Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales.
Universidad de Cartagena
Carrera: Ingeniería en software ll semestre
Tutor(a): Germán Vivanco
Algebra lineal
Integrantes: Diego Alexander Martínez López Robert Arrieta contreras Manuel Gordon Pedroza
Magangué – Bolívar
Introducción Esta sección es una introducción al estudio algebraico de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Veremos el concepto de un SEL como un sistema matricial (matriz de coeficientes y matriz o vector de términos independientes). La importancia de esta área radica en que las matrices constituyen una herramienta que nos permite saber rápidamente si un sistema de ecuaciones tiene soluciones y el tipo de soluciones: un sistema puede no tener solución, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Una vez clasificado el SEL, queremos calcular, en caso de haberlas, sus soluciones. Para ello disponemos de varios métodos: la Regla de Cramer y el de la matriz inversa si el SEL es compatible determinado, y la eliminación de Gauss o de Gauss-Jordán si es indeterminado.
Objetivos.
Manejar las operaciones con matrices.
Valorar la importancia del álgebra matricial y la adquisición de estrategias para la simplificación de los cálculos.
Identificar los tipos de matrices.
Operar con matrices: suma y diferencia de matrices, producto de un número real por una matriz, producto de matrices. Conocer las propiedades de estas operaciones.
Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 o 3 por el método de Gauss.
Valorar la importancia del estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, dentro del álgebra matricial, así como el valor de los conceptos y procedimientos vistos en las Unidades de Matrices y Determinantes y su aplicación.
Escribir un sistema de ecuaciones lineales utilizando la notación matricial.
Conocer los criterios de equivalencia de los sistemas de e cuaciones lineales.
Discutir un sistema de ecuaciones lineales, utilizando el método de Crammer y el Método de Gauss.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o indeterminado), utilizando la Regla de Cramer, el método de Gauss y la matriz inversa.
Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) y matrices
Matrices Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados ordenados en filas y columnas. Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna. Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (a ij) m x n. Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden orden n.
Tipos de matrices Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de f ilas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
t t
(A ) = A t
t
t
(A + B) = A + B t
t
(α ·A) = α· A t
T
t
(A · B) = B · A Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de l a matriz.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
suma de matrices Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A + B es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión, de modo modo que cada elemento elemento sij de la matriz S, se obtiene como: sij = aij + bij. Es decir, para que dos matrices A y B se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
1ª Conmutativa: A + B = B + A 2ª Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3ª Elemento neutro : 0 (matriz cero o matriz nula). 0+A=A+0 =0
4ª Elemento simétrico : - A (matriz opuesta de A). A + ( -A ) = ( -A ) + A = 0
La opuesta de la matriz A se obtiene cambiando cambiando de signo todos los elementos de la matriz A: - (aij) = (-aij).
resta de matrices La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda: A - B = A + (-B). Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A - B es otra matriz D = (dij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento dij de la matriz D, se obtiene como: dij = aij - bij.
Producto de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Propiedades
Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A·I=A No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C
Matriz inversa −1
A·A
−1
= A · A = I
Propiedades
(A · B)
−1
−1 −1
(A )
(K · A)
−1
−1
−1
=A
−1
t −1
(A )
−1
= B · A
= k · A −1 t
= (A )
Rango de una matriz por el método de Gauss Calcular el rango por Gauss Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss: Calculamos el rango por filas. Si la matriz tuviese más filas que columnas, podemos usar su traspuesta, su traspuesta, recordemos recordemos que Mediante transformaciones elementales, hacemos ceros todos los elementos por debajo de la diagonal principal.
