SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
EJERCICIOS RESUELTOS TOMA DE DECISONES BAJO COMPLETA INCERTIDUMBRE 1.-Los directivos de pensión Planners. Inc. Deben escoger uno de los tres fondos mutuos comparables en el cual invertir un millón de dólares. El personal del depto. de investigación ha estimado la recuperación esperada en un año para cada uno de los fondos mutuos, basándose en un desempeño pobre, moderado, o excelente del índice Dow Jones, de la siguiente manera: Desempeño del Recuperación esperada Dow Jones Fondo1 $ Fondo2 $ Fondo3 $ Pobre 50000 25000 40000 Moderada 75000 50000 60000 Excelente 100000 150000 175000 Utilice la matriz de ganancias para calcular la decisión óptima y la ganancia asociada utilizando cada uno de los criterios siguientes: a) Laplace b) Mínimax c) Hurwicz (con =0.4) SOLUCION 1.- Decisor: Los directivos de planners 2.- Alternativas o acciones: a1 : Elegir Fondo 1.
a 2 : Elegir Fondo 2. a3 : Elegir Fondo 3. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Pobre.
2 : Moderado. 2 : Excelente. 4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 a3
1
2
2
50000
75000
100000
25000
50000
150000
40000
60000
175000
a) Criterio de Laplace
1 a1 : 3 50000 70000 100000 75000 1 Max[ai ] Max a : (25000 50000 150000) 75000 3 1 a3 : (40000 60000 175000) 91666.66 a3 Bajo el criterio de Laplace se debe elegir la alternativa a3
1
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b) Míni - max
a1 a2 a3
1
2
2
50000
75000
25000 40000
max
Mini
100000
10000
10000 a1
50000
150000
15000
60000
175000
175000
Bajo el criterio Mini – Max elegir la alternativa a1 c) Hurwicz (con =0.4)
a1 : 0.4 *100000 (1 0.4) * 50000 70000 Max[ai ] Maxa2 : 0.4 *150000 (1 0.4) * 25000 75000 a3 : 0.4 *175000 (1 0.4) * 40000 94000 a3 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda elegir la alternativa a3 2.- Los Dueños de FastFoods Inc., están tratando de decidir si construyen una nueva sucursal en un centro comercial abierto, en un centro comercial cerrado o en un lugar remoto del que los analistas opinan que tienen un gran potencial de crecimiento. Además del costo de construcción $ 100 000, independiente del lugar, la renta anual de arrendamiento de cinco años en el centro al aire libre es de 30 000 $, en el centro comercial cerrado es de 50 000 $ y en un lugar retirado es de 10 000 $. La probabilidad las ventas de 5 años estén por debajo del promedio se estima en 0.3, la probabilidad en el promedio es de 0.5, y de que estén por encima del promedio es de 0.2. El personal de mercadotecnia a preparado la siguientes proyecciones de recuperación para cinco años para cada resultado posible: VENTAS
Centro al Aire Libre
Centro Cerrado
Lugar Retirado
Por debajo del promedio
100 000
200 000
50 000
Promedio
200 000
400 000
100 000
Por encima del promedio
400 000
600 000
300 000
Utilice la matriz de ganancias para calcular a mano la decisión óptima y la ganancia asociada, usando cada uno de los siguientes criterios e ignorando cualquier flujo de efectivo después de cinco años: a) b) c) d) e) f)
Máxi - Max Maxi - Min Hurwicz (con α=0.6) Savage Aplique también el criterio de bayes. Laplace
SOLUCION 1.- Decisor: Los Dueños de FastFoods 2.- Alternativas:
a1 : Construir en el centro al aire libre. a 2 : Construir en el centro cerrado. a3 : Construir en un lugar retirado.
2
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OPERATIVA II
3.- Estados de la naturaleza:
1 : Ventas por debajo del promedio 2 : Ventas en el promedio 2 : Ventas por encima del promedio 4.- Matriz de consecuencias:
1
2
2
a1 a2 a3
-150
-50
150
-150
50
250
-100
-50
150
P( j )
0.3
0.5
0.2
5.- Función de consecuencias: Datos adicionales: Costo de construcción = 100000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro al aire libre = 30000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro cerrado = 50000 $ Arrendamiento de 5 años en un lugar retirado = 10000 $ En miles de $
f (a1 ,1 ) 100 – (100+30*5) = -150 f (a1 , 2 ) 200 – (100+30*5) = -50 f (a1 , 3 ) 400 – (100+30*5) = 150 f (a2 , 1 ) 200 – (100+50*5) = -150 f (a2 , 2 ) 400 – (100+50*5) = 50 f (a2 , 3 ) 600 – (100+50*5) = 250 f (a3 , 1 ) 50 – (100+10*5) = -100 f (a3 , 2 ) 100 – (100+10*5) = -50 f (a3 , 3 ) 300 – (100+10*5) = 150 6.- Probabilidades a priori
P(1 ) 0.3 P( 2 ) 0.5 P(3 ) 0.2
3
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OPERATIVA II
Aux. : Egr.
a) Optimista Máxi - Max
a1 a2 a3
1
2
2
Max
-150
-50
150
150
-150
50
250
250
-100
-50
150
150
1
2
2
Min
-150
-50
150
-150
-150
50
250
-150
-100
-50
150
-100
Maxi
250
a2
b) Pesimista Maxi - Min
a1 a2 a3
Maxi
-100 a3
c) Hurwicz (con α=0.6)
a1 : 0.6 *150 (1 0.6) * (150) 30 Max[ai ] Max a2 : 0.6 * 250 (1 0.6) * (150) 90 a a3 : 0.6 *150 (1 0.6) * (100) 10 d) Savage
1
2
2
1
2
2
a1 a2 a3
-150
-50
150
50
100
100
100
-150
50
250
50
0
0
50
-100
-50
150
0
100
100
100
Max
-100
50
250
Max
Mini 50 a 2
e) Criterio de bayes:
a1 : 150 * 0.3 (50) * 0.5 150 * 0.2 40 Max[a i ] Max a2 : 150 * 0.3 50 * 0.5 250 * 0.2 30 a a3 : 100 * 0.3 (50) * 0.5 150 * 0.2 25 f) Criterio de Laplace
1 a1 : 3 ((150) (50) (150)) 16.67 1 Max[ai ] Maxa2 : ((150) 50 250) 50 a2 3 1 a3 : 3 (100 (50) 150) 0
4
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3.- Una compañía que elabora un analgésico se encuentra ante la alternativa de realizar la compra de la materia prima básica. Esta es una droga que debe importarse y puede comprarse de dos formas distintas: encargando al extranjero el envío con cuatro meses de anticipación al invierno a un precio de $ 200 por toneladas, u ordenar en el extranjero los pedidos con un mes de anticipación al invierno con un recargo de $ 25 por tonelada si se compran 4 toneladas y $ 75 por tonelada si la compra es de una cantidad mayor. En el caso de elegirse la primera alternativa y resultar insuficiente la cantidad pedida para satisfacer la demanda, se deberán realizar compras durante el invierno a los proveedores de la competencia en el mercado nacional, debiéndose pagar $ 350 por la primera tonelada que se compre y $ 550 por las siguientes. La compañía se ha impuesto la restricción de no dejar demanda insatisfecha pues ello le arrancaría una pérdida de mercado tan importante que se le ha asignado un costo infinito. Si se sabe con precisión que la demanda, si el invierno es suave, implicará un consumo de materia prima de 4 toneladas, 5 si el invierno es normal y 6 si es riguroso. No se puede atribuir ninguna probabilidad objetiva a cada uno de los estados de la naturaleza. Las materias primas que han sido compradas, pero que no se utilizan son inútiles para ser empleadas al año siguiente o en otro producto, por lo tanto su valor de salvamento es cero. a) Armar la matriz de decisiones. b) Cuál sería la decisión recomendada según todos los criterios vistos en clases (para el criterio de Hurwicz usar un coeficiente de optimismo = 0.8) c) Cuál de los criterios recomendaría a la compañía? Justifique su respuesta. SOLUCIÓN 1.- Decisor: La compañía 2.- Alternativas: Al principio parece que fueran solo dos alternativas Importar del extranjero con 4 meses de anticipación. Importar del extranjero con 1 mes de anticipación. Pero no nos indica que cantidad respecto a la demanda (4, 5, 6 ton.) por tanto las alternativas respecto a la demanda serán: a1 : Importar 4 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación.
a2 : Importar 5 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación. a3 : Importar 6 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación. a4 : Importar 4 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación. a5 : Importar 5 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación. a6 : Importar 6 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación. 3.- Estados de la naturaleza:
1 : Invierno suave con demanda de 4 ton. 2 : Invierno normal con demanda de 5 ton. 3 : Invierno riguroso con demanda de 6 ton.
4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 a3 a4 a5 a6
1 = 4
2 = 5
3 = 6
800
1150
1700
1000
1000
1350
1200
1200
1200
900
1250
1800
1375
1375
1725
1650
1650
1650
5
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Aux. : Egr.
5.-Funcion de consecuencias: Datos - En el caso que se importe con 4 meses de anticipación: Precio de compra 200 $/ton. - En el caso que se importe con 1 mes de anticipación: Precio de compra 200 $/ton con un recargo de 25$/ton. si se compran 4 toneladas y 75$/ton. si la compra es de una cantidad mayor.
f (a1;1 ) = 4*200 = 800 f (a1; 2 ) = 4*200 + 1*350 = 1150 f (a1;3 ) = 4-200 + 1*350 +1*550 = 1700 f (a2 ;1 ) = 5*200 = 1000 f (a2 ; 2 ) = 5*200 = 1000 f (a2 ;3 ) = 5*200+1*350 = 1350 f (a3 ;1 ) = 6*200 = 1200 f (a3 ; 2 ) = 6*200 = 1200 f (a3 ; 3 ) = 6*200 = 1200 f (a4 ;1 ) = 4*225 = 900 f (a4 ; 2 ) = 4*225 + 1*350 = 1250 f (a4 ;3 ) = 4*225 + 1*350 +1*550 = 1800 f (a5 ;1 ) = 5*275 = 1375 f (a5 ; 2 ) = 5*275 = 1375 f (a5 ; 3 ) = 5*275+1*350 = 1725 f (a6 ;1 ) = 6*275 = 1650 f (a6 ; 2 ) = 6*275 = 1650 f (a6 ;3 ) = 6*275 = 1650 Como la matriz es de costos nuestro objetivo será minimizar costos. Criterio optimista Mini - Min
a1 a2 a3 a4 a5 a6
1 = 4
2 = 5
3 = 6
Min
Mini
800
1150
1700
800
800 a1
1000
1000
1350
1000
1200
1200
1200
1200
900
1250
1800
900
1375
1375
1725
1375
1650
1650
1650
1650
Bajo el criterio optimista se recomienda elegir la alternativa
6
a1
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Aux. : Egr.
