Hμm mét biÕn 1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm • (uα)’ = α .u’.uα-1 (α: H»ng sè, U: Hµm sè) • (aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm sè) • (eU)’ = u’.eU • (Sin u)’ = u’.cos u • Cos u)’ = - u’.sin u
• (arcsin u)’ = • (arccos u)’ =
u' 1− u2 − u'
;
1− u2 u' • (arctg u)’ = ; 1+ u 2 − u' • (arccotg u)’ = 1+ u2
u' ; Cos 2 u − u' • (Cotg u)’= 2 Sin u u' • (Logau)’ = u. ln a
• (Tg u)’=
• (u ± v)’=u’ ± v’ • (u.v)’= u’v+v’u u v
• ( )’ =
u ' v − v' u v2
2. Vi ph©n du = u’.dx 3. Giíi h¹n - V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng : Lim α ( x) = 0 => α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a x →a
Lim x →a
α ( x) = 1 --> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a β ( x)
Ký hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a §Þnh lý : NÕu α(x) ∼α1(x) vµ β (x) ∼β1(x)khi x->a th× Lim x →a Sin x ∼ x khi x->0 ArcSin x ∼ x khi x->0 Tg x ∼ x khi x->0 - C«ng thøc Lopital khö d¹ng
0 ∞ ; : 0 ∞
α ( x) α ( x) = Lim 1 β ( x ) x → a β1 ( x )
ArcTg x ∼ x khi x->0 khi x->0 ex-1 ∼ x ln(1+x) ∼ x khi x->0 Lim x →a
f ( x) f ' ( x) = Lim g ( x ) x→a g ' ( x )
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x0 nÕu : + f(x0) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n + Lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0
(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× x0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n) Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh 5. TÝch ph©n a. C«ng thøc nguyªn hµm 1 • ∫ cos x.dx = − sin x + C • xα dx = .x α +1 + C (α>0)
∫
• • • •
(α + 1) 1 x x ∫ a dx = ln a .a + C x x ∫ e dx =e + C
∫ sin x.dx = cos x + C
∫ cos
•
x .dx = arcsin + C a a −x 1 1 x ∫ a 2 + x 2 .dx = a .arctg a +C 1 ∫ x .dx = ln x + C
•
1 ∫ sin 2 x .dx = -cotg x + C
• 1
1
•
∫
2
x 1
2
.dx = tg u + C 2
∫ u.dv = u.v − ∫ vdu
b. TÝch ph©n tõng phÇn:
Hμm nhiÒu biÕn 7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn • •
f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) = Lim Δ x → 0 Δx ∂x f x y ∂ f x y y ( , ) ( , + Δ ) − f ( x0 , y 0 ) 0 0 0 0 f y' ( x0 , y0 ) = = Lim Δy →0 ∂y Δy f x' ( x0 , y0 ) =
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1: df ( x, y) = f x' ( x, y )dx + f y' ( x, y)dy • Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2: d 2 f ( x, y ) = f xx2 ( x, y )dx 2 + 2 f xy2 ( x, y)dxdy + f yy2 ( x, y )dy 2 • C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng:
f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + fx’(x,y). Δx + fy’(x,y). Δy
• §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) : ⎧ ∂F ∂F ∂u ∂F ⎪⎪ ∂x = ∂u ∂x + ∂v ⎨ ∂F ∂F ∂u ∂F ⎪ = + ⎪⎩ ∂y ∂u ∂y ∂v
∂v ∂x ∂v ∂y
• §¹o hµm cña hµm Èn : *NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => y ' ( x) = −
Fx' ( x, y ) Fy' ( x, y )
*NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => z ' ( x) = −
Fx' ( x, y, z ) Fx' ( x, y, z ) ; z' ( y) = − ' Fx' ( x, y, z ) Fy ( x, y, z )
8 . Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn ⎧⎪ f x' ( x, y ) = 0 B−íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(xi,yi) lµ nghiÖm cña hÖ PT: ⎨ ' ⎪⎩ f y ( x, y ) = 0
B−íc2: KiÓm tra ®iÓm M(xi,yi) cã lµ cùc trÞ A=fxx”(xi,yi); B=fxy”(xi,yi); C=fyy”(xi,yi); A<0: M(xi,yi)--- Cùc ®¹i B2-AC < 0 A>0: M(xi,yi)--- Cùc tiÓu B2-AC > 0 M(xi,yi)--- kh«ng lµ cùc trÞ 2 B -AC = 0 M(xi,yi)--- Ch−a kÕt luËn ®−îc Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0 ⎧ f x' f y' f z' = ⎪ = Gi¶i hÖ PT: ⎨ g x' g 'y g z' ⎪ ⎩ g ( x, y , z ) = 0
=> NghiÖm M(x,y,z)
9. TÝch ph©n kÐp a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c: - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ c ≤ y ≤d th×:
∫∫ D
b
d
a
c
f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ y1(x) ≤ y ≤y2(x) th×: b
y2 ( x )
a
y1 ( x )
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy D
2
b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v)
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ | J | . f [ x(u, v), y(u, v)]dudv D
D
' D( x, y ) xu trong ®ã: J= = D(u , v) yu'
xv' yv'
c. Trong hÖ täa ®é cùc: I= ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.drdϕ D
(x= r.cosϕ; y= r.sinϕ)
D'
y
y
y
r=g2(ϕ)
D
ϕ2
r=g(ϕ)
r=g(ϕ)
ϕ2
r=g1(ϕ)
ϕ1 0
ϕ2
g 2 (ϕ )
