Interpretaciones cortar de algunos fenómenos cuánticos. Durante mucho tiempo el hombre ha querido saber cuál es el comportamiento de la materia, que por definición es aquello que está en el espacio, se la ha imaginado como la aglomeración de pequeñas partículas, las cuales deberían comportarse como lo hacen las partículas macroscópicas visibles comúnmente, la forma de pensar de la misma manera a los ladrillos fundamentales de la materia como se hace con los macroscópicas ha cambiado. A escalas subatómicas ocurren fenómenos que no podrían ser descritos satisfactoriamente por la mecánica clásica. Entonces es necesario idear nuevos planteamientos y estructurar toda una teoría nueva alrededor de las partículas subatómicas. La mecánica cuántica nos habla de la partículas que conforman la materia y de la interacción de éstas con la energía y con la luz, que a su vez se pueden entender como partículas, eso dependerá del problema tratado, la conclusión que nos da la mecánica cuántica es que al igual que la luz se comporta como onda o como partícula, de la misma manera los electrones y otras partículas también tiene el comportamiento dual y lo que observamos en muchos experimentos es en realidad el colapso de estados superpuestos de cierta cantidad que queremos medir. En fin, la mecánica cuántica es una descripción sistemática, un tanto anti intuitiva, del comportamiento de la materia y la energía en una escala muy pequeña donde tanto la materia como la energía se pueden discretizar, término matemático; o cuantizar, término físico. Experimento gedanken ilustrativo. Consideremos primeramente un emisor de proyectiles individuales (ametralladora) que dispara hacia una doble rendija, donde el tamaño de las rendijas es equiparable al tamaño de los proyectiles, al otro lado de las rendijas, sobre una pantalla, las balas que logran atravesar, se acumulan alrededor de la región central formando una campana de probabilidad de gauss, esta región es la suma de las probabilidades de las dos rendijas por separado, campanas individuales, en otras palabras, la probabilidad de que la bala pase por una rendija cuando la otra está cerrada. Se debe introducir la existencia de un detector que se mueve a lo largo de todo el eje vertical a una velocidad constante, cuya función es la de recoger las balas mostrando en que puntos hubo mayor cantidad de golpes. La gran conclusión es que no se presenta interferencia entre los dos chorros de balas, eso es lo que intuitivamente se espera. Al final este experimento no es muy interesante pero sirve para contrastar con el comportamiento de la luz como una onda. En la siguiente grafica se esquematiza el comportamiento esperado de las balas disparadas:
Dado que nuestro experimento lo suponemos ideal (precisión superior a 5σ) y vamos a hablar de la probabilidad de un evento, esta probabilidad es definida como el cuadrado del valor absoluto de un número complejo llamado amplitud de probabilidad | | . Si un evento puede tener lugar de varias maneras, por ejemplo una bala llego a la pantalla por el agujero 1 o por el 2, la amplitud de probabilidad es la suma de las amplitudes de probabilidad de cada manera en la que pueda terminar el evento y se | | . Si se logra evidenciar en el experimento dice que hay interferencia cual fue la manera precisa en la que se llevó a cabo el evento, entonces se dice que la probabilidad del evento es la suma de las probabilidades de cada alternativa y por ende se pierde la interferencia . Experimento con ondas de luz, interferómetro de Young o interferómetro por división de frentes de onda: El método consiste en crear, a