UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA Disciplina: Introdução à Estatística Período 2015.1 Professore Professores: s: Amanda Amanda Gomes e Manoel Santos-Neto Santos-Neto Aluno(a): NOTAS DE AULA PARA O
1 1.1 1.1
1
o
ESTÁGIO
Intr Introdu oduçã ção o à Infe Inferê rênc ncia ia Est Estat atís ísti tica ca Intr Introd oduç ução ão
A Estatística é uma ciência que tem como objetivo a tomada de decisão em situações de incerte incerteza. za. Esta Esta ciência ciência divide-s divide-see basica basicamen mente te em duas duas parte partes. s. A prime primeira ira parte parte é conhecida como Estatística Estatística Descritiva Descritiva, e trata da coleta, organização e descrição de dados. dados. A segunda segunda é a Estatística Inferencial, e se preocupa em fazer afirmações e/ou testar hipóteses sobre características numéricas em situações de incerteza. Para iniciar o estudo da Estatística Inferencial é necessário compreender os seguintes conceitos básicos: Definição 1.1 (População ). A população é um conjunto formado por todos os ele-
mentos que possuem pelo menos uma característica em comum observável.
problema ema a ser pesquisa pesquisado do está relaci relaciona onado do com a qualid qualidade ade de Exemplo 1: Se o probl um certo produto produzido numa indústria, a população pode ser composta por todas as peças produzidas numa determinada hora, turno, dia ou mês, dependendo dos objetivos; Exemplo 2: Se o objetivo objetivo de um estudo estudo é pesquisar pesquisar o nível de renda familiar familiar de uma certa certa cidade cidade,, a populaç população ão seria seria todas todas as famílias famílias desta cidade. cidade. Mas, Mas, se o objeti objetivo vo fosse fosse pesquisar apenas a renda mensal do chefe da família, a população a ser pesquisada seria composta por todos os chefes de família desta cidade. Definição 1.2 (Amostra). A Amostra é apenas uma parte da população, ou seja, é
qualquer subconjunto não vazio da população.
Vários motivos levam a necessidade de se observar apenas uma parte da população, como, por exemplo: exemplo: a falta de tempo, recursos financeiros financeiros e/ou humanos. humanos. A amostra deve ser obtida através de técnicas de amostragem, as quais tem como objetivo principal garantir a representatividade da população, ou seja, fazer com que a amostra seja um retrato fiel da população. Exemplos de amostra podem ser considerados por conjuntos formados por apenas uma parte parte dos elementos elementos populacionais populacionais descritos descritos nos exemplos 1 e 2. 1
Dois novos conceitos estreitamente relacionados com os de população e amostra são os de Parâmetro e Estatística, tendo em vista que: Definição 1.3 (Parâmetro ). É uma medida numérica que descreve uma caracterís-
tica da população, ou ainda, que é obtida a partir de todos os dados populacionais (através de um censo).
seriam parâmetr parâmetros os Exemplo 3: Identificando a população pela variável aleatória X , seriam 2 a Média de X (µ) e a sua Variância ( σ ). Definição 1.4 (Estatística). É uma medida que descreve uma característica numérica amostra , ou ainda, que é obtida a partir de dados amostrais, e que será usada para da amostra extrair informações sobre a população.
), variância amostral ( S 2), etc. Exemplo 4: média amostral ( X ), Os parâm parâmetr etros os não apresen apresentam tam incertez incertezaa sobre sobre seu real valor. valor. Por Por outro outro lado, lado, as estatísticas podem apresentar diferentes valores, se obtidas a partir de diversas amostras. Definição 1.5 (Inferência Estatística). É o ato de generalizar resultados da parte
(amostra) para o todo (população).
Basicamente a inferência estatística trabalha com a estimação de parâmetros e com testes testes de hipóteses sobre a população população baseados na amostra. amostra. Definição 1.6 ( Estimador). Um estimador é uma estatística empregada para estimar
ou inferir o valor de um parâmetro desconhecido.
Um exemplo de estimador é a média amostral X . Notação: θ
Definição 1.7 (Estimativa). É o valor assumido pelo estimador em uma particular
amostra.
1.2 1.2
Amos Amostr trag agem em
Definição 1.8 (Amostragem). É a obtenção da amostra.
Para Para isto, existem várias técnicas de amostragem que podem p odem ser utilizadas, as principais principais são: 2
Dois novos conceitos estreitamente relacionados com os de população e amostra são os de Parâmetro e Estatística, tendo em vista que: Definição 1.3 (Parâmetro ). É uma medida numérica que descreve uma caracterís-
tica da população, ou ainda, que é obtida a partir de todos os dados populacionais (através de um censo).
seriam parâmetr parâmetros os Exemplo 3: Identificando a população pela variável aleatória X , seriam 2 a Média de X (µ) e a sua Variância ( σ ). Definição 1.4 (Estatística). É uma medida que descreve uma característica numérica amostra , ou ainda, que é obtida a partir de dados amostrais, e que será usada para da amostra extrair informações sobre a população.
), variância amostral ( S 2), etc. Exemplo 4: média amostral ( X ), Os parâm parâmetr etros os não apresen apresentam tam incertez incertezaa sobre sobre seu real valor. valor. Por Por outro outro lado, lado, as estatísticas podem apresentar diferentes valores, se obtidas a partir de diversas amostras. Definição 1.5 (Inferência Estatística). É o ato de generalizar resultados da parte
(amostra) para o todo (população).
Basicamente a inferência estatística trabalha com a estimação de parâmetros e com testes testes de hipóteses sobre a população população baseados na amostra. amostra. Definição 1.6 ( Estimador). Um estimador é uma estatística empregada para estimar
ou inferir o valor de um parâmetro desconhecido.
Um exemplo de estimador é a média amostral X . Notação: θ
Definição 1.7 (Estimativa). É o valor assumido pelo estimador em uma particular
amostra.
1.2 1.2
Amos Amostr trag agem em
Definição 1.8 (Amostragem). É a obtenção da amostra.
Para Para isto, existem várias técnicas de amostragem que podem p odem ser utilizadas, as principais principais são: 2
(i) Amostragem Amostragem Aleatória Aleatória Simples Este tipo de amostragem consiste em selecionar a amostra através de um sorteio, sem restrição. restrição. A amostragem amostragem aleatória aleatória simples tem a seguinte propr propriedad iedade: e: qualquer subconjunto da população, com o mesmo número de elementos, tem a mesma probabilidade de fazer parte da amostra. Exemplo 5: Com o objetivo de estudar algumas características dos alunos de uma certa disciplin disciplina, a, vamos extrair extrair uma amostra amostra aleatória aleatória simples de tamanho tamanho cinco. A listagem dos alunos da disciplina é apresentada a seguir. População: alunos da disciplina Analigia Camila Daniela Fabiana Jordanye Luiz Gustavo Maria do Socorro Oscar Renato Soter
Anderson Carlos Cesar Danilo Fabiano Jose Orlando Maecio Ma Marina Osnes Roberta Stella
Anna Carolina Carlos Raiff Davi Felipe Kl Kllydevan Magna Matheus Patricia Rodrigo Azevedo Taise
Arthur Chrystiano Diego Herusca Lindembergue Maira Nailton Raquel Rodrigo de Brito Thiago
Bruna Cicero Ewerton Isabele Luanna Marcia Nilman Reinaldo Ronaldo Ygor
Um procedimento simples seria enumerar todos os elementos da população e através de sorteio retirar uma amostra de tamanho 5 desta população. Existem vários mecanismos de sorteio, o importante é que haja aleatoriedade no processo. (Usar tabela de números aleatórios, considerando valores da quinta coluna, de baixo para cima.) (ii) Amostragem Amostragem Sistemática Sistemática Em muitas situações podemos realizar uma amostragem através de uma maneira sistemática. Um procedimento simples para determinar a forma como a amostra será retira retirada da é o seguin seguinte: te: suponha suponha que de uma população população de tamanh tamanhoo N , queremos retirar uma amostra de tamanho n. Assim, Assim, podemos p odemos retirar, retirar, sistematicamen sistematicamente, te, um N elemento a cada n elementos da população, considerando a população numerada de 1 à N . Para garantir que cada elemento da população tenha a mesma probabilidade de pertencer à amostra, deve-se sortear o primeiro elemento dentre os N elementos. n não for um número inteiro, recomenda-se Observação: Quando o resultado de N n arredondar o resultado para o menor inteiro mais próximo. anterior, utilize utilize uma amostragem amostragem sistemática sistemática para obter Exemplo 6: No exemplo anterior, uma amostra de tamanho n = 5. Use a tabela de números aleatórios, considerando a sétima linha, da esquerda para a direita.
