercado decreciente, sólo puede ser tangente a la curva del coste medio a largo plazo en su tramo descendente (con el que el beneficio de la empresa sería cero en ese punto), precisamente para niveles de producción inferiores a la dimensión óptima de la empresa. Esto se ve con más



21/08/2013

136/155

CAPÍTULO 17


10/28

detalle en los ejercicios dedicados al tipo de mercado denominado “competencia monopolista” del capítulo 18.




30

p 

10

. Además, emplea en el largo plazo un tamaño

de la planta tal que la curva de costes es:

C ( x)



10 x 2  60 x  600 . ¿Existe exceso

capacidad, capacidad óptima o capacidad insuficiente en el tamaño de la planta seleccionado por la empresa en el equilibrio del largo plazo? Se trata de un ejercicio semejante al anterior, sólo que ahora se nos da la curva de costes a corto plazo, pues aparecen costes fijos, correspondiente al tamaño de la planta seleccionado por la empresa en el equilibrio del largo plazo. Para ver si existe exceso de capacidad por parte de la empresa, capacidad insuficiente o capacidad óptima instalada, debemos determinar el nivel de output de equilibrio que la em presa lanza al mercado y compararlo con el correspondiente al Óptimo de Explotación asociado al tamaño de la planta seleccionado. El nivel de output de equilibrio se obtiene al igualar ingreso marginal y coste marginal, como sabemos, como consecuencia de la maximización del beneficio por parte de la empresa. Curva de ingresos marginales de la empresa: 

I ( x)



I ( x) 

300 10 x

px



I x dx

300 x 10 x 2 



300  20 x

Curva de costes marginales:

C( x) 

dC( x) dx

 20 x  60

Equilibrio del monopolio de oferta (ingreso marginal igual al coste marginal):



21/08/2013

137/155

CAPÍTULO 17


300  20 x



11/28

xe=6

20 x  60


I ( xe ) 

dI ( x) dx

 20  20 

dC ( x) dx

 C ( xe )

Efectivamente, se cumple, porque la curva del coste marginal es creciente y la del ingreso marginal decreciente. Veamos si se cumple o no la condición de cierre de la empresa. En primer lugar debemos determinar el precio de equilibrio al que la empresa vende el nivel de output xe=6: (6)  300  10  6

pe=240

En segundo lugar, debemos determinar el coste variable medio correspondiente al nivel de output de equilibrio:

*

Cv ( x)



Cv ( x) x

*

C v (6)





10 x 2  60 x x



10 x  60

10  6  60  120

Por tanto, a la empresa no le interesa cerrar, y le conviene, pues, lanzar al mercado el nivel de output de equilibrio, dado que se cumple:

e 

240  120  C v* (6)

El lector puede comprobar por su cuenta que la empresa obtiene beneficios positivos, lo cual es lógico en el equilibrio de largo plazo por parte del monopolio de oferta: B(6)  I (6)  C (6)




240  6  (10 6 2  60 6  600) 1.440 1.320 120


21/08/2013

138/155

CAPÍTULO 17


Obtengamos ahora el nivel de producción denominado

12/28

Óptimo de Explotación, es decir,

aquel nivel de output para el cual el coste medio correspondiente al tamaño de la planta utilizado alcanza su mínimo. Obtengamos primero la curva del coste medio:

C

*

( x) 

C ( x) x



10 x 2  60 x  600 x



10 x  60 

600 x

El nivel de producción que minimiza la función del coste medio se obtiene de igualar la primera derivada de esta función a cero: dC

*

( x)

dx



600

10



x

2



0

xOE =7,75

La segunda derivada es positiva, lo que indica que se trata efectivamente de un mínimo, porque la curva del coste medio es convexa: 2

d C

*

dx

( x)

2



1.200 x

3



0

En consecuencia, el nivel de output de equilibrio a largo plazo de la empresa monopolista está situado por debajo del Luego hay

Óptimo de Explotación asociado al tamaño de la planta utilizado.

exceso de capacidad , capacidad ociosa, infrautilización de la capacidad producti-

va instalada.

