ABSTRACT El estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) es el procedimiento de estimación más básico en econometría. Este capítulo trata de las propiedades finitas o pequeñas muestras del estimador OLS, es decir, las propiedades estadísticas del estimador MCO que son válidas para cualquier tamaño de la muestra dada. Los materiales incluidos en este capítulo son totalmente estándar. La exposición aquí difiere de la mayoría de los otros libros de texto en su énfasis sobre el papel desempeñado por la suposición de que los regresores son "estrictamente exógenos". En la sección final, se aplica la teoría finita de muestra para la estimación de la función de costes utilizando datos de corte transversal sobre las empresas individuales. La pregunta planteada en Nerlove (1963) de estudio es de gran importancia práctica: si hay rendimientos crecientes a escala en el suministro de electricidad? En caso afirmativo, la microeconomía nos dice que la industria debe ser regulada. Además de proporcionarle una experiencia práctica en la utilización de las técnicas para poner a prueba hipótesis interesantes, papel Nerlove tiene una cuidadosa discusión de por qué el MCO es un procedimiento de estimación apropiado en esta aplicación particular.
El modelo clásico de regresión lineal En esta sección se presentan los supuestos que conforman el modelo clásico de regresión lineal. En el modelo, la variable en cuestión (llamada la variable dependiente, el regresando, o más genéricamente la variable del lado [lateral] izquierdo) se relaciona a otras variables (llamadas los regresores, las variables explicativas o las variables del lado derecho). Supongamos que observamos n valores para esas variables. Sea y i de i-ésima observaciones de la variable dependiente en cuestión y que (x i1; xi2,…,xik) sea la observación iésima de K regresores. La muestra o datos es una colección de las n observaciones. Los datos de la economía no pueden ser generados por experimentos (excepto en la economía experimental), por lo tanto, las variables dependientes e independientes tienen que ser tratadas como variables aleatorias, las variables
cuyo valor está sujeto a la casualidad. Un modelo es un conjunto de restricciones a la distribución conjunta de las variables dependientes e independientes. Es decir, un modelo es un conjunto de distribuciones conjuntas que satisfacen un conjunto de supuestos. El modelo de regresión clásica es un conjunto de distribuciones conjuntas que satisfacen los supuestos 1.1-1.4 indicados a continuación.
La suposición de linealidad La primera suposición es que la relación entre la variable dependiente y los regresores es lineal.
Asunción 1.1 (linealidad): Y i = β1x i1 + β2 x i2 +…+ βK x ik + ε i
(1.1.1)
(i= 1, 2, …, n),
donde β´s son parámetros desconocidos a estimar, y εi es el error no observado a largo plazo con ciertas propiedades que se especifican a continuación. La parte del lado derecho de la participación de los regresores, β1x i1 + β2 x i2 +…+ βK x ik , se llama la regresión o la función de regresión, y los coeficientes ( β's)
son llamados coeficientes de regresión. Ellos representan los efectos marginales y separados de los regresores. Por ejemplo, β2, representa el cambio en la variable dependiente cuando el segundo regresor aumenta en una unidad, mientras que otros regresores se mantienen constantes. En el lenguaje del cálculo, esto puede ser expresado como
yi / xi = β2 . La
linealidad implica que el efecto marginal no depende del nivel de regresores. El error representa la parte de la variable dependiente que queda sin explicar por los regresores.
