TRABAJO GRUPAL N° 02 1.
Burt Purdue, gerente de la Sea Island Company, desea conocer lo que piensan los residentes sobre las instalaciones recreativas del desarrollo y sobre las mejoras que desearían ver puestas en marcha. El desarrollo incluye a residentes de diversas edades y niveles de ingresos, pero gran parte de ellos son residentes de clase media entre 30 y 50 años. Hasta ahora Burt no está seguro de si hay diferencias entre los grupos de edad o de niveles de ingreso en cuanto a las instalaciones recreativas. ¿Qué tipo de muestreo sería recomendable para este caso? En este caso, consideramos que que las variables de ingreso y edad nos podrían ayudar a definir grupos homogéneos de residentes dentro de la isla, más aún considerando que el ejercicio indica la presencia de un grupo significativo de residentes de clase media entre 30 y 50 años. Por lo tanto, procederíamos a aplicar un muestreo estratificado formando 9 grupos: clase alta menor a 30 años, clase alta entre 30 y 50 años, clase alta mayor a 50 años, clase media menor a 30 años, clase media entre 30 y 50 años, clase media mayor a 50 años, clase baja menor a 30 años, clase baja entre 30 y 50 años, cla se baja mayor a 50 años. Nos parece lógico suponer que la opinión de cada grupo, que es homogéneo dentro de sí, no será la misma respecto de otro grupo. Este es otro punto que nos lleva a pensar que lo mejor es formar dichos estratos y recomendar este tipo de muestreo.
2.
Un fabricante de cámaras trata de saber lo que los empleados consideran que son los principales problemas de la Compañía y las mejoras que esta requiere. Para evaluar las opiniones de los 37 departamentos, la gerencia está considerando un plan de muestreo. Se le ha recomendado al director de personal que la administración adopte un plan de muestreo de racimo. La administración escogería 6 departamentos y entrevistaría a todos los empleados. Después de recolectar y valorar los datos recabados, la compañía podría hacer cambios y planear áreas de mejora de trabajo. ¿El plan de muestreo de racimo es el apropiado en esta situación? Consideramos que el plan de muestreo más apropiado en este caso sería el estratificado, dado que cada departamento tiene una pequeña variación dentro de sí mismo (es un grupo homogéneo de personas que muy probablemente tendrán una similar opinión), y que al comparar un departamento con otro, sí habrá amplia variación de opinión. Por lo tanto, los estratos que se formarían en este caso serían los departamentos de la Compañía, y de cada uno de ellos se tomaría una muestra. Como referencia, en las Compañías, los diferentes departamentos (Ventas, Marketing, Administración, Contabilidad, Presupuesto, Producción, etc.) suelen tener una misma lectura de la situación de la empresa dentro de sí, pero diferente entre ellos.
3.
A finales de Marzo de 1992 hubo las siguientes tasas de desempleo en Estados Unidos, estado por estado. AL 7.5 AK 10.1 AZ 8.4 AR 7.0 CA 8.7 CO 6.3 CT 7.4 DE 6.4 DC 8.2 FL 8.1 GA 6.3
a)
HI 3.5 ID 7.8 IL 8.2 IN 6.3 IA 5.3 KS 3.6 KY 7.0 LA 6.9 ME 8.4 MD 7.4 MA 10.0
MI 10.0 MN 6.3 MS 8.1 MO 5.6 MT 7.3 NE 2.8 NV 6.8 NH 7.5 NJ 7.5 NM 7.6 NY 8.5
NC 6.4 ND 5.3 OH 7.8 OK 6.8 OR 8.6 PA 7.6 RI 8.9 SC 7.1 SD 4.0 TN 7.0 TX 7.4
UT 5.0 VT 7.1 VA 6.8 WA 8.3 WV 12.9 WI 5.7 WY 7.5
Calcule la media de la población y la desviación e stándar del porcentaje de desempleo.
µ = ∑x / N = 367 / 51 = 7.20
Media de la población = 7.20 σ = √((∑(x-µ)^2)/N) = 1.73
b)
Utilizando los estados de AL, KS, MI, NE, NC, como muestra aleatoria (tomada sin reemplazo) determine la media.
