TP N° 3 - Calculo de Engranajes Helicoidales (2014).docx

Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Mar del Plata

CALCULO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS TRABAJO PRACTICO N° 3 “Cálculo de Engranajes Helicoidales”

Integrantes:

Arévalo, Julián Cabo, Patricio Colello, Agustín Cornú, Matías D´Archivio, Matías

CALCULO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS

Profesor a Cargo: Roberto Fernández Fecha de Entrega:

11-09-2014

1) INTRODUCCIÓN Se procederá al cálculo del par de engranajes de entrada de la máquina taladradora asignada, a diferencia del TP N ° 2 los mismos serán helicoidales.

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2) DESARROLLO 2.1) REQUERIMIENTOS DE DISEÑO DEL ENGRANAJE A partir de los datos del proyecto contamos con los siguientes requerimientos para el diseño del par de engranajes:   

Potencia a transmitir: P=3 Hp Relación de transmisión: 1/3 Velocidad en el eje de entrada: 1200 rpm

2.2) PRE-DISEÑO DEL ENGRANE De la misma forma que para engranajes rectos debemos comenzar definiendo una serie de variables para realizar un pre diseño del par de engranajes. 

SELECCIÓN DEL ÁNGULO DE PRESIÓN Y ÁNGULO DEL HELICOIDE.

α = 20°

Ángulo de presión. Ψ = 20° Ángulo de helicoide. Los valores usuales varían entre 15° y 30° 

SELECCIÓN DE CANTIDAD DE DIENTES

Determinamos la cantidad mínima de dientes para que no haya interferencia, con el ángulo de presión de 20°, de la misma forma que se calculó para engranajes rectos.

Z min =

Donde

α

es el ángulo de presión y

proporciones elegidas: cabeza. Tomamos

2. λ sen 2 α λ

es un número que depende de las

a=λ . M , donde M es el módulo y ‘a’ es la altura de

λ=1 Z min =

2. 1 =17 dientes 2 sen 20

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A partir de la relación de transmisión (i=1/3) se obtiene la cantidad de dientes de la rueda: Adoptamos

i=

Z piñon=20 dientes

W rueda Z piñon = W piñon Z rueda

Z rueda =

Z rueda = 

Z piñon i

20 dientes =60 dientes 3

SELECCIÓN DE MATERIAL

Seleccionamos para la fabricación del engranaje Acero Aleado SAE 2345 (endurecido por templado en aceite y revenido), debido a que es un material existente en el mercado. Las propiedades las obtenemos de la Tabla.

Tabla 1.

Aclaración: anteriormente se había seleccionado un acero SAE 1045 sin tratamiento, pero este no verificaba a la flexión por Buckingham. Teniendo en cuenta que: Página 3 de 16


14.2243

[ ]

lb kgf =1[ 2 ] 2 pulg cm

Expresamos la tensión admisible en las unidades necesarias para poder utilizar la Fórmula de Lewis:

σ adm=50000

[ ]

[ ]

lb kgf =3515,11 2 pulg cm2

2.3) PROCEDIMIENTO PARA CÁLCULAR EL PASO CON MÉTODO DE LEWIS

pn=76,6

√ 3

N 0 cos ψ k r ρ y σ adm n Z

y=Factor de Forma ρ=Factor para determinar ancho(b)

σ adm =Tension admisible pn=Paso normal N 0=Potencia del motor ,considerando un factor de servicio 1. n=rpmdel motor Considerando



k r =1 .

FACTOR DE FORMA

Los mismos se obtienen por tabla, ingresando a la misma con el ángulo de presión y con el número virtual de dientes

Z v , el cual se calcula con la siguiente relación:

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Z v=

Z cos 3 ψ

Z v piñon =

20 =24 dientes cos 3 20

Z v piñon =

60 =72dientes 3 cos 20

Con estos valores obtenemos los factores de forma de la tabla:

Interpolando los valores:

Y piñon=0.107

Y rueda =0.1372



ESPESOR “b”

Se recomienda que la relación entre el ancho del engrane (b) y el paso tangencial (

P t ):

b=ρ . Pt

con

4,5 Pt < b<6,5 Pt

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Elegimos

b=5 P t

ρ=5



POTENCIA DEL MOTOR

Para motores de corriente alterna el rendimiento del motor varía entre 80 y 85%, por lo tanto utilizando un motor de 3 HP de una calidad aceptable, el cual se consigue comercialmente, (rendimiento 85%), la potencia transmitida será 2,55 HP. 

