Bab 2 Landasan Teori
2.1. Pengertian Hipotesis
Pada kebanyakan penelitian, hipotesis memegang peran penting sebagai petunjuk
penelitian
yang
akan
dilakukan.
Jenis
hipotesis
akan
menent menentukan ukan jenis jenis alat alat analisis analisis yang yang diguna digunakan. kan. Hipote Hipotesis sis adalah adalah pernyataan pernyataan mengenai mengenai sesuatu yang yang akan dibuktikan kebenarannya kebenarannya lewat penelitian.
Dalam penelitian tentang ciri-ciri peristiwa tertentu umumnya memiliki suatu dugaan penelitian dengan mengemukakan sebuah hipotesis yang dapat memberikan suatu model aspek atau ciri-ciri tertentu dari peristiwa yang diteliti. diteliti. Hipotes Hipotesis is sepeti sepeti itu akan memberikan memberikan dan memiliki memiliki nilai ilmiah jika sesuai dengan atau mendekati kenyataan empiris. Hipotesis semacam itu dapat diuji dengan jalan membandingkan hasil teoritisnya dengan hasil sampel yang bersifat empiris. Jika hipotesis tersebut tidak sesuai dengan data empirisnya, maka harus diperbaiki atau menolak keabsahannya. Jika cara pengumpulan data sampelnya memang baik sekali, maka penolakan dan penerimaan hipotesis secara statistik.
Dalam hal tersebut, hipotesis dapat bersifat statistik atau menggambarkan nilai parameter distribusi populasi teoritis dimana data sampel empirisnya dipilih.
Perumusan sementara mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu dan untuk menuntun atau mengarahkan penelitian selanjutnya. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan Uji Hipotesis.
Dalam pengujian hipotesis akan sering kita gunakan istilah menerimaatau menolak sebuah hipotesis. Penting untuk dipahami bahwa penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan bahwa hipotesis itu tidak benar, sedangkan penerimaan suatu hipoitesis hanyalah menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai sebaliknya. Karena itulah, yang melakukan
percobaan
seharusnyalah
selalu
menyatakan
sebagai
hipotesisnya pernyatan yang diharapkan akan ditolak.
2.2. Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis
Langkah-langkah yang biasa ditempuh ketika menguji hipotesis dan membuat kesimpulan adalah sebagai berikut: 1. Rumuskan Rumuskan hipotesis hipotesis H yang akan diuji disertai disertai keterangan seperlun seperlunya. ya. Perumusan ini dibuat sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Ada tiga hal yang biasa digunakan: a. Hipotesis Hipotesis mengandung mengandung pengertian pengertian sama. sama. Jika ingin menguji menguji dugaan bahwa pada umumnya masa pakai semacam lampu pijar sekitar 800 jam umpamanya, umpamanya, maka maka perumusan perumusan yang yang dapat diguna digunakan kan adalah H: µ = 800 jam, berarti masa pakai lampu itu sesuai dengan yang diperkirakan, ialah rata-rata 800 jam. b. Hipotesis Hipotesis mengandung mengandung pengertian pengertian maksimum. maksimum. Misalnya untuk untuk menguji pernyataan bahwa dalam pengiriman barang terdapat kerusakan paling besar
5%, perumusan sebagai berikut dapat
dipakai H: π ≤ 5%, berarti kerusakan dalam pengiriman barang maksimum 5%. c. Hipotesis Hipotesis mengandung mengandung pengerti pengertian an minimum. minimum. Jika ingin menguji menguji bahwa semacam kain dapat dipakai pada umumnya paling cepat rusak dalam tempo 180 hari umpamanya, dapat kita buat perumusan dimana H: µ ≥ 180 hari, berarti paling cepat kain itu pada umumnya akan rusak dalam tempo 180 hari. 2. Setelah hipotesis hipotesis H ditentukan, ditentukan, perlu perlu dirumuskan dirumuskan pula mengenai
