Engenharia de Produção 3° Período Estatística Aplicada II UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
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UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA TRABALHO DE ESTATÍSTICA APLICADA II
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
DLAYTON AUGUSTO AUG USTO ARAÚJO DE SABÓI SABÓIA A - 600187611 600187611 HENRIQUE SOARES NUNES - 600258396 RENAN MOURA DA COSTA - 600287388 THIAGO DE PAIVA CARDOZO - 600297742 600297742
DISTRIBUIÇÃO TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Orientador: Boris
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SUMÁRIO
1 - Distribuição de Bernoulli................................ Bernoulli................ ................ ................................ ....................... ......... ....................... 4 2- Distribuição Hipergeométrica ................................ ........................ ........ ................................ ........................... ..... ................ 4 3 - Distribuição Distribuição Binomial ................................ ......................... ....... ................................ ........................... ..... ............................ ......................... ... 6 4 - Função Função da probabilidade................................ .......................... ...... ................................ ....................... ......... ....................... 6 5 - Distribuição Distribuição de Poison ................................ ........................ ........ ................................ .......................... ...... ........................... ........................ ... 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO E COMENTADOS: ............... 9
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DISTRIBUIÇÃO TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 1 - Distribuição de Bernoulli A Distribuição de Bernoulli é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, com probabilidades P(0) = 1 - p e P(1) = p. O nome da distribuição se refere ao cientista suíço Jakob Bernoulli. Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis pode ser descrita por uma variável aleatória de Bernoulli. Por convenção utilizam-se os valores 0 e 1 (0 insucesso, 1 sucesso) e designa-se por p a probabilidade da variável assumir o valor 1. Exemplos de aplicação: y
y
y
O sexo de um indivíduo; Pretende-se estudar a incidência de uma certa doença numa certa população. X pode indicar se a doença está presente (X=1) ou ausente (X=0) num indivíduo da população (selecionado ao acaso). O fator Rh do sangue das pessoa (ou é positivo ou é negativo).
2- Distribuição Hipergeométrica Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve a probabilidade de se retirar x elementos do tipo A numa sequência de n extrações de uma população finita de tamanho N, com K elementos do tipo A e N- K elementos do tipo B, sem reposição.
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Seja N um conjunto tal que exi tem K elementos do ti o A e N- K elementos do ti o
B
elementos é selecionado, aleatoriamente e sem repos i
Um conjunto de
o, do
conjunto de N elementos. A vari vel aleatór ia X denota o número de e lementos tipo A. Então, X tem distri ui ão hipergeométrica e
onde x= 0,1,2,...,min( ,n) e onde K
refere-se ao coef iciente binomial, o número
de combinações possí veis ao selecionar b elementos de um total a. Quando o tamanho da popu lação é mu ito maior do que a amostra ( isto é, N é muito maior que n) a distribuição hipergeométr ica é razoave lmente bem aproxi mada pela distribuição binomial com parâmetros n (número de tentat ivas) e p = K / N (probabilidade de sucesso numa tentat iva única).
Um jogo de loteria cons iste em selecionar seis dezenas do conjunto de cem dezenas de 00 a 99, com uma bo la para cada dezena e sem repos ição. Num vo lante (cartão aposta) o jogador pode esco lher de 6 a 12 dezenas. Qua l é a probabilidade de acertar-se a qu ina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no vo lante?
Temos:
N: total de dezenas, N = 100 n: total de dezenas sorteadas, n = 6
K :
total de dezenas escolhidas, K = 10
X:
total de sucessos, queremos X = 5
A probabilidade de se acertar a qu ina é de aproxi madamente 0,0019%.
O interessante é que o mesmo prob lema pode ser resolvido de outra forma. Podemos pensar que a escolha aleatória é feita pelo jogador, e que as dezenas "premiadas" já estão def inidas a priori (sem o jogador saber, é c laro). Isto é, existem 2 t ipos de dezenas, as "premiadas" e as "não prem iadas", e o jogador escolhe aleatoriamente (ou não, desde que o seu cr itério de esco lha seja
independente das dezenas "premiadas") as 10 dezenas do seu jogo. Ass im
N: total de dezenas, N = 100
6
n: total de dezenas sorteadas /escolhidas pelo jogador), n = 10 K : total de dezenas premiadas, K = 6 X: total de sucessos, queremos X = 5
O resultado é o mesmo!