CALCULO DEL PASO

Una vez obtenidos los datos necesarios, calculamos el valor del paso, igualando la fuerza tangencial con la fuerza admisible, obtenemos la ecuación del paso normal mínimo. La fuerza utilizada debe ser la componente tangencial perpendicular a la cara del diente (

F ' t ), el ancho debe ser el ancho de la cara medida a lo largo del eje del

mismo diente (b’) y el paso es el normal. '

Ft =b . y . Pn . σ

pn=76,6

√ 3

N 0 cos ψ k r ρ y σ adm n Z

Al igual que en engranajes rectos debemos analizar las fuerzas actuantes sobre los dientes del engranaje, despreciando las fuerzas por fricción. Fuerza tangencial

Ft : Componente tangencial de la fuerza, la cual transmite el

movimiento, solicita al diente a la flexión. Fuerza axial

Fa : Componente axial de la fuerza, solicita al diente a la flexión, se

transmite al eje y debe ser absorbida por los apoyos del eje.

Fa =

Ft tgψ

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Fuerza radial

Fr =

Fr : Componente radial, solicita al diente a la compresión

F t . tg ϕ n cosψ

La fuerza utilizada debe ser la componente tangencial perpendicular a la cara del diente (

F ' t ), el ancho debe ser el ancho de la cara medida a lo largo del eje del

mismo diente (b’) y el paso es el normal. '

Ft =b . y . Pn . σ

Paso normal

Pn : distancia entre las hélices determinadas sobre el cilindro

primitivo por los flancos homólogos de los dientes consecutivos, medida sobre una normal a las mismas. Paso

circunferencial o transversal

Pt

: paso de la rueda medido sobre la

circunferencia primitiva de una sección normal, no es sino el paso de la rueda frontal equivalente. Paso axial

Pa : es la distancia entre los puntos correspondientes sobre dientes

adyacentes medida en dirección axial.

Pn=Pt cos ⁡ψ

P a=

Pt tgψ

Modulo normal:

M n=

Pn π

Módulo circunferencial:

M c=

Pt D p = π Z

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Calculando para el piñón:

√

pn=76,6 3

3 HP cos 20 kgf 6,5 . 0,107 . 3515,11 2 . 1200 rpm. 20 cm

Paso normal:

pn=0,2784

Modulo normal:

M n=

P n 0,2784 = =0,089 cm π π

El valor normalizado, próximo superior es 1 mm Entonces el paso normalizado es 0,31415 cm. Módulo circunferencial:

Pt =

M c=

Pn =0,3343 cm cos ψ

Pt 0.3343cm = =0,106 cm π π

2.4) PROCEDIMIENTO PARA VERIFICAR A LA FLEXIÓN POR BUCKINGHAM Fórmula de Buckingham. Cargas dinámicas. Este método parte de la suposición que el esfuerzo máximo sobre el diente está constituido por la carga transmitida más un incremento dinámico de carga. De este modo se tiene:

Pd =P+Δ P

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2

Δ P=

0.113∗v p∗cos (Ψ )∗[P+ b∗C∗cos (Ψ )] 2 1/ 2 0.113∗v p +[ P+b∗C∗cos ( Ψ )]

donde: Vp [m/min]: P [Kgf]: C: b [cm]:



Velocidad de la circunferencia primitiva Carga estática aplicada Coeficiente dinámico Ancho del engranaje

CALCULO DE LA VELOCIDAD DE LA CIRCUNFERENCIA PRIMITIVA

Primero determino w:

w=2∗π∗n=2∗π∗1200 rpm=7540

rad min

Después debo conocer el radio primitivo:

R p=

M c∗Z 0,106 cm∗20 dientes = =1,06 cm=0,0106 m 2 2

Ahora puedo calcular la velocidad de la circunferencia primitiva: v p =w∗R p=7540



rad m ∗0,0106 m=79,9 min min

CÁLCULO DEL COEFICIENTE DINÁMICO

Este se puede expresar con la siguiente ecuación:

C=k

[ cm ]∗ E1∗E2 E 1 + E2

donde k es función del error relativo e y en nuestro caso, considerando un diente de altura completa y ángulo de presión de 20º, se tiene que:

k =0,111∗e

Lo primero que debemos realizar es calcular el error admisible, que se obtiene de la siguiente gráfica:

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Esta nos da un valor de e=0,013 cm (es el admisible) Luego, se debe entrar en la siguiente gráfica para definir la calidad de fabricación:

Como podemos observar, para un error admisible de 0,013 cm y para módulos de hasta 4 mm la curva inmediata inferior, que es la que debo seleccionar, es la de engranajes comerciales de 1° clase. Esta es la curva que selecciono y podemos observar que el error posible es: e=0,005 cm El valor de k es entonces:

k =0,111∗e=0,111∗0,005 cm=0,000555 cm Se puede obtener el valor de C de la siguiente tabla:

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Analíticamente se puede calcular conociendo los valores de los módulos de Young de los materiales:

E1=E 2=2.100 .000

kg cm2

Entonces:

C=k

[ cm ]∗ E1∗E2 E1 + E2

=582,75

kg cm

Que es cercano al obtenido por la tabla. 

VERIFICACIÓN POR BUCKINGHAM

Antes de empezar, debemos calcular algunos valores previos que se utilizarán en la ecuación: Carga estática aplicada:

Ft =

71620∗N 71620∗3 HP = =168,9 kgf n∗R p 1200 rpm∗1,06 cm

Ancho del engranaje:

b=Pt∗6,5=0,3343∗6,5=2,173 cm Una vez que tenemos todo lo necesario, podemos pasar a realizar la verificación:

Pd =P+Δ P

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2

Δ P=

0.113∗v p∗cos (Ψ )∗[P+ b∗C∗cos (Ψ )] 2 1/ 2 0.113∗v p +[ P+b∗C∗cos ( Ψ )]

Δ P=

0.113∗79,9∗0.939∗(168,9+2,173∗582,75∗0.883) =243 kgf 1 /2 0.113∗79,9+(168,9+2,173∗582,75∗0.883)

Pd =P+ Δ P=168,9 Kgf +243 Kgf =411,9 Kgf Aún cuando la fuerza exterior que actúa sobre el engranaje sea constante, la carga que incide sobre los dientes es variable en el tiempo. Para tener en cuenta este efecto, la tensión se compara con el límite de fatiga admisible a la flexión:

σ=

k f ∗Pd ≤σ b∗y∗p n lim adm

En el cuadro que sigue se puede ver como calcular la tensión admisible límite:

σ lim ⁡adm =7000

kg 2 cm

Kf Además, es un factor que tiene en cuenta la concentración de tensiones en la base del diente

K f  1  q( K t  1)

K t = 0.18 + (

t 0.15 ) ( t / h ) 0.45 para  = 20° c

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Kt Debido que para calcular

, hay que basarse en ciertas suposiciones. Adoptamos

Kf un valor sugerido de

en base a:

Kf 

entre 1,2 a 1,7 -> cuando la carga es aplicada en la punta del diente

Kf 

entre 1,4 a 2 -> cuando la carga es aplicada cerca de la parte central del diente

Finalmente Adoptamos:

k f =1,2

Entonces:

σ=

Se cumple entonces que



1,2∗411,9 Kg kg =6766,94 2 2,173 cm∗0.107∗0.31415 cm cm σ ≤ σ lim ⁡adm

CÁLCULO DE REACCIONES DE LOS SOPORTES

Las fuerzas y reacciones de los soportes de un engranaje helicoidal se pueden observar en la siguiente imagen:

Para nuestro caso, nos valemos de la disposición en voladizo o cantiléver, para el cual las cargas no actúan en el mismo sentido, ya que la reacción en el apoyo más cercano al punto de la carga es opuesta a dicha carga y la reacción en el más Página 13 de 16


distante actúa en el mismo sentido que el de la carga aplicada. A continuación se muestra la disposición:

Ahora, planteamos las ecuaciones de equilibrio:

∑ Fx=−RBx+ Fx=0

∑ Fy=−RAy+ RBy−Ft=0 ∑ Fz=−RAz+ RBz−Fr=0

∑ Mz=−RBy∗A+ Ft∗( A +B)=0 My=−RBz∗A +¿ Fr∗( A+ B ) + Fx∗C=0 ∑¿

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Por lo tanto, las reacciones valen:

Fx=RBx

RBy=

Ft∗( A + B ) A

RBz=

Fr∗( A+ B ) + Fx∗C A

RAy=

Ft∗( A + B ) Ft∗B −Ft= A A

RAz=

Fr∗( A+ B ) + Fx∗C Fr∗B+ Fx∗C −Fr = A A

Dejamos los valores expresados en letras para luego reemplazar los mismos cuando veamos el tema de ejes.

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