TRIGONOMETRÍA 3ro 2TRIM

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SATÉLITE AMBIENTAL El satélite Nimbus rodea la Tierra en una órbita que pasa por los polos norte y sur varias veces al día, fotografiando la superficie a su paso. Como la Tierra gira, cada paso produce una nueva serie de imágenes y puede reflejar el planeta entero todos los días. La información gráfica sobre la atmósfera terrestre y los océanos se transmite a la superficie, donde se utiliza para controlar los cambios en el medio ambiente.

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DPTO.

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TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Conceptos Previos Recta Numérica Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo y otro negativo. En donde además a cada punto de esta se le a asignado tan sólo un número real. Veamos un gráfico :

H a c ia e l

-

...

C -3

-2

B

0

-1

0

A 1

H a c ia e l

+

3 2

3 ...

 Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN)  Al punto “A” se le asigna el valor

3



3 : Re al



 Al punto “B” se le asigna el valor -1.  Al punto “C” se le asigna el valor -. 

Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2 rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes.

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Y

( H a c ia e l + ) Segundo C u a d ra n te ( IIC )

( H a c ia e l )

Te rc e r C u a d ra n te ( IIIC )

( E je d e O r d e n a d a s )

P r im e r C u a d r a n te ( IC ) 0

C u a r to C u a d ra n te ( IV C )

( E je d e A b s c is a s ) X ( H a c ia e l + )

( H a c ia e l )

Nota: A la intersección de rectas se le denomina “origen” de coordenadas.

 Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano cartesiano se le asocia un par ordenado. El cual se representará de la siguiente manera: P (a;b) en donde: a  Abscisa del punto “P” b  Ordenada del punto “P”

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Observemos gráficamente:  Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano. Y P (a ;b )

b X

a

Veamos un ejemplo de Aplicación: Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano. a) P (3;2)

b) Q (-2;1)

c) R (-1;3)

d) S (4;2)

Resolución:

Q (-2 ;1 ) -2 -1

R (-1 ;-3 )

Trigonometría

P (3 ;2 )

2 1

-1 -2 -3

3

4 S ( 4 ;-2 )

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Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se representa de la siguiente manera: Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.: Y

P(a;b)

b r

0

X a

 Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b). Calculemos su valor:

Y

P ( a ;b )

b r 0

Trigonometría

X a

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Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”.

r 2  a2  b2  r 

a2  b2

Veamos un ejemplo de aplicación  Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3) y R (1; -3). Resolución: - Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( 1; -3) en el plano: Y P (-4 ;3 )

3

rP -4

0

-3

Calculamos rp: rp 

  42

  3 2

rp 

16  9

rp 

25  5

Calculamos rR:

Trigonometría

X

1

rR R ( 1 ;- 3 )

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rp 

  12

   3 2

rp 

1 9

rp 

10

Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:  Su vértice es el origen de coordenadas.  Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas.  Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a que cuadrante pertenece dicho ángulo.

Analicemos Gráficamente

Y

Lado F in a l de

IC

IIC

E je p o s itiv o d e la s a b s c i s a s ( l a d o i n ic i a l d e t o d o á n g u lo e n p o s ic ió n n o r m a l)

X

O Lado F in a l de 

Trigonometría

IIIC



IV C

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 Ya que el lado final de  se encuentra en el IIC, entonces  pertenece al IIC.  Ya que el lado final de  se encuentra en el IIIC, entonces  pertenece al IIIC.

Nota Importante: ¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal? Y

q n m

X

O

p

Rpta.: “R y p no son ángulos en posición normal” porque su lado inicial no es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q “si son ángulos en posición normal”. Ejemplo de Aplicación: Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (3; -4).

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Resolución: De inmediato se nos viene a la mente 2 posibilidades: Y

3

X

 -4

P (3 ;-4 )

 y  son ángulos en posición normal para el punto P (3; -4). Pero …¿son los únicos? … La respuesta es NO, cada uno de los puntos del plano cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar. A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los ángulos coterminales. Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con  y  por ser de menor magnitud. Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se denominan COTERMINALE, cuando sus lados finales coincide. Además la diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de vueltas o revoluciones.

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Veámoslo gráficamente:  Para ángulos coterminales. Y

 X

En la figura se observa:  y  poseen el mismo lado terminal. Además:  =  + 1 vuelta  -  = 1 vuelta Entonces  y  son COTERMINALES. En General: Si X e Y son COTER-MINALES entonces X – Y = R (vueltas) = R (2rad) = n (360 º).

También son coterminales:

Y

X



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Ambos con orientación negativa. Y

m

n

X

Uno con orientación positiva y otro con orientación negativa. “Para todos los casos se cumple la misma regla”

Nota: Si 2 ángulos son coterminales entonces tendrán los mismo valores para sus razones trigonométricas. Es decir si  y  son coterminales: Sen + Sen

Sec = Sec

Cos = cos

Ctg = Ctg

Tg = Tg

Csc = Csc

Nota Importante: Cambio de la orientación de un ángulo  Sea el ángulo trigonométrico “”. Y

Y

X

X

O

Trigonometría

O

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Observamos que para modificar la orientación de un ángulo lo que se hace es anteponerle un signo (-) y se le cambia el sentido a la “flecha” que representa la orientación del ángulo. De igual manera se realiza el cambio de orientación para un ángulo negativo (). Y

Y

X

X

O

O



( - )

Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición normal es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano. Nota: “Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante” - Éstos ángulos son de la forma: n x 90º ó R x

Rad (n : Entero) 2

Ejm.:

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n (# Entero)

   1 ( 1)90 ó ( 1) rad   90 º ó  rad 2 2  0  ( 0 )90 ó ( 0 ) rad  2

0º ó  0 rad

 1 ( 1)90 ó ( 1) rad  2

90º ó 

 rad 2

  2  ( 2 )90 ó ( 2 ) rad  180 º ó  rad 2 2  3 3  ( 3 )90 ó ( 3 ) rad  270 º ó  rad 2 2  4  ( 4 )90 ó ( 4 ) rad  360 º ó  2rad 2

Valores de las Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

Trigonometría

Sen

0 0

90 1

180 0

270 -1

360 0

Cos

1

0

-1

0

1

Tg

0

ND

0

ND

0

Ctg

ND

0

ND

0

ND

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Sec

1

ND

-1

ND

1

Csc

ND

1

ND

-1

ND

ND: No definido Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal: Sea “” un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a su lado final. Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera:

Y

P(a;b)

r a

Donde r 

a2  b2

Sen 

ordenada de P b  Radio Vector r

Cos 

abscisa de P a  Radio Vector r

Tg

Ordenada de P a  Radio Vector r



Trigonometría

b X O

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Ctg 

Abscisa de P a  Ordenada de P b

Sec 

Radio Vector r  Abscisa de P a

Csc 

Radio Vector r  Ordenada de P b

Ejm. de Aplicación: Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal . Calcular: A  3 5  Sen  Cos 

Resolución:

Y

P (-2 ;4 )

4

r

 X

-2

Calculamos: r 

  2 2

 42 

Trigonometría

4  16

O

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SAN JUAN BOSCO r 

20  2 5

Calculamos Sen y Cos Sen 

Ordenada de P 4 2   Radio Vector 2 5 5

Cos 

Abscisade de P 2 1   Radio Vector 2 5 5

Reemplazamos 

 1     3(2  1)    5  5  

2

A  3 5  

A = 9 Rpta. Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.) Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro: Y Sen y (+ C sc Las dem ás R .T . S o n (- ) Tg y (+ ) C tg Las dem ás R .T . S o n (-)

)

T o d a s la s R .T . S o n p o s it i v a s

X C os y (+ ) Sec Las dem ás R .T . S o n (-)

Para recordar: Primer Cuadrante  P  Positivos todas R.T. Segundo Cuadrante  S  Seno y su Co-Razón (Csc) son (+)

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Tercer Cuadrante  T  Tangente y su Co – Razón (Ctg) son (+) Cuarto Cuadrante  C  Coseno y su Co-Razón (Sec) son (+)

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Tercer Año

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PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Si

el

punto

P

(-12;5)

I. Sen190º: Cos(190º)

pertenece al lado final del

II. Tg160º: Sec(200º)

ángulo en posición normal

III. Cos120º: Sec (200º)

“”. Hallar Sen. Rpta.:

Rpta.: 02. Siendo P (-5;6) un punto

06. Calcular: Cos.Cos.

perteneciente al lado final de un ángulo en posición normal . Calcular: E 

Y

( - 2 ;1 ) X

61Cos  10Tg 

O

Rpta.:

