Toma de Decisiones Ejercicios Resueltos Final

SIS -2610 “A”

INVESTIGACION OPERATIVA II [email protected]

Aux. : Egr. Challapa Llusco Gustavo

EJERCICIOS RESUELTOS TOMA DE DECISONES BAJO COMPLETA INCERTIDUMBRE 1.-Los directivos de pensión Planners. Inc. Deben escoger uno de los tres fondos mutuos comparables en el cual invertir un millón de dólares. El personal del depto. de investigación ha estimado la recuperación esperada en un año para cada uno de los fondos mutuos, basándose en un desempeño pobre, moderado, o excelente del índice Dow Jones, de la siguiente manera: Desempeño del Recuperación esperada Dow Jones Fondo1 $ Fondo2 $ Fondo3 $ Pobre 50000 25000 40000 Moderada 75000 50000 60000 Excelente 100000 150000 175000 Utilice la matriz de ganancias para calcular la decisión óptima y la ganancia asociada utilizando cada uno de los criterios siguientes: a) Laplace b) Mínimax c) Hurwicz (con =0.4) SOLUCION 1.- Decisor: Los directivos de planners 2.- Alternativas o acciones: a1 : Elegir Fondo 1.

a2 : Elegir Fondo 2. a3 : Elegir Fondo 3. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Pobre.

 2 : Moderado.  2 : Excelente.

4.- Matriz de consecuencias:

a1 a2 a3

1

2

2

50000

75000

100000

25000

50000

150000

40000

60000

175000

a) Criterio de Laplace

 1 a1 : 3 50000  70000  100000  75000  1  Max[ai ]  Maxa2 : (25000  50000  150000)  75000 3   1 a3 : 3 (40000  60000  175000)  91666.66  a3  Bajo el criterio de Laplace se debe elegir la alternativa a3 1

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b) Míni - max

a1 a2 a3

1

2

2

50000

75000

25000 40000

max

Mini

100000

10000

10000  a1

50000

150000

15000

60000

175000

175000

Bajo el criterio Mini – Max elegir la alternativa a1 c) Hurwicz (con =0.4)

a1 : 0.4 *100000  (1  0.4) * 50000  70000  Max[ai ]  Maxa2 : 0.4 *150000  (1  0.4) * 25000  75000 a : 0.4 *175000  (1  0.4) * 40000  94000  a 3  3 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda elegir la alternativa a3 2.- Los Dueños de FastFoods Inc., están tratando de decidir si construyen una nueva sucursal en un centro comercial abierto, en un centro comercial cerrado o en un lugar remoto del que los analistas opinan que tienen un gran potencial de crecimiento. Además del costo de construcción $ 100 000, independiente del lugar, la renta anual de arrendamiento de cinco años en el centro al aire libre es de 30 000 $, en el centro comercial cerrado es de 50 000 $ y en un lugar retirado es de 10 000 $. La probabilidad las ventas de 5 años estén por debajo del promedio se estima en 0.3, la probabilidad en el promedio es de 0.5, y de que estén por encima del promedio es de 0.2. El personal de mercadotecnia a preparado la siguientes proyecciones de recuperación para cinco años para cada resultado posible: VENTAS

Centro al Aire Libre

Centro Cerrado

Lugar Retirado

Por debajo del promedio

100 000

200 000

50 000

Promedio

200 000

400 000

100 000

Por encima del promedio

400 000

600 000

300 000

Utilice la matriz de ganancias para calcular a mano la decisión óptima y la ganancia asociada, usando cada uno de los siguientes criterios e ignorando cualquier flujo de efectivo después de cinco años: a) b) c) d) e) f)

Máxi - Max Maxi - Min Hurwicz (con α=0.6) Savage Aplique también el criterio de bayes. Laplace

SOLUCION 1.- Decisor: Los Dueños de FastFoods 2.- Alternativas:

a1 : Construir en el centro al aire libre. a2 : Construir en el centro cerrado. a3 : Construir en un lugar retirado. 2

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3.- Estados de la naturaleza:

1 : Ventas por debajo del promedio  2 : Ventas en el promedio  2 : Ventas por encima del promedio 4.- Matriz de consecuencias:

1

2

2

a1 a2 a3

-150

-50

150

-150

50

250

-100

-50

150

P( j )

0.3

0.5

0.2

5.- Función de consecuencias: Datos adicionales: Costo de construcción = 100000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro al aire libre = 30000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro cerrado = 50000 $ Arrendamiento de 5 años en un lugar retirado = 10000 $ En miles de $

f (a1 ,1 )  100 – (100+30*5) = -150 f (a1 ,  2 )  200 – (100+30*5) = -50 f (a1 ,  3 )  400 – (100+30*5) = 150

f (a2 , 1 )  200 – (100+50*5) = -150 f (a2 ,  2 )  400 – (100+50*5) = 50 f (a2 , 3 )  600 – (100+50*5) = 250

f (a3 , 1 )  50 – (100+10*5) = -100

f (a3 , 2 )  100 – (100+10*5) = -50 f (a3 , 3 )  300 – (100+10*5) = 150 6.- Probabilidades a priori

P(1 )  0.3 P( 2 )  0.5 P(3 )  0.2

3


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a) Optimista Máxi - Max

a1 a2 a3

1

2

2

Max

-150

-50

150

150

-150

50

250

250

-100

-50

150

150

1

2

2

Min

-150

-50

150

-150

-150

50

250

-150

-100

-50

150

-100

Maxi 250

 a2

b) Pesimista Maxi - Min

a1 a2 a3

Maxi

-100  a3

c) Hurwicz (con α=0.6)

a1 : 0.6 *150  (1  0.6) * (150)  30  Max[ai ]  Maxa2 : 0.6 * 250  (1  0.6) * (150)  90  a2 a : 0.6 *150  (1  0.6) * (100)  10  3 d) Savage

1

2

2

2

a1 a2 a3

-150

-50

150

50

100

100

100

-150

50

250

50

0

0

50

-100

-50

150

0

100

100

100

Max

-100

50

250

1

2

Max

Mini 50  a2

e) Criterio de bayes:

a1 : 150 * 0.3  (50) * 0.5  150 * 0.2  40  Max[ai ]  Maxa2 : 150 * 0.3  50 * 0.5  250 * 0.2  30  a2 a : 100 * 0.3  (50) * 0.5  150 * 0.2  25  3 f) Criterio de Laplace

 1 a1 : 3 ((150)  (50)  (150))  16.67  1  Max[ai ]  Max a2 : ((150)  50  250)  50  a2 3   1 a3 : 3 (100  (50)  150)  0 

4

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3.- Una compañía que elabora un analgésico se encuentra ante la alternativa de realizar la compra de la materia prima básica. Esta es una droga que debe importarse y puede comprarse de dos formas distintas: encargando al extranjero el envío con cuatro meses de anticipación al invierno a un precio de $ 200 por toneladas, u ordenar en el extranjero los pedidos con un mes de anticipación al invierno con un recargo de $ 25 por tonelada si se compran 4 toneladas y $ 75 por tonelada si la compra es de una cantidad mayor. En el caso de elegirse la primera alternativa y resultar insuficiente la cantidad pedida para satisfacer la demanda, se deberán realizar compras durante el invierno a los proveedores de la competencia en el mercado nacional, debiéndose pagar $ 350 por la primera tonelada que se compre y $ 550 por las siguientes. La compañía se ha impuesto la restricción de no dejar demanda insatisfecha pues ello le arrancaría una pérdida de mercado tan importante que se le ha asignado un costo infinito. Si se sabe con precisión que la demanda, si el invierno es suave, implicará un consumo de materia prima de 4 toneladas, 5 si el invierno es normal y 6 si es riguroso. No se puede atribuir ninguna probabilidad objetiva a cada uno de los estados de la naturaleza. Las materias primas que han sido compradas, pero que no se utilizan son inútiles para ser empleadas al año siguiente o en otro producto, por lo tanto su valor de salvamento es cero. a) Armar la matriz de decisiones. b) Cuál sería la decisión recomendada según todos los criterios vistos en clases (para el criterio de Hurwicz usar un coeficiente de optimismo = 0.8) c) Cuál de los criterios recomendaría a la compañía? Justifique su respuesta. SOLUCIÓN 1.- Decisor: La compañía 2.- Alternativas: Al principio parece que fueran solo dos alternativas Importar del extranjero con 4 meses de anticipación. Importar del extranjero con 1 mes de anticipación. Pero no nos indica que cantidad respecto a la demanda (4, 5, 6 ton.) por tanto las alternativas respecto a la demanda serán: a1 : Importar 4 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación.

a2 : Importar 5 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación. a3 : Importar 6 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación. a4 : Importar 4 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación. a5 : Importar 5 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación. a6 : Importar 6 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Invierno suave con demanda de 4 ton.

 2 : Invierno normal con demanda de 5 ton.  3 : Invierno riguroso con demanda de 6 ton.


a1 a2 a3

a4 a5 a6

1 = 4

2 = 5

3 = 6

800

1150

1700

1000

1000

1350

1200

1200

1200

900

1250

1800

1375

1375

1725

1650

1650

1650

5

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5.-Funcion de consecuencias: Datos - En el caso que se importe con 4 meses de anticipación: Precio de compra 200 $/ton. - En el caso que se importe con 1 mes de anticipación: Precio de compra 200 $/ton con un recargo de 25$/ton. si se compran 4 toneladas y 75$/ton. si la compra es de una cantidad mayor.

