Facultad de Ingeniería y Ciencia Básicas Estadística II Modalidad Virtual La siguiente serie de ejercicios se dividirán dividir án en dos partes, la primera tendrá una fecha de realización hasta el jueves de la semana 4, y se abrirá nuevamente el jueves de la semana 5, y debe ser complementada con la parte 2. Tenga presente que para cada uno de los ejercicios debe ser explícito con la solución que obtiene, son necesarios procedimientos. 1. CONTEXTO DEL TEMA Una tarea frecuente en el campo de las finanzas es la evaluación de proyectos de inversión. El inversionista evalúa las alternativas que se le presentan, contra una expectativa de rendimiento, que se denomina su tasa de interés de oportunidad. Un método para estimar la tasa de interés de oportunidad es analizar la relación entre la tasa de rendimiento de “una compañía de referencia” y “el mercado de valores”, en el cual esa compañía transa su acción. En el caso colombiano, el mercado de valores está compuesto por las acciones de las empresas que se negocian en la Bolsa de Valores de Colombia. Una medición global del comportamiento de este mercado es el índice COLCAP, el cual registra la variación del precio de las 20 acciones de mayor nivel de negociación. Si la relación funcional entre la tasa de variación diaria del precio de la acción de la compañía de referencia y la tasa de variación diaria del índice COLCAP es lineal, se puede entonces construir un modelo de regresión lineal simple entre la acción de interés y el mercado de valores. Tal relación tendría entonces la siguiente especificación:
= + + En la ecuación anterior se definen los siguientes conceptos:
: Tasa de variación diaria del precio de la acción de la compañía de referencia. Este valor resulta de la diferencia entre el precio de la acción en un día cualquiera y el precio de la acción del día anterior, dividida sobre el precio de la acción del día anterior, expresada como porcentaje.
: Tasa de variación diaria del índice COLCAP. Este valor resulta de la diferencia entre el valor del índice en un
día cualquiera y el valor del índice del día anterior, dividido sobre el valor del índice del día anterior, expresada como porcentaje.
ε: El error aleatorio del modelo o perturbación aleatoria, que se supone que es una variable distribuida normal con media cero y varianza constante. β: El parámetro que indica el impacto porcentual en el precio de la acción cuando el índice COLCAP varía un punto porcentual. α: El parámetro que indica la variación diaria del precio de la acción cuando la variación del índice COLCAP es cero por ciento.
A efectos de poder estimar los parámetros parámetros α y β del modelo, se dispone en el archivo Excel anexo: “Precios y Variaciones” https://goo.gl/4xmJWx , del precio diario de un grupo de acciones y del índice accionario COLCAP en el periodo comprendido entre el 23 de junio de 2016 y el 23 de junio de 2017.
Para la acción: ECOPETROL, atienda las siguientes solicitudes hechas al grupo de evaluadores financieros, al que usted pertenece. Parte 1: a. Muestre y analice el gráfico de dispersión de la tasa de variación diaria del precio de la acción contra el índice COLCAP. ¿Hay evidencia de una relación entre el par de variables? Escriba sus análisis. R\
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
-2.00 -3.00 -4.00 Tasa de variación diaria COLCAP (%)
Tasa de variación diaria Ecopetrol (%)
-5.00
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
-2.00 -3.00 Series4 -4.00
Series1
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 8.00
6.00
4.00
2.00
0.00 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 -2.00 Series4
Series1
-4.00
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 3.00 2.00 1.00 0.00 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183 185 187 189 191 193 195 197 199 -1.00 -2.00 Series4
Series1
-3.00
Tasa de variación diaria Ecopetrol & tasa de variación diaria COLCAP 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
