Método de las Deformaciones: Aplicación a pórticos con columnas inclinadas Determinar los esfuerzos de M Q y N para el siguiente pórtico usando el método de las deformaciones Datos:
=2
12 12
=
=
23
=
2
34
=
3;
4
;
34
Incógnitas:
1;
12
2;
;
Planteamos la estructura deformada:
Debido a las condiciones de vínculos se tiene = = que: Puesto que el método no considera las deformaciones producidas por esfuerzos normales, el desplazamiento horizontal de los nudos 2 y 3 será del mismo valor: 1 . Observamos, Observamos, además, que existe una relación entre los desplazamientos , por lo que podremos reducir el número de incógnitas si colocamos los
∆
∆
∆
en función de los
.
Dicha relación entre los desplazamientos es:
ΔΔ ⟹ Δ ΔΔ ⟹ Δ − Δ ⟹ − − Δ ⟹ − Δ − Δ − Δ ⟹ Δ Δ Δ tan
=
=
1
cos
1
=
=
12
Además:
34
12
·5
=
23
·5
=
3
=
4
4
=
Por lo que ahora solo tenemos 3 incógnitas:
=
2
;
5
3
1
4
= ,
=
1
12
=
12
= ,
1
4
=
5
·4
3
5
5
= 1
=
3
·
4 5
5
·
1
=
4 5 1
=
.
23
0
Planteamos las ecuaciones de recurrencia para cada barra:
− 0
=
+
2
2
+
3
− − −
En este caso, como todas las barras poseen la misma inercia
Calculamos los
0
12
:
0 12
0 21
=
=
23
=
12
21
Barra 2-3:
23
32
Barra 3-4:
34
43
= =
=
=
=
0 12
+
2
=
= = = =
=
0 23
=
0 34
=
0 43
=0
2
5
0 21
2
+
2
+3
2
12
12
2
5
12
12
2
=1
2
12
2
5
=
12
= 4,1667
0 23
+
2
2
1
1
+3
2
3
= ,
4
2
+
2
1
4
+
=0+
12
+
1
3
2
5
2·0+
23
2
23
2
+
+
2
23
=0+
+
3
23
2
5
2·
2
3 +
2
+ ,
2
23
+ ,
+
2
,
2
3 +
2
+
34
+
0 43
34
+
4
3
3
3
=
34
34
+
,
4
+
4,1667
34
=0+
34
=0+
,
2
1
4
1
4
Δ − Δ −
2
2
5
+
2
5
2
2
+
3 +
,
− − 0 34
+0+3
,
3
+3
,
= 4,1667
+ ,
23
,
3
2
,
12
= ,
+ ,
0 32
− Δ Δ − Δ Δ
− − − − − −
= , =
0 23
=
34
tendremos que:
=0
2
Barra 1-2:
0
2 4
2 4
2
3
Δ Δ
+0+3
2·0+
3
1
4
+3
1
4
3
3
2
0,15
1
1
3
0,15 1
1
Planteo de las ecuaciones de equilibrio:
La suma de los momentos actuantes en los nudos 2 y 3 debe ser nula, con lo cual tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas; necesitamos plantear una ecuación más, por = 0 ). lo que planteamos una ecuación de piso en la barra 2-3 (
Equilibrio de momentos actuantes en nudo 2:
∴ Δ − Δ (2)
=0
21
+
21
=
0,80
23
= 4,1667 + 0,80
23
=0
+
2
0,30
1
+
=
(2)
= ,
2
+ 0,40
+ ,
0,18
3
+ ,
+
1
,
=
Equilibrio de momentos actuantes en nudo 3:
∴ − − Δ Δ − (3)
+
=
=0
32
=
34
=
(3)
=
32
+
4,1667 + 0,80
,
34
=0
3
+ 0,40
3
+
+ ,
+ ,
2
0,18
1
0,375
1
+
,
=
Ecuación de piso:
∴ − − − − =0
=
= Donde vemos que aparecen dos incógnitas nuevas: 1 2. Por lo tanto recurrimos a ecuaciones de equilibrio de momentos en las barras para solucionar el problema:
Equilibrio de momentos en la columna 1-2
− ∴ − − Δ Δ − − − − (
= 0,40
=0
1 2)
2
+ 0,30
= ,
+
+
12
1
+ 0,80
1
·4
+ 0,30
1
21
2
,
1
1
·3
=0
·4
1
·3
=0
=
Equilibrio de momentos en la barra 2-3:
Tomamos momento respecto al nudo 3 para que, de esta manera, no participe en la ecuación.
−
∴ − 2
(2 3)
=0
23
+
32
+
1
2
·5
=0
− Δ − − Δ − − − 4,1667 + 0,80
2
+ 0,40 0,18
,
2
+ ,
0,18 1 2 · (5)2
3
1
+
4,1667 + 0,80
,
3
+ 0,40
2
·5=0
1
2
+
=
Equilibrio de momentos en la columna 3-4
− (
3 4)
=
∴ − Δ Δ − −
=0 3
+
34
+ 0,375
43
1
2
+ 0,5
= ,
+
·4
3
=0
+ 0,375
,
1
2
·4
=0
=
Ahora contamos con un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, el cual puede resolverse:
ΔΔ − ΔΔ −− − − − Δ − − Δ − − − − − − 1,60 0,40
0,00 1,20 1,20 0,00
+ 0,40 2 + 1,80
+ 0,12 3 + 0,12
2
3
+ 0,00 2 + 0,00 2 + 1,20 2 + 0,00 2
+ 0,00 3 + 0,60 0,36 3 3 + 0,00 3
+0 1 +0
1
1 4 1 1 +0 1 +0 1
+0 1 +0
1
2
2
1 1 +0 1 +0 1 +0
+0 +0
+0 3 2 5 2 2 +0
1
2
1
1
= 4,1667 = 4,1667
= 2,00 0,00 1 = 25,00 1 = 0,00 1 = 1
De donde obtenemos los siguientes valores
=
,
= ,
=
,
=
,
Con lo cual finalmente podemos hallar:
=
1
=2
·5
3,297
= ,
= ,
=
,
= ,
= ,
=
,
= ,
= ,
= ,
Con los que obtenemos finalmente los diagramas de
y
buscados:
