AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ejercicio de superficies
PEDRO CARRO ALLEGUE
Trabajo superficie: Paraboloide
Pedro Carro Allegue
ÍNDICE:
1. Parametrización de la superficie. .............................................................................. 3 1.1. Comprobación de la regularidad de la parametrización. ................................ 3 2. Cálculo del área de la superficie................................................................................ 4 3. Cálculo de la Primera Forma Fundamental. ........................................................... 5 3.1 Comprobación del área con la primera forma fundamental. ........................... 5 4. Aplicación de Gauss. .................................................................................................. 6 5. Segunda Forma Fundamental. .................................................................................. 6 6. Diferencial de la aplicación de Gauss. ...................................................................... 7 7. Cálculo de curvaturas. ............................................................................................... 8 7.1 Propiedades derivadas de las curvaturas. ........................................................ 10 8. Símbolos de Christoffel y geodésicas. ..................................................................... 11 9. INTERÉS CULTURAL: Aplicaciones de los paraboloides.................................. 14 10. BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................... 17
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1. Parametrización de la superficie. La ecuación general de un paraboloide circular es la siguiente:
+ Nos fijamos en el plano XY, y lo que tenemos es una circunferencia:
La parametrización de esta curva la podemos expresar de la siguiente manera:
cos ,
Ahora esta parametrización calculada nos sirve para determinar la componente z de la superficie. Simplemente sustituyendo lo calculado en la ecuación del paraboloide, obtenemos:
, , , 1.1. Comprobación de la regularidad de la parametrización. Para comprobar la regularidad de la parametrización tomada, primero debemos calcular los vectores siguientes, los cuales son tangentes a la superficie:
= − ,cos ,0 = cos ,sen ,2 ⃗ ⃗ 2 cos ,2 ,− −cos ⃗ , ,− Si ahora realizamos el producto Tu x Tv, obtendremos el vector normal a la superficie( ).
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La parametrización será regular en toda la superficie, excepto en los puntos en los que el vector normal sea nulo Podemos observar, que en nuestro caso, será regular en todos los puntos excepto en: v=0
2. Cálculo del área de la superficie. El área de la superficie la podemos obtener resolviendo la siguiente integral,
Á∬‖ ‖ Debemos acotar los valores de las variables. Por ejemplo, acotaremos entre los valores: u ϵ [0 , 2 π) ; v ϵ [0 , 1] Por tanto:
‖ Á∫∫ ‖ Primero calculamos ‖Tu x Tv‖:
‖ ‖ ‖⃗‖ 4 cos +4+ ‖ ‖ 4 +1 Por tanto:
Á∫ ∫ 4 +1 Á∫ 4 + ·] ∫ 2 4 + 5√ 5 4 +1 4 + √ 6 6
Á √
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3. Cálculo de la Primera Forma Fundamental. La primera fórmula fundamental, será una matriz similar a la siguiente, en la que tendremos que calcular los coeficientes:
< , >+ cos < , >− cos+cos 0 < , >cos ++4 4 +1 La matriz queda de la siguiente forma:
+ 3.1 Comprobación del área con la primera forma fundamental. Con los coeficientes de la matriz de la primera forma fundamental podemos hacer una comprobación del área anteriormente calculada. Lo haremos de la siguiente forma:
Á ∬ − Acotamos la integral en los mismos valores que en apartado anterior en el que calculábamos el área: u ϵ [0 , 2 π) ; v ϵ [0 , 1]
Á ∫ ∫ 4 + Efectivamente, de esta manera obtenemos la misma integral que en el apartado anterior, por lo tanto el valor del área será el mismo.
Á √ Ampliación de matemáticas 5
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4. Aplicación de Gauss. Primero calculamos un vector, que llamaremos N y que es unitario:
‖ ‖ 2 cos ,2 ,−1 4 +1, − 2cos,2 √4 +1
Así estamos construyendo una aplicación N : S = φ(D) → R 3 que a cada punto de la superficie le asocia un vector normal unitario. La aplicación de Gauss será:
∶ → √ , ,− + √ + √ +
5. Segunda Forma Fundamental. La segunda forma fundamental la podemos definir como una matriz 2x2 como la siguiente:
Primero calculamos Tuu, Tuv, Tvu y Tvv:
− , − ,0 − ,cos , 0 − ,cos , 0 0 ,0 ,2 Ampliación de matemáticas 6
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Ahora ya podemos definir los coeficientes de la matriz de la segunda forma fundamental:
−2 cos −2 2 <,> √ 4 +1 − √ 4 +1 <,> −2 √ 4+ +12 cos 0 <, >− √ 42+1
La matriz asociada a la segunda forma fundamental queda de la siguiente manera:
− √ + − √ + ) ( 6. Diferencial de la aplicación de Gauss. La matriz asociada a la diferencial de la aplicación de Gauss (dNp) verifica que:
− − −1 − −
Por tanto:
De donde obtenemos:
− − − −1 −
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En donde podemos definir los coeficientes de la matriz diferencial de Gauss (d(N(p)):
√ + ( +)
En donde los autovalores son los elementos de su diagonal principal, ya que tenemos la matriz diagonalizada.
√ + +
7. Cálculo de curvaturas. Curvaturas principales (k 1 y k 2) Las curvaturas principales serán los autovalores obtenidos en la diferencial de la aplicación de Gauss.
