LEY DE HOOKE En física, la ley de elasticidad de Hooke o Hooke o ley de Hooke, Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F :
Siendo δ el alargamiento longitudinal, L la longitud original, E : módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada !a le" se aplica a materiales elásticos #asta un límite denominado límite elástico Esta le" recibe su nombre de $obert %oo&e, físico británico contemporáneo de 'saac (e)ton *nte el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, %oo&e lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv , revelando su contenido un par de a+os más tarde El anagrama significa Ut tensio sic vis -como la e.tensión, así la fuerza-/ Aplicando la ley de Hooke !a fuerza electromagn0tica básica a nivel molecular se pone de m anifiesto en el momento de establecerse contacto entre dos cuerpos *parecen fuerzas moleculares que las mol0culas de un cuerpo #acen sobre las mol0culas del otro, " viceversa !lamamos normalmente fuerzas de contacto a estas fuerzas, " la vida diaria está llena de ellas: cuerdas, muelles, ob1etos apo"ados en superficies, estructuras, etc 2uando a un cuerpo p e1, una cuerda/ se le aplica una fuerza, normalmente reacciona contra esa fuerza deformadora, dado que tiende a tener una forma estable debido a su estructura molecular Estas fuerzas de reacción suelen llamarse elásticas, " podemos clasificar los cuerpos seg3n el comportamiento frente a la deformación 4uc#os cuerpos pueden recuperar su forma al desaparecer la acción deformadora, " l os denominamos cuerpos elásticos 5tros cuerpos no pueden recuperar su forma despu0s de una deformación, " los llamamos inelásticos o plásticos Evidentemente, un material elástico lo es #asta cierto punto: más allá de un cierto valor de la fuerza deformadora, la estructura interna del material queda tan deteriorada que le es imposible recuperarse %ablaremos por tanto, de un
límite elástico, más allá del cual el cuerpo no recupera la forma, " a3n más, de un límite de ruptura, más allá del cual se deteriora completamente la estructura del material, rompi0ndose Robert Hooke (1635-1!3" estableció la le" fundamental que relaciona la fuerza aplicada " la deformación producida 6ara deformaciones que no sean mu" grandes, es decir, que no superen el límite elástico, se cumple que: (1" En donde F es la fuerza deformadora aplicada " x la deformación relativa Es mu" frecuente escribir la le" de %oo&e teniendo en cuenta que la fuerza elástica Fe es igual a la aplicada F pero cambiada de signo: (#"
Ley de Hooke para los resortes La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:
, siendo Donde k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) ! x es la separación de su e"tremo respecto a su longitud natural, # la sección del cilindro imaginario $ue en%uel%e al muelle & el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material)' La energa de deformación o energa potencial elástica U k asociada al estiramiento del resorte %iene dada por la siguiente ecuación:
&s importante notar $ue la k antes definida depende de la longitud del muelle de su constitución' Definiremos aora una constante intrnseca del resorte independiente de la longitud de este estableceremos as la le diferencial constituti%a de un muelle' *ultiplicando k por la longitud total, llamando al producto k i o + intrnseca, se tiene:
donde Llamaremos F ( x) a la fuerza $ue soporta una sección del muelle a una distancia " del origen de coordenadas, k ! x a la constante de un pe$ueo trozo de muelle de longitud ! x a la misma distancia δ! x al alargamiento de ese pe$ueo trozo en %irtud de la aplicación de la fuerza F ( x)' -or la le del muelle completo:
.omando el lmite:
$ue por el principio de superposición resulta:
/ue es la ecuación diferencial del muelle' 0i se integra para todo ", de obtiene como 1ecuación de onda22 unidimensional $ue describe los fenómenos ondulatorios La %elocidad de propagación de las %ibraciones en un resorte se calcula como:
$raba%o E&ect'ado por 'n Resorte 3n sistema fsico común en el $ue la fuerza %ara con la posición, es el de un cuerpo conectado a un resorte' 0i el resorte, orientado en dirección del eje x, se deforma desde su configuración inicial, es decir se estira o se comprime, por efecto de alguna fuerza e"terna sobre el resorte, instantáneamente actúa una fuerza F producida por el resorte contra el objeto $ue ejerce la fuerza e"terna, 4ua magnitud es:
F = - k x Donde x es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no Deformada en x = 0 k una constante positi%a, llamada constante de fuerza De resorte, $ue es una medida de la rigidez (dureza) del resorte' &sta ecuación 0e llama Ley de Hooke, es %álida para pe$ueos desplazamientos, a $ue si &l resorte se estira demasiado, puede deformarse no recuperar su forma original' &l signo negati%o indica $ue la dirección de esta fuerza es siempre 5puesta al desplazamiento, como se ilustra en la figura 6'7, donde F representa La fuerza producida por el resorte'
8igura 6'7
0i el cuerpo se desplaza desde una posición inicial a la final, el trabajo realizado por el resorte es:
-or ejemplo, para un resorte de k 9 ;; <=m, $ue se estira ; cm (9 x f ), el trabajo
$ue realiza la fuerza del resorte para recuperar su posición inicial no deformada ( xi = 0) es ;'6 >' TIPOS DE
Deformación elástica: Es una deformación no permanente, que se recupera completamente al retirar la carga que la provoca La Elasticidad es la propiedad que presentan los cuerpos sólidos de recuperar la forma y las dimensiones cuando cesan
DEFORMACIONES:
Deformación plástica: Es una deformación permanente, que no se recupera al retirar la carga que la provoca, aunque sí se recupera una pequeña componente de deformación elástica los esfuerzos
RELA)O*E+ E*$RE $E*+)O*E+ Y DE,ORA)O*E+. LEY DE HOOKE
Para pequeñas deformaciones elásticas ! "#$%&, e'iste una proporcionalidad directa entre las tensiones aplicadas y las deformaciones producidas
σ = E ε
σ Ley de HOOKE
E representa el módulo de elasticidad o módulo de ()*+, parámetro que mide la resistencia de un material a la deformación elástica# *nidades -./ +0m1 2 Pa m3ltiplo 4a5itual/ $ Pa 2 $"6 Pa 2 $"7 8Pa& •
8ódulos de elasticidad 5a9os :e'i5ilidad&
•
8ódulos de elasticidad altos rigidez&
La Ley de HOOKE e'presa la ecuación de una recta de pendiente
E que
pasa por el origen de coordenadas Las ramas de carga y descarga coinciden ;
E = tg α
!E$S"O$ 8;>E=;
DE%ORMA#"O$
E acero > E aluminio > E hueso >
El límite elástico σY de un material representa la tensión má'ima que soporta sin sufrir deformaciones permanentes plásticas&
VALORES DEL MÓDLO DE ELAS!"#"DAD
Aplicación de los resortes en la in&enier'a La aplicación de los resortes en la ingeniería está más concentrada en la ingeniería mecánica para los ingenieros mecánicos es muy importe el uso de los resortes para sus distintos proyectos Funciones a tener en cuenta para los resortes en la ingeniería mecánica
Para almacenar y retornar energía, como el mecanismo de retroceso de las armas de fuego Para mantener una fuerza determinada como en los actuadores y en las válvulas