f (a1;1 ) = 4*200 = 800 f (a1; 2 ) = 4*200 + 1*350 = 1150 f (a1;3 ) = 4-200 + 1*350 +1*550 = 1700 f (a2 ;1 ) = 5*200 = 1000 f (a2 ; 2 ) = 5*200 = 1000 f (a2 ;3 ) = 5*200+1*350 = 1350 f (a3 ;1 ) = 6*200 = 1200 f (a3 ; 2 ) = 6*200 = 1200 f (a3 ;3 ) = 6*200 = 1200 f (a4 ;1 ) = 4*225 = 900 f (a4 ; 2 ) = 4*225 + 1*350 = 1250 f (a4 ;3 ) = 4*225 + 1*350 +1*550 = 1800 f (a5 ;1 ) = 5*275 = 1375 f (a5 ; 2 ) = 5*275 = 1375 f (a5 ;3 ) = 5*275+1*350 = 1725 f (a6 ;1 ) = 6*275 = 1650 f (a6 ; 2 ) = 6*275 = 1650 f (a6 ;3 ) = 6*275 = 1650 Como la matriz es de costos nuestro objetivo será minimizar costos. Criterio optimista Mini - Min

a1 a2 a3

a4 a5 a6

1 = 4

2 = 5

3 = 6

Min

Mini

800

1150

1700

800

800  a1

1000

1000

1350

1000

1200

1200

1200

1200

900

1250

1800

900

1375

1375

1725

1375

1650

1650

1650

1650

Bajo el criterio optimista se recomienda elegir la alternativa

a1

6

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Criterio pesimista o de Wald Mini – Max

a1 a2 a3 a4 a5 a6

1 = 4

2 = 5

3 = 6

Max

800

1150

1700

1700

1000

1000

1350

1350

1200

1200

1200

1200

900

1250

1800

1800

1375

1375

1725

1725

1650

1650

1650

1650

Bajo el criterio pesimista o de Wald se recomienda elegir la alternativa

Mini

1200  a3

a3

Hurwicz (con α=.8)

a1 : 0.8 * 800  (1  0.8) *1700  980  a1 a : 0.8 *1000  (1  0.8) *1350  1070  2 a3 : 0.8 *1200  (1  0.8) *1200  1200 Min[ai ]  Min  a4 : 0.8 * 900  (1  0.8) *1800  1080 a5 : 0.8 *1375  (1  0.8) *1725  1445  a6 : 0.8 *1650  (1  0.8) *1650  1650 Bajo el criterio de Hurwicz se debe elegir la alternativa

a1

Savage

1 = 4

2 = 5

3 = 6

1 = 4

2 = 5

3 = 6

Max

800

1150

1700

0

150

500

500

1000

1000

1350

200

0

150

200

1200

1200

1200

400

200

0

400

900

1250

1800

100

250

50

250

1375

1375

1725

575

375

175

575

a6

1650

1650

1650

850

650

450

850

Min

800

1000

1200

a1 a2 a3 a4 a5

Bajo el criterio de Savage elegir la alternativa

a2

7

Min

200 

a2

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Criterio de Laplace

 1 a1 : 3 (800  1150  1700)  1216.67  a : 1 (1000  1000  1350)  1116.67  a 2  2 3  1 a3 : (1200  1200  1200)  1200  3 Min[ai ]  Min  a : 1 (900  1250  1800)  1316.67  4 3  1 a5 : (1375  1375  1725)  1491.67 3   1 a6 : (1650  1650  1650)  1650 3  Bajo el criterio de Laplace elegir la alternativa a2 Conclusión Se debe elegir la alternativa a2 porque representa el menor costo 4.- Un fabricante de productos desea conocer el número de unidades que desea fabricar cada día, tiene dos empleados: un obrero calificado al que se le paga Bs. 85 por día y un chanquista que gana Bs 70 por día, por otra parte en gastos diarios fijos (pagan impuestos, alquiler, movilizaciones, etc.) se eleva a 300 Bs/mes. El fabricante puede vender como regazo los artículos que genera al final de cada día a Bs. 2 cada una. El precio de venta de cada artículo es de 6 Bs. El fabricante ha observado que para fabricar 500 o más artículos por día, el obrero calificado debe trabajar horas extra que mejoran su salario de 20 Bs. Además calcula que un cliente no satisfecho le causa un perjuicio que estima en 5 Bs. por artículo. El fabricante ha podido establecer en número de artículos demandados por día que pueden ser 200, 400, 500, 600, 700, 800. Determinar la solución optima para el problema con por lo menos 5 métodos de toma de decisiones. Para Hurwicz α= 0.63 SOLUCION 1.- Decisor: El fabricante. 2.- Alternativas: a1 : Fabricar 200 art/día

a2 : Fabricar 400 art/día a3 : Fabricar 500 art/día a4 : Fabricar 600 art/día a5 : Fabricar 700 art/día

a6 : Fabricar 800 art/día 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Demanda de 200 art/día

 2 : Demanda de 400 art/día  3 : Demanda de 500 art/día  4 : Demanda de 600 art/día  5 : Demanda de 700 art/día  6 : Demanda de 800 art/día 8

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1

2

3

4

5

6

a1 a2

1035

35

- 465

- 965

-1465

-1965

1435

2235

1735

1235

735

235

a3

1615

2415

2815

2315

1815

1315

a4

1815

2615

3015

3415

2915

2415

a5

2015

2815

3215

3615

4015

3515

a6

2215

3015

3415

3815

4215

4615

5.- Función de consecuencias: Costos: Obrero calificado = 85 Bs/día Obrero calificado si fabrica más de 500 artículos/día 85 Bs/día + 20 Bs/día = 105 Bs/día. Chanquista = 70 Bs/día. Costo fijo = 300 Bs/mes = 10 Bs/día. Costo cliente insatisfecho = 5 Bs/Artículo Precios de venta Pv. regazo= 2 Bs/día Pv. normal= 6 Bs/día

f (a1 ,1 )  200*6 – (85+70+10) = 1035 f (a1 ,  2 )  200*6 – (85+70+10 + 200*5) = 35

f (a1 ,  3 )  200*6 – (85+70+10 + 300*5) = - 465 f (a1 , 4 )  200*6 – (85+70+10 + 400*5) = -965 f (a1 ,  5 )  200*6 – (85+70+10 + 500*5) = -1465 f (a1 ,  6 )  200*6 – (85+70+10 + 600*5) = - 1965 f (a2 , 1 )  (200*6+200*2) – (85+70+10) = 1435 f (a2 ,  2 )  400*6 – (85+70+10) = 2235

f (a2 , 3 )  400*6 – (85+70+10 + 100*5) = 1735 f (a2 ,  4 )  400*6 – (85+70+10 + 200*5) = 1235 f (a2 ,  5 )  400*6 – (85+70+10 + 300*5) = 735 f (a2 ,  6 )  400*6 – (85+70+10 + 400*5) = 235 f (a3 , 1 )  (200*6+300*2) – (105+70+10) = 1615 f (a3 , 2 )  (400*6+100*2) – (105+70+10) = 2415 f (a3 , 3 )  500*6 – (105+70+10) = 2815 f (a3 , 4 )  500*6 – (105+70+10 + 100*5) = 2315 f (a3 ,  5 )  500*6 – (105+70+10 + 200*5) = 1815 f (a3 , 6 )  500*6 – (105+70+10 + 300*5) = 1315 9

SIS -2610 “A”



f (a4 ,1 )  (200*6+400*2) – (105+70+10) = 1815 f (a4 , 2 )  (400*6+200*2) – (105+70+10) = 2615

f (a4 ,  3 )  (500*6+100*2) – (105+70+10) = 3015 f (a4 , 4 )  600*6 – (105+70+10) = 3415 f (a4 ,  5 )  600*6 – (105+70+10 + 100*5) = 2915 f (a4 ,  6 )  600*6 – (105+70+10 + 200*5) = 2415 f (a5 , 1 )  (200*6+500*2) – (105+70+10) = 2015

f (a5 , 2 )  (400*6+300*2) – (105+70+10) = 2815 f (a5 , 3 )  (500*6+200*2) – (105+70+10) = 3215 f (a5 , 4 )  (600*6+100*2) – (105+70+10) = 3615 f (a5 , 5 )  700*6 – (105+70+10) = 4015 f (a5 , 6 )  700*6 – (105+70+10 +100*5) = 3515 f (a6 ,1 )  (200*6+600*2) – (105+70+10) = 2215

f (a6 , 2 )  (400*6+400*2) – (105+70+10) = 3015 f (a6 ,  3 )  (500*6+300*2) – (105+70+10) = 3415 f (a6 , 4 )  (600*6+200*2) – (105+70+10) = 3815

f (a6 ,  5 )  (700*6+100*2) – (105+70+10) = 4215 f (a6 , 6 )  800*6 – (105+70+10) = 4615 Criterio de evaluación: Criterio optimista Maxi-max

1

2

3

4

5

6

Max

a1 a2

1035

35

- 465

- 965

-1465

-1965

1035

1435

2235

1735

1235

735

235

2235

a3

1615

2415

2815

2315

1815

1315

2815

a4

1815

2615

3015

3415

2915

2415

3415

a5

2015

2815

3215

3615

4015

3515

4015

a6

2215

3015

3415

3815

4215

4615

4615

Bajo el criterio optimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa

10

a6

Maxi

4615 

a6

Fabricar 800 art/día

SIS -2610 “A”



Criterio pesimista Maxi-min

1

2

3

4

5

6

Min

a1 a2

1035

35

- 465

- 965

-1465

-1965

-1965

1435

2235

1735

1235

735

235

235

a3

1615

2415

2815

2315

1815

1315

1315

a4

1815

2615

3015

3415

2915

2415

1815

a5

2015

2815

3215

3615

4015

3515

2015

a6

2215

3015

3415

3815

4215

4615

2215

Bajo el criterio pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a6

Maxi

2215 

a6


Criterio de Hurwicz

a1 : 0.63 * (1035)  (1  0.63) * (1965)  75 a : 0.63 * (2235)  (1  0.63) * (235)  1495  2 a3 : 0.63 * (2815)  (1  0.63) * (1315)  2260 Maxai   Max  a4 : 0.63 * (3415)  (1  0.63) * (1815)  2823 a5 : 0.63 * (4015)  (1  0.63) * (2015)  3275  a6 : 0.63 * (4615)  (1  0.63) * (2215)  3727  a6 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a6


Criterio de Laplace

 1 a1 : 6 1035  35  (465)  (965)  (1465)  (1965)   631.67  a : 1 1435  2235  1735  1235  735  235  1268.3  2 6  a3 : 1 1615  2415  2815  2315  1815  1315  2048.3  6 Maxai   Max  a : 1 1815  2615  3015  3415  2915  2415  2698.3  4 6  1 a5 : 2015  2815  3215  3615  4015  3515  3198.3 6   1 a6 : 2215  3015  3415  3815  4215  4615  3548.3  a6 6  Bajo el criterio de Lapace se recomienda al fabricante elegir la alternativa

11

a6


SIS -2610 “A”



5.- Una empresa debe seleccionar una de las cuatro maquinas que dispone para fabricar Q unidades de un determinado producto. Si los costos fijos y variables por unidad producida de cada máquina son: Maquina

Costo Fijo (Bs.) A 100 B 50 C 70 D 180 Y la función de demanda viene dada por la siguiente ecuación:

Costo Variable (Bs.) 6 12 5 8

D= 200 + 50*p donde P son las posibilidades de venta que varían de 0 a 4. Qué decisión recomendaría a la empresa tomando en cuenta todos los criterios de decisión bajo incertidumbre (para el criterio de Hurwicz α=0.3) de todos los criterios cuales que recomendación daría a la empresa justifique su respuesta. SOLUCION 1.- Decisor: La empresa 2.- Alternativas: a1 : Elegir maquina A

a2 : Elegir maquina B

a3 : Elegir maquina C a4 : Elegir maquina D 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Demanda = 200 + 50*0 = 200

 2 : Demanda = 200 + 50*1 = 250  3 : Demanda = 200 + 50*2 = 300  4 : Demanda = 200 + 50*3 = 350  5 : Demanda = 200 + 50*4 = 400


1

2

3

4

5

a1 a2

1300

1600

1900

2200

2500

2450

3050

3650

4250

4850

a3

1070

1320

1570

1820

2070

a4

1780

2180

2580

2980

3380

Matriz de costos 5.- Función de consecuencias: La cantidad Q que se va a producir está en función a la demanda Q = Demanda. f(a;θ) = costo fijo + costo variable*Q

f (a1 ,1 )  100[Bs] + 6[Bs/unid]*200[Unid] = 1300 Bs f (a1 ,  2 )  100[Bs] + 6[Bs/unid]*250[Unid] = 1600 Bs

f (a1 ,  3 )  100[Bs] + 6[Bs/unid]*300[Unid] = 1900 Bs f (a1 , 4 )  100[Bs] + 6[Bs/unid]*350[Unid] = 2200 Bs 12