√ 42 +1 42+1
Curvatura de Gauss (K) Para calcular la curvatura de Gauss basta con realizar el determinante de la matriz diferencial, al ser diagonal, multiplicando sus autovalores:
· √ 42 +142+1 √ 4 +1 √ 44 +14 +1 Ampliación de matemáticas 8
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+ Podemos observar que este cálculo equivale a dividir la segunda forma fundamental entre la primera forma fundamental de este modo:
− − 2 2 − − 4 +1 4 +1 √ √ 4 +1 + Curvatura media (H): Para calcular la curvatura media, realizamos la traza de la matriz y la multiplicamos por ½ , es decir, sumando sus autovalores y multiplicando por ½:
+2 2 2 + +1 4 +1 1 4 √ 2 √ 4 +1 + 41+1 4 +14 +1+√ 4 +1 4 +1 4 √ √ √ 4 +1√ 4 +14 +1 4 +1+1+1 √ + ++
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7.1 Propiedades derivadas de las curvaturas. Podemos definir así los puntos umbílicos como los puntos que se caracterizan por tener ambas curvaturas principales iguales. (k 1 = k 2)
2 2 √4 +1 4 +1 4 +1 4 +1 4 +1·4 +1 4 +11 0
Luego todos los puntos de la superficie que cumplan lo siguiente serán puntos umbílicos:
,, El único punto umbílico es el (0,0,0) que es el que verifica v=0, y que coincide donde la parametrización no es regular.
Atendiendo a la curvatura de Gauss existen distintos tipos de puntos en la superficie. A saber: - Elíptico, cuando es positiva la curvatura de Gauss en el punto. - Hiperbólico cuando esta es negativa en el punto. - Parabólico si es nula y los coeficientes de la 2ª forma fundamental no nulos. Cuando estos coeficientes son nulos, serán planos.
En nuestra superficie podemos observar que la curvatura de Gauss será positiva en todos los puntos, por lo tanto serán elípticos.
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8. Símbolos de Christoffel y geodésicas. Lo primero que haremos será cambiar nuestra nomenclatura para la primera forma fundamental, de la siguiente manera: E = g11 = v2 F = g21 = g12 = 0 G = g22 = 4v2 +1 Los símbolos de Christoffel los podemos obtener de la siguiente expresión:
12 · −
Los valores de x serán u o v en relación al superíndice que lo acompañe en cada momento, de la siguiente manera: x1 = u x2 = v
El superíndice β, en notación de Einstein, nos indica un sumatorio en β. Tomando β los valores 1 y 2. Una vez hecho los cálculos los símbolos de Christoffel son los siguientes:
− + Ampliación de matemáticas 11
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− + − Una curva geodésica de la superficie cumplirá lo siguiente: Si tomamos una curva c(t):
, ′′+ ′ +2′′+′ 0 ′′ + ′ +2′′ +′ 0
Será una curva geodésica si cumple lo siguiente:
Si sustituimos los símbolos por sus valores que ya conocemos, obtenemos que una geodésica cumple:
′′ ′′ + − −′ + − + −′ De la primera de las condiciones resulta que u(t) = cte o que u(t) = λt + μ, siendo μ y λ números reales. En el primero de los casos, si u(t) = cte, u’ = 0 resulta:
’’+128 −16 +32 −4 ′ 0
- Comprobación de si un paralelo de la superficie es una geodésica: A modo de ejemplo, comprobaremos a continuación si un paralelo de nuestra superficie cumple con las condiciones establecidas y por consiguiente se pueden considerar curvas geodésicas de la misma. Un paralelo de un paraboloide viene dado cuando, dada nuestra parametrización, tenemos v = cte.
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Nuestra parametrización es :
, cos , ,
Si mantenemos v = A siendo A una cte que nos indica la altura a la que se encuentra la curva, tendremos una ecuación de una curva c(t), que corresponderá con un paralelo de nuestra superficie:
cos , ,; ′′ 0
Ahora veremos si esta curva cumple con las dos condiciones anteriormente establecidas:
Vemos que cumple la primera condición. Ahora vamos a comprobar la segunda condición establecida:
′′ + −4 −′ + 128 −16 +32 −4′ 0
Como hemos establecido que v = A = cte, podemos simplificar la expresión como sigue:
−4 −′ 0
De esta expresión podemos deducir que no cumple esta condición en todos los puntos de la curva contenida en la superficie.
Por lo que podemos concluir que los paralelos de un paraboloide no se corresponden con una curva geodésica de la superficie .
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9. INTERÉS CULTURAL: Aplicaciones de los paraboloides. La superficie engendrada al girar una parábola alrededor de su eje es una superficie parabólica. Dichas superficies tienen la propiedad de ser reflectoras. Situado un punto luminoso en el foco, los rayos se proyectan paralelos al eje, y recíprocamente, los rayos que inciden paralelos al eje, se concentran en el foco. Estas superficies son las únicas que gozan de esta propiedad.
Las aplicaciones de los paraboloides elípticos son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o divergir un haz de luz y sonido principalmente.
Las principales aplicaciones de los paraboloides pueden ser: - Focos de coches, lámparas etc. : Los paraboloides tienen una propiedad. Si se coloca una bombilla encendida en el foco, algunos haces de luz serán reflejados por la superficie y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz.
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- Antenas parabólicas: es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie es en realidad un paraboloide de revolución
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- Hornos solares: La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3.500 °C, y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno o nanomateriales.
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10. BIBLIOGRAFÍA. - “Geometría diferencial”, Antonio López de la Rica y Agustín de la Villa Cuenca. - Apuntes asignatura “Ampliación de matemáticas” , Miguel Brozos Vazquez (UDC) - Apuntes facultad de matemáticas (USC) - www.prezi.com - www.monografías.com - Imágenes sacadas del buscador de Google.
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