TRABAJO FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Curso
´ CALCULO VECTORIAL
acult tad de I ngenier´ ıa ıa Facul
Univer niversid sidad ad de P iura Mayo 2018
Pregunta 1: Los bio´ logos marinos han determinado que cuando un tibur o´ n detecta la presencia de sangre en el agua, nada en la direcci o´ n en la cual la concentraci o´ n de ella se incrementa con mayor rapidez. Con base en ciertas pruebas, la concentraci o´ n de sangre (en partes por mill o´ n), en el punto P ( x, y) sobre la superficie del agua de mar es de aproximadamente C ( x, y)
=
e −( x
2
2 y2 )/104
+
donde x y y se miden en metros en un sistema de coordenadas rectangulares con la fuente de sangre en el origen. (a) Dibuje en la misma figura como m´ınimo seis curvas de nivel de la funci o´ n de concentraci´on, seleccione un punto desde donde parte el tibur o´ n y grafique a mano su trayectoria hasta donde se encuentra la fuente de sangre. (Cada grupo debe considerar que el tibur o´ n parte de un punto diferente). (b) Suponga que un tibur o´ n est´a en el punto arbitrario ( x0 , y0 ) cuando detecta por primera vez la presencia de sangre en el agua. Deduzca la ecuaci o´ n de la trayectoria del tibur o´ n planteando y resolviendo una ecuaci´on diferencial. Dibuje la trayectoria considerando el mismo punto de partida de la secci o´ n a). (a) 2.5 ptos. b) 2.5 ptos.)
Pregunta 2: (a) El m´etodo de Newton para aproximar una ra´ız de una ecuaci o´ n f ( x) = 0 (v´ease secci o´ n la seccio´ n 4.8 del libro Stewart (2008) ) se puede adaptar para aproximar una soluci o´ n de un sistema de ecuaciones f ( x, y) = 0 y g( x, y) = 0. Las superficies z = f ( x, y) y z = g ( x, y) se cortan formando una curva que interseca al plano xy en el punto ( r , s), que es la solucio´ n del sistema. Si una aproximaci o´ n inicial ( x1 , y1 ) est´a cerca de este punto, entonces los planos tangentes a las superficies en ( x1 , y1 ) se cortan formando una recta que corta al plano xy en el punto ( x2 , y2 ), el cual debe ser m a´ s cercano a ( r , s). (Compare con la figura 2 de la seccio´ n 4.8. Stewart (2008)). Demuestre que x2
=
x1 −
f g y − f y g
y2
f x g y − f y g x
=
y 1 −
f x g − f g x f x g y − f y g x
donde f , g y sus derivadas parciales se eval u´ an en ( x1 , y1 ). Si cont´ınua con este procedimiento se obtienen aproximaciones sucesivas ( xn , yn ). (b) Thomas Simpson (1710-1761) fue quien formul o´ el m´etodo de Newton como se conoce ahora y lo generaliz o´ a funciones de dos variables como en el inciso a). (V e´ ase la biograf ´ıa de Simpson en la p a´ gina 513). El ejemplo que dio para ilustrar el m e´ todo fue la resoluci´on del sistema de ecuaciones x x
+
y y
=
x y
1000 1
+
y x
=
100
En otras palabras, encontr o´ los puntos de intersecci o´ n de las curvas de la figura. Aplique el m´etodo del inciso a) para calcular las coordenadas de los puntos de intersecci´on aproximados a seis cifras decimales. (Indique c o´ mo seleccion o´ el punto con el cual inicia los c´alculos.) (c) Utilizando el m´etodo de Newton, resolver el sistema x3 + y3 − 2 xy
=
0 ,
x2 + y2
=
1 .
(Indique c´omo selecciono´ el punto con el cual inicia los c a´ lculos.) (a) 3.5 ptos. b) 3.0 ptos. c) 3.5 ptos.)
Instrucciones Presentar un informe impreso hasta las 9:00 am del d´ıa lunes 04 de junio. Indicar en la car a´ tula del informe la secci o´ n y el nu´ mero de grupo as´ı como el nombre de los integrantes en orden alfab e´ tico. El grupo que no cumpla algunos de los requerimientos indicados en estas instrucciones puede perder hasta dos puntos. Tener cuidado en cumplir las instrucciones dadas para facilitar la correcci´on de los trabajos. El informe tendr´a un valor de 15 puntos. Los 5 puntos restantes se obtendr a´ n de la pr´actica del 04 de junio en la cual vendr a´ una pregunta sobre el trabajo.
Referencias alculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning, Stewart, J. (2008). C´ sexta edition.
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