UNIVERSITATEA TEHNICĂ TEHNICĂ DE CONSTRUCŢ CONSTRUCŢII BUCUREŞ BUCUREŞTI
TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR
Bucureş Bucureşti 2007 1
Lucrarea este destinată candidaţilor la concursul de admitere în
Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, în anul universitar 2007–2008 şi cuprinde 20 de teste similare testului de admitere. Fiecare test conţine 18 probleme şi anume: 12 probleme de matematică şi 6 probleme de fizică, elaborate în conformitate cu programa analitic ă anunţată pentru concursul de admitere. La sfâr şitul lucr ării sunt prezentate r ăspunsurile corecte. Avem convingerea că orice candidat care va rezolva cu atenţie toate testele prezentate în lucrare va promova cu succes concursul de admitere.
2
PROGRAMELE ANALITICE PENTRU PROBELE DE CONCURS MATEMATICA A. ALGEBRA 1. Funcţia liniar ă. Inecuaţii de gradul I. Func ţia pătratică. Inecuaţii de gradul II. Sisteme de ecua ţii. 2. Progresii aritmetice şi progresii geometrice. 3. Funcţia exponen ţială şi funcţia logaritmică. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice. 4. Permutări, aranjamente, combin ări. Binomul lui Newton. 5. Polinoame. Ecua ţii algebrice de grad superior. 6. Matrice. Determinanţi. Rangul unei matrice. 7. Sisteme liniare.
B. ELEMENTE DE ANALIZĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ MATEMATICĂ 1. Limite de func ţii. Continuitate. 2. Funcţii derivabile. Aplica ţii la studiul func ţiilor. 3. Integrala definita. Calculul ariilor şi volumelor.
C. GEOMETRIE 1. Vectori. Operaţii cu vectori. 2. Determinarea ariilor şi volumelor folosind calculul sintetic sau vectorial: poliedre, corpuri rotunde. 3. Elemente de geometrie analitic ă în plan: dreapta, aria unui triunghi, coliniaritatea a trei puncte, cercul.
D. TRIGONOMETRIE 1. 2. 3. 4.
Cercul trigonometric. Func ţii trigonometrice. Formule trigonometrice. Ecuaţii trigonometrice. Rezolvarea triunghiului oarecare. Forma trigonometric ă a unui num ăr complex.
3
FIZICĂ FIZICĂ A. Principiile mecanicii newtoniene şi tipuri de forţ forţe: 1. 2. 3. 4. 5.
Principiile I, II şi III; For ţa de frecare; For ţa de tensiune; For ţa elastică. Modelul corpului elastic; For ţa centripetă.
B. Cinematica punctului material: 1. Mişcarea rectilinie uniformă a punctului material; 2. Mişcarea rectilinie uniform variat ă a punctului material; 3. Mişcarea uniform circular ă a punctului material.
C. Teoreme de variaţ variaţie şi legi de conservare în mecanică mecanică: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Lucrul mecanic (m ărime de proces). Putere mecanic ă; Energia mecanic ă (mărime de stare); Teorema varia ţiei energiei cinetice a punctului material; Energia poten ţială gravitaţională; Energia poten ţială elastică; Conservarea energiei mecanice; Lucrul mecanic efectuat de for ţele conservative; Teorema varia ţiei impulsului mecanic şi legea conserv ării impulsului.
4
TESTUL 1 1. Fie x1 şi x2 r ădăcinile ecuaţiei x 2 + x + 5 = 0 . Să se calculeze expresia E = 5 S + P , unde S = x1 + x2 şi P = x1 x2 . a) 1
b) –1
c) 0
e) -3
d) -6
e) -1
log 3 (1 − x) = 2 .
2. Să se rezolve ecuaţia: a) -8
d) 2
b) 8
c) 6
3. Fie S 1 = 1 + 2 + ... + n şi S 2 = 12 + 2 2 + ... + n 2 . Să se calculeze (2n + 1) S 1 − S 2 . expresia: E = 3 a) n 3
b) n 2 (n + 1) c) n( n 2 + 1) d) n 3 − n 2 + n e) 0 2 x 3 x − 1 x = 0 . 1 2 1
4. Să se rezolve ecuaţia:
a)
1 2
b) -1
5. Să se calculeze: a) 0
b) 3
lim
x → ∞
d) -
c) 2
1 + x 2 + 2 x x
c) 1
1 2
e) 0
. d) 2
e) ∞
6. Fie f : R → R , f ( x) = x 2 e x . Să se calculeze f (10) (0) . a) 91
b) 101
c) 100 5
d) 90
e) 99
π/2
∫ (sin 3 x − 2 sin x)dx .
7. Să se calculeze:
−π / 2
a) 1
b) -1
3 2
c)
d) 0
8. Să se determine mulţimea x ∈ R pentru care arctg x < a) (−∞, 1)
b) (0, 1)
9. Să se calculeze aria ∆ a)
1 2
c) (−∞ , 0) BC , unde
c) -
b) 1
d) (1, 2)
e) -
1 2
x
1 + x 2
.
e) (0, ∞ )
(1, 1) , B (−1, 2) , C ( 2, 1) .
1 2
d)
1 4
e) 2
10. Să se afle unghiul dintre vectorii OA şi OB , unde O(0, 0), A( 3,1), ⎛ 1 ⎞ B⎜ , 1⎟ ⎝ 3 ⎠ a)
π 3
b)
π 4
c)
π 8
d)
π 6
e) arc cos 2
11. Aria laterală a unui con circular drept este 2, iar aria totală 3. Să se afle unghiul dintre înălţimea şi generatoarea conului. a)
π 3
b)
π 8
c)
12. Să se rezolve ecuaţia: a) x1 = 0, x2 = d) x1 =
1 ; 2
3 1 , x2 = ; 2 2
π 4
d)
π 2
e)
π 6
cos( arc cos x) = cos( 2arc cos ) + 1 .
b) x1 = 1, x2 = −1 ; e) x1 = 6
c) x1 = 1, x2 = 0 ;
1 , x2 = 0 2
13. Firul AB este fixat in A de tavanul unui vagon iar în B are prins un corp cu greutatea 50 N. Când vagonul este în mi şcare uniform variată, firul formeaza cu direcţia verticală un unghi egal cu 30 0. Tensiunea din fir in acest moment este: a) 25 N
b) 25 2 N
c) 50 N
d) 50 3 N
e) 100 3 N 3
14. Firul inextensibil 0A, fixat in 0, are prins în A un corp cu greutatea 18 N. Firul este întins în poziţie orizontală iar apoi corpul este l ăsat liber. În cursul mişcării tensiunea maximă din fir este: a) 72N
b) 64N
c)54N
d)36N
e)18N.
15. Într-o mişcare pe o suprafaţă orizontală, un corp se opreşte după 4 s la distanţa 16,8 m faţă de punctul de lansare. Coeficientul de frecare la alunecarea corpului pe suprafaţă ( g = 10 m/s2 ) este: a) 0,1
b) 0,15
c) 0,21
d) 0,25
e) 0,30
16. Un corp cu masa 5 kg aflat iniţial în repaus este supus acţiunii for ţelor F 1
= 6 N şi F 2 = 8 N ale c ăror direcţii sunt perpendiculare. Între
momentele t 1 = 3 s şi t 2 = 5s, energia corpului creşte cu: a) 160 J
b) 180 J
c) 200 J
d) 212 J
e) 250 J
17. Un resort fixat la un capat are prins la celălalt capăt un corp cu masa m.
Tragând de corp se deformeaza resortul cu xo şi apoi se las ă liber. În
cursul mişcării viteza maximă a corpului este 8 m/s. Înlocuind corpul cu unul având masa m’ = 4m şi deformând resortul cu x’ o = 0,5 xo, viteza maximă a mişcării este: a) 2 m/s
b) 4 m/s
c) 12 m/s 7
d) 15 m/s
e) 8 m/s
18. Un cerc situat în plan vertical are diametrul vertical AB si coarda AC de forma unor tije rigide subtiri pe care pot culisa f ăr ă frecare inele metalice. Inelul lăsat liber în A ajunge în B în 0,4 s. Inelul l ăsat liber în A ajunge în C în timpul: a) 0,2 s
b) 0,4 s
c) 0,6 s
8
d) 0,8 s
e) 1,2 s
TESTUL 2 1. Să se determine
m
4 ⎞ a) m ∈ ⎛ ⎜ 0, ⎟ ; ⎝ 3 ⎠
∈ R astfel încât: 4 b) m ∈ ⎡⎢0, ⎤⎥ ; ⎣ 3⎦ 4 e) m ∈ ⎡⎢ , ∞ ⎞⎟ . ⎣ 3 ⎠
d) m ∈ (− ∞,0] ;
2. Să se rezolve ecuaţia: a)
= ±1
b)
3. Să se determine a) 10
= −1
x
n
+
m2
− m > 0 , ∀ x ∈ R .
4 ⎞ c) m ∈ (− ∞,0) ∪ ⎛ ⎜ , ∞⎟ ; ⎝ 3 ⎠
3 ⎞ log 3 x ⎛ ⎜ ⎟ = 1. ⎝ x ⎠
c)
x
=3
d)
=1
e) x =
1 3
c) 8
d) 4
e) 6
⎛ 3 − 1 ⎞ ⎟⎟ . = ⎜⎜ ⎝ 1 3 ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ b) 212 ⎜⎜ ⎟⎟ ; c) 212 ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎛ 1 0 ⎞ e) 212 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0 1 ⎠ lim (3 x + 1 − 3 x − 1).
5. Să se calculeze: b)
mx
12 , unde A
⎛ 0 1 ⎞ a) 212 ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ 1 0 ⎠ ⎛ 1 0 ⎞ d) 26 ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ 0 1 ⎠
a) 0
+
∈ N * astfel încât C n2 = 10 .
b) 5
4. Să se calculeze
2
x → ∞
2 3
d)
c) 1
1 2
e) ∞
6. Să se afle aria mulţimii plane mărginite de graficul func ţiei f : (0, ∞ ) → R, f ( x ) = x ln , axa Ox şi dreptele x = 1 şi x = e . a)
e2
−1 4
b)
e2
+1 4
c)
e2
−3 4 9
2e 2 + 1 d) 4
e)
e2
+3 4
⎧⎪arc tg 1 , x ≠ 0 7. Să se determine a ∈ R astfel încât funcţia f ( x) = ⎨ să x ⎪⎩a, x = 0 fie continuă pe R . a)
π 2
b) -
π 2
d) nu există a ∈ R cu această proprietate
c) π
e) 0 .
−1 , x ∈ R \ {− 1}. x + 1 x
8. Să se calculeze f ' (0) , unde f ( x) = arc tg a) 2
b) 1
d)
c) -1
π 4
e) -2
9. Să se determine x ∈ [0, π] astfel încât sin x + cos x = 0 . a)
π 4
3π b) 4
π c) 3
d)
10. Să se afle aria triunghiului de laturi a)
135 4
b)
135
c)
134 2
a
= 2,
b
5π e) 6
2π 3 = 3,
d) 6
c
= 4. e)
135 2
11. Mărimea unghiului format de tangentele duse din punctul M la un cerc de rază 1 este de 600. Să se afle distanţa de la M la centrul cercului. a) 3
b)
3
c)
2
d)
3 2
e) 2
12. O piramidă patrulater ă regulată are latura bazei 10 şi în ălţimea 12. Să se afle distanţa de la centrul bazei la o muchie laterală. a) 14
b) 16
c)
60 97 10
d)
60 91
e)
60 93
13. For ţa F deplasează un corp cu acceleraţia 4m/s2 şi pe al doilea corp cu acceleraţia 6m/s2. Legând corpurile, for ţa F le deplasează cu acceleraţia:
a) 5 m/s2
b) 4,8 m/s2
c) 4 m/s2
d) 3 m/s2
e) 2,4 m/s2
14. Suspendând un corp la capătul unui fir vertical, firul se alungeşte cu 1,2 mm. Tr ăgând orizontal de fir, corpul se deplasează uniform pe o suprafaţă orizontală cu frecare iar resortul se alungeste cu 0,2 mm. Tr ăgând orizontal de fir astfel încât corpul s ă se deplaseze uniform accelerat cu acceleraţia a = g /2, /2, unde g este acceleraţia căderii libere, firul se alungeşte cu: a) 0,3 mm
b) 0,5 mm
c) 0,6 mm
d) 0,8 mm
e) 2 mm
15. Într-o mişcare uniform variată un mobil a parcurs 24 m pân ă la oprire. Distanţa parcursă de mobil în prima jum ătate a duratei mişcării este: a) 20 m
b) 18 m
c) 16 m
d) 12 m
e) 8 m
16. Într-o mişcare uniform încetinită un mobil str ă bate prima jumătate din distanţa până la oprire în 2,5 s. Cealalt ă jumătate o str ă bate în: a) 1,5 s
b) 3 s
c) 4,5 s
d) 7,5 s
e) 6s
17. Energia egală cu 1kWh (kilowattor ă) exprimată în J (joule) este a) 1,8 MJ
b)2,4 MJ
c)3,2 MJ
11
d)3,6 MJ
e) 4 MJ
18. Două corpuri identice se deplasează cu vitezele 15 m/s şi respectiv 20 m/s după două direcţii perpendiculare. În urma ciocnirii plastice, viteza ansamblului devine: a) 12,5 m/s
b) 18 m/s
c) 22,5 m/s
12
d) 25 m/s
e) 30 m/s
TESTUL 3 1. Într-o progresie aritmetică primul termen a1 = 5 şi raţia r = 4 . Să se afle S 11 = a1 + a2 + ... + a11 . a) 275
b) 300
3 2
b)
3. Pentru ce valori complexe? a) (0, ∞ )
4. 4
d) 280
e) 375
1 lg 9−lg 2 E = 100 2 .