Ejercicio 17.5. Una empresa monopolista emplea en el largo plazo un tamaño de la planta tal que la curva de costes es: C( x) 10 x2  60 x 1.000 . Obtener una posible curva lineal de demanda del mercado, de pendiente -2 por ejemplo, tal que haga que la empresa emplee la capacidad óptima. El lector puede deducir fácilmente, a tenor de los dos ejercicios anteriores, que dentro del monopolio de oferta se pueden construir ejemplos en los que la empresa emplea la capacidad óptima, es decir, lanza al mercado un nivel de producción que coincide con el óptimo de ex plotación de la planta utilizada. Y ese nivel de producción sería, además, la dimensión óptima



21/08/2013

139/155

CAPÍTULO 17


13/28

de la empresa en el equilibrio del largo plazo, por lo que el tamaño de la planta utilizado sería el denominado tamaño óptimo de la empresa. Por tanto, lo que tenemos que diseñar es una curva de ingresos marginales decreciente (lo más fácil sería una línea recta) que cortara a la curva del coste medio en su punto mínimo, para que coincidiera con la curva de costes marginales; de forma que el nivel de output de equilibrio sería precisamente el óptimo de explotación de la planta dentro de la curva de costes medios a corto plazo, o la dimensión óptima de la empresa, dentro de la curva de costes medios a largo plazo. En el ejercicio que nos ocupa se nos da la curva de costes a corto plazo, puesto que aparecen los costes fijos. Por tanto, lo que tenemos que obtener es el

Óptimo de Explotación co-

rrespondiente al tamaño de planta utilizado. La función del coste medio sería:

C

*

( x) 

C ( x) x



10 x

2



60x  1.000 x



10 x  60 

1.000 x

Y el óptimo de explotación correspondiente tiene lugar para el siguiente nivel de producción: dC

*

( x)

dx



10 

1.000 x

2



0

xOE =10

El lector puede comprobar que la función del coste medio es convexa, y, por tanto, se trata efectivamente del coste medio mínimo: 1.000 C * (10)  10 10  60  10



260

El lector puede comprobar también que el coste marginal coincide con este coste medio mínimo a corto plazo, como sabemos, para el nivel de producción correspondiente al óptimo de explotación.



21/08/2013

140/155

CAPÍTULO 17


14/28

En consecuencia, si queremos que el nivel de output de equilibrio de la empresa monopolista sea xOE =10, entonces el ingreso marginal debe ser igual al coste marginal, y, de ahí, al coste medio mínimo. Es decir, la curva del ingres o marginal debe pasar por el punto: (10, 260) Al tratarse de una línea recta decreciente, puede tener cualquier pendiente que sea negativa; por ejemplo, elegimos arbitrariamente -2 de acuerdo con el enunciado. Obtengamos ahora la ecuación de esta recta: I ( x)  I ( xOE )

2  x  xOE 





I ( x)  260  2 x 10



De donde resulta la siguiente función de ingresos marginales: I ( x)  280  2 x

Nosotros, además, podemos estar seguros de que la empresa se encontrará en equilibrio lanzando al mercado el nivel de producción xOE =10, porque, como sabemos, el precio de mercado que están dispuestos a pagar los consumidores es mayor que el ingreso marginal, cuando el nivel de producción es positivo. Y como el ingreso marginal coincide en nuestro caso para ese nivel de producción con el coste medio, resulta que el precio de mercado será mayor que este último, con lo que la empresa obtendrá beneficios positivos y, por tanto, en ningún caso le interesará cerrar. Una vez que obtengamos la curva de demanda del mercado podremos comprobar que esta conjetura es correcta. Ahora ya tenemos la curva de ingresos marginales de la empresa, por lo que es fácil obtener, mediante cálculo integral, la función de ingresos totales, y de ahí, la curva de demanda del mercado. Efectivamente, por definición tenemos que:



21/08/2013

141/155

CAPÍTULO 17


I ( x)

dI ( x)



dI ( x)

dx



15/28

I ( x) dx

Por tanto, la función del ingreso total no es más que la primitiva de la función del ingreso marginal: I ( x)



dI ( x)

I ( x) dx 



(280  2 x) dx  280 x  x 2

siendo la constante de integración cero, por cuanto que los ingresos totales son cero cuando el nivel de producción es cero, es decir, cuando la e mpresa no vende nada. Con lo que la curva inversa de demanda del mercado, no es más que la función de ingresos medios de la empresa:

I ( x)



I ( x)

px



280 x





x

2 

x

x

280 x 

Y, por tanto, la curva de demanda del mercado que se nos pide sería:



280



p

A partir de aquí, se puede determinar el precio de equilibrio al que el monopolista vende el nivel de producción xOE =10, que sería evidentemente: pe=270. Con lo que los ingresos totales de la empresa serían: I ( xOE )  pe xOE



270 10  280 10 102



2.700

Y los costes totales: C (10)



10 102  60 10 1.000  2.600

Luego la empresa obtendría un beneficio de 100, con lo que en ningún caso le interesaría cerrar, y estaría empleando la capacidad óptima. El lector puede comprobar que se habrían obtenido resultados semejantes al haber elegido arbitrariamente otro valor negativo para la pendiente de la curva de ingresos marginales. Ha-



21/08/2013

142/155

CAPÍTULO 17


16/28

bríamos obtenido otra curva de demanda del mercado diferente, con un nuevo precio de equilibrio y distinto nivel de beneficios.

Ejercicio 17.6. Una empresa monopolista emplea en el largo plazo un tamaño de la planta que tiene asociada una determinada curva de costes medios y de costes marginales estándar a corto plazo. Demostrar que si la empresa opera con capacidad óptima o con capacidad insuficiente, forzosamente obtiene beneficios positivos en el largo plazo con ese tamaño de la planta, cualquiera que fuere la curva estándar de demanda del mercado a la que se enfrente. En cambio, si la empresa opera con exceso de capacidad, depende de la curva de demanda del mercado que existan beneficios positivos, beneficios cero o pérdidas. En el ejercicio anterior vimos que una empresa monopolista que opera con capacidad óptima obtenía beneficios positivos. Esto no era una simple casualidad, como ya se apuntó en su momento. Ahora exponemos el argumento completo y deta llado. Si una empresa monopolista ha seleccionado un tamaño de la planta, que lleva asociado una curva estándar de costes medios y marginales a corto plazo, y emplea la capacidad óptima, quiere decir que está lanzando al mercado el nivel de producción correspondiente al óptimo de explotación de la planta. Puesto que la empresa está maximizando su beneficio, el ingreso marginal debe ser igual al coste marginal. Por lo que el ingreso marginal debe ser igual al coste medio mínimo a corto plazo correspondiente al tamaño de la planta utilizado, dado que para el óptimo de explotación el coste medio mínimo a corto plazo coincide con el coste marginal. Nosotros sabemos, además, que dado este ingreso marginal, el precio de mercado al que el monopolista puede vender la cantidad producida es siempre mayor que el primero, cuando el nivel de producción es positivo, pues la curva del ingreso marginal siempre se sitúa por deba jo de la curva de demanda del mercado. En consecuencia, podemos concluir que el precio de mercado al que el monopolista vende el output de equilibrio es mayor que el coste medio en el que incurre al producirlo. Por tanto,



21/08/2013

143/155

CAPÍTULO 17


17/28

el monopolista que opera con capacidad óptima necesariamente obtiene beneficios positivos, cualquiera que fuere la curva de demanda del mercado a la que se enfrente . Este resultado es más evidente analizando simplemente la Figura 17.1.

Tamaño óptimo de la empresa

p

Coste Medio corto plazo

Coste marginal largo plazo

Coste Marginal corto plazo

Coste Medio largo plazo

p M Curva de demanda del mercado

C*( x DOE ) C’ ( x DOE )

Ingreso Marginal x DOE Óptimo de Explotación Dimensión óptima de la empresa

x

Figura 17.1. Equilibrio a largo plazo de una empresa monopolista con capacidad óptima

El monopolista selecciona como tamaño de planta el llamado

tamaño óptimo de la empre-

sa y lanza al mercado el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa ( x DOE ), que es a su vez el

óptimo de explotación de la planta seleccionada, donde ingreso mar-

ginal y coste marginal coinciden, pues está maximizando su beneficio. Es obvio entonces que el precio de mercado p M al que puede vender el monopolista es mayor que el coste marginal y que el coste medio en el que incurre, pues ambos coinciden para ese nivel de producción, por lo que necesariamente esta empresa obtiene beneficios positivos. Repitamos ahora el mismo razonamiento para el caso en que el monopolista opera con ca pacidad productiva insuficiente, es decir, cuando existe sobreutilización de la capacidad productiva instalada.