 ( - 1 ;- 2 )

03. Si Cot = -6/8; y sabiendo que   IVC. Hallar: R = Sen - Cos

Rpta.: 07. Del gráfico, Hallar:

Rpta.:

29 Cos 

04. De la figura calcular el valor de: 13  sen  Cos 

13 Cos

Y



Y

X

0 X

0

P ( - 3 ;- 2 ) Q ( 2 ;-5 )

Rpta.: (-3 ;-2 )

Rpta.: 05. Hallar el signo de cada producto:

Trigonometría

08. Si Sen = -1/3, además: Cos > 0. Hallar el valor de

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N

2  Sec   Tg  

Rpta.:

09. Si Tg = 3. Calcular x Y

Rpta.: X

0 (X -1 ; 4 x -1 )

12. En la figura mostrada; Hallar el valor de:

Rpta.:

10. Si el punto P (-2,3) pertenece

R

 

n 2  1 Cos    

 m2  Sen m  

al lado final del ángulo “” (en posición normal tal que (90º <  < 180º). Calcular el

P (-1 ;m )

Y



valor de:

X

O

Sen  Cos E Tg  Ctg

Rpta.:

Y

Rpta.: B 11. Del gráfico calcular “Tg”. Si:

OABC es un cuadrado:

X

Trigonometría A

O

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13. Si se cumple:

Rpta.:

Csc2 - 9 = 0

16. De la figura calcular

Además: Cos < 0 y Sen > 0. Determinar el valor

Sen  3Cos Sen  3Cos

E

Y

M

4 Sen 

2Cos  3 Tg

P (-a ;2 a )

Rpta.:

X



0

14. Si  

(

180º ; 270º

Determine el signo de

Q 3 a ;-a )

Rpta.:

      Sen  45 º  . Tg  50º   2   3  P  2  Sec  20 º   5  Rpta.:

17. Si 1 1

5  13Cos

1

Hallar M = Tg - Sec Además ( IV C)

15. Del gráfico calcular: Tg + Tg

Rpta.:

Siendo 0BCD un cuadrado Y

18. Hallar Tg

B 0



X

Y

P (2 a ; -b )

O



(4 ;-2 )

X

O

0

D

C Rpta.:

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(-a ;0 )

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20. Si: 712tgx + 5 = 1; (x  II C)

19. Del gráfico calcular: 3sec2 - Tg

Calcular A = Senx – Cosx

Y

Rpta.:

(-5 ; -3 )

Rpta.:

Trigonometría



X

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PROBLEMAS PARA LA CASA 01. A que cuadrante pertenece el ángulo  si:

ángulo en posición normal “”, calcular:

Cos < 0  Tg > 0 a) I C

b) 2 C

d) IV C

e) V C

sen Tg . Sec

c) III C

02. De la figura, calcular el valor de:

a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

04. Si  y φ son dos ángulos coterminales. Además Tg. Calcular P = Csc + Cosφ

5Cscθ  Ctgθ Y

(-2 ;1 )

a)



a) 1

b) 9

d) 7

e) 5

b)  21 17

c)

21 17

e)

 21 17 17

X

O

17 17

d)

21 17 27

c) 3 05. Si

sen2a=

1 9

y

Cosa

Cos90 03. Si

el

punto

P

(-1;

-7)

pertenece al lado final del

Trigonometría

Calcular el menor valor de:

M  C sca  3 2 cos a

<

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a) -7

b) -1

d) 2

e) 3

08. Si   IV C además:

c) 1

06. Del gráfico mostrado calcular:

sen sec 

K 

8



ta g 

 sec 45



 2 ta g   3

Calcular: Sec - Tg

Y

P (1 ;2 )

a) 1/3

b) 2

d)-2

e) 0

c) -3

X

09. Del gráfico calcular “Tg φ” Y

a)  d)

1 5

1 5

07. Siendo

b)

2 5

e)

2 5

y



c)

3 5

37

X

 0 

Ángulos

trigonométricos calcular:           cos   s e n      2   2 

sen

a) -4/7

b) -3/7

d) 7/3

e) -7/3

c) -7/4

10. De la figura calcular el valor de: Ctg - Csc Y

0

X

X

1 -2 a

 a) 0 d)

b) -1

2

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e)

 2

(2 a ;1 + a )

c) 2 a) 2

b) 3

c) 4

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d) 5

e) 6

14. Calcular M = Ctg + Csc2 - 3Tg

11. Sabiendo que: ( II C)

Y

4Sen2 - 13sen + 3 = 0.

0

X

Calcular el valor de: M = 1 -2 a

1  ctg . cos 15 a) -1/2

b) -1/3

d) -1/5

e) -1/6

(2 a ;1 + a )

c) -1/4 a) 9

b) 8

d) 12

e) 11

c) 10

2  2 Además 90º <  < 180º

15. Simplificar

Indicar un valor de la Ctg.

N = (a2+b2) sec + (a-b)2 sen3  2 2

12. Si (Sen)Sen =

a) 

3



b)

c)  15

d)

e) -1 13. Si   II C y Cos = -0,8 Hallar: D = Sec + Tg a) -3

b) 1

d) 4

e) 2

Trigonometría

c) -2

5 5

1  2

(a2+b2) sec + (a-b)2 cos 

a) 1

b) -1

d) -2

e) 4

c) 2

.

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TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE La conservación de una razón

I Regla: “Para ángulos positivos

trigonométrica (r.t) de un ángulo

menores a una vuelta.

cualquiera

en

otra

razón

equivalente de un ángulo del primer

cuadrante

se

llama:

”reducción al primer cuadrante” También

reducir

al

   R . T  9 0      c o  r t     2 7 0      R .T  1 8 0       R T    3 0 6  

primer

cuadrante un ángulo significa

¡Importante!

encontrar los valores de las RT

- El signo + ó – del segundo

de cualquier ángulo en forma

miembro

directa mediante reglas practicas

cuadrante al cual pertenece el

las

“ángulo a reducir”.

cuales

mencionaremos

a

continuación recordando antes

depende

del

-  se considera un ángulo agudo.

que: Ejemplos de Aplicación: - Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno. - Para la Tangente: Su Co-

1. Reducir al primer cuadrante: a) Cos 150º

b) Tg 200º

c) Sen 320º

d) Sec 115º

e) Csc 240º

f) Ctg 345º

Razón es la Cotangente. Resolución: - Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.

1a. Cos 150º = Cos (180º - 30º) = -Cos 30º

Trigonometría

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“El signo (-) se debe a que el

Ojo: También se pudo haber

ángulo a reducir (150º) pertenece

resuelto de la siguiente manera:

al II C, en el cual el coseno es

Sec 115º = Sec(180º - 65º) =

negativo”

- Sec (25º)

1b.

“Ambas

respuestas

Tg 200º = Tg (180º + 120º) =

correctas,

por

+ Tg 20º.

equivalentes”

ser

son éstas

- Csc 25º = - Sec 65º “El signo (+) se debe a que el

Csc 25º = Sec 65º

ángulo a reducir (200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva”. 1c.

Ya que:

sen  Cos ta g   C tg  sec   C sc

Sen 320º = Sen (270º + 50º) = -Cos 50º

Donde:  y  suman 90º

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (320º) pertenece

Nota: A éste par de ángulos se les

al IV C, en donde e seno es

denomina “Ángulo Complementarios”.

negativo y se cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 270º”.

e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) = - Csc (60º) ó Csc 240º = Csc (270º - 30º) =

1d.

- Sec (30º)

Sec 115º = Sec (90º + 25º) = - Csc (25º)

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f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) =

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- Tg (75º) ó

2b) Cos987° = cos(2 × 360° +

Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =

267) = cos267°

- Ctg 15º Luego: II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta.