Esf(er)o y deformación *na fuerza e'terna aplicada a un cuerpo, 4ace que ?ste se deforme o cam5ie ligeramente de forma# @am5i?n produce fuerzas internas esfuerzos& que act3an dentro del cuerpo# La mecánica de materiales es la ciencia que analiza los esfuerzos v las deformaciones producidas por la aplicación de fuerzas e'ternas# La carga a'ial se encuentra en una amplia variedad de aplicaciones prácticas en todas las disciplinas de ingeniería# ;unque las aplicaciones tienen alg3n inter?s, los conceptos, deAniciones y procedimientos son de particular signiAcado# Borman la 5ase del tra5a9o futuro, y se aplican y e'tienden para desarrollar la teoría y práctica para otros tipos de colocación de carga# En la solución de todos los pro5lemas de
mecánica de materiales, es desea5le tener un conocimiento de las acciones físicas que tienen lugar dentro del miem5ro# Por consiguiente, es importante ser capaz de CvisualizarD el esfuerzo y la deformación que ocurren en un cuerpo# -e necesita memorizar muy pocas fórmulas para la solución de estos pro5lemas# -in em5argo, el 4á5ito de 4acer diagramas completos, cuidadosamente trazados, de los miem5ros 5a9o carga, ayudará enormemente a comprender esta materia# Esf(er)o: El esfuerzo es una función de las fuerzas internas en un cuerpo que se producen por la aplicación de las cargas e'teriores# Para entender la composición y distri5ución de las fuerzas internas, consideremos una 5arra simple su9eta a una fuerza a'ial P en cada e'tremo, como se indica en la Big# -upóngase que esta 5arra está formada de un gran n3mero de A5ras alineadas paralelamente# -i se 4ace una sección de la 5arra, se o5tiene un diagrama de cuerpo li5re similar al indicado en la Bigura# *na regla 5ásica de estática es que si una estructura está en equili5rio, cualquier porción de la estructura de5e estar en equili5rio# En el diagrama de cuerpo li5re de la fuerza e'terna aplicada está a la derec4a#
e una manera seme9ante, aunque no tan evidente, cada A5ra de la 5arra transmite una porción de la carga# La suma de las cargas soportadas por cada A5ra es igual a la carga aplicada# La fuerza interior total en la 5arra es la resultante de todas las fuerzas en las A5ras, y es igual a P .5# -in em5argo, no es com3n 4a5lar de la fuerza total en la 5arra, sino más 5ien de la intensidad de la fuerza en las A5ras# Esta intensidad de la fuerza se llama el esfuerzo, o esfuerzo unitario# El esfuerzo unitario se deAne como la fuerza por unidad de área# En t?rminos alge5raicos
@ 2 esfuerzo unitario en .50plg1 o en +0m1, B 2 carga aplicada en .5 o en +, ; 2 área so5re la cual act3a la carga, en pl1 o en m1#
>eformación
G <;P.@*L) 10E-B*E=) ( >EB)=8;<.)+ a& *na regla 5ásica de estática es que si una estructura está en equili5rio, cualquier porción de la estructura de5e estar en equili5rio# En el dia grama de cuerpo li5re de la Big, 1#$ 5&, la fuerza e'terna aplicada está a la derec4a#
de esa carga# >e una manera seme9ante, aunque no tan evidente, cada A5ra de la 5arra transmite una porción de la carga# La suma de las cargas soportadas por cada A5ra es igual a la carga aplicada# La fuerza interior total en la 5arra es la resultante de todas las fuerzas en las A5ras, y es igual a P .5# -in em5argo, no es com3n 4a5lar de la fuerza total en la 5arra, sino más 5ien de la intensidad de la fuerza en las A5ras# Esta intensidad de la fuerza se llama el esfuerzo, o esfuerzo unitario# El esfuerzo unitario se deAne como la fuerza por unidad de área# En t?rminos alge5raicos, 1#$& donde @ 2 esfuerzo unitario en .50plgI o en +0mI, B 2 carga aplicada en .5 o en +, ; 2 área so5re la cual act3a la carga, en plI o en mI# Por e9emplo, supóngase en la Big# 1#$ que la fuerza e'terior P es de $"""" .5, y el área de la sección transversal de la 5arra es de 1 plgI# La fuerza interior total en la 5arra sería de $" ))) .5# El esfuerzo uni tario sería P $" """$5 JJJJ J , , , oK 2 Kr 2 ### , I 2 """ i50plg1#
