TEXTO de Investigaci n de Operaciones

Investigación de operaciones

2011

INVESTIGACION DE OPERACIONES 1. Conceptos Conceptos de Invest Investigac igación ión de Operacio Operaciones. nes. Investigación Operativa, es La Investigación de Operaciones o Investigación una una rama de las las Matemáticas cons consis iste tent nte e en el uso uso de modelos matemáticos,, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso matemáticos de toma de decisiones. Frecuentemente, trata del estudio de complejos sist istema emas rea reales les, con la fina inalida lidad d de mejor jorar (u optim ptimiz iza ar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determ determina inarr cómo cómo se puede puede optimi optimizar zar un objet objetivo ivo defini definido, do, como como la maximización maximización de los beneficios o la minimización de costes. 2. Historia Historia de la Invest Investigac igación ión de Operaci Operaciones ones La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segund Segunda a Guerr Guerra a Mundia Mundiall en Gran Gran Breta Bretaña ña,, donde donde la Admin Administ istra ració ción n Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiar estudiaran an los problema problemas s tácticos tácticos y estratég estratégicos icos asociado asociados s a la defensa del país. El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar

operaciones (militares) . Motiv Motivado ados s por los result resultad ados os alent alentado adore res s obteni obtenido dos s por los equipo equipos s británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realiz realizar ar invest investiga igacio ciones nes simila similare res. s. Para Para eso eso reuni reunier eron on a un grupo grupo sele select cto o de espe especi cial alis ista tas, s, los los cual cuales es empe empeza zaro ron n a tene tenerr buen buenos os resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplica aplicarr las herra herramie mienta ntas s de la Inves Investig tigaci ación ón de Opera Operacio ciones nes a la resolu resolució ción n de sus proble problema mas s que empez empezar aron on a origin originar arse se debido debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias. Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña la iniciación de la Investigación de Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo rápidamente creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio de Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de


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Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig.

3. Beneficios de la Investigación Investigación de Operaciones, Operaciones, modelos, modelos, metodología. A) BENEFICIOS 1).− Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones: antes de la aplicación de la I.O. en una organización, las decisiones que se toman son generalmente de carácter intuitivo, ignorando la mayoría de las interrelaciones que existen entre las componentes del sistema. El ser humano, sin la ayuda de una tecnología más sofisticada( como la I.O.) y de la herramienta más moderna(como son las computadoras electrónicas), electrónicas), no puede visualizar, mucho menos analizar todas las posibles alternativas alternativas generadas por los millares de interacciones que existen. Imaginemos a PEMEX que debe controlar el reparto de combustible a toda la república a fin de satisfacer la demanda en todos los centros de consumo buscando siempre el menor costo de embarque.

2).− Mejora la coordinación coordinación entre las múltiples componentes de la organización: en otras palabras, la I.O. genera un mayor nivel de ordenación, es decir de que sirve que se incrementen i ncrementen las exportaciones exportaciones de México al mundo exterior, cuando la capacidad de maniobras de nuestros puertos permanecen estancadas. El sistema económico trata de equilibrar la balanza de pagos, la otra parte tiende a crear cuellos de botella de mercancía que tienen que esperar en el puerto hasta que se le embarquen, muchas veces a la interperie, con riesgo de deteriorase. El tiempo de demora del cliente aumenta, su apatismo para comerciar con México se incrementa, a corto plazo, se empiezan a sentir otra vez los efectos negativos en la balanza de pagos. En este caso la presidencia de la republica debe coordinar esfuerzos con la secretarias de comercio, hacienda, comunicaciones, comunicaciones, marina y de obras publicas. Aquí el papel de la l a I.O es integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que las componentes del sistema se desmembrasen y actúen independientemente una de otras. 3).−Logra el Control del Sistema: al instituir procedimientos procedimientos sistemáticos sistemáticos que supervisan por un lado las operaciones operaciones que se llevan a cabo en la organización y por el otro lado, evita al regreso a un sistema peor. Por ejemplo, existe una liberación de las gentes dedicadas a actividades de tipo tedioso y rutinario, permitiendo los accesos a una nueva variedad de las mismas además, estos procedimientos sistemáticos sistemáticos permiten señalar decisiones que pueden conducir a resultados muy peligrosos para estabilidad y buen funcionamiento del sistema.

4).−Logra un mejor sistema: al hacer que este opere con costos más bajos, con interacciones más fluidas, eliminando cuellos de botella y logrando una mejor combinación entre los elementos más importantes de todo el sistema.