alternatif A yang sesuai dengan H. a. Sebagai imbangan imbangan perumusan perumusan H yang yang mengandung mengandung pengertian pengertian sama, maka alternatifnya harus mengandung pengertian tidak sama. Untuk soal masa pakai lampu dalam contoh diatas, alternatifnya menjadi A: µ ≠ 800 jam, berarti masa pakai lampu itu tidak benar sekitar 800 800 jam. Ini Ini diartikan pula, bahwa bahwa masa pakai pakai lampu itu itu mungkin lebih lama atau lebih pendek dari masa pakai yang diduga. b. Alternatif Alternatif
yang
mendampingi mendampingi
hipotesis hipotesis
yang yang
mengandung mengandung
pengertian maksimum adalah A yang merumuskan pengertian lebih besar. Untuk Untuk contoh pengiriman pengiriman barang dimana dimana jaminan kerusakan kerusakan maksimum 5%, alternatifnya adalah A: π > 5%, berarti kerusakan dalam pengiriman itu tidak dapat memenuhi jaminan karena kerusakan melebihi dari yang ditentukan. Suatu pengujian dengan bentuk alternatif yang lebih besar merupakan uji pihak kanan. Dari bentuk pengujian inilah pula nanti kita peroleh batas-batas untuk memilih H atau A yang sudah dirumuskan. c. Akhirnya, Akhirnya, untuk H yang yang mengandung mengandung pengertian pengertian minimum, minimum, bentuk bentuk alternatifnya
harus
menyimpulkan
pengertian
lebih
kecil.
Demikianlah umpamanya, untuk daya pakai semacam kain seperti yang diberikan dalam contoh di atas, maka A: µ < 180 hari, berarti kain itu tidak sebaik seperti dinyatakan dalam hipotesis H. Alternatif yang mengandung pengertian lebih kecil ini seperti dalam contoh ini, mengakibatkan uji pihak kiri. 3. Selesai Selesai dengan perumus perumusan an H dan A, maka setelah setelah sampel sampel yang diperluka tersedia, perhitungan dapat dilakukan. Tentukan saja dari sampel ini dihitung nilai-nilai statistik yang diperlukan, misalnya ratarata x, simpangan simpangan baku s atau perbandingan perbandingan x/n dari sampel sampel itu (n = ukuran sampel yang digunakan) selanjutnya, dalam perhitungan ini digunakan sifat-sifat mengenai distribusi sampling yang telah kita kenal. 4. Langkah berikutny berikutnyaa kita tentukan tentukan batas-batas batas-batas untuk untuk melakukan
penolakan atau penerimaan H. Dikatakan cara lain, kita tentukan kriteria untuk menerima atau menolak H. Kriteria ditentukan oleh: a. Taraf signifikan signifikan α yang telah ditentukan ditentukan sebelum sebelum penelitian. penelitian. b. Daerah-daerah Daerah-daerah dibawah dibawah lengkungan lengkungan distrib distribusi usi normal normal standar standar apabila sampel yang digunakan berukuran besar, daerah-daerah dibawah distribusi student dalam hal n berukuran kecil. c. Bentuk Bentuk pengujian, pengujian, apakah dua pihak, pihak kiri atau atau pihak pihak kanan. kanan. 5. Setelah kriteria kriteria untuk pengujian pengujian ditentukan ditentukan dan hasil dari penelitian penelitian diperoleh, maka bandingkanlah antara hasil penelitian dengan kriteria tadi. Nilai z atau t dari penelitian kita tentukan ada di daerah mana. Jika nilai ini ada di daerah penerimaan H, maka ini berarti berdasarkan penelitian itu H diterima. Tetapi apabila terjadi sebaliknya, yaitu nilai penelitian ada di daerah penolakan H, maka diartikan penelitian menolak hipotesis H. 6. Akhirnya, Akhirnya, berikanlah berikanlah kesimpulan. kesimpulan.
2.3. Hubungan Pendugaan Dengan Dengan Pengujian Pengujian Hipotesis
Secara fungsional, tujuan pendugaan tentang parameter populasi berbeda dari pengujian hipotesis. Tujuan pendugaan parameter ialah penyajian hasil pendugaan tentang nilai parameter populasi yang didasarkan pada data sampel, sebaliknya pengujian hipotesis bertujuan untuk menentukan pilihan
terhadap
tindakan-tindakan
alternatif
dalam
masalah
pengambilan keputusan. Secara statistik yang berdasarkan pada hasil sampel.
