La Función Swebrec© para Predicción de los Finos Producto de Tronaduras C. González, N. Morocho, L. Serrano
RESUMEN: La función Kuz-Ram ha sido tradicionalmente utilizada para predecir la fragmentación de roca producto de tronaduras. Este modelo de fragmentación ha servido y ha dado un aporte valioso al proceso mine-to-mill, sin embargo su limitación principal ha sido la de predecir los finos que aparecen en la tronadura y pueden tener significado importante dentro del proceso de trituración posterior. La función Swebrec© se encarga de realizar la predicción de los finos de tronadura con un alto grado de precisión y detalle, convirtiéndola en una función que permite agregar valor a la cadena mine-to-mill. PALABRAS CLAVES: tronadura, fragmentación, Rosin-Ramler, Kuznetsov, Kuz-Ram, Swebrec, KCO.
1. INTRODUCCIÓN Históricamente la producción de mineral se ha trabajado en dos etapas distintas, los procesos para extraer el mineral del suelo y los procesos destinados a convertir dicho mineral en un producto comerciable. Esto constituye uno de los mayores errores en la minería, ya que al tomar en cuenta ambos procesos por separado, las entidades aparentan operar de manera eficiente, pero al considerar la operación como un todo, usualmente se encuentran funcionando muy por debajo de la máxima eficiencia. Por ejemplo, una voladura que genere una mayor fragmentación de la roca traerá consigo aumentos de rendimiento en las etapas de carga y transporte, disminución de mantenimiento de todos los equipos en general, menor necesidad de fragmentación secundaria, aumentos de producción y disminución de consumos de energía en planta. La etapa de tronadura, dentro del proceso minero, corresponde al primer proceso de conminución, es decir, reducción de tamaño del material confinado en el macizo rocoso. Corresponde a la etapa más eficiente del proceso de conminución, tanto del punto de vista técnico y económico, dado que el explosivo provee la energía más económica para fragmentar roca. El principal objetivo de esta etapa del proceso productivo es fragmentar la roca de tal manera que quede en un tamaño adecuado para ser cargada y transportada hacia los botaderos o chancado primario, en donde continua el proceso de conminución. Por lo tanto, las decisiones tomadas durante esta etapa impactan de manera directa a la economía del resto del proceso minero, por lo cual es de vital importancia implementar ciertas medidas que permitan obtener un producto de calidad para las siguientes etapas del proceso productivo.
Los principales avances en la tronadura son la habilidad de predecir los resultados y el desarrollo de curvas matemáticas para describir la granulometría del material tronado. Estas curvas o modelos matemáticos, nos permiten cuantificar, al menos desde el punto de vista de la fragmentación deseada, los beneficios económicos en tronar con mayor la potencia y precisión respecto a los potenciales beneficios de la reducción en el consumo de energía eléctrica por tonelada de mineral producida y tonelaje tratado o procesado por día. Actualmente en la industria minera, el modelo de Kuz-Ram es la herramienta de predicción de tamaños de la tronadura con mayor uso. Este modelo, en su formulación, es el resultado de la combinación de los modelos de Kuznetsov, la ecuación de Rosin Rammler y los índices de tronabilidad y uniformidad de Cunningham. La función de Kuznetsov usa como variables de entrada distintos parámetros de diseño utilizados en tronadura, por otro lado la función Rosin-Rammler es utilizada en los procesos de conminución como una manera de determinar la distribución de tamaño obtenida y siendo una buena representación de la realidad para granulometría fina. La combinación de las ecuaciones de Kuznetsov y de Rosin-Rammler da como resultado el llamado modelo de la fragmentación del Kuz-Ram Sin embargo, en los últimos años, se ha desarrollado una nueva función de distribución de tamaño denominada función Swebrec. Esta función, posee la habilidad de predecir los resultados (con una magnitud del tamaño que va desde 0,5 mm hasta 500 mm) y describir con igual exactitud la granulometría de material de las tronaduras, el chancado y molienda. Esta función ha proporcionado excelentes ajustes para cientos de grupos de datos, llegando a coeficientes de correlación r2=0,995 o mejores. Cabe destacar que la implementación de esta función no excluye al modelo de Kuz-Ram, sino que se combina con él, proporcionando una serie de ventajas, llegando a solucionar falencias existentes en el modelo de Kuz-Ram. Combinando la función Swebrec con el modelo Kuz-Ram, los investigadores pueden disponer de una potente herramienta para estudiar la fragmentación rocosa. Esto se debe principalmente a que la función Swebrec aumenta la capacidad de predicción del modelo KuzRam, sobre todo dentro de los límites más precisos. La herramienta se puede aplicar en la predicción de cualquier desviación de la fragmentación causada por la curva característica de la rotura natural de la masa rocosa. Con avances en las áreas de modelamiento de la granulometría, viene también la oportunidad de optimizar y lograr beneficios grandes en productividad tanto en las operaciones mina, como en los procesos ‘aguas abajo’ en el tratamiento de los minerales a partir del chancador primario.
