TOPOGR AFIA I
MSc. IING. J JULIO H H. C CR UZADO Q QUIR OZ UNIVER SIDAD N NACIONAL D DE IINGENIER IA
TOPOGRAFIA El objetivo del presente curso es impartir los conocimientos básicos sobre la Estructura y mecanismos de los instrumentos topográficos y su aplicación adecuada a los levantamientos topográficos. Ya que estos levantamientos sirven de eje principal en la mayoría de trabajos de Ingeniería, pues la elaboración y ejecución de un proyecto se hacen una vez que se tengan los datos topográficos que representan fielmente todos los accidentes del terreno sobre el cual se va a construir la obra.
CAPITULOS: 1. Generalidades, La Tierra 2. Teoría de Errores PLANIMETRIA 3. Medida de Distancias 4. Medida de Ángulos y Direcciones 5. Levantamiento Topográfico: Poligonales 6. Taquimetría, Curvas Curvas de Nivel Nivel ALTIMETRIA 7. Nivelación 8. Dibujos de Planos. BIBLIOGRAFIA “TOPOGRAFIA” “TOPOGRAFIA GENERAL” “TOPOGRAFIA” “TOPOGRAFIA” TOMO I “TRATADO DE TOPOGRAFIA” “TOPOGRAFIA GENERAL APLICADA” “TOPOGRAFIA GENERAL”
Montes de Oca P. Kissan Dante Alcántara García M. Chueca Pasos Davis Foote-Kelly Francisco Domínguez Jordán
PARA PROBLEMAS “MANUAL DE TOPOGRAFIA GENERAL” “METODO Y CALCULO TOPOGRAFICO”
Llontop - Narváez Domingo Conde R.
GENERALIDADES LA TIERRA La Tierra puede considerarse bajo dos aspectos distintos: A.- Como un cuerpo que forma parte de la gran familia de astros que pueblan el universo. universo. Encargados del del estudio son la astronomía y la Geodesia. B.- Como un ente de agua y tierra sobre el cual el hombre desarrolla sus actividades para el disfrute de sus productos mediante el despliegue de sus energías. Son la astronomía y la Geodesia.
LA ASTRONOMIA:
Es la ciencia que estudia todo lo relacionado con los astros y todas las leyes que rigen sus movimientos.
LA ASTRONOMIA DE POSICION:
Es una rama de al ciencia que trata de determinar la posición relativa de los puntos sobre la tierra mediante observaciones astronómicas, es decir se ocupa de la determinación de las l as coordenadas geográficas. geográficas. Φ (Latitud),
λ (Longitud (Longitud), ),
(Elevación)
LA GEODESIA:
Es una rama de la ciencia que trata matemáticamente de determinar la forma y dimensiones de la tierra, su campo gravitacional, gravitacional, así como el posesionamiento de un punto para lo cual determina la posición reciproca y exacta de un cierto numero de puntos sobre la superficie terrestre elegidos a gran distancia entre si con el objeto de construir una sucesión continua de porciones triangulares de superficie y de esta forma calcular las dimensiones de la tierra o para individualizar la forma exterior del terreno para lo cual se apoya en los métodos de triangulación, trilateracion, etc. Tenemos: GEODESIA TEORICA: Ciencia que determina la posición relativa de los puntos, mediante el calculo de las coordenadas geográficas y el Azimut de una línea o base, utilizando elementos de Astronomía y Geodesia matemática. GEODESIA APLICADA: Ciencia que determina la posición relativa de los puntos, mediante triangulaciones o poligonales topográficas, conocida las coordenadas geográficas, y el Azimut de la línea de referencia de otro punto.
FORMA Y D DIMENSIONES D DE L LA T TIERRA Los antiguos griegos fueron los primeros en interesarse en el tamaño y forma de la tierra. La idea de una tierra de forma esférica fue originalmente postulada por Pitágoras y la que tuvo mayor aceptación durante esta época. Observaciones que determinaban la esfericidad de la tierra. 1era. UN BARCO EN EL HORIZONTE Los antiguos navegantes griegos y otros habían observado que un barco que aparece en el horizonte primero aparece la súper estructura de la embarcación y posteriormente toda ella.
HORIZONT
2da. OBSERVACION: VIAJE NOCTURNO HACIA EL NORTE Cuando se viajaba hacia el norte, durante la noche, se observo que N la estrella polar parece que se eleva mas en el cielo conforme se observa y al medírsele desde el horizonte.
N
<2 <1
<2
mayor
<1
3era. OBSERVACION: VIAJE DIURNO HACIA EL NORTE Cuando se viaja hacia el norte durante el día la sombra del hombre al mediodía se alarga.
ERASTOTHENES: Fue probablemente el primero en hacer mediciones y calcular el tamaño de la esfera, a pesar de muchas suposiciones erróneas, sus cálculos sobre la circunferencia de la tierra fueron sorprendentemente precisos. Fue el genio que cómputo por primera vez las dimensiones de la tierra para ello: Conocía que existía en siene (Asuan) al sur de Alejandría un pozo profundo en donde al mediodía, de cierto día, los rayos del sol llegaban al fondo. De igual manera sabia la distancia que existía entre siene y Alejandría por los días que demoraba una caravana de camellos. En Alejandría poseía un reloj de sol y en ese día por sombra que proyectaba el indicador determino que la sombra proyectada representaba la 50 parte de la longitud de su circunferencia; por lo tanto y apoyándose en la Geometría determino que la distancia entre Siene y Alejandría representaba la 50 ava parte de la circunferencia terrestre.
a
b
5000 ESTADIOS
β 1 ab = —— L CIRCUNFERENCIA 50
L CIRCUNF. TERRESTRE 1 ESTADIO ESTADIO
=
= 50 x 5,000 = 250,000 Estadios. 1/ 10 Milla Náutica
Determino que la circunferencia es de
40,000 Km.
Que con los métodos modernos apoyados en aparatos electrónicos y satelitales esta representa en 16% mayor que los valores obtenidos actualmente. Este método fue usado por muchos siglos, las mejoras introducidas se hicieron con respecto a la precisión de ángulos y la medida de distancias. En el siglo XVII fue posible medir las distancias y la gravedad con gran precisión como para poder entender que la curvatura de la tierra no era igual en diferentes lugares. Esto significa que la tierra no era una esfera después de todo ¿Qué forma tiene?
Los franceses que habían hecho mediciones de distancias en Francia creías que la tierra era alargada en los Polos esta Teoría lo defendían la familia de Geodestas Cassini. Los Británicas que conocías la Teoría de Gravitación de Newton consideraban que la tierra era achatada en los Polos. a
b
ANTIGUAMENTE
a = b
a
b
a < b
FRANCIA a
b b
INGLATERRA
a > b
AMBOS HABÍAN EFECTUADO LA MEDICIÓN DE UN ARCO DE GRADO. Con el fin de solucionar esta controversia la academia de Ciencias de Francia envío dos expediciones una a LAPONIA LAPONIA en el Norte y otra al PERÚ, cerca del Ecuador para medir y comparar los respectivos arcos , si un arco de grado en el Norte era mas corto que en el Ecuador, tenían razón los Franceses, pero si era lo contrario tenían razón los Británicas, llegando a la conclusión que la tierra era achatada en los Polos. A lo que VOLTAIRE comento: A la expedición que llegaba de Laponia “Uds. Han achatado a la tierra y a la familia Cassini”.
A La expedición que llegaba del Perú “Uds. Han demostrado por un largo y duro duro camino lo que Newton pudo encontrar encontrar sin siquiera siquiera haber abandonado su hogar”
GEOIDE Es la forma imaginaria dada a la superficie terrestre considerándolo como una superficie al nivel medio del mar que se extiende a través de los continentes en forma continua, es una superficie equipotencial en la cual la dirección de la plomada es perpendicular a esa superficie y sirve de referencia a la nivelación Geodésica. Si los continentes de la tierra estuvieran cubiertas por una red de canales a través de los cuales las aguas de los océanos pudieran fluir libremente por efecto de la gravedad, despreciándose los efectos de mareas y corrientes, la superficie del agua en los canales y en los océanos formaría el Geoide.
ELIPSOIDE Es la figura matemática que se da a la superficie terrestre que mas se asemeja a la forma del Geoide, un elipsoide se forma cuando una elipse es rotada alrededor de su eje menor Una Elipse se define normalmente mediante semieje mayor y su achatamiento o esfericidad ( f ) que depende depende del semieje semieje mayor o Radio Polar (a) y semieje menor o Radio Ecuatorial (b).
a - b
b a
f =
————
a
Con los nuevos instrumentos de medida y apoyo de los satélites artificiales se han determinado varios elipsoides de acuerdo a la zona: NOMBRE
a (mts)
b (mts )
1/f
INTERNACIONAL
6`378,388.0000
6 357,020.000
297.000
CLARKE (1866) BESSELL
6`378,206.4000 6`377,397.1550
6 356,765.000 6 356,078.963
294.978 299.152
(HAYFORD 1909)
En el Perú y varios países de Suramérica se usa el Sistema Internacional o de Hayford de 1909, considerando como f = 1 / 297. el 297. el achatamiento de la tierra a partir del eje Ecuatorial. Se puede observarse que el semieje Polar es menor en 22 Km. Que es semieje Ecuatorial pero ello representa el 0.34% del diámetro de la tierra. Haciendo una primera aproximación se supone que la tierra tiene una forma esférica cuyo radio es de 6`367,650 metros. SUPERFICIES A CONSIDERAR EN UN LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO En resumen en un levantamiento topográfico, y cuando se habla de tamaño y forma de la tierra existen tres superficies que deben ser consideradas
NORMAL AL GEOIDE VERTICAL LOCAL
TOPOGRAFIA TERRESTRE
GEOIDE ELIPSOIDE
NORMAL AL ELIPSOIDE
1º LA TOPOGRAFIA: Es la superficie física y real de la tierra tierra 2º EL GEOIDE:
Es la superficie (Equipotencial) nivelada (tan bien una realidad física)
3º EL ELIPSOIDE:
Superficie matemática o el marco de referencia para los cálculos
* N.M.M. Se miden con los MAREAGRAFOS que existen a lo largo de la Costa (mar) Peruana.
DEFLEXION DE LA VERTICAL: Es el ángulo formado por las normales a las superficies del Elipsoide y
Geoide de un punto
PUNTO DATUM:
Es un punto de la tierra en el que se asume que la dirección de la plomada coincide con la dirección de la normal al Elipsoide, es decir que la superficie del Elipsoide coincide con el Geoide y por lo tanto la deflexión de la vertical en ese ese punto punto es es cero. cero. Este punto es la partida para las redes de triangulación se conocen: Ø , λ , H
LA TOPOGRAFIA: Es una rama de la ingeniería que se propone determinar la posición relativa de los puntos, puntos, mediante la la recopilación y procesamiento de las informaciones de las partes físicas del geoide, considerando hipotéticamente, que la superficie terrestre de observación es una superficie plana horizontal. En términos simples: La topografía se encarga de realizar mediciones en una porción de tierra relativamente pequeña. En realidad la existencia de la topografía obedece a varias razones, a continuación citaremos algunas de ellas.
DEFINICIONES IMPORTANTES 11..-- P PU TO UN NTTO O T OPPO OG GR RA AFFIIC CO O
Se denomina así a los puntos ubicados físicamente en el terreno, desde los cuales o con la ayuda de estos se efectúan efectúan las mediciones mediciones angulares y de distancias a otros puntos pueden ser:
- PUNTOS PERMANENTES:
Es un punto topográfico fijo, que evita, se altere la información topográfica, durante el periodo periodo de planificación, concepción, diseño diseño y ejecución de un proyecto determinado. Ejm: aristas de edificios, cruz de las iglesias.
- PUNTOS TEMPORALES:
Son puntos topográficos fijados provisionalmente y/o de corto periodo referencial, generalmente ubicados dentro del área de trabajo, que permiten verificar y controlar a los puntos permanentes que se encuentran generalmente ubicados fuera del área de trabado. Estos puntos son usados hasta que cumplan solo su misión especificada, se ubican en el terreno ya sea por medio de estacas, para puntos de mayor importancia se usan bloques de cemento con fierro de constricción. Cuando los puntos son lejanos es necesario que ellos se señalicen usando para ello trípodes de madera o metálicos con una banderola que lo identifique.
22..-- E ESSTTA AC CA A::
Son trozos de madera de: 2” x 3 0 a 40 cm. Plana por un lado que lleva una señal que puede ser tachuela para definir el vértice y en punta por el otro lado.
33..-- E ELLEEVVA AC CIIO ON N::
Distancia vertical medida respecto a un Plano arbitrariamente tomado como superficie de nivel.
55..-- S SU GEEO UPPEER RFFIIC CIIEE G OIID DA ALL::
Superficie de nivel que corresponde al N.M.M.
66..-- S SU HO UPPEER RFFIIC CIIEE H OR RIIZZO ON NTTA ALL::
Superficie plana tangente a la superficie de nivel
OTRAS CIENCIAS
FFO OTTO OG GR RA AM MEETTR RIIA A::
Ciencia que determinar la posición relativa de un punto sobre la superficie terrestre, terrestre, mediante la observación de fotografías aéreas o terrestres que están relacionados topográficamente.
IIN EN LA TO NSSTTR RU UM MEEN NTTO OSS IIM MPPO OR RTTA AN NTTEESS E N L A T OPPO OG GR RA AFFIIA A
T O P O G R A F I A: Es una rama de la Geodesia que estudia solo parte de la superficie terrestre considerándolo como proyectada sobre un plano horizontal el cual puede ser o no tangente al Geoide, su campo de acción esta limitado a una área de 625 Km2 o 25 Km de lado.
LLEEVVA TO AN NTTA AM MIIEEN NTTO O T OPPO OG GR RA AFFIIC CO O Es el conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición relativa de puntos sobre la superficie de la tierra o a poca altura sobre la misma, estas operaciones consisten en las mediciones angulares, mediciones lineales, direcciones, etc. Basados en los puntos fundamentales fijado por la Geodesia y con la aplicación de elementos matemáticos, se suministra los mapas o planos necesarios, sobre los
cuales se pueden efectuar los proyectos de mediana y gran extensión, pero considerando hipotéticamente que la superficie terrestre de observación es una SUPERFICIE PLANA HORIZONTAL. Evidentemente si se plantea esta hipótesis principal se desprende de la misma los siguientes enunciados. H.1º
La línea que une dos punto Sobre la superficie terrestre Es una línea recta. P0
P1
_____
P0 - P1 H. 2º
=
P0 - P1
Las direcciones direcciones de la Plomada, Plomada, En dos puntos diferentes de la Superficie terrestre son paralelos.
L0
L1
L0 //
L1
H. 3º
La Superficie Imaginaria Imaginaria de Referencia Referencia ( n.m.m.) Respecto a la la cual se toman las Alturas se considera una superficie plana
H. 4º
El ángulo formado por la intersección de dos líneas sobre la Superficie terrestre es un ángulo Plano y no Esférico
La elaboración de un plano topográfico requiere conocer la posición tridimensional de cada punto esto se logra mediante la planimetría y altimetria.
PLANIMETRIA:
Mediciones que se realizan teniendo la proyección del terreno sobre un plano horizontal imaginario que se supone que es la superficie media de la tierra.
ALTIMETRIA:
Mediciones que se realizan teniendo en cuenta su elevación o altura de un punto de la superficie de la tierra, es decir distancia vertical respecto al plano de referencia referencia tomado como superficie de nivel.
CLASES D DE L LEVANTAMIENTOS Existen muchos tipos de levantamientos entre los mas importantes tenemos:
1.- LEVANTA LEVANTAMIENTO MIENTO TOPOGRAFICO Se denomina así a todo levantamiento en que se considera la superficie de tierra como plana despreciándose la curvatura que realmente tiene, por lo tanto se considera solo parte de la superficie terrestre considerándola como proyectada sobre un plano horizontal. Su campo de acción es de solo 25 Km. por lado ó 625 Km2 se considera esto debido debido a que la tangente y el arco difieren en 12.8 cm. Para 25 km. de longitud. A
B
LAB = 25000 m. LAB
A’
R
=
24999.871 m.
Diferencia = 0.128 m. R = 6367650. 00 m.
Dentro de este tipo de levantamiento existen 2 que son:
L. T. PERIMÉTRICO: Cuando solo se consideran las características del terreno proyectados proyectados en un plano plano horizontal, sin tener tener en cuenta las diferencias de altura entre los puntos. L.T. ALTIMÉTRICOS: Cuando se se consideran consideran las diferencias de altura entre los puntos
2.- LEVANTAMIENTOS GEODESICOS: Se llama así a todo levantamiento que tiene en cuenta la verdadera forma de la tierra, todos son de gran precisión y se refiere generalmente a grandes extensiones superficiales. Los datos obtenidos son levantamientos , redes de apoyo y referencias de gran preescisión preescisión para todos todos los demás levantamientos levantamientos 3.- LEVANTAMIENTOS FOTOGRAMETRICOS: Levantamientos que se realizan en base a fotografías aéreas, para grandes extensiones extensiones de terreno y ofrece grandes ventajas: ventajas: económicas, precisión, tiempo y mas que todo evita evita el trabajo denso denso de campo
EETTA DEE U UN LEEVVA TO APPA ASS D N L AN NTTA AM MIIEEN NTTO O T OPPO OG GR RA AFFIIC CO O:: A.- PLAN DE TRABAJO: Cual es el objetivo, el alcance, selección de método, instrumental, personal, periodo probable, costos, etc., lo mas importante es el cuidado y ajuste de los instrumentos el cual tiene gran importancia y depende de estos en gran parte la precisión de las medidas tomadas, es decir:
-
Finalidad del Levantamiento Grado de precisión que requiere tal finalidad Precisión con que deben hacerse las diferentes observaciones Instrumentos que deben usarse Modo de organizar el trabajo para reducir al mínimo su duración Exactitud de los datos. Metidos a emplear para que los errores errores no sobrepasen los limites permisibles.
B.- TRABAJO DE CAMPO: Consiste en la medición de las distancias, ángulos y registrarlos registrarlos en una una libreta con sus respectivos croquis, consta de 2 etapas.
RECONOCIMIENTO
- Ver las característicos del terreno terreno - Ubicar los vértices
TRABAJO DE CAMPO PROPIAMENTE DICHO
-
Monumentación de los vértices y su referenciación Determinación del Azimut Medida de Ángulos Medida de distancias - Orígenes de los errores . - Determinar las Coordenadas de un vértice vértice - Ubicación de un BM. Para determinar las elevaciones elevaciones - Levantamiento de Detalles.
En esta etapa es imprescindible el uso de la LIBRETA DE CAMPO en la cual se anotan los datos obtenidos. Dicha libreta consta de dos partes: La cara izquierda; donde se registran las medidas tomadas, tomadas, se recomienda hacerlo con letras y números claros y con lápiz, si por algún motivo se desea corregir un dato anotado, se recomienda no borrar sino tachar, ejemplo: 2,57 2,57 por 2,58 La cara cara derecha, derecha, donde generalmente se dibuja el croquis croquis respectivo.
C.-) TRABAJOS DE GABINETE: Consiste en efectuar las cálculos matemáticos en función de los datos obtenidos de campo campo para determinar los errores lineales lineales y angulares angulares y luego realizar las respectivas correcciones con estos valores se determinan las Coordenadas de los vértices luego la ubicación, perímetro áreas, volúmenes, etc. y así realizar los dibujos de planos a una respectiva escala, usando los programas los planos son: - Plano de Ubicación - Plano Perimétrico - Plano Topográfico - Plano de Cotización
METODOS D DE R REFERENCIAR LOS P PUNTOS T TOPOGRAFICOS En todo Levantamiento topográfico siempre se debe Referenciar por lo menos dos vértices para evitar perder la información, entonces con los datos se pueda nuevamente replantear estos puntos y continuar con el trabajo, en caso de perdida. Para referenciar un vértice topográfico es necesario conocer por lo menos DOS PUNTOS FIJOS DE REFERENCIA Y DE FÁCIL IDENTIFICACIÓN, se puede lograr lograr de las las siguientes formas:
- POR MEDIO DE DISTANCIA DISTANCIAS S
Cuando los puntos de referencia están cerca
d1
d2 P
- POR UNA DISTANCIAS: DISTANCI AS: AL PUNTO Y AL PIE DE PERPENDICULAR DEL ALINEA ALINEAMIENTO: MIENTO: Cuando un puntos esta cerca y el otro otro alejado
d2
d1 P
- POR UNA DISTANCI DISTANCIAS AS UN ANGULO
Cuando un puntos esta cerca y el otro alejado
d1 P
- POR DOS ANGULOS
Cuando los dos puntos están lejanos
P
CLASES DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS MÁS COMUNES LLEEVVA CA AN NTTA AM MIIEEN NTTO OSS C ATTA ASSTTR RA ALLEESS:: Son los que se realizan con el objeto de definir y fijar los límites de áreas y propiedades, como también para la identificación de estos límites.
LLEEVVA PA CO AN NTTA AM MIIEEN NTTO OSS P AR RA A C ON NSSTTR RU UC CC CIIÓ ÓN N Se usa para determinar y localizar puntos, líneas y niveles que servirán como guía para el proceso de construcción.
LLEEVVA PA VÍÍA DEE C CO AN NTTA AM MIIEEN NTTO OSS P AR RA A V ASS D OM MU UN NIIC CA AC CIIÓ ÓN N Comprende los levantamientos para trabajos de naturaleza lineal como carreteras, carreteras, canales, canales, ferrocarriles, ferrocarriles, etc.
LLEEVVA PA TR SU AN NTTA AM MIIEEN NTTO OSS P AR RA A T RA AB BA AJJO OSS S UB BTTEER RR RÁ ÁN NEEO OSS Se usan para localizar la posición de las minas, túneles, acueductos, etc.
LLEEVVA HIID AM MIIEEN NTTO OSS H DR RO OG GR RÁ ÁFFIIC CO OSS Se realizan para determinar el relieve del fondo de los lagos, océanos (TAQUIMETRIA) y también para medir el caudal y volumen de las corrientes de agua.
LLEEVVA TO PR DIIC AN NTTA AM MIIEEN NTTO OSS T OPPO OG GR RÁ ÁFFIIC CO OSS P RO OPPIIA AM MEEN NTTEE D CH HO O Son los que se hacen con el propósito de determinar la conformación del terreno y localización de los objetos naturales y artificiales que sobre él se encuentran.
DIVISIÓN B BÁSICA D DE L LA T TOPOGRAFÍA Para el mejor desarrollo de la topografía, ésta se divide en tres partes:
II )) PPLLA AN NIIM MEETTR RÍÍA A Se encarga de representar gráficamente una porción de tierra, sin tener en cuenta los desniveles o diferentes alturas alturas que pueda tener el mencionado terreno. Para esto es importante proyectar a la horizontal todas las longitudes inclinadas que hayan de intervenir en la determinación del plano.
B B)) A ALLTTIIM MEETTR RÍÍA A Se encarga de representar gráficamente las diferentes altitudes de los puntos de la superficie terrestre respecto a una superficie de referencia.
C C)) TTO OPPO OG GR RA AFFÍÍA A IIN NTTEEG GR RA ALL Se encarga de representar gráficamente los diferentes puntos sobre la superficie terrestre, teniendo presente su posición planimétrica y su altitud.
PLANIMETRÍA MEDIDA D DE D DISTANCIAS Se puede realizar de dos formas:
DIRECTA Es aquella que para obtener la longitud hay que recorrer el espacio que separa los puntos puntos por medio medio longimetros para lo cual se usa winchas o cintas de acero, de fibra fibra de vidrio. vidrio. Etc.