Hubungan antara pengujian hipotesis dan pengambilan keputusan ini merupakan aplikasi teori statistik yang paling penting dalam bidang ekonomi. Meskipun demikian hubungan antara pendugaan parameter dengan pengujian hipotesis sudah jelas erat sekali. Kesalahan dugaan nilai parameter karena terletak diluar batas keyakinan sebetulnya sama dengan
kesalahan II dalam pengujian hipotesis. Menguji hipotesis yang menyatakan bahwa interval keyakinan bagi parameter yang bersangkutan, jika nilai yang dispesifikasikan bagi hipotesisnya seharusnya ditolak.
Prosedur pendugaan dengan sendirinya dapat merupakan pengujian hipotesis dalam arti nilai dugaannya dapat dianggap sebagai hipotesis. Kedua masalah diatas diuraikan secara terpisah karena pendugaan berhubungan hanya dengan parameter populasi sedangkan pengujian hipotesis tidak demikian.
Pengujian memerlukan observasi atau hasil pemilihan sampel yang bersifat random tentang frekuensi kerusakan x/n hasil penstensilan itu sendiri. Observasi pemilihan sampel seperti itu dapat dilakukan secara berulang-ulang kali atau sekali saja, atas dasar nilai statistik sampel keputusan, diambil guna menentukan apakah H 0 diatas diterima atau ditolak. Jika H0 tidak sama artinya H1 diterima.
Dalam hal ini salah satu tahap prosedur yang terpenting ialah menentukan nilai statistik sampel yang dianggap sebagai dasar. Nilai statistik sedemikian itu menentukan daerah kritis pengujian itu sendiri.
Pada hakekatnya, interval keyakinan membutuhkan pemilihan koefisien keyakinan 1 - guna sekaligus menentukan sepasang nilai batas keyakinannya. Dalam prosedur pengujian hipotesis kita menolak atau menerima pernyataan katakanlah x 0 (rata-rata hipotesis) tergantung pada apakah 0 terletak terletak atau tidak dalam interval interval keyakinan yang relevan, relevan, jelas sekali bahwa istilah “nyata” dan “keyakinan” sebetulnya mengukur hal yang sama. Tiap pengujian tentang keyakinan menggunakan keyakinan interval secara implisit, sebaliknya tiap interval keyakinan dapat merupakan dasar bagi pengujian tentang kenyataan. Pada umumnya,
pengujian pengujian tentang tentang pernyataan, pernyataan, koefisien keyakinan keyakinan sebesar sebesar 95% dan 99% banyak digunakan. Andaikan H0 benar, penolakan hipot hipotes esis is deng dengan an statistik statistik sampel cukup nyata. Jika koefisien keyakinan sebesar 99% digunakan, maka beda antara hipotesis hipotesis dengan hasil sampel menjadi sangat nyata, jika kita menerima H0 berarti beda keduanya tidak nyata.
2.4. Prosedur Prosedur Pengujian Pengujian Hipotesis Hipotesis
Prosedur yang umum dan secara logis harus diikuti dapat dibagi kedalam beberapa langkah yang konsisten sebagai adalah berikut: 1. Nyatakan Nyatakan hipotesis hipotesis nol serta hipotesis hipotesis alternat alternatifnya. ifnya. 2. Pilih statistik statistik yang sesuai sesuai sebagai sebagai dasar bagi prosedur prosedur pengujian. pengujian. Hal tersebut tersebut tergant tergantung ung pada asumsi asumsi tentang tentang bentuk distribusi distribusi dan hipotesisnya. 3. Pilih Pilih tara taraff nyata nyata yang tertentu serta tentukan besaran sampel n 4. Tentukan Tentukan daerah daerah kritis. Hal tesebut tesebut sebagian sebagian akan tergantu tergantung ng pada hipotesis alternatif. 5. Kumpulkan Kumpulkan data data sampel sampel dan hitung hitung dengan dengan cara demikian itu terletak terletak dalam daerah penolakan, kita harus menolak hipotesis nolnya karena probabilitas memperoleh nilai satatistik sedemikian itu, jika Ho benar demikian kecilnya sehingga kita menganggap bukan disebabkan oleh variansi sampel yang normal dan kita menarik konklusi bahwa Ho semestinya palsu.
