Cong Pha Toan

Ng ọc Huyền LB

Công Phá Toán

MỤC LỤC Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm .............................................13 I.I. Tính đơn điệu của hàm số ........................................................................................... 13 A. Lý thuyết ................................................................................................................ 13 B. Bài tập trong các đề thi thử của các trường .......................................................... 14 Dạng 1: Bài toán không chứa tham số ......................................................... ......................................................................................... ................................ 14 Bài tập rèn luyện kỹ năng ............................................................................... 19 Dạng 2: Bài toán chứa tham số ....................................................................................................... 21 Bài tập rèn luyện kỹ năng ............................................................................... 28 Hướng dẫn giải chi tiết ......................................................................................... 29 I.II. Cực trị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ......................... ............. ............ 34 A. Lý thuyết về cực trị của hàm số ............................................................................. 34 B. Các dạng toán liên quan đến cực trị ....................................................................... 37 Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số, tìm gái trị cực trị của hàm số ............................................................................................................... 37 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ..................................................... ............................................................................. ........................ 40 Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đã cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ............................................. ............................... ........ 41 3.1. Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y



ax 4

3.2. Xét hàm số bậc ba có dạng y



d a 



ax 3



bx 2



cx





bx 2 0





c a 

0

 ....... 41

 ........................ 47

3.3. Xét hàm phân thức .................................................................................. 50

Đọc thêm: Phương pháp sử d ụng máy tính cầm tay để gi ải nhanh các bài tập xác định tham số

m

để hàm f x  đạt cực đại (cực tiểu) tại

x

0

........................... .............. ......................... ........................ ............ 52

Bài tập rèn luyện kỹ năng ..................................................................................... 54 Hướng dẫn giải chi tiết ......................................................................................... 58 C. Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ........................... ............. ....................... ......... 65

Đọc thêm: Phương pháp giải nhanh các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn a ;b  ........................................................................................................................ 67 Đọc thêm: Phương pháp giải nhanh các bài tập xác định m để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn a ;b  .............................................................................. 70 Bài tập rèn luyện kỹ năng ..................................................................................... 71 Hướng dẫn giải chi tiết ......................................................................................... 74 D. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào thực tiễn, giải quyết các vấn đề tối ưu

......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ................ ... 79 Bài tập rèn luyện kỹ năng ..................................................................................... 86 Hướng dẫn giải chi tiết ......................................................................................... 91

Mục Lục

The best or nothing

I.III. Đường tiệm cận ......................................................................................................... 98 A. Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số......................... ............ .......................... ................ ... 98 B. Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .......................... ............. .......................... ................ ... 99 C. Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số . 103 Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................... ............ ........................... .......................... ......................... .......................... .................... ...... 105 Hướng dẫn giải chi tiết ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... ........................ ........... 110 I.IV. Các dạng đồ thị hàm số thường gặp ........................... .............. .......................... .......................... .......................... ................... ...... 116 1. Hàm số y



ax 3



bx 2



cx

2. Hàm số y



ax 4



bx 2



c a 

3. Hàm số y





0, ad

ax



b

cx



d

c





d a 



0



0

........................ .......................... .......................... ................... ...... 116  .....................................

............ .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 120  .........................



bc  0 .......................... ............. .......................... .......................... .......................... ............... .. 122

Bài tập rèn luyện kỹ năng ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 125 Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 133

Chủ đề 2: Hàm s ố lũy thừa, hàm số mũ – hàm số logarit ............................... 137 I. Lũy thừa hàm số lũy thừa ............................................................................................ 137 II. Hàm số mũ .......................... ............ .......................... ......................... .......................... ........................... ........................... ......................... ..................... ......... 138 III. Logarit: Hàm s ố logarit .......................... ............ ........................... .......................... ......................... .......................... ........................... ................. .... 139 IV. Ứng dụng của hàm số mũ, hàm số logarit trong th ực tế .......................................................... 140 Bài tập rèn luyện kỹ năng ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 150 Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 156 V. Phương trình mũ, logarit .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 161 1. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit ....................... 161 A. Đưa về cùng cơ số .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 161 B. Phương pháp đặt ẩn phụ .......................................................... ........................................................................................................... ................................................. 163 C. Phương pháp logarit hóa................................................................................. hóa................................................................................. 168 D. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ................................ .................... ....................... ........... 169 VI. Các bài toán biến đổi logarit ......................... ............ .......................... ........................... .......................... ......................... ...................... ......... 170 1. Tính một logarit theo một logarit đã cho .......................... ............. .......................... .......................... ........................ ........... 170 2. Tính một logarit theo hai logarit đã cho .................................... ....................... .......................... .......................... ............... .. 170 3. Sử dụng máy tính cầm tay ........................... ............. ........................... .......................... ......................... .......................... .................... ...... 171 Bài tập rèn luyện kỹ năng ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 172 Dạng 1: Các d ạng toán tìm tập xác định, các bài toán đồ thi và tính chất c ủa các hàm logarit

.......................... ............ .......................... ......................... .......................... ........................... ........................... ......................... ..................... ......... 172 Dạng 2: Các phép biến đổi mũ, logarit .............................. ................ .......................... ......................... ...................... ......... 175 Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit ........................... .............. ................. .... 178

Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 181

Công Phá Toán

Ng ọc Huyền LB

Dạng 1: Các d ạng toán tìm tập xác định, các bài toán đồ thi và tính chất c ủa các hàm logarit ............................................................................................................................ 181 Dạng 2: Các phép biến đổi mũ, logarit ................................................................. 183 Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit ............................... 185

Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng ............................................. 190 I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản ............................................................................ 190 II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm .............................................................. 191 III. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân ...................................................... 193 IV. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân..................................................................... 195 V. Ứng dụng hình học của tích phân ................................................................................ 195 Bổ sung một số dạng về nguyên hàm – tích phân ............................................................ 200 Một số bài toán tích phân gốc thường gặp ....................................................................... 206 Bài tập rèn luyện kỹ năng ................................................................................................. 208 Hướng dẫn giải chi tiết ..................................................................................................... 213 VI. Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân trong th ực tế .................................................. 220 Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 221 Hướng dẫn giải chi tiết ............................................................................................... 223

Chủ đề 4: Số phức ........................................................................................... 225 A. Lý thuyết

................................................................................................................. 225

I. Số phức ................................................................................................................. 225 II. Các phép toán với số phức .................................................................................... 226 III. Giới thiệu một số tính năng tính toán số phức bằng máy tính Casio .................. 227 Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 228 Hướng dẫn giải chi tiết ............................................................................................... 232

Đọc thêm: Bổ sung một số ví dụ khác về số phức ............................................................ 235 1. Bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ............................................... 235 2. Biểu diễn hình học của số phức, quỹ tích phức ...................................................... 240 3. Một số dạng toán nâng cao về số phức .................................................................. 243

Chủ đề 5: Khối đa diện và thể tích của một số khối đa diện quen thuộc ....... 246 I. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện .................................................................. 246 II. Khối đa diện và khối đa diện đều ................................................................................ 249 III. Thể tích khối đa diện.................................................................................................. 249 Bài tập rèn luyện kỹ năng ................................................................................................. 260 Hướng dẫn giải chi tiết ..................................................................................................... 266

Mục Lục

The best or nothing

Chủ đề 6: Mặt c ầu, mặt trụ, mặt nón ............................................................. 277 Bài 1: Mặt cầu, khối cầu ................................................................................................... 277 Bổ sung một số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện ............................. 279 I. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ....................................................................... 279 II. Mặt cầu nội tiếp hình chóp, hình đa diện ....................................................... 284 Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 287 Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 289 Bài 2: Mặt trụ, hình trụ, khối trụ. Mặt nón, khối nón, hình nón ..................................... 292 Mặt nón, hình nón, khối nón ...................................................................................... 292 Mặt trụ, hình trụ, khối trụ ......................................................................................... 297 Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 300 Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 305

Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian ........................................... 310 Hệ tọa độ trong không gian .............................................................................................. 310 Phương trình mặt phẳng .................................................................................................. 312 Phương trình đường thẳng............................................................................................... 316

Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian ............................................................. 320 Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 323 Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 334 Mặt cầu

................................................................................................................ 348

Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 351 Hướng dẫn giải chi tiết .............................................................................................. 354

Chủ đề 8: Tổng ôn luyện ................................................................................. 357

Đề tự luyện số 1 ............................................................................................................... 357 Đề tự luyện số 2 ............................................................................................................... 361 Đề tự luyện số 3 ............................................................................................................... 365 Đề tự luyện số 4 ............................................................................................................... 370 Đề tự luyện số 5 ............................................................................................................... 374 Đề tự luyện số 6 ............................................................................................................... 379 Đề tự luyện số 7 ............................................................................................................... 383 Đề tự luyện số 8 ............................................................................................................... 388 Đề tự luyện số 9 ............................................................................................................... 393 Đề tự luyện số 10.............................................................................................................. 397

Công Phá Toán t ập 3 – Lớ p 12

y

điể m cực đại

điể m cực tiể u O

x Hình 1.7

Ngọc Huy ền LB

Ở ph ần I.I ta vừa học cách sử dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu của hàm số , khoảng đồng biế n, khoảng ngh ịch biế n của hàm số . Ở ph ần này ta sẽ xác định điể m nằm giữa khoảng đồng biế n, nghịch biế n của hàm số, và ngược lại. Những điểm này được gọi là điể m cực trị của đồ thị hàm số. Điể m cực trị bao g ồm cả điể m cực đại và điể m cực tiể u của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số ở hình 1.7 có điể m cực đại là điểm phía bên trái và điể m cực tiể u ở phía bên phải (điểm được đánh dấ u). 1. Định nghĩa Cho hàm số y f  x  xác định và liên t ục trên khoảng  a; b ( có thể a là ) và điể m xo  a; b  . 