3 - Distribuição Binomial Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante.
4 - Função da probabilidade Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e pr escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:
para
Exemplo:
e onde
é uma combinação.
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Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade: Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:
Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:
Assim, a resposta é:
8
5 - Distribuição de Poison
Função de probabilidade da distribuição de Poison para vários valores de .
Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta. Ela expressa, por exemplo, a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem num dado período tempo, caso estes ocorram com uma taxa média conhecida e caso cada evento seja independente do tempo decorrido desde o último evento. A distribuição foi descoberta por SiméonDenis Poisson (1781±1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recher ches sur la probabi li té d es j ugement s en matièr es cr i mi nell es et matièr e civi l e ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2,) é
onde
eé
base do logaritmo natural ( e = 2.71828...), k ! é o factorial de k , é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que
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ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com = 10/4 = 2.5. Como função de k , esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial. A sua média e a sua variância são iguais a . EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO E COMENTADOS: 4.9.1 Seja X:B .Calcular: t odas as questões da l et ra A até G, será uti li z ada a d i st ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1 P ara
X: B (10 , 2/5) n = 10 , p = 0,40 , q = 0,60 A) P (X = 3) 10 3 . (0,40) 3 . (0,60)7 = 0,214990
= 0,21499
B) P (X < 2) = P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2) 10 0 . (0,40) 0 . (0,60) 10 = 0,006046 10 1 . (0,40) 1 . (0,60)9 = 0,040310
= 0,16729
10 2 . (0,40) 2 . (0,60) 8 = 0,120932
C) P (X > 4) = 1 ± P(x < 4) = 1 ± (P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)) 10 0 . (0,40) 0 . (0,60) 10 = 0,006046
10
10 1 . (0,40) 1 . (0,60)9 = 0,040310 10 2 . (0,40) 2 . (0,60) 8 = 0,120932
1 ± 0,382278 = 0,61772
10 3 . (0,40) 3 . (0,60)7 = 0,214990
D) P (X ± 2 < 1) = P(x < 1 + 2) = P(X < 3) 10 0 . (0,40) 0 . (0,60)10 = 0,006046 10 1
.(0,40)1 . (0,60) 9 = 0,040310
= 0,16729
10 2 .(0,40) 2 . (0,60) 8 = 0,120932
E) P(X - 2 <1) = P( 3 > x >1) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) X±2<1 X ± 2 > -1 X <3 X >1 10 1
(0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310
10 2
(0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932
10 3
(0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990
= 0,37623
F) P(3 < X< 5) = P(x = 4) + P(x = 5) 10 4 . (0,40) 4 . (0,60) 6 = 0,250822
= 0,45148
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10 5 . (0,40) 5 . (0,60)5 = 0,200658
G) P(X - 3 > 1) = P( 4 < x < 2) = P(x = 3) X±3>1 X ± 3 < -1 X>4 X<2 10 3 . (0,40) 3 . (0,60)7
= 0,2150
4.9.3- Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote.Qual a probabilidade de o lote ser aceito? uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e ³p´ será o per cent ual da quanti dad e d e d efeit uosos com o t ot al da r emessa. O valor d e ³q´ será o per cent ual r est ant e até cheg ar ao valor d e 1 ou 100%. O n é quanti dad e sel eci onada que são 20 apar el hos , e d esses 20, será aceit o o lot e se no má x i mo estiver 1 apar el ho d efeit uoso, ou se ja, t emos que cal cular o P (0) + o P (1), na d i st ri buição bi nomi al.