Langkah ke enam diatas sebetulnya mencerminkan falsafah dasar pengujian hipotesis. Pada setiap pengujian sedemikian itu, kita bandingkan nilai yang diobservasi bagi karekteristik tertentu dengan nilai teoritisnya yang dinyatakan oleh hipotesis. Pada umumnya kedua nilai diatas semestinya berbeda dan penguji harus menentukan apakah beda itu memang sudah sedemikian hipotesisnya. Agar dapat menentukan suatu putusan mengenai hal diatas kita harus melihat beberapa
probalilitas sebesar yang kita peroleh jika hipotesisnya benar. Jika probabilitas tersebut kecil kita harus anggap beda diatas disebabkan oleh variasi hasil pemilihan sampel tetapi jika probabilitasnya besar kita harus tidak menganggapnya bahwa beda tersebut disebabkan oleh faktor kebetulan dan menghasilkan penolakan hipotesis yang bersangkutan dinamakan beda nyata. Jika = 0.05, maka hasil bedanya dianggap “nyata” sebaliknya, jika bedanya dapat dianggap sebagai hasil kebetulan sehingga hipotesisnya diterima, maka beda sedemikian itu menjadi tidak nyata atau tidak berarti.
2.5. kesalahan Jenis I dan dan Jenis II
Hipotesis yang merumuskan dengan harapan untuk menolak disebut hipotesis awal yang dinyatakan dengan H 0 menjurus pada penerimaan suatu hipotesis alternatif dinyatakan dengan H 1.
Bila sebuah statistik x jatuh di daerah penolakan (daerah kritis) maka H 0 ditolak dan dianggap bahwa hipotesis alternatif H 1 yang benar. Bila statistik x jatuh di daerah penerimaan maka H 0 diterima. Cara pengambilan keputusan seperti ini mungkin saja membawa kita pada dua kesimpulan yang salah yaitu: 1. Kesalah Kesalahan an tipe tipe I, terjad terjadii karena karena keputus keputusan an menolak menolak H0 dan menerima H1 dan sesungguhnya H 0 yang benar. Peluang melakukan kesalahan tipe I disebut tingkat signifikan signifikan uji hipotesis dan dinyatakan dengan α = p (m (men enol olak ak H1, H0 benar). Tingkat signifikan adalah ukuran (nilai kemungkinan) daerah kritis. 2. Kesalahan Kesalahan tipe II, II, terjadi terjadi karena keputusan keputusan menolak menolak H0 dan menerima H1 dan sesungguhnya H o yang salah. Peluang melakukan kesalahan tipe tipe II dinyata dinyatakan kan deng dengan an β = p (menola (menolak k H1, H0 salah). Peluang ini dapat dihitung bila hipotesis alternatifnya telah ditentukan. Secara skematis, kedua jenis kesalahan itu serta hubungannya dapat
dilihat sebagai berikut: Tabel 4.2.1. Tabel Jenis Kesalahan Pengambilan Keputusan Keputusan Hipotesis Hipotesis
Jika H0 benar
Jika H0 salah
Keputusan
(H1 benar)
Keputusan Terima H0
yang
betul Kesalahan
tipe
II
Probabilitas = 1- = Probabilitas = “tingkat keyakinan” Keputisan
tipe
I Keputusan
yang
betul
Probabilitas = = “taraf probab babilit litas = 1- =
Tolak H0
nyata”
“kuasa pengujian”
Gambaran kedua jenis kesalahan itu secara grafis adalah sebagai berikut:
Jika H0 benar
α
Gambar 4.2.1. Daerah Penerimaan dan Penolakan
Jika H1 benar
α
Gambar 4.2.2. Daerah Penerimaan Penerimaan dan Penolakan
2.6. Bentuk Bentuk Distribusi Distribusi,, Batas-Bata Batas-Batass Penerimaan Penerimaan dan dan Penolaka Penolakan n
Pengujian Dua Sisi H0: o
c 1 o Z / 2 / n
H1: o
c 2 o Z / 2 / n
/ 2