INDIRECTA POR METODOS ESTADIMETRICOS. Cuando realizamos levantamiento de detalles. Consiste en medir el espacio de mira comprendido entre los Hilos estadimetricos del anteojo del teodolito (hilos superior superior e inferior)
EQUIPOS ELECTRONICOS DISTANCIOMETROS Miden distancias de 14, 15 Km (El equipo lanza un rayo rayo infrarrojo, infrarrojo, a un prisma, cuando regresa marca la distancia midiendo el tiempo)
ESTACIÓN TOTAL Esta compuesto de un Teodolito electrónico, un distanciometro y una colectora de datos con un programa GPS: usa los satélites.
PRESICIÓN - PASOS Para reconocimiento de medidas su presición es de
1/100 a 1/200.
. ESTADIA Para levantamiento de detalles su presición es de
1/300 a 1/1000
- CINTA DE LONA Su presición es de 1/1000 a 1/5000 - CINTA DE ACERO Su presición es de
1/10000
a 1/ 30000
- GPS Su presición es de de
1/5000000
a
1/ 10000000
LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO CON WINCHA Y JALONES - JALON Es un bastón de madera o fierro pintado de color rojo y blanco intercalado cada 0.50 m. Generalmente de 3.00 m. de longitud por 2 a 4 cm. de diámetro.
- ALINEAMIENTO Se llama alineamiento o alineación recta a la intersección del terreno con un plano vertical que pasa por dos puntos establecidos.
A
B
PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR ALENEAMIENTO EN EL CAMPO - ALINEAMIENTO USANDO JALONES -
-
-
Se instala un jalón en posición vertical en cada punto A y B, la vista del observador en A debe apuntar hacia B, lo cual se consigue cuando éste confunde los jalones con uno solo ( el de “A”) Con la ayuda de un tercer jalón se ubica en un punto tal como “1” con
la condición que el observador ubicado ubicado detrás del jalón A tan solo vea uno solo. Así sucesivamente
A
1
2
B
- ALINEAMIENTO USANDO TEODOLITO Y JALONES -
-
Se instala el teodolito en uno de los puntos y el jalón en el otro; dirigir la visual hacia la parte inferior del jalón, para luego bloquear el movimiento horizontal. Se traslada el jalón hacia un punto tal como “1” ; con la condición de que el hilo vertical del anteojo del teodolito contenga al jalón (no se debe girar la alidada).
M DEE D DIISSTTA MEED DIID DA A D AN NC CIIA A MEDICION A PASOS La distancia entre dos puntos correspondientes a un terreno plano se mide aproximadamente mediante el número de pasos normales normales que realiza una persona entre ellos. Este método se usa para verificar o comprobar aproximadamente las mediciones de mayor precisión o también para reconocimientos de terrenos y levantamientos preliminares. DETERMINACION DE LA LONGITUD PROMEDIO DE UN PASO P ASO A este proceso se llama CARTABONEO Se elige un terreno aproximadamente horizontal Se localiza dos puntos de longitud conocida ( L ) Se recorre con pasos normales ida y vuelta la longitud L Sumar el número total de pasos.
2XL LPASO =
────────────────
Nº TOTAL DE PASOS
dab
= ( Nº PASOS) X (LPASO)
En un terreno con pendiente, los pasos son en promedio mas cortos cuando se sube y mas largos cuando se baja, por lo tanto se recomienda que se realice el cartabones tanto en subida como de bajada luego se saca el promedio. Para contar los pasos se usa un instrumento instrumento llamado PODOMETRO.
MEDICION CON CINTA A) CUANDO LA SUPERFICIE ES PLANA -
SOBRE UNA LOSA O PAVIMENTO Para medir AB, se realiza medidas parciales de longitud estándar tal tal como 20.00 m. Es conveniente conservar apoyada la cinta sobre la losa y hacer coincidir la marca de os 20.0 m. manteniendo manteniendo el alineamiento alineamiento y la tensión mas o menos constante. Siempre se recomienda realizar una nivelación geométrica geométrica entre A , B, para mantener la horizontalidad.
-
SOBRE TERRENO NATURAL El procedimiento es similar al anterior con la diferencia que en cada puesta de cinta se coloca una estaca o fierro.
B) CUANDO LA SUPERFI SUPERFICIE CIE ES INCLINADA -
CUANDO LA PENDIENTE DEL TERRENO ES SUAVE ( MENOR DEL 5 %) La medida se debe realizar en el punto mas alto en donde el operador mantendrá la marca del cero, el otro extremo de la cinta ( 20.0 m.) el el operador se ayudara de una plomada en donde colocara una estaca, realizando una marca sobre ella. Es importante conservar la estandarización de cada medida así como la horizontalidad de la cinta con la ayuda de un nivel de mano.
20 m. 20 m. A
13.5m.
-
PENDIENTE FUERTE DEL TERRENO TERRENO ( MAYOR DEL 5 %) Se mide por partes, cada medición deberá ser tal que el relieve del terreno permita mantener la horizontalidad de la cinta.
12 m. 8 m.
A
12 16 m.
20 4 m.
16
13.2 m.
20
-
TERRENO IRREGULAR O CUBIERTO CON VEGETACION Se aplica los mismos procedimientos que los casos anteriores pero se emplea la Plomada en ambos extremos.
TTR ELLEEM RA AB BA AJJO OSS E MEEN NTTA ALLEESS C CO ON NW WIIN NC CH HA A YY JJA ALLO ON NEESS A LEEVVA UN PEER A U UN ALLIIN A..-- L AN NTTA AR R U NA A P RPPIIN ND DIIC CU ULLA AR R A N A NEEA AM MIIEEN NTTO O.. Se tiene tiene el alineamiento MN y punto B dentro de este entonces levantar una perpendicular en dicho punto. Se usa el principio del triangulo 3, 4, 5
PROCESO 1.- Sobre la línea MN y a partir de B se mide una distancia de 6 m ubicando así el punto c. 2.- Fija el 0.0 m. y los 24.0 m. de la wincha en C, otro operador en forma algo perpendicular fija los 14.0 m de la cinta, manteniéndola mas tirante posible ubicando así el punto D; entonces DB es perpendicular a MN
D
14
8.00 m
6 M
C
10.00 m.
6.00 m
0, 24 B
N
B.- BAJAR UNA PERPENDICULAR A UN ALINEAMIENTO Se tiene el alineamiento MN MN y un punto A fuera de este, entonces bajar una perpendicular a dicho alineamiento. PROCESO 1.- Un operador toma toma un extremo de la cinta en el punto A, A, mientras mientras que un segundo operador con el otro extremo de la cinta manteniéndola lo mas tirante y teniendo como centro A traza un arco de circunferencia lo suficiente grande como para cortar el alineamiento MN en los puntos m y n los cuales quedaran marcados en el terreno. 2.- Se mide la distancia mn y luego se ubica su punto medio medio P que viene a hacer el pie de perpendicular del punto A. A.
A
M
m
n P
N
C.- TRAZAR UNA PARALELA A UN ALINEAMIENTO Se tiene el alineamiento MN MN trazar desde el punto A fuera de este, una paralela a dicho alineamiento. PROCESO 1.- Desde el punto A, se baja una perpendicular al alineamiento MN sobre esta se mide la la distancia “d”
2.- Se ubica un punto dentro del alineamiento desde el cual se levanta levanta una perpendicular luego sobre esta mide la distancia “d” ubicando así el punto B 3.- Entonces la paralela buscada es la línea recta que pasa por AB
A
d
B
d
M
N
D.- MEDICIÓN DE ANGULOS Se usa el método de la cuerda, por ejemplo ejemplo se desea medir el ángulo CAB PROCESO 1.-Tomando como centro al vértice A se describe con la cinta una Semicircunferencia que cortara los lados AC y AB en los puntos “D” y “E” respectivamente. 2.- Se mide la distancia DE se ubica su punto punto medio. 3.- Entones Entones por geometría geometría tenemos tenemos
C D
r
/2 A
/2 r E
Sen
/2 =
DE /
B
2r
Por costumbre retoma 5.00 m. de la cinta cinta como radio pero por circunstancias del terreno se pueden tomar otros valores como radio.
E.- REPLANTEO DE UN ANGULO Se requiere replantear el ángulo
a partir del lado “AB”, como se conoce el valor de “r” entonces determinamos el valor de “DE” a partir de
la formula:
Sen
/2 = DE / 2r
PROCESO 1.- Tomando como centro A y con una longitud o abertura igual a “r” traza un arco de circunferencia que corta al lado AB en un punto tal como E. 2.- De igual manera tomando como centro en E con una longitud o Abertura igual a “DE” trazo en un arco de circunferencia que cortara al arco anterior en un punto D.
3.- Se une A con D, así de esta manera queda replanteado el ángulo DAE en el terreno o en el papel. D
DE
A
B r
E
F.- ALINEAR DOS PUNTOS NO VISIBLES ENTRE SI -
SI EXISTE UN OBSTACULO Se desea trazar el alineamiento entre los puntos A y B entre los cuales existe un obstáculo que impide transitar entre estos.
PROCESO 1.- Desde el punto A se traza una línea auxiliar AP, fuera del obstáculo 2.- Desde el punto B se baja una perpendicular al alineamiento AP AP ubicando así el punto M sobre el AP 3 , 4, …. de acuerdo al 3.- Sobre la línea AM se ubican los punto 1, 2, 3, número de puntos que se desee de see tener alineados antes y después del obstáculo
4.- Se miden las distancias A1, A2, A3, A4 …, de igual manera las distancias AM y MB en el terreno.
5.- Entonces se tiene el triangulo rectángulo rectángulo ABM: B
c
b
d
a A
1
2
3
M
4
Por geometría:
MB ─── =
AM
a ─── =
A1
b ─── =
A2
c
d
─── = ───
A3
A4
Resolviendo estos proporciones determino los valores de a, b, c, d 6.- En el punto “1” se levanta una perpendicular y sobre esta mido el valor de “a” ubicando así el punto 1* , de igual manera en el punto “2” se levanta una perpendicular y sobre esta ido el valor de “b” ubicando así el punto 2* , así sucesivamente hasta ubicar los puntos 3* , 4*.
A, 1*, 2*, 3*, 4*, … B están en el mismo alineamiento
4* 3*
2*
d c
1* b a A
1
2
3
4
-
SI EXISTE UNA ELEVACION DE TERRENO
Sean “A” y “B” puntos entre los cuales se desea trazar un ali neamiento,
existe una elevación de terreno que impide la visibilidad entre ambos, pero si se puede transitar por dicha elevación PROCESO 1.- Se tiene dos operadores ubicados en los punto A y B, los cuales indicaran los movimientos de los otros operadores. 2.- Un tercer operador con el jalón 2, se ubicara de tal manera que sea visible de A y B 3.- Un cuarto operador con el jalón 1, se colocara dentro del alineamiento A2 4.- El operador B observara que el operador 2 esta fuera del alineamiento B1 por lo tanto le ordenara alinearse ubicándose en 2* 5. El operador A observara que el operador 1 esta fuera del alineamiento A2* por lo tanto le ordenara alinearse ubicándose en 1* 6.- El operador B observara que el operador 2 esta fuera del alineamiento B1* por lo tanto le ordenara ordenara alinearse, ubicándose en 2” 7.- El operador A observara que el operador 1 esta fuera del alineamiento A2” por lo tanto le ord enara alinearse, ubicándose en 1” 8. - Así sucesivamente hasta que los operadores 1 y 2 ya no se tengan que desplazarse.
A,
1,
2 , … B
están en el mismo alineamiento
PERFIL
1
2
1
2
A
PLANTA A
2”
1* 2*
1
2
G.- MEDIR LA DISTANCI DISTANCIA A ENTRE DOS PUNTOS SIENDO UNO DE ELLOS INACCESIBLE Se quiere medir AB , siendo el punto B inaccesible. PROCESO 1. Desde el punto “A” “A” se levanta una perpendicular al alineamiento AB y se fija un punto “C” lo mas lejos posible de “A”
2. Desde el punto “C” se levanta levanta una perpendicular al alineamiento CB y se fija un punto “D” en la línea AB.
3. En el terreno se mide las distancias AD y AC ; finalmente se calcula AB con la la siguiente formula:
AC2 AB = ──── AD B
A C
D
H.- MEDIR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS INACCESIBLE Se quiere medir la distancia entre A y B , siendo estos inaccesibles PRODESO 1. Se elige un punto “C” con la condición que desde este sean visibles A y B. Desde dicho punto se calcula las distancias CA y CB aplicando el método anterior. 2. Sobre el alineamiento AC, se ubica un punto “a” lo mas lejos posible de “C” , para luego medir en el terreno la la distancia distancia “Ca” ( x )
3. Aplicando el teorema de Thales, se calcula la distancia “Cb” ( y ) A
B
a
b x
y
C y ––––
CB
x = ––––
CA
y =
CB ––––
x
x
CA
4. Sobre el alineamiento CB se mide la distancia “y” replanteando el punto “b”.
5. Entonces en el terreno se procede a medir la distancia “ab” y por semejanza de triángulos se calcula la distancia AB
AB
AC
–––– = ––––
ab
x
ab
AB = –––– x
x
AC
A
B
a
b
x
y
C
TEORIA D DE E ERRORES Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuantía desconocida entonces la misión mas importante del topógrafo es mantener las mediciones dentro de ciertos límites de precisión, dependiendo de la finalidad del levantamiento. levantamiento. Para ello es necesario necesario que conozca bien las causas que que ocasionaba dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisión.
EXACTITUD: Es el grado de aproximación a la l a verdad o grado de perfección a la que hay que procurar llegar.
PRECISION: Es el grado de perfección de los instrumentos y/o con que se realiza una operación o se toma la lectura de una observación o también el número de cifras con con que se efectúa un cálculo.
ERROR
Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor valor determinado determinado mediante las mediciones. No obstante, es preciso anotar que que el valor verdadero verdadero no se conoce ni se conocerá jamás.
Una medición puede ser precisa sin ser exacta y viceversa.
EJEMPLO Una distancia distancia puede puede medirse muy cuidadosamente con una cinta y aproximarla hasta hasta el milímetro, y tener como resultados una medida con un error de varios centímetros, esto por ser incorrecta la longitud de la cinta, luego la medida es precisa pero pero no exacta. exacta. En conclusión conclusión se puede puede decir:
Ninguna medida es exacta Todas las mediciones contienen errores. El verdadero valor nunca se conoce.
FUENTES DE ERROR A.
INSTRUMENTALES: Aquellos que provienen provienen de la imperfección en la construcción o ajuste de los instrumentos instrumentos de media, por por ejemplo la mala mala graduación de una wincha, un teodolito mal calibrado calibrado
B. PERSONALES: Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista, distracciones, equivocaciones equivocaciones etc. Ejemplo leer un N° por otro. C. NATURALES: Son aquellos que tiene como origen la variación de ciertos fenómenos naturales, como el viento, la humedad, la temperatura, la refracción, etc. Ejemplo Ejemplo la dilatación o contratación de la wincha de acero por cambios de temperatura.
CLASES DE ERRORES 1. ERRORES MATERIALES O EQUIVOCACION EQUIVOCACIONES ES Son errores que se comenten sin intención, debido a una confusión del operador o a la falta de atención atención de este. este. Son fáciles de detectar, poniendo atención a lo que se hace, teniendo más orden, se descubren descubren y elimina comprobando comprobando parte o todo el trabajo.
2. ERRORES SISTEMATICOS Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en la misma magnitud y con el mismo signo es decir son acumulativos se puede puede calcular y eliminar por medio de la corrección corrección Ejemplo Ejemplo una wincha de acero de 30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de 0.06 m. entonces introduce un error error de de + 0.06 cada vez que se usa.
3. E. ACCIDENTAL ACCIDENTALES ES Son aquello errores que se cometen en forma casual y escapan del control del operador y la capacidad del del instrumento y obedece a la ley de la probabilidad no se le puede aplicar ninguna corrección corrección debido a que no hay método que nos permita calcularlos, también se los denomina errores compensable, porque la magnitud y el signo son variables por lo que tienden anularse parcialmente entre si en una serie de medidas estos errores son los que hacen que nos puedan encontrar el valor valor verdadero de una medidas.
D DIISSC CR REEPPA AN NC CIIA A Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud. Siempre se debe comprobar una operaciones topográficas realizando como mínimo una segunda medición.
Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequeña indica que no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeños, por tanto se puede corregir. Si la discrepancia es grande indica que se ha cometido una equivocación o error que hay que detectarlo y eliminarlo, comprobando parte o todo el trabajo.
Uno de los mejores mejores métodos para para localizar equivocaciones equivocaciones y errores es de comparar varias medidas de la misma magnitud.
OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION VALOR PROBABLE Es valor probable de una cantidad es una expresión matemática que designa un valor calculado que de acuerdo a la teoría de las probabilidades es el el que mas se aproxima al verdadero verdadero valor.
VALOR PROBABLE PARA PARA LA MISMA CANTIDAD CANTIDAD El V.P. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones es la media aritmética de todas las mediciones hechas. Nota: Es la media aritmética de todas las mediciones admitidas como probables.
V.P.
X
= X =
n
N
N = Número de observaciones Ejemplo:
Las mediciones de una longitud han dado como resultado: 854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m. 856.25 es una medida que se aleja mucho de la media por lo tanto anulamos
V.P
=
854.25 854.27 854.22 854.26 4
V.P. = 854.24 m. VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES HOMOGENEAS Para una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad de condiciones y cuya suma exacta se conoce entonces los valores probables son los observados con una corrección igual al error total total dividido entre el número de observaciones. observaciones.
Nota: Generalmente la corrección se hace proporcional al número de Observaciones y no a la magnitud de cada medición Entonces: 1
∆ ∆ ii =
(
N
G
iiºº =
-
)
ii
ii ±± ∆ ∆ ii
G
ii
= Condición geométrica = Valores angulares
∆ ∆ ii = Corrección N = número de medidas Ejemplo: se han medido lo tres ángulos de un triangulo en las mismas condiciones y los resultaos son: A = 58° 30’ 15” B = 79° 46’ 50” C = 41° 42’ 40”
G
∆ ∆
= 180°
ii = 179° 59’ 45” ii =
1 3
( 180°
- 179° 59’ 45”) = + 5”
Como es por DEFECTO
la corrección será de + 5”
A = 58° 30’ 15 + 5” B = 79° 46’ 50” + 5” C = 41° 42’ 40” + 5” 179° 59’ 45” + 5”
= = = =
58° 30’ 15” 79° 46’ 55” 41° 42’ 45” 180° 00’ 00”
Para mediciones mediciones análogas, hechas hechas en igualdad de de condiciones condiciones y cuya suma sea igual a una sola medición hechas en las mismas condiciones y circunstancias los valores valores probables probables se obtiene repartiendo el error error total en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma. Si la corrección se suma a cada medición entonces se restara a la suma total y viceversa.
Ejemplo: Se han medido tres ángulos y el ángulo total, alrededor un mismo vértice “0” < AOB = 12° 31’ 50” < COD = 27° 37’ 00”
< BOC = 37” 29’ 20” < AOD = 97° 37’ 00”
Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones. condiciones. Calcular los valores probables de los mismos. Solución:
∆∆ ii
= < AOB + < BOC + < COD = 97° 38’ 10”
Condición Geométrica =
G
G
= < AOD
= 97° 37’ 00”
∆ ∆
ii =
1 4
( 97° 37’ 00” – 97° 38’ 10” ) = -
C ess p poor r eexxcceessoo Coom moo e
∆ ∆
1'10" 4
= -
70" 4
ii = - 17.5
< AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5” < BOC = 37° 29’ 20’ – 17.5” = 37° 29’ 02.5” < COD = 47° 37’ 00’ – 17.5” = 47° 36’ 42.5” < AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5 en los casos anteriores anteriores cuando cuando se hablo de de circunstancias iguales o en iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de condiciones atmosféricas.
ERROR P PROBABLE Error probable es una cantidad positiva o negativa que establece los límites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error error accidental, es decir una medida tendrá la misma oportunidad de quedar dentro de estos límites que quedar fuera de ellos.
ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDAD Indica el grado de de precisión que cabe esperar esperar en una una sola observación, observación, hecha en las mismas condiciones que las demás. n
2
(x xi)
E = 0.6745
i
n 1
0.6745 : Constante de proporcionalidad. n
(
x -
xi )2 = V2 = Errores Residuales
i 1
N = # de observaciones observaciones
ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICA De un cierto número de observaciones de la misma cantidad: n
Eo = 0.6745
2
(xxi) i
n(n 1)
=
E n
ERROR RELATIVO Es la forma unitaria de expresar el error, dando así mejor significado de la la precisión de las mediciones. Se expresa en forma de un quebrado siendo siendo el numerador la unidad unidad
Er
=
E x
=
1 X/E
El error probable de la media aritmética sirve para expresar la fluctuación que puede tener el valor promedio entonces tenemos.
VVA MA PR ALLO OR R M ASS P RO OB BA AB BLLEE:: VV..M M..PP V.M.P. =
X
±
EO
PROBLEMA Para calcular la altura altura de un punto se se hicieron 12 mediciones usando usando un nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de condiciones obteniéndose: 2.187, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186, 2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179. Calcular a) Error probable de una sola medición. b) Error relativo c) Valor Más Probable. SOLUCION:
Xi
x
2.187 2.182 2.179 2.181 2.184 2.176 2.186 1.183 2.178 2.181 2.188 2.179
2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182 2.182
( x - Xi ) - 0.005 0.000 0.003 0.001 - 0.002 + 0.006 - 0.004 - 0.001 0.004 0.001 - 0.006 0.003
( x - Xi )2 0.025 0.000 0.009 0.001 0.004 0.036 0.016 0.001 0.016 0.001 0.036 0.009 = 0.154
a)
ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIÓN n
2
(x xi)
E = 0.6745
=
i
n 1
E =
0.6745
0.154 154 11
0.0798 m.
b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIÓN n
Eo = 0.6745
2
(xxi)
=
i
n(n 1)
Eo =
0.023
E
=
n
0.0798 12
m
c) ERROR RELATIVO
Er
=
1 X/E
=
1 2.182 182 / 0.0798
=
1 27.34
d) VALOR MAS PROBABLE
V.M.P = 2.182 0.023 m.
OBSERVACIÓN DE DIFERENTE PRECISIÓN En anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones han sido tomadas en identificas condiciones y por lo tanto son de igual precisión. Pero en un trabajo topográfico es difícil encontrar estas igualdades igualdades de condiciones, entonces será necesario tener en cuenta estas diferentes precisiones para encontrar los resultados resultados de las mediciones, estas diferentes precisiones se llaman.
PPEESSO OSS
Así por ejemplo: se ha medido un ángulo ángulo en varias varias ocasiones y por por distintos operadores, operadores, todos han han tenido el mismo esmero al observar observar obteniendo el siguiente resultado. 47° 37’ 40” (1er Operador) ha realizado 1 observación 47° 37’ 22” (2do Operador ha realizado 4 observaciones 47° 37’ 22” (3er Operador ha realizado 9 observaciones Es lógico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisión del primero y el tercer valor valor tiene nueve veces la precisión precisión del primero por lo que podemos deducir que los pesos son proporcionales al número de observaciones así: o 2 El primero tendrá: Peso 1 El segundo tendrá: Peso 4 o 8 Peso 9 o 18 El tercero tendrá: Los pesos relativos NOTA: 1. El peso se puede asignar de acuerdo al número de observaciones. 2. El peso se puede asignar al criterio del observador. observador. 3. El peso peso se puede asignar de acuerdo al error probable, en este caso son inversamente proporcional a los cuadrados de los respectivos errores probables. OSEA: P 1 P 2
E
2 2 2
E 1
donde: P1, E1,
P2 = son los pesos que se asignan E2 = son los respectivos errores probables.
