Termotehnika Knjiga (Objedinjeno)

1. OSNOVNI OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE 1.1. Termodinami ermo dinamika. ka. Termodinamiˇ ermo dinamiˇcki cki metodi meto di Termodinamika je nauka koja se, u osnovnom, bavi izuˇcavanjem cavanjem zakonitosti transformisanja energije. Osnovi termodi te rmodinamike namike postavljen p ostavljenii su u XIX veku razvoje ra zvojem m toplotnih topl otnih maˇ m aˇsina. sina. Izuˇcava-ne cava-ne su zakonitosti zakonit osti transformisanja toplote u mehaniˇcki cki rad. Termodinamika i njeni metodi naˇ sli sli su ˇsiroku primenu kako kako u tehnici tako i u mnogim oblastima osnovnih prirodnih nauka posebno fizike i hemije. Termodinamiˇckim ckim metodama meto dama moˇze ze da se odredi odred i smer odvijanja odvij anja razliˇcitih citih fiziˇckih ckih i hemijskih hemijsk ih procesa, proces a, kao i veze koje postoj post ojee izmedju razliˇcitih citih fiziˇckih ckih veliˇcina cina (na primer, izmedju specifiˇcnog cnog toplotnog toplot nog kapaciteta i gustine gustine supstance). supstance). Karakteristiˇ cno cno je da termodinamika termo dinamika ne koristi modele strukture materije tj. nije neposredno vezana sa predstavom o njenoj njeno j mikrostrukturi. To je njena prednost ali u nekim sluˇcajevima cajevima i nedostatak. U osnovama termodinamike leˇze ze dva osnovna, eksp erimentalno ustanovljena, zakona (principa): I i II zakon termodinamike. Dok I zakon termodinamike kvantitativno opisuje proces transformisanja energije, II zakon termodinamike kvalitativno opisuje smer odvijanja odredjenih pro cesa u fiziˇ ckim ckim sistemima. 1.2. Termodinamiˇ ermo dinamiˇcki cki sistem Termodinamiˇcka cka ispitivanja ispit ivanja vrˇ v rˇ se se se s e na izbranom telu, ili skupu tela, izdvojenih izdvo jenih u odredjen o dredjenom om i ograniˇcencenom delu prostora. pros tora. Takav Takav skup tela, ili i li odredjena odre djena koliˇcina cina mase, tzv. radna tela, tela, koja interaguju medjusobno kao i sa okolnom sredinom naziva se termod term odina inamiˇ miˇ cki cki sistem sis tem.. Okolnu Okolnu sredinu, sredinu, odnosno oko okolinu linu termodinami termodinamiˇˇckog ckog sistema, sistema, ˇcine cine sva sva tela koja se nalaze nalaze van van datog sistema. Pri nekim razmatranjima okolna sredina moˇ ze ze da se predstavi kao drugi termodinamiˇcki cki sistem. Termodinamiˇcki cki sistem je odvojen odvo jen od njegove okoline, ili drugih sistema, sistema , realnom fiziˇckom ckom povrˇ p ovrˇ sinom sinom ili zam zamiˇ iˇsljenom slje nom povrˇsinom, sin om, tzv. granicom sistema. sistema. Termodinami ermodinamiˇˇcki cki sistem, sistem, a time i granica granica sistema, sistema, ne mora da bude stalnog oblika oblika i zapremine zapremine koju obuhvata. U zavisnost zavisnostii od interak interakcije cije datog sistema sistema sa oko okolinom linom i drugim drugim sistemima, sistemima, odnosno od mogu´ moguć nosti sistemi. razmene masa i energije kroz granicu sistema, razlikuju se zatvoreni, otvoreni, i izolovani sistemi. Zatvoreni sistem se karakteriˇse se time da je u njemu sadrˇzana zana konstantna masa, ali je moguća ca razmena energije energije izmedju izmedju sistema sistema i njegove njegove okoline kroz granicu granicu sistema. sistema. Kao primer primer zatvoreno zatvorenogg sistema sistema moˇ ze ze da sluˇzi zi gas koji je zatvoren u cilindru motora sa pokretnim klipom (slika 1.1). U ovom sluˇcaju, caju, pri pomeranju p omeranju klipa, menja se zapremina

Slika 1.1.

sistema sistema a time i veliˇ veliˇ cina cina granice granice sistema, sistema, medjutim medjutim koliˇ koliˇ cina cina gasa tj. njegova njegova masa ostaje konstant konstantna. na. U ovom sluˇcaju caju granica sistema je fiziˇ cka cka jer se poklapa sa granicom cilindra. Kroz granicu sistema moˇ ze ze da se razmenjuje energija u obliku toplote ili rada. Sa stanovi stanoviˇˇsta sta termodinamik termodinamikee najinteresan najinteresantniji tniji za posmatranje posmatranje a i za primenu primenu su takvi sistemi koji razmenjuju razmenjuju toplotu sa oko okolinom. linom. Medjutim, Medjutim, koriste se i izuˇ izuˇcavaju cavaju i sistemi sistemi koji ne razmenjuju razmenjuju toplotu sa okolinom. Takvi zatvoreni sistemi se nazivaju adijabatski sistemi. Otvoreni sistem je takav sistem koji kroz granicu sistema razmenjuje sa okolinom, ili drugim sistemima i energi energiju ju (u obliku obliku toplot toplotee i rada) rada) i masu. masu. U termodi termodinam namici ici i termot termotehn ehnici ici se zaprem zapremina ina obuhv obuhva´ a´ cena cena graniˇ graniˇcnom cnom povrˇ povrˇsinom sinom otvorenog otvorenog sistema, sistema, kroz koji se razmenjuje razmenjuje masa, impuls i energija, energija, naziva naziva kontrolisana trolisana zapremina zapremina a graniˇ gra niˇcna cn a povrˇ pov rˇsina sin a - kontrolna kontro lna povrˇ pov rˇ sina sin a. Kao primer primer otvore otvorenog nog sistem sistema, a, na slici 1.2 prikazan je razmenjivaˇ razmenj ivaˇ c 1

Slika 1.2

toplote toplote izmedju izmedju fluida A i B. U ovom ovom sluˇ sluˇcaju caju kontroln kontrolnaa povrˇ povrˇsina sina se ne poklapa sa granicom granicom sistema sistema i predstav pred stavlja lja zamiˇsljenu slj enu povrˇsinu. sinu. Izolovan sistem se karakte karakteri riˇˇse se time da izmedju izmedju njega i okoline okoline ne postoji nikakv nikakvaa interak interakcija, cija, tj. sa okolinom se ne razmenjuje ni masa ni energija. Znaˇci, ci, izolovan sistem je zatvoren sistem koji ne razmenjuje energiju sa svojom okolinom. 1.3. Parametri stanja. Jednaˇ cina cina stanja Pri izabranim sp oljaˇ snjim snjim uslovima, na primer, pri datoj temperaturi i pritisku, odredjena supstanca moˇze ze da egzistira egzisti ra u jednom od ˇcetiri cetiri agregatna agregat na stanja: ˇcvrstom, cvrstom , teˇcnom, cnom, gasovitom i stanju plazme. Da bi se odredili odredili konkretni konkretni uslovi pri kojim se odredjena odredjena supstanca supstanca jednoznaˇ jednoznaˇ cno cno nalazi nalazi u odredjenom odredjenom (agregatnom) stanju uvode se, tj. definiˇ su, su, posebne karakteristike karakteristike stanja - tzv. parametri parametri stanja. Neki od o d parametara parametara stanja, kao kao na primer primer pritisak pritisak i temperatura, temperatura, ne zavise zavise od koliˇ koliˇcine cine supstance u stanja), dok drugi, kao na primer zapremina, zavise od koliˇ sistemu (intenzivni parametri stanja), cine cine supstance u sistemu (ekstenzivni parametri stanja). Da bi se izbegla ovakv ovakvaa podela uvode se specifiˇ specifiˇcne cne karakteristik arakteristikee stanja, stanja, u odnosu na jedinicu jedinicu mase, ˇcime cime se ekstenzivni parametri stanja prevode u intenzivne. Intenzivni parametri kojima se definiˇse se stanje termodinamiˇckog ckog sistema nazivaju se termo te rmo dina di namiˇ miˇcki cki parametri parametri stanja. Stanj St anjee termo te rmodi dina namiˇ miˇckog cko g siste sis tema ma defin de finiˇ iˇse se se pomo p omo´ću cu tri osnovna o snovna termodinamiˇ termo dinamiˇcka cka parametra parame tra stanja s tanja:: apsolutna apsolutna temperatura temperatura (T ) T ), pritisak pritisak ( p) p) i specifiˇ speci fiˇcna cna zapremina zapremin a (v ) ili gustina (ρ (ρ) tela. Kao ˇsto je poznat po znatoo temperatura T karakteriˇ karakteriˇse se toplotno stanje sistema. Iz eksperimenta je poznato p oznato da toplota, u konaˇ cnom cnom bilansu, spontano prelazi sa ”zagrejanog” na ”manje zagrejano telo”, t elo”, odnosno sa tela viˇse se temperature temp erature na telo niˇze ze tempe t emperature. rature. Znaˇci, ci, temperatura tempe ratura tela definiˇse se smer spontanog sponta nog prelaza toplote toplot e izmedju izmedju datih tela. Pritisak, p kao termodina term odinamiˇ miˇcki cki parametar paramet ar stanja, stanja , definiˇse se silu koja deluje normalno normaln o na n a povrˇsinu sinu tela po jedinici jedini ci njegove povrˇsine. sine. Speci Sp ecifiˇ fiˇ cna cna zapremi zap remina na v predstavlja zapreminu V koju zauzima jedinica mase m date supstance: v=

V . m

(1. (1.1)

Specifiˇ Sp ecifiˇcna cna zapremin zapr eminaa v povezana je sa gustinom ρ tela relacijom: ρ=

m 1 = . V v

(1. (1.2)

Ukoliko je termodinamiˇcki cki sistem izolovan, izolovan, tj. ako na sistem ne deluju sp oljnje sile ili je pak njihova rezultanta jednaka jedna ka nuli, stanje stan je sistema sis tema je jednoznaˇ jednozn aˇcno cno odredjeno o dredjeno ako su poznata p oznata dva termodinamiˇ termo dinamiˇcka cka parametra stanja. stanja . Iz predhodnog sledi da postoji posto ji jednoznaˇ cna cna veza medju termodinamiˇckim ckim parametrima predstavljena u obliku jednaˇ jed naˇ cine cin e stanja sta nja F ( F ( p,v,T ) = 0. 0. (1. (1.3) Znaˇci, ci, svaki termodinamiˇ termo dinamiˇcki cki parametar paramet ar moˇze ze jednoznaˇ jednozn aˇcno cno da se predstavi predst avi kao funkcija f unkcija druga dva parametr p arametra: a: v = f ( f ( p,T )

(1. (1.4)

T = ϕ( p,v) p,v )

(1. (1.5)

p = ψ (T , v).

(1. (1.6)

2

Veze medju termod t ermodinamiˇ inamiˇckim ckim paramerti p aramertima, ma, umesto u mesto jednaˇcina cina stanja, s tanja, mogu se s e predstaviti preds taviti u vidu vid u termodinami na miˇ ˇ ckih ck ih povrˇ ov rˇsin si na ili pak dijagrama stanja u trodimenzionalnom (v (v , T , p) p) sistemu ili dvodimenzionalnim ( p,v) p,v ), ( p,T ) i (v, T ) T ) koordinatnim sistemima, prikazanih na slikama 1a., 1b., 1c., i 1d. respektivno.

Slika 1.3.

1.4. Termodinamiˇ ermo dinamiˇcki cki procesi proc esi Termodina Termod inamiˇ miˇcki cki sistem sis tem moˇze ze da d a se nalazi nala zi u razliˇ ra zliˇcitim cit im termod term odina inamiˇ miˇckim ckim stanji sta njima ma defin d efinisan isanim im razliˇ razl iˇcitim cit im parametrima stanja (T (T , p , v) Termod inamiˇ iˇcko cko stanje stan je je ravn ravnot oteˇ eˇ zno zn o ukoliko su termodinamiˇ termo dinamiˇcki cki parametri, paramet ri, v). Termodinam svaki svaki posebno, jednaki jednaki u celoj zapremini zapremini sistema. U suprotnom je stanje nerav ne ravno noteˇ teˇzno. zn o. Iz ravno rav noteˇ teˇznog zno g stanja termodinamiˇcki cki sistem ne moˇ ze ze da izadje spontano, ve´ c samo ukoliko dodje do dje do vremenske promene nekog od o d njegovih termodinamiˇckih ckih parametara (na primer zapremine). Promena jednog od o d termodinamiˇ termo dinamiˇckog ckog parametara parame tara izaziva iza ziva promenu stanja st anja termod t ermodi-namiˇ i-namiˇckog ckog sistema, sist ema, tj. t j. termo dinamiˇckog ckog procesa. pro cesa. Znaˇci, dolazi do termodinamiˇ ci, pod po d termo t ermodin dinamiˇ amiˇckim cki m proc pr ocesom esom podraz po drazumeva umeva se prelaˇ p relaˇzenje zenj e termodinamiˇckog ckog sistema iz jednog termodinamiˇckog ckog stanja u drugo termodinamiˇcko cko stanje. Termodinamiˇckim ckim procesom pro cesom opisuje opi suje se promena p romena stanja s tanja sistema. s istema. Termodinamiˇ ermod inamiˇcki cki procesi pro cesi mogu biti ravno rav noteˇ teˇzni zn i i nerne ravno avnoteˇ teˇz-ni z- ni.. Proces koji ko ji se sastoji iz niza neprekidnih uzastopnih ravnoteˇ znih znih stanja naziva se ravn ra vnot oteˇ eˇzni zn i (kvazista (kvazi statiˇ tiˇ cki) cki ) pro p roces. ces. U suprotnom proces je neravnote neravnoteˇˇzan. zan. S obzirom obzirom da je svaki t.d. proces vezan vezan sa naruˇ senjem senjem ravnoteˇ ravnoteˇze ze sistema, odnosno sistem prolazi kroz niz neravnoteˇ neravnoteˇznih znih stanja, realni procesi su neravnoteˇ neravnoteˇzni. zni. Medjutim, pri vrlo sporom odvijanju procesa sistem prolazi kroz niz skoro ravnoteˇznih znih stanja tako da se proces pro ces u datom sluˇ caju caju moˇ ze ze smatrati ravnoteˇ znim znim (kvazistatiˇckim). ckim). Proces prelaza sistema iz neravnoteˇznog znog u ravnoteˇ r avnoteˇzno zno stanje naziva se s e relaksacija a vreme trajanja procesa relaksacije naziva se vreme relaksacije. Ravnoteˇzna zna stanja i ravnoteˇzni zni procesi proces i mogu da se prikaˇzu zu na dijagramu dijagra mu stanja, stanja , ˇsto sto ne vaˇ zi zi za neravnoteˇzna zna stanja i neravnoteˇzne zne procese. proce se. Kako ravnoteˇzni zni procesi proces i mogu da protiˇcu cu u oba smera ˇcesto cesto se nazivaju povratnim ili reverzibilnim procesima. Nera- vnoteˇzni zni procesi se uslovno na dijagramu stanja prikazuju taˇckastim ckastim krivama. Proces, pri kojem se sistem, posle niza medjustanja, vra´ ca ca u poˇcetno cetno stanje naziva se kruˇ znim znim procesom pro cesom ili ciklusom. ciklus om. 1.5. Procesi strujanja strujanja fluida Sve dok su klipne parne maˇ sine sine imale dominatnu ulogu u tehnici, termodinamiˇcki cki su razmatrani samo takvi zatvoreni zatvoreni sistemi sistemi tipa ”cilindar-kl ”cilindar-klip” ip” kod kojih se radno telo kao kao celina celina ne premeˇ premeˇsta sta (ili skoro skoro ne premeˇ premeˇsta) sta) u prostoru. prostoru. Medjutim, Medjutim, s razvojem razvojem parnih parnih i gasnih gasnih turbina, turbina, raketnih raketnih i reaktivnih reaktivnih letelica, letelica, koje koriste kinetiˇcku cku energiju fluidnih (gasnih) struja, javila se potreba da se termodinamiˇcki cki razmotre takvi otvoreni otvoreni sistemi. Brzine Brzine u fluidnim fluidnim strujama strujama kod centrifug centrifugalnih alnih i turbo-maˇ turbo-maˇsina sina kao i kod raketnih raketnih letelica mogu da budu relativno relativno velike velike (ve´ (veće ce od 100 m/s) u odnosu na brzinu brzinu premeˇ premeˇstanja stanja centra mase radnog radnog gasa kod klipnih parnih maˇ sina sina (2-3 m/s). Osim prethodnog, pretho dnog, primeri otvorenih sistema kod kojih ko jih se vrˇsi si neprekidni protok (strujanje) mase kroz granicu datog sistema su: razmenjivaˇ razmenjivaˇ ci ci toplote, kompresori, cevovodi cevovodi i dr. Za ispiti ispitiv vanje anje takvih takvih otvore otvorenih nih sistem sistemaa posmatr posmatraa se deo sistem sistema-k a-kon ontro trolis lisana ana zaprezapre- mina, mina, koja je ograniˇ ogra niˇcena cena zamiˇsljenom slj enom kontrolis kontro lisanom anom povrˇ pov rˇsinom sin om kroz koju, ko ju, u konkretn konk retnim im uslovim usl ovimaa prakse, prak se, najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce struji str uji fluid (slika 1.4).

Slika 1.4.

Strujanje Struja nje fluida, kao izotropnog izot ropnog masenog kontinuuma, moˇze ze se posmatrati posm atrati kao unutraˇ unutr aˇsnji snji ravnoteˇzni zni proces sa potpuno odredjenim vrednostima parametara stanja, na primer, p i v (odnosno ϕ i ρ), koji se 3

najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce kontinual konti nualno no menja menj a ju u posma po smatraˇ traˇckoj cko j taˇcki cki ili od taˇcke cke do taˇcke cke (”1” (”1 ” do ”2” na slici sli ci 1.4.) 1.4 .) 1.5.1. Jednaˇ cina cina strujanja fluida U zavisnosti zavisnost i od toga t oga da li se sile unutraˇ u nutraˇsnjeg snjeg trenja tr enja izmedju izm edju susednih sus ednih sloj sl ojava ava fluida sa razliˇcitim citim brzinama b rzinama idealne fluide viskozne fluide. fluide mogu da zanemare ili ne, fluidi se dele na i . Jasno je da su svi realni fluidi u manjoj manjo j ili ve´ coj coj meri viskozni. Medjutim, pri odredjenim o dredjenim uslovima, na primer pri malim brzinama, realni fluidi mogu da se razmatraju kao idealni fluidi. Da bi se izvrˇsila sila termodinamiˇcka cka analiza fluidne struje neophodnao neopho dnao je da se pored polja brzine w  = w  (r, τ ) τ )

(1. (1.7)

gde je r i τ poznaju pozna ju bilo koje dve termodinamiˇcke cke veliˇ cine cine stanja, na primer p i ρ (ρ = 1/v) /v ) u funkciji poloˇzaja zaja i vremena, tj. polje pritiska i gustina p = p(r, τ ) τ ),

ρ = ρ(r, τ ) τ )

(1. (1.8)

U sluˇ sl uˇcaju ca ju idealnih idealnih fluida, fluida, kada sile viskoznog trenja mogu da se zanemare, na fluid zapremine dV obuh ob uhva´ vaćene ce ne povrˇ ovrˇsino si nom m δA, δA , deluju zapreminske sile.   V dF V = ρdV · f ,

(1. (1.9)

 = dF  V gde je f zapreminska sila po jedinici mase (gustina zapreminskih sila) i povrˇ sinske sinske sile V /dm zapreminska



 A = − dF

 pdA

(1. (1.10)

δA

daju´ da jući ci fluidu flui du mase ρdV ubrzanje

d v dt

: dw   − ρdV · = ρdV · f dt



 pdA.

(1. (1.11)

δA

Iz ove osnovne jednaˇ cine cine kretanja (1.11), primenom Gauss-ove Gauss-ove teoreme

 A

 = pdA



grad pdV,

(1. (1.12)

V

poˇsto sto jednaˇ jedn aˇcina cin a vaˇ zi zi za proizvol proi zvoljnu jnu zapremi zap reminu nu fluida flui da obuhvaćenu cenu povrˇ pov rˇsinom sino m A, dobija dob ija se osnovna osnov na jedna ed naˇ ˇ cina ci na kretanja idealnog fluida, tzv. Euler-ova Euler-ova jednaˇ cina cina dw   1 = f − grad p, dτ ρ gde je totalno ubrzanje

dw  dτ

(1. (1.13)

dato supstancijalnim izvodom brzine: dw  ∂ w  = + (w  )w.  dτ ∂τ

(1. (1.14)

Prvi Pr vi ˇclan cl an ∂ w/dτ  pretstavlja tzv. lokalno lokalno ubrzanje ubrzanje u posmatranoj taˇcki cki nastalo vremenskom promenom polja brzine, a drugi ˇclan clan (w  )w  pretstavlja tzv. konvektivno konvektivno ubrzanje nastalo usled promene poloˇzaja zaja uoˇcene cene zapremine zapr emine fluida flu ida u polju p olju brzine. brz ine. Na osnovu (1.14) ( 1.14) Euler-ova E uler-ova jednaˇcina cina kretanja kret anja idealnog id ealnog fluida fl uida (1.13) (1 .13) moˇze ze da se napiˇse se u obliku: obl iku: ∂w   − 1 grad p. + (w  )w  = f (1. (1.15) ∂τ ρ Skalarni oblik Euler-ove jednaˇcine cine je: ∂w x ∂w x ∂w x ∂w x 1 ∂p + wx + wy + wz = f x − ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ ∂x 4

∂w y ∂w y ∂w y ∂w y 1 ∂p + wx + wy + wz = f y − ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ ∂y

(1. (1.16)

∂w z ∂w z ∂w z ∂w z 1 ∂p + wx + wy + wz = f z − ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ ∂z Jedan od o d na jvaˇ jvaˇznijih znijih zakona fizike, posebno fizike kontinuuma, kontinuuma, a time i fizike strujanja idealnog fluida zanja mase. mase. Uoˇ je zakon odrˇzanja cimo cimo da fluid zapremine V i gustine ρ(r, τ ) τ ) koji je ograniˇ cen cen kontrolnom povrˇ sinom sinom A, kroz koju se razmenjuje (struji) masa fluida m. Smanjenje mase fluida u zapremini V u jednici vremena iznosi: ∂m ∂ − = ρdV. (1. (1.17) ∂τ ∂τ V



S druge strane protok mase fluida kroz kontrolnu kontrolnu povrˇ sinu sinu A iznosi: Φ=



 ρwd  A

(1. (1.18)

A

Kako je j e ukupna u kupna masa ograniˇcena cena kontrolnom povrˇsinom sinom konstantna, sledi Φ= −

∂m ∂τ

(1. (1.19)

tako da se iz (1.17) i (1.18) dobija ∂ − ∂τ



ρdV =

V



 ρwd  A,

(1. (1.20)

A

ˇsto sto predstavlja na jprostiji izvor za zakon odrˇ o drˇ zanja zanja mase. NA osnovu Gauss-ove teoreme je



A

 = ρwd  A



div(ρ div(ρw  )dV,

V

tako da jednaˇcina cina (1.20) dobija oblik ∂ρ + div(ρ div(ρw  ) = 0. (1. (1.21) ∂τ Ona je poznata kao jednaˇcina cina kontinuiteta mase, mase, odnosno jednaˇcina cina kontinuiteta (neprekidno (nepre kidnosti) sti) Jednaˇ cina cina kontinuiteta kontinuiteta u skalarnom skalarnom obliku, u Decartes-ovom Decartes-ovom kordinatnom sistemu, glasi ∂ρ ∂ (ρwx ) ∂ (ρwy ) ∂ (ρwz ) + + + =0 ∂τ ∂x ∂y ∂z

(1.22)

Ako se gustina ρ fluida ne menja sa vremenom ρ = ρ(r), odnosno ako je fluid flui d nestiˇ nes tiˇ sljiv, slj iv, jedn je dnaˇ aˇcina cin a konti kon ti-nuiteta dobija jednostavniji oblik: divw  = 0 (1.23) Skalarni oblik jednaˇcine cine kontinuiteta nestiˇsljivog sljivog fluida je: ∂w x ∂w y ∂ (wz ) + + =0 ∂x ∂y ∂z

(1.24)

struj anje nestiˇsljivog sljivog viskoznog viskozno g fluida flu ida,, jednaˇ Da bi se opisalo strujanje jedn aˇ cina cina kretanja kret anja idealnog ide alnog fluida flui da (1.13) (1.1 3) odnosno odn osno (1.14) (1. 14) mora da se proˇsiri siri ˇclanom clan om µ/ρ∆ µ/ρ∆w  = ν ∆w  koji uzima u obzir delovanje sila viskoznog trenja na deo fluida zapremine dV , dV , gde je µ koeficijent koeficij ent dinamiˇcke cke viskoznosti viskoznost i a ν = µ/ρ koeficijent koeficij ent kinematiˇ kinemat iˇcke cke viskoznosti. viskoznost i. Tako Tako se dobija jednaˇcina cina kretanja kretanj a nestiˇsljivog sljivog viskoznog fluida, tzv. Navier-Stokes-ova Navier-St okes-ova jednaˇ jed naˇcina: cina: dw  1 = f − grad p + ν ∆w  dτ ρ

(1. (1.25)

Ako se u prethodnoj jednaˇ cini cini zameni supstancijalni izvod brzine dw/dτ  izrazom (1.14) dobija se drugi oblik Navier-S Navie r-Stokes tokes-ove -ove jednaˇ jedn aˇcine: cine : ∂w  1 + (w  )w  = f − grad p + ν ∆w.  (1. (1.26) ∂τ ρ 5

Skalarni oblik Navier-Stokes-ove Navier-St okes-ove jednaˇ jedn aˇcine cine u Decartes-ovom De cartes-ovom koordinatnom koordina tnom sistemu je slede´ sl edeći ci ∂w x ∂w x ∂w x ∂w x 1 ∂p ∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂ 2 wz + wx + wy + wz = f x − + ν + + ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

  

∂w y ∂w y ∂w y ∂w y 1 ∂p ∂ 2 wy ∂ 2 wy ∂ 2 wy + wx + wy + wz = f y − + ν + + ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂w z ∂w z ∂w z ∂w z 1 ∂p ∂ 2 wz ∂ 2 wz ∂ 2 wz + wx + wy + wz = f z − + ν + + ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

  

(1. (1.27)

U sluˇ s luˇcaju ca ju nestiˇ nest iˇsljivog slj ivog viskozno vis koznogg fluid fl uidaa jedn j ednaˇ aˇcina cina kretanj kret anjaa se s e joˇ j oˇs viˇ v iˇse se usloˇznjava. znj ava. Da bi se opisalo opi salo strujan stru janje je viskoznog fluida jednaˇcini cini kretanja kretanj a (1.25) treba prikljuˇciti citi i jednaˇcinu cinu kontinuiteta (1.23). (1.23) . 1.5.2. Stacionarni Stacionarni strujni procesi Ukoliko se parametri stanja fluidne struje u kontrolisanoj zapremini ne menjaju sa vremenom, tj. ∂w  = 0, 0, τ odnosno

w  = w  (r),

∂p = 0, ∂τ

∂ρ =0 ∂t

(1.28)

p = p(r),

ρ = ρ(r)

(1. (1.29)

tada je proticanje stacionarno. Uslovi stacionarnosti proticanja fluida, osim uslova (1.27) odnosno (1.28), su sled sl ede´ eći: ci : - Kontrolisana zapremina se ne kreće ce u odnosu na izabrani koordinatni sistem; - konstant konstantnost nost masenog protoka protoka ∂m/∂τ kroz kontrolnu kontrolnu povrˇ sinu, sinu, kao i jednakost mase- nih protoka na ulazu i izlazu izlazu iz kontroli kontrolisane sane zapremine iz ˇcega cega sledi i konstant konstantnost nost s vremenom vremenom mase fluida u kontrolisanoj zapremini; - konstant konstantnost nost protoka protoka energije energije ( u obliku toplote i rada) kroz kontroli kontrolisanu sanu povrˇ povrˇsinu. sinu. Iz prethodnih prethodnih uslov uslova sledi da je u sluˇ sluˇcaju caju jednodimenzio jednodimenzionog nog stacionarn stacionarnog og proticanja proticanja fluida maseni protok na ulazu ”1” povrˇsine sin e preseka pres eka A1 jednak masenom protoku na izlazu ”2” povrˇsine sine preseka preseka A2 iz kontrolisane zapremine: ∂m = w1 ρ1 A1 = w2 ρ2 A2 (1. (1.30) ∂τ gde su w1 i w2 srednje vrednosti brzina na presecima A1 i A2 , respektivno. Jednaˇ cine cine (1.29) se takodje naziva jednaˇcina cina kontinuiteta. Iz jednaˇcine cine kontinuiteta ∂m = wρA = const ∂τ

(1.31)

sledi diferencija difere ncijalni lni oblik jednaˇcine cine kontinuiteta: kontinuiteta: dw dA dρ + + = 0. w A ρ

(1. (1.32)

Primer 1.1 U balonu zapremine 5000cm 3 pri temperaturi od 1270 C i pritisku 0.20MPa nalazi se 10 g smeˇ se se ”normalnog” - dvoatomskog kiseonika (O2 ) i troatomskog kiseonika - ozona (O3 ). Odrediti procentni maseni sadrˇ sa drˇzaj za j ozona ozo na u smeˇsi. si . reˇsenj se nje: e: Za smeˇ s meˇsu su gasova vaˇzi zi Daltonov Daltono v zakon, za kon, tj. pritisak pritis ak (p) ( p) smeˇse se gasova g asova jednak je zbiru parcijalni parcijalnih h pritisaka pri tisaka ( p) p) : p =



pi ,

i

6

(P 1 P 1.1.1)

gde se parcijalni pritisci ( pi ) odredjuju odredjuju iz jednaˇ cina cina stanja idealnog gasa g asa mi RT ; M i V

pi =

(P 1 P 1.1.2)

mi i M i su respektivno, respektivno, masa i molarna masa i-te komponente komponente smeˇse se u datoj zapremini V pri temperaturi temperaturi T . Iz (P 1.1.1) i (P 1.1.2) sledi RT mi p = (P 1 P 1.1.3) V i M i



S druge strane, pritisak pritis ak smeˇse se moˇze ze da se predstavi izrazom RT m , V M

p = gde je m =



(P 1 P 1.1.4)

mi , ukupna ukup na masa smeˇse, se, a M srednja srednja molarna masa smeˇse. se. Iz izraza (P1.1.3) i (P1.1.4) sledi M =

gde je

m



=

mi M i

gi =

1



mi /m M i

=

1



gi M i

,

mi m1 = m mi



(P 1 P 1.1.5)

(P 1 P 1.1.6)

relativni relat ivni maseni mas eni sadrˇzaj zaj i-te i-t e komponente kompon ente u smeˇsi. si. Ako smeˇsa sa sadrˇzi zi n komponenti kompon enti vaˇzi zi relacija relaci ja n



gi = 1

(P 1 P 1.1.7)

i=1

Iz izraza (P1.1.5), (P1.1. 5), u sluˇcaju caju smeˇse se sa dve komponte, sledi g1 g2 1 + = . M 1 M 2 M

(P 1 P 1.1.8)

g1 + g2 = 1

(P 1 P 1.1.9)

Kako je Iz (P 1.1.8) sledi da je relativno g2 =

1 1 − M 1 M 1 1 M 2 − m1

=

M 2 M − M 1 M M 2 − m1

(P 1 P 1.1.10)

Iz izraza (P1.1.4) sledi da je srednja srednja vrednost vrednost molarne mase smeˇ se: se: mRT 10−2 · 8, 315 · 103 · 4 · 102 M = = = 0, 03326 03326kg/mol kg/mol = P V 0, 20 · 106 · 5 · 105 · 10−6 = 33, 33 , 26 · 10−3 kg/mol Kako su molarne mase dvoatomskog kiseonika i ozona M 1 = 32 · 10−3 kg/mol i M 2 = 48 · 10−3 kg/mol, respektivno, respektivno, iz (P1.1.10) sledi da je relativni maseni sadrˇ zaj zaj ozona u datoj smeˇ si si g2 =

M 2 M − M 1 48(33, 48(33, 26 − 32) = = 0, 0 , 117 117,, 33 33,, 26(48 − 32) M M 2 − M 1

odnosno 11 11..7% 7%..

7

Primer 1.2 Znajući ci da je po definiciji de finiciji koeficijent zapreminskog ˇsirenja gasova α = V 1 ( ∂V ∂T ) p odrediti vrednost koefi0 cijenta zapreminskog zapreminskog ˇsirenja idealnog idealnog gasa na temperatura temperaturama ma t1 = 50 C i t2 = 1000 C kao i njihovu srednju vrednost u datom temperaturskom intervalu. reˇsenj se nje: e: Iz jednaˇ cine cine stanja idealnog gasa ga sa sledi V = tako da je

mRT Mp

∂V mR = . ∂T Mp

pa je koeficijent k oeficijent zapreminskog ˇsirenja sirenja idealnog i dealnog gasa odredjen odredjen samo apsolutnom apsolut nom temperaturom t emperaturom α=

1 ∂V mR 1 ( ) p = = . V ∂T M pV T

Za temperature t1 = 500 C (323K (323K ) i t2 = 1000 C (373K (373K ) dobija se α1 = 3, 096 · 10−3 K −1 α2 = 2, 681 · 10−3 K −1 Srednja vrednost koeficijenta zapreminskog ˇsirenja idealnog gasa gas a iznosi 1 α= T 2 − T 1

T 2



T 1

1 α(T ) T )dT = T 2 − T 1

T 2



T 1

Zamenom brojnih vrednosti za temperature dobija se α = 2, 2 , 878 · 10−3 K −1

8

dT 1 T 2 = ln T T 2 − T 1 T 1

2. PRVI PRVI ZAKON ZAKON TERMODINAMI TERMODINAMIKE KE Poznato Poznato je da se materija materija nalazi u neprekidno neprekidnom m kretanju. kretanju. Mera kretanja kretanja materije naziva naziva se energija. energija. Energija koju sadrˇ zi zi sistem sastoji se iz kinetiˇcke, cke, p otencijalne i unutraˇ unutraˇsnje snje energije. Izmedju sistema koji uˇ cestvuju cestvuju u termodinami termodinamiˇˇckim ckim procesima procesima dolazi dolazi do razmene razmene energije. energije. Energija Energija koja se razmenjuje razmenjuje kroz granice granice sistema zavisi od tipa procesa . Razmena Razmena energije kroz granice sistema ostvaruje ostvaruje se u obliku toplote i u obliku rada. Toplota i rad su energija energija koja se prenosi kroz granice sistema. Razmena Razmena toplote i vrˇ vrˇsenje senje rada su naˇcini cini promena unutraˇsnje snje energije energij e sistema. sistema . Prvi zakon termodinamike, termo dinamike, kao poseban p oseban sluˇcaj caj opˇsteg steg zakona zakona odraˇ zanja zanja energije, povezuje povezuje promenu energije sistema sistema s energijom energijom koja u obliku obliku toplote toplote ili rada prelazi granice sistema pri termodinamiˇckim ckim procesima. 2.1. Toplota oplota i rad Prenoˇ senje senje energije u obliku toplote ostvaruje se ili pri neposrednom kontaktu dva ili viˇse se sistema (tela) razliˇcitih citih temper t emperatura atura (provodjenj ( provodjenjee toplote, toplo te, konvekcija), putem razmene r azmene kinetiˇ ki netiˇcke cke energije atoma i molekula molekul a sistema sistema koji su u kontaktu, kontaktu, ili bez direktnog direktnog kontakta kontakta putem zraˇ cenja, cenja, tj. elektromag elektromagnetnih netnih talasa. U oba sluˇcja cja energija energij a se, u konaˇcnom cnom bilansu bilans u prenosi od tela viˇse se ka telu t elu niˇze ze temperature. temp erature. Koliˇcina cina energije energij e koja je pri tome razmenjena naziva se koliˇ cina cina toplote. Za prenoˇ p renoˇsenje senje energije u obliku obl iku rada r ada sistem si stem mora da d a se premeˇsta sta (kre´ ( kreće) ce) u polju polj u sila sil a ili da menja me nja granicu g ranicu sistema, tj. t j. svoju zapreminu pod dejstvom spoljaˇsnjih snjih sila. Koliˇ cina cina razmenjene energije u ovom procesu naziva se rad. U opˇ stem stem sluˇcaju caju razmena energije izmedju sistema u obliku toplote i u obliku rada moˇ ze ze da se odvija jednovremeno. Koliˇcina cina toplote t oplote i rad zavise od puta kojim sistem prelazi iz poˇcetnog cetnog u konaˇ cno cno stanje, st anje, tj. zavise od karaktera karaktera procesa. Kako su toplota i rad, kao procesi razmene energije, vezani za odvijanje termodinamiˇckog ckog procesa, to t o ukoliko nema procesa nema ni toplote ni rada. Znaˇ ci, ci, telo ne moˇze ze da poseduje toplotu t oplotu ili rad. diferencijali. Iz prethodnog sledi da elementarni rad δL i elementarna elementarn a koliˇcina cina toplote toplot e δQ nisu totalni diferencijali. Veliˇ Vel iˇcina δQ i δL su samo beskonaˇcno cno male koliˇcine cine toplote toplot e i rada, koji uˇcestvuju cestvuj u u elementarnim elementarn im procesima. proces ima. Tako je za konaˇcan can proces pro ces (izmedju ( izmedju stanja 1 i 2) 2



δQ =  Q2 − Q1

1

i 2



δL =  L2 − L1

1

odnosno 2



δQ = Q1,2

1

i 2



δL = L1,2

1

2.1.1. 2.1.1 . Rad ˇ sirenja sirenj a termodinam termo dinamiˇ iˇ ckog ckog sistema Neka se telo zapremine V i slobodne slob odne povrˇsine sine A nalazi u sredini pritiska ps (slika 2.1.). Pri povećanju canju zapremine za dV = Adx sistem izvrˇsi si elementarni elementarn i rad ra d ˇ siren si renja ja nasuprot sili pritiska spoljnje sredine F p = ps A : δL = F p dx = ps Adx = ps dV,

(2. (2.1)

tako da ukupan rad ˇsirenja sirenja (zapreminski rad) iznosi V 2

L=



V 1

9

ps dV.

(2. (2.2)

Slika 2.1.

Rad ˇsirenja vrˇ si si telo (sistem) nad spoljnjom sredinom. Jasno je (2.2) da se rad ˇsirenja vrˇsi si samo kada se menja zapremina tela i kada je pritisak spoljnje sredine razliˇ cit cit od o d nule (dV =  0, ps =  0). 0). U daljem tekstu razmatra´ razmatr aće ce se samo ravnoteˇzni zni procesi proces i kada je j e pritisak pritis ak p unutar sistema jednak spoljnjem pritisku p = ps tako da se za elementarni rad ˇsirenja sirenja dobija δL = pdV. (2. (2.3) Ukupan rad ˇsirenja iznosi V 2

L=



pdV.

(2. (2.4)

V 1

Veliˇ cina cina odnosno vrednost izvrˇ senog senog rada ˇsirenja sirenja sistema (2.4) moˇ ze ze da se predstavi u p,V-dijagramu povrˇ sinom sinom ispod krive procesa (ˇ srafirana srafirana povrˇsina sina na slici 2.2.). Zbog toga se p,V-dijagram naziva radni dijagram. dijagram. Oˇ cigledno cigledno je, kako kako iz p,V-dijagrama tako i iz izraza (2.2.), da rad ˇsirenja sirenja ne zavisi samo od poˇcetnog cetnog (1) i krajnjeg (2) stanja ve´ c i od puta kojim se iz stanja 1 dolazi u stanje 2, tj. zavisi zavisi od funkcije funkcije procesa p = p(V ) V ). Znaˇ Zn aˇci, ci , rad ra d L nije funkcija stanja i nema totalni diferencijal, tako da oznaka dL, u daljem tekstu, oznaˇ oz naˇcava cava elem e lement entarn arnii priraˇ pr iraˇsta st a j δL.

Slika 2.2.

Pri ˇsirenju sir enju (dV > 0) sistem vrˇ si si pozitivan rad a pri sabijanju (dV ( dV < 0) sistem vrˇsi si negativan rad, tj. rad vrˇse se spoljaˇ spo ljaˇsnje snj e sile na sistemu. sist emu. U opˇstem ste m sluˇcaju, ca ju, osim osi m rada ˇsirenja sir enja (zapremi (zap reminsk nskii rad), rad) , telo tel o moˇ m oˇze ze da vrˇsi si rad nasupro nasu prott sila povrˇsinskog sin skog napona, napo na, zatim mehaniˇcki cki rad r ad pri p ri premeˇ p remeˇs-tanju s-tanj u (kretanj ( kretanju) u) tela u gravitacion gr avitacionom, om, elektrostatiˇ elektro statiˇckom ckom i magnetmagnet nom polju itd. U daljem tekstu koristi´ ce ce se umesto rada tzv. specifiˇcni cni rad koji predstavlja rad jedinice mase sistema (tela) L l= . (2. (2.5) m 10

Na osnovu izraza (2.5), (2.3), (2.4) i (1.1) slede izrazi za elementarni i ukupni specifiˇcni cni rad δl = pdv i

(2. (2.6)

v2

l1,2 =



pdv.

(2. (2.7)

v1

2.1.2. Rad strujanja strujanja Da bi fluid mogao da protiˇce ce kroz kontrolnu kontrolnu povrˇ sinu, sinu, tj. da udje i izadje iz kontrolisane kontrolisane zapremine, mora da poseduje tzv. energiju energiju strujanja. strujanja. Energija strujanja jednaka je radu potrebnom da se fluid pokrene nasuprot postoje´ p ostojećih cih sila u kontrolisanoj zapremini. Posmatrajmo masu fluida, zapremine dV (slika 2.3) u stacionarnoj struji fluida. Data masa dm = ρdV predstavlja predstavl ja pokretan p okretan zatvoreni sistem. sistem . Povrˇ Povrˇsinske sinske sile s ile ko je deluju de luju na povrˇ p ovrˇ sinu sinu uoˇcene cene mase m ase date d ate su s u tenzorom ten zorom napona ˇcije cije su komponente sila pritiska i tenzor napona nap ona trenja. Zanemaruju´ ci ci sile trenja odredimo o dredimo rad sila pritiska za vreme dτ pri prodira pr odiranju nju uoˇcene cene mase m ase fluida fl uida kroz kontrol kont rolnu nu povrˇ p ovrˇsinu sin u x−ose za rastojanje dx = wdτ pri stacionarnom strujanju fluida.

