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“AÑO DE LA INVERSION PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDADA ALIMENTARIA”
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO CARRIÓN FACULTAD DE INGIENERIA QUÍMICA Y METALÚRICA ESCUELA INGENIERIA METALÚRGICA
MECÁNICA CUÁNTICA DOCENTE: Ing. GUERRA LAZO, Cayo Eduardo ALUMNOS: GAVINO JIMENES, Jesús GONZALES FLORES, Gianmarco LLANOS LÓPEZ, Luis RUIZ BERROCAL, Jeancarlos SUSANIBAR KLER, Alexander
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HUACHO – PERU 2013
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DEDICATORIA El presente trabajo se lo dedicamos a Dios y a nuestros Padres por brindarnos el constante apoyo en nuestra formación profesional.
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INTRODUCCIÓN La Mecánica Cuántica es muy poco conocida pero probablemente es la más importante porque a partir de ella han surgido muchas teorías Físicas entonces he creído conveniente realizar el presente trabajo dirigido a los amantes de la Física. Este Trabajo ayudara a comprender la importancia de la mecánica cuántica a través del tiempo y como a avanzado la misma. En el primer capitulo donde se encuentra como titulo principal Generalidades se encuentra la Historia de la mecánica cuántica atreves de los tiempos después viene el concepto en su totalidad, Teorías, Importancia de la Mecánica Cuántica, Suposiciones mas Importantes,
Desarrollo
y
finalizando
este
capitulo
tenemos
Descripción de la Teoría En el segundo capitulo tenemos como titulo Formulación Matemática, después
se encuentra una división en cual esta la Relatividad de la
Mecánica Cuántica, las Ideas Louis Broglie, El Colapso Atómico, Schrödinger y la moderna mecánica cuántica, y por ultimo Números Cuánticos. En el tercer se encuentra como titulo principal Experiencias Relevantes y de aquí se deriva lo siguiente Obstáculo Puntual, Difracción de Macropartículas, Estructura Atómica, y Finalizando este ultimo capitulo se encuentra Cubanización de Energía. 3
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Finalmente llegamos a las conclusiones y recomendaciones, de las cuales vale recalcar que la mecánica cuántica es un tema muy importante ya que de aquí han surgido muchas experiencias Físicas.
ÍNDICE Dedicatoria
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Introducción
3
Índice
4
CAPITULO I 1. Generalidades
6 7
1.1. Concepto
12
1.2. Teorías
13
1.3. Importancia de la mecánica cuántica
14
1.4. Suposiciones
mas
Importantes
15 1.5. Desarrollo
15
1.6. Descripción de la Teoría.
16
CAPITULO II
18
Formulación Matemática
18
2.
Formulación
Matemática.
19 2.1.
Relatividad
de
la
19 4
Mecánica
Cuántica
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2.2.
Ideas
De
Louis
Broglie
20 2.3.
El
Colapso
Atómico
22 2.4.
Schrödinger
y
la
moderna
mecánica
cuántica
25 2.5. Números Cuánticos
27
CAPITULO III
30
Experiencias
Relevantes
30 3.
Obstaculo
Puntual
31 3.1.
Difraccion
de
Macropartículas
32 3.2.
Estructura
Atómica
34 3.3.
Cuantizacion
de
Energía
37
Conclusiones y Recomendaciones
40
Glosario
43
Bibliografía
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U.V
I.R
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CAPITULO I GENERALIDADES 8
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1. GENERALIDADES 1.1.
Historia
Es asombroso asumir que el electrón se descubriera hace sólo alrededor de 100 años, en 1897. Resulta fácil darse cuenta de que no era un hecho esperado debido a la reseña hecha por J.J. Thompson, el descubridor del electrón. Dijo: Me dijo hace mucho tiempo un físico que estuvo presente en mi clase que pensaba que había estado riéndome de él. El neutrón fue descubierto hasta el 1932 así que fue alrededor de 1859 cuando empezaron a establecerse los principios de la Teoría Cuántica. En 1859 Gustav Kirchhoff probó el teorema sobre la radiación de los cuerpos negros. Un cuerpo negro es un objeto que absorbe toda la energía que recibe y, como no refleja la luz, aparece para el observador como un cuerpo oscuro. Un cuerpo negro es también un emisor perfecto y Kirchhoff probó que la energía emitida, E, depende sólo de la temperatura T y de la frecuencia ν de la energía emitida. Así: E = J (T, &nu). Kirchhoff animó a los físicos a encontrar la función J. En 1879 Josef Stefan propuso, con argumentos experimentales, que la energía total emitida por un cuerpo caliente era proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. En la generalidad establecida por Stefan esto es falso. Ludwig Boltzmann llegó a la misma conclusión para la radiación de los cuerpos oscuros en 1884, esta vez mediante consideraciones teóricas usando la Termodinámica y la Teoría Electromagnética de Maxwell. El resultado, ahora conocido como la Ley de Stefan-Boltzmann, no llega a explicar del todo el desafío de Kirchhoff ya que no responde a la cuestión de las longitudes de onda. En 1896 Wilhelm Wien propuso una solución al desafío de Kirchhoff. Sin embargo, aunque su solución se aproxima a las observaciones experimentales solo para valores pequeños de la longitud de onda, Rubens y Kurlbaum demostraron que falla para el infrarrojo lejano. Kirchhoff, que estaba en Heidelberg, se fue a Berlín. A Boltzmann se le ofreció su puesto en Heidelberg pero éste rechazó. Se le ofreció el puesto entonces a Hertz que también declinó la oferta, así que fue 9
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ofrecido
de
nuevo;
esta
vez
a
Planck
que
aceptó.
Rubens visitó a Planck en Octubre de 1900 y le mostró sus resultados. Unas horas después de abandonar Rubens la casa de Planck, éste averiguó la fórmula correcta para la J de la función de Kirchhoff. Esta conjetura tuvo evidencia experimental en todas las longitudes de onda pero Planck no estaba satisfecho con este resultado e intentó encontrar una derivación teórica de la fórmula. Para ello, dio un paso sin precedentes suponiendo que la energía total se compone de elementos indistinguibles de la energía -cuantos de energía. Escribió: La experiencia demostrará si la hipótesis tiene lugar en la naturaleza. El mismo Planck dio crédito a Boltzmann por el método estadístico pero su acercamiento fue fundamentalmente diferente. Sin embargo, la teoría se había desviado ahora del experimento y estaba basada en una hipótesis sin base experimental. Planck ganó en 1918 el Premio Nobel de Física por su trabajo. En 1901 Ricci y Levi-Civita publicaron Cálculo Absoluto Diferencial. Fue el descubrimiento de Christoffel sobre la 'diferenciación de la covariante' en 1869 lo que permitió a Ricci ampliar la teoría del análisis tensorial al espacio de Riemann n-dimensional. Se consideraba que las definiciones de Ricci y Levi-Civita daban la formulación más general de un tensor. Este trabajo no se realizó pensando en la Teoría Cuántica pero, como sucede a menudo, las matemáticas necesarias para encarnar una teoría física aparecieron en el momento preciso. En 1905 Einstein examinó el efecto fotoeléctrico. El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones por ciertos metales o semiconductores debido a la acción de la luz. La teoría electromagnética de la luz da resultados contrarios a la evidencia experimental. Einstein propuso una teoría cuántica de la luz para resolver esta dificultad y entonces se dio cuenta de que la teoría de Planck hacía uso explícito de la hipótesis cuántica de la luz. Antes de 1906 Einstein había conjeturado correctamente que los cambios de la energía ocurren en un oscilador de material cuántico en cambios en saltos que son múltiplos de k ν donde k es la constante reducida de Planck y ν es la frecuencia. Einstein recibió el Premio Nobel de Física en 1921 por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico.