La formula general es :
P1
2 E 1
= P2
E
2 2
= P3
2 E 3
= …
VVA MA PR DEE O OB PEESSO ALLO OR R M ASS P RO OB BA AB BLLEE D BSSEER RVVA AC CIIO ON NEESS C CO ON N P OSS DE UNA SOLA CANTIDAD El V.P. de una cantidad cantidad medida medida varias veces con diferente precisiones: a) MEDIA PONDERADA
(x P ) P i
=
XP
i
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA n
Eop = c)
2
(x xi) Pi P
0.6745 x
i
P(n 1)
ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA n
Eo =
2
(x xi) Pi P
0.6745 x
i
(n 1)
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP =
XP
Eop
Del ejemplo anterior que se ha ha medido un ángulo en varias varias ocasiones 47° 37’ 40” ( 1 observación) 47° 37’ 22” ( 4 observaciones) 47° 37’ 30” ( 9 observaciones) ANGULO 47°37’40”
47°37’22 47°37’30”
PESO
1 4 9
Xi
x
Pi
(
x P -
xi )
(
x P -
xi )2
47°37’40”
- 12”
88”
+6”
144” 36”
270”
- 2”
4”
(
xi )2 Pi 144” 144” 36”
x P -
a) MEDIA PONDERADA XP
=
(x P ) P i
i
=
398"
= 28”
14
XP
= 47°37’28”
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA n
Eop =
2
(x xi) Pi P
0.6745 x
i
P(n 1) Eop =
c)
= = 06745
X
324" 14(3 1)
2.3”
ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA n
Eo =
2
(x xi) Pi P
0.6745 x
i
(n 1)
Eo =
=
0.6745 X
324" 3 1
8.58
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP =
XP
Eop
= 47° 37’ 28” 2.3”
Ejemplo: Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La cota con sus correspondientes correspondientes errores errores probables probables son: ITINERARIO A B C D
ALTURA OBSERVADA 221.05 0.006 m 221.37 0.012 m 220.62 0.018 m 221.67 0.024 m
a) Hallar el valor probable de la cota b) El Error Probable de de la Media Ponderada. c) El Valor Mas Probables.
SOLUCIÓN a) Calculo de los los Pesos Pesos
P1 E1 E2 E3 E4
= = = =
2 E 1
0.006 0.012 0.018 0.024
2 2
= P3
simplificando simplificando simplificando simplificando
E1 E2 E3 E4
= P2
E
2 E 3
= = = =
= …
(1)
1 2 3 4
Reemplazando en (1)
P1
2 1
E
= P2
P1 x 1 = P2
E
2 2
x
4
P1 = 1
= P3 =
P3
E
2 3
x
= P4 9
P2 = ¼
Xi 221.05 221.37 220.62 221.67
E
2 4
= P4
x
16
P3 = 1/9
Pi 1 ¼ 1/9 1/16 205/144
P4 = 1/16 Xi Pi 221.05 55.34 22.51 13.85 314.75
b) Media Ponderada XP
Xi 221.05 221.37 220.62 221.67
=
(x P ) P i
i
( x P - xi ) 0.05 0.27 0.48 0.57
=
314.75 205 / 144
( x P - xi )2 0.0025 0.0729 0.2304 0.2249
=
XP
P 1 ¼ 1/9 1/16 205 144
= 221.10 m
( x P - xi )2 Pi 0.0025 0.182 0.0256 0.0203 0.0666
b) Error Probable de la Media Media Ponderada
EOP =
c)
0.00666 205 (3) 144
0.6745
EOP =
0.026 m.
Error Probable de una Medida
Ep =
0.6745
0.00666
Ep =
3
0.00317
m.
d) Valor Más Probable
VMP =
XP
Eop
= 221.10 0.026 m.
VARIAS CANTIDADES HOMOGENEAS Cuando se tiene varios varios valores observados con diferentes pesos y la suma de estos valores valores es igual a un valor conocido o medido. Entonces los V.M.P. son los observados observados mas una corrección, esta corrección es una parte del error total . “Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los pesos”
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 Donde: C = Corrección que debe aplicarse al valor observada de una cantidad para obtener el VMP. EJERCICIO Se midieron los tres tres ángulos y el ángulo total de estos, todos desde el mismo vértice “O” en igualdad de condiciones obteniéndose los siguientes resultados: < < < <
AOB BOC COD AOD
= = = =
46° 14’ 45” 74° 32’ 29” 85° 54’ 38” 208° 41’ 28”
Hallar los valores probables.
( 6 observaciones) ( 1 observaciones) ( 3 observaciones) ( 5 observaciones)
Solución: a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES CORRECCIONES PARCIALES PARCIALES RELATIVAS.
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4 6 C1 = 1 C2 = 3 C3 = 5 C4 C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 X
X
X
X
C4 = 1/5
b) DISCREPANCIA
C2 = 1
C3 =
24" 1 1 6
2
24"
7 / 10
1
x
1 = 14”
C1 =
24"
7 / 10
6
= 2”
5
x 1/3
= 5”
C4 =
24"
7 / 10
d) VALORES PROBABLES
1
x
= 46° 14’ 45” - 2” = 46” 14’ 34” = 74° 32’ 29” - 14” = 74” 32’ 15” = 85° 54’ 38” - 5” = 85” 54’ 33” = 206° 41° 28” + 3” = 206° 41’31”
x
1 5
= 3”
Ejercicios: 1. No pudiendo medirse la distancia distancia horizontal entre entre los puntos puntos M, N, se determinara en forma indirecta, midiéndose su su pendiente y la diferencia diferencia de nivel entre entre estos estos en tres operaciones operaciones de campo, registrando los siguientes datos: Pendiente AH 1ra medición 02° 43’ 15.23 m. 2da Medición 02° 44’ 15.22 m. 3ra Medición 02° 42’ 15.24 m. a) Hallar el el V.M.P de la la pendiente, de la diferencia de nivel nivel y la distancia horizontal b) Además hallar sus respectivos respectivos Errores Relativos. 2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos obtenido los siguientes datos: Medición del perímetro: 5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m. 5188.10 m. 5365.80 m. 5186.70 m. De igual manera se han medido sus ángulos internos: < A = 68° 34’ 15” (3 veces)
TTEEO DEE E ER EN LA OR RIIA A D RR RO OR REESS E N L ASS M MEED DIIC CIIO ON NEESS TTO OPPO OG GR RA AFFIIC CA ASS Una operación Topográfica como: La suma de tramos tramos para dar una longitud total. Hallar el lado o ángulo de una figura geométrica. El área de triangulo, triangulo, cuadrado o cualquier cuadrilátero. cuadrilátero. El volumen volumen de una figura geométrica etc. Esta dado por la siguiente función:
μ = f ( x, y, z ) Entonces el Error Probable de dicha operación operación esta dado por
e
2
2 du du du .ex .ey .ez = d x d y d z
2
1). EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD TOTAL
x + ex
y + ey
z + ez
……
La Función será:
S = x + y + z + ....... El Error Probable
es
2
2
ds ds = .ex .ey .ez dx dy dz ds
2
es
=
V.M.P. = S
ex 2 ey 2 ez 2
es
Nota: Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es igual al error probable de una sola observación o medida multiplicada por la raíz cuadrado cuadrado del Número de medidas. medidas.
S = x + x + x + x ...... ........
es es
=
ex 2 ex 2 ex 2
= n.ex 2
es
V.M.P. = S
=
ex n
ex n
Ejemplo: Se mide una alineación en tres tramos con los siguientes siguientes errores errores probables: 0.014 m. 0.0022 m. 0.016 m. Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud l ongitud total. Solución:
ex
= 0.014 m.
es
=
ey
ex 2 ey 2 ez 2
es
ez
= 0.022 m.
=
= 0.016 m.
2 2 0.014 0142 0.022 022 0.016 016
= 0.03059 m.
2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA Ejemplo del área de un rectángulo
l + el a + ea
A = l
La Función será:
x
a……
El Error Probable 2
eA
dA dA = .el .ea dl da
eA
=
a.el 2 l.ea 2
V.M.P. = A
2
eA
Ejercicio: Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se miden con una cinta de 25.0m. que tiene en su longitud un error de 0.015mts. Hallar el Valor Más Probable del área de dicho terreno. SOLUCION: Calculo del Ep de cada lado Como para cada cintada se produce un error de 0.015m. entonces este error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho Para 750 m. Se habrán dado:
eL = e.
N
750 25
= 30 medidas
= 0.015
30
eL = 0.082 m.
Para 375 m. Se habrán dado:
ea
375 25
= 0.015 15
l
= 15 medidas
ea
= 0.058 m.
a = 375 0.058 m
= 750 0.082 m
A = 750
eA
=
eA
= 53.27
x
375 = 281250 m2
a.el 2 l.ea 2
2 375 375x0.082 0822 750 750x0.058 058
=
V.M.P. = 281250 53.27 m2
3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA GEOMETRICA EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS
eL
L ±
e D ±
La función será:
eD
D= L x cos
El error probable:
Nota:
e
2
eD
dD dD = .eL .e d L d
eD
=
V.M.P. = D
2
Cos.eL 2 L.Sen.ea 2
eD
radianes
Ejercicio: Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B con el siguiente resultado. 321.328 0.035 y 2°43’ 23”4 respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontal entre estos. Solución:
321.328 0.035
2°43’ 23”4
D
D = L x Cos = 321.328
x
Cos ( 2° 43’ ) = 320.967 m.
El error probable:
eD
=
2 Cos 243`x0.035 0352 321 321.328 328x0.00702
V.M.P. = 320.967
0.1125
m
= ± 0.1125
ALTIMETRIA Llamado también control vertical, tiene por objeto determinar la diferencia diferencia de altura entre puntos del terreno ya sea para usarlo directamente o reverenciarlo en un plano
NIVELACION Nivelar significa determinar la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de referencia.
CONSEPTOS FUNDAMENTALES LINEA VERTICAL
Es la línea que va de cualesquier punto de la superficie al centro de la tierra, esta determinado físicamente físicamente por la la línea de la plomada.
LINEA HORIZONTAL
Es la línea recta perpendicular a la línea vertical.
PLANO HORIZONTAL
Plano perpendicular a la dirección de la línea vertical, y tangente a una superficie de nivel nivel en un punto
El plano o superficie superficie horizontal que pasa por el instrumento es perpendicular a la vertical o plomada que pasa por el centro del aparato, de lo cual se deduce que hay un solo plano horizontal para cada estación.
SUPERFICIE DE NIVEL Es una superficie curva que en todos sus puntos es perpendicular a la
Dirección de la vertical, es decir a la dirección de la plomada, como ejemplo tenemos la superficie del mar en calma.
NIVEL MEDIO DEL MAR convencionalmente y viene hacer el Es el nivel ± 0.00 m. adoptado convencionalmente
promedio de la máxima elevación elevación del mar ( PLEAMAR) y su máximo descenso ( BAJAMAR). El nivel medio del mar en un punto es la medida de las observaciones registradas en dicho punto por un mareógrafo en un periodo de varios años Esta superficie es el plano de referencia de la mayoría de países se llama PLANO ABSOLUTO ABSOLUTO y cualesquier superficie paralela que se tome como referencia se denomina PLANO RELATIVO
ALTURA o COTA vertical a un plano de referencia. referencia. De un punto es su distancia vertical
Si este plano de comparación es el N.M.M. entonces se denomina COTA ABSOLUTA o ALTIUTD y si este plano es cualesquiera entonces es una COTA RELATIVA
DIFERENCIA DE ALTURA ALTURA O DESNIVEL
Entre dos puntos es la distancia vertical entre las l as dos superficies de nivel que pasan por dichos puntos
B
SUPERFICIE N. (B)
300 m
A
SUPERFICIE N. (A)
100 m
0±00
N.M.N
COTA ABSOLUTA DE (A) = 100.00 m. COTA ABSOLUTA DE (B) = 400.00 m. COTA RELATIVA DE (A) = 300.00 m. (Respecto a A ) DIFERENCIA DE ALTURA O DESNIVEL (A ( A , B) =
300.00 m.
INSTRUMENTOS BÁSICOS DE ALTIMETRÍA
El Nivel Esférico. El Nivel Tubular. El Nivel Nivel de Burbuja Partida Partida . El Nivel de Ingeniero. La Mira.
NIVEL ESFÉRICO Llamado también OJO DE POLLO; POLLO; viene a estar constituido por un casquete de vidrio en cuyo cuyo interior contiene generalmente alcohol; el conjunto conjunto engloba una burbuja de aire la cual por diferencia diferencia de densidades densidades se se ubicará ubicará siempre siempre en la parte superior. El nivel esférico se usa generalmente para realizar una pre-nivelación (nivelación aproximada) de algún aparato topográfico; por tal motivo su precisión es mucho menor que los tubulares. La plataforma que contiene al nivel esférico, esta conformado por tres tornillos nivelantes,
EL NIVEL TUBULAR (nivel tórico) tórico ) Consiste en un tubo cilíndrico hueco de vidrio cerrado en ambos extremos, en cuyo interior contiene en casi su totalidad de volumen un líquido de baja viscosidad como bencina, éter, alcohol; como quiera que el fluido no llena el 100% del volumen interno, se forma una burbuja de aire. Este aparato tiene la propiedad generar un eje o directriz horizontal (tangente al arco externo) cuando la burbuja se encuentra centrada. En topografía se utiliza este dispositivo para colocar en un plano horizontal, ya sea un plato, un limbo o un anteojo. Que me permite mantener mantener horizontal horizontal el eje de la visual. Se centrara la burbuja burbuja para lo cual esta provisto provisto de una una graduación, La La distancia entre divisiones divisiones es por convención convención 2 mm. entonces se debe debe tratar de colocar la burbuja en forma tal que sus extremos disten igual del centro de graduación .
NIVEL DE BURBUJA PARTIDA (PARÁBOLA) En varios equipos el nivel tubular esta a la vista, por lo tanto estará expuesto a la influencia de agentes externos como rayos de sol lo que influye en la sensibilidad del nivel. Para obtener una precisión aproximadamente 8 veces superior al anterior el nivel tubular esta oculto y para centrarlo se consigue mediante el conocido dispositivo de COINCIDENCIA DE WILD. Con un sistema de prismas, presenta la mitad superior izquierda, frente a la mitad inferior derecha de la burbuja. Como consecuencia óptica de este acoplamiento se apreciarán las mitades extremas de de la burbuja burbuja en posición invertida. invertida.
PLANTA
VISTA FRONTAL
La burbuja estará centrada cuando sus dos extremos coincidan y formen la PARABOLA. Se nivela o centra por medio de un Tornillo Basculante que de ningún modo disturba la horizontalidad general
ANALIZANDO
Se demuestra que si la burbuja tiene un desplazamiento x en el nivel tubular, los extremos de cada mitad de burbuja sufrirán un desplazamiento 2x.. 2x En promedio la apreciación óptica mínima de una persona normal es 0,2mm. De la premisa anterior se deduce que el error mínimo que podemos cometer en apreciar la coincidencia de las burbujas invertidas es: 2x = 0,2 ; Lo cual significa que el error en el desplazamiento de la burbuja será x = 0,1 mm y no d = 2 mm como habíamos visto en el nivel tubular. Esto significa que trabajando con un nivel tubular y apoyándonos en el presente sistema, podemos obtener una precisión 20 veces mayor de lo normal.
MIRAS Son reglas de maderas de sección rectangular con longitud que varia desde 1 a 4.0 m. Esta graduada en toda su longitud en centímetros agrupados de 5 cm. en 5cm. luego en decímetros igualmente de metro en metro, los extremo esta protegido de regatones de metal para protegerlo del desgaste. Esta regla puede ser de una sola pieza (enteriza), o de dos mas piezas articuladas cada metro.
La mira se coloca con el cero en el terreno para así medir las alturas Para tomar tomar medidas se hace coincidir el Hilo Vertical del nivel sobre la línea media de la mira pera pera lo cual se se debe tener la mira perfectamente vertical esto se consigue con el nivel de mano. Luego se toma la lectura donde este colocado el Hilo horizontal.
14 ALTURA DEL HILO MEDIO
1.448 m.
EELL N NIIVVEELL D DEE IIN NG GEEN NIIEER RO O ((EEQ QU UIIA ALLTTÍÍM MEETTR RO O)) El nivel de ingeniero, es aquel instrumento topográfico, constituido básicamente de un telescopio unido a un nivel circular más otro tubular o similar; el conjunto va montado generalmente a un trípode. El objetivo de este aparato es obtener planos horizontales; consiguiendo de este modo conocer el desnivel entre dos puntos. En la actualidad existen muchos tipos de nivel los más importantes son: . Nivel óptico mecánico simple . Nivel óptico mecánico de alta precisión. . Nivel óptico mecánico automático . Nivel electrónico
A) NIVEL ÓPTICO MECÁNICO SIMPLE Es aquel en el cual tiene como componentes principales al telescopio, el nivel circular y el tubular o parábola.
B) NIVEL ÓPTICO MECÁNICO AUTOMÁTI AUTOMÁTICO CO Los Niveles Niveles automáticos se se caracterizan caracterizan por por la particularidad principal de obtener una línea de colimación horizontal con solo calar la burbuja del nivel esférico, obviando de este modo el proceso de nivelación con el nivel tubular o de burbuja partida. Para incrementar la precisión de la línea de colimación se hace uso de un compensador automático que puede ser de péndulo, de prismas, de espejos o electromagnéticos.. Si bien es cierto que estos equipos tienen la gran ventaja de ahorrar tiempo en el trabajo de campo, dado que para cualquier movimiento acimutal del anteojo no se requiere ningún ajuste especial; sin embargo sufren la desventaja de ser sensibles a las vibraciones inducidas por el viento, el tráfic.
C) NIVEL ÓPTICO MECÁNICO DE ALTA PRECISIÓN A diferencia de los niveles anteriormente estudiados, estos poseen en cada equipo un micrómetro de placa plano paralela con el cual se puede dar dar lectura de hasta el décimo de milímetro convirtiéndose así en aparatos precisos, dado que los convencionales obtienen lecturas hasta el centésimo de metro. A continuación explicaremos las particularidades más importantes de estos equipos. Con estos niveles se usa la mira invar. La cinta graduada lleva dos divisiones de centímetros de precisión marcadas en la madera. Una de las escalas de cifras tiene su origen en la base de la mira e indica las alturas reales encima de la base (posición I). La otra escala indica valores que son superiores en por lo menos 3 metros a los anteriores (posición II).
NIVELES Son aquellos equipos con los que podemos determinar una línea o un plano horizontal, perfectamente perpendicular perpendicular a la vertical en un punto. Un nivel esta compuesto compuesto de un anteojo cuyo eje de mira es una línea que se mantiene horizontal por medio de un nivel tubular Tanto e anteojo como el nivel en si se encuentran montados sobre un eje vertical que les permiten girar, la verticalidad de este eje se consigue gracias a tres tornillos nivelantes.
El centrado definitivo del Nivel Tubular se logra de dos formas: Cuando el equipo tiene un Nivel Tubular visible, visible, Para calar la burbuja, burbuja, se hace uso de los tornillos nivelantes que más se acerque al eje directriz del nivel tubular.
TORNILLOS NIVELANTES
.
Cuando el equipo tiene un nivel de burbuja partida (parábola): Tornillo
En este caso se realiza el centrado de la burbuja con ayuda del tornillo Basculante, que de ningún modo disturba horizontalidad general La burbuja estará centrada cuando cuando sus dos extremos coincidan y forme la PARABOLA. PARABOLA. En este se repite para cada visual
En niveles automáticos, automáticos, este paso se realiza realiza en forma automática automática
OTROS E EQUIPOS
BENCH MARK ( B B.M.) Es la altitud permanente de un punto respecto al N.M.M. Están ubicados a lo largo y ancho de todo el globo terrestre y son establecidos por instituciones instituciones especializadas especializadas en cada país, país, en el Perú es el Instituto Geográfico Nacional (IGN), la entidad entidad que se ocupa ocupa de la colocación colocación y mantenimiento de estas marcas permanentes.
¿Como es un B.M. en el terreno? Físicamente un B.M. se representa mediante una placa de bronce de 10 cm de diámetro diámetro soldado a una una barra barra de acero; este último colabora colabora con la adherencia entre el concreto y la placa. El disco de bronce debe llevar grabado su código, fecha de instalación y el nombre de de la institución institución que lo realizó. Lo óptimo es que un B.M. se ubique en una zona de suelo firme, sobre una estructura, pilar o muro, de modo que garantice su no demolición en cinco años por lo menos.
¿Cómo se nivela un B.M.? Para monumentar un B.M. primero se instala la placa de bronce en el lugar elegido; luego se realiza una nivelación geométrica de alta precisión de circuito cerrado partiendo de un B.M. anteriormente establecido así se determina la cota de la placa de bronce
¿Como saber el valor del B.M.? La información de dicho dato corresponde al IGN, el cual lo efectúa a pedido del interesado mediante un documento similar al que se muestra a continuación, previo pago por los derechos respectivos.
Entonces la diferencia diferencia de altura o la determinación de de cotas de puntos del terreno se obtienen mediante la NIVELACION, que puede ser:
INDIRECTA: N. BAROMETRICA N. TRIGONOMETRICA DIRECTA: N. GEOMETRICA
NIVELACION BAROMETRICA Esta basada en la medición de la Presión Atmosférica, que cambia según la altura de los lugares. Al Nivel del mar la presión es de 76.2 cm. de columna de Mercurio. La presión Atmosférica Atmosférica es razón inversa inversa a la altura, se emplea el BAROMETRO BAROMETRO DE MERCURIO. Este método se usa principalmente en trabajos de explotación o reconocimiento y en donde los desniveles son muy grandes, generalmente para estaciones fijas. En topografía se usa la nivelación barométrica para calcular el desnivel entre dos puntos midiendo la presión atmosférica en cada uno de ellos.
NIVELACION TRIGONOMETRICA Los desniveles se obtienen mediante resolviendo un triangulo rectángulo, cuya incógnita es el cateto que representa la diferencia de altura entre dos puntos. En este método hay dos fuentes de error, en la medida del ángulo vertical y en la medida de la distancia, es por esta razón que sus resultados están dentro de ciertos limites de precisión.
La nivelación trigonométrica generalmente se utiliza cuando:
- Los puntos puntos están están demasiados demasiados lejos. - El terreno es muy accidentado. - No se requiere de mucha precisión. Los instrumentos básicos en la nivelación trigonométrica El eclímetro El teodolito La Estación Tota Se verá en el tema referente a taquimetría.
LEVANTAMIENTO CON ECLÍMETRO Este método sirve para determinar la pendiente de una línea recta que une dos puntos en el terreno; para ello es importante el uso de una mira. Para determinar la pendiente entre los puntos A y B; el operador se estaciona en el punto A y coloca el eclímetro a la altura de su ojo; se mide con cinta métrica la altura que hay desde el punto A, hasta el eclímetro (h) (h) ; ; se coloca la mira en el punto punto B. se busca busca con el el eclímetro eclímetro la lectura h. en en la mira; con ello estamos consiguiendo trazar imaginariamente una línea recta paralela a la línea AB del terreno. El ángulo en grado grado o en porcentaje porcentaje será será la pendiente pendiente de AB buscada. buscada. Este método también se usa para replantear en el terreno una línea de Gradiente.
LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO Se tratara tratara en el tema taquimetría. En la ilustración: se trata de calcular el desnivel entre A y B con ayuda de una estación total.
Cota (A) + h + Dv = Cota (B) + H Cota (B) - Cota (A) = Dv + ( h - H ) Si: H = h Cota (B) - Cota (A) = Dv
Se considera dos casos:
DISTANCIA CORTAS ( MENORES DE 1500 m )
Se mide la Distancia Inclinada y el Angulo Vertical con lo cual se obtiene el mide la Distancia Inclinada y el Angulo Vertical con lo cual se obtiene el desnivel.