2. MODELO DE KUZ-RAM El modelo Kuz-Ram presentado en esta sección es el realizado por Cunningham (1983) y se ha usado extensivamente alrededor del mundo. Se basa en una relación simple entre los parámetros de tronadura y el tamaño medio de fragmentación. Este modelo ganó considerable credibilidad en el mundo después que se encontró que concordaba muy estrechamente con modelos de fragmentación basados en la teoría de crecimiento de grietas. 2.1.- Ecuación de Rosin Rammler La curva de Rosin Rammler ha sido generalmente reconocida, tanto en minería como en procesamiento de minerales por entregar una buena descripción de la distribución de los tamaños de rocas tronadas y trituradas. La curva de función acumulada bajo tamaño (material retenido en un tamiz de abertura X, y Xc) se define en la Ecuación 1 como: 𝐹𝑢(𝑥) = 1 − 𝑒
−(
𝑋 𝑛 ) 𝑋𝑐
(1)
En la ecuación: X = Abertura del tamiz [cm] Xc = Tamaño característico [cm] n = Índice de uniformidad (Cunningham, 1987)
La ecuación de Rosin-Rammler se puede hacer lineal para facilidad de la estimación de ajuste y de parámetros como en la Ecuación 2: 1
𝐿𝑛 (𝐿𝑛 (𝐹𝑢(𝑥))) = 𝑛 ∗ 𝐿𝑛(𝑋) − 𝑛 ∗ 𝐿𝑛(𝑋𝑐)
(2)
2.2.- Ecuación de Kuznetsov Esta ecuación proporciona una estimación del tamaño medio de la partícula de roca después de la tronadura: 𝑉
0.8
𝑋50 = 𝐴 ∗ (𝑄𝑜 ) 𝑒
En la Ecuación 3: X50 = Tamaño medio de los fragmentos [cm] A= Factor de la roca
1
115
∗ 𝑄𝑒 6 ∗ (𝑆
𝑎𝑛𝑓𝑜
0.633
)
(3)
Vo = Volumen de roca quebrada por pozo (Burden x Espaciamiento x Altura de Banco) [m3] Qe = Masa explosivo cargado en el pozo [Kg] Sanfo = Potencia relativa en peso al ANFO (ANFO = 100; TNT = 115)
2.3.- Ecuación de Kuz-Ram La ecuación de Rosin- Rammler se debe adaptar a la de Kuznetsov que entrega el tamaño medio, lo cual se expresa en la siguiente Ecuación 4:
𝑋𝑐 =
𝑋50 1 𝐿𝑛(2)𝑛
=
𝑋50
(4)
1
(0.693)𝑛
2.4.- Índice de Tronabilidad o Factor Roca Tal vez el parámetro más importante en el modelo Kuz-Ram es el factor de roca. Los últimos desarrollos en la aplicación del modelo usan una ligera modificación al Índice de Tronabilidad de Lilly (1986) para calcular el Factor de Roca (Cunningham. 1987). Este índice describe la competencia de la roca asociado al proceso de tronadura. Sus rangos típicos van de 8 a 12 para calidades de roca de baja, buena y mejor tipo de competencia. Es interesante notar que la tabla que Cunningham usó para calcular el factor de roca es muy similar al Índice de Tronabilidad usado por Lilly (1986) con la importante diferencia de que Cunningham le dio mayor importancia a la dureza de la roca. Cunningham (1987) indica que en su experiencia el límite más bajo para el Factor de Roca, incluso en tipos de roca muy débiles, es A = 8 y el límite superior es A = 12. La Ecuación 5 es:
𝐴 = 0.06 ∗ (𝑅𝑀𝐷 + 𝐽𝐹 + 𝑅𝐷𝐼 + 𝐻𝐹)
(5)
Los parámetros y valores correspondientes para el cálculo de A vienen dados en la Tabla 1. Tabla 1. Parámetros y rangos para cálculo de A Parámetro
Descripción
Rango
A
Factor de Roca
8-12
RMD
Descripción de la Masa Rocosa Pulverulento/Quebradizo
10
Diaclasado verticalmente
JF
Masiva
50
JF
JPS+JPA
JPS
Espaciamiento de fracturas verticales < 0.1 m
10
JPA
Desde 0.1 m a sobre tamaño
20
Sobre tamaño a tamaño de diseño de perforación asumido
50
Ángulo del plano de fractura
RDI
Buza hacia fuera de la cara
20
Rumbo perpendicular a la cara
30
Buza hacia dentro de la cara
50
Índice de densidad de la roca
25*D– 50
D
Densidad de la roca
HF
Factor de Dureza
[t/m3]
Para E<50 [GPa]
E/3
Para E>50 [GPa]
UCS/5
E
Módulo de Young [GPa]
UCS
Resistencia a la compresión uniaxial [Mpa]
2.5.- Índice de Uniformidad (Cunningham, 1987) La principal contribución de Cunningham al modelo Kuz-Ram fue el proponer un método para estimar “n” en la ecuación de Rosin-Rammler, basado en la geometría del hoyo relacionado con los parámetros geométricos de la tronadura. Para el uso de sólo un explosivo se aplica la Ecuación 6:
𝑛 = (2.2 −
14𝐵 )∗ 𝐷
(
1+ 2
𝑆 𝐵
0.5 𝑊
𝐿
∗ (1 − 𝐵 ) ∗ (𝐻)
)
(6)
En cambio, para el uso de dos explosivos se aplica la Ecuación 7:
𝑛 = (2.2 −
14𝐵 )∗ 𝐷
(
1+ 2
𝑆 𝐵
0.5
)
0.1 𝑊
𝐿
En las ecuaciones 6 y 7: B = burden (m) S = espaciamiento (m) D = diámetro del taladro (mm) W = desviación estándar de la precisión de perforación (m) L = longitud total de la carga (m) H = altura del banco (m) BCL = longitud de carga de fondo (m)
𝐵𝐶𝐿−𝐶𝐶𝐿 )) + 𝐿
∗ (1 − 𝐵 ) ∗ (𝐻) ∗ ((𝑎𝑏𝑠 (
0.1)
(7)
CCL = longitud de la carga de columna (m) ABS = valor absoluto
3. FUNCIÓN SWEBREC© La función fue desarrollada por el investigador Finn Ouchterlony en el Centro sueco de Investigación de Tronadura ubicado en la Universidad de Tecnología de Luleå, la cual se ubica en Estocolmo, Suecia. Su desarrollo es motivado por la intención de predecir con mayor precisión los tamaños finos generados en la fragmentación. Los resultados de distribución de tamaños de fragmentos son muy buenos, y en especial en las fracciones retenidas de tamaño finas de muestras tamizadas (magnitud del tamaño que va desde 0,5 mm hasta 500 mm), proporcionado excelentes ajustes para cientos de grupos de datos, llegando a coeficientes de correlación r2=0.997±0.001. Las Ecuaciones 7 y 8 que se muestran a continuación describen la función Swebrec.