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En 1913 Niels Bohr escribió un revolucionario documento sobre el átomo de hidrógeno. Descubrió las leyes más importantes de las líneas espectrales. Por este trabajo Bohr ganó el Premio Nobel de Física en 1922. Arthur Compton derivó la cinemática relativista para la dispersión de un fotón (un cuanto de luz) de un electrón que no está en movimiento en 1923. Sin embargo, había conceptos en la nueva teoría cuántica que daban grandes preocupaciones a muchos de los físicos más importantes. Einstein , en particular, estaba preocupado por el elemento de 'azar' que se había incorporado la física. De hecho, Rutherford introdujo el efecto espontáneo al discutir el decaimiento radioactivo en 1900. En 1924 Einstein escribió: Existen entonces ahora dos teorías sobre la luz, ambas indispensables y -como debemos admitir hoy, a pesar de los veinte años de tremendo esfuerzo por parte de los físicos teóricos- sin ninguna conexión lógica entre ellas. En ese mismo año, 1924, Bohr, Kramers y Slater hicieron importantes proposiciones teóricas en relación con la interacción entre la luz y materia las cuales rechazaban el fotón. Aunque estas proposiciones iban en la dirección equivocada, estimularon trabajos experimentales importantes. Bohr trató ciertas paradojas en su trabajo. Cómo puede la energía conservarse cuando algunos cambios en la energía son continuos y algunos son discontinuos, es decir, cambios mediante cantidades cuánticas. Cómo puede un electrón saber cuándo emitir radiación. Einstein había sido desconcertado por la paradoja (ii) y Pauli rápidamente le dijo a Bohr que él no había creído en esa teoría. Un trabajo experimental adicional pronto terminó con cualquier resistencia en la creencia en el electrón. Fue necesario encontrar otras maneras para resolver las paradojas. Hasta ese momento la teoría cuántica había sido tenía lugar en el espacio euclidiano y utilizaba tensores cartesianos del momento linear y angular. Sin embargo, la teoría cuántica estaba a punto de entrar en una nueva era. En 1924 salió a la luz la publicación de otro documento fundamental. 11
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Fue escrito por Satyendra Nath Bose y fue rechazada su publicación. Mandó entonces el manuscrito a Einstein quien inmediatamente vio la importancia del trabajo y lo publicó. Bose propuso diferentes estadios para el fotón. También propuso que no existe la conservación del número de fotones. En vez de la independencia estadística de las partículas, Bose situó las partículas en celdas y habló de la independencia estadística de las celdas. El tiempo demostró que Bose tenía razón en esos puntos. Otros trabajos avanzaban casi al mismo tiempo que el de Bose y eran también de fundamental importancia. Se presentó la tesis doctoral de Louis de Broglie la cual amplió la dualidad onda-partícula de la luz hacia todas las partículas, en particular a los electrones. Schrödinger en 1926 publicó un documento dando su ecuación para el átomo de hidrógeno y anunció el nacimiento de la mecánica de las ondas. Schrödinger introdujo operadores asociados con cada variable dinámica. En el año 1926 vio la luz la solución completa de la derivación de la ley de Planck, después de 26 años. Fue resuelta por Dirac. También en 1926 Born abandonó la causalidad de la física tradicional. Hablando sobre colisiones Born escribió: Uno no tiene una respuesta para la pregunta '¿cuál es el estado después de la colisión?' sino tan sólo para la pregunta '¿qué probabilidad hay de que se produzca cierto efecto de la colisión?'. Desde el punto de vista de nuestra mecánica cuántica, no hay una cantidad que determine causalmente el efecto de una colisión en un acontecimiento individual. Heisenberg escribe su primer documento sobre mecánica cuántica en 1925 y dos años después establece su principio de incertidumbre. Éste establece que el proceso de medir la posición x de una partícula perturba el momento de la partícula p, de manera que Dx Dp ≥ k = h/2π Donde Dx es la incertidumbre de la posición y Dp es la incertidumbre del momento. Aquí h es la constante de Planck y k se denomina usualmente la 'constante reducida' de Planck. Heisenberg establece que: La no validez de la causalidad rigurosa es necesaria y no sólo consistentemente posible. El trabajo de Heisenberg necesitó usó métodos matriciales que hizo posibles el trabajo de Cayley sobre matrices 50 años antes. De hecho, la mecánica matricial derivada del trabajo de Heisenberg y la mecánica de 12
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ondas resultado del trabajo de Schrödinger entraron ahora en la palestra como rivales. No se demostró debidamente que eran equivalentes sino hasta que las matemáticas necesarias fueron desarrolladas por Riesz unos 25 años después. También en 1927 Bohr estableció que las coordenadas de espaciotiempo y la causalidad eran complementarias. Pauli se dio cuenta que el spin , uno de los estados propuestos por Bose, correspondía a un nuevo tipo de tensor, uno no cubierto por el trabajo de Ricci y Levi-Civita en 1901. Sin embargo, Eli Cartan se anticipó a estas matemáticas al introducir el 'spinor' como parte de una investigación mucho más general en 1913. Dirac, en 1928 dio la primera solución al problema de expresar la teoría cuántica en una manera que fuera invariante bajo el grupo de Lorentz de transformaciones de la relatividad especial. Expresó la ecuación de las ondas de d'Alembert en términos de álgebra de operadores. El principio de incertidumbre no fue aceptado por todos. Su mayor oponente fue Einstein. Ideó un reto para Niels Bohr que expuso en la conferencia a la que los dos asistieron en 1930. Einstein sugirió una caja llena de radiación con un reloj en su interior. El reloj está preparado para abrir un obturador y permitir a un fotón escapar. Hay que pesar la caja de nuevo un tiempo después y tanto la energía del fotón como la hora en que escapa pueden medirse con precisión arbitraria. Desde luego, eso no significa que este sea un experimento realizable en la práctica, solo un experimento mental Se dice que Niels Bohr tuvo una tarde infeliz, y Einstein una feliz, después del reto de Einstein sobre el principio de incertidumbre. Sin embargo, al final ganó Niels Bohr ya que al día siguiente ya tenía la solución. La masa se mide colgando un peso de compensación debajo de la caja. Éste a su vez proporciona un momento a la caja y existiría un error al medir la posición. El tiempo, de acuerdo con la relatividad, no es absoluto y el error de posición de la caja se traduce en un error de medición del tiempo. Aunque Einstein nunca estuvo satisfecho con el principio de incertidumbre, se vio forzado- aunque a regañadientes- a aceptarlo después de la explicación de Bohr. En 1932 von Neumann puso a la teoría cuántica sobre una base teórica firme. Algunos de los trabajos anteriores carecían de rigor matemático, pero von Neumann colocó toda la teoría dentro del ámbito del álgebra de operadores
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1.2. Concepto
La Mecánica cuántica es la parte de la física que estudia el movimiento de las partículas muy pequeñas. El concepto de partícula "muy pequeña" atiende al tamaño en el cual comienzan a notarse efectos como la imposibilidad de conocer con exactitud infinita y a la vez la posición y la velocidad de una partícula (véase Principio de indeterminación de Heisenberg), entre otros. A tales efectos suele denominárseles "efectos cuánticos". Así, la Mecánica cuántica es la que rige el movimiento de sistemas en los cuales los efectos cuánticos sean relevantes. Se ha documentado que tales efectos son importantes en materiales mesoscópicos (unos 1.000 átomos). Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes: La energía no se intercambia de forma continua, sino que en todo intercambio energético hay una cantidad mínima involucrada. Al ser imposible fijar a la vez la posición y la velocidad de una partícula, se renuncia al concepto de trayectoria, vital en Mecánica clásica. En vez de eso, el movimiento de una partícula queda regido por una función matemática que asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la partícula descrita se halle en tal posición en ese momento (al menos, en la interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o "de Copenhagen"). A partir de esa función, o función de onda, se extraen teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias. Aunque la estructura formal de la teoría está bien desarrollada, no sucede lo mismo con su interpretación, que sigue siendo objeto de controversias. La teoría cuántica fue desarrollada en su forma básica a lo largo de la primera mitad del siglo XX. El hecho de que la energía se intercambiaba de forma discreta se puso de relieve por hechos experimentales como los siguientes: Espectro de la radiación del Cuerpo negro, resuelto por Max Planck con la cuantización de la energía.
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Explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein, en que volvió a aparecer esa "misteriosa" necesidad de cuantizar la energía. Efecto Compton. El desarrollo formal de la teoría fue obra de los esfuerzos conjuntos de muchos y muy buenos físicos y matemáticos de la época como Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Albert Einstein, P.A.M. Dirac, Niels Bohr y Von Neumann entre otros (la lista es larga). En general, la región de origen de la Mecánica cuántica puede localizarse en la Europa central, en Alemania y Austria, y en el contexto histórico del primer tercio del siglo XX. 1.3. Teorías Dos teorías que completaron nuestra moderna comprensión del átomo aunque luego vendrían nuevas teorías como la de los quarks.: La Mecánica Ondulatoria de Erwin Schrödinger: describe al electrón a partir de una función de onda. El cuadrado de dicha función (que debe ser una solución de la ecuación de onda) nos da la probabilidad de encontrar el electrón en un lugar o estado.
Fig. 1: Erwin Schrödinger
La Mecánica Matricial de Werner Heisemberg: Fue establecida por separado en el mismo año. Matemáticamente es de más complejidad y por eso ha gozado de menos fama.
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Fig. 2: Werner Heisemberg.
Ambas teorías suponen una ruptura radical con las ideas clásicas de la Física (mecánica de Newton, separación entre partículas y ondas, determinismo). Conllevan importantes implicaciones sobre la propia idea de la Ciencia y del conocimiento de la Naturaleza por parte del hombre
Fig. 3: Mecánica de Newton.
Sin embargo fueron necesarias nuevas teorías para dar a cabida a las nuevas partículas descubiertas hasta aceptar que la mayoría de ellas estaban formadas por quarks. 1.4.
Importancia de la mecánica cuántica
La mecánica cuántica es la teoría más exacta y versátil de la física. Está detrás de una asombrosa gama de aplicaciones tecnológicas. Le deben su existencia las computadoras, la tecnología láser, las cámaras de video, las celdas solares y las máquinas que usan los médicos para ver el interior del cuerpo sin cortarlo. Además de útil desde el punto de vista práctico, la mecánica cuántica nos ha revelado grandes secretos acerca de la naturaleza. Comprendemos mucho mejor el universo desde que tenemos una teoría de lo muy pequeño. Hoy en día hay muy pocas investigaciones en física que no requieran la mecánica cuántica. Hasta la investigación del origen del universo la usa. 1.5. Suposiciones mas importantes
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Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes: La energía no se intercambia de forma continua, sino que en todo intercambio energético hay una cantidad mínima involucrada, es decir un cuanto (cuantización de la energía). Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se renuncia al concepto de trayectoria, vital en mecánica clásica. En vez de eso, el movimiento de una partícula queda regido por una función matemática que asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la partícula descrita se halle en tal posición en ese instante (al menos, en la interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o interpretación de Copenhague). A partir de esa función, o función de ondas, se extraen teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias. Aunque la estructura formal de la teoría está bien desarrollada, y sus resultados son coherentes con los experimentos, no sucede lo mismo con su interpretación, que sigue siendo objeto de controversias.
1.6. Desarrollo La teoría cuántica fue desarrollada en su forma básica a lo largo de la primera mitad del siglo XX. El hecho de que la energía se intercambie de forma discreta se puso de relieve por hechos experimentales como los siguientes, inexplicables con las herramientas teóricas "anteriores" de la mecánica clásica o la electrodinámica: Espectro de la radiación del cuerpo negro, resuelto por Max Planck con la cuantización de la energía. La energía total del cuerpo negro resultó que tomaba valores discretos más que continuos. Este fenómeno se llamó cuantización, y los intervalos posibles más pequeños entre los valores discretos son llamados quanta (singular: quantum, de la palabra latina para "cantidad", de ahí el nombre de mecánica cuántica). El tamaño de los cuantos varía de un sistema a otro. Bajo ciertas condiciones experimentales, los objetos microscópicos como los átomos o los electrones exhiben un comportamiento ondulatorio, como en la interferencia. Bajo otras condiciones, las 17
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mismas especies de objetos exhiben un comportamiento corpuscular, de partícula, ("partícula" quiere decir un objeto que puede ser localizado en una región especial del Espacio), como en la dispersión de partículas. Este fenómeno se conoce como dualidad onda-partícula. Las propiedades físicas de objetos con historias relacionadas pueden ser correlacionadas en una amplitud prohibida por cualquier teoría clásica, en una amplitud tal que sólo pueden ser descritos con precisión si nos referimos a ambos a la vez. Este fenómeno es llamado entrelazamiento cuántico y la desigualdad de Bell describe su diferencia con la correlación ordinaria. Las medidas de las violaciones de la desigualdad de Bell fueron de las mayores comprobaciones de la mecánica cuántica. Explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein, en que volvió a aparecer esa "misteriosa" necesidad de cuantizar la energía. Efecto Compton. El desarrollo formal de la teoría fue obra de los esfuerzos conjuntos de muchos y muy buenos físicos y matemáticos de la época como Schrödinger, Heisenberg, Einstein, Dirac, Bohr y Von Neumann entre otros (la lista es larga). Algunos de los aspectos fundamentales de la teoría están siendo aún estudiados activamente. La mecánica cuántica ha sido también adoptada como la teoría subyacente a muchos campos de la física y la química, incluyendo la física de la materia condensada, la química cuántica y la física de partículas. La región de origen de la mecánica cuántica puede localizarse en la Europa central, en Alemania y Austria, y en el contexto histórico del primer tercio del siglo XX. 1.7. Descripción de la Teoría La Mecánica cuántica describe el estado instantáneo de un sistema (estado cuántico) con una función de onda que codifica la distribución de probabilidad de todas las propiedades medibles, u observables. Algunos observables posibles sobre un sistema dado son la energía, posición, momento y momento angular. La mecánica cuántica no asigna valores definidos a los observables, sino que hace predicciones sobre
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sus distribuciones de probabilidad. Las propiedades ondulatorias de la materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda. Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo. Esta evolución es determinista si sobre el sistema no se realiza ninguna medida aunque esta evolución es estocástica y se produce mediante colapso de la función de onda cuando se realiza una medida sobre el sistema (Postulado IV de la MC). Por ejemplo, una partícula moviéndose sin interferencia en el espacio vacío puede ser descrita mediante una función de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posición media. Según pasa el tiempo, el centro del paquete puede trasladarse, cambiar, de modo que la partícula parece estar localizada más precisamente en otro lugar. La evolución temporal determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuación de Schrödinger. Algunas funciones de onda describen estados físicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo, estos estados se llaman estacionarios, son estados propios del operador ha miltoniano y tienen energía bien definida. Muchos sistemas que eran tratados dinámicamente en mecánica clásica son descritos mediante tales funciones de onda estáticas. Por ejemplo, un electrón en un átomo sin excitar se dibuja clásicamente como una partícula que rodea el núcleo, mientras que en mecánica cuántica es descrito por una nube de probabilidad estática que rodea al núcleo. Cuando se realiza una medición en un observable del sistema, la función de ondas se convierte en una del conjunto de las funciones llamadas funciones propias, estados propios, exigen-estados...etc del observable en cuestión. Este proceso es conocido como colapso de la función de onda. Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles es descrita por la función de onda instantánea justo antes de la reducción. Considerando el ejemplo anterior sobre la partícula en el vacío, si se mide la posición de la misma, se obtendrá un valor impredecible x. En general, es imposible predecir con precisión qué valor de x se obtendrá, aunque es probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas, donde la amplitud de la función de onda es grande. Después de que se ha hecho la medida, la función de onda de la partícula colapsa y se reduce a una que esté muy concentrada en torno a la posición observada x. 19
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La ecuación de Schrödinger es determinista en el sentido de que, dada una función de onda a un tiempo inicial dado, la ecuación suministra una predicción concreta de qué función tendremos en cualquier tiempo posterior. Durante una medida, el exigente estado al cual colapsa la función es probabilista, no determinista. Así que la naturaleza probabilista de la mecánica cuántica nace del acto de la medida.