interesse sse fosse selecion selecionar ar uma amostr amostraa de tamanho tamanho n = 6, e Observação: Se o intere se considerássemos a primeira linha tabela de números aleatórios, da direita para a esquerda, teríamos: 3
(iii) Amostragem Amostragem Estratificada Estratificada A técnica da amostragem estratificada consiste em dividir a população em subgrupos, que denominaremos estratos. Os estratos possuem as seguintes características: são internamen internamente te homogêneos e extername externamente nte heterogêneos. heterogêneos. Podemos Podemos ter dois tipos de amostragem estratificada, a proporcional e a uniforme. (a) Amostragem Amostragem Estratificada Estratificada proporci proporcional: onal: neste neste caso particula particularr de amostragem amostragem estratificada, a proporcionalidade do tamanho de cada estrato da população é mantida na amostra com o objetivo de torná-la bem significativa, ou seja com as mesmas características da população. objetivo vo de levanta levantarr o estilo estilo de lidera liderança nça prefer preferido ido pela Exemplo 7: Com o objeti comunidade de uma escola, escola, vamos realizar um levantamento levantamento por amostragem. A população é composta por 10 servidores técnico-administrativos, 10 professores e 30 alunos, que identificaremos da seguinte maneira: População Servidores: S1 Professores: P1 P1 Alunos: A1 A11 A21
S2 P2 A2 A12 A22
S3 P3 A3 A13 A23
S4 P4 A4 A14 A24
S5 P5 A5 A15 A25
S6 P6 A6 A16 A26
S7 P7 A7 A17 A27
S8 P8 A8 A18 A28
S9 P9 A9 A19 A29
S10 P10 A10 A20 A30
Supondo que a preferência quanto ao estilo de liderança possa ser relativamente homogênea homogênea dentro de cada categoria, categoria, vamos realizar realizar uma amostragem amostragem estratiestratificada, proporcional por categoria, para obter uma amostra global de tamanho 10, utilizando para isto a tabela de números aleatórios. Para o estrato SERVIDORES, comece do início da segunda linha; para o estrato PROFESSORES, comece no início da quinta coluna; e para o estrato ALUNOS, comece no início da última coluna. (Percor (Percorra ra a tabela da esquerda para para a direita direita e de cima para baixo).
(b) Amostragem Estratificada Uniforme: seleciona-se a mesma quantidade de elementos em cada estrato. A amostragem estratificada uniforme costuma ser usada em situações em que o maior interesse é obter estimativas separadas para cada estrato, ou ainda, quando se deseja comparar os diversos estratos. No exemplo anterior, para selecionar uma amostra estratificada uniforme de tamanho 12, devemos selecionar 4 indivíduos de cada estrato. (Utilize a tabela de números aleatórios, seguindo as mesmas orientações orientações do item (a) para para cada estrato.) estrato.) 4
1.2.1
Tamanho de uma Amostra Aleatória Simples
Definição 1.9 (Erro Amostral) . É a diferença entre o valor que a estatística pode
acusar e o verdadeiro valor do parâmetro que se deseja estimar.
Para determinar o tamanho da amostra, o pesquisador precisa especificar o erro amostral tolerável, ou seja, o quanto ele admite errar na avaliação dos parâmetros de interesse. A especificação do erro amostral tolerável deve ser feita sob um enfoque probabilístico, pois, por maior que seja a amostra, existe sempre o risco de o sorteio gerar uma amostra com características bem diferentes da população de onde ela está sendo extraída. Uma fórmula para o cálculo do tamanho mínimo da amostra
Sejam: N tamanho da população; n tamanho da amostra; n0 uma primeira aproximação para o tamanho da amostra; E 0 erro amostral tolerável. Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode ser feito, mesmo sem conhecer o tamanho da população, através da seguinte expressão: n0 =
1 , onde 0 < E 0 < 1. E 02
Conhecendo o tamanho N da população, podemos corrigir o cálculo anterior, por n =
Nn0 . N + n0
Exemplo 8: Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas características da população das N = 200 famílias moradoras de um certo bairro. Estas características (parâmetros) são especialmente do tipo percentagens, tais como, a per-
centagem de famílias que usam programas de alimentação popular, a percentagem de famílias que moram em casas próprias, etc. Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples, tal que possamos admitir, com alta confiança, que os erros amostrais não ultrapassem 4% ( E 0 = 0, 04)?
Exemplo 9: Considerando os objetivos e os valores fixados no exemplo anterior, qual
deveria ser o tamanho da amostra se a pesquisa fosse estendida para toda a cidade, que contém 200.000 famílias residentes?
5
Definição 1.10 (Amostra Aleatória Simples - AAS). Variáveis aleatórias X 1 , X 2 ,...,X n
constituem uma amostra aleatória simples de tamanho n , ou simplesmente amostra aleatória (a.a.) de uma variável aleatória (v.a) X , quando satisfazem as seguintes condições: 1) As variáveis aleatórias X 1 , X 2 ,...,X n são independentes, e 2) Cada uma das variáveis aleatórias X i , i = 1, 2,...,n têm a mesma distribuição de probabilidade da variável X . Exemplo 10: Considere uma população formada pelos seguintes elementos 1, 3, 5, 5, 7 . Considere a variável X : valor assumido pelo elemento na população. Assim, a distribuição de probabilidade de X é dada por:
{
X = x P (X = x)
1
3
5
7
Observações:
1) E (X ) = 2) V ar(X ) = Considere todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição, da população cuja distribuição é dada acima. Além disso considere X 1 o número selecionado na primeira extração e X 2 o número selecionado na segunda extração. Assim, podemos construir a distribuição de probabilidades conjunta de (X 1 , X 2 ) e as distribuições marginais de X 1 e X 2 . Observe que X 1 e X 2 são independentes e têm distribuições iguais à distribuição de X .
6
}
1.3
Distribuições Amostrais
Definição 1.11. Dada uma amostra aleatória X 1 , X 2 ,...,X n de uma população X ,
definiremos uma estatística T como qualquer função de X 1 , X 2 ,...,X n, ou seja T = f (X 1 , X 2 ,...,X n ).
Assim, dada uma amostra aleatória X 1 , X 2,...,X n , um exemplo de estatística seria a média amostral X =
1 (X 1 + X 2 + n
··· + X ). n
Sendo X 1 , X 2 ,...,X n uma amostra aleatória da variável X , uma pergunta natural seria o que acontece com a estatística T quando retiramos todas as amostras de uma população conhecida segundo um plano amostral adotado, ou seja qual a distribuição de T quando X 1 , X 2 ,...,X n assume todos os valores possíveis. Essa distribuição será chamada de distribuição amostral da estatística T . Exemplo 11: Considerando o Exemplo 10 , podemos construir a distribuição de algumas estatísticas, como por exemplo a distribuição de X = n1 (X 1 + X 2 + ·· · + X n) e S 2 = ni=1 (X i − X )2 /(n − 1), por exemplo. Assim, teríamos
X = x¯ P (X = x¯)
Total
Total
S 2 = s 2 P (S 2 = s 2 ) Observações: 7
1) Note que E (X ) = E (X 1 ) = E (X 2 ) = E (X ) = 4, 2, e que V ar(X ) = V ar(X )/2 = 2, 08; 2) Podemos observar que E (S 2 ) = 4, 16 = σ 2 .
Seria tudo isso uma coincidência? Resposta: Não!!!! Veremos adiante a justificativa destes fatos. 1.3.1
Distribuição Amostral da Média
Teorema 1.1. Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2 , e seja (X 1 , X 2 ,...,X n) uma amostra aleatória de X . Então, a média amostral (X ) terá média e variância dadas respectivamente por E (X ) = µ
e
σ2 V ar(X ) = . n
Um teorema bem mais forte do que este é o que se refere à distribuição de probabilidade da variável X . Este teorema é conhecido como o Teorema Central do Limite e pode ser enunciado da seguinte forma: Teorema 1.2 (Teorema Central do Limite). Para amostras aleatórias (X 1 , X 2 ,...,X n ), retiradas de uma população com média µ e variância σ 2 finita, a distribuição amostral da média X aproxima-se, para n suficientemente grande, de uma distribuição normal, com média µ e variância σ 2 /n. X N (µ, σ 2 /n)
≈
Desta forma, temos que: Z =
X µ σ/ n
−√ ≈ N (0, 1)
. Observações: 1) No teorema acima não fizemos nenhuma suposição sobre a natureza das distribuições das variáveis X 1 , X 2 ,...,X n , ou seja, independentemente de como se comportam
essas variáveis, sejam elas discretas ou contínuas, o teorema continua válido. 2) Se as variáveis X 1 , X 2 ,...,X n têm distribuição normal, então X terá também distribuição normal e não apenas uma aproximação. Exemplo 12: Seja X o preço, em reais, de um determinado produto. Admitindo que X segue distribuição Normal, com média 100 e desvio padrão 10, calcule:
8
a) A probabilidade de, ao entrar em uma loja, observar que este produto está sendo vendido por um preço entre 91 e 110 reais;
b) A probabilidade de, pesquisando em 16 lojas distintas, encontrar preço médio entre 91 e 110 reais.
