Transición de la solución grafica a la solución algebraica. Paralelismo del método gráfico y el método algebraico simplex.
En el método gráfico, el espacio de soluciones se delimita con los semi espacios que representan las restricciones, y en el método simplex, el espacio de soluciones se representa con m ecuaciones lineales y n variables no negativas. En el método grafico se observa una infinidad de puntos de solución, mientras que en la representación algebraica ocurre esto mismo, pero se deduce ya que la cantidad m de ecuaciones siempre es menor o igual a la cantidad de variables n. en el caso de que m=n, entonces la solución es única, pero si m
Se demostrará más claramente con el siguiente ejemplo:
Se tiene el siguiente programa lineal con dos variables: Maximizar s.a
=2 + 3 2 + ≤ 4 + 2 ≤ 5 , ≥ 0
La solución grafica para este modelo corresponde a:
Donde la solución óptima, es el punto C. Algebraicamente el espacio de soluciones se representa como: Maximizar s.a
=2 + 3 2 + + = 4 + 2 + = 5 , , , ≥ 0
El sistema tiene m = 2 ecuaciones y n = 4 variables. Así según la regla anteriormente mencionada, se puede determinar algebraicamente los puntos esquina igualando a cero n – m = 4 – 2 = 2 variables y resolviendo las ecuaciones para determinar las m = 2 variables restantes. Por ejemplo si y , las ecuaciones producen la solución
= 0 = 0
=4, = 5 = 0 = 0 = 1 = 2
Se pueden determinar otro punto si se hacer , resolviendo las ecuaciones resultantes se obtienen y . Este método se realiza con todas las combinaciones posibles de n – m variables. Una vez resueltas todas las posibilidades, la solución óptima es el punto esquina factible que produce el mejor valor objetivo.
En este ejemplo se tienen 6 puntos esquina, los que al comparar con la solución grafica estos corresponden a los puntos A, B, C, D, los puntos E y F también son puntos de esquina, pero no factibles. Por ultimo para hacer una transición completa hacia la solución algebraica es necesario indicar los puntos esquinas por sus nombres algebraicos. En forma específica, las n – m variables que se igualan a 0 se llaman variables no básicas, si las m variables restantes tiene solución única, se llaman variables básicas, y su solución se llama solución básica. En este ejemplo se tienen 6 puntos esquina, los que al comparar con la solución grafica estos corresponden a los puntos A, B, C, D, los puntos E y F también son puntos de esquina, pero no factibles.
Solución algebraica
Solución artificial de inicio. Existen problemas de programación lineal que no proporcionan una solución básica inicial. Esta situación se presenta cuando al menos una de las restricciones es del tipo (<=) o (=). Para este propósito se desarrollan 2 métodos basados en el uso de variables artificiales: El método M o de penalización y la técnica de 2 fases. Método M:
El método M comienza con la programación lineal en forma de ecuación. Una ecuación i que no tenga una holgura (o una variable que pueda hacer el papel de una holgura) se aumenta con una variable artificial, , para formar una solución de inicio parecida a la solución básica con todas las holguras. Sin embargo, como las variables artificiales son ajenas al modelo de programación lineal, se usa un mecanismo de retroalimentación en el que el proceso de optimización trata en forma automática de hacer que esas variables tengan valor cero
Esto se explicará mejor con un ejemplo: Minimizar s.a
= 4 + 3 + = 3 4 + 3 ≥ 6 + 2 ≤ 4 , ≥ 0 = 4 + 3 + = 3 4 + 3 = 6 + 2 + = 4 , , , ≥ 0
Si se usan como excedente en la segunda restricción y restricción, la forma del problema en ecuación es Minimizar s.a
como una holgura en la tercera
La primera y segunda ecuaciones no tienen variables que puedan desempeñar el papel de holguras, pero la tercera sí, porque tiene la holgura . Así, se agregan las variables artificiales y . en las dos primeras ecuaciones y se penalizan en la función objetivo con M + M . La programación lineal que resulta es
Minimizar
= 4 + + +
.
s.a
Ahora se pueden usar
,
3 + + = 3 4 + 3 + = 6 + 2 + = 4 , , , , , ≥ 0
y como solución básica de inicio, como se ve en la siguiente tabla.