partir de un único frente de ondas, dos frentes de onda que luego se recombinan. El paradigma de este tipo de interferencias es la experiencia de Young (que jugó un papel histórico muy importante en la aceptación de la teoría ondulatoria de la luz), pasamos a considerar de forma simplificada. La fuente F es monocromática y puntual, con lo que emite ondas esféricas. Los frentes de onda emitidos por F llegan a las aberturas S1 y S2 practicadas en una pantalla opaca. Estas aberturas se convierten en emisores secundarios de ondas esféricas que, se superponen al propagarse. Nótese que las dos ondas que interfieren (las emitidas por S1 y S2) han sido obtenidas a partir de un único frente de ondas (emitido por F). De ahí el nombre de interferencias por división del frente de ondas. Definimos una cantidad medible que llamaremos irradiación I, que no es más que la potencia de la luz sobre un área, una expresión físico-matemática más elaborada y que da más información es la siguiente: 〈 ⃗〉
〈 ⃗⃗ ⃗⃗ 〉
| ⃗⃗|
es la velocidad de la luz en el medio de estudio, 〈⃗⃗〉 es el promedio del vector de Poynting, 〈⃗⃗ ⃗⃗⃗〉 es el promedio del producto vectorial entre los campos eléctrico y Donde
magnético respectivamente y es la permitividad eléctrica del medio de estudio. Cuando la onda se separa por el efecto de las rejillas se aprovecha el principio de Huygens para describir a cada rejilla como fuentes segundarias, entonces: ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ | Con eso y teniendo en cuenta la primera ecuación: 〈 ⃗⃗ ⃗⃗ 〉 De esta última expresión, es el tercer término del segundo miembro, del que nos ocuparemos. ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ || ⃗⃗ | El termino δ se define de la siguiente manera de acuerdo a la suma fasorial. ⃗⃗ ) ⃗ ( ⃗⃗ Entonces para tener un patrón de interferencia se deben tener en cuenta los tres términos del segundo miembro de la ecuación anterior. Para simplificar el problema se tiene en cuanta que los dos rayos de luz provienes de la misma fuente, entonces I1 = I2 y ω1 = ω2, además ϕ1 = ϕ2 debido a que se usa luz de un solo color altamente coherente. La expresión final para IT queda así: √ [ Usando la identidad trigonométrica: Finalmente: *
( )+ =
( )
]
( )
De la gráfica podemos ver lo siguiente: ( ⃗⃗
⃗⃗ ) ⃗
; ⃗⃗
̂
; ⃗⃗
̂
;
̂
̂
̂
̂
⃗⃗ es el vector número de onda del rayo de luz que sale de la rendija S i , con i=1,2. Además es el ángulo que forma el rayo 2 con la horizontal y α es el ángulo entre el rayo 1 y la horizontal; las componentes en la dirección x de los vectores número de onda son de igual magnitud y por tanto se anulan al sustraer. Suponiendo una distancia grande entre las rejillas y la pantalla de observación se puede hacer las siguientes aproximaciones: (
⃗⃗
⃗⃗
⁄ )
̂
;
(
; ⃗
̂
)
( ⃗⃗
̂ ; (
⁄
)
;
Luego: ⃗⃗ ) ⃗ (
Finalmente: )
En la pantalla se nota un máximo cuando δ = 2nπ y un mínimo cuando (δ = 2n+1) π; n = 0,1,2,3… Cada valor de n es un orden de interferencia, la distancia entre dos máximos consecutivos se denomina interfranja y vale: i= λD/d y es igual que la distancia entre dos mínimos consecutivos, con ello se crea el siguiente patrón de interferencia:
En la práctica experimental, muchas veces no se logra obtener un patrón de interferencia perfecto debido a efectos de difracción de las ondas de luz lo que atenúa la gráfica cos2(δ/2) a medida que nos alejamos del centro de la pantalla y que dependen de un factor dado por:
(
) donde es el ancho de la abertura,
por tal motivo se requiere una definición adicional para calificar un patrón de interferencia como aceptable, esta definición es llamada contraste V.
