U6 Diagrama de Forester

UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE SAN S AN CRISTOBAL DE HUAMANGA

UNIDAD 7 Diagramas de Forrester Contenido Tipos de variables, símbolos, relaciones, reglas. Herramientas para la construcción de diagramas de Forrester Sistema de Ecuaciones. El modelo y las funciones matemáticas. Formulación de ecuaciones

Diagrama de Flujos, también denominado iagrama de Forrester, es el diagrama característico de la inámica de Sistemas. Es una traducción del iagrama !ausal a una terminología "ue permite la escritura de las ecuaciones en el ordenador para así poder validar el modelo, observar la evolución temporal de las variables y #acer análisis de sensibilidad.. $o #ay unas reglas precisas de cómo #acer esta transformación, pero si #ay alguna forma de abordar este proceso. %asos a seguir& '(. Hacer una fotografía mental al sistema y lo "ue salga en ella )personas, *m+, litros, animales,.. eso son $iveles. +(. -uscar o crear unos elementos "ue sean la variación de los $iveles, )personas/día, litros/#ora, ... y esos son los Flu0os. 1(. El resto de elementos son las 2ariables 3u4iliares. 3u4iliares. !omo regla general esto sirve para empe5ar. espués ya se pueden ir #aciendo reto"ues, y así los $iveles "ue vayan a permanecer constantes )m+ de la #abitación en ve5 de definirlos como $iveles se pueden definir como variables au4iliares tipo constante "ue es más sencillo. Este es todo el procedimiento.

3#ora veremos con más detalle cómo se representan estos elementos. EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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6os $iveles son a"uellos elementos "ue nos muestran en cada instante la situación del modelo, presentan una acumulación y varían solo en función de otros elementos denominados flu0os. 6as nubes dentro del diagrama de flu0os son niveles de contenido inagotable. 6os niveles se representan por un rectángulo. 6os Flu0os son elementos "ue pueden definirse como funciones temporales. %uede decirse "ue recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. 6as 2ariables au4iliares y las !onstantes, son parámetros "ue permiten una visuali5ación me0or de los aspectos "ue condicionan el comportamiento de los flu0os. 6as magnitudes físicas entre flu0os y niveles se transmiten a través de los denominados canales materiales. %or otra parte e4isten los llamados canales de información, "ue transmiten, como su nombre indica, informaciones "ue por su naturale5a no se conservan. %or 7ltimo "uedan por definir los retardos, "ue simulan los retrasos de tiempo en la transmisión de los materiales o las informaciones. En los sistemas socioeconómicos es frecuente la e4istencia de retardos en la transmisión de la información y de los materiales y tienen gran importancia en el comportamiento del sistema.

Tipos de variables 6as variables o elementos del diagrama de influencias, una ve5 identificados como acumulaciones, o ra5ones de cambio o cálculos intermedios son representados mediante& •

variables de nivel o acumulaciones

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variables de flu0o o ra5ones de cambio

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variables au4iliares o de cálculo intermedio

Los elementos del diagrama de Forrester 6as variables de estado o niveles se definen como a"uellos elementos "ue muestran en cada instante la situación del modelo, simulan una acumulación y varían solo en función de los flu0os. 6os niveles se representan por medio de un rectángulo. %ara el caso del símil #idrodinámico los niveles son $', $+ y $1. El EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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rectángulo representa la variable de nivel. 6a evolución de este tipo de variables resulta siendo muy significativa para el estudio del sistema. 6a variable de nivel al cambiar a través del tiempo alcan5a lo "ue se conoce con nombre de estado del sistema. 6a elección de los elementos o variables "ue se pueden representar mediante niveles en un modelo determinado depende del problema específico "ué se esté considerando8 sin embargo una característica com7n a todos los niveles es "ue cambian lenta o rápidamente en respuesta a variaciones de otras variables. 3 cada nivel se le puede asociar un flu0o de entrada )FE o un flu0o de salida )FS o una combinación de los dos. 9n e0emplo de nivel podría ser la cantidad de personas "ue #ay dentro de la sala de un teatro. 6os llamados  canales de información, transmiten, como su nombre indica, informaciones "ue por su naturale5a no se conservan. 6as magnitudes físicas entre flu0os y niveles se transmiten a través de los denominados canales de material. 6as ra5ones de cambio, válvulas o  flujos son elementos "ue se definen como funciones temporales, pues recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. 6as variables de flu0o caracteri5an las acciones "ue se toman en el sistema, las cuales "uedan acumuladas en los correspondientes niveles. ebido a su naturale5a se trata de variables "ue no son medibles en sí, sino "ue se miden por los efectos "ue se producen en las variables de nivel de tal forma "ue las variables de nivel se asocian con ecuaciones "ue definen el comportamiento del sistema. 9n e0emplo de flu0o podría ser la cantidad de personas "ue entran a un teatro por unidad de tiempo, : personas por minuto. 6a ;nube< representa una fuente o un sumidero de material "ue puede interpretarse como un nivel "ue no es importante para el modelador y es prácticamente inagotable.