DISTANCIA LARGA ( MAYORES DE 1500 m )
Se debe tener en cuenta la Curvatura Terrestre y l a Refracción.
En este caso se mide los Ángulos Ángulos Verticales en ambos sentidos.
NIVELACION G GEOMETRICA O O D DIFERENCIAL Es aquella aquella que nos permiten determinar determinar la diferencia de altura altura entre puntos, midiendo directamente las distancias verticales sobre una regla llamada MIRA MIRA,, y un instrumento denominado “NlVEL” este método es de gran precisión.
Siempre se efectúan las lecturas de los tres hilos: inferior, inferior, central y superior. Se comprueba en el momento de realizar la observación que la semisuma de las lecturas de los hilos extremos es igual a la lectura del hilo central mm y se da por válido la observación.
HILO SUPERIOR
HILO INFERIOR
TECNICA DE LA NIVELACIÓN GEOMETRICA En la figura se deseada encontrara el desnivel entre los puntos A y B
hA
hB B
∆H
A m N.M.M.
Se coloca el equipo aproximadamente en el centro.
Se toma las lecturas lecturas de altura sobre las miras miras colocadas colocadas en “A” y “B”
(hA, hB ). La línea de la visual es una horizontal, cuya distancia al N.M.M. se conoce como ALTURA DE INSTRUMENTO ( ) De la figura:
∆ H = h A - hB m = Cota de “A” conocida Cota de “B” por conocer
Si tomamos como referencias N.M.M. La cota de (A) es m La cota de (B) es m + ∆ H
COTAS ABSOLUTAS ABSOLUTAS
Si tomamos como referencia un plano que pasa por (A) La cota de (A) es cero. La cota de (B) es ∆ H
COTAS RELATIVAS
Todo esto indica que para determinar la cota de un punto (B) es necesario tener otro punto punto de cota conocida (A) y por simple lectura de mira se halla el valor de ∆ H, con lo cual cual determino la cota del del punto (B) Por lo tanto debemos tener siempre:
Punto (A) de cota conocida. Punto (B) de cota por conocer. Esto nos lleva a las l as siguientes definiciones:
VVIISSTTA ATTR + )) A A RÁ ÁSS LL (( + Es la lectura efectuada sobre la mira colocada esta sobre un punto de cota conocida, en la figura: hA
VVIISSTTA AD ─ ) A A DEELLA AN NTTEE LL (( ─ )) Es la lectura efectuada sobre la mira colocada esta sobre un punto de cota conocer, en la figura: hB
A DEE IIN ALLTTU UR RA A D NSSTTR RU UM MEEN NTTO O ((
))
Es la distancia vertical comprendida entre el eje del anteojo y la superficie superficie de referencia (N.M.M.)
= COTA (B) =
hA + m - hB
PPU DEE C CA UN NTTO O D AM MB BIIO O Es un punto intermedio intermedio sobre sobre al cual se ha ha tomado lecturas de vista atrás atrás y vista adelante.
TIPOS DE NIVELACION GEOMETRICA NIVELACION DIFERENCIAL - NIVELACION COMPUESTA
-
NIVELACION GEOMETRICA D DIFERENCIAL Es aquella nivelación geométrica que sirve para hallar la diferencia de altura de solamente dos puntos del terreno. Pasos a seguir . Se coloca la mira en el punto de cota conocida (A) . Se ubica el punto de cota por conocer (B). . Se instala el nivel en un punto equidistante a los antes mencionados.
Con ayuda del nivel se visa la mira colocada en el punto de cota conocida: L(+) y se anota en la libreta de campo. . Se coloca la mira en el punto de cota por conocer y con ayuda del nivel se visa la mira : L(-) y se anota en la libreta de campo. .
LIBRETA DE CAMPO
PUNTO
L(+)
A
1.85
L(─)
COTA 100.00
B
0.72
DETERMINANDO LA COTA DE “B”
PUNTO
L(+)
A
1.85
B
L(─)
COTA 100.00
101.85
0.72
101.13
En general:
= L (+) + Cota conocida Cota por conocer =
─
L (─)
TECNICA DE LA NIVELACIÓN GEOMETRICA Se puede efectuar de tres maneras diferentes, Según como se estacione el instrumento o nivel.
1º CASO: METODO DEL PUNTO MEDIO Se estaciona el nivel entre ambos puntos de tal forma que las l as distancias a los puntos (A) y (B) sean aproximadamente iguales, no necesariamente el nivel debe estar en el mismo alineamiento AB
hA
hB
B ∆H
A - Se toma la lectura hA (vista atrás) sobre al mira colocada colocada verticalmente en (A). - Sin variar en lo más mínimo la posición del nivel, se gira horizontalmente y se toma la lectura en la mira colocada en (B) (Vista adelante).
∆ H = h A - hB La distancia se puede medir aproximadamente con pasos de tal manera que el instrumento quede aproximadamente en la mitad de A y B esto se realiza para evitar corregir por Refracción y Curvatura Terrestre
A
B
2º CASO: CASO: DETRÁS DE DE UN PUNTO Cuando la configuración del terreno es tal que el nivel no se puede estacionarse ni sobre un punto, ni entre ellos, en este caso se estaciona detrás de uno de los de los puntos.
hB
hA
B
∆H
A
- Se efectúa las lecturas hA, hB sobre las miras colocadas en (A) y (B) respectivamente.
∆ H = h A - hB
3º CASO: METODO DEL PUNTO EXTREMO El equipo se estaciona estaciona sobre uno de los puntos, puntos, ejemplo ejemplo sobre sobre (B)
hA hi
B
∆H A -
Se mide la altura de equipo ( hi ) Se efectúa la lectura hA sobre la mira colocada verticalmente en (A).
∆ H = hA - hi De estos tres métodos , el 2º es el que mas se usa por la facilidad del trabajo y sobre todo por la precisión, ya que si esta el nivel aproximadamente en el centro se eliminan los errores de refracción y curvatura terrestre , además los errores residuales de ajuste del nivel se compensa recíprocamente.
N REEC NIIVVEELLA AC CIIO ON N R CIIPPR RO OC CA A Para efectuar nivelaciones de precisión pero no es posible colocar el instrumento en el centro, se trabaja como el 3º caso pero con dos posiciones del nivel.
h'A
h'B
hA hB B
∆H
A
-
Se estaciona el nivel detrás del punto (A) y se toma las lecturas ( hA ) y ( hB ) en las miras colocadas colocadas en (A) y (B) respectivamente.
-
Luego se estaciona el nivel detrás del punto (B) y se toma las l as lecturas (h'A) y (h'B ) en las mismas miras colocadas en (A) y (B) respectivamente. Entonces según la figura:
( hA - hB ) + ( h'A - h'B ) ∆H
= ────────────────── 2
NIVELACION GEOMETRICA C COMPUESTA Cuando los puntos cuyos desnivel se quiere conocer no son visibles desde algún punto intermedio, ya sea porque:
Cuando las distancias son muy grandes que imposibilita leer sobre la mira. Por obstáculos que se encuentran entre estos puntos El desnivel es muy grande Cuando hay puntos puntos intermedios de los cuales se desea obtener su cota.
Entonces en estos estos casos habrá que que repetir una nivelación nivelación diferencial Tantas veces como sea necesario hasta llegar al otro otro punto, punto, a esta repetición se conoce como NIVELACIÓN COMPUESTA. NOTA: como distancia normal de puntería se recomienda entre 50 y 60 metros.
Cuando las distancias son muy grandes que imposibilita leer sobre la mira.
Por obstáculos que se encuentran entre estos puntos
En el croquis se muestran dos puntos, “A”, tiene como cota: +100,00 m; el problema consiste en determinar la cota del punto B. Es difícil realizar una nivelación simple, por lo cual se elige la nivelación compuesta
Pasos a seguir
Se elige un punto: 1 (punto de cambio), con la condición de acercarnos al punto B Se realiza una nivelación simple entre A y 1 como si B no existiese, calculando cota del punto 1.
PUNTO A 1
L(+) 2.54
L(─)
102.54
1.42
COTA 100.00 101.12
. Se elige el punto 2. Se realiza una nivelación simple entre 1 y 2 Determinando cota de 2
PUNTO 1 2
L(+) 0.56
L(─)
101.68
2.53
COTA 101.12 99.15
. Se elige el punto 3 y se determina su cota, mediante mediante una nivelación simple
PUNTO 2 3
L(+) 1.44
L(─)
100.59
0.54
COTA 99.15 100.05
. Finalmente se realiza realiza una nivelación simple entre los puntos 3 y B, calculando la cota del punto punto B.
PUNTO 3 B
L(+) 2.56
L(─)
102.61
1.82
COTA 100.05 101.79
Es posible unir las tablas de las nivelaciones simples. EN EL CAMPO: PUNTO
L(+)
L(─)
A
2.54
1
0.56
1.42
2
1.44
2.53
3
2.56
0.54
B
1.82
COTA 100.00
EN GABINETE: PUNTO
L(+)
L(─)
COTA
A
2.54
1
0.56
102.54
1.42
101.12
2
1.44
101.68
2.53
99.15
3
2.56
100.59
0.54
100.05
102.61
1.82
100.79
B
100.00
Para comprobar los cálculos de la libreta de campo:
∑L(+) − ∑L(−) = Cota Final − Cota Inicial En el ejemplo anterior: ∑L(+) = 7.10 m. ∑L(- ) = 6.31 m.
Cota Final = 100.79 Cota Inicial = 100.00
7.10 − 6.31 = 100.79 − 100.00 0.79 = 0.79
(conforme)
Demostración
L1(+) − L2(−) = Cota (2) − Cota (1) L2(+) − L3(−) = Cota (3) − Cota Cota (2) L3(+) − L4(−) = Cota (4) − Cota Cota (3) -----
Ln-1(+) − Ln(−) = Cota (n) − Cota (n-1) ────────── ─────────────── ∑L(+) − ∑L(−) = Cota (n) − Cota (1)
Cuando hay puntos intermedios de los cuales se desea obtener su cota.
EJEMPLO:: Se desea obtener la diferencia de nivel y cotas de EJEMPLO los puntos B, C, D.
L(+)
1.218
2.502
L(+)
L(-)
2.966 L(+)
D
0.839
L(-)
1.649
C
1.147
B
A
LLIIB CA BR REETTA AD DEE C AM MPPO O:: NIVELACION COMPUESTA PUNTO
V.ATRAS
A
1.649
B
2.986
1.147
C
2.502
0.839
D
V.ADELAN
COTA 100.000
1.218
(Cota A = 100.000 m. ) Se estaciona el nivel entre A y B y se efectúa la 1ª nivelación diferencial
= cota (A) + V.Atrás (A) = 100.00 + 1.649 = 101.649 m. Cota (B) =
- V.Adel. (B) = 101.649 - 1.147 = 100.502 m.
EL Pto (B) ya es de cota conocida
COTA (B) = 100.502 m.
Se estaciona el nivel entre B y C y se efectúa la
2ª nivelación diferencial
= cota (B) + V.Atrás (B) = 100.502 + 2.986 = 103.488 m. Cota (C) =
- V.Adel. (C) = 103.488 - 0.839 = 102.649 m.
EL Pto (C) ya es de cota conocida
COTA (C) = 102.649 m.
Se estaciona el nivel entre C y D y se efectúa la 3ª nivelación diferencial
= cota (C) + V.Atrás (C) = 102.649 + 2.502 = 105.151 m. Cota (D) =
- V.Adel. (D) = 105.151 - 1.218 = 103.938 m.
COTA (D) = 103.938 m.
LLIIB CA BR REETTA AD DEE C AM MPPO O:: NIVELACION COMPUESTA PUNTO
V.ATRAS
A
1.649
B
2.986
1.147
C
2.502
0.839
D
V.ADELAN
COTA 100.000
1.218
G GA AB BIIN NEETTEE:: NIVELACION COMPUESTA PUNTO
V.ATRAS
A
1.649
B
2.986
101.649
1.147
100.502
C
2.502
103.488
0.839
102.649
105.151
1.218
103.938
D
V.ADELAN
COTA 100.000
7.137
3.204
COMPROBACION 7.137 3.204
103.933 – 100.000
─────
──────
3.933
V.Atrás -
3.933
V.Adel
= COTA (A) - COTA (D)
De esta manera se comprueba los cálculos hechos en la libreta. Además para conocer el desnivel entre los puntos extremos, no es necesario conocer la cota de los puntos ∆ H (A,D) = 7.137 - 3.204 = 3.933 m.
LA NIVELACION PUEDE SER:
NIVELACION CERRADA Es aquella que empieza y termina en un mismo punto de cota conocida (B.M.) es decir se efectúa un circuito cerrado, se realiza generalmente para determinar la cota de otro punto, para comprobar esta nivelación se realiza una nivelación de ida y otra de vuelta.
Teóricamente la cota inicial debe ser exactamente igual a la cota final, dado que es el mismo punto, en la práctica, siempre existe una diferencia entre dichas lecturas; a esta diferencia se le llama ERROR DE CIERRE ALTIMÉTRICO.
NIVELACION ABIERTA Es aquella que empieza en un punto y termina en otro, ambos de cota conocida, entonces para comprobar esta nivelación es necesario volver a realizar la nivelación dos ó tres veces. Generalmente se utiliza cuando el objetivo es determinar la configuración altimétrica del terreno a lo largo de una línea definida
EJEMPLO: se desea conocer la cota de los puntos: (2) , (3), (4), (5) de la siguiente figura, para lo cual se realiza nivelación de ida y regreso. BM (1) = 345.150 m. NIVELACION IDA:
2.246 1.152 2.453
0.205
2.758 2.153
0.397
0.251
5 4 2 3
BM(1)
NIVELACION REGRESO:
2.395 0.951 2.589
0.358
2.556 2.313
0.555
0.416
5 4 2 BM(1)
3
LLIIB DEE C CA BR REETTA A D AM MPPO O PUNTO
NIV.
BM(1)
V. ATRAS
2.435
2
I
3 4
0.397
D
2.153
2.758
A
2.246
0.251
4 3 2 BM(1)
0.205
R E G R E S O
COTA
345.150
1.152
5
5
V. ADELAN
0.358 0.416
2.395
2.556
2.313
0.555
0.951 2.589
G GA AB BIIN NEETTEE PUNTO
NIV.
V. ATRAS
V. ADELAN
4 2.435
BM(1)
COTA
345.150
2
I
3
D
2 2.153
38 348.340
9 2.758
79 345.582
A
5 2.246
1 347.735
2 0.251
79 347.484
0.205
19 349.525
4
1.152
4 347.585
8 0.397
6 347.188
24 349.730
5
5
R E G R E S O
4 3 2
19 349.525
0.358 5 0.416
77 349.883
6 2.395
1 347.488
5 2.556
896 347.904
4 2.313
82 345.591
4 0.555
37 348.147
0.951
86 347.196
40 347.751
90 2.589
345.150 345.162
BM(1)
11.871 V. ATRÁS = 11.871 V. ADELA = 11.859 ─────────────────── ──────────────────── ─
+ 0.012 m.
11.859 345.162 345.150
Cota llegada Cota inicio
─────────────────── ───────────────────
+ 0.012 m.
ERROR DE CIERRE = + 12 mm.
CORRECCION: -
SI ES POR EXCESO
A las
-
V. ATRÁS se RESTAN V. ADELANTE ADELANTE se SUMAN SUMAN
EA / 2 E A / 2
SI ES POR DEFECTO V. ATRÁS se SUMAN V. ADELANTE se RESTAN
En el caso del ejemplo hay un exceso de V. ATRÁS (IDA y REGRESO): V. ADELANTE ADELANTE (IDA y REGRESO):
E A / 2 E A / 2 +12 mm. - 6 mm + 6mm
Estos errores se reparten a las lecturas, ya que al tomar estas lecturas es que se cometen errores. Con los valores ya corregidos se vuelve a repetir todo el proceso, de tal manera que que al final llego con con la misma cota que empecé. EN CONCLUCION:
COTA del PTO (5) (5) = 349.519 m. Para el resto de puntos se saca el promedio.
COTA del PTO (2) = 347.186 m. COTA del PTO (3) = ( 345.579 + 345.582)/ 2 = 345.580 m. COTA del PTO (4) = ( 347.479 + 347.481)/ 347.481)/ 2 = 347.480 m. NIVELACION ABIERTA El procedimiento es similar al de un itinerario cerrado. La compensación del error de cierre se realiza repartiendo dicho error en todas las cotas de los puntos intermedios y será directamente proporcional a la distancia entre dicho punto y el inicial ( Distancia Acumulada).
Ec x DA
Ci = ────── DT Ci Ec DA DT
= = = =
Compensaciones el punto (i) Error de Cierre Altimétrico Distancia del punto inicial al punto (i), distancia acumulada Distancia Total
EJEMPLO DE APLICACIÓN: El siguiente croquis y tabla respectiva, respectiva, se se muestra muestra los datos de una nivelación abierta; si se requiere una nivelación ordinaria; se pide determinar y compensar las respectivas cotas.
53.60m
55.60m
3
38.60m
2
40.70m
1
18.20m
15.60m
27.30m 25.60m
A COTA (A) = 163.221 m. COTA (B) = 165.458 m.
LLIIB CA BR REETTA AD DEE C AM MPPO O:: PUNTO
V.ATRAS
A
2.105
1
1.860
1.270
79.30
2
1.632
1.465
52.90
3
2.068
0.922
109.20
1.765
33.80
B
V.ADELAN
COTA
DISTAN
163.221
G GA AB BIIN NEETTEE:: PUNTO
V.ATRAS
V.ADELAN
COTA
DISTAN
A
2.105
1
1.860
165.326
1.270
164.056
79.30
2
1.632
165.916
1.465
164.451
52.90
3
2.068
166.083
0.922
165.161
109.20
167.229
1.765
165.464
33.80
163.221
B 7.665
5.422
V.atras -
275.20
V.adel = COTA (B) - COTA (A)
7.665 - 5.422 = 165.464 - 163.221 2.243 = 2.243
Es conforme
Calculando el Error de Cierre:
EC = COTA”B”(Calculado) - COTA “B”(Dato) = 165.464 - 165.458 Ec = + 0.006 m. Calculo del Máximo Error Tolerable
E MAX = ± 0.02 m. EMAX = ± 0.02 m. Ec < EMAX
K
0.2752 = ± 0.01 m.
es conforme, por lo tanto se procede a la compensación.
Ec x DA
C1 = ────── DT C2 =
C3 =
0.006 x 79.30
=
────────── ──────────
=
0.002 m.
275 .20
0.006 x 132.30 ──────────
=
0.003 m.
=
0.005 m.
=
0.006 m.
275 .20
0.006 x 241.30 ──────────
275 .20
0.006 x 275.20
C4 = ────────── 275 .20
C DEE C CO CO OM MPPEEN NSSA AC CIIO ON N D OTTA ASS:: DISTAN
DISTANCIA ACUMULADA
CORRECC.
COTA CORREGIDA
PUNTO
COTA
A
163.221
1
164.056
79.30
79.30
- 0.002
164.054
2
164.451
52.90
132.20
- 0.003
164.448
3
165.161
109.20
241.40
- 0.005
165.156
B
165.464
33.80
275.20
- 0.006
165.458
163.221
En un trabajo topográfico siempre existe: -
Puntos de cambio y Puntos intermedios
PUNTOS DE CAMBIO Es un estación sobre la cual se toman lecturas de vista atrás y vista adelante. En la figura Pto. (4)
PUNTOS INTERMEDIOS Son puntos sobre los cuales se toman solamente lecturas de vista adelante, son puntos de los cuales es necesario obtener su cota pero este valor no servir para continuar la nivelación. En la figura Ptos. (2), (3). ejemplo:
L(+) L(+)
L(-)
L(-)
L(-)
L(-)
5
3
2
4
BM(1)
L(+)
BM(1)
L(-)
2
L(-)
3
L(-)
L(+)
4
L(-)
5
Lo importante cuando se tiene puntos intermedios es que la altura del instrumento permanece invariable y mientras no se mueva mueva el nivel se podrán visar infinidad de puntos entre BM(1) y (4) EJERCICIO: En el presente esquema de nivelación determinar las cotas de los puntos: A, B, C, D, E, F y G. si el BM: ( 626.13 m. )
3.35 3.56
2.99
1.57
2.98 3.82
2.15
1.76
G
0.85
F A C
B
BM D
E
LIBRETA DE CAMPO
PUNTO V. ATRA ATRAS S BM
V. ADELAN
2.98 1.57
B
2.99
C
3.56 3.82
626.13
D
2.15
E
1.76
F G
3.35
COTA 626.13
A
BM
2.87
0.85 2.87
LIBRETA DE CAMPO CAMPO Y CALCULOS CALCULOS
PUNTO V. ATRA ATRAS S BM
V. ADELAN
2.98
629.11
COTA 626.13
A
1.57
627.54
B
2.99
626.11
C
3.56
625.55
BM
3.82
629.95
626.13
D
2.15
627.80
E
1.76
628.19
0.85
629.10
2.87
629.58
F
3.35
632.45
G
C CO OM MPPR RO OB BA AC CIIO ON ND DEE LLA AN NIIVVEELLA AC CIIO ON N La comprobación de una nivelación es otra nivelación y puede ser:
a) NIVELAR DE IDA Y DE REGRESO
Por los mismos puntos o regresar por por otros puntos diferentes que es lo mas recomendable.
b) NIVELAR POR DOBLE PUNTO DE CAMBIO
En este caso las dos nivelaciones se llevan juntas al mismo tiempo, para evitar equivocaciones al anotar se llevan los registros separados de cada nivelación. 3 2 4
1
2’
3’
PPR REEC CIISSIIO ON ND DEE LLA AN NIIVVEELLA AC CIIO ON N La precisión de una nivelación solo se puede determinar si se efectúa esta, en circuito cerrado, es decir empezar y terminar en un mismo punto de cota conocida ò terminar en otro punto de cota conocida, para:
1.
NIVELACION APROXIMADA:
Para reconocimiento y levantamiento preliminares.
la visuales hasta 300 m.
E MAX = ± 0.10 m. K K = Numero de Kilómetros recorridos ( Ida y Vuelta )
2.
NIVELACION ORDINARIA ORDINARIA::
Todo levantamiento Topográfico, Trazo de carreteras carreteras localización y construcción de caminos.
Para la mayoría de los trabajos de ingeniería
Visuales hasta 150m
Lecturas en estadal con aproximación aproximación de 3 a 5 mm.
Usar el método del punto medio
E MAX = ± 0.02 m. K 3.
NIVELACION PRECISA:
Para el establecimiento de B.M.
Precauciones antes de tomar una medida.
Visuales hasta 100m
Lecturas en estadal con aproximación de 1 mm. Mira de buena calidad. Usar el método del punto medio. Empleando para los puntos de cambio estacas con clavos, o escogiendo objetos bien fijos.
E MAX = ± 0.01 m. K 4.
NIVELACION DE PRECISION:
Para establecer BM con gran precisión, con niveles y estadales de alta calidad.
Para trabajos de Geodesia de primer orden
Visuales hasta 150m
Lecturas con aproximación de 1 mm. Leyendo con los 3 hilos estadimetricos para promediar y corroborar la lectura del hilo medio. Usar el método del punto medio
E MAX = ± 0.004 m. K LA VELOCIDAD DE LA NIVELACION NIVELACION SE ESTIMA QUE DEBE SER DE 1 KM/h
ANGULOS Y D DIRECCIONES La finalidad de un levantamiento topográfico es determinar la posición de puntos sobre la superficie terrestre y estos dependen frecuentemente de la medición de direcciones, ángulos y distancias. Para la medición de un Angulo es necesario conocer tres elementos básicos:
-
Línea de Referencia La Dirección de Rotación La Valor Angular
LINEA DE REFERENCIA
DIRECCION DE ROTACION
VALOR ANGULAR
LINEA DE REFERENCIA: Se tiene tres lineas de referencia: 1.- NORTE GEOGRÁFICO O VERDADERO Es la dirección definida por el punto de observación y el polo Norte Verdadero. 2.- NORTE MAGNÉTICO Es la dirección definida por el punto de observación y el polo Norte Magnético. 3.- NORTE DE CUADRICULA O NORTE CONVENCIONAL Es la dirección definida por una referencia arbitraria.