ϕ1
g 1(ϕ )
I = ∫ dϕ
x
∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr
0
ϕ1
ϕ2
g (ϕ )
ϕ1
0
I = ∫ dϕ
10. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 1
x
D
∫
- NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤b th×:
AB
0
D
∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr
x
2π
g (ϕ )
0
0
I = ∫ dϕ
∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr
b
f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x)) 1 + y '2 ( x).dx a
∫
- NÕu: x=x(t), y=y(x), t1 ≤ t ≤t2 th×:
AB
t2
f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )). x '2 (t ) + y '2 (t ).dt t1
11 . TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 - NÕu AB ®−îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th× b
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x, y( x)) +Q( x, y( x)). y '( x)]dx
AB
a
- NÕu AB cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=tA (t¹i A), t=tB (t¹i B) th× : B
tB
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x(t ), y(t )).x '(t ) +Q( x(t ), y(t )). y '(t )]dt
AB
tA
- C«ng thøc Green :
∂P
∂Q
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy L
D
(L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ®−êng khÐp kÝn) HÖ qu¶: NÕu
∂Q ∂P trong D th×: = ∂x ∂y
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
D
L
• §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng: L Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (1) (2) (3)
∂Q ∂P = ∂x ∂y
∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy Mäi ®−êng cong kÝn L ⊂ D th×: ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 L+
+
(4)
(L - ®Þnh h−íng d−¬ng, do c«ng thøc Green) TÝch ph©n ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy kh«ng phô thuéc vµo ®−êng cong nèi 2 ®iÓm A,B AB
3
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y) 12 . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: (1) Ph−¬ng tr×nh ph©n ly: - TÝch ph©n 2 vÕ:
y' =
− f ( x) dy − f ( x) ⇔ = ⇔ f ( x)dx + g ( y )dy = 0 g ( y) dx g ( y)
∫ f ( x)dx + ∫ f ( y)dy = C ⇔ F(x)+ G(x) = C
y (2) Ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: y ' = f ⎛⎜ ⎞⎟ x ⎝ ⎠
y ⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã: x du u+u’.x= f(u) ⇔ x.u’ = f(u) – u hay x. = f (u ) − u dx
- §Æt u(x) =
* NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x * NÕu f(u) – u ≠ 0:
- lµ 1 hä nghiÖm
dx du (®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ : = x f (u ) − u y
φ( ) dx du ∫ x = ∫ f (u ) − u ⇒ ln | x |= φ (u) + ln | C | ⇒ x = C.e x 1 (Φ(u) lµ mét nguyªn hµm cña ) f (u ) − u
(3) Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0 y = e∫
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t:
P ( x ) dx
.(C + ∫ Q( x).e ∫
P ( x ) dx
dx)
(4) Ph−¬ng tr×nh Becnuly: y '+ p( x). y = q( x). yα (α ≠ 0, α ≠ 1) (Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh) • α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh • Víi y ≠ 0 chia c¶ 2 vÕ cho yα vµ ®Æt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.yα thay vµo PT z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh (5) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã: y
x
NghiÖm tæng qu¸t:
u ( x, y ) = ∫ P ( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y )dy = C x0
Hay :
∂P ∂Q ) = ∂y ∂x
y0
x
y
x0
y0
u ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q( x0 , y )dy = C
( trong ®ã (x0,y0) bÊt kú ∈ D). §Ó ®¬n gi¶n chän x0= 0, y0= 0, nÕu (0,0) ∈ D * Trong tr−êng hîp
∂P ∂Q ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch ≠ ∂y ∂x
nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0. ∂P ∂Q − − ϕ ( x ).dx ∂y ∂x - NÕu = ϕ ( x) th× μ ( x, y ) = μ ( x) = e ∫ Q ∂P ∂Q − ϕ ( y ).dy ∂y ∂x = ϕ ( y ) th× μ ( x, y ) = μ ( y ) = e ∫ - NÕu P
13. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’) (1) Ph−¬ng tr×nh khuyÕt (ph−¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1): • KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn 4
NghiÖm tæng qu¸t: y = ∫ ( ∫ f ( x).dx)dx + C1 x + C2
• KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x). Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x) • KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ => y '' = Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f ( y, z , z.