𝑃(𝑥) =
1 𝑋 𝐿𝑛( 𝑚𝑎𝑥 ) 1+( 𝑋 𝑋 ) 𝐿𝑛( 𝑚𝑎𝑥 ) 𝑋50
𝑓(𝑋) = (
𝑋 𝐿𝑛( 𝑚𝑎𝑥 ) 𝑋
) 𝑋 𝐿𝑛( 𝑚𝑎𝑥 )
𝑏
; 𝑐𝑜𝑛 𝑋𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑋50 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑋 < 𝑋𝑚𝑎𝑥 (7)
; 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑋𝑚𝑎𝑥 ) = 0 𝑦 𝑓(𝑋50 ) = 1
(8)
𝑋50
El parámetro “b” es llamado por Ouchterlony como parámetro de ondulación de la curva, el cual reemplaza el índice de uniformidad “n”. La particularidad de utilizar el parámetro “b” posiblemente viene de la necesidad de utilizar un parámetro que considera directamente el tamaño x50 como un factor para describir cómo se tritura el material durante la tronadura, similar a la trituración en planta. El parámetro “n” asume básicamente que la geometría del banco es la que definirá un comportamiento relativamente uniforme de la trituración de la roca durante la tronadura, por lo que el resultado en la función Kuz-Ram produce una figura lineal. Al usar el parámetro “b” se está asumiendo correctamente que la distribución del tamaño de partículas no será lineal, algo que es más apegado a lo que se observa en la realidad, y que por lo tanto se puede esperar que el resultado sea una curva como la que se produce utilizando la función Swebrec.
4. MODELO KUZNETSOV-CUNNINGHAM-OUCHTERLONY (KCO) El modelo KCO es la función Kuz-Ram utilizando la función Swebrec reemplazando la original función de Rosin-Rammler. El modelo se basa en las siguientes ecuaciones: 𝑃(𝑥) =
1 𝑋 𝐿𝑛( 𝑚𝑎𝑥 ) 1+( 𝑋 𝑋 ) 𝐿𝑛( 𝑚𝑎𝑥 ) 𝑋50
𝑔(𝑛) ∗ 𝐴
1 ∗ 𝑄6
𝑋50 =
(9)
𝑏
19
115 30 ∗( ) 𝑆𝑎𝑛𝑓𝑜
(10)
𝑞 0.8 1
𝑔(𝑛) = 1
ó
𝑔(𝑛) =
𝑏 = 𝑛 ∗ 2 ∗ 𝐿𝑛(2) ∗ 𝐿𝑛 (
(𝐿𝑛(2))𝑛 1 𝑛
𝛤(1+ )
; 𝑐𝑜𝑛 𝛤 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎
𝑋𝑚𝑎𝑥 ) 𝑋50
(11)
(12)
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 𝑚í𝑛(𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛 − 𝑠𝑖𝑡𝑢 , 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝐵𝑢𝑟𝑑𝑒𝑛) 𝐴 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑢𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔ℎ𝑎𝑚 𝑛 = Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐶𝑢𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔ℎ𝑎𝑚 La función 𝑔(𝑛) ≠ 1 desplaza la distribución de tamaño de los fragmentos a valores menores de X50 o para predecir más finos. Este factor de desplazamiento g(n) puede ser incorporado también al modelo KCO, ya que la experiencia dicta que es una ventaja en la predicción de finos. En la sección 7 de Anexos se presentan los resultados de una simulación realizada con la función Swebrec para corroborar que la función da los resultados que se buscan. 5. CONCLUSIONES En la ecuación de Rosin-Rammler lineal, si el logaritmo natural doble del inverso de la proporción de material retenido en un tamiz de tamaño “X” se grafica contra el logaritmo natural del tamaño, la curva resultante debe ser lineal, con una pendiente igual al índice de uniformidad “n” y con una intersección igual a – 𝑛𝐿𝑛(𝑋𝑐).Gráficamente se puede ver que el aumento del valor del tamaño crítico “Xc”, hace a la distribución de tamaño más gruesa, pero la curva permanece esencialmente paralela, por lo tanto, variando los valores de Xc, simplemente se hace a la distribución de material más gruesa o más fina. En general, al aumentar la energía del explosivo (o factor de carga) y reducir el espaciamiento, se debe esperar mover la curva de distribución de tamaño para producir una pila más fina a través del