/ 2 1
Penerimaan
Penolakan
Penolakan
Gambar4.2.3.Kurva Pengujiaan Dua Sisi
Pengujian Pengujian Satu Sisi Sisi (Sisi Kanan) Kanan)
c o Z / n
H0 : o H1 : o
1
Gambar Gambar 4.2.4.Kurva 4.2.4.Kurva Pengujiaa Pengujiaan n Satu Sisi (Sisi Kanan) Kanan)
Pengujian Pengujian Satu Sisi (Sisi Kiri) Kiri)
c o Z / n
H0: o H1: o
1
Gambar Gambar 4.2.5.Kurva 4.2.5.Kurva Pengujiaa Pengujiaan n Satu Sisi (Sisi Kiri)
2.7. Cara Pengujian Pengujian dengan Sampel Besar Besar
Pegujian Parameter Rata-Rata H0: x =
o
dimana 2 x diketahui: Z=
Sehingga
daerah
kritis
x- μo x ⁄ √ n
pengujian
parameter
rata-rata
dimana
populasiny populasinyaa tidak terhingga terhingga dapat dapat dinyatakan dinyatakan sebagai sebagai berikut: berikut: x- μo
x- μo > Zα/2 dan < Zα/2 µx ⁄ √ n µx ⁄ √ n
Jika populasi dari mana sampel random dipilih terbatas atau sampelnya dipilih dengan cara pemulihan, maka cara menghitung x harus menggunakan faktor koreksi sebesar:
x
Nn N1
Pengujian Pengujian Parameter Parameter Rata-Rata, Rata-Rata, H0 = x o Dimana 2 x Jika dalam proses pengujian H0 = x = o , 2 x atau diketahui maka 2 x atau x harus diduga penduga S 2 atau S yang tidak bias. Dalam
sedemikian sedemikian itu, itu, statistik statistik uji uji Z dapat dapat diberikan diberikan sebagai: sebagai: Z =
x- μo S ⁄ √ n
,
sehingga daerah kritis dalam pengujian secara dua arah diberikan sebagai: x- μo
x- μo
> Zα/2 dan < Zα/2 S ⁄ √ n S ⁄ √ n
Sebaliknya Sebaliknya daerah dalam pengujian pengujian searah diberikan sebagai: sebagai: x- μo
x- μo > Zα dan < Zα S ⁄ √ n S ⁄ √ n
Jika
sampelnya
besar
sekali,
pengadaan 2 x dan x
dengan
menggunakan nilai penduga S2 atau S tetap memberi hasil yang cukup memuaskan. Sebaliknya jika sampelnya kecil, maka pengujian hipotesisnya harus mengunakan statistik uji t. Akhirnya jika populasi darimana sampel random dipilih ternyata terbatas atau sampelnya dipi dipili lih h dengan dengan cara cara pemu pemulih lihan an,, ma maka ka cara cara mengh menghitu itung ng σx ha haru russ menggunakan faktor koreksi bagi populasi terbatas sebesar:
Nn N1
Pengujian H0: 1 2 = 0 Dimana 2 Diketahui Tetapi 1 2 2 2 Pada hakekatnya 1 2 dengan menggunakan sampel besar dan dipilih dari populasi yang tidak terhingga dapat menggunakan statistik uji Z yang diberikan sebagai: Z=
x1 - x2 - μ1 -μ2 σx1 -x2
dimana:σx1 -x2 =
σ1 ² σ2 ² + n n1 2
Sehingga Sehingga daerah daerah kritis kritis dalam pengujian pengujian daerah dapat dinyatakan dinyatakan sebagai: x1 - x2 - μ1 -μ2 σx1 -x2
>Zα/2 dan
x1 - x2 - μ1 -μ2 σx1 -x2
atau: x1 - x2 - μ1 -μ2 σ1 ² σ2 ² + n1 n2
> Zα/2 dan
x1 - x2 - μ1 -μ2 σ1 ² σ2 ² + n1 n2
< Zα/2
Jika sampai random dipilih dari populasi yang terbatas atau dengan cara tanpa tanpa pemulihan, pemulihan, faktor faktor koreksi koreksi bagi populasi populasi yang yang terbatas terbatas sebesar:
( x1 - x2) - ( n1 - n2 ) N1 + N2
Pengujian H0: 1 2 = 0 Dimana 2 Diketahui Tetapi 1 2 2 2 2 Jika 2 diketahui sedangkan 12 = 12 , pengujian H0: 1 2 dengan menggunakan sampel besar dan dipilih dari populasi yang tidak terhingga dapat menggunakan statistik uji Z pada pengujian H o: 1 2 dengan atau 1 : 2
0 dimana 2 diketahui tetapi σx1 - x2 =
≠
.
