TRABAJO DE METODOS ESTOCASTICOS
LOTE DE PRODUCCION
ING. EDISON SUAREZ DOMINGUEZ
CARLOS HERAZO MARTINEZ LUIS NAVAS BRAVO SAID HERRERA BERROCAL MOISES RHENALS LOPEZ
FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONES
UNIVERSIDAD DE CORDOBA NOVIEMBRE 2014
LOTE DE PRODUCCIÓN Lote de Producción (conocido en inglés como Economic Production Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemático para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de producción1. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la producción y venta de productos finales ocurrirán de forma simultánea, lo que lo diferencia del modelo de cantidad económica de pedido. Su finalidad es encontrar el lote de producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de producción y los costos por mantenerlo en inventario se igualan 2. El modelo fue formulado inicialmente por E. W. Taft en 19183. Supuesto 14. La demanda es conocida, constante e independiente. En general se trabaja con unidades de tiempo anuales pero el modelo puede aplicarse a otras unidades de tiempo. 2. Los productos son producidos y vendidos simultáneamente 3. El lead time (tiempo de carga o tiempo de reabastecimiento) del proveedor es constante y determinista. 4. El nivel de inventario se reabastece progresivamente a lo largo de un período de tiempo. 1
Nahmias, Steven (2007), Análisis de la producción y las operaciones. Editorial McGraw-Hill.
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The EOQ and extensions
Erlenkotter, Donald (1990), Ford Whitman Harris and the Economic Order
Jay Heizer, Barry Render "O perations Management 10th edition" Pearson (2011)
5. La cantidad a pedir es constante. 6. Los costes totales son la suma de los costes de mantener el inventario y los costes de pedido (orden), y son constantes a lo largo del tiempo. 7. No existen descuentos por volumen de pedido.
Modelo
Evolución en el tiempo del nivel de inventario para el caso de producción y consumo simultáneos Normalmente una orden de pedido es seguida de una orden de producción del artículo pedido, esto es, aquello que es pedido será producido y vendido a medida que llegue a la empresa. Como vimos en los supuestos del modelo de lote económico de producción, a diferencia de lo que ocurre en el modelo de cantidad económica de pedido, el pedido irá llegando al inventario durante un período de tiempo (el inventario no se reabastece instantáneamente). La tasa de producción, tiene que ser mayor que la tasa de demanda, ya que si no fuese así no existiría inventario y estaríamos fuera de stock (con los correspondientes elevados costes de stockout). No sólo vamos a observar en este modelo que el inventario se reabastece progresivamente a lo largo de un período de tiempo, sino que, al igual que en cualquiera de los otros modelos de gestión de inventarios, va a existir un
leadtime. El leadtime se define como el tiempo (v.gr: nº de días) que transcurre entre la petición de un lote y la recepción de dicho lote. Las nuevos pedidos de inventario se realizarán cuando el mismo llegue al nivel "0", o bien, cuando se llegue al punto de pedido. El punto de pedido o cantidad en stock mínima se utiliza para disminuir el riesgo de stockout. Cuando el nivel de inventario llega al punto de pedido se procede a ejecutar la petición de un nuevo lote. Se calcula tal que: Punto de pedido = leadtime x D (ambos, leadtime y demanda, deben estar en las mismas unidades, normalmente días) Se define la tasa de producción, P, como el número de unidades producidas en un periodo de tiempo. Esta tasa de producción podrá ser anual, pero también nos la podremos encontrar en términos diarios, como suele ocurrir en este modelo. De la misma forma, la demanda D que nos viene en la mayoría de los casos de forma anual, podrá ser encontrada en este modelo con carácter diario. Por ejemplo, a la hora de analizar el nivel de inventario durante el lead time es interesante analizar la tasa diaria de producción con respecto a la demanda diaria. Cuando el inventario se agota, o se llega al punto de reabastecimiento se ejecuta la orden de pedido del lote Q . Se requiere un tiempo de producción Q/P. Durante este tiempo, el inventario se va acumulando a una tasa P-D, por lo que cuando se acabe la producción del lote de tamaño Q se alcanzará el nivel máximo de inventario I , que es:
Desde este punto, el nivel de inventario decrece, como consecuencia de una demanda uniforme y constante, cuando las existencias se agotan el ciclo se inicia de nuevo. Costo anual de emisión:
El inventario promedio:
Por lo que el costo anual de mantener inventarios es:
El costo total anual:
Podemos obtener de la misma forma que para el caso del modelo simple, el valor del lote óptimo que minimiza los costos:
Como era de esperar, para un aprovisionamiento instantáneo, P = ∞, obtenemos la fórmula de Cantidad Económica de Pedido.