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Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig.

3. Beneficios de la Investigación Investigación de Operaciones, Operaciones, modelos, modelos, metodología. A) BENEFICIOS 1).− Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones: antes de la aplicación de la I.O. en una organización, las decisiones que se toman son generalmente de carácter intuitivo, ignorando la mayoría de las interrelaciones que existen entre las componentes del sistema. El ser humano, sin la ayuda de una tecnología más sofisticada( como la I.O.) y de la herramienta más moderna(como son las computadoras electrónicas), electrónicas), no puede visualizar, mucho menos analizar todas las posibles alternativas alternativas generadas por los millares de interacciones que existen. Imaginemos a PEMEX que debe controlar el reparto de combustible a toda la república a fin de satisfacer la demanda en todos los centros de consumo buscando siempre el menor costo de embarque.

2).− Mejora la coordinación coordinación entre las múltiples componentes de la organización: en otras palabras, la I.O. genera un mayor nivel de ordenación, es decir de que sirve que se incrementen i ncrementen las exportaciones exportaciones de México al mundo exterior, cuando la capacidad de maniobras de nuestros puertos permanecen estancadas. El sistema económico trata de equilibrar la balanza de pagos, la otra parte tiende a crear cuellos de botella de mercancía que tienen que esperar en el puerto hasta que se le embarquen, muchas veces a la interperie, con riesgo de deteriorase. El tiempo de demora del cliente aumenta, su apatismo para comerciar con México se incrementa, a corto plazo, se empiezan a sentir otra vez los efectos negativos en la balanza de pagos. En este caso la presidencia de la republica debe coordinar esfuerzos con la secretarias de comercio, hacienda, comunicaciones, comunicaciones, marina y de obras publicas. Aquí el papel de la l a I.O es integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que las componentes del sistema se desmembrasen y actúen independientemente una de otras. 3).−Logra el Control del Sistema: al instituir procedimientos procedimientos sistemáticos sistemáticos que supervisan por un lado las operaciones operaciones que se llevan a cabo en la organización y por el otro lado, evita al regreso a un sistema peor. Por ejemplo, existe una liberación de las gentes dedicadas a actividades de tipo tedioso y rutinario, permitiendo los accesos a una nueva variedad de las mismas además, estos procedimientos sistemáticos sistemáticos permiten señalar decisiones que pueden conducir a resultados muy peligrosos para estabilidad y buen funcionamiento del sistema.

4).−Logra un mejor sistema: al hacer que este opere con costos más bajos, con interacciones más fluidas, eliminando cuellos de botella y logrando una mejor combinación entre los elementos más importantes de todo el sistema.


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B) MODELOS

4. Fases Fases de la Investig Investigaci ación ón de Operaci Operaciones ones 1. Formulación y definición del problema. Desc Descri ripc pció ión n de los los obje objeti tivo vos s del del sist sistem ema, a, es deci decir, r, qué qué se dese desea a optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determ determina inarr las restri restricci ccione ones s del sistem sistema. a. Tambié También n hay que tener tener en cuenta cuenta las alter alternat nativa ivas s posibl posibles es de decisi decisión ón y las restri restricci ccion ones es para para producir una solución adecuada.

2. Construcción del modelo. El investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para repres represent entar ar el sistem sistema. a. Debe Debe ser un model modelo o tal que relac relacion ione e a las variables de decisión con los parámetros parámetros y restricciones restricciones del sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de dato datos s pasa pasado dos s o ser ser esti estima mado dos s por por medi medio o de algú algún n méto método do estadístico. Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o dete determ rmin inís ísti tico co.. El mode modelo lo pued puede e ser ser mate matemá máti tico co,, de simu simula laci ción ón o heurístico, dependiendo de la complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.

3. Solución del modelo. Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las las solu soluci cion ones es que que se obti obtie enen nen en este este punt punto o del del proc proces eso, o, son son matemáticas y debemos interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad, es


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decir, ver como se comporta el modelo a cambios en las especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.

4. Validación del modelo. La validación de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.

5. Implementación de resultados. Consiste en traducir los resultados del modelo validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán tomadores de decisiones.

C) METODOLOGIA


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PROBLEMAS PROPUESTOS Nº1 Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de programación lineal: 1).− Un agente esta arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3


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mujeres. Su ganancia será de 10 pesos por cada mujer y 15 pesos por cada hombre. ¿ Cuantos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia ?

