20) Un taller mecánico local factura 110 dólares de media cuando realiza una reparación determinada. Los datos indican una desviación típica de 21.50 dólares en las facturas. Hace poco un cliente e quejaba de que la factura de 115.5 dólares era excesiva. Después de mucho debatir, el mecánico estuvo de acuerdo en devolver el dinero si una muestra de 36 trabajos similares revelan una facturación facturación media inferior a la del cliente. ¿Esta seguro de que el mecánico fue prudente al ofrecer este arreglo? solución:
Datos: µ= 110 $
=21.50 $
σ
n= 36 trabajos
P(X< 115.50 $) Hallamos: P(110
Z=
= = 1,53 o una área de 0,4370 ⁄√ ⁄√ P(110
: P(X<115.50) = P(Z<1,53) = P(0
Por lo tanto, queda decir que el mecánico no fue prudente al hacer este arreglo puesto que la probabilidad de que ocurra es del 0,9370, y esta probabilidad no estará a favor del mecánico sino del cliente.
21) Un proceso de fabricación produce unidades de longitud media igual a 10 pulgadas, con una desviación típica de 3.2 pulgadas. Si solo se pueden utilizar unidades que midan entre 9.5 y 10.5 pulgadas , ¿cuántas muestras de 100 habrá que desechar? Solución:
Datos: µ= 10 pulgadas
=3,2 pulgadas
σ
n= 100
Hallamos: P(X< 9,5) y P(X< 10,5)
= ⁄√ = ⁄√ = 1,56 o una área de 0,4406 = ⁄√ = ⁄√ = 1,56 o una área de 0,4406
P(X< 9,5) y P(X< 10,5)
P(X< 9,5) = P(Z< 1,56) = 0,5 - P( 0< Z<1.56)
P(X< 9,5) = P(Z< 1,56) = 0,5 - P( 0< Z<1.56)
= 0,5 - 0,4406 = 0,0594
= 0,5 - 0,4406 = 0,0594
Piden: 0,0594 + 0,0594 = 0,1188 , esto es la probabilidad de muestra a desechar, esto es de 100 muestras: 100 * 0,1188 = 11,88 ;lo que se aproxima a 12 mutras a desechar de las 100.
22) En un ejercicio de informática que se encomienda a la clase de estadística de primer cuso los estudiantes tienen una media de errores de 14.2, con la desviación típica de 4.3:
a) Cual es la probabilidad de que usted ( o cualquier otro estudiante) tenga más de 13 errores en su ejercicio si se sabe que los errores siguen una distribución maestral? Datos: µ= 14,2 errores
=4,3 errores
σ
n= 1
P(X>13 errores)
Hallamos: P(13
= = - 0,28 o una área de 0,1103 ⁄√ ⁄√ P(13
: P(X>13 errores) = P(Z> -0,28) = P(-0,28
14,2 = 0,1103 + 0,5 = O,6103
b) Si no se sabe si los errores están distribuidos normalmente ¿cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 estudiantes tenga una media superior a 13 errores? Datos: n= 36
P(X>13 errores)
Hallamos: P(13
⁄√ = ⁄√ = - 1,67 o una área de 0,4525 P(13
: P(X>13 errores) = P(Z> - 1,67) = P(- 1,67
14,2 = 0,4525 + 0,5 = O,9525
c) ¿ Por qué son diferentes las dos concentraciones? Dibujar dos graficas superpuestas para ilustrarlo.
Los resultados de las preguntas a) y b) son diferentes debido a que la distribución de las X es menor en b) porque σ >
d)¿Por que era necesaria la hipótesis de normalidad en parte a) y no en parte b).
En la parte a) nos afirma que sigue una distribución normal, en cambio en la parte b) con n>30; el teorema central del límite admite la hipótesis de la distribución normal.
23) En el problema 22 supongamos que se toma una muestra de 64. Sin trabajar en el problema, explique que le sucedería a su repuesta y por que. Solución: Lo
que ocurriría, es que al tomar una muestra mucho mayor como n = 64 el error será
mucho menor y la probabilidad será mucho mayor. 24) Supongamos que el problema 22 la desviación típica de la población es 5.3 en lugar de 4.3 y n= 36. Sin trabajar en el problema, que ocurriría a su respuesta y porque.