= = =0 =3, =6, =4 ×3+×6=9 , × +×
Pero antes de proseguir con los cálculos del método simplex se necesita hacer que el renglón z sea consistente con el resto de la tabla. En forma específica, en la tabla , lo cual produce la solucion basica de inicio . Esta solución indica que el valor de z debe ser , en lugar de 0, esto se debe a que tienen coeficientes distintos de cero en el renglón de z. Esta inconsistencia se puede eliminar sustituyendo en el renglón de z usando las ecuaciones de restricción adecuadas para eliminarlas, esto es Nuevo renglón z = renglón anterior z +(
)
Entonces, la tabla modificada es la siguiente:
Con esta tabla queda lista para aplicar el método simplex, con las condiciones de optimalizad y factibilidad. Como se está minimizando la función objetivo, la variable , que es la que tiene el coeficiente más positivo en el renglón de z, por lo que entra a la solución. La razón mínima de la condición de factibilidad especifica que es la variable que sale.
Una vez determinadas las variables de entrada y salida, la nueva tabla se puede calcular con las operaciones familiares de gauss-jordan. Observe que el nuevo renglón de z se determina multiplicando el nuevo renglón pivote por y sumando el resultado al renglón actual de z .
4 +7
Esta última muestra que son las variables de entrada y salida, respectivamente. Continuando con los cálculos simplex se necesitarán dos iteraciones más para llegar al optimo:
Observaciones:
= 25 , = 95 , = 175
1.el uno de la penalización M podrá no forzar la variable artificial hasta el nivel cero en la iteración simplex final, si el problema de programación lineal no tiene una solución factible (si las restricciones no son consistentes) 2. M debe ser lo bastante grande como para funcionar como penalización. Al mismo tiempo no debe ser tan grande como para perjudicar la exactitud de los cálculos simplex, al manipular una mezcla de números muy grandes y muy pequeños.
METODO DE DOS FASES. La desventaja de la técnica M es el posible error de cómputo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores de redondeo en las operaciones de la computadora digital. Para evitar esta dificultad el problema se puede resolver en 2 fases. FASE 1. Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales. La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible el valor mínimo de la función objetivo óptima será cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En este momento pasamos a la fase 2.
* Si el valor mínimo de la función objetivo óptima es mayor que cero, el problema no tiene solución y termina anotándose que no existen soluciones factibles
FASE 2. Utilice la solución óptima de la fase 1 como solución de inicio para el problema original. En este caso, la función objetivo original se expresa en términos de las variables no básicas utilizando las eliminaciones usuales Gauss-Jordan. Para explicar esto se utilizará el mismo ejemplo anterior. Ejemplo: Minimizar s.a
Fase I. Minimizar s.a
La tabla asociada es la siguiente:
Como en el método M, se eliminan siguientes cálculos:
= 4 + 3 + = 3 4 + 3 = 6 + 2 + = 4 , , , ≥ 0 = + 3 + + = 3 4 + 3 + = 6 + 2 + = 4 , , , ≥ 0
por sustitución en el renglón de r, usando los
Nuevo renglón r = Renglón r anterior +
[1× +
El nuevo renglón r se usa para resolver la fase 1 del problema, con lo que se obtiene la siguiente tabla óptima.
= , = =1
Como mínimo de r=0, la fase I produce la solución básica factible de . Llegados a este punto, las variables artificiales ya cumplieron su misión y se pueden eliminar de la tabla las columnas, por completo, y pasar a la fase II. Fase II Después de eliminar las columnas artificiales, el problema original se escribe así:
Minimizar s.a
=4 + + = = + =1 , , , ≥0
La tabla asociada a la fase II es:
De nuevo como las variables tienen coeficientes no cero en el renglón de z, deben sustituirse con los siguientes cálculos: Nuevo renglón z = Renglón z anterior +
4× +1×
La tabla inicial de la fase II resulta entonces.