2).− Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero ?.

3).− Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs. de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado, mientras que una silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la utilidad es de $80 por mesa y $60 por silla. ¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia ?

4).− Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $10000 y que su ingreso anual sea por lo menos de $4500. insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos ?

5).− Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que le impide llevar mas de 20 toneladas de carga, para mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la compañía recibe $1000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta.

6).− Un inversionista tiene $10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible ; quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8% con el dinero que invierta en acciones y el 7% que invierte en bonos. El banco paga el 5% de interés sobre las cuentas de ahorros. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga en la cuenta de ahorro. El inversionista se quedara con al menos $2000 en la cuenta de ahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato.¿Cuánto dinero deberá invertir en cada tipo?

7).− Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata, bicicleta y natación. Para variar los ejercicios planea


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invertir al menos tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación. Además, quiere nadar al menos dos hrs a la semana, porque le gusta más nadar que los otros ejercicios. La caminata consume 600 calorías por hora, en la bicicleta usa 300 calorías por hora nadando gasta 300 calorías por hora. Quiere quemar al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios. ¿Cuántas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el número de horas invertidas .?

8).− Cierta compañía tiene una filial que le provee de las latas que necesita para comercializar su producto, en dicha filial que produce latas de aluminio contiene las tapaderas a partir de hojas metálicas rectangulares. Las dimensiones de estas hojas son de 6cms x 15cms Se requieren dos tamaños diferentes de tapas, el diámetro de las pequeñas es de 3cms y el de las grandes de 6 cms. El programa de producción en un día determinado es de 20000 tapas chicas y 5000 tapas grandes. ¿Cuál es el programa que minimice el número total de hojas metálicas usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferente tamaños que pueden ser cortadas?

9).− General Motors que vende el carro mas compacto desea hacer publicidad para este modelo a través de canal 13 de televisión, la publicidad consistirá en pequeños comerciales de duración variable que se intercalaran en un programa semanal de 60 min. En el cual se presentaran los mejores cantantes del continente y un cómico de la localidad. General Motors insiste en tener al menos 5 min. De comerciales y el reglamento de la televisora requiere cuando mucho los comerciales consuman 18 min en programas de 60 min., y que nunca sea mayor el tiempo de los comerciales de actuación de los cantantes, los cantantes no quieren trabajar más de 30 min. De los 60 que dura el programa, de manera que el cómico se utiliza para cualquier lapso de tiempo en el cual no habrá comerciales o cuando no estén trabajando los cantantes. Por experiencia de la empresa televisora, se sabe que por cada min. Que los cantantes estén en el aire 6000 televidentes mas estarán viendo el programa, por cada minuto que el comico este trabajando 3000 televidentes estarán viendo el programa, en cambio por cada min de comerciales se pierden 500 televidentes. El cómico cobra $200 por minuto, los cantantes cobran $1000 por min y los comerciales $50 por min. Si en General Motors desea: 1).− Maximizar el numero de televidentes al finalizar el programa de 60 min. 2).− producir el programa un mínimo costo. ¿Cuál es el medelo a utilizar para cada situación?

10).− La compañía HOLSA de México quiere minimizar los desperdicios de lamina, para lo cual encarga a su departamento de producción que optimice el costo de las laminas de acuerdo a los requisitos de los consumidores. En particular se hará con el consumidor mas importante al cual se le surten tres tamaños de laminas a saber: tipo 1:30 cms x 60 cms y espesor de 8 mm; tipo 2:30cmsx 70 cms y espesor de 8 mm tipo 3:30cms x 50 cms y espesor de 8 mm. Las cantidades necesarias son 10000, 15000 y 5000 por mes respectivamente. Si las laminas que produce la compañía son de dimensiones de 30 cms x 180 cms con espesor de 8 mm. ¿Cuál es el modelo para optimizar los desperdicios?.


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5. Método General de Programación lineal. Método grafico El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:

1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea. 2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. 3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada. 5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible. 6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

Ejemplo: Resover


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Maximiz Z = f(x,y) = ar x + y sujeto a: 0 x 4 0 y 4 y x /2

Solución 1) Representamos la región factible: •

•

•

La recta s : x = 4 pasa por el punto (4,0) y es paralela al eje Y. Las soluciones de 0 x 4 son los puntos entre el eje Y y la recta x = 4 La recta r : y = 4 pasa por el punto (0,4) y es paralela al eje X. Las soluciones de 0 y 4 son los puntos entre el eje X y la recta y = 4 La recta t : y = x /2 pasa por los puntos (0,0) y (2,1) . Las soluciones de y x /2 son los puntos de su izquierda.