; b là







a, N ế u t ồ n tại số h  0 sao cho f  x   f  x

 với mọi

x   x0



h; x0



h  và x  x0 thì

b, N ếu t ồ n tại số h  0 sao cho f  x   f  x  với mọi x   x0



h; x0



h  và x  x0 thì

0

ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại

x

0

. 0

ta nói hàm số f  x  đạt cự c tiể u tại

x

0

.

Với hàm liên t ục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điể m làm cho y ' không xác định đượ c thể hiện ở hình 1.8 y

O


c

0

hoặc y

'

điể m cực đại không xác định

y

x



c

O

x

Hình 1.8

Nế u hàm s ố đạt cực đại hoặc cực tiể u tại bằng 0 hoặc y không xác định.

x



c

thì

x

thì

x



c

là điể m làm cho y

'

'

2. Chú ý STUDY TIP: điể m cực trị

của hàm số là x c ; còn điể m cực trị của đồ thị hàm số là điể m có tọa độ 

M  c;f c  

Nế u hàm s ố f  x  đạt cực đại (cực tiể u) tại

x

0

0

được gọi là điể m cực đại

(điể m cực tiể u) của hàm số ; f  x0  được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiể u) của hàm số , kí hiệu fCD  f CT  , còn điể m M  x ; f  x   được gọi là điể m cực đại (điể m cực tiể u) của đồ thị hàm số . 0

0

Trong các bài trắ c nghiệm thường có các câu hỏi đưa ra để đánh lừ a thí sinh khi ph ải phân biệ t giữa điể m cự c trị của hàm số và điể m cự c trị của điể m cự c trị của đồ thị hàm số .

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Khi f '  x  đổ i dấ u từ dương sang âm qua đại của hàm số .

x



c

thì

x



c

được gọi là điể m cực


The best or nothing

Khi f  x  đổ i dấ u từ âm sang dương qua tiể u của hàm số .

x

'



c

thì

x



c

được gọi là điể m cực

Hình 1.9 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị: điể m cực đại y

y

điể m cực tiể u

O

x

c

y

O

y

Không phải điể m cực trị

O

c

Không phải điể m cực trị

O

x

x

c

c

x

Hình 1.9

Ví dụ 1: Hàm số y  x A.

x



0; x

4

3 

x

có điể m cực trị

3

B. x

4

Lờ i giải: Ta có y '  4x3

y





3x

2





3

C.

x

, do vậy

x

0



D.

4

x



1

x2  4x  3

x  0 y '  0   x  3  4 x O

điể m cực tiể u Hình 1.10

Ta thấ y y không đổ i dấ u qua '

x



0



0

không là điể m cực trị của 3

hàm số . Và y đổ i dấ u từ âm sang dương quan x  do vậy '

4

x 

3 4

là điể m cực

tiể u của hàm số . Hình 1.10 thể hiện đồ thị hàm số , ta thấy rõ điể m O  0; 0 không là điể m cực trị của đồ thị hàm số ). Nế u  là điể m cực trị của hàm y  f  x  thì f '  c   0 hoặc f '  c  không xác định, nhưng nế u f '  c   0 thì chưa chắc  đã là điể m cực trị của hàm số . 4. Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1 x

c

x

c

Đặt trướ c chỉ duy nh ấ t t ại: http://cpt.gr8.com/


Ngọc Huy ền LB

1. Tìm tập xác định. 2. Tính f '  x  . Tìm các điể m tại đó f  x  bằng 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng biế n thiên. 4. Từ bảng biế n thiên suy ra cực trị. Quy tắc 2 '

1. Tìm tập xác định. 2. Tính f '  x  . Giải phương trình f '  x  nghiệm của nó. 3. Tính f  x  và f  xi  . ''

0



và kí hiệu xi  i  1,2,3,..., n là các

''

4. Dựa vào dấ u của f  xi  suy ra tính ch ấ t cực trị của điể m ''

Ví dụ 2: Cho hàm số y

A. Hàm số có một điể m cực đại. B. Hàm số đã cho không có cự c trị. C. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác đị nh tại

tại

x



.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

x



xi

x



0

nên không đạt cực trị

0.

D. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác đị nh tại

x0

nhưng đạt cực trị tại

. Đáp án D x



0

Lờ i giải: Ta có y '

1 

2

y

x

không xác định tại x 0 , đạo hàm c ủa hàm số đổ i dấ u khi qua 0 . Nên hàm số đạt cực trị tại x 0 . Ph ần này đã được giới thiệu ở sau ph ần định nghĩa: Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điể m làm cho y ' 0 hoặc y không xác định. y

x



'





x

điể mOcực tiể u Hình 1.11

y




Hình 1.11 biể u thị đồ thị hàm số y

x Lờ i giải: Ta có y ' 



2x  3 x

y' không xác định tại

Hình 1.12

x

đạt có điể m cực tiể u là O  0; 0 .

Ví dụ 3: Tìm tấ t cả các điể m cực trị của hàm số y

O

điể m cực tiể u



'

x



0; x



3

2



2   '   2x  3x 3  '    





2

2x

3



3 x

2

2 



2

3

. x





1



3

3

x

x

. Và đạo hàm đổ i dấ u khi qua 1 . Do vậy hàm số có hai điể m cực trị là 0; 1. x  0 ; y '  0  x  1

Ví dụ 4: Cho hàm s ố y  x

x

3



mx

2



2x



1



x



với m là tham số . Khẳng định nào

sau đây là đúng? A. Với mọi tham số m , hàm số đã cho luôn chỉ có duy nhấ t một cực đại. B. Với mọi tham số m , hàm số đã cho luôn chỉ có duy nhấ t một cực tiể u. C. Với mọi tham số m , hàm số đã cho luôn có một điể m cực đại và một điể m cực tiể u. D. Với mọi tham số m , hàm số đã cho không có cự c trị. Lờ i giải


The best or nothing

Xét hàm số y



x

3



mx

2



2x



1

có y '



3x

2 

2mx



2 2

Xét phương trình y ' 0 3x 2mx 2 0 có  '       2  .3   6  0 . Do vậy phương trình luôn có hai nghiệ m phân biệt x  x . Mặt khác ta có mẹo xét dấ u tam thức bậc hai “ trong khác ngoài cùng”, do vậy đạ o hàm của hàm số đã cho đổ i dấu như sau: 



2





m



m

1

2

2

x y'

+

+

Vậy hàm số đã cho luôn có một điể m cực đại và một điể m cực tiể u với mọi tham số m.

B. Các dạng toán liên quan đế n cực trị Dạng 1: Xác định điể m cực trị của hàm số, điể m cực trị của đồ thị hàm số , tìm giá tr ị cực trị của hàm số . Đây là dạng toán cơ bản nhấ t v ề cực trị , tuy nhiên xuấ t hiện rấ t nhi ều trong các đề thi thử. Ở dạng toán này ta ch ỉ áp dụng các tính chất đã được nêu ở ph ần A. Tuy nhiên ta đi xét các ví dụ để rút ra các kế t quả quan tr ọng. Ví dụ 1 : Hàm số nào sau đây không có cự c trị ? A. y  x C. y  x

3

4



B. y 

3 x  1.

2x

D. y  x 2n

3

 4 x  3 x  1.

.

x3 

2017 x

n



*

.

(Trích đề thi thử THPT chuyên Lê H ồ ng Phong – Nam Định)

Đáp án B Lời giải

STUDY TIP: Hàm phân

thức bậc nhấ t trên bậc nhấ t không có cực trị.

V ới A: Ta thấ y đây là hàm bậ c ba có

, phương trình y  0 luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điể m cực trị (loại). y  3 x

2



3

V ới B: Đây là hàm phân thứ c bậc nhấ t trên bậc nhấ t nên không có c ực trị. Do đó

ta chọn B. Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây có ba điể m cực trị? A. y  x  2x  10. 4

C. y 

1 3

x

2

3

2

 3x 

B. y   x 4 D. y  2 x

5 x  2.

4

 2x

2

 3.

 4.

(Trích đề thi thử THPT Công Nghi ệ p – Hòa Bình)


Ta có thể loại luôn C bởi hàm số bậc ba chỉ có nhi ều nhấ t là hai cực trị. Tiếp theo ta đế n với các hàm bậc bố n. Ta có hàm b ậc bốn trùng phương có hai trường hợp, hoặc là có một điể m cực trị , hoặc là có ba điể m cực trị.



Ngọc Huy ền LB

Đố i với hàm bậc bốn trùng phương dạng y  ax

4

STUDY TIP:

Đố i với hàm bậc bố n trùng phương có dạ ng y  ax 4  bx 2



c,  a  0 

thì nế u: ab  0 thì hàm số có một điể m cực trị là x 0 . ab  0 thì hàm số có ba điể m cực trị là 

x  0; x  



b . 2a

bx2





c  a  0 .

x  0 Ta có y '  4ax  2bx  0   2  2ax  b  0  x 2   b  2a 3

Số điể m cực trị phụ thuộc vào nghiệm của phương trình a. Nế u

b

có nghiệm b.Nế u x

b

2a 

tức là a, b cùng dấ u hoặc

0

2a

x



b 2a

.



0

0

b0

2

2 ax  b  0

.

thì phương trình vô nghiệ m hoặc

. Khi đó hàm số chỉ có một điể m cực trị là

x



0

.

tức là a, b trái dấu thì phương trình có hai nghiệ m phân biệt là

Nghĩa là hàm số có ba điể m cực trị là

x  0; x  



b

2a

.

Đến đây ta có thể suy ra, nế u hệ số của a, b khác dấ u thì hàm số bậc bố n trùng phương có ba cực trị , do vậy ta chọn luôn được B. Tiế p tục là một bài toán áp dụng kế t quả vừa thu được. x 2x 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Ví dụ 3: Cho hàm s ố y A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiể u. B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiể u. C. Hàm số có một cực đại và không có c ực tiể u. D. Hàm số có một cực đại và một cực tiể u.  