Dia&rama esf(er)o*deformación (nitaria espu?s se aplica a la pro5eta una carga de tensión que se va incrementando lentamente 4asta que se presenta la fractura# ; ciertos intervalos durante el ensayo, se 4acen medidas simultáneas de la carga M la deformación, y a partir de estos datos se traza una gráAca de esfuerzos contra deformaciones unitarias# ;. construir esta gráAca, trazamos los valores del esfuerzo unitario P0;& como las ordenadas y los valores correNspondientes de las deformaciones unitarias -0L& como las a5scisas# El resultado es una gráAca similar a la de la Big# 1#F, que es la gráAca típica para acero dulce# *n análisis cuidadoso de esta curva ilustrará varias
deAniciones y propiedades importantes qlIe de5emos conocer cuando estudiamos mecánica de materiales# La curva empieza en el origen y contin3a como una línea recta 4asta que llega a P# 8ás adelante se encuentra el punto ( donde la curva disminuye su pendiente, se 4ace más 4orizontal e incluso puede 5a9ar ligeramente# >espu?s de conlinuar apro'imadamente 4orizontal una cierta distancia, la curOa tiende otra vez a su5ir 4asta *, y luego decrece 4asta alcanzar el punto B, donde ocurre la fractura# .;=;8; E-B*E=)K>EB)=8;<.)+ *+.@;=.; KQ válidas solamente cuando el esfuerzo unitario en el material es menor que el esfuerzo en el limite de proKporcionalidad# En diseño, el esfuerzo en el material se limita a valores menores que el límite de proporcionalidad# -i los esfuerzos e'ceden este valor, el esfuerzo ya no es proporcional a la deformación unitaria, y las fórmulas ya no son válidas# Rustamente despu?s del límite de proporcionalidad, en (&, la curva disminuye su pfIndiente v el material se deforma con muy poco o ning3n aumento de la car9Ia# El material :uve o se deforma plásticamente en este punto# El esfuerzo para el cual comienza esta :uencia, se llama el esfuerzo en el punto de :uencia ítS# Puede notarse que el límite de proporcionalidad v el punto de :uencia están muy pró'imos# Es difícil notar la diferencia entre los dos puntos, a menos que se 4agan las medidas M los di5u9os con mucK4a e'actitud# Posteriormente, la curva incrementa su pendiente y alcanza un valor má'imo en *# El esfuerzo correspondiente a este punto n la rNiirvíí Para ílnTfríir la fnrma Hp . I , U cuello o acinturamiento se muestra en la Big# 1#6 un esp?cimen antes y 5& despu?s de la falla# B.*=; 1#6 a& ;ntes de EB)=8;<.)+ tan 6 2 variación de esfuerzo J ;cr variación en deformación ;e X #;cero de alta resistencia Yronce Bierro colado compresión& >eformación unitaria, e B.*=; 1#$" Esto es tam5i?n la deAnición deZ mc-dulo de elasticidad [E 2 oK0c&# *na indicación del módulo de elasticidad o rigidez relativa& del material puede o5tenerse o5servando
la pendiente de la porción inicial Kde la curva# Entre mayor es la pendiente de la curvaV mayor es el módulo de elasticidad o rigidez relativa& del materialV -i el esp?cimen su9eto a tensión se carga 4asta un esfuerzo menor que el límite de proporcionalidad y despu?s se descarga, los puntos trazados so5re el diagrama durante la descarga quedarán so5re la recta original )P# -in em5argo, si el esp?cimen se carga por encima del límite de proporcionalidad, como el punto 8 de la Big# 1#F, y despu?s se descarga, los puntos trazados so5re el diagrama caerán so5re la recta 8+# -i el esfuerzo se reduce a cero, se conservará una deformación permanente )+ en la 5arra# 1#F >iagram as esfuerzoKdeform ación yo-taria para o íros maíerialles Para otros materiales diferentes al acero dulce, pueden trazarse diagramas esfuerzoKdeformación unitaria de una manera seme9ante a la descrita "n la sección 1#F# La 1#$" muestra la forma típica de los diagramas esfuerzoK deformación unitaria para diversos materiales usualesK# en la Big# 1#$$ indica este comportamiento#