6as ;constantes< o parámetros se usan para representar a"uellos valores "ue no cambian a través del tiempo. Son determinantes para calcular el valor de los flu0os. 9n e0emplo de constante es la tasa de natalidad de una población o la tasa de interés de un préstamo. 6os retardos, "ue simulan el tiempo "ue demora la transmisión de los materiales o las informaciones. En los sistemas socioeconómicos es frecuente la e4istencia de retardos en la transmisión de material e información y tienen una gran importancia en la determinación del comportamiento del sistema. E0emplo& si se siembra una semilla de maí5 se esperaría "ue a los => días #ubiera una ma5orca, es decir, #abría un retardo de => días desde el momento de la siembra #asta el momento de la cosec#a. EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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6as variables ;eógenas< son las influencias "ue afectan el sistema, pero lo "ue suceda en el sistema no la afecta. 9n e0emplo puede ser la cantidad de agua lluvia "ue afecta a un cultivo. 6as variables auiliares son cálculos intermedios y valores fi0os, respectivamente, "ue permiten una visuali5ación me0or de los aspectos "ue condicionan el comportamiento de los flu0os.

6as ;tablas< se usan para representar a"uellas relaciones entre variables "ue son no lineales, este tipo de comportamientos se pueden observar por e0emplo entre la sensación de #ambre y la cantidad de alimento consumido8 a medida "ue se come la sensación de #ambre disminuye, pero no proporcionalmente a la cantidad de alimento consumido. También se usan para representar multiplicadores "ue son las relaciones entre variables "ue no permanecen constantes a través del tiempo. E0emplo de ello sería una tasa de interés variable.

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Se puede resumir de la siguiente manera& 3#ora veremos con más detalle cómo se representan estos elementos. 6os $iveles son a"uellos elementos "ue nos muestran en cada instante la situación del modelo, presentan una acumulación y varían solo en función de otros elementos denominados flu0os. 6as nubes dentro del diagrama EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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de flu0os son niveles de contenido inagotable. 6os niveles se representan por un rectángulo. 6os Flu0os son elementos "ue pueden definirse como funciones temporales. %uede decirse "ue recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. 6as 2ariables au4iliares y las !onstantes, son parámetros "ue permiten una visuali5ación me0or de los aspectos "ue condicionan el comportamiento de los flu0os. 6as magnitudes físicas entre flu0os y niveles se transmiten a través de los denominados canales materiales. %or otra parte e4isten los llamados canales de información, "ue transmiten, como su nombre indica, informaciones "ue por su naturale5a no se conservan. %or 7ltimo "uedan por definir los retardos, "ue simulan los retrasos de tiempo en la transmisión de los materiales o las informaciones. En los sistemas socioeconómicos es frecuente la e4istencia de retardos en la transmisión de la información y de los materiales y tienen gran importancia en el comportamiento del sistema.

!jemplo de creación de modelos de simulación 6a creación de un modelo no re"uiere conocimientos matemáticos ni estadísticos, sólo son necesarios unos conocimientos informáticos a nivel de usuario. 2eamos un e0emplo de los pasos a seguir&

Dibujar el diagrama causal" Se dibu0an en un papel los elementos del sistema y las relaciones "ue e4isten entre ellos.

Dibujar el diagrama de flujos" !on ayuda de los iconos se dibu0an en la pantalla del ordenador los elementos del sistema


y las relaciones entre ellos

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!cuaciones El soft?are escribe en parte las ecuaciones de acuerdo con el diagrama de flu0os "ue #emos dibu0ado. E4iste total libertad en cuanto al nombre asignado a las variables y su longitud.

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!jecutar el modelo %ulsar en el icono

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#btener los resultados Tenemos diversas opciones para visuali5ar el resultado de la simulación& 6a evolución temporal de un elemento y sus causas& , la evolución temporal de un elemento sólo& o la tabla de los valores del elemento&


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Herramientas para la construcción de diagramas de Forrester E4isten diversa #erramienta, pero entre las más destacadas son las siguientes& 2ensim, ynamo y Stella.