ẋ = ∑x / n = 30.3 / 5 = 6.06
c)
Cuáles son la media (µẋ) y la desviación estándar (σẋ) de la distribución de muestreo de ẋ, la media de las muestras de todas las muestras de tamaño n=5, tomadas sin reemplazo.
Dato: n = 5
Fracción muestral = n / N = 5 / 51 = 0.098 > 0.05 Población finita
µẋ = µ = 7.20 σẋ = (σ/√n) * √((N-n)/(N-1)) = 0.74
d)
Considere la distribución de muestreo de las medidas para muestras de tamaño n=, tomadas sin reemplazo. ¿Es razonable suponer que esta distribución es normal o aproximadamente normal? Explique.
Considerando muestras de tamaño “n”, es decir muestras grandes, por definición sí se podría afirmar que la distribución de las medias de dichas muestras se acercaría a la no rmalidad. e)
No obstante su respuesta del inciso d), suponga que la distribución de muestreo de la media muestral para muestras de tamaño n=5, tomadas sin reemplazo, es aproximadamente normal. ¿Cuál es la probabilidad que la media de esta muestra aleatoria caiga entre 5.9 y 6.5? P (5.9 < ẋ < 6.5) = P (ẋ<6.5) – P(ẋ<5.9) = P(z< (6.5-7.2)/0.74) – P(z< (5.9-7.2)/0.74) = P(z<0.95) – P(z<-1.76) = P(z<0.95) – (1 – P(z<1.76)) = (0.5+0.3289) – 1 + (0.5 + 0.4608) = 0.7897
4.
La agencia de aduanas de Estados Unidos verifica de rutina a todos los pasajeros que llegan del extranjero cuando entran al país. El departamento informa que en promedio se encuentra que 42 personas diarias, con una desviación estándar de 11, llevan material de contrabando al entrar a los Estados Unidos a través del aeropuerto John F. Kennedy de Nueva York. ¿Cuál es la probabilidad que en cinco días en el aeropuerto, el número promedio de pasajeros que llevan contrabando excedan los 50? µ = 42 σ = 11
n=5 Dado que la población es infinita, σẋ = (σ/√n) = 4.92 P(ẋ>50) = 1 – P(ẋ<50) = 1 – P(z< (50-42)/ 4.92) = 1 – P(z<1.63) = 1 – (0.5+0.4484) = 0.0516 = 5.16% Rpta. La probabilidad de que en cinco días en el aeropuerto, el número promedio de pasajeros que llevan contrabando excedan los 50, es igual a 5.16%.
5.
Al revisar las ventas habidas desde la apertura d e un restaurante hace seis meses, el dueño encontró que la cuenta promedio por pareja era de $ 26, con una desviación estándar de $ 5.65 ¿Qué tan grande tendría que ser una muestra de clientes para que la probabilidad fuera de al menos 95.44% que el costo promedio por comida para la muestra cayera entre $ 25 y $ 27? µ = 26 σ = 5.65
n = ¿? Dado que la población es infinita, σẋ = (σ/√n) P (25<ẋ<27) = 0.9544 = 1 – 2*P(x<25) = 1 – 2*P(z<(25-26)/(5.65/√n)) = 1 – 2*P(z<(-1/(5.65/√n)) = 1 – 2*P(z<-√n/5.65) = 0.9544 P(z<-√n/5.65) = 1 – P(z<√n/5.65) = 0.0228 P(z<√n/5.65) = 0.9772 Según tabla de distribución normal: √n/5.65 = 2
n = 127.69 Rpta. La muestra de clientes tendría que ser de por lo menos 128 parejas de clientes. 6.