; Se considera un patrón aceptable para valores de V cercanos al 70%. Dualidad onda-partícula. La luz tiene una descripción de onda que concuerda perfectamente con los experimentos de la doble rendija, en el cual se ve que cada rendija actúa como una nueva fuente emisora de luz (principio de Huygens) y así se generan patrones de interferencia al incidir sobre una pantalla (experimento de Young). En algunos lugares, donde I1 tiene sus máximos, las ondas provenientes de una y otra rendija están en fase, y las ondas se suman para dar una gran amplitud. Por el contrario, hay algunos lugares, justo allí donde la amplitud de I1 es mínima, en los que las ondas van desfasadas con una diferencia justamente de π. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, como se demostró anteriormente. Si pensamos nuevamente en el experimento en el cual tenemos la ametralladora que arroja balas individuales que atraviesan una pared con dos ranuras para luego incrustarse en otra pared solida más atrás de la primera pantalla, nuestra intuición nos dijo que se forman acumulaciones justo enfrente de las ranuras y de esa manera tenemos una probabilidad gaussiana de encontrar un cumulo de balas que es igual a la suma de las probabilidades gaussianas de cada ranura. P12(x) = P1(x) + P2(x). No hay interferencia. Un experimento similar al de las balas, pero con electrones, muestra que éstos se comportan como ondas, generan patrones de interferencia, tanto si son disparados en cúmulos o de a un electrón cada cierto tiempo. Los electrones llegan como cúmulos de partículas y la probabilidad de llegada de los cúmulos es distribuida como una intensidad de una onda, lo que quiere decir patrones de interferencia. También se pueden disparan de uno en uno, esto para estudios de intensidad de llegada en la pantalla, cuando se disparan de uno en uno, el tiempo para ver el patrón es más extenso, pero a la final es el mismo patrón de interferencia. Se arrojan de a un electrón para evitar posibles interacciones de fuerza electrostática y choques entre los cúmulos que de alguna manera generen los efectos de interferencia no esperados. La descripción cualitativa del fenómeno dice: el electrón sale como partícula; se convierte en una onda de posibilidades (superposición de estados cuánticos); pasa por las dos ranuras a la vez y por ninguna (infinidad de trayectorias) y de esta manera interfiere consigo mismo. Si ponemos un detector a la entra de cada ranura para saber exactamente por cuál de ellas ha pasado el electrón, nos damos cuenta que pasa solo por una ranura y de esta manera no genera interferencia, el detector destruye la función de onda por el simple hecho de mirar. Esto nos lleva a pensar los fenómenos de los sistemas físicos con dos métodos, uno para cuando ves y otro para cuando no ves, cuando no ves, se llama superposición de posibilidades. Una conclusión romántica de este comportamiento del electrón es que, posiblemente, él es consciente que es observado, y para ser observado es necesario una fuente de luz (la cual afecta al
electrón, haciendo que cambie su momento). Sin embargo la luz también se puede entender como una partícula. En definitiva todo objeto se comporta como una onda, lo que pasa es que solo los objetos pequeños tienen frecuencias medibles, en los objetos macro las frecuencias son tan altas y las longitudes de onda tan cortas que se hace imperceptibles los efectos cuánticos para los instrumentos con los que contamos actualmente. El planteamiento de que todos los objetos se podrían estudiar también como ondas lo hizo el físico francés Luis de Broglie quien relaciono a una partícula con una onda, los fundamentos son los siguientes. Para la luz se tenía descripción onda partícula según ̅ ̅ ⃗⃗ ̅ las ecuaciones : ; ⃗ Por lo tanto si generalizamos para cualquier partícula con masa y momento lineal también se le puede asociar una longitud de onda y una frecuencia de la siguiente manera:
̅
El electrón tiene una longitud típica de 2.43*10-8 cm, que es medible con la tecnología actual usando estructuras cristalinas, rayos X (los rayos X tienen longitudes de onda equiparables a la longitud de onda calculada para los electrones) y cañones de electrones para obtener patrones de difracción que se confrontan para ver que concuerden con la teoría, pero por ejemplo para una persona común se podría estar hablando de longitudes de onda del orden de 10-31 cm cosa que no es posible medir actualmente porque se necesitarían redes cuyos anchos entre rejillas sea de ésos ordenes que están por debajo de lo subatómico. Según el experimento y lo que se quiera lograr hay que tener la siguiente definición para tomar decisiones. Complementariedad: los comportamientos ondulatorio y corpuscular de un objeto son mutuamente excluyentes, pero ambos son necesarios para una comprensión cabal de sus propiedades. Lo que sucedía en el caso de las balas es esto precisamente, las longitudes de onda de las balas son tan pequeñas que los diagramas de interferencia se atenuaron y suavizaron a tal punto que no hay detector práctico que mida esos máximos y mínimos.