2ensim 2ensim es una #erramienta visual de modela0e "ue permite conceptuali5ar, documentar, simular, anali5ar y optimi5ar modelos de dinámica de sistemas. 2ensim provee una forma simple y fle4ible de construir modelos de simulación, sean la5os causales o diagramas de stoc* y de flu0o. @ediante la cone4ión de palabras con flec#as, las relaciones entre las variables del sistema son ingresadas y registradas como cone4iones causales. Esta información es usada por el Editor de Ecuaciones para ayudarlo a completar su modelo de simulación. %odrá anali5ar su modelo siguiendo el proceso de construcción, mirando las causas y el uso de las variables y también siguiendo los la5os relacionados con una variable. !uando construye un modelo "ue puede ser simulado, 2ensim le permite e4plorar el comportamiento del modelo.


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escripción de 2ensim 2ensim es actualmente el programa más versátil, intuitivo y sencillo para construir y simular modelos dinámicos. %ermite construir modelos a través de diagramas causales o en versión te4to, y en cual"uiera de las dos modalidades permite comparar fácilmente los resultados de distintos e4perimentos, superponer gráficos de distintas variables, cambiar escalas, periodos de estudio, etc.


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2ensim permite reali5ar utilidades avan5adas, como son el calibrado de parámetros, análisis de sensibilidad, optimi5ación de funciones y valoración de decisiones a través de 0uegos interactivos entre otras posibilidades. También permite construir aplicaciones SS )ecision Suport System, elaborar informes EAS )E4ecutive Anformation Systems, importar y e4portar datos de #o0as de cálculo o formatos 3S!A y enla5ar un modelo con aplicaciones construidas con otras librerías y aplicaciones programadas en lengua0e !. !oncretamente se pueden enla5ar los modelos con aplicaciones de teoría de 0uegos, programación lineal o genética, etc. !rear un modelo con 2ensim es muy sencillo y sus men7s de fácil acceso #acen del traba0o de todo modelador un verdadero placer. 3lgunas características de 2ensim& 2ensim permite identificar los distintos elementos del modelo con nombres de #asta +:> caracteres, incluyendo tantos espacios en blanco, es decir, divisiones de palabras, como se desee. %ermite introducir datos directamente o en forma de tablas e interpola los datos conocidos cuando se omiten los valores de alguna)s observación)es. 6a utilidad 9nits !#ec* del men7 @odel permite contrastar la consistencia de las unidades en las "ue #an sido medidos los distintos elementos del modelo. El programa no lee los te4tos incluidos entre paréntesis BC, por lo "ue en cual"uier parte del te4to se pueden introducir comentarios, advertencias y referencias 7tiles para lecturas posteriores. 6a apariencia de la pantalla del diagrama causal es muy fle4ible, en el sentido de "ue resulta muy sencillo organi5ar visualmente los elementos por categorías asignándoles bordes o marcos diferentes, despla5ándolos por la pantalla a conveniencia, modificando las fuentes "ue los describen, el grosor, color de las flec#as "ue indican sus relaciones, etc. $o debe olvidarse tampoco la conveniencia de poder poner en segundo plano las relaciones "ue influyen sobre alguna variable convirtiéndola en variable sombra o la posibilidad de dividir la representación gráfica del modelo entre dos o más bos"ue0os. El modelador podrá reali5ar simulaciones con los datos de partida del modelo empleando la opción simulate del men7 desplegable @odel. Seleccionando la opción adecuada también podrá reali5ar simulaciones alternativas modificando el valor de los parámetros o valores de cuadros o tablas del modelo. El men7 desplegable Dindo?s permite acceder al panel de control )control panel desde el "ue se pueden modificar muc#os aspectos de interés, y, en particular, todos a"uellos "ue afectan a los diagramas del modelo. %or e0emplo, desde a"uí se puede modificar distintos aspectos "ue afectan a la apariencia de los gráficos )escalas, divisiones, etc. pero también permite EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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representar simultáneamente los valores de varias variables de distintas simulaciones, elegir las variables representadas en los e0es, etc. El men7 vertical de iconos permite reali5ar con la má4ima facilidad operaciones muy convenientes& El modelador "ue traba0a con en 2ensim podrá comprobar en cual"uier momento "ué elementos influyen sobre el valor de la variable seleccionada en cada momento )pulsando dos veces el botón i5"uierdo del ratón sobre el nombre de la variable y sobre "ué elementos influye la variable seleccionada presionando respectivamente el primero o el segundo icono de la serie vertical. El modelador puede recordar en cual"uier momento los datos relativos a cual"uier elemento del modelo seleccionando ese elemento )con una doble pulsación del botón i5"uierdo del ratón y presionando después el icono vertical denominado !G. Este responderá con la definición del elemento seleccionado, las unidades en "ue está medido y cual"uier definición o comentario introducido por el modelador El "uinto icono de la barra vertical permiten conocer tras cada simulación, la evolución gráfica de la variable seleccionada y las de los elementos "ue tienen una influencia directa sobre ella. El se4to icono ofrece esa misma información pero sólo para la variable seleccionada. El 7ltimo icono del men7 vertical permite leer la evolución de la variable seleccionada periodo tras periodo en forma de cuadro.