La Hal Corporation fabrica grandes sistemas de cómputo y siempre se ha ufanado de la confiabilidad de sus unidades de procesamiento central del sistema 666. De hecho, la experiencia pasada ha mostrado que el tiempo improductivo mensual de las CPU del sistema 666 promedia 41 minutos, con una desviación estándar de 8 minutos. El centro de cómputo de una gran universidad estatal mantiene una instalación fo rmada por seis CPU del sistema 666. James Kitchen, el director del centro, siente que se proporciona un nivel satisfactorio de servicio a la comunidad universitaria si el tiempo improductivo promedio de las seis CPU es menor de 50 minutos al mes. Dado cualquier mes, ¿cuál es la probabilidad que Kitchen se sienta satisfecho co n el nivel de servicio? µ = 41 , σ = 8 n=6 Dado que la población es infinita, σẋ = (σ/√n) = 8 / √6 = 3.26598632 P(ẋ<50) = P(z<(50-41)/3.26598632) = P(z<2.76) = 0.5 + 0.4971 = 0.9971 = 99.71% Rpta. La probabilidad que Kitchen se sienta satisfecho con el nivel de servicio es de 99.71%.
7.
Los miembros de la organización For Consumer Action mandan más de 250 voluntarios al día a todo el estado para incrementar el apoyo para un proyecto de protección al consumidor, que está actualmente en debate en la cámara legislativa estatal. Por lo general, cada voluntario visita una casa y habla brevemente con el residente con la esperanza que éste firme una petición dirigida a la legislatura estatal. En promedio, un voluntario obtendrá 5.8 firmas diarias para la gestión, con una desviación estándar de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad que una muestra de 20 voluntarios obtengan un promedio de entre 5.5 y 6.2 firmas diarias? µ = 5.8 , σ = 0.8
n = 20 Debido a que no hay dato de la población, ésta se considera infinita. σẋ = (σ/√n) = (0.8/√20) = 0.178885438
P(5.5<ẋ<6.2) = P(ẋ<6.2) – P(ẋ<5.5) = P(z<(6.2-5.8)/ 0.178885438) – P(z<(5.5-5.8)/ 0.178885438) = P(z<2.24) – P(z<-1.68) = P(z<2.24) -1 + P(z<1.68) = 0.5 + 0.4901 – 1 +0.5 + 0.4591 = 0.9492 = 94.92% Rpta. La probabilidad que una muestra de 20 voluntarios obtengan un promedio de entre 5.5 y 6.2 firmas diarias es de 94.92%. 8.
Jill Jhonson, gerente de producción de las alarmas de humo de Southern Electric, está preocupada por las quejas que ha recibido recientemente de grupos de consumidores acerca de la corta vida del dispositivo. Ha decidido recabar evidencia para contrarrestar las quejas probando una muestra de las alarmas. En cuanto a la prueba, su costo es de $ 4 por unidad en la muestra; la precisión es deseable para presentar evidencia estadística persuasiva a los grupos de consumidores, de tal manera que Jhonson considera que los beneficios que recibirá para diversos tamaños de muestras son determinados por la fórmula: Beneficios = $ 5349 / σẋ . Si la señorita Jhonson desea aumentar su muestra hasta que el costo sea igual al beneficio, ¿cuántas unidades debe muestrear? La desviación estándar de la población es de 265. Costo = $ 4 / unidad Beneficios = $ 5349 / σẋ σ = 265
Condición a cumplir: 4 * n = 5349 / σẋ Dado que no nos indican el tamaño de la población, se considera infinita, por lo tanto: σẋ = (σ/√n) = (265/√n) Entonces, tenemos que: 4 * n = 5349 / (265/√n) n / √n = 5349 / (265*4) = 5.046226415
n = 25.46 Rpta. La señorita Jhonson debe tomar una muestra de 26 alarmas de humo. 9.
Ron Blake, director de recursos humanos de una empresa, desea estudiar el nivel de precisión de la s 70 secretarias de su Compañía. Anteriormente, el número diario de errores de procesamiento de palabras cometido por cada secretaria había sido aproximadamente normal con un promedio de 18 y una desviación estándar de 4. El señor Blake inspecciona actualmente a 15 secretarias elegidas aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad que el número promedio de errores por secretaria sea:
N = 70 secretarias, µ = 18 , σ = 4, n = 15 secretarias Fracción muestral = 15 / 70 = 0.21
Población finita
σẋ = (σ/√n) * √((N-n)/(N-1)) = (4/√15)*√((70-15)/(69)) = 0.9220854331
a)
Inferior a 15.5?