LOTE ECONOMICO DE PRODUCCION CON FALTANTES 5
La demanda se efectúa a tasa constante.
El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). Todos los coeficientes de costos son constantes. La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. 5
http://modelosmatematicos01.blogspot.com/p/lote-economico-de-produccion-sin.html
En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo
Q = Cantidad optima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 t4= Tiempo de manufacturación t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas. El costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación:
Por definición tenemos
Otra manera de representar el costo de producción para un periodo tenemos.
Multiplicando la ecuación anterior por el numero de periodos de producción tenemos el costo total para el periodo de planeación:
Para determinar la cantidad optima Q se obtienen las derivadas parciales con respecto a Q y a S.
Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:
LOTE ECONOMICO DE PRODUCCION SIN FALTANTES Las suposiciones de este modelo son las siguientes. La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). Todos los coeficientes de costos son constantes. La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).
Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de compra sin déficit. En el siguiente esquema se representa este modelo.
Q = Cantidad optima a producir R = Tasa de manufacturación Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario El costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por El tiempo entre tandas de producción estará definido por Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo por periodo es el tiempo de manufacturación t 1 multiplicado por la tasa de acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación R menos la tasa de demanda D, obteniendo como resultado: Im= t1(R - D) El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q unidades: Por consiguiente el inventario máximo estará definido por: Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:
Para determinar el costo total por el periodo de planeación se procederá a multiplicar el costo por periodo por el numero de tandas de producción. Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuación y se iguala con cero. En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación: Esta cantidad optima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción
Ventajas e inconvenientes 6
A diferencia del modelo de cantidad económica de pedido, este modelo es menos estático que el anterior, adaptándose más a la realidad. Al considerar que el reabastecimiento de inventario no se produce instantáneamente y que el inventario se construye progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra recoger situaciones del mundo real. Así mismo, la consideración de tasas de producción y demandas diarias permite ajustar más eficazmente el modelo a la realidad, obteniendo cantidades por pedido óptimas que lograrán minimizar costes totales teniendo en cuenta costes de mantenimiento de inventario más realistas. Por otro lado, el modelo, aunque más dinámico que el de cantidad económica de pedido, sigue presentando diversas limitaciones derivadas de sus supuestos. Así, la demanda será nuevamente constante, fenómeno que no ocurrirá en el mundo real donde encontraremos demandas variables que podrán presentar estacionalidad o irregularidad derivada de pocos y periódicos compradores de grandes volúmenes, etc. Suponiendo que la
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Jay Heizer, Barry Render "O perations Management 10th edition" p.497-540, Pearson (2011)
demanda permanecerá constante a lo largo del año y tomando decisiones sobre la cantidad por pedido basándonos en ello estamos expuestos al riesgo de cambios en la demanda que anulen la validez de nuestras predicciones. No sólo a nivel anual, la demanda también podrá estar expuesta a variaciones durante el leadtime que podrán conducir a stockouts, lo que supondrá el fracaso de nuestra política de gestión de inventarios. En este último caso, tendremos que recurrir al uso de modelos probabilísticos para la estimación de niveles de demanda, costes de stockout, etc. Por último, poniendo en comparación el modelo de lote económico de producción con el modelo de cantidad económica de pedido, observamos que el primero presenta una reducción en costes totales de mantener inventario respecto al segundo. Así, el hecho de que en el modelo que hemos analizado en este artículo el nivel medio anual de inventario sea menor que en el modelo de cantidad económica de pedido debido a la producción y simultánea venta, hace que los costes totales de mantener inventario sean menores.