Criterio pesimista o de Wald Mini – Max
a1 a2 a3 a4 a5 a6
1 = 4
2 = 5
3 = 6
Max
800
1150
1700
1700
1000
1000
1350
1350
1200
1200
1200
1200
900
1250
1800
1800
1375
1375
1725
1725
1650
1650
1650
1650
Bajo el criterio pesimista o de W ald se recomienda elegir la alternativa
Mini
1200
a3
a3
Hurwicz (con α=.8)
a1 : 0.8 * 800 (1 0.8) *1700 980 a1 a : 0.8 *1000 (1 0.8) *1350 1070 2 a3 : 0.8 *1200 (1 0.8) *1200 1200 Min[ai ] Min a4 : 0.8 * 900 (1 0.8) *1800 1080 a5 : 0.8 *1375 (1 0.8) *1725 1445 a6 : 0.8 *1650 (1 0.8) *1650 1650 Bajo el criterio de Hurwicz se debe elegir la alternativa
a1
Savage
1 = 4
2 = 5
3 = 6
1 = 4
2 = 5
3 = 6
Max
800
1150
1700
0
150
500
500
1000
1000
1350
200
0
150
200
1200
1200
1200
400
200
0
400
900
1250
1800
100
250
50
250
1375
1375
1725
575
375
175
575
a6
1650
1650
1650
850
650
450
850
Min
800
1000
1200
a1 a2 a3 a4 a5
Bajo el criterio de Savage elegir la alternativa
a2
7
Min
200
a2
SIS -26 10 “A ”
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Aux. : Egr.
Criterio de Laplace
1 a1 : 3 (800 1150 1700) 1216.67 a : 1 (1000 1000 1350) 1116.67 a 2 2 3 1 a : (1200 1200 1200) 1200 3 3 Min[ai ] Min a4 : 1 (900 1250 1800) 1316.67 3 1 a5 : (1375 1375 1725) 1491.67 3 1 a6 : (1650 1650 1650) 1650 3 Bajo el criterio de Laplace elegir la alternativa a2 Conclusión Se debe elegir la alternativa a2 porque representa el menor costo 4.- Un fabricante de productos desea conocer el número de unidades que desea fabricar cada día, tiene dos empleados: un obrero calificado al que se le paga Bs. 85 por día y un chanquista que gana Bs 70 por día, por otra parte en gastos diarios fijos (pagan impuestos, alquiler, movilizaciones, etc.) se eleva a 300 Bs/mes. El fabricante puede vender como regazo los artículos que genera al final de cada día a Bs. 2 cada una. El precio de venta de cada artículo es de 6 Bs. El fabricante ha observado que para fabricar 500 o más artículos por día, el obrero calificado debe trabajar horas extra que mejoran su salario de 20 Bs. Además calcula que un cliente no satisf echo le causa un perjuicio que estima en 5 Bs. por artículo. El fabricante ha podido establecer en número de artículos demandados por día que pueden ser 200, 400, 500, 600, 700, 800. Determinar la solución optima para el problema con por lo menos 5 métodos de toma de decisiones. Para Hurwicz α= 0.63 SOLUCION 1.- Decisor: El fabricante. 2.- Alternativas: a1 : Fabricar 200 art/día
a 2 : Fabricar 400 art/día a3 : Fabricar 500 art/día a 4 : Fabricar 600 art/día a5 : Fabricar 700 art/día a6 : Fabricar 800 art/día 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Demanda de 200 art/día
2 : Demanda de 400 art/día 3 : Demanda de 500 art/día 4 : Demanda de 600 art/día 5 : Demanda de 700 art/día 6 : Demanda de 800 art/día 8
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
4.- Matriz de consecuencias:
1
2
3
4
5
6
a1 a2
1035
35
- 465
- 965
-1465
-1965
1435
2235
1735
1235
735
235
a3
1615
2415
2815
2315
1815
1315
a4
1815
2615
3015
3415
2915
2415
a5
2015
2815
3215
3615
4015
3515
a6
2215
3015
3415
3815
4215
4615
5.- Función de consecuencias: Costos: Obrero calificado = 85 Bs/día Obrero calificado si fabrica más de 500 artículos/día 85 Bs/día + 20 Bs/día = 105 Bs/día. Chanquista = 70 Bs/día. Costo fijo = 300 Bs/mes = 10 Bs/día. Costo cliente insatisfecho = 5 Bs/Artículo Precios de venta Pv. regazo= 2 Bs/día Pv. normal= 6 Bs/día
f (a1 ,1 ) 200*6 – (85+70+10) = 1035 f (a1 , 2 ) 200*6 – (85+70+10 + 200*5) = 35
f (a1 , 3 ) 200*6 – (85+70+10 + 300*5) = - 465 f (a1 , 4 ) 200*6 – (85+70+10 + 400*5) = -965 f (a1 , 5 ) 200*6 – (85+70+10 + 500*5) = -1465 f (a1 , 6 ) 200*6 – (85+70+10 + 600*5) = - 1965 f (a2 , 1 ) (200*6+200*2) – (85+70+10) = 1435 f (a2 , 2 ) 400*6 – (85+70+10) = 2235
f (a2 , 3 ) 400*6 – (85+70+10 + 100*5) = 1735 f (a2 , 4 ) 400*6 – (85+70+10 + 200*5) = 1235 f (a2 , 5 ) 400*6 – (85+70+10 + 300*5) = 735 f (a2 , 6 ) 400*6 – (85+70+10 + 400*5) = 235 f (a3 , 1 ) (200*6+300*2) – (105+70+10) = 1615 f (a3 , 2 ) (400*6+100*2) – (105+70+10) = 2415 f (a3 , 3 ) 500*6 – (105+70+10) = 2815 f (a3 , 4 ) 500*6 – (105+70+10 + 100*5) = 2315 f (a3 , 5 ) 500*6 – (105+70+10 + 200*5) = 1815 f (a3 , 6 ) 500*6 – (105+70+10 + 300*5) = 1315
9
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OPERATIVA II
Aux. : Egr.
f (a4 ,1 ) (200*6+400*2) – (105+70+10) = 1815 f (a4 , 2 ) (400*6+200*2) – (105+70+10) = 2615
f (a4 , 3 ) (500*6+100*2) – (105+70+10) = 3015 f (a4 , 4 ) 600*6 – (105+70+10) = 3415 f (a4 , 5 ) 600*6 – (105+70+10 + 100*5) = 2915 f (a4 , 6 ) 600*6 – (105+70+10 + 200*5) = 2415 f (a5 , 1 ) (200*6+500*2) – (105+70+10) = 2015 f (a5 , 2 ) (400*6+300*2) – (105+70+10) = 2815 f (a5 , 3 ) (500*6+200*2) – (105+70+10) = 3215 f (a5 , 4 ) (600*6+100*2) – (105+70+10) = 3615 f (a5 , 5 ) 700*6 – (105+70+10) = 4015 f (a5 , 6 ) 700*6 – (105+70+10 +100*5) = 3515 f (a6 ,1 ) (200*6+600*2) – (105+70+10) = 2215 f (a6 , 2 ) (400*6+400*2) – (105+70+10) = 3015 f (a6 , 3 ) (500*6+300*2) – (105+70+10) = 3415 f (a6 , 4 ) (600*6+200*2) – (105+70+10) = 3815 f (a6 , 5 ) (700*6+100*2) – (105+70+10) = 4215 f (a6 , 6 ) 800*6 – (105+70+10) = 4615 Criterio de evaluación: Criterio optimista Maxi-max
1
2
3
4
5
6
Max
a1 a2
1035
35
- 465
- 965
-1465
-1965
1035
1435
2235
1735
1235
735
235
2235
a3
1615
2415
2815
2315
1815
1315
2815
a4
1815
2615
3015
3415
2915
2415
3415
a5
2015
2815
3215
3615
4015
3515
4015
a6
2215
3015
3415
3815
4215
4615
4615
Bajo el criterio optimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa
10
a6
Maxi
4615
a6
Fabricar 800 art/día
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Criterio pesimista Maxi-min
1
2
3
4
5
6
Min
a1 a2
1035
35
- 465
- 965
-1465
-1965
-1965
1435
2235
1735
1235
735
235
235
a3
1615
2415
2815
2315
1815
1315
1315
a4
1815
2615
3015
3415
2915
2415
1815
a5
2015
2815
3215
3615
4015
3515
2015
a6
2215
3015
3415
3815
4215
4615
2215
Bajo el criterio pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa
a6
Maxi
2215
a6
Fabricar 800 art/día
Criterio de Hurwicz
Max a Max i
a1 : 0.63* (1035) (1 0.63) * (1965) 75 a : 0.63* (2235) (1 0.63) * (235) 1495 2 a3 : 0.63* (2815) (1 0.63) * (1315) 2260 a4 : 0.63* (3415) (1 0.63) * (1815) 2823 a5 : 0.63* (4015) (1 0.63) * (2015) 3275 a 6 : 0.63* (4615) (1 0.63) * (2215) 3727 a6
Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa
a6
Fabricar 800 art/día
Criterio de Laplace
1 a1 : 6 1035 35 (465) (965) (1465) (1965) 631.67 a : 1 1435 2235 1735 1235 735 235 1268.3 2 6 a3 : 1 1615 2415 2815 2315 1815 1315 2048.3 Maxai Max 6 a4 : 1 1815 2615 3015 3415 2915 2415 2698.3 6 1 a5 : 2015 2815 3215 3615 4015 3515 3198.3 6 1 a6 : 2215 3015 3415 3815 4215 4615 3548.3 a6 6 Bajo el criterio de Lapace se recomienda al fabricante elegir la alternativa
11
a6
Fabricar 800 art/día
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
5.- Una empresa debe seleccionar una de las cuatro maquinas que dispone para fabricar Q unidades de un determinado producto. Si los costos fijos y variables por unidad producida de cada máquina son: Maquina
Costo Fijo (Bs.) A 100 B 50 C 70 D 180 Y la función de demanda viene dada por la siguiente ecuación:
Costo Variable (Bs.) 6 12 5 8
D= 200 + 50*p donde P son las posibilidades de venta que varían de 0 a 4. Qué decisión recomendaría a la empresa tomando en cuenta todos los criterios de decisión bajo incertidumbre (para el criterio de Hurwicz α=0.3) de todos los criterios cuales que recomendación daría a la empresa justifique su respuesta. SOLUCION 1.- Decisor: La empresa 2.- Alternativas: a1 : Elegir maquina A
a 2 : Elegir maquina B
a3 : Elegir maquina C a 4 : Elegir maquina D 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Demanda = 200 + 50*0 = 200
2 : Demanda = 200 + 50*1 = 250 3 : Demanda = 200 + 50*2 = 300 4 : Demanda = 200 + 50*3 = 350 5 : Demanda = 200 + 50*4 = 400
4.- Matriz de consecuencias:
1
2
3
4
5
a1 a2
1300
1600
1900
2200
2500
2450
3050
3650
4250
4850
a3
1070
1320
1570
1820
2070
a4
1780
2180
2580
2980
3380
Matriz de costos 5.- Función de consecuencias: La cantidad Q que se va a producir está en función a la demanda Q = Demanda. f(a;θ) = costo fijo + costo variable*Q
f (a1 ,1 ) 100[Bs] + 6[Bs/unid]*200[Unid] = 1300 Bs f (a1 , 2 ) 100[Bs] + 6[Bs/unid]*250[Unid] = 1600 Bs
f (a1 , 3 ) 100[Bs] + 6[Bs/unid]*300[Unid] = 1900 Bs f (a1 , 4 ) 100[Bs] + 6[Bs/unid]*350[Unid] = 2200 Bs 12
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
f (a1 , 5 ) 100[Bs] + 6[Bs/unid]*400[Unid] = 2500 Bs f (a2 , 1 ) 50[Bs] + 12[Bs/unid]*200[Unid] = 2450 Bs f (a2 , 2 ) 50[Bs] + 12[Bs/unid]*250[Unid] = 3050 Bs
f (a2 , 3 ) 50[Bs] + 12[Bs/unid]*300[Unid] = 3650 Bs f (a2 , 4 ) 50[Bs] + 12[Bs/unid]*350[Unid] = 4250 Bs f (a2 , 5 ) 50[Bs] + 12[Bs/unid]*400[Unid] = 4850 Bs f (a3 , 1 ) 70[Bs] + 5[Bs/unid]*200[Unid] = 1070 Bs f (a3 , 2 ) 70[Bs] + 5[Bs/unid]*250[Unid] = 1320 Bs f (a3 , 3 ) 70[Bs] + 5[Bs/unid]*300[Unid] = 1570 Bs f (a3 , 4 ) 70[Bs] + 5[Bs/unid]*350[Unid] = 1320 Bs f (a3 , 5 ) 70[Bs] + 5[Bs/unid]*400[Unid] = 2070 Bs f (a4 ,1 ) 180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 1780 Bs f (a4 , 2 ) 180[Bs] + 8[Bs/unid]*250[Unid] = 2180 Bs
f (a4 , 3 ) 180[Bs] + 8[Bs/unid]*300[Unid] = 2580 Bs f (a4 , 4 ) 180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 2980 Bs f (a4 , 5 ) 180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 3380 Bs Criterio de evaluación: Criterio optimista Mini-min
1
2
3
4
5
min
a1 a2
1300
1600
1900
2200
2500
1300
2450
3050
3650
4250
4850
2450
a3
1070
1320
1570
1820
2070
1070
a4
1780
2180
2580
2980
3380
1780
Bajo el criterio optimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa
a3
Mini
1070
es decir elegir la maquina C porque
incurre en el menor costo 1070 Bs Criterio pesimista Mini - Max
1
2
3
4
5
Max
a1 a2 a3
1300
1600
1900
2200
2500
2500
2450
3050
3650
4250
4850
4850
1070
1320
1570
1820
2070
2070
a4
1780
2180
2580
2980
3380
3380
Mini
2070
Bajo el criterio pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C porque incurre en el menor costo 2070 Bs.