AZIMUT Es el Angulo horizontal medido a partir del norte, en sentido horario pueden ser verdaderos o magnéticos, según el meridiano adoptado. Sus valores varian de 0º a 360º
No es lo mismo que decir AZIMUT (AO) que viene ha ser el el AZIMUT INVERSO
ZOA
A
ZAO ZOA
O
De la figura:
ZAO = ZOA + 180º
Entonces el Azimut Azimut Directo y su Inverso difieren en 180º Si el Azimut Directo es menor de 180º
se suma 180º
Si el Azimut Directo es mayor de 180º
se resta 180º
RUMBOS Es el ángulo horizontal medido a partir del Norte o Sur del meridiano, hacia el Este u Oeste, pueden ser verdaderos o magnéticos, según el meridiano adoptado. Sus valores varían de 0º a 90º. Los Rumbos se definen:
Por la dirección del Meridiano, Meridiano, indica con letra N o S, seguido del ángulo ángulo y luego la letra E u O, según sea el caso: N
N
E
W
E
S
W S
RELACION ENTRE RUMBO Y AZIMUT
I CUADRANTE: II CUADRANTE; III CUADRANTE; IV CUADRANTE:
Rb Rb Rb Rb
= AZ = 180º - AZ = AZ - 180º = 360º - AZ N
N
E
W
E
S
W
S
E
S
CALCULO DE LOS AZIMUT DE LOS LADOS DE UNA POLIGONAL 1. Se ha realizado la medida de los ángulos internos de una poligonal ABCDEA cuyos datos se adjuntan. Hallar el error angular, las correcciones angulares y luego los Azimut y Rumbos de cada lado. VÉRTICE A B C
D E
ANGULO INTERNO 134º 54’ 47” 79º 39’ 57” 127º 14’ 48” 93º 50’ 24” 104º 20’ 14”
AZIMUT (AB) = 122º 30’ 40” SOLUCIÓN:
- CA CALCULO LCULO DEL ERROR ANGULAR Y COMPENSACIÓN COMPENSACIÓN DE ÁNGULOS. S = 180º ( n – 2 ) para n = 5 S = 180º ( 5 – 2 ) = 540º A + B + C + E + D = 540º00’10” ( Por exceso ) Error Angular = 10”
Corrección = 10” / 5 = 2” VERTICE CORRECC A -2 B -2 C -2 D -2 E -2
ANG. COMPENS. 134º 54’ 45” 79º 39’ 55” 127º 14’ 46” 93º 50’ 22” 104º 20’ 12”
- CALCULO DE LOS AZIMUTES Y RUMBOS DE LOS LADOS DE LA POLIGONAL Dibujando la Poligonal E
N V
A
D 122º 30' 40"
B
C
REGLA PRÁCTICA PARA CALCULOS DE AZIMUTES EN CADA ALINEACION: Para determinar el azimut de cada lado ( AZIMUT NUEVO ):
ZDIRECTO < 180º
ZNUEVO = ZDIRECTO + 180º + ANG. HORIZONTAL ZDIRECTO 180º ZNUEVO = ZDIRECTO - 180º + ANG. HORIZONTAL Si el ZNUEVO sale mayor a 360º se resta a este resultado 360° Z AB = 122º 30’ 40” < 180º
ANG(B)
+ 180º + 79º 39’ 55”
──────────────────────── 382º 10’ 35” 360º
-
360°
──────────────────────── ZBC = 22º 10’ 35” < 180º
ANG(C)
+ 180º + 127º 14’ 46”
──────────────────────── ZCD = 329º 25’ 21” 180º
ANG(D)
+
180º 93º 50’ 22”
──────────────────────── ZDE = 243º 15’ 43” 180º
ANG(E)
+
180º 104º 20’ 12”
──────────────────────── ZEA = 167º 35’ 55” < 180º
ANG(A)
+ +
180º 134º 54’ 45”
──────────────────────── 482º 30’ 40” 360º
-
360°
──────────────────────── Z AB = 122º 30’ 40” OK !
CALCULO DE RUMBOS AZIMUT
CUADR
RUMBOS
Z AB = 122º 30’ 40”
( II )
R AB = 180º - 122º 30’ 40” R AB = S 57º 29’ 20” E
Z BC = 22º 10’ 35”
(I)
Z CD = 329º 25’ 21”
( IV )
R BC = N 22º 10’ 35” E R CD = 360º - 329º 25’ 21”
Z DE = 243º 15’ 43” Z EA = 167º 35’ 55”
( III )
R CD = N 30º 34’ 39” W R DE = 243º 15’ 43” - 180º
( II )
R DE = S 63º 15’ 43” W R EA = 180º - 167º 35’ 55” R EA = S 12º 24’ 05” E
LEVANTAMIENTO T TOPOGRAFICO (PLANIMETRIA) 1. RECONOCIMIENTO DEL TERRENO: Fase en la cual, con la ayuda de croquis, planos ha escala pequeña, Fotografías Aéreas, se realiza un reconocimiento del terreno y se va ubicando los vértices de la poligonal. 2. TRABAJO DE CAMPO: CAMPO: Fase en la cual se efectúan todas las mediciones en el Terreno, haciendo uso de instrumentos topográficos esta etapa comprende: - Ubicación y Materialización de los vértices de la poligonal - Medición de los Lados Lados de la poligonal, poligonal, (con cintas o distancio metros). - Medición de Ángulos internos (Por Repetición o Reiteración) - Medición de la Dirección de un lado de la poligonal. - Levantamiento de Detalles. 3. TRABAJO DE GABINETE: En esta etapa se realiza: - Correcciones y Ajustes de las mediciones efectuadas en el Campo - Calculo de las Coordenadas Coordenadas Topográficas Topográficas de los los Vértices - Calculo del Perímetro y Área de la poligonal. 4. DIBUJO DEL PLANO: Se representa sobre un plano ha una escala determinada: - El Perímetro con todas las medidas medidas y especificaciones.
- Todos los detalles existentes en el terreno, como construcciones, construcciones, Curvas de Nivel de tal manera que sea lo mas fiel posible.
CONCEPTOS BÁSICOS ESTACIONES
Son puntos topográficos sobre los cuales se coloca en estación el Teodolito, se llama tan bien vértices de la poligonal de apoyo, se materializan con hitos de concreto.
EJES
Es la unión de dos estaciones, se llaman lados de la poligonal.
POLIGONAL
Conjunto de estaciones que unidas por alineaciones y ángulos forman figuras geométricas simples de apoyo. En la cual podemos determinar la posición relativa de puntos del terreno y de esta forma representar en un plano los detalles que existen en esta zona, pueden ser:
POLIGONAL ABIERTA
Formada por líneas que que no constituyen una figura geométrica cerrada. B
D
A C
POLIGONAL CERRADA
Formada por alineamientos que constituyen Figuras geométricas cerradas. E
D A
B
C
METODOS DE MEDICION DE ANGULOS DE LA POLIGONAL Se puede efectuar dos dos formas: Por ángulos a la derecha Por ángulos de deflexión -
A).- POR Á ÁNGULOS A A L LA D DERECHA Se usa cuando la poligonal es cerrada, en este método los ángulos se miden de izquierda ha derecha derecha de la poligonal y se presentan presentan dos casos:
-
MEDICIÓN DE ÁNGULOS INTERIORES Se mide en este caso los ángulos interiores de la poligonal
cuya suma total esta dada por
S = 180º * (n – 2).
El instrumento se desplaza en sentido antihorario, antihorario, de igual igual manera se realiza la numeración de los vértices de la poligonal. N
E
ZAB D A
B
C
-
MEDICIÓN DE ÁNGULOS EXTERIORES Se mide en este caso los ángulos exterioresres de la
poligonal cuya suma total esta dada por
S = 180º * (n + 2).
El instrumento se desplaza en sentido horario, de igual manera se realiza la numeración de los vértices de la poligonal. N
B ZAB C A
E
D
Este método también se usa en poligonales abiertas, se conoce también como ángulo positivo PROCESO DE CAMPO - Se coloca el teodolito en “A” y con apoyo apoyo de la brújula brújula se determina la dirección NORTE (N), se bloquea el (0º 0’ 0”) del limbo Horizontal, en esta dirección, - Se quita el bloqueo y se dirige la visual al punto “B” es decir se barre el ángulo NAB, determinando el azimut (ZAB ). - Se bloquea bloquea en (0º 0’ 0”), se visa el vértice “E”, luego se quita el bloqueo, se gira en sentido horario el anteojo del instrumento hasta visar el vértice vértice “B”, barriéndose de esta manera el
ángulo “A”. - Se mide el lado AB. - Se desplaza el instrumento al vértice “B”, se bloquea en (0º0’0”) y se visa el vértice “A”, luego se quita el bloqueo y se gira en sentido horario horario el anteojo anteojo del teodolito hasta visar el vértice “C”, barriéndose de esta manera el ángulo “B”. - Se mide el lado BC. - Así sucesivamente se va desplazando el teodolito hasta llegar el último vértice de la poligonal repitiendo los pasos anteriores.
B).-
POR A ANGULOS D DE D DEFLEXION
ANGULO DE DEFLEXIÓN
Es el ángulo en un itinerario formado por una línea y la prolongación de la línea precedente. La deflexión de la línea BC con respecto a la línea precedente AB es de 22º D D: Significa que el el ángulo se mide a la derecha, derecha, o sea sentido sentido positivo. La deflexión de la línea CD, con respecto a a línea precedente BC es de 35º I I : Indica que el ángulo se ha medido a la izquierda.
B
D 22º D
35º I
A
C
Este método se usa cuando la poligonal es abierta Ejemplo, para el trazo de carreteras, canales, etc.
PROCESO - Se coloca el teodolito en el vértice “A”, con ayuda ayuda de la brújula se determina la dirección Norte y se mide el azimut ( ZAB ). -
Se mide la distancia AB.
-
Se traslada el teodolito a la estación “B”, se bloquea el 0º0´0” en el limbo horizontal y con el anteojo invertido se visa el vértice anterior “A”, se fija el movimiento horizontal del teodolito en esta dirección.
-
Se da vuelta de campana el anteojo del teodolito, entonces con el anteojo en posición directa se estará visando la prolongación de la línea precedente precedente AB, además en esta dirección dirección esta en 0º0’0” del limbo horizontal.
- Se quita este bloqueo y se dirige la visual al siguiente vértice “C” barriendo de esta manera el ángulo ∆ llamado ángulo de Deflexión. -
Se mide la distancia de BC.
-
Se traslada el teodolito al vértice “C” y se procede de la misma manera como se hizo en la estación “B” y así sucesivamente sucesivamente hasta la ultima estación.
B
D
∆ D
ZAB ∆ I
C A
ZBC = Z AB + ∆ D ZCD = ZBC + ∆ I
DECLINACION M MAGNETICA Es el Angulo horizontal que forma el extremo Norte del Meridiano Magnético respecto al extremo Norte del Meridiano Verdadero. Si el extremo Norte de la aguja de la brújula apunta hacia el Este del Meridiano Verdadero se dice que es una Declinación Este N. V. N.M.
DECLINACION ESTE
CORRECCION POR DECLINACIO DECLINACION N Cuando se desea replantear un levantamiento antiguo, es necesario transformar las Direcciones Magnéticas en Rumbos o Azimut verdaderos Ejemplo: 1.-
Se observo el Azimut Magnético de la línea AD en junio de 1977 fue: 54º 30’, Luego sobre una carta fechada en 1970 se determino la declinación: 17º 30’ E con un cambio cambio anual de de 1’ hacia el Oeste. Calcular el azimut verdadero de la línea AD y el azimut que se debe considerar considerar para replantear replantear dicho alineamiento alineamiento el año 2007.
SOLUCION: NV NM(2007)
NM(1970) NM(1997)
30’
7’ 17º23’
D 17º30’
54º30’
A 1’ por año: 7’ al oeste 30 años = 30 ’ al oeste 7 años =
AZIMUT VERDADERO:
17º 23’ + 54º 30’ ──────── 71º 53’
AZIMUT ( 2007 ):
54º 30’ + 30’ ──────── 55º 00’
M PL A A A EF A UN ME ET TO OD DO OS S P L AN NIIM ME ET TR RIIC CO OS S P P AR R A E FE EC CT TU U AR R U N L A A TO A LE EV V AN NT T AM MIIE EN NT TO O T OP PO OG GR R AF FIIC CO O Para efectuar un buen levantamiento topográfico es imprescindible conocer el objetivo del trabajo final, final, ello nos permitirá definir definir la precisión que se necesita y por ende el método a usar y los equipos mejores apropiados para el caso. Se tiene dos métodos básicos que permiten determinar una red de apoyo:
Método de Radiación Método de la Poligonal Perimétrica.
METODO DE RADIACION Consiste en una Red de Apoyo constituido por un solo punto de control de coordenadas conocidas.
PROCESO: 1. Se ubica en el terreno los puntos por levantar. 2. Se elige el punto de control (Teóricamente deberá ser el centro de la figura geométrica por por levantar), o tratar en lo posible de cercarse cercarse a dicho objetivo, además desde dicho punto se debe tener visibilidad a todos los puntos a levantar. 3. Se estaciona el Teodolito en el punto de control y con la ayuda de la brújula se ubica el 0º 00´ 00” del limbo horizontal horizon tal en la dirección Norte. 4. Luego se miden los Azimut de las líneas líneas radiales ( ZA1 , Z A2 Z A3 , ZA4 , ZA5 ). Es importante que una vez vez medido el último azimut, se mida nuevamente nuevamente el azimut del primer punto (Z* A1) , para chequear el Error de Cierre Angular el cual deberá ser menor o igual a la precisión del Teodolito.
Z*A1 - ZA1
≤ Precisión del Teodolito
1
N
2 5
A
3 4
5.- Se miden las distancias radiales con la la mayor mayor precisión.
∆ X = dA1
x
Sen ZA1
∆ Y = dA1
x
Cos ZA1
1
dA1 ∆X
ZA1
A
∆Y Ejemplo:
Si las las coordenadas del punto “A” “A” son: ( 100, 100, 100 m. ), la precisión del teodolito es de 20”. Calcular las coordenadas de los los puntos: 1, 2, 3, 4. 5, si se han obtenidos los respectivos datos de campo: ZA1 = 20º 30’ 10” (Azimut de inicio) Z*A1 = 20º 30’ 20” (Azimut de llegada) Solución:
20º 30´ 20” - 20º 30´ 10” =
10” < 20”
ok ¡
CALCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS PUNTO
AZIMUT
DISTAN
∆X
∆Y
A
X
Y
100.00
100.00
1
20º 30’ 10”
85.61
+29.98
+80.19
129.98
180.19
2
82º 45’ 30”
72.56
+71.98
+9.15
171.98
109.15
3
148º 25’ 40”
98.74
+51.70
-84.13
151.70
15.87
4
240º 10’ 20”
55.80
-48.41
-27.76
51.59
72.24
5
305º 20’ 30”
67.36
-54.95
+38.96
45.05
138.96
LEEVANTTAM TOPOGRÁFICO P POR M MEEDIO D DE MIENTO O T UN POLIGONA PEERIM NA P AL P MÉTTRICA Este método se usa cuando los terrenos son bastante grandes o existen obstáculos que impiden la visibilidad de lograr mediciones desde un punto interior. El polígono se traza aproximadamente en los linderos del terreno y desde cuyos vértices se levantan los detalles complementarios para obtener un mejor relieve del terreno. CONDICIONES: 1. Los vértices deben estar sobre puntos topográficos fijos y que permitan la puesta en estación del teodolito. 2. Debe existir visibilidad sobre los vértices adyacente ( anterior y el siguiente ). 3. Desde los los vértices vértices se determinara el área área del terreno. DATOS QUE DEBEMOS OBTENER DEL CAMPO:
MEDIR EL AZIMUT DE UN LADO L ADO ANGULOS HORIZONTALES: Pueden ser ángulos interiores o exteriores. DISTRANCIAS DE LOS LADOS: Se debe realizar realizar con wincha y con gran gran presición
TTR EN GA RA AB BA AJJO OSS E N G AB BIIN NEETTEE C AJJU CA ALLC CU ULLO O Y Y A USSTTEE 1.- CALCULO CALCULO DEL ERROR ANGULAR (E ) E
= ∑ INTERIOR(observados) – ∑ INTERIOR(teórico) EXTERIOR.
Para ángulos Interiores: Para ángulos Exteriores:
EXTERIOR.
S = ∑ INTERIORES (teorizo) = 180 (n – 2) S = ∑ EXTERIORES (teórico) = 180 (n + 2)
A DEE L LO LA DEE U UN PO AZZIIM MU UTT D OSS L AD DO OSS D NA A P OLLIIG GO ON NA ALL
N
ZEA N
N
ZAB
ZDE
N
N
ZCD ZBC
ERROR ANGULAR MAXIMO PERMITIDO
E
(max)
= ± a √n
a = Precisión del Teodolito. n = número de Ángulos
E E
Si:
≤ E (max.) > E (max.)
se compensa. se repite todo o parte del trabajo
CORRECCION ANGULAR (C ) C
= E
Si se llega por
Exceso Defecto
– C / n + C / n
para cada ángulo para cada ángulo
2.- CALCULO DEL ERROR LINEAL - CÁLCULO DE LOS AZIMUT AZIMUT DE DE TODOS LOS LADOS. - CÁLCULOS DE LAS LAS PROYECCIONES PROYECCIONES DE TODOS LOS LADOS.
C DEE L LA PR DEE T TO LO LA CÁ ÁLLC CU ULLO OSS D ASS P RO O Y YEEC CC CIIO ON NEESS D OD DO OSS L OSS L AD DO OSS.. Y
D
ZCD
∆Y
ZCD X
∆X
C X = CD X Sen ZCD Y = CD X Cos X ZCD
ZAB
A
∆X X
∆ Y
B
Y X = CD X Sen ( 180 – ZAB )
X = CD X Sen ZAB
Y = CD X Cos ( 180 – ZAB )
Y = CD X Cos ZAB
E
∆X
X
ZAB ∆Y
A Y X = EA X Sen ( ZEA - 180 )
X = EA X Sen ZEA
Y = EA X Cos ( ZEA - 180)
Y = EA X Cos ZEA
E
∆X
∆Y
X
D
ZDE
X = DE X Sen ( 360 – ZDE )
X = DE X Sen ZDE
Y = DE X Cos ( 360 – ZDE )
Y = DE X Cos ZDE
= Li x Sen Z Li Y = Li x Cos Z Li En una poligonal cerrada cerrada la la sumatoria de las proyecciones en el eje X y en el eje Y deben ser cero.
∑ proyecciones. ( eje X ) = 0 ∑ proyecciones. ( eje Y ) = 0 Y
B
C A E Y
A’
D
E EX
X
∑ Proyecciones. ( eje X ) = AE + BC – CD – DE - EA’ = EX ∑ Proyecciones. ( eje Y ) = AE – CD – DE - ED + EA’ = E Y
ERROR LINEAL.
∑ Proyecciones. ( eje X ) = EX ∑ Proyecciones. ( eje Y ) = E Y E TOTAL
______________
√ EX2
=
+
E Y2
1 E RELATIVO
= ───── ────────── ─────────── ──────── ──
PERIMETRO / E TOTAL
DE ACUERDO A LA APROXIMACIÓN DEL TEODOLITO.
ERROR MÁXIMO.
TOLERANCIA LINEAL
1’
± 1’ √ n
1 / 1000
20’’
± 20” √ n
1 / 5000
10’’
± 10” √ n
1 / 7500
6’’
± 6” √ n
1 / 10000
Ejemplo
Tolerancia lineal : 1 / 5000
Error máximo:
el error que se tiene es de 1 cm. Por cada 50 m. para n = 5
entonces:
± 20” √ 5
E max. = ± 44.8’’
CORECCION LINEAL Ex
CX
=
─────────── ──────────────── ─────
x
Li
x
Li
Perímetro Poligonal
Ey
Cy
=
────────── ─────────────── ────── ─
Perímetro Poligonal
C DEE L LA CO DEE L LO VEER CA ALLC CU ULLO O D ASS C OO OR RD DEEN NA AD DA ASS D OSS V RTTIIC CEESS C C XC = XB + ∆ X Y YC = YB + ∆ Y XB = XA + ∆ X YB = YA + ∆ Y B
∆X
∆Y
D A XA YA
XD = XC + ∆ X YD = YC + ∆ Y
C DEELL A CA ALLC CU ULLO O D AR REEA A Para calcular el área se utiliza el método de las coordenadas.
Y Xb
B
b
A
Xa a
Xc
c
C
Xe e
E
Yb
Ya Yc
Ye
d
Xd
D Yd
X
ABCDEA = □ bBCc + □cCDd - □BbAa - □aAEe - □eEDd =
Xb + Xc 2
– Xa + Xe 2
2
Yb – Yc Ya – Ye
+ Xc + Xd 2
–
Yc – YD
Xe + Xd 2
–
XB + XA 2
YB - YA
Ye - Yd
ABCDEA = Xa ( Ye – Yb ) + Xb ( Ya – Yc ) + Xc ( Yb – Yd ) + Xd ( Yc – Ye) + Xe ( Yd + Ya )
2 Area ABCDE =
XA
YA
XB
YB
XC
YC
XD
XD
XE
YE
XA
YA
∑ (Productos ) - ∑ (Producto ) AREA = ─────────────────────── 2
D DIIB BU UJJO O.. Para el dibujo de la poligonal se usa el método de las coordenadas que q ue es mas recomendable que ya cada vértice se dibuja en forma independiente. Si se comete un error en uno de los vértices vértices no afecta al otro. otro. Para trazar los ejes rectangulares se ubican los valores menores en X y en Y en función a ellos se determina el origen. EJEMPLO.-
X = 9850 Y = 8730
*
9000
* 8900
*
8800
* *
8700 9800
9900
10000
10100
EJERCICIO ( 2 ) . Graficar y determinar el área y el perímetro del polígono de apoyo cuyos datos de campo son: VERTICE A B C D Si a < b , b < c Además ( b-a ) = X/2 ( c-b ) = X/2 X = 12
COORDENADAS COORDENADAS DE ESTE ( X ) DE NORTE ( Y) a A b A c B a C
( c-d ) = x + x 2 ( c-a ) = 3x 2
AREA.
1
=
2
a
a
b c
a b
a
c
a
a
S = ( a²+b²+c²+a² ) – ( ba+ca+ab+ac ) a²+b²+c²+a²-ab-ac-ab-ac a²+b²+c²+a²-2ab-2ac ( b-a ) ²+( c-a ) ² 2 DONDE: S = (12 ) ²+( 3(12/2)) 3(12 /2)) ² → 144+9 ( 144 ) = 468 → 234 2 4 2 PERÍMETRO.-
18+12+13.4+18.9 → 62.3 Por esto a < b < c.