dy ' dz ( y ) dz dy dz dz = = . = . y ' = z. dx dx dy dx dy dy
dz ) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(y) dy
(2) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng : a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè) PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: y = y + y * trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1) y - lµ nghiÖm TQ cña (2) B−íc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm TQ: y = C1.y1(x)+ C2.y2(x) (C1, C2 : H.sè)
Δ>0 PT (3) cã 2 no: k1, k2 + y1 ( x) = ek x + y2 ( x ) = e k x y = C1.ek1.x+ C2.ek2.x 1
2
PT ®Æc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3) Δ=b2- 4ac Δ=0 Δ<0 PT (3) cã no kÐp: k1= k2=k PT (3) cã 2 no phøc: k1,2= α ± β.i + y1 ( x) = ekx + y1 ( x) = eα x .cos β x + y2 ( x) = x.ekx + y1 ( x) = eα x .sin β x α y = C1.ek.x+ C2.x.ek.x y = e .x(C1.cosβx+ C2.sinβx)
B−íc 2 : T×m nghiÖm riªng cña PTKTN(1) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè) T×m nghiÖm riªng : y* Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè C¨n cø d¹ng ®Æc biÖt cña vÕ tr¸i Lagrange D¹ng 1: f(x)=Pn(x).eαx (Pn(x) lµ ®a thøc bËc n) NghiÖm riªng cña (1) cã d¹ng: D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng XÐt: α y*= C1(x).y1(x)+ C2(x).y2(x) o Ko lµ n cña y* = Qn(x). eαx ( y1(x), y2(x) lµ 2 nghiÖm riªng ®éc lËp PT§T(3) (Qn(x) cïng bËc víi Pn(x)) cña PT thuÇn nhÊt (2) ë trªn) L lµ no ®¬n Trong ®ã C1(x), C2(x) lµ c¸c hµm tho¶ y* = x.Qn(x). eαx cña PT§T(3) m·n hÖ: ' ' ⎧⎪C1 ( x). y1 ( x) + C2 ( x). y2 ( x) = 0 L lµ no kÐp y* = x2. Qn(x). eαx ⎨ ' ' ' ' cña PT§T(3) ⎪⎩C1 ( x). y1 ( x) + C2 ( x). y2 ( x) = f ( x) D¹ng 2 : f(x)=eαx.(Pn(x).cosβx+Qm(x).sinβx) XÐt: α±β.i
D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ no cña PT§T(3)
y*= eαx.(Kt(x).cosβx+Qt(x).sinβx) (t=max(m,n))
Lµ no cña PT§T(3)
y*=x.eαx.(Kt(x).cosβx+Qt(x).sinβx) (t=max(m,n))
5
Chó ý: NÕu a.y’’+b.y’+c.y= f(x)+g(x) th× nghiÖm riªng: y*=y1*+ y2* trong ®ã y1*, y2* lÇn l−ît lµ 2 nghiÖm riªng cña 2 PT: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) vµ a.y’’+b.y’+c.y= g(x). Chuçi 14 . Chuçi sè • Chuçi héi tô : Chuçi sè :
+∞
∑u n =1
n
n
- Héi tô nÕu tæng riªng thø n : Sn = ∑ uk dÇn tíi mét giíi h¹n k =1
h÷u h¹n khi n→∞. • Chuçi ph©n kú : nÕu nã kh«ng héi tô. • Chuçi • chuçi
+∞
∑q
n=0 +∞
n
héi tô nÕu |q|<1; phÇn kú nÕu |q|≥ 1
1
∑ nα héi tô nÕu α >1; phÇn kú nÕu α ≤ 1 n =1
a. §K ®Ó mét chuçi héi tô : ∞
- NÕu chuçi
∑u n =1
n
héi tô th× Lim un = 0 ( Lim un = 0 =>kh«ng kh¼ng ®Þnh ®−îc chuçi n →+∞
n →+∞
∞
∑u n =1
n
héi tô) - NÕu Lim un ≠ 0 th× chuçi n →+∞
∞
∑u n =1
n
ph©n kú
• C¸c quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè ∞
- Quy t¾c D’lembert: chuçi d−¬ng
∑u n =1
∞
- Quy t¾c Cauchy: chuçi d−¬ng
∑u n =1
n
n
U n +1 =k n →+∞ U n
, Lim
, Lim n U n = k n →+∞
k<1: héi tô, k>1: ph©n kú k<1: héi tô, k>1: ph©n kú
15 . Chuçi hµm *T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm Un(x): b1: T×m giíi h¹n: l ( x) = Lim
n → +∞
U n +1 ( x) hoÆc l ( x) = Lim n U n ( x) n→+∞ U n ( x)
b2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: l(x) < 1 ®Ó t×m kho¶ng héi tô cña chuçi hµm b3: T¹i x = x0 mµ l(x)=1 ta thay x = x0 ®Ó xÐt trùc tiÕp b4: KÕt luËn miÒn héi tô cña hµm
6