Ejemplo 1.1 (función de consumo): La función de consumo familiar simple de introducción a la economía es
CON i = β1 + β2 YD i + ε i
(1.1.2)
donde CON es el consumo y YD es la renta disponible. Si los datos son agregados anuales de series de tiempo, CON i y YDi son el consumo agregado y los ingresos disponibles para el año i. Si los datos provienen de una encuesta de los hogares individuales, CON i es el consumo por el hogar i-ésimo en el corte transversal de las n muestra de hogares. La función de consumo se puede escribir como (1.1.1) mediante el establecimiento de y i = CONi, xi1 = 1 (una constante), y x i2 = YDi. El error εi representa otras variables además de la renta disponible que influyen en el consumo. Se incluyen aquellas variables-tales como los activos financieros-que pueden ser observables, pero el investigador decidió no incluir como regresores, así como las variables, tales como el "estado de ánimo" del consumidor-que es difícil de medir. Cuando la ecuación tiene sólo un regresor no constante, como aquí, se llama el modelo de regresión simple. El supuesto de linealidad no es tan restrictivo como pudiera parecer, porque la variable dependiente y las variables explicativas pueden ser las transformaciones de las variables en cuestión. Consideremos:
Ejemplo 1.2 (ecuación de salarios): Una versión simplificada de la ecuación de salarios habitualmente estimada en la economía del trabajo es log ( SALARIO ) i = β1 + β2 S i + β3 TENURE i + β4 EXP i + ε i
(1.1.3)
donde el SALARIO = la tasa de salario para el individuo, S = la educación en años, TENURE = años en el trabajo actual, y EXPR = años de experiencia laboral (es decir, el número total de años sobre todos los puestos de trabajo ocupados actual o previamente por el individuo). La ecuación de salarios se ajusta al formato genérico (1.1.1) con y i = log(SALARIO i). La ecuación se dice que es en forma semi-logaritmica porque sólo la variable dependiente es en logaritmo. La ecuación se deriva de la siguiente relación no lineal entre el nivel de la tasa de salario y los regresores: β1 ) exp (β2Si ) exp ( β3 TENURE ) β4 EXP ) SALARIO i = exp ( i exp ( i exp ( ε ) i (1.1.4)
Al tomar los registros de ambos lados de (1.1.4) y observando que log [exp(x)] = x, se obtiene (1.1.3). Los coeficientes en la forma semi-log tienen la interpretación de
las variaciones porcentuales, no cambios en los niveles. Por ejemplo, un valor de 0,05 de β2 implica que un año adicional de educación tiene el efecto de elevar la tasa de salario en un 5 por ciento. La diferencia en la interpretación se produce debido a que la variable dependiente es la tasa de salario diario, no el salario en sí, y el cambio en los registros es igual al porcentaje de cambio en los niveles. Algunas otras formas de no linealidades también pueden ser acomodadas. Supongamos, por ejemplo, que el efecto marginal de la educación termina cuando el nivel de educación es muy alto. Esto se puede capturar mediante la inclusión en la ecuación de salarios del término al cuadrado S 2 como un regresor adicional en la ecuación de salarios. Si el coeficiente del término al cuadrado es β5, el efecto marginal de la educación es
β2 + 2 β5 S (= log (SALARIO)/ S).
Si β5 es negativo, el efecto marginal de la educación disminuye con el nivel de educación. Existen, por supuesto, los casos genuinos de no linealidad. Por ejemplo, la relación (1.1.4) no habría podido ser lineal si el término de error se hubiera introducido de forma aditiva en lugar de manera multiplicativa: SALARIO i = exp ( ) exp ( β1 ) exp (β2Si β3 TENURE ) ) i exp (β4 EXP i + ε i La estimación de las ecuaciones de regresión no lineal, como esta se discutirá en Capítulo 7.