13
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Criterio de Hurwicz
a1 : 0.3* (1300) (1 0.3) * (2500) 2140 a2 : 0.3* (2450) (1 0.3) * (4850) 4130 Mina i Min a3 : 0.3* (1070) (1 0.3) * (2070) 1770 a3 a4 : 0.3* (1780) (1 0.3) * (3380) 2900 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C porque incurre en el menor costo 1770 Bs. Criterio de Laplace
1 a1 : 5 1300 1600 1900 2200 2500 1900 a : 1 2450 3050 3650 4250 4850 3650 2 Mina Min 5 a3 : 1 1070 1320 1570 1820 2070 1570 a3 5 1 a 4 : 1780 2180 2580 2980 3380 2580 5 Bajo el criterio de Lapace se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C porque incurre en el menor costo 1570 Bs Criterio de Savage
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Max
a1 a2 a3
1300
1600
1900
2200
2500
230
280
330
380
430
430
2450
3050
3650
4250
4850
1380
1730
2080
2430
2780
2780
1070
1320
1570
1820
2070
0
0
0
0
0
0
a4
1780
2180
2580
2980
3380
710
860
1010
1160
1300
1300
Min
1070
1320
1570
1820
2070
Mini
0
Bajo el criterio de Savage se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C Conclusión Según los criterios bajo incertidumbre se recomienda a la empresa elegir la alternativa a3 es decir elegir la maquina C
14
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
6.- Una empresa puede optar por fabricar uno de los modelos diferentes de un determinado artículo o ambos, pero debido a las limitaciones de equipo y utillaje, los costos que suponen desarrollar ambos modelos simultáneamente superan la suma de los costos de hacerlo individualmente. Limitaciones en la capacidad productiva hacen que sea imposible fabricar en ambos modelos tantas unidades como pueda absorber el mercado. Los departamentos de producción y ventas de la empresa han efectuado las siguientes estimaciones: a) Los costos (en millones de dólares ) de los diversos modelos son los siguientes : Modelos económicos 2; modelo de lujo 3; ambos el mismo año 6. b) Los gastos generales y administrativos fijos son de 2 millones de dólares. c) Los ingresos por ventas (en millones de dólares), que dependen de cuál sea la coyuntura económica del próximo año, son: modelo económico 12, 6 o 4; modelo de lujo 15, 6 o 0; ambos 18, 12 o 4, según que la economía está en expansión, estabilidad o recesión respectivamente. A la vista de la información anterior determine: La alternativa optima para la empresa según los diferentes criterios de decisión bajo incertidumbre. Para Hurwicz α= 0.45 SOLUCION 1.- Decisor: La empresa 2.- Alternativas: a1 : Fabricar modelo económico (Costo = 2 millones + costo fijo = 2 millones)
a 2 : Fabricar modelo de lujo (Costo = 3 millones + costo fijo = 2 millones) a3 : Fabricar ambos modelos (Costo = 36millones + costo fijo = 2 millones) 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Economía en expansión. (12, 15, 18)
2 : Economía en estabilidad (6, 6, 12) 3 : Economía en recesión (4, 0, 4) 4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 a3
1
2
3
8
2
0
10
1
-5
10
4
-4
Matriz de beneficios 5.- Función de consecuencias: B= Gan. Tot – costos tot
f (a1 ,1 ) 12 – (2+2) = 8 millones $ f (a1 , 2 ) 6 – (2+2) = 2 millones $ f (a1 , 3 ) 4 – (2+2) = 0 millones $ f (a2 , 1 ) 15 – (3+2) = 10 millones $ f (a2 , 2 ) 6 – (3+2) = 1 millones $ f (a2 , 3 ) 0 – (3+2) = -5 millones $ f (a3 , 1 ) 18 – (6+2) = 10 millones $ f (a3 , 2 ) 12 – (6+2) = 4 millones $ f (a3 , 3 ) 4 – (6+2) = -4 millones $ 15
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Criterio de evaluación: Criterio optimista Maxi - Max
a1 a2 a3
1
2
3
Max
8
2
0
8
10
1
-5
10
10
10
4
-4
10
10
Max
Bajo el criterio optimista puede elegir la alternativa a 2 y a3 con un valor esperado de 10 millones de $ Criterio pesimista Mini – min
a1 a2 a3
1
2
3
min
Mini
8
2
0
0
0
10
1
-5
-5
10
4
-4
-4
Bajo el criterio de pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa a3 fabricar ambos modelos Criterio de Hurwicz
a1 : 0.45 * (8) (1 0.45) * (0) 3.6 a1 Maxai Max a2 : 0.45 * (10) (1 0.45) * (5) 1.75 a3 : 0.45 * (10) (1 0.45) * (4) 2.3 Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa a1 fabricar modelo económico Criterio de Laplace
1 a1 : 3 8 2 0 3.33 a1 1 Maxai Max a 2 : 10 1 (5) 2 3 1 a3 : 10 4 (4) 3.33 a3 Bajo el criterio de Laplace se recomienda elegir entre la alternativa a1 o´ a1 Criterio de Savage
1
2
3
1
2
3
Max
Mini 2
a1 a2 a3
8
2
0
2
2
0
2
10
1
-5
0
3
5
5
10
4
-4
0
0
4
4
Max
10
4
0
Bajo el criterio de Savage se recomienda elegir la alternativa a1 Conclusión Bajo los criterios de decisión bajo incertidumbre se recomienda elegir la alternativa a1
16
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 7.- Avon Cosmetics, está considerando la producción de un nuevo jabón líquido para mujer. El precio de venta propuesto es de 1.25 dólares el frasco. Para emprender ese programa se necesita una inversión de 80 000 dólares en costos fijos. Se espera que el nuevo producto tenga una vida de 5 años. El grupo de investigación de mercado ha calculado la demanda anual en la forma siguiente: Demanda 25 000 50 000 75 000 100 000 110 000
Probabilidad 0.05 0.10 0.20 0.30 0.35
SOLUCION 1.- Decisor: Avon Cosmetic 2.- Alternativas: a1 : Producir jabón líquido
a2 : No producir jabón líquido 3.- Estado de la naturaleza: 1 : Demanda 25 000 2 : Demanda 50 000
3 : Demanda 75 000 4 :
Demanda 100 000
5 : Demanda 110 000 4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 P( )
1
2
3
4
5
-48 750
-17 500
13 750
45 000
57 500
0
0
0
0
0
0.05
0.10
0.20
0.30
0.35
5.- Función de consecuencia: Datos adicionales Precio de venta = 1.25 $/Frasco Costo fijo de inversión = 80 000$ B= (Gan. Tot.) – (Costos totales) f (a1;1 ) = (25 000*1.25) – (80 000) = -48 750
f (a1; 2 ) = (50 000*1.25) – (80 000) = -17 500 f (a1 ; 3 ) = (75 000*1.25) – (80 000) = 13 750
f (a1; 4 ) = (100 000*1.25) – (80 000) = 45 000 f (a1 ; 5 ) = (100 000*1.25) – (80 000) = 57 500 f (a2 ;1 ) f (a2 ;2 ) f (a2 ;3 ) f (a2 ;4 ) f (a2 ;5 ) 0 La matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.
a1 : (48750) * 0.05 (17500) * 0.10 (13750) * 0.20 (45000) * 0.30 (57500) * 0.35 32187.5 a1 Maxa Max a2 : 0 Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda ha avon cosmetic vender el producto con una ganancia esperada 32187.5 $
17
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
8.- El Señor Joe williams, un empresario, está considerando comprar uno de los siguientes negocios al menudeo: una tienda de Cámaras LG, una tienda de equipos de computo o una tienda de aparatos electrónicos, todos con aproximadamente la misma inversión inicial. Para la tienda de cámaras, estima que hay una probabilidad de 20% de que las ventas de desempeño sea el promedio, lo que tendría como resultado una recuperación anual de $20000. Estos valores e información parecida para las tiendas de equipo de cómputo y de aparatos electrónicos se resumen en las siguientes tablas de ganancias y de probabilidades.
