TP automatique 2012/2013
Généralités........................... Généralités................................................. ............................................ ............................................ .....................................2 ...............2 Cahier des charges............................. charges................................................... ............................................ ............................................ .......................2 .2 Rappel Théorique................... Théorique......................................... ............................................ ............................................ ...................................3 .............3 1) Correction par avance de phase.................................... phase.......................................................... ............................3 ......3 2) Détermination des paramètres........ paramètres.............................. ......................................... .....................................4 ..................4 Etude pratique........................ pratique.............................................. ............................................ ............................................ ....................................6 ..............6 I.
Vérification des paramètres du système non corrigé............................. corrigé..............................6 .6
1) Etude du système en boucle ouverte........... ouverte.................................... .............................................6 ....................6 2) Etude du système système en boucle fermée.................................... fermée........................................................8 ....................8 3) Conclusion............................... Conclusion..................................................... ............................................ .........................................11 ...................11 II.
Détermination des paramètres paramètres des des régulateurs ........................ ....................................11 ............11 1) Détermination de K ............................................................ ...................................11 .............11 c ...................................... 2) Détermination du facteur facteur d'avance d'avance de phase phase "a"...........................13 "a"...........................13 3) Détermination de "T" "T" du correcteur................ correcteur...................................... ...............................15 .........15 4) Détermination de la fonction de transfert transfert du correcteur........... correcteur................16 .....16 5) Conclusion............................. Conclusion................................................... ............................................ ....................................23 ..............23
III.
Conception et simulation du circuit électrique du correcteur.............24 correcteur.............24
Conclusion........................... Conclusion................................................. ............................................ ............................................ ..................................27 ............27
1
TP automatique 2012/2013
Généralités Un servomoteur est un moteur électrique muni d'engrenages d'engrenages et commandé par un circuit interne de détection de position. Outre la tension d'alimentation, on applique à un servomoteur un signal de commande qui lui indique la position à prendre. Il surveille donc lui-même son attitude et la maintient ou la modifie, selon les ordres. Ce type de machines est utilisé couramment dans le robotique . L'amélioration de la précision du système système c'est à dire la position précis à prendre nous amène à concevoir un correcteur avance de phase pour le control de servomoteur et répondre aux exigences de cahier cahier des charges. Pour cela cela nous allons déterminer les paramètres du du correcteur avance de phase et étudier son effet sur le système à l'aide du logiciel MATLAB d'une part, et d'autre part nous allons établir son schéma électronique pour sa réalisation.
Parmi les Objectifs de ce TP sont: Simulation de fonctions de transferts sous MATLABR Familiarisation avec la structure de correction avance de phase. Analyse des performances d'un système après correction Réalisation du correcteur sous forme de circuit électronique
Cahier des charges On se propose d’étudier le control d’un servomoteur dont fonction de transfert liant la tension appliquée à la position est:
On désire concevoir un correcteur avance de phase de tel sorte que :
2
TP automatique 2012/2013
avec :
le cahier de charge exige d'avoir les critères suivants après la correction du système : -1 1. Erreur de vitesse ≤ 0.25 s 2. Marge de phase ≥ 45° 3. Marge de gain ≥ 8dB
Rappel Théorique 1) Correction par avance de phase Un correcteur par avance de phase est défini par sa fonction de transfert sous la forme :
diagramme de Bode d'un correcteur par avance de phase :
3
TP automatique 2012/2013
Figure1 : Diagramme de Bode du correcteur avance de phase Resultats Principaux :
2) Détermination des paramètres Dans cette partie, on procède les étapes suivantes pour calculer les différents paramètres inconnus de la fonction de transfert du correcteur : 1- Définir par une condition sur la précision de la boucle le gain K r et repérer la phase (0dB) pour la pulsation (0dB) de fonction du transfert de boucle ouverte avec seulement K r . 2 - Calculer la marge de phase résultante M r=180+( 0dB) et l’apport de phase du correcteur
max=Mdesiré - Mr pour respecter la marge de phase désirée 3 - En déduire
avec :
4
et
M
desiré .
TP automatique 2012/2013 4 - vérifier que la marge de phase répond aux exigences de cahier des charges. S'il ne répond pas on refait le calcul de troisième étape.
5
TP automatique 2012/2013
Etude pratique I.
Vérification des paramètres du système non corrigé
1) Etude du système en boucle ouverte la fonction du transfert en boucle ouvert est :
pour tracer cette fonction sous MATLAB on utilise certains codes : code :pour définition de la fonction du transfert
code :tracage de diagramme de Bode de la fonction du transfert
6
TP automatique 2012/2013
code : la marge de phase et celle du gain
donc la marge du gain MG =11 dB et la marge de phase correspondante est MF =47,4° code : calcul des pôles de la fonction du transfert
le système est en limite de stabilité car il y a un pole nul code :le gain de la fonction du transfert
le système est instable , le gain est infinie. dans ce cas on ne parle pas du gain.