Matriz notación Antes de establecer otros supuestos del modelo clásico, se introduce el vector y la matriz notación. La notación será de utilidad para otros supuestos que indican precisión y también para derivar el estimador de MCO de β. Definir K-dimensional (columna) vectores xi y β como
X =
[]
. β =
[]
(1.1.5)
En los vectores y matrices de (1.1.6), existen filas, tantas como sean las observaciones, con las filas correspondientes a las observaciones. Por esta razón
y y X a veces se llama el vector de datos y la matriz de datos. Puesto que el número de columnas de X es igual al número de filas de β, X y β son conformables y Xβ es un vector de n x 1. Su i-ésimo elemento es x’iβ. Por lo tanto, el supuesto 1.1 se puede escribir en forma compacta como
Supuesto de estricta exogeneidad El siguiente supuesto del modelo de regresión clásica es
Asunción 1.2 (estricta exogeneidad):
Aquí, la esperanza (media) está condicionada a las variables independientes para todas las observaciones. Este punto puede hacerse más evidente si se escribe el supuesto sin necesidad de utilizar la matriz de datos como
Para indicar el supuesto de otra manera, tomar, para alguna observación concreta i, la distribución conjunta de las variables aleatorias n K + 1, f (ε i, x 1,…,x n ), y considerar la distribución condicional, f (ε i / x 1,…,x n ). La media condicional E (ε i / x 1,…, x n ) es, en general, una función no lineal de (x 1,…, x n ). El supuesto de estricta exogeneidad dice que esta función es una constante de valor cero. Suponiendo que esta constante sea cero no es restrictiva si los regresores incluyen una constante, porque la ecuación puede ser reescrita de modo que la
media condicional del término del error es cero. Para ver esto, supongamos que E (ε i / x ) es μ y xi1 = 1. La ecuación se puede escribir como
Si redefinimos β 1 a ser β1 + μ y ε i a ser ε i –μ, la media condicional del nuevo
término del error es cero. En prácticamente todas las aplicaciones, los regresores son términos constantes.
Ejemplo 1.3 (continuación del ejemplo 1.1): Para el modelo de regresión simple del ejemplo 1.1, el supuesto de estricta exogeneidad puede ser escrito como
Dado xi= (1, YDi)’, es posible que desee e scribir el supuesto de estricta exogeneidad como Pero como una constante no proporciona ninguna información, la esperanza condicionada a es la misma que la esperanza condicional sobre
Implicancias de la estricta exogeneidad El supuesto de estricta exogeneidad tiene varias implicaciones.
La media no condicional del error es cero, es decir,
Esto es así por la Ley de Esperanzas totales de la teoría de probabilidad básica
Si el momento de cruce E ( xy ) de dos variables aleatorias x e y es cero, entonces se dice que x es ortogonal a y (o y es ortogonal a x ). En virtud de la estricta exogeneidad los regresores son ortogonales al término del error para todas las observaciones, es decir,
La prueba es un buen ejemplo del uso de las propiedades de las esperanzas condicionales y es la siguiente.
PRUEBA. Como x jk es un elemento de X, la estricta exogeneidad implica
por la Ley de esperanzas iteradas de la teoría de probabilidades. De ello se deduce a partir de esto que
El punto aquí es que la estricta exogeneidad requiere que los regresores sean ortogonales no sólo al error de la misma observación (es decir, E (x ik εi) =0 para todo k), sino también al error de las otras observaciones (es decir, E (x jk εi) =0 para todo k y para j ≠ i).
Debido a que la media del error es cero, las condiciones de ortogonalidad (1.1.9) son equivalentes a las condiciones de correlación cero. Esto es debido a
En particular, para i = j, Cov (x ik, εi) =0. Por lo tanto, la estricta exogeneidad implica la exigencia (familiar para aquellos que han estudiado la econometría antes) de que los regresores se correlacionen simultáneamente con el término de error.