S erá
X: B (20 , 80 /800) n = 20 p = 0,10
p = q = 0,90
P(x = 0) + P(x = 1) 20 0 . (0,10) 0 . (0,90)20 = 0,121576 20 1 . (0,10) 1 . (0,90)29 = 0,270170
= 0,39175
4.9.4- Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como
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resultado obtido observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado? uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e´p´ será o per cent ual da quanti dad e d e opi niões pró e cont ras i gual ment e d ivi di das , ou se ja, ½ para ³p´ e ³q´.A soma d e ambos será 1 ou 100%. O valor d e n será o 40, em que será apl i cada na d i st ri b uição bi nomi al.
S erá
X:B(60;0,5) n = 60 p = 0,50 q = 0,50 p(x = 40) 60 40 . (0,50) 40 . (0,50)20 = 0,003635
= 0,00364
4.9.5 ± Um Órgão Governamental credencia a firma A para fazer vistorias em carros recuperados ou construídos particularmente e dar a aprovação ou para que determinado carro possa ser lacrado no DETRAN. Resolve testar se a firma A está trabalhando de acordo com suas especificações. De um lote de 250 carros vistoriados e aprovados por A, escolhe 50 e faz novas vistorias. Se encontrar no mínimo 2 que não mereçam aprovação, descredencia A. Sabendo-se que no lote de 250 carros há 8 carros que foram aprovados irregularmente, qual a probabilidade do descredenciamento? uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). O valor d e ³p´ será o per cent ual da quanti dad e d e carros i rr egular es com o t ot al d e carros vi st or i ados . O valor d e ³q´ será o per cent ual r est ant e até cheg ar ao valor d e 1 ou 100%. A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e n será os 50 sel eci onados , e apl i cando 1 ± ( p(0)+ P (1) ),o número mí ni mo para o d escr ed enci ament o em que será apl i cada na d is t ri buição bi nomi al. S erá
n = 50 selecionados X:B(50;8/250) p = 0,03
q = 0,97
P (x > 2) = 1 ± (P(x<2) = 1 ± (P(x=0) + P(x=1)) 50 0 . (0,03) 0 . (0,97)10 = 0,218065
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50 1 . (0,03) 0 . (0,97)10 = 0,337214
1 ± 0,555279 = 0,444721
4.9.6-O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de quatro partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo? Apl ic amos a Di st r ib uição d e P oi son por ser uma d is t ri buição d e probabi l id ad e d is cr et a e e x pr essa em um cer to número d e event os ocorr er em num dado per ío do t em po, caso est es ocorram com uma t a x a mé d ia conheci da e caso cada event o se ja i nd e pend ent e do t em po d ecorr id o d esd e o úl ti mo event o. O Lambi da é uma const ant e , em que é dada a mé d ia d e 3 par t ículas por segundo. E aci ma d e 4 par ti culas por segundo, se t or na i noperant e que si g ni f ic a a função da probabi li dad e . Quando si nal iz ado o t er mo MAI S DE QUAT RO, t er emos que d ed u zi r 100% menos as d is t ri buições d e P oi son do P (0) até P (4).