2. Să se calculeze: a)
c) 250
9 4 m
c)
4 9
d)
2
∈ R ecuaţia
b) ( −∞ , 0)
− 2mx +
2 3 m2
e)
− 1 = 0 are r ădăcini
d) (0, 1)
c) ∅
Să se determine pentru a ∈ R − 4 x 3 + 3 2 + 2 x + a = 0 admite r ădăcina 1 + i .
a) - 2
b) - 4
c) - 3
1 2
d) - 6
e) R care
ecuaţia
e) - 1
x
5. Să se calculeze: a) e
b) e −1
x − 3 ⎞ 2 lim ⎛ ⎜ ⎟ . x → ∞⎝ x ⎠
c) 1
d)
1 e 2
−
e)
6. Fie f : R → R , f ( x) = ln(1 + x 2 ) − mx . Să se determine astfel încât f ' ( ) > 0, ∀ x ∈ R . a) (−1, 1)
b) (0, 1)
c) (−∞ , − 1) d) (1, ∞ )
13
3 e 2
−
m
∈ R ,
e) (−1, 0)
7. Să se calculeze aria mulţimii plane mărginită de graficul funcţiei f : R → R , f ( x) = x 2 − 4 , axa Ox şi dreptele = −1, x = 1 . a)
22 3
b) 22
8. Să se determine
c)
16 3
d)
14 3
e) 11
a
a
∈ R astfel încât ∫ xe − x dx = 1. 0
a) 0
b) 1
c) - 1
e)
d) 2
1 2
9. Să se afle aria triunghiului ABC , unde (1,−1,0) , B (2,1,1) şi C (1,1,2) . 2
a)
b)
3 2
c) 2 3
d) 2 2
e)
3
10. Într-un con circular drept este înscrisă o sfer ă de rază 1. Ştiind că mărimea unghiului de la vârfului secţiunii axiale este de 60 0, să se calculeze aria totală a conului. a) 6π
b) 9π
1 2
b)
d) 7 π
e) 15 π
sin 40o + sin 20o E = . cos 40o + cos 20o
11. Să se calculeze: a)
c) 10 π
3
c)
3 3
d)
3 2
e)
2 2
12. Să se afle lungimea înălţimii din O a tetraedrului OABC , unde O (0,0,0) , (1,−1,0), B ( 2,1,1, ) şi C (1,1,2) . a)
1 2
b)
2
c) 2
d) 14
3
e)
2 3
13. Sub acţiunea simultană a for ţelor egale cu 3 N şi respectiv 4 N un corp cu masa 2 kg se deplasează cu acceleraţia 2,5 m/s2. Unghiul format de direcţiile celor două for ţe este: a) 300
b) 450
c) 600
d) 900
e) 1200
14. Un corp lansat cu viteza 8 m/s spre vârful unui plan înclinat înclinat revine în punctul de lansare cu viteza 2 m/s după o durată egală cu 6 s. Durata coborârii corpului pe plan este: a) 4,8 s
b) 5 s
c) 5,2 s
d) 3 s
e) 2,5 s
15. Pornind din repaus într-o mişcare uniform accelerată un autoturism ajunge la viteza 108km/h în 12s. Distanţa parcursă de autoturism în acest timp este a) 90m
b)135m
16. Un plan este înclinat cu
c)180m α
d) 225m
e) 360m
= 300 faţă de orizontală. Pe plan se poate
deplasa un corp. Coeficientul de frecare la alunecarea corpului pe plan este 0,25. Lăsând corpul liber pe plan, în cursul mi şcării greutatea efectuează lucrul mecanic egal cu 40 J. Lucrul efectuat de for ţa de frecare în această mişcare este: a) -15 2 J
b) -12 3 J
c) – 10 3 J
d) - 5 3 J
e) 20 J
17. Un corp cu masa 2,5 kg aruncat vertical in sus cu viteza iniţială de 40 m/s are în punctul de lansare energia potenţială egală cu 50 J. Există două momente în cursul mişcării la care energia potential ă are valoarea 1925 J. Durata care desparte aceste momente ( g = 10 m/s2 ) este: 15
a) 0,5 s
b) 1,2 s
c) 1,8 s
d) 2 s
e) 4 s
18. Corpurile cu masele 0,1 kg şi respectiv 0,3 kg se deplasează pe o direcţie comună, unul spre celalalt, cu vitezele 20 m/s şi respectiv 4 m/s. După ciocnirea unidimensională, primul corp se deplasează în sensul vitezei iniţiale cu viteza 5 m/s. m/s. În urma ciocnirii, ciocnirii, energia cinetică a sistemului a scăzut cu: a) 10 J
b) 14 J
c) 18 J
16
d) 21 J
e) 25 J
TESTUL 4 1. Se consider ă funcţiile f : R → R , f ( ) = + 2 şi g : R → R, g ( x) = x 2 − 4 . Să se determine numărul punctelor de intersecţie al graficelor celor două funcţii. a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
e) 5
2. Fie ecuaţia 3 x 2 − mx + 4 = 0 cu r ădăcina x1 = 2 . Să se afle x 2 . 2 2 a) m=8 şi x 2 = , b) m=6 şi x 2 = , c) m=8 şi x 2 = 3 3 4 4 d) m=8 şi x 2 = , e) m=2 şi x 2 = 3 3
m şi
1 , 3
3. Aflaţi suma soluţiilor reale ale ecuaţiei 2 2 x − 1 − 3 ⋅ 2 x − 1 + 1 = 0 . a) 3
b) 2
c) 0
4. Se consider ă binomul dezvoltarea binomului ? a) 53
b) 101
5. Să se calculeze : a) 0
b)
(2 + 3 )100 . c) 52
lim
b)
1 e
Câţi termeni raţionali are d) 49
e) 51
d) ∞
e) 1
−1 . −1
c)
2
6. Fie funcţia f : R → R , f ( x) = e a) 0
e) -3
x 2
x →1
1 2
d) 1
c) −
1 e
17
−
x 2
2
. Cât este f ′′′(1) ? d)
2 e
e) −
2 e
7. Funcţia f : [0, ∞ ) → [0, ∞ ) , f ( x) =
+2 x + 1
x
a) este strict concavă, b) are 2 puncte de extreme local, c) are un punct de inflexiune, d) este strict crescătoare, e) este strict descrescătoare 1
8. I = ∫ x sin xdx este 0
a) sin1-cos1,
b) sin1+cos1,
c) cos1-sin1, r
d) sin1,
e) cos1
r
reperul cartezian (O, i , j ) , se consider ă vectorii r r r r vn = (n 2 − 1)i + (2n ) j , n ∈ N . Să se calculeze lungimea vectorului vn .
9.
În
a) n2
+1
b) n 2 + 1 c) n 2 + 2n − 1 d) n 2 + 2n − 1 e) n 2 + 4n + 1
10. Lungimea înălţimii care cade pe ipotenuza triunghiului dreptunghic ABC cu catetele AB=3 şi AC =4 =4 este a) 3
c)
b) 2
12 5
d) 4
e) 5
11. Produsul cos 0 ⋅ cos 1 ⋅ cos 2 ⋅ ... ⋅ cos 179 ⋅ cos 180 este o
a) −
1 2 30
b) −
o
1 210 ⋅ 310
o
o
c)
1 2 30
o
d) 0
e) 1
12. Cât este aria triunghiului ABC în care AB=1, AC =2 =2 π m( B Aˆ C ) = ? 6 a) 2
b)
3
c) 1
d)
18
3 4
e)
1 2
şi
13. În 2,5 s impulsul unui corp a crescut de la 40 N ·s la 60 N·s. For ţa care a modificat impulsul are valoarea: a) 8 N
b) 12 N
c) 16 N
d) 24 N
e) 40 N
14. Un corp cu greutatea 30 N este deplasat pe o suprafa ţă orizontală de for ţa constantă F =50 =50 N astfel încât for ţa de frecare la alunecarea corpului pe suprafaţă este nulă. Lucrul efectuat de for ţă ţă pentru deplasarea corpului pe distan ţa 12 m este: a) 480 J
b) 450 J
c) 400 J
d) 250 J
e) 100 J
15. Un corp aruncat pe o suprafaţă orizontală parcurge până la oprire 6,25 m. Dublând viteza ini ţială a mişcării, distanţa până la oprire este: a) 30 m
b) 25 m
c) 20 m
d) 12,5 m
e) 8 m
16. Un corp cu masa egală cu 0,1 kg se deplasează după legea: x(t ) = 3 + 5 t + 2 t 2. Lucrul mecanic efectuat de for ţa rezultantă între momentele t 1 = 3 s si t 2 = 8 s este: a) 27 J
b) 36 J
c) 45 J
d) 54 J
e) 63 J
17. Un corp cu masa 0,4 kg în mişcare liber ă într-un câmp conservativ îşi modifică viteza de la 18 m/s la 12 m/s. Varia ţia energiei potenţiale a corpului în cursul acestui proces este: a) 12 J
b) 18 J
c) 36 J
19
d) 44 J
e) 72 J
18. Corpul cu masa M aflat în repaus este ciocnit de corpul cu masa m. Dacă ciocnirea este plastică M se deplasează cu 2,6m/s. Dacă ciocnirea este elastică, după ciocnire M se deplasează cu viteza : a) 1,3m/s
b)2,6m/s
c)5,2m/s
e) 7,8m/s
20
d)6,4m/s
TESTUL 5 1. Ştiind că ecuaţia 3 − x 2 + m = 0 , m ∈ R , are r ădăcina x1 = 1 − i , să se determine m şi celelate două r ădăcini. a) m = −2, x 2 = 1 + i, x3 = −1 , b) m = 2, x 2 = 1 + i, x3 = −1 , c) m = −2, x 2 = 1 + i, x3 = 1, d) m = 1, x 2 = 1 + i, x 3 = −1, e) m = 2, x 2 = 1 + i, x3 = 1 x ⎞ 2. Soluţiile ecuaţiei (ln x )2 + ln⎛ ⎜ 2 ⎟ = 0 sunt ⎝ e ⎠
a) {2, 1}
b) {e −1 ,
e
3. Se consider ă binomul dezvoltării binomului ?
1 d) ⎧⎨e − 2 , e⎫⎬ e) { e − 2 , e} ⎩ ⎭
}
c)
(
2 + 3) . Cât este termenul din mijloc al
{ e −1 , e} 100
51
52 2 26 3 48 , b) T = C 49 2 49 351 , c) T = C 51 2 3 49 , a) T 53 = C 100 50 52 100 100 50 2 25 350 , e) T = C 50 2 25 350 d) T 51 = C 100 51 100
4. Dacă x1 , x 2 , x3 sunt r ădăcinile ecuaţiei x 3 − 2 + 1 = 0 şi ⎛ x1 x2 x3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ x2 x3 x1 ⎟ , care dintre afirma ţiile următoare este adevărată ? ⎜ ⎟ ⎝ x3 x1 x2 ⎠ a) rang( A A)=1, b) A 3 = I 3 , c) det ≠ 0 , d) 2 = 0 , e) det( A A)=0 5. Calculaţi: a) 1
lim
x → ∞
b) ∞
sin x x
. c) nu există
d) 0
e) π 2
6. Câte asimptote verticale are graficul funcţiei f : R − {− 1,−2} → R , 1 f ( x ) = ? ( x + 1) ⋅ ( x + 2) a) 2
b) 3
c) 1
d) 0 21
e) 4
7. Se consider ă funcţia f : R → R , f ( x ) = sin . Aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi = 2 π este a) 1 2
b) 3
8. Derivata funcţiei este a) 1 2
c) 2
f : R
→ R ,
b) 1 4
d) 4
f ( x )
=
+ arctgx , în punctul x = 0 d) 1 9
c) 0
e) 3 2
e) 2
În sistemul de coordonate xOy se consider ă punctele A(1,1) şi O(0,0). Ecuaţia dreptei OA este 9.
a) y = x + 1
b) x + y = 0
d) x + y = 1 e) y = x 2
c) y =
Triunghiului dreptunghic ABC cu catetele AB=4, AC =3, =3, i se circumscrie un cerc. Raza acestui cerc este
10.
a) 5 2 11.
b) 3
c) 2
Cât este modulul numărului complex
a) 1 12.
b) 2
c)
2
d) 4 z =
1− i ?
d)
Mulţimea soluţiilor ecuaţiei sin x ⋅ cos x =
⎡ π π ⎤ este ⎢⎣− 2 , 2 ⎥⎦
13.