Estricta exogeneidad en modelos de series de tiempo Para los modelos de series de tiempo donde i es el tiempo, la implicación (1.1.9) de estricta exogeneidad puede ser reformulada como: los regresores son ortogonales al pasado, actual, y error futuro (o equivalentemente, el término de error es ortogonal a la corriente el pasado, y los regresores futuros). Pero para la mayoría de los modelos de series de tiempo, esta condición (y con mayor motivo la estricta exogeneidad) no se cumple, por lo que la teoría de la muestra finita sobre la base de una estricta exogeneidad a desarrollar en este apartado no suele ser aplicable en un contexto de series de tiempo. Sin embargo, como se muestra
en el siguiente capítulo, el buen estimador posee propiedades de grandes muestras sin estricta exogeneidad. El ejemplo más claro de un fallo de estricta exogeneidad es un modelo donde el regresor incluye la variable dependiente rezagada. Consideremos el modelo simple: Esto se conoce como el modelo autorregresivo de primer orden (AR (1)). (Vamos a estudiar este el modelo con más detalle en el capítulo 6.) Supongamos, en consonancia con el espíritu del supuesto de estricta exogeneidad, que el regresor para la observación i, y i-1, es ortogonal al término de error para i tal que E(yi-1 εi) = 0. Entonces Por lo tanto, a menos que el error sea siempre cero, E(yi εi) no es cero. Sin embargo yi es el regresor para la observación i+1. Así, el regresor no es ortogonal error pasado, que es una violación de estricta exogeneidad.
Otros supuestos del Modelo Las otras hipótesis que comprenden el modelo clásico de regresión son las siguientes.
Supuesto 1.3 (no multicolinealidad): el rango de la matriz de datos nxK , X , es K con probabilidad 1.
Supuesto 1.4 (error esférico de la varianza): (homocedasticidad) (no hay correlación entre las observaciones) Para entender el supuesto 1.3, recuerde, del álgebra matricial que el rango de una matriz es igual al número de columnas linealmente independientes de la matriz. La suposición dice que ninguna de las columnas de K de la matriz de datos X puede expresarse como una combinación lineal de las otras columnas de X. Es decir, X es de rango columna completa. Puesto que las columnas de K no puede ser
linealmente independientes si su dimensión es menor que K, la suposición implica que n ≥ K, es decir, debe haber al menos tantas observaciones como regresores. Los regresores se dice que son (perfectamente) multicolineales si el supuesto no se cumple. Es fácil ver en aplicaciones específicas cuando los regresores son multicolineales y los problemas que surgen.
Ejemplo 1.4 (continuación del Ejemplo 1,2): Si los individuos de la muestra nunca han cambiado de trabajo, entonces TENURE i = EXPRi para todo i, en violación del supuesto de no multicolinealidad. Evidentemente no hay manera de distinguir el efecto TENENCIA del efecto EXPERIENCIA sobre la tasa de salario. Si sustituimos esta igualdad en la ecuación de salarios para eliminar la TENENCIA, la ecuación de salarios se convierte en Lo que demuestra que solo la suma β 3 + β4, pero no β 3 y β4 por separado, puede
ser estimado. El supuesto de homocedasticidad (1.1.12) dice que la la condición del segundo momento, que en general es una función no lineal de X, es una constante. Gracias a la estricta exogeneidad, esta condición puede afirmar lo que es equivalente en términos más familiares. Considere la varianza condicional Var(ε i / x ). Es igual a la misma constante porque
Del mismo modo, (1.1.13) es equivalente a la exigencia de que Es decir, en la distribución conjunta de (ε i / ε j ) condicionada a X, la covarianza es cero. En el contexto de modelos de series de tiempo, (01.01.13) afirma que no hay
correlación serial en el término de error. Puesto que (i, j ) elementos de la matriz nxn εε’ es εiε j, el supuesto 1.4 puede ser escrito en forma compacta como
La discusión del párrafo anterior muestra que el supuesto también puede ser escrito como Sin embargo, (01.01.14) es la expresión preferida, porque la medida más conveniente de la variabilidad es segundo momento (por ejemplo E (ε i2 )) más / x que las varianzas. Este punto quedará más claro cuando tratemos la teoría de la gran muestra en el el capítulo siguiente. El Supuesto 1.4 se llama a veces la suposición del error esférico de la varianza porque la matriz de nxn segundos momentos (que también son las varianzas y covarianzas) es proporcional a la matriz identidad. Este supuesto será relajado más adelante en este capítulo.
El modelo clásico de regresión para muestras aleatorias