La parte (a) de la gráfica nos muestra la distribución de interferencia teórica usando las herramientas de la mecánica cuántica. Sin embargo en un laboratorio las mediciones
reales, que abarcan varias oscilaciones de la curva de probabilidad, hacen que se suavice y aproxime la interferencia de la parte (a) a la conocida campana de gauss de probabilidad en la parte (b). Es importante agregar que como las partículas sufren interferencia al igual que las ondas porque se les relaciona una longitud de onda, también sufren efectos de difracción donde es “importante” tener en cuenta las atenuaciones dadas por la función sinc. Principio de indeterminación de Heisenberg. La explicación tradicional del principio de incertidumbre dice que las variables dinámicas como posición, momento angular, momento lineal, entre otras, se definen de manera operacional, esto quiere decir en términos relativos al procedimiento experimental por medio del cual son medidas: la posición se definirá con respecto a un sistema de referencia determinado, definiendo el instrumento de medida empleado y el modo en que tal instrumento se usa. Sin embargo, cuando se examinan los procedimientos experimentales por medio de los cuales podrían medirse tales variables en la física de partículas, resulta que la medida siempre acabará perturbando el propio sistema de medición, por el mismo hecho de realizar la medida, el experimentador modifica los datos de algún modo, introduciendo un error que es imposible de reducir a cero, por muy perfectos que sean nuestros instrumentos. Pensando en el experimento con los electrones que pasan por la ranuras, dichas ranuras están sustentadas por una plataforma que se mueve a lo largo de un eje vertical según es golpeada por los electrones, es de esa forma que podríamos medir el momento lineal de cada electrón. Esperaríamos que el electrón que pasa por el agujero 1 sea desviado hacia abajo por la plataforma y así alcanzar al detector, la componente vertical del momento del electrón en ese momento varía y la plataforma sufrirá un empujón hacia arriba. Si el electrón pasa por el agujero 2 el empujón en la plataforma será hacia abajo, entonces, el momento de la plataforma será diferente para un paso de un electrón por 1 o por 2, observando la plataforma sólo podremos decir que camino utiliza el electrón. Cuando medimos el momento después del paso del electrón, podremos calcular el cambio en el momento de la plataforma, pero no podremos medir la posición de la plataforma en ese mismo instante, significa que el centro de nuestro diagrama de interferencia tendrá una ubicación diferente para cada electrón, dicho cambio de ubicación es al azar y es suficiente para manchar el diagrama y así la interferencia desaparecerá. Heisenberg se dio cuenta de que mientras no hay límites para la precisión con la que el momento o la posición se pueden definir, hay un límite fundamental para la precisión con la cual es posible definir la posición y el momento en el mismo instante es decir, para la misma función de onda.
Como sabemos por el planteamiento de Luis de Broglie al electrón le corresponde una longitud de onda y por tanto una función de onda completa que es de la siguiente manera:
̅(
)
donde se cumplen las relaciones
; ; ̅ ̅ Cuando el electrón pasa por la rendija de ancho B en ese instante conozco su posición en la dirección x con una indeterminación que es Δx=B además conozco justo antes de cruzar la rendija, utilizando las relaciones trigonométricas: ; ̅
En la gráfica el eje horizontal corresponde a Y y el vertical a la X. Podemos ver también los efecto de atenuación donde es importante el factor de la función sinc dado que el ancho de la rendija, B, determina la difracción de los electrones. El principio de indeterminación establece un límite más allá del cuál los conceptos de la física clásica no se pueden emplear. La física clásica concibe sistemas físicos descritos por medio de variables perfectamente definidas en el tiempo y que en principio pueden conocerse con una precisión aceptable. La física clásica concibe tal precisión como alcanzable. En cambio, el principio de indeterminación, al afirmar que existe un límite fundamental a la precisión de la medida, en realidad está indicando
