MAKALAH TRANSFORMASI SIMILARITAS SIMILARITAS
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Transformasi Dosen Pengampu: Pengampu: Erfan Yudianto, Yudianto, S.Pd., M.Pd. Dr. Susanto, M.Pd. Oleh : Kelompok 8 Kelas C 1. Meilinda Faisovi 2. Lilavati Vi Via!anita "a "ahma $. %&m' in *a+i&oh
(140210101088) (1402101010#1) (140210101102)
,"O-"M /% ,*%%K* M/M/%K 3"* ,*%%K* M%, FKL/ K-"* * %LM ,*%%K* *%V"%/ 3M" 2015
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
alam d'nia pendidikan di ,e&!'&'an /in!!i6 pe&k'lian tidak pe&nah lepas da&i mata pelaa&an eksak te&'tama matematika. Matematika me&'pakan ilm' 'k'& 7an! pelaa&ann7a
memahas
tentan!
pe&hit'n!an9pe&hit'n!an.
elain
ilm'
'k'&
matematika '!a di kenal den!an ilm' pasti. Matematika memiliki aan! pada setiap idan!n7a sepe&ti !eomet&i dan sea!ain7a. -eomet&i me&'pakan salah sat' aan! matematika 7an! e&san!k'tan den!an pe&tan7aan ent'k6 'k'&an6 posisi &elati tokoh6 dan siat &'an! den!an men!!'nakan deinisi6 teo&ema6 ma'p'n post'lat. ,ada p&oses pemelaa&an di ,e&!'&'an /in!!i6 !eome&i dipe&kenalkan pe&tama kali ketika semeste& pe&tama pe&k'liahan den!an ahasan mata k'liah tentan! dasa&9dasa& !eomet&i. nt'k semeste& sela'tn7a6 !eomet&i 7an! di ahas 7ait' !eomet&i analitik. elain !eomet&i analitik6 aan! !eomet&i 7an! lain 7ait' !eomet&i t&anso&masi. -eomet&i t&anso&masi me&'pakan a!ian da&i !eomet&i 7an! memia&akan pe&'ahan6 aik pe&'ahan letak ma'p'n ent'k pen7aiann7a didasa&kan den!an !ama& dan mat&iks. -eomet&i t&anso&masi leih se&in! di se't t&anso&masi 7an! me&'pakan men!'ah setiap koo&dinat titik (titik9titik da&i s'at' an!'n) menadi koo&dinat lainn7a pada idan! den!an sat' at'&an te&tent'. alah sat' mate&i !eomet&i t&anso&masi 7ait' simila&itas6 dilasi6 se&ta hasil kali t&anso&masi den!an d ilasi. e&dasa&kan sin7alemen di atas6 maka makalah ini akan memahas tentan! !eomet&i t&anso&masi 7an! e&kaitan den!an simila&itas6 dilasi6 se&ta hasil kali t&anso&masi den!an dilasi demi memen'hi t'!as pe&k'liahan !eomet&i t&anso&masi.
1.2. Rumusan Masalah
1. a!aimana pen!e&tian dan siat9siat da&i simila&itas; 2. a!aimana pen!e&tian da&i dilasi; $. a!aimana hasil kali anta&a t&anso&masi den!an dilasi; 1.3.
Tujuan
1. nt'k men!etah'i pen!e&tiandan siat9siat simila&itas. 2. nt'k men!etah'i pen!e&tian dilasi. $. nt'k men!etah'i hasil kali anta&a t&anso&masi den!an dilasi. 1..
Man!aat
1. 2. $.
apat menn!etah'i pen!e&tian dan siatsiat da&i simila&itas. apat men!etah'i pen!e&tian dilasi. apat men!etah'i hasil kali anta&a t&anso&masi den!an dilasi.
BAB II PEMBAHA"AN
"IMILARITA" 1. De!#n#s# s#m#lar#tas $an s#!at%s#!at
Kita telah mempelaa&i maam9maam t&anso&masi 7an! e&'pa s'at' isomet&i6 7ait' s'at' t&anso&masi 7an! men!a
De!#n#s# s'at' t&anso&masi / adalah t&anso&masi kesean!'nan (ata' disin!kat
kesean!'nan) apaila ada se'ah konstanta k = 0 sehin!!a 'nt'k setiap pasan! titik ,6 >6 ? k,> den!an /(,) ? ,@dan /(>) ? >@
paila k ? 16 maka t&anso&masi te&se't adalah se'ah isomet&i.