Resolviendo los sistemas correspondientes calculamos los vértices de la región factible: {y= { x = { x = { y =

x /2 , x = 0 } nos da el vértice O(0,0) 4, y = x/2 } nos da el vértice A(4,2) 4 , y = 4} nos da el vértice B(4,4) 4 , x = 0 } nos da el vértice C(0,4)

2) Representamos las rectas de nivel : En nuestro caso son rectas de la forma x + y = k . Inicialmente representamos Z = x + y = 0 . Trasladándola hacia la derecha, obtenemos las rectas : x + y = 2, x + y = 4, x + y = 8 , es decir aumenta el nivel.

3) Obtenemos la solución óptima: Se obtiene en el punto de la región factible que hace máximo k. En nuestro caso esto ocurre en el punto B; es el último punto de contacto de esas rectas con la región factible , para el que k =

6. introducción a la programación lineal La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos.

Aplicación : a partir de 1950 se inicia un fuerte desarrollo en la programación lineal apoyada por una gran variedad de aplicaciones prácticas en la economía y la administración industrial.


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7. Método General de Programación lineal, método analítico , tipos de soluciones El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programación lineal , nos permite conocer otro método de solucionar un programa con dos variables. En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región

La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.

Ejemplo: Maximiz Z = f( x,y ) = ar 3 x + 8 y sujeto a: 4 x + 5 y 40 2 x + 5 y 30 x 0 , y 0

1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones: Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones: { 4 x + 5 y = 40 , 2 x + 5 y = 30}. Solución A(5,4) { 4 x + 5 y = 40 , y = 0}. Solución: C(10,0) { 2 x + 5 y = 30 , y = 0}. Solución : E(15,0)

{ 4 x + 5 y = 40 , x = 0 } Solución:B (0,8) { 2 x + 5 y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6) { x = 0, y = 0} Solución: O(0,0)

2) Determinar los vértices de la región factible :


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Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones. Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que: •

•

B no cumple la segunda restricción 2 x + 5 y 30 , ya que 2·0 + 5·8 = 40 . Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible. E no cumple la primera restricción 4 x + 5 y 40 , ya que 4·15 + 5·0 = 60 . Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.

Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la región factible.

3) Calcular los valores de la función objetivo en los vértices : f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47

f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30

f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48

f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 =0

La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(0,6).

8. El método Simplex, propiedad del método Simplex, espacio de soluciones, conversión de desigualdades. En la solución gráfica observamos que la solución óptima está asociada siempre con un punto extremo del espacio de soluciones. El método simplex está basado fundamentalmente en este concepto. Careciendo de la ventaja visual asociada con la representación gráfica del espacio de soluciones, el método simplex emplea un proceso iterativo que principia en un punto extremo factible, normalmente el origen, y se desplaza sistemáticamente de un punto extremo factible a otro, hasta que se llega por último al punto óptimo.

Existen reglas que rigen la selección del siguiente punto extremo del método simplex: 1. El siguiente punto extremo debe ser adyacente al actual. 2. La solución no puede regresar nunca a un punto extremo considerado con la anterioridad.

El algoritmo simplex da inicio en el origen, que suele llamarse solución inicial. Después se desplaza a un punto extremo adyacente. La elección


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específica de uno a otro punto depende de los coeficientes de la función objetivo hasta encontrar el punto óptimo.

Al aplicar la condición de optimidad a la tabla inicial seleccionamos a Xi como la variable que entra. En este punto la variable que sale debe ser una de las variables artificiales.