Como se está minimizando, debe entrar a la solución. Con la aplicación del método simplex se obtendrá el óptimo en una iteración más. La salida de las columnas de las variables artificiales al terminar la fase I sólo se hace cuando todas ellas sean no básicas. Sin embargo, es posible que las variables artificiales sigan siendo básicas, pero a nivel cero al final de la fase I. En ese caso, esas variables forman, por necesidad, parte de la solución básica de inicio para la fase II. En consecuencia, se deben modificar los cálculos en la fase II para asegurar que una variable artificial nunca se haga positiva durante las iteraciones en esa fase II. Las reglas para garantizar que una variable artificial que es cero al final de la fase I nunca se vuelva positiva durante la fase II, son las siguientes: 1. Si en la columna pivote el coeficiente de restricción correspondiente a la variable básica artificial es positivo, definirá al elemento pivote en forma automática (porque corresponde a la razón mínima de cero) y, como se busca, la variable artificial se vuelve no básica en la siguiente iteración. 2. Si el elemento de la columna pivote es cero, la siguiente iteración dejará la variable artificial inalterada, en el nivel cero. 3. Si el elemento de la columna pivote es negativo, la razón mínima no se asociará con la variable artificial básica (cero). En este caso, si la razón mínima resultante resulta ser positiva, la variable artificial asumirá un valor positivo en la siguiente iteración y se necesitará evitar que eso suceda. Para hacerlo, se obliga a la variable artificial a salir de la solución de cualquier modo. Si se observa que la variable artificial está en el nivel cero, la eliminación de la solución básica no afectará la factibilidad de las variables básicas restantes. Resumiendo, la regla de la fase II indica obligar a la variable artificial a salir de la solución básica en cualquier momento en que su coeficiente de restricción en la columna de pivote sea positivo o negativo. De hecho, esta regla se puede aplicar al final de la fase I, para eliminar las variables artificiales cero de la solución básica, antes de siquiera comenzar con la fase II.
Casos especiales de la aplicación del método simplex 1. 2. 3. 4.
Degeneración. Óptimos alternativos. Soluciones no acotadas. Soluciones inexistentes (o no factibles).
Degeneración Al aplicar la condición de factibilidad del método símplex, se puede romper un empate en las razón mínima en forma arbitraria. Cuando se presenta un empate, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, y se dice que la nueva solución es degenerada. Desde el punto de vista práctico, la condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante. Para poder presentar mejor perspectiva de los impactos prácticos y teóricos de la degeneración presentaremos un ejemplo numérico, que resolveremos en forma algebraica y gráfica . Ejemplo: Maximizar s.a
Sean
=3 +9 +4 ≤8 ≤4 +2 , ≥0
las variables de holgura, la siguiente tabla muestra la iteracion simplex.
En la iteración de inicio empatan y como variable de salida. Es la razón por la que la variable básica es cero en la iteración 1, y se obtiene así una solución básica degenerada. Se alcanza el óptimo después de una iteración más. ¿Qué implica la degeneración en la práctica? Véase la figura 3.9, que muestra la solución gráfica del modelo. Pasen tres líneas por el punto óptimo ( . Como éste es
=0, =2
un problema bidimensional, el punto está sobre determinado y una de las restricciones es redundante.
Desde el punto de vista teórico, la degeneración tiene dos implicaciones. La primera es el fenómeno de ciclos o círculos. Al ver las iteraciones símplex 1 y 2, el lector notará que el valor objetivo no mejora (z = 18). Por consiguiente, es posible que el procedimiento símplex repita una serie de iteraciones sin mejorar el valor objetivo, y nunca terminar los cálculos. Aunque hay métodos para eliminar los ciclos, éstos conducen a retardos drásticos en los cálculos. Por esta razón, la mayor parte de los programas informáticos para programación lineal no prevén los ciclos, basados en el hecho que rara vez suceden en la práctica.
Óptimos alternativos. Se presenta cuando la recta de la ecuación función objetivo es paralela al menos a una restricción que cumpla como una ecuación de la mejor solución o solución óptima. La función objetivo asumirá el mismo valor optimo en más de un punto de solución. Se utilizará el siguiente ejemplo para demostrar esto Ejemplo Maximizar
=2 +4 ,+2 ≥0 ≤5
La figura muestra como pueden presentarse optimos alternativos en el modelo de programacion lineal cuando la funcion objetivo es paralela a una restriccion obligatoria. Todo punto del segmento de recta BC representa un iptimo alternativo con el mismo valor objetivo z = 10.
Solucion no acotada Ocurre cuando los valores de algunas variables pueden aumentar de forma indefinida sin violar alguna de las restricciones, y eso significa que el espacio de soluciones es no acotado al menos en una direccion. El resultado es que el valor objetivo puede aumentar o disminuir (dependiendo si se busca maximizar o minimizar) de forma indefinida, e por lo que el espaco de soluciones como el valor optimo no estan acotados. La no acotacion apunta hacia la posibilidad de que el modelo este mal construido, ya sea por no tomar en cuenta restricciones no redunantes, esto se puede ver en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Maximizar
=2 + 2 ≤40 ≤10 , ≥0
Iteracion de inicio
Una forma para reconocer la no acotacion es que si en cualuqier iteracion todos lo coeficientes de restriccion de toda variable no basica son negativas o cero, entonces el espacio de soluciones no esta acotado en esa direccino. Ademas si el coeficiente objetivo de esa variable es negativo en caso de maximizacion, o positivo en caso de minimizacion, entonces tambien el valor objetivo es no acotado.
