El texto está diseñado para ser utilizado como material de consulta, por los estudiantes del nivel de educación superior en el curso de geometría analítica. Es requisito para comprender los contenidos del texto, conocimientos básicos del álgebra, geometría plana y trigonometría. El texto comprende un desarrollo armonioso y simple de los contenidos de la geometría analítica, con el fin de facilitar el nivel de comprensión de los conceptos teóricos y su representación geométrica de los mismos. Esto se refuerza con el desarrollo de problemas a manera de ejemplos, que ilustren la aplicación de las fórmulas, conceptos y sus propiedades, en la formulación y resolución de problemas. Paralelamente el álgebra, también se desarrollaba como una corriente nueva de las matemáticas, lo que permitiría que más adelante impulsara el desarrollo de otras ciencias como el análisis matemático, las ecuaciones diferenciales, etc. Así, como una necesidad de interpretar y dar una mejor solución a los problemas de la geometría plana, es que en el año 1637, un extraordinario matemático y filósofo francés René Descartes Descartes buscó un método que permitiera resolver problemas de la geometría plana aplicando los métodos algebraicos, y publicó su obra la Geometrie en Geometrie en el cual plantea un método en el estudio de la geometría, que se llamaría geometría analítica. analítica. En la geometría analítica, se estudia conceptos geométricos como: el punto, la distancia en el plano, las áreas de figuras planas, las secciones cónicas, entre otros; siendo indispensable para su estudio el uso de un sistema de coordenadas (o sistema de referencia), así como de la transformaciones o cambios de sistemas de referencia, que permite localizar a los cuerpos sobre un plano o en el espacio. Por su naturaleza, el estudio de la geometría analítica, resulta muy importante para el estudio de otras disciplinas como: el cálculo diferencial e integral, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, de física, de ingeniería, de administración, entre otras.
BREVE RESEÑA HISTORICA DE LA GEOMETRIA. Geometría se deriva del vocablo griego que significa tierra y y que significa medida , es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades del plano y del espacio. En su forma más elemental, la geometría se ocupa del estudio de de los problemas relacionados al cálculo del área área de regiones planas, medida de longitud de curvas, áreas de superficies y volumen de cuerpos sólidos. En su forma más avanzada, la geometría toma el nombre de geometría analítica , geometría descriptiva , geometría euclidiana, geometría fractal, y
geometría no euclidiana. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios . Este tipo de geometría empírica, que floreció en el antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados"; este teorema es conocido como teorema de Pitágoras . ”
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
BREVE RESEÑA HISTORICA DE LA GEOMETRIA. Geometría se deriva del vocablo griego que significa tierra y y que significa medida , es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades del plano y del espacio. En su forma más elemental, la geometría se ocupa del estudio de de los problemas relacionados al cálculo del área área de regiones planas, medida de longitud de curvas, áreas de superficies y volumen de cuerpos sólidos. En su forma más avanzada, la geometría toma el nombre de geometría analítica , geometría descriptiva , geometría euclidiana, geometría fractal, y
geometría no euclidiana. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios . Este tipo de geometría empírica, que floreció en el antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados"; este teorema es conocido como teorema de Pitágoras . ”
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. Los griegos, y en particular Apolonio particular Apolonio de Perga, estudiaron Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 310 71
310 70
y
. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media.
El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.
De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único.
Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetra-dimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como c aras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.
El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió quelas cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica común plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio delas cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.
Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco . Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). En esencia, la geometría analítica consiste en la aplicación del álgebra al análisis geométrico mediante el establecimiento de ciertos convenios, fundamentalmente la creación de un sistema de coordenadas que permite individualizar cada punto por un par de números para la geometría analítica plana y por tres números para la geometría analítica del espacio. A partir del concepto de coordenadas, esta nueva rama matemática dará a los matemáticos un nuevo enfoque para el tratamiento de la información matemática. La geometría analítica transformará todo el conocimiento antiguo de forma tal que ramas del conocimiento matemático que parecías diferentes, como la trigonometría y los logaritmos, las absorbió y les dio un alcance más completo. Gracias a su desarrollo derivara un concepto fundamental para las matemáticas, como es la idea de funciones y variables, las cuales tendrán, también, una gran utilidad para la experimentación.
El científico experimental puede transformar los resultados de una experiencia en una ecuación y después representarla o viceversa. Si después al repetir la anterior experiencia con mucho cuidado para que las condiciones no varíen, obtiene la misma ecuación, puede llegar a formular una ley que puede interpretarse por medio de palabras e ideas. Una vez enunciada dicha ley, puede combinarla con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades. Además, la geometría analítica, al permitir una gran amplitud de puntos de vista, no sólo dará buenos resultados en otras ramas matemáticas, como por ejemplo la geometría proyectiva, sino que será responsable en buena parte del origen de la rama matemática que conocemos hoy con el nombre de análisis, la cual abarca gran parte de las matemáticas inventadas desde la época de Descartes, y que en su aceptación más general comprende la aritmética.
I. CONCEPTOS PRELIMINARES. Muchos problemas de la geometría analítica requieren de la teoría de ángulos, de triángulos y sus elementos para resolverlos. A continuación recordaremos algunos de estos conceptos que aparecerán con frecuencia en el planteamiento de problemas durante el desarrollo del texto.
Ángulo Interior . Es el conjunto de puntos del plano comprendidos entre dos rayos o semirrectas que parten de un mismo origen y en direcciones diferentes. estos rayos se llaman lados del ángulo.
Todo ángulo se mide en sentido anti horario, si se mide en sentido contrario la medida del ángulo es negativa (o el ángulo es definido negativo); de esta forma podemos decir que un ángulo tiene lado inicial y lado terminal.
Los ángulos consecutivos son los que tienen el mismo vértice y un lado común. Los ángulos adyacentes son consecutivos, cuando están a un mismo lado de una recta y su suma es 180º.
Triángulo. Es la figura geométrica formada por la intersección de tres rectas no colineales, en tres puntos distintos llamados vértices.
Elementos de un triángulo. Todo triángulo tiene elementos fundamentales y elementos secundarios. Elementos fundamentales: Los elementos fundamentales son los lados y los ángulos. Los ángulos interiores de un triángulo se caracterizan por que la suma de los tres ángulos es 180º. El ángulo interior del triángulo con el ángulo exterior son adyacentes y su suma es 180º; estos ángulos también son llamados ángulos adyacentes. Elementos secundarios del triángulo: Los elementos secundarios de un triángulo son las alturas, las medianas, las bisectrices y las mediatrices.
Altura de un triángulo (h). Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación; como se observa en las siguientes figuras.
En las figuras se observa que en el ABC triángulo las alturas del triángulo todas son interiores al triángulo y se intersecan unas a otras en un punto interior del triángulo; mientras que en el triángulo MNT las alturas se intersecan en un punto exterior al triángulo. El punto donde se intersecan las alturas de un triángulo se llama Ortocentro. Las alturas de un triángulo son perpendiculares a los lados del triángulo opuestos al vértice de donde se traza dicha altura. El punto donde se intersecan las alturas de un triángulo constituye el centro de gravedad de la figura, y representa físicamente la concentración de fuerzas o punto de equilibrio. Así, en el triángulo
ABC
se observa que, h1 BC
En el triángulo,
MNT
;
h2 AC
y
h3 AB
se observa que, h1
MT
;
h2
NT
y
h3 MN
Mediana de un triángulo. Es el segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto del triángulo. A diferencia de las alturas, todas las medianas de un triángulo se trazan dentro del triángulo, y se cortan en un punto llamado Baricentro o centro de gravedad. Obsérvese las medianas trazadas en los triángulos de las figuras.
Los puntos A, B y C en el triángulo PQR , y los puntos M, N y T en el triángulo FDE son los puntos medios de los lados de los triángulos respectivos. En la figura, las medianas de los triángulos son: Del PQR , son los segmentos: RA ; PB y QC
Del
DEF ,
son los segmentos: DN ;
FT y EM .
Bisectriz de un triángulo. Es el segmento que divide a cada ángulo de un triángulo en dos parte iguales. La intersección de las tres bisectrices de un triángulo se llama Incentro, el siguiente figura se trazan las bisectrices del triángulo AN ; BM y CT .
Mediatriz de un triángulo. Es la perpendicular trazada en el punto medio de dicho lado. Todo triángulo tiene tres mediatrices que se cortan en un punto llamado Circuncentro. Este punto equidista de los tres vértices del triángulo. En la figura se muestran cómo se trazan las mediatrices de un triángulo, donde los puntos A, B y C son puntos medios de los lados del GKH .
Los triángulos pueden ser:
Equiláteros (o equiángulo), cuando tiene sus tres lados iguales y tres ángulos iguales. Isósceles (o rectángulo), cuando tiene dos lado iguales y dos ángulos iguales. Escaleno (o oblicuángulo), cuando sus tres lados son desiguales.
Una circunferencia inscrita en un triángulo y circunscrita en un triángulo.
