BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
System koordinat merupakan suatu cara yang digunakan untuk menentukan
letak suatu bidang (R2) maupun suatu ruang (R3). Terdapat beberapa system
koordinat yang dilakukan dalam fisika yaiu system koordinat kartesian,
system koordinat polar, system koordinat silinder, dan system koordinat
bola. Penggunaan pada masing-masing system koordinat tersebut disesuaikan
pada bentuk geometri sistemnya. Pada bidang (R2) biasanya digunakan system
koordinat kartesian dan koordinat polar. Sedangkan pada ruang (R3) biasanya
digunakan system koordinat silinder dan koordinat bola.
B. Rumusan Masalah
Hal-hal yang akan dibahas dalam makalah ini adalah :
a. Koordinat kartesian
b. Koordinat polar
c. Koordinat silinder
d. Koordinat bola
e. Kinematik berbagai system koordinat
C. Tujuan
Makalah ini dibuat agar pembaca lebih mengetahui tentang system
koordinat yang biasa digunakan dalam fisikan, dan untuk memenuhi tugas
tengah semester.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Sistem Koordinat Cartesius
Gambar 1
Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang
dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang
dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga terdapat 4 kwadran, yaitu
kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0, y>0), kwadran III (x<0, y<0), dan
kwadran IV (x>0, y<0). Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka
titik tersebut posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran
IV tergantung besaran x dan y. Jika letak titik P(x,y), maka x disebut
absis, y disebut ordinat dan P(x,y) disebut koordinat.
1. Sistem koordinat kartesian 2dimensi
Perhatikan gambar berikut ini.
Misal P(x1,y1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x1 >0 dan y1 >0
Gambar 2
Berdasarkan gambar 2 di atas, tampak suatu segitiga yaitu yang
salah satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras
OP2 = OM2 + MP2
= (x1-0)2 + (y1-0)2
= x12 + y12
=
atau ditulis dengan notasi
Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik
O(0,0) dengan titik P(x,y)
Selanjutnya perhatikan gambar berikut.
Gambar 3
Gambar 3 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya
yaitu terletak pada kuadran II, terletak pada kuadran IV,
terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh:
1.
2.
3.
2. Sistem koordinat kartesian 3dimensi
Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan
system koordinat kartesian 2 Dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi
yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus, seperti yang terlihat
pada gambar :
Titik O merupakan titik pusat dari ketiga sumbu koordinat X, Y, dan Z.
Sedangkan titik P didefinisikan dengan P (x, y, z). Contoh penggambaran
objek pada koordinat kartesius 3 dimensi :
3. Aplikasi system koordinat kartesius
Salah satunya adalah dalam hal penerbangan. Seorang pilot dapat
menerbangkan pesawat terbangnya tanpa bertabrakan satu sama lainnya dan
juga dapat mengetahui apabila pesawat sudah sampai tujuan. Hal ini
dikarenakan pesawat terbang itu dilengkapi dengan alat yang canggih seperti
radar sebagai alat pendeteksi, kompas sebagai petunjuk arah, dan radio
sebagai alat komunikasi. Oleh karena itu seorang pilot harus memahami cara
membaca dan menentukan letak suatu tempat pada bidang koordinat kartesius
.
B. Sistem Koordinat Polar
Sistem koordinat Cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang
dinyatakan dengan pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan
jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak
sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real
, dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan (
adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P
dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)
Gambar 4
Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650)
dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga
banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik dapat digambarkan
dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O
dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar arah positif.
Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik
asal O (lihat Gambar 5.a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat
, dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 5.b). Mudah ditunjukkan pula
bahwa koordinat pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 5.c).
Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan
titik P terletak pada bayangan sinar .
Gambar 5
Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka
koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
atau dengan k bilangan bulat.
Kutub mempunyai koordinat dengan ( sebarang bilangan.
Aplikasi system koordinat polar
Vektor dalam koordinat polar dan Differensiasinya terhadap Waktu
sebuah titik pada (x, y) atau (r , θ), yang bergerak dengan θ = constan ber-
arah r. Ini kita sebut gerak arah r.
Pada arah ini gambar vektor unit ( yaitu vektor yang panjangnya =
satu ) dan diberi nama er. Dengan cara yang sama gerakkan titik itu dengan
r konstan ber-arah membesarnya θ. Gerak ini disebut arah θ. Selanjutnya
pada arah θ ini gambarkan vektor unit yang diberi nama eθ. Dari gambar 4.1
tersebut tampak bahwa dari er ke eθ bersudut siku dengan arah berlawanan
jarum jam. Sekarang setelah menggambar vektor unit dalam koordinat polar
yaitu er dan eθ . Besarnya vektor unit koordinat polar adalah tetap, hanya
arahnya saja yang berbeda jika letaknya berbeda (gambar 4.2).