π π a) ⎧⎨− , ⎫⎬ , ⎩ 6 6⎭
π π b) ⎧⎨− , ⎫⎬ , ⎩ 8 8⎭
π π d) ⎧⎨− , ⎫⎬ , ⎩ 4 4⎭
π π e) ⎧⎨− , ⎫⎬ ⎩ 3 3⎭
e) 5
e) 1
3
2
1 situate în intervalul 4
c) − 152π , − 1π2 , 1π2 , 152π ,
{
}
Coeficientul de frecare la alunecarea unui corp cu greutatea 20 N pe
un plan înclinat cu 30 0 faţă de orizontală este µ = 22
1 2 3
. For ţa paralelă cu
planul care împiedică alunecarea corpului pe plan are valori cuprinse în intervalul: a) 10 N ; 12 N
b) 8 N; 12 N
c) 4 N ; 20 N
d) 6 N; 16
N e) 5 N; 15 N
14. Legea de mişcare a unui mobil este: x (t) = 15 + 12 t – 0,75 t 2 . Mărimile sunt exprimate in S.I.. Distan ţa parcursă de mobil până la oprire este: a) 96 m
b) 48 m
c) 112 m
d) 200 m
e) 256 m
15. Un mobil are o mi şcare uniform încetinită. Prima jumătate a distanţei până la oprire o parcurge în 6,2 s. A doua jumătate a distanţei o parcurge în: a) 12,4 s
b) 15 s
c) 17,4 s
d) 18,6 s
e) 24,8
s ţă egală cu 4 N acţionând pe distanţa egală cu 9 m creşte viteza 16. O for ţă
unui corp cu masa 0,3 kg de la zero la 10 m/s. Lucrul for ţei de frecare efectuat în timpul mi şcării corpului este: a) –15 J
b) – 21 J
c) – 20 J
d) –19 J
e)
–
25 J
17. Lăsat liber, un corp în cădere are la înălţimea 14,7m faţă de sol viteza 9,8m/s. Viteza mişcării la sol ( g =9,8m/s2) este :
23
a) 49m/s
b) 12,9m/s
c) 16m/s
d) 15,4m/s
e)
19,6m/s
18. O bilă în mişcare ciocneste elastic dar nu centric o bilă identică aflata în repaus. Unghiul dintre direcţiile mişcărilor bilelor după ciocnire este: a) 1500
b) 1200
c) 900
24
d) 600
e) 300
TESTUL 6 8 + A1 este egal cu : 1. Să se calculeze C 10 6
a) 726
b) 51
c) 240
d) 126
e) 96
2. Cât este suma celor două soluţii complexe ale ecuaţiei a) 0
b) 2
c) -2
d) 2i
3. Într-o progresie aritmetică S 2006
=
x 4
a4
=7
şi
=1? e) -2i
a11
= 21. Calculaţi
2006
∑ a k .
k = 1
a) 4012
b) 2005 ⋅ 2006 c) 20052
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 4. Fie A = ⎜ 2 3 α ⎟ . Atunci ⎜ 2⎟ ⎝ 4 9 α ⎠
Rang (
e) 20062
d) 4010
) < 3 pentru
a) α ∈ {0,1} b) α ∈ {− 1,1} c) α ∈ {− 2,4} d) α ∈ {2,3} e) α ∈ {− 3,−2}
5. Să se determine valorile parametrilor a şi b astfel încât funcţia 3 f : ( 0, ∞ ) → R , f ( x) = ln x x ∈ ( 0, e ] să fie derivabilă pe (0, ∞ ) .
{
ax + b
a) a = 0 , b = 1 , d)
6.
a ∈ R
, b = 1,
Aflaţi
x>e
b) a =
1
, b = −2 ,
e e) a ∈ R , b = −1
asimptota la f ( x) = x 2 + x − x către ∞ .
graficul
a)
c) y =
y
= x
b) y = 1
25
1 2
func ţiei
c) a =
3 e
, b = −2 ,
1] ∪ [0, ∞) → R , f : (−∞, −1]
d) y = x +
1 2
e) x =
1 2
7. Pentru a)
1 5
8.
Fie
f
: R → R ,
(
f ( x) = ln x + x2 + 9
c)
b) 0
f
π : ⎡⎢0, ⎤⎥ → R , ⎣ 2⎦
) , calculaţi f ′(4) .
1 9
s in x . f ( x) = si
d)
1 4
e) ln 9
Volumul corpului de rota ţie determinat
de această funcţie este π2
a)
π
b)
12
c)
4
π2
d)
8
π2
e)
6
π2
4
În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider ă A(2,-3) , B(-1,4). Atunci : 9.
→
→
a) AB = i + j , r
b) AB = −3i − 7 j ,
r
r
→
→
c) AB = −3i + 7 j , r
r
→
d) AB = i − 7 j , r
r
e) AB = i + 7 j
r
r
r
În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider ă dreptele d n : (n + 1) x + (n − 1) y − 2n = 0 , (∀)n ∈ N . Să se afle coordonatele punctului A de intersecţie a dreptelor d 0 şi d 1 .
10.
a) (2,2)
b) (1,0)
c) (0,0)
d) (1,1)
e) (-1,1)
Aria patrulaterului cu vârfurile în A(3,3), B(7,5), C (8,4), (8,4), D(2,1) este : 11.
a) 7 12.
Dacă z =
b)
(
15 2 2006
3 + i)
a) Re z = 2 2005 , d) Re = 2
c) 8
1003
d) 6
, atunci partea reală, Re z , a numărului z este
b) Re z = 2 2006 , ,
e) 9
⎛ 3 ⎞ e) Re z = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ 26
2005
c) Re z = 3
2005
,
13. Pe un plan înclinat cu 30 0 faţă de orizontală, un corp lăsat liber alunecă uniform ( g =10 m/s2). Dacă planul este înclinat cu 60 0 faţă de orizontală, g =10 acceleraţia mişcării corpului lăsat liber pe plan este:
a) g /2 /2
b) g 2 2
c) g 3
d) g 3
3
e) g /4 /4
14. Plecând din repaus într-o mişcare uniform accelerată un mobil parcurge în primele 3,24 s distanţa egală cu 8 m. În următoarele 3,24 s mobilul parcurge distanţa: a) 16 m
b) 18,34 m
c) 21,40 m
d) 24 m
e) 28,60 m
15. Un mobil pleacă din repaus într-o mişcare uniform accelerată şi apoi într-o mişcare uniform încetinită până la oprire. Duratele celor două mişcări sunt 40 s şi respectiv 60 s iar distan ţa totală parcursă de mobil este 80 m. Distanţa parcursă în mişcarea uniform încetinită este: a) 24 m
b) 48 m
c) 60 m
d) 64 m
e) 70 m
16. În Sistemul Internaţional de Unităţi, unitatea de măsur ă a puterii este: a) kg·m2·s-2
b) kg·m-2·s
c) kg·m·s –3
d) kg·m2·s –3
e) kg·m3·s –3
17. Într-o mişcare circular ă uniformă având perioada 1,2 s impulsul unui corp este 3 N·s. În intervalul de 0,2 s variaţia impulsului corpului este: a) 0,6 N·s
b) 1,2 N·s
c) 2,4 N·s
27
d) 3 N·s
e) 4,8 N·s
18. Valoarea medie intre doua puncte a for ţ ei ă cu ei invers proportional ă ă cu media geometrica a valorilor for ţ ei pă tratul tratul distan ţ ei ei este egal ă ei în cele
două puncte.
Pamântul are raza medie R = 6370 km şi la suprafaţa sa g 0 = 9,8 m/s2. Un corp cu masa m = 100 kg este deplasat uniform de la suprafaţa Pământului până la înălţimea h = 230 km. Lucrul mecanic pentru aceasta deplasare este: a) 217,55 MJ
b) 183,4 MJ
c) 150 MJ
e) 84 MJ
28
d) 121,12 MJ
TESTUL 7 1. Fie ecuaţia x 3 + x 2 + mx + 8 = 0 , m ∈ R . Pentru ce valori ale lui m , produsul a două r ădăcini ale ecuaţiei este egal cu 2? a) − 22
c) − 24
b) − 20
d) − 10
e) 10
2. Să se afle mulţimea valorilor lui x care satisfac ecuaţia 3 C x3 = C x1 . a) {3}
b) {0, 3}
c) {6}
d) {9}
e) {3, 9}
⎛ 2 − 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ? 3. Care este suma elementelor matricei X , dacă X ⋅ ⎜⎜ − 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ a) 2
b) 1
c) 3
d) 0
e) 4
4. Să se afle mulţimea tuturor valorilor x ∈ R , pentru care are loc inecuaţia 5 log 4 x + log x 4 < . 2 a) (1, 2)
1 b) ( , 2) 2
c) (0, 1) ∪ (2, 16) d) (1, + ∞ )
x 2
+ 1 − ln
c) ln 2
d)
5. Fie f : (0, ∞ ) → R , f ( x) =
x 2
x
f ′(1) .
a)
2 2
b)
2
6. Fie f : R → R , f ( x) = x + 1, 2 3 − ax , funcţia f este continuă pe R ?
{
a) 1
b) -1
dacă dacă
c) 0
x ≤1 x >1
. Să se calculeze
2 − ln( 2 + 1) e)
5
. Pentru care valoare a lui a ,
d) 2 29
+1 +1
e) (0, + ∞)
e) -2
7. Fie f : R → R , f ( x ) = ( x + 1)e − x −1 . Calculaţi S = f d ′ (1) − f s′ (1) . a) 4e
b) 4
c) -4
d) 0
e) -2
8. Fie f : (0, + ∞ ) → R , f ( x) = 2 x − ln x . Să se calculeze aria mulţimii mărginite de graficul lui f , axa Ox şi dreptele x = 1 , x = e . 3e − 5 a) 4
3e 2 − 5 b) 2
3e − 5 c) 2
3e 2 − 2 d) 4
3e 2 − 5 e) 4
9. Aria triunghiului isoscel BC ( B = C ) este egală cu 12 . Dacă BC = 6 , care este perimetrul acestui triunghi ? a) 15
b) 17
c) 12
d) 24
e) 16
10. Care este aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu muchiile de 3 , 4, 5 ? a) 60
b) 94
c) 12
d) 282
e) 180
d)
e)
11. Calculaţi cos 75 0 . a)
b)
6+ 2 4
3+ 2 4
12.
Se dau punctele BC este:
a) 12
b) 24
c)
3− 2 4
6− 2 4
3+ 2 5
(1, 2) , B (9, − 2) , C (7, − 4) . Aria triunghiului
c) 6
d) 36
30
e) 10
13. Corpurile identice A si B sunt prinse cu un fir de mas ă neglijabila. Se trage vertical în sus de corpul A cu o for ţă ţă egală cu 20 N astfel încât sistemul se deplasează uniform accelerat. Tensiunea în fir în cursul mişcării este: a) 10 N
b) 15 N
c) 29 N
d) 25 N
e) 30 N
14. La mijlocul distanţei parcurse de un mobil într-o mişcare uniform încetinită până la oprire, viteza mişcării acestuia este 8 m/s. Viteza ini ţială a mişcării mobilului este: a) 16 m/s
b) 8 3 m/s
c) 8 2 m/s
d) 8 5 m/s
e)
32
m/s
15. Dependenţa de timp a vitezei mi şcării unui mobil este: v(t ) = 3+ 0,25 t. Durata în care mobilul parcurge 40 m de la plecare este:
a) 16 s
b) 8 s
c) 6 s
d) 4 s
e) 2 s
16. Impulsul unui sistem in miscare creste cu 20%. Cresterea procentuala a energiei cinetice intre aceleasi momente este: a) 10%
b) 20%
c) 34%
d) 44%
e) 56%
17. Firul inextensibil AB este fixat în A şi are prins în B un corp cu greutatea G. Dacă tensiunea din fir este mai mare decat 2 G firul se rupe. Unghiul maxim cu care poate fi deviat firul faţă de orizontală astfel încât acesta să nu se rupă în cursul mişcării este: a) 900
b) 750
c) 600 31
d) 450
e) 300
18. Din punctul A un corp poate ajunge la sol fie în c ădere liber ă, fie deplasându-se f ăr ă frecare pe un plan înclinat cu 300 faţă de orizontală. La căderea liber ă, câmpul gravitaţional dezvoltă puterea medie 650 W. Puterea medie dezvoltată de câmp la deplasarea pe planul înclinat este: a) 240 W
b) 325 W
c) 325 2 W
32
d) 400 W
e) 450 3 W
TESTUL 8 1. Ecuaţia 3 + mx − 2 = 0 , m < 0 , are r ădăcinile x1 , x2 , x3 . Ştiind că x14 + x 24 + x34 = 18 , să se calculeze x1 + x 2 + x3 . a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 5
c) 24
d) 50
e) 40
8 + C 1 . 2. Să se calculeze C 10 5
a) 18
b) 15
⎛ 2 − 1 ⎞ ⎟⎟ . Să se calculeze det( A 2 − A) . 3. Fie A = ⎜⎜ ⎝ − 3 3 ⎠ a) 3
b) -93
c) -3
d) 93
e) 100
4. Pentru ce valori ale parametrului real a , sistemul + y + az = 0 , ax + y + z = 0 , x + ay + z = 0 , are soluţie unică ? a) {−2, 1}
b) {-1}
5. Fie f : (0, + ∞ ) → R , încât f ′(1) = 1. a)
a
=0
b)
a
= −1
c) {1}
f (
d) {−2}
e) R − {−2, 1 }
) = 2 + ax ln x . Să se determine a astfel
c) a = e
d) a = e −1
e)
a
=1
R → R , f ( x) = x 2 + 1 + mx . S ă se determine m astfel incât f ( x) lim = 3.
6. Fie
f :
x → +∞
a) 3
b) -1
c) 1
d) 2
33
e) -2
7.
Să se găsească parametrul real m astfel încât graficul funcţiei − x f : Dm → R , f ( x ) = , să admită un punct de inflexiune în 3 m − x x = −1 .
1 8
a)
1 4
b)
c)
1
a) ln 2 +
d) 1
e) -1
c)
1 ⎛ 16 1 ⎞ + arctg ⎟ ; ⎜ ln 10 ⎝ 5 2 ⎠
dx
∫ ( x 2 + 4)( x + 1) . 0
Calculaţi:
8.
1 2
1 1 arctg ; 2 2
b) ln 2 +
π
6
;
1 ⎛ 16 π ⎞ + ⎟. ⎜ ln 5 ⎝ 5 6 ⎠
d) ln 2 + arctg 2 ; e)
Care este lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 6 şi 8 ?