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CAPITULO II FORMULACION MATEMATICA 2. Formulación Matemática 21
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En la formulación matemática rigurosa, desarrollada por Dirac y von Neumann, los estados posibles de un sistema cuántico están representados por vectores unitarios llamados (estados) que pertenecen a un Espacio de Hilbert complejo separable (llamado el espacio de estados). La naturaleza exacta de este espacio depende del sistema; por ejemplo, el espacio de estados para los estados de posición y momento es el espacio de funciones de cuadrado integrable. La evolución temporal de un estado cuántico queda descrito por la Ecuación de Schrödinger, en la que el Ha miltoniano, el operador correspondiente a la energía total del sistema, tiene un papel central. Cada observable queda representado por un operador lineal hermítico definido sobre un dominio denso del espacio de estados. Cada estado propio de un observable corresponde a un eigenvector del operador, y el valor propio o eigenvalor asociado corresponde al valor del observable en aquel estado propio. Es el espectro del operador es discreto, el observable sólo puede dar un valor entre los eigenvalores discretos. Durante una medida, la probabilidad de que un sistema colapse a uno de los eigenestados viene dada por el cuadrado del valor absoluto del producto interior entre el estado propio o auto-estado (que podemos conocer teóricamente antes de medir) y el vector estado del sistema antes de la medida. Podemos así encontrar la distribución de probabilidad de un observable en un estado dado computando la descomposición espectral del operador correspondiente. El principio de incertidumbre de Heisenberg se representa por la aseveración de que los operadores correspondientes a ciertos observables no conmutan. 2.1
Relatividad de la Mecánica cuántica
El mundo moderno de la física se funda notablemente en dos probadas teorías, la relatividad general y la mecánica cuántica, aunque ambas teorías parecen contradecirse mutuamente. Los postulados que definen la teoría de la relatividad de Einstein y la teoría del quántum estan incuestionablemente apoyados por rigurosa y repetida evidencia empiríca. Sin embargo, mientras que no se contradicen teóricamente (por lo menos con respecto a aspectos primarios), ambas se resisten a ser incorporadas dentro de un modelo coherente. 22
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El mismo Einstein es conocido por haber rechazado algunas de las demandas de la mecánica cuántica. A pesar de ser claramente inventivo en su campo, Einstein no aceptó los corolarios más exóticos de la mecánica cuántica tales como la aserción de que una sola partícula subatómica puede ocupar numerosos espacios al mismo tiempo. Einstein tampoco aceptó las consecuencias de entrelazamiento cuántico aún más exóticas de la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen, la cual demuestra que medir el estado de una partícula puede instantáneamente cambiar el estado de su socio enlazado, aunque las dos partículas pueden estar a una distancia arbitraria. Sin embargo, este efecto no viola la causalidad cuántica, puesto que no hay transferencia posible de información. De hecho, existen teorías cuánticas que incorporan a la relatividad especial -por ejemplo, la electrodinámica cuántica, la cual es actualmente la teoría física más comprobada- y éstas se encuentran en el mismo corazón de la física moderna de partículas. 2.2. Ideas de Louis Broglie Aceptamos las ideas de Louis de Broglie y a cada partícula le asociamos una onda con = h/p, nada hay más natural que aplicarlas también a los electrones dentro del átomo, digamos a una órbita circular. Nos hallamos entonces frente a un dilema, a menos que un número entero de longitudes de onda cubra toda la circunferencia. De otra forma, no podríamos asociar unívocamente un valor definido de la onda a cada punto. Ello implica que sólo un conjunto discreto de longitudes de onda, y de ahí sólo valores discretos del ímpetu, sean posibles. Nos acercamos así a las órbitas de Bohr, necesarias para explicar el espectro discreto del átomo de hidrógeno. Ideas como la expuesta en el párrafo anterior llevaron a Erwin Schrödinger, físico austriaco, a proponer la mecánica ondulatoria. Cuando se enteró —al leer un trabajo de Einstein— de las ideas de Louis de Broglie, se le ocurrió tomarlas en cuenta para enfocar el modelo atómico de Bohr desde otro ángulo. Al imaginar que las ondas fueran estacionarias, podríamos pensar que representan una carga sin aceleración que, por lo tanto, no radia. Todo ello condujo a Schrödinger a su ecuación, que sería la ecuación básica de la mecánica cuántica norelativista.
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Fig. 4. Ideas de Louis Broglie.
Antes de Schrödinger y de De Broglie nos enfrentábamos a la dualidad partícula-onda de la luz; después de ellos, esta dualidad era omnipresente en el mundo microscópico. Para entender algunos experimentos —como el fotoeléctrico o el de Compton en el caso de la luz—, debíamos pensar en partículas; otras veces —como en aquellas situaciones donde hay interferencia—, hablaríamos de una onda. A veces pensamos en una partícula y su trayectoria, lo que implica suponer que la posición y el ímpetu lineal del sistema se pueden conocer con tanta precisión como deseemos; otras veces hablamos de una onda, con su longitud de onda y su frecuencia bien definidas, y que puede difractarse o sufrir interferencia. Todo ello no ocurre cuando se observa el movimiento de los cuerpos grandes, como proyectiles, trenes o planetas. Algo debe haber en el mundo de las partículas pequeñas que se nos ha escapado. Otro maestro de los experimentos pensados encontró la pieza faltante. En 1927, un joven físico alemán, W. Heisenberg, que por aquel entonces tenía apenas 26 años, formuló el principio de incertidumbre, según el cual es imposible determinar al mismo tiempo la posición y el ímpetu de cualquier cuerpo. Su razonamiento sigue esta línea: Al hacer una partícula más y más pequeña, la hacemos más y más sensible a perturbaciones. Cuando observamos una partícula, debemos verla en alguna forma y para ello es necesario iluminarla con luz de frecuencia apropiada. Mientras más pequeña sea la partícula requerimos luz de longitud de onda menor y, por lo tanto, de mayor frecuencia. Lo anterior implica usar fotones cada vez más energéticos, que deben rebotar en la partícula para luego llegar a nuestro ojo, al microscopio o a cualquier otro detector que empleemos. Por tanto, la velocidad de la partícula sufre cambios cada vez mayores, pues la colisión con los fotones la altera más. A medida que deseemos determinar mejor la posición, la velocidad de la partícula será más imprecisa. De hecho, según el principio de Heisenberg, el producto de los errores con que podemos medir posición e ímpetu de una partícula tiene un mínimo, que es inherente a la naturaleza. Este valor mínimo está dado por la constante de Planck h.
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El principio de Heisenberg destruye el concepto de partícula (y, desde luego, el de órbita) y por lo tanto resuelve la paradoja partícula-onda. Antes de Heisenberg teníamos una situación que recuerda a aquella que existía antes de Einstein y su teoría de la relatividad. Nunca pensaron los físicos de finales del siglo XIX en cuestionar lo absoluto del tiempo, ni imaginaron que la simultaneidad de dos eventos fuera relativa al observador. En la misma forma que Einstein sujetó a una dura crítica los conceptos sobre el tiempo que se creían válidos, Heisenberg destazó las ideas en boga sobre partículas y ondas. Su principio destruyó las ideas clásicas de partículas y de onda, como antes lo había hecho la teoría de la relatividad de Einstein con el tiempo absoluto. Los conceptos de ondas y partículas son habituales en nuestro mundo cotidiano —porque en él vemos cuerpos grandes y lentos— pero en el mundo microscópico se reducen a una mera forma de hablar y ya no son aplicables a los procesos atómicos o nucleares. Incluso antes de formular su fundamental principio, Heisenberg había encontrado un camino para entender el modelo de Bohr, camino que a primera vista es diferente al marcado por Schrödinger. Al usar únicamente cantidades observables, Heisenberg fundó la mecánica de matrices; no nos detendremos en ella pues pronto se demostró que sus conclusiones eran idénticas a las que pueden obtenerse de la ecuación de Schrödinger. La mecánica de matrices de Heisenberg y la mecánica ondulatoria de Schrödinger son, pues, dos maneras equivalentes de formular lo que hoy llamamos la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica no caben ya las trayectorias que siguen las partículas clásicas. Se les ha cambiado por las soluciones de la ecuación de Schrödinger, que por comodidad seguiremos llamando ondas. ¿Cómo es que estas ondas de Schrödinger reemplazan al viejo concepto de órbita? La respuesta a esta crucial pregunta la dio Max Born, poco después de la invención de la mecánica cuántica. Según Born, el cuadrado del valor absoluto de la solución de la ecuación de Schrödinger da la probabilidad de encontrar a la partícula. En aquellas regiones del espacio en que sea nula, es imposible hallar a la partícula; donde la amplitud de no es cero, sabemos que es probable encontrarla, aunque no con certeza absoluta. El principio de incertidumbre, que está incluido en la ecuación de Schrödinger, ha destruido el determinismo clásico. En otros términos, la mecánica cuántica es una teoría probabilística, donde la forma de en el espacio tiene consecuencias importantes.