1 1 + n1 n2
dimana: 1 2 deviasi standar populasi umum.
Jika sampel random yang digunakan dipilih dari populasi yang terbatas atau dengan cara tanpa pemulihan, faktor koreksi bagi populasi terbatas sebesar:
( x1 - x2) - ( n1 - n2 ) N1 + N2
Pengujian H0: 1 2 Dimana 2 Tidak Diketahui Jika 2 populasi tidak diketahui, maka penduga S2 yang tidak bias dapat digunakan untuk menduga S2. Bila sampel random yang digunakan dalam prosedur pengujian besar sekali, pendugaan S2 bagi 2 akan memberikan hasil yang memuaskan. Tetapi jika n kecil, maka pengujian H0: 1 2 lebih baik menggunakan statistik uji t.
2.8. Cara Pengujian Pengujian dengan dengan Sampel Kecil
Pengujian Ho: x 0 Dimana x Tidak Diketahui Pada rumus: t
st Parameter.hipotesis , statistik uji t bagi pengujian st
parameter x dengan sampel kecil, katakanlah kurang dari 30 dapat
X o diberikan sebagai berikut: t S/ n
Statistik uji t diatas memiliki distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar n–1. Daerah kritis pengujian dimana populasinya tidak terhingga dapat dinyatakan sebagai:
X o X o t t / 2 , D.f dan t t / 2 , t.f S/ n S/ n dimana d.f = n – 1 dan S = standar standar deviasi deviasi yang dihitung dihitung dari dari sampel sampel jika sampel random dipilih dari populasi yang terbatas atau dengan cara pemulihan maka faktor koreksi sebesar:
N 1 N 2 n 1 n 2 N 1 N 2 1 harus digunakan dalam menghitung S-nya.
Prosedur pengujian langkah demi langkah dengan menggunakan statistik uji t sama seperti prosedur pengujian dengan menggunakan statistik uji z.