Exemplo 13: Em uma certa cidade, a duração de conversas telefônicas, em minutos, originárias de telefones públicos, segue um modelo exponencial com média 3.
a) Qual a probabilidade de uma chamada selecionada aleatoriamente não ultrapassar quatro minutos?
b) Observando-se uma amostra aleatória de 50 dessas chamadas, qual será a probabilidade delas, em média, não ultrapassar quatro minutos?
1.3.2
Distribuição Amostral da Proporção
Considere uma população em que a proporção de elementos portadores de certa característica é p. Assim, definiremos a variável aleatória X como: X = 1, se o indivíduo for portador da característica, e X = 0, se o indivíduo não possui a característica. Dessa forma, E (X ) = p e V ar(X ) = p(1 − p). 9
Retira-se uma amostra aleatória de tamanho n , dessa população. Considere a v.a. S n : S n ˆ número de indivíduos com a característica na amostra. Seja, p = . Então, utilizando o S n ˆ Teorema Central do Limite para a variável p = , temos que: n pˆ
≈ N
p,
p(1
− p)
n
n
.
Desta forma, temos que: Z =
.
p
−
p
≈ N (0, 1)
p(1− p) n
Exemplo 14: Suponha que 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhe-
se uma amostra aleatória de 10 estudantes e calcula-se a proporção amostral de estudantes do sexo feminino. Qual a probabilidade de que a proporção de estudantes do sexo feminino p) esteja entre 20% e 50%? na amostra (ˆ
Aplicação: Determinação do Tamanho de uma Amostra
Um dos problemas de se trabalhar com amostragem é a determinação do tamanho da amostra. Uma maneira simples é a seguinte: Suponha que estejamos estimando a média µ populacional e para isso usaremos a média amostral, X , baseada numa amostra de tamanho n. Suponha ainda que se queira determinar o valor de n de modo que
− ≤
P ( X
µ
) = γ,
com 0 < γ < 1 e sendo > 0 o erro amostral máximo que podemos suportar, ambos valores fixados. Como X ≈ N (µ, σ 2 /n), então
− ≤ − ≤ − ≤ −√ ≤ ≤ √ ∼
P X
onde Z =
µ
= P
X
µ
= P
n
σ
Z
n σ
X µ . Logo, podemos obter z γ/2 da N (0, 1), tal que P ( z γ/2 σ/ n
−√
= γ,
− ≤ Z ≤ z
γ , de modo que
z γ/2 =
de onde obtemos finalmente n =
√ n σ
2 σ2 z γ/2
2 10
,
.
γ/2 )
=
Observação: Na prática, não se conhece o valor da variância populacional σ 2 . A fim
de resolver este problema, utiliza-se uma pequena amostra piloto para estimar o valor da variância populacional ou então baseia-se em alguma informação prévia sobre a mesma. Normalmente, usa-se a estatística 2
S =
que é a variância amostral.
(X i X )2 , (n 1)
− −
Exemplo 15: Suponha que uma pequena amostra piloto de tamanho 10, extraída de ¯ = 15 e S 2 = 16. Fixando-se = 0, 5 e γ = 0, 95, uma população, forneceu os valores X calcule o valor de n.
No caso do cálculo do tamanho da amostra na estimação da proporção populacional ( p), temos que pˆ ≈ N p, p(1n− p) e assim, para γ e previamente fixados, teremos:
P ( pˆ p
| − | ≤ ) = γ.
Daí, P ( pˆ p
| − | ≤ ) = P (− ≤ pˆ − p ≤ ) = P
onde Z =
pˆ p
−
p(1− p) n
−
p(1− p) n
∼ ≤ ≤ Z
p(1− p) n
= γ,
. Logo, podemos obter z γ/2 da N (0, 1), tal que P (−z γ/2
z γ/2 ) = γ , de modo que z γ/2 =
de onde obtemos finalmente n =
p(1− p) n
2 z γ/2 p(1
2
≤ Z ≤
,
− p) .
Observação: Sendo p um valor desconhecido, podemos estimá-lo pela proporção amostral ( pˆ) ou usar o fato de que p(1
− p) = p − p ≤ 41 . 2
11
Assim, temos que n
=
2 z γ/2 1/4
2
2 z γ/2 = 2 . 4
Exemplo 16: Suponha que quiséssemos encontrar o tamanho necessário da amostra, n, para que a probabilidade de cometer um erro máximo de 10% no Exemplo 14 fosse de
94%. Neste caso, teríamos:
1.4 1.4.1
Estimação de Parâmetros Estimação Pontual de Parâmetros
1.4.1.1 Introdução
Neste capítulo iremos estudar as propriedades de um estimador e a estimação intervalar. Não iremos abordar os métodos de estimação pontual, mas justificaremos porque X e pˆ são bons estimadores para a média e a proporção, respectivamente. Nosso objetivo será construir intervalos de confiança para a média e para a proporção populacional a partir das distribuições de X e pˆ, respectivamente. 1.4.1.2 Propriedades de Estimadores
Considere uma amostra aleatória X 1 , X 2 ,...,X n de uma v.a. que descreve alguma característica de interesse da população. Seja θ um parâmetro desta população e θˆ um ˆ estimador para θ, ou seja θ = T (X 1 , X 2 ,...,X n ). Algumas definições são necessárias: Definição 1.12 ( Estimativa). Estimativa é o valor assumido pelo estimador em uma
particular amostra. 12
Definição 1.13 (Vício de um Estimador). O vício de um estimador é dado por ˆ = E (θ) ˆ B(θ)
− θ.
Definição 1.14 (Estimador não Viciado). Um estimador θˆ é dito ser não viciado ˆ = 0. Ou seja, se E (θ) ˆ = θ . para o parâmetro θ se B(θ) Exemplo 17: Justifique porque X e pˆ são não viciados para µ e p, respectivamente, onde µ = E (X ) e p é a proporção populacional.
Observação: Considere uma população com N elementos. Assim, a variância populacional σ2 é definida como: N 1 2 σ = (X i µ)2 , N i=1 1 onde, µ = N
N
−
X i é a média populacional.
i=1
Um possível estimador para σ 2 , baseado numa amostra aleatória de tamanho n extraída dessa população, é 1 σ ˆ = n 2
n
(X i
i=1
2
− X ) .
Pode-se mostrar que este estimador é viciado para σ 2 e E (σˆ 2 ) =
(n
− 1) σ . Portanto, 2
n 2 σ seu vício B(ˆσ 2 ) = . Logo, através de um simples ajuste em σˆ 2 podemos obter um n estimador não viciado para σ2 . Este estimador é
−
n
2
S =
n
−1
σ ˆ =
n
− 1
2
n
1
(X i
i=1
2
− X ) .
Definição 1.15 (Estimador Consistente). Um estimador θˆ é consistente se, à me-
dida que o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero. Ou seja, θˆ é consistente se as duas propriedades abaixo são satisfeitas: ˆ = θ ; (i) limn→∞ E (θ) ˆ = 0. (ii) limn→∞ V ar(θ) 13
Observação: Se o estimador θˆ é não viciado para θ e deseja-se verificar sua consistência, basta observar a segunda condição da definição acima. Ou seja, um estimador θˆ ˆ = 0. não viciado é consistente para θ se limn→∞ V ar(θ)
Definição 1.16 (Eficiência de um Estimador ). Dados dois estimadores θˆ1 e θˆ2,
não viciados para o parâmetro θ, dizemos que θˆ1 é mais eficiente que θˆ2 se V ar(θˆ1 ) < V ar(θˆ2). Exemplo 18: Considere X 1, X 2 ,...,X n uma amostra aleatória de uma distribuição N (µ, σ 2 ). Considere os estimadores µ ˆ1 = X e µ ˆ2 = mediana (X 1 , X 2 ,...,X n ). Sendo 2 πσ E (µ ˆ2 ) = µ e V ar(ˆ µ2 ) = , verifique: 2n
a) se µˆ1 e µˆ2 são estimadores consistentes; b) quem é mais eficiente para estimar µ: µˆ1 ou µˆ2 ?
