Eigenvalores, Eigenvectores, Ecuación y Polinomio Característicos Álgebra Lineal/ Alfonso Vela Rivera
AGUSTÍN EMMANUEL RAMÍREZ RODRÍGUEZ/Mecatrónica, 1° D Aguascalientes, Ags. a 8 de abril de 2014
Eigenvalores y Eigenvectores
Sea T:V → V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que Tv = λv Si v ≠ 0 y λ satisface la ecuación anterior, entonces λ se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor λ.
“Sea A una matriz de n x n con componentes reales. El número λ (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que Av = λv El vector v ≠ 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor λ.” Eigenvalor y eigenvector
INTERPRETACIÓN PERSONAL Si he comprendido bien, y espero que así sea, la definición más general de lo que es un eigenvalor así como de lo que es un eigenvector, es muy sencilla. Ya hemos especificado, a lo largo del último mes, lo que un vector representa en álgebra lineal (o al menos para los temas que hemos abordado), así pues, proseguiré bajo el supuesto de que tal concepto es conocido.
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Dicho esto, me atrevo a definir, a un eigenvalor y a un eigenvector de la siguiente forma:
Si tengo un vector (v) que es diferente de cero y tengo un escalar (λ), de manera que el producto de dicho vector (v) por una matriz cuadrada sea igual al producto del escalar (λ) por el vector (v) anteriormente mencionados, entonces el vector (v) es un eigenvector y el escalar (λ) es un eigenvalor.
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Ecuación y polinomio característicos
Sea A una matriz de n x n. Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si p(λ) = det (A – λI) = 0
“La ecuación anterior se llama la ecuación característica de A; p(λ) se llama el polinomio característico de A.” Ecuación y polinomio característicos
Es pertinente destacar que p(λ) es un polinomio de grado n en λ. Por ejemplo, si A =
, entonces A – λI =
-
=
y
p(λ) = det A – λI) = (a – λ) (d – λ) – bc = λ2 – (a + d) λ + (ad + bc).
Según el teorema fundamental del algebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio (λ – 1)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que Contando multiplicidades, toda matriz de n x n tiene exactamente n eigenvalores.
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INTERPRETACIÓN PERSONAL De igual forma, trataré de traducir lo anterior a un lenguaje más simple y expresarlo con palabras propias.
Comenzaremos con el supuesto de que tengo dos elementos: una matriz cuadrada y el producto de un escalar (λ) por la matriz identidad (siempre estos mismos elementos). ¿Por qué? No lo sé y no pretendo saberlo. Simplemente es así.
Si obtengo la diferencia entre las dos matrices el resultado será el siguiente (invito al lector a que realice la resta entre las dos matrices anteriores si desconfía las aseveraciones planteadas en este documento).
Si obtengo el determinante de la matriz anterior y reduzco su resultado a la máxima expresión, obtendré un polinomio de la siguiente forma:
λ2 – (a + d) λ + (ad + bc)
Dicho polinomio es conocido con el nombre de polinomio característico. Podemos observar que tenemos como resultado una ecuación de segundo grado donde el escalar (λ) ocupa el lugar de la variable. Además observamos que el coeficiente del primer término es uno, el coeficiente del segundo término (o del término de grado uno) es la suma de los valores que se encuentran en la esquina superior izquierda y la esquina inferior derecha de la matriz cuadrada inicial. Por
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último, el término independiente es igual a la suma de los productos de los elementos que se encuentran en las esquinas de la matriz cuadrada inicial.
A la igualdad que expresa el hecho de que el determinante de la matriz sea equivalente al polinomio “λ2 – (a + d) λ + (ad + bc)”, se le conoce con el nombre de ecuación característica y es la siguiente p(λ) = det (A – λI) = 0
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Espacio propio
Sea λ un valor propio (eigenvalor) de la matriz A de n x n y sea Eλ = {v: Av = λv}. Entonces Eλ es un subespacio de Cn.
“Sea λ un valor propio (eigenvalor) de A. El subespacio Eλ se llama espacio propio de A correspondiente al valor propio λ.” Espacio propio
INTERPRETACIÓN PERSONAL Para la siguiente explicación y/o definición, se tomará como premisa el hecho de que ya se ha definido con anterioridad lo que es un eigenvalor y un eigenvector. Así pues, un espacio propio es un subespacio que es, al mismo tiempo, un eigenvector. Dicho de otro modo, si tengo un escalar (λ) y una matriz cuadrada (A), y bajo el supuesto de que el escalar (λ) es un eigenvalor de la matriz (A), entonces el eigenvector de (A) es a su vez el espacio propio de (A).
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Cálculo de eigenvalores y eigenvectores
1) Se encuentra p(λ) = det (A – λI). 2) Se encuentran las raíces λ1, λ2, . . . , λm de p(λ) = 0. 3) Se resuelve el sistema homogéneo (A – λiI)v = 0, correspondiente a cada valor propio λi.
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Ejemplo
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Conclusión
Después de haber desarrollado el presente trabajo de investigación, se ha adquirido una comprensión general sobre lo que son los eigenvalores y sobre lo que son los eigenvectores. Así mismo, se ha llegado a conocer los conceptos de ecuación característica y polinomio característico: la importancia de estos últimos dos conceptos radica en que son utilizados en la obtención de los dos primeros.
Ahora es claro que para poder comprender los conceptos, así como los procedimientos abordados durante este tema, es de vital importancia tener el dominio previo de las operaciones básicas entre matrices; los diferentes tipos de matrices que hay, tales como matriz identidad y matriz diagonal; también es preciso dominar el uso y la realización de operaciones que nos lleven a la obtención de ciertos valores como lo es el determinante de una matriz.
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