TRABAJO SPLINE LINEAL MÉTODOS NUMÉRICOS
PARA: ROY ALEJANDRO GOMEZ POR: JUAN CAMILO CAMILO ARIAS RODRIGO NEME DAZA BRIAN STIVEN AVILA ALBARRACÍN
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES BOGOTÁ D.C 201 TABLA DE CONTENIDO
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Introducción Objetivos Conceptos y defniciones Ejemplo Conclusiones iblio!r"#$"
1. INTRODUCCIÓN
El spline se defne como un" curv" di#erenci"ble %ue se divide en v"ri"s proporciones y est&s est&n defnid"s' son muy us"dos los splines y" %ue son #unciones polinómic"s de !r"do 1 evit"ndo %ue los tr"mos !eneren oscil"ciones %ue se"n complej"s o di#$ciles de c"lcul"r %ue se encuentr"n con polinomios de 2 !r"do o de !r"do m"yor' su uso en los orden"dores es muy sencillo por su #"cilid"d de simul"r o "pro(im"rse en #orm"s complic"d"s' " continu"ción observ"r"n l"s defniciones' #órmul"s o ecu"ciones y ejemplos del spline line"l.
2. OBJETIVOS O!"#$%&' G#(#)*+ •
)e"li*"r l" interpol"ción de un" #unción
y = f ( x )
utili*"ndo el
m+todo de spline line"l con polinomios de !r"do 1.
O!"#$%&', E,-#/', •
Entender %ue el n,mero N ser& l" c"ntid"d de P ( x ) %ue v"mos " des"rroll"r.
•
Comprender %ue l" #unción es continu" en los puntos son nodos consecutivos pero no son deriv"bles.
P ( x )
y" %ue
. CONCEPTOS Y DEFINICIONES I($#)-'+*%(: Es l" obtención de nuevos puntos p"rtiendo de un conjunto de puntos y" defnidos' se tr"t" de obtener un n,mero de p"rej"s o nodos ( xk − yk ) p"r" obtener un" #unción
f
l" cu"l se le ll"m" #unción interpol"nte'
e(isten dos tipos de interpol"ción los cu"les son l" line"l y l" interpol"ción polinómic".
I($#)-'+*%( L%(#*+: Est" es l" #orm" m&s sencill" de interpol"ción e(istente. -s" dos puntos con el fn de des"rroll"r un" "pro(im"ción line"l de l" #unción. Estos dos puntos us"dos en el proceso ser&n los m&s pró(imos "l punto de inter+s' debiendo ser uno menor y otro m"yor %ue este. or t"nto' entre c"d" p"rej" de v"lores de ( xk , yk ) y ( xk + 1, yk + 1 ) ' se c"lcul" l" rect" e(istente entre "mbos p"r" c"lcul"r y "l v"lor de ( d"do. Est" interpol"ción line"l tr"t" de #unciones en c"d" interv"lo de l" p"rtición P El spline
S ( x )
y = f ( x )
%ue son continu"s y
son rect"s.
%ue interpol" line"lmente " l" #unción
x 0, x 1 … .. , xn es l" poli!on"l %ue une los puntos
f en los puntos
( xi , f ( xi ) ) , i=0,1,2, · · · , n .
I($#)-'+*%( P'+%(3%*: /"to
n + 1 puntos distintos
f ( xi )= yi , i = 0, … , n
estos puntos' coincid" con f
xi, i =0, … , n y los v"lores de l" #unción en
el polinomio de menor !r"do
n
%ue
f en esos puntos se denomin" polinomio de interpol"ción de
en los puntos xi, i =0, … , n .
S-+%(# L%(#*+: 0os splines de !r"do 1 son #unciones de !r"do 1' son rect"s de l" #orm" f ( x )= ax + b %ue se enc"r!"n de unir c"d" p"r de coorden"d"s por medio de un" rect".
4. EJEMPLO S-+%(# L%(#*+: Interpol"r con splines l" #unción
f ( x )=1 / x ' en los puntos en los %ue (
v"le 1'2 y 4. f ( 1 )=1
f ( 2 )= 0.5
f ( 4 )= 0.25
S'+5%( -*,' * -*,': "ll"r P 1 ( x )=ax + b "r" poder solucion"r el primer tr"mo debemos us"r los dos primeros puntos de coorden"d"s f ( 1 )=1
f ( 2 )= 0.5
e !ener" un sistem" de ecu"ciones con dos v"ri"bles y dos incó!nit"s 1 =a + b 0.5= 2 a + b
0o primero es "ll"r " y b p"r" "cerlo debemos en l" ecu"ción 1 despej"r " y reempl"*"r en l" ecu"ción 2. a =1 − b
Est" es mi nuev" ecu"ción 3 l" cu"l voy " reempl"*"r en 2. 0.5= 2 (1− b )+ b
Encontr"mos el v"lor de b.
0.5= 2−b
b =2− 0.5 b =1.5
Est" ser& nuestr" ecu"ción 4 %ue reempl"*"mos en 1 p"r" "ll"r el v"lor de ". 1=a + b
1=a + 1.5
a =1−1.5 a =−0.5
Encontr"ndo %ue el result"do el result"do de l" p"rtición 1 es P 1 ( x )=−0.5 x + 1.5
-n" ve* termin"do procedemos " encontr"r el v"lor p"r" l" p"rtición 2 "ll"r P 2 ( x )=ax + b 7"mos " repetir los p"sos %ue icimos en l" p"rtición 1' encontr"r un" ecu"ción 3 con l" ecu"ción 1' reempl"*"rl" en 2 y encontr"r el v"lor de b. 0.5= 2 a + b
0.25 = 4 a + b
-n" ve* encontremos b reempl"*"mos en 1 y encontr"mos ". a =−0.125, b =0.75
Encontr"ndo %ue el result"do el result"do de l" p"rtición 2 es P 2 ( x )=−0.125 x + 0.75
G)6*:
7. CONCLUSIONES •
•
•
•
i tenemos un" #unción cuyo c&lculo result" costoso' podemos p"rtir de un cierto n,mero de sus v"lores e interpol"r dicos d"tos construyendo un" #unción m&s simple odemos obtener de #orm" !ener"l los polinomios de un" m"ner" muy sencill" en un complejo ejemplo %ue ten!" como e(ponente el !r"do 1. Estos m+todos ser&n de muc" utilid"d en l" l"bor del in!eniero "l permitir l" construcción de nuevos puntos p"rtiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En in!enier$" y "l!un"s cienci"s es #recuente disponer de un cierto n,mero de puntos obtenidos por muestreo o " p"rtir de un e(perimento y pretender construir un" #unción %ue los "juste.
8. BIBLIOGRAFIA 1. 888."rtico.lm".f.upm.es9numerico9"si!s9c:numerico9cu"dernos9inter p:cl"sic".pd#;idot.com9solucion?ejercicio?1?spline 3. 888.eu.eus9ju"nc"rlos.!orosti*"!"9m"teI159@em"s:/A9interpol"cio n.pd#;ipedi".or!98i>i9pline 5. ttps99ru".u".es9dsp"ce9bitstre"m91BB4591633959Dicroso#t 252BFord252B? 252B5.252BIG@E)O0HCIOG.pd#;