2.3. Colapso Atómico
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En 1864 James Clerk Maxwell publica sus famosas ecuaciones que constituyen la teoría clásica del electromagnetismo y son válidas también en nuestros días. Estas ecuaciones estaban fuertemente respaldadas por la experimentación (en otro artículo relato su influencia sobre la teoría de relatividad de Einstein). Una de las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell consistía en que una partícula cargada que se moviera con aceleración debía emitir radiación electromagnética. ¿Que significa que una partícula se mueva con aceleración?. Aceleración es el cambio en la velocidad. La velocidad puede representarse como un vector, es decir, una flecha que posee una longitud (proporcional a la rapidez) y una dirección (hacia la que se mueve el objeto). Entonces el cambio en la velocidad puede producirse al variar la rapidez (lo que normalmente llamamos acelerar o frenar, ir más rápido o más lento respectivamente) que equivaldría a cambiar la longitud del vector o al variar la dirección del movimiento (cambiar la orientación del vector). Ahora bien, si un electrón gira alrededor del núcleo la rapidez puede no estar cambiando (tendría un movimiento circular uniforme) pero la dirección de la velocidad cambia constantemente. Es decir que un electrón debe estar necesariamente acelerado al recorrer su órbita. Este tipo de aceleración donde no existe cambio en la rapidez pero sí en la dirección se llama centrípeta. Entonces, según las ecuaciones de Maxwell, los electrones debían estar emitiendo radiación electromagnética constantemente. Esto creaba una seria objeción al modelo de Rutherford. Lo que ocurre es que la radiación emitida porta consigo parte de la energía del emisor, si un electrón está constantemente emitiendo entonces debe estar perdiendo energía constantemente también, pero si pierde energía su órbita no puede mantenerse y en lugar de describir un circulo debería caer en espiral hacia el núcleo. Dicho de otro modo, si esto fuese cierto todos los átomos del universo colapsarían rápidamente. Como esto no ocurre (por suerte) algo debía estar fallando en algún lado.
Fig. 5: James Clerk Maxwell
En 1900 el físico alemán Max Planck se encontraba investigando la emisión de radiación por sólidos. Alguna vez habrá notado que si pone un alambre en el fuego este se calienta y al retirarlo sigue emitiendo calor (radiación electromagnética infrarroja). Es más, el alambre puede volverse rojo y aún blanco si la temperatura es lo suficientemente alta. 26
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Esto es, el cuerpo al calentarse puede emitir luz (radiación electromagnética visible). ¿De donde sale esta radiación?. Podemos explicar este fenómeno recurriendo, nuevamente, a lo que sabemos sobre las ecuaciones de Maxwell. Cuando la materia se calienta todos los átomos, moléculas y demás partículas que la constituyen se mueven desordenadamente y más rápido cuanto más alta es la temperatura; según lo que vimos antes, el movimiento acelerado de las partículas cercanas a la superficie del objeto debe producir emisión electromagnética (claro, al retirar el objeto del fuego, como las partículas siguen emitiendo energía, se desaceleran y comienza a enfriarse). En realidad todos los cuerpos, no importando su temperatura, emiten esta radiación, lo que ocurre es que deben estar suficientemente calientes para emitir luz visible. El problema al que estaba abocado Planck consistía en que si se aplicaban las ecuaciones de Maxwell a la materia, tal como se la concebía en ese entonces, resultaba que un cuerpo debía emitir la misma cantidad de radiación en todas las frecuencias.
Fig. 6: Max Planck
Esto no podía ocurrir porque entonces la cantidad de energía emitida tendría que ser virtualmente infinita. Y, lo que podría ser peor, si un objeto caliente emitiera con la misma intensidad en todas las frecuencias entonces todos los objetos calientes se verían blancos, y esto no es lo que se observa en la vida real. Utilizando la teoría clásica los físicos Rayleigh y Jeans calcularon rigurosamente el espectro teórico de emisión térmica (espectro es un gráfico o formula que muestra la relación entre intensidad y frecuencia o longitud de onda de la radiación3) (figura 2). Pero, por desgracia, el espectro experimental que se obtenía al calentar diversos materiales no guardaba ninguna relación con este espectro teórico. Si bien en ambos casos las intensidades para longitudes de onda largas coincidían bastante bien, las mediciones experimentales mostraban que la radiación emitida alcanzaba un pico para una dada longitud disminuyendo luego en longitudes más cortas, mientras que la teoría decía que ésta debía continuar creciendo indefinidamente al hacerse mas corta la longitud de onda (esta diferencia recibió el pintoresco nombre de "catástrofe ultravioleta"). La solución que propuso Planck fue 27
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muy astuta. Primero encontró, por tanteo, la formula matemática que mejor reproducía el espectro experimental y luego dedujo las hipótesis que eran necesarias para obtener esa formula analíticamente. Encontró que la única hipótesis que necesitaba era que la energía en forma de radiación debía ser emitida o absorbida solo en pequeños paquetes que llamó quanta y no en forma continua como se pensaba hasta ese momento (como podrá suponer, de aquí proviene la palabra cuántica y a esto se le llamó cuantizar la energía).
Figura. 7: los espectros de Rayleigh y Jeans, Planck y experimental.
También encontró cual debía ser la relación entre la energía del paquete y la frecuencia de la radiación, esta era: E = h , donde E es la energía, es la frecuencia y h un numero muy pequeño llamado (como corresponde) constante de Planck (h = 6.622 x 10-34 joule.seg). A pesar de la espectacular coincidencia que obtuvo Planck entre su espectro teórico y el experimental (figura 2), era claro que había sido obtenido con un truco matemático basado en una hipótesis conveniente, no existía nada hasta ese momento en la teoría que permitiera pensar que estas conclusiones podían ser verdaderas. En palabras del mismo Planck: "Puedo describir el total procedimiento como un acto de desesperación, debido a que, por naturaleza soy un hombre pacífico y opuesto a aventuras dudosas. Sin embargo ya había luchado durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia sin arribar a ningún resultado exitoso. Yo era consciente de que este problema era de fundamental importancia para la física, y conocía la formula que describía la distribución de energía... por lo tanto una interpretación teórica debía ser hallada a cualquier precio, no importando cuan alto pudiera ser."
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2.4. Schrödinger y la moderna mecánica cuántica Los avances que produjeron las ideas de De Broglie fueron realmente enormes, pero existía un defecto obvio. En la mecánica de Newton, donde todas las variables cinemáticas pueden conocerse con precisión arbitraria, existen las llamadas ecuaciones de movimiento que nos permiten determinar la posición, velocidad, etc. de la partícula en cualquier instante de tiempo. Vimos que en mecánica cuántica no era posible determinar los valores de estas variables con tanta precisión, así que sería absurdo pretender ecuaciones deterministas de movimiento. Sin embargo era posible una aproximación probabilística dada por las ondas piloto. La pregunta que se impone es: ¿como encuentro la forma de las ondas piloto en un caso cualquiera?. De Broglie no lo dice. Tampoco aclara como se propagan. La ecuación para las ondas piloto fue propuesta por Schrödinger en 1925.
