SISTEMASTÉRMICOS Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas se analizan en términos de resistencia y capacitancia, aunque la capacitancia térmica y la resistencia térmica tal vez no se representen con precisión como elementos de parámetros concentrados, dado que, por lo general, están distribuidas en todas las sustancias. Para lograr análisis precisos, deben usarse modelos de parámetros distribuidos. Sin embargo, para simplificar el análisis, aquí supondremos que un sistema térmico se representa mediante un modelo de parámetros concentrados, que las sustancias que se caracterizan mediante una resistencia al flujo de calor tienen una capacitancia térmica insignificante y que las sustancias que se caracterizan por una capacitancia térmica tienen una resistencia insignificante al flujo de calor. El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes: por conducción, por convección y por radiación. Aquí sólo consideraremos la conducción y la convección. (La transferencia de calor por radiación sólo se aprecia si la temperatura del emisor es muy alta en comparación con la del receptor. La mayor parte de los procesos térmicos en los sistemas de control de procesos no involucran transferencia de calor por radiación.) Para la transferencia de calor por conducción o convección,
el coeficiente K se obtiene mediante
en donde : k = conductividad térmica, kcal/m seg C A = área normal para flujo de calor, m2 AX = espesor del conductor, m H = coeficiente de convección, kcal/mz seg C
Resistencia y capacitancia capacitancia térmicas. La resistencia térmica R para la transferencia
de calor entre dos sustancias se define del modo siguiente:
La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por convección se obtiene mediante
Dado que los coeficientes de conductividad y convección térmica son casi constantes, la resistencia térmica para la conducción o la convección es constante. La capacitancia térmica C se define mediante
Ó
C = mc en donde: m = masa de la sustancia considerada, kg c = calor específico de la sustancia, Kcal/kg C
Sistemas térmicos. Considere el sistema que aparece en la (a). Se supone que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el aire circundante. También se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el líquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De este modo, se usa una sola temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del lfquido que sale.
Definamos:
Definamos:
i = temperatura en estado estable del líquido que entra, C o = temperatura en estado estable del líquido que sale, C
G M c R
= velocidad de flujo del líquido en estado estable, kgheg = masa del líquido en el tanque, kg = calor especí fico del líquido, kcal/kg C
= resistencia térmica, C seg/kcal C = capacitancia térmica, kcal/C
̅
= entrada del flujo de calor en estado estable, kcal/seg
Suponga que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo de calor de entrada al sistema (el calor que proporciona el calefactor), cambia repentinamente de Ha H+ hi, en donde hi representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada.
El flujo de calor de salida cambiará, entonces, en forma gradual, de Ha H + h,. La temperatura del líquido que sale también cambiará de o a o + . Para este caso, ho, C y R se obtienen, respectivamente, como
C = Mc
La ecuación diferencial para este sistema es:
que puede reescribirse como:
Observe que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o MIG en segundos. La función de transferencia que relaciona con hi se obtiene mediante
En la práctica, la temperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como una perturbación de carga. (Si se pretende mantener una temperatura de salida constante, puede instalarse un controlador automático que ajuste el flujo de calor de entrada, con el propósito de compensar las fluctuaciones en la temperatura del líquido que entra.) Si la temperatura del líquido que entra cambia repentinamente de i a i + i, en tanto que el flujo de calor de entrada H y el flujo de líquido G se conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiará de H a H+ ho, y la temperatura del líquido que sale cambiará de , a + 0. La ecuación diferencial para este caso es:
Que puede reescribirse como
La función de transferencia que relaciona y i se obtiene mediante
Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del líquido se conserva constante, el cambio en la temperatura del líquido que sale se obtiene mediante la ecuación siguiente:
La figura (b) muestra un diagrama de bloques que corresponde a este caso. Observe que el sistema contiene dos salidas.
MODELADO MOTOR DC
DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL Diseño mediante ubicación de polos Se controla tanto la posición del carro como la desviación angular del péndulo. Las especificaciones de desempeño que se establecen para una entrada escalón de la fuerza de control son:
Tiempo de estabilización de las variables menor a 2 segundos. Relación de amortiguamiento en lazo cerrado de 0.5. Error de estado estable cero.
Para cumplir las especificaciones de desempeño, los polos de la función de transferencia de lazo cerrado, deben ser de -2 i3 y -20. Mediante el uso de Matlab se verifica que el problema de estado es completamente controlable; luego se aplica la fórmula de Ackermann para obtener la siguiente matriz de retroalimentación de estados la cual proporciona los polos deseados. En la Fig. 5 se muestra el esquema de retroalimentación de estados que se ha usado [3].