El rango es el número de filas (sin contar las filas nulas) Ejemplo
Calculamos el rango de la matriz Para hacer los dos primeros ceros de la primera columna, hacemos las siguientes transformaciones de filas:
Quedando la matriz así: Para el último cero restamos las filas 2 y 3:
El rango es el número de filas no nulas, por tanto
Sistema de ecuaciones lineales (SEL) Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnita (SEL) y coeficientes en un cuerpo K (como los reales o los complejos) es:
Donde
A los elementos ai, j se les denomina coeficientes del SEL y a los bi términos independientes. Un ejemplo de un SEL de dos ecuaciones y dos incógnitas es
El sistema de la definición lo podemos expresar matricialmente como
Donde
Llamamos matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de términos independientes a b y matriz incógnita a X . Definimos la matriz ampliada (o completa) del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a la izquierda y la b a la derecha, es decir
Veamos un ejemplo:
Tipos de SEL según sus elementos Los SEL
Los clasificamos según su
dimensión dimensión cuadrada: si m = n (tiene el mismo número de ecuaciones que o de incógnitas). La matriz de coeficientes es cuadrada de dimensión m.
o
dimensión rectangular: si m ≠ n (no tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas).La matriz de coeficientes es rectangular (dimensión m x n).
matriz de términos independientes i ndependientes o Sistema homogéneo (SELH): los términos independientes son 0, es decir, b es la matriz columna de ceros. o Sistema completo (SELC) o no homogéneo: los términos independientes no son todos 0, es decir, b no es la matriz columna de ceros.
forma o o
Triangular superior : la matriz de coeficientes, A, es triangular superior. Triangular inferior : la matriz de coeficientes, A, es triangular inferior.
Soluciones de un SEL Dado un SEL
Llamamos solución a cualquier vector
Que al ser sustituido en el sistema, lo cumple. Es decir, los valores de las incógnitas para los cuales se verifican todas las ecuaciones del SEL.
Importante Si un vector X es es solución del SEL
También es solución del SEL que se obtiene al realizar operaciones elementales fila a la * matriz ampliada del SEL inicial, A . Este hecho será la clave para obtener los métodos de resolución de un SEL.
Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones Distinguimos tres tipos de sistemas según el conjunto de soluciones que tiene:
Sistema incompatible (SI): el sistema no tiene solución. No existen valores para las incógnitas de modo que se verifiquen todas y cada una de las ecuaciones que conforman el SEL. Sistema compatible (SC): existe al menos una solución que verifica todas las ecuaciones del SEL. Pero distinguimos dos casos: o Sistema compatible determinado (SCD): existe una solución y es única, es decir, sólo hay una. En el caso de los SEL homogéneos, la única solución es la trivial (todas las incógnitas valen 0). Esto se debe a que la solución trivial siempre es solución del SEL homogéneo. De este modo, un SEL homogéneo nunca será incompatible. o
indeterminado (SCI): existe más de una solución. En Sistema compatible indeterminado este caso, existen infinitas soluciones (ya que el conjunto de soluciones de un SEL es un espacio vectorial). Alguna variable (o todas) dependerán de un (o más) parámetros.
Métodos de resolución de los SEL Destacamos 3 métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que explicamos más adelante:
Eliminación de Gauss: consiste en realizar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL hasta obtener su forma escalonada reducida. Ejercicios de Eliminación de Gauss Matriz inversa: consiste en multiplicar el sistema, si es compatible determinado, por la matriz inversa de la matriz de coeficientes. Regla de Cramer: obtenemos las incógnitas, en el caso de SEL compatible determinado, aplicando una sencilla regla que usa determinantes. Ejercicios de la Regla de Cramer
Método de eliminación de Gauss Se basa en el hecho de que si un vector X es es solución del SEL
También es solución del SEL que se obtiene al aplicar operaciones elementales fila a la * matriz ampliada del SEL inicial, A . Lo que nos permite trabajar con matrices equivalentes para facilitar la búsqueda de las soluciones. El método consiste en realizar operaciones elementales en la matriz ampliada hasta obtener su forma
escalonada (eliminación de Gauss) escalonada reducida (eliminación de Gauss-Jordán )
Veamos un ejemplo: Ejemplo
Solución Forma escalonada de A (obtenida al realizar operaciones elementales fila) *