Pengujian
Ho: μ1 = μ2 atau μ1 = μ2 =0 Jika
²
Tidak
Di ketahui
1 2 2 2 2 Kita misalkan x1 dan x2 didistribusikan secara normal masing-masing dengan rata-rata 1 dan 2 dan variansi 12 2 2 2 . Kita misalkan pula sampel random masing-masing sebesar n1 dan n2 dipilih dari kedua populasi yang tidak terhingga tersebut. Pengujian H 0: 1 2 dapat menggunakan statistik t yang dirumuskan secara umum sebagai:
x 1 x 2 dimana: t S12 S 22 n1
n2
n 1 1 s 1 2 n 2 1 s 1 2 S p n1 n2 : 2 2
Statistik uji t di atas akan memiliki distribusi t dengan derajat bebas sebesar n1+n2–2. jika sampel dipilih dari populasi yang terbatas atau dengan cara tanpa pemulihan, maka faktor koreksi bagi populasi terbesar sebesar:
N 1 N 2 n 1 n 2 N 1 N 2 1
Pengujian Ho: 1 2 atau 1 2 0 , Jika 2 Tidak Diketahui
12 2 2 Jika
1 2 2 2 dan tidak diketahui, penguijian 1 2 dengan
menggunakan statistik uji t:
x 1 x 2 t S12 S 22 n1
n2
dimana: v
s 1 2 n 1 s 2 2 s12n 1 s22n 2 n1 1 n2 1
Observasi Berpasangan
t
D S 2D n
dimana:
n D i 2 D i 2 S D n n 1 2
2.9. Uji Hipotesis Hipotesis Proporsi Proporsi
Pengujian Beda Antara 2 Proporsi, P 1 – P2 Bila
sepasang
data
yang
diperoleh
dari
populasi
binomialdipertandingkan, maka distribusi seharusnya merupakan distribusi proporsi sukses dan bukan distribusi jumlah sukses. Dengan lain perkataan, distribusinya harus merupakan distribusi x/n bukan distribusi x. Jika n besar, maka menggunakan dengan rata-rata: np p E p Hp n
x/n akan didistribusikan kurang lebih secara normal dengan rata-rata p dan standar deviasinya:
p
p(1 p) n
hasil uji statistik Z dapat diberikan: p 1 p 2 p 1 p 2 Z p 1 p 2 dimana:
p 1 p 2
p 1 1 p 1 p 2 1 p 2 n1 n2
Pada Pada hakekatn hakekatnya, ya, p1 dan p2 umumnya tidak diketahui sehingga harus diduga, karena pengujian dilakukan terhadap p1 = p 2, maka p1 = p 2 = p dimana p = gabungan proporsi dan dirumuskan sebagai: P
k1 k2 n1 n2
dimana k1 dan k2 masing masing-mas -masing ing merupa merupakan kan jumlah jumlah sub sampel sampel.. Akhirnya jika sampel random dipilih dari populasi yang terbatas atau dengan cara pemulihan, maka faktor koreksi bagi populasi terbatas sebesar:
N 1 N 2 n 1 n 2 N 1 N 2 1
perlu digunakan dalam menghitung: p 1 p 2
Pengujian Pengujian Parameter Parameter Proporsi, Proporsi, Ho: p = p o Jika kita memilih sampel dari populasi yang tidak terhingga dan yang memiliki
distribusi
binomial
serta
menggunakan
hasil
untuk
menentukan diterima atau ditolaknya hipotesis p = p o, dan statistik Z nya dapat diberikan sebagai:
Z
p po p o (1 p o ) n
Sehingga daerah kritisnya menjadi:
Z
p po p o (1 p o ) n
Z / 2 dan Z
p po p o (1 p o ) n
Z /2
Pengujian diatas merupakan pengujian secara aproksimatif yang sebetulnya didasarkan pada cara pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal.
Pada hakekatnya, p tidak dapat diketahui dan umumnya diganti dengan x/n, sehingga kita akan memperoleh statistik uji:
x p n Z p o (1 p o ) n
Sehingga daerah kritis dalam pengujian menjadi:
x p x p n n Z Z / 2 dan Z Z /2 p o (1 p o ) p o (1 p o ) n
n
Jika besarnya sampel relatif kecil dibandingkan dengan populasi, maka pendekatan dengan distribusi normal menggunakan faktor koreksi kontinuitas sebesar:
1 2n
Uji Hipotesis Proporsi dan Kesamaan Dua Proporsi Pada penguji pengujian an ini yang akan uji uji ialah po, yaitu dengan menggunakan rumusan sebagai berikut: Z
x /n po p o 1 p o / n Z
pˆ 1 pˆ 2
1 1 n1 n2
pq dimana: p
x1 x2 dan q 1 p n1 n2
Uji Hipotesis Varians dan Kesamaan Dua Varians Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan atau perbedaan dua rata-rata telah berulang kali ditekankan adanya asumsi bahwa kedua populasi mempunyai varians yang sama agar menaksir dan menguji bisa berlangsung. Dalam hal varians yang berlainan, hingga sekarang hanya digunakan cara-cara pendekatan. Oleh karena itu terasa perlu untuk melakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Dalam hal ini dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.Misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians 1 2 dan 2 2 . Akan diuji diuji mengenai mengenai uji uji dua pihak pihak untuk untuk pasanganH0 dan tandingannya H 1:
0 : 1 2 2 2 1 : 12 2 2
Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independent diambil dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi kesatu berukuran n1 dengan varians S12 dan sampel dari populasi kedua dengan varians S22. Maka untuk menguji menguji hipotesis hipotesis di atas digunakan: digunakan: s12 F 2 dimana: v 1 n 1 1 s2 v2 n2 1
Kriteria pengujian adalah: terima hipotesis H0 jika: F 1 n 1 1 F F1
2 n 1 1 , n 2 1
Untuk taraf nyata dimana F m ,n didapat dari daftar distribusi F dengan peluang , dk pembilang =n dan dk penyebut=n . Dalam hal lainnya H0 ditolak.