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ynamo Se creó a mediados de los aos '=:>1 por el profesor Iay Forrester a raí5 de un traba0o suyo para Jeneral Electric )JE. 3sí, en '=:K, Forrester aceptó un puesto de profesor en la recién formada @AT Sloan Sc#ool of @anagement. Su ob0etivo inicial era determinar cómo sus antecedentes en la ciencia y la ingeniería podían ser aprovec#ados, de alguna manera 7til, en las cuestiones fundamentales "ue determinan el é4ito o el fracaso de las empresas. En ese momento, los directivos de JE estaban perple0os por"ue el empleo en sus plantas de electrodomésticos en Lentuc*y e4#ibía un ciclo significativo de tres aos. El ciclo económico se consideró una e4plicación insuficiente para la inestabilidad del empleo en JE. 3 partir de simulaciones a mano ) o cálculos de la estructura de flu0os y de la retroalimentación de las plantas de JE, "ue incluyó a la toma de decisiones corporativas con respecto a la estructura de la contratación y los despidos, Forrester fue capa5 de demostrar cómo la inestabilidad en el empleo de JE se debía a la estructura interna de la empresa y no a una fuer5a e4terna, como el ciclo económico. Estas simulaciones manuales fueron el comien5oM de un nuevo enfo"ue para abordar problemas industriales, basado en el análisis de la estructura interna más "ue en el impacto de factores e4ternos. urante la década de '=:> y comien5os de '=K>, Forrester y un e"uipo de estudiantes de postgrado se dio el salto de una etapa de la simulación manual a una la etapa de modelado formal por ordenador debido a "ue en esa época Nic#ard -ennett creó el primer lengua0e de modelado dinámico llamado SA@%6E )Simulation of Andustrial @anagement %roblems ?it# 6ots of E"uations en la primavera de '=:O. En '=:=, %#yllis Fo4 y 3le4ander %ug# escribió la primera versión de P$3@ )P$3mic @dels, una versión me0orada de SA@%6E, y el nuevo lengua0e basado en variables de #asta O caracteres, del "ue a7n se pueden #allar modelos en libros antiguos, se convirtió en el estándar de la industria durante más de treinta aos. Forrester publicó el primer, y todavía clásico, libro en el campo con el título de Andustrial ynamics en '=K'. esde finales de '=:> a finales de '=K>, las publicaciones recogen aplicaciones centradas en el ámbito de organi5ación industrial y a problemas gerenciales en empresas. En '=KO, sin embargo, un acontecimiento inesperado causó "ue el campo se ampliara más allá del modelado corporativo. Io#n !ollins, el e4alcalde de -oston, fue nombrado profesor visitante de 3suntos 9rbanos del @AT. El resultado de la colaboración !ollinsQForrester fue un libro titulado 9rban ynamics "ue sirvió para e4plicar cómo los subsidios p7blicos provocan "ue en el centro de las grandes ciudades #abiten las familias de menor renta, lo cual ya #abía definido Forrester antes como el comportamiento contraQintuitivo de los sistemas sociales. @uy poco después, en '=R>, Iay Forrester fue invitado por el !lub de Noma para una reunión en -erna, Sui5a. El !lub de Noma es una organi5ación dedicada a la solución de lo "ue sus miembros describen como el predicamento de la #umanidad, es decir, la crisis global "ue puede aparecer en alg7n momento en el futuro, debido a las e4igencias "ue se colocan sobre la capacidad de carga de la Tierra )sus fuentes de los EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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recursos renovables y no renovables y sus sumideros para la eliminación de los contaminantes "ue el mundo está en crecimiento e4ponencial de la población. En la reunión de -erna, a Forrester se le preguntó si podría aportar un nuevo enfo"ue para ser utili5ado para #acer frente a la difícil situación de la #umanidad. Su respuesta, por supuesto, era "ue podía. En el avión de regreso de la reunión de -erna, Forrester creó el primer borrador de un modelo del sistema socioQ económico del mundo, donde aparecían conceptos inéditos #asta entonces como el de recicla0e de productos de consumo. Ul llamó a este modelo DN6'. 3 su regreso a Estados 9nidos, Forrester refinó DN6', en preparación para la visita al @AT por los miembros del !lub de Noma, dando origen a una versión refinada del modelo "ue fue el DN6+. Forrester publicó Dorld+ en un libro titulado Dorld ynamics.

