Matemática Informática (MTI-100) 1. Título del trabajo
Aplicación de la función logarítmica a la solución de problemas
Ilustración 1. Extraída en Febrero 2017 de http://3.bp.blogspot.com/ _hmXhKgtx2k/VWnKo _hmXhKgtx2k/VWnKogFCGbI gFCGbI/AAAAA /AAAAAAAACl4/B AAACl4/B0q5SFmzQMk 0q5SFmzQMk/s1600/funcio /s1600/funcionlogaritm nlogaritmica9.gif ica9.gif
2. Justificación El estudio de los logaritmos es de vital importancia para la profundización de las matemáticas. Es necesario investigar sobre este tema de manera que se pueda verificar su importancia y utilidad en la solución de problemas del contexto.
3. Ins In s truc c i ones . harás? Consulta diferentes fuentes para que puedas desarrollar los siguientes puntos que ¿Qué harás? dirigirán tu investigación. investigación.
Analiza diferentes definiciones definiciones y coloca la que sea más completa. Tu investigación investigación también deberá contener detalles sobre su descubrimiento, propiedades y su importancia para la solución de problemas en diferentes áreas del saber . Coloca diferentes ejemplos de uso de los logaritmos en diferentes ciencias y su utilidad.
4. Estructura del trabajo a entregar. Aspectos generales generales que deberá contener contener la entrega entrega del trabajo final por parte del del estudiante. (Tabla 1) Estructura del trabajo por parte del estudiante:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Presentación Índice Introducción Justificación. En esta debe incluir: a. En qué consiste el trabajo a grosso modo. b. Objetivo del mismo. c. Aportes para tu desempeño Desarrollo Conclusiones Bibliografía Anexos
Forma de entrega y presentación: La presentación (Word… tamaño de letra 12).
Formato del título. (Tamaño 14, color deseado) Formato del texto. (interlineado a espacio y medio) Encabezados y pie de página. Tabla 1. Aspectos generales que deberá presentar el Trabajo Final realizado por el estudiante.
Índice:
1.Introducción 2.Justificación 3.Desarrollo 4.Conclusión 5.Anexo: 6.Bibliografía
Aplicación de la función logarítmica A la solución de problemas Introducción La función logarítmica es muy importante en matemáticas. Constituye un poderoso instrumento en la práctica del cálculo numérico. Por ser la recíproca de la exponencial, esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables .Así aparece en la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc. En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.
En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.
¿Para qué se representa una gráfica? Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También se representan para plasmar coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes.
Función Logarítmica Se llama función logarítmica a la función real de variable real:
La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :
La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281... Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma
Se hallan por medio de la fórmula :
El logaritmo de x con la base b se escribe log b x y se define como: logb x = y si y sólo si by = x, donde x > 0 y b > 0, b ≠ 1.
Antes de definir la función logarítmica, es necesario introducir el concepto de logaritmo de un número. Para su definición vamos primeramente a demostrar que dados a > 0, a# 1 e y > 0 números reales, existe un número real x tal que: a x = y. Como ya sabemos por el apartado anterior existen b y c números reales tales que 2b = a y 2c = y. Por lo tanto y = 2c = 2c.b/b = (2b)c/b = ac/b.
Tomando x = c/b, tenemos que a x = y, y diremos que x es el logaritmo en base a de y , y lo escribiremos por loga (y). Por lo tanto, a partir de su definición, diremos que x = log (y) si y sólo si a = y . x
a
Así por ejemplo: log2 (4) = 2, log10 (1000) = 3 o log 1/2 (8) = -3. Si a = 10 escribiremos log (x) en lugar de log10(x). ¿Cómo seria la gráfica de la función y = log a (x) ? Por la definición de logaritmo vemos que (x,y) es un punto de la gráfica de la función si y sólo si (y,x) es un punto de la función exponencial de base a. Debido a esta propiedad se dice que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial, o viceversa.
Desarrollo
Ecuaciones logarítmicas Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica. La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: loga f (x) = loga g (x) Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales. También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo: loga f (x) = m de donde se obtiene que f (x) = a m, que sí se puede resolver de la forma habitual.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos: Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica. Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas. Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.
Propiedades generales Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1. Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También usando la identidad logarítmica logb( x/y )=logb x - logb y ; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1). Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn> 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler. Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.
Propiedades analíticas Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es la función que produce la x -ésima potencia de b para cualquier número real x , donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como
Función logarítmica Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la ecuación exponencial
existe una única solución x , asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.5 Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.
Representación integral del logaritmo natural El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/ x dx desde 1 a t :
En otras palabras, ln(t ) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/ x , recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln( x ) sea 1/ x . El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las f órmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.12 Por ejemplo, la fórmula del producto ln(tu) = ln(t ) + ln(u) se deduce como:
La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( w = x /t ). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función f ( x ) = 1/ x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de f ( x ) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.
Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.
La fórmula de la potencia ln(t r ) = r ln(t ) puede ser obtenida de manera similar:
La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x 1/r . La suma sobre los inversos de los números naturales,
es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia,
Conclusión Gran parte de la teoría numérica en sistemas se hace con logaritmos. La función fundamental en teoría de la información es logarítmica. El diseño y las respuestas de filtros de señales se realizan logarítmicamente. Los tiempos de algoritmos y los rendimientos de diversas estructuras de datos pueden ser logarítmicos respecto del set de entrada. La ecuación de Richter para las magnitudes de los terremotos es logarítmica (un terremoto de grado 8 en la escala de Richter es 10 veces más potente que un terremoto de grado 7 y 100 veces más potente que uno de grado 6, etc). Si bien la mayoría de modelos matemáticos no tienen una "aplicación directa", ósea fácilmente observable, en el mundo real, si lo tienen a nivel matemático. ósea, las funciones logarítmicas y exponenciales, donde más se puede decir que se nota su aplicación al "mundo real es generalmente en modelos de crecimiento y decrecimiento en diferentes áreas (como pueden ser modelos por ejemplo en la veterinaria para calcular la reproducción en un grupo de animales, o proyecciones de población, perdidas en una guerra en curso, o en ingeniería para calcular el tiempo que tarda una masa en llegar a cierta temperatura, etc etc (hay miles de aplicaciones prácticas en el mundo real)). Si bien creo que tu pregunta es más que nada a nivel general, hay diferentes modelos logarítmicos y exponenciales (los cuales son mucho más prácticas que algunos cálculos algebraicos, para realizar el tipo de operaciones que te comente anteriormente) que se usan actualmente en biología y casi todos los campos tecnico-cientificos del mundo moderno (como pueden ser logísticos, o la Ley de Enfriamiento de Newton (LEN), etc, etc) cada uno tiene una aplicación en un campo diferente.
Anexos:
Bibliografía: Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo Yahoo.es: https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100324134442AAtZmqP Hir.eus: http://www.hiru.eus/fi/matematicas/funcion-logaritmica Vitutor: https://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html