Cámaras LG Equipo Electrónica
Tabla de ganancias. DESEMPEÑO DE VENTAS Promedio Bueno Excelente $20000 $75000 $100000 $30000 $60000 $100000 $25000 $75000 $150000
Tabla de probabilidades. DESEMPEÑO DE VENTAS Promedio Bueno Excelente Cámaras LG 0.20 0.60 0.20 Equipo 0.15 0.70 0.15 Electrónica 0.05 0.60 0.35 SOLUCIÓN 1.- Decisor: El Señor Joe Williams. 2.- Alternativas: a1 : Comprar tienda de cámaras LG
a2 : Comprar tienda de equipos de cómputo. a3 : Comprar tienda de aparatos electrónicos 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Promedio P(1 ) 0.20; 0.15; 0.05
2 : Bueno P( 2 ) 0.60; 0.70; 0.60 3 : Excelente P( 3 ) = 0.20; 0.15; 0.35
4.- Matriz de consecuencias: DESEMPEÑO DE VENTAS
a1 a2 a3
1
2
3
$20000
$75000
$100000
$30000
$60000
$100000
$25000
$75000
$150000
5.- Función de consecuencias: Son los mismos valores de la tabla inicial. a) Identifique la decisión óptima. La matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.
a1 : 20000 * 0.2 75000 * 0.60 100000 * 0.2 69000 Maxai Max a2 : 30000 * 0.15 60000 * 0.70 100000 * 0.15 61500 a3 : 25000 * 0.05 75000 * 0.60 150000 * 0.35 98750 a3 El Señor Joe Williams debe elegir
a1 comprar la tienda electrónica con un valor esperado de $98750
18
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
b) Diseñe un árbol de decisión para este problema.
20000 69000
3
a1
0.20
1
2 0.60 0.20
61500
1
a2
3
a3 98750
1 3
75000
100000 30000
0.15
2
0.70
0.15 0.05
2 0.60
0.35
60000 100000 25000 75000 150000
9.- El agricultor Jones debe determinar si siembra maíz o trigo. Si siembra maíz y el clima es cálido, obtiene 8000$; Si siembra maíz y el clima es frio, obtiene 5000$. Si siembra trigo y el clima es cálido, obtiene 7000$; si siembra trigo y el clima es frio, obtiene 6500$. En el pasado, 40% de los años han sido fríos y 60% han sido cálidos. Antes de sembrar, Jones puede pagar 600 dólares por un pronóstico de clima emitido por un experto. Si en realidad el año es frio, hay 90% de posibilidad de que el meteorólogo prediga un año frio. Si el año en realidad es cálido, hay 80% de posibilidad de que el meteorólogo prediga un año cálido ¿Cómo puede maximizar Jones sus ganancias esperadas? También obtenga el costo de la información perfecta. SOLUCIÓN 1.- Decisor: El banco de crédito rural. 2.- Alternativas: a1 : Sembrar maíz.
a2 : Sembrar trigo. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Clima frio P(1 ) 40% o´0.40
2 : Clima cálido P( 2 ) 60% ó 0.60 4.- Matriz de consecuencias: 5000
8000
6500
7000
0.4
19
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
5.- Función de consecuencias:
f (a1 , 1 )
f (a1 , 2 ) = 8000; f (a2 ,1 )
= 5000;
= 6500;
f (a2 , 2 )
C= 600$ Tabla de información adicional. Los eventos o resultados del estudio por el experto serán: X1 = Predicción de año frio. X2 = Predicción de año cálido. Por tanto la tabla de información adicional es:
1 X1 X2
2
0.9 0.1 1
0.2 0.8 1
1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.
a : 5000 * 0.4 8000 * 0.6 6800 a Maxai a2 : 6500 * 0.4 7000 * 0.3 6800 a2 Según el criterio de bayes sin experimentación ambas alternativas son aceptables. 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori P( X / i ) * P( i ) P(i / X ) m P( X / k )P( k ) k 1
Para X1:
P(1 / X 1)
P( X 1/ 1 )
P( X 1/ k 1
P( 2 / X1)
m
)
k
0.36 0.9 * 0.40 0.75 0.9 * 0.40 0.2 * 0.60 0.48
0.2 * 0.60 0.25 0.48
Para X2
P(1 / X 2)
P( X 2 / 1 )
P( X 2 / k 1
P( 2 / X 2)
m
k
)
0.040 0.1* 0.40 0.0769 0.1* 0.40 0.8 * 0.60 0.52
0.8 * 0.60 0.9231 0.52
P(X1)= 0.48 y P(X2)=0.52 Actualizando la tabla:
1 X1 X2
2
0.75 0.25 1 0.0769 0.9231 1 Probabilidades a posteriori
20
= 7000
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
X1 = Predicción de año frio.
Aux. : Egr.
a : 5000 * 0.75 8000 * 0.25 5750 Maxai a2 : 6500 * 0.75 7000 * 0.25 6625 a2
Restando el costo de la información
a : 5000 * 0.75 8000 * 0.25 5750 600 5150 Maxai a2 : 6500 * 0.75 7000 * 0.25 6625 600 6025 a2 Si el pronóstico de experto es una año frio el agricultor debe elegir la alternativa esperado de 6025$
a2
sembrar trigo con un valor
X2 = Predicción de año cálido.
a : 5000 * 0.0769 8000 * 0.9231 7169.23 a Maxai a2 : 6500 * 0.0769 7000 * 0.9231 6361.54 Restando el costo de la información
a : 5000 * 0.0769 8000 * 0.9231 7169.23 600 6569.23 a Maxai a2 : 6500 * 0.0769 7000 * 0.9231 6361.54 600 5761.54 Si el pronóstico de experto es una año cálido el agricultor debe elegir la alternativa esperado de 6569.23$ Costo de información perfecta
C = E[f(a,θ)]- E[I] E[f(a,θ)]= 6800
1
2
a1 a2
5000
8000
6500
7000
Max
6500
8000
E[I] = 6500*0.4 + 8000*0.6 = 7400
C = 6800- 7400 =-600 C = 600
21
a1 sembrar maíz con un valor
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
10.- Una nucleoeléctrica está por decidir si construye una planta nuclear o no en Diablo Canyon o en Roy Rogers City. El costo de construir la planta es de 10 millones de dólares en Diablo y 20 millones de dólares en Roy Rogers City. Sin embargo, si la compañía construye en Diablo y ocurre un terremoto durante los cinco años siguientes, la construcción se terminará y la compañía perderá 10 millones de dólares (y todavía tendrá que construir un planta en Roy Rogers City). A priori, la compañía cree que las probabilidades de que ocurra un terremoto es Diablo durante los cinco años siguientes son de 20%. Por 1 millón de dólares, se puede contratar un geólogo para analizar la estructura de la falla en Diablo Canyon. El predecirá si ocurre un terremoto o no. El historial del geólogo indica que predecirá la ocurrencia de un terremoto 95% de las veces y la no ocurrencia 90% de las veces. ¿La compañía debe contratar al geólogo? Que recomienda el procedimiento bayesiano con y sin experimentación y cual el valor de la información perfecta SOLUCIÓN 1.- Decisor: La nucleoelectrica 2.- Alternativas: a1 : Construir la planta en diablo canyon (inversión 10 millones)
a2 : Construir la planta en Roy Rogers City (inversión 20 millones) 3.- Estados de la naturaleza:
1 : Hay terremoto P(1 ) 20% o´0.20 2 : No hay terremoto P( 2 ) 80% ó 0.80
4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 P( )
1
2
-10
10
20
20
0.20
0.80
Matriz en millones $ 5.- Función de consecuencias:
f (a1 , 1 )
= -10;
f (a1 , 2 ) = 10; f (a2 ,1 )
= 20;
f (a2 , 2 )
= 20
C= 1 millón de $ Tabla de información adicional. Los eventos o resultados del estudio por el geologo serán: X1 = Ocurre terremoto. X2 = No ocurre terremoto. Por tanto la tabla de información adicional es:
X1 X2
1
2
0.95 0.05 1
0.10 0.90 1
1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.
a : 10 * 0.20 10 * 0.80 6 Maxai a2 : 20 * 0.20 20 * 0.80 20 a2 Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda a la empresa elegir la alternativa en Roy Rogers City
22
a2
construir la planta
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori P( i / X )
P( X / i ) * P( i ) m
P( X / k 1
Para X1:
P(1 / X1)
P( X 1/ 1 )
P( X1/ k 1
P( 2 / X1) Para X2
P(1 / X 2)
)
k
)P( k )
0.95 * 0.20 0.19 0.7037 0.95 * 0.20 0.10 * 0.80 0.27
0.1* 0.80 0.2963 0.27
P( X 2 / 1 )
m
P( X 2 / k 1
P( 2 / X 2)
m
k
k
)
0.01 0.05 * 0.20 0.0137 0.05 * 0.20 0.9 * 0.80 0.73
0.90 * 0.80 0.9863 0.73
P(X1)= 0.27 y P(X2)=0.73 Actualizando la tabla:
1 X1 X2
2
0.7037 0.2963 1 0.0137 0.9863 1 Probabilidades a posteriori
X1 = Ocurre terremoto.
a : 10 * 0.7037 10 * 0.2963 4.0741 Maxai a2 : 20 * 0.7037 20 * 0.2963 20 a2 Restando el costo de la información
a : 10 * 0.7037 10 * 0.2963 4.0741 1 5.0741 Maxai a2 : 20 * 0.7037 20 * 0.2963 20 1 19 a2 Si el estudio del geólogo dice que va ocurrir un terremoto la empresa debe elegir la alternativa en Roy Rogers City
a2
Construir la planta
X2 = No ocurre terremoto.
a : 10 * 0.0137 10 * 0.9863 9.7260 Maxai a2 : 20 * 0.0137 20 * 0.9863 20 a2 Restando el costo de la información
a : 10 * 0.0137 10 * 0.9863 9.7260 1 8.7260 Maxai a2 : 20 * 0.0137 20 * 0.9863 20 1 19 a2 Si el estudio del geólogo dice que no va ocurrir un terremoto la empresa debe elegir la alternativa planta en Roy Rogers City
23
a2
Construir la
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Costo de información perfecta
C = E[f(a,θ)]- E[I] E[f(a,θ)]= 20
1
2
a1 a2
-10
10
20
20
Max
20
20
E[I] = 20*0.2 + 20*0.8 = 20
C = 20-20 = 0 C= 0 11.- Un cliente acudió a su banco por un préstamo anual de 50000 dólares a una tasa de interés de 12%. Si el banco no aprueba el préstamo, los $50000 se invertirán en bonos que obtienen un rendimiento anual de 6%. Sin más información, el banco considera que hay 4% de probabilidades de que el cliente incumpla por completo el pago del préstamo. Si el cliente no paga, el banco pierde $50000. A un costo de 500$, el banco puede investigar el registro de crédito del cliente y suministrar una recomendación favorable o desfavorable. Por experiencia se sabe que p(recomendación favorable/el cliente no incumple) = 77/96 p(recomendación favorable/el cliente incumple) = 1/4 ¿Cómo puede maximizar el banco sus ganancias esperadas? SOLUCIÓN 1.- Decisor: El banco 2.- Alternativas: a1 : Aprobar el préstamo al cliente.
a2 : No aprobar el préstamo al cliente e invertir en bonos 3.- Estados de la naturaleza: 1 : El cliente cumple con el pago P(1 ) 96% o´0.96
2 : El cliente no cumple con el pago P( 2 ) 4% ó 0.04
4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 P( )
1
2
56000
-50000
53000
53000
0.96
0.04
5.- Función de consecuencias:
f (a1 , 1 ) = 50000 + (50000*0.12) = 56000; f (a1 , 2 ) = -50000 f (a2 ,1 ) = 50000 + (50000*0.06) = 53000; f (a2 , 2 ) = 50000 + (50000*0.06) = 53000 C= 500$ Tabla de información adicional. Los eventos o resultados del estudio serán: X1 = Estudio favorable para el cliente X2 = Estudio no favorable para el cliente.