Observación. En toda circunferencia el radio es perpendicular a la tangente a la circunferencia. Si una circunferencia esta inscrita en un triángulo, los lados del triángulo son perpendiculares al radio de la circunferencia.
La Recta. Intuitivamente nos da la idea de recta, un hilo muy fino y templado, un rayo de luz, la huella que deja la punta de un lápiz siguiendo el borde de una regla; de modo que si imaginamos esta recta sin ancho ni espesor y de longitud ilimitada, nos la idea de una recta geométrica.
Una recta es un conjunto infinito de puntos del plano ubicados uno tras otro (en forma colineal) y que se esparcen en dos direcciones en forma infinita; de allí, que una recta se represente mediante el intervalo (- ∞, ∞) que simbolizaría a una recta real. A las rectas se les nombra con letras mayúsculas, y geométricamente se representa la recta, en la que se puede insertar los números reales, como una escala numérica, de forma que su gráfica corresponde a la recta numérica real, y es como:
Se llama recta numérica, porque existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta.
Sistema de coordenadas. Para localizar puntos en el plano o en el espacio, se necesita de un sistema de
coordenadas (o denominado también sistema de referencia) sobre el cual primero se tomará una escala adecuada, la que nos permita ubicar as coordenadas en los ejes correspondientes, y establecer distancias respecto al punto donde se localiza el sujeto está realizando mediciones en el plano. A este sistema de referencia se le llama sistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas se genera como consecuencia de interceptar dos rectas numéricas, una horizontal y otra recta numérica vertical. Al punto donde se produce la intersección de dichas rectas se le conoce con el nombre de origen del sistema de coordenadas (o sistema de referencia) y se le denota con la letra O. Los sistemas de coordenadas en el plano pueden ser: sistema de coordenadas rectangulares, sistema de coordenadas polares. En el espacio tridimensional R 3 los sistemas de referencia que se utilizan para graficar funciones, cuyos trazos pueden ser: de curvas, planos y superficies o hipersuperficies; son los sistemas de coordenadas rectangulares (con ejes coordenados: X, Y, Z), el sistema de coordenadas cilíndricas con sus coordenadas (r, θ, Φ).
(r, θ, Z) y el sistema de coordenadas esféricas
Al elemento (a, b) se le denomina par ordenado, donde “a” es llamada abscisa y “b” es llamada ordenada; su ubicación en el sistema de coordenadas se presenta en la gráfica:
En el cálculo diferencial e integral, se estudia la teoría de funciones, que se representan mediante una ecuación en términos de las variables X e Y , en la forma y = y(x) esto nos indica que para obtener valores de la variable y debemos dar primero valores a la variable x variable x,, esto hace que estas variables v ariables se denominen: Cualquier punto del plano puede ser tomado como referencia para trazar un sistema de coordenadas (o sistema referencia), dicho punto será el origen de tal sistema de coordenadas que tiene cuatro cuadrantes.
Las coordenadas de un punto en el plano constituyen pares ordenados de números reales. A cada par ordenado de números reales le corresponde un punto del plano y viceversa, a cada punto del plano le corresponde un par l os números reales y su representación geométrica mediante una recta, ordenado de números reales. En el caso de los también se establece que: a cada número real le corresponde un punto de una recta y viceversa..
Ejemplo. Ejemplo. Ubicar en el plano plano los puntos Q(-4, 5) y R(3, 1). Solución. Solución. Primero trazamos el sistema de referencia (o sistema de coordenadas cartesianas.
Recta dirigida. Una recta dirigida es aquella que tiene una dirección y un sentido; es decir, cuando para trazar una recta se elige una dirección como positiva y la opuesta como negativa. negativa. Consideremos los puntos A y B como los puntos del plano, por donde trazaremos una recta dirigida de A hacia B, a la cual se le designará con el símbolo
AB , la cual se muestra en la siguiente figura.
Segmento de recta dirigida. Un segmento de recta es la porción de una recta dirigida comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B tomados fijos sobre dicha recta. Si consideramos el sentido de A hacia B para nombrar al segmento de recta, entonces obtenemos el segmento de recta dirigido AB . La orientación del segmento en el sentido de A hacia B es positiva; mientras que la orientación orientación del segmento en el sentido opuesto es negativa. Esto nos permite escribir:
NOTAS.
AB BA
1. Dos puntos determinan una y sólo una recta sobre el plano. 2. Por un punto pasan infinitas rectas. Propiedad 1. Sean A, B y C tres puntos cualesquiera cualesquiera tomados tomados sobre una recta recta dirigida en el plano; entonces se cumple que: AB BC BC AC
AC CB AB AC AB BC
Distancia en el plano. Tomados plano. Tomados dos puntos P y Q cualesquiera del plano, ambos localizados localizados sobre una misma recta; entonces, es posible calcular la distancia que que existe entre estos dos puntos, la que se calcula en el sentido sentido de A hacia B. A esta distancia distancia se le denomina distancia distancia dirigida de A hacia hacia B y se denota como d(A, B) o como AB . Si no se considera la orientación del segmento que une los puntos para determinar la distancia entre dichos puntos, se llama simplemente distancia. La distancia es longitud del segmento que une los puntos. Si los puntos son los extremos de un vector, esta distancia se llama modulo del vector y se denota por AB , si A y B son los extremos
del vector. De acuerdo a su ubicación en el plano, los segmentos pueden ser: segmento vertical, segmento horizontal y segmento oblicuo. Si el segmento de extremos A(x 1, y1) y B(x2, y1) es horizontal, la distancia entre dos puntos se obtiene mediante la fórmula: AB = x 2 x1 ( x 2 x1 ) 2 ( y1 y1 ) 2 .
Si el segmento de extremos A(x 1, y1) y B(x 1, y2) es vertical, la distancia entre dos puntos se obtiene mediante la fórmula: 2 2 AB = y2 y1 ( x1 x1 ) ( y2 y1 ) 1
Ejemplo 1. Determinar la distancia entre los puntos: a) P (4, 0) y Q (-3, 0) b) M (0, -2) y N (0, 7). Solución. a) Identificamos los puntos dados como un par ordenado de coordenadas cartesianas P ( x1 , 0) y Q(x2 0) ; ahora, como las segundas componentes son ceros, para obtener la distancia entre P y Q sólo restamos las abscisas de los puntos dados. Efectuamos el cálculo:
PQ
x 2
x1
3
4
7
7
Respuesta: El punto P dista del punto Q, en 7 unidades. b) Identificamos los puntos dados como un par ordenado de coordenadas cartesianas M (0, y1 ) y N(0, y 2 ) ; ahora, como las segundas componentes son ceros, para obtener la distancia entre M y N sólo restamos las abscisas de los puntos dados, esto es:
MN y 2
y1
7 (2)
9
9
Respuesta: El punto M dista del punto N 9 unidades. Ejemplo 2. Determinar las distancias entre los puntos: a) P(-2, 3) y Q(4, 3); b) M(-3, -7) y N(-3, -2)
Solución. 1º). Grafiquemos el segmento del cual debemos encontrar su longitud. Ejercicio. 2º). Sean P ( x1 , y1 ) P ( 2, 3) y Q(x 2 , y 2 ) Q(4, 3) . Los punto corresponden a un segmento horizontal cuya ordenada es el punto y = 3. Por consiguiente la distancia entre los dos puntos e la diferencia entre las abscisas del punto; es decir;
PQ
PQ
x 2
x1
3º). Calculamos la distancia: 4 (2)
42
6
6.
Respuesta: El punto P dista del punto Q 6 unidades. a) 1º). Grafique el segmento que une los puntos de los cuales queremos encontrar su distancia (ejercicio). 2º). Sean M ( x1 , y1 ) M ( 3, - 7) y N(x2 , y 2 ) N ( 3, - 2) . Entonces como las abscisas de los puntos son iguales, entonces los puntos están localizados sobre una línea recta paralela al eje Y; y es la recta x = - 3, en consecuencia, la distancia entre dichos puntos se obtiene restando las abscisas de los puntos en sentido dirigido de M a N.
3º). Calculamos la distancia: MN 2 (7) 2 7 5 . Respuesta: El punto M dista del punto n 5 unidades. Ejemplo 3. Considere el segmento cuyos extremos son los puntos
P 2,
2
9 2 y Q , . 3 2 3
Por el extremo Q se
extiende el segmento PQ hasta un punto D, a una distancia del punto Q igual a la mitad de la distancia entre P y Q. Determine las coordenadas de del punto D.