4



2

(Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng – Hà N ộ i)

STUDY TIP:

Đố i với hàm bậc bố n trùng phương có dạ ng y  ax 4



bx 2



c,  a  0 

có ab  0 , khi đó nế u: a. a  0 thì x 0 là điể m 

cực tiể u;

x 

b 2a

là

hai điể m cực đại của hàm số . b. a  0 thì ngược lại x  0 là điể m cực đại; x

b 



2a

là hai điể m cực

tiể u của hàm số .



Đáp án B. Lời giải

Áp dụng kế t quả vừa thu được ta có kế t luận hàm số luôn có ba điể m cực trị do hai hệ số a, b trái dấ u. Mặt khác hệ số a  1  0 nên đồ thị hàm số có dạng chữ M (mẹo nhớ), do vậy hàm số có hai điể m cực đại và một cực tiể u. Đến đây ta tiế p tục thu được kế t luận ở ph ần STUDY TIP. Ví dụ 4: Cho hàm s ố y  f (x)

xác định, liên tục trên

\2 và có b ảng biế n

thiên phía dưới: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Hàm số đạt cực đại tại điể m x  0 và đạt cực tiể u tại điể m x 4 . B. Hàm số có đúng một cực trị. C. Hàm số có giá tr ị cực tiể u bằng 1. D. Hàm số có giá tr ị lớn nhấ t bằng 1 và giá tr ị nhỏ nhấ t bằng -15. 

(Trích đề thi thử THPT chuyên Lê H ồ ng Phong – Nam Định) x



y’ y

0  0



2 +

+





15



1

4 0





Đáp án C Lời giải

Nhìn vào bảng biế n thiên ta thấ y có hai giá tr ị của x mà qua đó y đổ i dấu, đó là x  0 và x  4 , do vậy đây là hai điể m cực trị của hàm số . 


The best or nothing

Ta thấ y y’ đổ i dấ u từ âm sang dương khi qua x  0 , do vậy x 0 là điể m cực tiể u của hàm số, ngược lại x  4 lại là điể m cực đại của hàm số . Từ đây ta loại được A, B. V ới D: D sai do đây là các giá trị cực trị , không giải giá trị lớn nhấ t, giá trị nhỏ nhấ t của hàm số . Ta chọn C bởi tại x  0 thì hàm số có giá trị cực tiể u là y 1 . Tiế p t ục là một bài toán nhìn b ảng biến thiên để xác đinh tính đúng sai củ a mệnh đề : và có bảng biến thiên như hình vẽ Ví dụ 5: Hàm số y f  x  liên tục trên bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có hai điể m cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại. C. Hàm số đã cho có đúng một điể m cực trị. D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiể u. 





x



+

y’ y

1 0 3

2 +





0



STUDY TIP:

Ở quy tắc 1 ta có hàm số đạt cực trị tại điể m khiế n cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.



Đáp án A Lời giải

Nhìn vào bảng biế n thiên ta thấ y có hai giá tr ị của x mà khi qua đó y  đổ i dấ u. Do vậy hàm số đã cho có hai điể m cực trị đó là x 1; x 2 . Chú ý: Nhi ều độc giả nghĩ rằng tại x 2 không t ồn tại y thì x 2 không ph ải là điể m cực trị của hàm số, đây là một sai l ầm rấ t lớn. Bởi hàm số vẫn đạt cực trị tại điể m khiến cho đạo hàm không xác đị nh. Ví dụ: Hàm số y x có đạo hàm không t ồn tại khi x 0 nhưng đạt cực tiể u tại x0. 













Ví dụ 6. Hàm số y  f  x 

có đạo hàm

f '  x 



x



2

 x

1



 Phát biể u nào sau

3 .

đây là đúng? A. Hàm số có một điể m cực đại B. Hàm số có hai điể m cực trị C. Hàm số có đúng 1 điể m cực trị D. Hàm số không có điể m cực trị (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP HN – l ầ n I)

Đáp án C. Lời giải x  1 x  3

Ta thấ y f   x   0  



Ngọc Huy ền LB

Đến đây có nhiều độc giả kế t luận luôn hàm số có hai điể m cực trị , tuy nhiên đó là kế t luận sai l ầm, bởi khi qua x  1 thì f  x  không đổ i dấ u, bởi

STUDY TIP:



Trong đa thức, dấ u của đa thức chỉ đổ i khi qua nghiệm đơn và nghiệ m bội lẻ , còn nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổ i dấ u.

 x  1

2



0 ,

x

. Do vậy hàm số chỉ có đúng một điể m cực trị là

x



3

.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Chú ý:

Hàm số y f  x  xác định trên D có cực trị  x  D thỏa mãn hai điều kiện sau: i. Đạo hàm của hàm số tại x phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x . ii. f  x  phải đổ i dấ u qua x hoặc f  x   0. 

0

0

'

0

0

0

1. Đố i với hàm số bậc 3: y ax bx cx d  a  0  . Ta có y   3ax  2bx  c . Để hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt. 3



STUDY TIP:



2





2

Qua đây ta rút ra kế t quả , đồ thị hàm số bậc ba hoặc là có hai điể m cực trị , hoặc là không có điể m cực trị nào.



2

   0  b  3ac  0

Ngược lại, để hàm số không có c ực trị thì phương trình y ' có nghiệm duy nh ấ t  b  3ac  0 . 2. Đố i với hàm bậc bốn trùng phương dạng y  ax



0

vô nghiệm hoặc

2

4



bx2



c a  0 .

x  0

Ta có y '  4ax  2bx  0   3

2 2ax  b  0

Đến đây ta có nhậ n xét hàm số bậ c bốn trùng phương luôn có điể m cự c trị.

Số điể m cực trị phụ thuộc vào nghiệm của phương trình 2ax

2

b

a. Nế u

0

2a

tức là a, b cùng dấ u hoặc

hoặc có nghiệm b.Nế u là

C

x 

b 2a

0

0

thì phương trình vô nghiệ m

. Khi đó hàm số chỉ có một điể m cực trị là

x



0

.

tức là a, b trái dấu thì phương trình có hai nghiệ m phân biệt .

Nghĩa là hàm số có ba điể m cực trị là

x  0; x   

b

2a

y  ax4  bx2  c ,  a  0  . Ta vừa chứng minh ở dạng 2, nế u

A O

0

2a





.

.

Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đã cho có điể m cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. 3.1 Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạ ng

y B

b

x

b

b0

x

x  0; x   

b

2a

ab  0 thì

hàm số có ba điể m cực trị là

.

Khi đó đồ thị hàm số đã cho sẽ có ba điể m cực trị là:  b b    A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   với  2a 4a   2a 4a  

2

  b  4ac

(Hình minh h ọa)


The best or nothing 4

y

ab

2



A

B

2

   b  b  b  (Chứng minh: ta có f     a.     b.     c 2a 2a 2a      

C



2 ab

2

4a

2

 AB 

2

4a c



2



AC 

b

4

16a

x

O

ab



b 2



2a

2ab

2

4a

2



2

4a c

; BC  2



 ab

2



4a

4 ac 

2

b

2

4ac



4a

ab 

2

4a

b 

2

2

2a



c

(đpcm))

b 

2a

Bài toán 1: Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba điể m cực trị tạo thành tam giác vuông. STUDY TIP:

Lời giải tổng quát

Qua đây ta rút ra kế t quả , để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c



a



0

Với

 có ba điể m cực trị



2 2   b b  b b  Mặt khác ta có AB     ;   ; AC    ;   2a 4a  2a 4a   

3

a





8 . Ta loại được

điều kiện a, b trái dấ u do từ công thức cuố i cùng thu được thì ta luôn có a, b trái dấ u.

hàm số có ba điể m cực trị.

Do điể m A  0; c  luôn nằm trên Oy và cách đều hai điể m B, C. Nên tam giác ABC phải vuông cân tại A. Điều này tương đương vớ i AB  AC (do AB AC có sẵn r ồi).

,

tạo thành tam giác vuông cân điều kiện là b

ab  0 thì

Do AB  AC nên AB.AC  0 

b



2a

b

4

16a

2

0 

b3 a

 8

Ví dụ 1: Tìm tập hợp tấ t cả các giá tr ị thực của tham số m y  x 4  8 m2 x 2  3 có

để đồ thị hàm số điể m cực trị tạo thành ba đỉ nh của một tam giác vuông

3

cân. A.

1 B.   2 

0

 1 C.    2

Đáp án D. Cách 1: Lời giải thông thường

 1 1 D.  ;   2 2 Cách 2:

Áp dụng công th ức. TXĐ: D  . Để các điể m cực trị của đồ thị hàm số là Ta có: y  4 x  x  4 m  . ba đỉnh của một tam Hàm số có ba điể m cực trị khi và chỉ khi phương trình giác vuông cân thì y  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0 . b 2

2

3

8

Lúc đó, ba điể m cực trị là:

A

 2m; 16m4



3  ,

a

 

 8m   2

B

 0; 3 , C 

2m; 16 m



4



3

.

. Do đó, tam giác ABC cân tại B . Khi đó, tam giác ABC vuông cân khi và ch ỉ khi: Nên

BA



1

BC

BA.BC  0  4m2  256m8

4

 0  1  64m  0



m



 m  0

 1 m  2   . 1 m    2


1 2

3

 8


Ngọc Huy ền LB

Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức và làm nhanh hơn rấ t nhi ều so với việc suy ra

từng trường hợp một. Bài tập rèn luyện lại công thức: STUDY TIP:

Độc giả nên làm các bài tập rèn luyện này mà không nhìn lại công thức để có thể ghi nhớ công thức lâu hơn.