Los pasos del algoritmo simplex son ( 10 ) : 1.Determinar una solución básica factible inicial. 2. Prueba de optimidad: determinar si la solución básica factible inicial es óptima y sólo si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos ( >= 0 ). Si es así, el proceso termina; de otra manera se lleva a cabo otra interacción para obtener la nueva solución básica factible inicial. 3. Condición de factibilidad.- Para todos los problemas de maximización y minimización, variable que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (positiva). Una coincidencia se anula arbitrariamente. 4. Seleccionar las variables de holgura como las variables básicas de inicio. 5. Selecciona una variable que entra de entre las variables no básicas actuales que, cuando se incrementan arriba de cero, pueden mejorar el valor de la función objetivo. Si no existe la solución básica es la óptima, si existe pasar al paso siguiente. 6. Realizar el paso iterativo. a) Se determina la variable básica entrante mediante la elección de la variable con el coeficiente negativo que tiene el valor mayor valor absoluto en la ecuación. Se enmarca la columna correspondiente a este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote. b) Se determina la variable básica que sale; para esta, se toma cada coeficiente positivo (>0) de la columna enmarcada, se divide el lado derecho de cada renglón entre estos coeficientes, se identifica la ecuación con el menor cociente y se selecciona la variable básica para esta ecuación. c) Se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación de Gauss, abajo de la que se tiene. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1, se divide todo el renglón entre el número pivote, entonces

renglón pivote nuevo = renglón pivote antiguo número pivote para completar la primera iteración es necesario seguir usando la eliminación de Gauss para obtener coeficientes de 0 para la nueva variable básica Xj en los otros renglones, para realizar este cambio se utiliza la siguiente fórmula:

renglón nuevo = renglón antiguo - ( coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo)


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cuando el coeficiente es negativo se utiliza la fórmula:

renglón nuevo = renglón antiguo + (coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo) Ejemplo: Determine la solución básica factible inicial en el siguiente ejemplo:

Maximizar Z = 2X1+4X2 sujeto a: 2X1+ X2<= 230 X1+ 2X2<= 250 X2<= 120 todas las X1,X2>=0

Solución

BASE Z

Z X1

X2

S1

S2

S3

SOLUCIÓN

RAZÓN

0

-2

-4

0

0

0

0

0

S1

0

2

1

1

0

0

230

230/1

S2

0

1

2

0

1

0

250

250/2

S3

0

0

1

0

0

1

120

120/1

Seleccione la variable que entra y la variable que sale de la base: Entra X2 y sale S3, se desarrolla la nueva tabla solución y se continua el proceso iterativo hasta encontrar la solución optima si es que está existe.

Tabla Optima: BASE Z

Z X1

X2

S1

S2

S3

SOLUCIÓN

0

0

0

0

2

0

500

S1

0

0

0

1

-2

3

90

X1

0

1

0

0

1

-2

10

X2

0

0

1

0

0

1

120

RAZÓN

Solución: Z = $500 fabricando X1=10 , X2=120 Tipo de solución: Optima Múltiple.

Sobrante de S1 = 90

PROBLEMAS PROPUESTOS Nº2


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1).− En un taller José está tratando de decidir cuántos ganchos para trailer debe hacer para usar un metal de desperdicio ; tiene dos tipos de metal y puede hacer cualquiera de dos tipos de ganchos : en la tabla siguiente se proporcionan los datos necesarios:

a) Jose gana $ 13 por cada gancho tipo I y $ 16 por cada tipo II, ya prometió hacer dos ganchos tipo II. b) A José le ofrecen hierro acanalado adicional a $2 / unidad. ¿deberá comprarlo?

2).− Un inversionista tiene $ 10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible, quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8 % con el dinero que invierte en acciones el 7 % que invierte en bonos. El banco el 5 % de intereses sobre la cuenta de ahorro. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga en la cuenta de ahorros. El inversionista se quedara con al menos $ 2000 en la cuenta de ahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato .¿ cuanto dinero deberá invertir en cada tipo?

3).− Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata bicicleta y natación. Para variar los ejercicios, planea invertir al menos: tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación .Además quiere nadar al menos dos horas ala semana, porque le gusta más nadar que los otros ejercicios. La caminata consume 66 calorías por hora , en la bicicleta consume 300 calorías por hora, quiere quemar al menos 300 por hora y nadando gasta 300 ,quiere al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios. ¿Cuántas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero de hojas invertidas? .