P(x > 4) = 1 ± P(x < 4) = 1 - (P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)) P(X=0) = = 0,049787 P(X=1) = = 0,149361 P(X=2) = = 0,224041
1 ± 0,815261= 0,184737
P(X=3) = = 0,224041 P(X=4) = = 0,168031
4.9.7- Uma máquina produz determinado artigo; no fim de cada dia de trabalho ela é inspecionada com a finalidade de se verificar a necessidade, ou não, de ser submetida a ajuste ou reparo.Para tal fim, um inspetor toma uma amostra de 10 itens produzidos pela máquina decidindo por ajuste ao assinalar de um a cinco itens defeituosos, e por reparo, no caso de mas de cinco itens defeituosos . Se a máquina está produzindo, em média , 1% de itens defeituosos, determinar a probabilidade , após uma inspeção:
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Ajuste ± menos que 5 c / defeito P(x<5) Reparo ± mais que 5 c/ defeito P(x>5) Media = 1% c/ defeito p = 0,01 q = 0,99 n = 10 itens selecionados
A) De não ser necessário ajuste ou reparo; P(x=0) = 10 0 . (0,01) 0 . (0,99)10
= 0,904382
B) De ser necessário apenas ajuste; P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) 10 1 . (0,01) 1 . (0,99)9 = 0,091351 10 2 . (0,01) 2 . (0,99)8 = 0,004152 10 3 . (0,01) 3 . (0,99)7 = 0,000111
= 0,09562
10 4 . (0,01) 4 . (0,99)6 = 0,000001 10 2 . (0,01) 5 . (0,99) 5 = 0,904382
C) De ser necessário reparo. P(x=5) 10 5 . (0,01) 5 . (0,99)5 = 0,00000002
=0
4.9.9- Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emergência segue uma distribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora.Calcular:
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A) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nem um atendimento num intervalo de cinco minutos. Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar quant os at end i ment os em 60 mi nut os , ou se ja, 1 a t end i ment o pra cada mi nut o. Mod i f i car emos a probabi li dad e para z ero at end i ment o em 5 mi nut os , ou se ja, e 0 é a função da probabi li dad e
P(X=0)
B) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos. Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar quant os at end i ment os em 60 mi nut os , ou se ja, 1 a t end i ment o pra cada mi nut o. Mod i f i car emos a probabi li dad e para mai or e i gual a 2 at end i ment os em 10 mi nut os , ou se ja, e 1- (p(0) + p(1) é a função da probabi li dad e .
P( = 1 ± P(X < 2) = 1 ± (P(X=0) + P(X=1)) P(X=0) = = 0,00004539 P(X=1) = = 0,0004539
1 ± 0,0004992 = 0,999501
4.9.10- Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu em cada 300 K m, e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson.Qual a probabilidade de que: A) Num teste de 900 K m haja no máximo um pneu estourado? Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar a propor ção d e 300/900. Apl i car emos no má x i mo 1 pneu est ourado d ent ro da mé di a pr evi st a, ond e , e p(0) + p(1) é a função da probabi li d ad e .
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P( = P(X=0) + P(X=1) P(X=0) = = 0,049787
;
P(X=1) = = 0,149361
= 0,199148
B) Um carro ande 450 K m na pista sem estourar nenhum pneu? Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar a propor ção d e 300/450. Apl ic ar emos 0 pneu est ourado d ent ro da mé di a pr evi st a, ond e , p(0) é a função da probabi li d ad e .
e
P(X=0) =
= 0,223130
4.9.11 -Uma fábrica produz isoladores de alta tensão que são classificados como bons e ruins de acordo com um teste padrão. Da produção de um retiram-se 10 isoladores, que no laboratório apresentam-se como sendo 8 bons e 2 ruins.Pede-se calcular a probabilidade deste resultado, admitindo que a máquina produza em média: A) 95% de bons e 5% de ruins S erá
uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). O valor d e ³p´ será o per cent ual d e i solador es bons . O valor d e ³q´ será o per cent ual r est ant e até cheg ar ao valor d e 1 ou 100% d e i solador es r ui ns . A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e n será os 10 i solador es . O 0,958 é a por cent a gem d e i solador es bons e 0,052 é a por cent a gem d e i solador es r ui ns .
10 8 . (0, 95) 8 . (0, 05) 2 = 0,074634
= 0,07463
B)90% de bons e 10% de ruins uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). O valor d e ³p´ será o per cent ual d e i solador es bons . O valor d e ³q´ será o per cent ual r est ant e até cheg ar ao S erá
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valor d e 1 ou 100% d e i solador es r ui ns . A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor 8 2 d e n será os 10 i solador es . O 0,90 é a por cent a gem d e i solador es bons e 0,10 é a por cent a gem d e i solador es r ui ns .