7
TP automatique 2012/2013
code : carte des poles
Il y a un pole nul (sur l'axe des imaginaires)
donc le système est instable.
2) Etude du système en boucle fermée la réponse indicielle du système bouclé à retour unitaire. code : calcul du numérateur et dénominateur de la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée
code : calcul de la fonction du transfert en BF
8
TP automatique 2012/2013
code : Réponse indicielle
Le dépassement
est :
Temps de réponse à 5%
est :
D1=0,21 Tr5% =8,49 s
stabilité en boucle fermée:
on utilise le critère de ROUTH : on a
9
TP automatique 2012/2013 p3
1
10
p2
11
10
p
9,1
0
1
10
0
Le premier colonne est constitué des valeur de signe positive, alors le système est stable en boucle fermée selon le critère de ROUTH. code : Réponse à une rampe
l'erreur de vitesse est :
10
ɛv =8-7,006 =0,994 s-1
.
TP automatique 2012/2013 3) Conclusion On remarque que l'erreur de vitesse est supérieur à celui demandé par cahier de charge 0,25s donc on est obliger d'ajouter un correcteur pour améliorer la précision du système tout en répondant à ce qui est demandé par le cahier des charges.
II. Détermination des paramètres des régulateurs Le correcteur proposé pour résoudre ce problème de précision est l e correcteur à avance de phase. Ce correcteur permet d'ajouter une phase au moment où le gain en décibel est nul, autrement dit il permet d'augmenter la marge de phase, d'où le système devient plus stable. Schéma fonctionnel :
1) Détermination de Kc Le système est en boucle fermée précédé d'un correcteur proportionnel Kc. On sait que : ɛv
=E/(Kc .K) avec K=1 et E=1
Kc ≥ 4
ɛv =1/Kc ≤ 0,25 donc : On prend
11
Kc = 4
donc :
-1
TP automatique 2012/2013 code : réponse à une rampe
ɛv =9,4-9,179=0,221 s-1 ≤ 0,25 s-1 NB : Condition sur l'erreur de vitesse est vérifié pour Kc=4. Remarque : l'augmentation du gain rend le système plus précis(la sortie suit l'entrée).
12
TP automatique 2012/2013 2) Détermination du facteur d'avance de phase "a" plan de Bode: la réponse en Boucle ouverte du système avec correcteur proportionnel
Kc code :
les marges de stabilité
la marge de phase M =17,7° et marge de gain est MG=2,75 dB et wcg = 3.1623
rad/s et wcp = 1.8612 rad/s.
13
TP automatique 2012/2013 Si le système est en boucle fermée sans correcteur on a :
Remarques : 1 - on remarque les marges de phase et de gain ont diminué lorsqu'on a introduit le correcteur proportionnel, alors le système s'approche de l'instabilité en augmentant le gain du système. 2 - la marge de phase M =17,7° ≤ 45° ,le système ne respecte pas le cahier du charge. Phase ajouté par correcteur
demandé = sys+ max
max alors :
max = demandé - sys
max =45-17,7
max =27,3° En pratique, on ajoute 5° à 12° comme sécurité à la marge de phase souhaité. On va ajouté ajouté =(5°+12°)/2 =8,5°
14
TP automatique 2012/2013 donc Mdemandé = 45+8,5 =53,5° donc
max =53,5-17,7°
max=35,8° Calcul de a :
alors
:
a=3,818
3) Détermination de "T" du correcteur La détermination de T consiste à résoudre l'équation :
Le gain du système sera décalé de
HdB = - 20log( ) = -5,81 .
D'après le diagramme de Bode de la figure suivante on :
c
15
= 2,67 rad/s
TP automatique 2012/2013
Et
donc :
T=0,19 s
4) Détermination de la fonction de transfert du correcteur La fonction de transfert du correcteur est :
C(p) = La réponse fréquentielle du correcteur :
Code : Réponse fréquentielle du correcteur
16
TP automatique 2012/2013
Insertion du correcteur la boucle Schéma fonctionnel :
Réponse fréquentielle du système corrigé code : Fonction de transfert en boucle ouvert et fermée du système corrigé
17
TP automatique 2012/2013
code : Bode de fonction de transfert du système corrigé
18
TP automatique 2012/2013
La marge de gain MG = 13,4 dB et marge de phase est M
= 41,7 °
Remarque : On remarque la marge de phase obtenu avec correcteur 41,7 ° est inferieur à celui demandé par cahier des charges qui est égale 45°.Pour cela on va jouer sur la valeur de a. Pour augmenter a, on augmente la marge de sécurite. Donc on prend marge de sécurité de 20°.