Te&rema 1.1 se'ah kesean!'nan /:
1. memetakan !a&is pada !a&is6 2. men!a
"'m's 'm'm simila&itas pada idan! Ca&tesi's adalah
| | ? '
x y '
|
p
+
q
q
||A||
x ± p y
m n
en!an p ² + q ² =k ² ≠ 0 6 a. tanda 7an! atas pada a&is ked'a 'nt'k simila&itas sea&ah6 . tanda 7an! a
2. D#las#
alam mempelaa&i isomet&i9isomet&i6 &eleksi9lah adalah isomet&i dasa&. nda masih in!at tent'n7a ah
akto& skala & dan p'sat adalah padanan 7an! e&siat: 1. () ? 2. ika , B 6 , ? (,) adalah titik pada sina&
AP
sehin!!a , ? &(,) ( ini
seta&a den!an men!atakan ah
nt'k mem'ktikan ini akan di'ktikan d'a hal6 7ait' sea!ai e&ik't. 1. .& adalah s'at' t&anso&masi 2. 3ika ,6 > d'a titik pada idan! 7an! e&eda maka ,> ? &(,>)6 den!an , ? .& (,) dan > ? .& (D)
Ak#'at 2.2 3ika ! se'ah !a&is dan ! ? .& (!) maka ! ? ! apaila
!EE! apaila
∈
! dan
∈ !.
3. Has#l kal# Trans!&rmas# $engan D#las#
ndaikan , ? (67) dan andaikan ada dilasi 06&. Kita hendak mena&i koo&dinat9 koo&dinat , ? 06&(,). , te&letak pada sina&
OP sehin!!a O, ? & O,.
3adi ika , ? (67) maka ? & dan 7 ? &7. ehin!!a , ? (&6&7) eka&an! andaikan ? (a6) dan diketah'i dilasi .&. Kala' ,G ? (G67G) den!an .& (,) ? ,G sedan!kan , ? (67). pakah h''n!an anta&a G6 7G6 6 dan 7; nt'k ini kita lak'kan t&anslasi -> kem'dian dilasi 06& 6 dis's'l den!an t&anslasi >06 maka kita dapat men'lis
.& ? -006& -0 3adi 'nt'k , ? (67) kita pe&oleh e&t'&'t9t'&'t: .& H(67)I ? -00& -0 H(67)I ? -00& H(9a679)I ? -0H&(9a6&(79)I ? H&(9a)Aa6&(79)AI ? H&Aa(19&)6&7A(19&)I en!an demikian dapat dikatakan Te&rema 3.1 paila 6& se'ah dilasi den!an ? (a6) dan , ? (67)6 maka .& (,)
? H&Aa(19&)6 &7A(19&)I. ealikn7a: padanan /(,) ? (&A6&7Ad) 'nt'k , ? (67) den!an &=0 dan &
≠
1
adalah s'at' t&anso&masi dan me&'pakan s'at' dilasi. ,'sat dilasi ini dapat ditent'kan sea!ai e&ik't. Kita t'lis /(,) ?
(
rx +
c 1− r
( 1 −r ) ry + d ( 1− r ) 1 −r
)
en!an demikian p'sat dilasi te&se't adalah titik ?
(
c 1− r
,
d 1−r
)
Te&rema 3.2 Jasil kali d'a dilasi adalah se'ah dilasi.
Ak#'at 3.1 adi kala' 6& dan . den!an 6. .& adalah se'ah dilasi C6&s den!an
C
´ ∈ AB
apaila &s
≠
1.
paila &s ? 1 maka hasil kali d'a dilasi it' adalah s'at' t&anslasi 7an! seaa& ´ den!an AB
Ak#'at 3.2 ika diketah'i .& dan .s maka .s..& adalah s'at' dilasi den!an skala
akto& &s6 ika &s
≠
1.
paila &s ? 1 maka hasil kali ini adalah t&anso&masi identitas.