Fif. 8: Erwin Schrödinger
Schrödinger siguió, con algunas excepciones, las ideas de De Broglie. Cambió el término "ondas piloto" por el de función de onda para designar tanto a las ondas mismas como a la función matemática que las representa (la función, léase "psi"). Pero lo mas importante es que su teoría fue desarrollada para partículas que viajaran a velocidades no relativistas aún cuando la de Broglie era compatible con la relatividad. Bien, no voy a incluir la deducción de la ecuación de Schrödinger en este artículo, pero créanme, es muy interesante. Este descubrimiento fue un avance realmente inmenso para la ciencia, pues brindó un arma analítica muy poderosa para atacar el problema dinámico de las partículas a nivel cuántico en cualquier situación arbitraria. La llegada de la ecuación de Schrödinger dio comienzo a la moderna teoría cuántica. Hablemos un poco de esta función. La función de onda es, en general, una función Matemática que depende de las variables espaciales y el tiempo, es decir que = (x, y, z, t) y es, en muchos casos, una función compleja. La palabra compleja no significa complicada (aunque pueda serlo) sino que es una función cuyos resultados pueden ser números complejos. Esto podría considerarse un problema, ya que los números complejos no tienen 29
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sentido físico, sin embargo es algo bueno porque hace que no tenga sentido preguntarse: ¿qué cosa está oscilando?. La función de onda no implica una oscilación de nada físico, sino la propagación de probabilidad. Fue Max Born, en 1926, quien propuso esta asociación en la forma de un postulado. Lo que dice el postulado de Born es que, si bien no puedo saber con exactitud donde está la partícula antes de medir, conociendo su función de onda puedo asignar una probabilidad a cada punto del espacio dada por el cuadrado de la función de onda (este será un valor real, no complejo, las probabilidades deben ser números reales). Habrá zonas del espacio donde la probabilidad sea muy alta y otras donde sea totalmente despreciable. Por ejemplo, en el caso de un electrón en el átomo la mas alta probabilidad se encuentra en la zona que rodea a las orbitas de Bohr (era de esperarse), esto no significa que el electrón se encuentre orbitando alrededor del núcleo, no sabemos que está haciendo el electrón, la función de onda no responde esa pregunta. quizás usted esté pensando: ¡Maravilloso!, ¡tantos años y premios nobeles para obtener una teoría que no me dice absolutamente nada!, ¡no sabemos donde están las partículas, que velocidad poseen, que hacen!, ¡no sabemos nada!. Esto no es del todo cierto. Es verdad que la mecánica cuántica ha abandonado el concepto de trayectoria tan caro a la mecánica clásica. Las partículas ya no son localizables. Pero este cambio de filosofía no es una capitulación conformista (como es difícil de calcular mejor quedémonos con menos). El descubrimiento al que se llegó es: no existe trayectoria. No tiene sentido físico la frase: esta partícula se encuentra aquí en este momento y con esta velocidad. Una partícula puede encontrarse en diferentes estados cuánticos. Así como el electrón, en el átomo de Bohr, podía estar en diferentes órbitas caracterizadas por un numero natural n, cada estado cuántico estará caracterizado por un conjunto de números cuánticos que serán tantos como grados de libertad tenga la partícula (una partícula en el espacio, por ejemplo, tiene tres grados de libertad, uno por cada posible dirección de movimiento). Además, cada uno de estos estados cuánticos tendrá una función de onda característica. En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, serían necesarios tres números cuánticos: el numero cuántico principal (n) que asigna los niveles de energía, el numero cuántico azimutal (l) que asigna los posibles valores de impulso angular y el numero cuántico magnético (m) que determina los posibles valores de momento magnético de la partícula. Si, lo sé, una pregunta ha surgido en su mente. ¿Que diablos es el momento magnético? y ¿para que lo menciona? (bueno, esas son dos preguntas). No se preocupe, lo explicaré porque la respuesta tiene importancia. ¿Usted sabe como se genera la electricidad?. Es sencillo, se toma un imán y se lo hace dar vueltas alrededor de un cable, inmediatamente aparecerá una corriente eléctrica circulando por el cable. Esta es una de las tantas consecuencias de las ecuaciones de Maxwell: en presencia de campos magnéticos variables se generan corrientes eléctricas. Pero también es cierta la situación contraria, una 30
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corriente eléctrica genera un campo magnético a su alrededor (principio del electroimán). La corriente es simplemente un conjunto de cargas en movimiento. Digamos, para hacer las cosas mas sencillas, que un electrón gira alrededor del núcleo. Este electrón posee carga eléctrica, y se está moviendo. Entonces existe una corriente eléctrica alrededor del núcleo, y esta corriente eléctrica generará un campo magnético. Así como el impulso lineal caracteriza a algo que está en orbita, el momento magnético es una cantidad que caracteriza el campo magnético generado y permite diferenciar las distintas orientaciones de la órbita. ¿Para que esta explicación?. Lo que pasa es que las cosas no estaban del todo bien... ¡Dios mío!, entonces... ¿falta?.... Temo que si, pero sólo un poco... 2.5. Números Cuánticos Los números cuánticos surgen del modelo mecano cuántico. Ellos se encargan de describir al electrón dentro del átomo. Estos números cuánticos permiten describir el ordenamiento electrónico de cualquier átomo y se llaman configuraciones electrónicas. Los números cuánticos desempeñan papeles importantes para describir los niveles de energía de los electrones y la forma de los orbitales que indica la distribución espacial del electrón. Los números cuánticos necesarios para determinar un electrón en un átomo son cuatro. Los electrones son distinguibles mientras están en el átomo, y a su modo de distribución corresponden dichos números. Los electrones libres no son discernibles, ya que ellos en si mismos son idénticos y solo pueden diferir en la posición que ocupan. Número cuántico principal: es el primer numero cuántico y se simboliza por n indica el nivel de energía dentro del átomo. Cada valor representa una distancia media orbital. Su valor se expresa como cualquier valor del conjunto de los números naturales, exceptuando el cero, la representación con letras tiene poca frecuencia de uso; a medida que aumenta el nivel aumenta la energía. Los niveles de energía pueden representarse mediante dos formas: Nivel
Letras
Cuántica
Primero
K
1
Segundo
L
2
Tercero
M
3
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Cuarto
N
4
Quinto
O
5
Sexto
P
6
Séptimo
Q
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Fig. 9: Niveles de energía.
Número cuántico secundario: es el segundo número cuántico y se simboliza por l. Es el llamado número cuántico orbital o acimutal, que esta relacionado con el momento angular del electrón en una orbita elíptica, y es un número entero de unidades h/2r. El número cuántico l puede tomar cualquier valor, desde 0 hasta n-1 inclusive. Informa los orbitales presentes en cada nivel energético. Los orbitales son la región de probabilidad de encontrar al electrón en dicho nivel energético. Los orbitales tienen representación grafica a través de coordenadas polares y funciones trigonométricas.
Los orbitales se van a conocer por letras, esto es: Valor l
Orbital tipo
0
S
1
P
2
D
3
F
4
G
5
H
6
J Fig. 10: Niveles Orbitales.
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Los orbitales tipo s aceptan un máximo de 2é, los de tipo p un máximo de 6é, los tipo d un máximo de 10é, etc. Ahora la totalidad de orbitales disponibles para albergar tal numero de electrones estará dado por la siguiente expresión: 2 * l + 1. Valor l
Nº de orbitales
0
1
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
6
13 Fig. 11: Niveles Orbitales.
Número cuántico magnético: es el tercer número cuántico y se simboliza por m. Indica la orientación espacial de un orbital, es decir la posible dirección del momento orbital. Esta relacionado con la circulación orbital de la carga eléctrica, que da lugar al magnetismo. Este magnetismo causa que los orbitales dentro de un determinado subnivel se separen en diversos niveles discretos de energía cuando se aplica un cambio magnético. Su valor es m = -l,...,0,...,+l. Numero cuántico de espin: es el cuarto y ultimo numero cuántico y se simboliza por s. Informa el sentido del giro del electrón en un orbital, es decir, la rotación del electrón sobre si mismo. Su valor es s = +1/2 y s = -1/2. el signo depende de que el espin (giro) tome una dirección paralela o antiparalela al campo magnético exterior. Espin o spin es el momento angular intrínseco de una partícula subatómica. En la física atómica y de partículas existen dos tipos de momentos angulares: el momento angular de espin y el momento angular orbital. El espin es una propiedad fundamental de todas las partículas elementales, y existe incluso aunque la partícula no se mueva; el momento angular orbital se debe al movimiento de la partícula. Por ejemplo, un electrón en un átomo tiene momento angular orbital, causado por el movimiento del electrón alrededor del núcleo, y
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momento angular del espin. El momento angular total de una partícula es una combinación de los momentos angulares orbital y de espin. Le existencia del espin fue sugerida en 1925 por los físicos estadounidenses de origen holandés Samuel Goudsmit y George Eugene Uhglenbeck. Los dos físicos se dieron cuenta de que la teoría cuántica de la época no podía explicar algunas propiedades de los espectros atómicos; añadiendo un numero cuántico adicional (el espin del electrón), Goudsmit y Uhlenbeck lograron dar una explicación mas compleja de los espectros atómica. Pronto, el concepto de espin se amplio a todas las partículas subatómicas, incluidos los protones, los neutrones y las antipartículas. Los grupos de partículas, por ejemplo un núcleo atómico, también posee espin, como resultado del espin de los protones y neutrones que lo componen.
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CAPITULO III EXPERIENCIAS RELEVANTES
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3.