R . T  3 6 0   1 5    R . T    n  

Cos987° = cos267° = cos(180° + 87°) = -cos87° ó

Nota: Se eliminan los múltiplos

cos987° = cos267° =

de 360º.

cos(270° - 3) = -sen3°

Ejemplos de Aplicación 2. Reducir al primer cuadrante: a) Sen (548º)

2c) Tg1240 =Tg(3 × 360° + 160°) = Tg160°

b) Cos (987º)

c) Tg (1240º Resolución 2a) Sen548° = sen(1 × 360° + 188°) = sen188°

Luego: Tg1240° = Tg160°.Tg(90° + 70°) = -ctg70° ó

Luego: Tg1240° = Tg160° = Sen548° = sen188 =

Tg(180° - 20°) = -Tg20°

sen(180° + 8°) = -sen8° ó sen548° = sen188° = sen(270 - 72°) = -cos72°

III Regla:

para

ángulos

negativos: Para todo ángulo, se cumple:

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s e n   ta g    C tg    C s c   C o s() S e c()

     

sen  ta g   C tg  C sc C os Sec

-Ctg(3×360° + 40°) Ctg(-1120°) = -Ctg(40°) 3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) = -Csc(5×306° + 340°) Csc(-2140°) = -Csc(340°) = -Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]

Nota:

= Sec 70º

Observamos que para el coseno

- Csc(340º) = - Csc (360º -

y secante el signo “desaparece”

20º) = -[-Csc(20º)]

es decir, solo trabajamos con el

= Csc 20º

valor positivo. Veamos ejemplos: Ejemplo de Aplicación 3. Reducir al primer cuadrante:

Nota

Importante:

capítulo

“Reducción

Cuadrante” trabajando

A) cos(-130°)

B) sec(-274°)

C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)

sistema

Todo

se

desarrolló

netamente se

1er

al

sexagesimal

también

el

pudo

en la

el cual

haber

trabajando en el Sistema Radian Resolución:

incluyendo

3a) cos(-30°) = cos(30°)

reglas y aplicaciones propuestas.

3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86° 3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) =

Trigonometría

todos

los

casos

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar la siguiente expresión: s e n 3 6 0  x   c o s 2 7 0  x  s e n 1 8 0   x 



Rpta.: 02. Hallar el valor de P: P  3 s e n 1 5 0  2 ta g (  1 3 5  )  C s c (  9 0  )

Rpta.: 03. Al simplificar la expresión se

05. Hallar el valor de Q: Q  a  b ta g 2 2 5  2 a s e n  2 7 0   a  b  c o s 1 8 0 

Rpta.:

06. Hallar X

en

la

siguiente

expresión: 2 c o s 3 6 0 3 ta g 1 3 5  c tg 2 2 5  3 C tg 2 1 7 2 s e n 6 3 0 

3 tg x

Rpta.:

obtiene

t g  3 6 0   x  s e n 1 8 0   x  c o s  9 0   x  M    c tg 9 0  x  sen  x  sen x

07. Marcar V o F en cada proposición:

Rpta.: I : sen110° = sen70° 04. Simplificar

t a g  5 4 0   a . C t g  3 6 0   a  E: c o s 1 8 0   a   2 s e n  9 0   a 

II : cos200° = cos20 III: Tg300° = -ctg30° IV: sen618° = sen 78° V : sec(-310°) = -Csc40°

Rpta.: Rpta.:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

08. Reducir la expresión

P 

tg   x  c o s x     ta g  x  c o s 2   x 

I.

s e n   x

II.

cos

III.

ta g   x



a. Sen x

    x  2 

b. – Tg x



c. Sen (-x)

Rpta.: A) I-a; II-b; III-c B) I-b; II-a; III-c

09. Hallar E:

C) I-c; II-a; III-b

E 

s e c 6 0   2 c o s 1 8 0   x    ta g 2 2 5  s e n   x  2 



E) I-a; II-c; III-b 13. Calcular Sen(5x). Si:

Rpta.:

    x  co  3 

sen

10. Simplificar

U 

D) I-c; II-b; III-a

s e n  1 2 0   c o s 2 1 0  s e c 3 0 0  ta g 1 3 5   s e c 2 2 5   s e c 3 1 5 

 2   3x  3 

s

Rpta.:

Rpta.: 14. Calcular A: 11. Hallar el valor de M

    x  2  M  C g t  2   x . s e n  2   x

A  s e c 6 9 0 

s e n    x . t a g 



Rpta.: 12. Relacionar corresponda.

Trigonometría

según

Rpta.:

2 sen600 3

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

15. Calcular P P = sen140° + cos20° + sen220°

Cos120 Rpta.:

+ Cos160° + sen150° Rpta.:

16. Reducir

19. Dado

un

triángulo

ABC,

calcular: A= Sen (A+B) - Tg(B+C) Sen C

TgA

Rpta.:

 3  Tg(  x ).Cos  x  2  M 3    Sen(360  x ).Cot  x 2  

20. Calcular  x  y   SenY  Tg   2    2

E  SenX  Tg  Rpta.: Si x + y = 2 17. Si x + y = 180. Calcular

 x Tg  2Senx  2 B  Seny  y Ctg   2 Rpta.:

18. Calcular C = 5Tg1485 + 4Cos2100

Trigonometría

Rpta.:

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Reducir y calcular E.

04. Simplificar:

E = Sen150º.Cos120º M 

+ Sec150º.Csc120º a) 19/12

b) -19/12

c) 4/3

d) -3/4



e) – 3/2

s e n 1 8 0   x  c o s  9 0  x  s e n  x  senx



ta g 3 6 0  x  c tg 9 0  x 

a) -3

b) -1

d) 1

e) 3

c) 0

02. Hallar el valor de:

s e n 1 4 0  ta g 3 2 0  M   c o s 2 3 0  c tg 1 3 0  a) 1

b) – 1

d) -2

e) 0

c) 2

03. Calcular:     2    ta g     2     c tg      ta g   2   2  c tg 

05. Cuántas de las siguientes preposiciones son verdaderas. I. s e n    x   s e n x I I. c o s  2   x   c o s   x   3  I I I. C t g   x   tg x  2     IV . s e c   x  C scx  2 



a) Ninguna b) 1



d) 3

e) Todas

06. Sabiendo que: a) -2

b) 1

d) -1

e) 2

Trigonometría

c) 0

c) 2

  senx  cos x    6

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Determine: Tgx + Ctgx a) 2 3

c)

b) 4 3

3 3

d)

4 3 3

e)

3

07. Reducir la expresión: s e n  9 0    . c o s 1 8 0     t g 1 8 0    . c o s 1 8 0    

M 

. tg 3 6 0    . c o s 3 6 0   

a) 1

b) -1

d) 2

e) 0

c) -2

08. Hallar 2senx Si: s e n 3 8 0  . c o s   4 0  . t g  3 0 0    s e c 3 5 0  . C t g  8 2 0  . s e c   1 2 0   s e n 8 0 .s e n 2 0  . s e n 1 8 0   x s e c 4 0  .C tg1 0 0 

a) 1

b)

3 2

e)

3

c) -2 d) -1

Trigonometría



Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

09. Calcular el valor de:

13. Resolver

P   c o s 1 8 0   C t g 4 2 5 . s e n 4 5 0  . t a g 7 8 5 

H 

a) -1 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

10. Calcular del valor de s e n 1 5 0  c o s  1 2 0   tg 4 9 5 

a) -2 b) -1 c) 0

II. cosx + cos(-x) = 0 III. Tgx + tg(-x) = 0 a) VVV

b) VFV c) VFF

d) FFV

e) FFF

12. Dado un triángulo ABC Simplificar:



 3 s e c A  B  C

a) -1

b) 2

d) -2

e) 5

Trigonometría

a) 1

b) -1

d) b

e) a/b

c) a

14. Simplificar

A = s e n (3 0 + x ) + c o s (8 0 -x ) + s e n 1 9 0   x   c o s  2 4 0   x

I. senx + sen(-x) = 0

2 c o s A  B c o s c 

 1 c o s 5 4 0  a  1s e n 6 3 0  b  1  c o s 1 2 6 0  b  1 s e n 4 5 0 

d) 1 e) 2

11. Afirmar si es (V) o (F)

E 

a

c) 1



a) 2senx

b) 2cosx

c) -2senx

d) -2cosx e) 0



Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

15. Calcular

A  2 s e n 3 3 0  4 s e c 2 4 0   2 ta g 1 3 5 

Trigonometría

a) 13

b) 12

d) 11

e) 10

c) 9

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Definición:

Nota: Todos y cada uno de los puntos que pertenecen a la

La circunferencia trigonométrica

circunferencia

trigonométrica

es una circunferencia inscrita en

(C.T.)

la

un

siguiente:

sistema

de

coordenadas

cumplen

ecuación

rectangulares a la cual hemos denominado Tiene

plano

como

x2 + y2 = 1

cartesiano.

características Donde:

principales:

X  Abscisa del Punto

- El valor de su radio es la

Y  Ordenada del Punto

unidad (R = 1) Para un mejor entendimiento de - Su centro coincide4 con el origen

de

coordenadas

del

enuncian

Veamosla gráficamente B (0 ;1 ) P1

siguientes

A (1;0)

 Origen de Arcos

B (0;1)

 Origen

M e d id a d e l A r c o P o s itiv o

C (-1;0)

 Origen

de

Suplementos

ra d

P1 y P2 P2

M e d id a d e l A r c o P o s itiv o

 Extremos Suplementos

Arco en Posición Normal:

Trigonometría

de

Complementos

ra d

0

las

denominaciones a los puntos:

plano cartesiano.