9.
a) 6
10.
b) 1,5
d) 4
e) 5
Care este volumul unui cub, a cărui diagonală este 10 3 ?
a) 10000
11.
c) 8
b) 1000
c) 125 3
d) 125
e) 500
Calculaţi sin 15 0 .
a)
b)
6− 2 4
c)
6+ 2 4
Se dau punctele BC este:
12.
a) 6 2 d) 17 2
3+ 2 4
d)
3− 2 4
e) 3+ 2 5
(1, 1) , B ( 2, − 6) , C (0, 2) . Perimetrul triunghiului
b) 5 2 + 2 17 e) 6 2 + 2 7
c) 6 2 + 2 17
34
13. Corpurile cu masele m1si m2 = nm1 prinse cu un fir f ăr ă masă se deplasează f ăr ă frecare pe un plan orizontal sub acţiunea for ţei F. Când for ţa acţionează asupra corpului cu masa m1, tensiunea în fir este de 60N iar când acţioneaza asupra celuilalt corp, tensiunea din fir este 15 N. Numărul n este în acest caz : a) 1,5
b) 2
c) 2,5
d) 4
14. Legile de mişcare a două mobile sunt: x1(t ) = 5t + 1,5t 2
e) 6. şi
respectiv x2(t ) = 50t + b. Valoarea minimă a lui b pentru care mobilele se întîlnesc este: a) -337,5 m
b)-200 m
c)-100 m
d)-400 m
e)-300 m
15. Un corp este lansat de la baza unui plan înclinat spre vârful s ău. Durata urcării pe plan este 3s şi durata coborârii 2s. Raportul dintre acceleraţia de urcare şi acceleraţia de coborâre este: a) 3
b) 2,25
c) 2
d) 1,25
e) 0,75
16. O bilă cu masa 0,8 g lăsată liber ă la înălţimea 9 m faţă de o suprafaţă orizontală dur ă ciocneşte inelastic această suprafaţă şi urcă la înălţimea 4 m. Durata ciocnirii este 0,2 ms. For ţa medie cu care bila a ac ţionat asupra 2 suprafeţei la ciocnire este ( g g = 9,8 m/s ):
a) 6,42 N
b) 71,2 N
c) 88,5 N
35
d) 9,5 N
e) 12 N
17. Un punct material se mi şcă rectiliniu după legea: x(t )=3 )=3t 2+4t +10. +10. Intervalul de timp între momentele când viteza atinge valorile 10 m/s şi respectiv 70 m/s este: a) 6 s
b) 10 s
c) 60 s
d) 25 s
e) 2 s
18. Două corpuri în mişcare pe o direcţie comună se ciocnesc plastic. Înainte de ciocnire sistemul are energia cinetică 32 J şi impulsul 4 N·s. În urma ciocnirii energia cinetică a sistemului scade cu 8 J. Viteza sistemului după ciocnire este: a) 16 m/s
b) 8 m/s
c) 6 m/s
36
d) 5 m/s
e) 3 m/s
TESTUL 9 1. 3
Pentru ce valori ale parametrului real m , − 6 x 2 + mx − 6 = 0 are r ădăcinile în progresie aritmetică ?
a) 10
b) 13
c) 11
d) 15
ecuaţia
e) 3
2. Să se afle mulţimea valorilor lui x , pentru care C x2 = 153 . a) {17 , 18}
b) {19}
c) {17, 19}
d) {20}
e) {18}
⎛ 2 − 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ X = ⎜⎜ ⎟⎟ ? 3. Care este suma elementelor matricei X , dacă ⎜⎜ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ a) 1
b) 2
c) 0
d) 3
e) 4
4. Să se afle mulţimea tuturor valorilor x ∈ R , pentru care are loc inecuaţia log 1 (3 x 2 − 5 x − 3) < log 1 (4 x − 3) . 2
⎛ 5 + 61 ⎞ ⎜ , + ∞ ⎟⎟ ; a) ⎜ ⎝ 6 ⎠ d) (3, + ∞) ;
5. Fie
f
2
3 ⎞ c) ⎛ ⎜ , + ∞⎟ ; ⎝ 4 ⎠
b) ( − ∞, 0) ; e) (1, + ∞ ) .
: ( −∞ , − 2) ∪ [5, + ∞ ) → R , f ( x) =
f ′(6) .
a)
7 2 128
b)
7 2 64
c)
7 2 32
37
d)
−5 . Să se calculeze x + 2 x
7 2 16
e)
7 2 8
6. Fie f : (0, + ∞ ) → R , f ( x) = a) −
4
b)
e2
7.
4
c)
e2
Care
2 ln x − 1 2
4 e4
. Calculaţi f ′′(e) . d) −
4 e6
e) −
4 e4
sunt
asimptotele la graficul x 2 + 1 3 funcţiei f : R - 2 → R , f ( x) = ? 2 x − 3 2 1 3 1 1 a) x = , y = ; b) y = , x = , x = − ; 3 2 2 2 2 3 1 3 1 1 c) x = , y = , y = − ; d) x = , y = ; 2 3 2 2 2 3 1 e) x = , y = , y = −1 . 2 2
{}
8. Fie f : (−1, + ∞ ) → R , f ( x ) = − ln( + 1) . Să se calculeze aria mulţimii mărginite de graficul lui f , axele de coordonate şi dreapta = 1. a) 3 − 2 ln 2 2
1 ln − b) 2
c) 5 2 − 2 ln 2 2
d)
3 − ln 2 2
e) 3 − ln 4
9. Care este lungimea razei cercului înscris într-un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 3 şi 4 ? a) 2,5
b) 3
c) 1,5
d) 2
e) 1
10. Care este raportul dintre aria laterală şi aria totală a unui con circular drept, ştiind că raza bazei este egală cu 3 , iar înălţimea este egală cu 4 ? a) 0,625
b) 0,125
11. Calculaţi cos a) 1
c) 0,375
d) 0,5
e) 0,333
2π π + cos . 3 3
b) 0
c)
3 38
d)
2
e)
3 −1 2
12. Care este distanţa de la punctul 8 x − 6 y + 5 = 0 ? 1 1 1 a) b) c) 3 5 10
13.
P (6, 8)
d)
la dreapta de ecuaţie
1 2
e)
1 4
La capetele unui resort cu k = 400 N/m sunt prinse corpurile cu masele
0,4 kg şi respective 0,6 kg. For ţa F = 12 N acţionează vertical în sus asupra corpului cu masa 0,4 kg. În cursul mi şcării sistemului deformaţia resortului este: a) 18 mm 14.
b) 12 mm
c) 6 mm
d) 4 mm
e) 2 mm
Pe un disc orizontal, la distanţa egală cu 0,1 m de centrul acestuia se
află un corp. Punând discul în mişcare de rotaţie în jurul axului ce trece prin centrul său, corpul începe să alunece pe disc începând cu frecvenţa egală cu 1 Hz ( g = 10 m/s2 ). Coeficientul de frecare la alunecarea corpului pe disc este aproximativ: a) 0,8 15.
b) 0,6
c) 0,4
d) 0,3
e) 0,2
Un cal putere (CP) reprezinta puterea dezvoltată pentru a ridica
uniform un corp cu masa 75kg la înălţimea 1m în 1s într-un loc unde g = 9,81m/s
a) 736 W
2
. În W (watt) un cal putere este aproximativ: b)802 W
c)608 W
39
d) 750 W
e) 900 W
16. Doua astre sferice au densităţi egale. La suprafaţa astrului cu raza R1 acceleraţia căderii libere a corpurilor este 8m/s2. La suprafaţa astrului cu raza R2 = 2R1 acceleraţia căderii libere este: a) 32 m/s2
b) 24 m/s2
c) 16 m/s2
d) 12 m/s2
e) 4
m/s2
17. La deformarea unui resort for ţa F = 20N efectueaz ă lucrul mecanic L = 5 J. Constanta elastic ă a resortului este: a) 100 N/m
b) 80 N/m
c) 60 N/m
d) 40 N/m
e) 20 N/m
18. Un corp este aruncat vertical în sus de la sol cu viteza ini ţială 8 m/s. Simultan, de pe aceeaşi verticală se lasă liber un corp identic. În urma ciocnirii plastice corpurile se opresc. Înălţimea de la care a fost l ăsat liber al doilea corp ( g = 10m/s 2) este : a) 6,4m
b) 5,2m
c)3,2m
40
d) 2,8m
e) 2m
T E S T U L 10 1 1 1. Să se rezolve ecuaţia: 1 x 1 = 0 . 1 1 x x
a) x1 = x2 = 1, x3 = −2; b) x1 = x2 = x3 = 1; c) x1 = x2 = −1, x3 = 2 ; d) x1 = x2 = 1, x3 = 2 ; e) x1 = x2 = −1, x3 = −2 .
2. Să se rezolve ecuaţia: ln2 x – ln x = 0; x > 0 a) 1, 2
b) 1, e
c) 2, e
3. Să se rezolve inecuaţia: a) (0, 1)
b) 0);
a) 1
x
e) 1, 2e
> 0.
(-1, c) ( −∞ ,−1) ∪ (0, ∞ ) d) (−∞ ,0) ∪ (1, ∞ ) e) (0, 1].
2
4. Să se calculeze:
1 + x
d) 1, e2
C 4
+ A42 3!
b) 2
c) 5
d) 3
e) 20
sin 2 x 5. Să se calculeze: lim 2 . x → 0 x + x 2 cos a) limita nu există
b) 0
c) 2
d) 1
e) 1/2
⎧2e x , x ≥ 0 6. Funcţia f : R → R , f ( x) = ⎨ este continuă pentru: , 0 + < ax b x ⎩ a) b = 2, a ∈ R d) a = 2, b = 1
b) a = b = 1 e) b = 0, a ∈ R 41
c) a, b ∈ R
5 2 x 7. Dacă f ( x x) = x + e să se calculeze
x). f ′ ( x
4 2 4 2 4 2 a) f ′ ( x x) = 5 x - e x ; b) f ′ ( x) = 5 x + 2e x ; c) f ′ ( x) = 5 x - 2e x ; d) f ′ ( x) = 5 x 3 + e2 x ; e) f ′ ( x) = 5 x 4 + e2 x.
8. Să se calculeze:
2
∫ ln xdx .
1
a) 2ln 2 + 1
b) ln 2
c) -1 + 2ln 2
d) 2ln 2 + 2
e) 2ln 2
9. Să se calculeze: sin 30 + tg 45 + cos 60 . o
a) 3
b) 0
o
o
c) 1
d) 2
e) -1
10. Un triunghi dreptunghic având catetele AB = 4 şi AC = 3 se roteşte în jurul ipotenuzei BC. Să se calculeze volumul corpului obţinut. a)
36π 5
b) 10 π
c) 9π
d) 48 π
e)
48π 5
11. Să se calculeze aria triunghiului triunghiului dreptunghic dreptunghic având ipotenuza BC = 13 şi cateta AB = 5. a) 30
b) 25
c) 32
d) 48
e) 36
12. Fie punctele A (2, -1) şi B ( 4, 3); să se determine coordonatele mijlocului M al segmentului [AB]. a) M (2, 1) b) M (3, 1)
c) M (2, 2)
42
d) M (3, 2)
e) M (3, 2)
13. Corpurile cu greutăţile G1 şi respective G2 = G1 sunt prinse la capetele unui fir trecut peste un scripete fix. Pe fir este intercalat un resort cu constanta k = 320 N/m. În cursul mişcării deformaţia resortului este 2 cm.Greutatea G1 are valoarea: a) 4 N
b) 6 N
c) 8 N
14. Lăsat liber pe un plan înclinat cu
d) 12 N α (sin α = 0,2 )
e) 18 N
faţă de orizontală, un un
corp coboar ă uniform de-a lungul planului. Lansat cu 8m/s spre vârful 2 planului, corpul se opreste la distanta ( g g = 10m/s ) :
a) 4m
b) 6m
c) 8m
d) 12m
e) 24m
15. Pe o pista circular ă se deplasează doi ciclişti în mişcări uniforme. Când se deplasează în acelaşi sens se întâlnesc la intervale de timp egale cu 4 min., iar când se deplasează în sens opus se întâlnesc la intervale egale cu 2 min. Raportul supraunitar al frecvenţelor mişcărilor lor de rotaţie este: a) 3
b)4
c) 1,5
d) 2,5
e) 8
16. Într-o mişcare uniform încetinită viteza medie a mişcării mobilului până la oprire este 3m/s iar distanţa parcursă este 4m. Mărimea acceleraţiei mişcării este a) 4,5m/s2 b) 0,75m/s2 c) 2m/s2
d) 3m/s2
43
e) 3,25m/s2
17. Apa unei fântâni arteziene urcă la înălţimea 5 m. Aria secţiunii conductei la ieşirea apei este 10 cm2, densitatea apei 1000 kg / m3 şi g = 10 m/s2. Puterea minimă dezvoltată de pompa care antrenează apa este: a) 850 W
b) 700 W
c) 680 W
d) 600 W
e) 500 W
18. Un proiectil în repaus explodeaza în trei fragmente. Impulsurile a două fragmente sunt egale cu 30 N·s fiecare şi direcţiile acestora formează între ele un unghi de 600. Impulsul celui de-al treilea fragment este: a) 30 3 N·s
b) 30 2 N·s
c) 30 N·s
44
d) 20 N·s
e) 15 N·s
T E S T U L 11 111 1. Să se calculeze determinantul: 1 2 3 . 149
a) 2
b) 1
c) 3
d) 10
2. Să se rezolve ecuaţia: log x + 2 x + log x ( x + 2) = a) -1
b) 2
e) -2
5 . 2
c) 3
d) 4
e) 8
c) 27
d) 28
e) 36
3. Să se calculeze: 3! + C 75 . a) 30
b) 25
4. Să se calculeze suma pătratelor r ădăcinilor ecuaţiei: x2 – x x – 2 = 0. a) 10
b) 7
c) 3
d) 5 x 2
5. Fie f : R \{0} → R, f ( x x) =
− ax + b x
e) 2
, unde a, b ∈ R ; să se
determine valorile lui a şi b astfel încât dreapta de ecuaţie y = - 2 să fie tangentă graficului funcţiei în punctul de abscis ă x = 1. a) a = b = 1; d) a =1, b = 3 ;
b) a = 4, b = 2 ; e) a = 4, b = 1.
c) a = b = 2 ;
sin 5 x x + 2 ⎞ 6. Să se calculeze: lim ⎛ + 2 ⎜ ⎟. x → 0⎝ 3 x x + 6 ⎠
a) 2
b) 1
c) 3
d) -1 45
e) -2
π/2
∫ sin x cos xdx .