SIS -2610 “A”



f (a1 ,  5 )  100[Bs] + 6[Bs/unid]*400[Unid] = 2500 Bs

f (a2 , 1 )  50[Bs] + 12[Bs/unid]*200[Unid] = 2450 Bs f (a2 ,  2 )  50[Bs] + 12[Bs/unid]*250[Unid] = 3050 Bs

f (a2 , 3 )  50[Bs] + 12[Bs/unid]*300[Unid] = 3650 Bs f (a2 ,  4 )  50[Bs] + 12[Bs/unid]*350[Unid] = 4250 Bs f (a2 ,  5 )  50[Bs] + 12[Bs/unid]*400[Unid] = 4850 Bs f (a3 , 1 )  70[Bs] + 5[Bs/unid]*200[Unid] = 1070 Bs f (a3 , 2 )  70[Bs] + 5[Bs/unid]*250[Unid] = 1320 Bs f (a3 , 3 )  70[Bs] + 5[Bs/unid]*300[Unid] = 1570 Bs f (a3 , 4 )  70[Bs] + 5[Bs/unid]*350[Unid] = 1320 Bs f (a3 ,  5 )  70[Bs] + 5[Bs/unid]*400[Unid] = 2070 Bs f (a4 ,1 )  180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 1780 Bs f (a4 , 2 )  180[Bs] + 8[Bs/unid]*250[Unid] = 2180 Bs

f (a4 ,  3 )  180[Bs] + 8[Bs/unid]*300[Unid] = 2580 Bs f (a4 , 4 )  180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 2980 Bs f (a4 ,  5 )  180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 3380 Bs Criterio de evaluación: Criterio optimista Mini-min

1

2

3

4

5

min

a1 a2

1300

1600

1900

2200

2500

1300

2450

3050

3650

4250

4850

2450

a3

1070

1320

1570

1820

2070

1070

a4

1780

2180

2580

2980

3380

1780

Bajo el criterio optimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a3

Mini

1070

es decir elegir la maquina C porque

incurre en el menor costo 1070 Bs Criterio pesimista Mini - Max

1

2

3

4

5

Max

a1 a2 a3

1300

1600

1900

2200

2500

2500

2450

3050

3650

4250

4850

4850

1070

1320

1570

1820

2070

2070

a4

1780

2180

2580

2980

3380

3380

Mini

2070

Bajo el criterio pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C porque incurre en el menor costo 2070 Bs.

13

SIS -2610 “A”



Criterio de Hurwicz

a1 : 0.3 * (1300)  (1  0.3) * (2500)  2140 a : 0.3 * (2450)  (1  0.3) * (4850)  4130  2 Minai   Min  a3 : 0.3 * (1070)  (1  0.3) * (2070)  1770  a3  a4 : 0.3 * (1780)  (1  0.3) * (3380)  2900 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C porque incurre en el menor costo 1770 Bs. Criterio de Laplace

 1 a1 : 5 1300  1600  1900  2200  2500  1900  a : 1 2450  3050  3650  4250  4850  3650  2 5 Minai   Min  a : 1 1070  1320  1570  1820  2070  1570  a 3  3 5  1 a4 : 1780  2180  2580  2980  3380  2580 5  Bajo el criterio de Lapace se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C porque incurre en el menor costo 1570 Bs Criterio de Savage

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Max

a1 a2 a3

1300

1600

1900

2200

2500

230

280

330

380

430

430

2450

3050

3650

4250

4850

1380

1730

2080

2430

2780

2780

1070

1320

1570

1820

2070

0

0

0

0

0

0

a4

1780

2180

2580

2980

3380

710

860

1010

1160

1300

1300

Min

1070

1320

1570

1820

2070

Mini

0

Bajo el criterio de Savage se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C Conclusión Según los criterios bajo incertidumbre se recomienda a la empresa elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C

14

SIS -2610 “A”



6.- Una empresa puede optar por fabricar uno de los modelos diferentes de un determinado artículo o ambos, pero debido a las limitaciones de equipo y utillaje, los costos que suponen desarrollar ambos modelos simultáneamente superan la suma de los costos de hacerlo individualmente. Limitaciones en la capacidad productiva hacen que sea imposible fabricar en ambos modelos tantas unidades como pueda absorber el mercado. Los departamentos de producción y ventas de la empresa han efectuado las siguientes estimaciones: a) Los costos (en millones de dólares ) de los diversos modelos son los siguientes : Modelos económicos 2; modelo de lujo 3; ambos el mismo año 6. b) Los gastos generales y administrativos fijos son de 2 millones de dólares. c) Los ingresos por ventas (en millones de dólares), que dependen de cuál sea la coyuntura económica del próximo año, son: modelo económico 12, 6 o 4; modelo de lujo 15, 6 o 0; ambos 18, 12 o 4, según que la economía está en expansión, estabilidad o recesión respectivamente. A la vista de la información anterior determine: La alternativa optima para la empresa según los diferentes criterios de decisión bajo incertidumbre. Para Hurwicz α= 0.45 SOLUCION 1.- Decisor: La empresa 2.- Alternativas: a1 : Fabricar modelo económico (Costo = 2 millones + costo fijo = 2 millones)

a2 : Fabricar modelo de lujo (Costo = 3 millones + costo fijo = 2 millones) a3 : Fabricar ambos modelos (Costo = 36millones + costo fijo = 2 millones) 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Economía en expansión. (12, 15, 18)

 2 : Economía en estabilidad (6, 6, 12)  3 : Economía en recesión (4, 0, 4)


a1 a2 a3

1

2

3

8

2

0

10

1

-5

10

4

-4

Matriz de beneficios 5.- Función de consecuencias: B= Gan. Tot – costos tot

f (a1 ,1 )  12 – (2+2) = 8 millones $ f (a1 ,  2 )  6 – (2+2) = 2 millones $ f (a1 ,  3 )  4 – (2+2) = 0 millones $ f (a2 , 1 )  15 – (3+2) = 10 millones $ f (a2 ,  2 )  6 – (3+2) = 1 millones $ f (a2 , 3 )  0 – (3+2) = -5 millones $

f (a3 , 1 )  18 – (6+2) = 10 millones $ f (a3 , 2 )  12 – (6+2) = 4 millones $ f (a3 , 3 )  4 – (6+2) = -4 millones $ 15

SIS -2610 “A”



Criterio de evaluación: Criterio optimista Maxi - Max

a1 a2 a3

1

2

3

Max

8

2

0

8

10

1

-5

10

10

10

4

-4

10

10

Max

Bajo el criterio optimista puede elegir la alternativa a2 y a3 con un valor esperado de 10 millones de $ Criterio pesimista Mini – min

a1 a2 a3

1

2

3

min

Mini

8

2

0

0

0

10

1

-5

-5

10

4

-4

-4

Bajo el criterio de pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 fabricar ambos modelos Criterio de Hurwicz

a1 : 0.45 * (8)  (1  0.45) * (0)  3.6  a1  Maxai   Maxa2 : 0.45 * (10)  (1  0.45) * (5)  1.75 a : 0.45 * (10)  (1  0.45) * (4)  2.3  3 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa a1 fabricar modelo económico Criterio de Laplace

 1 a1 : 3 8  2  0  3.33  a1  1  Maxai   Max a2 : 10  1  (5)   2 3  1  a3 : 3 10  4  (4)   3.33  a3  Bajo el criterio de Laplace se recomienda elegir entre la alternativa a1 o´ a1 Criterio de Savage

1

2

3

1

2

3

Max

Mini 2

a1 a2 a3

8

2

0

2

2

0

2

10

1

-5

0

3

5

5

10

4

-4

0

0

4

4

Max

10

4

0

Bajo el criterio de Savage se recomienda elegir la alternativa a1 Conclusión Bajo los criterios de decisión bajo incertidumbre se recomienda elegir la alternativa a1

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SIS -2610 “A”



TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 7.- Avon Cosmetics, está considerando la producción de un nuevo jabón líquido para mujer. El precio de venta propuesto es de 1.25 dólares el frasco. Para emprender ese programa se necesita una inversión de 80 000 dólares en costos fijos. Se espera que el nuevo producto tenga una vida de 5 años. El grupo de investigación de mercado ha calculado la demanda anual en la forma siguiente: Demanda 25 000 50 000 75 000 100 000 110 000

Probabilidad 0.05 0.10 0.20 0.30 0.35

SOLUCION 1.- Decisor: Avon Cosmetic 2.- Alternativas: a1 : Producir jabón líquido

a2 : No producir jabón líquido 3.- Estado de la naturaleza:

1 : Demanda 25 000  2 :  5 : Demanda 110 000

Demanda 50 000

 3 : Demanda 75 000  4 :

Demanda 100 000


a1 a2 P( )

1

2

3

4

5

-48 750

-17 500

13 750

45 000

57 500

0

0

0

0

0

0.05

0.10

0.20

0.30

0.35

5.- Función de consecuencia: Datos adicionales Precio de venta = 1.25 $/Frasco Costo fijo de inversión = 80 000$ B= (Gan. Tot.) – (Costos totales) f (a1;1 ) = (25 000*1.25) – (80 000) = -48 750

f (a1; 2 ) = (50 000*1.25) – (80 000) = -17 500 f (a1;3 ) = (75 000*1.25) – (80 000) = 13 750

f (a1; 4 ) = (100 000*1.25) – (80 000) = 45 000 f (a1;5 ) = (100 000*1.25) – (80 000) = 57 500

f (a2 ;1 )  f (a2 ; 2 )  f (a2 ;3 )  f (a2 ; 4 )  f (a2 ;5 )  0 La matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.

a1 : (48750) * 0.05  (17500) * 0.10  (13750) * 0.20  (45000) * 0.30  (57500) * 0.35  32187.5  a1 Maxai   Max a2 : 0 Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda ha avon cosmetic vender el producto con una ganancia esperada 32187.5 $

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SIS -2610 “A”



8.- El Señor Joe williams, un empresario, está considerando comprar uno de los siguientes negocios al menudeo: una tienda de Cámaras LG, una tienda de equipos de computo o una tienda de aparatos electrónicos, todos con aproximadamente la misma inversión inicial. Para la tienda de cámaras, estima que hay una probabilidad de 20% de que las ventas de desempeño sea el promedio, lo que tendría como resultado una recuperación anual de $20000. Estos valores e información parecida para las tiendas de equipo de cómputo y de aparatos electrónicos se resumen en las siguientes tablas de ganancias y de probabilidades.