-2.00 -3.00 Series4
Series1
-4.00
El índice COLCAP se calcula basada en el índice de las acciones de 20 empresas con las acciones más líquidas, sin que una de estas empresas exceda el 20% de la participación en el índice, así como se puede observar en la gráfica de las acciones de Ecopetrol contra el índice COLCAP se puede ver esta interrelación. En los picos más fuerte de cambios de valor de las acciones de Ecopetrol se ve la repercusión que este cambio tiene en el índice COLCAP. Por otra parte, cabe aclarar que, siendo el índice COLCAP un indicador
de las 20 empresas con acciones más líquidas, muchas veces el cambio en este índice depende también de la liquidez que hayan presentado las otras 19 empresas contempladas en el indicador. b. Muestre y analice los histogramas individuales de la acción y del COLCAP. ¿Son simétricos o asimétricos los comportamientos? Escriba sus análisis. R\
Histograma Ecopetrol Frecuencia 60 50 40 a i c n e u c e r F
30 20 10 0
Clase
Histograma COLCAP Frecuencia 50 45 40 35 a i c n e u c e r F
30 25 20 15 10 5 0
Clase
El histograma del valor de las acciones de Ecopetrol en el periodo 23 de junio de 2016 a 23 de junio de 2017 muestra una distribución aproximadamente normal, asimétrica hacia la izquierda, con un valor aislado y con moda 1335.3. Esto indica que los valores de las acciones se mantuvieron sobre la media. El histograma del índice COLCAP en el mismo periodo muestra una distribución aproximadamente normal, asimétrica hacia la derecha, sin valores aislados y con moda 1374.39. Esto indica que los valores se mantuvieron por debajo de la media. c. Genere y analice las estadísticas descriptivas que la opción “Análisis de datos” del botón “Datos” de Excel produce tanto para las tasas de variación diaria del precio de la acción y el índice accionario COLCAP. Escriba como tres puntos relevantes. R\
Ecopetrol
COLCAP Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95,0%)
0,03295333 0,03931508 0,03649698 #N/A 0,61663294 0,38023618 1,76543201 -0,59204553 4,18032122 -2,59618508 1,58413615 8,10651973 246 0,07743867
Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95,0%)
-0,00881152 0,09871373 0 0 1,54826439 2,39712263 1,47744364 0,47327207 10,2977667 -3,84615385 6,4516129 -2,16763489 246 0,19443584
Para el COLCAP se puede observar que se tiene una media positiva cercana a 0, lo que indica que el promedio de los datos para el periodo analizado tendió a ser de un ligero aumento. La desviación estándar indica que la mayoría de datos están cercanos a la media, ya que es una variación pequeña. Por último, con el rango se puede confirmar que los datos permanecieron más agrupados que los de Ecopetrol, ya que el rango es de apenas 4.1. Para Ecopetrol se tiene una media negativa cercana a 0, lo que indica que se tuvo en promedio un ligero descenso en la variación diaria de las acciones de la empresa. La desviación estándar de Ecopetrol es alta, por ello se puede ver que la variación de la tasa diaria de cambio se presentó más dispersa que la de COLCAP. Con el rango se confirma que los datos estuvieron mucho más dispersos que COLCAP ya que el rango de 10.29 es bastante elevado para los valores que se están manejando. d. Calcule e interprete el quinto percentil de la tasa de variación diaria del precio de la acción. Escriba la interpretación. R\
Para calcular los percentiles de la variación diaria del precio de la acción se utiliza la siguiente fórmula:
) = + 1 (100 : . :í ó ℎ : ó ℎ
:ñ : ℎ í : Se debe utilizar la siguiente tabla de datos agrupados tomada de la base de datos dada Clase -3,85 -3,16 -2,47 -1,79 -1,10 -0,41 0,27 0,96 1,65 2,33 3,02 3,71 4,39 5,08 5,77 y mayor...
Frecuencia
Fa
1 3 11 17 19 38 51 46 29 17 8 2 0 1 2 1
1 4 15 32 51 89 140 186 215 232 240 242 242 243 245 246
Así, el procedimiento sería el siguiente: Se calcula
para saber en qué lugar de los datos acumulados está el percentil, es decir, después de
cuántos datos se acumula el percentil
.