Solucion no factible
≤
Se presenta cuando no se cumple con al menos una restriccion, lo que indicaria que el modelo no esta bien construido, esta situacion no ocurre si todas las rectricciones son del tipo (suponiendo lado derecho no negativo), porque las holguras permiten tener una solución factible. Para otros tipos de restricciones se usan variables artificiales. Aunque esas variables artificiales se penalizan en la función objetivo, para obligarlas a ser cero en el óptimo, eso sólo puede suceder si el modelo tiene un espacio factible. En caso contrario, al menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Solucion Dual optima. Las soluciones primal y dual se relacionan de forma estrecha, ya que la solucion optima del problema primal produce de forma directa la solucion optima del dual. Para obtener la solucion optima del dual, hay dos metodos, estos son: Metodo 1
Los elementos del vector renglón de los coeficientes objetivos del primal original deben aparecer en el mismo orden que aparecen las variables básicas de la columna bascai e la tabla simplex. Método 2
Observación El dual del problema dual corresponde al problema primal, por lo que lo métodos presentados se pueden aplicar para determinar la solución óptima del primal a partir del dual. Para entender mejor esto se mostrará en un ejemplo. Ejemplo: Maximizar s.a
=5 +12 +4 +2 + ≤10 2 +3 =8 , , ≥0
Para preparar el problema para su solución con método simplex se agrega una holgura en la primera restricción, y una R artificial en la segunda. Los problemas primales y dual asociado resultantes se definen así:
Tabla optima del primal.
La matriz inversa optima, que se señala bajo las variables de inicio Inversa optima =
−
y R es.
Ahora se aplicarán los dos métodos anteriormente mencionados para obtener los valores duales óptimos.
Método 1:
coeficientes objetivos generales= coeficiente de , =12,5
Primero se observa que las variables primalas optimas aparecen en la tabla en orden de la fila, primero y después . Eso quiere decir que los elementos de 3 los coeficientes originales del objetivo para las dos variables deben aparecer en el mismo orden, que es:
así los valores duales óptimos se calculan como sigue:
Método 2:
, =( , )× − =12,5 = , −
Como el problema dual tiene dos variables se necesitan dos ecuaciones para llegar a la solución. Tomaremos las restricciones duales asociadas con las variables primales de inicio, y R. Como se ve en la definición de dual, las restricciones duales asociadas con las variables primales de inicio son:
: ≥0 ≥ = − +
variable de inicio
variable de inicio R: También, según la tabla 1: Coeficiente z de
Coeficiente z de R =
Entonces de acuerdo al Método 2,
= 0 − +=
= = −
Nótese que en cada ecuación interviene exactamente una variable, y por tanto la solución dual está disponible de inmediato. Éste es siempre el caso de las restricciones duales asociadas con las variables de inicio. En realidad, las restricciones duales asociadas con dos variables primales cualesquiera se podrían usar exactamente igual, para obtener la solución dual. Por ejemplo, en la tabla óptima, las variables primales x1 y x3 producirán las siguientes ecuaciones respectivas.
Dos variables cualesquiera de
+2 5=03 +3 4= 5 , , ,
y R producirán la misma solución.
Cálculos con la tabla simplex: En esta sección se indica cómo se puede generar toda la tabla símplex en cualquier iteración, a partir de los datos originales del problema y la inversa asociada con la iteración. se puede dividir los cálculos en dos tipos: 1. Columnas de restricción (lados izquierdo y derecho). 2. Renglón objetivo z. Cálculos de columnas de restricción. En cualquier iteración símplex, una columna del lado izquierdo o derecho se calcula como sigue: (Formula 1)
Cálculos de renglón objetivo z. En cualquier iteración símplex, el coeficiente de función objetivo se calcula como sigue:
en la
(Formula 2)
Se usará un ejemplo de programación para explicarlo mejor
Ejemplo.
Inversa optima =
−
El uso de la fórmula 1 se ilustra calculando todas las columnas de lado izquierdo y lado derecho de la tabla óptima:
De manera parecida se calculan las siguientes columnas de restricción:
A continuación, se demostrará cómo se hacen los cálculos del renglón objetivo, con la fórmula 2.