9. Análisis de Dualidad y Sensibilidad, definición del problema dual. A) Análisis de Dualidad DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL El problema dual es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original (o primal) de programación lineal. Los dos problemas están relacionados en forma tan estrecha que la resolución optima de un problema produce en forma automática la resolución optima del otro. En la mayor parte de las presentaciones de programación lineal, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo del sentido de la optimización (maximización o minimización), tipos de restricciones (·;¸ o =), y la orientación de las variables (no negativa o no restringida). Este tipo de tratamiento puede confundir. Por esta


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razón presentaremos una sola definición que comprenda en forma automática a todas las formas del primal. Nuestra definición del problema dual requiere expresar el problema primal en forma de ecuaciones, como se presento anteriormente: todas las restricciones son ecuaciones, con lado derecho no negativo y todas las variables son no negativos. Este requisito es consistente con el formato de la tabla de inicio simplex. En consecuencia, todo resultado obtenido a partir de la solución primal optima se aplican en forma directa al problema dual asociado. Para mostrar cómo se forma el problema dual, se define el primal en forma de ecuación como sigue: Maximizar o minimizar

sujeta a

Las variables xj ; j = 1; 2; : : : ; n, incluyen las variables excedentes, holguras y artificiales, si las hay. La tabla 1 muestra como se construye el problema dual a partir del primal. De hecho se tiene que:

1. Se define una variable dual por cada ecuación primal (restricción). 2. Se define una restricción dual por cada variable primal. 3. Los coeficientes de restricción (columna) de una variable primal definen los coeficientes en el lado izquierdo de la restricción dual, y su coeficiente objetivo define el lado derecho. 4. Los coeficientes objetivo del dual son iguales al lado derecho de las ecuaciones de restriccion primal. Las reglas para determinar el sentido de la optimizacion (maximizacion o minimizacion), el tipo de restricción (·, ¸ o =), y el signo de las variables duales (siempre no


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restringido) se resumen en la tabla 2. Notese que el sentido de la optimizacion en el dual siempre es el opuesto al del primal. Una forma facil de recordar el tipo de restriccion (es decir, · o ¸) en el dual es que si el objetivo del dual es minimizacion (es decir, \apunta hacia abajo"), las restricciones son todas del tipo ¸ (es decir, \apuntan hacia arriba"). Cuando el objetivo del dual es maximización lo contrario es válido.

Ejemplo:

Problema Dual

B) Análisis de sensibilidad


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El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas del problema: (1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo ). Los cambios en los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo). (2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible. Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que representan las restricciones. (3) Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima. Se observa rápidamente que el Análisis de Sensibilidad está íntimamente relacionado con lo que en el mundo de l as hojas de cálculo (Excel, Lotus 123, etc.) se conoce como Análisis de Escenarios o “what-if analysis”: ¿Qué ocurriría si el beneficio producido por la línea de artículos B aumentase en un 10%?, ¿Qué sucedería si los trabajadores hiciesen una hora extra retribuida un 50% más que una


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normal?, etc. Así, vemos cómo el Análisis de Sensibilidad no sólo tiene que ver con el estudio de la robustez de la solución frente a posibles errores en el cálculo de los coeficientes y recursos disponibles, sino que también puede ser de gran ayuda a la hora de valorar futuras estrategias de desarrollo y mejora de una empresa. Hay dos maneras de estudiar la “sensibilidad” de una solución respecto a cambios en alguna de las áreas antes mencionadas. La primera de ellas sería volver a resolver todo el problema cada vez que alguno de los datos originales se haya modificado. Obviamente, utilizando este método, podría llevar bastante tiempo determinar todas las variantes cuando nos encontremos ante un conjunto amplio de posibles cambios. La otra forma (Análisis de Sensibilidad) consistiría en, una vez resuelto un problema, analizar cómo afectaría a la solución obtenida y al valor de la función objetivo la variación dentro de un rango “tolerable”, de uno de los parámetros, manteniendo fijos los restantes. Por supuesto, en caso de que queramos estudiar los efectos de la variación de más de un parámetro (o de un parámetro más allá del “rango de tolerancia”) deberemos reprogramar el problema.

10. Análisis de Dualidad y Sensibilidad, Interpretación Económica de la Dualidad. Otros algoritmos simples para programación. Ejemplo 1: Compañía de producción de televisores. Una compañía produce televisores, equipos Hi-Fi y altavoces utilizando una serie de componentes comunes, tal y como se indica en la tabla inferior. Estos componentes están disponibles en cantidades limitadas, por lo que se trata de plantear el problema de maximización restringida de beneficios sabiendo que la contribución neta de los tres productos es, respectivamente, de 75 €, 50 €, y 35 €.