1.4.2
Estimação Intervalar
Até aqui discutimos apenas sobre estimadores pontuais, àqueles que fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro de interesse. Para amostras diferentes de uma mesma população podemos encontrar valores diferentes para a estimativa de um parâmetro levando-se em consideração o mesmo estimador, isto porque o estimador é uma variável aleatória. Assim, em muitas situações gostaríamos de construir uma estimativa mais informativa para o parâmetro de interesse que inclua uma medida de precisão do valor obtido. Esse método de estimação, denominado intervalo de confiança, incorpora à estimativa pontual do parâmetro informações a respeito de sua variabilidade. Intervalos de confiança são obtidos através da distribuição amostral de seus estimadores. 14
1.4.2.1 Intervalo de Confiança para a Média de uma População com Variância Conhecida
Considere uma amostra aleatória X 1 , X 2 ,...,X n de uma população X , que tem média µ desconhecida e variância σ 2 conhecida. Daqui por diante faremos as seguintes considerações: 0 < γ < 1 e z γ/2 é um número tal que P (0 < Z < z γ/2 ) = γ/2 onde Z ∼ N (0, 1). Pelo Teorema Central do Limite, a média amostral X ≈ N (µ, σ 2 /n). Assim, temos que Z =
X µ σ/ n
−√ ≈ N (0, 1).
Portanto, podemos escrever: P
ou seja, P
e assim, de onde obtemos
−
− −
P
P X
−
z γ/2 < Z < z γ/2 = γ,
z γ/2
z γ/2
X µ < < z γ/2 σ/ n
−√
σ < X n
√
z γ/2
− µ < z
γ/2
√ σn < µ < X + z
= γ,
√ √ σ n
γ/2
σ n
= γ,
= γ.
Portanto, o intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança γ , é dado por IC (µ, γ ) =
− X
z γ/2
√
σ σ ; X + z γ/2 , n n
√
Observe que a expressão I C (µ, γ ) envolve a quantidade X que é uma variável aleatória e, portanto, o intervalo obtido também é aleatório. Desta forma, podemos interpretar o intervalo acima da seguinte maneira: se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e para cada uma calcularmos os correspondentes intervalos de confiança com coeficiente de confiança γ , esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor de µ seja igual a γ .
Exemplo 19: Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raça siga o modelo normal com média µ desconhecida e variância igual a 0,01 m2 . Uma amostra
de dez animais foi sorteada e forneceu média 1,69 m. Encontre um intervalo com 95% de confiança para o parâmetro desconhecido µ.
15
Observação: A amplitude do intervalo de confiança é dada pela diferença entre o σ extremo superior e o extremo inferior, isto é, 2z γ/2 . O erro envolvido na estimação é n σ dado pela semi-amplitude, ou seja, z γ/2 . n
√
√
Exemplo 20: A vida média de baterias automotivas de uma certa marca está sendo
estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possível admitir que a vida útil dessas baterias segue uma distribuição normal com desvio padrão de 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amostra, para que a amplitude do intervalo de 90% de confiança para a vida média seja de 3 meses?
1.4.2.2 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
De maneira análoga ao caso da média, podemos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional. Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que
− ≈ − − − pˆ
N p,
p(1
p)
n
.
Assim, um intervalo de confiança para p com nível de confiança γ é dado por IC ( p, γ ) = pˆ
z γ/2
p(1
p)
n
; p + z ˆ γ/2
p(1
p)
n
.
Como p é desconhecido, o intervalo ainda não pode ser calculado diretamente. Uma possível ˆ − p) ˆ . Portanto, o intervalo será: solução é substituirmos p(1 − p) por p(1
− −
IC 1 ( p, γ ) = pˆ
z γ/2
p(1 ˆ
p) ˆ
n
; p + z ˆ γ/2
− p(1 ˆ
p) ˆ
n
.
Outra solução possível, é baseada no fato que a expressão p(1 − p) tem valor máximo igual a 1/4, quando 0 ≤ p ≤ 1. Nesse caso, podemos obter um intervalo de confiança substituindo p(1 − p) por 1/4:
−
IC 2 ( p, γ ) = pˆ
z γ/2
16
1 ; p + z ˆ γ/2 4n
1 4n
.
Observação: Ao aceitarmos IC 1 , estamos levando em consideração que a variância de ˆ ˆ p(1 p) p é bem aproximada por . Se preferirmos IC 2 , estaremos substituindo a variância n
−
por um valor seguramente maior do que o real. Assim, estamos nos assegurando que o coeficiente de confiança será de, no mínimo, γ . Ao utilizarmos I C 2 , estamos aceitando uma menor precisão para pˆ, o que se reflete numa maior amplitude do intervalo de confiança, quando comparado ao intervalo IC 1 . Exemplo 21: Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre
determinado produto, e 60% delas preferiram a marca A. Construa um intervalo de confiança para p com coeficiente de confiança γ = 0, 95.
Exemplo 22: Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma
amostra de 100 itens, constatando-se que 4 peças eram defeituosas. Construir um IC para a proporção de itens defeituosos na população com confiança de 90%.
17
1.4.2.3 Intervalo de Confiança para a Média de uma População com Variância Desconhecida
Até aqui consideramos a média de uma população desconhecida e a variância conhecida. Esta situação não é muito realista, pois se não conhecemos a média, como podemos conhecer a variância de uma população? Desta forma, uma situação mais próxima da realidade seria o caso em que, tanto a média como a variância, são desconhecidas. Iremos considerar a siuação em que X ∼ N (µ, σ 2) com µ e σ desconhecidos. Para isso, iremos utilizar a distribuição t de Student, que é definida como: Definição 1.17. Uma v.a. T é dita ter distribuição t de Student com n graus de
liberdade, se sua f.d.p. é da forma
Γ[(n + 1)/2] t 2 f n(t) = 1+ Γ(n/2) nπ n
√
onde Γ ( p) = 0∞ x p−1 e−x dx,
−(n+1)/2
,
−∞ < t < ∞,
p > 0, é conhecida como a função gama.
Observações:
(i) Notação: T ∼ t (n); (ii) Essa distribuição leva este nome em homenagem ao estatístico inglês W.S. Gosset, que publicou sua pesquisa sob o pseudônimo de “Student”; (iii) O gráfico de f n (t) é simétrico em torno de 0. Ele se assemelha ao gráfico da distribuição normal padrão, em verdade, mostra-se que lim f n (t) =
n→∞
√ 12π e−
t2 /2
.
(iv) Em virtude da importância desta distribuição, ela se encontra tabulada. A tabela fornece o valor de tc , tal que P (−tα ≤ T n ≤ tα ) = 1 − α, para alguns valores de 0 < α < 1 , onde T n tem distribuição t de Student com n graus de liberdade. Nosso objetivo agora é estudar a situação em que X : N (µ, σ 2 ) com µ e σ desconhecidos. Assim, considerando uma amostra aleatória X 1 ,...,X n de X , pode-se mostrar que (X µ) S/ n
−√ ∼ t
onde S =
n
− 1
2
n
(n−1) ,
1
i=1
(X i
2
− X ) .
Assim, dado 0 < γ < 1 , teremos P
¯ µ) (X S/ n
−√ ≤ t 18
α
= γ,
onde γ = 1 − α, e tα é um número tal que P (−tα ≤ T (n−1) ≤ t α ) = γ . Logo, o intervalo de confiança para µ com nível de confiança 1 − α, é dado por
− X
√
S S tα ; X + tα . n n
√
Exemplo 23: Numa grande empresa uma amostra aleatória de 20 empregados forneceu
a idade média igual a 32,8 anos e desvio padrão 5,3 anos. Estimar a idade média de todos os empregados da empresa com uma confiança de 99%.
Exemplo 24: Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo
medicamento pode ser considerado como tendo distribuição normal. Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos): 2,9; 3,4; 3,5; 4,1; 4,6; 4,7; 4,5; 3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,8; 5,0; 3,4; 5,9; 6,3; 4,6; 5,5 e 6,2. Obtenha um intervalo de confiança para o tempo médio de reação. Use γ = 0, 95.