21/08/2013

144/155

CAPÍTULO 17


18/28

En tal caso, el monopolista lanza al mercado un nivel de producción de equilibrio que excede al correspondiente al óptimo de explotación de la planta que utiliza. Por lo que el coste marginal en el que incurre es mayor que el coste medio, dado que a partir del óptimo de ex plotación la curva del coste marginal se sitúa por encima de la curva del coste medio. Como para el nivel de producción de equilibrio el monopolista está maximizando su beneficio, el ingreso marginal debe ser igual al coste marginal, y de ahí, el primero resulta ser mayor que el coste medio en el que incurre el monopolista al producir el citado nivel de producción de equilibrio. Como el precio de mercado al que este último vende la cantidad producida es siempre mayor, por los motivos expresados anteriormente, que el ingreso marginal. Resulta que este precio de mercado de equilibrio es mayor que el coste medio en el que incurre el monopolista, por lo que este último

obtiene necesariamente beneficios positivos, cualquiera que fuere la

curva de demanda del mercado a la que se enfrente, siempre que ello conlleve que el mono polista esté operando con capacidad productiva insuficiente. Este hecho se observa directamente consultando la Figura 17.2. Hemos eliminado la curva de costes marginales a largo plazo para facilitar la representación gráfica.

p Coste Marginal corto plazo

Coste Medio corto plazo Coste Medio largo plazo

p M


C’ ( x M )

C*( x M )

Ingreso Marginal Dimensión óptima de la empresa

x M

x

Óptimo de Explotación

Figura 17.2. Equilibrio a largo plazo de una empresa monopolista con capacidad insuficiente F. Ibáñez - M. Matilla - R. Osuna


21/08/2013

145/155

CAPÍTULO 17


19/28

Ahora la igualdad entre ingreso marginal y coste marginal tiene lugar para un nivel de producción x M que es mayor que el óptimo de explotación de la planta elegida y que la dimensión óptima de la empresa. El coste medio de producción correspondiente a este nivel de out put es menor que el coste marginal e ingreso marginal, que son iguales, y el precio de mercado al que vende el monopolista es mayor que este último. Por tanto, la empresa obtiene necesariamente beneficios positivos. Se deja al lector que repita el razonamiento aplicándolo al caso en que el monopolista opera con exceso de capacidad, es decir, cuando existe infrautilización de la capacidad productiva instalada; lo que conlleva que lanza al mercado un nivel de producción de equilibrio inferior al óptimo de explotación de la planta utilizada. Este caso está representado en la Figura 17.7 del texto teórico. Llegará a la conclusión de que se pueden dar todos los casos posibles: que el monopolista obtenga beneficios positivos, pérdidas, o bien, beneficios cero, dependiendo de la curva de demanda de mercado que se maneje (en la citada figura el monopolista obtiene beneficios positivos). Pues aunque el precio al que puede vender el monopolista el nivel de output de equilibrio, cuando este último es positivo, es siempre mayor que el ingreso marginal, puede muy bien este precio de mercado ser mayor, menor o igual que el coste medio en el que incurre el monopolista. Todo depende de la curva de demanda de mercado a la que se enfrente. Esto es debido a que cuando una empresa lanza al mercado un nivel de producción de equilibrio por debajo del óptimo de explotación de la planta utilizada, entonces el coste marginal es inferior al coste medio, porque la curva de costes marginales se sitúa por debajo de la curva de costes medios para los niveles de producción inferiores al óptimo de explotación. Por tanto, el ingreso marginal, que es igual al coste marginal para el nivel de output de equilibrio, sería inferior al coste medio, de ahí que el precio de mercado, al ser mayor que el ingreso marginal, puede ser mayor, menor o igual que el coste medio. Y entonces el monopolista obtendría beneficios positivos, pérdidas o beneficios cero, respectivamente. Para finalizar, y como conclusión de todo lo anterior, pensemos en lo que ocurre cuando la curva de demanda del mercado se desplaza hacia la derecha, es decir, cuando aumenta la cantidad demandada por los consumidores para cada precio de mercado, y el monopolista ya tie-