(-1 ;0 ) C

las definiciones posteriores se

de

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Es aquel arco cuyo extremo

Se observa que:

inicial es el origen de arcos de la

AP  

C.T. y su extremo final cualquier

AT  

punto sobre la C.T. (es aquel que indica

el

cuadrante

al

cual

pertenece dicho arco.

Además: “” y “” son arcos en posición

Observación: El ángulo central

normal o estándar tales que:

correspondiente a un arco en Posición normal o estándar, tiene

 es (+) y   al I C

igual medida en radianes que la

 es (-) y   al III C

medida del arco. Veamos Ejms.:

Nota: Importante: Del

gráfico:

Éstos

extremos

servirán como referencia para Y

ubicar aproximadamente otros

B

arcos en la C.T.

P 

 rad

C 0

Y  = 1,57 B 2

A X

 rad

C

T

0

3,14 =  0

 3  = 4,71 2

Trigonometría

X

A 2  =  6,28

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Ejemplos de Aplicación: Ubique

gráficamente

Q: en

la

Extremo

del

arco

-1

  1 IV C

circunferencia trigonométrica los extremos

de

los

arcos

(en

posición standar):

Arco en Posición Normal o Standar:

5  / 6; 4;  1

Son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su

Resolución - Para

Razones Trigonométricas de

que

los

encuentren

arcos

en

se

posición

respectivo ángulo central en la C.T. Es decir:

estándar en la C.T. éstos tendrán su posición inicial en

R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)

el punto A(1,0). Y 5 /6 M C

Luego entonces:

B 5 rad 6

Y

0

X A

­1rad 4

M:

N

Q

Extremo

del

R

­1

:

Extremo

 4  III C Trigonometría

ad

X

arco

5  5   II C   6  6  N

P ( X 0 ;Y 0) 

1

Sea P(xo, yo) (P I C) que del

arco

4

pertenece a la C.T. y también al

Y P(Cos   ;Sen )

SAN JUAN BOSCO

B

Tercer Año

lado final del ángulo en posición

X

De la observación

normal o standar .

Coordenadas del extremo de arco:P’ (-cos  ;-sen ) C.T.

Calculemos las R.T. del ángulo .

sen 

y  y   s e n r a d  1

cos 

X  X   C o s  r a d 1

Tg  C tg   Sec  C sc 

Y  T g ra d X  X

Y



 S e c ra d



o

1

Y



 C tg r a d 



1

X



 C s c ra d 

Nota Importante: - Ya que P y Q  a la C.T. entonces cumplen la ecuación X 2 + y2 = 1

o

Observación Vemos que:

* Para P: Cos2 + Sen2 = 1 Para Q : Cos2 + Sen2 = 1

Yo = Sen  Xo = Cos Se concluye que “para todo arco Por lo tanto

la suma de los cuadrados de su

El punto P también se representa

seno y coseno dará la unidad”

de la siguiente manera: P (xo, yo) = P (cos; sen)

Trigonometría

Algunos alcances importantes:

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Para

hallar

coordenadas

opuestas: Y

P’ (cos

 ; sen )  X 0

C.T.

P’ (­cos

 ; -sen )

Para hallar coordenadas simétricas



















Para hallar Coordenadas Ortogonales: Y

P (-S e n

;C o s

)

P (C o s

0 C .T.

Trigonometría

;S e n

X

)

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Líneas Trigonométricas Son

segmentos

dirigidos,

los

de cuales

Nota Importante: recta nos

representan en la circunferencia trigonométrica, el valor numérico de una razón trigonométrica de

- Si el segmento de Recta está dirigido hacia la derecha ó hacia arriba entonces el valor numérico

de

trigonométrica

la

línea

correspondiente

será positivo.

un ángulo o número.

- Si el segmento de recta está Las

principales

Líneas

Trigonométricas son:

dirigido hacia la izquierda o hacia abajo entonces el valor numérico de la línea trigonométrica

- Línea SENO

correspondiente será negativo.

- Línea COSENO - Línea TANGENTE - Línea COTANGENTE

Veamos

y

analicemos

sus

representaciones:

- Línea COSECANTE - Línea SECANTE

Línea Seno: Se

Las

líneas

trigonométricas

auxiliares son:

representa

- Línea VERSO.

la

perpendicular trazada desde el extremo diámetro

- Línea COVERSO.

mediante

del

arco,

hacia

el

(Eje

X)

horizontal

(apuntando hacia el extremo del Y

arco).

- Línea EX-SECANTE

P

1



 rad

0

Trigonometría

Q

A

X

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

En el gráfico:

En el gráfico:

 QP

Se observa que al

coseno

representa

del

Arco

Trigonométrico .

Se observa que RP representa al coseno del Arco Trigonométrico . Nota: Como en el Ejm. El segmento RP esta dirigido hacia la derecha

Nota:

entonces el coseno es positivo.

Como en el Ejm. el segmento está dirigido hacia la derecha

Línea Tangente

entonces el coseno es positivo.

Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen

Línea Coseno: Se

de arcos A(1;0). Se mide desde

representa

por

la

el origen e arcos y termina en la

perpendicular trazada desde el

intersección

de

extremo

con

arco,

tangente

hacia

el

geométrica

(Eje

Y)

prolongado de la C.T. que pasa

apuntando hacia el extremo del

por el extremo del arco. Apunta

arco.

hacia la intersección.

diámetro

del

la

vertical

Y

el

radio

Y

P

R



 ra d

0

A ( 1 ,0 )

X

0

 ra d

P

Trigonometría

X  Q

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

En el gráfico: Se observa que a

la

 AQ

tangente

representa del

Arco

Trigonométrico .

En el gráfico: Se observa que a

la

 BT

cotangente

representa del

arco

trigonométrico . Nota: Como en el ejemplo el segmento

Nota: Como en el ejemplo, el

 AQ

segmento

está dirigido, hacia abajo

entonces la tangente es negativa.

 BT

está

dirigido

hacia la izquierda entonces la cotangente es negativa.

Línea Cotangente Es una porción de la tangente geométrica que pasa por el origen de complementos B(0;1),

Línea Secante: Es una porción del diámetro

se empieza a medir desde el

prolongado que pasa por el

origen de complemento y termina

origen de arcos A(1;0) y que se

en la intersección de la tangente

mide desde el centro de la C.T.

mencionada

hasta la intersección del diámetro

con

el

radio

prolongado de la C.T. que pasa

prolongado

con

por el extremo del arco, Apunta

geométrica

trazada

hacia dicha intersección.

extremo del arco. Apunta hacia la

T a n g e n te G e o m é t r ic a

Y

por

P

 

tangente

intersección.

T

P

la

 rad

0

0

Trigonometría C .T.

 ra d

A

el

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

En el gráfico:

 OR

Se observa que a

la

secante

representa del

arco

En el gráfico: Se

observa

que

 OM

representa a la cosecante del

trigonométrico .

arco trigonométrico . Nota: Como en el ejemplo, el

 OR

segmento

Nota: Como en el ejemplo, el está dirigido

hacia la derecha entonces la

segmento

secante es positiva.

hacia

 OM

abajo

está dirigido entonces

la

cosecante es negativa. Línea Cosecante: Es

una

diámetro

Línea Auxiliar verso o seno verso:

prolongado que pasa por el

«Es lo que le falta al coseno de

origen del complemento B(0; 1),

un arco para valer la unidad» se

y que se mide desde el centro de

mide a partir de origen de arcos

la C.T. hasta la intersección del

A(1; 0), hasta el pie de la

diámetro prolongado mencionado

perpendicular trazada desde el

con

geométrica

extremo del arco, al diámetro

trazada por el extremo del arco

horizontal del (Eje X) . apunta

la

parte

del

tangente

0 ;1 ) Y laB (intersección. apunta hacia

0

Trigonometría C .T .