, = , −
Los valores óptimos de las variables duales , se calcularon en el ejemplo anterior. Estos valores se usan en la fórmula 2 para determinar los coeficientes asociados de z como sigue:
Coeficiente de Coeficiente de Coeficiente de Coeficiente de Coeficiente de
+2× − 5 =0 2 +2 5= −12=0 12=2× +3 4= +3×−4 = = 0 = − 0 − = = +
en z =
en z = en z = en z =
en z =
Es importante observar que los cálculos con las fórmulas 1 y 2 se pueden aplicar en cualquier iteración, sea de los problemas primales o duales. Todo lo que se necesita es la inversa asociada con la iteración primal o dual, y los datos de la programación lineal original.
Valor objetivo primal y dual. En los problemas primal-dual, si uno es de maximización el otro debe ser de minimización. Desde este punto de vista, los valores objetivo en los dos problemas se relacionan de la siguiente manera:
)≤( ) (
En el óptimo, la relación es válida estrictamente como ecuación. Obsérvese que la relación no especifica cuál problema es primal y cuál es dual. En este caso sólo importa el sentido de la optimización (maximización o minimización)
Modelo de asignación El modelo de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos que se destinan a la realización de tareas. Por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También pueden ser máquinas, vehículos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan tareas. Una buena forma descripción del modelo de asignación es “L a mejor persona para el puesto”.
El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de trabajadores a puestos. El modelo general de asignación con n trabajadores y n puestos se representa en la siguiente tabla.
El elemento representa el costo de asignar al trabajador i al puesto j (i, j _ 1, 2, ..., n). No se pierde generalidad al suponer que la cantidad de trabajadores siempre es igual a la cantidad de puestos, porque siempre se pueden agregar trabajadores o puestos ficticios para obtener esa condición. El modelo de asignación es un caso especial del modelo de transporte, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos. La cantidad de oferta en cada fuente,
y la cantidad de demanda en cada destino son exactamente iguales a 1. El costo de “transportar” el
trabajador i al puesto j es . Estos modelos se pueden resolver en forma directa como modelo normal de transporte. Sin embargo, se desarrolló un algoritmo sencillo de solución llamado método húngaro.
Método húngaro para explicar el método húngaro se usarán dos ejemplos. Ejemplo 1 Los tres hijos de Joe Klyne, John, Karen y Terri, quieren ganar algo para sus gastos personales, durante un viaje de la escuela al zoológico. El señor Klyne ha destinado tres tareas para sus hijos: podar el pasto, pintar la cochera y lavar los autos de la familia. Para evitar discusiones, les pide que presenten ofertas (secretas) de lo que crean que es un pago justo para cada una de las tres tareas. Se sobreentiende que después los tres obedecerán la decisión de su papá sobre quién hace cuál tarea. La siguiente tabla muestra las ofertas.
Basados en esta información ¿Cómo debe el señor klyne asignar las tareas?, se puede aplicar el método húngaro. Paso 1. En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón.
Paso 2. En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.
Paso 3. Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.
Los elementos cero subrayados corresponden a la solución óptima. Esto quiere decir que John va a pintar la cochera, Karen podará el pasto y Terri lavará los autos. El costo total para el señor klyne será 9 +10 +8 = 27.
Los pasos presentados para el método húngaro funcionaron bien en el ejemplo anterior, porque sucede que los elementos cero en la matriz final producen una asignación factible (en el sentido que las tareas se asignan en forma única a los niños). En algunos casos los ceros que se producen en los pasos 1 y 2 no producen una solución factible en forma directa. En este caso se necesitan más pasos para llegar a la asignación óptima (factible). En el ejemplo que sigue se ilustra este caso. Ejemplo 2 Suponga que el caso del ejemplo anterior se amplía a cuatro hijos y cuatro tareas. La siguiente tabla resume los elementos de costo en el problema.
Al aplicar los pasos 1 y 2 a la matriz de la se obtiene la siguiente matriz reducida.
Los lugares de los elementos cero no permiten asignar una tarea por niño. Por ejemplo, si se asigna el niño 1 a la tarea 1, se eliminará la columna 1, y el niño 3 no tendrá elemento cero en las tres columnas restantes. Paso 2ª. Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los elementos cero) con los pasos 1 y 2. i) Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubran todos los elementos cero. ii) Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos líneas. iii) Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2a. En caso contrario, seguir en el paso 3 para determinar la asignación óptima.