rango completo de tamaño. Por otro lado, al aumentar el índice de uniformidad “n”, se tiene el efecto de cambiar la pendiente de la curva. El disminuir la pendiente significa que el material se hace más grueso en el extremo superior y más fino en el inferior de la curva de distribución de tamaño. El cambiar “n” cambia por lo tanto el ancho de la distribución de tamaño, o la uniformidad en el tamaño de la partícula producido por la tronadura. Por lo tanto, al producir concentraciones focalizadas de energía del explosivo, más que una distribución uniforme de energía (o sea, cambiar de un hoyo de pequeño diámetro con una columna larga de explosivo a un hoyo de gran diámetro con una columna corta de explosivo) se puede esperar que baje el valor de “n” ya que la región de roca próxima a la columna corta de carga se quebrará más fina, mientras que el material adyacente a la columna larga del taco recibirá poco quebrantamiento. La ecuación de Kuznetsov establece que el tamaño medio de partícula de una tronadura depende de las propiedades de la roca y del explosivo. El término (V0/Q) representa el inverso del factor de carga equivalente. La ecuación, por lo tanto, indica que el tamaño medio de la partícula disminuye casi linealmente con el aumento del factor de carga. La ecuación también sugiere una débil dependencia del peso del explosivo por hoyo. Esto sugiere que la ecuación diferencia entre diámetros de hoyos grandes y pequeños. Diámetros de hoyos pequeños producirán una pila de material más fino en virtud de la distribución mejorada de energía. La ecuación de Kuznetsov proporciona una estimación del tamaño medio, o sea, el tamaño del tamiz por el cual pasa el 50% de la roca. Puesto que la ecuación de Rosin Rammler se puede definir completamente por un punto de la curva y la pendiente de la línea, todo lo que se necesita después de la determinación del tamaño medio, es una estimación de “n” en la ecuación de Rosin Rammler y se puede calcular una distribución completa de tamaño de la pila. La aplicación del modelo ha sido extensa, aplicado tanto a datos publicados como a experimentales, y en general, se ha concluido que predice muy bien los tamaños gruesos pero es menos exacto para las fracciones más finas (Cunningham subraya que la exactitud es más importante para la fracción gruesa (sobre tamaño) que para la fracción fina) La experiencia indica que la ecuación de Cunningham para calcular el Factor de Roca sobreestima considerablemente el término. Para preservar las tendencias para estimar el término, se recomienda que la ecuación se altere simplemente cambiando el valor de la constante 0.06 a 0.04. Este cambio reduce el valor estimado del factor de roca en un tercio, produciendo, a su vez, una mejor estimación de la fragmentación que parece describir mejor el funcionamiento de la tronadura en operaciones de tronaduras en banco.
La nueva función Swebrec reemplaza a la función de Rosin-Rammler en el modelo de KuzRam, transformándolo al modelo de KCO. La función Swebrec posee tres parámetros y da buenos ajustes para distintos grupos datos de fragmentación con correlaciones de 𝑟 2 = 0.995 o mejor, dentro de un rango de fragmentación de los 2 a 3 ordenes magnitud. Como la función Swebrec fue construida con tendencia a predecir finos, el uso del factor g(n) se hace más necesaria en el modelo en la ecuación de X50 La expresión para Xmax es tentativa y puede ser reemplazada si existe una mejor descripción de la tronadura en un macizo rocoso fracturado. A pesar de estas incertidumbres, el modelo KCO vence dos grandes desventajas del modelo Kuz-Ram, la pobre capacidad de predicción de tamaños en el rango de los finos y el límite superior infinito para tamaños de bloques. Viendo el siguiente gráfico, se aprecia que la función Swebrec predice de manera más precisa las fracciones finas de la distribución granulométrica.