que si un sistema físico real se describe en términos de la física clásica, entonces se está haciendo una aproximación, y la relación de indeterminación nos indica la calidad de esa aproximación. Por motivos culturales y educativos, las personas se suelen enfrentar al principio de indeterminación por primera vez estando condicionadas por el determinismo de la física clásica. En la mecánica clásica, la posición x de una partícula en el espacio puede ser definida como una función continua en el tiempo, x = x(t). Si la masa de esa partícula es m y se mueve a velocidades suficientemente inferiores a la de la luz, entonces el momento lineal de la partícula se define como masa por velocidad, siendo la velocidad la primera derivada en el tiempo de la posición en el espacio: Dicho esto y atendiendo a la explicación habitual del principio de indeterminación, podría resultar tentador creer que la relación de indeterminación simplemente establece una limitación sobre nuestra capacidad de medida que nos impide conocer con precisión arbitraria la posición inicial x(0) y el momento lineal inicial . Ocurre que si pudiéramos conocer x(0) y , entonces la física clásica nos ofrecería la posición y la velocidad de la partícula en cualquier otro instante; la solución general de las ecuaciones de movimiento dependerá invariablemente de x(0) y . Resolver las ecuaciones del movimiento lleva a un conjunto de trayectorias dependientes de x(0) y ; según el valor que tomen x(0) y , se tendrá una trayectoria u otra, pero la propia resolución de las ecuaciones limita el número de trayectorias a un conjunto determinado de ellas. Según se ha razonado, de acuerdo con el principio de indeterminación x(0) y no se pueden conocer exactamente, así que tampoco podrán conocerse x(t) y en cualquier otro instante con una precisión arbitraria, y la trayectoria que seguirá la partícula no podrá conocerse de manera exacta. Este razonamiento es, sin embargo, incorrecto, pues en él subyace la idea de que, pese a que x(0) y no se pueden conocer exactamente, es posible continuar usando la descripción clásica en virtud de la cual una partícula seguirá una trayectoria definida por la solución general de las ecuaciones de movimiento, introduciendo la noción añadida de que las condiciones iniciales x(0) y no pueden conocerse al detalle: esto es, no podemos conocer exactamente qué trayectoria va a seguir la partícula, pero estaremos aceptando que, de hecho, va a seguir una. El principio de indeterminación conlleva un desvío completo de las concepciones clásicas, haciendo que la noción clásica de trayectoria deba ser desechada: preguntar cuáles son simultáneamente los valores de x(t) y es un absurdo. Así dicho, podría resultar paradójico que primero se establezca una relación de indeterminación en términos de posición x y momento lineal , para luego afirmar que x y , que aparecen en dicha relación, no tienen sentido. Ocurre que, en física cuántica, es posible introducir una serie de entidades matemática que se correspondan en muchos aspectos con la posición y el momento clásicos. Dichas entidades no son, exactamente iguales a la posición y el momento clásicos: el principio de indeterminación sencillamente indica que si interpretamos esas entidades como posición y momento lineal y por tanto interpretamos el movimiento de una forma clásica, entonces existe un límite fundamental en la precisión con que dichas variables pueden ser conocidas, si intentamos introducir variables clásicas e intentamos interpretar el movimiento de forma clásica, la precisión con que estas variables pueden ser especificadas está limitada.