Y
X
PROBLEMA Se ha realizado la medida de los ángulos interiores y distancias de la Poligonal ABCDEA , cuyos datos se adjuntan. Se uso el Método de Repetición. REGISTRO DE CAMPO PTO. EST. VIS. A
B
C
D
E
ANGULO PROVISIONAL
E
0° 00´ 00”
B
79° 39´ 40”
A
0° 00´ 00”
C
127° 15´ 00”
B
0° 00´ 00”
D
95° 50´ 40”
C
0° 00´ 00”
E
104° 20´ 20”
D
0° 00´ 00”
A
132° 55´ 00”
ADEMÁS:
N
LECTURA FINAL
ANGULO DISTANCIA PROMEDIO
4
318° 39´ 20”
79°39´50”
136.83
4
148° 59´ 20” 127°14´50”
187.52
4
23° 21´ 40”
95°50´25”
120.42
4
57° 21´ 20”
104°20´20”
161.53
4
171° 39´ 20” 132°54´50”
146.81
AZIMUT (AB) = 152° 22´ 30”
COORDENADAS DEL VERTICE (A) = ( 10000.00 - 10000.00)
- Determinar las Coordenadas de los Vértices - Calcular el área y Dibujo de la Poligonal
SOLUCION
a.) CALCULO DE LOS ANGULOS PROMEDIO =
318°39´20” 4
=
79°39´50”
=
148°59´20” + 360 4
=
127°14´50”
=
23°21´40” + 360 4
=
95°50´25”
=
57°21´20” + 360 4
=
104°20´20”
=
171°39´20” + 360
=
132°54´50”
4
b.) CALCULO DE ERROR ANGULAR
(MAX)
a √ n
E
= + 15” <
540°00´15”
E
= + 15”
540°
= 540°00´15” – 540° =
=
E
E
(MAX)
(MAX)
=
=
20” √ 5 44”
Por lo tanto procede la respectivas correciones:
Corrección
15” = - ──── 5
- 3”
=
44”
79° 39´ 47”
< B = 127° 14´ 47”
95° 50´ 22”
< D = 104° 20´ 17” < E = 132° 54´ 47”
c.) ERREOR LINEAL Y CORRECCIONES
∑ Proyecciones. ( eje X ) = + 0.07 m. ∑ Proyecciones. ( eje Y ) = + 0.13 m. ______________
E TOTAL = √ 0.072 + 0.132
= 0.147648
1 E RELATIVO =
1
──────────────────
=
753.11 / 0.147648
────────
5100
1 <
────────
5000
d.) CORRECCIONES Cx = – (
Ex ) Perimetro
C Y = – (
E Y ) Perimetro
x
di = – ( 0.07 ) x 136.83 =
- 0.01
753.11 x
di = – ( 0.15 ) x 136.83 = 753.11
- 0.03
e.) CALCULO DEL AREA
2 Area (ABCDEA) =
10000.00 10063.43 10248.29 10280.38 10140.19 10000.00
10000.00 9878.75 9847.38 9963.42 10043.63 10000.00
∑ (Productos ) - ∑ (Producto ) AREA = ─────────────────────── ─────────────────────── 2 ∑ ( 504648478.30 ) - ∑ ( 504576975.09 ) AREA = ─────────────────────── ─────────── ───────────────── ───── 2 AREA (ABCDEA) = 35751.60 m2 = 3.57 Has.
10100
E
10050
* A
10000
D
9950
*
N
9900
*
B 9850
*
C 9800 9950
X 10000
10050
10100
10150
10200
10250
10300
POLIGONAL PERIMETRICA :: DATOS D DE CAMPO VVEER RTT AANNG G..HHO OR RIIZZ
AAZZIIM MU UTT
D DIISSTTA AN N
A B
127º 14’ 47” 152º 22’ 30”
136.83
C
95º 50’ 22”
187.52
D
104º 20’ 17”
120.42
E
132º 54’ 47”
161.53
A
79º 39’ 47”
146.81
∆∆XX
∆∆ Y Y
C CXX
C C Y Y
∆∆XX
∆∆ Y Y
XX
YY
10000.00
10000.00
POLIGONAL PERIMETRICA :: CALCULO Y AJUSTES Y A VVEER RTT A AN NG G..H HO ORRIIZZ A
A AZZIIM MU UTT
D DIISSTTA AN N
∆∆XX
∆∆ Y Y
Zi
d
dxSen Zi
dxCos Zi
C CXX
C C Y Y
∆∆XX
∆∆ Y Y
XX
YY
10000.00 10000.00
B
127º 14’ 47” 152º 22’ 30”
136.83
+ 63.44
- 121.23
0.01
0.02
+ 63.43
- 121.25
10063.43
9878.75
C
95º 50’ 22”
99º 37’ 17”
187.52
+ 184.88
- 31.34
0.02
0.03
+ 184.86
- 31.37
10248.29
9847.38
D
104º 20’ 17”
15º 27’ 39”
120.42
+ 32.10
+ 116.06
0.01
0.02
+ 32.09
+ 116.04
10280.38
9963.42
E
132º 54’ 47” 299º 47’ 56”
161.53
- 140.17
+ 80.27
0.02
0.03
- 140.19
+ 80.24
10140.19 10043.66
A
79º 39’ 47”
252º 42’ 43”
146.81
- 140.18
- 43.63
0.01
0.03
- 140.19
- 43.66
10000.00 10000.00
152º 22’ 30”
753.11
+ 0.07
+ 0.13
RELLENO TOPOGRAFICO El método más usado es el de RADIACION, dado que hay que q ue determinar alrededor de cada vértice de la poligonal todos los puntos notables que definen los detalles del terreno, que pueden pueden ser: ARTIFICIALES (carreteras, (carreteras, edificaciones, edificaciones, postes, buzones, etc.) etc.) NATURALES (corteza terrestre, ríos, cerros, cerros, quebradas, quebradas, etc.)
B ESTRUCTURA (2)
A
C ESTRUCTURA (1)
ESTRUCTURA (3)
ESTRUCTURA (4)
E
D
PARALELO AL LEVANTAMIENTO ESTADIMETRICO, ESTADIMETRICO, SE ASIGNA OTRA BRIGADA QUE SE ENCARGUE DE TOMAR MEDIDAS CON LA WINCHA
B
B2
376.79 m.
68.76m
92.37 m
B1
0°00´00”
A
C
39°23´21”
A1 76°28´42”
A2
C2
139.45 m.
449.85 m.
144.89 m
56.10 m
C1 D2
D1
E
D
LIBRETA LIB RETA DE CAMPO ESTACION
PV
< HORIZONTAL
< VERTICAL
α
HILO ESTADIME
A
= 1.48
B
00º 00’ 00’ 00”
A1
39º 23’ 23’ 2 21 1”
85º 19’ 19’ 40”
A2
76º 28’ 28’ 42 42” ”
85º 41’ 41’ 30”
2.30 0.66 2.62 0.34
00º 00’ 00’ 00”
B1
25º 25’ 25’ 42”
85º 39’ 39’ 50”
B2
298º 39’ 39’ 50 50” ”
85º 07’ 07’ 40”
2.77 0.27 2.27 0.77
C
510.610
D
00º 00’ 00’ 00”
C1
12º 01’ 01’ 03 03” ”
84º 53’ 53’ 35 35” ”
C2
33º 16’ 16’ 26 26” ”
84º 24’ 24’ 50”
2.70 0.30 2.35 0.65
D
= 1.48
COTA (m)
523.231
C
= 1.48
DV (m)
500.000
B
= 1.48
DH (m)
530.420
E
00º 00’ 00’ 00”
D1
26º 01’ 01’ 11 11” ”
83º 49’ 49’ 50”
D2
53º 54’ 54’ 55 55” ”
83º 40’ 40’ 00”
2.43 0.47 2.29 0.60
GABINETE (CALCULOS) ESTACION
PV
< HORIZONTAL
< VERTICAL
α
HILO ESTADIME
DH (m)
DV (m)
A
500.000
B = 1.48
00º 00’ 00”
A1
39º 23’ 23’ 2 21 1”
85º 19’ 19’ 40”
04º 40’ 20”
A2
76º 28’ 28’ 42 42” ”
85º 41’ 41’ 30”
04º 18’ 30”
2.30 0.66 2.62 0.34
162.912
13.314
513.314
226.713
17.080
517.080
B
523.231
C = 1.52
00º 00’ 00’ 00”
B1
25º 25’ 25’ 42”
85º 39’ 39’ 50”
04º 20’ 10”
B2
298º 39’ 39’ 50 50” ”
85º 07’ 07’ 40”
04º 52’ 20”
2.77 0.27 2.27 0.77
248.571
18.848
542.079
148.918
12.694
535.925
C
= 1.50
510.610
D
00º 00’ 00’ 00”
C1
12º 01’ 01’ 03 03” ”
84º 53’ 53’ 35 35” ”
05º 06’ 25”
C2
33º 16’ 16’ 26 26” ”
84º 24’ 24’ 50”
05º 35’ 10”
2.70 0.30 2.35 0.65
238.010
21.279
531.889
168.389
16.470
527.080
D
= 1.45
COTA (m)
530.420
E
00º 00’ 00’ 00”
D1
26º 01’ 01’ 11 11” ”
83º 49’ 49’ 50”
06º 10’ 10”
D2
53º 54’ 54’ 55 55” ”
83º 40’ 40’ 00”
06º 20’ 00”
2.43 0.47 2.29 0.60
193.736
20.942
551.362
166.943
18.529
548.949
Con ayuda del cuadro y apoyándonos en la Poligonal se lleva a cabo la ubicac ión grafica de los puntos levantados taquimétricamente.
ESTACION
PV
< HORIZONTAL
B
00º 00’ 00”
A1
39º 23’ 23’ 2 21 1”
162.912
A2
76º 28’ 28’ 42 42” ”
226.713
C
00º 00’ 00’ 00”
B1
25º 25’ 25’ 42”
248.571
B2
298º 39’ 39’ 50 50” ”
148.918
D
00º 00’ 00’ 00”
C1
12º 01’ 01’ 03 03” ”
238.010
C2
33º 16’ 16’ 26 26” ”
168.389
E
00º 00’ 00’ 00”
D1
26º 01’ 01’ 11 11” ”
193.736
D2
53º 54’ 54’ 55 55” ”
166.943
DH (m)
A
B
C
D
B
B2
B1
A
C A1
A2 C2
C1 D2
D1
E
D
B ESTRUCTURA (2)
A
C ESTRUCTURA (1)
ESTRUCTURA (3)
ESTRUCTURA (4)
E
D
LEVANTAMIENTO DE CURVAS DE NIVEL
LIBRETA LIB RETA DE CAMPO ESTACION
PV
< HORIZONTAL
< VERTICAL
α
HILO ESTADIME
A
DH (m)
DV (m)
COTA (m)
130.000 B
00º 00’ 00” 2.62
1
32ºº 23’ 20 32 20 ”
88º 37 37’’ 38 38” ”
= 1.48
0.34 2.77
2
40º 18’ 10”
88º 57’ 57’ 22 22” ”
0.27
2.70
3
45º 35’ 35’ 20 20”
89º 12 12’’ 37 37” ”
1.30 2.29
4
48º 16’ 16’ 40 40”
89º 00 00’’ 06 06”
0.60 1.73
5
55º 20’ 20’ 10 10”
89º 15 15’’ 48 48”
1.35 2.50
6
70º 33’ 33’ 15 15” ”
88º 58 58’’ 23 23” ”
0.58
GABINETE (CALCULOS) ESTACION
PV
< HORIZONTAL
< VERTICAL
α
HILO ESTADIME
DH (m)
DV (m)
A
COTA (m)
130.000 B
00º 00’ 00” 2.62
1
32ºº 23’ 20 32 20 ”
88º 37 37’’ 38 38” ”
01º 22’ 22’ 22 22”
= 1.65
0.34
227.869
05.460
135.460
249.917
04.553
135.553
139.977
03.307
133.307
169.948
02.944
132.944
31.994
01.774
131.774
191.938
03.440
133.440
2.77
2
40º 18’ 10”
88º 57’ 57’ 22 22” ”
01º 02’ 02’ 38 38” ”
0.27
2.70
3
45º 35 35’’ 20 20”
89º 12 12’’ 37” 37”
00º 47 47’’ 23 23”
1.30 2.29
4
48º 16’ 16’ 40 40”
89º 00 00’’ 06 06”
00º 59’ 59’ 54 54” ”
0.60 1.73
5
55º 20 20’’ 10 10” ”
89º 15 15’’ 48 48”
00º 44 44’’ 12”
1.35 2.50
6
70º 33’ 33’ 15 15” ”
88º 58 58’’ 23 23” ”
01º 01’ 01’ 37 37”
0.58
TAQUIMETRIA Es la medición de distancias en forma indirecta, visando bajo un ángulo Se puede ser de dos maneras:
METODO D DE L LA B BARRA IINVAR Es una barra horizontal de longitud determinada generalmente de 2 m. Que se coloca sobre un trípode centrado y nivelado sobre la estación, entonces se mide el ángulo horizontal subtendido por los 2 m. De longitud con precisión se mide con el teodolito entonces la distancia se calcula por trigonometría.
D = Ctg α/2
METODO E ESTADIMETRICO Este método es mucho más rápido que el emplear wincha wincha y tan preciso como este. Se usa un anteojo con los dos hilos Horizontales llamados HILOS ESTADIMÉTRICOS,, y una regla graduada llamada ESTADIMÉTRICOS l lamada MIRA. El proceso consiste en medir el tramo de mira comprendido entre los dos hilos, llamado INTERVALO ESTADIMÉTRICO.
HILO SUPERIOR
HILO INFERIOR
MIRAS Son reglas de maderas de sección rectangular con longitud 3.0 a 4.0 m. Esta graduada en toda su longitud en centímetros agrupados de 5 cm. en 5cm. luego en decímetros igualmente de metro en metro (generalmente por el cambio de color), los extremo esta protegido de regatones de metal para protegerlo del desgaste. Esta regla puede ser de una sola pieza (enteriza), o de dos mas piezas articuladas cada metro. La mira se coloca con el cero en el terreno terreno para así medir la alturas. Para tomar medidas se hace coincidir el Hilo Vertical del nivel sobre la línea media de la mira pera lo cual se debe debe tener la mira perfectamente perfectamente vertical vertical esto se consigue con el nivel esferico de mano. Luego se toma la lectura donde este colocado el Hilo horizontal.
14 ALTURA DEL HILO MEDIO
1.448 m.
PARA MEDIR DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS: Se determina el intervalo de mira comprendido entre los hilos estadimetricos ( Hilo Superior e Hilo Inferior) Este valor se multiplica por 100, entonces nos da la distancia -
14 H.S.
13 12 H.I.
11 H.S - H.I = S 1.372 - 1.207 = 0.165 S = 0.165 m.
DH = 0.165
X
100 = 16.5 m.
- Cuando el intervalo estadimetrico es mayor que la longitud de la mira se observaran por separado los medios espacios ósea hilo superior y el medio, el hilo medio y el hilo inferior y se toma su suma.
TEORIA DE LA MEDICION ESTADIMETRICA TERRENO PLANO
HILO SUPERIOR: HILO INFERIOR :
i
= AB = S = f = d = C = D =
(a) (b)
Distancia ab (Distancia de los hilos). Expansión aparente de los hilos sobre loa mira. Es la porción de mira comprendida entre los hilos. Distancia focal. Distancia entre entre el foco principal y la mira Distancia entre el centro del instrumento y el foco principal. Es distancia horizontal entre el centro del instrumento al la mira.
Como:
ab = a’b’ =
i
∆ a’b’ F ~ ∆ ABF
Por semejanza:
f/i = d/S
d = (f / i) × S
Como las distancias se esta tomando con un mismo instrumento, entonces ( f ), ( I ) son constantes entonces:
k=f/i
f / i = constante Se denomina instrumento
COEFICIENTE DIASTIMOMETRICO y es constante para cada dd == K × S S K ×
ósea que la distancia entre el foco principal y la mira es igual al intervalo estadimetrico por el Coeficiente Diastimometrico.
D =
d + ( f + c )
=
K × S + C ……… (1)
En los anteojos de enfoque interior que es el caso de todos teodolitos y niveles C = (f + c) = 0
D D == K K ×× SS
Generalmente para la mayoría de instrumentos:
k = f / i = 100
VVIISSU NO HO UA ALLEESS N O H OR RIIZZO ON NTTA ALLEESS En este caso el problema queda resuelto determinado las proyecciones horizontal vertical de cada visual inclinada.
E = Visual inclinada. AB = Lectura de mira lectura. A’B’’ = Es la proyección de la lectura AB, sobre la A’B perpendicular a la visual. Di = Es la longitud de la visual desde el centro del instrumento a la mira. DH = Proyección horizontal de la distancia inclinada. DV = Proyección vertical de la distancia inclinada. inclinada. De la formula (1) se puede decir.
Di =
K × A’B’ + C
………… (2)
En la practica se considera las A’ y B’ como ángulos rectos Como:
AB = S A’ B’ = K X Cos
Remplazando en (2) Di = K × S × Cos
+ C
DH = K × S × Cos²
+ C × Cos
…….. (3)
Esta es la ecuación general que sirve para determinar la distancia horizontal entre el instrumento y la mira cuando la visual es inclinada. V = ( K × S × Cos
+ C ) × Sen
V =
× Sen
K × S × Cos
DV = ½ K × S × Sen 2
+ C × Sen
+ C × Sen
…… (4)
Esta es la ecuación para determinar el desnivel entre el centro del teodolito y el punto en que la visual corta la mira. (Hilo Medio) Para hallar el desnivel entre los correspondientes puntos del terreno hay que tener en cuenta la altura del instrumento y la lectura de la mira. Las formulas ( 3 ) y ( 4 ) se llaman: FORMULAS ESTADIMETRICAS PARA VISUALES INCLINADAS. Como C = ( f + c ) = 0
DH = K × S × Cos² DV = ½ × K × S × Sen 2
En donde para la mayoría de instrumentos
K = 100
PROCEDIMIENTO DE CAMPO Se instala el teodolito en una vértice de la poligonal tal como (A) (A),, entonces se mide la altura de instrumentó ( hi ) Se ubica el 0º 00’ 00” en el Limbo Horizontal Horizontal se bloquea bloquea y luego se visa el siguiente vértice tal como (B) (B).. Se quita el bloquea del limbo y se barre el ángulo horizontal , hasta visar el punto (1) en donde tengo colocada la mira, ahí se toman las siguientes medidas.
ANGULO HORIZONTAL Para lo cual se hace coincidir el hilo vertical del retículo del teodolito con la parte central de la mira, en ese momento se toma la medida medida del ángulo horizontal.
ANGULO VERTICAL Para lo cual se apunta con el hilo horizontal medio del retículo, sobre la mira una altura igual a la del instrumento ( hi ), en este momento se toma la medida del ángulo vertical.
LECTURA ESTADIMETRICA Para lo cual el hilo estadimetrico superior, se ubica sobre una medida entera o se redondea a la unidad decimetrica mas cercana, entonces la lectura se hace con el otro hilo estadimetrico inferior. Luego se obtiene:
S = LSUPERIOR – LINFERIOR S = Intervalo Estadimetrico Luego se sigue barriendo el ángulo ángulo horizontal hasta visar el el punto ( 2 ), ), donde tengo colocada la mira donde se realizan las mismas medidas que se hicieron en el punto ( 1 ). ). Así sucesivamente, hasta terminar con todos los puntos del detalle que se puedan visar visar del vértice ( A ) luego se cambia el vértice. vértice. La altura de instrumento instrumento ( hi ) es igual a la altura de la señal
DH = K × S × Cos² DV = ½ × K × S × Sen 2 DONDE: Si el TEODOLITO ES ZENITAL :
= 90º – Ang. Vertical
Si el TEODOLITO ES ZENITAL :
=
Ang. Vertical – 90º
E C EJ JE ER R CI IC CI IO O::
Teodolito Zenital: 20”
EST. PTO. LECTURA ANGULO ESTADIM. VERTICAL
<∞
ANGULO HORIZONTAL
A
DH
DV
COTA
175.246 1
0.653
85º 29' 15" 04º 30' 45"
317º 30' 16"
64.895 5.122 180.368
2
0.845
93º 30' 00" - 03º 00' 30" 148º 24' 30"
83.986 - 5.137 170.109
3
1.760
83º 41' 26" 06º 18' 34"
173.874 19.225 194.471
246º 34' 30"
C SEE T TIIEEN DIIFFEER ALLTTU DEE IIN SEEÑ CU UA AN ND DO O S NEE D REEN NTTEE A UR RA A D NTTR RU UM MEEN NTTO O Y Y S ÑA ALL SEGÚN LA FIG: hi = Altura del instrumento hs = Lectura del hilo medio sobre la mira Además: Cota (B) = Cota (A) +
∆ HAB
Cota (B) = Cota (A) +
½ x K × S × Sen 2
+ (hi – hs)
Cota (B) = Cota (A) + hi + V – hs Cota (B) = Cota (A) + V +
(hi – hs)
Cota (B) = Cota (A) + ½ × K × S × Sen 2
+ (hi – hs)
∆ HAB = Cota (B) - Cota (A) ∆ HAB = Cota (A) + ½ × K × S × Sen 2
∆ HAB = ½ × K × S × Sen 2
+ (hi – hs) - Cota (A)
+ ( hi – hs )
CURVAS DE NIVEL Es una línea imaginaria, situada sobre la superficie terrestre que une puntos los cuales tienen igual altura con respecto a una superficie de referencia que generalmente es el nivel medio del mar.
Curva de nivel es una línea dibujada en un mapa o plano que conecta todos los puntos que tienen la misma altura con respectó a un plano de referencia, se utiliza para representar el relieve del terreno
Cuando la superficie del terreno es interceptado por planos horizontales imaginarios equidistantes equidistantes entre sí, entonces esa intersección intersección proyectada en un plano horizontal originan las Curvas de Nivel.
MÉTODOS PARA REPRESENTAR EL RELIEVE RELIEVE Las características, que se muestran en los planos topográficos tales como: quebradas, ríos, carreteras, áreas de cultivo, edificaciones, etc. en su posición planimétrica planimé trica correcta, correc ta, requieren requie ren para ello medición medici ón de ángulos y distancias dista ncias horizontales. Por medio de sombras y colores de las regiones con distinta elevación, nos da la impresión de ver la configuración del terreno. En este caso no nos ofrece Información referente a la altura de puntos. punt os.
El método de curvas de nivel con cotas nos ofrece en forma clara y precisa no sólo el relieve del terreno, sino también la elevación de cualquier punto.
CURVAS DE NIVEL MÁS IMPORTANTES Por motivos didácticos mostraremos con ejemplos numéricos, las curvas más representativas.
1. EL CERRO
Representa las elevaciones, elevaciones, las curvas cambian de de menor a mayor altitud, altitud, de modo que la de mayor mayor altitud es una curva cerrada cerrada dentro de las demás.
2. EL HOYO
Representa una depresión, las curvas cambian de mayor a menor altitud, de modo que la de menor altitud es una curva cerrada cerrada dentro de los demás. demás.
3. ENTRANTE (QUEBRADA)
Se puede considerar como una porción de hoyo; está representada por curvas en forma de U, toda el agua que caiga correrá formando corrientes por las quebradas en dirección hacia las cotas más baja.
4. SALIENTE
Puede considerarse considerarse como una porción de cerro y determina la l a línea divisoria de los valles.
INTERVALO DE CURVAS DE NIVEL
CARACTERISTICAS CARACTERISTICA S DE LAS L AS CURVAS DE NIVEL Las curvas de nivel revelan características definidas del terreno por lo tanto es necesario conocer conocer estas características características y su significado Curvas de nivel muy cercenas en las elevaciones y curvas con mayor espaciamiento en los niveles bajos indican una pendiente cóncava.
Cuando el espaciamiento entre curvas es muy grande en la parte alta y curvas muy cercanas en los niveles niveles bajos, indican una pendiente es convexa
Si las curvas son equidistantes o su separación es igual indican una pendiente uniforme. A una menor separación entre curvas de nivel se tendrán pendientes pendientes más fuertes y a una mayor separación entre curvas de nivel se tendrán tendr án pendientes pendie ntes m ás suaves
Toda curva de nivel es una línea continua que siempre cierra en alguna parte de la superficie del terreno, aunque no necesariamente debe cerrar dentro de los límites de un plano.