$T!LLA 6os fundamentos de la dinámica de sistemas, creados por Iay Forrester, se están e4tendiendo cada ve5 más entre nuestros estudiantes, donde la e4presión ;e4tendiendo< la utili5amos en el amplio sentido de ;conociendo y aplicando<. Hay sobrados e0emplos de fundamentos teóricos "ue son comprendidos en la etapa de aprendi5a0e, pero posteriormente no son aplicables. $o "ueriendo con esto decir "ue #a sido un ;aprendi5a0e in7til<, sino "ue simplemente no se utili5a en la mayoría de las veces a causa de su rango de valide5. %or e0emplo nadie duda de la potencia de la Transformada de 6aplace para la resolución de ecuaciones diferenciales ;lineales<, y es así "ue toda ve5 "ue aparecen ecuaciones diferenciales noQlineales )las más abundantes en la comple0idad de #oy los fundamentos y teoremas de la Transformada de 6aplace "uedan en el olvido, y con el agregado de "ue eventualmente ;esa< ecuación diferencial noQlineal también "uede en el olvido. %ues bien, la dinámica de sistemas se basa en un lengua0e formal bastante simple, y en la "ue inicialmente podemos reconocer cuatro tipos de elementos& variable de estado, variable de flu0o, convertidor y conector. bserve la figura ' otorgada por el soft?are STE663 )versión 1.>R


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$istema de !cuaciones" Anvestigar


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!jemplo %r&ctico D!$C'I%CI(N D!L )#D!L# isearemos un modelo "ue representará de forma simplificada el comportamiento de la poliomielitis en una población. 6a enfermedad tiene mayor incidencia en nios lactantes y menores de : aos, en las 5onas tropicales, y en nios en edad escolar, en las 5onas templadas. Sin embargo, los brotes en comunidades aisladas pueden afectar a cual"uier edad. !aracterísticas& •

%oblación cerrada, no se tiene en cuenta las tasas de mortalidad, natalidad y migraciones.

•

Se ignoran los periodos de incubación y latencia.

•

6a infección, el contagio y la enfermedad aparecen simultáneamente.

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6a inmunidad creada es activa.

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!onsideramos nula la tasa de letalidad.

*A'IA+L!$ D!L )#D!L# *ariables de estado •

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%oblación susceptible. Se considera a a"uellas personas "ue no poseen suficiente resistencia contra el agente patógeno y pueden ad"uirir la enfermedad. %oblación enferma. Serían las personas infectadas con la sintomatología típica de la enfermedad. %oblación inmune. %ersonas "ue poseen anticuerpos "ue les previene del contagio de la enfermedad.

*ariables de flujo EFP Ing. De Sistemas Ing. Eina! Ca!!i" Ri#e!"s

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Ancidencia. $7mero de personas "ue pasan de la población de susceptibles a enfermos por unidad de tiempo. Necuperación. $7mero de personas "ue pasan de la población de infectados a la población de inmunes por unidad de tiempo. 2acunación. $7mero de personas de la población "ue pasan de susceptibles a la de inmunes por unidad de tiempo, debido a la vacuna.

*ariables auiliares •

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%revalencia. %roporción de la población total "ue está enferma o presenta trastornos causados por la enfermedad. Tasa de incidencia. !ociente entre el n7mero de casos nuevos de poliomielitis diagnosticados por unidad de tiempo )día y el n7mero de personas "ue componen la población de la "ue surgieron esos casos.

%ar&metros •

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Tasa de contagio. Es la proporción de personas "ue abandonan el estado de susceptibles y pasan al estado de enfermos. Se llama también coeficiente de transmisión de la enfermedad. epende de la tasa de contacto entre personas susceptibles y enfermas y la probabilidad de transmisión de la enfermedad a partir de un contacto. Tasa de recuperación. %roporción de personas "ue abandonan el estado de infectados y pasan al estado de inmunes. Tasa de vacunación. %roporción de personas "ue de0an de ser susceptibles y pasan a ser inmunes, debido a la vacunación. Tasa de letalidad. %roporción de personas infectadas "ue fallecen.

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DIA,'A)A D! F#''!$T!'


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