Slika 2.3

Na osnovu slike 2.3 sledi da mase dm prodire kroz kontrolnu kontrolnu povrˇ sinu sinu za dx = wdτ pod dejstvom rezultantne rezulta ntne spoljaˇ spolj aˇ snje snje sile pritiska: pritis ka: F = ( p + dp)( dp)(A A + dA) dA) − pA ≈ pdA + Adp

(2. (2.8)

a da je zanemaren zanemare n ˇclan clan dAdp kao beskonaˇ bes konaˇcno cno mal malaa Pri tome rezultuju´ rezultu juća ca sila F izvrˇ iz vrˇsi rad ra d δL s = F dx = ( pdA ( pdA + Adp) Adp)dx = pdAdx + Adxdp.

(2. (2.9)

Kako je dV = Adx i dV = dm/ρ = vdm sledi Adx = vdm

(2. (2.10)

tako da se posle diferenciranja obe strane izraza (2.10) dobija dAdx = dvdm

(2. (2.11)

Posle zamene izraza (2.10) i (2.11) u (2.9) dobija se rad pomeranja mase dm δL S = ( pdv + vdp) vdp )dm

(2. (2.12)

ili po jednici mase, tzv. specifiˇ spe cifiˇ cni cni rad strujanja struja nja δl s = pdv + vdp = d( pv) pv)

(2. (2.13)

Iz dobijenog dob ijenog izraza i zraza (2.13) ( 2.13) sledi s ledi da je specifiˇ sp ecifiˇcni cni rad strujanja strujan ja jednak jedn ak zbiru zbir u specifiˇ spe cifiˇcnog cnog rada rad a ˇsirenja sirenja pod po d dejstvom dejst vom sile pritiska p δl (v) = pdv (2. (2.14) 11

i specifiˇ s pecifiˇcnog cnog rada koji izvrˇse se povrˇ p ovrˇ sinske sinske sile pritiska pritis ka pri pomeranju pomer anju elementa mase fluida u polju p olju pritiska pritis ka p(r) tzv. rad promena pritiska δl ( p) = vdp.

(2. (2.15)

Osim toga, vidi se da je specifiˇ specifiˇcni cni rad strujanja strujanja diferencij diferencijal al parametra parametra stanja pv, ˇsto sto znaˇci ci da jedinic jedi nicaa mase fluida poseduje pri strujanju, osim unutraˇ unutraˇsnje, snje, kinetiˇ cke cke i potencijalne energije u polju sila teˇze, ze, tzv. energiju strujanja (pv). (pv). 2.1.3. 2.1 .3. Tehniˇ cki cki rad Radno telo koje se kre´ ce ce kroz otvoren sistem (fluidna struja) moˇ ze ze da vrˇsi si i druge oblike rada na svom putu kroz kontrolisanu kontrolisanu zapreminu osim rada potiskivanja. Na primer, fluidna struja moˇ ze ze da okre´ ce ce toˇcak cak turbine (gasne ili parne) a u sluˇcaju caju strujanja elektroprovodne elektroprovodne teˇ cnosti cnosti u magnetnom polju, ˇciji ciji je vektor indukcije indukcij e normalan normal an na pravac vektora brzina brz ina fluidne flui dne struje, st ruje, oslobadja oslobad ja se deo d eo elektriˇ elek triˇcne cne energije ener gije u spoljaˇ spol jaˇsnjem snjem kolu usled us led magnetoh m agnetohidrod idrodinamiˇ inamiˇckog ckog efekta. efek ta. Zatim, Zatim , fluidna flu idna struja moˇze ze da vrˇsi si koristan koris tan rad r ad u kompresorima, kompresori ma, ventilatorima itd. Sve ovakve ovakve vrste rada nazivamo tehniˇ teh niˇcki ck i rad ra d (Lteh ). S obzirom da radno telo moˇ ze ze da primi energiju u obliku tehniˇckog ckog rada kroz granice otvorenog sistema (kao ˇsto sto je sluˇcaj caj kod kompresora ) mora mor a da d a se vodi vod i raˇ r aˇcuna cuna o algeb a lgebarsko arskom m znaku z naku rada, rada , pri p ri ˇcemu cemu vaˇ zi zi konvencija konvenc ija kao i kod rada ˇsirenja sir enja.. Tehniˇcki cki rad je energija en ergija koja se pri pr i strujnom st rujnom procesu proce su prenosi pr enosi kroz graniˇcnu cnu povrˇ p ovrˇ sinu sinu otvorenog o tvorenog sistema, sistem a, izuzev povrˇsine sine ulaznog i izlaznog preseka, preseka, ˇsto znaˇ ci ci da se ne uzima u obzir energija potrebna za vrˇ senje senje rada strujanja 2.2. Unutraˇ Unutraˇ snja snja energija i entalpija sistema s istema 2.2.1. 2.2.1 . Unutraˇ snja snja energija energi ja Unutraˇsnja snja energija energij a je fiziˇcka cka veliˇcina cina koja karakteriˇse se veliˇcinu cinu unutraˇsnjeg snjeg kretanja kretanj a materije. materij e. Sa stanoviˇsta sta molekularno molekul arno kinetiˇcke cke teorije materije materij e unutraˇsnje snje energije predstavlja predstavl ja zbir kinetiˇcke cke i potencipote nci jalne energije ˇcestica cestica sistema. sistema . Uopˇste, ste, pod po d unutraˇsnjom snjom energijom energij om podrazumeva po drazumeva se zbir svih oblika energije energij e ˇcestica cestica sistema: sistema : kinetiˇcka cka energija energija kretanja kretanja atoma i molekula; molekula; energija energija elektrona; elektrona; energija energija ˇcestica cestica unutar unutar jezgra jezgra atoma; atoma; energija energija interakcije izmedju jezgra i elektrona; potencijalna energija atoma i molekula u polju spoljnjih sila; energija elektromagnetn elektro magnetnog og zraˇcenja cenja atoma a toma sistema itd. Ukupna unutraˇsnja snja energija e nergija U u sistema sistem a moˇ m oˇze ze da se predstavi kao zbir kinetiˇ kine tiˇcke cke U k i potencijalne energije U p atoma i molekula (zavisne od temeperature odnosno od med jusobnog rastojanja atoma i molekula) i unutraˇ unutraˇsnje snje energije U 0 ˇcestica cestica ko je ulaze u sastav atoma i jezgra atoma (nezavisne od temperature) kao i energije elektromagnetnog p olja i (zraˇcenja): cenja): U u = U k + U p + U 0 .

(2. (2.16)

S obzirom da je za termodinamiˇcku cku analizu procesa u sistemu bitna promena unutraˇsnje snje energije a ne njena vrednost u tehniˇckoj ckoj termodinamici (termotehnici) se ne uzima u obzir unutraˇ unutraˇsnja snja energija U 0 ˇcesti ces tica ca koje ko je ulaze u sastav atoma i jezgra niti energija elektromagnetnog polja. Pod unutraˇ unutraˇsnjom snjom energijom sistema podrazumeva se, u sluˇcaju caju idealnih gasova, gasova, kineti- ˇcka cka energija translatornog U k t i oscilatornog kretanja U k o atoma i molekula U = U k t + U k o ,

(2. (2.17)

a u sluˇcaju caju realnih gasova i potencijalna energija U p medjumolekulskih interakcija, zavisna od medjusobnog rastojanja molekula sistema (specifiˇcne cne zapremine gasa), U = U k t + U k r + U k

o

+ U p .

(2. (2.18)

S obzirom da svakom svakom stanju sistema odgov o dgovara ara samo jedna vrednost unutraˇ unutraˇsnje snje energije, zavisno od temperature i rastojanja (specifiˇcne cne zapremine), sledi da je ona jednoznaˇ cna cna funkcija stanja. Kako je unutraˇ unutraˇsnja snja energija srazmerna masi sistema to je ona ekstenzivna veliˇ cina, cina, tako da moˇ ze ze da se uvede specifiˇcna cna unutraˇ utr aˇsnja snj a energij ener gijaa u = U/m.

(2. (2.19)

Promena specifiˇ speci fiˇcne cne unutraˇ u nutraˇsnje snje energije ne zavisi zavis i od o d karaktera karakter a procesa pro cesa i potpuno potp uno je odredjen o dredjenaa poˇ p oˇ cetnim cetnim (1) i krajnjim (2) parametrima stanja radnog tela (slika 2.4.) 12

Slika 2.4. 2

∆u1a2 = ∆u1b2 = ∆u12 = u2 − u1 =



du

(2. (2.20)

1

a za z a kruˇ kr uˇzni zni proces (ciklus) (ciklu s) ∆u = ∆u ∆ u1a2c1 =



du = 0

(2.21)

Specifiˇcna cna unutraˇ unutraˇsnja snja energija je funkcija stanja i moˇ ze ze da se predstavi kao funkcija bilo koja dva parametra stanja: u = f ( f (v, T ) T ), (2. (2.22) u = ϕ( p,T ),

(2. (2.23)

u = ψ ( p,v) p,v ).

(2. (2.24)

Znaˇ Zn aˇci, ci , priraˇ pri raˇsta st a j speci sp ecifiˇ fiˇcne cne unutr unu traˇ aˇsnje snj e energ en ergij ijee du je totalni diferencijal du( du(v, T ) T ) =

∂u ∂v

∂u ∂p

du( du( p,T ) = du( du( p,v) p,v ) =

∂u ∂T

            dv +

T

dp +

T

∂u ∂p

p

∂u ∂v

p

v

(2. (2.25)

dT, dT ,

(2. (2.26)

dv

(2. (2.27)

v

∂u ∂T

dp +

dT

Kako u sluˇcaju caj u idealnog i dealnog gasa, kod koga su zanemarljive zanemarl jive interakcije i nterakcije izmedju molekula, molekul a, specifiˇ speci fiˇcna cna unutraˇsnja snja energija ne zavisi od zapremine i pritiska ve´ c samo od temperature u = u(T ) T ) sledi (Joule-ov zakon) ∂u ∂v

 

=0

∂u ∂p

 

i

T

= 0,

(2. (2.28)

T

tako da je na osnovu (2.28), (2.25) i (2.26) ∂u ∂T

odnosno

du =

gde je

∂u ∂T

du , dT

(2. (2.29)

dT = cv dT, dT ,

(2. (2.30)

du dT

(2. (2.31)

          cv =

=

v

∂u ∂T

∂u ∂T

=

p

v

=

v

13

, v

specifiˇ speci fiˇcna cna toplota t oplota pri konstantno kon stantno j zapremini, zapr emini, koja karakteriˇse se porast p orast unutraˇsnje snje energije u izohornom izo hornom procesu proce su sa porastom porastom temperature. temperature. 2.2.2. Entalpija Entalpija Da bi se uprostili uprostili mnogi proraˇ proraˇ cuni cuni vezani vezani za termodinami termodinamiˇˇcke cke procese procese (posebno (posebno za fluidne struje), struje), omogu´ cilo cilo uvodjenje nekoliko grafiˇckih ckih metoda ispitivanja procesa, kao i uprostio oblik i struktura formula, uvedena je entalpija I - funkcija koja ko ja predstavlja zbir unutraˇ unutraˇsnje snje energije (U ( U )) sistema i proizvode pritiska ( p) p) i zapremine (V ( V )) sistema: I = U + pV, (2. (2.32) koja je, kao i unutraˇsnja snja energija, energij a, ekstenzivna ekstenzi vna veliˇcina. cina. Specifiˇ Speci fiˇcna cna entalpija ( i), data izrazom i = u + pv,

(2. (2.33)

pretstavlja kombinaciju veliˇ cina cina koje su funkcije stanja (u,p,v) u,p,v ) tako da se i sama funkcija (odnosno parametar) stanja i moˇ ze ze da pretstavi funkcijom bilo koja dva parametra stanja ( p,v,T ) : i = f ( f (v, T ) T ),

(2. (2.34)

i = ϕ( p,T ),

(2. (2.35)

i = ψ ( p,v) p,v ).

(2. (2.36)

Oˇ cigledno cigledno je da (kao i u sluˇcaju caju unutraˇ unutraˇsnje snje energije) promena specifiˇcne cne entalpije ne zavisi od karaktera karaktera procesa i potpuno je odredjena poˇ p oˇ cetnim cetnim (1) i krajnjim kra jnjim (2) parametrima stanja radnog tela 2



∆i = i2 − i1 =

di = (u2 + p2 v2 ) − (u1 + p1 v1 ),

(2. (2.37)

1

a za ciklus ∆i =



di = 0. 0.

(2. (2.38)

Na osnovu prethodnog sledi da je elementarni priraˇstaj staj specifiˇcne cne entalpije (di) di) totalni diferencijal di =

di =

            ∂i ∂v

∂i ∂p

di =

∂i ∂p

dv +

T

dp +

T

dp +

v

∂i ∂T

v

∂i ∂T

p

∂i ∂v

p

dT, dT ,

(2. (2.39)

dT, dT ,

(2. (2.40)

dv.

(2. (2.41)

U sluˇ sl uˇcaju caj u idealnog id ealnog gasa, unutraˇsnja snja energija a time ti me i specifiˇ speci fiˇcna cna entalpija su samo s amo funkcije f unkcije temperature temp erature:: i = u(T ) T ) + pv = u(T ) T ) + RT = i(T ) T )

(2. (2.42)

tako da je ∂i ∂p

T

∂i ∂v

T

   

i

=0

(2.43)

= 0.

(2. (2.44)

Na osnovu (2.43), (2.44), (2.39) i (2.40) sledi ∂i ∂T

∂i ∂T

    =

p

14

= v

di dT

(2. (2.45)

odnosno di =

∂i ∂T

 

dT = c p dT, dT ,

(2. (2.46)

p

gde je c p =

∂i ∂T

di dT

    =

p

(2. (2.47)

p

specifiˇcna cna toplota pri konstantnom pritisku, koja karakteriˇ karakteriˇse se promenu entalpije u izobarnom procesu sa promenom temperature. 2.3. Prvi zakon termodinamike termod inamike za otvoren termodinamiˇ termodina miˇ cki cki sistem Razmotrimo Razmotrimo promenu promenu energije energije otvorenog otvorenog termodinami termodinamiˇˇckog ckog sistema sistema kog kogaa ˇcini cini pokretni pokretni fluid u kontrolisanoj zapremini mase mτ , usled usl ed razmene razm ene mase ma se i energije (u obliku obl iku toplote t oplote i rada) rada ) kroz graniˇcnu cnu povrˇsinu sinu datog otvorenog sistema [kontrolnu povrˇsinu sinu (slika 2.5)]. Neka fluid struji brzinom w  u odnosu na nepokretni nepokretni referentni sistem. Prodiru´ Prodi rući ci kroz ulazni ula zni (∆A (∆ Au i izlazni (∆A (∆Ai ) deo kontrolne povrˇsine sine (A), za vreme ∆τ, ∆ τ, razmeni masu [izraz (1.18) i (1.19)] ∆m = ∆mu − ∆mi =

   ρwd  A

A

∆τ.

(2. (2.48)

sr

Pri tome je ∆m ∆ mu masa fluida koja ko ja ulazi kroz deo kontrolisane p ovrˇ ovrˇsine sine ∆A ∆ Au a ∆mi masa fluida koja izlazi  vrˇsi iz otvorenog sistema kroz deo kontrolne povrˇsine sine ∆Ai za vreme ∆τ ∆τ ;; usrednjavanje integrala A ρwd  A se zbog, zbog , u opˇstem stem sluˇcaju, caj u, razliˇcitih citih brzina strujanja struja nja mase fluida kroz razliˇcite cite delove kontrolne povrˇsine sine A. Dati otvoreni sistem moˇze ze da se zameni zameni uslovno uslovno zatvoreni zatvorenim m sistemom, sistemom, koji se sastoji od mase mτ otvorenog sistema (u kontrolisanoj zapremini) i mase ∆m ∆mu koja tokom vremena ∆τ ∆τ prodire u otvoreni sistem kroz kontrolnu kontr olnu povrˇ pov rˇsinu: sinu : m = mτ + ∆m ∆ mu . Na slici 2.5.a i 2.5b prikazan prikazan je zatvoreni zatvoreni sistem i kontroli kontrolisana sana zapremina pre i posle prodora mase ∆m ∆ mu kroz kontrolnu kontrolnu povrˇ sinu sinu u otvoreni sistem. Punom zatvorenom linijom linijo m oznaˇ oz naˇcena cena je granica gr anica zatvorenog zatvoreno g sistema. sis tema. Kontrolna povrˇsina sina je predstavlj p redstavljena ena crtiˇcastom castom zatvorenom linijom.



Slika 2.5.

Energija E 1 uslovno uslovno zatvoreno zatvorenogg sistema sistema u trenutku trenutku τ jednaka jednaka je zbiru energije Eτ u kontrolisanoj zapremini i energije eu ∆mu mase fluida (koji moˇ ze ze da se razmotri kao zatvoren pokretni sistem): E 1 = Eτ + eu ∆mu ,

(2. (2.49)

gde je eu energija jedinice mase fluida na ulazu u kontrolisanu zapreminu. Neka u toku interakcije ∆τ ∆ τ zatvoren sistem razmeni energiju s okolnom sredinom u obliku toplote Q12 i u obliku rada L12 . Usled razmene energije s okolnom sredinom, energija zatvorenog sistema u trenutku τ + ∆τ ∆τ iznosi E 2 = E τ τ +∆τ + ei ∆mi ,

(2. (2.50)

gde je E τ ∆ τ a ei -energija jedinice mase fluida na izlazu iz τ +∆τ − energija u kontrolisanoj zapremini τ + ∆τ kontrolisane zapremine. Razmenjena energija ∆E ∆E 12 ∆τ iznosi 12 zatvorenog sistema u toku vremena ∆τ ∆E 12 ( ei ∆mi − eu ∆mu ). τ +∆τ − E τ τ ) + (e 12 = E 2 − E 1 = (E τ 15

(2. (2.51)

Izraz (e (ei ∆mi − eu ∆mn ) u gornjo j jednaˇ jed naˇcini cini predstavlj p redstavlja a energiju energ iju ko ja se prenese kroz kontrolnu kontro lnu povrˇ p ovrˇ sinu sinu usled usl ed strujanja fluida za vreme ∆τ ∆τ .. Sliˇcno cno izrazu (2.48), za razmenjenu masu kroz kontrolnu kontrolnu povrˇ sinu, sinu, energija koja se prenese kroz kontrolisanu povrˇ povrˇsinu sinu usled strujanja st rujanja fluida, tj. razmene mase, iznosi ∆E e = ei ∆mi − eu ∆mu =





 eρw  · dA

(A)

· ∆τ.

(2. (2.52)

sr

Izraz (E (E τ cini cini (2.55) predstavlja promenu ukupne energije unutar kontrolisane zapremine: τ +∆ τ ) u jednaˇ +∆τ − E τ ∆E kz kz = E τ τ +∆τ − E τ τ = ∆



edm = ∆

(m)



e · ρdV,

(2. (2.52)

(V )

gde je energija kontrolne zapremine data izrazom



E kz kz =

edu =

(m)



eρdV.

(2. (2.53)

(V )

Na osnovu osnovu (2.51), (2.51), (2.52) i (2.53), (2.53), razmenjen razmenjenaa energija energija zatvoreno zatvorenogg sistema sistema iznosi iznosi ∆E 12 ∆ E kz ∆E e = ∆ kz + ∆E 12 = ∆E



eρdV +

(V )





 eρwd  A

(A)

∆τ.

(2. (2.54)

sr

Iz zakona zakona odrˇzanja zanja energije, energije, tj. prvog prvog principa principa termodinamike, termodinamike, sledi da je promena promena energije energije ∆ E 12 12 zatvorenog sistema jednaka energiji koju u obliku toplote Q12 i rada L12 sistem razmeni sa okolnom sredinom kroz kr oz graniˇ gra niˇcnu cnu povrˇ pov rˇsinu: si nu: Q12 − L12 = ∆E 12 (2. (2.55) 12 . Ukupan rad L12 koji vrˇsi si zatvoren zat voren sistem si stem tokom vremena v remena ∆τ jednak je zbiru rada strujanja Ls mase ∆m ∆mu i ∆mi kroz kontrolnu povrˇsinu, sinu, i rada Lkz u koju ko ju su ukljuˇceni ceni svi ostali o stali oblici rada koje izvrˇsi si sistem si stem za vreme vr eme ∆τ [(rad sila smicanja, rad promene zapremine celokupne kontrolne zapremine, osovinski rad (tehniˇ ( tehniˇcki cki rad) itd.]: (2. (2.56) L12 = Ls + Lkz , gde je rad strujanja Ls , na osnovu (2.12), dat izrazom Ls = pi vi ∆mi − pu vu ∆mu .

(2. (2.57)

Analogno izrazima (2.48) i (2.52) rad strujanja za celu kontrolnu povrˇsinu sinu iznosi Ls =





 pvρ wdA

(A)

∆τ.

(2. (2.58)

sr

Na osnovu os novu izraza iz raza (2.57), (2.57) , (2.59) (2 .59) i (2.55) (2 .55) jednaˇcina cina I zakona za kona termodi te rmodinamike namike moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u integralnom obliku: obliku: Q12 − Lkz = ∆



(V )

eρdV +



(A)



 (e + pv) pv)ρwd  A

∆τ.

(2. (2.59)

sr

S obzirom da mase ∆m ∆mu i ∆m ∆ mi , koje se kao zatvoreni pokretni sistemi kreću cu u odnosu na pokretni p okretni koordinatni sistem brzinom w  u i w  i , imaju ukupnu energiju jednaku zbiru unutraˇ unutraˇsnje snje (U ), U ), kine ki netiˇ tiˇcke cke (E k ) i potencijalne energije (E (E p ) E = U + E k + E p , (2. (2.60) ili po jedinici mase

E w2 = u + ek + e p = u + + gz, gz , (2. (2.61) ∆m 2 na osnovu (2.33), sledi da izraz e + pv, u drugom drug om ˇclanu cla nu desne des ne strane str ane jednaˇ jedn aˇcine cin e (2.60) (2. 60),, moˇze ze da se napiˇse u obliku w2 e + pv = (u + pv) pv) + ek + e p = i + + gz, gz , (2. (2.62) 2 e=

16

tako da jednaˇ cina cina prvog zakona termodinamike t ermodinamike za fluidnu struju dobija oblik Q12 = ∆



eρdV +

(V )

 

i+

(A )

w2 2

 

 + gz ρwd  A

∆τ + Lkz ,

(2. (2.63)

+ L˙ kz ,

(2. (2.64)

sr

Kada ∆τ ∆τ → 0, jednaˇ jed naˇcina cina (2.64) (2. 64) moˇze ze da se napiˇse se u obliku obl iku Q˙ kz

d = dτ



eρdV +

  (V )

 

w2  i+ + gz ρwd  A 2

sr

gde je Q˙ zk = lim∆τ →0 Q∆τ i L˙ kz = lim∆τ →0 L∆τ . Znaˇci, ci, toplot top lotni ni proto p rotok k (Q˙ zk ) je j e jednak jed nak zbiru brzine povećanja canja energije energije kontrolis kontrolisane ane zapremine, zapremine, protoka protoka energije energije kroz kontroln kontrolnu u povrˇ povrˇsinu sinu i rada koji se kroz kontroln kontrolnu u povrˇ sinu sinu u jedinici vremena razmeni sa okolnom sredinom. 12

kz

2.4. Prvi princip termodinamike termodinamike za stacionarne fluidne struje U sluˇcaju caju stacionarnog strujanja je maseni protok konstantan: d dτ tako da je



ρdV = 0,

V



 = 0. ρwd  A

(2. (2.65)

(A)

Zbog jednostavn jednostavnosti osti izvodjenja izvodjenja pretpostavimo pretpostavimo da na kontrolnoj kontrolnoj povrˇ povrˇsini sini postoji jedan ulaz i jedan izlaz. Tada je na osnovu jednaˇcine cine kontinuiteta kontinuiteta za stacionarno strujanje (1.30) dmu dmi dm = = =m ˙ = const . dτ dτ dτ

(2.66)

Na osnovu (2.66) i (2.67), (2.67) , jednaˇcina cina (2.65) moˇze ze da se napiˇse se u obliku



Q˙ kz = m ˙ (ii − iu ) + jer je

  (A)



wi2 wu2 − 2 2



+ g (zi − zu ) + L˙ kz

w2 w2  = m i+ + gz ρwd  A ˙ i ii + i + gz i 2 2







w2 iu + u + gz u . 2

  −m ˙u

(2. (2.67)



(2. (2.68)

Jednaˇcina cina prvog zakona termodinamike termo dinamike za stacionarno stacion arno proticanje protica nje moˇze ze da d a se napiˇse se za z a jedinicu je dinicu mase fluida: qkz = (ii − iu ) +



wi2 w2 − u 2 2



+ g (zi − zu ) + lkz

(2. (2.69)

gde je qkz = Qkz /m i lkz = Lkz /m, ili u diferencijalnom obliku δq = di + wdw + gdz + δl kz

(2. (2.70)

ˇ Cesto se rad kontroli kontrolisane sane zapremine zapremine (otvoreno (otvorenogg sistema) sistema) naziva naziva tehniˇ tehniˇcki cki rad i nezavisan nezavisan je od promene promene zapremine fluida. Osim toga moˇ ze ze da se primeti da je rad otvorenog stacionarnog sistema (l ( lkz )(l )(l12 ) jednak radu radu zatvo zatvoren renog og sistem sistemaa umanje umanjenog nog za rad struja strujanja nja (ls ) i za promenu promenu kinetiˇ kinetiˇ cke cke i potencijalne potencijalne energije energije ∆(e ∆(ek + e p ) : lkz = l12 − ls − ∆(e ∆(ek + e p ). (2. (2.71) 2.5. Prvi zakon termodinamik termodinamike e za zatvoren zatvoren sistem Jednaˇ cina cina prvog zakona termodinamike za pokretne zatvorene sisteme moˇ ze ze da se dobije iz jednaˇcine cine prvog zakona termodinamike za otvorene sisteme (2.60). 17

Naime, u sluˇcaju caj u kada nema strujanja strujan ja fluida, flui da, (nema ( nema razmene raz mene mase ma se kroz kontrolnu povrˇsinu) sinu) kontrolisana kontrol isana zapremina je zatvoren sistem. U tom sluˇ caju caju je Qkz = Q12 , ∆E 12 ∆ E kz kz = ∆ 12 = ∆E



eρdV,

V



 = 0, (e + pv) pv)ρwd  A Lkz = L12 ,

tako da, na osnovu izraza (2.60), jednaˇ cina cina prvog zakona termodinamike za zatvorene sisteme moˇ ze ze da se napiˇ nap iˇse se u obliku obl iku Q12 − L12 = ∆E 12 (2. (2.72) 12 ili za elementar elementarne ne procese procese δQ − δL = dE.

(2. (2.73)

Kako je elementarna promena ukupne energije zatvorenog pokretnog sistema, koji ko ji se kre´ ce ce brzinom w, data izrazom mw2 dE = d(U + E k + E p ) = dU + d + d(mgz) mgz ), (2. (2.74) 2

 

jednaˇcina cina prvog zakona termodinami termo dinamike ke za zatvoren pokretni pokre tni sistem moˇze ze da d a se napiˇse se u obliku mw2 2

 

δQ − δL = dU + d

+ d(mgz) mgz ).

(2. (2.75)

Za konaˇcan can proces prelaza sistema iz stanja 1 u stanje 2, na osnovu (2.76), ( 2.76), dobija se



Q12 − L12 = U 2 − U 1 + m ili po jedinici mase sistema q12 − l12 = u2 − u1 +

w22 − w12 2



+ mg( mg(z2 − z1 ),

w22 − w12 + g (z2 − z1 ). 2

(2. (2.76)

(2. (2.77)

2.6. Prvi zakon termodinamike termodinamike za zatvoren zatvoren nepokretni sistem zatvorenih nepokretnih nepokretnih sistema sistema, w1 = w2 i z2 = z1 =const., U sluˇ sl uˇcaju ca ju zatvorenih =const. , jednaˇcine cine prvog zakona termodinamike, na osnovu (2.76), (2.77), (2.78), dobijaju oblik δQ − δL = dU

(2. (2.78)

Q12 − L12 = U 2 − U 1

(2. (2.79)

q12 − l12 = u2 − u1

(2. (2.80)

Jednaˇcine cine (2.79 - 2.81) vaˇ ze ze u sluˇcaju caj u kada je j e broj bro j ˇcestica cestica sistema konstantan i predstavljaj predstavlj aju u jedn je dnaˇ aˇcine ci ne prvog zakona (principa) termodinamike za zatvorene sisteme, bez obzira da li je proces reverzibilan ili ireverzibil i reverzibilan. an. U sluˇcaju caj u ireverzibilnih procesa proces a osim os im rada ra da ˇsirenje sirenje vrˇsi si se s e i rad nasuprot n asuprot silama trenja 2

l1,2 =



pdv + ltr

(2. (2.81)

δl 1,2 = pdv + δl tr ,

(2. (2.82)

1

2



gde je 1 pdv speci sp ecifiˇ fiˇcni cni rad ˇsiren si renja ja a ltr specifiˇcni cni rad nasuprot sila trenja. U sluˇcaju ca ju reverzibilnih procesa (ltr = 0) jednaˇcina cina I zakona termodinamike termo dinamike moˇze ze da se napiˇse se u obliku δq = du + pdv 18

(2. (2.83)

2

q1,2 = u2 − u1 +



pdv.

(2. (2.84)

1

Uzimaju´ Uzima jući ci u obzir da je pdv = d( pv) pv) − vdp jednaˇcina cina prvog zakona termodinami termo dinamike ke (2.84) (2. 84) dobija sledeći ci oblik o blik δq = du + d( pv) pv) − vdp odnosno

δq = d(u + pv) pv) − vdp.

(2. (2.85)

Kako je specifiˇ speci fiˇcna cna entalpija entalpij a povezana sa specifiˇ speci fiˇcnom cnom unutraˇsnjom snjom energijom energijo m izrazom (2.33): (2.33) : i = u + pv, zadnji izraz (2.86) moˇze ze da se napiˇse se u obliku δq = di − vdp odnosno

(2. (2.86) 2

q1,2 = (i2 − i1 ) −



vdp.

(2. (2.87)

1

Izrazi Izrazi (2.87) (2.87) i (2.88) predstavl predstavljaju jaju drugi oblik jednaˇ jednaˇcine cine prvog prvog zakona zakona termodinamik termodinamikee u diferencija diferencijalnom lnom i integralnom obliku, za razliku od jednaˇ cina cina (2.84) i (2.85) koje se ponekad nazivaju prvim oblikom (formom) prvog zakona termodinamike. Iz izraza (2.87) sledi da di predstavlja elementarnu koliˇcinu cinu toplote koja je dovedena dovedena radnom telu tokom izobarnog izobarnog procesa (dp = 0) : dq p = di (2. (2.88) U sluˇ sl uˇcaju caj u konaˇcnog cnog izobarnog izobarno g procesa pr ocesa izmedju stanja 1 i 2 sledi sl edi (q1,2 ) p = i2 − i1 ,

(2. (2.89)

tako da razmenjena koliˇ cina cina toplote moˇ ze ze da se odredi iz razlike entalpija u krajnjim taˇ ckama ckama procesa. Pri praktiˇcnim cnim izraˇcunavanjima cunavanjima koriste se odgovaraju´ odgovara juće ce tabele t abele i grafici za odredjivanje odred jivanje vrednosti vrednos ti entalpije pojedinih gasova i para.

Primer 2.1 Koliki je deo deo dovedene dovedene toplotne toplotne energije energije tokom izobarno izobarnogg pro procesa cesa iskoristi iskoristi za vrˇ vrˇsenje senje rada rada ukoliko ukoliko je radno telo ugljen-dioksid (C O2 ) reˇsenj se nje: e: Na osnovu I principa termodinamike δq = du + δl sledi

δl du = 1− . δq δq

Kako je du = cv dT i

δq = c p dT

dobija se δl cv 1 1 = 1− = 1− = 1− = 0, 0 , 225 δq c p k 1, 29 tj. 22 22..5% uloˇzene zene toplotne toplotn e energije se utroˇ si si za vrˇsenje senje rada a ostali deo (77, (77, 5%) na povećanje can je unutraˇ unu traˇsnje sn je energije gasa. 19

Primer 2.2 Idealan gas mase m=0.5 kg iz stanja 1(v 1(v1 = 0, 5m3 /kg,p1 = 0, 0 , 2M P a) prelazi prela zi kvazi kv azistat statiˇ iˇckim ckim procesom, −4/3 bez razmene toplote s okolinom, po zakonu p(v ) = Av u stanje 2 (v2 , p2 = 0, 05 05M M P a). Odrediti veliˇ cinu cinu izvrˇ senog senog rada tokom datog procesa procesa kao i koliˇ cinu cinu toplote koju je potrebno potrebno dovesti gasu da bi izvrˇsio sio rad veliˇ vel iˇ cine cine 100kJ, prelazeći ci iz stanja 1 u stanje 2 po drugoj dru goj krivoj. reˇsenj se nje: e: Rad izvrˇsen sen tokom datog procesa procesa iznosi 2

L1,2 = ml1,2 = m



2

p( p(v )dv = m

1

 1

1 3

Av−4/3 dv = −3mAv− |21

Konstanta A se nalazi iz uslova da taˇ cka cka 1 zadovoljava datu jednaˇ jednaˇcinu cinu tj. 4 /3

A = p1 v1

= 0, 2 · 106 · 0, 54/3 = 7, 7 , 937 · 104 .

Specifiˇ Speci fiˇcna cna zaprem za premin ina a v2 se nalazi n alazi iz uslova da i taˇcka cka 2 zadovolja z adovoljava va datu d atu jednaˇ cinu cinu tj. /

p2 = Av2 4 3 , −

odakle je v2 = (A/p2 )3/4 = (

7, 937 · 104 3/4 ) = 1, 1 , 414 414m m3 /kg. 0, 05 · 106

Zamenom dobijenih vrednosti u izraz za rad sledi L1,2 = 3 · 0, 5 · 7, 937 · 104 (0, (0, 5−1/3 − 1, 414−1/3 ) = 43, 43, 93 93kJ kJ Veliˇ Veliˇ cina cina promene promene unutraˇ unutraˇ snje snje energije, energije, na osnovu I principa termodinamike termodinamike (Q12 = ∆U + L1,2 ), iznosi (Q12 = 0) ∆U 1,2 = U 2 − U 1 = −L12 = −43 43,, 93 93kJ. kJ. Kada sistem prelazi iz stanja 1 u stanje 2 po drugoj krivoj promena promena unutraˇ snje snje energije je jednaka ∆U 1 ,2 = U 2 − U 1 = ∆U ∆ U 1,2 = −43 43,, 93 93kJ, kJ, jer je unutra unutraˇsnja snja energija energija funkcija funkcija stanja, stanja, tako da njena promen promena a ne zavisi od puta. Dovedena Dovedena koliˇ koliˇcina cina toplote u ovom procesu iznosi   Q12 = ∆U ∆ U 1 ,2 + L1 ,2 = ∆U 1,2 + L12 = −43 43..93 + 100 = 56. 56.07 07kJ. kJ.

20

3. II ZAKON ZAKON TERMODINAMIKE. TERMODINAMIKE. POVRATNOST POVRATNOST I RAD Iz iskustva isk ustva je p oznato da se razliˇciti citi oblici o blici energije energij e (na primer: mehaniˇcka, cka, elektriˇ elektr iˇcna, cna, itd.) i td.) na relativno rela tivno jednostavan jednostavan naˇcin cin pretvaraju u toplotnu energiju. Obrnut proces, tj. pretvaranje toplotne energije (ili drugih oblika energije) energije ) u mehaniˇcki cki rad je moguć, c, kako sledi sled i iz I zakona termodinami termo dinamike, ke, ali je praćen cen reˇsavanjem savanjem sloˇ sl oˇzenih zen ih teh t ehniˇ niˇckih cki h probl pr oblem ema. a. Osnovni zadatak termotehnike je upravo reˇsavanje savanje problema prevodjenja toplote u mehaniˇ cki cki rad. Pri tome se postavlja postavlja pitanje pitanje da li je mogu´ moguće ce da se mikroskop mikroskopsko sko-toplo -toplotno tno kretanje kretanje u potpunosti potpunosti prevede prevede u makroskopsko makroskopsko kretanje, tj. mehaniˇ cki cki rad. Iskustvo je pokazalo da energija toplotnog kretanja, kao jedan od oblika unutraˇ u nutraˇsnje snje energije, energije , ne moˇ m oˇze ze da d a se u potpuno p otpunosti sti transformiˇ transf ormiˇse se u mehaniˇcki cki rad. O uslovima u slovima koji moraju da budu ispunjeni pri konverziji konverziji toplotne energije u mehaniˇ cki cki rad (ili druge oblike energije) govori II zakon zakon termodinamike termodinamike.. Pokazano Pokazano je od strane mnogobrojnih mnogobrojnih autora (Maxwell, (Maxwell, Boltzmann, Boltzmann, Gibbs i dr.) da II zakon (princip) termodinamike termo dinamike nije opˇsti sti zakon prirode priro de i da je primenljiv samo za makroskopske sisteme. 3.1 Formulacije II zakona termodinamike Postoje Posto je viˇse se razliˇcitih citih formulacija formulaci ja II zakona termodinamike termo dinamike do kojih se doˇ d oˇslo slo na osnovu iskustva: a) Nije Nij e mogu´ m oguć takav t akav peri p eriodiˇ odiˇcni cni proces pro ces (ciklus (ci klus)) ˇciji ciji bi konaˇcan can rezulta rezu ltatt bio vrˇsenje sen je rada rad a na n a raˇ r aˇcun cun celokup celo kupne ne toplotne toplotne energije energije uzete od tela viˇ viˇse se temperature temperature (toplotnog (toplotnog izvora) izvora) [Thompson [Thompson (Kelvin) (Kelvin) -Planck-ov -Planck-ov princip], princip], tj. nije moguć perpetuumobile perpetuumobile druge vrste (W.Ostwald). (W.Ostwald). Ova Ova formulacij formulacijaa drugog drugog principa principa termo ter modina dinamike mike pretstav pret stavlja lja ograniˇ ogra niˇcava-ju´ cava-jući ci uslov u slov rada r ada toplot top lotnih nih maˇsina. sina . b) Nije mogu´ c takav takav proces koji bi se sastojao samo u tome da se toplotna energija prenosi sa hladnijeg hladnijeg na toplije toplije telo (Clausius-ov (Clausius-ov princip), tj. toplota toplota ne moˇ ze ze spontano spontano (bez kom kompenzaci penzacionih onih promena u sistemu) da se prenese sa hladnijeg na toplije telo. Ova formulacija pretstavlja ograniˇ cavaju´ cavajući ci uslov rada rashladnih rashladnih uredjaja. uredjaja. Suˇstina stina prethodnih pretho dnih dveju formulacija, formulacij a, kojim koji m su zadati ograniˇcavaju´ cavajući ci uslovi rada toplotnih toplot nih maˇsina sina (a) i rashladnih uredjaja (b), sadrˇ zana zana je u opˇ stoj stoj formulaciji, koja odraˇzava zava statistiˇcki cki karakter karakter II principa termodinamike, nezavisno od njegove primene u termotehnici: c) Svaki realan spontan proces se odvija u smeru od manje verovatnog ka ka verovatnijem verovatnijem stanju (Boltzmann). d) Entropija izolovanog izolovanog sistema ne moˇze ze da opada (princip porasta entropije). e) Svi realni procesi su ireverzi ireverzibilni bilni (nepovratni). (nepovratni). Postoji joˇs nekoliko formulacija I I principa termodinamike t ermodinamike koje ko je se u suˇ stini stini ne razlikuju o d gore navedenih, tj. odraˇzavaju zavaju princip porasta entropije. Iz Thompson-Planck-ovog Thompson-Planck-ovog principa sledi da je za dobijanje rada neop-hodno koriˇ koriˇs´ scenje cénje najmanje dva toplotna toplotna rezervoar rezervoara: a: jednog jednog toplijeg-gr toplijeg-greja ejaˇˇca ca i jednog hladnijeg-hlad hladnijeg-hladnjak njakaa (S.Carnot). (S.Carnot). Osim toga, iz ovog ovog principa princip a sledi da je nemoguće ce da se kostruiˇse se takva toplotna toplot na maˇsina sina koja bi iskoristila iskoristi la celokupnu celokup nu unutraˇ u nutraˇsnju snju energiju jednog tela samo njegovim hladjenjem. 3.2. Povratni kruˇ zni zni procesi pro cesi (ciklusi). (ciklu si). Toplotna oplot na maˇ sina. sina. Termiˇ Term iˇcki ck i koefi ko efici cije jent nt isko is koriˇ riˇs´ cenj ce nja a Kako je u prethodnom p oglavlju istaknuto, na osnovu II principa termodinamike sledi da u periodiˇcnom cnom procesu (ciklusu) nije mogu´ ce ce kompletno prevodjenje toplote u mehaniˇcki cki rad. Medjutim, neprekidno prevodjenje vodjenj e jednog dela uloˇzene zene toplotne toplot ne energije energij e u mehaniˇcki cki rad moˇze ze da se ostvari putem kruˇznog znog termoditermo dinamiˇckog ckog procesa proces a (ciklusa). (ciklu sa). Cikliˇcni cni termodinamiˇcki cki proces je takav takav proces pri kome se sistem, preko niza me-djustanja, vra´ ca ca u poˇ cetno cetno stanje. stanje. Termodinami ermodinamiˇˇcki cki ciklusi ciklusi mogu da budu kako kako povratni povratni (reverzib (reverzibilni) ilni) tako tako i nepovratni nepovratni (ireverzi (ireverzibilni) bilni),, ˇsto zavisi od toga da li su svi delovi procesa povratni povratni ili nepovratni nepovratni.. Ako je samo jedan deo ciklusa nepovratan, tada je nepovratan nep ovratan i ciklus u celini. Strogo govore´ ci, ci, svi realni cikliˇcni cni procesi pro cesi su nepovratni. I pored toga, u daljem izlaganju, biće ce izuˇcavani cavani samo kvazistatiˇ kvazistatiˇcki cki povratni procesi, u kojima je sistem u svakom trenutku tr enutku beskonaˇcno cno blizu ravnoteˇznom znom stanju. stanju . Na vrˇsenju senju cikliˇcnih cnih procesa proce sa zasniva se rad svih toplotnih maˇ sina sina i rashladnih sistema, tako da je izuˇ cavanje cavanje cikliˇcnih cnih procesa vaˇ vaˇzan zan zadatak termotehnike. Svaki cilkliˇcni cni proces moˇ ze ze grubo da se podeli na dva dela. Tokom prvog dela cikliˇ cnog cnog procesa, predstavljeno stavljenogg na slici 3.1. vrˇ vrˇsi si se ˇsirenje sirenje - ekspanzija ekspanzija (proces 1-a-2), 1-a-2), a u drugom drugom delu procesa sabijanja sabijanja kompresija (proces 2-b-1) sistema (radnog tela). Na osnovu I principa termodinamike rad (δL (δL)) pri ˇsirenju sire nju radnog rad nog tela tel a moˇze ze da se vrˇsi si kako na raˇcun cun dovedene koliˇcine cine toplote toplot e (δQ) δQ) tako i na raˇcun cun njegove unutraˇsnje snje energije (dU ) dU ) : δL = δQ − dU. Sliˇ Sl iˇcno, cn o, rad spoljaˇ spolj aˇsnjih snjih sila pri sabijanju sabija nju radnog tela moˇze ze da se jednim delom transformiˇ transf ormiˇse se u unutraˇsnju snju energiju energij u sistema, dok se drugi deo odvodi od sistema u obliku toplote. 21

Slika 3.1 Znaˇci, ci, u jednom delu ciklusa, na primer, tokom procesa 1-a-2 na slici 3.1 radnom telu se dovede koliˇ cina cina toplote Q1 = Q1a2 =



δQ > 0

(3. (3.1)

1−a−2

od spoljaˇsnjeg snjeg izvora viˇse se temperature (grejaˇ ca), ca), a u drugom delu ciklusa, na primer, tokom procesa pro cesa 2-b-1 na slici 3.1 od o d radnog tela se odvede koliˇcina cina toplote Q2b1 =



δQ < 0

(3. (3.2)

2−b−1

ka spoljaˇ spo ljaˇsnjem snjem izvoru toplote toplot e niˇze ze tempera t emperature ture (hladnjaku). (hladn jaku). Odvedena koliˇcina cina toplote toplot e (Q ( Q2b1 ) jednaka je (po apsolutno j vrednosti) ono j koliˇ cini cini toplote koju bi radno telo primilo u suprotnom procesu (1-b-2), tj. Q2 = Q1b2 =



δQ = −

1−b−2



δQ = −Q2b1

(3. (3.3)

2−b−1

Odvodjenje Odvodj enje dela neiskoriˇs´ sćene cene toplotne toplot ne energije energij e (Q2b1 ) u jednom delu ciklusa je neop-hodan uslov da se ciklus cik lus uopˇste ste ostvari. ost vari. U konaˇ cnom cnom bilansu, za jedan ciklus, radnom telu se preda koliˇ cina cina toplotne energije Qc =



δQ

(3. (3.4)

jednaka jedna ka algebarskom zbiru (odnos ( odnosno no razlici) razlici ) dovedene koliˇcine cine toplote top lote Q1a2 i odvedene odveden e koliˇcine cine toplote toplot e Q2b1 : Qc =



δQ +

1−a−2



δQ = Q1a2 + Q2b1

(3. (3.5)

2−b−1

tj. Qc = Q1 − Q2

(3. (3.6)

Dovedena i odvedena o dvedena koliˇcina cina toplote toplot e (Q ( Q1a2 i Q2b1 ), a na osnovu prethodnog, i koliˇcina cina toplote koja se tokom jednog ciklusa preda radnom telu Qc , zavise zavise od puta kojim se iz poˇ cetnog cetnog (1) dolazi u krajnje (2) stanje, stanje, i obrnuto. Kasnije će ce biti pokazano da samo ovaj ovaj deo uloˇzene zene toplotne energije (Qc ) moˇze ze da se transf tra nsformiˇ ormiˇse se u mehaniˇ mehaniˇ cki cki rad, tako da i rad dobijen dobijen u konaˇ konaˇcnom cnom bilansu od sistema sistema zavisi zavisi od oblika oblika ciklusa, ciklusa, tj. oblika oblika putanje (1-a-2-b-1 na slici 3.1.). Rad koji izvrˇ si si gas u procesu 1-a-2, pri ˇsirenju od zapremine V 1 do V 2 (> V 1 ) i promeni pritiska okolne sredine ( a u sluˇ sl uˇcaju ca ju kvazistatiˇ k vazistatiˇckog ckog procesa pro cesa i radnog ra dnog tela) od p1 do p2 , iznosi L1 = L1a2 =



V 2

δL =

1−a−2

22



V 1

p( p(V ) V )dV.