Selanjutnya hubungan antara er dan eθ dengan i dan j untuk vektor
dua dimensi, hubungan antara r dan komponen-komponennya adalah:
r = i x + j y
bahwa x = r cos θ sedang y = r sin θ jadi:
r = i r cos θ + j r sin θ
Harus diingat bahwa er adalah r yang harga skalar r nya = 1, jadi:
er = i cos θ + j sin θ (4-11)
hubungan antara eθ dengan i dan j, diketahui bahwa eθ bersudut 900 dari
er, jadi cos berubah menjadi sin sedang sin berubah menjadi cos, jadi:
eθ = i sin θ + j sin θ (4-12)
Turunan er dan eθ terhadap waktu adalah:
= i sin θ + j cos θ = eθ (4-13a)
= i cos θ j sin θ = er (4-13b)
Sekarang, jika sebuah vektor komponen-komponennya dinyatakan dalam
koordinat polar, misal:
A = Ar. er + Aθ eθ
maka turunannya adalah:
dA = d (Ar. er ) + d(Aθ eθ) = dAr. er + Ar . der + dAθ . eθ + Aθ deθ
atau:
dA = er . dAr+ Ar . der + eθ . dAθ + Aθ deθ
Jadi turunannya terhadap waktu adalah:
= er . + Ar . + eθ . + Aθ
dengan menggunakan (4-13), persamaan di atas dapat ditulis:
= er . + eθ Ar . + eθ . er Aθ
(4-14)
C. System koordinat Silender
Titik P terletak pada jarak r dari O, dapat diletakkan pada koordinat
kartesian (x,y,z) atau dalam koordinat silinder (p,ø, z). Adapun hubungan
antara (x,y,z) dengan (p,ø, z) :
- Silinder ke cartesius - Cartesius ke
silinder
D. System Koordinat Bola
Ditinjau kembali titik P ditempatkan dalam ruang sejauh r dari O
seperti gambar
Untuk memukan hubungan antara dua pasang koordinat maka pertama
ditetapkan OP = r dalam 2komponen PM dan OM, dalam hal ini :
OC = PM = OP cos Ɵ atau z = r cos Ɵ
OM = PC = OP sin Ɵ atau OM = r sin Ɵ
Selanjutnya di uraikan OM dalam dua komponen, OA dan OB sehingga
diperoleh
OA = OM cos ø atau x = r sin Ɵ cos ø
OB = OM sin ø atau y = r sin Ɵ sin ø
E. Kinematika Sistem Koordinat
1. Kinematika system koordinat polar
Suatu sistem koordinat polar dapat dijelaskan melalui koordinat
kartesian sebagai berikut, terdapat suatu titik di bidang XY dan melalui
titik tersebut berjarak r dari pusat koordinat dan garis dari pusat hingga
titik tersebut membentuk sudut θ terhadap sumbu X, seperti terlihat pada
gambar 1. Posisi titik itu dapat dinyatakan dengan koordinat (r, θ).
Hubungan antara (x,y) dengan (r, θ) adalah
Gambar 1.Koordinat Polar (r, )
2. Kartesianke Polar
x = r cos
y = r sin
Polar keKartesian
3. Sehingga Vektor posisi dari koordinat polar adalah
Hubungan antara dan dengan dan
Gambar 2.Hubungan dan dengan dan
Kecepatan merupakan turunan posisi terhadap waktu, maka kecepatan
vertor pada koordinat polar :
Posisi:
Dimana
Maka,
Demikian juga dengan percepatan, merupaka turunan dari kecepatan,
dalam koorninat polar :
Kecepatan:
Dimana:
Maka,
4. Kinematika Sistem Koordinat Silinder
Gambar 3.KoordinatSilinder
Hubungan koordinat kartesian dan silinder :
5. KartesiankeSilinder
x = cos
y = sin
z = z
SilinderkeKartesian
6.
Gambar 4. Skema sistem koordinat silinder
Sehingga Vektor posisi dari koordinat silinder adalah
Hubungan vector satuansilinderdankartesian () dengan (,
, )
Gambar 5.Hubungan vector satuansilinderdankartesian
Kecepatanpada system koordinatsilinderadalah
Posisi:
Dimana:
Maka,
= merupakan kecepatan arah radial
= merupakan kecepatan arah tangensial
Dan percepatanpada system koordinatsilinderiniadalah
Kecepatan:
Dimana:
Maka
= merupakan percepatan radial
= merupakan kecepatan tangensial
7. Kinematika Sistem Koordinat Bola
Gambar 6.Koordinat Bola
Hubungandenganvariabel-variabeldalamsistemkoordinatkartesian
8. Kartesian ke bola
x = cos
y = sin
Bola ke Kartesian
9.
Gambar 7. Skema Sistem koordinat bola
Vektor posisi dari koordinat bola adalah
Hubungan vector satuansilinderdankartesian () dengan (,
, )
Gambar 8. Hubungan vector satuansilinderdankartesian
Kecepatanpadakoordinat bola adalah
Posisi:
Dimana:
Maka
Dan percepatannyaadalah
Kecepatan:
Dimana:
Maka
+(
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. System koordinat kartesian terbagi atas 2dimensi dan 3dimendi. Pada
system koordinat katersian 2dimensi menggunakaan sumbu koordinat
(x,y) sedangkan pada kartesian 3dimendi mengguanakan sumbu
koordinat (x,y,z).
2. System koordinat kartesian dapat diaplikasikan pada alat radar
pendekteksi maunpun pada kompas.
3. Sama halnya dengan koordinat kartesian, koordinat polar juga
menggunakan sumbu koordinat (x,y), hanya saja koordinat polar
terdapat titi sembarang yang di anggap P dengan sumbu koordinat
(r,Ɵ)
4. Pada system koordinat silinder dan system koordinat bola, sumbu
koordinat yang digunakan dengan system koordinat kartesian
3dimensi, yaitu (x,y,z) atau (p,ø, z).
B. Saran
Penulis menyarankan sebaiknya pembaca dapat lebih memahami tentang
system koordinat, karena system koordinat ini sangat banyak kegunaannya
didalam kehidupan sehari-hari.
-----------------------
3
3
(b)
(a)
3
O
3
(c)
Gambar 4.2
Gambar 4.1
(x,y)
(r,θ)
eθ
eθ
er
er
x
y
i
θ
er
j
eθ