F
Tolak H0 hanya jika F F1
Varians terbesar Varians terkecil
2 v1 , v 2
dengan F F1
2 v 1 ,v 2
didapat dari
daftar distribusi F dengan peluang 1/2 , sedangkan sedangkan derajat derajat kebebasan V1 dan V2masing-masin masing-masing g sesuai sesuai dengan dk pembilang pembilang danpenye danpenyebut but dalam rumus F
Varians terbesar , seperti biasa = taraf nyata.Ketika Varians terkecil
menguji rata-rata untuk populasi normal, didapat hal dimana simpangan baku diketah diketahui. ui. Harga Harga yang diket diketahu ahuii ini umumnya umumnya didapat dari pengalaman dan untuk menetukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk ini kita misalkan populasi berdistribusi normal dengan varians 2 dan daripadanya diambil sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya S2 dihitung dengan rumus:
S
2
2 n1 i
Pada pengujian ini yang akan uji ialah kesamaan dua varians, varians, yaitu dengan menggunakan rumusan sebagai berikut:
n 1 s 2 X 0 2 2
dimana: vn1
2.10. Hubungan Antara , , n
Pada umumnya penguji harus menentukan terlebih dahulu besarnya kesalahan jenis I karena kesalahan ini dapat dikuasi, kemudian bila n sudah sudah ditentukan barulah barulah kita dapat mengatur mengatur pengujian pengujian yang sifatnya sifatnya memperkecil kesalahan jenis II.Bila tidak berubah dan n diperbesar, maka daerah kritis (daerah penolakan) makin besar, sedangkan daerah penerimaan makin sempit.
Hal ters tersebu ebutt membena membenarkan rkan teorema teorema yang yang menyat menyatakan akan bahw bahwaa n diperbesar , maka rata-rata sampel ukuran kecil. Selain dari itu penambahan n dengan harga yang tetap akan mengakibatkan pengurangan nilai dan memperbesar nilai 1- .
Hal sedemikian itu memberikan kegunaan sampel besar bagi pengujian, karena penambahan n dapat mempertahankan disamping memperkecil . Sehingga makin kecil nilai makin besar nilai 1- atau makin besar
pada probabil probabilitas itas guna guna menolak menolak hipotes hipotesis is palsu palsu (probabi (probabilitas litas kuasa pengujian).Kekeliruan tipe I dinamakan pula kekeliruan dan kekeliruan tipe II dinamakan pula kekeliruan .
Dalam penggunaanya , disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau sering pula disebut taraf nyata. Besar kecilnya
dan yang dapat
diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu. Selain daripada itu perlu pula dikemukakan bahwa kedua kekeliruan saling berkaitan. Jika diperkecil, maka menjadi besar dan demikian sebaliknya. Pada dasarnya, harus dicapai hasil pengujian hipotesis yang baik, ialah pengujian yang bersifat bahwa diantara semua pengujian yang didapat dilakukan dengan harga yang sama besar, ambillah sebuah yang mempunyai kekeliruan beta yang paling kecil.
Prinsip demikian memerlukan pemecahan matematik yang sudah keluar dari tujuan modul ini. Karenanya, untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain , akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan yaitu: 1% atau 5%. Dengan =0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis hipotesis yang yang seharusnya seharusnya diterima. diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.