Solución:
Lo que ocurriría es que la probabilidad disminuiría, ya que el error típico aumenta
25) La desviación típica de los tiempos de ida y vuelta al trabajo en la ciudad es de 10.2 minutos, se tarda 36.2 minutos de media: Solución:
Datos: µ= 37,2 minutos
=10,2 minutos
σ
a) si en las 12 últimas semanas ha ido al trabajo en la ciudad 70 veces, ¿cuál es la probabilidad de que su tiempo de viaje sea inferior a 35 minutos? P(X<3,5 minutos)
Datos: n = 70
Hallamos: P(35
= = - 1,80 o una área de ⁄√ ⁄√ 0,4641
P(35
37,2 = 0,5 - 0,4525 = O,0359
b) si esta mañana tiene que estar en la ciudad dentro de 35 minutos. ¿cuál es la probabilidad de que lo consiga? ¿que hipótesis hay que hacer en relación a los tiempos? Datos: n = 1
P(X<3,5 minutos)
Hallamos: P(35
= = - 0,22 o una área de 0,0871 ⁄√ ⁄√ P(35
: P(X<35) = P(Z< - 0,22) = O,5 - P(- 0,22
37,2 = 0,5 - 0,0871 = O,4129
26) El director de un fondo mutuo afirma que ha tenido un rendimiento medio de 10.2% anual con una desviación típica de 3.5% para su cliente a lo largo de los últimos años. Si se toma una muestra de 90 inversores y resulta una tasa de rendimiento medio de 9.6% ¿Daria crédito a lo que dice el director del fondo? Solución:
Datos: µ= 10,2%
=3,5%
σ
n= 90 Hallamos: P(9,6
⁄√ = ⁄√ = - 1,63 o una área de 0,4484
P(9,6
10,2% = 0,5 - 0,4484 = O,0516
Como la probabilidad es de 0,0516 o 5,16%, está muy baja lo que indica que nos daría crédito a lo que dice el director.
27) Los trabajadores de una fabrica disponen de 3.7 horas para realizar un proceso de trabajo. El sindicato argumenta que el tiempo no es suficiente porque el tiempo medio de realización es de 4.3 horas, con una desviación típica 1.2 horas. Una muestra de 40 trabajos recién terminados dio una media 3.92 horas. ¿tiene razón el sindicato? Solución:
Datos: µ= 4,3 horas
=1,2 horas
σ
n= 40
P(X<3,92) Hallamos: P(3,92
⁄√ = ⁄√ = - 2,00 o una área de 0,4772 P(3,92
3,92
4,3 = 0,5 - 0,4772 = O,0228
Sí tiene razón el sindicato, ya que la probabilidad de que termine el trabajo en 3,92 horas es del 0,0228 o 2,28% , es por ello que el tiempo que le dan de 3,7 horas es insuficiente para que termine la obra en el tiempo indicado.
28) Se ha detenido a 50 traficantes de drogas en Miami. La policía se queja de que el tiempo medio que los traficantes cumplen en prisión es de solo 4.2 meses, con una desviación típica de 1.7 meses. 35 de los traficantes cumplieron en prisión una media de 4.6 meses. ¿Es correcta la afirmación de la policía relativa al tiempo medio de cumplimiento de condena? Solución:
Datos: µ= 4,2 meses
=1,7 meses
σ
N=50
n= 40 P(X>4,6 meses) Hallamos: P(4,2
Z= 4,2
= = 2,52 o una área de √ √
0,4941
P(4,2
37,2
: P(X>4,6 meses) = P(Z>2,52) = O,5 - P(0
Entonces no es correcta la afirmación de la policía puesto que solo hay una probabilidad del 0,0059 o del 0,59% de que los traficantes hayan cumplido una condena superior a 4,6 meses.
29) El alcalde de una ciudad de 650 vecinos piensa que la renta media de estos es de 42550 dólares . con una desviación típica de 15900 dólares. Una muestra aleatoria de 200 personas da una renta de 41000 dólares. ¿cuál es la probabilidad de que el alcalde tenga razón? Solución:
Datos: µ= 42550
=15900 $
σ
N=650 vecinos
n= 200 P(X<41000)
Hallamos: P(41000
41000
= = - 1,66 o una área de √ √ 0,4515 P(41000
La probabilidad de que el alcalde tenga razón es 0,0485 o 4,85%.