Solución. 1º) Queda como ejercicio para el lector graficar en el plano los puntos dados el punto D del cual se desea encontrar sus coordenadas. 2º) El segmento PQ es un segmento horizontal; por tanto, como el punto D está a la mitad de la distancia entre P y Q entonces se tiene: 1 d (Q, D) d ( P , Q) ; 2
d ( P , Q) x2
Si D( x,
y ) tiene
x1
9 2
(2)
9 2
2
5 2
5 2
la misma ordenada que los puntos P y Q, entonces tenemos,
x
9
1 5 2 2 2
x
9
2
x
5 4 9
2
x
5
(por ser
x
< 0)
4
23 4
Respuesta. Las coordenadas del punto D( x, y) D
23 3 , . 4 2
Ejemplo 4. Sea el triángulo de vértices A(4, 5); B(5, 3) y C ( x, y) . Encuentre las coordenadas del punto C ( x , y ) , si el triángulo ACB es un triángulo rectángulo, recto en el vértice C .
Solución. Como el triángulo ACB es un triángulo rectángulo, con ángulo recto en el vértice AC y CB son perpendiculares; esto es, m
AC
m
CB
y 5
x 4
y 5
x 4
C
; entonces los lados
1
1 y 3 x 5 ( x 5)
y 3
y 5 x 5 x 4 y 3 x y 0 x y 1 2 x
x
1
2
1
.
De manera análoga resolvemos para y eliminando x, y obtenemos: Respuesta. Las coordenadas del vértice
y
1
2
1 1 C ( x, y ) C , . 2 2
En general, la distancia entre dos puntos P(x 1, y 1) y Q(x2, y 2) cualesquiera en el plano, que en este caso estos puntos serían los extremos de un segmento PQ , que su posición en el plano es oblicuo. Entonces, para calcular la distancia entre estos puntos, a la cual denotamos como: d(P, Q) =
PQ
,
d ( P , Q) d ( x2
x1 )
2
( y 2
y1 ) 2
Esta fórmula se deduce, a partir de un triángulo rectángulo que generamos con los segmentos con ángulo recto en el vértice M.
PQ ;
PM
y
QM ,
El objetivo es determinar el valor de la hipotenusa del triángulo, que en este caso es la distancia entre los puntos P y Q, para lo cual aplicamos el teorema de Pitágoras y despejando se obtiene la fórmula la distancia.
En la gráfica puede ver que el segmento PM es perpendicu lar al segmento MQ ; entonces, de acuerdo al teorema de Pitágoras de la geometría elemental tenemos que, en el triángulo rectángulo PMQ se cumple: 2
d
x
2
x1
2
y
2
y1
2
x
2
x1
y 2
2
y1
2
Pero como la distancia siempre debe ser positiva, se descarta el signo menos en la fórmula. d
x2
x1
2 y 2 y1 2
x1 x2 2 y1 y 2 2
Ejemplo 1. Encuentre la longitud de los lados del triángulo de vértices
P(5, 4); Q(-1, 5) y R(2, -3).
Solución. Paso 1. : Graficamos el triángulo.
Paso 2. Para determinar la longitud de los lados del triángulo aplicaremos la fórmula: d ( P , Q)
x2 x1 2 y 2 y1 2 ,
siendo: P(x1, y1) = P(5, 4); Q(x2, y2) = Q(-1, 5) y R(x3, y3) = R(-1, 5) Paso 3: calculamos la longitud de los lados, sustituyendo los puntos convenientemente en la fórmula:
d ( P , Q)
= d (Q, R)
x2
x1
(1 5) 2 37
2
y 2 y1 2
(5 4) 2
.
x3 x 2 2 y 3 y 2 2 (2 (1)) 2
d ( P , R)
(3 5) 2
73
x3 x1 2 y3 y1 2
(2 5) 2
(3 4) 2
=
58
.
Respuesta. Las longitudes de los lados del triángulo son: PQ = respectivamente. Ejemplo 2. Encuentre el perímetro del triángulo Solución. Paso 1. : Graficamos el triángulo:
DEF ,
37
u
;
QR =
73 u
y
PR =
siendo D(-2, 3); E(4, 2) y F(-3, -4).
58
u
,
Paso 2. Para determinar la longitud de los lados del triángulo aplicaremos la fórmula:
x2 x1 2 y 2 y1 2
d ( P , Q)
Siendo, D(x1, y1) = D(-2, 3); E(x2, y2) = E(4, 2) y F(x3, y3) = F(-3, -4) Se sabe además que el perímetro del p DE EF
DEF es:
DF
Paso 3: calculamos la longitud de los lados, sustituyendo los puntos convenientemente en la fórmula: d ( D, E )
d ( E , F )
d ( D, F )
x
2
x1
(4 2) 2
x
3
x 2
(4 3) 2
x
3
2
2
x1
2
(3 2) 2
y
y1
2
(2 3) 2
y
3
(2 4) 2
y
3
2
36 1 = 37
y2
2
49 36
y1
.
2
(3 4) 2 =
50
85
Respuesta. El perímetro del triángulo es
p
37
85
50 .
Inclinación y pendiente de una recta. Cuando se traza una recta en el plano, esta adopta una posición,
que puede ser: vertical, horizontal u oblicua. Estos tipos de rectas responden a la posición de la recta respecto al eje X del sistema coordenadas cartesianas. Para determinar si una recta es vertical, horizontal u oblicua se tiene en cuenta el grado caída o de su inclinación de su respecto a una recta horizontal (el eje X). Inclinación es un concepto de uso extendido en cálculo y la geometría, está relacionado con el concepto de pendiente, se aplica para interpretar o comprender el significado geométrico de los problemas de física, matemáticas, ingeniería y otras áreas. Definición. La inclinación de una recta que interseca al eje x, es el menor ángulo mayor o igual que 0º, que forma la recta con la dirección positiva del eje x.
.
NOTAS.
La pendiente de una recta horizontal es cero; puesto que como veremos en seguida, la tan(0º) = 0, siendo 0º el ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta vertical es demasiado grande, por ello se dice generalmente que no existe; puesto que tan(90º) = indefinida (o no existe).
Definición. La pendiente de una recta es la tangente de la inclinación. La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) se obtiene mediante la fórmula: m
y 2
y1
x 2
x1
………………. ( )
Si se conoce el ángulo de inclinación, entonces podemos obtenerlos usando la relación:
m
tg ( ) ; 0º ≤ θ
< 90º. De
esta forma se puede escribir que: m tg ( )
y 2
y1
x 2
x1
…………………. ( )
Una recta inclinada hacia la derecha como se observa en la gráfica, tiene pendiente positiva, pues el ángulo de inclinación es un ángulo agudo. La pendiente de una recta inclinada hacia la izquierda es negativa; pues, el ángulo de inclinación es un ángulo obtuso y su ángulo suplementario agudo.
Rectas paralelas y perpendiculares:
(i) Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, o sus ángulos de inclinación son iguales; es decir, si m 1 y m2 son las pendientes de las rectas L 1 y L2 respectivamente, entonces simbólicamente escribimos: L1 es paralela a L2 si y sí, m1 = m2.
(ii) Dos retas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a 1 ; es decir, si m1 y m2 son las pendientes de las rectas L 1 y L2 respectivamente, entonces simbólicamente se puede escribir: L1 perpendicular a L2 si y sí, m1 • m2 = - 1.
Ejemplo 1. Determinar las pendientes de los lados del triángulo de vértices P(2, -3); Q(-1, -1) y R(4, 3)
Ahora aplicando la fórmula (), calculamos las pendientes de los lados del y y1 1 (3) 1 3 2 Del lado PQ : m 2 3 x 2 x1 3 1 2 PQ
PQR .
Del lado Del lado
QR :
PR :
m QR m PR
y 2 y1 x 2 x1 y 2 y1 x 2 x1
3
( 1)
4
4
5
( 1)
3 (3) 42
6
2
Ejemplo 2. Encuentre las pendientes de las alturas del triángulo que tiene como vértices a los puntos A(-1, -2); B(-4, 3) y C(5, 1). Solución. 1º) graficamos el triángulo, para identificar las alturas del triángulo.
2º) Por definición de altura, se tiene que: h1 AC ; h2 BC ; h3 AB . Para calcular la pendiente de cada altura, necesitamos calcular las pendientes de cada uno de los lados del triángulo, aplicando la fórmula de pendiente. En efecto.
Del lado
AB , m AB
h3
3
2
5
5
4
1
mh
AB
3
1
m
AB
3
mh
3
1
3
5
5
3
.
3
Del lado
BC
:
m BC
h2
1 3
54
mh
2 9
m
BC
2
9
mh
BC
2
1
1
2
2
9 2
9
Del lado
AC :
h
1
m
AC
AC
1 2
3
5
1
mh 1
6
1
mh
1
m AC
2
1
1
1 2
.
2
Respuesta. Las pendientes de las alturas del triángulo
ABC
son:
mh
3
3
5
, m h
2
9 2
y
mh
1
2
Ejemplo 3. Aplicando pendientes, demuestre que los puntos A(-1, -1); B(5, 0); C(4, 3) y D(-2, 2) son los vértices de un paralelogramo.