M

Y

hacia el origen de arcos es decir P  « el verso jamás es negativo».  ra d

 ra d

P

0  C .T .

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

En el gráfico: Se observa que

 , representa NA

al verso del arco trigonométrico . Cumple la fórmula Verso() = 1 - Cos Línea

Auxiliar

Coverso

o

Coseno Verso: «Es lo que le falta al seno para valer la unidad» el coverso se mide a partir de origen de complementos B(0; 1), hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco a diámetro vertical de la C.T. (Eje Y). Apunta hacia el origen de complementos

«

el

coverso

jamás es negativo» B(0;1) Y 

L

P

 rad

0

Trigonometría

X

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

En el gráfico: Se observa que

En el gráfico:

 LB

representa

a

al arco trigonométrico .

ExSec() = Sec - 1

Línea Auxiliar Ex-Secante “«Es el exceso del al; secante a partir de la unidad ». Se mide a partir del origen de arcos A(1; 0), hasta el punto donde termina la secante de ese arco. apunta hacia el punto donde termina la secante.

Y 

R

Trigonometría

Ex-Secante

Cumple la Fórmula:

Coverso() = 1 - Seno



la

 AR

trigonométrico .

Cumple la Fórmula:

P

Se observa que

A(1;0) X

representa del

arco

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Indicar verdadero (V) o (F) I. sen230° > sen310° II. cos65° < cos 290° III. cos15° > sen15° Rpta.: 02. En la C.T. se tiene que: 90º < X1 < X2 < 135º, cual de las siguientes proposiciones es falsa. I. s e n x 1  s e n x 2 I I. C t g x 2  s e n x 2 I I I. C s c x 2  s e n x

2

Rpta.:

03. Calcular

 BQ

Trigonometría

en la C.T.:

Rpta.:

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

04. En el gráfico calcular PT :

06. Indicar si es V o F. I. s e n 1   s e n 1 I I. c o s 2   c o s 2 I I I. t a g 3   t a g 3 IV . s e c 4   s e c 4

Rpta.:

 07. De la figura:

Calcular

xy xy

Rpta.:

5. Determinar las coordenadas de P:

Rpta.: 08. Al

ordenar

en

forma

descendente los siguientes valores Rpta.:

Tg100º,

Tg180º, Tg200º, Tg290º. El cuarto término es: Rpta.:

Trigonometría

Tg50º;

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

09. En la figura hallar: PQ

11. En

la

circunferencia

trigonométrica mostrada.

Cos 

2 3

y OM = MB.

Calcular el área de la región triangular OMP. 

Rpta.:

10. En la C.T. hallar el valor de la región sombreada. Rpta.:

12. En la C.T. mostrada calcular Tg + Tg + Sex

Rpta.:



Rpta.:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

13. Hallar el área de la región

15. Indicar

sombreada:

en

la

circunferencia

trigonométrica, la expresión falsa.

a) OM  Sec b) ON  Cos 2  c) NQ  Sen 2  d) NH  Sen.Cos e) AH  Csc 2 

Rpta.:

Rpta.: 14. En el gráfico. Calcular RQ:

16.





Hallar el área de la región triangular PBQ Rpta.:

Trigonometría

Rpta.:

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

17. Calcular el área de la Región sombreada

19. En la C.T. mostrada. Hallar el área de la región sombreada.



Rpta.:

Rpta.: 18. Si II <  <  < II Señale



las

proposiciones

verdaderas. I. Tg < Tg II. Tg . Ctg < 0 III. Ctg < Ctg

Rpta.:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

20. Indicar los signos de cada expresión: A : Tg1.Tg2 B: Ctg2.Ctg3 C: Ctg1:Tg3 Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Indicar verdadero (V) o Falso (F) lo incorrecto. I. Sen50º - Cos70º > 0 II. Tg50º - Tg200º > 0 III. Ctg89º + Ctg350º > 0

02. Si

  X1  X2  3

2

.

Indicar si es (V) o (F) si es falso.

I. s e n x 1  s e n x 2 I I. c o s x 1  c o s x 2 I I I. s e n x 1  s e n x 2

a) VFV

b) VFF

d) FVF

e) VVV

c) VVF

03. Hallar las coordenadas de P

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

a) (1; Tg)

b) (1; -Tg)

c) (-1; Tg)

d) (1; Ctg)

d) 2cos

e)

1 sen 2

e) (1; -Ctg) 06. De la C.T. que se muestra 04. En la C.T. hallar: NP

a) csc.ctg

b) cos.tg

c) sen.ctg

d) cos.csc

calcular BQ :

a)

c)

e) sec.tg d)

b)

1,2

2,1

1,5

1,8

e)

2,4

05. Calcular el área de la región sombreada.

07. Calcular el área de la región triangular ABC



a) Sen

b) cos

Trigonometría

c) 2sen

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

a)

1 2

b)

1 Ctg c) 2

1 Ctg 2 d) 

1 Tg e) Tg  Ctg 2

08. En la circunferencia trigonométrica halle Tg + Ctg. Si CP = 2x

a) 3Cos Cos 2

b) Cos

d) 2cos

e)

c)

Sen 2

10. En la figura se muestra la cuarta parte de la C.T. a que

+ 1 y OP = 4x + 1 es igual

BE  AF CD

B

C



D

E

a) 4/3

b) 13/12

c)25/2

d)

12/13

e) 25/3

O

A

F

a) Sen - Cos b)

Cos-

Sen 09. Halla el área de la región sombreada.

c) Tg

d) Cos

e) Sen 11. Hallar el área de la región

 sombreada de la C.T. mostrada.

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

a) sec

c) Tg2

b) Tg

d) Csc2 e) Sen2 a) Cos

b)

sen  cos  c) 2 Cos e) 2

sen 2

d) sen 

14. Sabiendo que: 90º < X 135º, indicar el valor de verdad de cada una de las

siguientes

proposiciones:

12. I. Si:  <   Tg < Tg

I. Senx > Tg x

II. Si:  >   Tg > Tg

II. Cosx < Tg x

III. Si:  <   Ctg < Tg

III. Senx + Cosx > Tgx

Indique V o F

a) VVV

b) VFV

d) VVF

e) FVV

a) VFF

b) VVV

d) FFV

e) FFF

c) VFV

13. Calcular el área de la región sombreada.

P 

Trigonometría

c) VFF

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

15. En la C.T. mostrada 90º <  < 135º. Si a, b y c son

líneas

geométricas

indicar respectivamente los signos de a + b, a + c, b + c.

a) (-) (-) (+)

b) (-) (+) (-)

c) (-) (-) (-)

d) (+) (+) (+)

e) (+) (+) (-)

TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Este capitulo es muy extenso y

importancia en el desarrollo de la

muy importante a su vez por que

asignatura.

va a servir como base para capítulos

posteriores,

esta

considerado como clave dentro de

la

trigonometría,

y

definitivamente tendremos que demostrar las razones por las cuales se les considera de gran

Trigonometría

Obs: - La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es

cierto

si

solamente

cuando x = 2 ó x = -2

si;

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

A este tipo de igualdad se le denomina

“Ecuación

Condi-

cional”

Por Ejemplo: La Identidad ‘sen²  + cos² = 1", Comprobemos la valides de la Identidad:

- En cambio la igualdad (x – 2) (x + 2)  x² -9, cumple para

Para = 37°  Sen²37+ cos²37 = 1 2

 4   5

2

todo valor de “x”

 3    5

A este tipo de igualdad se le

9 16 25    1 25 25 25

 

 1

denomina “Identidad” Identidades Fundamentales: - Recordar que no existe la división entre cero

Las identidades trigonométricas fundamentales, sirven de base par la demostración de otras

- Para indicar una identidad, se

identidades mas complejas

utiliza el símbolo ““ que se lee: “Idéntico a”

se clasifican en:

Definición:

1.- Por cociente

Una Identidad Trigonométrica es una

igualdad

que

contienen

expresiones trigonométricas que se

cumplen para todo valor

admisible del ángulo:

2.- Reciprocas 3.- PiTgóricas Para obtener dichas identidades, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica.