7. Să se calculeze:
0
a) 1
b) 1/2
c) 3
d) -1
e) 2
3 2 8. Fie f : (0, ∞ ) → R , f ( x x) = x + ( ln x ) ; să se calculeze f ′ (1) .
a) e+2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
9. Să se determine x∈ (1, ∞) astfel încât triunghiul de laturi x, x +3 şi x + 4 să fie dreptunghic. a) 2
b) 1 + 2
c) 4
d) 1 + 2 2
e) 2 + 2
10. Să se calculeze raza unui cerc de arie 16π . a) π
b) 2
c) 3
d) 5
e) 4
11. Fie punctele A (1, 2), B (- 1, 3) şi C (0, 1); să se calculeze produsul scalar al vectorilor B şi C . a) 1
b) 3
c) -3
d) -1
e) 2
12. Să se calculeze lungimea diagonalei unui cub de latur ă 3. a) 27
b) 3 3
c) 3 2
d)
3
e)
2
13. La suprafaţa Pământului, asimilat unei sfere cu raza 6370 km, acceleraţia căderii libere a corpurilor este 9,8 m/s2. Viteza unui sistem capabil să descrie o mişcare circular ă la suprafaţa Pământului( prima viteza cosmică ) este: 46
a) 12km/s
b) 11,2 km/s
c) 9,3 km/s
d) 7,9 km/s
e) 6 km/s
14. Un corp iniţial în repaus este supus ac ţiunii for ţei orizontale egală cu 15 N o durată egală cu 4s. După 6s de la încetarea acţiunii acestei for ţe corpul se opreşte. For ţa de frecare la alunecarea corpului pe plan este: a) 8 N
b) 6 N
c) 4 N
d) 3,5 N
e) 2,4 N
15. Un corp cu masa 5,2 kg se poate deplasa cu frecare ( µ = 0,2) pe o suprafaţă orizontală. For ţa F orizontală aduce corpul la viteza 10m/s pe distanţa 20m. Puterea medie dezvoltată de această for ţă ţă în cursul mişcării ( g = 10m/s2) este : a) 82W
b) 96W
c)110W
d)117W
e)150W
16. Doua plane înclinate cu acelasi unghi ∝ ( sin ∝ = 0,6 ) faţă de orizontală au muchia de la baza comună. Un corp lăsat liber la în ălţimea 1,2 m faţă de baza planelor ajunge pe celalalt plan la înălţimea 0,8 m. Coeficientul de frecare la alunecarea corpului – acelaşi pe ambele plane – este: a) 0,6
b) 0,5
c) 0,25
d) 0,2
e) 0,15
17. Un resort vertical cu capătul superior fixat are k = 100 N/m. Când resortul este netensionat se prinde de capătul liber un corp cu masa 0,1 kg şi
2 se lasă liber. În cursul mişcării ( g g = 10 m/s ) deformaţia maximă a
resortului este: a) 10cm
b) 7,5 cm
c) 6 cm 47
d) 4,2 cm
e) 2 cm
18. Coeficientul de frecare la alunecarea unui corp pe un plan orizontal este µ =0,2. =0,2. Corpul lansat pe suprafaţă parcurge în 3 s distanţa egală cu 32 m. Durata mişcării de la lansare la oprire este: a) 10 s
b) 8 s
c) 6 s
48
d) 5 s
e) 4 s
T E S T U L 12 −1⎞
⎛2
2 1. Să se calculeze f ( A A) pentru f ( x x) = x – 5 x + 3 şi A = ⎜ ⎟. − 3 3 ⎝ ⎠
⎛ 0 0 ⎞
a) ⎜ ⎟; 0 0 ⎝ ⎠
⎛ 2 1⎞
b) ⎜ ⎟; 3 1 ⎝ ⎠
⎛ 1
0⎞
c) ⎜ ⎟; 3 1 − ⎝ ⎠
⎛ 2 0 ⎞
d) ⎜ ⎟; 0 3 ⎝ ⎠
⎛ 0 −1 ⎞
e) ⎜ ⎟. 1 1 ⎝ ⎠
2. Într-o progresie geometrică primul termen este egal cu 2, iar raţia este - 2. Să se calculeze suma primilor primilor 3 termeni ai acestei progresii. a) 4
b) 6
c) -4
d) 8
e) -2
3. Să se rezolve ecuaţia: 4 x – 3 ⋅ 2 x + 2 = 0. a) x1 = x2 = 1; b) x 1 = 2, x 2 = 0; d) x1 = 3, x 2 = 0; e) x 1 = x 2 = -1.
c) x 1 = 0; x 2 = 1;
4. Să se rezolve ecuaţia: x 2 – 4 x + 5 = 0. a) 1, 2 ;
b) - 2 ± i;
c) 1 ± i;
d) 2 ± i ;
e) 1, 3.
+ xe nx 5. Fie f : R → R, f ( x , unde a∈ R ; să se determine x) = lim n → ∞ 1 + e nx valorile lui a astfel încât funcţia f să fie continuă. a
a) 2
b) - 1
c) nu există d) 1
e) 0
6. Dacă f ( x x) = sin x + cos x, care dintre următoarele relaţii este îndeplinită: a) d)
+ f = 0 ; f ′′ + f = 1 ;
f ′′
b) e)
f ′′ - f
= 0; c) f ′′ - f ′ = 0.
f ′′
+ f ′ = 0 ;
7. Asimptota orizontală a funcţiei f : R → R, f ( x x) = 49
x 2 − 3 x + 2 x 2 + 1
este:
a) y = 0;
b) y = 1;
c) nu există;
d) y = 2 ;
e) y = -1.
8. Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea în jurul axei Ox a x
graficului funcţiei f ( x x) = e 2 , x ∈ [ 0, 1]. a) π (e – 1) ;
b) π (e + 1);
c)
π 3
d) π (e2 – 1);
e)
π(e − 1) . 2
9. Să se calculeze panta dreptei care trece prin punctele A ( 2, 1) şi B (0, 3). 1 2
a)
b) 1
c) 3
d) -1
e) 2
10. Să se calculeze volumul cubului de latur ă 3. a) 3 3
π b) 27π
c) 3 2
d) 30
e) 27
11. În triunghiul isoscel ABC ( AB = AC ) se dau: BC = 4 2 şi mediana BD = 5 ( unde D ∈ AC ). Să se calculeze lungimea laturii AC . a) 6
b) 2 2
c) 3 2
d) 3
e) 4
12. Să se determine modulul şi argumentul redus pentru numărul complex z = 1 + i. a)
z = 2 2 , arg z =
c) z = 2 , arg z = e) z = 2 , arg z =
13.
π
π 4
;
3 3π 4
;
b) z = 2 , arg z = d) z = 2, arg z =
π 4
π 4
;
;
.
Un mobil parcurge o distanţă astfel: o pătrime cu viteza 2,5 m/s, dou ă
cincimi cu viteza 8 m/s iar restul cu viteza 7 m/s. Viteza medie a mi şcării este: 50
a) 3 m/s
b) 4 m/s
c) 5 m/s
d) 6 m/s
e) 6,5 m/s
14. Viteza cu care a fost lansat vertical în sus un corp care revine în punctul de lansare după 2,4 s ( g =10 m/s2) este: g =10 a) 2 m/s
b) 4 m/s
c) 6 m/s
d) 8 m/s
e) 12 m/s
15. Acceleraţia mişcării circulare uniforme a unui mobil este 1,5 m/s2. Prin dublarea razei cercului şi a frecvenţei mişcării, acceleraţia devine: a) 12 m/s2
b) 8 m/s2
c) 6 m/s2
d) 4 m/s2
e) 3 m/s2
16. Un mobil în mişcare uniformă cu viteza unghiular ă 4 rad/s pe un cerc cu raza 0,25 m parcurge în 10 s distanţa: a) 4 m
b) 10 m
c) 20 m
d) 30 m
e) 40 m
17. Un corp poate fi deplasat uniform în vârful unui plan înclinat cu 45 0 faţă de orizontala fie direct pe vertical ă, fie pe plan. În primul caz lucrul mecanic efectuat pentru urcare este 50 J iar în al doilea caz este 60 J. Coeficientul de frecare la alunecarea corpului pe plan este: a) 0,1
b) 0,15
c) 0,2
d) 0,25
e) 0,3
18. Două corpuri cu masele de 1 kg şi respectiv 3 kg sunt legate printr-un fir subţire trecut peste un scripete ideal. Diferenţa de nivel iniţială între corpuri este 3,75 m ( g g =10 =10 m/s2). Diferenţa de nivel între corpuri va deveni 6,25 m după: a) 1s sau 2s
b) 4 s
c) 2 s sau 3 s 51
d) 5 s
e) 0,5s 0,5s sau 1,5s 1,5s
T E S T U L 13 1. Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice ar itmetice (an ), dacă a1 = 2 şi a3 = 8. a) 155
b) 147
c) 144
d) 139
e) 157
⎛ 1 0 ⎞
2. Dacă A = ⎜ , să se calculeze A3. ⎟ ⎝1 1 ⎠ ⎛ 0 0 ⎞
a) ⎜ ⎟; ⎝ 3 1⎠
⎛ 1 0 ⎞
b) ⎜ ⎟; ⎝3 1⎠
⎛ 1
0⎞
c) ⎜ ⎟; ⎝ −3 1 ⎠
⎛ 2 0 ⎞
d) ⎜ ⎟; ⎝ 3 3⎠
⎛ 0 −1 ⎞
e) ⎜ ⎟. ⎝1 1 ⎠
⎧2 x + y = 4 3. Să se rezolve sistemul: ⎨ . ⎩ x − y = −1 a) x =2, y = 1 ; d) x = y = -1 ;
b) x =1, y = 3; e) x = y = 1.
c) x =1, y = 2;
4. Să se rezolve inecuaţia: x2 – 4 x + 5 ≤ 2. a) (−∞ ,1) ∪ (3, ∞ ) ; d) [ 1, 3] ;
c) (−∞ ,0) ∪ (1, ∞ ) ;
b) (2, 3) ; e) ( 1, 3].
2 x 3 + 3 x 2 + 1 5. Asimptota oblică a funcţiei f : R → R, f ( x x) = este: 2 +1 a) y = 2 x +1; b) y = x + 3; c) nu există; d) y = 2 x - 3 ; e) y = 2 x + 3.
⎧ x 2 + ax + 2, x ≤ 0 6. Fie f : R → R, f ( x , unde a, b ∈ R . x) = ⎨ b ln( x 1 ), x 0 + + > ⎩ Să se determine valorile lui a şi b astfel încât funcţia f să fie continuă şi derivabilă pe R. a) a = 1, b = 2; d) a =1, b = 3 ;
b) a = 4, b = 2 ; e) a = b = 1. 52
c) a = b = 2 ;
7 7. Dacă f ( x x) = x + tg x , să se calculeze f ′ (0).
a) -1
b) 1
8. Să se calculeze:
c) 2
d) 6
e) 8
1
∫ (e 2 x + x)dx . 0
a)
e
−1
b)
e2
2
−1
c)
e2
2
d)
e2
2
+1
e) e 2
9. Fie un con circular drept în care generatoarea este egală cu 5, iar raza bazei cu 3; să se calculeze raportul dintre volumul conului şi volumul sferei înscrisă în con. a) 3
10. Expresia a)
3 sin 2 x
b)
7 3
c) 4
d)
8 3
e)
10 3
d)
1 sin 2 x
e)
2 sin 2 x
sin x cos x + este egală cu: cos x sin x b)
2 sin x
c) 1
11. Să se calculeze aria triunghiului dreptunghic isoscel având ipotenuza egală cu 2 2 . a) 2
b) 4
c) 6
12. Să se calculeze v , dacă a) 3
b)
10
d)
2
e) 3
11
e)
v = 3i + j − k .
c) 2 3
53
d)
13
13. Un corp este lansat în sus de-a lungul unui plan înclinat cu unghiul 0
α =30 =30 şi
având coeficientul de frecare
= 2 1 3 cu viteza v0=30 m/s. El se
întoarce la baza planului cu viteza: a) 10 2 m/s b) 30 m/s
c) 10 3 m/s
d) 15 m/s
e) 5 3 m/s
14. Un corp se deplasează rectiliniu sub acţiunea for ţei variabile cu poziţia: F ( x ţă la x)=8 x+20. Lucrul mecanic efectuat de această for ţă deplasarea corpului între x1=2 m şi x2=10 m este: a) 272 J
b) 136 J
c) 544 J
d) 44 J
e) 124 J
15. În urma ciocnirii perfect elastice a dou ă corpuri ce au viteze diferite, impulsul primului corp se dublează iar impulsul celuilalt scade la jumătate. Raportul supraunitar al vitezelor iniţiale este: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 8
16. O rachetă se deplasează în câmpul gravitaţional al Pământului de la o înălţime (măsurată de la sol) egală cu raza Pământului până la o înălţime dublă. În cursul acestei mişcări, acceleraţia gravitaţională sub acţiunea căreia se deplasează racheta scade de: a) 2 ori
b) 3 ori
c) 4 ori
d) 2,25 ori
e) 9 ori
17. În două secunde consecutive, un corp aflat în mişcare uniform accelerată str ă bate distanţele 10 m şi respectiv 15 m. În următoarele 3 secunde, el str ă bate distanţa:
54
a) 45 m
b) 60 m
c) 75 m
d) 90 m
e) 120 m
18. Trei pomi sunt plantaţi pe un rând la interval de 2 m. În ălţimile lor sunt 2 m, 4 m şi respectiv 1,5 m iar vitezele lor de creştere sunt 20 cm/an, 8 cm/an şi respectiv 14 cm/an. Vărfurile lor vor fi coliniare după: a) 5 ani
b) 12 ani
c) 20 ani
55
d) 25 ani
e) 40 ani
T E S T U L 14 1. Mulţimea { x ∈ N | x 2 + x − 2 = 0} este egală cu: a) {1,2}
b) {1}
c) Ø
2. Mulţimea numerelor reale x pentru care a) R
b) [1, + ∞ )
d) {-2,1} x 2 x 2
c) [0, ∞ )
e) {-2}
− x + 1 ≤ 1 este: + x + 1
d) [-1, + ∞ ) e) Ø
3. Minimul funcţiei de gradul al II-lea, f : R → R , f ( x x) = 2 x 2 − x + 1 este: a) 1
b) 7 8
c) 1 4
d) 0
e) 2
4. Fie polinomul f = X n + 1 − ( n + 1) X + n , n ∈N*. Care din următoarele polinoame divide f ? a) X 3
−1
b) X + 1 c) ( X − 1)( X + 1)
5. Să se calculeze lim
x → 2
a) 132
b) 116
d) ( X − 1) 3
e) ( X − 1) 2
−2 . 4 − 16
x
c) 1 4
d) ∞
e) 1 64
⎧ x 2 , x ∈ [0,1] 6. Fie f : [0,2] → R , f ( x) = ⎨ . Care este valoarea ] ( 2 x 1 , x 1 , 2 − ∈ ⎩ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ expresiei E = f’ ⎛ ⎜ ⎟ + f’(1)+ f’ ⎜ 2 ⎟ ? ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ a) 5
b) 3
c) 4
d) 6
1
7. Să se calculeze ∫ x ln ( x 2 + 1)dx. 0
56
e) 5 2
a) ln2
c) ln2-
b) 2ln2-1
1 2
d) 1
8. Să se calculeze aria mulţimii cuprinsă între curbele y = y
=
a)
x 2
2
e) 4ln2
1 1+
2
şi
.