Fig. 5: Diagrama de bloques mostrando la retroalimentación de estados 2.-) MODELO Y DIAGRAMA DE MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA
El sistema que se desacribe en las formulas son las ecuaciones diferenciales que gobiernan un motor de corriente continua que arrastra una inercia (3.36) una vez aplicada la transformada de Laplace.
V = (R + Ls)I + E E = KΩ T = KI T = (Js + B)Ω
El diagrama de bloques que corresponde a estas ecuaciones y su simplificaci´on aparecen en la Fig.siguiente.
Diagrama del motor de corriente continua
Si se eliminan las variables intermedias del sistema de ecuaciones de Laplace se obtiene la funcion de transferencia equivalente. Aunque el sistema tiene forma de lazo cerrado con realimentacion no unitaria, hay que hacer notar que no es propiamente un sistema controlado. La velocidad Ω est´a impuesta por la tensi´on V y la magnitud de la inercia J. En este ejemplo se observa c´omo la funcion de transferencia equivalente posee las unidades que relacionan la magnitud de salida con la de entrada. En el caso de que el giro de la inercia se vea frenado por un muelle torsor de rigidez ecuaciones que hay que considerar son las siguientes:
K t,
las
Diagrama del motor de corriente continua con muelle torsor
Una posible representacion en diagrama de bloques se presenta en la Fig. superior, sin embargo no es una buena eleccion incluir bloques derivadores, es decir, aquellos cuya salida es proporcional a la derivada de la entrada. Este tipo de bloques tienen el inconveniente de que amplifican enormemente el ruido de alta frecuencia que reciban en la entrada. Tambien se comportan mal a la hora de evaluar num´ericamente las respuestas temporales del sistema, por ejemplo utilizando Simulink R. Para evitar el bloque derivador, se propone como alternativa el diagrama de la Fig. a). En ambos casos la funcion de transferencia equivalente de todo el sistema es la misma, Fig. b).
Diagramas equivalentes del motor de corriente continua con muelle torsor
MODELO MATEMATICO DEL SISTEMA PENDULO INVERTIDO
Definición del sistema a controlar
El Péndulo Invertido es un sistema conformado por un péndulo montado sobre un carro impulsado por un actuador. El objetivo a alcanzar es mantener el péndulo en posición vertical tanto como sea posible y tener control sobre la posición del carro. El sistema puede ser modelado como un sistema lineal considerando que las desviaciones angulares del péndulo son muy pequeñas. La bondad del diseño está dada por los movimientos que el carro necesita hacer para posicionarse sin que el péndulo se desvíe desde su posición vertical más de un cierto ángulo, lo cual debe darse en un tiempo razonable. El sistema de control tendrá dos salidas: inclinación del péndulo y posición del carro. Dichas salidas serán procesadas por el sistema de control a diseñar el cual dará como respuesta la fuerza y el sentido a aplicar al movimiento del carro, por ende la aplicación de un modelo en el espacio de estados será el apropiado. No obstante para fines didácticos se ha hecho énfasis también en el control convencional.
Modelo Dinámico del Péndulo Invertido
Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas dinámicos y controlar los sistemas complejos, es necesario obtener modelos matemáticos para representarlos. A continuación se describe el sistema analizado, el cual consiste en una barra articulada en el punto P al carro, el cual es impulsado por una fuerza de control, como se ve en la Fig. 1. El movimiento se restringe al plano vertical.
Fig. 1: (a) Sistema del péndulo invertido, (b) Diagrama de cuerpo libre.
Las ecuaciones linealizadas para pequeñas oscilaciones alrededor de la posición vertical son las siguientes:
M m x b x m u
(1)
I m B mg mx 2
(2)
Tomando la Transformada de Laplace, se obtiene la función de transferencia entre la posición angular Θ (s) del péndulo y la fuerza de control U(s):
m
s U s
q
S
B M m b I m 2 2 Bb M mmg bmg S 3 S S q q q
(3) donde:
q
M m I m 2 m 2
Modelado del Péndulo Invertido en el Espacio de Estados.