Cámaras LG Equipo Electrónica

Tabla de ganancias. DESEMPEÑO DE VENTAS Promedio Bueno Excelente $20000 $75000 $100000 $30000 $60000 $100000 $25000 $75000 $150000

Tabla de probabilidades. DESEMPEÑO DE VENTAS Promedio Bueno Excelente Cámaras LG 0.20 0.60 0.20 Equipo 0.15 0.70 0.15 Electrónica 0.05 0.60 0.35 SOLUCIÓN 1.- Decisor: El Señor Joe Williams. 2.- Alternativas: a1 : Comprar tienda de cámaras LG

a2 : Comprar tienda de equipos de cómputo. a3 : Comprar tienda de aparatos electrónicos 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Promedio  P(1 )  0.20; 0.15; 0.05

 2 : Bueno  P( 2 )  0.60; 0.70; 0.60  3 : Excelente  P(3 ) = 0.20; 0.15; 0.35

4.- Matriz de consecuencias: DESEMPEÑO DE VENTAS

a1 a2 a3

1

2

3

$20000

$75000

$100000

$30000

$60000

$100000

$25000

$75000

$150000

5.- Función de consecuencias: Son los mismos valores de la tabla inicial. a) Identifique la decisión óptima. La matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.

a1 : 20000 * 0.2  75000 * 0.60  100000 * 0.2  69000  Maxai   Maxa2 : 30000 * 0.15  60000 * 0.70  100000 * 0.15  61500 a : 25000 * 0.05  75000 * 0.60  150000 * 0.35  98750  a 3  3 El Señor Joe Williams debe elegir

a1 comprar la tienda electrónica con un valor esperado de $98750 18

SIS -2610 “A”



b) Diseñe un árbol de decisión para este problema.

20000 69000

0.20

1

 2 0.60

3

a1 61500

a2

0.20

98750

100000 30000

1 0.15

3

a3

75000

1

3

2

0.70

0.15 0.05

 2 0.60

0.35

60000 100000 25000 75000 150000

9.- El agricultor Jones debe determinar si siembra maíz o trigo. Si siembra maíz y el clima es cálido, obtiene 8000$; Si siembra maíz y el clima es frio, obtiene 5000$. Si siembra trigo y el clima es cálido, obtiene 7000$; si siembra trigo y el clima es frio, obtiene 6500$. En el pasado, 40% de los años han sido fríos y 60% han sido cálidos. Antes de sembrar, Jones puede pagar 600 dólares por un pronóstico de clima emitido por un experto. Si en realidad el año es frio, hay 90% de posibilidad de que el meteorólogo prediga un año frio. Si el año en realidad es cálido, hay 80% de posibilidad de que el meteorólogo prediga un año cálido ¿Cómo puede maximizar Jones sus ganancias esperadas? También obtenga el costo de la información perfecta. SOLUCIÓN 1.- Decisor: El banco de crédito rural. 2.- Alternativas: a1 : Sembrar maíz.

a2 : Sembrar trigo. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Clima frio  P(1 )  40% o´0.40

 2 : Clima cálido  P( 2 )  60% ó 0.60 4.- Matriz de consecuencias: a1 a2 P( )

1

2

5000

8000

6500

7000

0.4

0.6

19

SIS -2610 “A”



5.- Función de consecuencias:

f (a1 ,1 ) = 5000; f (a1 , 2 ) = 8000; f (a2 ,1 ) = 6500; f (a2 , 2 ) = 7000 C= 600$ Tabla de información adicional. Los eventos o resultados del estudio por el experto serán: X1 = Predicción de año frio. X2 = Predicción de año cálido. Por tanto la tabla de información adicional es:

2

1 X1 X2

0.9 0.1 1

0.2 0.8 1

1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.

a1 : 5000 * 0.4  8000 * 0.6  6800  a1 Maxai    a2 : 6500 * 0.4  7000 * 0.3  6800  a2 Según el criterio de bayes sin experimentación ambas alternativas son aceptables. 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori

P( i / X ) 

P( X /  i ) * P( i ) m

 P( X /  k 1

Para X1:

P(1 / X 1) 

P( X 1/ 1 ) m

 P( X 1 /  k 1

P( 2 / X 1) 

k

 )

k

) P( k )

0.9 * 0.40 0.36   0.75 0.9 * 0.40  0.2 * 0.60 0.48

0.2 * 0.60  0.25 0.48

Para X2

P(1 / X 2) 

P ( X 2 / 1 ) m

 P( X 2 /  k 1

P( 2 / X 2) 

k

 )

0.1* 0.40 0.040   0.0769 0.1* 0.40  0.8 * 0.60 0.52

0.8 * 0.60  0.9231 0.52

P(X1)= 0.48 y P(X2)=0.52 Actualizando la tabla:

1

X1 X2

2

0.75 0.25 1 0.0769 0.9231 1 Probabilidades a posteriori

20

SIS -2610 “A”



X1 = Predicción de año frio.

a1 : 5000 * 0.75  8000 * 0.25  5750 Maxai    a2 : 6500 * 0.75  7000 * 0.25  6625  a2 Restando el costo de la información

a1 : 5000 * 0.75  8000 * 0.25  5750  600  5150 Maxai    a2 : 6500 * 0.75  7000 * 0.25  6625  600  6025  a2 Si el pronóstico de experto es una año frio el agricultor debe elegir la alternativa esperado de 6025$

a2 sembrar trigo con un valor

X2 = Predicción de año cálido.

a1 : 5000 * 0.0769  8000 * 0.9231  7169.23  a1 Maxai    a2 : 6500 * 0.0769  7000 * 0.9231  6361.54 Restando el costo de la información

a1 : 5000 * 0.0769  8000 * 0.9231  7169.23  600  6569.23  a1 Maxai    a2 : 6500 * 0.0769  7000 * 0.9231  6361.54  600  5761.54 Si el pronóstico de experto es una año cálido el agricultor debe elegir la alternativa esperado de 6569.23$ Costo de información perfecta

C = E[f(a,θ)]- E[I] E[f(a,θ)]= 6800

1

2

a1 a2

5000

8000

6500

7000

Max

6500

8000

E[I] = 6500*0.4 + 8000*0.6 = 7400

C = 6800- 7400 =-600 C = 600

21

a1 sembrar maíz con un valor

SIS -2610 “A”



10.- Una nucleoeléctrica está por decidir si construye una planta nuclear o no en Diablo Canyon o en Roy Rogers City. El costo de construir la planta es de 10 millones de dólares en Diablo y 20 millones de dólares en Roy Rogers City. Sin embargo, si la compañía construye en Diablo y ocurre un terremoto durante los cinco años siguientes, la construcción se terminará y la compañía perderá 10 millones de dólares (y todavía tendrá que construir un planta en Roy Rogers City). A priori, la compañía cree que las probabilidades de que ocurra un terremoto es Diablo durante los cinco años siguientes son de 20%. Por 1 millón de dólares, se puede contratar un geólogo para analizar la estructura de la falla en Diablo Canyon. El predecirá si ocurre un terremoto o no. El historial del geólogo indica que predecirá la ocurrencia de un terremoto 95% de las veces y la no ocurrencia 90% de las veces. ¿La compañía debe contratar al geólogo? Que recomienda el procedimiento bayesiano con y sin experimentación y cual el valor de la información perfecta SOLUCIÓN 1.- Decisor: La nucleoelectrica 2.- Alternativas: a1 : Construir la planta en diablo canyon (inversión 10 millones)

a2 : Construir la planta en Roy Rogers City (inversión 20 millones) 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Hay terremoto 

P(1 )  20% o´0.20  2 : No hay terremoto  P( 2 )  80% ó 0.80


a1 a2 P( )

1

2

-10

10

20

20

0.20

0.80

Matriz en millones $ 5.- Función de consecuencias:

f (a1 ,1 ) = -10; f (a1 , 2 ) = 10; f (a2 ,1 ) = 20; f (a2 , 2 ) = 20 C= 1 millón de $ Tabla de información adicional. Los eventos o resultados del estudio por el geologo serán: X1 = Ocurre terremoto. X2 = No ocurre terremoto. Por tanto la tabla de información adicional es:

X1 X2

1

2

0.95 0.05 1

0.10 0.90 1


a1 : 10 * 0.20  10 * 0.80  6 Maxai    a2 : 20 * 0.20  20 * 0.80  20  a2 Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda a la empresa elegir la alternativa en Roy Rogers City

22

a2 construir la planta

SIS -2610 “A”



2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori

P( i / X ) 

P( X /  i ) * P( i ) m

 P( X /  k 1

Para X1:

P(1 / X 1) 

P( X 1 / 1 )

 P( X 1 /  k 1

P( 2 / X 1)  Para X2

P(1 / X 2) 

k

)

) P( k )

0.95 * 0.20 0.19   0.7037 0.95 * 0.20  0.10 * 0.80 0.27

0.1* 0.80  0.2963 0.27

P( X 2 / 1 )



m

 P( X 2 /  k 1

P( 2 / X 2) 



m

k

k

)

0.05 * 0.20 0.01   0.0137 0.05 * 0.20  0.9 * 0.80 0.73

0.90 * 0.80  0.9863 0.73


2

1

X1 X2


X1 = Ocurre terremoto.

a1 : 10 * 0.7037  10 * 0.2963  4.0741 Maxai    a2 : 20 * 0.7037  20 * 0.2963  20  a2 Restando el costo de la información

a1 : 10 * 0.7037  10 * 0.2963  4.0741  1  5.0741 Maxai    a2 : 20 * 0.7037  20 * 0.2963  20  1  19  a2 Si el estudio del geólogo dice que va ocurrir un terremoto la empresa debe elegir la alternativa en Roy Rogers City

a2 Construir la planta

X2 = No ocurre terremoto.

a1 : 10 * 0.0137  10 * 0.9863  9.7260 Maxai    a2 : 20 * 0.0137  20 * 0.9863  20  a2 Restando el costo de la información

a1 : 10 * 0.0137  10 * 0.9863  9.7260  1  8.7260 Maxai    a2 : 20 * 0.0137  20 * 0.9863  20  1  19  a2 Si el estudio del geólogo dice que no va ocurrir un terremoto la empresa debe elegir la alternativa planta en Roy Rogers City

23

a2 Construir la

SIS -2610 “A”



Costo de información perfecta

C = E[f(a,θ)]- E[I] E[f(a,θ)]= 20

1

2

a1 a2

-10

10

20

20

Max

20

20

E[I] = 20*0.2 + 20*0.8 = 20

C = 20-20 = 0

C=0 11.- Un cliente acudió a su banco por un préstamo anual de 50000 dólares a una tasa de interés de 12%. Si el banco no aprueba el préstamo, los $50000 se invertirán en bonos que obtienen un rendimiento anual de 6%. Sin más información, el banco considera que hay 4% de probabilidades de que el cliente incumpla por completo el pago del préstamo. Si el cliente no paga, el banco pierde $50000. A un costo de 500$, el banco puede investigar el registro de crédito del cliente y suministrar una recomendación favorable o desfavorable. Por experiencia se sabe que p(recomendación favorable/el cliente no incumple) = 77/96 p(recomendación favorable/el cliente incumple) = 1/4 ¿Cómo puede maximizar el banco sus ganancias esperadas? SOLUCIÓN 1.- Decisor: El banco 2.- Alternativas: a1 : Aprobar el préstamo al cliente.

a2 : No aprobar el préstamo al cliente e invertir en bonos 3.- Estados de la naturaleza: 1 : El cliente cumple con el pago  P(1 )  96% o´0.96

 2 : El cliente no cumple con el pago  P( 2 )  4% ó 0.04


a1 a2 P( )

1

2

56000

-50000

53000

53000

0.96

0.04

5.- Función de consecuencias:

f (a1 ,1 ) = 50000 + (50000*0.12) = 56000; f (a1 , 2 ) = -50000 f (a2 ,1 ) = 50000 + (50000*0.06) = 53000; f (a2 , 2 ) = 50000 + (50000*0.06) = 53000 C= 500$ Tabla de información adicional. Los eventos o resultados del estudio serán: X1 = Estudio favorable para el cliente X2 = Estudio no favorable para el cliente.