24
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
1
Por tanto la tabla de información adicional es: X1 X2
77/96 19/96
1/4 3/4
1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.
a : 56000 * 0.96 (50000) * 0.04 51760 Maxai a2 : 53000 * 0.96 53000 * 0.04 53000 a2 Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda al banco elegir la alternativa al cliente e invertir en bonos. 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori P( X / i ) * P( i ) P(i / X ) m P( X / k )P( k )
a2
no aprobar el préstamo
k 1
Para X1:
( / 1) P 1 X
P( X 1 / 1 )
m
P( X 1/ k 1
)
k
(77 / 96) * 0.96 (1/ 4) * 0.04
0.77
0.78
0.987
(1/ 4) * 0.04 0.013 0.78
P( 2 / X1) Para X2
P(1 / X 2)
P( X 2 / 1 )
m
P( X 2 / k 1
P( 2 / X 2)
(77 / 96) * 0.96
k
)
(19 / 96) * 0.96 0.19 0.864 (19 / 96) * 0.96 (3 / 4) * 0.04 0.22
(3 / 4) * 0.04 0.136 0.22
P(X1)= 0.78 y P(X2)=0.22 Actualizando la tabla:
1
X1 X2
2
0.987 0.013 1 0.864 0.136 1 Probabilidades a posteriori
X1 = Estudio favorable para el cliente.
a : 56000 * 0.987 (50000) * 0.013 54622 a Maxai a2 : 53000 * 0.987 53000 * 0.013 53000 Restando el costo de la información
a : 56000 * 0.987 (50000) * 0.013 54622 500 54122 a Maxai a2 : 53000 * 0.987 53000 * 0.013 53000 500 52500 Si el estudio es favorable para el cliente el banco debe elegir la alternativa a1 Aprobar el préstamo al cliente. X2 = Estudio no favorable para el cliente.
a : 56000 * 0.864 (50000) * 0.136 41584 Maxai a2 : 53000 * 0.864 53000 * 0.136 53000 a2 25
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Restando el costo de la información
Aux. : Egr.
0.864 (50000) 0.136 41584 500 0.864 0.136 53000 500 52500
a2
Si el estudio no es favorable para el cliente el banco debe elegir la alternativa invertir en bonos ARBOL DE DECISION
a2 No aprobar el préstamo al cliente e 56000 0.96
51760
53000
1 2
a1
0.04 -50000
a2
53000 1
0.96
53000
0.04
53000
2
56000 54643.2
1
0.987
53781.7
54643.2
2
a1
0.013 -50000
a2
53000
53000
1
0.987
X1 53781.7
0.78
2
0.013 53000 56000
54281.69-500 X2 41546.6
0.22
53000
a1
1
2
0.864
0.136 -50000
a2
53000 1
2
53000 0.864 0.136 53000
26
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
12.- El banco de crédito rural se ve ante la situación de prestar o no 100 millones a una nueva cooperativa campesina. El banco clasifica a sus clientes en riesgo: bajo, medio y alto, su experiencia indica que 15% de sus clientes son de bajo riesgo, 30% de mediano, y 55% de alto. Si se extiende el crédito a un cliente de riesgo bajo el banco genera una utilidad de 15 millones sobre los 100 millones que presta; si es de riesgo mediano se obtendrá 4 millones de utilidad y un cliente de riesgo alto ocasiona pérdidas por 20 millones. Estudios más detallados para tipificar un cliente le cuestan al banco 1,5 millones de dólares. Experiencias anteriores de dichos estudios arrojan la siguiente situación. Conclusión de los estudios Riesgo bajo Riego mediano Riesgo alto
Situación real del cliente % Riesgo mediano 10 50 40
Riesgo bajo 50 30 20
Riesgo alto 10 40 50
a.- ¿Cual la recomendación del proceso Bayesiano de decisión sin estudios detallados de la clientela? b.- ¿Y con estudios detallados? c.- Desarrolle el árbol de decisión. SOLUCIÓN 1.- Decisor: El banco de crédito rural. 2.- Alternativas: a1 : Prestar 100 millones a la nueva cooperativa.
a2 : No prestar 100 millones a la nueva cooperativa. 3.- Estados de la naturaleza:
1 : La cooperativa campesina es de bajo riesgo. P(1 ) 15% o´0.15 (Utilidad de 15 millones sobre los 100 millones) campesina es mediano riesgo. P( 2 ) 30% ó 0.30 (Utilidad de 4 millones sobre los 100 millones) 3 : La cooperativa campesina es alto riesgo. P( 3 ) 55% ó 0.55
2 : La cooperativa
(Ocasiona una pérdida de 20 millones) 4.- Matriz de consecuencias:
a1 a2 P( )
1
2
3
115
104
80
100
100
100
0.15
0.30
0.55
Matriz en millones 5.- Función de consecuencias:
f (a1 , 1 )
= 100+15 = 115 millones
Si no se presta el dinero mediano o alto.
f (a1 , 2 ) = 100+4 = 104 millones f (a1 , 3 ) = 100–20 = 80 millones
a2 el banco mantiene los 100 millones sin importar si la cooperativa es de riesgo bajo,
f (a2 ,1 ) = f (a2 , 2 ) = f (a2 , 3 ) = 100 millones
C= 1.5 millones a.- ¿Cual la recomendación del proceso Bayesiano de decisión sin estudios detallados de la clientela? Al hablar de sin estudios quiere decir sin experimentación además es una matriz de beneficios por tanto hay que hallar el máximo valor esperado. Opt. = Max E[ f (ai ; j )]
27
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
a :115 * 0.15 104 * 0.30 80 * 0.55 92.450 Maxai Max a2 :100 * 0.15 100 * 0.30 100 * 0.55 100 a2 Bajo el criterio de decisión sin experimentación el banco debe elegir la alternativa 2 ( a 2 ) es decir no debe prestar el dinero a la cooperativa campesina. b.- ¿Y con estudios detallados? Con estudios detallados quiere decir con experimentación de la tabla de información
X1 X2 X3 ∑
1
2
3
50 30 20 100
10 50 40 100
10 40 50 100
3 X1 X2 X3
0.50 0.30 0.20
0.10 0.50 0.40
0.10 0.40 0.50
X1=Los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo bajo. X2 = Los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo mediano. X3 = Los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo alto. Hallando las probabilidades A posteriori P(i / X )
P( X / i ) * P( i ) m
P( X / k 1
k
)P( k )
Para X1:
( / 1) P 1 X
P( X 1/ 1 )
0.5 * 0.15
m
P( X 1/ k 1
)
k
0.5 * 0.15 0.1* 0.30 0.1* 0.55
P( 2 / X1)
0.1* 0.30 0.1875 0.16
P( 3 / X1)
0.1* 0.55 0.3437 0.16
0.075
0.16
0.4687
Para X2:
( / 2) P 1 X
P( X 2 / 1 )
0.3 * 0.15
m
P( X 2 / k 1
k
)
0.3* 0.15 0.5 * 0.30 0.4 * 0.55
P( 2 / X 2)
0.5 * 0.3 0.3614 0.415
P( 3 / X 2)
0.4 * 0.55 0.5301 0.415
28
0.045
0.415
0.1084
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Para X3
P(1 / X 3)
P( X 3 / 1 )
m
P( X 3 / k 1
k
)
0.2 * 0.15 0.03 0.0706 0.2 * 0.15 0.4 * 0.30 0.5 * 0.55 0.425
P( 2 / X 3)
0.4 * 0.3 0.2824 0.425
P( 3 / X 3)
0.5 * 0.55 0.6470 0.425
Actualizando la tabla:
1
2
3
X1 0.4687 0.1875 0.3437 X2 0.1084 0.3614 0.5301 X3 0.0706 0.2824 0.6470 Probabilidades a posteriori X1= Si los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo bajo.
a :155 * 0.4687 104 * 0.1875 80 * 0.3437 1.5 99.397 a Maxai Max a2 :100 * 0.4687 100 * 0.1875 100 * 0.3437 1.5 98.5 Se recomienda al banco elegir la alternativa de 99.397 millones.
a1 : Prestar los 100 millones a la nueva cooperativa con un valor esperado
X2= Si los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo medio.
a :155 * 0.1084 104 * 0.3614 80 * 0.5301 1.5 90.9596 Maxai Max a2 :100 * 0.1084 100 * 0.3614 100 * 0.5301 1.5 98.5 a2 Se recomienda al banco elegir la alternativa
a2 : no prestar los 100 millones a la nueva cooperativa.
X3= Si los estudios concluyen que la cooperativa es de riesgo alto.
a :155 * 0.0706 104 * 0.2824 80 * 0.6470 1.5 87.749 Maxai Max a2 :100 * 0.0706 100 * 0.2824 100 * 0.6470 1.5 98.5 a2 Se recomienda al banco elegir la alternativa
a2 : no prestar los 100 millones a la nueva cooperativa.
c.- Desarrolle el árbol de decisión.