1. Cho hàm số y  x4



2mx 2

m2





2 . Tìm m để hàm số có ba điể m cực trị và các điể m

cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông? A.

m



B. m

1

C. m  2

1

 

D.

m

2

 

(Trích đề thi thử THPT Tr ần Hưng Đạo – Nam Định) 2. Cho hàm số y  f  x   x4  2  m  2 x2  m 2  5m  5 (C m ) . Giá trị nào của m để đồ thị

của hàm số đã cho có các điể m cực đại, cực tiể u tạo thành một tam giác vuông cân thuộc khoảng nào sau đây? 4 3 A.  ;  . 7 2

 3 21  B.  ;  .  2 10 

 1 C.  0;  .  2

D.  1;0 .

3. Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có 3 điể m cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

y  x 4   m  2015  x2  2017

A.

m



B.

2017

m



C.

2014

m



D.

2016

m



2015

4. Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2  m  2016  x 2  2017m  2016

A.

m

B.

2017

 

m



có ba điể m cực trị tạo thành tam giác vuông cân. C.

2017

m

D.

2018

 

5. Tìm m để đồ thị hàm số f  x   x 4  2  m  1 x 2  m 2

m



2015

có các điể m cực đại, cực tiể u tạo

thành một tam giác vuông. A. m

B. m

2.



C. m  0.

1.

 

D. m



1.

Bài toán 2: Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax 4



bx 2



c,

a



0

 có ba điể m cực trị tạo thành tam giác đều. Lời giải tổng quát

STUDY TIP:

Với

Qua đây ta rút ra kế t quả , để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c

a



0

Do AB

thì



AC ,

nên ta chỉ c ần tìm điều kiện để AB  BC .

 có ba điể m cực trị  AB 

AC 

3

a

hàm số có ba điể m cực trị.

Mặt khác ta có

,

tạo thành tam giác đều b

ab  0 thì

b

4

16a

b 2



2a

; BC  2

  24 .

Do vậy AB  BC  

b

b

2a

4



2a

b 

16a

2b 2





a

b3 a

 24

Ví dụ 2: Tìm tấ t cả các giá tr ị thực của tham số m y  x

4

A.



2 mx

2

m3



m1

sao cho đồ thị của hàm số có ba điể m cực trị tạo thành một tam giác đều. Ta có kế t quả: B.

m0

C.

m 0

D. m  3

3

(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)


The best or nothing

Đáp án D. Lời giải

Áp dụng công th ức vừa chứng minh ở trên ta có

STUDY TIP:

Qua đây ta rút ra kế t quả , để đồ thị hàm số y  ax

a



0

4



bx

2



b

b

c



3

 24 

m

3

.

3

1

Bài tập rèn luyện lại công thức:


1. Cho hàm số y  x4  2  m  2  x2  m 2  5m  5  Cm  . Với những giá trị nào của m thì

24 .

đồ thị  C  có điể m cực đại và điể m cực tiểu, đồng thời các điể m cực đại và điể m cực tiể u lập thành một tam giác đều?

 

m

Mà tam giác vuông thì b

2 m

,

3

a

 24 



a

tạo thành tam giác đều thì

3

3

a





8

A.

.

“Vuông -8, đều -24”

m



2

3 

2. Cho hàm số y 

m sao cho đồ thị A.

m



3

B.

9 4 x 8



m

2



3

3

3  m  2017  x2

C. 

2016

m

5



3



D. m  5  2 3 3

2 3

có đồ thị (Cm ) . Tìm tấ t cả các giá trị của

(C m ) có ba điể m cực trị tạo thành tam giác đều?

B.

2015

m



C.

2016

m

D.

2017



m

2017

 

3. Cho hàm số y  x4  2mx2  2 . Tìm tấ t cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có

ba điể m cực trị tạo thành tam giác đều? A.

m

3

B.

3



4. Cho hàm số y  mx4



m

3  

2mx 2

C.

3

m

D.

3



m

 

3

m . Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị



hàm số có ba điể m cực trị tạo thành tam giác đề u. 

C.



m

3; m

 

3; m



B. m

0

D.

0

 

m

3; m

3



3

Bài toán 3: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c , a 0 có ba điể m cực 4

y H C

B

A. m

trị tạo thành tam giác có di ện tích bằng

2

S0 .


A x

O

Gọi H là trung điể m của BC thì lúc này H nằm trên đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ).  b2    Lúc này H  0;    AH   0;   .Diện tích tam giác ABC được tính bằng 4a  4a   

STUDY TIP:

Qua đây ta rút ra kế t quả , để đồ thị hàm số 4

y  ax

a



0



2

bx



c

công thức: S ABC  .AH.BC  S

,

tạo thành tam giác có diện tích là S thì có điều 0

b5 32a3

S0

2

1 

.

b

4

4 16a 2

.

 b2   .   4  4a  1

2

o

2




kiện là S0 2  

1

2b 

a

Ví dụ 3: Cho hàm số y  x

4

S0

b

2

 b  . 2.    2a   

2

5



2 

 2 mx

32 a 2

3

 2m 

m 4 . Với giá trị nào của m thì đồ thị

Cm  có 3 điể m cực trị, đồng thời 3 điể m cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 A. m 

5

16

3 16 B. m  16 C. m  3 16 D. m (Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Hưng Yên, đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)  



Ngọc Huy ền LB

Đáp án A. Lời giải

Áp dụng công th ức ở trên ta có, hàm s ố có ba điể m cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4  32.a S  b  0  32.1 .4   2m   0   16 . 3

2

5

3

5

2

m

0

5

Bài tập rèn luyện lại công thức: 1. Cho hàm số y  x4  2m2x 2  1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có 3

điể m cực trị, đồng thời 3 điể m cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. A. m

2; m



B. m 0; m 2

2

 



C. m  0; m  2



D. m  2; m  2; m  0

2. Cho hàm số y  f(x)  x4



2(m  2)x2



m2



5m  5 . Tìm tấ t cả các giá trị của m để

đồ thị hàm số đã cho có 3 điể m cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. A.

m



B.

3

3. Cho hàm số y  3x4



2mx2



m

C.

m  3



2

D.

m  2

2m  m4 . Tìm tấ t cả các giá tr ị của m để đồ thị hàm số

đã cho có ba điể m cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3. A.

m



B.

3

4. Cho hàm số y  x

m

C.

3

 

m



D.

4

m  4

(1) , với m là tham số th ực.Xác định m để hàm số (1) có ba điể m c ực tr ị, đồng thời các điể m c ực tr ị c ủa đồ thị t ạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . A.

m



4

2

 2mx  m  1

B.

2

C.

m  2

m



D.

4

m  4

Bài toán 4: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a  0  có ba điể m cực 4

2

trị tạo thành tam giác có di ện tích lớn nhấ t. Lời giải tổng quát

Ở bài toán 3 ta có

S0

b

2

5

 

32 a

3

.

b Do vậy ta chỉ đi tìm Max  3  32a





Bài toán 5: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a  0  có ba điể m cực 4

trị tạo thành tam giác có góc

Qua đây ta rút ra kế t quả , để đồ thị hàm số

a



tạo thành tam giác có góc ở đỉnh là  thì có điều

Hoặc

Ta có

AB. AC cos  

AB. AC



3

8a  b .tan

2



2

0

 AB.AC  AB



2

.cos 

 8 a 1  cos   b

 8a kiện là cos   3 b  8a 3

Cách 1:

,

0  có ba điể m cực trị

b

ở đỉnh cân bằng . Lời giải tổng quát

STUDY TIP:

y  ax4  bx2  c

2

3

0

b 2a



b

4

16 a

1  cos    0 

2

4  b b    .cos   0 2   2 a 16 a 

cos  

b3

 8a

b3

 8a

Cách 2: .

Gọi H là trung điể m của BC , tam giác AHC vuông tại H có: tan



2



HC BC 2 2 2  3 2    BC  4.AH .tan  0  8a  b .tan 0 AH 2 AH 2 2


The best or nothing

Bài toán 6: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá tr ị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba điể m cực trị tạo thành tam giác có ba góc nh ọn. Lời giải tổng quát

Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau. M ột tam giác không thể có hai góc tù, do v ậy hai góc ở đáy của tam giác ABC luôn là góc nhọn. Vì thế cho nên để tam giác ABC là tam giác có ba góc nh ọn thì góc ở đỉnh phải là góc nhọn. Tức là tìm điều kiện để BAC là góc nhọn.  

STUDY TIP:

Qua đây ta rút ra kế t quả , để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c



a



0

,


tạo thành tam giác có ba góc nhọn thì b.  b  8a  0 . 3

Ở bài toán trên ta v ừa tìm được Để góc

nhọn thì

BAC

cos BAC



cos  

b

3

b

3



8a



8a

.

3

b  8a 3

b  8a

0

Cách khác để rút gọn công thức: AB. AC

Do

cos  

AB. AC

Mà

AB . AC



0

AB. AC

nên để  là góc nhọn thì b

do đó AB.AC  0 

b



.

4



2a

0

AB. AC

16a

2



0



b. b



3

 8a





0


trị tạo thành tam giác có bán kính

2

đường tròn nội tiế p là r .


Ta có S tiế p).

0



r



p.r (công thức tính diện tích tam giác theo bán kính

2.

2S0



AB  AC  BC

b 



b

2



2a

b 

5

32 a

3

2



b

r

4

16 a

đường tròn nội

b

2



4

2a

 a . 1   

2

1

  8a   b

3


trị tạo thành tam giác có bán kính

2

đường tròn ngoại tiế p là R.