P((ẋ<15.5) = P(z<(15.5-18)/ 0.9220854331) = P(z<-2.71) = 1 – P(z<2.71) = 1-0.9966 = 0.34% Rpta. La probabilidad que el número promedio de errores por secretaria sea inferior a 15.5 es de 0.34%. b)
Mayor de 20?
P(ẋ>20) = 1 – P(ẋ<20) = 1 – P(z<(20-18)/ 0.9220854331) = 1 - P(z<2.17) = 1-0.9850 = 0.015 =1.5% Rpta. La probabilidad que el número promedio de errores por secretaria sea mayor a 20 es de 1.5%. 10.
Low-Cal Food Company usa estimaciones de nivel de actividad de los diversos segmentos del mercado para determinar la composición nutricional de sus productos de comida dietética. Low-Cal está considerando la introducción de una comida dietética líquida para mujeres maduras, puesto que este segmento tiene problemas especiales de peso no resueltos por la comida dietética de su competidor. Para determinar el contenido deseado de calorías de este nuevo producto, la Dra. Nell Watson, investigadora de la Compañía, condujo pruebas sobre una muestra de mujeres para determinar el consumo de calorías por día. Sus resultados mostraron que el número promedio de calorías consumidas diariamente por las mujeres mayores es de 1328, con una desviación estándar de 275. La Dra. Watson estima que los beneficios que obtiene con un tamaño de muestra de 25 costarían $ 1720. Espera que al reducir el error estándar a la mitad de su valor actual, se duplique el beneficio. Si el costo es de $ 16 por cada mujer de la muestra, ¿debería Watson reducir su error estándar? µ = 1328,
σ = 275
Si n = 25, entonces los beneficios c ostarían US$ 1720. Costo con muestra de 25 = 25 x 16 = $ 400 Error estándar con muestra de 25 = 275 / √25 = 55 Error estándar para muestra deseada = 55 / 2 = 27.5 = 275 / √n
n = 100
Si n = 100, entonces los beneficios serían de (1720 / 25) * 100 = $ 6880. Rpta. La Dra. Watson sí debería reducir su error estándar. Comentario y consulta: no queda claro a qué se refiere el problema cuando dice “los beneficios que obtiene con una tamaño de muestra de 25 costarían $ 1720? ¿se quiso decir que serían de $1720? Sin embargo, si fuera cierto lo segundo, entonces el dato indicado al final sobre el costo por mujer de la muestra estaría de más, ¿verdad? Por otro lado, si en realidad se trata del beneficio obtenido, entonces a partir de los 1720 se puede calcular un beneficios por mujer de la muestra, y por lo tanto no sería necesario tampoco el dato indicado al final sobre el costo, según se aprecia en el desarrollo indicado líneas arriba. ¿podría por favor aclararnos con qué fin se indican esos $ 1720 y $ 16? ¿Es correcto considerar que los datos de 1328 y 275 son parámetros aproximados de la población de mujeres? (pese a que el problema indique que se obtuvieron a partir de una muestra) ¿o en realidad la desviación estándar indicada de 275 se refiere al error estándar? ¿Podría por favor confirmarnos si es correcto que los cálculos hechos se refieran a hallar un nuevo valor de “n” a
partir de la fórmula del error estándar?
11.
Suzanne Jones, secretaria general del sistema universitario, necesita saber qué porción de estudiantes tienen promedios de calificación por debajo de 2.0. ¿Cuántas calificaciones de estudiantes debe revisar con el fin de determinar la porción que busca dentro ± 0.01 con una confianza de 95%? α = 0.95 valor crítico = 0.475 z = 1.96
n = ? para que 1.96 * σp = 0.01 Considerando población infinita: σp = √(p*q/n) = 0.0051
Considerando p = 0.5 = q: ¿PORQUE p=q? n = 9604
12.
Rpta. Suzanne Jones debería revisar 9604 calificaciones de estudiantes.
La Flowers Food Store adquirió recientemente una carga de camión de 1500 cajas de 24 onzas cada una de cereal para el desayuno. Una muestra aleatoria de 57 de estas cajas reveló un peso neto promedio de 23.2 onzas y una desviación estándar de 0.3 onzas. N = 1500, µ = 24 n = 57, µẋ = 23.2, σẋ = 0.3 a)
Estime la desviación estándar de la población.