Figura 1. Extensión del modelo Kuz – Ram con la función Swebrec
6. REFERENCIAS Ochterlony F. THE SWEBREC FUNCTION, BLAST FRAGMENTATION, THE KUZ-RAM AND CZM/TCM MODELS, THE NBC AND CRUSHER BREAKAGE, IT ALL TIES TOGETHER, publicación entregada en clases académicas de Tronadura de la Universidad de Chile: 1 -31
7. ANEXOS A continuación se presentan los resultados de la aplicación de la función Swebrec a un set de datos, con el fin de corroborar que la función arroja los resultados que se esperan. Tabla 2. Parámetros de entrada Sigla
Parámetro
Valor
Unidad
Q
Explosivo por Tiro
9.24 [kg]
q
Carga Específica
0.55 [kg/m3]
sANFO
Potencia en peso relativa del explosivo usado
62.2 [%]
B
Burden
1.8 [m]
S
Espaciamiento
2.2 [m]
d
Diámetro del Hoyo
Lb
Largo de la Carga
Lc
Largo de la Columna Explosiva
Llot
Largo de la Carga Total
H
Altura de Banco
SD
Desviación estándar de la exactitud de perforación
B_IS
Tamaño de Bloque In-situ g(n)
Factor de Ajuste
0.051 [m] 3.9 [m] 0 [m] 3.9 [m] 5.2 [m] 0.25 [m] 3 [m] 0.66
Factor de Ajuste (DATO)
1.00
Densidad
Densidad de la Roca
2700 [kg/m3]
E
Módulo de Young
sigma_c
Factor Dureza
JPS
Factor Espaciamiento
50
JPA
Factor de Plano de Fractura
20
RMD
Rock Mass Description
70
HF
Hardness Factor
60 [GPa] 3 [MPa]
0.60
Tabla 3. Cálculo de parámetro “n” B[m]
1.8
d[m]
0.051
SD[m]
0.25
S[m]
2.2
Lb[m]
3.9
Lc[m]
0
Ltot[m]
3.9
H[m]
5.2
n
1.17
n(DATO)
1
Tabla 4. Cálculo de parámetro “A” JPS JPA
50 20
RMD RDI HF A A(DATO)
70 17.5 0.60 9.486 1
Tabla 5. Cálculo de parámetro “b” xmax[cm] x50[cm] n b
2 44.84 1.17 2.43
b(DATO)
1
Tabla 6. Cálculo de parámetro Xmáx B_IS
3
S B xmax[m] xmax(DATO)[m]
2.2 1.8 1.8 1
Tabla 7. Cálculo de parámetro X50 g(n) A Q sANFO q x50[cm] x50(DATO)[cm]
1.00 13 9.24 62.2 0.55 44.84 1
Tabla 8. Parámetros adicionales
RMD
JF
polvo
10
masivo
50
JF (fractura)
70
JPS
Sj<0.1[m]
10
0.1[m]
20
sobretamaño[m]
50
dip out of face
20
strike perp. Face
30
dip into face
40
JPA
RDI
17.5
densidad
[kg/m3]
2700
HF
E<50
20.00
E>50
0.6
E [GPa]
60
σc [MPa]
3
El gráfico resultante para la aplicación de los parámetros es el que se muestra a continuación para los siguientes datos de entrada: Tabla 9. Datos de entrada xmax[cm]
180
x50[cm]
44.84
b
2.43
n
1.17
Xc
61.30
Comparación de Distribución Granulométrica - Función Swebrec (Modelo KCO) vs Función Rosin-Rammler (Modelo Kuz-Ram) 100
P(x) %
10
KCO
1 0.01
0.1
1
10
100
0.1
0.01
x [mm]
Figura 2.- Comparación del modelo de predicción Kuz-Ram con el modelo Swebrec
1000
KUZ-RAM