Trước tiên ta có các công thức sau:

S ABC 

AB.BC.CA

4R

Gọi H là trung điể m của BC , khi đó AH là đường cao của tam giác ABC , nên 1

AH.BC 

2

AB.BC.CA 4R

2

2.R . AH



2 

AB

4

2

 b b4 b4  b3  8a      2.R . R   16a2  2a 16a2  8. a .b 2



Ngọc Huy ền LB

Bài toán 9: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba điể m cực trị tạo thành tam giác có a. Có độ dài BC m 

0

b. Có AB  AC  n

0


Ở ngay đầu Dạng 3 ta đã có các công thứ c  b b    A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   với  2a 4a   2a 4a   b4

 AB  AC 

16a

2



2

  b  4 ac

b b ; BC  2  2a 2a

Do vậy ở đây với các ý a, b ta ch ỉ c ần sử dụng hai công th ức này. Đây là hai công thức quan tr ọng, việc nhớ công thức để áp dụng là điều c ần thiế t! Bài toán 10: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba điể m cực trị tạo thành tam giác a. nhận gố c tọa độ O là trọng tâm. b. nhận gố c tọa độ O làm trực tâm. c. nhận gố c tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiế p. Lời giải tổng quát a. Nhận gố c tọa độ O làm trọng tâm.

a. Ở công thức vừa nhắc lại ở bài toán 9, ta có tọa độ các điể m A, B, C thì chỉ c ần áp dụng công thức xG 

x A  xB  xC 3

; yG



y A  yB  yC 3

(với G là trọng tâm tam

giác ABC). STUDY TIP:

Với những dạng toán này, ta lưu ý ta luôn có tam giác ABC cân tại A, nên ta chỉ c ần tìm một điều kiện là có đáp án của bài toán.

  b  b 0         3.0 2 2a  2a b    Lúc này ta có     3c  0 2a  b2    b2  c c c 3.0            4a    4a    

b

2 

6ac



0

b. Nhận gố c tọa độ O làm trực tâm.

Do tam giác ABC cân tại A, mà A nằm trên trục Oy nên AO luôn vuông góc với BC. Do vậy để O là trực tâm của tam giác ABC thì ta chỉ c ần tìm điều kiện để OB  AC hoặc OC  AB . OB  AC  OB.AC  0 



b 2a



b

4

16a

2

2



b c 4a

0

4

2

b  8 ab  4b c  0

b3  8a  4ac  0

c. Nhận O làm tâm đường tròn ngo ại tiế p.

Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiế p thì OA Mà ta luôn có OB  OC , do vậy ta chỉ c ần tìm điềuk iện cho OA  OB  c 2   

b b4 2b 2c    c 2  b4  8ab2c  8ab  0 2 2a 16a 4a

b3  8a  8abc  0



OB



OC .


The best or nothing

Bài toán 11: Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba điể m cực

y

trị tạo thành tam giác sao cho tr ục hoành chia tam giác ABC thành hai ph ần có diện tích bằng nhau.

A


Gọi M, N là giao điể m của AB, AC với trục hoành, kí hiệu như hình vẽ M

O

N x

B

H

Ta có

 ANM

ACB

S AMN



S ABC

2

 OA  1    (Do trục hoành chia tam giác ABC  AH  2

thành hai ph ần có diện tích bằng nhau).

C

AH  2OA  b2  4 2 ac



3.2 Xét hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx2  cx  d ,  a  0 .

Có y   3ax  2bx  c , hàm số có hai điể m cực trị khi và chỉ khi phương trình 2 y   0 có hai nghiệm phân biệt    b  3ac  0 . 2

Bài toán 1: Viết phương trình đi qua hai điể m cực đại, cực tiể u của đồ thị hàm số y ax 3

bx2

cx d , a 0 . Lời giải tổng quát

Giả sử hàm bậc ba y  f  x   ax3  bx2  cx  d ,  a  0 có hai điể m cực trị là

. Khi đó thực hiện phép chia f  x cho f  x   Q  x  . f  x   Ax  B . x1 ; x2

Khi đó ta có

f '  x

ta được

 f  x1   Ax1  B (Do f   x1   f   x2   0 ).   f  x2   Ax2  B

Vậy phương trình đi qua hai điể m cực đại, cực tiể u của đồ thị hàm số y f  x  có dạng y  Ax  B. 

Đến đây ta quay trở v ề với bài toán toán 1, vậy nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm số dư đó một cách tổ ng quát. STUDY TIP:

Phương trình đườ ng thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm số bậc ba biể u diễn theo y’; y’’; y là y.y  g  x  y  18a

Ta có y  3ax

2

 2bx  c

; y  6ax  2b .

Xét phép chia y cho y thì ta được: b  1 y  y.  x    g  x 9a  3

*  , ở đây g  x  là phương trình đi qua hai điể m cực trị

của đồ thị hàm số bậc ba. Tiế p tục ta có  *   y  y.  y 

y '.

y  g  x 18a

 g

3ax  b



9a

 x  y 

g  x

 y 

y '.

6ax  2b 18a



g  x

y .y  18 a

Sau đây tôi xin giớ i thiệ u một cách bấm máy tính để tìm nhanh phương trình đườ ng thẳng đi qua hai điể m cự c tr ị của đồ thị hàm số bậ c ba như sau: Trướ c tiên ta xét ví d ụ đơn giản: Đặt trướ c chỉ duy nh ấ t t ại: http://cpt.gr8.com/


Ngọc Huy ền LB

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm số y



x

3

2x



A.

2



3x



1

là: B. 25x  9y  15  0

26x  9y  15  0

C. 26x  9y  15  0

D. 25x  9y  15  0

Đáp án A. Lời giải

Phương trình đường thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm số xác định bởi: g  x   x3



2x

2





3x  1  3x

2





4x  3 .

6x  4 18

Chuyể n máy tính sang ch ế độ tính toán với số phức bằng cách nh ập: MODE  2:CMPLX Nhập vào máy tính biể u thức g  x như sau: X3



2X

2





3X  1  3 X

2





4X  3 .

6X  4 18

Ấn CALC, gán X bằng i (ở máy tính i là nút ENG ) khi đó máy hiện: 5

26 

3

i

9

.

Vậy phương trình đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 5

y 

26 

3

9

x  26x  9y

 15 

0

.

Tiế p theo ta có một bài tham s ố . Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3

Sử dụng máy tính Sử dụng tính toán với số phức để giải quyế t bài toán.

sao cho đồ thị  hàm số có điể m cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm số đã cho. 

3x

2



3 1  m x  1  3m , tìm m



A. m  0;  : 2mx  y  2m  2  0 B. m  0;  : 2mx  y  2m  2  0 C. m  0;

D.

 : y  202  200 x

m  0;  : y  202  200 x


Ta có y  3x

2



 6x  3 1 

m , y  6x  6 .

Để đồ thị hàm số có điể m cực đại, cực tiể u thì   3 Với m  0 thì ta thực hiện: Chuyể n máy tính sang ch ế độ MODE 2:CMPLX

2

STUDY TIP:

Với những dạng toán này, ta lưu ý rằng trướ c tiên, tâ c ần tìm điề u ki ện để hàm số có hai cực trị.

Nhập vào máy tính biể u thức y  y  X

3



3X

2













 9. 1  m  0

m0

y  ta có 18a

3 1  M X  1  3M  3X

2





6X  3 1  M



6X  6 18

Ấn CALC Máy hiện X? nhập i = Máy hiện M? nhập 100 = Khi đó máy hiện kế t quả là 202  200i Ta thấ y 202  200i  2.100  2  2.100.i  y  2m  2  2mx Vậy phương trình đườ ng thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm số đã cho có dạng 2mx  y  2m  2  0 .

.


The best or nothing

Ta rút ra kế t luận v ề cách làm dạng toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm bậc ba này như sau: Bước 1: Xác định y ; y . Bước 2: Chuyể n máy tính sang chế độ tính toán với số phức: 

STUDY TIP:

Với bước cuố i cùng, ta c ần có kĩ năng khai triể n đa thức sử dụng máy tính c ầm tay, do khuôn kh ổ của sách nên tôi không thể giới thiệu vào sách, do vậy mong quý độc giả đọc thêm v ề ph ần này.

MODE





2:CMPLX

Nhập biể u thức y



y .

y  18 a

.

Chú ý:

Nế u bài toán không chứa tham số thì ta chỉ sử dụng biế n X trong máy, tuy nhiên nế u bài toán có thêm tham số , ta có thể sử dụng các biế n bất kì trong máy để biể u thị cho tham số đã cho, ở trong sách này ta quy ướ c biến M để dễ định hình. Bước 3: Gán giá trị.

Ấn CALC , gán X với i, gán M với 100 Lúc này máy hiện kế t quả , từ đó tách hệ số và i để đưa ra kế t quả cuố i cùng, giống như trong hai ví dụ trên. Bài toán 2: Viết phương trình đi qua hai điể m cực đại, cực tiể u của đồ thị hàm

số y  ax3  bx2  cx  d , a  0 . 3.3 Xét hàm phân th ức.

Trước tiên ta xét bài toán liên quan đế n cực trị hàm phân thức nói chung. Ta có một kế t quả khá quan tr ọng như sau: Xét hàm số dạng f  x   thì ta có f   x  

u  x v  x

xác định trên D

u  x  .v  x   u  x  .v  x  v2  x

.

Điể m cực trị của hàm số này là nghi ệm của phương trình f   x   0 

STUDY TIP:

u  x  .v  x  u  x .v x v2  x 

   

   

 u ' x .v x  u x . v x  0 

Lưu ý công thức u  x v  x



u  x  v  x 

để giải

quyế t các bài toán một cách nhanh gọn hơn.

0

  u  x   v  x v  x 

u x

Nhậ n xét: Biể u thức trên được thỏa mãn bởi các giá trị là cự c trị của hàm số đã cho. Do đó, thay vì tính trự c tiếp tung độ của các điể m cự c trị , ta chỉ c ầ n thay vào bi ể u thứ c đơn giản hơn sau khi đã lấy đạ o hàm cả tử lẫ n mẫ u. V ận dụng tính chấ t này, ta giải quyết được nhi ều bài toán liên quan đến điể m cự c trị của hàm phân th ứ c. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điể m cực trị của đồ thị hàm

số y 

ax 2  bx  c , a  0, a   0 . ax  b 

Theo công thức vừa nêu ở trên thì ta l ần lượt tìm biể u thức đạo hàm của tử số và mẫu số . Suy ra y 

2 ax  b

a

là phương trình đường thẳng đi qua hai điể m cực trị (nế u

ax2  bx  c có) của đồ thị hàm số y  , a  0, a  0 ax  b

.