Para obtener el modelo en el espacio de estados, primero se definen las variables de estado y las variables de salida, luego las ecuaciones diferenciales de la dinámica del sistema y las ecuaciones de salida. x1
x2
x3
X
x4
X
y1 x1 y y 2 X x3
(4) 0 1 x1 M mm B M m g x q q 2 0 0 x3 2 Bm m x g 4 q q
0 0 0 0
0 x1 m x2 q q 1 x3 0 2 2 b I m I m x 4 q q 0
mb
(5) y1 1 y 0 2
(6)
0
0
0
1
x1 0 0 x2 . . 0 x3 0 x4
Determinación de la estabilidad del sistema en lazo abierto usando Matlab
La estabilidad del sistema en lazo abierto se puede determinar hallando los polos a partir de la ecuación característica del sistema de la Ec. (3). Usando valores numéricos para los parámetros del sistema, los cuales serán obtenidos en la siguiente sección, se puede trazar el lugar geométrico de las raíces como se ve en la Fig. 2. El sistema claramente es inestable pues tiene un polo en el semiplano derecho. Esto muestra la necesidad de un compensador apropiado para poder controlar el sistema.
Fig. 2: Lugar geométrico de las raíces para el sistema en lazo abierto
DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL SISTEMA
Tomando en cuenta factores tales como disponibilidad, costo, seguridad, peso, tamaño, confiabilidad y precisión se seleccionó como actuador del prototipo un motor de corriente continua de imán permanente, el cual mueve al carro a través de una caja reductora y un sistema de poleas . Las constantes del motor se midieron experimentalmente [1], y se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1: Valores de los parámetros del sistema
DESCRIPCIÓN
PARÁMETRO
VALOR
M m l b B K 1
Masa del Carro
0,435 Kg.
Masa del Péndulo
0,270 Kg.
Longitud media del Péndulo
0,165 m.
Coeficiente de Fricción Viscosa del Carro
0,1 N.s/m
Coeficiente de Fricción Viscosa del Péndulo
0,05 N.m/rad/s
Constante del Par Motriz
0,27173 N.m/A
K 2 R a K q K x
Constante de la Fuerza Contra electromotriz
0,15584 V/rad/s
Resistencia de Armadura del Motor
3,69 W
Ganancia del Potenciómetro del Péndulo
1,637 V/rad
Ganancia del Potenciómetro del Carro
3,183 V/m
D n Jo
Diámetro de la Polea
0,075 m
Reducción de la caja Reductora
10
Inercia reducida al eje del Motor
2,77e-3 Kg.m
2
Conexión dinámica del péndulo con el motor
La transmisión de movimiento del motor al carro se realiza a través de un cable inelástico el cual está unido a una polea impulsora y una conducida según el esquema que se muestra en la Fig. 4.
Fig. 4: Conexión del motor con el péndulo
Considerando la dinámica del motor e incluyéndola en las ecuaciones linealizadas del movimiento (1) y (2), se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema.
I m b K K 2
x
1
q
B M m
2
2
2 Ra r
x m g Bm K 1 I m e 2
(7)
2
q
q
2 Ra rq
K K J b m m M m o 2 Ra r m K 2r 2r g x e J o
1
2
2
2
2
1
q
q
Donde:
q
q M m
2 Ra rq
2 2 I m m 2r
J o 2
(8)
FILTRO
VARIABLES DE ESTADO
( )
( ) ∫ ∫
DIAGRAMA DE BLOQUES
∫ ⁄ ⁄ ∫ e
+
+
+
-
⁄ ∫ +
+
+
-
∫() ∫( )
+ -
+
∫() +
FUNCION DE TRANSFERENCIA Ri
SL1 Vo
SL2
Vi
SL3 1/SC1
+
R
-
1/SC2 1/SC3
Ri
Vi
+ Vi
-
Vi
+ Vi
-
[ ] [ ] MATLAB %ejercicio de filtro Ri=1; L1=1; C1=1; L2=1; C2=1; L3=1; C3=1; R=1; a1 =0; a2 =0; a3 =0; a4 =-1/C1; a5=0; a6=1/C1; a7=-1/(Ri*C2); a8=0; a9=0;
a10=0; a11=0; a12=-1/C2; a13=-1/(Ri*C3); a14=0; a15=0; a16=0; a17=-1/C3; a18=0; a19=1/L1; a20=0; a21=0; a22=0; a23=0; a24=0; a25=1/L2; a26=-1/L2; a27=0; a28=0; a29=0; a30=0; a31=0; a32=0; a33=-1/L3; a34=0; a35=0; a36=0; a37=1/(R*C1); a38=-(1/(Ri*C2)+1/(R*C2)); a39=-(1/(Ri*C3)+1/(R*C3));
A =[a1,a2,a3,a4,a5,a6;a7,a8,a9,a10,a11,a12;a13,a14,a15,a16,a17,a18;a19,a 20,a21,a22,a23,a24;a25,a26,a27,a28,a29,a30;a31,a32,a33,a34,a35,a36]; B=[0;-a7;-a13;0;0;0]; C=[a37;a38;a39;0;a25;-a33]; D=[0];