Tenemos ahora un sistema más sencillo de resolver (de abajo a arriba) que proporcionará
Método de la inversa Sea el SEL
Supongamos que el sistema es cuadrado, esto es, m = n. El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible -1 determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A :
Y obtenemos la solución. Este método se utiliza bastante en computación. Ejemplo
Las matrices asociadas al sistema son
Con lo que la solución del sistema es
Método de la Regla de Cramer Sea un SEL de dimensión cuadrada (mismo número de ecuaciones que de incógnitas)
Si la matriz de coeficientes del SEL, A, es regular y, por tanto, el sistema es compatible determinado, la Regla de Cramer proporciona directamente la solución del sistema mediante el cálculo de determinantes: Si x i i es la incógnita correspondiente correspondiente a la columna i del del sistema, su valor en la solución es
Donde A(i) es la matriz que resulta al sustituir en A la columna i por por la columna de términos independientes, b, es decir
Ejemplo
El determinante de la matriz coeficientes del SEL es, por la regla de Sarrus,
Como el determinante es distinto de cero, el SEL es compatible determinado y podemos calcular la única solución aplicando la Regla de Cramer:
Notemos que en cada determinante hemos sustituido la columna correspondiente correspondiente a la incógnita por el vector de términos independientes del SEL. Luego la solución del sistema es
Conclusiones Luego de haber elaborado el presente trabajo podemos sacar algunas conclusiones importantes como: Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles. La teoría de matrices fue introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fábricas; teoría cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sicología y sociología. Entre las principales clases de matrices están: Fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, escalar, simétrica, identidad, triangular, etc. Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidi ana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso. También podemos concluir que del sistema de ecuaciones lineales , l superior a tres, si solución se haga en forma manual; la situación es similar cuando se diseñan los respectivos Algoritmos, principalmente por considerar la elección del pivote, la normalización y las tres operaciones fundamentales. Adicionalmente, como se
producción y propagación de de errores también también Que este tipo de ecuaciones es muy importante, ya que podemos identificar perfectamente que es una ecuación, y mayormente enfocarnos en las ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.
Bibliografía http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/Tema2/Introduccion_SEL.pdf https://www.vitutor.com/algebra/matrices/res.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/index.htm http://ocw.upm.es/algebra/algebra-y-geometria/contenidos/apuntes/matrices https://www.matesfacil.com/matrices/matrices-sistemas.html
TRABAJO INVESTIGACION CON VALOR DE 20%. 1. Si al doble de la edad de Ana se suma la edad de Bárbara, se obtiene la edad de Carlos aumentada en 32 años. Si al al tercio de la edad de Bárbara se se suma al doble de de la edad de Carlos se obtiene la edad de Ana aumentada aumentada en 9 años y el tercio de la suma de de las edades de Ana y Bárbara Bárbara es un año menos que la edad de Carlos. Hallar las edades de Ana, Bárbara y Carlos. Modele el problema anterior con sistemas de ecuaciones y resuelva utilizando matriz inversa, por eliminación eliminación Gaussiana Gaussiana y por determinantes (Crammer).
Solución: X: la edad de Ana Y: la edad de bárbara Z: la edad de Carlos De tal manera que:
2x+y=z+32 => 2x+y-z = 32 y + z=x+9 => y+3z = 3x+27 => -3x+y+6z = 27 (x+y) = z+1 => x+y = 3z-3 => x+y-3z = -3
Método de cramer 1) 2x+y-z = 32 2) -3x+y+6z = 27 3) x+y-3z = -3
A=
|A| =
|
|=
= -6+6+3+1-12-9= -17
= -96-28-27-3-192+81 -96-28-27-3-192+8 1 = -255
|
|=
|
|=
X=
= -162+192-9+27+36-288= -162+192-9+27+36 -288= -204
=-6+27-96-32-54-9 = -170
= 15
y=
= 12
z=
= 10
Método de gauss 1) 2x+y-z = 32 2) -3x+y+6z = 27 3) x+y-3z = -3
⁄ ⁄
A=
=>
(3) +
(-2) +
( )+
X+y-3z = -3 4y-3z = 18 17/4z = 170/4
3) 17/4z = 170/4 Z= Z=
Z = 10
2) 4y-3z = 18
1) X+y-3z = -3
4y-3(10) =18
x +12-3(10) = -3
4y – 30 = 18
x +12-30 = -3
4y= 18 + 30 4y= 48
x -18 = -3 x = -3 + 18
y=
y = 12
x = 15
Matriz inversa 1) 2x+y-z = 32 2) -3x+y+6z = 27 3) x+y-3z = -3 Fórmula para hallar la inversa de este sistema de e cuaciones lineales
A*X=B X= * B
Ahora teneos que saber quién es A, X y B.