Las partículas, en mecánica cuántica, no siguen trayectorias definidas. No es posible conocer exactamente el valor de todas las magnitudes físicas que describen el estado de movimiento de la partícula en ningún momento, sino sólo una distribución estadística. Por lo tanto no es posible asignar una trayectoria a una partícula. Si se puede decir que hay una determinada probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada región del espacio en un tiempo determinado. Comúnmente se considera que el carácter probabilístico de la mecánica cuántica invalida el determinismo científico. Sin embargo, existen varias interpretaciones de la mecánica cuántica y no todas llegan a esta conclusión. La mecánica cuántica es determinista en sí misma, y es posible que la aparente indeterminación se deba a que realmente no existen posiciones y velocidades de partículas, sino sólo ondas. Los físicos cuánticos intentarían entonces ajustar las ondas a nuestras ideas preconcebidas de posiciones y velocidades. Si se preparan varias copias idénticas de un sistema en un estado determinado, como puede ser un átomo, las medidas de la posición y de la cantidad de movimiento variarán de acuerdo con una cierta distribución de probabilidad característica del estado cuántico del sistema. Las medidas del objeto observable sufrirán desviación estándar Δx de la posición y el momento . Verifican entonces el principio de indeterminación que se expresa matemáticamente como:
̅
Donde la ̅ es la constante de Planck dividida por 2π. Esta última ecuación habla de la previsibilidad de una situación en un tiempo fijo para el cual se deben conocer los dos ̅
datos relacionados por , no tiene sentido decir que se conocía (pasado) el momento lineal de la partícula antes de pasar la rejilla y luego de que pasar la rejilla conozco su posición, dado que la información del momento lineal se habrá perdido. La cuestión es conocer las dos cantidades en simultáneo. En la física de sistemas clásicos esta indeterminación de la posición-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cuánticos del átomo porque ̅ es extremadamente pequeño. Una de las formas alternativas del principio de indeterminación más conocida es la indeterminación tiempo-energía que puede escribirse como:
̅
Esta forma es la que se utiliza en mecánica cuántica para explorar las consecuencias de la formación de partículas virtuales, utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interacción. Esta forma del principio de indeterminación es también la utilizada para estudiar el concepto de energía del vacío. Expresión general de la relación de indeterminación. Más generalmente si en un sistema cuántico existen dos magnitudes físicas a y b representadas por los operadores u observables denotados como ̂ ̂ , en general no será posible preparar una colección de sistemas todos ellos en el estado ψ, donde las desviaciones estándar de las medidas de a y b no satisfagan la condición: ̂
̂
| |[ ̂ ̂ ] ⟩|
La expresión anterior está apoyada por los postulados I y III de la mecánica cuántica. Para el caso más comúnmente estudiado, el de posición y momento: las variables X y ̅. [̂ ̂ ] Px son canónicas conjugadas, es decir que el conmutador [ ̂ ̂ ] La relación de conmutación entre los operadores de posición y de momento sobre una coordenada en un sistema cuántico: [̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ̂ El operador del momento lineal en mecánica cuántica sobre una coordenada ̅ cartesiana x es y la expresión de conmutación cuando se actúa sobre una función f(x) puede expresarse como: ̂ ̂ ̂ ̂
̂(
̅(
̅
) ̅
̂)
̂ ̂ ̅
̂
̅
̂ ̂
̅ Entonces: ̂ ̂ ̂ ̂ Esto quiere decir que el operador de posición ̂ y el de momento lineal sobre esa ̅ coordenada ̂ no conmutan, porque su conmutador [ ̂ ̂ ] no es nulo. Ejemplo rápido, partícula en un pozo. Sea una partícula que se encuentra confinada en un pozo infinito de anchura 2a. Dado que las únicas posiciones posibles de la partícula se encuentran dentro del pozo se ̅ ̅ ; puede estimar que: La energía cinética será por tanto: 〈 〉
〈
〉
̅
es la energía en el primer nivel de energía del átomo. Como se observa el resultado obtenido difiere en un factor algo superior a 2 del valor real, pero de nuevo el orden de magnitud es el correcto. Este cálculo da una idea de las energías que hay que aportar para confinar una cierta partícula en una región, tal como puede ser un nucleón (neutrón mas protón) en el núcleo. Interacción de la energía radiante con el átomo, expresión de Bohr. Primer postulado: los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo del átomo sin radiar energía. La causa de que el electrón no radie energía en su órbita es, de momento, un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga con un movimiento acelerado debe emitir energía en forma de radiación. Para conseguir el equilibrio en la órbita circular, las dos fuerzas que siente el electrón: la fuerza coulombiana, atractiva, por la presencia del núcleo y la fuerza centrífuga, repulsiva por tratarse de un sistema no inercial, deben ser iguales en magnitud en toda la órbita. Esto nos da la siguiente expresión:
Esta expresión
relaciona la fuerza coulombiana con la centrifuga; k es la constante de la fuerza de Coulomb, Z es el número atómico del átomo, e es la carga del electrón, me es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón en la órbita y r el radio de la órbita.