24

SIS -2610 “A”


Por tanto la tabla de información adicional es:

2

1 X1 X2


77/96 19/96 1

1/4 3/4 1


a1 : 56000 * 0.96  (50000) * 0.04  51760 Maxai    a2 : 53000 * 0.96  53000 * 0.04  53000  a2 Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda al banco elegir la alternativa al cliente e invertir en bonos. 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori P( X /  i ) * P( i ) P( i / X )  m  P( X /  k ) P( k )

a2 no aprobar el préstamo

k 1

Para X1:

P(1 / X 1) 

P( X 1 / 1 )

 P( X 1 /  k 1

P( 2 / X 1)  Para X2

P(1 / X 2) 

k

)

(77 / 96) * 0.96 0.77   0.987 (77 / 96) * 0.96  (1 / 4) * 0.04 0.78

(1 / 4) * 0.04  0.013 0.78

P( X 2 / 1 )



m

 P( X 2 /  k 1

P( 2 / X 2) 



m

k

)

(19 / 96) * 0.96 0.19   0.864 (19 / 96) * 0.96  (3 / 4) * 0.04 0.22

(3 / 4) * 0.04  0.136 0.22


2

1

X1 X2


X1 = Estudio favorable para el cliente.

a1 : 56000 * 0.987  (50000) * 0.013  54622  a1 Maxai    a2 : 53000 * 0.987  53000 * 0.013  53000 Restando el costo de la información

a1 : 56000 * 0.987  (50000) * 0.013  54622  500  54122  a1 Maxai    a2 : 53000 * 0.987  53000 * 0.013  53000  500  52500 Si el estudio es favorable para el cliente el banco debe elegir la alternativa

a1 Aprobar el préstamo al cliente.

X2 = Estudio no favorable para el cliente.

a1 : 56000 * 0.864  (50000) * 0.136  41584 Maxai    a2 : 53000 * 0.864  53000 * 0.136  53000  a2 25

SIS -2610 “A”



Restando el costo de la información

a1 : 56000 * 0.864  (50000) * 0.136  41584  500  41084 Maxai    a2 : 53000 * 0.864  53000 * 0.136  53000  500  52500  a2 Si el estudio no es favorable para el cliente el banco debe elegir la alternativa invertir en bonos ARBOL DE DECISION

a2 No aprobar el préstamo al cliente e 56000 0.96

51760

53000

1

2

a1

0.04 -50000

a2

53000 1

53000

0.04

53000

io

2

0.96

Si

n

es

tu d

56000 54643.2

53781.7

54643.2

Co n es d tu io

X1

2

a1

0.987 0.013 -50000

a2

53781.7

1

53000

53000

1

0.78

2

0.987

0.013 53000 56000

54281.69-500 X2 41546.6

0.22

53000

a1

1

2

0.864

0.136 -50000

a2

53000 1

2

53000 0.864 0.136 53000

26

SIS -2610 “A”



12.- El banco de crédito rural se ve ante la situación de prestar o no 100 millones a una nueva cooperativa campesina. El banco clasifica a sus clientes en riesgo: bajo, medio y alto, su experiencia indica que 15% de sus clientes son de bajo riesgo, 30% de mediano, y 55% de alto. Si se extiende el crédito a un cliente de riesgo bajo el banco genera una utilidad de 15 millones sobre los 100 millones que presta; si es de riesgo mediano se obtendrá 4 millones de utilidad y un cliente de riesgo alto ocasiona pérdidas por 20 millones. Estudios más detallados para tipificar un cliente le cuestan al banco 1,5 millones de dólares. Experiencias anteriores de dichos estudios arrojan la siguiente situación. Conclusión de los estudios Riesgo bajo Riego mediano Riesgo alto

Situación real del cliente % Riesgo mediano 10 50 40

Riesgo bajo 50 30 20

Riesgo alto 10 40 50

a.- ¿Cual la recomendación del proceso Bayesiano de decisión sin estudios detallados de la clientela? b.- ¿Y con estudios detallados? c.- Desarrolle el árbol de decisión. SOLUCIÓN 1.- Decisor: El banco de crédito rural. 2.- Alternativas: a1 : Prestar 100 millones a la nueva cooperativa.

a2 : No prestar 100 millones a la nueva cooperativa. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : La cooperativa campesina es de bajo riesgo.  P(1 )  15% o´0.15 (Utilidad de 15 millones sobre los 100 millones)  2 : La cooperativa campesina es mediano riesgo.  P( 2 )  30% ó 0.30 (Utilidad de 4 millones sobre los 100 millones)

 3 : La cooperativa

campesina es alto riesgo.

 P(3 )  55% ó 0.55

(Ocasiona una pérdida de 20 millones) 4.- Matriz de consecuencias:

a1 a2 P( )

1

2

3

115

104

80

100

100

100

0.15

0.30

0.55

Matriz en millones 5.- Función de consecuencias:

f (a1 ,1 ) = 100+15 = 115 millones f (a1 , 2 ) = 100+4 = 104 millones f (a1 ,3 ) = 100–20 = 80 millones Si no se presta el dinero a2 el banco mantiene los 100 millones sin importar si la cooperativa es de riesgo bajo, mediano o alto.

f (a2 ,1 ) = f (a2 , 2 ) = f (a2 ,3 ) = 100 millones

C= 1.5 millones a.- ¿Cual la recomendación del proceso Bayesiano de decisión sin estudios detallados de la clientela? Al hablar de sin estudios quiere decir sin experimentación además es una matriz de beneficios por tanto hay que hallar el máximo valor esperado. Opt. = Max E[ f (ai ; j )]

27

SIS -2610 “A”



a1 : 115 * 0.15  104 * 0.30  80 * 0.55  92.450 Maxai   Max  a2 : 100 * 0.15  100 * 0.30  100 * 0.55  100  a2 Bajo el criterio de decisión sin experimentación el banco debe elegir la alternativa 2 ( a2 ) es decir no debe prestar el dinero a la cooperativa campesina. b.- ¿Y con estudios detallados? Con estudios detallados quiere decir con experimentación de la tabla de información

X1 X2 X3 ∑

1

2

3

50 30 20 100

10 50 40 100

10 40 50 100

X1 X2 X3 ∑

1

2

3

0.50 0.30 0.20 1

0.10 0.50 0.40 1

0.10 0.40 0.50 1

X1=Los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo bajo. X2 = Los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo mediano. X3 = Los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo alto. Hallando las probabilidades A posteriori

P( i / X ) 

P( X /  i ) * P( i ) m

 P( X /  k 1

k

) P( k )

Para X1:

P(1 / X 1) 

P( X 1 / 1 )



m

 P( X 1 /  k 1

k

)

0.5 * 0.15 0.075   0.4687 0.5 * 0.15  0.1* 0.30  0.1* 0.55 0.16

P( 2 / X 1) 

0.1* 0.30  0.1875 0.16

P(3 / X 1) 

0.1* 0.55  0.3437 0.16

Para X2:

P(1 / X 2) 

P( X 2 / 1 )



m

 P( X 2 /  k 1

k

)

0.3 * 0.15 0.045   0.1084 0.3 * 0.15  0.5 * 0.30  0.4 * 0.55 0.415

P( 2 / X 2) 

0.5 * 0.3  0.3614 0.415

P(3 / X 2) 

0.4 * 0.55  0.5301 0.415 28

SIS -2610 “A”



Para X3

P(1 / X 3) 

P( X 3 / 1 )



m

 P( X 3 /  k 1

k

)

0.2 * 0.15 0.03   0.0706 0.2 * 0.15  0.4 * 0.30  0.5 * 0.55 0.425

P( 2 / X 3) 

0.4 * 0.3  0.2824 0.425

P(3 / X 3) 

0.5 * 0.55  0.6470 0.425

Actualizando la tabla:

2

1

3

X1 0.4687 0.1875 0.3437 X2 0.1084 0.3614 0.5301 X3 0.0706 0.2824 0.6470 Probabilidades a posteriori X1= Si los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo bajo.

a1 : 155 * 0.4687  104 * 0.1875  80 * 0.3437  1.5  99.397  a1 Maxai   Max a2 : 100 * 0.4687  100 * 0.1875  100 * 0.3437  1.5  98.5 Se recomienda al banco elegir la alternativa de 99.397 millones.

a1 : Prestar los 100 millones a la nueva cooperativa con un valor esperado

X2= Si los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo medio.

a1 : 155 * 0.1084  104 * 0.3614  80 * 0.5301  1.5  90.9596 Maxai   Max a2 : 100 * 0.1084  100 * 0.3614  100 * 0.5301  1.5  98.5  a2 Se recomienda al banco elegir la alternativa

a2 : no prestar los 100 millones a la nueva cooperativa.

X3= Si los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo alto.

a1 : 155 * 0.0706  104 * 0.2824  80 * 0.6470  1.5  87.749 Maxai   Max a2 : 100 * 0.0706  100 * 0.2824  100 * 0.6470  1.5  98.5  a2 Se recomienda al banco elegir la alternativa

a2 : no prestar los 100 millones a la nueva cooperativa.

c.- Desarrolle el árbol de decisión.