A=
, x =
, B =
Ahora tenemos que hallar
=
primero:
Procedeos a hallar el determinante de A.
= -6+6+3+1-12-9= -17
Ahora procedemos a hallar la adjunta de la matriz A Sea B la matriz de cofactores de A.
|A| =
= -3 - 6 = -9 = 9 – 6 = 3 = -3 -1 = -4
= -3 +1 = -2 = -6 +1 = -5 = 2 -1 = 1 = 6 +1 = 7 = 12 – 3 = 9 = 2+ 3 = 5
B=
Ahora colocamos los valores donde corresponden
B=
Una vez encontrado todo lo valores procedemos a remplazar:
|A| = -17 adj A =
=
=
Ahora con la fórmula que dios a lo principio también procedemos a remplazar: X=
* B
=
*
=
=
Tenemos que: X = 15
Y = 12
Z = 10
2. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? Plantear un sistema de ecuaciones 2x2 y resuelva por matriz inversa. Solución: X + y = 35
2x + 4y = 94 Tenemos que hallar la matriz inversa de este sistema de ecuaciones lineales.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A=
= =
Procedeos a hallar la identidad de la matriz.
A=
/2
A=
=
(-1) +
(-1) +
Ahora todo todo lo que tenemos aquí lo multiplicamos por por la matriz matriz
identidad que hallamos y queda así:
= =
= =
= =
1 3. A 2 3
x = 23
a a a
y = 12
1
determinante de A por cofactores. 2 hallar el determinante 1
1 2 1 2 4. Sea f(x) = 8x - 5x + 7 y la matriz A 5 1 3 3 1 1 .Hallar f(A). Solución: Para hallar f(A) remplazamos la x que está en la función por la matriz A y que daría así:
F(A) = 8
– 5A + 7
Aquí la constante de esta función la multiplicaos por la matriz identidad y que daría así: F(A) = 8
– 5A + 7i
Ahora remplazamos y asemos las operaciones que nos indican:
8
para hallar
8
=
se multiplica A*A y la constante 8 multiplica la matriz que dé. *
= 8
=
Ahora procedemos hallar 5A remplazamos A por sus valore y la multiplicamos por 5: 5A = 5
=
Ahora procedemos hallar 7i, remplazamos i por los valores que están en la matriz identidad y la multiplicamos por 7. 7i=7
=
Ya que hemos hallado todos los valores remplazamos: F(A) = 8
– 5A + 7i
F(A) =
-
+
F(A) =
+
+
F(A) =
+
=
=
5. Dado los vectores A (2, -3k, 4) y B (4k, 3,8). Hallar el valor de k para que los vectores A Y B sean ortogonales. Solución: A= (2,3K, H) B= (4K, 3, 8)
Se dice que dos vectores son ortogonales si su producto es cero; o sea A*B=0 Para este caso: A*B= (2,-3K, 4)*(4K, 3, 8) = 8K-9K+32=0 Luego -K+32=0 -K=-32
K=32
6. El modulo del producto vectorial representa geométricamente el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores dados. Cuál es el área del paralelogramo formado los vectores. Solución: A
ᶿ B Luego ((A x B)) = ((A)) ((B)) sen ᶿ El área de un paralelogramo es: A=l.m. Donde; l: base y m: m: la altura. Como se se tiene el paralelogramo en el producto vectorial, vectorial, veamos cuánto vale H: según la gráfica. gráfica. Sen ᶿ
))
h= ((A)). senᶿ.
Ahora para el producto l.m 2 vectores:
L b ((B)) y h ((A)) ᶿ. A si el área del paralelogramo es:
A= ((B)) ((A)) ᶿ . O lo que es lo mismo. Area= ((A)) ((B)) sen ᶿ = ((AxB)). Se concluye que el modulo del producto producto vectorial A x B equivale al área del paralelogramo formando geométricamente por los dos 2 vectores al multiplicarlos vectorialmente.