Demostración. Para demostrar que los puntos dados corresponden a los vértices de un paralelogramo, es suficiente mostrar que dos de sus lados tienen la misma pendiente. En efecto. Aplicamos la fórmula ( ), para calcular las pendientes de los segmentos: Segmento
AB ,
m AB
Segmento
BC ,
m
CD ,
m
Segmento Segmento
AD ,
0 (1) 5 (1) 3
BC
CD
m AD
4
0 5
6 3
23
24 2 (1)
3
1
1
2 (1)
1
6
3
1
1 6 3
Respuesta. Los lados no consecutivos tienen pendientes iguales, por lo tanto se trata de un paralelogramo. Ángulo entre dos rectas. La medida del ángulo agudo obtiene mediante la fórmula: tg ( )
m2
1 m1
m1
m2
θ
positivo, que forman dos rectas al intersecarse, se
Siendo m1 y m2 las pendientes de las rectas L 1 y L2 respectivamente; entendiéndose a la recta L 1 como el lado inicial y a la recta L 2 como el lado Terminal del ángulo θ. Esta fórmula no es aplicable cuando una de las rectas que determina el ángulo es vertical, debido a que dicha recta no tendría pendiente. Ejemplo 4. Determine la medida de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3, -2); B(-5, 8) y C(4, 5). Solución. Paso 1. Hagamos la gráfica con datos del problema:
Paso 2. Ahora calculamos: i) las pendientes de los lados del triángulo: m AB m BC
m AC
De los ángulos:
8 ( 2)
10
53 58
4 ( 5)
8 3
9
5 ( 2)
43
7 1
5
4 1 3
7
Del ángulo A. Observe que este ángulo tiene como lado inicial segmento AC y como lado Terminal al segmento AB, entonces, reemplazando en la fórmula tenemos: tg ( A)
m AB m AC
1 m AB m AC
5 4
1
7 5
7
4
33
4 31
33
31
4
33 A arctg 47º 31
Del ángulo B. Este ángulo tiene como lado inicial al segmento BA y como lado Terminal al segmento BC; entonces sustituyendo en la fórmula se tiene:
tg ( B)
m BC m ACB
1 m AB m BC
5 3 4 1 5 1 3 4
1
11
11
12
17
17
12
11 B arctg 33º 17
Del ángulo C. Este ángulo tiene lado inicial el segmento BC y lado Terminal el segmento AC, sustituyendo en la fórmula se tiene: 1 22 7 m m 11 3 3 Ac BC tg (C ) 4 1 m AC m BC 2 1 1 ( 7) 3 3
11 C arctg 100º 2
Respuesta. Los ángulos interiores del triángulo ABC son: 47º; 33º y 100º respectivamente. Ejemplo 5. La sección transversal de un lote de terreno que tiene la forma de A que es un triángulo isósceles. Si la pendiente de uno de sus lados es 1.5 y su altura es 15 pies, ¿Cuál es el ancho del lote de terreno?.
Solución. Paso 1. Bosqueje una gráfica que de acuerdo a los datos que se dan en el problema. Para facilitar los cálculos hagamos coincidir el centro de la sección transversal con el origen del sistema de referencia, ya que el triángulo es isósceles.
Paso 2. Calculamos el ancho del terreno. Como puede observarse, en la gráfica, el ancho del lote de terreno es igual a 2x; por lo tanto nuestro propósito es calcular el valor de x. Paso 3. Aplicamos la fórmula de pendiente 15 m
0
0
1.5
; entonces,
15 x
x
1.5
10
m
y 2 y1 x 2 x1
. De acuerdo a lo que se ve en la gráfica, tenemos que:
.
Respuesta. El ancho del lote de terreno es de 2(10) = 20 pies. Ejemplo 6. Dado el triángulo de vértices F(- 2, 5); G(a, - 3) y H(6, b). ¿Cuál debe ser los valores de para que la pendiente del lado
GH sea
3 4
a
y de
b,
?
Solución. De acuerdo a la fórmula de pendiente de un segmento, la pendiente del lado
GH del
triángulo es:
m GH
y
2
y
x
2
x
1
3 4
1
Entonces sustituyendo los las coordenadas de los vértices obtenemos: b
(3) 6a
b3 3
3
b3
6a
4
Respuesta. Los valores de
3
b 0 y 6 a 4 a
y de
b son
4
a
2
0 y 2 respectivamente.
División de un segmento de recta . Consideremos el segmento de recta cuyos extremos son los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) del plano, tomados sobre una recta. El segmento puede dividirse, al tomar un tercer punto C(x, y) entre los puntos A y B, de tal manera que este quede seccionado en dos partes que pueden ser iguales o según un criterio de división (o razón) previamente establecida; es decir, el punto C(x, y) pude ubicarse exactamente en el centro del segmento tomando el nombre de punto medio del segmento, o en un lugar según una razón de división dada. Punto medio. Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos de un segmento, y sea C(x m, ym) el punto medio del segmento AB . Entonces las coordenadas del punto medio C(x m, ym) se calcula mediante la fórmula: x m
x1 x 2 2
;
y m
y1
y2
2
Ejemplo 1. Determine las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son A(- 3, 4); B(1, -3) y C(5, 3).
Solución. La gráfica del triángulo es
Aplicamos la fórmula del punto medio para calcular las coordenadas de los puntos En efecto. Para el lado
AB :
P m
Para el lado
x x 2 1
;
y 1
2
y2
3 1 4 3 , 1; 2 2
1
2
AC :
R m
Para el lado
2
BC :
x x2 y1 y 2 3 5 4 3 ; , 1 1; 2 2 2 2
7
.
2
P m ; Q m y
R m
.
x1 x2 y1 y2 5 1 3 3 2 ; 2 2 , 2
Qm
2; 0 .
Respuesta. Las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo dado son: 1 7 P m 1; ; Rm 1; y Q m 2; 0 . 2 2
Coordenadas del punto que divide a un segmento según una razón dada r . Sea el segmento cuyos extremos son los puntos A(x1, y1) y B(x2, y 2); entonces las coordenadas del punto Q(X, y) que divide al segmento AB según la razón conocida r, se obtiene mediante la fórmula: x x1
r ( x2 x1 )
y y1
r ( y 2
y1 ) .
Ejemplo 2. Un punto P(x, y) está sobre la recta que pasa por los puntos M(-4, 4) y N(5, 2). Encuentre las coordenadas de P si el segmento MN se extendió de N a P de manera que P esta alejado de M el doble que de N. Solución. Como MP = 2 NP ; pero NP = MN . Por lo tanto, la razón de de modo que x 4 2(5 4) 14 ; y 4 2(2 4) 0
MP
a
MN
es igual a 2. Esto es, r = 2,
Respuesta. Las coordenadas del punto son P son (14, 0). Ejemplo 3. Determinar las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son P(-4, 3); Q(-1, -2) y R(2, 4); graficar el triángulo. Encontrar las coordenadas del punto donde se cortan las medianas, teniendo en cuenta que el punto se localiza a 2/3 de cada vértice respectivamente.
Solución. Paso 1. Hagamos una interpretación geométrica del problema.
donde A, B y C son los puntos medios de los lados del triángulo y D es el punto donde se intersecan las medianas del triángulo, del cual vamos a encontrar sus coordenadas.. Paso 2. Calculamos los puntos medios de cada lado del triángulo: Del lado PQ: Del lado QR: Del lado PR: Entonces
4 1 3 2 5 1 , , 2 2 2 2 2 1 4 2 1 , B( xm , y m ) , 1 2 2 2 A( x m , y m )
4 2 3 4 5 1 , , 2 2 2 2
C ( x m , y m )
7 4 2 3 4 , 1, 2 2 2
C ( x m , y m )
Paso 3. Ahora calculamos Las coordenadas del punto D donde se cortan las medianas del triángulo, aplicando la fórmula para calcular las coordenadas del punto que divide a un segmento según una razón dada r. Sea r =
2 3
la razón, entonces tenemos: 2
x = -4 + (1 – (-4)) = - 4 + 3
y=3+
2 3
1
2
3
3
( – 3) = 3 +
10 3
2
= - . 3
5
10
3
9
(- ) = 3 –
=
17 9
.
Como las medianas de todo triángulo se intersecan en mismo punto en este caso el punto D, entonces no es necesario calcular sobre las otras medianas dado a que resultaría el mismo punto. Respuesta. En consecuencia, el punto donde se cortan las medianas de dicho triángulo es el punto 2 , 2 D . 3 3 Área de un triángulo. Considere los puntos del plano A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) y C ( x3 , y3 ) . El área del triángulo de vértices A, B y C es el número real positivo:
A
1 2
x1
y1
1
x2
y2
1
x3
y3
1
1 2
x1 ( y2 y3 ) y1 ( x2 x3 ) ( x2 y3 y2 x3 ) u 2
Si al remplazar las coordenadas de los vértices del triángulo se obtiene un valor negativo, se aplica al resultado el valor absoluto al resultado para obtener un valor positivo, puesto que el área no puede ser un valor negativo.