29

SIS -2610 “A”



ARBOL DE DECISION 115

 1  0 .4687 100.931

2  0.1875 100.931

a1

104

 3  0.3437

80

a2

100

 1  0 . 1084

115

92.41 X1=0.16 100

100.15-1.5=98.65

 2  0 . 3614

a1

104

 3  0 . 5301

X2=0.415

80

a2

100

 1  0 . 0706 89.23

es

tu d

io

X3=0.425

115

a1

 2  0.2824

104

C

on

100

98.65

a2

Sin es tud io

92.45 92.45

a1

a2 100

30

1  0.15

100+15= 115

2  0.30

100+4=104

 3  0.55

100-20=80

 3  0 . 6470 100

80

SIS -2610 “A”



13.- Una empresa está considerando la contratación de un ingeniero industrial para el diseño de su sistema logístico. De acuerdo con las previsiones realizadas, un buen diseño reportaría a la empresa empresas un beneficio de 500 000€, mientras que si el diseño no resulta adecuado la empresa obtendrá una pérdida de 100 000€. La gerencia de la empresa, evaluando la preparación y capacidad del Ingeniero, ha estimado en un 70% las posibilidades existentes de obtener un buen diseño del sistema logístico de la empresa. Una consultoría ha desarrollado un test de aptitudes, fiable en un 90%, para determinar el éxito potencial del candidato. El costo de este test es de 5000€. Se pide: a) El árbol de decisión del problema. b) La estrategia óptima para la empresa. c) El costo que como máximo estará dispuesto a pagar la empresa por el test de aptitud. d) El valor esperado de la información perfecta ¿Qué indica este valor? SOLUCIÓN 1.- Decisor: La empresa. 2.- Alternativas: a1 : Contratar al ingeniero industrial.

a2 : No contratar al ingeniero industrial.. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Realizar un buen diseño.  P(1 )  70% o´ 0.70 (Reporta beneficios de 500 000€)  2 : Realizar un mal buen diseño.  P( 2 )  30% ó 0.30 (Obtendrá una pérdida de 100 000€ ) 4.- Matriz de consecuencias:

a1 a2 P( )

1

2

500 000

-100 000

0

0

0.70

0.30

5.- Función de consecuencias: f (a1 ,1 ) = 500 000€ f (a1 , 2 ) = -100 000€ Si no se contrata al ingeniero industrial la empresa no gana ni pierde nada f (a2 ,1 ) = f (a2 , 2 ) = 0 C= 500€ Tabla de información adicional. El test determina el éxito o fracaso del ingeniero además este test es fiable en solo 90% es decir que con un 90 % de fiabilidad va determinar el éxito y también con un 90 % de fiabilidad va determinar el fracaso del profesional. Los eventos o resultados por el estudio serán: X1 = Éxito del profesional. X2 = Fracaso del profesional. Por tanto la tabla de información adicional es:

1 X1 X2

0.9 0.1 1

31

2 0.1 0.9 1

SIS -2610 “A”



a) El árbol de decisión del problema. 1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.

a1 : 500000 * 0.7  (100000) * 0.3  320000  a1 Maxai    a2 : 0 * 0.7  0 * 0.3  0 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori

P( i / X ) 

P( X /  i ) * P( i ) m

 P( X /  k 1

Para X1:

P(1 / X 1) 

P( X 1/ 1 ) m

 P( X 1 /  k 1

P( 2 / X 1) 

P ( X 2 / 1 ) m

 P( X 2 /  k 1

P( 2 / X 2) 

)

) P( k )

0.9 * 0.70 0.63   0.95455 0.9 * 0.70  0.1* 0.30 0.66

0.1* 0.30  0.04545 0.66

Para X2

P(1 / X 2) 

k



k

k

 )

0.1* 0.70 0.07   0.20588 0.1* 0.70  0.9 * 0.30 0.34

0.9 * 0.3  0.79412 0.34


1

X1 X2

2


X1 = Éxito del profesional.

a1 : 500000 * 0.95455  (100000) * 0.04545  472727.27  a1 Maxai    a2 : 0 * 0.95455  0 * 0.04545  0 Restando el costo de la información

a1 : 500000 * 0.95455  (100000) * 0.04545  472727.27  500  472227.27  a1 Maxai    a2 : 0 * 0.95455  0 * 0.04545  0  500  500 X2 = Fracaso del profesional.

a1 : 500000 * 0.20588  (100000) * 0.79412  23529.412  a1 Maxai    a2 : 0 * 0.20588  0 * 0.79412  0 Restando el costo de la información

a1 : 500000 * 0.20588  (100000) * 0.79412  23529.412  500  23029.412  a1 Maxai    a2 : 0 * 0.20588  0 * 0.79412  0  500  500 32

SIS -2610 “A”



ARBOL DE DECISION 500000 320000

0.70

1

2

a1 320000

0.30 0

stud Si n e

320000

io

1

a2

2

-100000

0.70

0

0.30 0

Con

472727.27

0.95455

estud

1

io

a1

2

472727.27

0.04545

a2

0.66

500000

0

1

-100000

0

0.95455

X1

2

319499.99

0

0.04545 X2

319999.999 - 500

23529.412

0.34

1 23529.412

a1

2

0.20588

500000

0.70412 -100000

0

a2

1

0.20588

0

2 0.70412

33

0

SIS -2610 “A”



b) La estrategia óptima para la empresa. La empresa no debe hacer el estudio y contratar al ingeniero industrial. c) El costo que como máximo estará dispuesto a pagar la empresa por el test de aptitud.

1

2

a1 a2 P( )

500 000

-100 000

0

0

0.70

0.30

Max

500 000

0

E[I] = 500 000* 0.70 + 0* 0.30 = 350 000 € d) El valor esperado de la información perfecta ¿Qué indica este valor?

C = E[f(a,θ)] – E[I] C = 320 000 – 350 000 = -30000 C = 30000 € C< C Si la empresa desea puede realizar los estudios. 14.- La compañía de computadoras, fábrica de chips de memorias en lotes de diez. Según su experiencia, la compañía sabe que el 80% de todos los lotes contiene el 10% (uno de cada diez) de los chips es defectuoso, y el 20% de todos los lotes contiene 50%( 5 de cada 10) de chips defectuosos. Sí un lote bueno, esto es, con el 10% de defectos se manda a la siguiente etapa de producción, los costos de proceso en que se incurra serán de 1000 $us. Si un lote malo, o sea con 50% de chips defectuosos, se manda a la siguiente etapa de producción, se incurre en 4000 $us de costos. La compañía tiene también la opción de reprocesar un lote a un costo de 1000 $us, es seguro que un lote reprocesado será después un lote bueno. Otra opción es que, por un costo de 100 $us, la compañía pueda probar un chip de cada lote para tratar de determinar si es defectuoso ese lote. Determine como puede la compañía reducir al mínimo el costo total esperado por lote, también calcule el VEIM y el VEIP, plantee el problema como una matriz costo beneficio, y como un árbol de decisión. SOLUCIÓN 1.- Decisor: La compañía de computadoras. 2.- Alternativas: a1 : Enviar el lote sin reprocesar.

a2 : Enviar el lote reprocesado (Costo por reprocesar 1000 $) 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Lote bueno  P(1 )  80% o´ 0.80 (Un lote bueno genera un costo de 1000 $)  2 : Lote malo.  P( 2 )  20% ó 0.20 (Un lote malo genera un costo de 4000 $) 4.- Matriz de consecuencias:

a1 a2 P( )

1

2

1000

4000

2000

2000

0.80

0.20

34

SIS -2610 “A”



5.- Función de consecuencias: f (a1 ,1 ) = Si se envía un lote bueno al siguiente nivel y este es bueno entonces genera un costo de 1000 $

f (a1 , 2 ) = Si se envía un lote malo al siguiente nivel y este en verdad es malo, genera un costo de 4000 $ f (a2 ,1 ) = Si un lote se envía a reprocesar y este es bueno por reprocesar de nuevo este lote genera un costo de

1000 $, además como sigue siendo bueno seguirá generando un costo de 1000 $ al enviar al siguiente nivel = 1000+1000 = 2000 $ f (a2 , 2 ) = Si un lote se envía a reprocesar y este es malo, por reprocesar este lote cuesta 1000 $, una vez reprocesado este lote malo pasa a ser un lote bueno, por tanto un lote bueno en el siguiente nivel seguirá generando un costo de 1000 $ = 1000 +1000 = 2000 $ Tabla de información adicional C= 100 $ Los eventos o resultados por el estudio serán: X1 = Defectuoso. X2 = No defectuoso. X1 X2 ∑

1

2

0.1 0.9 1

0.5 0.5 1

P(X1/ 1 ) = La probabilidad de que sea defectuoso un chip del lote bueno es: 10% o 0.1 P(X1/  2 )= La probabilidad de que sea defectuoso un chip del lote malo es 50% o 0.5 Por complemento P(X2/ 1 ) = 0.9; P(X2/  2 ) = 0.5 1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de costos por tanto el objetivo será minimizar.

a1 : 1000 * 0.8  4000 * 0.2  1600  a1 Minai    a 2 : 2000 * 0.8  2000 * 0.2  2000 Bajo el criterio de bayes sin experimentación se recomienda a la empresa elegir la alternativa reprocesar.) porque genera el menor costo esperado. 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori

P( i / X ) 

P( X /  i ) * P( i ) m

 P( X /  k 1

Para X1:

P(1 / X 1) 

P( X 1 / 1 ) m

 P( X 1 /  k 1

P( 2 / X 1) 

k

 )

k

) P( k )

0.1* 0.8 0.08   0.4444 0.1* 0.8  0.5 * 0.20 0.18

0.5 * 0.20  0.5556 0.18

35

a1 (Enviar el lote sin

SIS -2610 “A”


Para X2

P(1 / X 2) 

P( X 2 / 1 ) m

 P( X 2 /  k 1

P( 2 / X 2) 

k

 )


0.9 * 0.80 0.72   0.8780 0.9 * 0.80  0.5 * 0.20 0.82

0.5 * 0.20  0.1219 0.82


1

X1 X2

2


X1 = Defectuoso.

a1 : 1000 * 0.4444  4000 * 0.5556  2666.67 Minai    a2 : 2000 * 0.4444  2000 * 0.5556  2000  a2 Sumando el costo de la información

a1 : 1000 * 0.4444  4000 * 0.5556  2666.67  100  2766.67 Minai    a2 : 2000 * 0.4444  2000 * 0.5556  2000  100  2100  a2 Si el resultado sale defectuoso elegir la alternativa a2 (Enviar el lote reprocesado) con un costo esperado de 2100 $ X2 = No defectuoso.

a1 : 1000 * 0.8780  4000 * 0.1219  1365.85  a1 Minai    a2 : 2000 * 0.8780  2000 * 0.1219  2000 Sumando el costo de la información

a1 : 1000 * 0.8780  4000 * 0.1219  1365.85  100  1465.85  a1 Minai    a2 : 2000 * 0.8780  2000 * 0.1219  2000  100  2100 Si el resultado sale no defectuoso elegir la alternativa 1465.85 $

a1 (Enviar el lote sin reprocesar) con un costo esperado de

Calcule el VEIM y el VEIP VEIM = E[I]

1

2

a1 a2 P( )

1000

4000

2000

2000

0.80

0.20

Min

1000

2000

VEIM = E[I] = 1000*0.8 + 2000*0.2 = 1200$ VEIP =

C = E[f(a;θ)] – E[I] = 1600 – 1200 = 400$ 36

SIS -2610 “A”



ARBOL DE DECISIÓN 1000 1600

1

0.80

2

a1 1600 2000

Si n cci o n p s in e

1579.997

0.20

1

a2

2

0.80

4000 2000

0.20 2000

Con estud

2666.67

io

a1

0.4444

1

2

2000

0.5556

a2

0.18

1000

2000

1

4000

0.4444

2000

0.5556

2000

0.8780

1000

X1

2

1579.997

X2 1365.85

1479.997 + 100

1

0.82

a1

2

1365.85

0.1219 4000

a2

2000

1

2

37

0.8780

0.1219

2000

2000

SIS -2610 “A”



15.- El departamento de ciencias de decisión intenta determinar cuál de dos maquinas copiadoras comprar. Ambas maquinas cumplirán las necesidades del departamento durante los diez años siguientes. La maquina 1 cuesta 2000$ y tiene un acuerdo de mantenimiento que por una cuota anual de 150$, cubre todas las reparaciones. La maquina 2 cuesta 3000$ y su costo de mantenimiento anual es una variable aleatoria. En el presente, el departamento de ciencias de la decisión cree que hay 40% de probabilidad de que el costo de mantenimiento anual de la máquina 2 sea de 0$, 40% de probabilidad de que sea 100$ y 20% de probabilidades de que sea 200$. Antes de que se tome la decisión de comprar, el departamento puede pedir a un técnico capacitado que evalué la calidad de la maquina 2. Si el técnico cree que la maquina 2 es satisfactoria, hay 60% de probabilidad de que su costo de mantenimiento anual sea 0$ y 40% de probabilidad de que sea 100$. Si el técnico cree que la maquina 2 es insatisfactoria, hay 20% de probabilidad de que el costo de mantenimiento anual sea 0$, 40% de que sea 100$ y 40% de que sea 200$. Si hay 50% de probabilidades de que el técnico de un informe satisfactorio. Si el técnico cobre 40$ ¿Que debe hacer el departamento de ciencias de la decisión? SOLUCION 1.- Decisor Departamento de las ciencias de decisión. 2.- Alternativas o acciones.

a1 : Comprar maquina 1 a2 : Comprar maquina 2 3.- Estados de la naturaleza

1 : Costo de mantenimiento de la maquina 2 sea de  2 : Costo de mantenimiento de la maquina 2 sea de  3 : Costo de mantenimiento de la maquina 2 sea de

 P(1 ) = 40% 100$ año.  P( 2 ) = 40% 2000$ año.  P( 3 ) = 20% 0$ año.