(3. (3.7)

Da bi b i gas g as ponovo p onovo vrˇsio sio rad (L1 > 0) neophodno neopho dno je da se sabijanjem vrati u poˇ p oˇ cetno cetno stanje s parametrima p1 i V 1 . U procesu 2-b-1, pri promeni zapremine gasa od V 2 do V 1 , tj. pri sabijanju, sistem (radno ( radno telo) izvrˇ si si rad L2b1 =

V 1



δL =

2−b−1



V 2

p( p(V ) V )dV = −

V 2



p( p(V ) V )dV.

(3. (3.8)

V 1

Rad sistema pri sabijanju je negativan (L (L2a1 < 0), 0), ˇsto sto znaˇci ci da u ovom delu del u ciklusa cikl usa spoljaˇ spo ljaˇsnje snj e sile sil e vrˇse se rad sabijanja nad sistemom L2 = −L2b1 (3. (3.9) Rad Ra d ˇsiren si renja ja (L1 ) i rad sabijanja (L (L2 ) zavise od oblika funkcije p = p(V ) V ) koja opisuje proces ˇsirenja, sirenja, odnosno sabijanja radnog tela, tj. t j. od puta kojim ko jim se iz poˇ p oˇ cetnog cetnog dolazi u konaˇcno cno stanje i obrnuto. Rad koji koj i izvrˇsi si sistem za jedan ciklus, tzv. rad ciklusa (koristan rad) Lc =



δL

(3. (3.10)

jednak je algebarskom zbiru, odnosno razlici, rada ˇsirenja sirenja L1 i rada sabijanja L2 : Lc =



δL +

1−a−2



δL = L1a2 + L2b1 ,

(3. (3.11)

2−b−1

tj. Lc = L1 − L2

(3. (3.12)

i zavisi od oblika ciklusa, tj. od putanje 1-a-2-b-1. Rad ciklusa Lc je bro b rojno jno jednak jed nak povrˇ pov rˇsini sin i koja ko ja je j e ograniˇ og raniˇcena cena zatvorenom krivom 1-a-2-b-1 u p, V-dijagramu (slika 3.1). Da bi rad ciklusa bio pozitivan (L (Lc > 0), 0), tj. da bi sistem u konaˇ cnom cnom bilansu vrˇsio sio rad nasuprot spoljaˇ spoljaˇsnjim snjim silama, silama, neophodno neophodno je da se izaberu izaberu takvi procesi procesi ˇsirenja sirenja i sabijanja sabijanja radnog radnog tela tako da rad sabijanja bude manji od rada ˇsirenja sirenja (L2 < L 1 ). Primenom prvog zakona termodinamike na zatvoren sistem, u sluˇ caju caju kada radno telo vrˇsi si proizvoljan ciklus, dobija se

   δQ =

dU +

δL.

(3. (3.13)

Kako je unutraˇ unutraˇsnja snja energija sistema funkcija stanja, pa je na taj naˇ cin cin njen integral po zatvorenoj konturi jednak nuli dU = 0, iz prethodnog prethodnog izraza izraza sledi: sledi:



  δQ =

δL.

(3. (3.14)

Na osnovu izraza (3.4) i (3.10) relacija (3.14) dobija sledeći ci oblik: Qc = Lc ,

(3. (3.15)

ˇsto sto znaˇci ci da u direktnom ciklusu sistem vrˇ si si rad (rad ciklusa je pozitivan Lc > 0) na raˇ cun cun jednog dela dovedene koliˇcine cine toplote toplot e (Qc > 0). 0). U inverznom ciklusu od sistema se odvodi toplota (Q ( Qc < 0) na raˇcun cu n rada nad sistemom (L (Lc < 0). 0).

Slika 3.2. S obzirom ob zirom na smer s mer odvijanj o dvijanja a procesa pro cesa (direktan (direkt an i inverzan ciklus) c iklus) moguća ca su dva razliˇcita cita sluˇcaja: caj a: 23

a) Koliˇcina cina toplote toplot e Q1 se od grejaˇ grejaˇca ca predaje telu, koje vrˇ vrˇsi si rad nad oko okolnom lnom sredinom, sredinom, pri ˇcemu cemu se neis ne iskor koriˇ iˇs´ sćena ce na top t oplo lota ta Q2 predaje hladnjaku (slika 3.2a) (direktan ciklus); b) koliˇcina cina toplote toplot e Q2 se odvodi od o d hladnjak hladnjakaa uz vrˇ vrˇsenje senje rada oko okolne lne sredine sredine nad radnim radnim telom (tzv. kompenzuju´ kompenz ujući ci rad) i preda je koliˇcine cine toplota toplot a Q1 grejaˇcu cu (inverzan ciklus). ciklus) . Na sluˇcaju caju pod a) zasnovan zasnovan je rad toplotnih motora (maˇ sina, sina, uredjaja) a na sluˇ caju caju pod b) zasnovan zasnovan je rad rashladnih maˇsina sina (sistema, uredjaja) i tzv. toplotnih pumpi. Na slici s lici 3.2 strelicama strelic ama su s u oznaˇ oz naˇceni ceni smerovi prenosa toplote toplot e i vrˇsenja senja rada. Toplotni motori i rashladne rashladn e maˇsine sine su termodinamiˇ termo dinamiˇcki cki modeli mode li pomoću cu kojih koji h se ˇsemat-ski semat- ski predstavlja predstavl ja rad bilo koje realne toplotne maˇ sine sine ili sistema za hladjenje. Za ocenu stepena savrˇ savrˇsenosti, senosti, odnosno efektivnosti, ciklusa toplotnih maˇ sina sina uvodi se termiˇ ter miˇcki cki (ter (t er-modi mo dina namiˇ miˇcki) cki ) koefi ko eficij cijent ent iskor is koriˇ iˇ s´ s´ cenja cen ja TKI TK I (ili termiˇ te rmiˇcki cki koeficijent koefi cijent korisnog korisn og dejstva dejst va TKKD), koji koj i pokazuje koji se deo dovedene toplote transformiˇ se se u rad ηt =

Lc Q1 − Q2 Q2 = =1 − . Q1 Q1 Q1

(3. (3.16)

ˇ je ηt veće Sto ce to je ciklus cikl us savrˇseniji, seni ji, tj. pri isto ist o j koliˇcini cin i uloˇ u loˇzene zene toplot top lotee Q1 dobija dob ija se veći ci rad Lc . Medjutim, ovde postoje ograniˇ ograniˇ cenja, cenja, koja slede iz II I I principa principa termodinamike, termodinamike, tj. uvek uvek je ηt > 0 i ηt < 1, odnosno 0 < ηt < 1. Efektivnost ciklusa rashladnih maˇsina sina odredjuje se tzv. koeficijentom hladjenja h =

Q2 Q2  1, = Lc Q2 − Q1

(3. (3.17)

a efektivnost ciklusa toplotnih pumpi odredjuje se koeficijentom grejanja (koefici (ko eficijent jent iskoriˇ iskor iˇs´ sćenja cen ja toplot top lote) e) g =

Q1 Q2 + Lc = = h + 1 > 0. Lc Lc

(3. (3.18)

3.3. Carnot-ov Carnot-ov ciklus. Carnot-ov Carnot-ova a teorema teorema Za ocenu savrˇ savrˇsenstva senstva radnog procesa, odnosno ciklusa, realnih toplotnih maˇ sina sina neop-hodno je da se zna idealan ciklus kojim treba da se teˇzi. zi. Taka akav v je tzv. Carnot-ov ciklus. Carnot-ov ciklus ostvaruje radno telo izmedju samo dva izvora toplote konstantnih temperatura: grejaˇ ca ca (temperature T g ) i hladnjak hladnjakaa (temperature (temperature T h < T g ). Idealan Idealan ( bez gubitaka gubitaka), ), povratan povratan proces dovodjenja dovodjenja toplote toplote od grejaˇ grejaˇca ca ka radnom radnom telu moˇ ze ze da se ostvari jedino pri konstantnoj temperaturi radnog tela T 1 = const < T g , tj. pri izotermnom ˇsirenju sirenju (proces 1-2 na slici 3.3.). Ovaj Ovaj uslov uslov moˇ ze ze da bude zadovol zadovoljen jen ukoliko ukoliko se temperatura temperatura grejaˇ ca ca i radnog radnog tela, pri njegovom nje govom ˇsirenju sire nju,, razliku razl ikuju ju za beskonaˇ be skonaˇcno cno mal malu u veliˇcinu cinu dT, dT , tj.: T 1 = T g − dT. dT .

(3. (3.19)

Na sliˇcan can naˇ cin, cin, povratan proces odvodjenja toplote od radnog tela ka hladnjaku moˇ ze ze da se ostvari pri izotermnom sabijanju radnog tela na temperaturi T 2 = const < T 1 (proces 3-4 na slici 3.3.), ukoliko je temperatura radnog tela za beskonaˇ cno cno malu vrednost dT viˇsa sa od o d temper t emperature ature hladnjaka, hladnj aka, tj.: T 2 = T h + dT. dT .

(3. (3.20)

S obzirom obziro m da posto p ostoje je samo dva d va izvora toplote, toplot e, jasno jasn o je da radno r adno telo tel o moˇze ze da predje pred je sa nivoa ni voa viˇse se temperature temp erature T 1 na nivo n ivo niˇ n iˇze ze temp t emperat erature ure T 2 , tj. sa viˇse se na niˇzu zu izotermu, izot ermu, bez b ez razmene razm ene toplote top lote sa okolinom okolin om samo sam o u procesu pr ocesu adijabatskog ˇsirenja sirenja (proces 2-3 na slici 3.3.). Radno telo moˇze ze da predje sa nivoa niˇze ze temperature temp erature T 2 na nivo viˇse se temperature temp erature T 1 , tj. sa niˇ n iˇze ze na na viˇ su su izotermu, b ez razmene toplote t oplote samo u procesu adijabatskog sabijanja (proces (pro ces 4-1 na slici 3.3.). Tokom procesa izotermnog ˇsirenja sirenja (1-2) tradno telo (jedan mol idealnog gasa) izvrˇsi si rad nasuprot sila spoljaˇsnje snje sredine 2 2 dV V 2 A12 = pdV = RT 1 = RT 1 1n (3. (3.21) V 1 1 1 V





na raˇcun cun dovedene toplote toplot e od grejaˇca ca (unutraˇsnja snja energija gasa se ne menja) Q1 = Q12 = A12 = RT 1 1n 24

V 2 , V 1

(3. (3.22)

gde su V 1 i V 2 zapremine gasa u stanjima 1 i 2.

Slika 3.3. Slika 3.4. Tokom Tokom procesa proces a izotermno i zotermnogg sabijanj s abijanjaa (3-4) ( 3-4) sile spoljaˇ spol jaˇsnje snje sredine vrˇse se rad r ad nad gasom (gas vrˇsi si negativan rad ) pri p ri ˇcemu cemu radno r adno telo preda hladnjaku hladnj aku koliˇcinu cinu toplote t oplote jednaku jednak u izvrˇ i zvrˇsenom senom radu, tj. Q34 = A34 = RT 2 ln

V 4 = −Q2 . V 3

(3. (3.23)

Termiˇ cki cki koeficijent koeficij ent iskoriˇs´ sćenja cenja povratnog povratn og direktnog direktn og (desnokretnog (desno kretnog)) Carnot-ovog Carnot- ovog ciklusa, c iklusa, na osnovu (3.16), (3.22) i (3.23), iznosi: V Q2 T 2 ln V ηtc = 1 − =1− . (3. (3.24) Q1 T 1 ln V V 3 4 2 1

Kako se adijabatski procesi 2-3 i 4-1 ostvaruju izmedju temperatura T 1 i T 2 , sledi

 

V 3 V 2

k−1

V 4 V 1

k−1

i

  odakle je

=

T 1 T 2

(3. (3.25)

=

T 1 T 2

(3. (3.26)

V 3 V 2 = . V 4 V 1

(3. (3.27)

Na osnovu o snovu (3.24) i (3.27) ( 3.27) sledi da termiˇ t ermiˇcki cki koeficijent koeficij ent iskoriˇ i skoriˇs´ sćenja cenja Carnot-ovog Carnot- ovog ciklusa cikl usa zavisi samo od temperatura T 1 i T 2 : T 2 T 1 − T 2 ηtc = 1 − = . (3. (3.28) T 1 T 1 TKI Carnot-ovog Carnot- ovog ciklusa je ve´ ci ci ˇsto je ve´ ca ca razlika izmedju temperatura temp eratura T 1 i T 2 , medjutim uvek je manji od 1, jer je T 2 > 0K a T 1 < ∞. Koeficijent hladjenja hc i koeficijent grejanja gc inverznog (levokretnog) povratnog Carnot-ovog ciklusa (slika 3.4.) koji se kao i direktan (desnokretni) povratni Carnot-ov ciklus sastoji iz dve adijabate (3-2) i (1-4) i dve izoterme (2-1) i (4-3), na osnovu (3.17) (3.18), (3.22), (3.23) i (3.27), iznose hc = i gc =

Q2 Q2 T 2 = = Lc Q2 − Q1 T 1 − T 2

(3. (3.29)

Q1 T 1 = hc + 1 = . Lc T 1 − T 2

(3. (3.30)

Koeficijent hladjenja hc i koeficijent grejanja gc inverznog Carnot-ovog ciklusa zavise samo od temperature T 1 i T 2 , odnosno od njihove razlike T 1 − T 2 . Carnot-ov Carnot-ov ciklus je najefektivniji najefektivniji ciklus za transformis transformisanje anje toplote toplote u druge oblike energije energije i sluˇ zi zi kao etalon sa kojim ko jim se porede p orede realni ciklusi. Niti jedna toplotna maˇ sina, sina, koja radi izmedju dva toplotna izvora, ne moˇze ze da ima veći ci termiˇ ter miˇcki cki koeficij koefi cijent ent iskoriˇ iskor iˇs´ sćenja cen ja od maˇsine sin e koja ko ja bi radila radi la po CarnotCarn ot-ovom ovom ciklusu cikl usu (Carnotova teorema). Takodje, moˇze ze da se pokaˇ p okaˇ ze ze da TKI Carnot-ovog C arnot-ovog ciklusa ne zavisi zavis i od o d svojstava svo jstava radnog radno g tela tel a 25

pomo´ cu cu koga se ostvaruje ostvaruje dati ciklus. ciklus. Medjutim, Medjutim, Carnot-ov Carnot-ov ciklus se ne primenjuje primenjuje u praksi praksi zbog ˇcisto cisto tehniˇ teh niˇckih ckih razloga razl oga koji ko ji će ce biti bit i obrazloˇ obra zloˇzeni zeni u glavi g lavi 10. 3.4. Clausius-ov Clausius-ov integral. integral. Entropija Entropija Termiˇ cki cki koeficijent koeficije nt iskoriˇ iskor iˇs´ scenja cénja bilo kog, a time ti me i Carnot-ovog Carnot- ovog ciklusa, cikl usa, na osnovu o snovu izraza i zraza (3.16) (3.1) i (3.3), iznosi: Q2 Q1b2 ηt = 1 − = 1− . (3. (3.31) Q1 Q1a2 gde su Q1 = Q1a2 =

 

δQ

1a2

i Q2 = Q1b2 =

δQ

1b2

koliˇcine cine toplote t oplote koje radno telo primi p rimi tokom procesa pro cesa ˇsirenja sirenja po putanji putanj i 1-a-2 1-a- 2 odnosno o dnosno 1-b-2 prelazeći ci iz stanja ”1” u stanje ”2”. S druge strane, pokazano je (izraz 3.28) da termiˇ cki cki koeficijent iskoriˇ iskoriˇs´ scenja cénja povratnog Carnot-ovog Carnot-ovog ciklusa (slika 3.3.) iznosi T 2 ηtc = 1 − , (3. (3.32) T 1 gde su T 1 i T 2 temperature pri kojima ko jima se vrˇsi si razmena toplote izmedju grejaˇ ca ca i radnog tela i radnog tela i hladnjaka. Poredjenjem izraza (3.31) i (3.32) ( 3.32) dobija se da za povratan p ovratan Carnot-ov ciklus vaˇ vaˇzi zi relacija

odnosno

Q1 Q2 = , T 1 T 2

(3. (3.33)

Q1a2 Q1b2 = . T 1 T 2

(3. (3.34)

veli ve liˇˇcina ci na Q1 i Q2 odnosno Q1a2 i Q1b2 su istog znaka, tj. odnose se na izotermne procese istog smera. S obzirom da se pri Carnot-ovom ciklusu razmena toplote izmedju radnog tela i toplotnih izvora (grejaˇ ca ca i hladnjak hladnjaka) a) vrˇ vrˇsi si samo tokom izotermnih procesa, iz izraza izraza (3.34) sledi da je odnos razmenjene razmenjene toplote toplote i temperature temperature pri kojoj se vrˇsi si razmena, razmena, za bilo koje izotermne izotermne procese koji se odvijaju izmedju izmedju dveju dveju datih adijabata, adijabata, konstantan. konstantan. Odnos razmenjene razmenjene toplote toplote i temperature temperature pri kojo j se toplota toplota razmenjuje razmenjuje tj. Q/T, naziva se redukovana toplota. toplota. Kako je (izraz 3.3) Q1b2 =



δQ = −

1b2



δQ = −Q2b1

2b1

iz izraza (3.34) sledi

odnosno

Q1a2 Q1b2 − = 0, 0, T 1 T 2

(3. (3.35)

Q1a2 Q2b1 + = 0. 0. T 1 T 2

(3. (3.36)

Relacija (3.36) pokazuje da je kod povratnog Carnot-ovog ciklusa, koji se odvija izmedju dve stalne izoterme i dve stalne adijabate, zbir (algebarski) redukovanih redukovanih koliˇ cina cina toplote jednak nuli. Da bi se ostvario bilo kakav kakav povratni ciklus neophodno je da se koristi beskonaˇcno cno veliki bro j toplonih izvora (umesto (um esto dva kao, na primer, pr imer, kod ko d Carnot-ovog Carnot -ovog ciklusa). ciklusa ). U tom sluˇ sl uˇcaju, caj u, bilo bi lo kakav kakav povratni povrat ni ciklus ciklu s moˇze ze i) i) i) i) i) ( ( ( ( ( da se pretstavi skupom velikog broja elementarnih Carnot-ovih ciklusa (na primer 1 − 2 − 3 − 4 − 1 , i na slici sli ci 3.5., 3.5. , koji ko ji ima ju svoje svo je grejaˇ grej aˇ ce ce razliˇ razl iˇcitih citih konstantnih temperatura temp eratura T 1( ) od kojih radno telo dobija toplotu (i) (i) (i) ∆Q1 i hladnjaka na temperaturama T 2 kojima predjaje toplotu ∆Q ∆Q2 . 26

Slika 3.5. S obzirom da su adijabate 2 (i) − 3(i) i 1(i) − 4(i) beskonaˇ cno cno blizu jedna drugoj, razlika temperatura izmedju izm edju taˇcaka caka 1(i) i 2(i) kao i razlika tempera t emperatura tura izmedju taˇcaka caka 3 (i) − 4(i) je beskonaˇcno cno mala tako da se se i) i) i) i) i) i) i) ( ( ( ( ( ( ( linije 1 − 2 i 4 − 3 mogu smatrati izotermama, a time, i da je elementarni ciklus 1 − 2 − 3 − 4(i) − 1(i) - Carnot-ov ciklus. Primenom relacije (3.36) na elementarni povratni Carnot-ov ciklus dobija se (i)

∆Q1

(i)

T 1

(i)

+

∆Q2

= 0.

(i)

T 2

(3. (3.37)

Posle sumiranja odgovaraju´ cih cih relacija (3.37) po svim elementarnim povratnim Carnot-ovim ciklusima datog ciklusa (1-a-2-b-1 na slici 3.5) dobija se n



n

(i)

∆Q1 i

T 1( )

i=1

+



(i)

∆Q2 i

T 2( )

i=1

= 0.

(3. (3.38)

U graniˇcnom cnom sluˇcaju ca ju beskonaˇcno cno malih elementarnih elementarn ih ciklusa, ciklusa , iz (3.38) se dobija n

lim

n→∞

odnosno

n=1

(i)

T 1

1a2

tako da je

n

(i)

∆Q1

 

+ lim

n→∞

δQ + T





2b1



n=1

(i)

∆Q2

(i)

T 2

δQ = 0, 0, T

δQ = 0. T

= 0,

(3. (3.39)

(3. (3.40)

(3. (3.41)

Integral na levoj strani izraza (3.41) naziva se Clauzius-ov integral. integral. Izraz (3.41) pokazuje da je Clauzius-ov integral za proizvoljan povratan ciklus jednak nuli. U sluˇcaju ca ju kada sistem sist em vrˇsi si nepovrat nep ovratan an (ireverzi (ire verzibil bilan) an) cikliˇ cikl iˇcan can proces pro ces moˇze ze da se pokaˇ po kaˇ ze ze da vaˇ zi zi Clauziu Clau ziussova (Clausi (Cla usius) us) nejed n ejednaˇ naˇcina: cin a: δQ < 0, (3. (3.42) T



koja pokazuje pokazuje da je krivolinij krivolinijski ski integral integral elementar elementarne ne redukov redukovane ane toplote δQ/T po zatvore-n zatvore-noj oj putanji putanji (Clausius-o (Clausius-ov v integral) integral) manji od nule. nule. U izrazu (3.42) T je temperatura toplotnih izvora (grejaˇca ca i hladnjaka). Za bilo kakav kakav (reverzibilan ili ireverzibilan) ciklus, na osnovu (3.41) i (3.42), vaˇ vaˇzi zi izraz



δQ ≤ 0, T 27

(3. (3.43)

koji se takodje naziva Clausius-ova nejednaˇcina cina i pokazuje da u sluˇ caju caju bilo kakvog kakvog ciklusa Clausius-ov integral nije ve´ ci ci od nule. Kako je u sluˇcaju caju povratnih cikliˇcnih cnih procesa integral po p o zatvorenoj putanji elementarne redukovane redukovane toplote jednak nuli (izraz 3.41), sledi da je njen integral nezavisan od puta kojim se iz poˇcetnog cetnog stanja dolazi u konaˇ cno cno stanje, odnosno da je podintegralna veliˇ cina, cina, tj. redukovana redukovana toplota, totalni diferencijal neke funkcije stanja S koje se naziva entropija: entropija: δQ dS = . (3. (3.44) T Na osnovu (3.41) i (3.44) sledi da je u sluˇ caju caju povratnih cikliˇcnih cnih procesa



dS = 0.

(3. (3.45)

Pri prelazu p relazu iz poˇ p oˇ cetnog cetnog stanja ”1” u konaˇcno cno stanje ”2” dolazi do promene p romene entropije entropij e ˇcija cija je vrednost vr ednost nezavisna od puta kojim ko jim se iz stanja ”1” doˇslo slo u stanje ”2”, tj.: 2

∆S = S 2 − S 1 =

2

  dS =

1

1

δQ . T

(3. (3.46)

Jedinica za merenje entropije je J/K. Metode Metod e za izraˇcunavanje cunavanje entropije pomoću cu drugih termodinamiˇ termo dinamiˇckih ckih veliˇcina cina biće ce razmotr razm otrene ene u glavi 6. Entropija je eksteznivna ekstezn ivna veliˇcina cina (srazmerna (srazme rna masi sistema) sistem a) tako da moˇze ze da se definiˇse se njena specifiˇ speci fiˇcna cna veliˇ vel iˇcina cin a tzv. tz v. speci sp ecifiˇ fiˇ cna cna entropij entro pija a S s= (3. (3.47) m brojno jednaka entropiji jedinice mase sistema. Jedinica za merenje speci-fiˇcne cne entropije je J/kgK. Sliˇcno cno drugim ekstenzivnim ekstenzi vnim veliˇcinama cinama i entropija e ntropija je aditivn a ditivna a veliˇcina, cina, tj. entropija sistema sistem a ((S S ) jednaka je zbiru entropija podsistema (S (S i ) : n

S =



S i .

(3. (3.48)

l=1

Ovo vaˇ vaˇzi zi samo u sluˇcaju caju kada su ispunjeni uslovi za aditivnost unutraˇ unutraˇsnje snje energije i rad, odnosno kada je unutraˇ unutraˇsnja snja energija sistema jednaka zbiru unutraˇ unutraˇsnje snje energije podsistema i kada je rad sistema jednak zbiru rada podsistema: podsistema: U =

n

n





U i ,

A=

i=1

Ai .

(3. (3.49)

i=1

Tada je, na osnovu prvog principa termodinamike, ukupna koliˇ cina cina toplote koju primi sistem tokom nekog procesa jednaka zbiru koliˇcina cina toplote koju prime podsistemi, p odsistemi, tj. Q = in=1 Qi , tako da je na osnovu (3.46) promena entropije sistema pri prelazu iz stanja ”1” u stanje ”2” jednaka zbiru promena entropije podsistema, tj. n n n 2 2 2 δQ δQi i=1 δQ i ∆S = = = = ∆S i . (3. (3.50) T T 1 T 1 1 i i



 



 



=1

=1

S obzirom da je entropija definisana do na proizvoljnu konstantu, sledi ∆S = (S 2 + const) const) − (S 1 + const) const) = S 2 − S 1 i

n

n

n







i=1

∆S i =

[(S [(S i2 + const) const) − (S i1 + const)] const)] =

i=1

(3. (3.51) n

(S i2 − S i1 ) =

i=1

n

  S i2 −

i=1

S i1 ,

(3. (3.52)

i=1

tako da na osnovu izraza (3.50) sledi da je entropija sistema, kako kako u poˇcet-nom cet-nom stanju tako i u konaˇ cnom cnom stanju, jednaka zbiru entropija podsistema, tj. S 1 =

n

n





S i1 ,

S 2 =

i=1

i=1

28

S i2 ,

(3. (3.53)

ˇsto sto je trebalo tre balo da se dokaˇze. ze. 3.5 Promena entropije pri nepovratnim procesima Iz izraza i zraza (3.44) sledi da u sluˇcaju ca ju razliˇ ra zliˇcitih citih povratnih povratn ih procesa pr ocesa entropija entropij a sistema sist ema moˇ m oˇ ze ze da raste, opada ili da se ne menja. Kako je T > 0 sledi da kada se sistemu dovodi toplota (δQ ( δQ > 0) entropija raste (dS (dS > 0) dok pri odvodjenju toplote (δQ (δQ < 0) entropija sistema opada (dS (dS < 0). 0). Entropija sistema se ne menja (dS ( dS = 0) kada nema razmene toplote sa okolinom (δQ ( δQ = 0), 0), tj. u sluˇ sluˇcaju caju adijabatski adijabatskih h procesa sistema kao celine. celine. Medjutim, Medjuti m, entropija e ntropija sistema sistem a se ne menja m enja i u sluˇcaju caj u kada radno telo vrˇsi si povratni p ovratni cikliˇcni cni proces p roces.. U sluˇ s luˇcaju caj u povratnih p ovratnih cikliˇcnih cnih procesa, proce sa, s obzirom o bzirom da se s e radno ra dno telo vraća ca u poˇcetno cetno stanje, stanje , iz izraza i zraza (3.45) sledi da se entropija radnog tela ne menja, tj.: ∆S rt rt =



dS = 0.

(3. (3.54)

Moˇze ze da se pokaˇze ze da se u sluˇcaju caj u povratnih povratn ih cikliˇcnih cnih procesa proces a (na primer Carnot-ovog Carnot- ovog ciklusa) cik lusa) i entropija sistema toplotnih izvora ne menja (∆S (∆ S ti = 0). 0) . Naime, tokom jednog ciklusa se od grejaˇ ca ca temperature T 1 ti odvodi toplota toplota Q1 a hladnjaku hladnjaku temperatura temperatura T 2 se preda toplota Q2 tako da se entropija grejaˇca ca smanji za ∆S g = − a entropija hladnjaka hladnj aka pove´ p ove´ ca ca za ∆S h =

Q1 , T 1

Q2 . T 2

(3. (3.55)

(3. (3.56)

Ukupna promena entropije sistema toplotnih izvora u sluˇcaju caju povratnog cikliˇ cnog cnog procesa, na osnovu (3.55), (3.56) i (3.33) jednaka je nuli: Q1 Q2 ∆S ti ∆S h = − + =0 (3.57) ti = ∆Gg + ∆S T 1 T 2 Iz izraza (3.54) i (3.57) sledi da je u sluˇcaju caju povratnog Carnot-ovog ciklusa (sa dva toplotna izvora) ukupna promena entropije sistema (radnog tela i toplotnih izvora) jednaka nuli: ∆S sis ∆S ti 0. sis = ∆S rt rt + ∆S ti = 0.

(3. (3.58)

Prethodni Pretho dni zakljuˇcak cak moˇze ze da se proˇsiri siri i za bilo kakav kakav povratni povrat ni ciklus (sa beskonaˇcnim cnim brojem bro jem toplotnih toplot nih izvora). Naime, i u sluˇcaju caju bilo kakvog povratnog cikliˇ cnog cnog procesa pro cesa entropija sistema kao celina se ne menja: ∆S sis sis = 0.

(3. (3.59)

Razmotrimo promenu entropije u sluˇ caju caju nepovratnih procesa, tj. takvih takvih procesa procesa pri kojima kojima postoje gradijent gradijentii pritisk pritiskaa i temperature. temperature. Kao ˇsto sto je poznato, poznato, takvi procesi ne mogu da se pretstave pretstave linijama linijama u termodinamiˇckim ckim dijagramima. Neka se radno telo iz poˇcetnog cetnog stanja ”1” nepovratnim nep ovratnim (ireverzibilnim) procesom procesom 1-2 (crtiˇ (crtiˇcasta casta kriva na slici 3.6.) dovede dovede u novo novo ravnote ravnoteˇˇzno zno stanje ”2”, a zatim se povratnim povratnim procesom 2-b-1 vrati u poˇcetno cetno stanje ”1”. Kako je deo ciklusa nep ovratan, sledi da je dati ciklus (1-2-b-1), posmatran u celini, nepovratan.

29

Slika 3.6. Primenom Clausius-ove Clausius -ove nejednaˇ nej ednaˇcine cine (3.42)



δQ <0 T

na dati nepovratni ciklus 1-2-b-1, uzimaju´ uzima jući ci u obzir da je deo ciklusa 2-b-1 povratan (reverzibilan) tako da je (izraz 3.44)

2−b−1

sledi

odnosno

1

δQ T

                     δQ = T

1−2

δQ T

+

2−b−1

np

=

dS,

2

p

δQ T

=

p

1−2

1−2

δQ T

2

dS = S 2 − S 1 >

1

δQ T

,

2

+

np

dS < 0,

1

(3. (3.60)

np

ili napisano napisano u diferencij diferencijalnom alnom obliku

dS sis sis >

δQ T

.

(3. (3.61)

np

U sluˇcaju caju kada je nep ovratan proces 1-2 adijabatski (δQ = 0), 0), ili kada se bilo kakav nepovratan proces 1-2 odvija u izolovanom sistemu (dU (dU = 0, δL = pdV = 0), 0), ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da je u oba sluˇ slu ˇcaja ca ja δQ = 0, iz izraza (3.60) sledi 2



dS = S 2 − S 1 > 0,

(3. (3.62)

1

odnosno, napisano u diferencijalnom obliku: dS sis sis > 0.

(3. (3.63)

Dakle, u izolovanom sistemu, ili u sluˇ caju caju adijabatske promene stanja sistema, odvija o dvijaju ju se samo takvi ireverzibilni procesi koji dovode do porasta entropije sistema. Kako se, na osnovu (3.44), pri povratnim procesima entropija izlovanog sistema (δQ = 0) ne menja: dS sis (3. (3.64) sis = 0, iz izraza (3.63) i (3.64) sledi da u sluˇ caju caju bilo kakvih (povratnih ili nep ovratnih) procesa pro cesa (ciklusa) entropija izolovanog sistema ne opada: dS sis sis ≥ 0.

(3. (3.65)

Moˇze ze da se primeti primet i da je promena entropije radnog tela pri, pr i, kako povratnim povrat nim tako ta ko i pri nepovratn n epovratnim, im, cikliˇ ci kliˇcnim cnim procesima jednaka nuli (dS ( dS rt = 0), 0) , s obzirom da se sistem vra´ ca c a u poˇ cetno c etno stanje. rt Ukoliko se izolovan sistem nalazi u neravnoteˇ znom znom stanju dolazi do spontanog nepovra-tnog nep ovra-tnog procesa praćenog cenog porastom poras tom entropije (dS > 0), 0), sve dok sistem ne dostigne ravnoteˇzno zno stanje odredjeno maksimalnom vrednoˇ vred noˇs´ sću cu entropij entro pijee (dS = 0, d2 S < 0), 0), ˇcime cime prestaju svi spontani procesi u sistemu. sistemu. Jasno je da u neizolov neizolovanim anim sistemima sistemima entropija entropija moˇ ze ze da raste, raste, opada ili da ostane ostane nepromenje nepromenjena na zavisno zavisno od karaktera araktera procesa. 3.6. Entropija Entropija i drugi princip termodinamik termodinamike. e. Objedinjeni prvi i drugi princip termodinamike U sluˇcaju caju bilo kakvih (povratnih ili nepovratnih) procesa na osnovu izraza (3.46) ( 3.46) i (3.60), odnosno o dnosno (3.44) i (3.6 (3 .61) 1),, vaˇze ze slede sl ede´će ce nejed ne jednaˇ naˇcine: ci ne: δQ ∆S sis , (3. (3.66) sis = S 2 − S 1 ≥ 1−2 T



odnosno dS sis sis ≥ 30

δQ , T

(3. (3.67)

napisane u integralnom, odnosno diferencijalnom obliku. Izrazi (3.66) i (3.67) predstavljaju analitiˇcke cke izraza drugog principa termodinamike za povratne p ovratne (znak ”=”) i nepovratne (znak ”> ” >”) procese bilo kakvog (otvorenog ili zatvore-nog) sistema. U sluˇcaju caju izolovanog izolovanog sistema, ili kada je sistem adijabatski izolovan izolovan (δQ ( δQ = 0), 0), analitiˇ analit iˇcki cki oblik drugog principa termodinamike je slede´ ci ci (izraz 3.65): dS sis sis ≥ 0,

(3. (3.68)

gde znak jednakosti odgovara povratnom procesu. Na osnovu analitiˇckog ckog oblika drugog principa termodinamike (izraz ( izraz 3.67) dS ≥ sledi

δQ T

T dS ≥ δQ.

(3. (3.69)

Iz jednaˇcine cine prvog principa termodinamike (izraz 2.79) δQ = dU + δL, i nejednaˇ cine cine (3.69), koja predstavlja analitiˇcki cki izraz drugog principa termodinamike, dobija se objedinjena jednaˇcina cina prvog i drugog principa termodinamike T dS ≥ dU + δL.

(3. (3.70)

Ukoliko Ukoli ko sist s istem em vrˇsi si samo rad ˇsirenja sire nja (δL = pdV ) pdV ) jednaˇcina cina (3.70) dobija sledeći ci oblik: T dS ≥ dU + pdV.

(3. (3.71)

U sluˇcaju caj u reverzibilnih reverzibi lnih procesa pro cesa ob jedinjena jedinje na jednaˇcina cina prvog i drugog principa p rincipa termodinami termo dinamike ke je data izrazom: i zrazom: T dS = dU + pdV.

(3. (3.72)

3.7. Maksimalan Maksimalan koristan koristan rad. Eksergija Eksergija Vaˇ Vaˇzan zan zadatak z adatak termodinami termo dinamike ke je ispitivanje ispiti vanje uslova usl ova pri kojima ko jima izolovan sistem sist em vrˇsi si maksimala ma ksimalan n koristan koris tan rad, tzv. radna sposobnost sistema. Izolovan sistem moˇze ze da vrˇsi si rad samo u sluˇcaju ca ju kada se ne nalazi u ravnoteˇznom znom stanju ( u ravnoteˇzi zi sa okolnom sredinom), tj. kada temperatura i pritisak razliˇ citih citih delova sistema nisu jednaki. Znaˇci, ci, samo neravnot nerav noteˇ eˇzan zan siste si stem m moˇze ze da vrˇ v rˇsi si rad. rad . Dobijan Dobi janje je rada ra da vezano veza no je za z a prelaz pre laz izol i zolovanog ovanog sistem si stema a iz neravno ne ravnoteˇ teˇznog znog u ravnot rav noteˇ eˇzno zn o sta s tanj nje. e. Vrˇ se´ seći ci rad sist si stem em se sve viˇse se pribl pri bliˇ iˇzava zava ravno rav noteˇ teˇznom zno m stan st anju ju.. Veliˇ cina cina izvrˇsenog senog rada, kao ˇsto sto je poznato, pozn ato, zavisi od karaktera procesa proces a prelaza sistema u ravnoteˇzno zno stanje. Maksimalan rad pri zatvorenim termodinamiˇckim ckim procesima-ciklusima moˇ ze ze da se dobije u sluˇcaju caju reverzibilnog (povratnog) Carnot-ovog Carnot-ovog ciklusa, kada je najviˇsa sa temperatura temp eratura radnog tela jednaka temp eraturi grejaˇ ca ca a najmanja temperatura radnog tela jednaka temperaturi hladnjaka, tj. u sluˇcaju caju kada radno telo vrˇsi si povratne p ovratne adijabat ad ijabatske ske i izotermne izo termne procese. proce se. Odredimo veliˇ cinu cinu maksimalnog korisnog rada izolovanog izolovanog adijabatskog sistema (δQ s = 0), 0), koga koga ˇcine ci ne radno telo sa oko okolnom lnom sredinom. sredinom. Neka Neka su temperatura temperatura T 0 i pritisak p0 okolne sredine konstantne veliˇcine, cine, nezavisne od veliˇcine cine primljene primlj ene koliˇcine cine toplotne toplot ne energije energij e δQ0 i veliˇ vel iˇcine cine izvrˇ izv rˇsenog sen og rada r ada nad okolnom okoln om sredi s redinom nom δL 0 od strane radnog tela. S obzirom da se temperatura T i pritisak p radnog tela razlikuju razlikuj u od odgovaraju´ odgovara jućih cih veliˇcina cina okolne sredine, sledi da je dati izolovani sistem neravnoteˇzan zan i kao takav moˇze ze da vrˇsi si rad. Kako je posmatrani sistem adijabatski izolovan (δQ (δQs = 0), 0) , na osnovu prvog principa termodinamike δQs = dU s + δLs , sledi da je veliˇcina cina izvrˇsenog senog rada izolovanog sistema δLs jednaka smanjenju njegove unutraˇ unutraˇsnje snje energije −dU s , tj. δL s = −dU s . (3. (3.73) Promena unutraˇsnje snje energije izolovanog sistema s istema dU s zbog zb og vrˇsenja sen ja rada δL s jednaka je algebarskom zbiru promena unutraˇsnje snje energije radnog tela dU i okolne sredine dU 0 : dU s = dU + dU 0 . 31

(3. (3.74)

Promena unutraˇsnje snje energije okolne sredine dU 0 koja je nastala zbog razmene toplote δQ0 sa radnim telom i rada δL 0 , koji izvrˇ izvrˇsi si radno telo nasuprot nasuprot sile pritiska pritiska okolne sredine, sredine, na osnovu osnovu prvog prvog principa principa termodinamike, iznosi: dU 0 = δQ0 − δL 0 . (3. (3.75) Na osnovu (3.73), (3.74) i (3.75) dobija se izraz za rad δLs izolovanog izo lovanog sistema sist ema izraˇzen zen preko veliˇcina cina dU,δQ0 i δL 0 : δL s = −dU − δQ0 + δL 0 . (3. (3.76) Pritisak okolne sredine je konstantan ( p ( p0 = const) con st) tako da d a elementarni ele mentarni rad ko ji izvrˇ i zvrˇsi si spoljaˇ sp oljaˇsnja snja sredina pri datom procesu iznosi iznosi δL 0 = p0 dV 0 , (3. (3.77) gde je dV 0 elementar elementarna na promena zapremine zapremine okolne sredine. Kako Kako je promena zapremine zapremine okolne sredine nastala zbog promene zapremine radnog tela −dV = dV 0 , iz (3.77) sledi δL 0 = − p0 dV.