Obstáculo Puntual.
Cuando un disco rígido de radio R, choca contra un obstáculo puntual la dirección de la velocidad de su centro cambia, tal como se muestra en la figura.
Fig. 12: Obstáculo Puntual.
Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad del centro del disco y el obstáculo puntual. Si el parámetro de impacto b, es mayor o igual que el radio del disco R, no se dispersa continuando con la dirección incidente original. Ahora bien, si el parámetro de impacto es menor que el radio del disco, suponiendo un choque elástico con un obstáculo fijo, el disco se refleja siguiendo una dirección que forma un ángulo suplementario a la suma del ángulo de incidencia i y reflejado r. Del mismo modo que en una reflexión especular, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, i=r. La normal en este caso es la recta que une el obstáculo puntual y el centro del disco. El ángulo de dispersión, como puede fácilmente deducirse de la figura, es
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3.1
Difracción de Micro partículas
La experiencia nos enseña que al lanzar una moneda no podemos predecir de antemano si saldrá cara o cruz, pero cuando lanzamos varias monedas a la vez o una repetidamente obtenemos, aproximadamente, la mitad cara y la mitad cruz. Decimos entonces, que la frecuencia con que aparece un resultado es aproximadamente 1/2, y constataremos que es tanto más próximo a 1/2 cuanto mayor sea el número de lanzamientos. Realizando la operación mental de paso al límite, (cuando el número de experiencias es infinito) diremos que la probabilidad de obtener un resultado (cara o cruz) es 1/2. En la vida ordinaria es corriente la identificación de los términos frecuencia y probabilidad, aún cuando el número de experiencias sea reducido, e incluso con una única experiencia. La conducta de una partícula en el dominio cuántico es esencialmente aleatoria. Sin embargo, es predecible el comportamiento medio de un número muy grande de partículas idénticas. El objetivo del programa interactivo, es el de comprobar que el concepto de trayectoria de una partícula en Mecánica Cuántica carece de sentido y se ha de sustituir por el concepto de probabilidad mayor o menor de encontrar una partícula en cierta región del espacio. Para ello, se hacen pasar un conjunto de micropartícula (fotón, electrón, etc.) idénticas a través de una rendija estrecha. Sobre una pantalla paralela a la rendija hay situados un conjunto de detectores. Un diagrama de barras nos va indicando los registros de cada contador a medida que las partículas van pasando por la rendija. Consideremos un frente de onda plano que llega a una rendija estrecha. Supongamos que la pantalla está lo suficientemente alejada en comparación con la anchura de la rendija. Se observa sobre la pantalla un conjunto de franjas claras y oscuras que corresponden a los máximos y mínimos de la difracción de la luz por la rendija. A esta situación se la denomina difracción Fraunhofer. Las posiciones de los mínimos están dadas por la ecuación B sen =n
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Donde es la longitud de onda, b la anchura de la rendija y n un número entero. El valor de n=0 corresponde al máximo central. La intensidad viene dada por la expresión
Dicha función tiene un máximo para u=0, y ceros o mínimos para u=n La difracción de una onda luminosa cuando pasa a través de una rendija corresponde a un efecto colectivo de un número muy grande de fotones que inciden sobre la rendija. Cuanto mayor es la intensidad en la posición del detector, mayor es el número de fotones que registra. Por tanto, la probabilidad de que un detector registre un fotón es proporcional a la intensidad de la onda luminosa en dicho lugar. Fig. 13: Difracción.
Cuando se difractan micro partículas, tal como se simula en el programa, se puede comprobar que: Las ondas de de Broglie no tiene nada que ver con las ondas clásicas ya que el paso de una micro partícula a través de la rendija no da lugar al diagrama de difracción de una onda clásica. No tiene sentido hablar de trayectoria de una micro partícula sino, de la mayor o menor probabilidad que tendrá la micro partícula de ser registrada por un determinado detector. Se obtiene la función que describe la intensidad de la difracción en la pantalla, cuando pasan a través de la rendija un número muy grande de micro partículas.
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Fig. 13: Intensidad de la Difracción.
Cuando una micro partícula atraviesa la rendija, su posición está indeterminada por la anchura de la rendija, x=b. La dirección de su velocidad (o su momento lineal) no está unívocamente determinado, sino que varía para la mayoría de los casos entre + y -. Por tanto, la incertidumbre en el momento lineal tal como se ve en la figura es p=p·sen El ángulo corresponde al primer mínimo de difracción. x·sen= Introduciendo la relación de De Broglie =h/p en esta última ecuación, obtenemos
Cuanto más angosta es la rendija, menor es la indeterminación x=b en la posición de la micropartícula, y mayor es la indeterminación en la dirección de la velocidad, es decir, mayor es el ángulo que forma el primer mínimo con la horizontal. La relación es la óptima entre las indeterminaciones x y p de la posición x y del momento lineal p de la micropartícula. En la mayoría de los casos, la posición y el momento lineal se conocen con menor precisión, de modo que podemos escribir
Este resultado, se denomina Principio de Incertidumbre de Heisenberg que se enuncia del siguiente modo: es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y el momento lineal de una partícula.
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3.2. Estructura Atómica La experiencia de Rutherford fue crucial en la determinación de la estructura atómica. Los párrafos que siguen son un extracto de su propia comunicación (1911): "Es un hecho bien conocido que las partículas alfa y beta sufren desviaciones de sus trayectorias rectilíneas a causa de las interacciones con los átomos de la materia. Parece indudable que estas partículas de movimiento veloz pasan en su recorrido a través de los átomos, y las desviaciones observadas son debidas al campo eléctrico dentro del sistema atómico. Las observaciones de Geiger y Mardsen sobre la dispersión de partículas alfa, indican que algunas de estas partículas deben de experimentar en un solo encuentro desviaciones superiores a un ángulo recto. Un cálculo simple demuestra que el átomo debe de ser asiento de un intenso campo eléctrico para que se produzca una gran desviación en una colisión simple..."
Fig. 14: Modelos Atómicos.
En aquella época Thomson había elaborado un modelo de átomo consistente en un cierto número N de corpúsculos cargados negativamente, acompañados de una cantidad igual de electricidad positiva distribuida uniformemente en toda una esfera. Rutherford pone a prueba este modelo y sugiere el actual modelo de átomo. "La teoría de Thomson está basada en la hipótesis de que la dispersión debida a un simple choque atómico es pequeña y que la estructura supuesta para el átomo no admite una desviación muy grande de una partícula alfa que incida sobre el mismo, a menos que se suponga que el diámetro de la esfera de electricidad positiva es pequeño en 40
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comparación con el diámetro de influencia del átomo. Puesto que las partículas alfa y beta atraviesan el átomo, un estudio riguroso de la naturaleza de la desviación debe proporcionar cierta luz sobre la constitución del átomo, capaz de producir los efectos observados. En efecto, la dispersión de partículas cargadas de alta velocidad por los átomos de la materia constituyen uno de los métodos más prometedores de ataque del problema.." En la simulación de la experiencia de Rutherford, consideramos una muestra de un determinado material a elegir entre varios y la situamos en el centro de un conjunto de detectores dispuestos a su alrededor. El blanco es bombardeado por partículas alfa de cierta energía producidas por un material radioactivo. Se observa que muy pocas partículas son desviadas un ángulo apreciable, y se producen muy raramente sucesos en los que la partícula alfa retrocede. Descripción Como hemos visto al estudiar el fenómeno de la dispersión, la interacción entre partículas cargadas positivamente corresponde a una fuerza central y conservativa. La energía total es siempre positiva por lo que la trayectoria es siempre una hipérbola. Se denomina parámetro de impacto a la distancia existente entre la dirección de la partícula incidente y el centro de fuerzas. Una vez que la partícula ha sido dispersada por el núcleo se aleja del centro de fuerzas siguiendo una trayectoria que tiende asintóticamente a una línea recta. El ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal se denomina ángulo de dispersión. La fórmula que relaciona el parámetro de impacto b con el ángulo de dispersión para una energía E dada de la partícula alfa, como hemos visto, es la siguiente.
