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U6 metodos numericos. fundamentos de ecuaciones diferenciales
INSTITUTO TECNOLOGICO DE SALTILLO
14/16/2016yESSIKA ALEJANDRA GONZALEZ SIERRAPROFESORA. MARIA ISABEL PIÑA VILLANUEVA14/16/2016yESSIKA ALEJANDRA GONZALEZ SIERRAPROFESORA. MARIA ISABEL PIÑA VILLANUEVA
14/16/2016
yESSIKA ALEJANDRA GONZALEZ SIERRA
PROFESORA. MARIA ISABEL PIÑA VILLANUEVA
14/16/2016
yESSIKA ALEJANDRA GONZALEZ SIERRA
PROFESORA. MARIA ISABEL PIÑA VILLANUEVA
INDICE
Introducción________________________________________ 2
Fundamentos de ecuaciones diferenciales ________________ 3
Métodos de un paso: Método de Euler___________________ 5
Método de Euler mejorado ____________________________ 8
Método de Runge-Kutta _______________________________ 10
Métodos de pasos múltiples ___________________________ 13
Aplicaciones a la ingeniería____________________________ 15
INTRODUCCION
La Construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como la ecuación (x2 + y2) dx -2xy dy= 0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.
El estudio de las ecuaciones diferenciales es tan antiguo como el desarrollo del cálculo por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. Suscitaron una gran motivación importantes preguntas como el cambio y el movimiento en la tierra y el cielo.
Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aun cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes. En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.
Al igual que en las escuelas o las universidades el álgebra introduce los sistemas de ecuaciones algebraicas, el estudio de ciertos problemas nos conduce a menudo al manejo de sistemas de ecuaciones diferenciales. Cada uno de estos a su vez en sistemas lineales o no lineales.
Fundamentos de ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Si la ecuación solo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferenciales Ordinarias (EDO). Si la ecuación contiene más de una variable independiente, apareciendo así sus derivadas Parciales, recibe el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que aparezca en ella.
Se llama grado de una ecuación diferencial al grado de la derivada de mayor orden que aparezca en ella.
Se llama solución general de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables, libres de derivadas, que satisface dicha ecuación diferencial. Por lo común, la solución general de una ecuación diferencial de orden n tiene n constante. Integrar o resolver una ecuación diferencial es hallar su solución general.
Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que se obtienen a partir de la solución general, dando valores a las constantes.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, ,
es la derivada de con respecto a .
La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de la ecuación
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
Grado de la ecuación
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma
es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones con k un número real cualquiera.
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones con a y b reales.
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones con a y b reales.
Métodos de un paso: Método de Euler
El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de método numérico para la resolución de un problema de valor inicial:
y 0 = f(x, y), y(x0) = y0
donde suponemos además que se verifican las hipótesis del Teorema de Picard1 , y en consecuencia existe solución ´única para el problema. Interpretando la e.d.o. y 0 = f(x, y) como un campo de direcciones en el plano x y y la condición inicial y(x0) = y0 como un punto (x0, y0) de dicho plano, podemos aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese punto:
y(x) = y0 + f(x0, y0)(x x0)
Donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m = y 0 (x0) y, en consecuencia: m = f(x0, y0). Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto de abscisa x1 como:
y(x1) = y1 = y0 + f(x0, y0)(x1 x0)
y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado (x2, y2) de la forma:
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