21/08/2013

146/155

CAPÍTULO 17


20/28

ne instalada una planta de un determinado tamaño para hacer frente a esa demanda; con lo que las curvas de costes medios y marginales a corto plazo están dadas y no sufren alteración. Lo que sucede es que el monopolista pasará normalmente de tener exceso de capacidad, a operar con capacidad óptima, para finalmente, si la curva de demanda del mercado se desplaza mucho hacia la derecha, pasar a tener capacidad productiva insuficiente para abastecer la demanda del mercado. Porque la curva de ingresos marginales también se desplaza hacia la derecha siguiendo estrechamente el desplazamiento realizado por la correspondiente curva de demanda del mercado, con lo que el punto de corte con la curva de costes marginales conlleva un nivel de producción de equilibrio cada vez mayor. De ahí que la empresa pueda pasar de operar con exceso de capacidad a operar con capacidad productiva insuficiente: debe producir una cantidad mayor de output para abastecer la demanda creciente del mercado empleando el mismo tamaño de la planta, lo que incrementa el grado de utilización de la capacidad productiva instalada. Si esto es así, lo lógico es que los beneficios del monopolista aumenten a medida que aumenta el grado de utilización de la capacidad productiva instalada debido al aumento de la demanda de los consumidores. Por eso, cuando la capacidad productiva instalada es óptima o insuficiente, el monopolista obtiene necesariamente beneficios positivos, tal como hemos demostrado; en cambio, cuando hay exceso de capacidad, pueden darse todos los casos posibles.



21/08/2013

147/155

CAPÍTULO 17

Discriminación de precios en el monopolio de oferta

21/28

DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS DENTRO DEL MONOPOLIO DE OFERTA Ejercicio 17.7. Consideremos una empresa monopolista que se enfrenta a la siguiente curva de demanda del mercado:



1.000



10 p

. Esta empresa tiene

previsto vender 600 unidades de producto a un precio uniforme, pero también contempla la posibilidad de vender las 200 primeras unidades a un primer grupo de consumidores, las 300 siguientes unidades a otro grupo y las 100 últimas unidades de producto a otro grupo distinto de consumidores, aplicando un precio de mercado en cada caso compatible con la curva de demanda de partida. Se pide determinar los ingresos que percibiría esta empresa:

a)

si se comportara como un monopolista ordinario, es decir,

vendiendo a un precio uniforme;

b ) si

discriminara precios vendiendo de la

forma indicada a los tres grupos de consumidores descritos anteriormente; y c ) si

se comportara como un monopolista discriminador perfecto.

Obtengamos primero la curva inversa de demanda del mercado:



100

x 

10

Lógicamente si la empresa trata de vender 600 unidades de producto a un precio uniforme, al comportarse como un monopolista ordinario, deberá hacerlo al precio que están dispuestos a pagar los consumidores de acuerdo con la curva de demanda del mercado a la que se enfrenta esta empresa:

xO=600

O

 100 

600 10

 40

Por tanto, los ingresos que percibiría la empresa como monopolista ordinario serían: I O



600  40  24.000

Si la empresa discriminara precios vendiendo a los tres grupos de consumidores señalados, entonces, para determinar sus posibles ingresos, debemos determinar el precio de mercado al que la empresa vende respectivamente a cada grupo de consumidores (véase la Figura 17.3).



21/08/2013

148/155

CAPÍTULO 17


22/28

p 100


80

p j= D-1( x j) 50

A

40

O

dx j

200

500

600

1.000

x

Figura 17.3

Si vende las 200 primeras unidades al primer grupo de consumidores, estos estarán dis puestos a pagar el precio de mercado que pagarían si la empresa vendiera esas 200 unidades a un precio uniforme, establecido por la curva de demanda del mercado:

x1=200

1



100

200 



80

10

Por tanto, los ingresos de la empresa serían: I 1



200  80  16.000

Si la empresa vende las 300 unidades siguientes al segundo grupo de consumidores, lo tendrá que hacer al precio de mercado que están dispuestos a pagar los consumidores si la empresa vendiera 200+300 unidades de producto a un precio uniforme, establecido por la curva de demanda del mercado:

x2=300

2

 100 

200  300 10

 50

Por tanto, los ingresos de la empresa serían:



21/08/2013

149/155

CAPÍTULO 17


I 2



300  50

23/28

 15.000

Y si la empresa vende finalmente las 100 últimas unidades de producto al tercer grupo de consumidores, tendrá que hacerlo al precio uniforme al que vendería las 200+300+100 unidades de producto:

x3=100

3

200  300  100

 100 

10



40

Por tanto, los ingresos de la empresa serían: 100  40  4.000 I 3  En consecuencia, los ingresos totales de la empresa al discriminar precios vendiendo a los tres grupos de consumidores serían: I D