10 8 . (0, 90) 8 . (0, 10) 2 = 0,193710
= 0,19371
4.9.12-Oito dados são lançados simultaneamente.Seja X o número de vezes que ocorre a face 3, calcule: p = 1/6. X:B (8 ; ) A) P
8 2 . (0, 16)2 . (0, 84) 6 = 0,251810 8 3 . (0, 16) 3 . (0, 0,84) 5 = 0,095927 8 3 . (0, 16) 4 . (0, 84) 4 = 0,022839
B) P(
8 0 . (0, 16)0 . (0, 84) 8 = 0,247875 8 1 . (0, 16)1 . (0, 0,84) 7 = 0,37771 8 2 . (0, 16)2 . (0, 84) 6 = 0,251810
1 ± 0,877456 = 0,122605
C)E(X) = n*p 8 . =
=
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D)VAR(X)
. =
=
4.9.13- Calcular em 9 lances de uma moeda não viciada a probabilidade que se tenha: uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). A moeda por ser honest a, apl i car emos 50% d e chance para os doi s lados da moeda, ou se ja, p= ½ . O valor d e ³q´ t ambé m será o mesmo per cent ual d e p, somados ser ão 100%. A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e n será os 9 lançament os , e apl i cando ( p(0)+ P (1) + P (2) ),o número menor que 3 caras .
S erá
p = 1/2 X:B (9 ; ) A) Menos de 3 caras P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) 9 0
. (0, 5) 0 . (0, 5)9 = 0,001953
9 1 . (0, 5)1 . (0, 5)8 = 0,017578
= 0,08984
9 2 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312 B) Pelo menos 4 caras S erá
uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). A moeda por ser honest a, apl i car emos 50% d e chance para os doi s lados da moeda, ou se ja, p= ½ . O valor d e ³q´ t ambé m será o mesmo per cent ual d e p, somados ser ão 100%. A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e n será os 9 lançament os , e apl i cando 1- ( p(0)+ P (1) + P (2)+ P (3) ).
P( 9 0
. (0, 5) 0 . (0, 5)9 = 0,001953
19
9 1 . (0, 5)1 . (0, 5)8 = 0,017578 9 2 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312
1± 0,253905 = 0,7461
9 3 . (0, 5)3 . (0, 5)6 = 0,164062
C) Exatamente 2 caras uti li z ada a d is t ri buição Bi nomi al, ond e a var i ável X t em d i st ri buição bi nomi al, com parâmet ros n e p, i nd i cada pela not ação X: B ( n ,p). A moeda por ser honest a, apl i car emos 50% d e chance para os doi s lados da moeda, ou se ja, p= ½ . O valor d e ³q´ t ambé m será o mesmo per cent ual d e p, somados ser ão 100%. A soma d e ´p´ e ³q´ t em que dar 1. O valor d e n será os 9 lançament os , e apl i cando P (2).
S erá
P(X=2)
9 2 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312
= 0,070312
4.9.14- Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda: A) Nenhum cliente em 4 minutos Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar a propor ção d e 150/60. Apl i car emos 0 at end i ment os em 4 mi nut os , ond e , e p(0) é a função da probabi li dad e .
P(X=0) =
= 0,000045
B) No máximo dois clientes em 2 minutos Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar a propor ção d e 150/60. Apl i car emos 0 at end i ment os em 4 mi nut os , o nd e , e a soma d e p(0) até p(2) é a função da probabi li dad e .
20
P(
= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = = 0,006737 P(X=1) = = 0,033689
= 0,124652
P(X=2) = = 0,084224
4.9.16 -Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m. Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a probabilidade de que na produção de 1000 m: Descobr i r o Lambi da uti li z ando-se a r eg ra d e t rês , para achar a propor ção d e 250/1000. Apl i car emos 0 d efeit os , ond e , e p(0) é a função da probabi li dad e .
A) Não haja defeito P(X=0) =
= 0,018316
B) Aconteçam pelo menos 3 defeitos num período de 80 dias de trabalho a produção diária é de 625 m. Em quantos dias haverá uma produção sem defeito? P(
1 ±
1 - P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=1) = = 0,073263 P(X=2) = = 0,146525
1 ± 0,238104 = 0,761896 =6,6 dias
21
4.9.17- O CRH de uma firma entrevista 150 candidatos a emprego por hora. Qual a probabilidade de entrevistar: A) No máximo 3 candidatos em 2 minutos?