(3. (3.78)

Zbog primljene primlj ene koliˇcine cine toplote toplot e δQ0 dolazi do promene p romene (povećanja) canja) entropije entropij e dS 0 okolne sredine konstantne temperature T 0 (izraz 3.44) δQ0 dS 0 = , T 0 tako da je δQ0 = T 0 dS 0 .

(3. (3.79)

Smenom izraza (3.78) i (3.79) za δL 0 i δQ0 , u izraz (3.76) dobija se izraz za rad izolovanog sistema δL s u obliku δL s = −dU − T 0 dS 0 − p0 dV, (3. (3.80) za sluˇcaj caj beskonaˇcno cno male promene stanja sistema, sistema , odnosno o dnosno Ls = −(U 2 − U 1 ) − T 0 (S 02 02 − S 01 01 ) − p0 (V 2 − V 1 ),

(3. (3.81)

u sluˇcaju ca ju konaˇcne cne promene stanja sistema. sistema . S obzirom da se oduzima deo p0 (V 2 − V 1 ) rada sistema, koji ko ji se troˇsi si na sabijanje okolne sredine, izraz (3.81) predstavlja koristan rad sistema sist ema iz poˇcetnog cetn og neravnot nerav noteˇ eˇznog znog u konaˇcno cno ravnoteˇ ravno teˇzno zno stanje sta nje.. Kako je j e entropija entr opija aditivna aditiv na veliˇcina, cina, i u sluˇcaju caj u izolovanog i zolovanog sistema s istema ne moˇze ze da d a opada, o pada, tj. dS s = dS + dS + dS 0 ≥ 0, sledi da porast entropije okolne sredine dS 0 nastaje ukoliko entropija radnog tela opada (dS ( dS < 0), 0), odnosno dS 0 ≥ −dS,

(3. (3.82)

T 0 dS 0 ≥ −T 0 dS.

(3. (3.83)

δL s ≤ −dU + T 0 dS − dS − p0 dV,

(3. (3.84)

Ls ≤ −(U 2 − U 1 ) + T 0 (S 2 − S 1 ) − p0 (V 2 − V 1 ),

(3. (3.85)

Ls ≤ (U 1 − U 2 ) − T 0 (S 1 − S 2 ) + p0 (V 1 − V 2 ).

(3. (3.86)

tako da je Smenom izraza (3.83) u (3.80) dobija se

ili u sluˇcaju ca ju konaˇcnog cnog procesa pro cesa

odnosno

Iz izraza (3.86) sledi da će ce izolovan sistem da izvrˇsi si najve´ na jveći ci rad u sluˇcaju caj u kada radno telo vrˇsi si reverzibilan reverzibil an (povratan) proces. Ovaj, tzv. maksimalan rad iznosi Lm = (U 1 − U 2 ) − T 0 (S 1 − S 2 ) + p0 (V 1 − V 2 ). 32

(3. (3.87)

Ovim izrazom je, u isto vreme, definisan tzv. maksimalan koristan rad, s obzirom da desna strana izraza predstavlja ukupan maksimalan rad sistema umanjen za veliˇ cinu cinu rada ˇsirenja radnog tela koji se troˇsi si na sabijanje okolne sredine − p0 (V 2 − V 1 ). Maksimalan koristan rad sistema pri datim parametrima okolne sredine p0 i T 0 odredjen odredj en je poˇcetnim cetnim stanjem radnog tela i ne zavisi od puta kojim se stanje menja. Iz izraza (3.87) sledi da će ce radna sposobnost izvora rada, tj. radnog tela, da bude potpuno iskoriˇ iskoriˇs´ scena céna ukuliko ukuliko pritisak pritisak p2 i temperatura temperatura T 2 radnog tela u konaˇ cnom cnom stanju ”2” budu jednaki odgovaraju´ odgovarajućim cim parametrima okolne sredine, odnosno ukoliko se radno telo dovede u stanje ravnoteˇze ze s okolnom sredinom: p2 = p0 i T 2 = T 0 . Pri ovim uslovima su i ostali parametri radnog tela jednaki odgovaraju´ odgovarajućim cim parametrima okolne okolne sredine, sredine, tj.: U 2 = U 0 i V 2 = V 0 . U tom sluˇcaju, caju, iz izraza (3.87), sledi da je maksimalan koristan rad  Lm dat izrazom  Lm = (U 1 − U 0 ) − T 0 (S 1 − S 0 ) + p0 (V 1 − V 0 ). (3. (3.88) S obzirom na vezu entalpije I s unutraˇ unu traˇsnjom snj om energ e nergijom ijom U (I = U + U + pV ) pV ), maksimalan koristan rad (izraz 3.88) moˇze ze da se napiˇse se u obliku obl iku  Lm = (I 1 − I 0 ) − T 0 (S 1 − S 0 ). (3. (3.89) Razlika (I (I 1 − I 0 ) u izrazu izrazu (3.89) predstavlja predstavlja spoljaˇ spoljaˇsnji snji rad pri izoentropsk izoentropskom om procesu (S ( S =const) =con st) a ˇclan cla n T 0 (S 1 − S 0 ) predstavl predstavlja ja koristan koristan spoljaˇ spoljaˇsnji snji rad pri povratnom povratnom izoterm-sk izoterm-skom om procesu procesu (T = const i U = const). Znaˇci, ci, maksimalan koristan rad se dobija pri povratnim adijabatskim (izo entropskim) i izotermskim procesima proce sima kao i njihovoj njih ovoj kombinaciji kombinaci ji (na primer, p rimer, u sluˇcaju caj u povratnog povrat nog Carnot-ovog Carno t-ovog ciklusa). ciklu sa). Veliˇ cina cina korisnog korisn og  rada Lm [izraz (3.88) odnosno (3.89)] naziva se i radna sposobnost toplote ili ukupna eksergija tela. Radna sposobnost toplote, dobijene o d grejaˇ ca ca temperature T 1 predstavlja onaj deo maksimalnog korisnog rada koji moˇze ze da se dobije do bije (na raˇcun cun ove toplote) toplot e) u sluˇcaju ca ju kada je hladnjak hl adnjak okolna sredina tempertemp erature T 0 . U sluˇcaju ca ju cikliˇcnih cnih procesa proces a unutraˇsnja snja energija se ne menja tako da je rad izvrˇsen sen samo na raˇcun cun dela toplote Q1 dovedene dovede ne od grejaˇ grej aˇca. ca. ˇ je veća Sto ca razlika temperatura temp eratura grejaˇca ca i hladnjaka hladnja ka to t o ve´ ci ci deo toplote toplot e uzete od grejaˇca ca moˇze ze da se transformiˇ transf ormiˇse se u rad ra d tokom t okom ciklusa. ciklusa .  Specifiˇ Spe cifiˇ cna cna eksergija ekserg ija e = Lm /m koja se ˇcesto cesto naziva specifiˇ spe cifiˇ cna cna tehniˇcka cka radna sposobno spo sobnost st toplote, na osnovu (3.89), data je izrazom: e = (i1 − i0 ) − T 0 (s1 − s0 ),

(3. (3.90)

preko specifiˇ speci fiˇcne cne entalpije entalpij e (i) i specifiˇ speci fiˇcne cne entropije (s) u poˇcetnom cetnom i krajnjem stanju procesa. Do sada je nekoliko puta naglaˇ seno seno da najeći ci TKI, pri datom izntervalu izntervalu temperatura, ima povratni Carnot-ov Carnot- ov ciklus. Znaˇci, ci, najve´ na jveći ci maksimalan maksima lan koristan rad neke koliˇcine cine toplote toplot e Q1 , uzete od grejaˇca ca tempertemp erature T 1 moˇze ze da se dobije dob ije ukoliko u koliko radno radn o telo tel o vrˇsi si povratan p ovratan Carnot-ov Carnot- ov ciklus. cikl us. Tada je je  Lm = ηc Q1 = Q1 (1 −

T 0 ), T 1

(3. (3.91)

gde je ηc -TKI povratnog Carnot-ovog ciklusa izmedju temperatura T 1 i T 0 . Iz izraza (3.91) sledi da je radna sposobnost toplote tim ve´ ca ca ˇsto je ve´ ca ca razlika temperatura temp eratura T 1 − T 0 , tj. veća ca temperatura temp eratura grejaˇca ca (T 1 ) pri konstantnoj temperaturi hladnjaka (T ( T 0 ). Radna sposobnost postaje jednaka jedna ka nuli nul i u sluˇcaju caj u uspostavljanj uspos tavljanjaa termodinamiˇ termo dinamiˇcke cke ravnoteˇze ze izmedju grejaˇca ca i hladnjaka hladnj aka (T 1 = T 0 ). 3.8. Eksergija Eksergija i gubici rada usled nepovratnosti nepovratnosti realnih procesa U sluˇcaju caju nepovratnog (ireverzibilnog) ciklusa koristan rad toplote, uzete od o d grajaˇca, ca, je manji od maksimalnog simalnog korisnog korisnog rada (radna sposobnost toplote), toplote), s obzirom obzirom da je TKI bilo kog nepovratnog nepovratnog ciklusa ciklusa manji od TKI povratnog Carnot-ovog ciklusa. Svaka Svaka nepovratnost dovodi do srazmernog smanjenja veliˇ cine cine korisnog rada sistema. Kako je veliˇ cina cina porasta entropije mera nepovratnosti proce-sa, sledi da izmedju smanjenja veliˇ cine cine korisnog rada (gubitka radne sposobnosti) sp osobnosti) i porasta entropije posto ji jednoznaˇcna cna veza, odnosno srazmernost. Veliˇ cina cina smanjenja smanjen ja korisnog rada ∆L, usled nepovratnosti nepovrat nosti procesa, proce sa, moˇze ze da d a se s e dobije do bije iz razlike veliˇcine cine maksimalnog korisnog rada toplote (izraz 3.87) kada je proces povratan Lm = (U ( U 1 − U 2 ) − T 0 (S 1 − S 2 ) + p0 (V 1 − V 2 ) i veliˇ vel iˇcine cine korisnog rada sistema u sluˇ s luˇcaju caj u odgovaraju´ odgovara jućeg ceg nepovratnog nepovrat nog procesa proce sa (izraz ( izraz 3.81) Ls = (U ( U 1 − U 2 ) − T 0 (S 02 02 − S 01 01 ) + p0 (V 1 − V 2 ), 33

tj., ∆L = Lm − Ls = T 0 [(S [(S 02 )]. 02 − S 01 01 ) − (S 1 − S 2 )].

(3. (3.92)

S obzirom da ˇclan clan u uglastoj zagradi poslednjeg p oslednjeg izraza (S 02 02 − S 01 01 ) − (S 1 − S 2 ) = (S 02 02 + S 2 ) − (S 01 01 + S 1 ) = S s2 − S s1 = ∆S s ,

(3. (3.93)

predstavlja priraˇ staj staj entropije sistema (∆S (∆S s > 0) usled nepovratnosti proce-sa, gubitak radne sposobnosti ∆L s porastom entropija sistema ∆S ∆S s usled nepovratnosti procesa moˇ ze ze da se predstavi izrazom: ∆L = T 0 ∆S s .

(3. (3.94)

Veliˇ Vel iˇcina ci na ∆L se ˇcesto cest o naziva na ziva energijski gubitak. Analogno izrazu i zrazu (3.94) (3.9 4) gubitak gubit ak specifiˇ speci fiˇcne cne radne sp osobnosti osobnost i toplote (eksergije) ( eksergije) zbog nepovratnosti procesa srazmeran je porastu specifiˇcne cne entropije ∆ ss : ∆e = T 0 ∆ss .

(3. (3.95)

Jednaˇ cine cine (3.94) i (3.95) predstavljaju matematiˇcki cki izkaz tzv. Gui-Stodoline teoreme. Iz izraza (3.94) i (3.95) jasno sledi da pri povratnim procesima u izolovanom sistemu, kada se entropija sistema sistema ne menja, menja, nema gubitaka gubitaka radne sposobnosti sposobnosti toplote, toplote, odnosno eksergije. eksergije. Koriˇs´ sćenje cenje eksergijskog eksergij skog metoda, meto da, koji se u poslednje posl ednje vreme sve viˇse se koristi, pogodno pogo dno je za termodinamiˇ termo dinamiˇcku cku analizu procesa, ciklusa ili uredjaja u celini. Da bi se okarakteri okarakterisao, sao, odnosno definisao, stepen p ovratnost ovratnostii nekog nekog procesa ili ciklusa, ciklusa, uveden uveden je u eks ergijs ijskog kog koefici koe ficijent jenta a iskoriˇ isko riˇ s´ s´ cenja cen ja (EKI) ηe . U sluˇcaju termotehnik termotehniku u pojam ekserg ca ju termo ter modin dinamiˇ amiˇckih cki h ciklusa cikl usa EKI predstavlja odnos realno dobijenog korisnog rada Ls prema veliˇ cini cini maksimalnog korisnog rada, koji bi se dobio da je ciklus povratan, tzv. radna sposobnost toplote Lm : ηe =

Ls ls = , Lm lm

(3. (3.96)

gde ls i lm predstavlja predstavl jaju ju odgovaraju´ odgovara juće ce specifiˇ s pecifiˇcne cne radove. Kako u sluˇcaju caj u povratnih p ovratnih procesa proce sa nema n ema gubitaka gubita ka eksergije maksimalan specifiˇcni cni koristan rad toplote je jednak razlici dovedene dovedene e1 i odvedene odvedene e2 eksergije: lm = e1 − e2 .

(3. (3.97)

Usled nepovratnosti nepovratnosti procesa dolazi dolazi do gubitaka gubitaka eksergije eksergije ∆e tako da specifi-ˇcni cni koristan rad sistema iznosi: ls = lm − ∆e = (e1 − e2 ) − ∆e.

(3. (3.98)

Na osnovu izraza (3.96), (3.97) i (3.98) EKI nepovratnog ciklusa iznosi ηe = 1 −

∆e . e1 − e2

(3. (3.99)

U sluˇcaju caju povratnih procesa i ciklusa je j e lm = ls pa je tada (izraz (3.92)) EKI maksimalan i jednak jedinici (ηe = 1). 1). Na osnovu eksergijske analize (vrednosti EKI procesa ili ciklusa) moˇ ze ze da se zakljuˇci ci o mogu´ cnosti cnosti usavraˇ usavraˇsavanja savanja procesa, ciklusa i uredjaja u celini.

34

Primer 3.1 Odrediti termiˇcki cki koeficijent iskoriˇs´ s´ cenja cenja Lenauer-ovog ciklusa, ciklusa , koji se sastoji iz izohore, adijabata i izobare izobare (slika P3.1). Stepen poviˇ poviˇsenja senja pritiska iznosi ψ = pp = 10 10.. Radno telo je idealan gas. 2 1

Slika P3.1. reˇsenj se nje: e: Toplota se dovodi radnom telu tokom izohornog procesa q1 = cv (T 2 − T 1 ),

(P 3 P 3.1.1)

q2 = c p (T 1 − T 3 ).

(P 3 P 3.1.2)

a odvodi tokom izobarne kompresije Termiˇ cki cki koeficijent iskoriˇs´ s´ cenja cenja ovog ciklusa, ci klusa, na osnovu (P3.1.1) (P3.1. 1) , (P3.1.2) (P3.1.2 ) i (3.16), iznosi ( T − 1) |q2 | c p (T 3 − T 1 ) η =1 − = 1− = 1 − k T . T q1 cv (T 2 − T 1 ) ( T − 1) 3 1 2

(P 3 P 3.1.3)

1

Kako je proces 1 → 2 izohoran sledi T 2 p2 = = ψ, T 1 p1

(P 3 P 3.1.4)

T 2 = ψT 1 .

(P 3 P 3.1.5)

odnosno

S druge strane, proces 2 → 3 je adijabatski, adijabatski, tako da uzimaju´ ci ci u obzir da je p3 = p1 , sledi 1−k

T 2 p2 odnosno

k

1−k

= T 3 p3

T 3 p2 =( ) T 2 p1

k

1−k

k

1−k

= T 3 p1

k

,

(P 3 P 3.1.6)

1−k

=ψ

(P 3 P 3.1.7)

k

Iz (P3.1.5) i (P3.1.7) sledi T 3 = T 2 ψ

1−k

k

= ψT 1 ψ

1−k

k

1 k

= T 1 ψ .

(P 3 P 3.1.8)

Na osnovu (P3.1.3), (P3.1. 3), (P3.1.4) (P3.1.4 ) i (P3.1.8) (P3.1.8 ) dobija se vrednost termiˇ te rmiˇckog ckog koeficijenta koeficij enta iskoriˇs´ s´ ce-nja ce-nja Lanauer-ovog ciklusa: ( T − 1) ψ −1 η = 1 − k T = 1−k = 0, 35 35.. T ψ−1 ( T − 1) 1 k

3 1 2 1

35

Primer Primer 3.2 Odred Odrediti iti eksergiju eksergiju (maksimala (maksimalan n koristan koristan rad rad -radna -radna sposobn sposobnost) ost) vazduha vazduha mase m=7kg 0 smeˇstenog stenog u balon pod pod pritiskom pritisk om p1 = 15 15M M P a i temperaturi t1 = 20 C jednakoj temperaturi okolne sredine t0 = t1 = 200 C. Pritisak okolne sredine je p0 = 0.1MPa. Gasna konstanta za vazduh je R = 287J/kgK. 287J/kgK. reˇsenj se nje: e: Maksimalan koristan rad se dobija kada se gas izotermski (T 0 = T 1 = const) const) ˇsiri sir i do pritisk prit iska a okolne sredine ( p2 = p0 ), s obzirom na povratnost povratnost datog procesa, procesa, izraˇ cunava cunava se na osnovu izrza (3.84):  Lm = (U 1 − U 0 ) − T 0 (S 1 − S 0 ) + p0 (V 1 − V 0 ).

U datom dat om sluˇcaju caju je U 1 − U 2 = mcv (T 1 − T 0 ) = 0 i

2

∆S = S 2 − S 1 = S 0 − S 1 =

 1

2

= mcv

 1

dT + mR T

2

δQ = T

2

 1

dU + T

2

 1

p dV = T

dV T 2 V 2 p1 = mcv ln + mRln = mRln = T 1 V 1 p2 1 V p1 = mRln = 1, 007 · 104 J/K, p0



tako da je T 0 ∆S = 2, 949 949M M J. Poˇ cetna cetna i krajnja zapremina gasa iznose, i znose, respektivno: V 1 = i V 2 = V 0 =

mRT 1 = 0, 0 , 392 392m m3 p1

mRT 0 mRT 1 p1 = = V 1 = 5, 866 866m m3 , p0 p0 p0

pa je p0 (V 1 − V 0 ) = −0, 585 585M M J. Eksergija vazduha iznosi  Lm = T 0 (S 0 − S 1 ) + p0 (V 1 − V 0 ) = 2, 949 949M M J − 0, 585 585M M J = 2, 364 364M M J.

Brojna vre v rednost dnost maksimalnog maksimal nog korisnog kori snog rada moˇ m oˇze ze da se s e odredi grafiˇcki cki na osnovu o snovu p,v (ili T, s) -dijagrama - dijagrama (slika P3.2) i jednaka je povrˇsini sini 1-2-5-1. 1-2-5-1 . Naime, koliˇcina cina toplote t oplote dovedene gasu gas u T 0 (S 2 − S 1 ) > 0, jednaka je radu ˇsirenja sirenja gasa i brojno je j e jednka povrˇsini sini 1-2-3-4-1. 1-2-3-4- 1. Poslednji ˇclan clan u izrazu i zrazu (3.84) ( 3.84) je negativan p0 (V 1 − V 0 ) < 0, i predstavlj predstavlja a deo neiskoriˇ ne iskoriˇs´ s´ cenog cenog rada, koji se troˇ si si na sabijanje sabijanj e okolne sredine konstantnog kon stantnog pritiska pritisk a p0 i brojno je jednak povrˇsini sini 2-3-4-5-2. 2-3-4-5- 2.

Slika P3.2. Primer 3.3 Odred Odrediti iti ukupnu ukupnu eksergiju eksergiju kiseonika kiseonika mase m=1kg i temper temperatur aturee t1 = 5000 C na pritisku jednakom atmosferskom pritisku p1 = p0 . Pritisak i temperatura okolnog vazduha, iznose, respektivno, p0 = 0, 1M P a i t0 = 200 C.R = 260J/kgK. 260J/kgK. Smatrati da je kiseonik idealan gas. 36

reˇsenj se nje: e: Maksimalan rad moˇ ze ze da se dobije ako se dati gas (kiseonik) (kiseonik) povratnim povratnim procesom procesom dovede u ravnoteˇ ravnoteˇzu zu sa okolnom sredinom, sredinom, tako da bude p2 = p1 = p0 i T 2 = T 0 . Ovo moˇ ze ze da se postigne ukoliko se gas prvo adijabtski adijabtski ˇsiri do temper temperatur aturee okolne okolne sred sredine ine a zatim izotermno izotermno sabije sabije do pritiska pritiska okolne okolne sred sredine ine (slika P3.3)

Slika P3.3. Pri tome je za krajnje taˇcke cke ukupnog pro p rocesa cesa U 1 − U 2 = mcv (T 1 − T 0 ) = mcv T 0 ( 1

S 1 − S 0 =

 2

δQ = T

1

 2

mc p dT T 1 T 1 = mc p ln = mc p ln , T T 2 T 0

odnosno T 0 (S 1 − S 0 ) = mc p T 0 ln Kako je V 2 =

mRT 0 p0

T 1 − 1), 1), T 0

T 1 . T 0

i V 1 = V 2 T T sledi 1 0

p0 (V 1 − V 2 ) = p0 V 2 (

V 1 T 1 − 1) = mRT 0 ( − 1). 1). V 2 T 0

Kako je U 2 = U 0 , S 2 = S 0 i V 2 = V 0 smenom dobijenih izraza u (3.84) dobija se vrednost ukupne eksergije:  Lm = mc p T 0 (

=

T 1 T 1 mkT 0 T 1 T 1 − 1 − ln ) = ( − 1 − ln ) T 0 T 0 k − 1 T 0 T 0

1 · 1, 40 · 260 · 293 773 773 ( − 1 − ln ) = 178kJ/kg 178kJ/kg ≈ 180 180kJ/kg. kJ/kg. 0, 4 293 293

37

ˇ ˇ 4. KARAKTERISTI KARAKTERISTICNE FUNKCIJE I TERMODINAMICKI POTENCIJALI. MAXWELL-OVE RELACIJE 4.1. Karakteristiˇ Karakter istiˇ cne cne funkcije i termodinamiˇ termo dinamiˇ cki cki potencijal pot encijalii Za opisivanje termodinamiˇ termod inamiˇckih ckih svojstava sistema u termotehnici se koriste dva metoda: metod meto d kruˇznih znih procesa pro cesa i metod meto d termo t ermodinamiˇ dinamiˇckih ckih potenci po tencijala jala (ili karakteristiˇ karakteri stiˇcnih cnih funkcija). funkcija ). Karakteris Karak teristiˇ tiˇcne cne funkcije su funkcije stanja tj. fiziˇcke cke veliˇcine cine koje koj e su jednoznaˇ jednoz naˇcno cno definisane parametrima par ametrima stanja. Poznavanjem Poznavanjem karakteristiˇcnih cnih funkcija i njenih izvoda mogu da se odrede sva sva termodinamiˇcka cka svojstva sistema, kao ˇsto sto su na primer, parametri stanja, C p i C v kao i drugi termodi jednaˇ je dnaˇcine cin e stan s tanja, ja, jednaˇ jed naˇcine cin e za z a spe s pecifiˇ cifiˇcne cne toplot top lotne ne kapacite kapac itete teC namiˇ nam iˇcki cki poten po tencij cijali ali.. p) i temperatura (T U termodinamici se specifiˇcna cna zapremina (v ), pritisak ( p) (T )) nazivaju termiˇ ckim ckim parametrima (svojstvima) sistema, dok se unutraˇ unutraˇsnja snja energija (u), enkalo riˇ ckim ck im para p arame metri trima ma talpija (i (i), entropija (s (s), speci sp ecifiˇ fiˇcna cna toplot top lotaa (c (c p , cv ) itd, nazivaju nazivaju kaloriˇ (svojstvima) sistema. Jednaˇcine cine stanja koje koj e povezuju povezuj u termiˇcke cke parametre para metre stanja sistema, siste ma, kao ˇsto sto su F ( F ( p,v,T ) = 0 i l i p = p(v, T ) T ) i T = T ( T ( p,v) p,v ), naziv te rmiˇ iˇ ckim ck im jenaˇ je naˇcina ci nama ma.. nazivaju se term Jednaˇcine cine koje povezuju tri parametra stanja od kojih je jedan kaloriˇ kaloriˇcki, cki, kao na primer, kaloriˇ kalo riˇ ckim c k im jednaˇ jed naˇ cina c i nama ma stanj sta nja. a. i = i( p,T ), u = u(v, T ) T ) i dr., nazivaju Karakteris Karak teristiˇ tiˇcne cne funkcije karakteriˇsu su odredjen odr edjenee termodinam termo dinamiˇ iˇcke cke procese pro cese i sadrˇze ze potpot puna obaveˇ obaveˇstenja stenja o termiˇckim ckim i kaloriˇ kaloriˇckim ckim svojstvima sistema. Tako na primer, prvi izvodi ovih funkcija odredjuju parametre stanja p,v,T (termiˇcka cka svojstva) svo jstva) a drugi drug i izvodi izvod i ovih funkcija fun kcija veliˇcine cin e c p i cv (kaloriˇ (kalo riˇcka cka svojstva) svo jstva).. U (S, V ) V ), entalpija I (S, p), HelmholtzKarakteris Karak teristiˇ tiˇcne cne funkcije su unutraˇsnja snja energije ener gije U ( F (T , V ) V ), Gibbs-ova funkcija (slobodna entalpija) G(T , p), ova ova funkcija funkcija (slobodna energija) energija) F ( entropija S (V, U ) U ) i zapremina V ( V (S, U ) U ). Karakteristiˇcne cne funkcije su aditivne i jednoznaˇcne cne funkcije stanja sistema a njihovi diferencijalni priraˇstaji staji su totalni diferencijali. Unutraˇ Unu traˇsnja sn ja ener en ergi gija ja U je karakteristiˇ cna cna funkcija nezavisno promenljivih entropije S i zapremine V, tj. U = U ( U (S, V ) V ). Polaze´ Polaze´ ci ci od jednaˇ jednaˇcina cina prvog i drugog principa termodinamike termodinamike dobija se izraz koji objedinjuje oba pomenuta principa: T dS ≥ dU + pdV.

(4. (4.1)

Ovaj izraz ujedno predstavlja uslov koji mora da bude zadovoljen pri odvijanju kako reverzibilnih tako i ireverzibiln ireverzibilnih ih procesa u sistemu. sistemu. U sluˇ caju caju reverzibilni reverzibilnih h procesa prethodni izraz dobija oblik T dS = dU + pdV, (4. (4.2)  0) promena unutraˇ tako da u sluˇcaju caju kada sistem vrˇsi si rad ( pdV = snje snje energije sistema iznosi dU = T dS − pdV. (4. (4.3)

S obzirom da je unutraˇ unutraˇsnja snja energija U funkcija funkcija nezavisno nezavisno promenljivih promenljivih S i V sledi da priraˇ prir aˇstaj sta j unutraˇsnje snje energije energ ije sistema sistem a iznosi iznos i dU ( dU (S, V ) V ) =

  ∂U ∂S

dS + dS + V

  ∂V ∂S

dV.

(4. (4.4)

S

Iz jednaˇ jednaˇcina cina (4.3) i (4.4) dobijaju se izrazi za parametre parametre stanja T i p T =

  ∂U ∂S

48

(4. (4.5) V

i p = −

  ∂U ∂V

(4. (4.6)

S

Entalpija I je karakteristiˇ cna cna funkcija nezavisno promenljivih entropije S i pritiska p, tj. I = I (S, p). Kako je (izraz 2.32) I = U + pV, priraˇstaj sta j entalpije entalpi je termodinam termo dinamiˇ iˇckog ckog sistema sistem a iznosi iznos i dI = dU + pdV + V dp.

(4. (4.7)

Smenom dU iz jednaˇcine cine (4.4) (4.4 ) u prethodni izraz (4.7) dobija se dI = T dS + dS + V dp.

(4. (4.8)

Kako je, s druge strane, entalpija funkcija nezavisno promenljivih S i p sledi dI (S, p) =

  ∂I ∂S

dS + dS +

p

  ∂I ∂p

dp

(4. (4.9)

S

Iz jednaˇcina cina (4.8) (4.8 ) i (4.9) dobijaju dob ijaju se izrazi za parametre parametr e stanja T i V preko izvoda entalpije po parametrima S i p : ∂I T = (4. (4.10) ∂S p i V =

    ∂ I ∂p

.

(4. (4.11)

S

Helmholtz-o Helmholtz-ov va funkcija funkcija (slobodna energija) energija) F je karateristiˇ karateris tiˇcna cna funkcija nezavisno nezavis no F (T , V ) V ) i predstavlja izotermnopromenljivih temperature T i zapremine V, tj. F = F ( izohorni potencijal. Slobodna energija F je povezana povezan a s unutraˇsnjom snjom energijom ener gijom U relacijom F = U − T S.

(4. (4.12)

Uzevˇsi si u obzir jednaˇcine cine (4.12) (4.12 ) i (4.3) priraˇstaj sta j slobodn slob odnee energije energ ije dF = dU − T dS − SdT iznosi dF = −SdT − pdV. (4. (4.13) F (T , V ) V ), priraˇstaj Kako je F = F ( staj slobodne slobo dne energije je dat izrazom dF ( dF (T , V ) V ) =

  ∂F ∂T

dT +

V

  ∂F ∂V

dV.

(4. (4.14)

T

Poredjenjem jednaˇcina cina (4.13) i (4.14) dobija se

   

S = − i p = −

∂F ∂T

∂F ∂V

49

(4. (4.15) V

T

.

(4. (4.16)

const) priraˇstaj Pri izotermnom procesu (T (T = const) staj slobodne slobo dne energije iznosi dF = − pdV.

(4. (4.17)

Znaˇci, ci, pri izotermnom izote rmnom procesu pro cesu sistem vrˇsi si rad na raˇcun cun smanjenja smanje nja slobodn slob odnee energije energ ije (δA = −dF ) dF ). Kako je U = F + T S, na osnovu prethodnog sledi da slobodna energija predstavlja onaj ona j deo unutraˇsnje snje energije ener gije sistema sistem a koji moˇze ze da se transformiˇ trans formiˇse se u rad; veliˇcina cina T S se naziva vezana energija s obzirom da taj ta j deo unutraˇsnje snje energije ne moˇze ze da se prevede u rad. Gibbs-ova funkcija (slobodna entalpija) G je karakteristiˇ karakteri stiˇcna cna funkcija nezavisno nezavisn o promenljivih promenljivih temperature T i pritiska p, tj. G = G(T , p) i predstavlja izotermno-izobarni potencijal. Slobodna entalpija G vezana je s entalpijom I relacijom: G = I − T S.

(4. (4.18)

Uzevˇsi si u obzir jednaˇcine cine (4.18) (4.18 ) i (4.8) (4.8 ) priraˇ prir aˇstaj sta j slobodn slob odnee entalpije entalpi je dG = dI − T dS − SdT dobija oblik dG = −SdT + V dp. (4. (4.19) Kako je G = G(T , p) priraˇstaj staj slobodne slobo dne entalpije iznosi dG( dG(T , p) =

  ∂G ∂T

dT +

p

  ∂G ∂p

dp.

(4. (4.20)

T

Poredjenjem jednaˇcina cina (4.19) i (4.20) (4 .20) dobija se da je

    ∂G ∂T

S = − i V =

∂G ∂p

(4. (4.21)

p

.

(4. (4.22)

T

Karakteris Karak teristiˇ tiˇcne cne termodinamiˇ termo dinamiˇcke cke funkcije povezane povezan e su medjusobno medjus obno tako da znaju´ zna jući ci jednu od njih njih mog mogu u da se nadju nadju druge. druge. Na primer, primer, pomo´ pomoću cu izraza izraza (4.12) (4.12) i (4.15) (4.15) jednost jednostav avno no se nalazi relacija koja povezuje slobodnu energiju F (i njen prvi izvod) s unutraˇ unutraˇsnjom snjom energijom U (Gibbs-Helm (Gibb s-Helmholtz holtz-ova -ova jednaˇcina): cina) : U = F + T S = F − T

  ∂F ∂T

.

(4. (4.23)

V

Sliˇcno cno pretho pr ethodnom, dnom, uz pomo´ po moć izraza izraz a (4.18) (4.18 ) i (4.21) (4.2 1) dobija dobi ja se relacija rel acija ko ja povezuje povezu je slobodnu slob odnu entalpiju G i njen prvi izvod s entalpijom I : G = I − T S = I + T

  ∂G ∂T

.

(4. (4.24)

p

Entalpija I moˇ ze ze da se predstavi preko drugih karakteristiˇ karakteristiˇcnih cnih funkcija U,F, i G. Na primer, iz relacije (2.32) sledi veza entalpije I i unutr u nutraˇ aˇsnje snj e ener e nergij gijee U : I = U + pV, 50

(4. (4.25)

iz relacije (4.18) sledi veza entalpije i slobodne entalpije G : I = G + T S,

(4. (4.26)

a iz relacije (4.12) i (4.25) sledi veza entalpije I i slobodne energije F : F = U − T S = I − pV − T S, tako da je I = F + pV + T S.

(4. (4.27)

Osim prethodnih relacija, iz izraza (4.18) i (4.27) dobija se veza izmedju slobodne entalpije G i slobodne energije F : G = I − T S = (F + pV + T S ) − T S = F + pV.

(4. (4.28)

Prethodn Preth odno o nadjene nadje ne veze izmedju izme dju karakteristiˇ karakte ristiˇcnih cnih funkcija fun kcija I,U,F i G [relacije [relacije (4.25), (4.26) i (4.27)] grafiˇcki cki su prikazane na slici 4.1.

Slika 4.1. U,I,F i G, kao karakteri Osim navedenih karakteristiˇ karakteri stiˇcnih cnih funkcija U,I,F i karakt eristiˇ stiˇcna cna funkci fu nkcija ja nezane zaV ). Naime, iz jednaˇcine visno promenljivih U i V smatra se entropija S = S (U, V ) cine (4.2) sledi dS =

p 1 dU + dV. T T

(4. (4.29)

S obzirom da je dS (U, V ) V ) =

  ∂S ∂U

dU + V

iz izraza (4.29) i (4.30) sledi T =

i

  ∂S ∂V

1 ∂S ∂U V

     

∂S p = T ∂V

=

U

51

∂S ∂V U . ∂S ∂U V

dV,

(4. (4.30)

U

(4. (4.31)

(4. (4.32)

4.2. Maxwell-o Maxwell-ove ve relacije relacije Diferencij Difer encijalni alni priraˇstaji sta ji karakteristiˇ karakteri stiˇcnih cnih funkcija, funkcija , kako je već naglaˇseno, seno, su totalni total ni diferencijali diferencijali tako da njihovi njihovi uzastopni izvodi ne zavise zavise od redosleda redosleda diferenciranja. Tako je ∂ 2 U ∂ 2 U , = (4. (4.33) ∂V ∂S ∂S∂V pa se iz relacija (4.5) i (4.6) dobija

    ∂T ∂V

S obzirom da je

∂p ∂ S

=−

S

.

(4. (4.34)

V

∂ 2 I ∂ 2 I = ∂V ∂S ∂S∂V

(4. (4.35)

iz relacija (4.10) i (4.11) se dobija

    ∂T ∂p

=

S

∂V ∂ S

.

(4. (4.36)

p

Sliˇcno cno prethodnom, prethodno m, s obzirom da su dF i dG totalni diferencijali, iz relacija (4.15) i (4.16) kao i relacija (4.29) i (4.22) dobijaju se nove relacije

    ∂S ∂V

i

=

T

∂p ∂T

(4. (4.37) V

    ∂ S ∂p

=−

T

∂V ∂T

.

(4. (4.38)

p

Mak svel-ove ove termod term odinam inamiˇ iˇ cke cke relac re lacije ije Relacije (4.34), (4.36), (4.37) i (4.38) nazivaju se Maksvel(jed (j ednaˇ naˇcine ci ne). ). Maksvel-ov Maksvel-ovim im relacijama relacijama su povezani povezani parcijalni parcijalni izvodi termodinamiˇ termodinamiˇ ckih ckih parametara p,V,T i S. Na slici 4.2 prikazana prikazana je ˇsema pomoću cu koje se lako nalaze veze izmedju izmedju parcijalnih parcijalnih izvoda odgovaraju´ odgovarajućih cih termodinamiˇ termodinamiˇckih ckih parametara parametara a time i Maksvel-o Maksvel-ove ve relacije. relacije.

Slika 4.2.

Smer strelice oznaˇ cava cava koji se parametar parametar diferencira diferencira po kom parametru. Na primer, ∂T T → V oznaˇ ozn aˇcava cava parci pa rcijal jalni ni izvo i zvod d ( ∂V )S . Ukoliko Ukol iko se strel st relice ice ukrˇ u krˇsta sta ju odgovar o dgovaraa jući ci parci pa rcijal jalni ni izvodi su suprotnog znaka.

52

4.3. Hemijski Hemijski potencijal potencijal U (S, V ) V ), I = I ( p,S ), Pri razmatranj razma tranju u karakterist karakt eristiˇ iˇcnih cnih funkcija U = U ( F = F ( F (T , V ) V ) i G = G(T , p), kao i funkcija S = S (V, U ) i V = V ( V (S, U ), U ), koje se takodje mogu smatrati smatra ti karakterist karakt eristiˇ iˇcnim, cnim, ukazano je j e da su one on e aditivne adi tivne a time tim e i ekstenz e kstenzivne ivne veliˇ vel iˇcine. cine. Naime, ukoliko se masa m bilo kog dela d ela sistema poveća ca nekoliko puta toliko puta će ce da se uvećaju ca ju i vredno vre dnosti sti svih karakter karak terist istiˇ iˇcnih cni h funkcij fun kcija. a. Znaˇci, ci, termo ter modin dinamiˇ amiˇcke cke karakteri karakt eristiˇ stiˇcne cne funkcije zavise i od mase m komponenata komponenata sistema: sistema: U = mu; mu;

I = mi; mi;

F = mf ; mf ;

G = mg; mg ;

S = ms; ms;

V = mv,

(4. (4.39)

gde su u,i,,f,g,s,v − odgov odg ovara araju´ juće ce specifiˇ spe cifiˇcne cne veliˇcine. cine . Sliˇcno cno relacijama relac ijama (4.24) (4.24 ) (4.12) (4.12 ) i (4.18), koje povezuju entalpiju I , slobodnu energiju F i slobodnu entalpiju G sa unutraˇ utr aˇsnjom snjo m energi ene rgijom jom U, jednostavno se dobijaju dobija ju relacije relaci je koje ko je povezuju p ovezuju odgovarajuće ce specisp ecifiˇcne vel ve liˇcine: i = u + pv (4. (4.40) f = u − T s,

(4. (4.41)

g = i − T s = u + pv − T s.

(4. (4.42)

Iz prethodnog sledi da do promene unutraˇsnje snje energije e nergije sistema moˇze ze da dodje, ne samo pri razmeni razme ni toplote topl ote i vrˇ v rˇsenju senju rada, već i pri ravnoteˇznom znom (reverzibiln (reverz ibilnom) om) dovodjenju dovodje nju (ili odvododvo d jenju) jenju ) beskonaˇ bes konaˇcno cno male koliˇcine cine supstance, supsta nce, mase dm pri konstantnoj entropiji S =const i konstantn konstantnoj oj zapremini zapremini V = const: dU = T dS − pdV + ϕdm,

(4. (4.43)

 

(4. (4.44)

gde je ϕ=

∂U ∂m

S,V

tzv. hemijski potencijal. Na osnovu izraza (4.39) i (3.72) priraˇstaj sta j unutraˇ unutraˇsnje snje energije iznosi: dU = d(mu) mu) = mdu + udm = m(T ds − pdv) pdv ) + udm.

(4. (4.45)

mds = d(ms) ms) − sdm = dS − sdm,

(4. (4.46)

mdv = d(mv) mv ) − vdm = dV − vdm,

(4. (4.47)

Kako je i

izraz izr az (4.45) (4. 45) moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u slede´ sle dećem cem obliku obl iku:: dU = T dS − pdV + (u pv)dm. (u − T s + pv)

(4. (4.48)

Na kraju, na osnovu prethodnog izraza (4.48) i (4.42) dobija se: dU = T dS − pdV + gdm.