Si se tiene un paralelogramo A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) y D( x 4 , y 4 ) y se desea calcular su área, entonces divide el paralelogramo trazando una de sus diagonales en dos triángulos iguales, de igual área. Entonces, el área del paralelogramo será la suma de las dos áreas de los triángulos; de tal forma, que para obtener el área del paralelogramo bastará con calcular el área de uno de los triángulos y multiplicarlo por dos. De esta forma se tiene, que el área del paralelogramo se obtiene mediante la fórmula:
A
x1
y1
1
x 2
y 2
1
x 3
y 3
1
u
2
Ejemplo 4. Dados los puntos del plano A(2, 1); B(2,-5) y C(-3, -5). a) Verifique si el triángulo de vértices A, B y C es un triángulo rectángulo. b) Si Q es el punto medio del lado AC , compruebe que este punto equidista de los vértices del triángulo c) Calcular el área del triángulo ABC. Solución. Queda como ejercicio para el lector la gráfica del triángulo. a) Para verificar si el triángulo de vértices A, B y C es un triángulo rectángulo, podemos hacerlo de dos formas: usando la fórmula de distancia entre dos puntos y luego aplicando el teorema de Pitágoras o aplicando el criterio de perpendicularidad usando el concepto de pendiente de sus lados. Aplicaremos el criterio de perpendicularidad de las rectas, usando las pendientes de los lados del triángulo. En efecto. Calculamos ahora las pendientes de cada uno de los lados del triángulo. 5 1 6 Pendiente del lado AB , m AB . 22
0
Esto significa que el segmento es Pendiente del lado Pendiente del lado
AC
,
m AC
BC , m BC
Esto significa que el lado
BC ,
vertical,, puesto que su pendiente no existe.
AB
5 1
3 2
55 32
6
6
5
0 5
5
0
es horizontal. Entonces, el lado
AB
y BC son perpendiculares entre sí.
Respuesta. El triángulo dado es un triángulo rectángulo. b) Como según el problema, el punto Q es punto medio del segmento AC , entonces las coordenadas de Q son: 3 2 5 1 1 , Q Q ,2 , 2 2 2 Ahora, para demostrar que Q equidista de los puntos A, B y C, demostraremos que las distancias d(Q, A), d(Q, B) y d(Q, C) son iguales. En efecto, aplicando la fórmula de distancia obtenemos entre dos puntos en el plano tenemos: 2
2
1 5 2 d(Q, A) = 2 1 2 = 3 = 2 2 2
2
2
1 5 d(Q, B) = 2 5 2 = 3 = 2
2
2
2
2
2
1 5 d(Q, C) = 3 5 2 = 3 = 2
2
2
2
25
4
25
9
4
61 4
9 =
61
=
61
25 4
=
9
4
4
Respuesta. Como las longitudes del triángulo son iguales, entonces el punto Q equidista de los tres vértices del triángulo. c) Ahora calculamos el área del triángulo ABC. Para ello aplicamos la fórmula que nos permite calcular el área de cualquier triángulo conocidos sus vértices; veamos: A
1 2
2
1
1
2
5
1 =2(-
3
5
1
5 + 5) – (2 +3)+(-10 - 15)= 30 u2.
Ejemplo 5. Para el triángulo de vértices C(-2, -1); D(-6, 3) y E(5, 2), encuentre: a) El perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del triángulo CDE . b) La medida de sus ángulos interiores del triángulo TRD , donde los puntos T y R son los puntos medios de los lados CD y DE . c) Las pendientes de las mediatrices del CDE . d) Las pendientes de las alturas del triángulo TRD . Solución. La gráfica del triángulo para (a), (b), (C) y (d) del problema se lo dejamos para el lector. Se recomienda hacer la gráfica para cada caso, ya que esto ayuda mucho en la comprensión y resolución del problema. Aquí, resolvemos el problema obviando la gráfica, pero indicamos en cada paso que es lo que se esta haciendo, para que el lector compare con la gráfica que él realizará y entienda mejor el desarrollo del problema. a) 1º) el perímetro del triángulo es la suma de las longitudes de sus lados; esto es,
p CD DE CE
2º) Aplicamos la fórmula de distancia para calcular la longitud de los lados del triángulo. d (C , D)
(6 2)
2
(3 1)
2
16 16
32
4 2
d ( D, E ) d (C , E )
(5 6)
2
(5 2)
2
(2 3) (2 1)
2
2
121 1 122
49 9
Respuesta. El perímetro del triángulo
CDE
58
, es
p
4 2
122
58
unidades.
d) 1º) Primero calculemos las coordenadas de los puntos medios de los lados les denominamos T y R respectivamente.
CD
y DE del rectángulo, a los que
Efecto. Del lado
2 6 1 3 ; 4; 1 2 2 6 5 3 2 1 5 ; R ; 2 2 2 2
CD :
T
Del lado DE : 2º) En el triángulo
TRD
, la medida de sus ángulos interiores se obtienen aplicando la fórmula:
tg ( )
m2 m1
1 m1 m2
Del ángulo T, lado inicial es el lado TR y el lado terminal es el lado del triángulo TD : Del ángulo D, el lado inicial es el lado del triángulo DT y el lado terminal es el lado del triángulo DR . Del ángulo R, el lado inicial es el lado del triángulo RD y el lado terminal es el lado del triángulo RT . Primero calculamos las pendientes de los lados del triángulo 5
Del lado
TR
:
m
TR
2 1
3
1
2
4
2 7 2
3
7
TRD
:
Del lado
TD
:
m
TD
3 1
64
5
De lado
RD
:
m
RD
2
2
1
1
3
2 1
2
6
2 11
1
11
2
Sustituimos los valores de estas pendientes, en la fórmula tg (T )
mTR mTD 1 mTD mTR
3 7
10
1 3
10 7
1 1 7
7
7
7
10 T arctg 7 tg ( D)
m RD mTD 1 mTD m RD
1 11
1
1 1 1 11
10 5 11 12
6
11
5 D arctg . 6 tg ( R)
mTR m RD
1 m RD mTR
20 R arctg . 37
3
1
40
20 11 77 74 1 3 37 1 11 7 77 7
y obtenemos la medida de los ángulos:
e) 1º) Recordemos que las mediatrices de un triángulo son las semirrectas trazadas desde el punto medio de cada lado del triángulo hacia adentro del triángulo y se cortan en un punto fuera del triángulo, a las que denotaremos como l a la mediatriz del lado CD , como l es ala mediatriz del lado DE y l 3 a la mediatriz del 1
lado
2
.
CE
2º) Ahora, calculamos las pendientes de los lados del triángulo Del lado Del lado Del lado
CD : DE
m
CD
:
m DE
:
4
62
2 3 56
1 11
2 1
mCE
CE
3 1
4
CDE
.
1
1 11
3
5 2
7
3º) Calculamos ahora las pendientes de la mediatrices del triángulo
CDE
:
De la mediatriz l : 1
Como l
1
CD
De la mediatriz Como
CD
l 2
1
DE
l 2
CE
l 3
m1
1
1
1
mCD
m1
1,
entonces, la pendiente de la mediatriz l es igual a 1. 1
:
l 2 DE m2 m
De la mediatriz Como
m1 m
1
m2
1
m DE
m2
11;
11
: m3 mCE
1 1
1
m3
1
mCE
1
3 7
m3
7 3
la pendiente de la mediatriz
l 2 es
igual a 11.
Así, la pendiente de la mediatriz
l 3 es
igual a
7 3
.
d)1º) Las alturas del triángulo TRD , son perpendiculares a los lados del triángulo opuesta al vértice del triángulo de donde se traza las alturas. 1 3 1 , entonces 2º) Como las pendientes de los lados del triángulo TRD son mTR ; m DR y m 7
11
TD
aplicamos la condición de perpendicularidad para obtener las pendientes de las alturas correspondientes. De la altura trazada del vértice T:
h1 DR mh m 1
DR
1
mh
1
1
1
11
11
De la altura trazada del vértice D:
h2 RT mh m
TR
1
1
mh
1 2
3
7
3
7
De la altura trazada del vértice R:
h3 TD mh m 1
TD
Respuesta. Las pendientes de las alturas del triángulo De h su pendiente es m h 11 ; 1
1
TRD
mh 3
, son:
1 1
1
1
De
h2 su
De
h3
pendiente es
su pendiente es
mh
7
2
mh3
3
;
1.
Ejemplo 6. Para el tendido de un cable telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales de4en estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentran en uno de los extremos del cableado que está en el punto A(60, 90), según un sistema coordenado como el que se muestra en la figura, y el ultimo en el extremo que se localiza en B(-30, -30), se deben determinar las coordenadas de los puntos C y D para colocar ahí los otros dos puntos entre A y B. las longitudes están dadas en metros. Las longitudes están dadas en metros.
Solución. Puesto que los puntos C y D dividen al segmento comprendido entre los puntos A y B en tres segmentos: AC , CD y DB , de igual longitud, siendo el punto C el más cercano al punto A, como se muestra en la figura.