19
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA - UAEst Disciplina: Introdução à Estatística Período 2015.1 Professores: Amanda Gomes e Manoel Santos-Neto
1
a
LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Considerando a população de alunos do exemplo 5, faça uma amostragem estratificada proporcional de tamanho 8, usando o sexo como variável estratificadora. Utilize, para isto, a tabela de números aleatórios. Para o estrato SEXO FEMININO, utilize a sexta coluna; para o estrato SEXO MASCULINO, utilize a segunda linha. (Percorra a tabela da esquerda para a direita e de baixo para cima). 2 - Numa pesquisa para estudar a preferência do eleitorado a uma semana da eleição presidencial, qual o tamanho de uma amostra aleatória simples de eleitores, que garanta, com alta confiança, um erro amostral não superior a 2%? 3 - Numa empresa com 1000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem de funcionários favoráveis a um certo programa de treinamento. Qual deve ser o tamanho de uma amostra aleatória simples, que garanta, com alto nível de confiança, um erro amostral não superior a 5%? 4 - Considere as seguintes situações: a) Em uma pesquisa, feita pela EMPETUR com 1015 pousadas escolhidas aleatoriamente, 269 (ou 26,5%) possuíam Home-page na Internet para divulgação e prestação de serviços ao turista. b) Outra pesquisa feita entre as 50 Agências de Viagens de uma certa localidade mostra que 42 (ou 84%) prestam serviços pela Internet. Identifique em qual das situações nós temos um exemplo de Parâmetro e outro de Estatística (no sentido de medida). Justifique sua resposta. 5 - Considere a distribuição de probabilidade de uma população apresentada na seguinte tabela: Valor da variável X Probabilidade 2 3 4
1/3 1/3 1/3
Baseado nesta distribuição populacional: a) Calcule a distribuição da média amostral (X ) de todas as amostras aleatórias de tamanho 2 dessa população. b) Com base na distribuição amostral calcule a média e a variância de X . Resp.: 3 e 1/3
20
6 - Seja X ∼ N (900, 642). retiramos uma amostra de tamanho 30. Determinar: a) P (X ≤ 894). Resp.: 0,0968 b) P (896 ≤ X ≤ 903). Resp.: 0,54726 7 - Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população X ∼ N (200, 350) para que P (|X − 200| < 5) = 0, 95? Resp.: 54 8 - A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição dos pesos dos usuários é suposta N(70, 100). Qual a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem este limite? Resp.: 0,352 9 - Uma fábrica de peças especifica em sua embalagens que a proporção de defeitos é de 4%. Um cliente dessa fábrica inspeciona uma amostra de 200 peças. Baseado nesses dados, qual a porcentagem de amostras em que o cliente espera encontrar uma proporção de defeitos maior que 5%? Resp.: Em 24% das amostras 10 - Um distribuidor de sementes determina, através de testes, que 5% das sementes não germinam. Ele vende pacotes de 200 sementes com garantia de 90% de germinação. Qual a probabilidade de um pacote não satisfazer a garantia? Resp.: 0,06% 11 - O tempo médio para estudantes completarem o processo de matrícula em uma universidade tem sido de 55 minutos com desvio padrão 8,7 minutos. Determine a probabilidade de que o tempo médio para 25 estudantes selecionados aleatoriamente seja de, no máximo, 50,2 minutos. Suponha que os tempos de matrícula sejam distribuídos normalmente. Resp.: 0,289% 12 - Seja X uma população normal com média µ e variância σ 2 , de que são extraídas todas as amostras possíveis de tamanho 2. Dos estimadores abaixo: µ1 = 21 X 1 + 21 X 2
µ2 = 41 X 1 + 43 X 2.
a) Qual ou quais dos estimadores acima são não-viesados para µ . Resp.: Os dois b) Qual dos dois estimadores acima é o melhor? Justifique. Resp.: µ1
13 - Suponha um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores: (i) pˆ1 = X n (ii) pˆ2 =
1, se a primeira prova resultar sucesso 0, c.c.
a) Determine a esperança e a variância de cada estimador. Resp.: E ( pˆ1 ) = p = E ( pˆ2 ), V ar(ˆ p1 ) = p(1 − p)/n e V ar(ˆ p2) = p(1 − p) b) Verifique se pˆ1 e pˆ2 são consistentes. c) Por que pˆ2 não é um bom estimador para p?
21
14 - De uma população normal com variância igual a 16, levantou-se uma amostra, obtendo-se as observações: 10, 5, 10, 15. Determinar, com confiança de 87%, um IC para a média da população. Resp.: (6,98; 13,02) 15 - A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal, com desvio padrão de 12 minutos. Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu x¯ = 140 min. Determinar os limites de confiança de 95% para a média µ da população de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço. Qual o erro cometido ao estimarmos este intervalo de confiança? Resp.: (135,3; 144,7) 16 - Em uma pesquisa de opinião, entre 600 pessoas pesquisadas, 240 responderam “sim” a determinada pergunta. Estimar a porcentagem de pessoas com essa mesma opinião na população, dando um intervalo de 95% de confiabilidade. Resp.: (36,08%; 43,92%) 17 - Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos: 250, 265, 267, 269, 271, 275, 277, 281, 283, 284, 287, 289, 291, 293, 293, 298, 301, 303, 306, 307, 307, 309, 311, 315, 319, 322, 324, 328, 335, 339. Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a espectativa pela qual o peso médio deve ser 300 Kg. Sugestão: Adote uma confiança de 95%. Resp.: satisfaz, (288,33; 304,93) 18 - Sendo σ = 0, 5, determinar o número de elementos necessários para construir um intervalo de 95% de confiança para a média adimitindo-se que nossa estimativa tenha um erro de 10%. Resp.: 97 19 - Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%, pode-se dizer que a moeda é honesta? Resp.: sim, (0,46; 0,74)
22
20 - Construa um IC para a média com confiança de 95% considerando a distribuição amostral abaixo: Classes ni 0–5 2 5 – 10 3 10 – 15 5 15 – 20 2 Resp.: (7,26; 13,58)
23
Relação de Exercícios do Livro texto para o
1
◦ Estágio
Livro: "Estatística Básica". Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin. 5a. Edicão. Capítulo 10 (Introdução à Inferência Estatística)
Problema Página 7e8 274 9 275 12 e 13 276 17 e 18 281 21, 22, 24, 25, 26 e 28 283 Capítulo 11 (Estimação)
Problema Página 15, 16, 17 e 18 308 20 e 21 309 23 e 24 317 27, 28, 29 e 30 318 44 e 45 322
24
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA Disciplina: Introdução à Estatística Período 2015.1 Professores: Amanda Gomes e Manoel Santos-Neto Aluno(a): NOTAS DE AULA PARA O
2
2
o
.
ESTÁGIO
Teste de Hipóteses
2.1
Introdução
Até o presente momento consideramos o problema de estimarmos um parâmetro desconhecido da população tanto pontualmente como através de um intervalo de confiança. Apresentaremos agora, outra maneira de tratar o problema de fazer uma afirmação sobre um parâmetro desconhecido. Em vez de procurarmos uma estimativa do parâmetro, frequentemente nos parecerá conveniente admitir um valor hipotético para ele e, depois, utilizar a informação da amostra para confirmar ou rejeitar esse valor hipotético. A construção de um teste de hipóteses, para um parâmetro populacional, pode ser colocada do seguinte modo: existe uma variável X associada a dada população e tem-se uma hipótese sobre determinado parâmetro θ dessa população. Por exemplo, afirmamos que o verdadeiro valor de θ é θ0 . Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa população, e com ela deseja-se comprovar ou não tal hipótese. Iniciamos a análise explicitando claramente qual a hipótese que está sendo colocada à prova e a chamamos de hipótese nula, e escrevemos H 0 : θ = θ 0.
Convém explicitar a hipótese que será considerada aceitável, caso H 0 seja rejeitada. A essa hipótese chamamos de hipótese alternativa. Formularemos, então, duas hipóteses básicas: H 0 : hipótese nula H 1 : hipótese alternativa
Geralmente, a hipótese H 0 é a hipótese a ser testada. Caso rejeitemos H 0 , a hipótese H 1 será considerada aceitável. 2.2 2.2.1
Definições Básicas Tipos de Testes
Iremos considerar os seguintes tipos de testes: 25
1. Teste bilteral
H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 0
2. Teste unilateral à direita H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ0
3. Teste unilateral à esquerda
2.2.2
H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ < θ0
Tipos de Erros
Qualquer que seja a decisão tomada, estamos sujeitos a cometer erros. Neste caso, os possíveis erros serão Erro de tipo I: rejeitar a hipótese nula quando essa é verdadeira. Chamamos de α a probabilidade de cometer esse erro, isto é, α = P (erro do tipo I ) = P (rejeitar H 0 H 0 é verdadeira )
|
Erro de tipo II: não rejeitar a hipótese nula quando essa é falsa. A probabilidade de cometer esse erro é denotada por β , logo β = P (erro do tipo II ) = P (não rejeitar H 0 H 0 é falsa)
|
Exemplo 1: Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado.
Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são: 1) A vacina não é eficaz; 2) A vacina é eficaz. Descreva os dois tipos de erro que podem ser cometidos nesta situação.
26
Exemplo 2: Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso:
a) A força de rompimento de uma fibra têxtil é uma variável aleatória distribuída normalmente. As especificações exigem que a força média de rompimento seja igual a 150 psi. O fabricante gostaria de detectar qualquer afastamento significante desse valor.
b) Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora superar 5 ◦ C , o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Este processo é, entretanto, caro e, portanto, deve ser feito apenas se for realmente necessário.
c) Um criador tem constatado uma proporção de 10% do rebanho com verminose. O veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de intensidade.