Fracción muestral = 57 / 1500 = 0.038 Población infinita σẋ = 0.3 = (σ/√57)
b)
σ = 2.26495
Estime el error estándar de la media para la población finita.
σẋ = (σ/√n) * √((N-n)/(N-1)) = (2.26495/√57)*√((1500-57)/(1499)) = 0.29
c)
¿Cuáles son los límites inferior y superior del intervalo de confianza para el peso neto promedio, dado que se quiere un nivel de confianza del 95%?
α = 0.95 valor crítico = α/2 = 0.475 z = 1.96
Intervalo: 23.2 ± (0.3*1.96) 13.
[22.61;23.79]
John Bull acaba de adquirir un programa de computación que afirma escoger acciones que aumentarán su precio durante la semana siguiente con un índice de precisión de 85%. ¿En cuántas acciones deberá John probar el programa con el fin de estar 98% seguro que el porcentaje de acciones que realmente subirán de precio durante la próxima semana estará dentro de ± 0.05 de la muestra de la población? p = 0.85 q = 0.15 n = ? para que con α=0.98, z* σp sea igual a 0.05 valor crítico = α / 2 = 0.49 z = 2.33
2.33 * σp = 0.05
σp = 0.02145922747
Asumiendo población infinita, σp = √((p*q)/n) = √((0.85*0.15)/n) = 0.02145922747
Despejando n se obtiene: n = 276.87 Rpta. John deberá probar el programa por lo menos con 277 acciones. 14.
Durante la cosecha de manzanas, se revisaron por separado 150 fanegas de la fruta en busca de manzanas en mal estado (debido a que, como usted sabe, una manzana en mal estado puede echar a perder todo el canasto) y se encontró que había un promedio de 3.2 manzanas malas por fanega. Se sabe que la desviación estándar de manzanas malas es de 0.2 para este tipo de manzanas. a)
Calcule el error estándar de la media.
n = 150, µẋ = 3.2, σ = 0.2 (desviación estándar de la población) σẋ = σ/√n = 0.2/√150 = 0.0163299
b)
Establezca una estimación de intervalo alrededor de la media, utilizando σẋ.
σẋ = 1 z = 1
Intervalo: 3.2 ± (1*0.0163299) 15.
Rpta. Intervalo: [3.184;3.216]
Recientemente, el Internal Review Service tomó una muestra de 200 devoluciones de impuestos y encontró que el reembolso promedio de impuestos de la muestra llegaba a $ 425.39, con una desviación estándar de la muestra de $ 107.10. n = 200, µẋ = 425.39, S = 107.10 a)
Estime el reembolso promedio de impuestos y la desviación estándar de la población.
Dado que tenemos una muestra grande, podemos considerar entonces que el promedio de impuestos de la muestra se aproxima a una distribución normal, por lo que: µ = µẋ = 425.39 S = 107.10 b)
σ
aprox = 170.10
Utilizando las estimaciones hechas en el inciso anterior, construya un intervalo en el que se tenga 95% de certeza que la media de la población estará en él.
valor crítico = α / 2 = 0.95 / 2 = 0.475 z = 1.96
Intervalo: 425.39 ± (1.96*107.10)
16.
[215.47 ; 635.31]
Bill Wenslaff, un ingeniero de una planta purificadora de agua, mide diariamente el contenido de cloro en 200 muestras diferentes. En un periodo de varios años, ha establecido que la desviación estándar de la población es de 1.4 miligramos de cloro por litro. Las últimas muestras arrojaron un promedio de 4.6 miligramos de cloro por litro. n = 200 σ = 1.4
µẋ = 4.6 a)
Encuentre el error estándar de la muestra.
Considerando población infinita: σẋ = σ/√n = 1.4/√200 = 0.099
b)
Establezca el intervalo alrededor de 5.2, la media de la población, que incluirá a la media de la muestra con una probabilidad de 68.7%.
valor crítico = α / 2 = 0.687 / 2 = 0.3435 z = 1.01
Considerando como media muestral el valor de 5.2, tenemos: Intervalo: 5.2 ± (1.01*0.099) = [5.1 ; 5.3] NO ESTOY SEGURO DE LA RESPUESTA: NO INCLUYE LA MEDIA MUESTRAL (µ ẋ = 4.6)…NO SERA QUE LA POBLACION ES FINITA??