4.- Matriz de consecuencias.

a1 a2 P( )

1

2

3

3500

3500

3500

3000

4000

5000

0.4

0.4

0.2

5.- Función de consecuencia

f (a1;1 ) = f (a1; 2 ) = f (a1;3 ) = 2000[$] + 150[$/año]*10[año] = 3500 $ f (a2 ;1 ) = 3000[$] + 0[$/año]*10[año] = 3000 $ f (a2 ; 2 ) = 3000[$] + 100[$/año]*10[año] = 4000 $ f (a2 ;3 ) =3000[$] + 200[$/año]*10[año = 5000 $] Como la matriz representa costos entonces el objetivo será minimizar costos.

38

SIS -2610 “A”



Criterio Bayesiano sin consultar al técnico

a1 : 3500 * 0.4  3500 * 0.4  3500 * 0.2  3500  a1 Min[ai ]  Min  a2 : 3000 * 0.4  4000 * 0.4  5000 * 0.2  3800 Bajo el criterio Bayesiano sin experimentación se debe elegir la alternativa

a1

Criterio Bayesiano con consulta al técnico C = 40$ X1= Informe satisfactorio. P(X1) = 0.5 X2= Informe insatisfactorio. P(X2) = 0.5

1

2

3

∑

X1 0.6 0.4 0 1 X2 0.2 0.4 0.4 1 Tabla de probabilidades a posteriori En este problema no es necesario calcular las probabilidades a posteriori ya nos da por tanto solo hay que calcular el valor esperado según los resultados del técnico. Para X1:

a1 : 3500 * 0.6  3500 * 0.4  3500 * 0  3500  40  3460$ Min[ai ]  Min  a 2 : 3000 * 0.6  4000 * 0.4  5000 * 0  3400  40  3360$  a 2 Bajo el criterio Bayesiano con experimentación se debe elegir la alternativa

a2 representa el menor costo esperado.

Para X2:

a1 : 3500 * 0.2  3500 * 0.4  3500 * 0.4  3500  40  3460$  a1 Min[ai ]  Min  a2 : 3000 * 0.2  4000 * 0.4  5000 * 0.4  4200  40  3160$ Bajo el criterio Bayesiano con experimentación se debe elegir la alternativa

39

a1 representa el menor costo esperado.

SIS -2610 “A”



ARBOL DE DECISION 3500 0.4 3500

a1

1

2

0.4

3500

3 0.2

3500

3500 3000

co té ns cn u l t ic a o de

l

a2

38001

0.4

 2 0.4

4000

S

in

3 0.2

5000

3500

3410 0.6



3500 1

a1

2

3

0.4

3500

0 3500

Co

3400

lta su on o n c é cn i c t

3000

de l

a2

3400

1

0.6

2

0.4

0.5

3

X1

0

3410

4000

5000 3500

3500

3450-40=3410

1

 2 0.4

X2 0.5

0.2

3500

3

a1

0.4

3500

3500 3000

a2

4160

1

0.2

 2 0.4

3 40

0.4

4000

5000

SIS -2610 “A”



ARBOLES DE DECISION 16.- Una empresa tiene la posibilidad de presentarse a un concurso público para la adjudicación del servicio internacional de correo aéreo, que le supondría un beneficio de 5 millones de euros al año. Para presentarse al concurso debe preparar un proyecto que le costara medio millón de euros, considerando que la probabilidad de conseguir el contrato es de un 70%. La empresa no posee aviones suficientes para cubrir el servicio por lo que en el caso de conseguir el contrato, debe decidir si compra aviones que le faltan, o los alquila a una empresa nacional o extranjera. El coste de cada opción planteada es de 3, 1.5, y 1.3 millones de euros respectivamente. La empresa sabe que tiene una probabilidad de un 50% de conseguir una subvención estatal del 50% del importe de la compra, de un 30% del precio del alquiler si el proveedor es una empresa nacional y de un 20% si es extranjera. En este último caso, también tiene que tener en cuenta que el pago se realizara en dólares y que una devaluación del euro supondrá una perdida adicional de 100 000 euros. Según la situación actual del mercado monetario, esta empresa considera que la probabilidad de una devaluación del euro es de un 75% a) ¿Qué decisión deberá tomar la empresa? SOLUCION 1.- Decisor La empresa 2.- Alternativas o acciones. a1 : Se presenta.

a2 : No se presenta. a3 : Comprar aviones. a4 : Alquilar los aviones a una empresa nacional. a5 : Alquilar los aviones a un empresa extranjera. 3.- Estados de la naturaleza

1 : Consigue el contrato.  P(1 ) = 70%  2 : No consigue el contrato.  P( 2 ) = 30%  3 : Conseguir subvención.  P(3 ) = 50%  4 : No conseguir subvención.  P( 4 ) = 50%  5 : Ocurre devaluación del euro.  P(5 ) = 75 %  6 . No ocurre devaluación del euro.  P( 6 ) = 25% Datos adicionales Ganancias = 5 millones de euros al año Costo del proyecto = 500 000 euros Costo de compra de aviones = 3 millones de euros Costo de alquiler de aviones a una empresa nacional = 1.5 millones de euros Costo de alquiler de aviones a una empresa extranjera = 1.3 millones de euros Costo de perdida por de valuación de euro = 100 000 euros Por la complejidad del problema se resolverá por árbol de decisión.

41

2128500

a1

a2

2128500



1

0

0.7

2 0.3

3255000

-500000

a 3

a4 a5

2250000

3225000

3255000

3

4

3 

4

3 4

0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5

5000000 – 1500000 – 500000 = 3000000

5000000 – 3000000 – 500000 = 1500000 5000000 – 1050000 – 500000 = 3450000

0.75 0.25

0.25

0.75

5

6

5

5000000 – 1300000 – 500000 – 100000 = 3100000

5000000 – 1040000 – 500000 = 3460000

5000000 – 1040000 – 500000 – 100000 = 3360000

5000000 – 1500000 – 500000 = 3000000 3385000

3125000

6

5000000 - 1300000 – 500000 = 3200000

42

Aux. : Egr. Challapa Llusco Gustavo INVESTIGACION OPERATIVA II [email protected] SIS -2610 “A”

ARBOL DE DECISION

SIS -2610 “A”



17.- Una compañía está considerando el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. Este, en caso de realizarse, se haría en dos etapas: "Santiago" y "Regiones". Aun no se ha decidido en donde se lanzara primero el producto, y dependiendo del resultado de la primera etapa se decidirá si se realiza la segunda o no. Se cree que si el producto es lanzado primero en "Santiago", la primera etapa tendrá éxito con probabilidad 0,6. En cambio si se lanza primero en "Regiones" la probabilidad de éxito de esta será solo 0,4. De acuerdo a los antecedentes que se tienen, un producto que es lanzado primero en "Santiago", y tiene éxito, es exitoso en "Regiones" el 80% de las veces, mientras que cuando el producto fracasa en "Santiago" solo el 20% de las veces resulta ser exitoso en "Regiones". Por otro lado, un producto que es lanzado primero en "Regiones", y tiene éxito, es exitoso en "Santiago" el 40% de las veces, mientras que cuando el producto fracasa en "Regiones" solo el 5% de las veces resulta ser exitoso en "Santiago". Si el producto resulta exitoso en "Santiago" la compañía obtendrá un beneficio neto de 40 millones de pesos. Si por el contrario resulta un fracaso, tendrá perdidas por $ 15 millones. Además, si el producto resulta exitoso en "Regiones" se obtendrá un beneficio neto de $ 25 millones, mientras que si resulta un fracaso, la compañía experimentara perdidas por $ 20 millones. Todo lo anterior independiente de la etapa del lanzamiento. Con los datos entregados construya y resuelva un árbol de decisión que ayude a la compañía a encontrar la política de lanzamiento óptima para el nuevo producto. SOLUCION 1.- Alternativas o acciones

a1 = Lanzar en la primera etapa en Santiago. a2 = Lanzar en la primera etapa en Regiones. a3 = Lanzar en la segunda etapa en Regiones. a4 = No lanzar en la segunda etapa en Regiones. a5 =Lanzar en la segunda etapa en Santiago. a6 = No lanzar en la segunda etapa en Santiago. 2.- Estado de la naturaleza

1 = Éxito en Santiago en la primera etapa. P(1 ) = 0.6  2 = Fracaso en Santiago en la primera etapa. P( 2 ) = 0.4 P(3 ) = 0.4  3 = Éxito en Regiones en la primera etapa.  4 = Fracaso en Regiones en la primera etapa. P( 4 ) = 0.6  5 = Éxito en Regiones en la segunda etapa si es exitoso en Santiago.  6 = Fracaso en Regiones en la segunda etapa si es exitoso en Santiago  7 = Éxito en Regiones en la segunda etapa si es fracaso en Santiago.  8 = Fracaso en Regiones en la segunda etapa si es fracaso en Santiago  9 = Éxito en Santiago en la segunda etapa si es exitoso en Regiones 10 = Fracaso en Santiago en la segunda etapa si es exitoso en Regiones 11 = Éxito en Santiago en la segunda etapa si es fracaso en Regiones 12 = Fracaso en Santiago en la segunda etapa si es fracaso en Regiones