π +
1 2
b)
π 1 + 2 3
c)
π 1 − 2 3
d)
π 2
e)
3 2
9. Fie triunghiul isoscel ABC în care AB= AC =20 =20 şi BC =24. =24. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este: a) 25 2
b) 10
10. Pentru ce valoare a lui află pe dreapta x-2 y-4=0 ? b) − 1 2
a) 0
c) 12
m
d) 5 6
e) 22
∈ R punctul de coordonate (2m+5,2m-1) se
d) 3 2
c) 1
e) − 3 2
11. Piramida OABC are baza ABC un triunghi echilateral cu latura egală cu a, iar feţele OAB, OBC , OCA sunt triunghiuri dreptunghice în O. Volumul piramidei este egal cu: a)
a3
24
2
b)
a3
c)
2
a3
18
3
d)
a3
3
e)
a3
5
3
12. Volumul cilindrului circular drept circumscris unui cub cu muchia a este: a) 13.
a 3π
2
b)
a3
3
2
c)
a3
8
d)
a3
4
e) a 3 π
Un corp cade liber de la în ălţimea 80 m ( g g =10 =10 m/s2). Durata
impactului cu solul este 10 -2 s. Corpul se înfige în sol pe distanţa:
57
a) 0,1 m
b) 0,2 m
c) 2 m
14. Pe un plan înclinat cu α =30 =300 şi µ =
d) 4 cm 1 3
e) 8 cm
se află un corp. Planul înclinat
se deplasează în direcţie orizontală astfel încât corpul urca uniform pe plan. Acceleraţia planului înclinat este: a) g 3
b) 2 g 3
c) 3 g 3
d) g
e) g 2
15. Un corp cu masa 1 kg este lansat pe verticală cu viteza 10 m/s de la înălţimea 50 m ( g =10 =10 m/s2). La sol corpul ciocneşte talerul unui resort (masa talerului este neglijabilă iar constanta resortului este 1100 N/m). Alungirea maximă a resortului are valoarea: a) 1 m
b) 20 cm
c) 10 cm
d) 2 cm
e) 40 cm
16. Dacă se comprimă un resort cu for ţele 10 N, respectiv 25 N, lungimea sa va fi 120 cm şi respectiv 90 cm. Alungind resortul cu for ţa12,5 N, lungimea sa va fi: a) 165 cm
b) 150 cm
c) 135 cm
d) 105 cm
e) 225 cm
17. Un corp lansat pe orizontală str ă bate până la punctul de contact cu solul distanţa 20 m în direcţia lansării. Dacă ar fi lansat cu vitez ă dublă şi de la înălţime dublă, distanţa măsurată pe orizontală până la punctul de contact cu solul ar fi: a) 80 m
b) 20 m
c) 40 m
d) 40 2 m
e) 40 3 m
18. La ţintă, între momentul sosirii glonţului (v=800 m/s) şi cel al sosirii sunetului (c=340 m/s) se scurg 2,3 s. Glonţul a fost tras de la distan ţa: 58
a) 1250 m
b) 1296 m
c) 1360 m
d) 1880 m
e) 1480 m
T E S T U L 15 1. Restul împăr ţirii polinomului X 4+X 2+1 la X 2-X+1 este: a) X -1 -1
b) X +1 +1
c) 1
e) X 2+X+1
d) 0
2. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei exponenţiale 9 x - 3 x - 6 = 0 este: a) {0,1}
b) Ø
c) {3}
d) {1}
e) {1,3}
3. Soluţia inecuaţiei log x ( x − 1) > 0 este: a) x ∈ (2, ∞ ) b) x = 1
c) x ∈ (0,1)
d) x ∈ (1, ∞ )
e) x ∈ (0,2 ) \{1}
4. Ştiind că polinomul f = 2 X 3-9 X 2+6 X -1 -1 are o r ădăcină egală cu 2+ 3 să se afle celelalte r ădăcini: a) 2- 3 , -2+ 3 ;
b) -2- 3 , -2+ 3 ;
d) 2- 3 , 1 ;
1 e) - ,2- 3 . 2
2
5.
c) -2- 3 , 1 ; 2
⎧2 x + 1, pentru x ≤ 1 , unde a∈ R. Funcţia f Fie f : R → R , f ( x) = ⎨ 2 ⎩4 − ax , pentru x > 1
este continuă pe R dacă a este egal cu: a) 1
6.
b) 0
c) -1
1 4
e) -
1 2
Să se calculeze aria figurii mărginită de dreptele y = x, y = -x, y = 1.
a) 1
b) 2
c)
1 2
1 7.
d) -
Să se calculeze
1 ⎞ ⎛ 1 + ⎜ ∫ x e x ⎟dx. ⎠ 0 ⎝ 59
d) 4
e)
1 4
a) 38.
Fie
1 e
b) 1+
1
d)
c) 1
e 2
f : R → R , f(x) = ax +b, 1
1
e) 3+
e
1 e
unde a, b ∈ R. Să se determine a şi b ştiind
4 că f’( 1 )=2 şi ∫ f ( x )dx = . 3 0
a) a=1 , b=1 b) a=1 , b=2
Pentru ce valoare sunt perpendiculari? 9.
a) 1 10.
m ∈R vectorii a
b) -2
r
4 e) a=3 , b=1 3
= mi + j + k şi b = i + m j − 2k
c) -1
r
r
r
d) 2
r
r
r
r
e) 0
Dreapta care trece prin punctele A(1,2) şi B(3,4) are ecuaţia:
a) x+y+1=0 b) x-y-1=0 11.
d)a=3 , b=
c) a=0 , b=1
c) x-y+1=0
d) 2 x-y+1=0 e) x-2y-2=0
Diagonala unui cub este egală cu 9. Cât este volumul cubului?
a) 243
b) 243 3
c) 81
d) 81 3
e) 729
Înălţimea unui con circular drept este 15, iar suma dintre generatoare şi rază este 25. Valoarea ariei laterale a conului este:
12.
a) 375 13.
b) 150 π
c) 136 π
d) 225 π
e) 375 π
Un corp este lansat pe verticală de la sol cu viteza v0=40 m/s
( g g =10 =10 m/s2). După un timp τ , de la h=320 m este lăsat liber un alt corp. Cele două corpuri ajung simultan la sol. Timpul τ are valoarea: a) 0 s 14.
b) 1 s
c) 2 s
d) 4 s
e) 8 s
La ciocnirea plastică frontală a două corpuri ce se deplasează cu viteze
egale, jumătate din energia cinetic ă totală s-a transformat în căldur ă. Raportul supraunitar al maselor corpurilor este: 60
a) 2
b) 2,82
c) 5,82
d) 4
e) 3,46
15. Acceleraţia gravitaţională la suprafaţa Pământului este g =10 =10 m/s2. La suprafaţa altei planete cu densitate dublă şi rază triplă faţă de ale Pământului, acceleraţia gravitaţională are valoarea: a) 60 m/s2
b) 120 m/s2
c) 30 m/s2
d) 15 m/s2
e) 180 m/s2
16. Pe un plan orizontal f ăr ă frecare este aşezat un corp cu masa 2 kg. Pe acesta este aşezat alt corp cu masa 1 kg, coeficientul de frecare între ţă orizontală astfel încât corpuri fiind 0,1. Corpul inferior este tras cu o for ţă
corpurile să lunece unul faţă de celălalt ( g =10 m/s2). Valoarea minimă a g =10 for ţei este: a) 5 N
b) 6 N
c) 3 N
d) 1 N
e) 12 N
17. Un glonţ cu masa 20 g şi viteza 600 m/s str ă punge o sfer ă de lemn, ieşind cu viteza 400 m/s. Sfera de lemn are masa 1 kg şi este suspendată de un fir vertical cu lungimea 3,2 m. În urma impactului, sfera deviaz ă de la verticală cu un unghi al cărui cosinus are valoarea ( g g =10 =10 m/s2): a) 0,75
b) 0,4
c) 0,5
d) 0,8
e) 0,2
18. La capătul unei bărci cu lungimea 7 m şi masa 150 kg se află un elev cu masa 60 kg. Elevul se deplasează în celălalt capăt al bărcii. În acest timp, barca s-a deplasat cu: a) 9 m
b) 1 m
c) 4 m
61
d) 2 m
e) 5 m
T E S T U L 16 1. Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? a) 720
b) 5040
c) 24
d) 4320
e) 4200
2. Să se determine două polinoame de gradul al treilea al căror produs să fie X 6+X 5+X 4+X 3-X 2+X-1. a) X 3+X-1 , X 3-X+1; b) X 3+1 , X 3-3 X 2+1; c) X 3+X-1 , X 3+X 2+1; d) X 4+X 2-1 , X 3+X+1; e) X 3+X-2 , X 3-X 2+X+1.
3. Dacă x1 , x2 , x3 sunt r ădăcinile polinomului f= X 3+aX 2+bX+c atunci suma x12 + x 22 + x32 este egală cu: a) a2-2b;
b) a2;
c) b2-c;
4. Suma S=1+a2+a4+…+a2n , unde a) e)
a 2n
; b)
a −1 a 2n +1 a2
−1
a 2n a2
−1
; c)
a
d) a2+b2+c2;
e) a2+b2.
≠ ±1 , este egală cu:
a 2n + 2 a2
−1 ; d) −1
a 2n + 2 a2
− a2 ; −1
.
⎧ ln x , pentru x ≠ 1 ⎪ 5. Fie f : (0, ∞ ) → R , f ( x) = ⎨ x − 1 , unde a∈ R. Pentru ⎪⎩a, pentru x = 1 ce valoare a lui a funcţia f este continuă pe (0, ∞ ) ? a)
1 e
b) 1
c) -1
62
e d)
e) 0
6. Câte asimptote verticale are graficul funcţiei f : R * → R , 1 f ( x) = x 5 + ? a) una;
b) două;
c) nici una;
d) trei;
e) patru.
7. Fie f : (- 1, ∞ ) → R , f ( x) = x − ln( x + 1). Să se determine intervalul I care are proprietatea că funcţia f este strict crescătoare pe I. a) (-1,0)
8. Să se calculeze
2
x 2
∫
1
a) 1
c) [0, ∞ )
b) (− 1, ∞ )
b)
1 ⎞ d) ⎛ ⎜ − , ∞ ⎟ e) (− 1,2]. ⎝ 2 ⎠
+1
x
3 2
dx.
c) -
3 2
d)
3 -ln2 2
e)
3 +ln2 2
π π 9. Care este ordinea crescătoare a numerelor a = sin , b = tg , 4 4 π c = cos ? 6 a) a
m ∈(-3,-1);
m ∈[-1,1];
b) e)
m ∈ (− ∞,−1) ∪ (1, ∞ ) ;
lui
m ∈R
ecuaţia
c) m=3;
m ∈(1,3].