17.
Larry Culler, inspector federal de granos de un p uerto marítimo, encontró que había partes echadas a perder en 40 de 120 lotes de avena elegidos aleatoriamente, embarcados en el puerto. Construya un intervalo de confianza de 95% para la porción real de lotes con partes echadas a perder en embarques hechos desde este puerto. p = 40 / 120 = 0.3333
q =0.6667
valor crítico = α / 2 = 0.95 / 2 = 0.475 z = 1.96 Considerando población infinita: σp = √((p*q)/n) = √((0.3333*0.6667)/120) = 0.04303
Intervalo: 0.3333 ± (1.96*0.04303) = [0.25 ; 0.42] 18.
El Departamento de Transporte ha ordenado que la velocidad promedio de los automóviles que se desplacen por la carretera interestatal no debe sobrepasar 67 millas por hora (aproximadamente 108 km por hora), con el fin que los departamentos de carreteras del estado puedan retener su presupuesto federal. La Policía de Caminos de Carolina del Norte, en automóviles sin insignias, tomó una muestra de 186 autos y encontraron que la velocidad promedio era de 66.3 millas por hora (aproximadamente 106.5 km por hora), con una desviación estándar de 0.6 millas por hora (aproximadamente 0.96 km/h). n = 186 µẋ = 66.3 S = 0.6 a)
Encuentre el error estándar de la media.
Considerando población infinita: σẋ = S/√n = 0.6/√186 = 0.044
b)
¿Cuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra que contendría a la media de la población 95.5% de las veces?
valor crítico = α / 2 = 0.955 / 2 = 0.4775 z = 2.01
Intervalo: 66.3 ± (2.01*0.044) = [66.21 ; 66.39] c)
¿Puede el Departamento de Transporte de Carolina del Norte informar con veracidad que la velocidad promedio real de sus carreteras es de 67 millas por hora o menor con 95.5% de confianza?
De acuerdo al cálculo hecho en el inciso anterior, sí podría hacer dicha afirmación ya que el 95.5% de las veces la velocidad promedio de los automóviles estará entre 66.21 y 66.39 millas por hora (de acuerdo a la muestra tomada) y estos valores son inferiores a las 67 millas por hora. 19.
John Deer, un horticultor de la Universidad Estatal de Carrboro del Norte, sabe que una cierta especie de maíz siempre produce entre 80 y 140 fanegas por hectárea. Para un nivel de confianza del 90%, ¿cuántas muestras en una hectárea debe tomar con el fin de estimar la producción promedio por hectárea dentro de 5 fanegas por hectárea?
20.
Ellen Harris, una ingeniera industrial, estuvo acumulando tiempos normales para varias tareas sobre u n proceso de ensamblado de trabajo intensivo. Este proceso incluía 300 estaciones de trabajo diferentes, cada una efectuando las mismas actividades de ensamblado. Muestreó 7 estaciones y obtuvo los siguientes tiempos de ensamblado, en minutos, para cada estación: 1.9, 2.5, 2.9, 1.3, 2.6, 2.8 y 3.0. a)
Calcule el tiempo medio de ensamblado y la correspondiente desviación estándar para la muestra.
N = 300 n=7 n / N = 0.023 media de la muestra = 17 / 7 = 2.43 minutos S = √(2.2742/6) = 0.6157 b)
Estime la desviación estándar de la población.
Por aproximación: σ = S = 0.6157
c)
Construya un intervalo de confianza de 98% para el tiempo medio de ensamblado.
µẋ = µ = 2.43 Dado que n/N es menor a 0.05 Población infinita σẋ = 0.6157/√7 = 0.2327
grados de libertad = n-1 = 6 valor crítico = 1 – 0.98 = 0.02 t = 3.143 Intervalo: 2.43 ± (3.143*0.2327) = [1.7 ; 3.2]