1. Identidades por Cociente:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Sabemos que PT = | Sen|

A

OT = |Cos| , (en el ejemplo

identidades recíprocas

Y

continuación

veremos

las

ambos (+) ya que  1 I C. y en el 0 triángulo Rec. POT: Tg = T

PTX OT

2. Identidades Recíprocas: Y

| Sen | Sen  Tg  = | Cos | Cos

P

1

 Tg =

De

la

Sen Cos

0

Demostrado

misma demuestra:

manera

se

Cot

=

T

X

Sabemos que PT = | Sen| también OT = |Cos|

Cos Sen

Luego: En el triangulo POT, se observa:

En Resumen: Las identidades

Csc =

por cociente son:

1 1 1   PT | Sen | Sen

y

Tg 

Sen Cos

Se observa que: Tg =

1 Ctg

Trigonometría

y

y Cot 

Cos Sen

Sec =

1 1 1   OT | Cos | Cos

(sen y cos (+) ya que   Ic) Por lo tanto:

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

 Csc 

1 sen

Con

1

y sec   cos

identidad

(I),

demostramos también: 1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2

En resumen:

= Csc2

Las identidades recíprocas son: Sen 

la

1 1 1  Cos   Tg  C sc Sec C tg 

3. Identidades Pitagóricas:

De la siguiente manera Sen2 + Cos2 =1 Dividimos ambos miembros entre

Y

(Sen2):

B P

Sen 2   Cos 2  1  2 Sen  Sen 2 

1

0

A

T

 Sen     Sen 

X

2

 Sen    Sen 



2



1    Sen 



2

Finalmente: De las identidades por división: Recordemos que: P = P (cos ; sen) es decir: PT = |Cos| y también: OT = |sen| y en el triángulo

rec.

POT:

por

teorema de Pitágoras.

el

Cos  Ctg Sen Y de la identidad por cociente:

1  Csc Sen

(OP)2 = (OT)2 + (PT)2 12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2

Reemplazamos:

1 = Sen2 + Cos2 … (I)

(1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2

Demostrado

∴ 1 + Ctg2 = Csc2

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

De similar manera se demuestra:

Para demostrar una identidad,

1 + Tg2 = Sec2

implica que el primer miembro o viceversa ó que cada miembro

De similar manera se demuestra:

por separado se pueda reducir a

1 + Tg2 = Sec2

una misma forma. Ejm:

En

resumen

las

identidades - Demostrar que : Csc - Ctg .

pitagóricas son:

Cos = Sen - Sen2 + Cos2 = 1 - 1 + Tg2 = Sec2

Resolución:

- 1 + Ctg  = Csc  2

2

Csc - Ctg . cos = sen

Algunas Identidades Auxiliares  Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2

1  c o s ² s e n ²   sen sen sen

Cos2  Tg + Ctg = Sec.Csc

Sen = Sen. Demostrado

 Sen6 + Cos6 = 1 – 3Sen2.Cos2

b) Demostrar que:

 Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

Los

ejercicios

sobre

identidades son de 4 tipos: a) Demostraciones:

1  Cos    Cos  Sen Sen  Sen 

cos A cos A   2 sec A 1  senA 1  senA

Resolución Utilizamos artificios: CosA 1  s e n A . 1  s e n A 1  s e n A

 



cos A 1  s e n A . 1  s e n A 1  s e n A

Luego se tendría

Trigonometría

 

 2 sec A

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO c o s A 1  s e n A 1  s e n ² A 



c o s A 1  s e n A co s ²A





c o s A 1  s e n A 1  s e n ² A 



c o s A 1  s e n A co s ²A



 2 sec A



 4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1  4cos² [1 - 1] + 1

 2 sec A

1  senA  1  senA  2 sec A cos A

4cos²(0) + 1 = 1 2) Simplificar: (1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

2  2 sec A cos A

2 s e c A  2 s e c A . (Demostrado)

Resolución: 

c) Simplificaciones:

1 Cosx     Senx Senx 

(1-Cosx) 

Lo que se busca es una expresión

reducida

de

la

 (1-Cosx)

 1  Cosx  Senx

planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o

 1  Cos 2 x Senx

auxiliares. Utilizar transformaciones algebraicas.



Sen x x  Senx Senx

d) Condicionales: Si la condición es complicada

Ejms.

debemos simplificarla y así

1) Simplificar: (2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2 Resolución: (2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2

llegar a una expresión que pueda ser la pedida o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla

se

procede

encontrar la expresión pedida.

 (2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen² Cos²  4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen²cos²  4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1

Trigonometría

a

Ejms. a) Si Sen + Csc = a. Calcular el valor de E = Sen2 + Csc2

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

trigonométricas debemos hallar Resolución

relaciones algebraicas en la cual

Si: sen + Csc = a (Elevemos

no aparezca el ángulo. Nos

al cuadrado)

ayudaremos

(Sen + Csc = a²

como por Ejem.

de

identidades

Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc² Tgx.Ctgx = 1

= a²

Senx.Cscx = 1

Sen² + 2 + Csc² = a²

Cosx.secx = 1

Sen² + Csc² = a² - 2

Sen²x + cos²x = 1 Sec²x - Tg²x = 1

E = a² - 2

Csc²x - Ctg²x = 1

b) Si: senx - cosx = m .

Ejm.:

Hallar el valor de: D = 1 -2senxcosx

1. Eliminar “” de: Csc = m + n …(1)

Resolución

Ctg = m – n …(2)

senx - cosx = m (elevemos al cuadrado)

Resolución:

(Senx cosx)² = m² sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m² Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²

Csc = n + n

(Elevamos ambas expresiones al cuadrado)

Ctg = m – n

1 - 2senxcosx = m² D = m²

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-) Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2

e) Eliminación del Ángulo:

Csc2 - Ctg2  m2  2mn  n2 - (m2 - 2mn  n2 )

Estos ejercicios consisten en que

1 = 4mn

a partir de ciertas relaciones

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

2. Eliminar “” de:

aCos  bSen  Sec.Ctg...( 1) aSen  bCos  KSec...( 2 )

2 2 b(Cos       Sen   )  k - 1 1

b=x -1 K=b+1

Resolución: De la expresión 1

aCos  bSen  Sec.Ctg 

1 Cos . Cos Sen



Sen(aCos  bSen) 

1 (Sen) Sen

(xSen) aSenCos - bSen2 = 1 …(3) De la expresión 2

aSen  bCos  kSec  

Cos(aSen  bSen) 

k Cos

k (Cos) Cos

(XCos) aSenCos - bCos2 = K …(4) Restamos (4) menos (3) aSenCos  bCos 2   k aSenCos  bSen 2   1

Trigonometría

( )

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Recomendación:

(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² +

Cuando en un problema de

(±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+

identidades trigonométricas estés frente a esta expresión: E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves

al

cuadrado

ambos

(±sen)(±cos)] = 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) + (±sen)(±cos) Agrupamos nuevamente

miembros para obtener: 2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx

(±sen)(±cos)] = 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen) (±cos)] = 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 +

E² = 1 ± 2 SenxCosx Lo que se pide

(±sen))] = 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]  (1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)

Identidad Importante: (1 ± sen ± cos)² = 2 (1± sen)(1± cos)

Demostración: Recordemos (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)

Trigonometría

(1 ± cos) ………...(Demostrado)

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Demostrar las siguientes identidades:

b) x = cos...................(1) y = cos² - sen²......(2)

1  cos a) (Csc + Ctg)² = 1  cos

c) 1 + Ctg = n.............(1)

c o s ²x s e n ²x   cos x  senx b) 1  senx 1  cos x

c)

sen =

m

…........(2)

1  ta g   s e c  s e c   ta g 

04. Si: Secx - Tgx = 0,75 02. Simplificar las siguientes

Entonces el valor de: Secx + Tgx , es:

expresiones:

Rpta.:

a) P 

c o s ³x s e n x  s e n ³x

b) R 

c o s ³x  sencos 1  sen

 c) T  

s e c   ta g    1  s e n  1  s e n ² 



05. Si cos + sec = 3 Calcular el valor de: sec² - sen² Rpta.:

03. Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones:

06. Si Sen - Cos = Tg30° Calcular el valor de:

a) x = 3sen ....(1)

Sen4 + Cos4

y = 2cos.......(2) Rpta.:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

T 

07. Si 1 + Tgx = asecx y 1 - Tgx = bsecx calcular

Rpta.:

a² + b² 12. Simplificar la expresión

Rpta.:

E 

08. Simplificar: A 

T g ²x  C tg ²x S e c ²x  C s c ²x

s e n 4x  s e n ²x c o s ²x  c o s 4 x s e n 6x  s e n ²x c o s ²x  c o s 6 x

Rpta.:

s e c ²x  C s c ²x  c o s x C s c x

Tal que (0 < x < /2)

13. Simplificar

siguiente

expresión:

Rpta.:

N  c o s ³x 

09. Reducir: P  s e n ²x  c o s ²x

la

1  s e n ²x  s e n 4x  s e n 6x

Rpta.:

 s e n 4 x



 cos4 x  cos8x

14. Si a = senx; b = tg, encontrar 10. Simplificar la expresión: M 

1  Senx  Tgx  Secx 1  C o s x  C tg x  C s c x

el valor de: R =(1 - a²)(1 + b²) Rpta.:

Rpta. 15. Eliminar  a partir de: 11. Dado:

b a  ta g x C tg x Hallar:

Trigonometría

Sen + cos = b  1 .... (I) Tg + Ctg = Rpta.:

1 ..............(II) a

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

16. Señale cuales son identidades: I.

sen 1  cos    2C sc 1  cos sen

sen 1  cos   2C sc II. 1  cos  sen

sen 1 cos   2Ctg III. 1 cos sen Rpta.:

s e n x . ta g x  c o s x C tg x 1  sec x  Cscx ta g x  C tg x

Rpta.:

18. Reducir la expresión: M 

ta g x

1 

senx  cosx  s e n x  C t g x  c o s x



Rpta.:

19. Calcular “cosx”, si se tienen la siguiente expresión

Secx + Tgx = a Rpta.:

Trigonometría

“m”para

que

la

siguiente igualdad sea una identidad:

s e n ³x

 c o s ³ x  t a g x  C t g x s e n x s e c x  c o s x  m  C scx

Rpta.:

17. Simplificar la expresión: L 

20. Hallar





Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CASA

01. Demostrar

;las

siguientes

03. Eliminar el ángulo en las

identidades:

siguientes expresiones:

a) (Ctg + Csc)2 

1  cos 1  cos

a) asenx - cosx = 1........(I) bsenx + cosx = 1........(II)

b) (cosx - Ctgx)² + (senx - 1)²  (1- Cscx)²

b) m = sen + cos..........(I) n = sen - cos ..........(II)

c) (1 - Cos²) (1+ Tg ) 2

 Tg²

c) Psec²x + Tg²x = 1 Csc²x + qCtg²x = q

02. Simplificar

las

siguientes

expresiones:

A) ab = 1; m² + n² = 1; pq = 0

a) Tgx(1-Ctg²x) + Ctgx(1 - Tg²x)

b)

B) ab = -1; m² + n² = 4; pq = 1

Tgx C tg x  1  T a g x 1  C tg x

C) ab = 0; m² + n² = 1; pq = 1 D) ab = 1; m² + n² = 1; pq = -1

S e n ²x  T g ²x c) C o s ²x  C tg ²x

A) 1, 0, Tg4x

E) ab = -1; m² + n² = 0; pq = 1

04. Simplificar:

B) 0, 1, Tg6x C) -1, 0, Tg6x D) 0, -1, Tg6x 6

E) 0, -1, Tg x

Trigonometría

N 

1  s e n ² 1  c o s ² 1  ta g ²   1  c s c ² 1  s e c ² 1  C tg ²

a) 2 d) Csc²

b) Tg² e) Ctg²

c) sec²

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

05. Si X  I C, simplificar: A 

08. Simplificar la siguiente expresión:

1  2senx cos x  senx

k 

A) 2senx + cosx

c o s 4 a  2 s e n 2a  s e n 4a s e n a  c o s a 2  s e n a  c o s a

B) 2senx – cosx

a) 1/2

c) 2cosx + senx

d) 2/5 e) 1/5

2

b) 1/4 c) 2/3

D) 2cosx - senx E) cosx 09. Si se cumple la siguiente 06. Simplifique

la

siguiente

identidad:

expresión:









Tg3x 

R  1 6 s e n 6x  c o s 6 x  2 4 s e n 4x  c o s 4 x  1 0 s e n ²x  c o s ²x



A) 0

B) 1

D) 2

E) -2

3 T g x  T g ³x 1  3 T g ²x

calcular el valor de: C) -1

N 

3 C tg 1 0  C tg ³1 0 1  3 C tg ²1 0

A) Tg120° B) Tg240° C) Tg360° D) Tg60° 07. Si Tgx + Ctgx = 3 2 .

E) Tg30°

Calcule el valor de:

Y 

sec x Cscx  cosx senx

10. Encontrar el valor de “n”de tal manera que se cumpla: (Senx + cosx)(Tgx + Ctgx)

a) 6

b) 9

d) 18

e) 36

c) 12

= n + Cscx a) Secx b) Ssenx d) Cscx e) Tgx

Trigonometría

c) Cosx

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

11. Simplificar: V 

14. En la siguiente identidad

s e n x  c o s x 2  s e n x  c o s x 2 ta g x  C tg x 2  ta g x  C tg x 2

1  Tgx  Secx  T g nx 1  C tg x  C s c x

a) 4

b) 2

Halle el valor de “n”

d) 1/4

e) 1/2

c) 1

12. Si: asenx = bcosx

a) 0

b) 1

d) -1

e) -2

c) 2

Halle el valor de: 15. Reducir D 

S e n ²x .C tg x S e c ²x  S e n ²x  T g ²x

a) a

b) b

d) a/b

e) b/a

c) ab

1 13. Si senx + cosx = , calcular 3 el

valor

de

la

siguiente

expresión:

P = secx + Cscx

a) 1/4

b) -1/4 c) 3/4

d) -3/4

e) 5/4

Trigonometría

la

siguiente

expresión: R  1  s e n x  c o s x



1  cos x 1  senx

tal que X  I C

a)

2 Senx

c)

2 Tgx

e) Cosx

b)

2 Cosx

d) Senx

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

TEMA: SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS En

el

presente

capítulo

realizaremos el estudio de las razones

trigonométricas

de

Se observa:

aquellos ángulos que a su vez

Sen ( + ) = MP = PS + SM =

están constituidas por la suma o

QR + SM; (PS = QR)

resta

de

otros

2

ángulos.

Iniciaremos el estudio del presente

OQR  QR = ORSen

En el

capitulo con la demostración de las principales

Identidades

para

= Cos)

ángulos compuestos que son: Sen(

*

+

)

=

= Sen.Cos; (OR = Cos); (OR

SenCos

+

Cos

En el

MSR  SM = RMCos =

Cos.Sen; (RM = Sen)

Sen * Cos( + ) = CosCos-SenSen

 Reemplazando

Demostración:

Sen (+) = Sen Cos

A partir del grafico:

+ Cos.Sen …….. Demostrado

B

Y

También observamos:

M Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ

1

- SR; (PQ = SR)

S

R



Trigonometría P

Q

A

X

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

En el

OQR  OQ = ORCos =

Cos.Cos; (OR = Cos)

En el

MSR  SR = MRSen =

Sen.Sen; (MR = Sen) Reemplazamos:



Simplificando obtendremos: Tg(+) = sen sen  Tg  Tg cos cos  sen sen 1  T g  .T g  1 . cos cos

 Tg(+) =

Tg + Tg 1  T g  .T g 

Cos(+) = CosOC.Cos -

(Demostrado)

Sen.Sen .......(Demostrado) Tomaremos en cuenta para las Procedemos ahora a obtener la

demás razones trigonométricas

Tg(+) de la siguiente manera:

que: 1 T g     1 S e c      C o s     1 C s c      S e n     C tg     

Sabemos que: Tg(+) = s e n     s e n  c o s   c o s  s e n   c o s     c o s  c o s   s e n  s e n 

Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)

Tg(+) = sen cos c o s c o s

   

c o s  c o s  s e n   c o s  c o s  c o s  c o s  s e n s e n   c o s  c o s  c o s 

Identidades

para la Diferencia de Ángulos: Usando las Identidades para la suma

de

demostrados),

ángulos

(ya

deducimos

las

identidades para la diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.

Trigonometría

Trigonométricas

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

(Demostrado) * Sen(+) = sen(+(-)) De igual manera tomar en cuenta que:

 Sen(+(-)) =

s e n  c o s    c o s  s e n           cos

C tg     

sen

 s e n      s e n  c o s   c o s  s e n 

Demostrado * Cos(-) = Cos(+())  Cos(+(-)) = Cos . Cos(-)

1 T g    

S e c     

1 C o s    

C s c     

1 S e n    

Algunas

Propiedades

de

Importancia

Cos - SenSen(-)

* Sen(-).Sen(-) = Sen² -

- Sen

Sen²

 c o s      c o s  c o s   s e n  s e n 

(Demostrado) * Tg(-) =Tg(+(-))

* Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+) * Si:  +  +  = 180° ⇒ Tg  +

   t a g  ta g   ta g     Tg( +(-)) = 1  ta g  ta g         ta g 

Tg + Tg = Tg . Tg . Tg * Si:  +  +  = 90° ⇒ Tg . Tg + Tg . Tg + Tg. Tg = 1

Tg(-) =

Tg  Tg 1  Tg.Tg

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Demostremos las propiedades

sen(+).sen(-)

=

sen²

-

sen²......................(Demostrado) a) “sen(+). sen(-) = Sen² sen²”

b) “Tg + Tg + Tg(+). TgTg =

Sabemos que:

Tg(+)”

Sen( +) = Sencos + cossen ..(I)

Sabemos que: Tg(+) =

Sen(-) = sencos - cossen ..