= 5 ∗ 147 = 7.35 100 100 Este resultado indica que después de 7.35 datos está ubicado el percentil 5%. En amarillo se puede observar el conjunto donde está ubicado el percentil 5% y en verde el conjunto anterior, así se obtienen
=5 3.1 6 = 11 = 247 = 4 = 1 Así:
= 3.16+ 111 (5∗247 100 4)∗1 = . Esto nos indica que debajo del valor 2.40 se encuentra el 5% de los datos totales tomados en el año de la variación diaria del precio de la acción de Ecopetrol.
e. Obtenga e interprete la variabilidad relativa de la acción y del índice accionario. Escriba la interpretación. R\
El coeficiente de variación indica qué tan homogéneo o heterogéneo es el comportamiento de una variable, y la variabilidad relativa se obtiene comparando el comportamiento de dos variables.
..= ̅ ∗ 100% ̅ = 1339.25 y una desviación estándar de =
Para el comportamiento de Ecopetrol se tiene una media de , así, el coeficiente de variación de Ecopetrol sería:
51.1
51.1 ∗100% .. = 1339.25 .. = .% Ahora, el coeficiente de variación de COLCAP, que tiene una media de estándar de y utilizando la misma fórmula se obtiene:
= 40.99
̅ = 1358.14 y una desviación
40.99 ∗100% .. = 1358.14 .. = .% Esto nos indica que los datos de Ecopetrol están un poco más dispersos que los datos de COLCAP, es decir, el índice COLCAP ha sido más estable durante el periodo evaluado que el valor de la acción de Ecopetrol, aunque la diferencia es de apenas 0.8%. f. ●
Asumiendo que la tasa de variación del precio de la acción ( siguientes probabilidades:
) se distribuye normal, obtenga las
> 0% R\
Para calcular la probabilidad se utiliza la tabla de distribución normal; para utilizarla se requiere normalizar la variable de a de la siguiente forma:
Teniendo que la media de la variación del precio de la acción es se debe normalizar la variable así
= 1.02
Se calculan las probabilidades de esta forma:
̅ = 1.17 y una desviación estándar de
1.17,1.02 = 1.021.1 7
1.17) > 0% = ( > 0 1.02 > 1.15 Ahora se busca este valor en la tabla; cabe aclarar que la distribución normal es simétrica, lo que significa que los valores de la izquierda son iguales a los de la derecha, lo que significa que si busco el valor de un Z negativo basta con restarle a 1 el valor positivo encontrado en la tabla.
Tabla: Distribución normal tipificada
El valor de
< 1.15 en la tabla es 0.87493. < 1.15 = 1 < 1.15 = 10.87493 = 0.12507 > 1.15 = 1 < 1.15 = 10.12507 = 0.87493
Este proceso demuestra que la probabilidad que Z sea mayor a un número negativo es igual a la probabilidad de que Z sea menor al mismo número positivo
Así,
> = < || > % = .
●
≥ R\
●
1% ≤ ≤ 1% R\
1% ≤ ≤ 1% = ≤ 1% ≤ 1% 1.17) = ≤ 0.16 ≤ 1 = ( ≤ 1 1.02 De la tabla se obtiene:
≤ 0.16 = 0.56356 ≤ 0.16 = 1 ≤ 0.16 = 10.56356 = 0.43644 ≤ = ≤ . = . 1.17) = ≤ 2.13 ≤ 1 = ( ≤ 1 1.02 De la tabla se obtiene:
≤ 2.13 = 0.98341 ≤ 2.13 = 1 ≤ 2.13 = 10.98341 = 0.01659 ≤ = ≤ . = . g. Construya e interprete un intervalo de confianza al 95% para la tasa de variación diaria media del precio de la acción: ( ). Escriba la interpretación del intervalo. R\
Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la fórmula:
∗ √
Para un nivel de confianza del 95% hay que buscar el valor
en la tabla.
= −. = .
En la tabla no se encuentra el valor exacto entonces promediamos los valores de 0.02 y 0.03:
. = 0.50798 . = 0.51197 . = 0.50998 Ahora se calcula el error estándar:
= 1.5482 = 0.0989 √ √ 245 Ahora utilizando la fórmula
∗ √ = 0.50998 ∗ 0.0989 = 0.05044
Ahora, el intervalo de confianza se expresa con la siguiente fórmula
̅ ± ∗ √ 0.0088±0.05044
Intervalo de confianza de 95%:
[.,.] h. Construya e interprete un intervalo de confianza al 95% para la tasa de variación diaria media del índice COLCAP: ( ). Escriba la interpretación del intervalo. R\
Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la fórmula:
∗ √
Para un nivel de confianza del 95% hay que buscar el valor
en la tabla.