43

P(5 ) = 0.8 P( 6 ) = 0.2 P( 7 ) = 0.2 P(8 ) = 0.8

P(9 ) =0.4 P(10 ) =0.6 P(11) =0.05 P(12 ) =0.95

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ARBOL DE DECISION 25

a3

16

a4

0.6

0.8

5

16

6 0

0.2

5

0.8

6

1

-20

0

0.2

0

9.6 -11

2

0.4

a3

0

a1

a4

7 8

0

9.6

7 8

7

a5

7

a2 3

0.8

-20

0.2

0

0.8

9

10

25

0.2

0

0.4

40

0.6 -15

0.4

a6

2.8

0

9

10

4

0

0.4

0.6 0

-12.25 0.6

a5

0

11

12

0.05

40

0.95 -15

a6

0

11

0.05

0

12 0.95 0

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18.- Un popular concurso de televisión funciona de la siguiente manera: en primer lugar se pregunta al concursante una cuestión acerca de literatura, si contesta bien ganara 1000€ y podrá seguir jugando, pero si falla deberá abandonar el concurso, sin premio alguno. El concursante estima que tiene una probabilidad del 80% de acertar la pregunta. En caso de acertar podrá decidir entre responder a una segunda cuestión, esta vez sobre ciencia y tecnología, o retirarse con el premio acumulado hasta ese momento, si decide jugar y acierta obtendrá un premio adicional de 3000€ pero si falla perderá todo lo ganado hasta ese momento. El concursante cree que sus probabilidades de acertar esta cuestión son de un 60%. Finalmente en caso de acertar esta segunda pregunta, el concursante podrá optar entre seguir jugando y contestar a una tercera pregunta sobre deportes o plantarse o quedarse con el dinero acumulado. Si decide jugar y acierta obtendría un premio adicional de 5000€, pero si falla perderá todo lo acumulado hasta entonces. El jugador estima que su probabilidad de acertar esta tercera pregunta es de un 40% Determine la estrategia optima para el jugador, de manera que maximice el valor esperado de este juego y determine cuál será dicha cantidad. SOLUCIÓN 1.- Decisor: El participante. 2.- Alternativas: a1 : Jugar

a2 : No jugar o retirarse 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Acertar a la pregunta  Para la primera pregunta P(1 )  80% o´0.80, para la segunda pregunta

P(1 )  60% o´0.60, para la tercera pregunta P(1 )  40% o´ 0.40  2 : No acertar a la pregunta  Para la primera pregunta P( 2 )  20% ó 0.20, para la segunda pregunta P( 2 )  40% ó 0.40, para la tercera pregunta P( 2 )  60% ó 0.60 1000+3000+5000=9000 9000

1200

1

0.40

0.60 1000+3000=4000

2

a1

-4000

4000

1

2000

2

a1 2000

1

4000

0.40

1000

1600

a2

0.60

-1000

a2

0.80

1000

1600

0.20

a1

2 0

a2 0

Cálculos adicionales 9000*0.4+ (-4000)*0.6 = 1200 4000*0.6+ (-1000)*0.4 = 2000 2000*0.8 + 0*0.2 = 1600 Respuesta. Al jugador se recomienda que solo juegue hasta la segunda pregunta después que se retire con un premio acumulado de 4000 €

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FUNCION DE UTILIDAD 19.- Considere tres administradores de una hacienda que tenga que escoger entre comprar 500, 600 u 800 reses de engorde. La utilidad del engorde depende si la estación de cosecha de grano es buena, regular o pobre. La convicción personal de los administradores sobre estos eventos es de que hay 0.40 de posibilidad de una buena estación, 0.20 de posibilidad de una estación regular y 0.40 de posibilidad de una estación pobre. Las utilidades netas totales en miles de dólares se muestran en la tabla de pagos:

1 : Buena

 2 : Regular

 3 : Mala

20

10

6

25

12

0

34

16

-11

0.4

0.2

0.4

a1 : Comprar 500 a2 : Comprar 600 a3 : Comprar 800 P( )

a) Para cada administrador, calcule la utilidad esperada para cada acción y escoja la acción óptima ¿Si la función de utilidad de los administradores es adversa al riesgo, neutral al riesgo y propensa al riesgo? Se tiene: E = [34; 25; 20; 16; 12; 10; 6; 0; -11] Considerando probabilidades subjetivas, asociadas a los eventos.

Para una función de utilidad neutral al riesgo:

a1 a2 a3 P( )

1

2

3

0.68

0.46

0.36

0.8

0.5

0.25

1

0.6

0

0.4

0.2

0.4

46

SIS -2610 “A”



a1 : 0.68 * 0.4  0.46 * 0.2  0.36 * 0.4  0.508  Maxai   Maxa2 : 0.8 * 0.4  0.5 * 0.2  0.25 * 0.4  0.52  a2 a : 1* 0.4  0.6 * 0.2  0 * 0.4  0.52  a 3  3 Si los administradores fueran neutrales al riesgo puede elegir entre comprar 600 u 800 reses. Para una función adversa al riesgo

a1 a2 a3 P( )

1

2

3

0.98

0.91

0.8

0.99

0.921

0.6

1

0.97

0

0.4

0.2

0.4

a1 : 0.98 * 0.4  0.91* 0.2  0.8 * 0.4  0.894  a1  Maxai   Maxa2 : 0.99 * 0.4  0.921* 0.2  0.6 * 0.4  0.8202 a : 1* 0.4  0.97 * 0.2  0 * 0.4  0.594  3 Si los administradores fueran adversos al riesgo puede elegir comprar 500 reses Para una función propensa al riesgo

a1 a2 a3 P( )

1

2

3

0.25

0.12

0.09

0.46

0.15

0.05

1

0.21

0

0.4

0.2

0.4

a1 : 0.25 * 0.4  0.12 * 0.2  0.09 * 0.4  0.16  Maxai   Maxa2 : 0.46 * 0.4  0.15 * 0.2  0.05 * 0.4  0.234 a : 1* 0.4  0.21* 0.2  0 * 0.4  0.442  a 3  3 Si los administradores fueran propensos al riesgo puede elegir comprar 800 reses

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20. La empresa de cervecería "Cordillera" puede capturar el 10% del mercado con una campaña de promoción muy sencilla; 30% con una campaña media, si las empresas competidoras no cambian su nivel de promoción. Existe un 20% de probabilidad de que estas empresas no cambien su nivel de promoción. Existen un 45% de probabilidad de que las empresas competidoras incrementen su nivel de publicidad por lo que la empresa "La Autentica" puede ver afectada su participación de mercado con solo el 5%. Existe otro 35% de probabilidad de que los competidores disminuyan su nivel de publicidad con lo que la empresa "La Autentica" puede incrementar su porción de mercado en un 40%. Por último, si la empresa "La Autentica" lanza una gran promoción, vera aumentado su mercado en 35%(s¡ los competidores no hacen nada), 30%(s¡ ellos también cambian el nivel de publicidad) y 50%(si bajan los competidores el nivel de publicidad). La campaña de publicidad sencilla cuesta medio millón de pesos; la media 2 millones de pesos y la de gran envergadura 4 millones de pesos. La función de ganancias de la empresa " Cordillera " es igual a: G=10000000(%del mercado) - 2000 Se pide: a) El árbol de decisión correspondiente. b) La decisión óptima que tomaría la empresa frente a las políticas de mercado de sus competidores. c) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad propensa al riesgo? d) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad adversa al riesgo? SOLUCIÓN 1.- Decisor: La cervecería cordillera. 2.- Alternativas: a1 : Campaña muy sencilla.

 C=500 000 pesos

a2 : Campaña media.  C = 2 000 000 pesos. a3 : Campaña grande.  C = 4 000 000 pesos 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Otras empresas no cambian su nivel de publicidad

 P(1 )  20% ó 0.20  2 : Otras empresas incrementan su nivel de publicidad  P( 2 )  45% ó 0.45  3 : Otras empresas disminuyen su nivel de publicidad  P(3 )  35% ó 0.35

4.- Matriz de consecuencias: Matriz de porcentajes

a1 a2 a3 P( )

1

2

3

10%

5%

40%

30%

5%

40%

35%

30%

50%

0.2

0.45

0.35

1

2

3

498

-2

3498

998

-1502

1998

-502

-1002

998

0.2

0.45

0.35

Matriz de consecuencias:

a1 a2 a3 P( )

En miles de pesos

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SIS -2610 “A”



5.- Función de consecuencias: B= Ganancias totales – Costos totales

f (a1 ,1 ) = (10 000 000*(0.1) - 2000) – 500 000 = 498 000 f (a1 , 2 ) = (10 000 000*(0.05) -2000) – 500 000 = -2000 f (a1 ,3 ) = (10 000 000*(0.04) -2000) – 500 000 = 3 498 000 f (a2 ,1 ) = (10 000 000*(0.3) -2000) – 2 000 000 = 998 000 f (a2 , 2 ) = (10 000 000*(0.05) -2000) – 2 000 000 = -1 502 000 f (a2 ,3 ) = (10 000 000*(0.4) -2000) – 2 000 000 = 1 998 000

f (a3 ,1 ) = (10 000 000*(0.35) -2000) – 4 000 000 = -502 000 f (a3 , 2 ) = (10 000 000*(0.30) -2000) – 4 000 000 = - 1 002 000 f (a3 ,3 ) = (10 000 000*(0.50) -2000) – 4 000 000 = 998 000 a) El árbol de decisión correspondiente ARBOL DE DECISION

1323

1

0.2

2 3

0.45

-2

0.35 3498

a1 1323

498

223

a2

1

0.2

 2 0.45

3

a3

998 -1502

0.35 1998

-202

1 0.2  2 0.45

3

-502 -1002

0.35 998

49

SIS -2610 “A”



b) La decisión óptima que tomaría la empresa frente a las políticas de mercado de sus competidores. La cervecería cordillera debe elegir la alternativa a1 es decir realizar una campaña muy sencilla porque obtiene el mayor valor esperado 1 323 000 pesos. c) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad propensa al riesgo? d) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad adversa al riesgo?

50

SIS -2610 “A”



Propenso al riesgo f()

3498 1

1998 0.41

998 0.22

998 0.22

498 0.19

0.4285

-2 0.09

-502 0.04

1

0.2

2 3

0.45

-1502 0

0.19

0.09

0.35 1

a1 0.4285

-1002 0.01

0.1875

a2

1

0.2

 2 0.45

3

a3

0.22 0

0.35 0.41

0.0895

1 0.2  2 0.45

3

0.04 0.01

0.35 0.22

Si la cervecería cordillera tiene una actitud propensa al riesgo se recomienda elegir la alternativa una campaña muy sencilla

51

a1 es decir realizar

SIS -2610 “A”



Aversión al riesgo f()

3498 1

1998 0.99

998 0.98

998 0.98

498 0.96

0.9515

-2 0.91

-502 0.48

1

0.2

2 3

0.45

-1502 0

0.96

0.91

0.35 1

a1 0.9515

-1002 0.35

0.5425

a2

1

0.2

 2 0.45

3

a3

0.98 0

0.35 0.99

0.5965

1 0.2  2 0.45

3

0.48 0.35

0.35 0.98

Si la cervecería cordillera tiene una actitud con aversión al riesgo se recomienda elegir la alternativa realizar una campaña muy sencilla

52

a1 es decir

Toma de Decisiones Ejercicios Resueltos Final

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