Ejemplos 1. 7Bates de córdoba suministra bates de béisbol a equipos de ligas mayores y menores. Después de un pedido inicial es enero, la demanda durante la temporada de beisbol de seis meses es aproximadamente constante con 1000 bates mensuales. Suponiendo que el proceso de producción puede manejar hasta 4000 bates por mes, los costos de montaje de la producción son $150 por montaje, el costo de producción es $10 por unidad y que los costos de mantener tienen una tasa mensual de 2%. ¿Qué tamaño del lote de producción recomendaría para cumplir con la demanda durante la temporada de béisbol? Si All-Star opera 20 días por mes, con cuanta frecuencia operará el proceso de producción y cuál es la duración de una corrida de producción? 7
http://inoperaciones7.blogspot.com/2011/02/modelo-lep-lote-economico-de-produccion.html
SOLUCIÓN Lote económico de producción:
2. Suponga que está revisando la decisión de tamaño del lote de producción asociada con una operación de producción donde P= 8000 unidades anuales, D= 2000 unidades anuales, Cop=$3000 y Cmi=$1.60 por unidad anuales. También suponga que la práctica actual exige corridas de producción de 500 unidades cada tres meses. ¿Recomendaría cambiar el tamaño del lote de producción actual? ¿Por qué? ¿Cuánto podría ahorrarse en el total de los costos de mantener y producir si se implementa su recomendación de tamaño del lote de producción?
3. Unilibros de Colombia produce libros para el mercado al menudeo. Se espera que la demanda para un libro actual ocurra a una tasa anual constante de 7200 ejemplares. El costo de un ejemplar es $14.50. el costo de mantener se basa en una anual de 18% y los costos de montaje de la producción son $150 por montaje. El equipo con el que se produce el libro tiene un volumen de producción anual de 25000 ejemplares. Wilson tiene 250 días hábiles anuales y el tiempo de entrega de una corrida de producción es 15 días. Utilice el modelo de tamaño del lote de producción para calcular los siguientes valores: a.
Tamaño del lote de producción de costo mínimo
b.
Cantidad de corridas de producción anuales.
4. Del ejercicio anterior, calcule además: a.
Inventario máximo
b.
Costos totales de producción y mantenimiento anuales
5. Un fabricante de varias marcas de pasta dental emplea el modelo de tamaño del lote de producción para determinar las cantidades de producción para sus diversos productos. La pasta conocida como extra White se está produciendo en la actualidad en tamaños del lote de producción de 5000 unidades. La duración de la corrida de producción para esta cantidad es de 10 días. Debido a una escasez reciente de una materia prima en particular, el proveedor del material anuncio que le incrementaría el costo de la misma al fabricante de extra White. Las estimaciones actuales son que el nuevo costo de la materia prima aumentará es costo de manufactura de los productos de pasta dental en 23% por unidad. ¿Cuál será el efecto de este aumento de precio en los tamaños del lote de producción para extra White?
Ejercicios 4. Holasa es una empresa ubicada en el valle de Aburra y tiene que abastecer a sus clientes con 30 bolsas de cemento diarios siendo esta una demanda conocida. Si la ferretería falla en la entrega del producto pierde definitivamente el negocio, para que esto no suceda se asume que no existirá escasez. El costo de almacenamiento por unidad de tiempo es de $0.35 unidad al mes y el costo por hacer el pedido es de $55. a) Cuál es la cantidad optima a pedir b) El periodo de agotamiento (asumir 1 mes = 30 días, 1 año = 360 días) Solución D=30 bolsas/día = 900 bolsas/mes Cmi=0.35 unidad/mes Cop=$55
√ b) a)
5. Dispapeles del cauca, ubicada cerca de Santander de Quilichao, compra papel satinado en rollos de 1500 libras para imprimir libros de texto. La demanda anual es de 1920 rollos. El costo por rollos es de $ 1000 y el costo anual de manejo de inventarios es de 15% del costo. Cada pedido le cuesta $ 250. a) ¿Cuántos rollos sería conveniente que pidiera de una sola vez FULL COURT PRESS? b) ¿Cuál sería el tiempo entre pedidos? Solución D=1920 rollos Cu=$1000 Cmi= 15%Cu Cp=$250
√ b) a)