El primer paso sería plantear el problema en la hoja de cálculo:


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El menú de diálogo de Solver nos quedará algo así:

Ahora, deberemos seleccionar dentro de Opciones la casilla Adoptar modelo lineal:


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Haciendo clic sobre el botón Resolver, obtendremos la ventana de Resultados:

Elegimos las opciones Respuestas y Sensibilidad. Excel nos dará el siguiente “output”:


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Una vez identificados los componentes del informe, su interpretación es casi inmediata: la solución óptima sería producir 200 televisores, 200 equipos Hi-Fi, y ningún altavoz. La columna de Coste (Gradiente) Reducido nos indica que no resultará rentable producir altavoces a menos que el beneficio que éstos generen aumente en 2,5 € (llegando a 37,5 €). Examinando los Rangos de los Coeficientes Objetivo, observamos que la solución actual no variaría si el beneficio generado por cada televisor se moviese en el rango 70-100 €, o si el generado por los equipos Hi-Fi lo hiciese en el rango 37,5-75 €, o si el de los altavoces no se incrementase en más de 2,5 €. Los Precios Duales determinan, junto con los Rangos del Right-Hand-Side , que estaríamos dispuestos a pagar hasta 12,5 € por cada unidad adicional de conos hasta un máximo de 100 conos, y hasta 25 € por cada unidad adicional de componentes electrónicos hasta un máximo de 50 componentes. Observar que, por el contrario, perderíamos 25 € por cada componente electrónico que “nos quitasen” de los 600 disponibles, hasta un máximo de 200 unidades (cifra a partir de la cual será necesario volver a programar).

11. Modelo de Transporte y sus variantes, Definición de modelos de transporte. Casos.

Modelo General del Problema del Transporte Es un caso especial de problema de programación Lineal, en el que todos los coeficientes de las variables en las restricciones tienen coeficiente uno (1), esto es: ai,j = 1 ; para todo i , para todo j Gráficamente:


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Xi,j= Unidades a enviar desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n) Ci,j= Costo de enviar una unidad desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n) ai = Disponibilidad (oferta) en unidades, de l a fuente i-ésima (i=1,...,m) b j = Requerimiento (demanda) en unidades, del destino j-ésimo (j=1,...,n)

Matemáticamente: Minimizar Z = C1,1X1,1 +...+ C1,jX1,j +...+ C1,nX1,n +...+ Ci,1Xi,1 +...+ Ci,jXi,j +...+ Ci,nXi,n +...+ Cm,1Xm,1 +...+ Cm,jXm,j +...+ Cm,nXm,n

Observación:

Metodología general:


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Metodología de solución:

Ejemplo: Tres (3) fábricas envían su producto a cinco (5) distribuidores. Las disponibilidades, los requerimientos y costos unitarios de transporte, se dan en la siguiente tabla.

¿Qué cantidad del producto se debe enviar desde cada fábrica a cada distribuidor para minimizar los costos del transporte? NOTA: La “X” significa que desde la fábrica 3 es imposible enviar unidades al distribuidor 5

Solución Observe que el modelo no es perfecto: La oferta es diferente a la demanda. Se adiciona una fábrica de relleno con costos de transporte igual a cero (0) y que ofrezca justo lo que le hace falta a la oferta para ser igual a la demanda.


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Formulación Xij = Unidades a enviar desde la fábrica i-ésima (i=1,2,3,4) al distribuidor jésimo (j=1,2,3,4,5) Minimizar Z = 20X11 + 19X12 + 14X13 + 21X14 + 16X15 + 15X21 + 20X22 + 13X23 + 19X24 + 16X25 + 18X31 + 15X32 + 18X33 + 20X34 +

MX35

M: Valor muy grande en comparación con los demás C ij

12.

Soluciones del modelo de transporte

Solución Básica Factible Como cada variable figura dos (2) veces en el sistema de ecuaciones, entonces tiene m+n-1 grados de libertad y el número de variables básicas debe ser igual al número de grados de libertad del sistema. Lo anterior nos asegura una solución básica factible no degenerada.

NÚMERO DE VARIABLES BÁSICAS = m + n – 1

A)Método de la esquina noroeste Características . Sencillo y fácil de hacer . No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones . Generalmente nos deja lejos del óptimo

Algoritmo 1. Construya una tabla de ofertas (disponibilidades) y demandas (requerimientos). 2. Empiece por la esquina noroeste. 3. Asigne lo máximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente)


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4. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros el resto de casillas (Filas ó Columnas) en donde la oferta ó la demanda haya quedado satisfecha. 5. Muévase a la derecha o hacia abajo, según haya quedado disponibilidad para asignar. 6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha en la que se elimina fila y columna al mismo tiempo.