En la expresión anterior podemos despejar el radio, obteniendo: Y ahora con ésta ecuación y sabiendo que la energía total es la suma de las energías cinética y potencial: Donde queda expresada la energía de una órbita circular para el electrón en función del radio de dicha órbita. Segundo postulado: no todas las órbitas para electrón están permitidas, tan solo se puede encontrar en órbitas cuyo radio cumpla que el momento angular, L, del electrón sea un múltiplo entero de ̅ . Esta condición matemáticamente se escribe: ̅ Con n = 1,2,3… A partir de ésta condición y de la expresión para el radio obtenida antes, podemos eliminar v y queda la condición de cuantización para los radios permitidos:
̅
Con n = 1,2,3…; subíndice introducido en esta
expresión para resaltar que el radio ahora es una magnitud discreta, a diferencia de lo que decía el primer postulado. Ahora, dándole valores a n, número cuántico principal, obtenemos los radios de las órbitas permitidas. Al primero de ellos (con n=1), se le llama radio de Bohr: ̅
ó 0.528x10-10 metros.
Los átomos son imposibles de concebir desde el punto de vista clásico, ya que los electrones caerían en espiral sobre el núcleo. Del mismo modo podemos ahora sustituir los radios permitidos rn en la expresión para la energía de la órbita y obtener así la energía correspondiente a cada nivel permitido: ̅
Igual que antes, para el átomo de Hidrógeno (Z=1) y el primer nivel
permitido (n=1), obtenemos: Que es la llamada energía ̅ del estado fundamental del átomo de Hidrógeno. Es la energía mínima necesaria para arrancar un electrón y que quede libre para un átomo de hidrogeno, el electrón tiene menos energía cuando está ligado al núcleo que cuando está libre. Esto lleva a la afirmación que los electrones se desplazan en órbitas fijas, llamadas estacionarias, sin emitir energía. Cada cambio de órbita de un electrón corresponde a la absorción o emisión de un cuanto de radiación. Podemos expresar el resto de energías para cualquier Z y n como: Tercer postulado: el electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. Este fotón, según la ley de Planck tiene una energía: Donde ni identifica la órbita inicial y nf la final, y ν es la frecuencia. Entonces las frecuencias de los fotones emitidos o absorbidos en la transición serán: ̅
(
) Ésta última expresión fue muy bien recibida porque explicaba
teóricamente la fórmula fenomenológica hallada antes por Balmer para describir las líneas espectrales observadas desde finales del siglo XIX en la des excitación del Hidrógeno, que venían dadas por: ̅ ( ) Con n = 3,4,5… y donde RH es la constante de Rydberg para el hidrógeno. Y como vemos, la expresión teórica para el
caso nf = 2, es la expresión predicha por Balmer, el valor medido experimentalmente de la constante de Rydberg (1.097*107 m-1), coincide con el valor de la fórmula teórica. Se puede demostrar que este conjunto de hipótesis corresponde a la hipótesis de que los electrones estables orbitando un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias. Un modelo atómico es una representación que describe las partes que tiene un átomo y como están dispuestas para formar un todo. Basándose en la constante de Planck consiguió cuantizar las órbitas observando las líneas del espectro. Si un electrón está libre puede tener cualquier energía, pero cuando está ligado a un átomo, la energía que puede tener se organiza de acuerdo a los niveles en lo que pueda estar dentro del átomo y como la energía es específica y está relacionada con una frecuencia de oscilación es fácil obtener patrones distinguibles de emisión de diferentes átomos. Ecuación de Schrödinger. Esta ecuación describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista, más exactamente la amplitud probabilística de encontrar la partícula en varios lugares. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos. El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de estados correspondientes, fue inmediato por la evaluación de los niveles cuantificados de energía del electrón en el átomo del hidrógeno, pues ello permitía explicar el espectro de emisión del hidrógeno. Pero no da explicación para fenómenos como el spin del electrón y otros fenómenos relativistas, por eso la ecuación de Schrödinger sólo se usa para velocidades bajas. Formulación de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre. Las ecuaciones de ondas describen propagaciones de fenómenos físicos de tipo ondulatorio, las ondas electromagnéticas se propagan, en el vacío, según un ⃗⃗ ⃗⃗ movimiento que viene descrito por una ecuación de ondas del tipo: Una partícula libre que lleva asociada una onda de materia u onda de De-Broglie u onda guía en todo punto del espacio r y en cada instante t de tiempo; a dicha onda se le asocia a su vez una magnitud física que se denomina Función de Onda (f.o.) y se representa por ψ(r,t). Al no estar sometida a fuerzas externas, no poseerá aceleración de ningún tipo; la ausencia de aceleraciones impide que la velocidad de la partícula varíe, tanto en magnitud como en dirección. Puesto que la onda acompaña a la partícula, y sólo tendrá valores significativos en las inmediaciones de ésta, valores que se desplazarán siguiendo el movimiento de la partícula. De ello resulta que la onda guía puede llegar a constituir un frente de ondas aproximadamente plano y, así, ψ habrá de ser, en virtud de las propiedades matemáticas de las funciones que representan a este tipo de ondas, y también aproximadamente, periódica en el tiempo y en el espacio. Sin embargo, mediante pruebas tentativas se puede comprobar que ninguna de las funciones que pueden ser solución de las ecuaciones de onda usuales satisface las condiciones requeridas para la longitud de onda y la frecuencia, simultáneamente, las condiciones de Luis de Broglie para las ondas de materia:
; . Hay que introducir una novedad radical. Considerar un tipo de función que admita variables de tipo complejo. Se comprueba que una f.o. del tipo . La ecuación de ondas de la cual una función de este tipo puede ̅ ser solución será de la forma: ̅ esta es la ecuación de Schrödinger para el caso de una partícula libre. Para su obtención se ha considerado la existencia de una única onda asociada a una única partícula, y una onda de las más elementales, una onda plana. Es decir, dicha ecuación no es el modelo genérico del fenómeno ondulatorio asociado a la materia, sino el caso particular más sencillo de los posibles. Ahora bien, se puede suponer una onda un tanto más compleja, podría tratarse de un grupo o paquete de ondas, compuesto por una gran cantidad de ondas elementales planas. Esto es lo que se conoce como una superposición infinita y continúa de ondas, que se representa mediante una integral. Más en general, supongamos una partícula microscópica no relativista que puede estar en cualquier punto del espacio, sometida al potencial V(r,t) y que lleva una onda de materia asociada ψ=ψ(r,t). Aceptaremos como un POSTULADO GENERAL que esta última se propaga según la ecuación de Schrödinger ̅ ̅ ( )
Filosofía de los asuntos cuánticos. Indeterminación: en un experimento, observación que afecta al fenómeno, no es algo que dependa del instrumento o método de medida, es intrínseco a los sistemas naturales. En ciencia sabemos que lo que no se pueda medir no tiene cabida en una teoría, pero siempre es bueno saber qué cosa no se puede verificar sin necesidad de suprimirla, de alguna forma eso inverificable ayuda a predecir lo que ocurrirá en un experimento que nunca se haya realizado, por lo tanto hay una retroalimentación entre teoría y experimento. La mecánica cuántica libera a la mente de lo convencionalmente determinístico y nos enfoca en el mecanismo correcto de la naturaleza. “A pesar de su desconcertante formulación y de la extraña versión que proporciona de la realidad, la mecánica cuántica nunca ha fallado en una prueba experimental. Es extraordinariamente fiable aunque no transparentemente comprensible. Probablemente sea cierto que "nadie entiende la Mecánica Cuántica", aunque es igualmente cierto que de alguna maravillosa manera la Mecánica Cuántica entiende al Universo”. Eugene Hecht. “Si usted piensa que entiende la mecánica cuántica es que no la ha entendido”. Richard Feynman.