Las curvas curvas de nivel nivel más bajas bajas adyacentes a un rio o arroyo, siempre van paralelas a la corriente, si la curva más baja de la margen izquierda de la corrientes tiene como elevación 121 m. entonces, la curva de nivel más baja del margen derecha también debe ser de 121 m. y así sucesivamente, hasta que progresivamente van cruzando el rio o arroyo.
Cuando una curva de nivel cruza un río o un arroyo lo hace en forma perpendicular y primero se curva contra la corriente y luego que lo cruza se curva corriente abajo.
Curvas con espaciamientos irregulares indican terreno accidentado o quebrado.
Las Curvas Curvas de nivel nunca se cruzan o ramifican ya que que esto indicaría que un punto tiene doble elevación. EXCEPTO: En un acantilado vertical o sobrevolado sobrevolado y en la boca de un un túnel o cueva, da la impresión que se bifurcan a ambos lados y no es así ya que se trata de distintas curvas de nivel separadas verticalmente una de otra, o sea, no es una misma curva que se ramifica.
Una curva curva de nivel nunca se bifurca bifurca cundo ocurren ocurren riscos o depresiones bruscas, si esto sucede se dibujan como se indican en las figuras. ELEVACIONES O RISCOS
DEPRESIONES
Una curva de nivel nunca debe interrumpirse dentro de un plano, siempre debe cerrar, si se interrumpe por el límite de un plano, entonces esta debe continuar en el siguiente plano, hasta que en algún momento lleguen a cerrarse NOTA: Si la curva entra a una construcción o área construida, aquí es cortada pero deberá continuar donde termine el área construida. Una curva cerrada, rodeada por otras curvas, indican una elevación o cima. Lo contrario una profundidad o depresión y esto solo se puede
Muchas veces para para indicar una depresión se usan líneas cortas perpendiculares perpendiculares a la curva, estas se llaman “Líneas de Sombreado”. La máxima elevación también se indica con un punto y su elevación.
Aunque el terreno presenta formas variadísimas hay cuatro elementos fundamentales que nos ayudarán en la lectura e interpretación de planos: la vertiente o ladera, la divisoria, el valle o vaguada y el collado. LA VERTIENTE, O LADERA, LADERA, es una superficie de terreno inclinada bastante
lisa, y queda representada por curvas c urvas casi rectilíneas. rectilíneas.
LA DIVISORIA
es el encuentro de dos vertientes que se unen originado una superficie convexa. Sus curvas suelen ser más redondeadas y se caracteriza porque las curvas de menor cota envuelven a las de mayor cota
está formado por dos vertientes que se unen según una superficie cóncava y su representación se caracteriza porque las curvas de mayor cota envuelven a las de menor cota. EL VALLE, O VAGUADA
,
EL COLLADO O ABRA en una forma más compleja, pero muy interesante
ya que suele ser el paso más cómodo para cruzar una sierra.
Ejemplos de aplicación Ejemplo 1
Ejemplo 2
METODOS PARA DETERMINAR LAS CURVAS DE NIVEL DIRECTO Consiste en determinar directamente en el terreno la curva de nivel, en cuanto a su posición planimétrica y altimétrica, son más precisos, pero sin embargo tiene la desventaja de su lentitud. INDIRECTO Consiste en tomar puntos espaciados convenientemente convenientemente dentro de área a levantar, luego las curvas de nivel se determinan por interpolación en gabinete. Este método es menos preciso que los directos, pero son los que más se usa por su rapidez.
INTERPOLACION DE CURVAS DE NIVEL Existen tres métodos de interpolación de curvas de nivel: Analítico, Estima y Gráfico. METODO ANALITICO
La interpolación se realiza por proporciones aritméticas, obteniéndose una interpolación matemáticamente exacta. En la actualidad, con las calculadoras programables, estas operaciones son muy rápidas
Ejemplo:
Se desea determinar la curva de 65.00 msnm, que pase entre los puntos señalados en el gráfico: Por la proporción
69.70-63.50 = 65.00 –63.50 5 cm
X
X = 1.20 cm Por lo tanto la curva 65.00 estará a 1.20 cm del punto A.
METODO DE ESTIMA Para obtener resultados satisfactorios en este método es necesario que la interpolación sea hecha por personas de gran habilidad y experiencia. La interpolación se realiza al ojo, distribuyendo el intervalo que existe entre dos puntos de cota conocida.
MÉTODO GRÁFICO - Escalas, - Banda elástica. - Guitarra
Escalas: Con la ayuda de una regla se determina una línea a cualquier escala y dirección que pasa por A y en forma proporcional se marcan los valores enteros de la regla sobre esta línea, se une el valor de la última cota con el valor respectivo de regla y luego se traza paralelas a esta línea en los valores enteros determinando así puntos por donde pasaran las respectivas curvas de nivel.
BANDA ELASTICA
GUITARRA
La diferencia de nivel entre dos puntos: 93.2 – 91.6 = 1.6 m. Se debe tener un múltiplo de 1.6, entonces se desplaza el transparenté hasta que quede 16 divisiones entre estos dos puntos. → Cada división representa 0.1 M.
APLICACIONES APLICACI ONES DE LAS CURVAS CURVAS DE NIVEL Una de las aplicaciones de las Curvas de Nivel es la de confeccionar Perfiles Longitudinales y Transversales
APLICACIONES DE L LA N NIVELACION PPEER RFFIILLEESS En proyectos y levantamientos topográficos topográficos para carreteras, carreteras, ferrocarriles, ferrocarriles, canales, etc. Se requiere obtener los perfiles longitudinales y transversales del terreno. Generalmente en puntos de cambio, de inclinación, en puntos críticos estos puntos relacionados entre si por cotas y distancias y dibujados determinan un perfil.
PERFIL Es la intersección teórica de las características del terreno con un plano vertical. Se tiene dos tipos de perfiles.
PERFILES LONGITUDINALES El corte al terreno por medio de los planos verticales es a lo largo del eje principal.
PERFILES TRANSVERSALES El corte al terreno, por medio perpendicular al eje principal.
de planos verticales es exactamente
Para dibujar un un perfil se necesitan: necesitan: Distancia y las diferencias de altura altura entre los puntos, los cuales se ubican en un sistema rectangular de coordenadas. EL EJE X: se dibuja la distancia deducidas al horizonte. EL EJE Y: se dibuja la diferencia diferencia de altura, ambos ambos tomados a una escala conveniente. Los perfiles así dibujados dibujados sirven par determinar determinar los cortes y rellenos en la construcción de carreteras, carreteras, así como para para seleccionad la rasante mas económica.
PERFIL L LONGITUDINAL Se utiliza para representar el relieve o accidente del terreno a lo largo de un eje longitudinal.
SI LA PENDIENTE DEL TERRENO ES UNIFORME Bastara con tomar la cota de los puntos extremos y la respectiva distancia, Si la distancia es grande grande se aconseja aconseja tomar 1 o 2 mas puntos puntos intermedios según sea el caso.
B
1
SI LA PENDIENTE DEL TERRENO NO ES UNIFORME Se tiene que tomar mas puntos Intermedios para poder obtener en el dibujo una representación real del terreno.
7
8
6 2
5 3
4
1 A
PROCESO DE CAMPO PARA DETERMINAR UN PERFIL 1. Reconocimiento del terreno para ubicar los punto fijos A, B, por los cuales se desea trazar trazar el perfil; entre estos puntos puntos se ubican ubican los puntos de cambio. 2. También se se determinan determinan los puntos puntos intermedios situados en el mismo alineamiento y ubicados en cada cambio de pendiente del terreno o donde sea necesario para poder obtener una representación real del terreno, no siempre estos puntos deben estar a la misma distancia.
3. Luego se efectúa la Nivelación Geométrica de todos los puntos. 4. Luego se Dibuja el Perfil Longitudinal en el sistema de coordenadas rectangulares: En el eje de las X se coloca las Distancias reducidas al horizonte En el eje de las Y las respectivas Cotas.
RECOMENDACIONES Con el fin de obtener un perfil donde se aprecie fácilmente el desnivel entre los diversos puntos, se acostumbra tomar una escala vertical mucho más más grande grande que la horizontal. horizontal. A menudo menudo se usa la relación 10 a 1 Se deben nivelar puntos del terreno, obedeciendo una secuencia constante; generalmente se toman puntos cada 20 metros (ocasionalmente se nivelarán nivelarán cada 10 a 5 metros, dependiendo de la topografía del terreno y de los objetivos del levantamiento). Será obligatorio nivelar ciertos puntos del itinerario como: . Los puntos donde hay cambio de pendiente pendiente (A). . Las cotas más altas y bajas del perfil. perfil. . Los puntos altimétricamente extremos extremos de un escalón, talud o muro vertical, indicando que es cero la distancia horizontal horizontal entre ellos (B y C). . El principio principio y fin de una estructura artificial (D y E). . Las orillas y eje de de un canal, canal, quebrada acequia etc (F, G y H
Para obtener el Perfil Longitudinal de un alineamiento, haciendo uso de la Nivelación Geométrica se presentan dos dos casos: -
CUANDO EXISTEN DOS BANCOS DE NIVEL (BM) CUANDO SOLO SE CUENTA CON EL BM DEL PRIMER PUNTO
CUANDO EXISTEN DOS BANCOS DE NIVEL (BM) EJEMPLO Determinar el Perfil longitudinal entre los puntos. A y B de terreno cuyas cotas son: 417.3648 m. y 417.756 m respectivamente. Efectuando una nivelación geométrica ordinaria.
LIBRETA DE CAMPO PTO.
V. ATRÁS
A
2,765
V. ADELAN
COTA
DISTANCIA
417.648
1
2.643
80.00
2
1.637
70.00
1.408
30.00
3
2.604
90.00
4
2.413
60.00
5
2.506
50.00
6
2.103
60.00
1.453
30.00
7
0.994
20.00
8
1.496
30.00
9
1.612
20.00
10
1.352
55.00
B
1.294
PC1
PC2
0.432
1.036
417.726
45.00
1.036 2.765
2.643
1.637
0.994
1.496 1.612
1.352
1.294
1.408 0.432
2.604
2.413
2.506 2.103
1.453
7
PC1
8
PC2
6
2
3
9
10
4 5
1
A 80.0
70.0
30.0
90.0
60.0
50.0
60.0 30.0
20.0
30.0
20.0
55.0
45.0
B
LIBRETA DE CAMPO Y CALCULOS PTO.
V. ATRÁS
A
2.765
1
V. ADEL.
COTA
DISTANCIA D. PARC. D. ACUMU.
CORRECC.
417.648 420.413
COTA CORREGIDA 417.648
2.643
417.770
80.00
80.00
+ 0.004
417.774
1.637
418.776
70.00
150.0
+ 0.007
418.783
1.408
419.005
30.00
180.00
+ 0.008
419.013
2.604
416.833
90.00
270.00
+ 0.013
416.846
4
2.413
417.024
60.00
330.00
+ 0.015
417.039
5
2.506
416.931
50.00
380.00
+ 0.018
416.949
6
2.103
417.334
60.00
440.00
+ 0.021
417.335
1.453
417.984
30.00
470.00
+ 0.022
417.006
0.994
418.026
20.00
490.00
+ 0.023
418.049
8
1.496
417.524
30.00
520.00
+ 0.024
417.548
9
1.612
417.408
20.00
540.00
+ 0.025
417.433
10
1.352
417.668
55.00
595.00
+ 0.028
417.696
B
1.294
417.726
45.00
640.00
+ 0.030
417.756
2 PC1
0.432
3
PC2 7
419.437
1.036 419.020
EV : 1/ 250 420.0 419,0 418.0 417.0 416.0 EH : 1 / 2500
PUNTO A D.PAR D.ACU COTA
CORTE RELLE
1
2
PC1
3
4
5
6
PC2
7
8
9
10
B
0
80
70
30
90
60
50
60
30
20
30
20
55
45
0
80
150
180
270
330
380
440
470
490
520
540
595
640
4 1 8 . 7 8 3
4 1 9 . 0 1 3
4 1 6 . 8 4 6
4 1 7 . 0 3 9
4 1 6 . 9 4 9
4 1 7 . 3 5 5
4 1 8 . 0 0 6
4 1 8 . 0 4 9
4 1 7 . 5 4 8
4 1 7 . 4 3 3
4 1 7 . 6 9 6
4 1 7 . 7 5 6
4 1 7 . 6 4 8
4 1 7 . 7 7 4
CO R T E
RELLENO
CORTE
R E L LE N O
CALCULO DEL ERROR DE CIERRE 417.726 417.756
Cota llegada: Cota fija:
───────────────────────── ────────────── ───────────
ERROR DE CIERRE = - 0.030 m. Como es una una NIVELACION ORDINARIA
EMAX = ± 0.04
K
=
± 0.04
0.64
= ± 0.032 m.
EC = - 0.030 < EMAX = ± 0.032
ok !
CORRECION = + 0.030 m. Entonces lo repartimos repartimos proporcional a la distancia acumulada. acumulada.
DIBUJO DEL PERFIL Para dibujar un un Perfil Perfil se escoge escoge la escala escala mas conveniente, de acuerdo acuerdo al uso que se le va dar o al tamaño del papel. Para nuestro nuestro caso escogeremos una escala en función del tamaño de papel, se va usar un A4 ( 20 x 28 cm.)
EJE DE LAS X En este eje se anotan las distancia; sabemos que que la distancia total es de 640 metros. 28 cm 640 m 1 cm x x = 22.86 m. Entonces para dibujar en el papel 1 cm. equivale a La escala será =
1 2286
Este valor de 1/2286 no es muy practico por acostumbra a redondear a 2,300 o mejor a 2,500
EH =
22.86 m.
1 2500
lo que se
EJE DE LAS Y En este eje se anotan las cotas. Si dibujaríamos dibujaríamos a la misma escala, escala, no se podría apreciar las variaciones variaciones del terreno así en nuestro ejemplo: La cota máxima = 419.013 m. La cota mínima = 416.846 Diferencia de altura = 2.167 Esta Diferencia de altura a escala el papel seria:
1/2500 para ser representada representada sobre
1.0 mm X
2.5 m. 2.1 m.
La máxima diferencia estaría representada en menos de un milímetro Por lo tanto el perfil seria una línea. Entonces se cambia la escala vertical, se recomiendo hacerlo 10 veces mayor que la escala horizontal ósea: 1/250 1.000 cm. 0 .867
2.500 m. 2.167
Que todavía sigue siendo pequeña, para nuestro caso se considero.
EV =
1 250
Para carreteras carreteras el Perfil se usa para determinar la zona de corte y relleno para lo cual se traza la RASANTE de acuerdo acuerdo a la pendiente especificada especificada entonces nos determina las zonas de movimiento de tierras. t ierras.
LA RASANTE Es la pendiente regula de una línea, puede puede ser ascendente como descendente también se denomina denomina rasante a la línea fijada sobre el perfil perfil del eje de un camino existente o en proyecto. Para trazar trazar un rasante se recomienda recomienda en lo posible tener que que promediar el corte con el relleno en la misma zona de tal manera que el mismo material que se corta corta sirve de relleno relleno por supuesto supuesto estando dentro dentro de la pendiente especificada.
PENDIENTE Se denomina pendiente a la inclinación respecto al plano horizontal. Se expresa expresa mediante una una relación relación
que tiene el terreno como
DIFERENCIA DE ALTURA PENDIENTE =
──────────────────── ───────────── ───────
DISTANCIA HORIZONTAL
B
AB = Distancia Inclinada AC = Proyección sobre el
10.0
plano Horizontal
BC = Proyección sobre el plano Vertical.
40.00
A
C
Esta relación puede tomar diferentes formas: 1 . POR UNA FRACCIÓN BC
Pendiente (AB) =
AC
=
10 40
=
1 4
2. POR SU VALOR NATURAL Pendiente (AB)
= 0.25
3. EN PORCENTAJE Pendiente (AB) =
25 %
4. POR SU VALOR ANGULAR Pendiente AB =
Tan
=
10 40
Dif .Alt D.Horiz
= 0.25
=
BC AC
=
Cateto Opuesto CatetoAdyacente
=
14° 02’ 10.48”
CALCULO DE PENDIENTES DE LA RASANTE O LINEA DE PROYECTO Del ejercicio N° 1 COTA max (B) = COTA max (A) = Dif. De altura = Dist. Horizont = 0.108
Pendiente =
640
417.756 417.648 0 .108 m 640 m. =
0.00168
La pendiente = cero %
Del ejercicio N° 2 Tramo A – 4 350.07 351.35 -1.28
55.3 0.0 55.3
- 1.28 Pendiente =
──── = - 0.023 = - 2.3 %
55.3
Tramo 4 – 8 349.62 350.07 -0.45
99.8 55.3 44.5
- 0.45 Pendiente =
──── = - 0.010 = - 1. 0 %
44.5
Tramo 8 – 10 352.35 349.81 +2.43
131.6 99.8 31.8
+ 2.43 Pendiente =
──── = + 0.076 = + 7.6 %
31.8
Tramo 10 – D 352.35 351.74 + 0.61
164.8 131.6 33.2
+ 0.61 Pendiente =
──── = + 0.018 = + 1.8 %
33.2
Para una carretera carretera se recomienda recomienda una pendiente pendiente promedio de 04 % en el tramo 4 - 8 la pendiente pendiente es 7.6% mayor que lo especificado especificado entonces tendremos que disminuir disminuir la pendiente lo que significa que que vamos a tener mas corte de terreno.
CUANDO SOLO SE CUENTA CON EL BM DEL PRIMER PUNTO Ejemplo de Aplicación: Se tiene una poligonal cerrada con cinco vértices de control estacados de la forma que se muestra, muestra, si el único banco de nivel nivel es el que corresponde corresponde al vértice “A”. 109,213 m); se pide dibujar el Perfil Longitudinal.
LIBRETA DE CAMPO PTO. A
V. ATRÁS
V. ADELAN
1.028
COTA
DISTANCIA
109.213
1
1.353
20.00
2
1.500
20.00
3
1.930
20.00
1.883
9.00
4
1.785
11.00
5
1.542
20.00
6
1.336
20.00
7
1.037
20.00
8
0.868
20.00
0.832
16.65
9
2.271
3.35
10
1.983
20.00
11
1.857
20.00
12
1.372
20.00
13
1.084
20.00
1.020
6.05
14
1.260
13.95
15
1.565
20.00
1.717
17.50
16
1.229
2.50
17
1.452
20.00
18
1.497
20.00
A
1.622
16.50
B
C
D
E
1.670
2.370
0.825
1.193
CALCULO Y COMPENSACION COMPENSACION DE COTAS COTAS PTO.
V. ATRÁS
A
1.028
1
V. ADELAN
COTA
DISTAN
109.213
109.213
1.353
108.888
20.00
108.887
2
1.500
108.741
20.00
108.739
3
1.930
108.311
20.00
108.309
1.883
108.358
9.00
108.355
1.785
108.243
11.00
108.240
5
1.542
108.486
20.00
108.482
6
1.336
108.692
20.00
108.688
7
1.037
108.991
20.00
108.986
8
0.868
109.160
20.00
109.155
0.832
109.195
16.65
109.190
2.271
109.295
3.35
109.289
10
1.983
109.583
20.00
109.576
11
1.857
109.709
20.00
109.702
12
1.372
110.194
20.00
110.186
13
1.084
110.482
20.00
110.474
1.020
110.546
6.05
110.537
1.260
110.111
13.95
110.102
1.565
109.806
20.00
109.796
1.717
109.654
17.50
109.643
1.229
109.618
2.50
109.607
17
1.452
109.395
20.00
109.384
18
1.497
109.350
20.00
109.339
D
1.622
109.225
16.50
109.213
B
110.241
COTA COMPEN
1.670
4
C
110.028
2.370
9
D
111.566
0.825
14
111.371
15 E 16
1.193 110.847
LA RASANTE Es la pendiente regula de una línea, puede puede ser ascendente como descendente también se denomina denomina rasante a la línea fijada sobre el perfil perfil del eje de un camino existente o en proyecto. Para trazar trazar un rasante se recomienda recomienda en lo posible tener que que promediar el corte con el relleno en la misma zona de tal manera que el mismo material que se corta corta sirve de relleno relleno por supuesto supuesto estando dentro dentro de la pendiente especificada.
SECCIONES T TRANSVERSALES Es frecuentemente tener que determinar la verdadera forma del terreno en una cierta extensión para trabajos como carreteras obras de riego, movimiento de tierras. Estas longitudes del del estacado pueden ser de 100, 50, 25, 20 o 10 metros según sea la precisión del trabajo por ejemplo para terreno muy accidentado o con arbolado no es posible hacer visuales largas.
SECCIONES TRANSVERSALES PARA CAMINOS Para proyectos de carretera o canales se sigue ordinariamente un itinerario, señalando la estaciones con estacas cada 50 o 100 metros, Se determinan las cotas de estos punto para luego dibujar el perfil longitudinal. Para el calculo de movimiento movimiento de tierras o cubicación se tiene que determinar la forma del terreno a ambos lados del perfil, levantando perfiles transversales que son perpendiculares al P. longitudinal estos perfiles o Secciones Transversales se levanta en cada estación. Se le llama también perfil transversal y viene a ser el corte perpendicular al eje del perfil longitudinal en cada estaca; generalmente se toman varios puntos a la derecha y a la izquierda, dependiendo de la envergadura del proyecto.
PROCESO:
Se determina la altura del instrumento para cada sección transversal, por medio de una lectura vista atrás, sobre la mira colocada en la estaca central (estaca de P. longitudinal). Luego se va colocando la mira sobre todos los puntos donde haya cambio de pendiente, siempre en dirección perpendicular, midiendo la distancia con cinta entre estos puntos y el eje eje principal principal del perfil longitudinal.
TIPOS DE SECCIONES TRANSVERSALES
DESMONTE ESTACA CENTRAL
d
TALUD LATERAL
h
PLATAFORMA
h = Profundidad de corte en un punto d = Distancia horizontal del punto al eje central
TERRAPLEN PLATAFORMA TALUD LATERAL
h d
ESTACA CENTRAL ESTACA CENTRAL ESTACA DE TALUD
h = Elevación de relleno en un punto
A MEDIA LADERA o EN BALCON
1:1 PLATAFORMA
1.5:1
PLATAFORMA o LECHO DEL CAMINO: Es una superficie plana plana y horizontal en sentido transversal transversal con exención en las curvas de las carreteras es algo inclinada (Peralte).
TALUDES: Son superficies superficies planas de pendiente pendiente constante constante de acuerdo al material de excavación. La pendiente pendiente de los taludes se expresa expresa por la relación. Pendiente = Nº Unidades medidas horizontalmente : Nº de unidades medidas verticalmente Es decir que una pendiente = 2 : 1 Significa que por una distancia horizontal de 2m. se sube o baja 1 metro.
Para Grava gruesa Piedra gruesa Roca viva Arcilla o arena Tierra firme
1: 1 1: 2 1: 4 2 o 3: 1 1.5 : 1
La Plataforma se determina sobre el dibujo del Perfil Longitudinal es la rasante. Para trazar las Secciones Transversales se debe conocer las cotas de la estacas centrales centrales de los perfiles, perfiles, así como también la cota de la rasante en cada estación.
EJEMPLO DE SECCIONES TRANSVERSALES: Tenemos Secciones Transversales generalmente cada 20 m. en tramos rectos y de cada 10 m. en curvas. En la siguiente figura se tiene un tramo de carretera desde el km.: 12 hasta el km.: 12.260. Las secciones Trasversales se dibujan a la misma escalas tanto horizontal como vertical, estos dibujos indican lo que se debe debe cortar o rellenar.
PUNTO DE PASO: Son lugares donde la rasante rasante cruza cruza el perfil del terreno terreno al al pasar de corte corte a relleno o viceversa.