Observe que, que la proporcionalidad entre puntos sobre la recta es, Al sustituir los valores de 60 x
1 2
1
x1
( 30) 1
x 2
60 15 3
2
Al sustituir los valores de
60,
30 y
45 3
2 y1
90,
90 3
r
1
2
d ( A, C ) d (C , B )
1
2
en la fórmula de proporcionalidad
x
en la fórmula de proporcionalidad
y
x1
rx 2
1 r
, obtenemos:
30
2 y 2
30 y
r
1
2
y1
ry 2
1 r
, obtenemos:
90 y
1 2
1
(30)
1
90 15 3
2
2
75 3
150
3
50
2
De modo que uno de los postes debe colocarse en el punto C(30, 50). De manera similar analizamos para el otro poste, dado que los puntos C y D dividen al segmento comprendido entre los puntos A y B en tres segmentos de igual longitud, siendo el punto D el más lejano al punto A, se cumple que: d ( A, C ) d (C , B)
2
1
Al sustituir los valores de x
x
1
60 2(30) 1 2
Al sustituir los valores de y
y1
60,
2
90,
90 2(30)
30 y
2
60 60
1 2
x
y2
0 2
r
30 y
3
x1 rx2
2 en
la fórmula de proporcionalidad
x
2 en
la fórmula de proporcionalidad
y
1 r
, obtenemos:
0
90 60
r
30 3
y1 ry2 1 r
, obtenemos:
10
El otro poste debe colocarse en el punto C(0, 10); como se muestra en la figura adjunta.
PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.
Localice los puntos A(-4, -3); B(1, 1) y C(7, 5), y verifique las siguientes ecuaciones mediante sustituciones numéricas. AC CB AB ; BA AC BC ; AB BC AC
2. Dibuje el triángulo y encuentre su perímetro, siendo los vértices del triángulo, los siguientes puntos. a) A(-1, 1); B(-1, 4) y C(3, 4)
b)
A(-2, -3); B(4, 3) y C(-3, 4)
3. Muestre que los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo. a) A(1, 3); B(10, 5) y C(2, 1) b) A(-1, 1); B(6, -2) y C(4, 3) c) A(5, -2); B(1, 1) y C(7, 9). 4.
Muestre que los puntos P(-
5.
Muestre que los puntos M(1, -1); N(5, 2); P(2, 6) y Q(-2, 3) son los vértices de un cuadrilátero.
3
, 1); Q(2
3
, -2) y R(2
3
, 4) son los vértices de un triángulo equilátero
6. Compruebe si los puntos A( -5, 6); B(2, 5) y C(1, -2), todos equidistan del punto D(-2, 2). 7. Si el punto (3, y) equidista de los puntos (5, -2) y (3, 4), encuentre el valor de y. 8. El extremo superior de una poste se apoya sobre un muro a 9.5 metros sobre el piso y el lado inferior se halla a 5 metros de distancia del muro ¿Cuál es la pendiente del poste? 9. Para los triángulos cuyos vértices se dan continuación a) (1, 1); (5, 2) y (3, 5) c) (-1, 1); (2, -1) y (3, 6) b) (2, 2); (-4, -1) y (6, -5) d) (3, 8); (-4, -3) y (6, -1) Calcular: i) ii) iii) iv) v)
El perímetro. La medida de sus ángulos interiores. La longitud de sus medianas. Las pendientes de sus mediatrices El área del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del triángulo.
10. Indique cual de las rectas que pasan por los puntos que a continuación se dan, son paralelas o perpendiculares u oblicuas; de las rectas que son oblicuas, encuentre la medida del ángulo agudo que forman. a) (1, -1); (-5, -5) y (1, -2); (7, 2) b) (1, 8); (-3, -4) Y (-1, 8); (0, 10) c) (6, 5); (11, 9) Y (2, 5); (12, 9). 11. Encuentre las pendientes de las alturas del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del triángulo, cuyos vértices se dan a continuación. a) (1, 2); (2, 5) Y (6, 3) b) (4, 2); (-3, 1) y (2, -5) c) (8, 3); (2, -4) y (7, -6) d) (-1, -6); (-3, -5) y (-2, -2) 12. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo cuyos vértices son (2, 2); (6, 3) y (5, 7); y muestre que el punto medio equidista de los vértices. 13.
Encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento de recta que une los puntos A(-1, 4) y B(2, -3) según la razón de 3 a 4.
14. El segmento de recta que une los puntos (-1, 3) y (4, -3) se extiende por ambos extremos una distancia igual a su longitud original. Encuentre las coordenadas de los nuevos extremos. 15. Encuentre el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo, y calcule el área de dicho paralelogramo, siendo los vértices del paralelogramo los siguientes: a) A(-2, 3); B(6, 1); C(5, -2) y D(-3, 0) b) A(-1, -2); B(3, -6); C(11, -1) y D(7, 3) c) A(0, 2); B(-3, 1); C(2, -1) y D(5, 0) 16.
Hay un árbol de 10 m de altura cerca de un edificio en cuya azotea hay un faro, de modo que el árbol está a 4/10 de la distancia de la base del edificio al extremo superior de su sombra ¿A qué distancia del piso está el faro? Si la
punta del árbol está exactamente a 5 metros del faro ¿qué distancia hay entre el árbol y el edificio, y cuál es la longitud de su sombra? 17.
Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares.
18. Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, entonces demuestre que la figura geométrica es un triángulo rectángulo.
II. ECUACION DE LA RECTA. La gráfica de la función f ( x) ax b , es una línea recta, la misma que a su vez está contenida en el plano cartesiano ( 2). La recta tiene extensión infinita, pues a medida que vamos dando valores a x se obtienen diferentes valores de la variable y, todos estos puntos de la forma (x, y) ubicados en el plano cartesiano determinan la recta L de la figura.
La recta es el grafo de un función lineal, que en términos algebraicos se escribe como f ( x) ax b , pudiendo ser b = 0 , pero a siempre debe ser diferente de cero. Si se tienen dos puntos del plano A( x1, y1) y B( x2 , y2 ) , es posible trazar una recta que pase por estos puntos. Observación. 1. 2.
Un postulado de la geometría plana establece que una recta que completamente determinada por dos puntos del plano; es decir, que por dos puntos pasa una y sólo una recta . Por un punto del plano se pueden trazar infinitas rectas.
Por su posición en el plano, las rectas pueden ser: Rectas horizontales, son las rectas paralelas al eje X, y se definen por la ecuación algebraica: y
k ;
siendo
k cte
.
Rectas perpendiculares, son las rectas paralelas al aje Y , y se definen mediante la ecuación algebraica: x
c
; siendo
c
cte
.
Rectas oblicuas, se definen mediante la ecuación algebraica lineal:
f ( x)
ax b ;
donde a, b son constantes.
Toda recta en el plano queda perfectamente determinada por dos puntos conocidos del plano; esto quiere decir, que si tenemos dos puntos conocidos del plano, podemos trazar una y sol una recta que pasa por estos puntos. 1. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA RECTA . Se denomina ecuación ordinaria, por que la ecuación queda simplemente expresada en términos de los datos básicos que determinan una recta, que son la pendiente y un punto Q( x1, y1 ) por donde pasará dicha recta. La ecuación ordinaria de la recta se deduce a partir de la ecuación de la pendiente del segmento cuyos extremos son los puntos P ( x1, y1 ) Q( x, y) , de la siguiente forma: m
y
y1
m( x
x1 )
a) Forma punto pendiente. La forma punto pendiente de la ecuación de la recta, cuando como datos se tiene la pendiente de la recta y un punto por donde pasará la gráfica de dicha recta, en este caso la ecuación ordinaria de tal recta es: m
y
y1
m( x
x1 ) ……………………
(1)
b) Forma dos puntos. La otra forma ordinaria de la ecuación de la recta se formula cuando se conoce dos puntos A( x1, y1 ) y B( x2 , y2 ) del plano por donde pasará dicha recta; entonces la ecuación ordinaria de l a recta es: y
y1
y 2
y1
x 2
x1
x
x1
……………….
(2)
Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene pendiente m conocida. a) P(-2, 3) y m = -2/3; b) P(4, -1) y m = -3 Solución. Paso 1. Graficamos las rectas:
Paso 2. Encontramos las ecuaciones de las rectas de (a) y de (b) aplicando la fórmula (1). 2 a) Sean P(-2, 3) = P(x1, y1) el punto por donde pasa la recta y su pendiente, la ecuación es: m
3
y
3
2
y 3
3
2 3
x 2 x
4 3
2 y
3
13 x
3
b) Sean P(4, -1) = P(x1, y1) el punto por donde pasará la recta y sustituyendo estos valores en la fórmula (1) tenemos:
m = - 3 su pendiente; entonces,
y – (-1) = - 3(x -4) y + 1 = -3x +12 y = -3x +11 Ejemplo 2. Encuentre la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados: a) P(3, -2) y Q(-1, -5); b) P(-7, 8) y Q(6, 1). Solución. Paso 1. Queda como ejercicio para el lector, trazar la gráfica de las rectas para (a) y (b). Paso 2. Ahora para encontrar las ecuaciones de las rectas , usaremos la fórmula (2): y – y1 = m(x – X1) a) Sean P(3, -2) = P(x1, y1) y Q(-1, -5) = Q(x2, y2) los puntos por donde pasa la recta, entonces, sustituyendo en la ecuación (2) tenemos: y
5 (2) (2) ( x 3) 1 3 y 2
y
3
4
3
4
x
( x 3) 17
4
b) Sean P(-7, 8) = P(x 1, y1) y Q(6, 1) = Q(x2, y2) los puntos por donde pasa la recta, entonces, sustituyendo en la ecuación (2) tenemos: y
1 8 ( x (7)) 8 6 (7) y 8
7
13
y
( x 7)
7 13
x
55 13
Ejemplo 3. Encontrar las ecuaciones de los lados del triángulo, cuyos vértices son los puntos A(- 3, 2); B(-1, 5) y C(4, -1). Solución. 1º) Graficamos el triángulo:
2º) Ahora para calcular la ecuación de los lados ABC , usaremos la fórmula (1) de la ecuación ordinaria de la recta. Calculamos las pendientes de los lados del triángulo. En Efecto. Del lado De lado Del lado
, su pendiente es,
AB
BC
, su pendiente es,
AC
, su pendiente es
m AB
m BC m AC
5 2
1 3 1 5
4 1 1 2 43
3 2 6
5
3
7
Ahora, calculamos las ecuaciones de los lados del triángulo, que equivale a encontrar las ecuaciones de las rectas l 2 y l , para ello usamos la ecuación de la recta (1).
l 1
3
De la recta l ; consideremos el punto A(- 3, 2) = A(x 1, y 1) y 1
tenemos: l 1 : y 2 y 2
3 2 3 2
( x 3) x
9 2
m
AB
3
2
entonces sustituyendo en la fórmula (1)
l 1 : 3 x 2 y 13 0
De la recta
l 2 ;
consideremos el punto B(-1, 5)) = B(x 1, y 1) y
m BC
5
tenemos: l 2 :
l2 :
De la recta
l 3 ;
6
entonces sustituyendo en la fórmula (1)
6 y 5 ( x 1) 5 6 6 y 5 x 5 5 6 x 5 y 19 0
consideremos el punto A(- 3, 2) = A(x 1, y1) y
m
AC
3
7
; entonces sustituyendo en la fórmula (1)
tenemos: l 3 : y 2 y 2
3
( x 3) 7 3 9 x 7 7
l 3 : 3 x 7 y 5 0
Respuesta: Las ecuaciones de los lados del triángulo son
l 1 : 3 x 2 y 13 0 ;
l 2 : 6 x 5 y 19 0
l 3 : 3 x 7 y 5 0 .
Ejemplo 4. Sean los puntos M(- 5, -3); N(- 2, 2) y T(5, - 1) los vértices del triángulo MNT , encontrar:
y
a) Las ecuaciones de sus alturas. b) La ecuación de sus mediatrices. Solución. a) 1º) trazamos las alturas del triángulo.
2º) Como cada altura del triángulo es perpendicular al lado del triángulo opuesto al vértice de donde se traza dicha altura, entonces aplicando el criterio de perpendicularidad de las rectas, encontramos las pendientes de las alturas respectivas. En efecto: Del lado MN , Del lado
NT
,
m
MN
m NT
23
25
1 2
52
5
3
3 7
Del lado
MT
,
m MT
1 3
55
1 5
3º) Ahora calculamos las ecuaciones de las alturas del triángulo. Ecuación de la altura h : Denotamos la pendiente de tenemos: 1
h1
como
m
1
y como
h1 MN
, tenemos que
m1 m
MN
1
; entonces remplazando
3 5 m1 1 m1 5 3
y considerando como y
T ( x1, y1 ) T (5, 1) ,
( 1)
sustituimos en la fórmula (1) tenemos:
3
( x 5) 5 5 y 5 3 x 15
h1 : 3x 5y - 10 0
Ecuación de la altura h2 : Denotamos la pendiente de tenemos,
m
2
1 1 5
h2
m
1
cómo
5
m
2
y además, como
h2 MT
, tenemos que
y considerando como N ( x1, y1 ) N (2,
y considerando como N ( x1, y1) N (2,
2) ,
2) ,
m2
m MT
1
, Así, sustituyendo
sustituimos en la fórmula (1) tenemos
sustituimos en la fórmula (1) tenemos:
y
2 5( x 2)
y
2 5 x 10
h 2 : 5 x y 8 0
Ecuación de la altura
h3
:
Denotamos la pendiente de
h3
como
m
y como
m
3 1 7
3
3
y considerando como M ( x1, y1) y
M ( 5, 3) ,
h3 NT
, entonces
m
1
m3
m
NT
1
; entonces tenemos que:
7 3
sustituimos en la fórmula (1) tenemos:
7
(3) ( x (5))
3 3 y 9 7 x 35
h 3 : 7 x 3 y 26 0
Respuesta. Las ecuaciones de las alturas del triángulo h3 :
7 x 3 y 26 0
b) 1º) trazamos las mediatrices del triángulo
MNT
son:
h1 : 3 x 5 y 10 0 ,
h 2 : 5 x y 8 0 y
2º) Como cada mediatriz del triángulo es perpendicular al lado correspondiente del triángulo de donde se traza la mediatriz, entonces aplicando el criterio de perpendicularidad, encontramos las pendientes de las mediatrices del triángulo. En efecto: Del lado
MN
,
m
MN
Del lado NT ,
m NT
Del lado
m MT
MT
,
23
5
25
1 2
52 1 3
55
3
3
7 1
5
3º) Ahora calculamos las ecuaciones de las mediatrices del triángulo. Para ello aplicamos la fórmula (1) de la ecuación ordinaria de la recta. Para determinar las pendientes de las mediatrices aplicamos el criterio de perpendicularidad de las rectas y como punto fijo consideramos los puntos medios del lado correspondiente del triángulo. Ecuación de la mediatriz sustituyendo se tiene:
1 :
denotamos la pendiente de
1
por
m1
. como
1 MN
, entonces
m1
m
MN
1
;
m
1
5 1 3
m
1
3 5
,
y como la mediatriz pasa por el punto medio del segmento
MT ,
entonces calculamos el punto medio del segmento,
5 2 3 2 7 1 ; P m ; 2 2 2 2
P m ( x1 , y1 ) P m
Ahora, sustituimos en la fórmula (1) tenemos: 3 7 x 2 5 2 10 y 5 6 x 21
n1
: y
1
1 : 6 x 10 y 16 0
Ecuación de la mediatriz : 2
Denotamos la pendiente de m
2
2
3 1 7
cómo
m 2
m
2
7 3
y como
2
NT
, entonces
m2
m
NT
1
, sustituyendo tenemos:
,
y como la mediatriz pasa por el punto medio del lado segmento, 2 5 2 1 3 1 ; Qm ; 2 2 2 2
Qm ( x1 , y1 ) Qm
Ahora sustituimos en la fórmula (1) y obtenemos:
2 NT
, entonces calculamos el punto medio de dicho
n2
2
3 ( x ) 2 3 2 6 y 3 14 x 21 : y
:
1
1 5
7
14 x 6 y 18 0
Ecuación de la mediatriz m3 1
3
: denotamos la pendiente de
3
por
m
3
. Y como
1
;
3
MT
, calculamos el punto medio de dicho lado:
: y (2) 5( x 0)
y
2 5 x
: 5 x 2 y 2 0
Respuesta. Las ecuaciones de las mediatrices del triángulo 14 x 6 y 18 0 y
: 5 x 2 y 3
2
MNT
son:
0
Ejemplo 5. Dado el triángulo de vértices P(- 6, - 2); Q(- 3, 3) y R(7, -3); determinar: a) Las ecuaciones de los lados del triángulo, y verifique si el triángulo es triángulo rectángulo. b) Las ecuaciones de las medianas del triángulo. Solución.
MT
3
n3
m3 m
m 5 ,
Dado que la mediatriz pasa por el punto medio del lado del triángulo Rm ( x1, y1 ) Rm 0,2 , sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos:
2 :
, entonces
3 MT
1
: 6 x 10y 16 0;
a) 1º) Bosquejemos la gráfica del triángulo.