P(
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
= 0,265024
P(X=0) = = 0,006737 P(X=1) = = 0,033689 P(X=2) = = 0,084224 P(X=3) = = 0,140374
B) Exatamente 8 candidatos em 4 minutos?
P(X=8) =
= 0,112599
4.9.18 -Seja X:B (300; 0,01). Usando aproximação pela Poisson, calcular: X:B (300;0,01)
A) P
= 0,168031
B) P = 1 ± p( ) = 1 ± p(X=0) + p(x=1) P(X=0) = = 0,049787 P(X=1) = = 0,149361
= 0,800852
22
C) P P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) P(X=2) = = 0,224042 P(X=3) = = 0,224042 P(X=4) =
= 0,616115
4.9.19 -Um inspetor de qualidade recusa peças defeituosas numa proporção de 10% das peças examinadas. Calcular a probabilidade de que sejam recusadas: A) Pelo menos 3 peças de um lote com 20 peças examinadas? P( ) = 1 ± p( ) = 1 ± [ P (X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] P(X=0) = = 0,135335 P(X=1) = = 0,270670 P(X=2) = = 0,270670
1 ± 0,676684= 0,323316
B) No máximo 2 peças de um lote de 25 peças examinadas? P(X ) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P(X=0) = = 0,082084 P(X=1) = = 0,205212
= 0,543811
P(X=2) = = 0,256515
4.9.20- Sendo X:B (200;0,025) e usando aproximação de Poisson calcular: X:B (200;0,025)
x
A) P = 1 ± p( ) =
23
P(X=0) = = 0,006738 P(X=1) = = 0,033690 P(X=2) = = 0,084224
1 ± 0,440493 = 0,559507
P(X=3) = = 0,140374 P(X=4) = = 0,175467
B) P P(X=5) = = 0,1754673
= 0,1754673
C) P = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) P(X=0) = = 0,006738 P(X=1) = = 0,033690
= 0,124652
P(X=2) = = 0,084224
D) P = P( 1 < x < 3) = P(x = 2) X±2<1 X<3
X ± 2 > -1 X>1
P(X=2) =
= 0,084224
4.9.21- A probabilidade de um atirador acertar no alvo num único tiro é . O atirador atira 20 vezes no alvo. Qual a probabilidade de acertar: São 20 tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório X:B (20,¼)
x = 5
24
A) Exatamente 5 vezes P(X=5) 20 5 . (0,25) 5 . (0,75) 15
= 0,202331
B) Pelo menos 3 vezes P(X 3) = 1 ± p (X<3) = 1 ± (P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) 20 0 . (0,25) 0 . (0,75) 20 = 0,003171
;
20 1 . (0,25) 1 . (0,75) 19 = 0,021141
1 ± 0,091259 = 0,908741
20 2 . (0,25) 2 . (0,75)18 = 0,066947
C) Nenhuma vez P(x=0) 20 0 . (0,25) 0 . (0,75) 20
= 0,003171
D) No máximo 4 vezes P(X ) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) 20 0 . (0,25) 0 . (0,75) 20 = 0,003171 20 1 . (0,25) 1 . (0,75) 19 = 0,021141 20 2 . (0,25) 2 . (0,75)18 = 0,066947 20 3 . (0,25) 3 . (0,75)17 = 0,133895
; = 0,414839
25
20 4 . (0,25) 4 . (0,75) 16 = 0,189685
4.9.22 -De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos EUA, a média anual de afogamentos acidentais neste País é de 3 por 100.000 indivíduos . Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem: A) Nenhum afogamento
P(X=0) =
= 0,000123
B) No máximo 2 afogamentos P 2) P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P(X=0) = = 0,000123 P(X=1) = = 0,001110 P(X=2) = = 0,004998
= 0,006231
C) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos P(4< X < 8) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) P(X=5) = = 0,060726 P(X=6) = = 0,091090 P(X=7) = = 0,117116
= 0,268932
26
4.9.23- Em teste com um motor, há falhas em 2 componentes, a cada 5 horas.Qual a probabilidade de que: A) Em 10 horas de teste nenhum componente falhe