29
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
ARBOL DE DECISION 115
1 0.4687 100.931
2 0.1875 100.931
a1
104
3 0.3437 80
a2
100
1 0 .1084
115
92.41 X1=0.16 100
2 0 .3614
a1
3 0 . 5301
X2=0.415
80
100.15-1.5=98.65
a2
100
1 0 .0706 X3=0.425
115
89.23
100
2 0.2824
a1
98.65
3 0 .6470
a2
92.45
92.45
104
a1
a2 100
30
1 0.15
100+15= 115
2 0.30
100+4=104
3 0.55
100-20=80
100
104
80
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
13.- Una empresa está considerando la contratación de un ingeniero industrial para el diseño de su sistema logístico. De acuerdo con las previsiones realizadas, un buen diseño reportaría a la empresa empresas un beneficio de 500 000€, mientras que si el diseño no resulta adecuado la empresa obtendrá una pérdida de 100 000€. La gerencia de la empresa, evaluando la preparación y capacidad del Ingeniero, ha estimado en un 70% las posibilidades existentes de obtener un buen diseño del sistema logístico de la empresa. Una consultoría ha desarrollado un test de aptitudes, fiable en un 90%, para determinar el éxito potencial del candidato. El costo de este test es de 5000€. Se pide: a) El árbol de decisión del problema. b) La estrategia óptima para la empresa. c) El costo que como máximo estará dispuesto a pagar la empresa por el test de aptitud. d) El valor esperado de la información perfecta ¿Qué indica este valor? SOLUCIÓN 1.- Decisor: La empresa. 2.- Alternativas: a1 : Contratar al ingeniero industrial.
a2 : No contratar al ingeniero industrial.. 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Realizar un buen diseño. P(1 ) 70% o´ 0.70 (Reporta beneficios de 500 000€) 2 : Realizar un mal buen diseño. P( 2 ) 30% ó 0.30 (Obtendrá una pérdida de 100 000€ ) 4.- Matriz de consecuencias:
1
2
a1
500 000
-100 000
a2 P( )
0
0
0.70
0.30
5.- Función de consecuencias: f (a1 , 1 ) = 500 000€ f (a1 , 2 ) = -100 000€ Si no se contrata al ingeniero industrial la empresa no gana ni pierde nada f (a2 ,1 ) = f (a2 , 2 ) = 0 C= 500€ Tabla de información adicional. El test determina el éxito o fracaso del ingeniero además este test es fiable en solo 90% es decir que con un 90 % de fiabilidad va determinar el éxito y también con un 90 % de fiabilidad va determinar el fracaso del profesional. Los eventos o resultados por el estudio serán: X1 = Éxito del profesional. X2 = Fracaso del profesional. Por tanto la tabla de información adicional es:
1 X1 X2
2
0.9 0.1 1
31
0.1 0.9 1
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
a) El árbol de decisión del problema. 1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.
a : 500000 * 0.7 (100000) * 0.3 320000 a Maxai a2 : 0 * 0.7 0 * 0.3 0 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori P(i / X )
P( X / i ) * P( i ) m
P( X / k 1
Para X1:
P(1 / X1)
P( X 1/ 1 )
P( X 1/ k 1
P( 2 / X1)
k
)
)P( k )
0.9 * 0.70 0.63 0.95455 0.9 * 0.70 0.1* 0.30 0.66
0.1* 0.30 0.04545 0.66
Para X2
P(1 / X 2)
P( X 2 / 1 )
m
P( X 2 / k 1
P( 2 / X 2)
m
k
k
)
0.1* 0.70 0.07 0.20588 0.1* 0.70 0.9 * 0.30 0.34
0.9 * 0.3 0.79412 0.34
P(X1)= 0.66 y P(X2)=0.34 Actualizando la tabla:
1
X1 X2
2
0.95455 0.04545 1 0.20588 0.79412 1 Probabilidades a posteriori
X1 = Éxito del profesional.
a : 500000 * 0.95455 (100000) * 0.04545 472727.27 a Maxai a2 : 0 * 0.95455 0 * 0.04545 0 Restando el costo de la información
a : 500000 * 0.95455 (100000) * 0.04545 472727.27 500 472227.27 a Maxai a2 : 0 * 0.95455 0 * 0.04545 0 500 500 X2 = Fracaso del profesional.
a : 500000 * 0.20588 (100000) * 0.79412 23529.412 a Maxai a2 : 0 * 0.20588 0 * 0.79412 0 Restando el costo de la información
a : 500000 * 0.20588 (100000) * 0.79412 23529.412 500 23029.412 a Maxai a2 : 0 * 0.20588 0 * 0.79412 0 500 500
32
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
ARBOL DE DECISION 500000 320000
0.70
1
2
a1 320000
0.30
-100000
0 320000
1
a2
0.70
0
2 0.30 0
472727.27
0.95455
1 a1
2
472727.27
0.04545
a2
0.66
500000
0
1
-100000 0
0.95455
X1
2 319499.99
0
0.04545 X2 23529.412
319999.999 - 500
0.34
1
a1
0.20588
500000
0.70412
23529.412 -100000 0
a
1
0.20588
0
2 0.70412
33
0
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
b) La estrategia óptima para la empresa. La empresa no debe hacer el estudio y contratar al ingeniero industrial. c) El costo que como máximo estará dispuesto a pagar la empresa por el test de aptitud.
1
2
a1 a2 P( )
500 000
-100 000
0
0
0.70
0.30
Max
500 000
0
E[I] = 500 000* 0.70 + 0* 0.30 = 350 000 € d) El valor esperado de la información perfecta ¿Qué indica este valor?
C = E[f(a,θ)] – E[I] C = 320 000 – 350 000 = -30000 C = 30000 € C< C Si la empresa desea puede realizar los estudios. 14.- La compañía de computadoras, fábrica de chips de memorias en lotes de diez. Según su experiencia, la compañía sabe que el 80% de todos los lotes contiene el 10% (uno de cada diez) de los chips es defectuoso, y el 20% de todos los lotes contiene 50%( 5 de cada 10) de chips defectuosos. Sí un lote bueno, esto es, con el 10% de defectos se manda a la siguiente etapa de producción, los costos de proceso en que se incurra serán de 1000 $us. Si un lote malo, o sea con 50% de chips defectuosos, se manda a la siguiente etapa de producción, se incurre en 4000 $us de costos. La compañía tiene también la opción de reprocesar un lote a un costo de 1000 $us, es seguro que un lote reprocesado será después un lote bueno. Otra opción es que, por un costo de 100 $us, la compañía pueda probar un chip de cada lote para tratar de determinar si es defectuoso ese lote. Determine como puede la compañía reducir al mínimo el costo total esperado por lote, también calcule el VEIM y el VEIP, plantee el problema como una matriz costo beneficio, y como un árbol de decisión. SOLUCIÓN 1.- Decisor: La compañía de computadoras. 2.- Alternativas: a1 : Enviar el lote sin reprocesar.
a2 : Enviar el lote reprocesado (Costo por reprocesar 1000 $) 3.- Estados de la naturaleza: 1 : Lote bueno P(1 ) 80% o´ 0.80 (Un lote bueno genera un costo de 1000 $) 2 : Lote malo. P( 2 ) 20% ó 0.20 (Un lote malo genera un costo de 4000 $) 4.- Matriz de consecuencias: 1000
4000
2000
2000 0.20
34
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
5.- Función de consecuencias:
f (a1 , 1 ) = Si se envía un lote bueno al siguiente nivel y este es bueno entonces genera un costo de 1000 $ f (a1 , 2 ) = Si se envía un lote malo al siguiente nivel y este en verdad es malo, genera un costo de 4000 $ f (a2 ,1 ) = Si un lote se envía a reprocesar y este es bueno por reprocesar de nuevo este lote genera un costo de
1000 $, además como sigue siendo bueno seguirá generando un costo de 1000 $ al enviar al siguiente nivel = 1000+1000 = 2000 $ f (a2 , 2 ) = Si un lote se envía a reprocesar y este es malo, por reprocesar este lote cuesta 1000 $, una vez reprocesado este lote malo pasa a ser un lote bueno, por tanto un lote bueno en el siguiente nivel seguirá generando un costo de 1000 $ = 1000 +1000 = 2000 $ Tabla de información adicional C= 100 $ Los eventos o resultados por el estudio serán: X1 = Defectuoso. X2 = No defectuoso. X1 X2 ∑
1
2
0.1 0.9 1
0.5 0.5 1
P(X1/ 1 ) = La probabilidad de que sea defectuoso un chip del lote bueno es: 10% o 0.1 P(X1/ 2 )= La probabilidad de que sea defectuoso un chip del lote malo es 50% o 0.5 Por complemento P(X2/ 1 ) = 0.9; P(X2/ 2 ) = 0.5 1ro Criterio de bayes sin experimentación: Nuestra matriz es de costos por tanto el objetivo será minimizar.
a : 1000 * 0.8 4000 * 0.2 1600 a Minai a 2 : 2000 * 0.8 2000 * 0.2 2000 Bajo el criterio de bayes sin experimentación se recomienda a la empresa elegir la alternativa reprocesar.) porque genera el menor costo esperado. 2do Criterio de bayes con experimentación: Hallando las probabilidades A posteriori P( i / X )
P( X / i ) * P( i ) m
P( X / k 1
Para X1:
P(1 / X1)
P( X 1/ 1 )
P( X 1/ k 1
P( 2 / X1)
m
k
)
k
)P( k )
0.1* 0.8 0.08 0.4444 0.1* 0.8 0.5 * 0.20 0.18
0.5 * 0.20 0.5556 0.18
35
a1
(Enviar el lote sin
SIS -26 10 “A ”
Para X2
P(1 / X 2)
OPERATIVA II
P( X 2 / 1 )
P( X 2 / k 1
P( 2 / X 2)
m
k
)
Aux. : Egr.
0.72 0.9 * 0.80 0.8780 0.9 * 0.80 0.5 * 0.20 0.82
0.5 * 0.20 0.1219 0.82
P(X1)= 0.18 y P(X2)=0.82 Actualizando la tabla:
1
X1 X2
2
0.4444 0.5556 1 0.8780 0.1219 1 Probabilidades a posteriori
X1 = Defectuoso.
a :1000 * 0.4444 4000 * 0.5556 2666.67 Minai a2 : 2000 * 0.4444 2000 * 0.5556 2000 a2 Sumando el costo de la información
a :1000 * 0.4444 4000 * 0.5556 2666.67 100 2766.67 Minai a2 : 2000 * 0.4444 2000 * 0.5556 2000 100 2100 a2 Si el resultado sale defectuoso elegir la alternativa a 2 (Enviar el lote reprocesado) con un costo esperado de 2100 $ X2 = No defectuoso.
a :1000 * 0.8780 4000 * 0.1219 1365.85 a Minai a2 : 2000 * 0.8780 2000 * 0.1219 2000 Sumando el costo de la información
a : 1000 * 0.8780 4000 * 0.1219 1365.85 100 1465.85 a Minai a2 : 2000 * 0.8780 2000 * 0.1219 2000 100 2100 Si el resultado sale no defectuoso elegir la alternativa a1 (Enviar el lote sin reprocesar) con un costo esperado de 1465.85 $ Calcule el VEIM y el VEIP VEIM = E[I]
1
2
a1 a2 P( )
1000
4000
2000
2000
0.80
0.20
Min
1000
2000
VEIM = E[I] = 1000*0.8 + 2000*0.2 = 1200$ VEIP =
C = E[f(a;θ)] – E[I] = 1600 – 1200 = 400$
36
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
ARBOL DE DECISIÓN 1000 1600
1
0.80
2
a1 1600
0.20 2000
1579.997
1
a2
0.80
4000 2000
2 0.20 2000
2666.67
a1
0.4444
1 2
2000
0.5556
a2
0.18
1000
2000
1
4000
0.4444
2000
0.5556
2000
0.8780
1000
X1
2 1579.997
X2 1365.85 1479.997 + 100
1
0.82
2
a1
0.1219
1365.85
4000
2000
a2
1
0.8780
2000
2 0.1219
37
2000
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
15.- El departamento de ciencias de decisión intenta determinar cuál de dos maquinas copiadoras comprar. Ambas maquinas cumplirán las necesidades del departamento durante los diez años siguientes. La maquina 1 cuesta 2000$ y tiene un acuerdo de mantenimiento que por una cuota anual de 150$, cubre todas las reparaciones. La maquina 2 cuesta 3000$ y su costo de mantenimiento anual es una variable aleatoria. En el presente, el departamento de ciencias de la decisión cree que hay 40% de probabilidad de que el costo de mantenimiento anual de la máquina 2 sea de 0$, 40% de probabilidad de que sea 100$ y 20% de probabilidades de que sea 200$. Antes de que se tome la decisión de comprar, el departamento puede pedir a un técnico capacitado que evalué la calidad de la maquina 2. Si el técnico cree que la maquina 2 es satisfactoria, hay 60% de probabilidad de que su costo de mantenimiento anual sea 0$ y 40% de probabilidad de que sea 100$. Si el técnico cree que la maquina 2 es insatisfactoria, hay 20% de probabilidad de que el costo de mantenimiento anual sea 0$, 40% de que sea 100$ y 40% de que sea 200$. Si hay 50% de probabilidades de que el técnico de un informe satisfactorio. Si el técnico cobre 40$ ¿Que debe hacer el departamento de ciencias de la decisión? SOLUCION 1.- Decisor Departamento de las ciencias de decisión. 2.- Alternativas o acciones.