PROCESO DE CAMPO PARA CALCULAR EL AREA
EN DESMONTE
L(-)
L(+)
A 1 MIRA DE
h
RASANTE
Se debe conocer la cota de la plataforma o rasante (Este valor se obtiene del Perfil Longitudinal), Longitudinal), de igual manera manera se conoce conoce la cota de la estación ( A ) = si a la
Cota (A) +
V. atrás (A)
se le resta la cota de la rasante tendré lo que se conoce con el nombre de MIRA DE RASANTE. RASANTE. MIRA DE RASANTE
=
-
COTA DE RASANTE
Luego se coloca la mira en algún punto del terreno que excavar a esta lectura se llama ll ama mira en terreno.
(1) donde se tenga
h1 =
MIRA DE RASANTE -
V. Adelante (1)
h2 =
MIRA DE RASANTE -
V. Adelante (2)
EN TERRAPLEN: Se presenta dos casos: SI EL NIVEL ESTA ENCIMA DE LA PLATAFORMA
L(-)
L(+) MIRA DE RASANTE
h A 1
=
Cota (A) + V. atrás (A)
MIRA DE RASANTE
=
-
COTA DE RASANTE
Luego se coloca la mira en algún punto del terreno terreno donde se tenga que rellenar a esta lectura se llama mira en terreno.
H1 =
V. Adelante (1) - MIRA DE RASANTE
h2 = V. Adelante (2) - MIRA DE RASANTE h = Es la altura de relleno en un punto
SI EL NIVEL ESTA DEBAJO DE LA PLATAFORMA
L(-)
L(+)
M.R.
h 1
=
A
Cota (A) + V. atrás (A)
MIRA DE RASANTE =
COTA DE RASANTE
-
Luego se coloca la mira en algún punto del terreno terreno donde se tenga que rellenar a esta lectura se llama mira en terreno.
h1 = V. Adelante (1) + MIRA DE RASANTE
h2 = V. Adelante (2)
+ MIRA DE RASANTE
h = Es la altura de relleno en un punto
A DEE S SEEC AR REEA A D CC CIIO ON NEESS IIR RR REEG GU ULLA AR REESS Para determinar el área se usa usa el método del: cálculo cálculo de áreas por medio de coordenadas. Las coordenadas de los vértices de una sección transversal se expresan de la siguiente forma: Altura Dis tan cia
hi
=
di
En la fig. se tiene la sección transversal irregula de la cual se desea el área.
h2
h3
d2
0
h4
h5
d4
d5
d4
h1
d5
d1
d2 d1 h1
M
(0,0)
w/2
Entonces teniendo en cuenta el respectivos signos tenemos:
w/2
N
(0,0) entonces considerando sus
(M)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
0
h1
h2
h3
h4
h5
0
− w / 2
−d
0
+d
1
−d
2
4
+d
5
+ w / 2
Para facilitar el cálculo colocamos detrás de cada distancia el signo contrario al que lleva adelante teniendo así: 0
h1
h2
h3
h4
h5
0
− w / 2 +
−d +
−d +
0
+d −
+d −
+ w / 2
1
2
4
5
Entonces el área de la sección transversal esta dada por la siguiente regla:
Se multiplica cada numerador por la suma algebraica de los dos denominadores adyacentes, tomando para esto el signo mas próximo al numerador empleado, entonces la suma algebraica de estos productos es igual al doble del área de la sección transversal. Ejemplo: en la siguiente Sección Transversal se dan las coordenadas de los respectivos vértices, además al ancho de la plataforma w = 6.0 m. Calcular el área. 3.06 7.59 2.49 4.50 1.83 0
1 . 26 3 . 00 0.72 4.08
6.00 m.
Entonces según la regla anterior se se ubican las coordenadas coordenadas de todos lo vértices con con los dos signos signos respectivos: respectivos: 0
0.72
1.26
1.83
2.49
3.06
0
−3+
− 4.08 +
− 3.0 +
0
+ 4.5 −
+ 7.59 −
+ 3−
El área será: 0.72 1.26 1.83 2.49 3.06
x x x x x
( ( ( ( (
+3.00 +4.08 +3.00 0.00 - 4.50
+ + + +
3.00 ) 0.00 ) 4.50 ) 7.59 ) 3.00 )
= = = = =
0.00 m2 5.14 m2 13.73 m2 18.90 m2 - 4.59 m2
──────────
2 x Area = 33.18 m2
Area de la S.T.
=
16.58 m2
OTROS METODOS 1. Como las secciones se dibujan a igual escala ( H y V) se puede calcular el área usando un planímetro. planímetro. 2. Contar materialmente los cuadrados del papel milimetrado comprendidos dentro de la sección, después se cuentan los medios y cuartos de cuadrado con lo cual agrupándolos se tendrá pues el área, aproximada a cuartos de metro cuadrado que es suficiente. 3. Se divide la superficie superficie en fajas verticales verticales del mismo ancho, ancho, es decir Las líneas verticales deben estar separadas entre si una cantidad constante (K) mientras mas cercanas estén estas líneas la aproximación será mejor. Luego se mide toda la longitud de las L verticales Entonces el área de la sección será.
A = k ( ∑ L)
∑
K = Separación constante entre líneas verticales. L = Suma de todas las longitudes de las Líneas verticales
C DEE V VO CA ALLC CU ULLO O D OLLU UM MEEN NEESS Conocidas las áreas de todas las secciones se anotan ordenadamente en una tabla y se procede al cálculo de volúmenes. El volumen de material se calcula por tramos o sea entre secciones consecutivas se usa la siguiente formula:
V
⎛ A + A ⎞ ⎟.d ⎝ 2 ⎠
= ⎜
1
2
Cuando una de de las áreas es igual a cero como tenemos el caso de los puntos de paso de corte a relleno o viceversa, el volumen será el área de la otra sección dividida entre 2 y multiplicada por la distancia ente las secciones. Ejemplo: CORTE 2
1.7 m RELLENO
0.8 m2 d = 20 m 2.3 m2
0.4 m2
1.7 + 2.3 VCORTE
=
─────────────
X
20.0
=
40.00 m3
X
20.0
=
12.00 m3
2 0.8 + 0.4 VRELLENO =
─────────────
2
C SIITTU LA ESSTTA DEELL T TA CO OM MO O S UA AR R L ASS E AC CA ASS D ALLU UD D Método de la colocación colocación de las estacas estacas requiere de la siguiente formula. w
d =
2
+ h X s
Es decir calcular la distancia a la que debe colocarse la estaca del eje del proyecto. d = distancia entre el eje y la estaca de talud W = ancho de la plataforma. S = pendiente de talud. h = altura o profundidad de corte o relleno. relleno. Entonces con esta formula se ira verificando la distancia. EJEMPLOSituar exactamente una estaca de talud en el terreno al lado izquierdo del eje. Si w = 6.0 m. Pendiente de talud = 1.5:1 ESTACION (20): Cota: 120.50 m. Rasante Cota: 118.12 m. Solución:
2.64
2.34
1.98
2.18
5.46 m. 6.75 m. 6.33 m.
(20) (3) (2)
(1)
MIRA DE RASANTE
= Cota (20) + V. atrás (20) =
120.50 -
2.18
= 122.68 m.
MIRA DE RASANTE = =
-
Cota de Rasante
122.68 - 118.12 = 4.56 m.
1º PRIMER INTENTO: INTENTO: Se ubica la mira en el punto (1), a una distancia de 5.46 m. del eje central; lectura de vista adelante: 1.98 m.
h1 = Mira Rasante – Vista Adelante h1 = 4.56 - 1.98 = 2.58 m. Reemplazando en la formula: D =
w 2
+ hxS
= 3 + (2.589) x (1.5) = 6.87 m.
La medida obtenida en el campo es:
∴ la
5.46 m. <
6.87 m.
mira debe alejarse
2º SEGUNDO INTENTO: INTENTO: Se ubica la mira en el punto (2), a una distancia de 6.75 m. del eje central; lectura de vista adelante: 2.64 m.
h1 = Mira Rasante – Vista Adelante h1 = 4.56 - 2.64 = 1.92 m. Reemplazando en la formula: D =
w 2
+ hxS
= 3 + (1.92) x (1.5) = 5.88 m.
La medida obtenida en el campo es:
∴ la
mira debe acercarse
6.75 m. > 5.88 m.
3º TERCER INTENTO: INTENTO: Se ubica la mira en el punto (3), a una distancia de 6.33 m. del eje central; lectura de vista adelante: 2.34 m.
h1 = Mira Rasante – Vista Adelante h1 = 4.56 - 2.34 = 2.22 m. Reemplazando en la formula: w
D =
2
+ hxS
= 3 + (2.22) x (1.5) = 6.33 m.
6.33 m. =
La medida obtenida en el campo es:
6.33 m.
La distancia medida medida en el campo es de 6.33 es decir la mira esta colocada exactamente en el punto donde debe colocarse la estaca estaca de talud. En la sección transversal las estacas se colocan:
Inclinadas hacia fuera: en terraplenes, Inclinadas hacia adentro: en desmontes.
En la libreta de campo se anota de la siguiente manera:
D
h d
R
h d
D = Desmonte o Corte R = Relleno h d
= Profundidad de Corte o Elevación de Relleno = Distancia del punto al eje central.
ASECCION TRANSVERSAL: PROGRESIVA 100 + 20 Lla tabla muestra la nivelación de la sección transversal correspondiente a dicha progresiva.
PUNTO
DESCRIPCION
DISTANCIA
COTA
8
IZQUIERDO
40.000
652.959
7
IZQUIERDO
31.597
658.560
6
IZQUIERDO
25.232
663.389
5
IZQUIERDO
21.260
666.453
4
IZQUIERDO
15.304
670.019
3
IZQUIERDO
10.923
672.253
2
IZQUIERDO
4.752
674.891
1
IZQUIERDO
0.585
676.640
0.000
676.800
100+20 1
DERECHO
6.540
678.800
2
DERECHO
9.752
679.866
3
DERECHO
11.631
680.308
4
DERECHO
18.803
681.197
5
DERECHO
19.822
681.344
6
DERECHO
20.089
681.379
7
DERECHO
21.505
681.630
8
DERECHO
30.426
683.305
9
DERECHO
32.110
683.685
10
DERECHO
38.535
684.846
11
DERECHO
40.000
685.100
Durante la etapa del proyecto, proyecto, plan y diseño diseño de una carretera carretera es necesario trazar los perfiles longitudinales y secciones transversales generalmente cada 20.0 m. en alineación recta y cada 10.0 m en curva para la evaluación de cortes y rellenos y calcular el movimiento de tierras.
Para ello se elige técnicamente bajo ciertos criterios de ingeniería el eje longitudinal; la intersección de dicha línea con con las curvas de nivel, nivel, permitirán graficar el perfil longitudinal,
Determinando las cotas de las estacas PTO A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B
DPARCIAL (m) 0.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 15.40
DACUMULADA (m) 0.00 20.0 40.0 60.0 80.0 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00 215.40
COTA TERRENO 887.90 887.90 890.80 893.30 894.20 892.80 889.20 884.20 880.10 880.40 894.00 887.30
• Sobre el plano y a lo largo largo del Perfil se miden las distancias distancias cada
20.0
o 10.0 m.
• Estos puntos constituyan las estaciones.
trazan líneas, estas cortan cortan a las • En forma perpendicular al perfil se trazan curvas de nivel .
• Luego se toma la distancia al eje y la elevación de cada punto se
tiene dos casos: - Si las distancias son números enteros, entonces se tendrá que interpolar las cotas - Si se toma la intersección de la línea con la curva de nivel entonces las cotas serán enteras por lo tanto se tendrá que interpolar las distancias. • Luego estos valores se dibujan en un eje rectangular a escalas
iguales tanto horizontal como vertical.
EJEMPLO
SECCIONES TRANSVERSALES TRANSVERSALES DE LA ESTACION: 51+ 00 902 900 898 896 894 892 890 888 886 884
64.0
51.0
38.0
26.0
12.0
0.00
13.0
25.0
40.0
58.0
67.0
EV : 1/ 250 420.0 419,0 418.0 417.0 416.0
EH : 1 / 2500
PUNTO A D.PAR D.ACU COTA
CORTE RELLE
1
2
PC1
3
4
5
6
PC2
7
8
9
10
B
0
80
70
30
90
60
50
60
30
20
30
20
55
45
0
80
150
180
270
330
380
440
470
490
520
540
595
640
4 1 8 . 7 8 3
4 1 9 . 0 1 3
4 1 6 . 8 4 6
4 1 7 . 0 3 9
4 1 6 . 9 4 9
4 1 7 . 3 5 5
4 1 8 . 0 0 6
4 1 8 . 0 4 9
4 1 7 . 5 4 8
4 1 7 . 4 3 3
4 1 7 . 6 9 6
4 1 7 . 7 5 6
4 1 7 . 6 4 8
4 1 7 . 7 7 4
CO R T E
RELLENO
CORTE
R E L LE N O
351.35 351.27
PUNTO
A
D.ACUM
0
COTA
PENDI.
3 5 1 . 2 7
1
2
3
4
B
5
10.1
20.3
46.6
55.3
70.5
77.0 77.0
3 5 1 . 4 9
3 5 0 . 7 0
3 5 0 . 9 8
3 5 0 . 0 7
3 4 9 . 9 9
3 4 9 . 1 1
- 2.3 %
6 80.9
3 4 9 . 1 3
0.1 %
7
8
85
99.8
3 4 9 . 9 5
3 4 9 . 6 2
C 115.3
3 5 1 . 1 3
9
10
D
124.2
131.6
164.8
3 5 1 . 1 8
3 4 2 . 3 7
3 5 2 . 2 6
+ 7.6 %
+1.8%
DENOTACIONES MÁS COMUNES DE LAS ESTACAS EN UN PERFIL LONGITUDINAL En la actualidad existen diferentes formas en denotar los puntos estacados en un perfil longitudinal; A continuación se mostrará dos de ellos. ellos.
CUANDO LAS ESTACAS BASE SE DEFINEN POR EL KILOMETRAJE El punto A.; se inicia con el kilómetro cero (2 + 000). Los puntos intermedios se designan por la numeración del kilo metro Inmediatamente anterior más la distancia en metros que la separa de punto de inicio. DESCRIPCION
PROGRESIVA
DACUMULADA (m)
COTA TERRENO
A
2 + 000
0.00
220.00
2 + 020
20.00
222.50
2 + 040
40.00
223.00
2 + 060
60.00
220.50
2 + 080
80.00
225.00
2 + 100
100.00
226.00
2 + 120
120.00
228.00
2 + 140
140.00
230.00
2 + 152.60
152.60
226.00
2 + 160
160.00
224.50
2 + 180
180.00
227.00
2 + 200
200.00
229.50
2 + 20
220.00
232.50
2 + 27.30
227.30
230.00
2 + 240
240.00
228.00
2 + 260
260.00
222.00
2 + 280
280.00
218.00
2 + 300
300.00
215.00
B
C
D
SISTEMAS DE PROYECCIÓN CARTOGRAFICAS El sistema de proyección permite la representación sobre un plano de toda o parte de la superficie terrestre. Un sistema de proyección establece una relación entre puntos de la superficie a representar y puntos del plano de proyección, es decir una correspondencia entre ambos.
CLASIFICACION CLASIFICAC ION DE LOS SISTEMAS DE PROYECCION Las proyecciones pueden clasificarse en: · Proyección Cilíndrica. · Proyección Cónica. · Proyección Plana Estereográfica Polar .
CUADRICULA UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR ( C.U.T.M. ) Consiste en un cilindro transversal con un radio ligeramente menor que el de la tierra, de modo que en lugar de ser tangente a la superficie terrestre a lo largo de un meridiano, lo corta a lo largo de dos elipses (M 1 y M2), paralelas a un meridiano central igualmente espaciado. Se dice que es Universal porque el cilindro no es estático sino que gira para cada zona de 6° es decir decir da en total 60 giros, una una posición del cilindro para cada zona para mantener la escala dentro de los valores especificados para cualesquier parte de la tierra.
ÁREA DE DISTORCION DE LA P.U.T.M. Para reducir esta distorsión la proyección U.T.M. ha dividido el elipsoide de referencia terrestre en 60 husos de cuadricula, iguales, cada uno cubriendo una longitud de 6º. teniendo como límites meridianos de longitud múltiplos de 6º En LATITUD esta comprendidas entre los paralelos 80º N hasta los 80º S con un sistema homogéneo de cuadrícula UTM dividiendo el elipsoide en 80 fajas, utilizando los de latitud latitud múltiplo de 8º, ósea 10 10 fajas al norte y 10 al sur del Ecuador. Entonces cada huso huso queda dividido dividido en 20 áreas de 6º de longitud por por 8º de latitud que se denominan denominan zonas que que constituyen constituyen la cuadrícula básica de toda la P.U.T.M. Los casquetes polares restantes restantes se completan con la Cuadrícula Universal Polar Estereográfica, Este sistema sistema de coordenadas planas planas es recomendable recomendable para el Perú cuya mayor extensión se halla en la dirección Norte - Sur.
DEFINICIONES Y RELACIONES EN LAS MAGNITUDES DE LA PROYECCCION UTM En la figura se muestra la representación gráfica de una proyección UTM en el hemisferio sur. La distancia P1P2 es una línea recta sobre el elipsoide y generalmente una línea curva sobre la proyección prácticamente esta curvatura es siempre cóncava con relación al meridiano central como se explica PARA GRANDES DISTANCIAS si por la línea curva "AB" se traza una tangente "AC" en "A" entonces entonces el ángulo medido en sentido horario desde el norte hacia la línea “AC” es el AZIMUT GEODÉSICO PROYECTADO. PROYECTADO.
B
NV
T C
A = Latitud geodésica = Longitud geodésica medida desde Grenwich 0
= Longitud geodésica de un M.C. = Diferencia de longitud con relación al meridiano central
=
-
=
0 -
0
: Cuando el punto se encuentra al oeste del M.C. : Cuando el punto esta al este del M.C.
E' = Distancia del punto al M.C. N' = Distancia del punto a la Línea Ecuatorial
E
= Abscisa de cuadrícula (ESTE)
N = Ordenada de cuadrícula (NORTE) K = Factor de escala sobre el punto considerado en la proyección K0 = 0.9996: factor de escala en el M.C. FN = Falsa ordenada FE = Falsa abscisa
t
= Azimut plano
T = Azimut geodésico proyectado P = 0.0001 x q = 0.000001 x E' ESPECIFICACIONES 1.
Unidad metro
2.
Esferoide internacional
3.
Longitud de origen: meridiano central de cada zona
4.
Latitud de origen 0º en el Ecuador
5.
Falsa Ordenada: 0 metros para el hemisferio norte 10'000000 metro para el hemisferio sur.
6.
Falsa Abscisa: 500.000 METROS
7.
K0 = 0.9996
SISTEMA DE COORDENADAS: Mercator para evitar coordenadas con con varios dígitos considera el ORIGEN DE COORDENADAS EN LA INTERSECCIÓN DE CADA MERIDIANO CENTRAL CON LA LÍNEA ECUATORARIAL, ECUATORARIAL, además para evitar COORDENADAS NEGATIVAS en NEGATIVAS en todas las direcciones, entonces tanto para el Sur como para el oeste dentro de los límites de la proyección serán siempre positivos asume:
FALSA ABSCISA Da un falso valor a cada M.C. de 500,000 m. Entonces los valores valores limites de cada zona zona serán aproximadamente aproximadamente 320000 y 680000 m., m., tanto al oeste como este respectivamente. Teniendo como factor de escala en estos limites la unidad.
E = 500,000 + E'
cuando el punto está al
Este del M.C.
E = 500,000 - E'
cuando el punto está al
Oeste del M.C.
FALSA ORDENADA De igual manera se da un valor a la Línea Ecuatorial Ecuatorial de: 0 m.
Cuando el punto se encuentra ubicado en el Hemisferio Norte
10000000 m.
Cuando el punto se encuentra ubicado en el Hemisferio Sur
N = N'
Cuando el punto punto se se encuentra encuentra en el H. Norte Norte
N = 10000000 - N'
Cuando el punto punto se encuentra en el H. Sur
NUMERACIÓN DE LAS ZONAS La numeración de las zonas comienza con la N° 1 que corresponde a la zona situada entre los meridianos 180º W - 174º W esta numeración se va incrementando hacia hacia el Este hasta llegar a la Nº 60 que corresponde corresponde a la zona comprendida entre los meridianos 174º E - 180º E
El Perú está comprendido en el huso de tiempo N° 5 en las zonas de cuadrícula Nº 17, 18, 19. Tumbes, Piura, Lambayeque, el Río Cenepa, se encuentran en la zona 17; Lima está en la zona 18 , Puno, Madre de Dios le corresponde la zona 19.
180 ± LIM.INF. N° ZONA =
―――――――――――
6 (+):
Cuando el punto punto esta ubicado al Oeste del M. G
(-):
Cuando el punto esta ubicado al Este del M. G
LIM.SUP.
M.C. M.C.
LIM.INF.
E’
P
N’
(500000 0)
0 m.
(500000
10000000 m.
10000000)
N’
Q E’
3°
3°
320000 m
P:
32000 m.
N = N’ E = 500000 + E’
Q:
N = 10000000 E = 500000 -
E’
N’
USO DE C.U.T.M. EN LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS Siempre que se tenga distancias mayores se debe tener en cuenta dos clases de Azimut de cuadrícula que son: Azimut geodésico proyectado Azimut plano
AZIMUT GEODÉSICO GEODÉSICO PROYECTADO ( T )
NV
B
T
( T – t )
C
t
A
T = t + ( T – t ) AZIMUT PLANO ( t ) Es el ángulo medido desde el norte de la cuadrícula en sentido horario hacia la recta “AB”.
Este azimut es una función función matemática cuya utilidad radica en el
hecho que es fácilmente calculado partiendo de las coordenadas de cuadrícula de dos estaciones “A” y “B”
EB - EA Tan ( t ) = NB - NA
EN CONCLUSION : Para
calcular
El Azimut Geodésico Proyectado de una Línea de referencia
conociendo las coordenadas planas planas de sus dos extremos se tiene:
Tan = E / N
Luego:
t =
si:
E (+)
N (+)
t = 180 -
si:
E (+)
N (- )
t = 180 +
si:
E (-)
N (-)
t = 360 -
si:
E (-)
N (+)
(T – t) = - N (2E´1 + E´2) x 0.085 x 10-8 T = t + ( T – t )
En donde:
E = E2 – E1 N = N2 - N1
EJERCICIO: Calcular el Azimut Geodésico Proyectado de la Línea de referencia: ZARUMILLA - CABO BLANCO si se conoce sus coordenadas UTM: ZARUMILLA
CABO BLANCO
E = 581368.877 m. N = 9612560.516 m.
E = 573280.456 m. N = 9599873.586 m.
SOLUCION: Est. (1): ZARUMILLA
Est (2): CABO BLANCO
N2 = 9599873.586 N1 = 9612560.516 ΔN = - 12686.93
E2 = 573280.456 E1 = 581368.877 ΔE = - 8088.421
E Tan
= ─────
E’2 E’2
= 73280.456 E’11 = 81368.877 E’
8088.421 =
────── ──────
N
=
32° 31’ 08.85”
12686.93
Como: Δ N ((-) y ΔE (-)
t = 180 +
t = 180° + 32° 31’ 08.85”
t
=
212° 31’ 08.85”
(T – t) = - N (2E´1 + E´2) x 0.085 x 10-8 (T – t) = - ( - 12686.93) (2
x
81368.877 + 73280.456 ) x 0.085
2.549”
T = t + ( T – t ) = T
=
212° 31’ 08.85” + 2.549”
212° 31’ 11.40”
x
10-8 =
+