7. Dado los vectores A = i +3k + k ; B = 0i +2j +2j +k; C = i + 0j + k. a. es el vector 4i +13j + 6k, combinación combinación lineal de los vectores vectores A, B y C.
Solución: Para determinar si el vector dado D, es e s una combinación lineal de l.m vectores. A, B, y C, se deben encontrar en vectores de ∞ β B + ᶿ C. : 4i +13j +6k =∞ (i+3j+k) +β (0+2j+k)+ᶿ(+0j+k) = (∞ +3∞j +∞k) + (0i +2j+ k) + (0+2βj+Bk)+(ᶿ+0j+ᶿk) = (∞+0+ᶿ) + (3∞j+2βj+0j) + (∞k+βj+0k) = (∞+ᶿ) I + (3∞+2β)j+(∞+β+ᶿ)k.
Luego:
∞+ᶿ=4 (1). 3∞+2β=13 (2).
∞+β+ᶿ=6 (3). Se sustituye (1) en (3):
Β+4=6
β=6-4
β=2
Ah β (2) 3∞ +2(2)=13 3∞ +4 =13
3∞=13-4 3∞= 9
∞
∞=3
P ú ∞ (1). 3+ᶿ=4 Por tanto: Los vectores:
ᶿ=4-3
ᶿ=1
D=3A +2B + C. Se puede concluir que el vector 4i+13j+6k. Es una combinación lineal de l.m vectores A,B, y C.
b. son los vectores A, B Y C. LI o LD. (1.5) Solución:
⃗ ⃗ ) ) ) )
Si , , al hacer la combinación lineal lineal con los vectores vectores A, B y c, formarían formarían una dependencia D independencia entre los vectores. Para ello, se plantea que: +
+
=
Y si = = = 0, entonces los vectores A, B y C son independientes, en caso contrario serian dependientes Luego
(i+ 3j + k) +
(
+3
+
(0i + 2j +k) +
(i + 0j +k) = 0i + 0j + 0k
) + (0i + 2 j j +
k) + ( j j + 0j +
(
i+
i) + ( 3 j j + 2
(
+
)I+(3
+2
+ (
j + (
+
k+
+
k+
k) = 0i+ oj + 0k
)k = 0i+ oj + 0k
Luego +
+
= 0 (1)
= 0 (2)
+
Como 0+
= 0 (3)
+
= 0 entonces el sustituir (1) en (3):
= =>
Remplazamos +
= 0
en (2)
= 0
+
= 0
+
= 0 =>
Sustituyendo
= 0 =>
en (1)
= 0
= 0i+0j+0k
+
= 0
+
= 0 =>
Como
=
= 0
=
8. X =2i – 3j +2k; +2k;
= 0, entonces los vectores A, B y C son independientes
Y = -i - 3j 3j + 2k. 2k. ; Z = j +k y k= 3; probar que:
a. X. (XxY)= 0 Solución: X. (XxY)= 0 Se halla primero XxY: XxY=
= i(-6+6) – j(4+2) + k(-6-3)
XxY= 0i - 6j - 9k
Se calcula el producto punto: X. (XxY) = (2i -3j +2k) * (0i -6j - 6j -9k) X. (XxY) = 0+18-18 X. (XxY) = 0
b. X. (Y+Z)=X.Y (Y+Z)=X.Y + X.Z
9. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 0 120 sobre la horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza.
Solución: Fx =
cos F cos
120 N( cos120 0 ) 120 N (0.5)
Fx = 60 N Fy =
F sen
120 N( sen1200 ) 120 N (0.8660)
Fy = 103.92 N
0
10. Un aeroplano vuela 60 km en una dirección de 40 al Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes rectangulares de su desplazamiento del avión?
Solución: Dx =
cos D cos
60 Km( cos130 0 ) 60 Km (0.6428)
D x = 38.57 Km DY =
D sen
60 Km(sen130 0 ) 60 Km (0.7660)
Dy = 45.96 Km