a1 : Comprar maquina 1 a2 : Comprar maquina 2 3.- Estados de la naturaleza
1 : Costo de mantenimiento de la maquina 2 sea de 2 : Costo de mantenimiento de la maquina 2 sea de 3 : Costo de mantenimiento de la maquina 2 sea de
P(1 ) = 40% 100$ año. P( 2 ) = 40% 2000$ año. P( 3 ) = 20% 0$ año.
4.- Matriz de consecuencias.
a1 a2 P( )
1
2
3
3500
3500
3500
3000
4000
5000
0.4
0.4
0.2
5.- Función de consecuencia f (a1 ;1 ) = f (a1; 2 ) = f (a1 ;3 ) = 2000[$] + 150[$/año]*10[año] = 3500 $
f (a2 ;1 ) = 3000[$] + 0[$/año]*10[año] = 3000 $ f (a2 ; 2 ) = 3000[$] + 100[$/año]*10[año] = 4000 $ f (a2 ;3 ) =3000[$] + 200[$/año]*10[año = 5000 $] Como la matriz representa costos entonces el objetivo será minimizar costos.
38
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Criterio Bayesiano sin consultar al técnico
a : 3500 * 0.4 3500 * 0.4 3500 * 0.2 3500 a1 Min[a i ] Min 1 a2 : 3000 * 0.4 4000 * 0.4 5000 * 0.2 3800 Bajo el criterio Bayesiano sin experimentación se debe elegir la alternativa
a1
Criterio Bayesiano con consulta al técnico C = 40$ X1= Informe satisfactorio. P(X1) = 0.5 X2= Informe insatisfactorio. P(X2) = 0.5
1
2
3
∑
X1 0.6 0.4 0 1 X2 0.2 0.4 0.4 1 Tabla de probabilidades a posteriori En este problema no es necesario calcular las probabilidades a posteriori ya nos da por tanto solo hay que calcular el valor esperado según los resultados del técnico. Para X1:
a : 3500 * 0.6 3500 * 0.4 3500 * 0 3500 40 3460$ Min[a i ] Min 1 a 2 : 3000 * 0.6 4000 * 0.4 5000 * 0 3400 40 3360$ a 2 Bajo el criterio Bayesiano con experimentación se debe elegir la alternativa
a2
representa el menor costo esperado.
Para X2:
a : 3500 * 0.2 3500 * 0.4 3500 * 0.4 3500 40 3460$ a1 Min[a i ] Min 1 a 2 : 3000 * 0.2 4000 * 0.4 5000 * 0.4 4200 40 3160$ Bajo el criterio Bayesiano con experimentación se debe elegir la alternativa
39
a1 representa el menor costo esperado.
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
ARBOL DE DECISION 3500 0.4 3500
1
2
0.4 3500
3
a1
0.2
3500
3500 3000
a2
1
0.4
3800
2 0.4
4000
3 0.2
5000
3500
3410
1
0.6
3500
2
3
a1
0.4
3500
0 3500
3400 3000 3400
2
1
0.6
2
0.4
4000
0.5
3
X1
0 5000
3410
3500
3500
3450-40=3410 X2 0.5
1
0.2
2 0.4
3500
3
a1
0.4
3500
3500 3000
a2
4160
1
0.2
2
0.4
4000
3 0.4
40
5000
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
ARBOLES DE DECISION 16.- Una empresa tiene la posibilidad de presentarse a un concurso público para la adjudicación del servicio internacional de correo aéreo, que le supondría un beneficio de 5 millones de euros al año. Para presentarse al concurso debe preparar un proyecto que le costara medio millón de euros, considerando que la probabilidad de conseguir el contrato es de un 70%. La empresa no posee aviones suficientes para cubrir el servicio por lo que en el caso de conseguir el contrato, debe decidir si compra aviones que le faltan, o los alquila a una empresa nacional o extranjera. El coste de cada opción planteada es de 3, 1.5, y 1.3 millones de euros respectivamente. La empresa sabe que tiene una probabilidad de un 50% de conseguir una subvención estatal del 50% del importe de la compra, de un 30% del precio del alquiler si el proveedor es una empresa nacional y de un 20% si es extranjera. En este último caso, también tiene que tener en cuenta que el pago se realizara en dólares y que una devaluación del euro supondrá una perdida adicional de 100 000 euros. Según la situación actual del mercado monetario, esta empresa considera que la probabilidad de una devaluación del euro es de un 75% a) ¿Qué decisión deberá tomar la empresa? SOLUCION 1.- Decisor La empresa 2.- Alternativas o acciones. a1 : Se presenta.
a2 : No se presenta. a3 : Comprar aviones.
a4 : Alquilar los aviones a una empresa nacional. a5 : Alquilar los aviones a un empresa extranjera. 3.- Estados de la naturaleza
1 : Consigue el contrato. P(1 ) = 70% 2 : No consigue el contrato. P( 2 ) = 30% 3 : Conseguir subvención. P(3 ) = 50% 4 : No conseguir subvención. P( 4 ) = 50% 5 : Ocurre devaluación del euro. P(5 ) = 75 % 6 . No ocurre devaluación del euro. P( 6 ) = 25%
Datos adicionales Ganancias = 5 millones de euros al año Costo del proyecto = 500 000 euros Costo de compra de aviones = 3 millones de euros Costo de alquiler de aviones a una empresa nacional = 1.5 millones de euros Costo de alquiler de aviones a una empresa extranjera = 1.3 millones de euros Costo de perdida por de valuación de euro = 100 000 euros Por la complejidad del problema se resolverá por árbol de decisión.
41
Gustavo
5000000 – 1500000 – 500000 = 3000000
3
0.5
4
a3
1
2128500
ARBOL DE
OPERATIVA II
3255000
3225000
5000000 – 3000000 – 500000 = 1500000
3
5000000 – 1050000 – 500000 = 3450000 0.5
a4 4
a5
0.7
0.5
0.5 5000000 – 1500000 – 500000 = 3000000
3255000
3
a1
2
2128500
5000000 – 1040000 – 500000 – 100000 = 3360000
5
0.75
0.5
0.25
6
4
0.3
-500000
a2
3385000
42
Aux. : Egr.
2250000
5000000 – 1040000 – 500000 = 3460000
0.5 3125000
5
5000000 – 1300000 – 500000 – 100000 = 3100000
0.75
0
6
0.25
SIS
“A”
5000000 - 1300000 – 500000 = 3200000
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
17.- Una compañía está considerando el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. Este, en caso de realizarse, se haría en dos etapas: "Santiago" y "Regiones". Aun no se ha decidido en donde se lanzara primero el producto, y dependiendo del resultado de la primera etapa se decidirá si se realiza la segunda o no. Se cree que si el producto es lanzado primero en "Santiago", la primera etapa tendrá éxito con probabilidad 0,6. En cambio si se lanza primero en "Regiones" la probabilidad de éxito de esta será solo 0,4. De acuerdo a los antecedentes que se tienen, un producto que es lanzado primero en "Santiago", y tiene éxito, es exitoso en "Regiones" el 80% de las veces, mientras que cuando el producto fracasa en "Santiago" solo el 20% de las veces resulta ser exitoso en "Regiones". Por otro lado, un producto que es lanzado primero en "Regiones", y tiene éxito, es exitoso en "Santiago" el 40% de las veces, mientras que cuando el producto fracasa en "Regiones" solo el 5% de las veces resulta ser exitoso en "Santiago". Si el producto resulta exitoso en "Santiago" la compañía obtendrá un beneficio neto de 40 millones de pesos. Si por el contrario resulta un fracaso, tendrá perdidas por $ 15 millones. Además, si el producto resulta exitoso en "Regiones" se obtendrá un beneficio neto de $ 25 millones, mientras que si resulta un fracaso, la compañía experimentara perdidas por $ 20 millones. Todo lo anterior independiente de la etapa del lanzamiento. Con los datos entregados construya y resuelva un árbol de decisión que ayude a la compañía a encontrar la política de lanzamiento óptima para el nuevo producto. SOLUCION 1.- Alternativas o acciones
a1 = Lanzar en la primera etapa en Santiago. a2 = Lanzar en la primera etapa en Regiones. a3 = Lanzar en la segunda etapa en Regiones.