Nota: No elimine fila y columna al mismo tiempo, a no ser que sea la última casilla. El romper ésta regla ocasionará una solución en donde el número de variables básicas es menor a m+n-1, produciendo una solución básica factible degenerada.

En nuestro ejemplo: Aquí, asignamos en la fila 1, columna 1 lo máximo posible entre 40 y 30 o sea 30 unidades; X11=30 variable básica. Actualizamos la oferta y la demanda, quedando éstas en: 10 y 0 y rellenamos con cero el resto de la columna 1, ya que la demanda de 30 unidades quedó satisfecha. Terminando el método, el tablero aparecerá así:

0


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B)Método de vogel Características . Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso. . Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones. . Generalmente nos deja cerca al óptimo.

Algoritmo 1. Construir una tabla de disponibilidades (ofertas), requerimientos (demanda) y costos. 2. Calcular la diferencia entre el costo mas pequeño y el segundo costo más pequeño, para cada fila y para cada columna. 3. Escoger entre las filas y columnas, la que tenga la mayor diferencia (en caso de empate, decida arbitrariamente). 4. Asigne lo máximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna escogida en el punto 3. 5. asigne cero (0) a las otras casillas de la fila o columna donde la disponibilidad ó el requerimiento quede satisfecho.


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6. Repita los pasos del 2 al 5, sin tener en cuenta la(s) fila(s) y/o columna(s) satisfechas, hasta que todas las casillas queden asignadas.

Nota: Recuerde que no debe satisfacer filas y columnas al mismo tiempo; caso en que la disponibilidad sea igual al requerimiento; en tal caso use el ε (epsilon).

Conclusión: Hemos conseguido tres (3) soluciones básicas factibles no degeneradas (# de variables básicas = m+n-1=8) por medio de tres (2) métodos: El de la esquina noroeste, el de Vogel. Pero ninguna de ellas nos garantiza que la solución encontrada es la óptima. Para saberlo, debemos estar seguros que ninguna de las variables no básicas pueda entrar a la base haciendo que la función objetivo disminuya. Para discernir un método


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que nos evalúe el efecto de introducir una unidad de cada variable no básicas, recurrimos al método algebraico que posteriormente se convertirá en el método MODI.

Importante: A partir de cualquiera de éstas tres (2) soluciones básicas factibles no degeneradas, debemos comenzar a iterar, para encontrar el óptimo.

13. El modelo de asignación, el modelo de trasbordo. Un problema de transbordo se puede convertir en un problema clásico de transporte, construyéndose la siguiente matriz de costos.

Igualamos la oferta y la demanda mediante la creación de una planta de producción ficticia.

Aplicamos el método aproximativo de Vogel


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De acuerdo a la matriz de costos y al gráfico presentado en el problema 6 del capítulo de formulación, las unidades deberán ser despachadas así:

Desde la planta de producción P1 , enviar 20 monitores de alta resolución al centro de ventas V2 , a través del centro de control de calidad C1. Desde la planta de producción P1, enviar 60 unidades al centro de ventas V3, a través del centro de control de calidad C2.. Desde la planta de producción P2, enviar 60 unidades al centro de ventas V3, a través del centro de control de calidad C2 .


Gráficamente:

Problemas Propuestos

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2. Desarrolle un algoritmo para el caso de Maximización de un problema de transporte; Tanto para encontrar la solución básica inicial por el método de vogel, como para hallar la solución óptima por el método MODI. 3. Una cadena de cinco (5) Almacenes, ubicados en diferentes partes del país, requieren cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las Empresas abastecedoras han informado que disponen de la mercancía solicitada, pero en tres (3) diferentes fábricas. La escasez del producto hace que la cadena de almacenes deba transportar la mercancía. En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente cuadro; Formule el problema de programación lineal que minimice los costos totales del transporte y resuélvalo.

4. Una Compañía desea saber, que política de distribución minimizará sus costos totales, se cuenta con tres (3) fábricas y cuatro (4) clientes, la producción de las fábricas es de: 550,300 y 260 unidades respectivamente; y las necesidades de los cuatro (4) clientes son: 250,300,200, y 160 unidades respectivamente. Los costos de enviar una (1) unidad entre cada fábrica y los clientes se da a continuación:

5. Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de costos y requerimientos.

a) Use el método de la esquina noroeste para obtener una solución básica factible. b) Use el método del costo mínimo para obtener una solución básica factible. c) Use el método de vogel para obtener una solución básica factible.

TEXTO de Investigaci n de Operaciones

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