2º) Para encontrar las ecuaciones de los lados del triángulo, necesitamos primero encontrar las pendientes de los lados del triángulo, y luego considerando como punto fijo uno de los vértices del triángulo, usamos la fórmula (1) de la ecuación ordinaria de la recta. En Efecto. Calculamos las pendientes de los lados: Del lado PQ , Del lado Del lado
QR , PR
,
mQR m
PR
33
73
3
10
2
76
6
1
13
m PQ
23
5
63
3
3 5 1
13
Considerando fijo el vértice P(- 6, -2) y como pendiente sustituyendo adecuadamente en la fórmula (1), obtenemos,
m PQ
5
3
, encontramos la ecuación del lado
PQ ,
5
x (6) 3 3 y 6 5 x 30
y (2)
PQ :
5 x 3 y 24 0
Ahora, considerando fijo el vértice Q(- 3, 3) y como pendiente
mQR
3
5
, encontramos la ecuación del lado
PQ ,
sustituyendo adecuadamente en la fórmula (1), obtenemos, y 3
3
x (3) 5 5 y 15 3 x 9 QR : 3 x 5 y 6 0
Si considerando fijo el vértice R(7, - 3) y como pendiente
m PR
1
13
, encontramos la ecuación del lado
sustituyendo adecuadamente en la fórmula (1), obtenemos, y 3 13 y
1
39
13
x 7
x 7
PR : x 13 y 46 0
Respuesta. Las ecuaciones de los lados del triángulo PR : x 13 y 46 0 .
PQR
son: PQ : 5 x 3y 24 0 ,
QR : 3 x 5 y 6 0
y
PR
,
Como nuestro interés es, verificar si el triángulo es un triángulo rectángulo. Para verificar si el triángulo es un triángulo rectángulo, puede hacerse de dos formas: usando distancias (el teorema de Pitágoras) o por medio de pendientes y aplicando el criterio de perpendicularidad. Nosotros usaremos el criterio de las pendientes; considerando que el triángulo rectángulo, si dos de sus lados forman un ángulo recto, y esto significa que el producto de sus pendientes es igual a – 1. En efecto. Usando el criterio de perpendicularidad y sustituyendo las pendientes de los lados del triángulo se tiene que: 5 3
3
m PQ mQR 1 ; 5
esto muestra que los lados Por lo tanto, el triángulo
PQ y QR son perpendiculares.
PQR
es un triángulo rectángulo, recto en el ángulo Q.
b) Ahora se nos pide encontrar las ecuaciones de las mediatrices del triángulo 1º) Graficamos el triángulo y trazamos las medianas respectivas.
PQR
.
2º) Determinamos las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo y determinamos las ecuaciones de las medianas: De la mediana
s
1
Am , Bm y C m respectivamente,
:
Como la mediana es trazada del vértice P, y pasa por el punto coordenadas de Bm es, s
1
Bm
que es punto medio del lado
QR ;
entonces las
3 7 3 3 ; Bm 2, 0 2 2
Bm x1 , y1 Bm
Ahora calculamos la pendiente de la mediana m
1
0
2
( 3)
3
7
5
Así, la ecuación de la mediana de la siguiente forma:
De la mediana
s2
:
1
, a la que denotamos como
m
1
,
3
s
1
5
, los obtenemos sustituyendo en la fórmula (1) de la ecuación ordinaria de la recta,
3 y 0 ( x 2) 5 5 y
s
3 x
6
s1 : 3 x 5 y
6
0
Como la mediana s2 es trazada del vértice R, y pasa por el punto las coordenadas de A es,
Am
que es punto medio del lado
PQ ;
entonces
m
6 3 2 3 3 1 , , 2 2 2 2
Am x m , y m Am
Ahora calculamos la pendiente de la mediana s , a la que denotamos como 2
3 m
2
7
1
2 3
m
2
,
7
2 17
2
7
17
2
Así, la ecuación de la mediana s , los obtenemos sustituyendo en la fórmula (1) de la ecuación ordinaria de la recta, de la siguiente forma: 2
y
1 2
7 3 x 17 2
34 y 17 14 x 21
s 2
De la mediana
: 14 x 34y 4 0
s3
:
Como la mediana s3 es trazada del vértice Q, y pasa por el punto las coordenadas de C es, m
C m
que es punto medio del lado
PR
; entonces
6 7 2 3 1 5 ; C m ; 2 2 2 2
C m xm , y m C m
Calculamos ahora la pendiente de la mediana 3 m
3
5 2 1
3
2
s3
, a la que denotamos como
m
3
,
11
2 5
11
5
2
Así, la ecuación de la mediana s , los obtenemos sustituyendo en la fórmula (1) de la ecuación ordinaria de la recta, de la siguiente forma: 3
y
5 2
11 1 x 5 2
10 y 5 22 x 11 s 3 : 22 x 10 y 16 0
Respuesta. Las ecuaciones de las medianas del triángulo
PQR
son:
s1 : 3 x 5 y 6 0;
s2
: 14 x 34y 4 0
y
s3 : 22 x 10y 16 0
2. Ecuación General de la Recta . La recta es un objeto geométrico fundamental en el estudio de la geometría. Es define mediante la ecuación algebraica lineal de la forma, Ax B y C 0 ……………………. (3).
donde A, B y C son llamados coeficientes de la ecuación de la recta. Para que le ecuación exista, A o B debe ser diferente de cero. A la ecuación (3) se le llama ecuación general de la recta. Si A 0 y B = 0, entonces la ecuación (3) corresponde a la recta paralela al eje Y; y si (3) corresponde a la recta paralela al eje X.
B 0
y a = 0, la ecuación
La pendiente de la recta cuya ecuación es de la forma (3) se obtiene mediante la fórmula: m
A B
……………………………. (4)
Ejemplo 1. Encuentre la ecuación general de la mediana del triángulo trazada del vértice B al lado opuesto del triángulo cuyos vértices son A(-2, -3); B(-4, 6) y C(3, 4). Solución. Hagamos primero una interpretación gráfica de los datos dados en el problema.
Como la mediana de un triángulo es el segmento de recta que une el vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto, entonces: 1º) Calculamos las coordenadas del punto medio del segmento
AC
:
Sea P ( xm , ym ) el punto medio de dicho segmento, entonces se tiene, x m
3
2
1
2
2
,
y m
4
Las coordenadas del punto medio de
3
1
2
AC
2
.
son P ( xm , ym ) P
1
1
. 2 2 ,
2º) Ahora, para encontrar la ecuación de la mediana BP del triángulo, usamos la ecuación (2) ordinaria de la recta y sustituimos adecuadamente los puntos B y P, y obtenemos: 1 6 2 ( x ( 4)) y 6 1 ( 4) 2 y 6 11 x
11
9 9y
( x 4)
8 0.
Ejemplo 2. Encuentre las ecuaciones de los lados del triángulo cuyos vértices son P(- 2, 5); Q(2, - 1) y R(5, 3). Solución. 1º) Graficamos el triángulo.
2º) Ahora, para encontrar la ecuación general de los lados del triángulo, usaremos la fórmula (2) de la ecuación ordinaria de la recta y sustituimos convenientemente los puntos que en este caso son los vértices del triángulo: Ecuación de la recta l que corresponde al lado 1
PQ ;
5 (1) ( x (2)) 2 2
y 5
y 5
3 2
( x 2)
2 y 10 3 x 6 l 1 : 3 x 2 y 4 0
Ecuación de la recta
l 2
que corresponde al lado
QR ;
3 ( 1) ( x 5) 5 2
y 3 y 5
4 3
( x 5)
3 y 15 4 x 20 l 2 : 4 x 3 y 5 0
Ecuación de la recta
l 3 que
corresponde al lado
PR
;
5 3 ( x 2)) 2 5
y 5
2 y 5 ( x 2) 7 7 y 35 2 x 4 l 3 : 2 x 7 y 31 0
Respuesta. Las ecuaciones de los lados del triángulo son:
l 1 : 3 x 2 y 4 0;
l 2 :
4 x 3 y 5 0
l 3 : 2 x 7 y 31 0
Ejemplo 3. Consideremos el triángulo cuyos lados están sobre las rectas, L2 :
6 x 4 y 12 0
y
L3 : 2 x 5 y 10 0 .
a) Encuentre los vértices del triángulo. b) Encuentre el área del triángulo.
L1 :
2 x y
2
0;
y
c) Encuentre las medidas de los ángulos externos adyacentes a los ángulos internos del triángulo. d) Encuentre las ecuaciones de las alturas del triángulo Solución. 1º) Graficamos el triángulo. Como se trata de la gráfica de rectas, entonces es suficiente conocer las intersecciones con los ejes coordenados. *) Para la recta L : 2 x y 2 0 : 1
Intersección con el eje X. Si y 0,
2 x 2 0
x 1 ;
la recta corta al eje X, en el punto (- 1, 0).
Intersección con el eje Y. Si x
0
y20
*) Para la recta L2 :
y
2;
la recta corta al eje Y, en el punto (0, - 2)
6 x 4 y 12 0 :
Intersección con el eje X. Si y
0
6 x 12 0
x 2 ;
la recta corta al eje X, en el punto (- 2, 0)
Intersección con el eje Y. Si x 0
4 y 12 0
y
3;
la recta corta al eje Y, en el punto (0, - 3)
*) Para la recta L3 : 2 x 5 y 10 0 Intersección con el eje X. Si y 0
2 x 10 0
x
5;
la recta corta al eje X, en el punto (5, 0)