P(X=0) =
= 0,018316
B) Em 7 ½ horas de teste ocorram no máximo falhas em 3 componentes
3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) P(X=0) = = 0,049787 P(X=1) = = 0,149361 P(X=2) = = 0,224041 P(X=3) = = 0,224041
= 0,647232
4.9.24- Num lote de 40 peças,20% são defeituosas. Retiram-se 10 peças do lote.Qual a probabilidade de se encontrar : A) 3 defeituosas P(X=3)
B) No máximo 2 defeituosas
2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
27
P(X=0) =
P(X=1) = P(X=2) =
= 0,688265
4.9.25- Uma urna contém 8 bolas brancas e 12 bolas pretas.Retiram-se 10 bolas com reposição.Qual a probabilidade de que: P= 8/20 = 0,40 q = 0,60 A) No máximo 2 sejam brancas
2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) 10 0
. (0,40) 0 . (0,60) 10 = 0,006047
10 1
. (0,40) 1 . (0,60) 9 = 0,040310
10 2
. (0,40) 2 . (0,60) 8 = 0,120932
= 0,16729
B) 3 sejam brancas P(X=3) 10 3
. (0,40) 3 . (0,60) 7
= 0,214991
4.9.26- A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, é de 0,1. A) Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela maquina num dia, ocorram 3 defeituosas?
28
P(x=3) 20 3 . (0,10) 3 . (0,90) 17 = 0,1901198
=0,190120
B) Qual a probabilidade de que a 18ª peça produzida no dia seja a 4ª defeituosa? P(x=18) = 17 3
. (0,10) 4 . (0,90) 14 = 0,01555621
=0,0155562
C) Qual a probabilidade de que a 10ª peça produzida num dia seja a 1ª defeituosa? P(x=10) = (0,90) 9 . 0,10 = 0,0387420
=0,0387420
D) Separa-se um lote de 50 peças das 400 produzidas num dia. Qual a probabilidade de que 5 sejam defeituosas, sabendo-se que das 400, 20 são defeituosas? P = 20/400 = 0,05, q = 0,95. 50 5
. (0,05) 5 . (0,95) 45 = 0,065840
= 0,062105
E) Se a probabilidade da máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, fosse de 0,01, qual a probabilidade de se ter no máximo 4 defeituosas em um dia de 500 peças produzidas? média = 0,01 P(x<4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) = 0,44115 P(X=0) = e-5. . 50 = 0,006737 0! P(X=1) = e 5 = 0,033689 1! -5. . 1
P(X=2) = e-5. . 52 = 0,084224 2!
= 0,440493
29
P(X=3) = e-5. . 53 = 0,140373 3! P(X=4) = e-5. . 54 = 0,175467 4!
4.9.27- Sabe-se que o número de viajantes por veículos tipo VAN em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n= 10 e p= 0,3(utilize apenas 2 casas decimais). n = 10
p = 0,3
q = 0,7
A) Calcular o número médio de ocupantes por veículo . n . p = 10 . 0.3
=3
B) Qual a probabilidade de que um determinado dia o quinto veículo passar por essa rodovia seja o segundo a transportar mais do que 3 pessoas? = 0,072459 P(x>3) = 1 ± P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 1 ± 0,423128 = 0,576872 P(X=0) = e-3. . 30 = 0,049787 0! -3. . 1 P(X=1) = e 3 = 0,149361 1! P(X=2) = e-3. . 32 = 0,224041 2! P = 0,57
q =0,43
P(x = 5) = 4 1
2
. (0,57) . (0,43)3 = 0,103327
= 0,440493
C) A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira:se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, R$ 4,00; e se tiver mais do que 3 ocupantes,R$ 2,00. Calcular a arrecadação meia diária, sabendo-se que em média passam 300 veículos por dia neste pedágio. 4,00 ± 1 veiculo X - 300 veiculos = x = 1.200,00