Tga  Tgb 1  T g a.T g b

(II) Multiplicamos Multiplicamos Miembro a miembro: sen( + ).sen( - ) = sen² - cos² cos² - sen²

(1-Tg.Tg)

a

ambos miembros: T ga  T gb

(1 - Tg.Tg)Tg(+) = 1  T g a . T g b (1 - Tg.Tg)

Reemplazamos: Cos² = 1 - sen

Tg(+) -TgTg.Tg(+) = Tg +

Cos² = 1 - sen² sen( + ) sen(-) =

Tg sen²(1 -

sen²) - (1 - sen²)sen²

Ordenamos convenientemente:

= sen² - sen².sen² - [sen² sen².sen²] =

sen² - sen².sen² - sen² +

sen².sen²

Trigonometría

Tg + Tg + Tg( + ).TgTg = Tg( + )

Demostrado

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

c) Si: “ +  +  = 180° Tg +

 +  +  = 90°   +  = 90° - 

Tg + Tg = Tg Tg Tg” Tomamos

a

ambos

miembros:

Sabemos que:

+  +  = 180°  +  = 180° -  Tomamos

tangente

tangente

a

ambos

miembros:

Tg( + ) = Tg(90° - )  Tg  Tg 1  Ctg  1  Tg  Tg Tg

Tg( + ) = Tg(180° - ) Tga  Tgb = -Tg 1  T g a.T g b

 Tg (Tg + Tg) = 1 - Tg.Tg Tg .Tg + Tg.Tg = 1 - Tg.Tg

 Tg + Tg = -Tg (1 - TgTg) Tg

+ Tg

= -Tg

+

Tg.Tg.Tg

Ordenamos convenientemente: Tg.Tg+Tg.Tg+Tg.Tg =1 (Demostrado)

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg (Demostrado)

d) Si: “ +  +  = 90° Tg. Tg + Tg. Tg + Tg. Tg = 1"

Sabemos que:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Simplificar

la

siguiente

expresión

R 

Tg 220º Tg160º  3 Tg 40º Tg 20 Tg 250º Tg 50º  3Tg160 º Tg 50

Rpta.:

m

5. Cos (120º  a )  Sen(150º  a ) Sen(60º 2)  Cos (30º  a )

Calcular

ABCD:

(Cuadrado) B

Rpta.: 2.

“Tg”

C



Si Sen(x+y) = 0,8 Cosy +

53º

0,6Seny

D

A

Calcular Tgx: Rpta.: Rpta.: 6. 3.

Calcular el valor de:

Calcular el valor “” si se cumple que:

1  Tg 2 3Tg 2 5  Tg 2 5  Tg 2 3

M 

Rpta.: 4.

Además ( IC)

Tga  Tgb Tga  Tgb  Tg ( a  b) Tg ( a  b)

Reducir

Rpta.: 7. En la figura adjunta determinar

la

el valor de “x”.

siguiente

expresión:

Trigonometría

3

2x

2

3

B 30º

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO



Rpta.:

Cos14º Cos38º.Cos 24º

Rpta.:

8. En un triángulo ABC las tangentes de los ángulos A y B valen 2 y 3, Calcular el ángulo “C”:

11. Si las raíces de la ecuación X2 + Px + 9 = 0 son Tg y Tg. Calcular el valor de:

Rpta.:

Sec(   ) Csc (   )

F 

9. Determinar el valor de la siguiente expresión trígono-

Rpta.:

métrica. R = Ctg ( -  + ). Si

12. Calcular

Tg

(ABCD:

Cuadrado).

Tg(α  β  θ).

3  Tgβ  3 5

B

C

A

D

Rpta.:

10. Calcular

el

valor

de

la

Rpta.:

siguiente expresión:

N 

13. Si sabemos que: Cos 4º Cos10 º   Cos 24º Cos 28º Cos 28º.Cos38º Tg(3a - 3b) = 3  Tg (3a + 3b) = 5

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

Determinar el valor de: Tg6.

14. Si sabemos que: K(Sen100+Sen10)

Rpta.:

(Sen65+

=

2

3 Sen25)

Determinar el valor de K. Rpta.:

15. De la figura determinar el valor de

221 Sen

12

 5

14 Rpta.:

16. Calcular

el

valor

de

la

expresión siguiente: M = Cos345º + Cos15º - Tg165º Rpta.:

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

17. Si CtgCtg = 1 y además

25 = Csc"Cs$, calcular el 2 valor de [Sec(-")

Sen3 2

Rpta.: 20. En la figura que se muestra, los triángulos ABC y AOB son

.

rectos

en

B

y

D

respectivamente. Si AB = 4 y BD = DC. Encontrar el valor

Rpta.:

de la Tg".

C 18. En la figura adjunta, PM es mediana y

"+ 

= /6.

D

Calcular Tg:

T A

M  Q

P Rpta.: 19. Simplificar

la

siguiente

expresión:

R 

Ctg 36º Tg144º Tg 54º Tg162 º Tg 36 º

Trigonometría

30

Rpta.:

B

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Determinare el valor de la siguiente expresión: M  Sec323º Sec17 º 

a) 1

b) 2

c) 3

d)

e)

2Tg 28Tg17

c)

13 10

e)

3 16

d)

13 12

4. Determinar el valor de:

2

3

F = Tg66.Ctg57-Ctg24Ctg33

2. Simplificar

la

siguiente

expresión Cos 25º  3Cos 65º F  Sen10 º  Sen80º

a) 2

b)

3

c) 1

d)

2

a) 2

b)

c) 1

d) -1

3

e) -2

5. Si sabemos que: Tg2" – Tg2$ + 2Tg2" Tg2 = 2 y además Tg(" - ) = 3.

e) 2 2

Determinar el valor de Tg ("+ 3. En

el

gráfico

adjunto

).

determinar Ctg: 4

a) 6



5

a)

16 13

Trigonometría

8

b)

13 16

2

c)

2 3

e)

5 2

b)

3 2

d)

2 5

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

6. En la figura PQRS es un trapecio isósceles, QRTV es

N 

( Senx  Cosx )( Seny  Cosy ) Sen( x  y )  Cos ( x  y )

un cuadrado y además PR = PS Hallar Tg . R

Q

a) 1

b) 2

c) Senx

d) Cosx

e) Tgx



10. Reducir

la

siguiente

expresión trigonométrica: P

V

a)

3

T

7

b)

c)

3

d)

e)

1 7

3

4 3

S

3 4

m

3Cos 370  Sen170

a) Sen70º b) Cos70º c) 2Sen70º d) 2Cos70º e) 2Sen50º 11. Determinar el valor de:

7. Calcular el valor de M:

J = Tg35º+Cot80º+Cto55º.Tg10º

a) º. 3Tg 48º b) 2 M  Tg 20º.Tg 48º  Tg 20º.Tg 22º Tg 22 a) 3

b)

5

c) 2|

d)

3

c) 1

2 2

e) 1

9. Reducir la siguiente expresión:

Trigonometría

d) 0

e) – 1

12. Hallar el valor de la siguiente expresión:

Q  Sen

7π 29π .Cos 12 12

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

a) 1

b) ½

c) ¼

d) 1/8

e) 1/16

13. Si Tg("+$) = 33. Calcular el valor de Tg2. Si Tg" = 3. a) 62/91

b) 60/91

c) 61/91

d) 63/91

d) 64/91

14. Si a – b =

π

3

calcular el

valor de: B  (Sena  Cosb)2  (Senb  Cosa)2

a) 3

b) 1

c) 21 3

d) 2  3

e) -3

Trigonometría

Tercer Año

SAN JUAN BOSCO

15. Calcular el valor de la Tg en el gráfico siguiente:

4 2



6 a) 1

b) ½

c) 2

d) 1/3

e) 3

Trigonometría

A

SAN JUAN BOSCO

Trigonometría

Tercer Año