(4. (4.49)

Poredjenjem poslednjeg izraza (4.49) sa izrazom (4.43) dobija se da je hemijski potencijal (ϕ) jednak jed nak specifiˇ sp ecifiˇcnoj cno j slobodno slob odno j entalpiji (g ) : 53

ϕ = g.

(4. (4.50)

Na sliˇ sl iˇcan ca n naˇ naˇcin ci n moˇze ze da se p okaˇze ze da vaˇze ze sled sl ed´će ce rela re laci cije je:: dI = T dS + dS + V dp + ϕdm,

(4. (4.51)

dF = −SdT − pdV + ϕdm,

(4. (4.52)

dG = −SdT + V dp + ϕdm.

(4. (4.53)

Iz jednaˇcina cina (4.43), (4.51), (4.52) i (4.53) sledi da je ϕ=

        ∂U ∂m

∂I ∂m

=

S,V

=

S,p

∂F ∂m

∂G ∂m

=

T ,V

,

(4. (4.54)

T ,p

ˇsto sto znaˇci ci da je hemijski potencijal jednak parcijalnom izvodu bilo koje karakteristiˇ karakteristiˇcne cne funkcije po p o masi pri pr i konstantnim vrednostima odgovarajućih cih nezavisno promenljivih. promenljivih . Iz izraza (4.43) sledi T dS = dU + pdV − ϕdm, (4. (4.55) odnosno dS =

p ϕ 1 dU + dV − dm, T T T

(4. (4.56)

tako da je

  ∂S ∂U

V,m

1 = ; T

  ∂S ∂V

p = ; T U,m

  ∂ S ∂m

U,V

ϕ =− . T

(4. (4.57)

Na osnovu izraza (4.54) ustanovljeno je kako kako pomo´ p omoću cu hemijskog potencijala mogu da se odrede promene karakteristiˇ cnih cnih funkcija bilo kog sistema pri promeni koliˇ cine cine supstancije u sistemu. sistemu. Zbog toga hemijski potencij p otencijal al igra vaˇ znu znu ulogu pri analizi faznih prelaza kao i u hemijskoj termodinamici pri razmatranju hemijskih reakcija.

54

Primer Primer 4.1. 4.1. Dokazat Dokazatii da je prome promena na entalp entalpije ije kod kod izoent izoentrropske opske prome promene ne stanja stanja srazmern srazm erna a izvrˇsenom seno m radu. unu traˇsnja snja energija energi ja (u) povezane su relacijom (2.33) i = reˇ senje: Entalpija (i) i unutraˇ u + pv. Diferenciranjem predhodnog izraza dobija se di = du + pdv + vdp.

Znajući ci da je (relacija (3.72)) (3.72 )) du = T ds − pdv,

sledi (4.8) di = T ds + vdp.

P 4.1.1) (P 4

Iz (P4.1.1) sledi da promena entalpije kod izoentropske promene stanja (ds = 0) iznosi di)s = vdp. (di)

P 4.1.2) (P 4

S druge strane, u sluˇcaju caju izoentroske izoentroske promene stanja sta nja sledi pvκ = const, const,

P 4.1.3) (P 4

vdp + κpdv = 0.

P 4.1.4) (P 4

pa je S obzirom da elementarni rad iznosi δl = pdv,

iz predhodnog izraza (P4.1.4) se dobija vdp = −κpdv = −κδl

P 4.1.5) (P 4

di)s = −κδl, (di)

P 4.1.6) (P 4

Iz (P4.1.2) i (P4.1.5) sledi tako da je promena entalpije kod izoentropske izoentropske promene stanja srazmerna izvrˇsenom senom radu (∆i (∆i)s = −κl,

P 4.1.7) (P 4

ˇsto st o je trebalo treba lo da se dokaˇ do kaˇze. ze. Primer 4.2. Specifiˇ Specifiˇcni cni Gibbs-ov potencijal nekog sistema dat je izrazom: g = u0 + aT (1 aT (1 − lnT ) lnT ) + RTlnp − T s0 ,

gde su u0 , a , R i s0 konstan kons tante. te. Naći ci ter termiˇ miˇcku cku i kaloriˇ kal oriˇcku cku jednaˇcinu cinu stanja sta nja tog sistem sis tema. a. unut raˇsnja snj a energija energi ja (u) povezani su reˇ senje: Gibbs-ov potencijal (g ) entalpija (i) i unutraˇ relacijama [(4.18) i (2.33)]: g = i − T s, P 4.2.1) (P 4 i = u + pv.

P 4.2.2) (P 4

Kako je iz (2.54) i (3.44) du = δq − pdv i δq = Tds, sledi (3.72) du = T ds − pdv. 55

P 4.2.3) (P 4

Na osnovu (P4.2.1), (P4.2.2) i (P4.2.3) dobija se (4.19) dg = −sdT + vdp.

P 4.2.4) (P 4

S druge strane, kako je g = g (T , p), dobija se (4.20) dg =

  ∂g ∂T

dT +

p

  ∂g ∂p

dp.

P 4.2.5) (P 4

T

Iz (P4.2.4) i (P4.2.5) sledi [relacije (4.21) i (4.22)] v=

    ∂g ∂p

P 4.2.6) (P 4

T

∂g ∂ T

−s =

,

.

P 4.2.7) (P 4

p

U datom dat om sluˇcaju caju je v=

  ∂g ∂p

= T

∂ RT aT (1 − lnT ) lnT ) + RTlnp − T s0 ]T = , [u0 + aT (1 ∂p p

P 4.2.8) (P 4

ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da je term te rmiˇ iˇ cka cka jedn je dnaˇ aˇ cina ci na stan st anja ja datog sistema oblika pv = RT. RT .

P 4.2.9) (P 4

S druge strane, iz (P4.2.1) i (P4.2.2) sledi u = i − pv = g + T s − pv.

P 4.2.10) (P 4

Smenom konkretnog izraza za Gibbs-ov potencijal i parametara v i s

    v=

s=−

∂g ∂T

∂g ∂p

=

T

RT , p

= alnT − Rlnp + s0 ,

P 4.2.11) (P 4

p

kaloriˇ cka [dobijenih na osnovu izraza (P4.2.7) i (P4.2.8)], u izraz (P4.2.10) dobija se kal jed j ednaˇ naˇ cina ci na stanj sta nja a oblika: u = u0 + (a P 4.2.12) (a − R)T . (P 4 Primer 4.3. Naći ci jednaˇcinu cinu adijabat adi jabatee i jednaˇcinu cinu stanja sta nja idealnog idealn og gasa ga sa ako je entalp ent alpija ija (i) data izrazom: i = c p p

κ−1 κ

e

s−s0 cp

reˇ senje: Elementarna promena entalpije data je izrazom (P4.1.1) di = T ds + vdp. 56

P 4.3.1) (P 4

S druge strane, kako je i = i(s, p), dobija se (4.9) di =

    ∂i ∂s

∂i ∂p

ds +

p

dp.

P 4.3.2) (P 4

s

Iz (P4.3.1) i (P4.3.2) sledi [(4.10) i (4.11)] T =

v=

    ∂i ∂s

,

P 4.3.3) (P 4

.

P 4.3.4) (P 4

p

∂i ∂p

s

U sluˇcaju caju adijabatske adijabatsk e promene stanja (s = const), a na osnovu (P4.3.4), sledi v=

  ∂i ∂p

s

∂ = ∂p



c p p

κ−1 κ

·e



s−s0 cp

= s

κ−1 c p · p κ

−

1

κ

·e

s−s0 cp

,

P 4.3.5) (P 4

pa je jednaˇcina cina adijabate adija bate oblika κ

pv =



odnosno

s−s κ−1 · c p · e cp κ



0

κ

,

P 4.3.6) (P 4

pvκ = const. const.

P 4.3.7) (P 4

Kako je [na osnovu (P4.3.3)] T =

  ∂i ∂s

p

∂ = ∂s



c p · p

κ−1 κ

e



=p

κ−1 κ

e

s−s0 cp

,

P 4.3.8) (P 4

p

sledi Tp

s−s0 cp

−

κ−1 κ

=e

s−s0 cp

.

P 4.3.9) (P 4

Na osnovu (P4.3.6) i (P4.3.9) sledi v κ − 1 c p c p − cv R · = = = , T κ p p p

P 4.3.10) (P 4

pa je jednaˇcina cina stanja idealnog gasa pv = RT. RT . Primer Primer 4.4 Jednaˇ Jednaˇcina cina stanja idealnog idealnog elektronskog elektronskog gasa je oblika pv = jednaˇcinu cinu adijabate adija bate u promenljivim: promenljiv im: a) p, v i b) T,v.

(P 4 P 4.3.11) 2 u. 3

Naći

snje energije energije data je izrazom (3.72) reˇ senje: a) Elementarna promena unutraˇsnje du = T ds − pdv. 57

P 4.4.1) (P 4

U sluˇcaju caj u adijabat adi jabatskog skog procesa (ds = 0) je du = − pdv.

P 4.4.2) (P 4

3 u = pv 2

(P 4 P 4.4.3)

3 3 du = pdv + vdp. 2 2

P 4.4.4) (P 4

dv 3 dp + = 0, v 5 p

P 4.4.5) (P 4

Kako je u konkretnom sluˇcaju caju

sledi

Iz (P4.4.2) i (P4.4.4) sledi

pa je 5 3

lnp + lnv = const, const,

odnosno

P 4.4.6) (P 4

5 3

pv = const. const.

P 4.4.7) (P 4

b) Izraˇ Iz raˇzava za vaju´ jući ci unutraˇ un utraˇsnju sn ju energi en ergiju ju preko prek o paramet param etara ara T i v [u = u(T , v)] sledi (4.1) du =

  ∂u ∂T

dT + v

  ∂u ∂v

dv.

P 4.4.8) (P 4

T

Iz (P4.4.1) sledi

    ∂u ∂v

∂s ∂v

= T

T

− p.

P 4.4.9) (P 4

T

Na osnovu osnov u Maxwel l-ove termodinamiˇ termodinam iˇcke cke jednaˇcine cine (4.37) (4.37 )

    ∂s ∂v

∂p ∂T

=

T

,

P 4.4.10) (P 4

− p.

(P 4 P 4.4.11)

v

i iz izraza (P4.4.9) sledi (primer 4.7)

    ∂u ∂v

∂p ∂T

= T

T

v

Na osnovu (P4.4.8) i (P4.4.11) dobija se du =

  ∂u ∂T

  

dT + T v

∂p ∂T

− p dv,

P 4.4.12) (P 4

v

pa uzimajući ci u obzir da je [na osnovu (P4.4.2)] du = − pdv sledi

  ∂u ∂T

dT + T v

 

58

∂p ∂T

dv = 0. v

P 4.4.13) (P 4

Kako je, u datom sluˇcaju, caju, pv = 23 u sledi

  ∂u ∂T

3 = v 2

v

  ∂p ∂ T

.

P 4.4.14) (P 4

v

Iz (P4.4.13) i (P4.4.14) sledi dT 2 dv + = 0, 3 v T

P 4.4.15) (P 4

odakle je 2 3

lnT + lnv = const, const,

odnosno

P 4.4.16) (P 4

2 3

T v = const. const.

Primer 4.5. Koriste´ Korist eći ci se metodom karakteristiˇ karakterist iˇcnih cnih funkcija izraziti izvod entalpije entalp ije ∂v . preko v, T i ∂T p

 ∂i ∂p

P 4.4.17) (P 4

T

 

reˇ senje: Kako je (P4.1.1.) di = T ds + vdp sledi

    ∂i ∂p

= T

T

∂s ∂p

+ v.

P 4.5.1) (P 4

T

Na osnovu osnov u Maxwel l-ove termodinamiˇ termodinam iˇcke cke jednaˇcine cine (4.38) (4.38 )

    ∂s ∂p

∂v ∂T

=−

T

,

P 4.5.2) (P 4

 

P 4.5.3) (P 4

p

i izraza (P4.5.1) dobija se

  ∂i ∂p

= v − T T

∂v ∂T

p

Primer 4.6. Dokazat Doka zatii da vaˇzi zi sledeća ca ter termodin modinamiˇ amiˇcka cka relacija relac ija::

    ∂p ∂T

v

∂T ∂v

p

∂v ∂p

= −1. T

reˇ senje: Za neku funkciju z = z (x, y) je dz =

i

    ∂z ∂x

dx +

y

∂z ∂y

∂ 2 z ∂ 2 z . = ∂x∂y ∂y∂x 59

dy

P 4.6.1) (P 4

x

P.4.6.2) (P.4

Ako je z = const (dz = 0) iz (P4.6.1) sledi

    ∂z ∂x

∂z ∂y

dx +

y

dy = 0.

P 4.6.3) (P 4

x

Parcijalnim izvodom po x pri z = const iz (P4.6.3) dobija se

     ∂z ∂x

odnosno

pa je

y

∂y ∂x

x

= 0,

∂z ∂y

∂z ∂y

∂y ∂x

x

z

∂y ∂x

x

∂y ∂x

x

∂z ∂x

=−

∂x ∂z

P 4.6.5) (P 4

y

∂x ∂z y

z

z

,

1

=−

P 4.6.4) (P 4

z

              ∂z ∂y

i kona ko naˇ ˇcno cn o

∂z ∂y

+

,

= −1.

(P 4 P 4.6.6)

P 4.6.7) (P 4

y

Ako je z = p, x = v i y = T [ p p = p(v, T )] T )] iz (P4.6.7) sledi

    ∂p ∂T

∂T ∂v

v

p

∂v ∂p

= −1

P 4.6.8) (P 4

T

ˇsto sto je trebalo dokazati. dokaza ti. Primer Primer 4.7. 4.7. Na osnovu Maxwell-ovih Maxwell- ovih jednaˇ jednaˇcina cina izvesti slede´ sledeću cu diferencijalnu diferencijalnu termodin mod inam amiˇ iˇcku ck u jedna jed naˇ ˇcinu ci nu:: ∂p ∂u T = +p ∂T v ∂v T

   

reˇ senje: Kako je (3.72) du = T ds − pdv sledi

    ∂u ∂v

= T

T

∂s ∂v

− p.

P 4.7.1) (P 4

,

P 4.7.2) (P 4

− p,

P 4.7.3) (P 4

T

Jedna od Maxwell-ovih Maxwel l-ovih jednaˇ jednaˇcina cina je (4.37)

    ∂s ∂v

=

T

∂p ∂T

v

tako da se smenom (P4.7.2) u (P4.7.1) dobija

    ∂u ∂v

= T

T

60

∂p ∂T

v

odnosno T

    ∂p ∂T

∂u ∂v

=

v

+ p,

P 4.7.4) (P 4

T

ˇsto sto je trebalo dokazati. dokaza ti. Primer Primer 4.8. 4.8. Koristeći ci se metodom karakteristiˇ karakteristiˇcnih cnih funkcija izraziti promenu ends) p preko promene zapremine dv i tropije pri beskonaˇcno cno malom izobarskom ˇsirenju sirenju −(ds) 1 ∂v koeficijent koefici jenta a zapremins zap reminskog kog ˇsirenja sirenj a α = v ( ∂T ) p .

p reko promene specifiˇ specifiˇcne cne zapremine z apremine i promep romereˇ senje: Ako se promena entropije izrazi preko ne pritiska, ∂s ∂s ds( ds( p,v) p,v ) = dv + dp, P 4.8.1) (P 4 ∂v p ∂p v

   

sledi da je pri izobarnom ˇsirenju sirenju (p=const)

  ∂s ∂v

ds) p = (ds)

dv.

P 4.8.2) (P 4

p

Kako je

         ∂s ∂v

i

[gde je α =

sledi

p

∂T ∂v

1 v

∂v ∂T p ],

 

∂s ∂T

=

p

1

=

∂v ∂T p

p

∂T ∂v

=

P 4.8.3) (P 4

p

1 , αv

P 4.8.4) (P 4

i s obzirom da je (P6.7.1)

 

=

1 c p , T

P 4.8.5) (P 4

 

=

c p . αvT

P 4.8.6) (P 4

c p dv. αvT

P 4.8.7) (P 4

∂s ∂T

∂s ∂v

p

p

Iz (P4.8.2) i (P4.8.65) konaˇcno cno se dobija ds) p = (ds)

61

ˇ TERMODINAMICKIH ˇ 5. RAVNOTE RAVNOTEZA SISTEMA I FAZNI PRELAZI 5.1. Homogeni i heterogeni termodinamiˇ cki cki sistemi Termodinamiˇcki cki sistemi uslovno se dele na homogene i nehomogene (heterogene) sisteme. Homogeni sistemi su takvi sistemi unutar unutar kojih ne postoji povrˇ povrˇsina sina razdela koja ko ja deli makroskopske makr oskopske delove sistema, odnosno, o dnosno, kod kojih ko jih su hemijski sastav i fiziˇcke cke osobine jednaki jednaki u svim njegovim delovima delovima ili se menjaju od jedne do druge taˇcke cke sistema ali bez prekida (skoka). (skoka). Primer homogenog sistema je smesa gasova, gasova, zatim teˇcni cni i ˇcvrsti cvrsti rastvori kao i tela istog hemijskog h emijskog sastava sastava u jednom od o d agregatnih agr egatnih stanja. Fiziˇcke cke osobine, ovakvih ovakvih sistema, mogu da se menjaju bez prekida kao, na primer, gustina vazduha sa nadmorskom visinom visin om u polju pol ju sile teˇze. ze. Heterogeni sistemi su takvi sistemi koji ko ji se sastoje iz dva ili viˇse se homogenih homogen ih sistema (faza) odvojenih odvojen ih povrˇsinom sinom razdela. Pri prolazu kroz povrˇsinu sinu razdela fiziˇcka cka i hemijska hemijska svojstva svo jstva sups s upstan tance ce menj m enjaa ju se s e skokom. sko kom. Taˇcnije cni je reˇ r eˇceno, cen o, povrˇ pov rˇsinu sinu razdel raz delaa ˇcini cin i slo sl o j supst su pstanc ancee duˇ z koga se pri prolazu iz jedne u drugu fazu fiziˇ cka cka i hemijsk hemijska svojstva svojstva menjaju brzo. Heterogen Heter ogenee sisteme, sistem e, u opˇstem stem sluˇcaju, ca ju, ˇcine cine hemijski hemijsk i i fiziˇcki cki razliˇ razl iˇcite cite faze. Heterogeni Heter ogeni sistemi sistemi mogu biti saˇ cinjeni cinjeni i od razliˇ razliˇcitih citih agregatnih agregatnih stanja iste supstance, supstance, tj. mogu da imaju isti hemijski sastav ali razliˇcite cite fiziˇcke cke osobine (led-voda-para). Ne treba meˇsati sati agregatna stanja s fazama. Broj Bro j faza moˇze ze da d a bude bud e znatno znat no veći ci od o d bro b roja ja agregatnih agre gatnih stanja date supstance. Faza heterogenog sistema moˇze ze da se sastoji sasto ji i iz viˇse se hemijski razliˇcitih citih supstanci (na primer, smeˇ se se i rastvori). 5.2. 5. 2. Termodi Termo dinam namiˇ iˇ cka cka ravno rav noteˇ teˇ za za Stanj St anje e termo ter modi dinam namiˇ iˇ cke cke ravno rav noteˇ teˇ ze ze je takvo stanje u kome, pri nepromenjenim spoljnjim spo ljnjim uslovima, uslovima , sistem s istem ostaje osta je beskonaˇ b eskonaˇcno cno dugo. U stanju st anju termodinam termo dinamiˇ iˇcke cke ravnoteˇ ravn oteˇze ze parametri parametri sistema sistema se ne menjaju s vremenom vremenom i ne postoji teˇ znja znja za spontanom spontanom promenom promenom stanja. Svi spontani procesi teˇze ze stanju termodinamiˇcke cke ravnoteˇ ze. ze. Razlikuje se stanje stabilne, nestabilne i relativn rela tivno o stabi s tabilne lne ravnoteˇ ravno teˇ ze. ze. Stanje stabilne stabil ne ravnoteˇ ze ze (stabilno (stabil no stanje) termodinamiˇ termo dinamiˇckog ckog sistema siste ma se karakteriˇse se time ˇsto sto se posle prestanka dejstva spoljnjih sp oljnjih sila, koje dovode do odklona sistema iz stanja sta nja stabil sta bilne ne ravnoteˇ ravn oteˇze, ze, sistem sis tem sponta sp ontano no vraća ca u poˇ p oˇcetno cet no ravnoteˇ ravn oteˇzno zno stanje sta nje.. Stanje nestabilne nestabi lne ravnoteˇ ze ze (labilno (labiln o stanje) termodinam termo dinamiˇ iˇckog ckog sistema se karakteriˇ ter iˇse se time ˇsto sto se posle po sle presta pre stanka nka dejstva dej stva spolj sp oljnih nih sila sil a sistem sist em ne vraća ca u poˇcetno cet no stanje sta nje već ˇ i vrlo male spoljnje sile mogu da prelazi u novo stanje i to stanje stabilne ravnoteˇ ze. ze. Cak nepovratno izvedu sistem iz stanja labilne ravnoteˇ ze. ze. Zbog stalnog dejstva razliˇcitih citih perturbuju´ turb ujućih cih faktora fakto ra sistem moˇze ze da egzistira egzis tira u stanju labilne labil ne ravnoteˇze ze samo u vrlo kratkom vremenskom intervalu. Stanje relativno stabilne ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze (metastabilno stanje) se karakter karak teriˇ iˇse se time tim e da beskonaˇcno cno male spoljne sile (perturbacije) (perturba cije) izazivaju beskonaˇcno cno male otklone iz ovog stanja, a po prestanku njihovog utica ja sistem se spontano vraća ca u poˇcetno cetno stanje (kao kod stanja stabilne ravnoteˇze), ze), medjutim dovoljno jake perturbacije per turbacije nepovratno izvode sistem iz metastabilnog u novo stanje stabilne ravnoteˇze. ze. Na primer, metastabilna stanja su stanje prehladjene vode ili stanje presićene cene pare. par e. 5.3. Uslovi stabilne ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze jednokomponentnih sistema S obzirom obzir om da svi spontani spo ntani procesi pro cesi teˇze ze stanju stanj u stabil s tabilne ne ravnoteˇze, ze, vaˇ zno zno je da se nadju uslovi (kriterijumi) stabilne ravnoteˇze ze a na osnovu njih odredi pravac pravac odvijanja mogućeg ceg spontranog procesa.

62

5.3.1. Uslovi ravnoteˇ ze ze izolovanih sistema s istema uslove ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze izolovanih izolovanih homogenih sistema. sistema . Karakt Razmotrimo uslove Karakteris eristik tikaa izolovanog sistema (sistema sa idealnom toplotnom izolacijom) je da ne razmenjuje toplotu pdV = 0), s okolinom (δQ (δQ = 0) i ne vrˇsi si rad ˇsirenja ili se nad njim ne vrˇsi si rad ( pdV 0), odnosno da se unutraˇ unutraˇsnja snja enerija sistema sistema ne menja (dU = 0). 0). Znaˇci, ci, za izolovani sistem je dU = 0 i dV = 0 odnosno, U = const i V = const. const. Koriste Koriste´ći ci se prvim prvim i drugim drugim zakonom zakonom termodinamike, termodinamike, ranije je pokazano pokazano (glava (glava 3) da u sluˇ caju caju odvijanja bilo reverzibilnih reverzibilnih ili ireverzibilnih procesa p rocesa u termodinamiˇ ter modinamiˇckom ckom sistemu mora da bude bud e zadovoljen uslov u slov (3.71) T dS ≥ dU + pdV

(5. (5.1)

Na osnovu osnovu ovog ovog opˇ opˇsteg steg uslov uslova dobija se uslov uslov za ravnoteˇ ravnoteˇ zu zu izolov izolovanog sistema sistema (dU = 0, dV = 0) : dS ≥ 0. (5. (5.2) Znak ” > ” odgovara odgovara neravnoteˇ neravnoteˇ znom znom stanju sistema, sistema, a znak jednakosti jednakosti odgovara odgovara stanju ravnoteˇze ze sistema pri kojem je entropija dostigla maksimalnu vrednost. vredno st. Znaˇci, ci, u stanju ravnoteˇze ze izolovanog sistema sistem a je S = S max max ;

dS = 0;

d2 S < 0,

(5. (5.3)

gde poslednji izraz oznaˇcava cava da u stanju ravnoteˇze ze entropija ima maksimum. Iz prethodnog preth odnog sledi da u izolovanom sistemu u stanju ravnoteˇze ze presta ju svi spontani procesi koji bi mogli da naruˇse se postignutu p ostignutu ravnoteˇzu, zu, s obzirom o bzirom da su svi spontani sp ontani procesi pro cesi ireverzibiln ireverz ibilnii i kao takvi praćeni ceni porast p orastom om entropije entro pije (dS (dS > 0). 0). Znaˇci, ci, u izolovan iz olovanim im siste si stemima mima sponatni procesi mogu da teku sve dotle dok entropija ne dostigne maksimum, odnosno dok sistem ne dostigne stanje ravnoteˇ ravnoteˇ ze. ze. 5.3.2. Uslovi ravnoteˇ ze ze neizolovanih sistema Ukoliko sistem interaguje s okolnom sredinom konkretni uslovi ravnoteˇze ze mogu da se odrede odr ede iz opˇsteg steg uslova odvijanja odv ijanja termodinam termo dinamiˇ iˇckog ckog procesa pro cesa (5.1), (5.1) , kao u sluˇcaju ca ju ravnoteˇze ze izolovanih sistema, sistema , uz u z koriˇ kor iˇs´ sćenje cenje konkretnih konkret nih uslova interakcije inter akcije sistema s okolnom okol nom sredinom. sredi nom. Razmotrimo Razmo trimo uslove ravnoteˇze ze u sluˇcaju ca ju ˇcetiri cetir i razliˇcita cita uslova interakcije interakci je sistema s okolnom sredinom: interakcije: zapremina sistema se ne menja a sistem razmenjuje toplotu s 1. uslov interakcije: okolinom pri konstantnoj entropiji tj. V =const i S = const. Iz relacije (5.1), napisane u obliku dU ≤ T dS − pdV, za ovaj sluˇcaj ca j interakcije i nterakcije sistema sa okolinom (dV (dV = 0 i dS = 0) sledi uslov dU ≤ 0.

(5. (5.4)

caju ca ju izohorno-iz izoho rno-izoentrop oentropskog skog procesa pro cesa unutraˇ snja snja energija energi ja opada Znaˇci,u sluˇ (ne moˇ ze ze da raste) tako da u sluˇ caju ca ju ravnoteˇ ze ze ima minimalnu minimal nu vrednost vredno st : U = U min min ;

dU = 0;

d2 U > 0.

(5. (5.5)

2. uslov interakcije: sistem razmenjuje toplotnu energiju i rad sa okolnom sredinom pri konstant konstantnom nom pritisku i konstant konstantnoj noj entropiji, entropiji, tj. p = const i S = const. Promena entalpije sistema dI = d(U + pV ) pV ) = dU + pdV + V dp, (5. (5.6) 63

na osnovu izraza izraz a (5.1), (5.1) , moˇze ze da se napiˇse se u obliku oblik u dI ≤ T dS + dS + V dp,

(5. (5.7)

odakle se dobija da pri izobarno-izoentropskom procesu (dp = 0, dS = 0) entalpija opada (ne raste) dI ≤ 0, (5. (5.8) tako da u stanju ravnoteˇ ze ze dostiˇ ze ze minimalnu minimal nu vrednost: vredno st: I = I min min ;

dI = 0;

d2 I > 0.

(5. (5.9)

interakcije: zapremina sistema se ne menja a sistem razmenjuje toplotu s 3. uslov interakcije: okolnom sredinom pri konstantnoj temperaturi, tj. V = const i T = const. Promena slobodne energije (Helmholtz-ova funkcija) sistema dF = d(U − T S ) = dU − T dS − SdT,

(5. (5.10)

na osnovu izraza izraz a (5.1), (5.1) , moˇze ze da se napiˇse se i obliku oblik u dF ≤ −SdT − pdV.

(5. (5.11)

Iz poslednjeg izraza se dobija da pri izobarno izotermnom procesu (dV = 0, dT = 0) slobodna energija opada (ne raste) dF ≤ 0,

(5. (5.12)

tako da u ravnoteˇ znom znom stanju dostiˇ ze ze minimalnu minimal nu vrednost: vrednos t: F = F min min ;

dF = 0;

d2 F > 0.

(5. (5.13)

4. uslov interakcije: sistem razmenjuje toplotnu energiju i rad pri konstantnom pritisku i konstantnoj temperaturi, tj. p = const i T = const. Promena slobodne entalpije (Gibbs-ova funkcija) sistema dG = d(I − T S ) = dI − T dS − SdT,

(5. (5.14)

dS + V dp), dp), iznosi na osnovu izraza (5.7) (dI (dI ≤ T dS + dG ≤ −SdT + V dp. U datom dato m sluˇcaju ca ju (dp = 0

(5. (5.15)

i dT = 0) sledi dG ≤ 0,

(5. (5.16)

izobarno-i o-izot zoterm ermnom nom procesu procesu slobodna slobodna ental entalpij pija a opada opada (ne ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da pri izobarn raste) tako da u ravnoteˇ znom znom stanju dostiˇ ze ze minimalnu minima lnu vrednost: vredno st: G = Gmin ;

dG = 0; 64

d2 G > 0.

(5. (5.17)

Izrazi (5.5), (5.9), (5.13) i (5.17) su opˇ opˇsti sti uslovi uslovi ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze neizolov neizolovanih sistema. sistema. Izbor jednaˇ jedn aˇcine cine pomoću cu koje bi se izuˇcila cila ravnoteˇza za termodinam termo dinamiˇ iˇckog ckog sistema sistem a zavisi od toga kojim koj im paramet pa rametrima rima se karakteriˇ karakt eriˇse se sistem. si stem. term odinamiˇ namiˇ cke cke funkcije fun kcije (potenci (p otencijali) jali) imaju ima ju Uslovi ravnoteˇze ze zahtevaju zahteva ju da sve termodi minimalne vrednosti, pri datim uslovima interakcije sistema sa okolnom sredinom, a entropija maksimalnu vrednost kod izolovanih sistema. 5.4. Uslovi ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze i stabilnosti izolovanog izolovanog homogenog jednofaznog sistema Podelimo misaono izolovan homogeni jednofazni sistem na dva podsistema ”1” i ”2” i nadjimo uslove u slove ravnoteˇze ze ovih podsistema. po dsistema. Kako je ceo sistem izolovan sledi V 1 +V 2 = const i U 1 + U 2 = const., tako da d a pove´ p ove´ canje canje zapremine zapr emine ili unutraˇsnje snje energije ener gije jednog jedno g pod p odsistema sistema nastaje nasta je na raˇcun cun smanjenja zapremine i unutraˇsnje snje energije drugog podsistema, po dsistema, tj., dV 1 = −dV 2

i

dU 1 = −dU 2 .

(5. (5.18)

U prethodnom prethodno m paragrafu p aragrafu (5.3.1.) pokazano je da u stanju termodinamiˇcke cke ravnoteˇze ze en2 tropija izolovanog sistema ima konstantnu maksimalnu vrednost (S (S = S min min , dS = 0, d S < 0). 0). Kako je entropija entrop ija aditivna aditi vna veliˇcina, cina, u ovom sluˇ s luˇcaju ca ju je dS 1 + dS 2 = 0, tako da iz jednaˇ jed naˇcine cin e

(5. (5.19)

T dS = dU + pdV

sledi dS =

p 1 dU + dV. T T

(5. (5.20)

Za podsisteme ”1” i ”2” promene entropije, na osnovu (5.20) i (5.18), iznose p1 1 dU 1 + dV 1 T 1 T 1

(5. (5.21)

p2 p2 1 1 dU 2 + dV 2 = − dU 1 − dV 1 . T 2 T 2 T 2 T 2

(5. (5.22)

dS 1 = i dS 2 =

Zamenom (5.21) i (5.22) u (5.19) dobija se



1 1 − T 1 T 2





p1 p2 dU 1 + − T 1 T 2



dV 2 = 0,

(5. (5.23)

odakle je T 1 = T 2

i

p1 = p2 .

(5. (5.24)

S obzirom da je rezultat (5.24) dobijen nezavisno nezavisno od naˇ cina cina podele izolov izolovanog sistema sistema na st anju ravnoteˇ r avnoteˇ ze ze izolovanog i zolovanog homogenog hom ogenog sistema tempertemp erpodsisteme, sledi da su u stanju atura i pritisak jednaki u svim delovima sistema. Na osnovu osnovu posebnih termodinamiˇ termodinamiˇ ckih ckih razmatranja, razmatranja, pokazuje pokazuje se da u stanju stabilne termodinamiˇ termo dinamiˇcke cke ravnoteˇze ze svaki homogeni homog eni sistem mora da zadovolji i sledeće ce uslove stabilnosti cv > 0 (5. (5.25) 65

i

  ∂p ∂v

< 0.

(5. (5.26)

T

cke cke stabilnosti stabiln osti,, sledi da specifiˇcni Iz uslova (5.25), koji se naziva uslov termiˇ cni toplotni kapacitet pri konstantn konstantnoj oj zapremini zapremini mora da bude pozitivna veliˇ veliˇcina, cina, cv > 0 a time i c p > 0. usl ov mehaniˇ meha niˇ cke cke stabiln sta bilnost ostii , kazuje da je pove´ Drugi uslov (5.26), tzv. uslov canje canje zapremine pri konstantnoj konstantno j temperaturi temp eraturi praćeno ceno padom pa dom pritiska i obratno. 5.5. Uslovi fazne ravnoteˇ ze ze Razmotrimo Razmotrimo uslove uslove fazne ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze izolov izolovanog sistema sistema koji se sastoji od dveju dveju razliˇcitih citih faza, pri ˇcemu cemu koliˇcina cina (masa), (masa) , supstancije supsta ncije iz jedne faze moˇze ze da prelazi prela zi u drugu fazu. fazu. Kao u prethodno prethodnom m poglavlj poglavlju, u, razdeli razdelimo mo misaono misaono sistem sistem na dva dva podsistem podsistemaa (faze) (faze) ”1” i ”2”. Kako je sistem izolovan sledi V 1 + V 2 = const; const;

U 1 + U 2 = const; const;

m1 + m2 = const,

(5. (5.27)

tako da promena zapremine, unutraˇsnje snje energije i mase jednog podsistema pod sistema (faze) moˇze ze da nastane nasta ne samo na raˇcun cun promene prome ne odgovaraju´ odg ovarajućih cih veliˇcina cina drugog drug og podsiste po dsistema, ma, tj. faze: dV 1 = −dV 2 ;

dU 1 = −dU 2 ;

dm1 = −dm2 .

(5. (5.28)

Na osnovu jednaˇ jed naˇcine cine (4.56), (4.5 6), primenjene na podsisteme p odsisteme ”1” i ”2”, sledi dS 1 =

p1 ϕ1 1 dU 1 + dV 1 + dm1 , T 1 T 1 T 1

(5. (5.29)

dS 2 =

p2 ϕ2 1 dU 2 + dV 2 + dm2 , T 2 T 2 T 2

(5. (5.30)

i

gde ϕ1 i ϕ2 predtsvljaju predtsvljaju hemijske hemijske potencija p otencijale le odgovaraju´ odgovarajućih cih faza. Kako Kako je u stanju termodi mo dina namiˇ miˇcke cke ravn ra vnot oteˇ eˇze ze dS sis (5. (5.31) sis = dS 1 + dS 2 = 0, na osnovu (5.29) i (5.30) sledi



1 1 − T 1 T 2





p1 p2 dU 1 + − T 1 T 2

  dV 1 −

ϕ1 ϕ2 − T 1 T 2



dm1 = 0,

(5. (5.32)

tako da je T 1 = T 2 ;

p1 = p2 ;

ϕ1 = ϕ2 .

(5. (5.33)

ravnoteˇ zi zi ako su im temperature, pritisci i hemijski Znaˇci, dve faze se nalaze u ravnoteˇ potencijali potencijali medjusobno medjusobno jednaki jednaki.. Ovaj zakljuˇ zaklj uˇcak cak moˇze ze da se proˇsiri siri i na viˇsefazne sefazn e sistema.

66

5.6. Fazni prelazi Prelaz supstancije iz jedne u drugu fazu naziva se fazni prelaz. Premda je pojam faze i faznog prelaza pr elaza uˇzi zi od o d pojma p ojma agregatnog stanja* u daljem izlaganju izlaga nju će ce se pod po d po p o jmom faze i faznog prelaza podrazumevati agregatno stanje i prelaz iz jednog u drugo agregatno stanje. Zavisno od spoljnjih uslova ( p,T ( p,T ) supstance supst ance se nalaze nalaz e u razliˇ raz liˇcitim citim agrega a gregatnim tnim stanjima. sta njima. Faze se s e karakt kar akteriˇ eriˇsu su razliˇ raz liˇcitim cit im fiziˇckim cki m svo s vojst jstvima vima,, pose p osebno bno gustin gus tinom om (speci (sp ecifiˇ fiˇcnom cno m zaz apreminom). Razlika u osobinama faza se ob jaˇsnjava snjava karakterom medjumolekulskih interi nterakcija. Tako se pri faznom prelazu tzv. toplota faznog prelaza troˇsi si na rad ˇsirenj sir enjaa i na to raskidanje medjumolekulskih veza. Na primer, pri topljenju i sublimaciji toplota se utroˇsi si na razaranje kristalne reˇsetke. setke. Toplota faznog prelaza zavisi od o d pritiska pritiska i temperature i opada s njihovim njihovim porastom. Kako Kako se sublimacija (kao direktan prelaz iz ˇcvrste cvrste u gasnu gasnu fazu) ostvaruje pri niskim pritiscima sledi da je toplota sublimacije velika u poredjenju sa toplotom topljenja i isparav isparavanja. Pri ispitivanju ravnoteˇze ze faza i faznih prelaza ˇcesto cesto se koristi tzv. Gibbs-ovo fazno pravilo koje povezuje bro j stepeni step eni slobode slob ode termodinamiˇckog ckog sistema (ψ) sa brojem komponenti sistema (n (n) i brojem faza u sistemu (r (r ) :

ψ = n − r + 2. 2.

(5. (5.34)

U sluˇcaju ca ju ”ˇciste” ciste ” supstance supsta nce (jednokompo (jedn okomponentni nentni sistem, n = 1) pravilo faza ima oblik:

ψ = 3 − r.

(5. (5.35)

Odavde sledi da je za jednokomponentni (n (n = 1) jednofazni sistem (r (r = 1) broj stepeni slobode ψ = 2. Ovakav sistem je definisan ukoliko su zadata dva parametra stanja, na primer, p i T dok se ostali intenzivni parametri sistema (v, (v, i s itd.) odredjuju odr edjuju jednoznaˇ jedno znaˇcno. cno. Dvofazni Dvofazni jednokomponen jednokomponentni tni sistemi sistemi (r = 2, n = 1) u stanju ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze na osnovu osnovu (5.35), ima jedan stepen slobode (ψ (ψ = 1) tj., nezavisne promenljive su, na primer, pritisak ili temperatura. Broj stepeni slobode trofaznog jednokomponent jednokomponentnog nog sistema (r (r = 3, n = 1) u stanju ravnoteˇ ze, ze, na osnovu (5.35), jednak je nuli (ψ = 0). 0). Znaˇci, ci, tri faze mogu da se nalaze u ravnoteˇ zi zi samo pri, za datu supstanciju konkretnim (odredjenim) konstantnim vrednostima pritiska i temperature.

* na primer, led kao ˇcvrsto cvrsto agregatno stanje vode ima nekoliko nekoliko faza tzv. alotropskih alotropskih modifikacija 67

Slika 5.1 Na slici 5.1, u p, T dijagramu, dijagramu, prikazane su krive faznih prelaza neke supstance. supstance. Linija OA predsta predstavlj vljaa krivu krivu topljen topljenja ja (otvrdnj (otvrdnjav avanja anja), ), linija linija OB - krivu krivu sublim sublimacij acijee (desubli (desubli-macije), linija OK - krivu kljuˇcanja canja (kondenzacije). Taˇcka cka K, u kojoj kojo j se zavrˇ zavrˇsava sava linija cka. ka. kljuˇ klj uˇcanja, can ja, naziva naz iva se kritiˇcna taˇ tr o jna jn a taˇcka cka (taˇcka Stanje, u kojem postoje sve tri faze naziva se tro cka O na slici 5.1). Na osnovu osnovu p,T dijagrama za datu supstancu supstancu moˇ ze ze da se odredi agregatno stanje pri datom pritisku i temperaturi. 5.7. Clausius-Clap Clausiu s-Clapeyron-ova eyron-ova jednaˇ cina cina Dve faze, faz e, na n a primer, pr imer, dvofaznog dvofazn og sistema si stema nalaze nalaz e se u termodi ter modinamiˇ namiˇckoj cko j ravnoteˇ ravno teˇzi zi ukoliko ukol iko su im pritisc pritisci, i, temperat temperature ure i hemijs hemijski ki potencij potencijali ali jednaki jednaki (izraz (izraz 5.33 5.33). ). Znaˇ Znaˇci, ci, pri datoj temperaturi T = T 1 = T 2 i pritiska p = p1 = p2 dve faze faz e će ce se naći ci u ravnoteˇ ravn oteˇzi zi ukoliko ukol iko je ispunjen uslov ϕ1 ( p,T ) = ϕ2 ( p,T ). (5. (5.36) Neka se temperatura i pritisak datog dvofaznog sistema promene za dT i dp, respektivno, ali tako da sistem siste m ostane o stane u stanju stanj u termodina termo dinamiˇ miˇcke cke ravnoteˇze. ze. Iz uslova ravnoteˇ r avnoteˇze ze sledi ϕ1 ( p + dp,T + dp,T + dT ) dT ) = ϕ2 ( p + dp,T + dT ) dT ).