11. Fie A(-2,1) şi B(3,1). Să se afle coordonatele punctului M pentru care A + B = 0 . 1 ⎞ a) ⎛ ⎜ ,1⎟ ⎝ 2 ⎠
1 ⎞ b) ⎛ ⎜ ,2 ⎟ ⎝ 2 ⎠
c) (0,0)
63
d) (1,1)
1 ⎞ e) ⎛ ⎜1, ⎟ ⎝ 2 ⎠
12. Fie un trapez isoscel cu unghiurile ascuţite egale cu
π , circumscris 3
unui cerc de rază R. Aria acestui trapez este:
8 3 2 R d) 2 2 R2 e) 3 3 R2 3 13. În ultimele două secunde ale căderii libere, un corp str ă bate o distanţă a) 4 R2
2 b) R 3R
c)
de trei ori mai mare decât în secunda precedentă ( g =10 m/s2). Corpul a g =10 căzut de la înălţimea: a) 256,25 m b) 160 m
c) 151,25 m d) 320 m
e) 225 m
14. Bătaia unui corp lansat sub unghi de 30 0 de la sol este 1400 m. Lansând corpul sub unghiul 600, bătaia devine: a) 1400 m
b)1400 2 m c) 1400 3 m d)1400 6 m e)700 m
15. Un corp cu masa 1 kg, a şezat pe un plan orizontal cu frecare, este tras cu o for ţă =8N ce face unghiul α cu orizontala. Acceleraţia corpului este ţă F =8N maximă pentru α =45 =450. Coeficientul de frecare între corp şi plan este:
a) 2
b) 2 2
d)
c) 1
1 2 3
e) 2
16. Într-un vagonet cu masa 200 kg ce se mişcă cu 10 m/s se lasă să cadă vertical de la în ălţimea 4 m ( g g =10 =10 m/s2) un sac cu masa 50 kg. În urma ciocnirii se degajă căldura: a) 450 J
b) 1250 J
c) 4 kJ
64
d) 3,75 kJ
e) 2 kJ
17. Pentru a ridica un corp cu masa 10 kg vertical în sus cu acceleraţia 2 m/s2, se foloseşte un scripete dublu. Corpul ce trebuie atârnat la cel ălalt capăt al dispozitivului are masa: a) 10 kg
b) 0,8 kg
c) 2 kg
d) 3 kg
e) 1,5 kg
18. Pe un lac, o barcă poate str ă bate o distanţă dus-întors cu viteza medie 20 km/h. Pe un râu ce curge cu viteza 5 km/h, barca poate str ă bate aceeaşi distanţă dus-întors cu viteza medie: a) 20 km/h km/h
b)21,2 b)21,255 m/h c) 22,5 22,5 km/h km/h d)18.7 d)18.755 m/h e)20,75 e)20,75 m/h
65
T E S T U L 17 1. Fie ecuaţia x 2 + ( m + 1) x + m 2 = 0 , m ∈ R şi x1 , x2 r ădăcinile sale. Pentru ce valori ale lui m avem: x12 + x22 < 1 ? a)
m <1
b)
2. Să se calculeze a) 100
c) m ∈ (−∞,0) ∪ (2, ∞) d)
m>2
m ∈ (1,2)
e)
m ∉ (1,2)
= 1 + 4 + 7 + ... + 3n + 1
b) (3n + 2)( n + 1) c) 3n + 2 2
d) (3n + 2)n / 2
e) n
3. Care este modulul numerelor complexe a + bi = 1 + i ? a) 2
b) 1
c) 3
2
d)
Să se afle mulţimea tuturor valorilor x ∈ inecuaţia e x − 1 < 1 ? 4.
a) x < 2
5.
2 2
Fie f :
b)
a) 1
Fie f :
R ,
2
2
pentru care are loc
c) (0, 1) ∪ ( 2, ∞ ) d) (1, + ∞ )
f ( x ) =
4
e) (0, + ∞ )
x 2 + 1 . Să se calculeze f ′(1) .
c) 1
d)
e) 2
2 −1
f ( x) = x + a . Pentru ce valoari ale lui a , funcţia f
R → R ,
este continuă pe
7.
<1
Fie f : (0, ∞ ) →
a)
6.
b)
R ,
e)
R ?
b) -1
R → R ,
d) ( −∞, ∞)
c) 0
e) (0, ∞ )
f ( x) = x + 1 . Calculaţi S = f d ′ (1) − f s′(1) .
66
a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) -2 8. Fie f : (0, + ∞) → R , f ( x) = x 2 ln x . Să se calculeze aria mulţimii mărginite de graficul lui f , axa Ox şi dreptele = 1 , x = e .
3e − 5 a) 4
3e 2 − 5 b) 2
2e 3 + 1 c) 9
3e 2 − 2 d) 4
3e 2 − 5 e) 4
9. Aria triunghiului dreptunghic BC ( BC BC este ipotenuza) este egală cu 12 , iar suma catetelor este 11. Se cere valoarea ipotenuzei. a) 15 10.
a)
11.
3
b) 9
Calculaţi cos 4
+ sin 4
b) 2
Se dau punctele
a) echilateral, d) obtuzunghic,
13.
c) 6
69
d)
e)
73
Care este aria totală a unui tetraedru regulat de muchie 1 ?
a) 1,5
12.
b) 8
c) 1
daca sin 2 x = c) 9/10
5
d)
1 5
e) 10
.
d) 2/9
e) 1 sau 2
(1, 0) , B (1,1) , C (0, 1) . Triunghiul ABC este
b) dreptunghic in A, e) oarecare
c) dreptunghic in B
Un corp este lansat vertical în sus de la sol cu viteza 60 m/s ( g =10 =10
m/s2). După un timp τ , un alt corp este lansat vertical în sus de la sol cu viteza 20 m/s. Pentru ca cele două corpuri să se întâlnească în aer, timpul τ trebuie să ia valori între:
a) 4 s şi 12 s
b) 6 s şi 8 s
c) 8 s şi 12 s
67
d) 2 s şi 6 s
e) 10s şi 16s
14. Un planor are viteza 180 km/h. Înălţimea maximă la care se poate ridica ( g =10 m/s2) este: g =10 a) 125 m
b) 250 m
c) 500 m
d) 144 m
e) 225 m
15. Pentru ca un corp aşezat pe un plan înclinat sub unghiul 300 să nu lunece pe plan, trebuie presat pe plan cu o for ţă ţă minimă egală cu greutatea sa. Coeficientul de frecare are valoarea: a) 0,21
b) 0,23
c) 0,27
d) 0,42
e) 0,22
16. Două corpuri cu masele 1 kg şi respectiv 2 kg sunt legate printr-un fir subţire trecut peste un scripete ideal. De corpul mai u şor se trage vertical 2 cu o for ţă ţă astel încât el coboar ă uniform accelerat cu acceleraţia 1 m/s
( g g =10 =10 m/s2). For ţa cu care trebuie susţinut scripetele este: a) 20 N
b) 25 N
c) 30 N
d) 44 N
e) 27 N
17. Motorul unui autovehicul cu masa 1 t are puterea 150 kW. Panta rampei de înclinare maximă pe care o poate urca autovehiculul cu viteza constantă 108 km/h este ( g g =10 =10 m/s2):
a) 1
b) 3 3
c) 3 2
d) 1
2
e) 0,6
18. O minge de tenis cu masa 100 g este aruncată de rachetă cu viteza 216 km/h. Pe durata ciocnirii racheta se deplasează 20 cm. For ţa medie de impact între rachetă şi minge este: a) 800 N
b) 900 N
c) 1 kN
68
d) 1,2 kN
e) 1,8 kN
T E S T U L 18 1. Dacă r ădăcinile ecuaţiei 3 3 x1 + x 2 . a) 1
2
b) 2
+ x + 1 = 0 sunt x1 şi x2 , să se calculeze c) 3
d) 0
e) 5
2. Fie a, b, c, d , o progresie geometrică de raţie q > 0. Dacă d /b = 9 şi b – a = 10, să se afle c. a) 11
b) 21
c) 30
d) 0
e) 45
3. Care număr este mai mare ? a) 4.
3
5
2
5
c)
d)
3
6
e) 2
Să se rezolve inecuaţia ln(ln( x − 1)) > 1 .
a) x > 1
5.
b)
lim
Să se calculeze :
a) 5
c) x > e e
b) x > e
b)
x →1
1 2
x 5 − 1 −1
c) 4
d) ∞
Fie funcţia f : R → R , f ( x ) = e valoare a funcţiei pe intervalul [0 , 1] ? b) 1
e) x > 5
.
6.
a) 0
> ee + 1
d)
−
x 2 2
. Care este cea mai mare
d)
c) 2
69
e) 0
2 e
e) ∞
f : [0, ∞ ) →
7. Funcţia
[0, ∞ ) ,
f ( x)
=
x +
2 . Câte asimptote are +1
această funcţie ? a) 1
b) 2 1
c) 3
d) 0
e) 4
c) I > 3
d) I < 0
e) I > 5
2
8. Dacă I = ∫ xe x dx atunci 0
a) I < 1
b) I > 2
r
r
reperul cartezian (O, i , j ) , se consider ă vectorii r r r r vn = (n 2 − 1) i + (2n ) j , n ∈ . Fie Ln lungimea vectorului vn . Să se
9.
În
calculeze lim
n→∞
a) ∞
Ln n2
b) 0
c) 1
d) -1
e) 2
10. Un triunghi dreptunghic isoscel ABC ( ˆ = 900 ) are lungimea înălţimii din A egală cu 3. Dacă S este aria triunghiului, atunci care afirmaţie este adevărată? a) S < 1
b) S = 9
c) S >15
11. E = sin 6 x + cos 6
este
a) 1
c) sin 2 2 + 1
b) -1
d) S > 20
d)1 −
e) 14,4
3 2 sin 2 x e) 2 sin 4 x 4
12. Aria triunghiului ABC este 100. Mijloacele laturilor acestui triunghi formează un nou triunghi, A1 B1C 1 . Mijloacele laturilor triunghiului A1 B1C 1 formeaza un alt triunghi, A2 B2 C 2 , şi aşa mai departe. Să se afle cel mai mare n astfel încât aria triunghiului An Bn C n să fie mai mare decât 0,1. a) 2
b) 5
c) 4
d) 10
70
e) ∞
13. O moleculă se deplasează în direcţie orizontală cu viteza 500 m/s între doi pereţi verticali ce se deplasează pe aceeaşi direcţie, unul spre celălalt, cu vitezele de 1 m/s fiecare. După cinci ciocniri, viteza moleculei a devenit: a) 510 m/s
b) 495 m/s
c) 500 m/s
d) -500 m/s
e) 505 m/s
14. Puterea maximă dezvoltată de motorul unui vehicul este 75 kW. For ţa 2 de rezistenţă la înaintare este propor ţională cu pătratul vitezei ( F rez rez=kv cu
=0,6 kg/m). Viteza maximă ce poate fi atinsă de vehicul este: k =0,6 a) 180 km/h b) 244 km/h c)216 km/h
d) 150 km/h e) 320 km/h
15. Coeficientul de frecare între pic ăturile de apă şi acoperişul unei case este
1 . Pentru ca apa să se scurgă cât mai repede de pe acoperiş, panta 3
acestuia trebuie să fie:
a) 3
b) 2
d)
c) 1
1 3
e) 1
2
16. De la înălţimea 20 m se lansează pe orizontală un corp care str ă bate distanţa 100 m în direcţie orizontală până la punctul de cădere ( g g =10 =10 m/s2). Viteza lansării a fost: a) 25 m/s
b) 40 m/s
c) 50 m/s
71
d) 80 m/s
e) 100 m/s
17. În cursul mişcării unui corp cu masa 2 kg, for ţele conservative efectuează lucrul 110 J, cele neconservative efectuează lucrul de -50 J iar impulsul corpului se dublează. Viteza corpului a devenit: a) 12 m/s
b) 14,1 m/s
c) 3,46 m/s
d) 24,6 m/s
e) 20 m/s
18. În timpul t , un punct material str ă bate distanţa d cu viteza v1, apoi se deplasează un timp t cu viteza v2, apoi se deplasează cu viteza v3 pe distanţa 2d . Viteza medie în cursul acestei mişcări este: a) 5 m/s
b) 7/3 m/s
c) 11/3 m/s
72
d) 17/4 m/s
e) 6 m/s
T E S T U L 19 1 1 ≤ 2 . x − 1 x − 3 + 2 a) x ∈ (− ∞,1) ∪ (2, ∞ ], b) x ∈ (1,2 ) ∪ (3, ∞ ] , c) 1. Să se rezolve inecuaţia
d) x ∈ (3, ∞ ],
x ∈ (1,2 ) ,
e) x ∈ (− ∞,1) ∪ (2,3]
2. Să se afle m astfel încât între r ădăcinile ecuaţiei
x 2
− mx + 8 = 0 să
existe relaţia x1 = 2 x 2 . . a) m=-2, b) m=6 sau m=-6, c) m=2, d) m=8, e) m=12 sau m=-12
3. Se consider ă binomul (a + b ) . Dacă suma coeficienţilor binomiali de n
rang par este 64, cât este n ? a) 7
b) 6
c) 8
d) 10
e) 9
⎛ 1 m x ⎞ ⎜ ⎟ 4. Aflaţi m astfel încât determinantul matricei A = ⎜ 0 x 1 ⎟ să fie ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 1 ⎠ diferit de zero pentru (∀ ) x ∈ R .
5.
3 a) m = , 4
3 ⎞ b) m ∈ ⎛ ⎜ , ∞, ⎟ , ⎝ 4 ⎠
d)
e) m ∈ φ .
m ∈ R ,
Fie funcţia
f : R
→ R
3 ⎞ c) m ∈ ⎛ ⎜ − ∞, ⎟ , 4 ⎠ ⎝
⎧ α sin( x + 1) x < −1 ⎪ x 2 − x − 2 ⎪ x = −1 . Să se , f ( x) = ⎨ −1 ⎪β( x 2 + x + 1) x > −1 ⎪⎩
calculeze α 2 + β 2 pentru cazul în care funcţia f este continuă pe R . a) 1
b) 2
c) 3
d) 9
73
e) 10
6. Fie funcţia
f : R
→ R , f ( x) = 2 x + cos x . Atunci :
a) f este strict crescătoare, b) f este strict descrescătoare, c) f are puncte de extrem local, d) f are puncte de inflexiune, e) f nu este surjectivă 1
n→∞
a) 1 2
1
∫ x − n + 1 dx .
7. Să se calculeze lim
0
b) 1
c) 0
d) ln2
e) -ln2
8. Aria suprafeţei cuprinse între curbele de ecuaţii y = x 2 şi y 2 = 8 x este a)
2 2 −1 , 3
8 , 3
b)
c)
7 , 3
d) 4,
e)
40 3
9. În reperul cartezian xOy, se consider ă punctele : A(1,1), B(4,2), (2,4), D(-2,3). Să se calculeze aria patrulaterului ABCD. C (2,4), a) 4
10.
d) 3 2
c) 11 2
b) 19
e) 19 2
Numărul complex z = 1 − i 3 , are forma trigonometrică
z = ρ(cos α + i sin α ) . Atunci:
a) ρ = 2 , α =
π
3
d) ρ = 2 , α = − 11.