Ngọc Huy ền LB

Bài tập rèn luyện kỹ năng I. Các dạng

tính toán thông thường liên quan đế n cự c

trị

Số điể m cực đại của đồ thị hàm số y  x4  100

Câu 1:

y

là: A.

0

B.

1 C. 3 D. 2 (Trích đề thi thử THPT chuyên Tr ầ n Phú- H ải Phòng) 4 2 Câu 2: Hàm số y  x  2 x  2017 có bao nhiêu điể m cực trị? A. 1

B.

Câu 3:

2 C. 0 D. 3 (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)

Cho hàm số y 

cực trị là

,

x x 1 2

1 3

. Hỏi tổ ng

x

3



4x

x x 1

2

2

 8x 

2



8

B.

C.

x x

2



5

D. x1  x2

Câu

f '  x 



x





2

 x

1

5



(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) số y f  x  có đạo hàm

Hàm

4:





3 . Phát

biển nào sau đây là đúng?

số có một điể m cực đại B. Hàm số có hai điể m cực trị C. Hàm số có đúng 1 điể m cực trị D. Hàm số không có điể m cực trị (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP HN) A. Hàm

Câu 5:

Đồ th ị hàm số y  x

3



3x

2



có điể m c ực đại

1

là: A.

I  2; 3 

B. I 0;1

C.

I  0; 2 

D.







B.

2

0 D. 3 (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) C.

Cho hàm số y  x3  3x2  3x  1. Khẳng định



;1 

Hàm số đạt cực đại tại điể m x 1 D. Hàm số đồng biế n trên (Trích đề thi thử THPT Kim Thành – H ải Dương) Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên, C.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhấ t bằng 1 và đạt giá trị lớn nhấ t bằng 3 A.

B.

Đồ thị hàm số có điể m cực tiể u

A

 1; 1

và

điể m cực đại B  1; 3  C. Hàm số có giá tr ị cực đại bằng 1 D. Hàm số đạt cực ti ể u tại A  1; 1 và cực đại t ại B

 1;3  (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)

Câu 9:

Cho hàm số y



f  x

xác định trên

\1;1 ,

liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biế n thiên sau: x 1 0 1   y + + + '

y



3

2 

nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực tiể u tại điể m x  1 B. Hàm số đồng biế n trên  1;   và nghịch biế n trên

-1

Hàm số y  x4  2x2  2017 có bao nhiêu điể m

cực trị? A. 1 Câu 7:

O 1



Đáp án khác

(Trích đề thi thử THPT Kim Thành – H ải Dương) Câu 6:

x

có hai điể m

x1  x2  8

x x

1

5

-1

là bao nhiêu?

A.

1

3



các khẳng định sau khẳng đinh nào là đúng?

-3 



Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? A. Hàm số không có đạo hàm t ại x 0 nhưng vẫn đạt cực trị tại x 0 B. Hàm số đạt cực tiể u tại điể m x 1 C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường 1 và x 1 thẳng x D. Đồ thị hàm số có hai ti ệm cận ngang là các đường thẳng y  3 và y  3 





 



(Trích đề thi thử THPT chuyên H ạ Long l ầ n I) Câu 10: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A.

Hàm số y  2 x 

B. Hàm số y  3x

3

C.

Hàm số y 

Công Phá Toán by Ng ọc Huy ền LB

®



1

x 1

có hai điể m cực trị.

2016x  2017 có hai điể m cực trị.

2x  1 có một điể m cực trị. x 1

Công Phá Toán t ập 3 – Lớ p 12 D.

The best or nothing

Hàm số y  x4  3x2  2 có một điể m cực trị.

D.

x

(Trích đề thi thử THPT Kim Liên) Câu 11:

3

Số điể m cực trị của hàm số y 



x

4x

2



3

bằng:

Câu 12:

B. 0.

(Trích đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc lầ n 3) Câu 17: Cho

3. D. 4. (Trích đề thi thử THPT Kim Liên) C.

1.

B.

2.

D.

x

 

C.

x

 

y’

0



y

x 

A.

C. y

1.

x 

2

+

0



4

y  x A.

-3





x

2



3x



1

x

 2

C.

x





 1

x

D.

2

x



0; x



1

(Trích đề thi thử THPT chuyên Nguy ễ n Trãi – H ải Dương) Câu 15: Hệ thức

liên hệ giữa giá trị cực đại yCÐ và giá

trị cực tiể u yCT của hàm số y A.

yCT

C.

yCT  2 yCÐ



yCÐ



0

x



3 

2 x là:



-

y

0

f  1

C. Hàm



0

4

3

x

Tìm tấ t cả các điể m cực đại của hàm số 2

 2x

 1.

 1

B.

x

 1

C.

x

D.

 1

Câu 20:

Hàm số y



f  x  liên tục trên

x



0

và có bảng

biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là

đúng? x

1



y’

+

0

y

2



+



3



0 A. Hàm số đã cho có hai điể m cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại. C. Hàm số đã cho có đúng một điể m cực trị. D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiể u. (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh l ầ n 1)

+

Cho hàm số y  x 4 

2

3

yCÐ

sau đây là đúng? A. Hàm số có giá tr ị cực tiể u là 0.

f x

xác định, liên tục trên

0

1 -

0

+ 



Mệnh đề nào

2

x .

2

5

số có hai giá tr ị cực tiể u là 

C. Hàm

số chỉ có một giá trị cực tiể u.

D. Hàm

số có giá tr ị c ực ti ể u là  và giá trị c ực

đại là

5 

48

3

và 

.

48

2

3

.

(Trích đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh lầ n 1)

1 Câu 22:

được gọi là điể m cực đại của hàm số

được gọi là giá trị cực tiể u của hàm số

số đồng biế n trên các khoảng

3

x

B. Hàm



Khẳng định nào sau đây là sai?

B.



D.



1 M  0; 2 

3

C. 2 3

yCT

2



A.

3

Câu 21:

0

1





2

3x 2  1.

3 yCÐ

D.

hàm số y



2y



và có bảng biế n thiên: x



B. 2 yCT

(Trích đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc lầ n 3) Câu 16: Cho

D. x

2

3

x



B.

0; x



đạt c ực tr ị đại t ại các

điểm nào sau đây? A.

1

B. y

(Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP lầ n 2)

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Hàm số có đúng hai cực trị B. Hàm số có giá tr ị cực tiể u bằng -1 hoặc 1 C. Hàm số có giá trị l ớn nhấ t b ằng 0 và giá trị nhỏ nhấ t bằng -3 D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 (Trích đề thi thử THPT chuyên V ị Thanh – H ậ u Giang) số y

B.

-3

3

C  là:

(Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP lầ n 2) Câu 19:

+

3 2

đồ thị hàm số y  2 x4 



0



 1; 1 và vuông góc với đường

Tính khoảng cách giữa các điể m cực ti ể u c ủa

Câu 18:

4

0

A

x3



A. 2 3



Câu 14: Hàm

1 2

y   x 

0.

(Trích đề thi thử THPT Kim Liên) Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên

và có bảng biế n thiên: x -1 



hàm số y  x 3  6x 2  9x  2 C  . Đường

thẳng đi qua hai điể m cực trị của

Hàm số y  x4  x2  1 đạt cực tiể u tại:

A.

Câu 13:

1;

được gọi là điể m cực tiể u của hàm số

1

thẳng đi qua điể m

A. 2.

y



0





1; 0



và

Cho hàm số y   x  1 x  2 

2

.

Trung điể m

của đoạn thẳng nối hai điể m cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây? A. 2x  y  4  0.

B. 2x  y  4



0.

C. 2x

D. 2 x  y  4



0.



y



4



0.

(Trích đề thi thử THPT chuyên Nguy ễ n Quang Diêu) Đặt trướ c chỉ duy nh ấ t t ại: http://cpt.gr8.com/

Công Phá Toán t ập 3 – Lớ p 12 Câu

Cho

23:

hàm

2

Ngọc Huy ền LB

số f

có đạo hàm là

3

f   x   x x  1  x  2 với mọi

. Số điể m cực trị

x

của hàm số f là B. 1.

A. 0.

C. 2.

Cho hàm số y f ( x) liên tục trên bảng biến thiên như sau: x

-2

y’

+

0

0

y



0



+

0 -4

Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ). B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 0) . 

(Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn)

Cho hàm số y

đạo hàm

f ( x) có



f '(x)  ( x  1)2 ( x  2) xác định trên

. Mệnh đề nào

sau đây là mệnh đề đúng? f ( x) đồng biến trên khoảng A. Hàm số y 

( 2; ).

Hàm số y f ( x) đạt cực đại tại x 2. f ( x) đạt cực tiểu tại x 1. C. Hàm số y f ( x) nghịch biến trên khoảng ( 2;1). D. Hàm số y B.













(Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) Câu 26:

y



x5



x

Kế t luận nào sau đây về cực trị của hàm số

là đúng?

A. Hàm

số có điể m cực đại là

B. Hàm

số không có c ực trị.

x



,

x x 1 2

1

1

và

A.

m 

C.

m  3

m  3

x



C.



D.

m 

x1

2



3x



x2

2

2



mx  1 có hai điể m cực trị

3.



B. 3

3

1 

3

3

D.

2

2

x

3

 mx

2



m

x1 , x2 thỏa mãn A.

m

2

 m 1

x1  x2

x

B.

t ồn tại

đạt cực trị tại 2 điể m

1

4.



 2

C. Không

m

D.

m

2

 

m  2

(Trích đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc lầ n 3) tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x   m  1 x  3mx  1 đạt cực trị tại Câu 31: Tìm

3

điể m

x



0

A.

m 

C.

m

2

1. 1

B.

m 

D.