a4 = No lanzar en la segunda etapa en Regiones. a5 =Lanzar en la segunda etapa en Santiago. a6 = No lanzar en la segunda etapa en Santiago. 2.- Estado de la naturaleza
1 = Éxito en Santiago en la primera etapa. P(1 ) = 0.6 2 = Fracaso en Santiago en la primera etapa. P( 2 ) = 0.4 3 = Éxito en Regiones en la primera etapa. P(3 ) = 0.4 4 = Fracaso en Regiones en la primera etapa. P( 4 ) = 0.6 5 = Éxito en Regiones en la segunda etapa si es exitoso en Santiago. 6 = Fracaso en Regiones en la segunda etapa si es exitoso en Santiago 7 = Éxito en Regiones en la segunda etapa si es fracaso en Santiago. 8 = Fracaso en Regiones en la segunda etapa si es fracaso en Santiago 9 = Éxito en Santiago en la segunda etapa si es exitoso en Regiones 10 = Fracaso en Santiago en la segunda etapa si es exitoso en Regiones 1 1 = Éxito en Santiago en la segunda etapa si es fracaso en Regiones 12 = Fracaso en Santiago en la segunda etapa si es fracaso en Regiones
43
P(5 ) = 0.8 P( 6 ) = 0.2 P( 7 ) = 0.2 P(8 ) = 0.8 P(9 ) =0.4 P(10 ) =0.6 P(11) =0.05 P(12 ) =0.95
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
ARBOL DE DECISION 25
5
16
6
a3
16
0.8
0
0.2
5
-20
0.8
0
4 0.6
6
1
0.2
0
9.6 -11
2
0.4
a3
0
7 8
25
0.2
0.8 -20
a1
a4
0
9.6
7 8
0.2
0
0.8 0
7
a5
7
a2 3
9 10
0.4
40
0.6 -15
0.4
9
6
2.8
10
4
0
0.4
0.6 0
-12.25 0.6
a5
0
11
0.05 40
12
0.95 -15
a6
0
11
0.05
0
12 0.95 0
44
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
18.- Un popular concurso de televisión funciona de la siguiente manera: en primer lugar se pregunta al concursante una cuestión acerca de literatura, si contesta bien ganara 1000€ y podrá seguir jugando, pero si falla deberá abandonar el concurso, sin premio alguno. El concursante estima que tiene una probabilidad del 80% de acertar la pregunta. En caso de acertar podrá decidir entre responder a una segunda cuestión, esta vez sobre ciencia y tecnología, o retirarse con el premio acumulado hasta ese momento, si decide jugar y acierta obtendrá un premio adicional de 3000€ pero si falla perderá todo lo ganado hasta ese momento. El concursante cree que sus probabilidades de acertar esta cuestión son de un 60%. Finalmente en caso de acertar esta segunda pregunta, el concursante podrá optar entre seguir jugando y contestar a una tercera pregunta sobre deportes o plantarse o quedarse con el dinero acumulado. Si decide jugar y acierta obtendría un premio adicional de 5000€, pero si falla perderá todo lo acumulado hasta entonces. El jugador estima que su probabilidad de acertar esta t ercera pregunta es de un 40% Determine la estrategia optima para el jugador, de manera que maximice el valor esperado de este juego y determine cuál será dicha cantidad. SOLUCIÓN 1.- Decisor: El participante. 2.- Alternativas: a1 : Jugar
a2 : No jugar o retirarse 3.- Estados de la naturaleza:
1 : Acertar a la pregunta
Para la primera pregunta P(1 ) 80% o´0.80, para la segunda pregunta
P(1 ) 60% o´0.60, para la tercera pregunta P(1 ) 40% o´ 0.40 2 : No acertar a la pregunta Para la primera pregunta P( 2 ) 20% ó 0.20, para la segunda pregunta P( 2 ) 40% ó 0.40, para la tercera pregunta P( 2 ) 60% ó 0.60 1000+3000+5000=9000 9000
1
0.40
1200
0.60 1000+3000=4000
2
a1
-4000
4000
1 2000
4000
0.40
1000
2
a1 2000
1600
a2 0.60
-1000
1
a2
0.80
1000 0.20
a1
2
1600
0
a2 0
Cálculos adicionales 9000*0.4+ (-4000)*0.6 = 1200 4000*0.6+ (-1000)*0.4 = 2000 2000*0.8 + 0*0.2 = 1600 Respuesta. Al jugador se recomienda que solo juegue hasta la segunda pregunta después que se retire con un premio acumulado de 4000 €
45
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
FUNCION DE UTILIDAD 19.- Considere tres administradores de una hacienda que tenga que escoger entre comprar 500, 600 u 800 reses de engorde. La utilidad del engorde depende si la estación de cosecha de grano es buena, regular o pobre. La convicción personal de los administradores sobre estos eventos es de que hay 0.40 de posibilidad de una buena estación, 0.20 de posibilidad de una estación regular y 0.40 de posibilidad de una estación pobre. Las utilidades netas totales en miles de dólares se muestran en la tabla de pagos:
1 : Buena
2 : Regular
3 : Mala
20
10
6
25
12
0
34
16
-11
0.4
0.2
0.4
a1 : Comprar 500 a2 : Comprar 600 a3 : Comprar 800 P( )
a) Para cada administrador, calcule la utilidad esperada para cada acción y escoja la acción óptima ¿Si la función de utilidad de los administradores es adversa al riesgo, neutral al riesgo y propensa al riesgo? Se tiene: E = [34; 25; 20; 16; 12; 10; 6; 0; -11] Considerando probabilidades subjetivas, asociadas a los eventos.
Para una función de utilidad neutral al riesgo:
1
2
3
a1 a2
0.68
0.46
0.36
0.8
0.5
0.25
a3 P( )
1
0.6
0
0.4
0.2
0.4
46
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
a1 : 0.68 * 0.4 0.46 * 0.2 0.36 * 0.4 0.508 Maxai Max a2 : 0.8 * 0.4 0.5 * 0.2 0.25 * 0.4 0.52 a 2 a3 :1* 0.4 0.6 * 0.2 0 * 0.4 0.52 a3 Si los administradores fueran neutrales al riesgo puede elegir entre comprar 600 u 800 reses.
Para una función adversa al riesgo
1
2
3
a1
0.98
0.91
0.8
a2 a3 P( )
0.99
0.921
0.6
1
0.97
0
0.4
0.2
0.4
a1 : 0.98 * 0.4 0.91* 0.2 0.8 * 0.4 0.894 a1 Maxai Max a2 : 0.99 * 0.4 0.921* 0.2 0.6 * 0.4 0.8202 a3 :1* 0.4 0.97 * 0.2 0 * 0.4 0.594 Si los administradores fueran adversos al riesgo puede elegir comprar 500 reses Para una función propensa al riesgo
a1 a2 a3 P( )
1
2
3
0.25
0.12
0.09
0.46
0.15
0.05
1
0.21
0
0.4
0.2
0.4
a1 : 0.25 * 0.4 0.12 * 0.2 0.09 * 0.4 0.16 Maxai Max a2 : 0.46 * 0.4 0.15 * 0.2 0.05 * 0.4 0.234 a3 :1* 0.4 0.21* 0.2 0 * 0.4 0.442 a3 Si los administradores fueran propensos al riesgo puede elegir comprar 800 reses
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SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
20. La empresa de cervecería "Cordillera" puede capturar el 10% del mercado con una campaña de promoción muy sencilla; 30% con una campaña media, si las empresas competidoras no cambian su nivel de promoción. Existe un 20% de probabilidad de que estas empresas no cambien su nivel de promoción. Existen un 45% de probabilidad de que las empresas competidoras incrementen su nivel de publicidad por lo que la empresa "La Autentica" puede ver afectada su participación de mercado con solo el 5%. Existe otro 35% de probabilidad de que los competidores disminuyan su nivel de publicidad con lo que la empresa "La Autentica" puede incrementar su porción de mercado en un 40%. Por último, si la empresa "La Autentica" lanza una gran promoción, vera aumentado su mercado en 35%(s¡ los competidores no hacen nada), 30%(s¡ ellos también cambian el nivel de publicidad) y 50%(si bajan los competidores el nivel de publicidad). La campaña de publicidad sencilla cuesta medio millón de pesos; la media 2 millones de pesos y la de gran envergadura 4 millones de pesos. La función de ganancias de la empresa " Cordillera " es igual a: G=10000000(%del mercado) - 2000 Se pide: a) El árbol de decisión correspondiente. b) La decisión óptima que tomaría la empresa frente a las políticas de mercado de sus competidores. c) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad propensa al riesgo? d) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad adversa al riesgo? SOLUCIÓN 1.- Decisor: La cervecería cordillera. 2.- Alternativas: a1 : Campaña muy sencilla.
C=500 000 pesos
a2 : Campaña media. C = 2 000 000 pesos. a3 : Campaña grande. C = 4 000 000 pesos 3.- Estados de la naturaleza:
1 : Otras empresas no cambian su nivel de publicidad P(1 ) 20% ó 0.20 2 : Otras empresas incrementan su nivel de publicidad P( 2 ) 45% ó 0.45 3 : Otras empresas disminuyen su nivel de publicidad P( 3 ) 35% ó 0.35
4.- Matriz de consecuencias: Matriz de porcentajes
3
a Matriz de consecuencias:
a1 a2 a3 P( )
10%
5%
40%
30%
5%
40%
35%
30%
50%
0.2
0.45
0.35
1
2
3
498
-2
3498
998
-1502
1998
-502
-1002
998
0.2
0.45
0.35
En miles de pesos
48
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
5.- Función de consecuencias: B= Ganancias totales – Costos totales
f (a1 , 1 ) = (10 000 000*(0.1) - 2000) – 500 000 = 498 000 f (a1 , 2 ) = (10 000 000*(0.05) -2000) – 500 000 = -2000 f (a1 , 3 ) = (10 000 000*(0.04) -2000) – 500 000 = 3 498 000 f (a2 ,1 ) = (10 000 000*(0.3) -2000) – 2 000 000 = 998 000 f (a2 , 2 ) = (10 000 000*(0.05) -2000) – 2 000 000 = -1 502 000 f (a2 , 3 ) = (10 000 000*(0.4) -2000) – 2 000 000 = 1 998 000
f (a3 , 1 )
= (10 000 000*(0.35) -2000) – 4 000 000 = -502 000
f (a3 , 2 ) = f (a3 , 3 ) =
(10 000 000*(0.30) -2000) – 4 000 000 = - 1 002 000 (10 000 000*(0.50) -2000) – 4 000 000 = 998 000
a) El árbol de decisión correspondiente ARBOL DE DECISION
1323
1
498
0.2
2 0.45 3
-2
0.35 3498
a1 1323
223
a2
1
0.2
2 0.45 3
998 -1502
0.35
3
1998 -202
1 0.2 2 0.45 3
-502 -1002
0.35 998
49
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
b) La decisión óptima que tomaría la empresa frente a las políticas de mercado de sus competidores. La cervecería cordillera debe elegir la alternativa a1 es decir realizar una campaña muy sencilla porque obtiene el mayor valor esperado 1 323 000 pesos. c) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad propensa al riesgo? d) ¿Cuál debería ser el nivel de promoción, si la empresa adopta una función de utilidad adversa al riesgo?
50
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Propenso al riesgo f()
3498 1
1998 0.41
998 0.22
998 0.22
498 0.19
-2 0.09
1
0.4285
-502 0.04
0.2
2 0.45 3
-1002 0.01
-1502 0
0.19
0.09
0.35 1
a1 0.4285
0.1875
a2
1
0.2
2 0.45 3
0.22 0
0.35
3
0.41 0.0895
1 0.2 2 0.45 3
0.04 0.01
0.35 0.22
Si la cervecería cordillera tiene una actitud propensa al riesgo se recomienda elegir la alternativa una campaña muy sencilla
51
a1 es decir realizar
SIS -26 10 “A ”
OPERATIVA II
Aux. : Egr.
Aversión al riesgo f()
3498 1
1998 0.99
998 0.98
998 0.98
498 0.96
-2 0.91
1
0.9515
-502 0.48
0.2
2 0.45 3
-1002 0.35
-1502 0
0.96
0.91
0.35 1
a1 0.9515
0.5425
a2
1
0.2
2 0.45 3
a3
0.98 0
0.35 0.99
0.5965
1 0.2 2 0.45 3
0.48 0.35
0.35 0.98
Si la cervecería cordillera tiene una actitud con aversión al riesgo se recomienda elegir la alternativa realizar una campaña muy sencilla
52
a1 es decir