2.2.3
Região Crítica do Teste
Nosso interesse ao realizar um teste de hipótese é decidir se a hipótese H 0 é ou não aceitável. Tal decisão deve ser baseada em uma estatística θ, que será usada para estabelecer o que chamamos de região crítica do teste. Região Crítica: é um conjunto de valores para os quais a estatística de teste, θ, leva à rejeição da hipótese H 0. Esta região é construída de modo que
P (θˆ RC H 0 verdadeira) = α,
∈ |
onde α é fixado a priori. A região crítica define o conjunto de valores amostrais para os quais a estatística de teste deixa evidente a não veracidade da hipótese H 0 , a uma determinada probabilidade, α , de se cometer o Erro Tipo I. Caso o valor observado da estatística pertença a essa região, rejeitamos H 0 ; caso contrário, não rejeitamos H 0 . Um fato importante a ressaltar é que a região crítica é sempre construída sob a hipótese de H 0 ser verdadeira. A probabilidade α de se cometer um erro de tipo I é um valor arbitrário e recebe o nome de nível de significância do teste. O resultado da amostra é tanto mais significante para rejeitar H 0 quanto menor for esse nível α. Usualmente, o valor de α é fixado em 5%, 1% ou 0,1%. A determinação do valor de β já é mais difícil, pois usualmente não especificamos valores fixos para o parâmetro sob a hipótese alternativa.
27
2.2.4
Procedimento Geral para a Construção de um Teste de Hipóteses
Passo 1. Fixe qual a hipótese H 0 a ser testada e qual a hipótese alternativa H 1 . Passo 2. Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H 0 . Obtenha as propriedades dessa
estatística (distribuição, média, desvio padrão). Passo 3. Fixe a probabilidade α de cometer o erro de tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão). Lembre que essa região é construída a partir da estatística definida no passo 2, usando o valor do parâmetro hipotetizado por H 0 . Passo 4. Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste (valor observado da estatística). Passo 5. Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à região crítica, não rejeite H 0; caso contrário, rejeite H 0 .
2.3
Teste de Hipótese sobre a Média de uma População com Variância Conhecida
Vamos aplicar o procedimento geral para o caso em que queremos testar uma hipótese sobre a média de uma população que tem variância conhecida. (i) Definição das hipóteses: a) b) c)
H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ = µ 0
H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ0
(ii) Escolha da Estatística para o teste Neste caso, utilizaremos a estatística X = que
n i=1
X i
n
. Assim, pelo T.C.L. sabemos
X µ σ/ n
−√ ≈ N (0, 1).
(iii) Fixado o nível de significância do teste (α) e supondo H 0 verdadeira, podemos construir a região crítica do teste como:
≤ − √ −∞ − √ ∪
a) RC = x¯; P X µ 0 =
; µ0
z −
α
1
2
z −
α
1
2
σ n
σ ou X µ 0 + z − n
≥
µ0 + z −
α
1
2
28
α
1
2
√ ∞ σ ; n
.
√ σ n
= α
A região crítica também pode ser escrita em termos de valores padronizados, ou seja
| | ≥ −∞ − ∪ ∞ ≥ √ √ ∞ ∞ ≤ − √ −∞ − √ ≤ − −∞ −
RC p = z ; P Z
z − 2
b) RC = x¯; P X µ 0 + z − 1
2α
2
σ n
= α
RC p = z ; P Z > z −
2α
1
2
c) RC = tão,
x ¯; P X µ 0
z − 1
RC p = z ; P Z
2α
2
; z −
= α =
α
1
σ n 1
2α
2
2
= µ0 + z −
2α
1
2
1
σ ; n
= α) =
; µ0
.
. Ou então,
.
2α
2
=
α
1
2
= α) = z − ;
= α
z −
z − ;
α
1
σ . Ou enn
z − 1
2α
2
; z − 1
2α
2
.
(iv) Estatística de teste: dada uma amostra de tamanho n, a estatística de teste será
n i=1 xi
, ou então, considerando o intervalo com valores padronizados, a estatística de teste será: x0 =
n
z 0 =
x0 µ0 . σ/ n
−√
(v) Conclusão: se x¯0 ∈ RC ou z 0 ∈ RC p , rejeitamos H 0 , caso contrário, não rejeitamos H 0. Exemplo 3: Seja X uma população normal com variância 36. Dessa população, toma-se uma amostra de tamanho 16, obtendo-se x¯ = 43. Ao nível de 10%, testar as H 0 : µ = 45 hipóteses: H 1 : µ = 45
Exemplo 4: A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preo-
cupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano e desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de nove indústrias e medido o número médio de horas/homem perdidas por acidente, que foi de 50 horas. Você diria, no nível de 1%, que há evidência de melhoria?
29
2.4
Teste de Hipótese para a Proporção
Consideraremos uma população X onde X = 1 com probabilidade p e X = 0 com probabilidade 1 − p. Assim, a estatística de teste será a proporção amostral pˆ. Pelo T.C.L. sabemos que pˆ
≈ N
p,
p(1
− p)
n
.
Assim, podemos aplicar o teste de hipóteses seguindo os seguintes passos: 1. Retirada uma amostra aleatória de tamanho n dessa população queremos testar hipóteses do tipo: a) b) c)
H 0 : p = p 0 H 1 : p = p 0
H 0 : p = p 0 H 1 : p > p0 H 0 : p = p 0 H 1 : p < p0
2. Portanto, dado um nível de significância α a região crítica do teste será respectivamente:
− ∪ − −
a) RC = 0, p0 − z −
α
1
p0 (1
1
2α
2
p0(1
1
p0 )
n
c) RC = 0, p0 − z −
2α
2
p0 + z −
n
2
b) RC = p0 + z −
p0)
p0 (1
2
p0 (1
− p ) , 1 0
n
.
,1 .
p0 )
n
α
1
.
Onde z α é um valor tabelado tal que P (0 ≤ Z ≤ z α ) = α e Z ∼ N (0, 1). 3. A estatística de teste é pˆ avaliada em uma amostra particular. Exemplo 5: Uma firma de semicondutores produz aparelhos lógicos. O contrato com
o cliente exige uma fração de defeituosos não mais que 5%. Uma amostra de 200 aparelhos resultou em 12 defeituosos. Existe razão para o cliente desconfiar da firma, ao nível de 5% de significância?
30
2.5
Teste de Hipótese sobre a Média de uma População com Variância Desconhecida
Consideraremos agora, o caso em que queremos testar hipóteses sobre a média de uma população com distribuição normal, porém, com variância desconhecida. Para isso, teremos que estimar a variância através da estatística S 2 . Além disso, utilizaremos o fato de que (X µ) S/ n
−√ ∼ t
Assim, a estatística do teste será T =
(n−1) .
(X µ) . S/ n
−√
Assim, podemos aplicar o teste de hipóteses seguindo os seguintes passos: 1. Queremos testar hipóteses do tipo: a) b) c)
H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ = µ 0
H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ0
2. Fixado um nível de significância α, a região crítica do teste será dada respectivamente por: a) RC =
−∞ −∞
, µ0
− √ ∪ √ ∞ − √
b) RC = µ0 + t2α c) RC =
, µ0
S tα n
S , n
t2α
√ ∞
S µ0 + tα , n
.
.
S . n
Onde tα é um valor tabelado tal que P (|T | < tα ) = 1 − α e T ∼ t(n−1) . 3. A estatística de teste é dada por X avaliada em uma amostra particular. Exemplo 6: Um teste de resistência à ruptura feito em seis cordas acusou resistência
média de 3530kg com desvio-padrão de 66kg. O fabricante afirma que seu produto tem resistência média de 3650 kg. Pode-se justificar a alegação do fabricante, ao nível de 1%? Exemplo 7: Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg. Ao nível de 5%, testar a afirmação do fabricante.
31
2.6
Teste de Hipótese sobre a Igualdade Médias de Duas Populações Normais Independentes com Variâncias Conhecidas
Sejam X e Y duas populações independentes uma da outra e normalmente distribuidas, e
2 X N (µX , σX )
∼
Y
2 Y , σY ),
∼ N (µ
2 onde µX e µY são desconhecidos e σX e σY 2 são conhecidos. Sejam X 1 , X 2 ,...,X n e Y 1, Y 2 ,...,Y n amostras de X e de Y , respectivamente. Desejamos testar hipóteses sobre a igualdade das médias: X
Y
H 0 : µ X = µ Y versus
ou equivalentemente H 0 : µ X
− µ
Y
= 0 versus
H 1 : µ X = µ Y ou H 1 : µ X > µY ou H 1 : µ X < µY ,
− µ = 0 ou − µ > 0 ou − µ < 0.