(5. (5.37)

dT ) u red i zadrˇzavanjem Razvojem funkcije ϕ( p + dp,T + dT ) zavanjem na prvim ˇclanovima clanovima razvoja dobija se ∂ϕ ∂ϕ ϕ( p + dp,T + dT ) dT ) = ϕ( p,T ) + dp + dT. dT . (5. (5.38) ∂p T ∂T p

 

 

Kako je na osnovu (4.21), (4.22) i (4.50)

    ∂ϕ ∂p

sledi

=

T

∂g ∂p

=v

i

T

    ∂ϕ ∂T

=

p

∂g ∂T

ϕ( p + dp,T + dT ) dT ) = ϕ( p,T ) + vdp − sdT. 68

= −s

(5. (5.39)

p

(5. (5.40)

Kada se izraz (5.40) primeni za fazu ”1” i fazu ”2” a zatim zameni u (5.37) dobija se ϕ1 ( p,T ) + v1 dp − s1 dT = ϕ2 ( p,T ) + v2 dp − s2 dT. dT .

(5. (5.41)

Kako je u stanju ravnoteˇze ze ϕ1 ( p,T ) = ϕ2 ( p,T ) poslednj pos lednjii izraz izra z moˇze ze da se napiˇse se u obliku oblik u dp s2 − s1 ∆s . = = dT v2 − v1 ∆v

(5. (5.42)

Obzirom da se prelaz iz jedne u drugu drug u fazu deˇsava sava pri konstantnoj temperaturi i konstantnom pritisku, pri tisku, iz jednaˇcine cine drugog d rugog zakona termodinamike termo dinamike (3.72) i izraza izr aza (2.33) (2. 33) T ds = du + pdv = du + d( pv) pv ) − vdp =

sledi odnosno

pv ) − vdp = di − vdp = d(u + pv)

(5. (5.43)

T ds = di,

(5. (5.44)

T ( T (s2 − s1 ) = i2 − i1 .

(5. (5.45)

U sluˇcaju ca ju faznih fazn ih prelaza, razlika entalpija datih faza (i2 − i1 ) jednaka je toploti faznog prelaza (r), tj. koli koliˇˇcini cini toplote toplote koju oslobadj oslobadjaa ili apsorbu apsorbuje je jedinica jedinica mase mase pri faznom faznom prelazu: r = i2 − i1 , (5. (5.46) tako da se na osnovu (5.46) i (5.45) dobija izraz za promenu entropije pri faznom prelazu s2 − s1 =

r . T

(5. (5.47)

Zamenjujući ci dobijen izraz za promenu entropije (5.47) u jednaˇcinu cinu (5.42) ( 5.42) dobija se Clausius-Clape us-Cla peyronyron-ov ovaa jednaˇcina: cina: dp r . = (5. (5.48) dT T ( T (v2 − v1 ) Ovom Ovom diferncijalnom diferncijalnom jednaˇ jednaˇcinom cinom ustanovljena ustanovljena je zavisnost zavisnost promene pritiska pritiska sa temperaturom atu rom od kaloriˇ kalor iˇckih cki h (r) i termiˇ ter miˇcih cih (v1 , v2 ) svojstava supstancije na liniji faznog prelaza, a time je definisan tok (razvoj) krive ravnoteˇze ze faza (linije faznog prelaza) u p,T dijagramu, dp T ). jer dT pretstavlja pretstavlja nagib krive krive p = p(T ) Clausius-Clapeyronova jednaˇcina cina je primenljiv primen ljiva a pri p ri prelazima pr elazima iz jednog u drugo dr ugo agreag regatno stanje hemijski homogenih homogenih supstanci (tela): pri topljenju, otvrdnjav otvrdnjavanju (kristalizaciji), isparavanju i kondenzaciji a takodje pri polimorfnim prelazima (iz jednog u drugo, takodje takod je ˇcvrsto, cvrsto , stanje). stanje ). 5.8. Stabilnost Stabilnost faza Razmotrimo sistem od dveju faza konstantnih i jednakih temperatura i konstantnih i jednakih jednakih pritisak pritisaka. Neka Neka je, na primer, jedna faza teˇ cnost cnost ˇcija cija je masa mt i hemijski potecijal ϕt a druga faza-njena zasićena cena para mase m p i hemijskog potencijala ϕ p . Ukupan Gibbsov potencijal (izobarno-izotermni potencijal) sistema, s obzirom na osobinu aditivnosti aditi vnosti termodinam termo dinamiˇ iˇckih ckih potencij pot encijala, ala, moˇze ze da se napiˇse se u obliku oblik u Gs = ϕt mt + ϕ p m p . 69

(5. (5.49)

Ukoliko se dati sistem ne nalazi u ravnoteˇ znom znom stanju tada će ce doći ci do smanjenja Gibbsog potencijala sistema (dG (dGs < 0), 0), s obzirom obzir om da u ravnoteˇ ravnot eˇznom znom stanju dostiˇze ze minimum (5.17). Pri konstantnoj temperaturi (dT (dT = 0) i konstantnom pritisku (dp (dp = 0) su takodje konstantne vrednosti hemijskih potencijala datih faza, odnosno dϕt = 0 i dϕ p = 0 (jer vdp ). Do promene Gibssovog potencijala je dϕ = −sdT + vdp) p otencijala moˇze ze da dodje samo na raˇcun cun promene masa mt i m p faza (5.49): dGs = ϕt dmt + ϕ p dm p . Kako je ukupna masa sistema konstantna: ms = mt + m p = const sledi dmt = −dm p , tako da promena Gibbsov-og potencijala iznosi dGs = (ϕ p − ϕt )dm p .

(5. (5.50)

Da bi se zakljuˇ cilo cilo koja je od o d dveju dveju faza pri datim uslovima uslovima stabilnija, stabilnija, potrebno p otrebno je da se razmotri zavisnost hemijskog potencijala od pritiska pri konstantnoj temperaturi za obe faze a zatim odredi znak razlike ϕ p − ϕt pri konstan konstantnom tnom pritis pritisku. ku. S obzirom da je na osnovu osnovu (5.39) ∂ϕ 1 = v = > 0, ∂p T ρ

 

p) je monotono rastuća izoterma ϕ = ϕ( p) ca kriva. Kako je ∂ 2 ϕ ∂p 2

    =

T

∂v ∂p

<0 T

p) je konveksna (na gore) (slika 5.2.) (uslov (5.26)) izoterma ϕ = ϕ( p) Nagib izoterme izoterme ϕ = ϕ( p) ce specifiˇ spe cifiˇcne cne zapremine, zapre mine, tj. manje gustine, gustin e, je veći. ci. p) za fazu veće p”) je većeg Na primer (slika 5.2), izoterma zasićene cene pare (” p”) ceg nagiba nagib a od izoterme izote rme za teˇcnost cnost (”t (”t”). ”).

70

Slika 5.2. Taˇcka cka S u kojoj se seku kriva kriva ”p” i ”t” je taˇ cka cka fazne ravnoteˇ ravnoteˇ ze ze date supstance supstance (ϕ p = ϕt ). Sa slike (5.2) se vidi da je u oblasti pritisaka p < ps hemijski hemijs ki potenc p otencijal ijal zasićene cene pare niˇzi zi od hemijs hem ijskog kog poten po tencij cijala ala teˇcnosti cno sti ϕ p < ϕt , odnosno ϕ p − ϕt < 0, tako da sistem sis tem teˇzi zi ravn ra vnot oteˇ eˇzi zi (dG < 0) samo ako raste masa pare dm p > 0 na raˇ ra ˇcun cu n ma mase se teˇ teˇcnos cn osti ti,, ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da je pri p ri datim uslovima stabilnija faza niˇze ze vrednosti hemijskog potencijala, tj. faza pare. Kada je p > ps , sledi ϕt < ϕ p , odnosno ϕ p − ϕt > 0, tako da sistem sis tem teˇzi zi ravnoteˇ ravn oteˇzi zi ako opada masa pare dm p < 0, tj. ako raste masa teˇcnosti cnost i na raˇcun cun mase pare. pare . Znaˇci, ci, opet ope t je stabilnija stabilnija faza koja pri datim uslovima uslovima ima niˇzu zu vrednost vrednost hemijskog hemijskog potencijala, tj. faza teˇ cnosti. cnosti. Na osnovu osnovu prethodnog sledi da je pri datim vrednostima p i T stabilnija ona faza ˇ ciji ciji je hemijski hemijsk i potencijal pote ncijal niˇ zi. zi .

71

Primer 5.1. Za dve faze jednokomponentnog sistema poznate su slobodne energije karakteristiˇcnih cnih promenljivih. Dokazati da se ravnoteˇ ravnoteˇzne zne f 1 (T , v) i f 2 (T , v) kao funkcije karakteristiˇ specifiˇ specifiˇ cne cne zapremine faza pri datoj temperaturi temperaturi T mogu da odrede odrede na osnovu zajedniˇ zajedniˇcke cke tangente na krive f 1 (v ) i f 2 (v ). reˇ senje: Uslovi termodinamiˇ termodinam iˇcke cke ravnoteˇze ze za dvofazne dvofaz ne jednokomponentne jednokomponentn e sisteme sistem e su (5.33): p1 = p2 = p, P 5.1.1) (P 5 T 1 = T 2 = T ,

P 5.1.2) (P 5

ϕ1 (T , p) = ϕ2 (T , p),

P 5.1.3) (P 5

ϕ = f + pv = g

P 5.1.4) (P 5

gde je [(4.50) i (4.28)] hemijski potencijal, jednak slobodnoj entalpiji g. Kako je (4.41) f = u − T s,

sledi

df = du − T ds − sdT.

P 5.1.5) (P 5

du = T ds − pdv,

P 5.1.6) (P 5

S druge strane (3.72) je tako da se na osnovu (P5.1.5) i (P5.1.6) dobija (4.13) df = −sdT − pdv.

P 5.1.7) (P 5

Iz (P5.1.7) sledi (4.16) p = −

  ∂f ∂v

,

P 5.1.8) (P 5

T

a s obzirom na (P5.1.1) i (P5.1.8) dobija se ( p =) −

    ∂f 1 ∂v

=−

T

∂f 2 ∂v

.

P 5.1.9) (P 5

T

Na osnovu (P5.1.3) i (P5.1.4)) je f 1 + p1 v1 = f 2 + p2 v2 ,

P 5.1.10) (P 5

f 1 + pv1 = f 2 + pv2 ,

P 5.1.11) (P 5

odnosno [na osnovu (P5.1.1)] tako da je p = −

f 2 − f 1 v2 − v1

72

P 5.1.12) (P 5

.

Slika P5.1

Izrazi (P5.1.9) i (P5.1.12) pokazuju da se pri datoj temperaturi temperaturi ravnoteˇ ravnoteˇza za postiˇ postiˇze ze izmedju stanja prikazanih prika zanih taˇckama ckama 1 i 2 (ˇcije cije su apscise apscis e v1 i v2 ) na krivama f 1 (v ) i f 2 (v ), koje imaju zajedniˇ zajedniˇcku cku tangentu (slika P 5.1).

Primer 5.2. U zatvorenom sudu zapremine V 0 = 5 · 10 3 m3 nalazi se mT = 10 kg vode na temperaturi od T = 373 K. Prostor iznad vode ispunjen je zasićenom cenom vodenom parom parom (vazduh je evakuisan). Odrediti Odrediti pove´ povećanje canje mase ∆m zasi´ zas ićene cene pare pri povećanju can ju 6 temperature za ∆T = 1K. Toplota isparavanja iznosi r = 2, 3 · 10 J/kg. Gasna konstanta za vodenu paru je R=461J/kgK. Smatrati da je vodena para idealan gas. −

reˇ senje: S obzirom da je pritisak pare pare mali, ma li, para para moˇze ze da se smatra idealnim gasom RT , sledi da promena temperature tako da na osnovu jednaˇ jednaˇcine cine stanja za idealni gas pv = RT, zasi´ za sićene ce ne pare za dT dovodi do promene specifiˇ specifiˇcne cne zapremine dv i promene pritiska dp : pdv + vdp = RdT

P 5.2.1) (P 5

odnosno

dv dp +v = R. dT dT Na osnovu osnov u ClausiusCl ausius-Clapeyron-ove Clapeyron-ove jednaˇcine cine (5.48) p

P 5.2.2) (P 5

dp r ≈ P 5.2.3) (P 5 dT Tv [specifiˇ cna cna zapremina pare pare mnogo je veća ca od specifiˇ specifiˇcne cne zapremine teˇcnosti] cnosti] i na osnovu izraza (P5.2.1) sledi dv 1 dp 1 r − − R) = ( − R). P 5.2.4) = (v (P 5 dT p dT p T 73

Opadanje specifiˇ specifiˇcne cne zapremine s porastom porastom temperature znaˇci ci da se pove´ cava cava mase dm V zasi´ zas ićene cen e pare. Kako je v = m sledi, dm = − mT ρT

gde je V = V 0 − V T T = V 0 − m

V dv, v2

P 5.2.5) (P 5

, raspoloˇziva ziva zapremina zap remina pare, V 0 − zapremine posude, a

T V T T = ρ − zapremina vode, mase mT i gustine ρT . Iz (P5.2.4) i (P5.2.5), posle prelaza T na konaˇ ko naˇcan ca n priraˇ pr iraˇstaj st aj,, sledi: sl edi:

∆m = −

V V r mT R r v − R T V − · − 1)∆T ∆ = ( )∆T )∆ = ( ) ( 1)∆T = 0 v2 v 2 p T ρT v 2 p RT =

p mT r V − − 1)∆T ( )( 1)∆T = 0, 76g 76g.. 0 RT 2 ρT RT

sledeća ca zavisnost pritiska pare pare etra od Primer 5.3. Eksperimentalno je ustanovljena slede´ temperature: log p = −2, 17 · 103 T log p

−

1

−

+ 16, 16, 025 − 1, 81 · 10

2

−

1, 72 · 10 T + 1,

5

T 2 ,

gde je T < 273K; p je u Pa. Izraˇ Izraˇ cunati cunati vrednost vrednost latentne toplote isparavanje isparavanje etra pri temperaturi od 243K. Specifiˇ Specifiˇcna cna zapremina pare etra i teˇcnog cnog etra iznose v = 5515 cm3 / g i v = 1, 3cm3 /g, respektivno. 



reˇ senje: Na osnovu date zavisnosti log p = f ( f (T ) T ) sledi log p p = 10logp = 10(

−

pa je

dp = 10( dT

T +1,,72·10−5 T 2 ) 2,17·103 T −1 +16, +16,025−1,81·10−2 T +1

2,17·103 T −1 +16, +16,025−1,81·10−2 T +1 T +1,,72·10−5 T 2 )

−

303(2, 17 · 103 T ×2, 303(2,

−

2

−

− 1, 81 · 10

2

−

+ 3, 3, 44 · 10

5

×

T ) T ).

Pri temperaturi T = 243K 243K

  dp dT

= 103,713 × 0, 0621 = 320, 320, 7Pa/K. 7Pa/K. T =243 T =243K K

Na osnovu Clausius-Clapeyron-ove Clausius-Clapeyron-ove jednaˇ jednaˇcine cine (5.48) sledi da je letentna toplota isparavanja isparavanja 



r = T ( T (v − v )

  dp dT

−

= 243(5515 − 1, 3) · 10

3

· 320 320,, 7J = 430kJ

T =243 T =243K K

Primer 5.4 Pod kojim pritiskom pritis kom će ce da kljuˇca ca voda pri temperaturi od 950 C? Specifiˇcna cna toplota toplo ta isparavanja vode u intervalu interv alu (950 − 1000 C) moˇze ze da se smatra konstantnom konstantno m i da iznosi 2,256 MJ/kg. MJ/kg. 74

reˇ senje: Na osnovu osnov u ClausiusCl ausius-Clapeyron-ove Clapeyron-ove jednaˇcine cine (5.48) dp r , = dT T ( T (v p − vT )

obzirom da je specifiˇ specifiˇ cna cna zapremina vodene pare pare v p mnogo veća ca od specifiˇcne cne zapremine zap remine vode vT (v p  vT ), sledi dp ∼ r . P 5.4.1) (P 5 = dT T v p Kako je v p =

RT , p

P 5.4.2) (P 5

gde je R = 461 J/kg K gasna konstanta vodene pare, iz (P5.4.1) i (P5.4.2) sledi dp r · dT , = p RT 2

odnosno lnp = −

r 1 + lnc. R T

P 5.4.3) (P 5

P 5.4.4) (P 5

Konstanta intergracije intergracije c, nalazi se iz uslova da je pri atmosferskom atmosferskom pritisku ( pa = 1.013·105 Pa) temperatu temp eratura ra kljuˇcanja canja T nk nk = 373 K r lnc = lnpa + . P 5.4.5) (P 5 RT nk nk Na osnovu predhodno predhodnogg [smenom (P5.4.5) u (P5.4.4)] dobija se da će ce voda pri temper0 aturi od 95 C da kljuˇca ca pod pod pritiskom pritis kom od r

p = pa e R

( T 1

nk

−

1

T

)

75

= 0, 0848MPa. 0848MPa.

ˇ 6. TERMODINAMI TERMODINAMICKA SVOJSTVA SUPSTANCIJE Jedan od zadataka termodinamike je da, na osnovu osnovnih zakona termodinamike, uz pomo´ pom oć termodinam termo dinamiˇ iˇckih ckih diferencij difer encijalnih alnih jednaˇcina cina s odgovaraju´ odg ovarajućim cim karakteristiˇ karakteri stiˇcnim cnim funkcijama, ispita karakter medjusobne zavisnosti najrazliˇ na jrazliˇcitijih citijih termodinamiˇckih ckih svojstava tava supstancije, kao i zavisnost termodinamiˇckih ckih svojstava svojstava od osnovnih termodinamiˇcih cih parametar para metara. a. Posebno je interesantno inter esantno razmatranj razma tranjee termiˇ ter miˇckih ckih i kaloriˇckih ckih svojstava svoj stava supstansupstan U ), entropija (S cije, cij e, kao ˇsto sto su unutraˇ unut raˇsnja snj a energi ene rgija ja (U ) (S ), entalpija (I (I ), speci sp ecifiˇ fiˇcna cna zaprem zap remina ina (v ), specifiˇ spec ifiˇcni cni toplotn to plotnii kapacitet kapacite t pri konstantnom kons tantnom pritis p ritisku ku (c (c p ) i konstantnoj zapremini (c (cv ) termiˇ ter miˇcki cki koefici koe ficijent jentii zapr z apremin eminskog skog ˇsirenj sir enja a (α (α) i izotermiˇ izote rmiˇcke cke kompresib komp resibilnost ilnostii (β (β ), u svakom od agreganih stanja i faza supstancije. 6.1. 6. 1. Termiˇ cka cka i kaloriˇ kalo riˇ cka cka svo jstva js tva ˇ cvrs cv rstih tih tela tel a Karakt Kar akteri eristiˇ stiˇcna cna osobe oso benos nostt ˇcvrsti cvr stih h tela, tel a, ˇsto sto se tiˇce ce termo ter modin dinamiˇ amiˇckih cki h svojst svo jstava, ava, po kojo ko jojj se ona bitno razlikuju od drugih agregatnih stanja supstancije, je relativno mala vrednost koeficijenta koefic ijenta izotermiˇ izote rmiˇcke cke kompresibilno kompresi bilnosti sti

  ∂v ∂p

1 β = − v

.

(6. (6.1)

T

Za većinu cinu supstan su pstanci ci u ˇcvrstom cvrst om stanju, sta nju, kako je eksperime eksp erimentalno ntalno pokazano, pokazan o, koeficij ko eficijent ent izoterizo ter10 12 1 − 10 miˇcke cke kompres komp resibi ibilno lnosti sti β nalazi se u intervalu (10 )P a , tako da se pri tehniˇcckim proraˇcunima cunima moˇze ze smatrati da je kompresibilnost ˇcvrstih cvrstih tela zanemarljiva, tj. da specifiˇcna cna zapremina pri T= const con st skoro ne zavisi od o d pritiska. Do promene prome ne specifiˇ spe cifiˇcne cne zapremine zapre mine ˇcvrstih cvrst ih tela pri T=const −

p

∆v =

   ∂v ∂p

p0

−

dp

−

(6. (6.2)

T

dolazi samo pri sabijanju do vrlo velikih pritisaka (∼ 109 P a). Tako na primer, pri pritisku od 1010 P a specifiˇcna cna zapremina dijamanta smanji se za oko 1. 1.5% 5%.. Kod većine cine ˇcvrstih cvrst ih tela temperatu temp eraturski rski koeficijent koefic ijent zapreminskog zapre minskog ˇsirenja siren ja 1 α= v

  ∂v ∂T

(6. (6.3)

p

const) u oblasti je pozitivna veliˇ cina cina (α > 0), 0), skoro nezavisna od temperature (α (α ≈ const) ∂l srednjih sredn jih i viˇsih sih tempe te mperatur ratura. a. Temperatu emp eraturski rski koefici ko eficijent jent linearn lin earnog og ˇsirenja siren ja αl = 1l ( ∂T ) p , koji karakteriˇ karakteriˇse se promenu pr omenu linearnih dimenzija tela s temperaturom temp eraturom pri konstantnom pritisku, za ve´ cinu cinu ˇcvrstih cvrstih tela ima relativno malu vrednost; pri sobnoj sobno j temparaturi αl se nalazi u 5 6 K 1 . intervalu (10 − 10 ) U sluˇcaju ca ju izotropni izotr opnih h tela vaˇ vaˇzi zi jednostavna jedno stavna relacija relac ija αl = α3 koja povezuje temperaturski temp eraturski koeficijent linearnog line arnog i zapreminskog ˇsirenja. sirenja. Zavisnost specifiˇ sp ecifiˇcne cne zapremine od temperature nalazi se jednostavno znajući ci da je −

−

−

1 α= v Iz prethodnog sledi

    ∂v ∂ T

v



v0

=

p

∂lnv ∂T

.

(6. (6.4)

p

T

dlnv =



T 0

76

α(T ) T )dT, dT ,

(6. (6.5)

T ) poznaje ukoliko je poznata, na primer iz eksperimenta, tako da se zavisnost v = v (T ) T ) : zavisnost koeficijenta zapreminskog ˇsirenja sirenja od temperature α = α(T ) T T



v = v0 e

T 0

α(T ) T )dT

.

(6. (6.6)

Za ˇcvrsta cvrsta tela, tel a, u temperaturskom intervalu intervalu u kome se temperaturski koeficijent zapreminconst), na osnovu izraza (6.6) sledi da se skog ˇsirenja sirenja slabo menja s temperaturom (α ≈ const) specifiˇcna cna zapremina za premina menja s temperaturom temp eraturom po eksponencijalnom zakonu: v (T ) T ) = v0 eα(T

−

T 0 )

,

(6. (6.7)

gde je v0 = v (T 0 ) specifiˇcna cna zapremina pri temperaturi T 0 . Specifiˇ Spe cifiˇcne cne toplote toplo te pri konstantnoj zapremini i konstantnom pritisku, ma koje supstance, definisane su izrazima (2.31) i (2.47), odnosno (7.20), tj.

i

δq v cv = = dT

   

δq p = c p = dT

   

∂u ∂T

∂i ∂T

= T

v

= T

p

∂s ∂T

∂s ∂T

(6. (6.8) v

.

(6. (6.9)

p

Razlika specifiˇcnih cnih toplota t oplota pri pr i konstantnom pritisku priti sku i konstantnoj zapremini iznosi (pogle(p ogledati primer 6.2): 2 ∂p ∂v c p − cv = −T (6. (6.10) ∂v T ∂T p

  

odnosno

α2 vT c p − cv = , β

(6. (6.11)

gde je α−temperat temp eraturski urski koeficij ko eficijent ent zapreminskog zapr eminskog ˇsirenja siren ja a β − koefici koe ficijent jent izoter izo termiˇ miˇcke cke komkom presibilnosti. Kako je koeficijent zapreminskog ˇsirenja sirenja ˇcvrstih cvrstih tela vrlo mali, iz rela-cije (6.11) sledi da je i relativna relativna razlika razlika specifiˇ cnih cnih toplota takodje mala (c p − cv )/cv = 0.03 − 0.05, 05, tako da se pri pr i tehn te hniˇ iˇckim ck im pror pr oraˇ aˇcuni cu nima ma moˇze ze sa dovolj dovo ljno nom m taˇcnoˇ cn oˇs´ sću cu smatr sma trat atii da je c p ≈ cv . Eksperimentalno je pokazano da je pri srednjim i visokim temperaturama (iznad sobne temperature) specifiˇcna cna toplota ˇcvrstih cvrstih tela skoro skoro nezavisna nezavisna od temperature, temperature, tj. konstantna, izuzev supstanci koje u datoj temperaturskoj oblasti trpe fazni prelaz, na primer, prelazeći ci iz jedne kristalne modifikacije u drugu, iz feromagnetnog feromagnet nog u paramagnetno stanje itd; pribiliˇ pribi liˇzavaju´ zavajući ci se temperat temp eraturi uri faznog fazno g prela p relaza za specifiˇ spe cifiˇcna cna toplota toplo ta i koeficij ko eficijent ent linear l inearnog nog ˇsirenja sirenja trpe vrlo veliki veliki porast. Metodama molekularno-ki molekularno-kinetiˇ netiˇ cke cke teorije supstancije supstancije ustanovlj tanovljeno eno je da je u pomenutoj pomenutoj temperat temperatursk urskoj oj oblasti oblasti,, izuzev izuzev oblasti oblasti faznih prelaza prelaza,, specifiˇ spe cifiˇcna cna toplota toplo ta konstantna konstantn a cv = 3R, (6. (6.12) gde je R−gasna konstanta supstancij supst ancije. e. Molarna Molar na specifiˇcna cna toplota C v = M cv ve´ većin ci ne ˇcvrs cv rsti tih h tela u datoj temperaturskoj oblasti iznosi C v = 3RM = 25J/molK, 25J/molK, 77

(6. (6.13)

J/molK − univerzalna gasna gde je M −molarna masa supstancije a RM = M R = 8.314 314J/molK konstanta. Relacija (6.13) izraˇzava zava eksperimentalno eksp erimentalno ustanovljen usta novljen Dulong-Petit-ov (DilonPtijev Ptijev)) zakon. zakon. Dulong-P Dulong-Petit etit-o -ov v zakon zakon je primenlj primenljiv iv za hemijs hemijski ki prosta prosta ˇcvrsta cvrsta tela tela pri srednjim sredn jim i visokim visoki m temperat temp eraturama urama.. Inaˇce, ce, merenja meren ja specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te ˇcvrstih cvrst ih tela razliˇcitih citih kristalografskih struktura i razliˇcitog citog hemijskog sastava sastava u razliˇcim cim temparaturskim intervalima pokazala p okazala su da se eksperimentalni rezultati pribliˇzno zno slaˇzu zu s rezultatom dobijenim na osnovu molekularno-kinetiˇcke cke teorije (izraz 6.13) 6 .13) a u nekim temperaturskim temperatur skim oblastima evidentno evidentno je potpuno neslaganje. Tako, u oblasti niskih temparatura Dulong-Petit-o Dulong-Petit-ov v zakon prestaje da vaˇ zi, zi, s obzirom da rezultati rezultati merenja pokazuju pokazuju jako jako izraˇ zenu zenu zavisnost zavisnost specifiˇ cne cne toplote od temperature. temperature. Naime, blizu temperature apsolutne apsolutne nule specifiˇ cna cna toplota ˇcvrstih cvrstih tela srazmerna je trećem cem stepenu apsolutne temperature: temperature : cv = const T 3 .

(6. (6.14)

Relacija (6.14) izraˇzava zava poznat Debajev Deba jev (Debye-ev) zakon. Eksplicitna zavisnost specifiˇ sp ecifiˇcne cne toplote od temperature u principu ne moˇze ze da se dobije metodama termodinamike ve´ c metodama kvantne kvantne statistike (Debyee 1912) uzimaju´ uzima jući ci u obzir ograniˇcenu cenu primenljivost klasiˇcnog cnog principa ravnomerne raspodele raspo dele energije po stepenima slobode, slobo de, kao i to da atomi, molekuli ili joni koji obrazuju kristalnu reˇ r eˇsetku setku ˇcvrstog cvrstog tela mogu da osciluju osciluju razliˇ razliˇcitim citim frekvencijam frekvencijama. a. Tako se dobija da za ˇcvrsta cvrsta tela proste kristalne krist alne strukture, struk ture, van oblasti obla sti temparature tempar ature faznih prelaza, prela za, vaˇzi zi jednaˇ je dnaˇcina cina cv = 3RF



T , Θ

(6. (6.15)

T − opˇsta gde je F Θ sta funkcija redukovane temperatu temp erature re T /Θ nezavisna od individualnih osobina osobi na ˇcvrstog cvrst og tela. Individual Indiv idualna na svojstva svo jstva supstanc sup stancije ije su izraˇzena zena preko veliˇcina cina R i Θ. Veliˇcina cina Θ je tzv. Debajeva Deba jeva karakteristiˇ karakteristiˇcna cna temperatura definisana izrazom



Θ=

hν D , k

(6. (6.16)

gde je ν D maksimalna (Debye-eva) (Debye-eva) uˇcestanost cestanost iz spektra normalnih oscilacija atoma datog ˇcvrs cv rsto togg tela te la;; h− je Planck-ova konstanta a k− Boltzmann-ova konstanta. Funkcija F (T /Θ) ima sledeći ci oblik: F (T /Θ) = 12(T 12(T /Θ)

3

Θ/T

 0

x3 dx /T 3Θ/T 3Θ − , ex − 1 eΘ/T − 1

(6. (6.17)

gde je x = hν/kT. U oblasti niskih temperatura (T (T  Θ) na osnovu (6.15) i (6.17) sledi Debye-ev zakon cv = 233R 233R

 T Θ

3

,

(6. (6.18)

a u oblasti visokih temparatura (T (T  Θ), Θ), iz (6.15) i (6.17), sledi Dilong-Petit-ov zakon cv = 3R. Teorijski eorijski dobijena dobijena zavisnost zavisnost specifiˇ cne cne toplote od temperature [izrazi (6.15) i (6.17)] potvrdj potvrdjena ena je me meren renji jima ma.. Sa slike slike 6.1 6.1.. se vidi da je saglas saglasnos nostt ne samo kval kvalita itati tivn vnaa 78

ve´ već i kvantit kvantitativna. ativna. Osim toga, potvrdjeno je da je zavisnost zavisnost F (T /Θ) univerzalna, tako da znaju´ zna jući ci karakteristiˇ cnu cnu temperaturu Θ za datu supstancu moˇze ze da se odredi vrednost speci sp ecifiˇ fiˇcne cne toplot top lotee cv na datoj temperaturi a time i zavisnost cv (T ) cvrst e supstnce. supstn ce. T ) date ˇcvrste Kao ˇsto je ranije ranij e pomenuto, po menuto, zavisnost zavisno st (6.15) (6.15 ) ne vaˇ zi zi za ˇcvrsta cvrst a tela sloˇzene zene kristalne krist alne strukture (posebno za anizotropne kristale).

Slika 6.1. Dok je kod nemetala nemetala ukupna unutraˇ unutraˇsnja snja energija energija jednka jednka zbiru energije energije oscilatornog oscilatornog kretanja svih ˇcestica cestica kristalne reˇsetke setke i potencijalne energije medjusobne interakcije, tako da je cv = creˇ kod metala se mora uzeti u obzir i specifiˇ cna cna toplota elektronskog elektronskog gasa , resˇ (ce ). U tom sluˇcaju ca ju je ukupna ukupn a specifiˇ spe cifiˇcna cna toplota toplo ta jednka zbiru specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te reˇsetke setke (creˇ cne cne toplote elektronskog gasa (ce ) : cv = creˇ Pokazuje se da je elektronresˇ) i specifiˇ resˇ + ce . Pokazuje T ), i da je njen doprinos ska komponenta specifiˇcne cne toplote srazmerna temperaturi (ce ∼ T ) ukupnoj specifiˇ cnoj cnoj toploti u oblasti srednjih i visokih visokih temperatura zanemarljiv. zanemarljiv. Medjutim, u oblasti niskih temperatura, bliskih apsolutnoj nuli, dominantan doprinos ukupnoj specifiˇcnoj cno j toploti ima elektronska komponenta specifiˇcne cne toplote (ce > creˇ resˇ). Karakteristiˇcno cno je za metalna ˇcvrsta cvrsta tela, kako kako je eksperimentalno pokazano, da je odnos vrednosti koeficijenata zapreminskog ˇsirenja i specifiˇcne cne toplote nezavisan od temperature α = ξ = const (6. (6.19) cv i zavisi samo od prirode supstance. supstance. Ova Ova relacija poznata kao Grinajcenov Grinajcenova (Gr¨ uneisen-ova) jednaˇ jedn aˇcina, cina, ima aproksimati aprok simativan van karakter. karakte r. T ) ˇcvrstih Temperaturska zavisnost entalpije i = i(T ) cvrsti h tela odredjuje odr edjuje se na osnovu o snovu poznat p oznatee ∂i T ). Naime, kako je c p = ( ∂T ) p dobija temperaturske zavisnosti specifiˇcne cne toplote c p = c p (T ) se T T ∂i i(T ) T ) = i(T 0 ) + dT = i(T 0 ) + c p dT, dT , (6. (6.20) ∂T T T p

   0



0

gde je i(T 0 ) poznata vrednost entalpije pri datoj temperaturi T 0 . Za supstance sup stance u ˇcvrstoj cvrsto j fazi karakteristiˇ cno cno je postojan p ostojanje je velikog bro b roja ja alotropskih alot ropskih modifikacija, ( na primer, led ima 6) koje ko je se medjusobno medjusob no razlikuju po fiziˇcim cim svojstvima (kristalnoj strukturi, strukturi, specifiˇ cnoj cnoj toploti, specifiˇ cnoj cnoj zapremini zapremini itd). Prelaz iz jedne alotropske alotropske 79

modifikacije u drugu ima karakter faznog prelaza praćenog cenog skokom specifiˇ sp ecifiˇcne cne zapremine i entrop entropije ije (postoji (postoji toplota toplota prelaza prelaza)) kao u sluˇ sluˇcaju caju prelaza prelaza iz jednog jednog u drugo drugo agregatn agregatnoo stanje.

6.2. 6. 2. Termiˇ cka cka i kaloriˇ kalo riˇ cka cka svo jstva js tva teˇ cnos cn osti ti Osnovna karakteristika karakteri stika teˇcnosti cnost i je relativno relat ivno mala stiˇsljivost sljivost (105 puta manja nego kod gasova), gasova), koja je medjutim znatno ve´ ca ca nego kod ˇcvrstih cvrstih tela. Na primer, pri temperaturi od 200 C koeficijent koefic ijent izotermiˇ izote rmiˇcke cke kompresibilno kompresi bilnosti sti (stiˇsljivosti) sljivost i) vode iznosi iznos i β = − v1 ( ∂v ∂p )T = 4, 456 · 10 10 P a 1 . Poznato je da teˇcnosti cnosti pruˇzaju za ju zanemarljiv otpor promeni oblika, koji ko ji zavis zavisii od oblik oblika posude posude u kojoj se teˇ teˇcnosti cnosti nalazi. nalazi. Medjutim Medjutim,, kod brzih promena promena oblika teˇcnosti cnost i pokazaju po kazaju,, sliˇcno cno ˇcvrstim cvrst im telima, telim a, znatan znata n otpor. otp or. Osim toga, karakteristiˇ karakteri stiˇcno cno je da teˇcnosti cnosti zadrˇzava zava ju sopstvenu zapreminu z apreminu ˇcak cak i pri nultom pritisku. Pri visokim temperaturama temperatura ma i velikim vrednostima vre dnostima specifiˇcne cne zapremine teˇcnosti cnosti se po svojim osobinama pribliˇ pribliˇzavaju zavaju realnim gasovima. gasovima. Medjutim, Medjutim, pri temperaturama temperaturama bliskim bliskim temperaturi krista kri staliz lizaci acije je teˇcnosti cno sti posta po sta ju sliˇcne cne ˇcvrsti cvr stim m telima tel ima.. p > pk ) ili/i pri temperaturama iznad S obzirom da pri pritiscima pritiscima iznad kritiˇ kritiˇcnog cnog ( p krit kr itiˇ iˇcne cn e (T > T K ) nema faznog prelaza iz teˇ cnog cnog u gasovito gasovito stanje, tj. nema principijelne principijelne razlike razli ke izmedju i zmedju gasovite i teˇcne cne faze, neka svojstva svoj stva teˇcnosti cnost i mogu da se kvalitativno kvalitativ no opiˇsu su Van der Waalsov-om aalsov- om ili ˇcak cak Clapeyron Clap eyron-ovom -ovom jednaˇcinom. cinom. Relativno mala promena zapremine (∼ 10%) pri topljenju topljenju ˇcvrstih cvrstih tela, odnosno pri kristalizaciji kristalizaciji teˇ cnosti, cnosti, u odnosu na promenu promenu zapremine zapremine (∼ 2 · 103 puta) pri prelazu iz teˇcnosti cnost i u paru, paru , ukazuje na to da su molekuli molek uli u teˇcnostima cnost ima kondenzov kondenz ovani, ani, sliˇcno cno molekulima moleku lima u ˇcvrstom cvrstom telu. Osim prethod-nog, pokazuje se da je toplota topljenja za oko 10 puta manja od toplote toplo te isparavanja, ispar avanja, ˇsto znaˇci ci da se medjumoleku medjum olekularne larne sile pri prelazu prel azu iz teˇcnog cnog u ˇcvrsto cvrsto stanje znatno manje menjaju nego pri prelazu iz teˇ cnog cnog u gasovito gasovito stanje. Takodje je ustanovljeno ustanovljeno da se pri topljenju topljenju specifiˇ cna cna toplota vrlo malo menja, ˇsto sto govori gov ori o tome da je karakter toplotnog krtanja molekula u obe faze sliˇcan, can, tj. da molekuli molekuli teˇcnosti cnosti osciluju oko svojih ravnoteˇ znih znih poloˇzaja, za ja, koji nisu fiksirani u prostoru kao kod ˇcvrste cvrst e faze već se neprekidn nepr ekidnoo pomera pom eraju. ju. Mala stiˇsljivost sljivost ukazuje u kazuje na vrlo jake interakcije na, oˇcigledno, cigledno, vrlo malim rastojanrasto jan jima izmedju njihovih molekula, a velika fluidnost ukazuje na veliku pokretljivost njenih molekula jednih u odnosu na druge. Navedene Nav edene osobine ukazuju ukazuju na postojanje kvazikris kvazikristalne talne strukture strukture teˇ cnosti, cnosti, tj. ured jenosti, ali samo na malim rastojanjima, pri temperaturama bliskim temperaturi kristalizacije izacije.. Ove Ove uredjen uredjenee pokretne pokretne konglom konglomerac eracije ije (zajednice) (zajednice) - tzv. tzv. ”grozdo ”grozdovi” vi” ili clusteri clusteri (klasteri) neperkidno se razgradjuju i uspostavljaju uz promenu izvesnog broja molekula. Postojanje Posto janje lokalne uredjen ur edjenosti osti kod ko d teˇcnosti cnost i pokazano p okazano je difrakcijom difra kcijom x-zraka. x- zraka. Pri pove´ p ove´ canju canju temperature stepen uredjenosti molekula se smanjuje, ”grozdovi” se svode na neposredne susede, tako da se teˇcnost cnost pribliˇzava zava stanju gasa pod po d visokim pritiskom. Za teˇcnost cnost je karakteristiˇ cno cno da se pritisak znatno menja s promenom temperature pri konstantnoj zapremini. Na osnovu relacija (P6.2.2), (6.1) i (6.3) sledi: −

−

  ∂p ∂T

v

∂v ( ∂T )v α = − ∂v = , β ( ∂p )T

(6. (6.21)

tako da se, na primer, za vodu pri temperaturi od 500 C dobija da je (∂p/∂T (∂p/∂T ))v = 1, 01 · 6 ∂p/∂T )v vrlo slabo menja s temperaturom, promena 10 Pa/K. S obzirom obzir om da se veliˇcina cina (∂p/∂T ) pritiska pritiska vode koja je hermetiˇ hermetiˇcki cki zatvorena zatvorena u posudi konstant konstantne ne zapremine, zapremine, pri promeni ∂p temparature za ∆T ∆T = 10K, 10K, iznosi ∆ p ≈ ∂T ∆T = 10, 10, 1MPa. Ovako velika prom-

 

v

80

ena pritiska s relativno malom promenom temperature je posledica male kompresibilnosti teˇ te ˇcno cn osti. st i. Pri temperaturama temperaturama i pritiscima pritiscima koje su znatno ispod ispo d njihovih njihovih kritiˇ kritiˇcnih cnih vrednosti, vrednosti, specifiˇcna cna zapremina teˇcnosti cnosti je znatno manja nego kod gasova, gasova, tako da d a su medjumolekularne sile mnogo jaˇce ce nego kod gasov gasova. Zbog postojanja medjumolekular medjumolekularnih nih interakci interakcija ja unut raˇ snji sn ji prit pr itis isak ak (molekularni ili Van der Waals-ov pripojavljuje se dodatni, tzv. unutraˇ tisak) na teˇcnost, cnost, koji je znatno ve´ ci ci od pritiska usled translatornog kretanja molekula u teˇcnosti. cnosti. Unutraˇ Unutraˇsnji snji pritisak je mera uticaja utica ja medjumolekularnih sila na zapreminu koju zauzima supstancija, i naˇ zalost, zalost, ne moˇ ze ze da se direktno direktno izmeri s obzirom da je usmeren usmeren ka unutraˇ snjosti snjosti teˇcnosti cnosti a ispoljava se pri pokuˇsaju saju promene zapremine. Veliˇcina cina unutraˇsnjeg snjeg pritiska priti ska ( pi ) u teˇ cnosti cnosti moˇ ze ze da se proceni polaza´ ci ci od toga da do promene unutraˇsnje snje energije energ ije teˇcnosti cnost i dolazi dolaz i usled rada protiv prot iv sila unutraˇsnjeg snjeg pritiska, priti ska, tj. t j. du = pi dv.

(6. (6.22)

Promena unutraˇsnje snje energije teˇcnosti cnosti nastaje nasta je usled promene temparature i promene zapremine: ∂u ∂u du( du(T , v) = dT + dv, (6. (6.23) ∂T v ∂v T

 

 

tako da promena unutraˇsnje snje energije energ ije pri konstantnoj temperaturi iznosi du =

  ∂u ∂v

dv.

(6. (6.24)

T

Iz relacije (6.22) i (6.24) sledi

      pi =

Kako je

∂u ∂v

∂u ∂v

= T

T

.