 16.000  15.000  4.000 

35.000

Como puede observarse, el monopolista que discrimina precios siempre obtiene un ingreso mayor al vender la misma cantidad de producto que el monopolista ordinario, que vende a un precio uniforme todo lo que produce. Esto ya lo sabíamos de antemano. Determinemos ahora los ingresos que percibiría la empresa si fuera capaz de llevar a cabo lo que se entiende por

discriminación perfecta de precios, es decir, si logra vender cada uni-

dad sucesiva de producto, infinitesimalmente pequeña, al precio marcado por la curva de demanda del mercado, que es el que están dispuestos a pagar sucesivamente los diferentes consumidores que compran el producto. Estos ingresos se corresponderían con el área del trapecio O-100- A-600 de la Figura 17.3, de bases: el precio máximo que están dispuestos a pagar los consumidores cuando la cantidad vendida es cero (100), y el precio que están dispuestos a pagar los consumidores cuando la cantidad vendida es 600 (40); y con una altura igual a la cantidad total vendida (600):

I DP 


100  40 2

 600 

42.000


21/08/2013

150/155

CAPÍTULO 17


24/28

Como puede apreciarse, los ingresos de la empresa monopolista discriminadora perfecta de precios son todavía mayores. Y serían, además, los ingresos máximos que puede obtener el monopolista discriminando precios en cualquier caso, por eso se habla de discriminación per-

fecta de precios. Estos ingresos del monopolista discriminador perfecto pueden obtenerse de una forma más general y elegante, haciendo uso del cálculo integral. ¿Cuáles son los ingresos del monopolista cuando vende una unidad infinitesimalmente pequeña de producto, tal que

dx (véase la Figura 17.3)? Se trata del área sombreada que allí apa-

rece: el área de una barra vertical de base dx y altura el precio correspondiente que están dis puestos a pagar los consumidores, que daría lugar a la siguiente ecuación diferencial:

dI ( x)



p( x)dx

dI ( x)

x

 100   dx 10  

Es decir, los ingresos del monopolista discriminador perfecto al vender una unidad infinitesimalmente pequeña de producto

dx son el resultado de multiplicar esta cantidad de produc-

to por el precio que están dispuestos a pagar los consumidores, de acuerdo con la curva de demanda del mercado; el cual varía en cada caso, pues depende de las unidades de producto vendidas con anterioridad. Y se corresponde geométricamente con el área de un rectángulo, que en límite tiende a ser una barra vertical, de base

dx y altura p( x), la ordenada correspon-

diente, que es el precio que están dispuestos a pagar los consumidores por esa unidad de producto. Por tanto, los ingresos totales del monopolista discriminador perfecto son la suma de estas infinitas barras verticales comprendidas entre el nivel de producción 0 y el nivel de producción 600, que serían los sucesivos precios que están dispuestos a pagar los consumidores por las sucesivas unidades de producto, infinitesimalmente pequeñas, que les vende el monopolista. Desde un punto de vista matemático, se trata de la integral definida de la curva inversa de demanda del mercado, comprendida entre cero y 600, que es la cantidad de output total que vende el monopolista:



21/08/2013

151/155

CAPÍTULO 17


x  600

I DP





x  600

dI ( x)

x  0





x 0

25/28

2 2  600 x  x    42.000 100   dx  100 x    100  600  10  20 20   0

Lo mismo que obtuvimos anteriormente al calcular el área del trapecio O-100-A-600. La ventaja de este procedimiento es que el cálculo integral nos permite obtener los ingresos del monopolista discriminador perfecto en todos los casos, en particular cuando se enfrenta a una curva de demanda del mercado que no es una línea recta, que es el caso más sencillo, pues se reduce, como hemos visto, al cálculo del área de un trapecio.

Ejercicio 17.8. Un monopolista discriminador perfecto, cuya curva inversa de demanda del mercado a la que se enfrenta es: cuya curva de costes a corto plazo es:

C ( x)

x 



900  3 x ,

utiliza una planta

2

4



200 x  50.000 .