H 1 : µ X H 1 : µ X H 1 : µ X
Y Y Y
(i) Definição das hipóteses:
a)
b) c)
H 0 : µ X H 1 : µ X
− µ = 0 − µ = 0 H : µ − µ = 0 H : µ − µ > 0 H : µ − µ = 0 H : µ − µ < 0 Y Y
0
X
Y
1
X
Y
0
X
Y
1
X
Y
(ii) Escolha da Estatística para o teste Neste caso, utilizaremos a estatística X − Y . Daí, temos que X
− Y ∼ N
µX
−
2 2 σ X σY µY , + nX nY
.
Assim, se a hipótese nula H 0 : µ X = µ Y for verdadeira, a estatística de teste Z =
(X
− Y ) − (µ − µ ) =
2 σX nX
X
+
Y
2 σY nY
segue distribuição normal padrão.
32
X
− 2 σX nX
Y
+
2 σY nY
∼ N (0, 1)
(iii) Fixado o nível de significância do teste (α) e supondo H 0 verdadeira, podemos construir a região crítica do teste como:
− −∞ − − a) RC = x
y; P X 2 σX nX
; z −
α
1
− ≤ − − ≥ ∪ ∞ | | ≥ −∞ − ∪ ∞ − ≥ ∞ ∞ − ≤ − −∞ − ≤ − −∞ − − − −
2
+
Y
2 σY nY
2 σX nX
z −
α
1
2
2 σX nX
z −
α
1
2
+
+
2 σY nY
ou X
2 σY ; nY
Y
2 σX nX
z −
α
1
2
+
2 σY nY
= α
=
.
A região crítica também pode ser escrita em termos de valores padronizados, ou seja RC p = z ; P Z
z − 2
2 σX nX
b) RC = x¯ ¯y; P X Y z − Ou então,
1
2α
2
RC p = z ; P Z > z −
Ou então,
RC p = z ; P Z
2 σX nX
2α
2
+
2 σY nY
2α
2
2 σX nX
= z −
= α
2α
1
2
= α
= α) =
z − 1
2 σY nY
2
+
2 σY ; nY
.
.
2α
2
z − 1
+
.
α
1
2
1
2
c) RC = x¯ ¯y ; P X Y
z − ;
α
1
= α) = z − ;
2α
1
−
; z −
= α =
α
1
; z −
=
1
2α
2
; z − 1
2α
2
2 σX nX
+
.
(iv) A estatística de teste será ¯x0 y¯0 = n1 ni=1 xi n1 ni=1 yi, ou então, considerando o intervalo com valores padronizados, a estatística de teste será: X
Y
X
x0
z 0 =
(v) Conclusão: se x¯0 − y¯0 rejeitamos H 0 .
Y
2 σX nX
y0
+
2 σY nY
.
∈ RC ou z ∈ RC , rejeitamos H , caso contrário, não 0
p
0
Exemplo 8: A gerente de uma indústria de suco de laranja enlatado está interessada
em comparar o desempenho de duas linhas de produção diferentes de sua fábrica. Como a linha X é relativamente nova, ela suspeita que sua produção em número de caixas, por dia, seja maior do que o número de caixas produzidas pela linha mais velha, Y . Selecionamse aleatoriamente 10 dias de dados de cada linha, econtrando-se x¯ = 824, 9 caixas por dia e y¯ = 818, 6 caixas por dia. Devido à experiência com a operação com esse tipo de 2 2 = 40 e σY = 50. Verifique se a gerente tem razão, usando equipamento, sabe-se que σX α = 5%.
33
2 σY nY
.
2.7
Teste de Hipótese sobre a Igualdade Médias de Duas Populações Normais Emparelhadas
Definição 2.1 (Populações Emparelhadas). Dizemos que duas populações são dependentes (ou
emparelhadas) se existir alguma relação de modo que cada valor em uma população estiver emparelhado com um valor correspondente na outra população. Exemplo 9: A eficácia de uma dieta é testada usando pesos de indivíduos, medidos
antes e depois do tratamento. Cada valor “antes” é emparelhado com o valor “depois”, pois cada par de medidas ates/depois se refere à mesma pessoa. Sejam, então, X e Y duas populações normais emparelhadas, e
2 X N (µX , σX )
∼
Y
2 Y , σY ),
∼ N (µ
e sejam X 1 , X 2 ,...,X n e Y 1 , Y 2 ,...,Y n amostras aleatórias de X e de Y , respectivamente. Sejam D i = X i − Y i, i = 1, 2,...,n, as diferenças entre cada par de observações, onde as diferenças Di seguem distribuição aproximadamente normal, com média µD = E (X
− Y ) = E (X ) − E (Y ) = µ − µ
Y ,
X
de modo que um teste sobre a igualdade de µX e µY pode ser obtido realizando-se um teste t de amostra única sobre µD . Especificamente, testar H 0 : µ X = µ Y versus
é equivalentemente a testar H 0 : µ D = µ X
− µ
Y
= 0 versus
(i) Definição das hipóteses:
a)
H 1 : µ X = µ Y ou H 1 : µ X > µY ou H 1 : µ X < µY ,
− µ = 0 ou − µ > 0 ou − µ < 0.
H 1 : µ D = µ X H 1 : µ D = µ X H 1 : µ D = µ X
Y Y Y
H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D = 0
b)
H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D > 0
c)
H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D < 0
(ii) Escolha da Estatística para o teste Neste caso, a estatística apropriada é X − Y = D . Daí, temos que 34
T =
− Y ) − (µ − µ ) = D − µ ∼ t √
(X
X
Y
D
S d n
S d2 n
(n−1) ,
Assim, se a hipótese nula H 0 : µ D = 0 for verdadeira, a estatística de teste T =
D S √
D
,
n
segue distribuição t-Student com (n − 1) graus de liberdade, onde S D =
e D =
1 n
1
n−1
n i=1
n i=1 (Di
−
D)2
ou
S D =
Di .
1
n−1
n i=1
Di2
−
1 ( n
2 n i=1 Di )
,
(iii) Fixado o nível de significância do teste (α) e supondo H 0 verdadeira, podemos construir a região crítica do teste como:
≤ −
a) RC = d; P D
S D tα √ ou n
D
≥
S D t α √ n
−∞ − ∪ ∞ S , tα √ n
= α =
S tα √ , n
D
D
.
A região crítica também pode ser escrita em termos de valores padronizados, ou seja RC p = t; P ( T < tα ) = 1
{
| |
− α} = ]−∞; −t ] ∪ [t ; ∞[ ; α
≥ ∞ { ≥ } ∞ ≤ − −∞ −
S S = α = t2α √ , b) RC = d; P D t2α √ n n D
D
RC p = t; P (T
c) RC = d; P D
[;
S , t2α √ . Ou então, n
D
RC p = t; P (T
D
≤ −t ) = α} = ]−∞; −t ] ; é um valor tabelado tal que P (|T | < t ) = 1 − α e T ∼ t {
onde t α
. Ou então,
t 2α ) = α = [t2α ;
S t2α √ = α = n
α
2α
2α
α
(n−1)
.
(iv) A estatística de teste será d0 = n1 ni=1 di, ou então, considerando o intervalo com valores padronizados, a estatística de teste será: t0 =
d0 S √
d
.
n
(v) Conclusão: se d0 ∈ RC ou t0 ∈ RC p , rejeitamos H 0 , caso contrário, não rejeitamos H 0. 35
Exemplo 9: Quinze homens adultos, com idades entre 35 e 50 anos, participaram
de um estudo para avaliar o efeito da dieta e de exercícios no nível de colesterol no sangue. O colesterol total foi medido em cada indivíduo inicialmente e depois de três meses de participação em um programa de exercícios aeróbicos e mudanças para uma dieta de baixo teor de gordura. Os dados são apresentados na tabela a seguir. Nível de Colesterol no Sangue Indivíduo Antes Depois 1 265 229 2 240 231 3 258 227 4 295 240 5 251 238 6 245 241 7 287 234 8 314 256 9 260 247 10 279 239 11 283 246 12 240 218 13 238 219 14 225 226 15 247 233 Os dados justificam a afirmação de que a dieta com baixo teor de gordura e um programa de exercícios aeróbicos são valiosos para uma redução média nos níveis de colesterol no sangue? Use α = 0, 05.