, π
3
b) ρ = 4 , α =
π
6
, e) ρ = 4 , α = −
,
c) ρ = 2 , α =
π
6
,
π
3
Ecuaţia cercului cu diametrul AB, unde : A(1,1), B(7,9) , în reperul
cartezian xOy, este a) x 2 + y 2 − 10 y + 16 = 0 ,
b) x 2 + y 2 − 10 x − 8 y + 16 = 0 ,
c) x 2 + y 2 − 8 x − 10 y = 0 ,
d) x 2 + y 2 − 10 x − 8 y = 0 , 74
e) x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 16 = 0
12. Soluţiile ecuaţiei sin 2 x + 3 sin x + 2 = 0 sunt
(4n + 1)π ⎫ ⎧ (4k − 1)π k ∈ Z ⎫ , a) x ∈ ⎧⎨ n ∈ Z ⎬ , b) x ∈ ⎨ ⎬ 2 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (4k − 1)π ⎫ c) x ∈ ⎧⎨ k ∈ Z ⎬ , d) x ∈ {(2n − 1)π n ∈ Z } , ⎩ 4 ⎭ (4k − 1)π ⎫ e) x ∈ ⎧⎨ k ∈ Z ⎬ ⎩ 4 ⎭ 13. O bombă cu masa 150 kg este proiectată astfel încât căzând de la înălţimea 8 km să poată penetra planşee de beton cu grosimea 1 m înainte de detonare. Pentru aceasta, for ţa de rezistenţă din partea betonului nu trebuie să depăşească valoarea: a) 180 kN
b) 720 kN
c) 2,4 MN
d) 12 MN
e) 28 MN
14. De la sol trebuie lansat un proiectil care sa poată trece peste un turn cu înălţimea 12 m aflat la distan ţa 16 m în direcţie orizontală. Pentru aceasta, viteza minimă a proiectilului trebuie s ă fie: a) 8 5 m/s
b) 20 m/s
c) 10 3 m/s
d) 25 m/s
e) 20 2 m/s
15. Un corp se deplasează rectiliniu după legea x=4t 2-8t -12. -12. Între momentul când corpul este în repaus şi momentul când trece prin origine, el strabate distanţa: a) 8 m
b) 4 m
c) 12 m
d) 10 m
e) 16 m
16. Un corp cu masa 2 kg este lansat sub unghiul α cu viteza 25 m/s de la înălţimea 120 m. Corpul va atinge viteza 28 m/s la în ălţimea: 75
a) 16 m
b) 62.75 m
c) 98 m
d) 112.05 m e) 140 m
17. Două corpuri cu masele 1 kg şi respectiv 3 kg sunt prinse printr-un fir subţire trecut peste un scripete ideal. Scripetele este ridicat cu acceleraţia 1 m/s2 faţă de sol. Acceleraţiile corpurilor faţă de sol sunt: a) 5 m/s2 b)1,5 şi 6 m/s2
c) 4 şi 6 m/s2 d) 2 şi 4 m/s2
e) 6,5 şi 4,5
m/s2
18. Pe un plan înclinat cu unghiul α =600 şi având unghiul de frecare 0
=45 φ =45
, un corp lăsat liber parcurge distanţa 7,3 m în timpul:
a) 4 s
b) 12 s
c) 10 s
76
d) 1 s
e) 2 s
T E S T U L 20 1. Ştiind că ecuaţia x 3 − mx 2 − 2 x + 6 = 0 , m ∈ R , are o r ădăcină x1 = 2 , să se determine m şi celelalte două r ădăcini. a) m = 3, x 2 = − 2 , x3 = 3 , b) m = 7, x 2 = 2 , x3 = −1 , 5 c) m = 7, x 2 = − 2 , x3 = −1 , d) m = , x 2 = − 2 , x3 = −3 , 3 5 e) m = , x 2 = 2 , x3 = −3 3 2. Suma modulelor soluţiilor ecuaţiei 2 2 x + 2 − 9 ⋅ 2 x + 2 = 0 este: a) 9 4 d) 1 4 b) 1 c) 3 e) 9 3. Pentru ce valoare a parametrului real m , r ădăcinile ecuaţiei 3 − 6 2 + 11 x − m = 0 sunt în progresie aritmetică ? a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) -3
⎧ x + my + z = 0 4. Să se determine m ∈ R , astfel încât sistemul ⎪⎨ x + y + mz = 0 ⎪ x + 2 y + z = 0 ⎩ admită soluţie diferită de soluţia nulă. a) m ∈ R − {1,2}, b) m ∈ {1,2}, e) m ∈ (− ∞,1) ∪ (2, ∞ )
5. Să se calculeze lim
x → ∞
a) 0
b) 1 2
3
x 3
c) m ∈ {− 1,−2}
să
d) m ∈ (1,2 ) ,
− x 2 + 1 − 3 x 3 + 2 x 2 − 2 . 2 2 x + x − x − 3 x c) 3 4
d) ∞
e) − 1 2
6. Fie funcţia f : (0, ∞ ) → R , f ( x) = x ln x . Care este valoarea minimă a acestei funcţii ? a) − 1 e
b) − e
c) − 1
77
e
d) 1 e
e) 1
7. Fie funcţia f : (0, ∞ ) → R , f ( x) =
ln x
. Calculaţi aria suprafeţei
determinată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţie x = = e2. 1 a) e − ,
1 e
şi
e
5 b) , 2
c)
e2
−1
2e
,
3 d) , 2 x 2 ( x
e2
e)
2
+ 1) , dreapta 2 +1 este asimptotă spre + ∞ . Cât este suma m + n ? 8. Pentru funcţia
a) 1
f : R
b) 2
→ R , f ( x) =
d) 3 2
c) 0
y
−
1 2e
= mx + n
e) 2 3
9. În reperul cartezian r Oxyz , rse consider ă punctele A(1,-2,1) şi B(1,1,1). Unghiul vectorilor O şi O B are măsura : a) 0
b)
π 3
c)
π 2
d)
π 4
e)
π 6
10. Triunghiului ABC , cu laturile AB=6 , AC =10 =10 şi BC =8 =8 , i se circumscrie un cerc. Cât este aria acestui cerc ? a) 25 π
b) 5π
c) 25
d) 100 π
e) 10 π
11. Se consider ă punctele: A(1,1), B(1,-1), C (0, (0,m) , unde Pentru ce valoare a lui m, triunghiul ABC este isoscel ? a) -1
b) 1
c) 0
d) 2
m ∈ R
.
e) 1 2
π 12. În triunghiul ABC se cunosc AB=5, AC =7 =7 şi m( B Aˆ C ) = . Care 3 este lungimea laturii BC ? a) 7
b)
74
c) 3
d) 2
78
e)
39
13. La un interval de 4 s se lansează de la sol vertical în sus două corpuri identice cu viteza 100 m/s fiecare. În momentul întâlnirii are loc o ciocnire plastică. Viteza corpului rezultat în urma ciocnirii c iocnirii este: a) 0
b) 20 m/s
c) 40 m/s
d) 10 m/s
e) 100 m/s
14. De la înălţimea 75 m se lansează un corp spre sol, cu viteza 20 m/s şi sub un unghi de 600 cu verticala. Durata deplas ării până la sol este: a) 4 s
b) 5 s
c) 2 s
d) 3,75 s
e) 3 s
15. Pe o dreaptă se mişcă două mobile unul spre celălalt cu vitezele 30 km/h şi respectiv 50 km/h. Din momentul întâlnirii mobilelor şi până în momentul când s-au depărtat la distanţa 200 km, primul mobil a parcurs distanţa: a) 75 km
b) 100 km
c) 125 km
d) 60 km
e) 40 km
16. Două corpuri identice sunt legate printr-un fir sub ţire şi sunt aşezate pe ţă orizontală F =40 un plan orizontal. O for ţă =40 N deplasează ansamblul
corpurilor cu acceleraţia a. Tensiunea din fir este: a) 40 N
b) 20 N
c) 10 N
d) 80 N
e) 30 N
17. În timpul în care greutatea a efectuat lucrul 100 J, for ţa elastica a efectuat lucrul 68 J iar for ţa de frecare a efectuat lucrul -18 J asupra unui corp cu masa 3 kg, viteza acestuia a crescut de la 0 la: a) 5 m/s
b) 8 m/s
c) 10 m/s
79
d) 20 m/s
e) 60 m/s
18. Pentru ca anvelopele unei maşini ce se deplasează cu viteza 108 km/h să nu fie solicitate la frecare într-o curb ă cu raza 200 m, unghiul de supraînălţare trebuie să aibă tangenta egală cu: a) 0,3
b) 0,05
c) 0,25
80
d) 0,2
e) 0,45
R Ă R Ă S P U N S U R I
TESTUL 1 1. c)
5. b)
9. a)
13. e)
17. a)
2. a)
6. d)
10. d)
14. c)
18. b)
3. e)
7. d)
11. e)
15. c)
4. d)
8. c)
12. a)
16. a)
TESTUL 2 1. c)
5. a)
9. b)
13. e)
17. d)
2. d)
6. b)
10. a)
14. d)
18. a)
3. b)
7. d)
11. e)
15. b)
4. e)
8. b)
12. c)
16. d)
TESTUL 3 1. a)
5. e)
9. e)
13. d)
17. d)
2. b)
6. c)
10. b)
14. a)
18. d)
3. c)
7. a)
11. c)
15. c)
4. d)
8. c)
12. e)
16. c)
TESTUL 4 1. b)
5. c)
9. b)
13. a)
17. c)
2. a)
6. d)
10. c)
14. a)
18. c)
3. d)
7. e)
11. d)
15. b)
4. e
8. a)
12. e)
16. d)
TESTUL 5 1. b)
5. d)
9. c)
13. b)
17. e)
2. e)
6. a)
10. a)
14. b)
18. c)
3. d)
7. d)
11. c)
15. b)
4. e)
8. e)
12. c)
16. b)
81
TESTUL 6 1. b)
5. c)
9. c)
13. c)
17. d)
2. a)
6. c)
10. d)
14. d)
18. a)
3. e)
7. a)
11. b)
15. b)
4. d)
8. e)
12. a)
16. d)
TESTUL 7 1. d)
5. b)
9. e)
13. a)
17. c)
2. a)
6. a)
10. b)
14. c)
18. b)
3. e)
7. c)
11. d)
15. b)
4. c)
8. e)
12. a)
16. d)
TESTUL 8 1. a)
5. b)
9. e)
13. d)
17. b)
2. d)
6. d)
10. b)
14. a)
18. e)
3. c)
7. a)
11. a)
15. b)
4. e)
8. c)
12. c)
16. c)
TESTUL 9 1. c)
5. b)
9. e)
13. a)
17. d)
2. e)
6. e)
10. a)
14. b)
18. c)
3. a)
7. c)
11. b)
15. a)
4. d)
8. a)
12. d)
16. c)
TESTUL 10 1. a) 5. e)
9. d)
13. a)
17. e)
2. b)
6. a)
10. e)
14. c)
18. a)
3. c)
7. b)
11. a)
15. a)
4. d)
8. c)
12. b)
16. a)
82
TESTUL 11 1. a) 5. e)
9. d)
13. d)
17. e)
2. b)
6. a)
10. e)
14. b)
18. c)
3. c)
7. b)
11. a)
15. d)
4. d)
8. c)
12. b)
16. e)
TESTUL 12 1. a) 5. e)
9. d)
13. c)
17. c)
2. b)
6. a)
10. e)
14. e)
18. a)
3. c)
7. b)
11. a)
15. a)
4. d)
8. a)
12. b)
16. b)
TESTUL 13 1. a) 5. e)
9. d)
13. c)
17. c)
2. b)
6. a)
10. e)
14. c)
18. d)
3. c)
7. b)
11. a)
15. b)
4. d)
8. c)
12. d)
16. d)
TESTUL 14 1. b) 5. a)
9. a)
13. b)
17. d)
2. c)
6. a)
10. d)
14. a)
18. c)
3. b)
7. c)
11. a)
15. a)
4. e)
8. c)
12. a)
16. a)
TESTUL 15 1. d) 5. a)
9. a)
13. a)
17. a)
2. d)
6. a)
10. c)
14. c)
18. d)
3. a)
7. a)
11. d)
15. a)
4. d)
8. a)
12. c)
16. c)
83
TESTUL 16 1. a) 5. b)
9. b)
13. c)
17. a)
2. c)
6. a)
10. d)
14. a)
18. d)
3. a)
7. c)
11. a)
15. c)
4. c)
8. e)
12. c)
16. c)
TESTUL 17 1. c) 5. a)
9. e)
13. c)
17. b)
2. b)
6. d)
10. a)
14. a)
18. b)
3. e)
7. d)
11. c)
15. c)
4. b)
8. c)
12. c)
16. d)
TESTUL 18 1. b) 5. a)
9. c)
13. a)
17. b)
2. e)
6. b)
10. e)
14. a)
18. c)
3. c)
7. b)
11. d)
15. a)
4. d)
8. a)
12. c)
16. c)
TESTUL 19 1. e) 5. e)
9. e)
13. d)
17. e)
2. b)
6. a)
10. d)
14. a)
18. e)
3. a)
7. c)
11. e)
15. e)
4. c)
8. b)
12. b)
16. d)
TESTUL 20 1. a) 5. e)
9. c)
13. a)
17. c)
2. c)
6. a)
10. a)
14. e)
18. e)
3. d)
7. d)
11. c)
15. a)
4. b)
8. b)
12. e)
16. b)
84