2

1

m  2

tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao

Câu 32: Tìm

cho hàm số y  x4  2mx2  m2  m có đúng một điể m cực trị. A.

m

0

B.

C.

m

0

D.

cho hàm số y  thỏa mãn: a



m 

0

m

0

tấ t c ả các giá trị th ực c ủa tham số a sao

Câu 33: Tìm

x

2



1

2

1 3

x

3

x2



B.

a

1 

2

2a

x

2



 x

2

2

ax  1



4

 



x1

C.

đạt cực trị tại

2a





,

x x 1 2

9.

a  3

D.

a  1

tấ t cả các giá trị thực của m để hàm số

1

m  1

Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao

cho hàm số y  x3  3mx2  3m  1 có 2 điể m cực trị.



m

2

 12x

mx

đạt cực tiể u tại điể m

9

B.

 

x



2.



m  2

t ồn tại m D. m  9 (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình l ầ n 3) Câu 35: Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao C. Không

cho hàm số y  mx4   m2  2  x 2  2 có hai c ực tiể u và một cực đại. A.

m 

B.



C.

m





B.

0

m 

(Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Nam Định) Câu 30: Tìm m để hàm số :

A.

.

ln 5

( Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Câu 28:

3

y  4 x

2



A.

3

II. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Câu 27: Với giá trị nào của m thì hàm số y x m x  4m 3  x 1 đạt cực đại tại x 1 ? 

thỏa mãn

Câu 34: Tìm

số có điể m cực đại là x  ln5. (Trích đề thi thử THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc)

2

D.

0

m

(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình l ầ n 3)

D. Hàm



0

.

ln 5

số có điể m cực tiể u là

3

m 

A.

1

C. Hàm



C.





25:

B.

(Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Nam Định) Câu 29: Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao

y

Câu

0

và có





m 

cho hàm số y  x3

D. 3.

(Trích đề thi thử “Tạ p chí Toán học và Tuổ i trẻ l ầ n 7 & THPT chuyên KHTN l ần 3”) Câu 24:

A.

2

2

hoặc

m

0m

2.

0.

2.

D. 0  m 

2.

(Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng – Hà N ộ i) Câu 36: Tìm

tấ t cả các giá trị thực của tham số m sao

cho đồ thị hàm số y  x  2mx  2m có ba điể m cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Công Phá Toán by Ng ọc Huy ền LB

4

®

2

Công Phá Toán t ập 3 – Lớ p 12 A. C.

1 m



5

B.

cho diện tích tam giác có giá trị là:

3

m

4

D.

1

m

The best or nothing

 

1

m

A.

( Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Nam Định) Câu 37: Cho hàm số y



3

x



3mx  1  1 . Cho A  2; 3  ,

để đồ thị hàm số  1  có hai điể m cực trị C sao cho tam giác ABC cân t ại A.

tìm

m

A.

1



m



B.

2

m 

3



C.

2

1

m

D. m 

2

3

A.

m

C.

m  1



B.

3 3

D.

3

3

m



3

3

3

(Trích đề thi thử THPT chuyên V ị Thanh – H ậ u Giang) Tìm để đồ thị hàm số m Câu 39: y  x

4



2(m  1)x2



2m  5

có ba điể m cực trị lập thành

C.

m 

1.

B. 3

m  1

3

.

D.

m



m

1



3 

1



3

.

3

.

m



1.

B.

m



x

4

2

 2 mx

1.

C.

 



2

m

2

 2.

m

. Tìm

D.

m



Cm

2.

 

để  C  có 3 điể m

m

m

cực trị cùng với gố c tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi.

m  1  2 hoặc B. Không có giá tr ị A.

m  1 

D. m  2 

trị nào của

5

m

C. m 

5

B. D.

16

m



m

16 3

 

đồ thị hàm số y  x

 

I 1;1 , bán

3

 3mx 

2

cực đại, cực tiể u của

cắt đường tròn tâm

kính bằng 1 tại 2 điể m phân biệt

3

3



 2m

1

x

2



m

2

1

x

2

.

2 

.

3

C. m 

2 

3

.

D. m 



4 3

.

tấ t c ả các giá trị c ủa tham số m để hàm

xCT

1

m 2









5 x

2

 mx

có cực đại, cực tiể u và

5.

B.

6; 0

D.

 6

m

m

0; 6 

Biết đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d có 2

điể m cực trị là  1;18  và  3; 16  . Tính B. 1.

A. 0.

C. 2.

a  b  c  d. D. 3.

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN l ầ n 3) Với giá trị nào của của tham số thực m thì là điể m cực tiể u của hàm số

Câu 48: 1

x



y



1 3

x

3



2



m

2

x ?

m1

m  2; 1 .

B.

1.

m

 

2.

có m. (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN l ầ n 3) 49: Tìm tấ t c ả các giá trị th ực c ủa tham số m để m

hàm số : tại

mx

x





y

D. không



 

m

2





5m x

3

 6mx

2

 6x  6

đạt cực tiể u

1

A. Không

có giá trị th ực nào của m thỏa mãn yêu

c ầu đề bài. B.

m

C.

m

D.

m



1





2; 1



2

 

(Trích đề thi thử THPT Tr ần Hưng Đạo – Ninh Bình)

16

(Trích đề thi thử THPT Tr ần Hưng Đạo – Ninh Bình) Câu 43: Đường thẳng đi qua điể m

3

m

Câu

thì đồ thị C  có 3 điể m cực trị, đồng

4

3

x

C.



thời 3 điể m cực trị đó tạo thành một tam giác có di ện tích bằng 2. A. m 

1

m  0

C.

ặc m  4  2 2 hoặc m 2 2

3

B. m 

A.

A.

hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 . Với giá

m

.

3

Câu 47:

m



2

(Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP lầ n 2)

2

(Trích đề thi thử THPT chuyên Phan B ộ i Châu) Câu 42: Cho



2 ho

C. m  4 

 2x

m

Cho hàm số y  x4  mx2  2m  1 có đồ thị

 . Tìm tấ t cả các giá trị của



m

hàm số

Câu 46: Tìm

(Trích đề thi thử THPT Tr ần Hưng Đạo – Ninh Bình) Câu 41:

2

(Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng)

xCĐ

để hàm số có 3 điể m cực trị và các điể m cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông cân? A.

4

A. m 

(Trích đề thi thử THPT Công Nghi ệ p – Hòa Bình) Câu 40: Cho hàm số y

D.

3

Hỏi có tấ t cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điể m cực trị. A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 (Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng) Câu 45: Tìm tấ t c ả các giá tr ị th ực c ủa tham số m để hàm số y  x 3  x 2   2 m  1 x  4 có đúng hai cực trị.

số y 

tam giác đều? A.

5

1



m

2

y

2

4

m  1

2

Câu 44: Cho

3

cho đồ thị hàm số y  x  2mx  2m  m có ba điể m cực trị tạo thành một tam giác đều. 2

B.

m

(Trích đề thi thử THPT Tr ần Hưng Đạo – Ninh Bình)

tấ t cả các giá tr ị thực của tham số m sao 4

3

2



m

B và

(Trích đề thi thử THPT chuyên Nguy ễ n Trãi – H ải Dương) Câu 38. Tìm

C.

2



m

đạt giá trị lớn nhấ t khi

IAB

A , B sao

Cho hàm số f ( x)  x2  ln(x  m) . Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị. Câu 50:

A.

m 

2.


B. m 

9 4

.

Công Phá Toán t ập 3 – Lớ p 12 C.

D.

2.

m 

Ngọc Huy ền LB

(Trích đề thi thử THPT chuyên Sơn La lầ n 1)

2.

m


Cho hàm số f (x)  3mx4  8mx3  12( m  1)x2 . Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có cực tiểu là Câu 51:

A. ( ; 1)  ( 1;  C. ( ; 1)  (1; 

2 2 )  (0; ). B. (;  )  (0; ). 3 3 2 3

mx2  2 x  m  1 . Đường 2x  1 thẳng nối hai điể m cực trị của đồ thị hàm số này Câu 58:

vuông góc với đường phân giác của góc ph ần tư thứ nhấ t khi A. 0.

]  (0; ). D. (  ; 0). 3

Cho đồ thị hàm số y  f (x)  ax3  bx2  c có (0;1) và B( 1; 2) . Tính giá trị của hai điể m cực trị là A



A.





m

C. 0

3



3x

2

3x  5 có



1



M 3; 1

1

 m 

Câu 54: Cho hàm số y



3

x

3

D.

m  0



mx

x

 2m 1 x



B. Hàm

B.

1.

C. 0.

D.

một giá trị khác.



 1.





2

Tìm

hàm số có hai điể m cực trị

m



C.

m

n

D.

m

D. m  1 thì

hàm số có cực trị

y  x

(Trích đề thi thử THPT chuyên Phan B ộ i Châu) 

m

2



1; 

1.



1. 2

n



n

 

.

Giả sử đồ thị hàm số 2  3mx  3  m  6  x  1 có hai c ực trị. Khi đó

Câu 61:

4

t ồn tại giá trị của m, n.

(Trích đề thi thử THPT chuyên Hưng Yên lầ n 2

hàm số có cực đại và cực tiể u

để hàm số y  mx





9 x

3

đường thẳng qua hai điể m cực trị có phương trình là: 2

2



A. y  2x  m

1 có

B. y  2

hai điể m cực đại và một điể m cực tiể u.



2

m





3  m 

C.

m

0

B. 0

D. 3 

 3

C. y  2 x  m

3

 m 

D.

m

(Trích đề thi thử THPT chuyên Phan B ộ i Châu) Câu 56:

Tìm tấ t cả các giá trị của tham số

m

để

phương trình 9  2m.3  2 m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho x  x   là x

x

1

A.

C.

3 m

 

m

2

B.

2

D.

3 3

m 

27 2 9

m



2



 

A. y 1 C.

1.

Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để ba điể m cực trị của đồ thị hàm số Câu 62:

y



x

4



 

B. y 1

y  1  1

D. y 1

 

2

 



 6m





4 x

2

1m

là ba đỉnh của một tam

giác vuông:

y  x

4

2

B. m 

3

1

C.

m

3

 1

D.

m

3 

3

3

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 2

 2m

x

2

1

có ba cực trị tạo thành tam giác

vuông cân A.

m



B. m

0



1

C.

m

 1

D.

m  2

(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồ ng – Phú Yên) Câu 64:

2



6m  1

(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồ ng)

Câu 63:

 1; 0 , B  3; 4  là các điể m cực trị của x 

 6m  1

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiể u)

.

đồ th ị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  . Tính giá trị của hàm số tại



2

Tấ t cả đều sai

A. m 

(Trích đề thi thử THPT Ngô Gia T ự - Vĩnh Phúc) Câu 57: Biế t A

6m  1

m6 x m

2

A.

n

và f  2   2.

C. m  1 thì

m

Cho hàm số f  x   x  m 

B.

số luôn có c ực đại và cực tiể u

Câu 55: Tìm

bằng

m

A. Không

mệnh đề sai. A. m  1 thì

khi

A. 1.

Câu 60:

m  1

2



(Trích đề thi thử tạ p chí Toán học & Tuổ i trẻ l ầ n 7)

(Trích đề thi thử THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc) 1



(với m, n là x 1 các tham số thực). Tìm m, n để hàm số đạt cực đại tại

cực trị?

B.

.

2

3

B.

m x

1

D.

1.

Đường thẳng nối điể m c ực đại v ới điể m c ực tiể u của đồ thị hàm số y  x  x  m đi qua điể m

2. C. 4. D. 6. (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) 53: Tìm tấ t cả các giá tr ị của m để hàm số

1

C.

Câu 59:

abc .

y

B. 1.

(Trích đề thi thử tạ p chí Toán học & Tuổ i trẻ l ầ n 7)

Câu 52:

Câu

bằng

m

2


A. 0.

Cho hàm số y 

Tìm

m

để  Cm  : y  x 4  2mx 2  2 có 3 điể m

cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân: A.

m

4

 

B.

m

1

 

C.

m



1

D.

m  3

(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I) Công Phá Toán by Ng ọc Huy ền LB

®


The best or nothing

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. Các dạng

tính toán thông thường liên quan đế n cự c

trị

Câu 1: Đáp án A.

Lờ i giải: Tập xác định: y   4 x

D

x



y’

3

Tuy nhiên do hệ số của

x

4

trong hàm số y  x4  100

, do đó hàm số có duy nhấ t một điể m cực tiể u. Suy ra hàm số không có điể m cực đại. Phân tích sai l ầ m: Nhi ều độc giả chọn luôn B, có một điểm, do không xét kĩ xem x 0 là điể m cực đại hay điể m cực tiể u của hàm số . là



0



Câu 2: Đáp án A. Cách 1:

Tập xác định:

D

3



2

y '  0  4x x  1  0  x  0

Vậy hàm số có 1 điể m cực trị.

phương có dạng y  ax ab  0 thì

Nhận thấ y

Tập xác định:

1



4



bx

2

c a  0.



hàm số có 1 điể m cực trị là 0 và 2



x



3



0

D



y  3x  6x  3



D

x

0.

0  x1

1



+



0

+ 

2 

Vì hàm số có hai điể m cực trị là nghiệm của phương trình:

Theo định lí Vi – ét ta có:

x

2

 8x 

x x 1

2

x 1

,

x x 2 1

,

8



0.

x 2

là

0, x.

Do vậy hàm số chỉ có đúng một điể m cực trị là 

 6x

x  0 y   0  3 x  x  2   0   x  2

Ta có bảng biế n thiên:

1

nhưng

x



1 không

là cực trị

của hàm số do y  0 x  D. .





y  3 x  1

2

 0 , x 

.

.

Câu 8: Đáp án B.



D



Nên hàm số luôn đồng biế n trên

Đến đây có nhiều độc giả kế t luận luôn hàm số có hai điể m cực trị, tuy nhiên đó là kế t lu ận sai l ầm, bởi khi qua x 1 thì f  x  không đổ i dấ u, bởi


x

Tư duy nhanh: Nhận thấ y

x  1 Ta thấ y f   x   0   x  3



Tuy rằng y   0 tại

Vậy hàm số đồng biế n trên

 8


Tập xác định:

2



2





y  0  3 x  1

Ta có bảng biế n thiên:

0.

y  x  8 x  8

2





y

y  3x



I 0;1 .

và có hai điể m c ực tr ị nên đồ th ị hàm số có dạng N (mẹo). Lúc này ta suy ra được luôn x 0 là điể m cực đại c ủa hàm số, suy ra điể m cực đại c ủa đồ thị hàm số là I  0; 1 . a 


2

3

Tư duy nhanh: Nhận thấ y hàm số đã cho có hệ số

y’

1

+ 

Vậy điể m cực đại của đồ thị hàm số là

Vậy hàm số có 1 điể m cực trị.

x



2

Xem lại STUDY TIP đố i với hàm bậc bố n trùng







Tập xác định:

Cách 2:

Nế u

2 0

Câu 6: Đáp án A. Nhận thấy đây là hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a, b cùng dấ u nên có duy nhấ t một điể m cực trị. Câu 7: Đáp án D.



y  4x  4x



+

y

y '  0  x  0

1

0 0 1



x



3.

Chú ý: Phân biệt giá trị lớn nhấ t (nhỏ nhấ t) và cực đại (cực tiể u) ở ph ần lý thuyế t v ề GTLN –GTNN được tôi

trình bày trong chuyên đề sau. Phương án A. Sai: 1 là giá trị cực tiể u. 3 là giá trị cực đại. Phương án B. Đúng. Phương án C. Sai: Giá trị cực đại là 3. Phương án D. Sai: Nế u nói hàm số đạt cực tiể u thì phải 1 còn A  1; 1  là điể m c ực ti ể u c ủa đồ nói tại x 





thị hàm số (tương tự với Câu 9: Đáp án B.

Ta có:

D



\ 1; 1 . 






B 1; 3

 ).


Phương án A. Đúng. Do qua

The best or nothing

đổ i dấ u từ dương sang âm nên hàm số vẫn đạt cực trị tại x 0 . Phương án B. Nhận thấ y hàm số không đạt cực tiể u tại 1 do tại x 1 thì hàm số không xác đinh. x Phương án C. Đúng: Do lim y    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị. x



0

thì

y









x  1

lim y

 x 

 

x 1

1 là

x 



3

x 

 y 

3 là

tiệm cận ngang của đồ thị.

Câu 10: Đáp án D.

1

 x  1

2

 0 nên

y  9 x  2016  0 nên

D

\ 1 .





D

.

hàm số không có cực trị.



3

 6x





2

y  0  2 x 2x  3  0  x  0

y’ y

Vậy hàm số đạt cực tiể u tại

x



0

)

Câu 11: Đáp án C.



t

3

0.

a 

1  0 nên

hàm số có duy nhấ t một điể m cực tiể u



0

Câu 13: Đáp án D.

Tập xác định:

D



Đáp án A. Sai: Do hàm số có 3 cực trị. Đáp án B. Sai: Hàm số đạt cực tiể u tại x

2



2

x

1

1

 

và

còn hàm số có giá trị cực tiểu tương ứng là 3.

Đáp án C. Sai: Chú ý phân biệt giá trị lớn nhấ t (nhỏ nhấ t) và cực đại (cực tiể u). Đáp án D. Đúng.

y   0

2

D



 6x

x  0  3 x  x  2   0   x  2

Bảng biế n thiên: x



t  0 

Khi đó y  t



Câu 14: Đáp án

phương ta thấ y 1  0; 3  0   1 .  3   0  Hàm số có một điể m cực trị là

x

Tư duy nhanh: Không dùng bảng biế n thiên, ta có

y  3x

x



1

(Hoặc dùng STUDY TIP cho hàm bậc bố n trùng

Đặt





Tập xác định:

D



0



Vậy hàm số có một điể m cực trị.

Tập xác định:

0



Dựa vào bảng biế n thiên ta có: 

Phương án C. Sai: Hàm phân thức bậc nhấ t trên bậc nhấ t luôn không có cực trị. . Phương án D. Đúng: Tập xác đị nh D y  4x

x

. (Do đồ thị hàm số có dạng parabol có đỉ nh hướng xuống dưới).

hàm số không có cực trị.

Phương án B. Sai: Tập xác định 2



2

Bảng biế n thiên

x

Phương án A. Sai: Tập xác định: y  2 



y  0  2x x  1  0  x  0

tiệm cận đứng của đồ thị.

Phương án D. Đúng: Do lim y  3  y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị. lim y

3

y  4x  2x



y’

+

y

t2  3

4

y  3t 2  8t

0 0 -1

2 0





+ 

5



y  0  t  3t  8   0

Vậy hàm số đạt cực trị tại

 t  0 ( t / m)  x  0  8 t  ( t / m)  x   8  3 3

Tư duy nhanh: Kế t luận luôn hàm số đạt cực trị tại x

8 

y’ y



0



8

0

3

+

0



3 

0

+





3



2 do

2.

27

Continue…( Mời các em và quý th ầy cô đọc trọn vẹn

“Công phá Toán” để cảm nhận đầy đủ tâm huyế t của Ngọc Huy ề n LB trong suố t 5 tháng làm vi ệ c) Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/

175



27

Câu 12: Đáp án B. D



hàm bậc ba ho ặc là không có c ực trị ,

Do vậy hàm số có 3 điể m cực trị. Tập xác định:

0; x

Lovebook xin chân thành cảm ơn!

175



0; x



hoặc là có hai c ực trị. (STUDY TIP đã nói).

Bảng biế n thiên: x



x




Cong Pha Toan

Recommend Documents