36
2
a
LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição normal, com média 1800 kg e desvio padrão de 100 kg. Mediante uma nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para testar essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como tensão média de ruptura 1850 kg. Pode-se aceitar a proclamação ao nível de 5%? 2 - Um exame padrão de inteligência tem sido usado por vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado, dando-se ênfase à resolução de testes. Se esse grupo obtem média de 83 pontos no exame, há razões para se acreditar que a ênfase dada melhorou o resultado do teste ao nível de 10%? 3 - A força de rompimento de uma fibra têxtil é uma variável aleatória distribuída normalmente. As especificações exigem que a força média de rompimento seja igual a 150 psi. O fabricante gostaria de detectar qualquer afastamento significante desse valor. Uma amostra de 15 espécimes de fibra forneceu força média de rompimento 152, 18 psi e variância 16, 63 psi2 . O que se pode concluir, ao nível de 5% de significância? 4 - Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora superar 5 ◦ C , o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Este processo é, entretanto, caro e, portanto, deve ser feito apenas se for realmente necessário. Em 8 experimentos independentes com a câmara, foi obtida uma média 5, 65 ◦ C e um desvio padrão 0, 81 ◦ C . Estes dados sugerem a necessidade de recalibração? (Use α = 0,05) 5 - Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capita das cidades pequenas (0-20.000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado, que é de 1229 unidades. Para comprovar ou não essa hipótese, sorteamos dez cidades pequenas, e obtivemos os seguintes resultados: 1230; 582; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717; 1838; 1359. obs: Para facilitar os cálculos, informamos que a soma das observações é 13500, e a soma dos quadrados das observações é 22335650. a) Mostre que o teste de hipótese usado, com α = 0, 05, levará à aceitação de que a receita média das cidades pequenas é igual à do estado. b) Você não acha estranha essa conclusão quando observa que a média da amostra obtida é bem maior do que a média do estado? Como você explicaria isso? 6 - Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica apresenta-se abaixo de 23 mg por cigarro. Um laboratório realiza seis análises desse índice, obtendo: 27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente, com variância igual a 4,86 mg2 . Pode-se aceitar, ao nível de 10%, a afirmação do fabricante? 7 - Um certo tipo de rato apresenta, nos três primeiros meses de vida, um ganho médio de peso de 58g. Uma amostra de 10 ratos foi alimentada desde o nascimento até a 37
idade de 3 meses com uma ração especial, e o ganho de peso de cada rato foi: 55, 58, 60, 62, 65, 67, 54, 64, 62 e 68. Há razões para crer, ao nível de 5%, que a ração especial aumenta o peso nos três primeiros meses de vida? 8 - De uma população normal levantaram-se os seguintes dados: Classes ni 1 3 1 3 5 5 5 7 13 7 9 14 9 11 10 11 13 5 13 15 2 Testar, ao nível de 5%, se a média dessa população é igual a 7. 9 - Uma máquina automática que empacota o alimento A é programada para colocar 100g de peso. Para verificar a precisão da máquina, uma amostra de 60 pacotes do referido alimento fornece peso médio de 98g e desvio padrão de 6g. O que se pode concluir ao nível de 1%? 10 - Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Baseado nesse resultado, podemos afirmar, ao nível de 5%, que a moeda não é honesta? 11 - Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é 90% eficaz na cura de uma alergia, em um determinado período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. Testar ao nível de 1% se a pretensão do fabricante é legítima. 12 - Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmação da estação, adimitindo-se que, das 200 famílias pesquisadas, 110 estavam assistindo ao programa? Utilize um nível de 5%. 13 - Estão sendo estudadas as taxas de queima de dois diferentes propelentes sólidos usados no sistema de escapamento das aeronaves. Sabe-se que ambos os propelentes têm aproximadamente o mesmo desvio padrão da taxa de queima, ou seja, σX = σY = 3 cm/s. Duas amostras aleatórias de nX = 20 e nY = 20 espécimes são testadas. As taxas médias de queima das amostras são 18,02 cm/s e 24,37 cm/s. Teste a hipótese de que ambos os propelentes têm a mesma taxa média de queima. Use α = 0, 05. 14 - Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico com detergente para lavagem de pratos. Os desvios padrão do volume de enchimento são conhecidos como sendo σX = 0, 1 onça fluida e σY = 0, 15 onça fluida para as duas máquinas, respectivamente. Duas amostras aleatórias de nX = 12 garrafas da máquina 1 e nY = 10 garrafas da máquina 2 são selecionadas. Os volumes médios de enchimento 38
nas amostras são x¯ = 30, 61 onças fluidas e y¯ = 30, 34 onças fluidas. Suponha a normalidade dos dados, e teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem o mesmo volume médio. Use α = 0, 05. 15 - O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos nX = 15 e nY = 17 são selecionadas, obtendo-se as médias x¯ = 8, 73 e y¯ = 8, 68, respectivamente. Sabendo que 2 2 σX = 0, 35 e σY = 0, 40, e que os dados sejam retirados de uma população normal, podemos dizer que há evidência que justifique a afirmação de que as duas máquinas produzam bastões com diferentes diâmetros médios? Use α = 0, 05. 16 - Dois catalisadores podem ser usados em um processo químico em batelada. Doze bateladas foram preparadas usando o catalisador 1, resultando em um rendimento médio de 86,20. Quinze bateladas foram preparadas usando o catalisador 2, resultando em um rendimento médio de 89,38. Considere que as medidas de rendimento sejam distribuídas aproximadamente de forma normal, com desvios padrão de 2,91 e 2,07, respectivamente. Há evidência que justifique a afirmação de que o catalisador 2 produza um rendimento maior do que o catalisador 1? Use α = 0, 01. 17 - Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque é uma característica importante nesse processo e é sabido que ela segue uma distribuição normal. Duas soluções diferentes para ataque químico têm sido comparadas, usando duas amostras aleatórias de 10 pastilhas para cada solução. As taxas observadas de ataque (10−3 polegadas/min) são dadas a seguir: Solução 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1 Solução 2 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3 Os dados justificam a afirmação de que a taxa média de ataque seja a mesma para ambas as soluções? Considere que ambas as populações tenham variâncias iguais a 0, 1(10−3 polegadas/min)2 e use α = 0, 05. 18 - Dois fornecedores fabricam uma engrenagem de plástico em uma impressora a laser. A resistência de impacto (medida em libras-pé) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de 10 engrenagens do fornecedor 1 resulta em x¯ = 289, 3, enquanto a outra amostra aleatória de 16 engrenagens do fornecedor 2 resulta em y¯ = 321, 5. Sabendo que σ X = 22, 5 e σ Y = 21, há evidência justificando a afirmação de que o fornecedor 2 fornece engrenagens com maiores resistências médias de impacto? Use α = 0, 05 e considere que ambas as populações sejam normalmente distribuídas. 19 - Dez indivíduos participaram de um programa de modificação alimentar para estimar a perda de peso. Seus pesos antes e depois da participação no programa são mostrados na lista a seguir. Há evidência para justificar a afirmação de que esse programa particular de modificação alimentar seja efetivo na redução do peso médio? Use α = 0, 05. 39
Peso Indivíduo Antes Depois 1 195 187 2 213 195 3 247 221 4 201 190 5 187 175 6 210 197 7 215 199 8 246 221 9 294 278 10 310 285 20 - Dois diferentes testes analíticos podem ser usados para determinar o nível de impureza em ligas de aço. Oito espécimes são testados usando ambos os procedimentos, sendo os resultados mostrados na tabela a seguir. Há evidência suficiente para concluir que ambos os testes fornecem o mesmo nível médio de impureza? Use α = 0, 01. Espécime Teste 1 Teste 2 1 1,2 1,4 2 1,3 1,7 3 1,5 1,5 4 1,4 1,3 5 1,7 2,0 6 1,8 2,1 7 1,4 1,7 8 1,3 1,6
Gabarito
1) RC = [1823, 19;+∞) 2) RC = [81, 792;+∞) 3) RC = (−∞;147, 74] ∪ [152, 26;+∞) 4) RC = [5, 54;+∞) 5) a) RC = [1620, 74;+∞) 6) RC = [24, 152;+∞) 7) RC = [60, 76;+∞) 8) RC = (−∞; 6, 25] ∪ [7, 75;+∞) 9) RC = (−∞; 98, 0015] ∪ [101, 9985; +∞) 10) RC = [0; 0, 402] ∪ [0, 598; 1]
40
11) RC = [0; 0, 8506] 12) RC = [0; 0, 5432] 13) RC = (−∞; −1, 8594] ∪ [1, 8594; +∞) 14) RC = (−∞; −0, 1088] ∪ [0, 1088; +∞) 15) RC = (−∞; −0, 4243] ∪ [0, 4243; +∞) 16) RC = (−∞; −2, 3199] 17) RC = (−∞; −0, 277] ∪ [0, 277;+∞) 18) RC = (−∞; −14, 501] 19) RC = [3, 7166; +∞) 20) RC = (−∞; −0, 2136] ∪ [0, 2136; +∞)