= −. = .
En la tabla no se encuentra el valor exacto entonces promediamos los valores de 0.02 y 0.03:
. = 0.50798 . = 0.51197 . = 0.50998 Ahora se calcula el error estándar:
= 0.6166 = 0.03939 √ √ 245 Ahora utilizando la fórmula
∗ √ = 0.50998 ∗ 0.03939 = 0.020089 Ahora, el intervalo de confianza se expresa con la siguiente fórmula
̅ ± ∗ √
Intervalo de confianza de 95%:
0.03295±0.020089 [.,. ]
Parte 2: a. Calcule e interprete el coeficiente de correlación entre la tasa de variación diaria del precio de la acción y la tasa de variación diaria del índice COLCAP. Escriba la interpretación. R\ //Pendiente b. Obtenga las estimaciones de los parámetros del modelo de regresión lineal simple.
=̂+ R\ Para obtener la estimación de los valores de y se debe realizar la regresión lineal de las variables; primero que todo se debe observar que la ecuación es del estilo = + lo que nos permite suponer que las coordenadas dadas por los puntos corresponderán a una línea recta, es por esto que se utiliza este método. Los valores correspondientes de la ecuación dada con la ecuación de una recta son los siguientes:
= = = =
De esta manera, la forma más fácil de hallar las variables y es construyendo la recta que representa; con los datos obtenidos del archivo de Excel en el que se calcularon y se construye una gráfica de dispersión utilizando como y como ; la gráfica es la siguiente:
RA: Tasa de variación diaria Ecopetrol (%) 8.000
6.000
4.000
2.000
-3.000
-2.500
-2.000
-1.500
-1.000
-0.500
0.000 0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
-2.000
-4.000
-6.000
Como se puede ver, aunque los puntos están dispersos, es posible realizar una regresión lineal haciendo uso de la herramienta de Excel para tal fin, lo que resulta en la siguiente gráfica:
RA: Tasa de variación diaria Ecopetrol (%) y = 1.5228x - 0.059 8.000
6.000 4.000 2.000
-3.000
-2.500
-2.000
-1.500
-1.000
-0.500
0.000 0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
-2.000 -4.000
-6.000
Esta gráfica muestra la línea de tendencia de los puntos dados y, además de esto, la ecuación de la recta trazada; así se pueden hallar los valores de y utilizando la relación antes mencionada:
= . = .
̂
c. Escriba la interpretación de y en el contexto del modelo construido. R\ Habiendo planteado una regresión lineal y habiendo establecido que y en la fórmula de la línea recta se puede decir que el valor de hace que la recta esté tan unidades por debajo del punto de corte, y el valor de hace que la recta tenga una pendiente positiva de lo que hace que la recta se acerque más al eje que al eje .
0,0
= = 0.059 1.5228
Ahora, el valor de representa la variación diaria del precio de la acción de Ecopetrol cuando el índice COLCAP varía ; en este caso, con una variación del , indica que el valor de la acción de Ecopetrol baja puntos cuando el índice COLCAP se mantiene constante, lo que nos indica que tiene una tendencia decreciente en el periodo analizado.
0.059
0%
0.059
Por otra parte, el valor de es el parámetro que indica el impacto porcentual del precio de la acción cuando el índice COLCAP varía un punto porcentual; con un valor de , el valor de hallado indica que, cada vez que el índice COLCAP varía un punto, el valor de la acción de Ecopetrol varía su valor. Teniendo en cuenta estos dos valores, se puede concluir que la tasa de variación diaria de Ecopetrol en el periodo 23 de junio de 2016 a 23 de junio de 2017 tiene una tendencia decreciente cuando el índice COLCAP no varía y cuando el índice COLCAP varía el valor de la acción de Ecopetrol varía .