max = demandé - sys max =(45+20)-17,7 = et
47,3°
- Détermination de T : on a
HdB = - 20log( ) =- 8,16 dB
D'après le diagramme de Bode de la figure suivante on trouve :
c
19
= 3,07 rad/s
a=6,54
TP automatique 2012/2013
et
donc la nouvelle valeur de T est :
= 0,127s
La fonction du transfert du nouvel correcteur est : La réponse fréquentielle du nouvel système
20
C(p) =
TP automatique 2012/2013 la réponse à échelon du système avec et sans correcteur code utilisé :
L'erreur statique On sait que
ɛ p
= E( )-S( ) =1-1=0 (c'est à partir du graphe)
La réponse à une rampe unité du système avec et sans correcteur
21
TP automatique 2012/2013 code utilisé :
La réponse fréquentielle du nouvel système Code utilisé :
22
TP automatique 2012/2013
Remarques :avec les nouvelles valeurs de A et T on trouve :
La marge de phase :
M
= 49,6
C'est une valeur supérieur à 45° ,alors aux niveau de marge de phase le correcteur répond aux demandes de cahier des charges.
et on a aussi
ɛp =0
et
ɛv =0,221
Donc ce correcteur répondre au cahier des charges.
5) Conclusion La phase ajoutée par le correcteur à avance de phase, pour augmenter la marge de phase, n'est pas appliquée au zéro de HdB, parce que le gain de fonction de transfert du correcteur fait décaler le zéro de HdB, cela conduit à application d'une marge de phase inférieur à la phase maximal apportée par le correcteur, pour cela il faut ajouter des marges de phase de sécurité pour répondre aux exigences de cahier des charges.
23
TP automatique 2012/2013
III.
Conception et simulation du circuit électrique du correcteur
1) Conception
Le circuit utilisé pour la correction est un correcteur à avance. Il est constitué de deux étages : - Le premier étage nous donne la forme du correcteur avec les différentes constantes (a et T), mais inversée. Sa transmittance est :
Pour l’utiliser comme correcteur à avance de phase il faut que :
24
TP automatique 2012/2013 - Le deuxième étage est circuit inverseur, sa fonction de transfert est :
La fonction de transfert de l’ensemble est :
La fonction de transfert de notre correcteur est (obtenue théoriquement):
Pour le réaliser on va utiliser les composantes suivantes :
R1=R2=R4=1 R3=4 C1=830 C2=127
2) Simulation Pour simuler le correcteur nous avons utilisé le logiciel MULTISIM : Diagramme de bode de correcteur avance de phase :
25
TP automatique 2012/2013
Conclusion
D’après les résultats de la simulation, on remarque que les paramètres déterminés théoriquement sont bien choisi, ainsi que les composantes électroniques.
26
TP automatique 2012/2013
Conclusion L’objectif de ce TP était de concevoir un correct eur à avance de phase qui respect les différentes exigences du cahier des charges. En comparent les réponses obtenus du système avant et après correction on constate que : Au début le système a présenté une marge de phase de MF =47,4° et et une mage de gain de
MG=20,8 db, mais l’erreur de vitesse était très grande par rapport à celle demandée par le cahier des charges, on a trouve que l'erreur de vitesse est :
ɛv =1 s-1 supérieur à 0,25s-1
.
Lorsque nous avons corrigé l’erreur de vitesse à l’aide d’un correcteur proportionnel, les marges de stabilité sont dégradées M =17,7° et MG=8,79 db , d’où la nécessité d’utilisation du correcteur à avance de phase .on a choisit une marge de sécurité de 8,5°on a déterminer les paramètres de correcteur a et T :
Après l’utilisation du correcteur, nous avons obtenu une marge de gain de et une marge de phase : MG=13,4 db , M =41,7° 45 . Donc les exigences du cahier des charges sont pas respectées. On va changer la valeur de a :
Apres modifications des paramètres on a trouvé les valeurs suivants :
MG=14,4 db , M =49,6° 45 . Donc les exigences du cahier des charges sont respectées. En plus, en comparant les réponses indicielles du système on remarque que : - Après l’application du correcteur complet, le système est devenu plus rapide, car le correcteur est en même temps correcteur à avance de phase et correcteur proportionnel dérivé, donc il accélère la réponse du système son temps de réponse a diminué 1,45 s. Finalement on a fait la simulation de ce correcteur a l’aide de logiciel Multisum où on a trouvé que les paramètres déterminés théoriquement sont bien choisi, ainsi que les composantes électroniques.
27