(6. (6.25)

T

∂p ∂T

− p,

(6. (6.26)

v

(pogledati primer 4.7, relacija P4.7.3) sledi pi = T ( T (

∂p )v − p. ∂T

(6. (6.27)

∂p T ( ∂T Veliˇ Vel iˇcina T ( )v = pi + p se ponekad p onekad naziva ukupan (termiˇcki) cki) pritisak, pr itisak, jer je jednak zbiru p) pritiska. unutr unu traˇ aˇsnje sn jegg ( pi ) i spolj sp oljaˇ aˇsnjeg snj eg ( p) Kako je ve´ c pomenuto, unutraˇ unutraˇsnji snji pritisak u teˇcnostima cnostima je, za razliku od gasova, gasova, 0 ogroman ogroman.. Na primer, primer, za vodu vodu pri temperat temperaturi uri od 50 C i spoljaˇsnjem snjem pritisku od 98 kPa unutraˇsnji snji pritisak priti sak iznosi izno si pi = 325MPa. 325MPa. Sliˇcno cno gasovima, gasovima , unutraˇsnji snji pritisak priti sak u teˇcnosti cnost i povezan je s konstantom konstanto m a iz Van der WaalsWaal s-ove ove jed j ednaˇ naˇcine ci ne a ( p + 2 )(v )(v − b) = RT (6. (6.28) v relacijom a pi = 2 . (6. (6.29) v S obzirom da je pi  p, Van der d er Waals-ova Waals -ova jedn je dnaˇ aˇcina ci na za teˇcnos cn ostt moˇze ze da se napiˇ na piˇse se u obl o blik iku u

pi (v − b) = RT 81

(6. (6.30)

ili

a RT . (v − b) = RT. v2

(6. (6.31)

Zavisnost Zavisnos t koeficijenta koefi cijenta izotermiˇ izote rmiˇcke cke kompresibil kompre sibilnosti nosti (stiˇsnjenosti) snjen osti) od pritiska priti ska i temperat temp erature ure β ( p,T ) odredjuj odredjujee se eksperim eksperimen entaln talno. o. Pok Pokazuje azuje se da β raste s porastom temperature a opada s porastom pritiska, ˇsto se objaˇsnjava snjava promenom intenziteta medjumolekularnih interakcija zbog promene rastojanja ra stojanja izmedju molekula. Zavisnost koeficijenta izotermiˇ izote rmiˇcke cke kompresibilnosti teˇcnosti cnosti od temperature i pritiska moˇze ze kvalitativno da se opiˇse se na osnovu novu nagiba nagiba tj. tj. izvo izvoda da (∂p/∂v (∂p/∂v))T Van der Waals-ove aals-ove krive krive kojom se opisuje opisuje ponaˇsanje sanje teˇcnosti. cnosti. Inaˇce, ce, za idealne gasove zavisnost koeficijenta izotermiˇcke cke kompresibilnosti od 1 ∂v 1 pritiska dobija se iz Clapeyron-ove jednaˇcine: cine: β = v ( ∂p )T = − p . Eksplicitna zavisnost β (T , p) ne moˇze ze da se dobije iz Van der Waals-ove jednaˇcine cine zbog toga ˇsto sto koeficijenti a i b zavise zavise od temperature i specifiˇ cne cne zapremine, zapremine, respektivno. respektivno. Teˇcnosti cnosti imaju ima ju malu 1 ∂v vrednost koeficijenta zapreminskog ˇsirenja sirenja α = v ( ∂T ) p u odnosu na gasove ali znatno veću cu od ˇcvrsti cvr stih h tela. tel a. Ko Kod d teˇcnosti cno sti α se nalazi u intervalu (10 3 − 10 4 )K 1 . Zavisnost koeficijenta koefic ijenta zapreminskog zapre minskog ˇsirenja siren ja teˇcnosti cnost i od o d priti p ritiska ska i temperat temp erature ure α( p,T ) objaˇ ob jaˇsnjava sn java se sliˇ cno cno prethodnom, promenom promenom intenziteta intenziteta interakci interakcije je s rastojanjem izmedju molekula molekula i moˇze ze kvalitativno kvalitati vno da se opiˇse se preko p reko nagiba, nagib a, tj. izvoda izvod a (∂v/∂T (∂v/∂T )) p Van der Waals-ove krive. Za idealan gas zavisnost zavisnost koeficijenta koeficijenta zapreminsko zapreminskogg ˇsirenja od o d temperature dobija se iz Clape Cla peyro yron-ove n-ove jedn j ednaˇ aˇcine cin e 1 ∂v 1 α= = . v ∂T p T −

−

−

 

Inaˇce, ce, eksperime eksp erimentalno ntalno je ustanovljeno ustan ovljeno da koeficijent koefic ijent zapreminskog zapr eminskog ˇsirenja siren ja teˇcnosti cnost i opada s porastom p orastom pritiska pr itiska a raste s porastom p orastom temperature, temp erature, kao u sluˇcaju ca ju zavisnosti β ( p,T ). Kod nekih teˇcnosti cnosti (na primer, kod vode pri temperaturama temperaturama od oko 40 C ) uoˇcena cena je anomalija anoma lija u temparaturs tempar aturskom kom ponaˇ po naˇsanju sanju koeficijenta koefic ijenta zapreminskog zapre minskog ˇsirenja. siren ja. Ne postoji opˇ opˇsta sta teorija kojom bi se opisala zavisnost zavisnost specifiˇ cne cne toplote od pritiska pritiska i temperature. Zavisnost specifiˇ sp ecifiˇcne cne toplote teˇcnosti cnosti od temperature i pritiska c( p,T ) se odredjuje eksperimentaln eksperimentalnoo ili na osnovu osnovu poznavanja poznavanja zavisnosti zavisnosti drugih termodinamiˇ termodinamiˇ ckih ckih veliˇcina cin a od pritis pri tiska ka i tempe tem perat rature ure uz koriˇs´ sćenje cen je odgovara od govara jućih cih termo ter modin dinamiˇ amiˇckih cki h relaci rel acija. ja. Zavisnost Zavisnost specifiˇ cne cne toplote pri konstantn konstantnom om pritisku pritisku od pritiska pritiska je vrlo slaba tako tako da se tek pri vrlo preciznim preciznim proraˇ proraˇcunima cunima uzima u obzir. Promena specifiˇcne cne toplote pri konstntnom pritisku pri izotermnom procesu od pritiska p1 do p2 iznosi: p2

c p ( p2 , T ) T ) − c p ( p1 , T ) T ) =

   p1

∂c p ∂p

dp.

(6. (6.32)

T

S obzirom na poznatu relaciju (pogledati P6.5.4)

  ∂c p ∂p

∂ 2 v = −T ∂T 2 T

 

,

p

T ) pri pritisku p2 i temepraturi T iz (6.32) sledi da se vrednost specifi sp ecifiˇˇcne cne toplote c p ( p2 , T ) T ) pri drugom pritisku p1 moˇze ze dobiti dobit i ukoliko je poznata poz nata vrednost vredn ost specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te c p ( p1 , T ) p) pri T=const u ali pri istoj isto j temperaturi T. Na taj ta j naˇcin cin moˇze ze da se ispita zavisnost c p ( p) 2 2 ˇsirokom sirokom intervalu pritisa p ritisaka. ka. Izvod (∂ v/∂T ) p dobija se iz poznate zavisnosti v = v ( p,T ) za datu teˇcnost, cnost , a postupak pos tupak integracije integra cije se izvodi izvod i grafiˇckim ckim ili numeriˇckim ckim metodama. meto dama. Sliˇcnim cnim postupkom po stupkom moˇze ze da se ispita ispit a zavisnost zavisnos t specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te pri konstantno konstantn o j zac p) p premini v ( ) od o d pritiska pri tiska (ili specifiˇ sp ecifiˇcne cne zapremine) zap remine) pri p ri konstantnoj konstantno j temperaturi. temp eraturi. 82

Pokazano je da specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote topl ote teˇcnosti cnost i obiˇ o biˇcno cno rastu s porast p orastom om temperatu temp erature. re. Razlika zlika specifiˇ cnih cnih toplota pri konstantn konstantnom om pritisku pritisku i konstantn konstantnoj oj zapremini zapremini vrlo je mala i zavisi od o d vrednost vre dnostii koeficijenta koefi cijenta zapreminskog zapr eminskog ˇsirenja, siren ja, koeficij ko eficijenta enta izoterm iz otermiˇ iˇcke cke kompresibilkompre sibilnosti i specifiˇcne cne zapremine teˇc-nosti c-nosti kao i temperature, shodno Gr¨ uneisen-ovom zakonu: α2 vT c p − cv = . β

(6. (6.33)

Vrednost entalpije teˇcnosti cnosti na temperaturi T 2 i pritisku p moˇze ze da se odredi eksperimentalno ili na osnovu poznate vrednosti entalpije na temperaturi T 1 ali istom pritisku p, i ∂i poznate zavisnosti specifiˇ sp ecifiˇcne cne toplote pri konstantnom pritisku c p = ( ∂T ) p od temperature T: T T ∂i i(T 2 , p) = i(T 1 , p) + c p (T ) T )dT. dT . ( ) p dT = i(T 1 , p) + (6. (6.34) ∂T T T





2

1

2

1

Zavisnost Zavisnost entalpije od pritiska pritiska pri konstntn konstntnoj oj temperaturi moˇze ze da se odredi na osnovu osnovu T )] kao i poznate zavisnosti poznate vrednosti entalpije na pritisku p1 i temperaturi T, [i [i( p1 , T )] v = v (T ) T ) pri konstantnom konstantn om pritisku. priti sku. Naime, Naime , koriˇs´ sćenjem cenje m poznate poz nate termodinam termo dinamiˇ iˇcke cke relacije relac ije (pogledati P4.5.3) ∂i ∂v , = v − T ∂p T ∂T p

 

 

sledi p2

i( p2 , T ) T ) = i( p1 , T ) T ) +

   p1

∂i ∂p

     p2

dp = i( p1 , T ) T ) +

v − T

p1

T

∂v ∂T

dp.

(6. (6.35)

p

Eksperimenti su pokazali da entalpije slabo zavisi od pritiska, tako da se ova zavisnost uzima u obzir tek pri vrlo preciznim proraˇcunima. cunima. 6.3. 6.3 . Termiˇcka cka i kaloriˇ cka cka svo s vojst jstva va realn re alnih ih gasova gas ova i para Mnogob Mnogobrojn rojnii ekspe eksperi rime ment ntii su pokaza pokazali li da jedna jednaˇˇcina c ina stan stanja ja za idealn idealnee gasov gasovee (Clapeyron (Clap eyron-ova -ova jednaˇcina) cina) pv = RT ne moˇ ze ze da se primeni na stvarne stvarne (realne) gasove. gasove. Jednaˇcina cina stanja idealnog gasa bi bila dobra prva aproksimacija apr oksimacija za opisivanje ponaˇ p onaˇsanja sanja realnih realnih gasov gasovaa samo samo pri visokim visokim temperat temperaturam uramaa i niskim niskim pritisc pritiscima ima.. Odstup Odstupanja anja su ne samo kvantitativna kvantitativna ve´ c i kvalitativna. Na primer, suˇstinska stinska razlika realnog re alnog od idealnog gasa je u tome tome ˇsto sto realan realan gas, zavis zavisno no od pritisk pritiskaa i temperat temperature, ure, mo moˇˇze ze da se prevede prevede iz gasnog u teˇcno cno i ˇcvrsto cvrsto stanje. Ovakvo Ovakvo ponaˇsanje sanje realnih gasova gasova ne moˇze ze da se ob jasni zakonima idealnih gasova. gasova. Razlika Razlika u ponaˇsanju sanju realnih u odnosu na idealne gasove gasove objaˇ ob jaˇsnjava snjava se postojan p ostojanjem jem medjumolekularnih medjumolekular nih sila kao i posedov p osedovanjem anjem sopstvene so pstvene zapremine molekula realnih gasova. gasova. Unutraˇ Unutraˇsnja snja energija realnog gasa jednka je zbiru kinetiˇcke cke energije haotiˇcnog cnog kretanja kr etanja njegovih molekula i potencijalne energije medjumolekularnih interakcija. intera kcija. S obzirom obzi rom na gore reˇ r eˇceno, ceno, jednaˇcina cina stanja s tanja realnih realn ih gasova gas ova zavisi od konkretn kon kretnog og oblika (zakona) medjumolekularne interakcije tako da, strogo govore´ govoreći, ci, svaki realan gas ima svoju svo ju jednaˇcinu cinu stanja. stanja . 6.3.1. 6.3 .1. Andrews Andr ews-ov -ov eksp e ksperim eriment. ent. Kritiˇ Krit iˇ cna cna taˇ cka. cka. Van der Waals-ova aal s-ova jednaˇ jed naˇ cina cin a stanja. stan ja. Izvrˇseni seni su mnogi eksperimenti eksp erimenti s ciljem da se odredi granica primene pr imene modela mod ela idealnog gasa na realne gasove, gasove, kao i da se da odgovor odgovor na pitanje da li se realan gas moˇ ze ze prevesti prevesti 83

u teˇ cnost cnost pri bilo kojim uslovima uslovima i da li su teˇ cnost cnost i njena para dve faze. U eksperimenu eksperimenu koji je predloˇzio zio Andrews (Endrijus 1857 -1869) vrˇseno seno je sabijanje realnog gasa u cilindru sa klipom klipom pri izoterm izotermnom nom procesu procesu (T = const), const), i pra´ praćena cena je zavis zavisnos nostt pritisk pritiskaa gasa gasa od zapremine. zapremine. Ustanovljeno Ustanovljeno je da se, u ovom ovom sluˇcaju, caju, zakonima zakonima idealnih gasova gasova ( u ovom ovom sluˇcaju ca ju Bo Bojl-Mar jl-Mariot-ov iot-ov zakon) moˇze ze da objasni ob jasni ponaˇ pon aˇsanje sanje realnog real nog gasa samo u uˇzoj zo j oblasti oblas ti temperature i pri odredjenim uslovima. Naime, izoterme realnih gasova su hiperbole samo pri temperaturama temperaturama iznad neke temperature, temperature, koja je karakteristiˇ arakteristiˇ cna cna za dati gas, i pri vrlo niskim pritiscima. pr itiscima. Osim toga, primećeno ceno je da pri pomenutim uslovima gas ne moˇze ze da se prevede u teˇ cno cno stanje bez b ez obzira koliko koliko su visoki pritisci. pritisci. Medjutim, Medjutim, na primer, gas ugljen dioksid (C (C O2 ) ve´ već pri temperaturi od 300K moˇ ze ze da se izotermnim izotermnim sabijanjem sabijanjem prevede u teˇcnu cnu fazu. U poˇcetku cetku izotermnog sabijanja pritisak gasa raste od p1 = 98kP 98kP a 3 m /kg do v2 = do p2 = 5, 73M 73M P a sa smanjenjem specifiˇcne cne zapremine od v1 = 0, 562 562m 3 3 5, 26 · 10 m /kg (slika 6.2) na oˇcekivan cekivan naˇcin, cin, tj. u dobroj dobro j aproksimaciji je zadovoljen −

Slika 6.2.

Slika 6.3.

Bo jl-Mariot-ov zakon. Pri specifiˇ Bojl-Mariot-ov sp ecifiˇcnoj cno j zapremini v2 i pritisku p2 poˇcinju cinju da se po javljuju kapljice teˇcnosti, cnosti, tj. dolazi do kondenzacije gasa, tako da deo gasa prelazi u teˇcno cno stanje. Daljim sabijanjem gasa (zasićene cene pare) od specifiˇcne cne zapremine v2 do v3 pritisak se ne menja (proces 2 → 3 je izotermno-izobar izotermno-izobaran) an) sve dok se ne zavrˇ zavrˇsi si proces kondenzacije kondenzacije i gas potpuno prevede u teˇcnu cnu fazu (taˇcka cka 3). Oblast 2-3, u kojoj kojo j su gas (para) i teˇcnost cnost (kondenzat) (konden zat) razdvo jeni oˇstrom strom granicom, grani com, predstavlja preds tavlja oblast obla st ravnoteˇze ze teˇcne cne i gasne faze. 3 3 Spec Sp ecifiˇ ifiˇcna cn a zap z apre remi mina na teˇcnos cn osti ti u taˇ t aˇcki ck i 3 izno iz nosi si v3 = 1, 26 · 10 m /kg. Daljim smanjivanjem ˇ zapremine zapr emine u teˇ t eˇcnoj cno j fazi fa zi pritisak priti sak naglo raste s obziro o bzirom m na n a slabu s labu stiˇsljivost sljivost teˇcnosti. cnost i. Cesto se u literatur lite raturii oblast obl ast 1-2 naziva oblast obl ast pregre pr egrejane jane pare p are a oblast o blast 2-3 -oblast -o blast zasićene cene (presi´ ( presićene) cene) pare. pare. Proce Process 1 → 2 → 3 → 4 (prik (prikazan na slici slici 6.2.) 6.2.) mo moˇˇze ze da se izvede izvede i u obrnutom obrnutom smeru povećanjem canje m zapremine, zapre mine, odnosno odn osno sniˇzenjem zenje m pritiska. priti ska. Geometrijsko Geomet rijsko mesto taˇcaka caka (u (u p,v-dijagr p,v-d ijagramu) amu) u ko jima poˇ p oˇcinje cinje kondenzacija kondenz acija gasa naziva n aziva se gornja g ornja graniˇcna cna kriva k riva (I-K), a u kojima koji ma se zavraˇsava sava kondenzacija konden zacija - donja graniˇcna cna kriva (II-K ( II-K). ). Desno od gornje gorn je graniˇ gran iˇcne cne krive egzistira egzi stira samo gasna faza, levo od o d donje graniˇcne cne krive egzistira egz istira samo teˇcna cna faza, a izmedju graniˇcnih cnih krivih nalazi se dvofazna oblast teˇcnost-gas cnost-gas (para). U uslovima bliskim kondenzaciji kondenzaciji gasna faza se ˇcesto cesto naziva naziva para. Tako, na primer, gas koji se nalazi u oblasti ograniˇcenoj ceno j gornjom graniˇcnom cnom krivom i izotermom naziva se para (nezasićena cena para), a uz samu gornju gorn ju graniˇcnu cnu krivu (desno od nje) - suva suva para (oslobodjena (oslobo djena kapljica teˇcnosti). cnosti). U dvofaznoj dvofazno j oblasti, izmedju graniˇ gra niˇcnih cnih krivih, kri vih, para se nalazi nalaz i pred kondenzacijom i naziva se vlaˇzna zna (zasićena) cena) para. para . Za paru se definiˇse se stepen step en suvoće ce x, tako da je za suvu paru (na gornjoj gornjo j graniˇcnoj cno j krivoj) x = 1 a za potpuno vlaˇznu znu paru (na donjoj donjo j graniˇcnoj cno j krivoj) −

84

x = 0. Stepen Step en vlaˇ v laˇznosti znost i pare pa re iznosi i znosi 1 − x. Stepen Step en suvoće ce je brojno bro jno jednak jedna k koliˇcini cini suve pare koja se nalazi u 1 kg vlaˇzne zne pare. S porastom temperature, pri kojoj se vrˇ vrˇsi si izotermno izotermno sabijanje sabijanje realnog gasa (C O2 ), duˇzina zin a odseˇ od seˇcka cka 2-3 na n a p-v dija d ijagra gramu, mu, tj. t j. razlika raz lika speci sp ecifiˇ fiˇcnih cni h zaprem zap remina ina (∆ ( ∆v = v3 −v2 ) teˇcne i gasne faze, faze, opada. Pri temperaturi temperaturi T = T K u taˇcki cki K, pres p resta taje je razl r azlika ika izmed iz medju ju gasn g asnee i teˇ t eˇcne cne faze; pregrejan preg rejana a para direkt d irektno no prelazi pre lazi u teˇ t eˇcnost cnost bez b ez promene pro mene vrednos vr ednosti ti specifiˇ sp ecifiˇcne cne zapremine zap remine ( u taˇcki cki K je ∆v = 0). 0). Termod erm odina inamiˇ miˇcki cki parame par ametri tri pK , vK i T K pri kojim gas (pregrejana para) par a) dire d irektn ktno o prela pr elazi zi u teˇcnost, cno st, naziva naz ivaju ju se s e kritiˇ kr itiˇcni cni parame par ametri tri,, taˇ t aˇcka cka K, u kojo ko jojj izˇcezava cez ava razlika zli ka izmedj izm edju u gasn g asnee i teˇcne cne faze, faz e, naziva naz iva se kritiˇ kri tiˇcna cna taˇcka cka a stanje sta nje termo ter modin dinamiˇ amiˇckog ckog sistema sist ema koje je definisano kritiˇcnim cnim parametrima - kritiˇcno cno stanje. Osim prethodnog, pr ethodnog, pokazano je da s poviˇ p oviˇsenjem senjem temperatu temp erature re ka kritiˇcnoj cno j opada o pada vrednost vredn ost specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te faznog fazno g prelaz p relazaa r, tako da u taˇ cki cki K postaje jednaka jednaka nuli (r (r = 0), 0), ˇsto sto sledi i iz Clausius-Clapeyron-ove T ∆v (dp/dT ) dp/dT ) → 0 kada T → T K jer ∆v jed j edna naˇˇcine ci ne:: r = T ∆ ∆v → 0, a dp/dT ne moˇze ze da bude b eskon es konaˇ aˇcno cn o veliko vel iko.. U taˇcki ck i T = T K izoterma izote rma ima prevojnu prevo jnu taˇcku: cku: ∂p/∂v )T K = 0 (∂p/∂v)

(∂ 2 p/∂v 2 )T K = 0,

i

(6. (6.36)

tj. tangenta na izotermu T = T K u taˇcki cki K je j e horizontaln horiz ontalna. a. Pokazano Pokazano je da se gas pri temperaturama t emperaturama iznad kritiˇcne cne (T > T K ) ne n e moˇ m oˇze ze izoter izo termni mnim m sabijanjem prevesti u teˇcnost cnost bez obzira na veliˇ cinu cinu postignutog pritiska. U tabeli tab eli 13.1 13. 1 su date kritiˇcne cne temperature temp erature nekih supstanci. Kao ˇsto sto se vidi sa slike slike 6.2., dijagrami dijagrami stanja realne supstance supstance u gasnoj i teˇ cnoj cnoj fazi ( u ovom ovom sluˇ caju caju izoterme izoterme u p-v dijagramu) bitno se razlikuju razlikuju od dijagrama dijagrama stanja idealnog gasa. g asa. Razlika u ponaˇ p onaˇsanju sanju realnih realn ih gasova u odnosu o dnosu na idealne gasove, kako kako je ranije r anije naglaˇseno, seno, objaˇ ob jaˇsnjava snjava se posto po stojanjem janjem medjumoleku medjum olekularni larnih h interakcija inter akcija i sopstvene s opstvene zapremine zapre mine molekula realnog gasa. Van der Waals je uzeo u obzir ˇcinjenicu cinjenicu da molekulima gasa ne stoji sto ji na raspolaganju celokupna zapremina v već zapr za prem emin inaa v − b, koja je manja od celokupne zapremine zapr emine za veliˇ vel iˇcinu cinu sopstvene so pstvene zapremine zapre mine b svih molekula koji se nalaze u datoj zapremini (v (v ) gasa. Osim toga, Van der Waals je uzeo u obzir postojanje p ostojanje unutraˇ unutraˇsnjeg snjeg pritiska pritiska pi u realnom gasu, uslovljenog uslovljenog medjumolekularnim medjumolekularnim privlaˇ privlaˇcnim cnim silama, silama, tj. potencijalnom potencijalnom energijom energijom medjumolekular medjumolekularnih nih interakci interakcija. ja. Pritisak Pritisak u realnom gasu je ve´ veći ci od spoljnjeg pritiska p, kojim koji m zidovi z idovi suda deluju deluj u na gas, za veliˇcinu cinu unutraˇsnjeg snjeg pritiska priti ska pi . Unu Unutraˇ tr aˇsnji sn ji pritisak deluje ka unutraˇsnjosti snjosti gasa smanjujući ci brzinu kojom molekuli udaraju udara ju o zidove suda a time i pritisak pritisak kojim kojim gas deluje deluje na zidove zidove suda, tj. pritisak pritisak koji se meri. Van der Waals je pokazao pokazao da je unutraˇ unutraˇ snji snji pritisak pritisak srazmeran srazmeran kvadratu kvadratu broja molekula molekula u jedinici jedinici 2 zapremine zapremine (tj. koncentrac koncentracije ije n) pi ∼ n , odnosno obrnuto srazmeran kvadratu specifiˇcne cne /n) : zapremine v (v ∼ 1/n) a pi = 2 , (6. (6.37) v tako da pritisak u realnom gasu, koji je jednak zbiru spoljenjeg pritiska p i unutr unu traˇ aˇsnje sn jegg a pritiska pi , iznosi : p + v . Kada se umesto ukupne zapremine v i spoljnjeg pritiska p u Clapeyron-ovu jednaˇcinu cinu zamene korigovane korigovane vrednosti v − b i p + va dobija se Van der Waals-ov aals- ovaa jednaˇcina cina stanja realnog realn og gasa: 2

2

( p +

a RT , )(v )(v − b) = RT, v2

(6. (6.38)

gde su a i b empirijske konstante. U sluˇcaju caju razredjenih gasova, gasova, kada su ispunjeni uslovi v  b i p  pi , Van der Waalsova ova jednaˇcina cina prelazi u Claperyon-ovu jednaˇcinu cinu za idealan gas. Pokazano Pokazano je da pri srednjim i visokim vi sokim pritiscima priti scima Van der d er Waals-ova jednaˇ jed naˇcina cina samo kvalitativno kvalitativ no opisuje opisu je ponaˇ p onaˇsanje sanje realnog gasa, tako da je u stvari stvari samo dobra poluempirijsk poluempirijskaa aproksimacija aproksimacija jednaˇ jednaˇcine cine realnog gasa. 85

Van der Waals-ova jednaˇcina cina je kubna jednaˇcina cina po v : pv 3 − ( pb + RT ) RT )v 2 + av − ab = 0,

(6. (6.39)

tako da ima tri reˇsenja senja za v u zavisnosti zavisnosti od koeficijenta, koeficijenta, tj. od vrednosti vrednosti parametara stanja p, odnosno o dnosno T, za izabran iza bran realan r ealan gas (za dato a i b). Moguća ca su tri sluˇcaja: ca ja: a) od tri reˇsenja senja jedno je realno a dva dva su kompleksna; kompleksna; b) sva tri reˇsenja senja su realna i medjusobno medjusobn o jednaka i c) sva tri t ri reˇsenja senja su realna realn a i razliˇcita. cita. Sluˇcaj ca j a) se javlja pri temperaturama temperatura ma T > T K kada izobara izo bara seˇce ce izotermu u jednoj jedno j taˇcki. Sluˇcaj ca j b) se javlja kada je T = T K , tako da trostrukom trost rukom reˇsenju senju v1 = v2 = v3 = vK odgovara od govara kritiˇ kri tiˇcna cna taˇcka cka K, K , tj. prevo pre vojna jna taˇcka cka na n a izot i zoterm ermii T = T K = const. Sluˇcaj ca j c) se javlja kada je T < T K , pri ˇcemu cemu posto pos toje je tri preseˇcne cne taˇcke cke izobare izoba re sa izotermom (T (T = const < T K ). Dok izoterme Van der Waals-ovog gasa, pri temperaturama iznad kriti-ˇcne cne (T > T K ), kvalitativno odgov o dgovara araju ju izotermama realnog gasa, dokritiˇcne cne izoterme (T < T K ) Van der Waals-ovog aals-ovog gasa odstupaju od izotermi izotermi realnog gasa u dvofaznoj dvofaznoj oblasti tako ˇsto sto umesto horizontalnog dela 1-5 imaju talasast oblik 1-2-3-4-5 (slika 6.3.). Metastabilna stanja, izmedju 1 i 2 i izmedju 4 i 5, mogu da se u praksi ostvare ali samo tokom vrlo kratkog vremena. Medjutim, Medjutim, stanja izmedju izmedju minimuma minimuma 2 i maksimum maksimumaa 3 na talasastoj krivoj ne mogu da se ostvare u praksi, jer je u tom delu (∂p/∂v ( ∂p/∂v))T > 0, ˇsto sto je fiziˇ fiz iˇcki cki nemogu´ n emoguće. ce. Stanju Stan ju izmedju iz medju 1 i 2 odgovara o dgovara metastab me tastabilno ilno stanje tzv. pregrejane pregr ejane teˇcnosti cno sti,, koje ko je se ostvaruj ost varujee paˇzljivi zlj ivim m zag zagrevan revanjem jem teˇcnosti cno sti pri ˇcemu cemu se odlaˇ od laˇze ze kljuˇ klj uˇcanje. can je. Stanju izmedju izmedju 4 i 5 odgovara odgovara metastabilno metastabilno stanje tzv. pothladjene pare, koje se ostvaruje, ostvaruje, na primer, pri ekspanziji pare u parnim turbinama kada ne postoje jezgra kondenzacije (ˇcestic ces ticee praˇsine, sin e, kapljice kaplji ce teˇcnosti cno sti,, ili naelek nae lektri trisan sanee ˇcestic ces tice-j e-joni oni). ). Izmedju Izmedju Van der Waals-ovih aals-ovih koeficijenata koeficijenata a i b i kritiˇ kritiˇcnih cnih parametara parametara pK , vK i T K posto pos toji ji jednoznaˇ jedno znaˇcna cna veza, koja koj a moˇze ze da se nadje polaze´ pol azeći ci od toga da u kritiˇcnoj cno j taˇcki cki K K 2 2 K ∂p/∂v )T = 0 i (∂ moraju da budu zadovo zadovolje ljeni ni uslovi uslovi (6.36), (6.36), tj. (∂p/∂v) (∂ p/∂v )T = 0 (krt (k rtiˇ iˇcna cn a taˇcka cka K je prevo pre vojna jna taˇcka cka na izoter izo termi mi T = T K ). Polaze´ Pola zeći ci od Van der Waals-ove Waals- ove jednaˇ jed naˇcine, cin e, napisane u obliku RT a p = (6. (6.40) − 2, v−b v kao i gore navedenih uslova za kritiˇcnu cnu taˇcku, cku, sledi ∂p ∂v

i

K

   

T

∂ 2 p ∂v 2

RT K 2a + =0 (vK − b)2 v3

(6.41)

2RT K 6a − 4 = 0, vK (vK − b)3

(6. (6.42)

vK = 3b

(6. (6.43)

=− K

= T

odakle se dobija da je i

8a . (6. (6.44) 27Rb 27Rb i T K u Van der Waals-ovu jednaˇcinu cinu (6.40) dobija se T K =

Smenom dobijenih vrednosti za vK

pK =

a . 27b 27b2

86

(6. (6.45)

Iz izraza (6.44) dobija se da je R=

8a , 27T 27T K b

(6. (6.46)

pa se zamenom zameno m konstanti a i b iz izraza (6.45) i (6.43) (6.4 3) u (6.46) dobija sledeća ca veza kritiˇcnih cnih parametara (tzv. Young-ov kriterijum sliˇcnosti): cnosti): pK vK 3 = R = zK R, T K 8

(6. (6.47)

gde je zK = 3/8 = 0.375 tzv. kritiˇcni cni koeficijent. Za niz realnih gasova gasova kritiˇcni cni koeficijent se nalazi n alazi u intervalu inte rvalu 0.200-0 0. 200-0.330, .330, ˇsto sto govori o ograniˇ ogra niˇceno ceno j primenlj pr imenljivosti ivosti Van der d er Waals-ove jednaˇ jedn aˇcine cine za realne realn e gasove. Uvodjenjem redukovanih bezdimenzionih parametara stanja sistema (π,ω,τ (π,ω,τ ) p om omo´ oću cu kritiˇcnih cnih parametar para metaraa ( pK , vK , T K ) : π=

p , pK

ω=

v , vK

τ =

T , T K

(6. (6.48)

parametri stanja sistema (p,v,T) mogu da se napiˇsu su u obliku: πa 27b 27b2

(6. (6.49)

v = ωv K = ω3b,

(6. (6.50)

p = πpK =

T = τ T K =

τ 8 τ 8a , 27Rb 27Rb

(6. (6.51)

tako tako da se zam zamenom enom dobijen dobijenih ih izraza izraza za p,v i T u Van der Waals-o aals-ovu vu jednaˇ jednaˇ cinu cinu (6.38) (6.38) dobija dobij a tzv.redukovana tzv.r edukovana Van der Waals-ov aals- ovaa jednaˇcina: cina: (π +

3 )(3ω )(3ω − 1) = 8τ. 8τ. ω2

(6. (6.52)

S obzirom obz irom da d a ne sadrˇ s adrˇzi zi eksplici eks plicitno tno koefici ko eficijente jente a i b, koji zavise od prirode gasa, redukovana Van der Waals-ova aals-ova jednaˇcina cina opisuje stanje bilo kog gasa, tako da predstavlja univerzalnu un iverzalnu jednaˇ jedn aˇcinu cinu stanja realnih realn ih gasova. Stanja termodinamiˇ termodinamiˇ ckih ckih sistema sistema koja su definisana definisana istim vrednostima vrednostima redukov redukovanih anih parametara parametara nazivaju nazivaju se odgovaraju´ odgovarajuća ca (korespodentna) (korespodentna) stanja. S obzirom da su redukoredukovani parametri povezani redukovanom redukovanom Van der Waals-ovom jednaˇcinom cinom stanja (6.52) sledi teorema o odgovarajućim cim (korespodentnim) stanjima: ”Ako su dva odgov o dgovara araju´ juća ca redukovana parametra p arametra stanja dveju ili viˇse se razliˇcitih citih supstanci jednaki tada im je jednak i treći ci redukovani parametar stanja”.

87

6.3.2. Termiˇ cka cka i kaloriˇ cka cka svojstva svo jstva realnih realni h gasova i para. Jednaˇ cine cine stanja realnih gasova Termiˇcka cka svojs s vojstva tva realni r ealnih h gasova mogu da se ispita ispit a ju na osnovu termiˇckih ckih jednaˇcina cina T ), v = v ( p,T ) i T = T ( T ( p,v) p,v ) ili grafiˇcki stanja p = p(v, T ) cki na osnovu p, v −, v , T − i p, T − dijagr dijagram ama a (slik (slike 6.2., 6.2., 6.4 6.4.. i 6.5). 6.5). Na prime primer, r, iz p, v −dijagrama (slika 6.2) se vidi da je apsolutna vrednost nagiba (∂v/∂p (∂v/∂p))T dokritiˇ dokri tiˇcnih cnih izotermi izote rmi (T < T K ) u gasnoj fazi mnogo manja nego u teˇ cnoj cnoj fazi, tako da je koeficijent koeficijent izotermne izotermne kom kompresibil presibilnosti nosti β = − v1 ( ∂v ∂p )T gasova ga sova mnog mn ogoo veći ci nego ne go teˇcnos cn osti ti.. Sliˇ Sl iˇcno, cn o, iz v, T − dijagrama (slika 6.4) se vidi da je nagib ∂v/∂T ) p (∂v/∂T )

Slika 6.4. Slika 6.5. dokritiˇ dokri tiˇcnih cnih izobara izoba ra ( p < pK ) u gasno j fazi mnogo veći ci nego u teˇcnoj cno j fazi, ˇsto sto pokazuje da 1 ∂v je termiˇ ter miˇcki cki koefici koe ficijent jent zaprem zap remins inskog kog ˇsirenj sir enjaa α = v ( ∂T ) p gasova gas ova znatno zna tno veći ci nego neg o teˇcnosti cno sti..

Slika 6.6. Slika 6.7. ∂v/∂T ) p = f ( f (T ) T ) pri p < pK Zavisnost nagiba dokritiˇ dokr itiˇcnih cnih izobara izobar a od temperature, tj. (∂v/∂T ) prikazana ja na slici 6.6, a zavisnost nagiba izobara od temperature pri pritiscima iznad krit kr itiˇ iˇcnog cn og ( p > pK ) prikazana je na slici 6.7. Pomenute zavisnosti dobijene su na osnovu p, v-dijagrama v-dijagrama za vodenu vodenu paru.* Sa slike slike 6.6 se vidi da (∂v/∂T (∂v/∂T )) p u obla o blasti sti teˇcne cne faze faz e (T (T < T s ) raste s porastom p orastom temperature sve do temperature kljuˇcanja canja T s pri datom pritisku, tako da u taˇcki T s ima prekid, prekid, tj. raste raste skok skokom, om, a zatim zatim opada s porastom porastom temperature temperature u oblasti oblasti * Kritiˇ Kritiˇcne cne vrednosti parametara stanja za vodenu vodenu paru iznose: tK = 374, 374, 150 C, vK = m3 /kg i pK = 22, MPa. 0, 00326 00326m 22, 125 125MPa. 88

T > T s . ∂v/∂T ) p = f + (T ) T ) za pritiske Zavisnost Zavisnost (∂v/∂T ) pritiske iznad kritiˇ kritiˇcnog cnog ( p > pK ) je prikazan prikazanaa nepereki nep erekidnom dnom funkcijom fu nkcijom s maksimumom m aksimumom u oblasti obla sti kritiˇ kri tiˇcne cne tempe te mperatur rature, e, koji ko ji je sve izraˇ iz raˇzajza jniji kako se izobara izob ara pribliˇ prib liˇzava zava kritiˇcnoj cno j tako da u kritiˇcnoj cno j taˇcki cki ima beskonaˇ bes konaˇcno cno veliku vrednost (slika 6.7). Kaloriˇ Kaloriˇcka cka svojstva svojstva realnog gasa mogu da se ispitaju na osnovu osnovu analize kaloriˇ aloriˇckih ckih jednaˇ je dnaˇcina cin a stan s tanja, ja, na primer pri mer,, jednaˇ jed naˇcine cin e i = i( p,T ) ili grafiˇcki cki na osnovu i, i , T - i i,p-dijag i,p- dijagrama rama (slike 6.8 i 6.9).

Slika 6.8. Slika 6.9. p > pK ) sa Analizom Anali zom dokritiˇ dokri tiˇcnih cnih izobara izoba ra ( p s a slike sl ike 6.8 uoˇcava cava se da entalpi enta lpija, ja, kako teˇcnosti cno sti tako i gasov gasova, raste s porastom temperature tako da se pri prolazu kroz liniju zasićenja cenja teˇcnosti cnosti menja skokom skokom od vrednosti i (entalpija (entalp ija zasićene cene teˇcnosti) cnost i) do vrednosti vredn osti i (entalpija talpi ja suve zasićene cene pare). pare) . Duˇzini zini (i − i ) vertikalnog vertikalnog dela dokritiˇcne cne izobare odgovara specifiˇ spe cifiˇcna cna toplota topl ota prelaza prela za r pri datom pritisku p < pK : r = i − i . Nagib (∂i/∂T (∂i/∂T ) p izobra izobra sa i, T -dijagr -dijagrama ama (slik (slikaa 6.8) jednak jednak je specifiˇ specifiˇ cnoj cnoj toploti toploti pri konsta konstant ntnom nom pritisku c p = (∂i/∂T ) p . Oˇcigledno cigledno je da je najveća ca vrednost nagiba ( a time i specifiˇcne cne toplote c p ) izobara, koje su iznad kritiˇ kritiˇcne cne ( p > pk ), u prevojnim prevo jnim taˇckama. ckama. U kritiˇcnoj cno j taˇcki cki (koja (ko ja je u isto vreme prevojna prevo jna taˇcka) cka) specifiˇ spe cifiˇcna cna toplota toplo ta posta po staje je beskonaˇ bes konaˇcno cno velika c pK = (∂i/∂T ) pK = ∞. Analiza Anali za dokritiˇ dokri tiˇcnih cnih izobara izob ara ( p < pK ) pokazuje da je u dvofaznoj oblasti oblas ti nagib nagi b izobara izoba ra beskonaˇ bes konaˇcno cno veliki, ˇsto sto znaˇci ci da je i u dato j oblasti oblas ti specifiˇ spe cifiˇcna cna toplota toplo ta c p besko be skonaˇ naˇcno cn o veli ve lika. ka. T ), za pritiske Zavisnost Zavisnos t specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te c p realnog gasa od temperature, tj. c p = c p (T ) p ≤ pK ) (slika 6.11) ispod isp od kritiˇcnog cnog ( p < pK ) (slika (slika 6.10) i za pritiske pritiske iznad kritiˇ kritiˇcnog cnog ( p dobijena je na osnovu i, T −dijagrama za vodenu paru. Sa slike 6.10 6. 10 je uoˇcljivo cljivo da u oblasti p > pK specifiˇcna cna toplota raste s pove´ canjem canjem pritiska, a pada s porastom temperature. Zavisnost Zavisnost specifiˇ cne cne toplote od temperature u oblasti p ≤ pK (slika 6.11) je prikazana neprekidnom funkcijom s maksimumom, koji postaje posta je sve ve´ ci ci kako kako se izobara pribliˇzava zava kritiˇ kri tiˇcno cno j, tako da u kritiˇ kri tiˇcno cno j taˇcki cki dostiˇ dos tiˇze ze beskon be skonaˇ aˇcno cno veliku veli ku vredno vre dnost. st. f (T ) T ) i c p = ϕ(T ) T ) pri pritiscima iznad kritiˇcnog Oblik krivih zavisnosti (∂v/∂T (∂v/∂T )) p = f ( cnog ( p ≥ pK ) (slike 6.7 i 6.11, respektivno) je analog, ˇsto sto se i oˇcekivalo cekivalo s obzirom na postojanje posto janje ∂v/∂T ) p (pogledati primer 6.7): veze izmedju c p i (∂v/∂T ) 









c p = T

   ∂p ∂T

s

∂v ∂T

.



(6. (6.53)

p

T ), pri p > pK objaˇ Postojanje maksimuma na krivama zavisnosti c p = c p (T ) ob jaˇsnjava snj ava se s e inteninte nzivnim raspadom ve´ cih cih grupacija molekula na manje u oblasti blizu kritiˇcne cne temperature. temperature .

89

.