Sección eficaz para la dispersión Consideremos un haz uniforme de partículas cargadas, todas con la misma masa y energía que inciden sobre un centro de fuerzas, por ejemplo, un núcleo de una muestra metálica El haz incidente está caracterizado por su intensidad I, que mide el número de partículas que atraviesan el área normal al haz en la unidad de tiempo. La dirección final de cada partícula del haz será diferente debido a la dispersión por el núcleo. 41
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Se denomina sección eficaz para la dispersión al número de partículas dispersadas en el ángulo sólido d por unidad de tiempo, dividido entre la intensidad incidente.
Fig. 15: Sección eficaz para la dispersión.
El área sombreada de la esfera tiene un área (2R·sen)(Rd), que corresponde al ángulo sólido d= 2sen d. El número de partículas que inciden sobre el centro dispersor con un parámetro de impacto entre b y b+db es el producto de la intensidad I por el área del anillo que se muestra a la izquierda de la figura I·(2bdb). Dichas partículas cambiarán su dirección debido a la dispersión, estando su ángulo de desviación comprendido entre y +d. Luego,
El signo menos significa que a un incremento del parámetro de impacto b, le corresponde a una disminución del ángulo de dispersión Simplificamos la intensidad I del haz incidente.
Teniendo en cuenta la relación entre parámetro de impacto b y ángulo de dispersión .
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Llagamos a la siguiente relación
Donde Z es el número atómico del blanco, z el número atómico del proyectil, e la carga del electrón, E la energía de la partícula incidente, y el ángulo de dispersión Esta es la famosa fórmula de Rutherford, la sección eficaz diferencial de dispersión, confirmada por las experiencias de Geiger y que dio lugar a un nuevo modelo de átomo, formado por un núcleo muy pequeño cargado positivamente y una región amplia en torno al núcleo en la que se distribuye la carga negativa. 3.3. Cuantización de Energía La experiencia que realizaron Franck y Hertz en 1914 es uno de los experimentos claves que ayudaron a establecer la teoría atómica moderna. Nos muestra que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos de energía, confirmando los postulados de Bohr. Mediante una simulación se tratará de explicar las características esenciales de este sencillo experimento, observando el movimiento de los electrones y sus choques con los átomos de mercurio, e investigando el comportamiento de la corriente Ic con la diferencia de potencial U que se establece entre el cátodo y la rejilla. Descripción En la figura, se muestra un esquema del tubo que contiene vapor de mercurio a baja presión con el que se realiza el experimento. El cátodo caliente emite electrones con una energía cinética casi nula. Ganan energía cinética debido a la diferencia de potencial existente entre el cátodo y la rejilla, véase el movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico
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Fig. 16: Movimiento Eléctrico.
Durante el viaje chocan con los átomos de vapor de mercurio y pueden perder energía.Los electrones que lleguen a la rejilla con una energía cinética de 1.5 eV o más, impactarán en el ánodo y darán lugar a una corriente Ic. Los electrones que lleguen a la rejilla con una energía menor que 1.5 eV no podrán alcanzar el ánodo y regresarán a la rejilla. Estos electrones no contribuirán a la corriente Ic. La corriente Ic presenta varios picos espaciados aproximadamente 4.9 eV. El primer valle, corresponde a los electrones que han perdido toda su energía cinética después de una colisión inelástica con un átomo de mercurio. El segundo valle, corresponde a electrones que han experimentado dos colisiones inelásticas consecutivas con átomos de mercurio, y así sucesivamente.
Fig. 17: Picos Espaciados.
Cuando un electrón experimenta una colisión inelástica con un átomo de mercurio lo deja en un estado excitado, volviendo al estado normal después de emitir un fotón de 2536 A de longitud de onda, que corresponde a una energía E=hf=hc/ de aproximadamente 4.9 eV. Esta radiación se puede observar durante el paso del haz de electrones a través del vapor de mercurio. En la simulación aproximaremos el valor de esta energía a 5 eV. 44
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La energía del fotón hf=E2-E1 es igual a la diferencia entre dos niveles de energía E2 y E1 del átomo de mercurio. Esta energía es la que pierde el electrón en su choque inelástico con el átomo de mercurio.
Fig. 18: Choque Inelástico.
En la simulación, empleamos un número limitado de átomos de Hg y de electrones, en el experimento real el número de átomos y electrones es muy grande, esto hace que para las diferencias de potencial (ddp) para las cuales la corriente presenta un mínimo se produzcan ciertas variaciones en el valor medido de la corriente para la misma ddp.
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 46
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CONCLUSIONES Al finalizar el presente trabajo, puedo afirmar que:
Que la mecánica Cuántica se la conoce también como mecánica ondulatoria y como física cuántica.
La Mecánica Cuántica rige el movimiento de Sistemas.
Einstein es conocido por haber rechazado algunas de las demandas de la mecánica cuántica.
La Mecánica cuántica es la parte de la física que estudia el movimiento de las partículas muy pequeñas.
La energía no se intercambia de forma continua, sino que en todo
intercambio energético hay una cantidad mínima involucrada. En la mecánica cuántica no caben ya las trayectorias que siguen las partículas clásicas.
Es curioso que la mecánica cuántica sea tan poco conocida, porque de todas las teorías físicas ésta es, probablemente, la que ha resultado más fructífera para ampliar nuestro conocimiento de la realidad.
La cuántica nos presenta una imagen del mundo totalmente inasible, muy diferente de los supuestos que manejamos en la vida diaria.
La teoría expuesta hasta aquí, es lo que actualmente se llama antigua teoría cuántica y, si bien como vimos, tuvo mucho éxito, se aproximaban cambios importantes en la forma de pensar.
A partir de 1930 la mecánica cuántica se aplicó con mucho éxito a problemas relacionados con núcleos atómicos, moléculas y materia en estado solido.
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RECOMENDACIONES Al terminar este trabajo considero necesario sugerir:
Que cada uno de nosotros tiene la capacidad de sorprender con
lo
aprendido
y
poder
realizar
sus
conocimientos
esforzándose en la vida diaria.
Los planteles educativos podrían incentivar a aprender mas del mundo de la Fisica organizando talleres, Foros, Conferencias etc.
El joven de hoy debería aprovechar el tiempo investigando, leyendo libros, siguiendo cursos que con el tiempo forjaran lideres de un éxito total,
Tener en cuenta que nuestro principal padre es Dios y que sin el no somos nada y tener mucho cuidado al momento de realizar experimentos en la mecánica cuántica.
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GLOSARIO
Mecánica.-Es la rama de la física que se ocupa del movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas.
Teoría cuántica.-Es la teoría física basada en la utilización del concepto de unidad cuántica para describir las propiedades dinámicas de las partículas subatómicas y las interacciones entre la materia y la radiación.
Átomo.-Es la unidad más pequeña posible de un elemento químico.
Ciencia.- término que en su sentido más amplio se emplea para referirse al conocimiento sistematizado en cualquier campo, pero que suele aplicarse sobre todo a la organización de la experiencia sensorial objetivamente verificable.
Física cuántica.-Es la rama de la física que estudia el comportamiento de las partículas teniendo en cuenta su dualidad onda-corpúsculo. Esta dualidad es el principio fundamental de la teoría cuántica; el físico alemán Max Planck fue quien estableció las bases de esta teoría física al postular que la materia sólo puede emitir o absorber energía en pequeñas unidades discretas llamadas cuantos.
Max Planck.- Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), físico alemán, premiado con el Nobel, considerado el creador de la teoría cuántica
Partículas Elementales.-En un principio, unidades de materia considerada fundamental; en la actualidad, las partículas subatómicas en general. La física de partículas —el estudio de las partículas elementales y sus interacciones— también se llama física de altas energías
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BIBLIOGRAFÍA Mega Física, Tomo I y Tomo II – Armando Villamizar Villamizar – Terranova Editores. Física General de Maiztegui y Sábato – Tomo II. Física General de Jorge Vidal Tomo II. Encarta 2007; Enciclopedia Interactiva. Física General de la Colección Shaum. Física General de Máximo – Alveranga. Gran Atlas Salvat del Universo, Volumen I, S.A., de Ediciones Pamplona, 1986. Alonso, Marcelo. Física Curso Elemental, Tomo I y II, Cultural Centroamericana, S.A., España, 1977, 1961. Bueche Fundamentos de Física 1, Tercera Edición. WILSON,
Jerry
D.
Física,
Segunda
HISPANOAMERICANA, S.A., 1996.
51
Edición,
FRENTICE
HALL