1.5228
1%
1.5228%
1.5228%
d. Calcule e interprete el coeficiente de determinación del modelo construido. e. Plantee y realice las pruebas de hipótesis para evaluar la significancia individual de la variable tasa de variación del índice COLCAP para explicar el comportamiento de la tasa de variación diaria del precio de la acción. Escriba la interpretación de los resultados. f. Plantee y realice la prueba de hipótesis para evaluar la significancia del modelo de regresión lineal simple que relaciona la tasa de variación diaria del precio de la acción en función lineal de la variable tasa de variación diaria del índice COLCAP. Escriba los resultados de la prueba de hipótesis.
g. Estime un intervalo de confianza al 95% para las estimaciones de la tasa de variación diaria del precio de la acción para los días 24, 25 y 26 de junio de 2017. Compare estas estimaciones contra las vari aciones reales disponibles en www.bvc.com.co CONCLUSIONES:
Aunque el índice COLCAP se calcula basado en el índice de las acciones de 20 empresas con las acciones más líquidas, en muchas ocasiones no se puede predecir el de la acción de una empresa en específico utilizando solamente el índice ya que, como depende de otras 19 empresas, no refleja en todos los puntos la variación puntual de dicha empresa. Además, aunque una de las empresas tenga las acciones más líquidas y pudiera pesar más que las demás empresas, el mayor porcentaje de contribución de una empresa es del 20%, permitiendo así que se vea reflejado el valor de las demás acciones también. De los histogramas se puede observar que el del valor de las acciones de Ecopetrol tiene una asimetría hacia la izquierda y el del valor del índice COLCAP hacia la derecha, es decir, que los valores de la media de Ecopetrol estuvieron por encima de la media y los valores de COLCAP por debajo de la media, así se puede observar que los valores de Ecopetrol y COLCAP son inversos en signos, lo que nos indicaría que aparentemente en la mayoría de los casos, cuando el valor de la acción de Ecopetrol aumenta, el valor del índice COLCAP decae impulsado por las otras 19 empresas. Del análisis de datos de COLCAP y de Ecopetrol realizado en Excel se puede concluir que COLCAP tuvo una tendencia al alza en el periodo analizado y los datos de variación diaria estuvieron agrupados, esto se concluye basado en una media de y desviación estándar de . Por otra parte, para Ecopetrol se puede observar que tuvo tendencia al descenso en general y sus valores se presentaron más dispersos que los de COLCAP, esto se basa en una media de y una desviación estándar de .
0.0329
0.617
0.008
Basados en el coeficiente de variación se puede confirmar que la variación del índice COLCAP es menor que la variación de Ecopetrol, esto indica que Esto nos indica que los datos de Ecopetrol están un poco más dispersos que los datos de COLCAP, es decir, el índice COLCAP ha sido más estable durante el periodo evaluado que el valor de la acción de Ecopetrol, aunque la diferencia es de apenas 0.8%. Se puede aseverar que la media de la variación de la acción de Ecopetrol en el 95% de los casos está contenido en el intervalo y que la media de la variación del índice COLCAP en el 95% de los casos está contenido en el intervalo . Como se puede observar, el rango de valores del 95% es menor para COLCAP que para Ecopetrol, lo que significa, una vez más, que los datos obtenidos para COLCAP están menos dispersos que los obtenidos para Ecopetrol.
[0.05924,0.04164]
[0.012861,0.053039]
Aunque los datos obtenidos para la relación entre y están dispersos, se puede hallar la línea de tendencia general de estos datos, lo que permite obtener los valores y ; así se puede concluir que la tasa de variación diaria de Ecopetrol en el periodo 23 de junio de 2016 a 23 de junio de 2017 tiene una tendencia decreciente cuando el índice COLCAP no varía y cuando el índice COLCAP varía el valor de la acción de Ecopetrol varía .
1.5228%
1.548
1%
En general se observa que, gracias a que el índice COLCAP depende de 20 empresas y no permite una participación superior al 20% por empresa, es un indicador más estable del estado de las acciones de la bolsa de valores de Colombia que tratar de deducirlo del valor de la acción de una sola empresa ya que estos valores se presentan más dispersos.