Determinar los

beneficios o pérdidas que obtiene la empresa. Obtener la curva del ingreso medio del monopolista discriminador perfecto. Determinar la elasticidad de la curva de demanda en el punto de equilibrio. La curva de costes marginales es:

C ( x) 

dC ( x) dx



x

2

 200

La maximización del beneficio y, por tanto, el equilibrio de la empresa tiene lugar cuando el ingreso marginal es igual al coste marginal. Pero cuando aquélla se comporta como un monopolista discriminador perfecto,

la curva de demanda del mercado es la curva del ingreso

marginal de la empresa. Por tanto, el nivel de output de equilibrio debe cumplir la siguiente condición: que el precio de mercado que están dispuestos a pagar los consumidores por la última unidad vendida del bien debe ser igual al coste marginal. Es decir, el nivel de output de equilibrio para el monopolista discriminador perfecto tiene lugar en el punto de corte de la curva de demanda del mercado y la curva de costes marginales:

I ( x)  p  C( x)


900  3 x 

x 2

 200

xe=200 pe=300


21/08/2013

152/155

CAPÍTULO 17


26/28

Es fácil comprobar que la curva de ingresos marginales es decreciente, por tratarse de la curva de demanda del mercado, y la curva de costes marginales es creciente. Por tanto, se cumple la condición de segundo orden para la maximización del beneficio. Determinemos ahora los beneficios o pérdidas que obtiene el monopolista discriminador perfecto, y, por tanto, si se cumple o no la condición de cierre. En primer lugar, sus ingresos totales equivaldrían al área de un trapecio de bases: el precio máximo que están dispuestos a pagar los consumidores (900), cuando el nivel de producción tiende a cero, y el precio que pagan los consumidores que consumen la última unidad de la cantidad total de output vendida por el monopolista (300); y con una altura igual a la cantidad total de producto vendida por el monopolista (200):

I (200)



900  300 2



200  120.000

Lógicamente, los ingresos totales que obtiene el monopolista discriminador perfecto en general, cuando vende una cantidad de output tal como x, se obtienen de la siguiente forma (véase el ejemplo que aparece en epígrafe 17.6 del texto teórico):

− 3  = (900 − 3 )   = 900 +2   = 900 + 900 2 2 Por lo que la función de ingresos medios de este monopolista sería:

∗ =  = 900 − 32  Por otra parte, los costes totales en los que incurre el monopolista al producir 200 unidades de producto resultan ser:

C (200)



2002 4



200  200  50.000  100.000

Por tanto, el monopolista discriminador perfecto obtendría un beneficio de: B(200)  I (200)  C (200)  120.000 100.000  20.000



21/08/2013

153/155

CAPÍTULO 17


27/28

Luego en ningún caso le interesaría cerrar, pues obtendría una pérdida de 50.000, que es el importe de los costes fijos: B(0)  I (0)  C (0)



0  50.000  50.000

Obtengamos ahora la elasticidad-precio de la curva de demanda del mercado en el punto de equilibrio:

  

dado que dp dx

x p dp x



1 3



300 200



0,5

3.

 

Puede observarse, pues, un hecho a primera vista chocante: que el monopolista discriminador perfecto, al contrario de lo que sucedía con el monopolista ordinario, puede situarse en el punto de equilibrio en el tramo inelástico o rígido de la curva de demanda del mercado a la que se enfrenta. Esto, como decimos, es imposible en el equilibrio del monopolio de oferta ordinario. Porque al vender a un precio uniforme, el ingreso marginal, que iguala al coste marginal al maximizarse el beneficio, debe ser positivo. Y esto sólo es posible si el punto de equilibrio se sitúa en el tramo elástico de la curva de demanda del mercado. Pero en el caso del monopolista discriminador perfecto, el ingreso marginal es siempre positivo y coincide con el precio de mercado al que puede vender cada unidad sucesiva de producto, dado que como hemos visto en el capítulo teórico, la curva de demanda del mercado es la curva de ingresos marginales de este monopolista. Por eso es posible el equilibrio en el tramo inelástico o rígido de la curva de demanda del mercado, como ocurre en nuestro ejem plo, porque a pesar de ello, al discriminar precios y, por tanto, no vender a un precio uniforme, el ingreso marginal es siempre positivo. Para cerciorarse de todo esto, el lector puede obtener el nivel de producción de equilibrio del monopolista ordinario y la correspondiente elasticidad-precio de la curva de demanda del mercado.



21/08/2013

154/155

Uned Introduccion a La Microeconomia Ejercicios Practicos Preguntas y Respuestas

Recommend Documents