Al aplicar el paso 2a a la última matriz se obtienen las celdas sombreadas que se ven en la tabla.
La celda de valor mínimo no sombreada (que se muestra subrayado) es igual a 1. Este elemento se resta de todas las celdas no sombreadas y se suma a las celdas de las intersecciones, para producir la matriz de la tabla.
La solución óptima, que se indica con los ceros subrayados, dice que se debe asignar el niño 1 a la tarea 1, el niño 2 a la tarea 3, el niño 3 a la tarea 2 y el niño 4 a la tarea 4. El costo optimo asociado es 1+ 10+ 5 + 5 = $21 Explicación del método húngaro con el método simplex.
={1,0,
El problema de asignación en el que n trabajadores se asignan a n puestos se puede presentar como modelo de programación lineal en la forma siguiente: sea el costo de asignar el trabajador i al puesto j, y sea.
Entonces el modelo de programación lineal es Minimizar s.a
La solución óptima de este modelo de programación lineal no cambia si se suma o resta una constante en cualquier renglón o columna de la matriz de costo ( ). Para demostrar esto, sean y constantes restadas del renglón i y la columna j. Así, el elemento de costo cambia a.
´ =
Ahora bien
Como la nueva función objetivo difiere de la original por una constante, los valores óptimos de deben ser iguales, en ambos casos. El desarrollo demuestra que los pasos 1 y 2 del método húngaro, que requiere restar en el renglón i y después restar en la columna j, producen un modelo equivalente de asignación. Si se puede encontrar una solución factible entre los elementos cero que se crearon en la matriz de costo, en los pasos 1 y 2, debe ser óptimo, porque el costo en la matriz modificada no puede ser menor que cero. Si los elementos cero que se crearon no pueden producir una solución factible, se debe aplicar el paso 2a, que consiste en cubrir los elementos cero. La validez de este procedimiento se basa de nuevo en el método símplex de programación lineal, y se puede explicar con la teoría de la dualidad.
La razón por la que (p1 + p2+…..+ pn) + (q1 + q2 + …...+ qn) produce el valor objetivo óptimo es que
representa la función objetivo dual del modelo de asignación. Se puede ver este resultado comparando la función objetivo dual del modelo de transporte. El modelo de transbordo. es una variación del modelo original de transporte que se ajusta a la posibilidad común de transportar unidades mediante nodos fuentes, destinos y transitorios, mientras el modelo tradicional solo permite envíos directos desde nodos fuentes hacia nodos destinos. Existe la posibilidad de resolver un modelo de transbordo mediante las técnicas tradicionales de resolución de modelos de transporte normal, utilizando la idea de un amortiguador. Se utilizará un ejemplo para explicarlo más claramente .
Ejemplo
Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, se enlazan con tres agencias, D1, D2 y D3, a través de dos centros de distribución, T1 y T2, de acuerdo con la red de la figura. Las cantidades de oferta en las plantas P1 y P2 son 1000 y 1200 autos, y las cantidades de demanda en las agencias D1, D2 y D3 son 800, 900 y 500 autos. El costo de transporte por vehículo, en cientos de $ entre pares de nudos se ve en los enlaces (o arcos) de la red.
En la red de la figura hay transbordos porque toda la oferta de 2200 (=1000 + 1200) autos de los nodos P1 y P2 podría pasar en principio por cualquier nodo de la red, antes de llegar a su destino en los nodos D1, D2 y D3. A este respecto, los nodos de la red que tienen arcos de entrada y salida al mismo tiempo (T1, T2, D1 y D2) funcionan como fuentes y destinos al mismo tiempo, y se llaman nodos de transbordo. Los nodos restantes pueden ser nodos de oferta pura (P1 y P2) o nodos de demanda pura (D3). El modelo de transbordo se puede transformar en un modelo normal de transporte con 6 fuentes (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco destinos (T1, T2, D1, D2 y D3). Las cantidades de oferta y demanda en los distintos nodos se calculan como sigue: Oferta en un nodo de oferta pura = suministro original Demanda en un nodo de demanda pura = demanda original Oferta en un nodo de transbordo = oferta original + amortiguador Demanda en un nodo de demanda pura =demanda original + amortiguador La cantidad amortiguadora debe ser lo suficientemente grande como para permitir que toda la oferta (o demanda) original pase por cualquiera de los nodos de transbordo. Sea B la cantidad deseada de amortiguador. Entonces B = Oferta (o demanda) total = 1000 + 1200 (u 800 + 900 + 500) = 2200 autos