Ak#'at 3.3 nt'k se'ah dilasi .& e&lak' 91.& ? .1E&
Te&rema 3.3
Jasilkali se'ah dilasi dan se'ah isomet&i adalah se'ah
kesean!'nan. Ak#'at ( 3adi pada 'm'mn7a hasilkali s'at' &elei dan s'at' dilasi ata' hasil
kali s'at' &otasi dan s'at' dilasi adalah se'ah kesean!'nan.
Te&rema 3. ndaikan
∆ ABC
≅
∆ XYZ maka ada tepat sat' kesean!'nan /
sehin!!a /() ? 6 /() ? D6 /(C) ? . 'kti : Kita akan mem'ktikan d'a hal6 7ait' 1. ksistensi kesean!'nan it' 2. Ket'n!!alan kesean!'nan it'.
Te&rema 3.) etiap kesean!'nan dapat dit'lis sea!ai hasil kali se'ah dilasi dan
tidak leih da&i ti!a &elei !a&is.
en!an demikian men'&'t teo&ema seel'mn7a dapat dikatakan ah
kesean!'nan 7an! memetakan himp'nan 7an! sat' pada himp'nan 7an! lain.
*&nt&h "&al
1. iketah'i titik9titik 6 ,6 >6 7an! tak se!a&is. L'kiskan .& (,)6 .& (>). 2. iketah'i 6 ,6 > se!a&is pada ! dan "
∈
!. L'kislah .k (") apaila
a. .k (>) ? , . .k(,) ? > $. iketah'i NC6 K di l'a& NC6 % di dalam NC. L'kislah .4E$(NC) 4. iketah'i ? (162) dan ? (4610). -'nakan dilasi 7an! tepat 'nt'k menent'kan6 a. Koo&dinat9koo&dinat den!an
∈
2
dan ?
5
. Koo&dinat9koo&dinat F pada dan F ? $. Pen+elesa#an(
1. iketah'i titik9titik 6 ,6 >6 7an! tak se!a&is. L'kiskan .& (,)6 .& (>). 3a
2. iketah'i 6 ,6 > se!a&is pada ! dan "
∈
!. L'kislah .k (") apaila
a. .k(>) ? ,
. .k (,) ? >
$. iketah'i
∆ C6 K di l'a& NC6 % di dalam NC. L'kislah :
4. iketah'i ? (162) dan ? (4610).
-'nakan dilasi 7an! tepat 'nt'k
menent'kan : a. Koo&dinat9koo&dinat den!an dan ? 2E5 ,en7elesaian: AB Misalkan ∈ dan ? 2E5
Maka dapat dia&i koo&dinat den!an men!!'nakan &'m's .& () ? H& A a(19&)6 &7 A (19&)I ipe&oleh .2E5(4610) ? H(2E5)4 A 1(192E5)6 (2E5)10 A 2(192E5)I ? H(8E5) A ($E5)6 (20E5) A (PE5)I ? H11E56 2PE5I 3adi koo&dinat9koo&dinat di adalah (11E56 2PE5) . Koo&dinat9koo&dinat F pada dan F ? $ ,en7elesaian: Misalkan F
∈
dan F ? $
ipe&oleh .$(4610) ? H$.4 A 1(19$)6 $.10A 2(19$)I ? H12926 $094I ? H106 2PI 3adi koo&dinat9koo&dinat di F adalah (106 2P).
BAB III PENUTUP 3.1. ,es#m-ulan 1. ,en!e&tian simila&itas me&'pakan s'at' t&anso&masi / adalah t&anso&masi
kesean!'nan (ata' disin!kat kesean!'nan) apaila ada se'ah konstanta k = 0 sehin!!a 'nt'k setiap pasan! titik ,6 >6 ? k,> den!an /(,) ? ,@dan /(>) ? >@ 2. ,en!e&tian dilasi me&'pakan se'ah titik dan se'ah ilan!an positi &. 'at' dilasi den!an akto& skala & dan p'sat adalah padanan 7an! e&siat: a. () ? . ika , B 6 , ? (,) adalah titik pada sina&
AP
sehin!!a , ?
&(,) ( ini seta&a den!an men!atakan ah
DATAR PU"TA,A
Kahi6M6. 1##Q. -eomet&i /&ano&masi 1 (disi "evisi). Malan!: %K%, Malan!. "a<'h. 1##$. -eomet&i /&anso&masi. and'n!: Matematika FM%,9%/.