Slika 6.10. Slika 6.11. Speci Sp ecifiˇ fiˇcna cna toplot top lotaa c p datog realnog gasa odredjuje se ili eksperimentalno ili na osnovu T ) ili na osnovu poznate zavisnosti entalpije od temperature i = i(T ) osnovu poznatih termiˇ termiˇckih ckih jednaˇ jedn aˇcina cina stanja, st anja, tj. t j. p,v,T-zavisno p,v,T- zavisnosti. sti. Ukoliko su poznati eksperimentalni podaci za vrednost entalpije pri datoj temperaturi T ) pri i pritisku pritisku tada se specifiˇ cna cna toplota nalazi iz nagiba eksperimentaln eksperimentalnee krive krive i = i(T ) p=const, tj. na osnovu izraza (2.47) c p =

  ∂i ∂ T

.

p

Ako su poznati Ako poznati rezultat rezultatii medjus medjusobne obne zavisno zavisnosti sti termiˇ termiˇ ckih ckih paramet parametara ara p, v, T, tada se speci sp ecifiˇ fiˇcna cna toplot top lotaa c p pri datom pritiski pri tiski i temperaturi moˇze ze da dobije iz relacije relac ije p

c p ( p,T ) = c p ( p1 , T ) T ) +

   p1

∂c p ∂p

dp

(6. (6.54)

T

ukoliko ukoliko se zna vrednost vrednost specifiˇ cne cne toplote pri istoj temperaturi T ali pri drugom pritisku p1 . S obzirom na relaciju (pogledaj primer 6.5):

  ∂c p ∂p

∂ 2 v = −T ∂T 2 T

 

,

(6. (6.55)

p

iz (6.54) sledi da se specifiˇ cna cna toplota moˇ ze ze da dobije ukoliko ukoliko se poznaje zavisnost zavisnost v = 2 2 v ( p,T ), tj. veliˇcina cin a (∂ v/∂T ) p : p

c p ( p,T ) = c p ( p1 , T ) T ) + T

∂ 2 v ∂T 2

   p1

dp.

(6. (6.56)

p

Entalp Entalpija ija realnog realnog gasa gasa mo moˇˇze ze da se odredi eksperim eksperimen ental talno no ili na osnov osnovu u poznatih poznatih vrednosti vredn osti za specifiˇ spe cifiˇcnu cnu toplot t oplotu u c p kao i na osnovu rezultata p, v, T-zavisnosti. Vrednost entalpije na temperaturi temp eraturi T i pritisku p moˇze ze da se odredi o dredi ukoliko je poznata vrednost entalpije na istom pritisku p ali na drugoj temperaturi T 1 kao i poznate zavisnosti speci sp ecifiˇ fiˇcne cne toplot top lotee c p = (∂i/∂T ) p od temperature: T

i( p,T ) = i( p,T 1 ) +

   T 1

∂i ∂T

p

90

T

dT = i( p,T 1 ) +



T 1

c p (T ) T )dT. dT .

(6. (6.57)

Zavisnost Zavisnost entalpije od o d pritiska pritiska pri konstant konstantnoj noj temperaturi moˇze ze da se odredi na osnovu osnovu poznate vrednosti entalpije na istoj temperaturi T ali na drugom pritisku p1 kao i poznate zavisnosti v = v (T ) T ). Naime, kako je (pogledati primer 4.5)

  ∂i ∂p

= v − T T

  ∂v ∂T

(6. (6.58)

,

p

sledi p

i( p,T ) = i( p1 , T ) T ) +

   p1

∂i ∂p

     p

dp = i( p,T ) +

∂v ∂T

v − T

p1

T

dp.

(6. (6.59)

p

Koriˇ Kor iˇs´ sćenjem cen jem termo ter modin dinamiˇ amiˇcke cke relaci rel acije je (pogl (p ogleda edati ti primer pri mer 6.6 6.6)) ∂ 2 p = T ∂T 2 T

    ∂c v ∂v

,

(6. (6.59 ) 

v

lako moˇ ze ze da se dodje do izraza za odredjivanje odredjivanje vrednosti vrednosti specifiˇ cne cne toplte cv pri temperaturi T i specifiˇ spe cifiˇcnoj cno j zapremini zapr emini v ukoliko se zna vrednost specifiˇcne cne toplote cv pri istoj temperaturi T ali pri drugoj vrednosti vrednosti specifiˇ cne cne zapremine zapremine v1 i ukoliko se zna zavisnost p = p(T ) T ) pri v = const., odnosno drugi izvod pritiska po temperaturi (∂ (∂ 2 p/∂T 2 )v : v

cv (v, T ) T ) = cv (v1 , T ) T ) +

v

   ∂c v ∂v

v1

T ) + T = cv (v1 , T )

v1

T

∂ 2 p ∂T 2

  

dv.

(6. (6.60)

v

Zavisnost Zavisnost unutra unutraˇˇsnje snje energije realnog gasa od temperature, temperature, pri konstant konstantnoj noj zapremini, zapremini, ∂u/∂T )v od temperaodredjuje se na osnovu poznate p oznate zavisnosti specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote to plote cv = (∂u/∂T ) ture, ture , kao i poznate poz nate vrednosti vredn osti unutraˇsnje snje energije energ ije pri p ri isto i stojj specifiˇ sp ecifiˇcnoj cno j zapremin zap reminii ali razliˇ razl iˇcito cito j temperaturi T 1 : T

u(v, T ) T ) = u(v, T 1 ) +

   T 1

∂u ∂T

T

dT = u(v, T 1 ) +



cv (T ) T )dT. dT .

(6. (6.61)

T 1

v

Sliˇcno cno prethod pret hodnom, nom, izraz za nalaˇzenje zenje zavisnosti zavisno sti unutraˇsnje snje energije ener gije realnog realn og gasa od specifispe cifiˇcne cne zapremine zapr emine pri konstantno konstantn o j tempe t emperatu raturi ri moˇze ze da d a se odredi odr edi koristeći ci se relaci r elacijom jom (po ( poglegledati primer 4.7) ∂u ∂p − p, = T (6. (6.62) ∂v T ∂T v

   

tj. v

u(v, T ) T ) = u(v1 , T ) T ) +

   v1

∂u ∂v

v

dv = u(v1 , T ) T ) +

     T

v1

T

∂p ∂T

− p dv,

(6. (6.63)

v

ukoliko se zna vrednost unutraˇsnje snje energije en ergije pri istoj isto j temperaturi temp eraturi T ali pri drugoj drugo j specifiˇ sp ecifiˇcnoj cno j T ) pri v=const. zapremini v1 kao i zavisnost p = p(T ) Kako je eksperimentalno odredjivanje specifiˇcne cne toplote cv pra´ pr aćeno ce no izves iz vesni nim m teˇskosko ćama, cv se ˇcesto cesto odredjuje na osnovu poznatih vrednosti specifiˇcne cne toplote c p uz p om omo´ oć relacije (P6.1.11.): (P6.1.11.): ∂p ∂v c p − cv = T , (6. (6.64) ∂T v ∂T p

   91

a unutraˇsnja snja energija ener gija na osnovu poznate poz nate vrednosti vre dnosti entalpije (i = u+pv). Entropi Entr opija ja ne moˇze ze neposr nep osredn ednoo da se izmeri izm eri već se odred od redjuj jujee raˇcunski cun skim m putem put em koriˇs´ sćecenjem termodina termo dinamiˇ miˇcih cih diferencij difer encijalnih alnih jednaˇcina cina sa termodinamiˇ termo dinamiˇckim ckim veliˇcinama cinam a ˇcije cije su vrednosti poznate. Vrednost entropije pri temperaturi temp eraturi T i pritisku p moˇze ze da se odredi o dredi ukoliko je poznata vrednost entropije pri temperaturi T 1 i pritisku p1 tj.: p

s( p,T ) = s( p1 , T 1 ) +

   ∂s ∂p

p1

T

dp +

   ∂s ∂T

T 1

T

dT. dT .

(6. (6.65)

p

Kako je [pogledati (4.38) i (P6.7.1)]

      ∂s ∂p

i

∂v ∂T

=−

T

∂s ∂T

(6. (6.66)

p

c p , T

=

p

(6. (6.67)

jednaˇ je dnaˇcina cin a (6.65) (6. 65) moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u slede´ sle dećem cem obliku obl iku:: p

s( p,T ) = s( p1 , T 1 ) −

T

    ∂v ∂T

p1

dp +

T 1

p

c p dT, dT , T

(6. (6.68)

ˇsto sto znaˇ ci ci da vrednost entropije pri temperaturi T i pritisku pritisku p, u odnosu na vrednot entropije pri temperaturi T 1 i pritisku p1 moˇ ze ze da se odredi na osnovu osnovu poznate zavisnosti zavisnosti speci sp ecifiˇ fiˇcne cne toplot top lotee c p od temperature T kao i izvoda (∂v/∂T (∂v/∂T )) p od pritiska. S obzirom da su u termodinam termo dinamici ici i termotehni termo tehnici ci bitne promene prome ne odgovaraju´ odg ovarajućih cih termodinam termo dinamiˇ iˇckih ckih veliˇcina cina a ne njihove apsolutne apsolutn e vrednosti, po dogovoru se uzima da su entropija, entalpija e ntalpija i unutraˇsnja snja 0 p = 101, kPa,t = 0, 01 C ). energija za vodu i vodenu paru jednaki nuli u tro jnoj taˇcki cki ( p 101, 325 325kPa,t Izraz (6.68) moˇze ze da se primeni za izraˇcunavanje cunavanje entropije samo ukoliko se i poˇcetno cetno i krajnje kra jnje stanje nalaze u istoj isto j fazi supstancije. U suprotnom, mora da se vodi raˇ r aˇcuna cuna o tome da se pri prelazu iz jedne u drugu fazu kroz liniju zasi´ zasićenja cenja entropija entropija menja za veliˇ veliˇcinu cinu s − s = r/T, koju u datom sluˇcaju caju treba dodati do dati desnoj desno j strani gornjeg izraza (6.68). Vrednost entropije moˇze ze da se odredi o dredi i ukoliko je poznata poz nata njena vrednost pri temparaturi T 1 i specifiˇ spe cifiˇcnoj cno j zapremini zapr emini v1 : 



v

s(v, T ) T ) = s(v1 , T 1 ) +

   ∂s ∂v

v1

T

dv +

   ∂s ∂T

T 1

T

dT. dT .

(6. (6.69)

v

Kako je [pogledati (4.37) i (2.31) i (3.72)]

          ∂s ∂v

i

sledi

∂p ∂T

=

T

∂s ∂T

=

v

v

s(v, T ) T ) = s(v1 , T 1 ) +

v1

92

(6. (6.70)

v

cv , T

∂p ∂T

T

dv +

v

T 1

(6. (6.71) cv dT. dT . T

(6. (6.72)

Znaˇci, ci, vrednost entropije pri temperaturi T i specifiˇ spe cifiˇcnoj cno j zapremini zapre mini v, u odnosu na vrednost entropije pri temperaturi T 1 i specifiˇ spe cifiˇcnoj cno j zapremini zapr emini v1 moˇze ze da se odredi iz poznate zavisnosti zavisno sti specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te cv od temperature T kao i iz poznate p,v,T-zavisnosti. Na sliˇcan can naˇcin cin moˇze ze da se odredi vrednost entropije, u zavisnosti od pritiska i entalpije, ukoliko je poznata njena vrednost pri pritisku p1 i entalpiji i1 : i

s(i, p) = s(i1 , p1 ) =

p

      ∂s ∂i

i1

di +

p1

p

∂s ∂p

dp.

(6. (6.73)

i

Kako je na osnovu (4.8)

    ∂s ∂i

i

∂s ∂p

=

p

i

1 T

(6. (6.74)

v =− , T

(6. (6.75)

izraz izr az (6.73) (6. 73) moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u slede´ sle dećem cem obliku obl iku:: i

s(i, p) = s(i1 , p1 ) +

di − T

p

  i1

p1

v dp. T

(6. (6.76)

Znaˇci, ci, vrednost entropije pri datim uslovima moˇze ze da se odredi ukoliko su poznate vrednosti entalpije kao i p,v, T-zavisnost. Izraˇcunavanje cunavanje odgovaraju´ od govarajućih cih termiˇckih ckih veliˇcina cina i njihovih integrala, integr ala, iz prethodn preth odnih ih relacija relac ija [(6.56), [(6 .56), (6.59), (6.59 ), (6.60), (6. 60), (6.63 ( 6.63), ), (6.68), (6. 68), (6.72) (6.72 ) i (6.76)], (6.7 6)], moˇ m oˇze ze da se sprovede sp rovede raˇcunskim cunsk im metodama na osnovu osnovu eksperimentaln eksperimentalnih ih p,v,T −rezultata ili na osnovu jednaˇ jedn aˇcine cine stanja realnog gasa. Na osnovu poznatih vrednosti entropije za datu supstancu mogu da se formiraju dijagrami stanja tako ˇsto sto se na jednu jed nu od koordinatnih koordina tnih osa nanose vrednosti entropije a na drugu T ). Ovi, tzv. neki od termiˇckih ckih parametara param etara stanja ( p,v ili T ) tzv . entropijski entrop ijski dijagram dij agramii stanja naˇsli sli su ˇsiroku siroku primenu u termotehnici. Na entropijskim dijagramima d ijagramima je osim graniˇcnih cnih krivih ucrtana gusta mreˇza za izobara, izotermi, izohora, kao i linije konstantnog stepena suvo´ ce ce (x= const.) const .) ˇcime cime je povećana cana taˇcnost cnost grafiˇckog ckog odredji od redjivanja vanja odgovaraju´ odg ovarajućih cih parametara para metara supstanc supstancije ije.. Na slikama slikama 6.12 i 6.13 prikazan prikazanii su T , s−, p , s− i i, s−dijagrami za oblast teˇcne cne i gasne gas ne faze faz e (ukljuˇ (uk ljuˇcuju´ cuj ući ci i dvofaznu dvof aznu oblast obl ast). ). Nagibi Nagi bi izobara izobara u T , s− i i, T −dijagra dijagramim mimaa (slik (slikee 6.12 i 6.8 6.8,, respekti respektivno vno)) su jedjednoznaˇ nozn aˇcno cno povezani, povezan i, ˇsto sto moˇze ze da se zakljuˇci ci na osnovu relacije relac ije [(2.47) [(2.4 7) i (P6.7.1)] (P6.7. 1)] : T (∂s/∂T ) ∂s/∂T ) p . Duˇz izobara (∂i/∂T ) p = c p = T ( izob ara entropija raste (ne opada) o pada) s porastom p orastom temperature tj. ∂T ≥ 0. (6. (6.77) ∂s p

 

Znak jednakosti jednakosti odgovara odgovara kritiˇ kritiˇcnoj cnoj taˇ cki cki i izobarama izobarama u dvofaznoj dvofaznoj oblasti, oblasti, gde je c p = T ( T (∂s/∂T ) ∂s/∂T ) p = ∞. U kritiˇcnoj cnoj taˇcki cki K su prvi i drugi izvod temperture po entropiji jednaki nuli: K

  ∂T ∂s

=0

i

p

∂ 2 T ∂s 2

K

 

= 0,

p

ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da je krit kr itiˇ iˇcna cn a taˇcka cka prevo pr evo jna jn a taˇcka cka na krit kr itiˇ iˇcno cn o j izob iz obar ari. i. 93

(6. (6.78)

U T , s−dijagramu, dijagramu, povrˇ povrˇsina sina ispod horizontalnog horizontalnog dela izobare (u dvofaznoj dvofaznoj oblasti) oblasti) T (s − s ). odgovara specifiˇcnoj cno j toploti faznog prelaza: r = T ( Iz Maksvelove relacije (4.38) 



    ∂p ∂s

=−

T

∂T ∂v

(6. (6.79)

p

sledi da postoji analogija izmedju p, s− i v, T −dijagrama (slike 6.13 i 6.4., respektivno). Sa slike 6.13 se vidi da je ∂p ≤ 0, (6. (6.80) ∂s T

 

gde znak jednakosti odgovara kritiˇcnoj cno j taˇcki cki i izotermama u dvofaznoj oblasti. U krit kr itiˇ iˇcno cn o j taˇ ta ˇcki ck i je K

  ∂p ∂s

=0

i

T

∂ 2 p ∂s 2

K

 

= 0,

(6. (6.81)

T

ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da je krit kr itiˇ iˇcna cn a taˇcka cka prevo pr evo jna jn a taˇcka cka na krit kr itiˇ iˇcno cn o j izot iz oter ermi mi.. Treba da se primeti da za razliku od p, v − i v, T −dijagrama, dijagrama, u entropijski entropijskim m dijagramima su leva i desna (odnosno gornja i donja) graniˇcna cna kriva simetriˇcne cne u odnosu na izoentropu koja prolazi kroz kritiˇcnu cnu taˇcku cku i ima zvonast oblik.

Slika 6.12 Slika 6.13 Najve´ Na jveću cu praktiˇ pra ktiˇcnu cnu primenu pri menu pri razmat raz matran ranju ju razl r azliˇ iˇcitih cit ih termo ter modin dinamiˇ amiˇckih cki h pro p roces cesa, a, posepo sebno promena stanja vodene pare, imaju i, s−dijagrami dijagrami (tzv. Mollier-ovi Mollier-ovi dijagrami), dijagrami), koji su konstruisani konstru isani na osnovu o snovu odgovara o dgovaraju´ jućih cih tabliˇ t abliˇcnih cnih podataka po dataka kao i na osnovu o snovu pozna p oznatih tihp, p, v − ili T , s−dijagrama. i, s−dijagrami dijag rami su naˇsli sli veliku praktiˇ prakt iˇcnu cnu primenu prime nu pri izraˇcavanju cavanju procesa pro cesa i ciklusa kod toplotnih maˇsina sina i rashladnih sistema. Prei Pr eimu´ mućstvo cs tvo i, s−dijagrama dijag rama u odnosu odn osu na ostale je u tome ˇsto sto se tehniˇcki cki rad i koliˇcina cina toplote, toplo te, pri razliˇcitim citim procesima pro cesima,, prikazuju odseˇ ods eˇccima ccima linija linij a procesa pro cesa a ne povrˇsinama, sinama , kao ˇsto st o je sluˇ sl uˇca ca j kod ko d s, T −dijagr dij agrama ama,, ˇcime cim e se znatno zna tno ubrzava ubr zava post p ostupa upak k nalaˇ na laˇzenja zen ja odgovar o dgovaraa jućih cih termo ter modin dinamiˇ amiˇckih cki h veliˇcina cin a sistem sis temaa a ne gubi gub i u taˇcnosti cno sti.. i, s−dijagrami se obiˇcno cno prikazuju za oblast teˇcne cne i gasne faze supstance, tako ˇsto se na ordinatnu osu nanosi n anosi vrednost specifiˇcne cne entalpije (i (i) a na apscisu nanosi vrednost specifiˇ spe cifiˇcne cne entropije entrop ije (s) slika 6.14. 94

Slika 6.14. Sa i, s−dijagrama dijag rama se uoˇcava cava da su u dvofazno dvofa znojj oblasti obl asti (izmedju (izme dju graniˇ g raniˇcni cni krivih) krivih ) izobare izo bare identiˇ identiˇ cne cne izotermama. izotermama. Osim toga, u ovoj ovoj oblasti izobare i izoterme izoterme su tangente tangente na donju graniˇ gran iˇcnu cnu krivu i lepezast lep ezastoo se ˇsire sire od nje. Donja graniˇcna cna kriva u i, s−dijagramu polazi iz koordinatn koord inatnog og poˇcetka cetka smeˇstenog steno g u trojnu tro jnu taˇcku cku supstance supsta nce ( u trojno tro jnojj taˇcki cki su entropija, entropi ja, entalpija i unutraˇ snja snja energija en ergija po p o dogovoru d ogovoru jednake nuli). Naime, kako je di = T ds + vdp sledi ∂i = T, (6. (6.82) ∂s p

 

ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da su izob iz obar aree u i, s−dijagramu u dvofaznoj oblasti prave (duˇz izobare T =const) s pozitivnim nagibom jednakim apsolutnoj temperaturi (T (T > 0). 0). Na Nagi gib b izob iz obar araa je veći ci ˇsto st o je viˇsa sa temperatura ( a time i viˇsi si pritisak), ˇcime cime se objaˇ ob jaˇsnjava snjava lepezast oblik familija u dvofazno dvofazn o j oblasti obla sti i,s-dija i, s-dijagrama grama.. Kako je i u kritiˇcnoj cno j taˇcki cki nagib na gib izobar i zobaree p = pK pozitivan, tj.

  ∂i ∂s

K

= T K > 0,

(6. (6.83)

p

sledi da se kritiˇcna cna taˇcka cka K nalazi nalaz i levo od maksimuma graniˇ gran iˇcne cne krive na njenom njeno m uzlazn u zlaznom om delu. S obzirom da je nagib izobara u i,s-dijagramu jednak apsolutnoj temperaturi (relacija 6.82), jasno je da izobare seku gornju g ornju graniˇcnu cnu krivu bez preloma, pri ˇcemu cemu im nagib raste s porastom temperature u oblasti gasne faze (pregrejane pare). Iz relacije (6.82) sledi ∂ 2 i ∂T . = (6. (6.84) ∂ s2 p ∂s p

   

Kako je (6.67) c p = T

 

95

∂s ∂T

p

iz jednaˇcine cine (6.84) (6.84 ) se dobija dobij a ∂ 2 i ∂ s2

 

p

=

T , c p

(6. (6.85)

ˇsto sto znaˇci ci da izobar izo baree nema nem a ju prevo pre vojnu jnu taˇcku cku (T > 0) kao i da im krivina raste, tj, izobare ∂ i su konveksne na dole [( ∂s ) p > 0]. 0]. Pri prolazu prola zu kroz gornju gornj u graniˇcnu cnu krivu (desno (desn o od o d kritiˇcne cne taˇcke cke K) u oblast o blast pregrejane pregr ejane pare, nagib izotermi (∂i/∂s (∂i/∂s))T se menja prelomom i opada kako kako se viˇse se udaljav u daljavaa od o d gornje graniˇcne cne krive asimptotski se pribliˇzavaju´ zavajući ci nuli, tj. izoterme postaju posta ju skoro horizontalne (i=con (i= const) st).. Pretho Pre thodno dno moˇze ze da d a se dokaˇze ze na osnov o snovu u odgovar o dgovaraa juće ce term t ermod odina inamiˇ miˇcke cke rela r elacij cije, e, (pogledati primer 6.8): ∂i ∂T . = T − v (6. (6.86) ∂s T ∂v p 2

2

 

 

∂v/∂T ) p menja se skokom (pogleNaime, pri prolazu prol azu kroz gornju gornj u graniˇcnu cnu krivu veliˇcina cina (∂v/∂T ) ∂T/∂v) p raste a time (∂i/∂s dati sliku 6.6) i u gasno j fazi opada, opada , ˇsto sto znaˇci ci da veliˇcina cina v (∂T/∂v) (∂i/∂s))T opada, opa da, ˇsto sto je trebal tre baloo da se pokaˇ po kaˇze. ze. Znaˇ ci, ci, dok se u dvofaznoj dvofaznoj oblasti izobare i izoterme poklapaju, dotle se one u oblasti pregrejane pare razdvajaju, tako da su izobare znatno strmije od izotermi. Specifiˇ cna cna toplota faznog prelaza (tzv. latentna latentna toplota) pri datom pritisku iznosi: 



r = i −i ,

(6. (6.87)

tj. jednaka je razlici ordinata preseˇcenih cenih taˇcaka caka izobara izob ara sa gornjom i donjom graniˇcnom cnom krivom.

6.3.3. Vodena oden a para. Veliˇ cine cine stanja vlaˇ zne zne i pregrejane pregrej ane vodene pare Para je realan gas blizu stanja kondenzacije, koji znatno odstupa od idealnog gasa. Od svih para na jznaˇ jznaˇcajiju cajiju ulogu u termotehnici termotehnici ima vodena para. Vodena para se koristi koristi kao radno telo u parnim motorima i kao grejni fluid u mnogim toplotnim uredjajima. Posebno je znaˇcajno ca jno ˇsto sto nema ˇstetno stetn o dejstvo na ˇzive zive organizme organ izme i ˇzivotnu zivotnu okolinu. Kako poseduje relativno dobre termodinamiˇcke cke osobine vodena para je od svih drugih para naˇsla sla najve´ na jveću cu praktiˇ pr aktiˇcnu cnu primenu. pri menu. Vodena ode na para pa ra se dobija dobij a isparavanjem ispa ravanjem vode pri stalnom st alnom pritisku prit isku u specijalnim zatvorenim sudovima, tzv. parnim kotlovima. Naˇcin cin dobijanja vodene pare moˇze ze principijelno da se prikaˇ prikaˇze ze u p,v -dijagramu na slici slici 6.15 6.15.. Neka Neka je p=const p=const radni pritisak pritisak u kotlu kotlu u kojem kojem se zagrev zagrevaa voda, voda, od poˇ cetne cetne temp erature ure kljuˇ klj uˇ canja can ja ts pri datom pritisku, tzv. temtemperature t0 (taˇ (t aˇcka cka A) do temperat peratu pe ratura ra zasi´ zas i´ cenja cen ja (taˇcka a na donjoj donjo j graniˇcnoj cno j krivoj K-I). Temperatura zasićenja cenja zavisi od prirode supsrtance i raste s poviˇsenjem senjem pritiska. Pritisak koji ko ji odgov od govara ara temperatemp erapr itis isak ak zasi´ za si´ cenj ce nja a ps . Para koja turi zasićenja cenja naziva se prit ko ja se nalazi u ravnoteˇ zi zi sa svojom za sićena ce na para pa ra.. Premda se radnom telu neprekidno dovodi toplota proteˇcnoˇs´ sću naziva se zasi´ ces isparavan isp aravanja, ja, koji ko ji je poˇceo ceo u taˇcki cki a pri temperaturi ts , odvija se pri stalnom pritisku ps i stalnoj temperaturi ts sve do taˇcke cke b na gornjo gornj o j graniˇ g raniˇcnoj cno j krivo k rivojj K-II. Koliˇcina cina toplote toplo te koja je potrebna p otrebna da se izvrˇsi si promena faze date dat e supstance naziva se lantentna toplota isparavanja. paravanja. Izmedj Izm edju u graniˇ gr aniˇcnih cni h krivi kr ivih h siste si stem m je dvofa d vofazni zni,, tj. tj . posto po sto ji smeˇ sm eˇsa sa kljuˇ k ljuˇcale cal e teˇcnosti cno sti vl aˇ zne zn e pare pa re.. U taˇcki b po zavrˇsetku (vode) i suve (vodene ) pare, tzv. vlaˇ setku isparavanja, ispar avanja, para su vozas asi´ i´ cena ce na para. pa ra. Daljim dovodjenjem toplote, viˇse se ne sadrˇ sa drˇzi zi teˇcnos cn ostt tako ta ko da se nazi na ziva va suvoz p oˇcev o d taˇ ta ˇcke ck e b, dolazi do pregrejavanja vodene pare sve do neke, tzv. temperature pregrejavanja t p (taˇcka cka B), koja je odredjena koliˇ cinom cinom toplote dovedene vodenoj vodeno j pari na delu b-B linije procesa pregrejavanja. 96

Slika 6.15 U dvofazno d vofaznom m sistemu, si stemu, tj. oblasti oblas ti vlaˇzne zne zasićene cene pare, stanje vlaˇzne zne pare je definis d efinisano ano stepenom pritiskom (ili temperaturom) i sastavom smeˇse. se. Sastav smeˇse se je odredjen tzv. suvo´ ce x: m p m p kg pare x= = [ ], (6. (6.88) ms m p + mv kg smese sˇe gde je m p − masa suvo zasićene cene pare, ms = m p + mv − masa mas a smeˇ sm eˇse, se , tj. tj . vlaˇ vl aˇzne zn e zasi´ za sićene ce ne pare, a mv −masa vode, odnosno teˇcnosti cnosti od o d koje ko je je dobijena para. Na donjoj graniˇ cnoj cnoj krivoj krivoj postoji samo teˇ cna cna faza (m p = 0, x = 0), 0), na gornjoj graniˇ gran iˇcnoj cno j krivo k rivojj posto post o ji samo suvo-zasi´ suvo-za sićena cena para (mv = 0, x = 1) a u dvofaznoj oblasti obe faze (0 < x < 1). 1). Iz (6.88) (6.88 ) sledi da se u 1 kg vlaˇzne zne pare nalazi x kg suvo-zasi´ suvo-za sićene cene pare i (1 − x) kg vode ste p en vlaˇ vl aˇ znos zn osti ti vodene pare. koja ko ja kljuˇ kl juˇca. ca . Veliˇcina ci na (1 − x) se ˇcesto ces to naziva naz iva step Po dogovor do govoru u se veliˇcine cin e stanj st anja a vode vo de ko ja kljuˇ k ljuˇca ca (na ( na donjo don jojj graniˇ gr aniˇcno cno j krivo kr ivoj) j) oznaˇ o znaˇcavaju cava ju sa ”prim” () a suvo-zasi´ cene cene pare (na gornjoj gornjo j graniˇcnoj cno j krivoj) sa ”sekund” (). Pritisak i temperatura se tokom procesa pro cesa isparavanja ne menjaju tako da se ne oznaˇcava cava ju indeksima ”prim” i ”sekund”. Da bi se odredila odredila potrebna potrebna koli koliˇˇcina cina toplote toplote za zagrev zagrevanje anje vode vode od t0 do ts , zatim toplota za isparavanje isparavanje vode-latentna toplota isparavanja, isparavanja, kao i koliˇ cina cina toplote potrebna za pregrejavanje pare od t0 do t p , neophodno je da d a se odrede promene veliˇ cina cina stanja ∆u, ∆i i ∆s vodene pare. Veliˇcine cine stanja kljuˇcale cale vode, suvo-zasi´ cene cene pare i pregerejane pare u zavis zavisnost nostii od pritisk pritiska a ili temperature temperature,, date su u tablica tablicama ma za vodenu vodenu paru (vidi prilog prilog ) koje su dobijene na osnovu velikog bro ja eksperimentalnih podataka po dataka i proraˇcuna cuna razliˇcitih citih istraˇ ist raˇzivaˇ zivaˇca. ca. Na Najje jjedno dnostav stavnij nijee i najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce se promen pro menee stanja sta nja vodene vod ene pare par e odred od redjuj juju u grafiˇ gra fiˇcki cki na osnovu osnovu i,s- ili i, T-dijagrama T-dijagrama stanja (slike 6.14 i 6.8, respektivno). U praktiˇ praktiˇcnim cnim termodinamiˇ mod inamiˇckim ckim proraˇ pror aˇcunima cunim a se s e uzima u zima da je poˇ p oˇcetno cetno stanje vode definisano defini sano temperatu temp eraturom rom 0 t0 = 0 C. Po dogovoru su vredno vr ednosti sti unutraˇ u nutraˇsnje snje energije energ ije u, entalpije i, i entropije s pri ovoj temperaturi jednake nuli, tj. u0 = 0, i0 = 0, s0 = 0. Vrednost unutraˇsnje snje energije vode u stanju kljuˇcanja canja odredjuje se na osnovu izraza: 





u = i − pv .

(6. (6.89)

a u stanju suvo-zasi´ cene cene pare na osnovu izraza: izr aza: 





u = i − pv . 97

(6. (6.90)

Latentna toplota isparavanja, na osnovu prvog principa termodinamike δq = di − vdp (izraz 2.87), odredjuje se na osnovu izraza: 



r = q p = ∆i = i − i .

(6. (6.91)

Smenom izraza za entalpiju (2.33) na donjoj donjo j graniˇ gran iˇcnoj cno j krivoj krivo j i gornjoj gornjo j graniˇ gr aniˇcnoj cno j krivoj krivo j u prethodni prethodni izraz izraz dobija dobija se relacij relacijaa na osnov osnovu u koje mo moˇˇze ze da se odredi odredi latent latentna na toplota toplota isparavanja ispar avanja na osnovu tabliˇcnih cnih podata po dataka ka za unutraˇsnju snju energiju energ iju i specifiˇ spe cifiˇcnu cnu zapreminu: zapr eminu: 







r = (u − u ) + p(v − v ).

(6. (6.92)

Kako je (izraz 3.44) dS = δq/T, promena entropije pri izparavanju data je izrazom: 

q p r , = T s T s



s −s =

(6. (6.93)

gde je T s temperatura kljuˇcanja canja vode pri datom pritisku. Pokazuje Pokazuje se da se tokom procesa isparav isparavanja najve´ ci ci deo toplotne energije (∼ 80%) troˇsi si na povećavanje cavanje unutraˇ unut raˇsnje snj e energi ene rgije je sistem sis temaa a manji man ji deo na spolj sp oljaˇ aˇsnji snj i rad ˇsirenj sir enja. a. ˇ ˇ VELICINE STANJA VLAZNE PARE. Stanje vlaˇzne zne pare odredjeno je pritiskom (ili temperatu temp eraturom) rom) kljuˇcanja canja i stepenom step enom suvoće ce x, tj. koliˇ cinom cinom suve pare u vlaˇznoj znoj pari. Veliˇcine cine koje koj e definiˇsu su stanje stanj e vlaˇzne zne pare su ekstenzivne eksten zivne veliˇcine cine tako da poseduju pos eduju svojstvo svoj stvo aditivnosti pa se odredjuju na osnovu poznatih veliˇ cina cina stanja na graniˇcnim cnim linijama za dati pritisak, priti sak, tako ˇsto sto se veliˇcine cine stanja suve vodene voden e pare pomnoˇ pom noˇze ze stepenom step enom suvoće ce x i saberu sab eru sa odgovaraju´ od govarajućim cim veliˇcinama cinam a stanja vode u stanju kljuˇcanja canja pomnoˇ pom noˇzene zene sa tzv. stepe ste penom nom vlaˇznosti zno sti 1 − x. Tako se, na primer, specifiˇcna cna zapremina, entalpija, entropija i unutraˇsnja snja energija vlaˇzne zne pare odredjuju odr edjuju na osnovu sledećih cih izraza, izraz a, resp r espektivn ektivno: o: 









vx = xv + (1 − x)v = v + x(v − v ) 









(6. (6.94)



ix = xi + (1 − x)i = i + x(i − i ) = i + rx, rx sx = xs + (1 − x)s = s + x(s − s ) = s + , T S 





















ux = xu + (1 − x)u = u + x(u − u ).

(6. (6.95) (6. (6.96) (6. (6.97)

Stepen suvo´ suvoće ce moˇ ze ze da se odredi na osnovu osnovu gornjih izraza [(6.99), [(6.99), (6.95), (6.96) ili (6.97)]: vx − v ix − i ux − u sx − s x= . = = = (6. (6.98) v −v i −i u −u s −s 























ˇ E STANJ VELICINE CIN STANJA A PREGRE PREGREJAN JANE E PARE. ARE. Pregrej Pregrejana ana para je takv takva para koja ima pri datom pritisku pritisku viˇ viˇsu su temperaturu (ili specifiˇ cnu cnu zapreminu) zapreminu) od temperature (ili specifiˇcne cne zapremine) suvo-zasi´ cene cene pare. Pregrejana para se dobija dovodjenjem toplote, a time i poviˇsenjem senjem temperature (T > T s ), suvoj pari pri konstantnom pritisku u posebpr egre reja jaˇ ˇ cu cu pri ˇcemu nom uredjaju, tzv. preg cemu se povećava cava speci sp ecifiˇ fiˇcna cna zaprem zap remina ina pare par e (v > v ). U kotlovskom kotlovskom uredjaju-pregrejaˇ uredja ju-pregrejaˇcu cu temperatura pregrejane vodene pare dostiˇze ze vrednost 0 do oko 600 C. Pregrejana Pregrejana para se znatno razlikuje razlikuje od suve i vlaˇ zne zne pare i pribliˇ pribliˇzava zava se ˇ je temperatu svojstvima gasova. Sto temp eratura ra pregrejan preg rejanee pare viˇsa sa to se ona sve viˇse se pribliˇ pribl iˇzava zava idealnom gasu. 

98

S obzirom na sloˇzenost zenost a time i nepogodnost nepogo dnost za praktiˇcna cna izraˇcunavanja cunavanja do sada predloˇ pred loˇzenih, zenih , (od strane stran e razliˇ razl iˇcitih citih autora) autor a) jednaˇcina cina stanja stanj a pregrejane pregr ejane pare, pare , veliˇcine cine stanja (v,i,s i u) pregrejane pr egrejane pare se odredjuju o dredjuju na osnovu o snovu izmerenih veliˇ cina cina stanja p i t i koriˇsćenjem odgovaraju´ odgovarajućih cih tablica (pogledaj (p ogledaj prilog) ili i,s- i i,T-dijagrama, i,T-dijagrama, dobijenih dobijenih na osnovu osnovu poluempirijskih jednaˇcina cina stanja za pregrejanu paru. Koliˇcina cina toplote koja je potrebna po trebna da se 1 kg suve pare pri konstntnom pritisku pregreje od temperature ts do temperature t p , tzv. toplota pregrejavanja q p , iznosi: T p

q p =



c p dT = c p (T p − T s ),

(6. (6.99)

T s

gde je c p masena specifiˇ sp ecifiˇcna cna toplota pregrejane pare pri stalnom pritisku pr itisku a c p njena srednja T ) je sloˇzena, vrednost u datom temperaturskom izntervalu. Zavisnost c p = c p (T ) zena, ali za jako pregrejanu pregrejanu paru je pribliˇ pribliˇzno zno linearna. Podaci za c p daju se u odgovarajućim cim tabelama. Toplota pregrejav pregrejavanja anja moˇ ze ze da se odredi na osnovu osnovu poznatih vrednosti vrednosti drugih termodinamiˇ nam iˇckih cki h para p aramet metara ara:: 





q p = ∆u + p∆v = (u − u ) + p(v − v ) = i − i .

(6. (6.100)

Na osnovu prethodnog, pr ethodnog, unutraˇsnja snja energija pregrejane pare moˇze ze da se odredi na osnovu izraza: u = i − pv = u − p( p(v − v ) + q p . (6. (6.101) 



Na osnovu izraza izraz a (6.10 ( 6.100) 0) i (6.99) ( 6.99),, entalpi e ntalpija ja pregre p regrejane jane pare moˇze ze da se odredi odr edi koriˇs´ sćenjem cenje m slede´ sle deće ce relaci rel acije: je: (6. (6.102) i = i + q p = i + c p (t p − ts ), 

ili na osnovu izraza



i = u + pv.

(6. (6.103)

Entropija pregrejane pregrejan e pare moˇze ze da se odredi o dredi na osnovu izraza ds = δq/T = c p dT/T, tako da je: T p T p dT T p s−s = ds = c p = c p ln . (6. (6.104) T T s T s T s 





99

       ∂p ∂T

Primer 6.1 Dokazati da je c p − cv = T

∂v ∂T p

v

.

reˇ senje: Kako je [(2.47) i (4.47)] c p =

i

∂i ∂T

di dT

=

p

,

P 6.1.1) (P 6

p

di = du + pdv + vdp,

sledi c p =

S obzirom da je (2.31)

P 6.1.2) (P 6

        δq dT

∂u ∂T

=

p

p

∂u ∂ T

cv =

∂v ∂T

+p

.

P 6.1.3) (P 6

p

,

P 6.1.4) (P 6

v

iz (P6.1.3) i (P6.1.4) sledi c p − cv =

       ∂u ∂T

∂u ∂T

−

p

∂v ∂T

+p

v

.

P 6.1.5) (P 6

p

S druge strane (2.25)

                  ∂u ∂T

du( du(T , v) =

tako da je

∂u ∂T

odnosno

∂u ∂T

=

p

−

p

∂u ∂T

∂u ∂T

∂u ∂v

dT +

v

∂u ∂v

+

v

∂u ∂v

=

v

(P 6 P 6.1.6)

dv,

T

T

∂v ∂T

T

∂v ∂T

,

P 6.1.7) (P 6

.

P 6.1.8) (P 6

p

p

Smenom (P6.1.8) u (P6.1.5) dobija se c p − cv =

           ∂u ∂v

T

∂v ∂T

∂v ∂T

+p

p

∂v ∂T

=

p

∂u ∂v

p

+p .

P 6.1.9) (P 6

T

S obzirom da je (P4.7.3)

    ∂u ∂v

= T

T

∂p ∂T

− p,

P 6.1.10) (P 6

v

smenom (P6.1.10) u (P6.1.9) sledi c p − cv = T

   ∂p ∂T

ˇsto st o je trebalo treba lo da se dokaˇ do kaˇze. ze. 100

v

∂v ∂T

p

,

P 6.1.11) (P 6

Primer 6.2 Dokazati da je c p − cv =

2 T αβ v ,

gde je α =

1 v

∂v ∂T p

 

a β =

− v1

 ∂v ∂p

T

.

primer u 6.1. pokazano je da vaˇzi zi sledeća ca termodinamiˇ termodinam iˇcka cka relacija (P6.1.11) (P6.1. 11) reˇsenje: U primeru c p − cv = T

   ∂p ∂T

∂v ∂T

v

.

p

Kako je (P4.6.8)

         ∂p ∂T

sledi

∂p ∂T

v

∂T ∂v

∂v ∂p

p

∂v ∂T

=−

v

P 6.2.1) (P 6

= −1

T

∂p ∂v

p

.

P 6.2.2) (P 6

T

Na osnovu (P6.1.11) i (P6.2.2) sledi c p − cv = −T

2

     ∂v ∂ T

p

∂p ∂v

.

P 6.2.3) (P 6

T

Kako je

    ∂v ∂ T

i

= αv

P 6.2.4) (P 6

βv , = −βv,

P 6.2.5) (P 6

p

∂v ∂p

T

smenom (P6.2.4) i (P6.2.5) (P6.2.5) u (P6.2.3), (P6.2.3), konaˇ cno cno se dobija da je T α2 v c p − cv = . β

P 6.2.6) (P 6

Primer 6.3. Jednaˇ Jednaˇcina cina stanja za vodenu paru prema Diteric-u glasi p =

RT e v−b

−

a RT v

.

Izraˇ Iz raˇcuna cu nati ti : a) kriti kr itiˇ ˇcne cn e vel v eliˇ iˇcine ci ne stan st anja ja ( pk , T k , vk ) i RT k b) odnos pk vk reˇ senje:

a) Kritiˇcne cne veliˇcine cine stanja odredjuju odredjuju se iz uslova

  ∂p ∂v

=0 T

101

P 6.3.1) (P 6

i

∂ 2 p ∂v 2

 

Iz prvog uslova (P6.3.1) sledi a=

= 0.

P 6.3.2) (P 6

RT. RT .

P 6.3.3) (P 6

T

v2 v−b

Koriste´ Korist eći ci drugi d rugi uslov (P6.3.2) (P6.3. 2) uz zamenu z amenu parametra (a) iz (P6.3.3) (P6.3.3 ) dobija do bija se da d a je j e kritiˇ kr itiˇcna cna zapremina v = vk = 2b. P 6.3.4) (P 6 Iz izraza (P6.3.3) sledi T = T k =

vk − b a · , Rvk2 R

P 6.3.5) (P 6

tako da je, posle zamene vk (iz izraza (P6.3.4), (P6.3. 4), kritiˇcna cna temperatura T = T k =

a . 4Rb

P 6.3.6) (P 6

Zameno Zam enom m krit k ritiˇ iˇcnih cnih vrednosti vrednost i vk i T k iz (P6.3.4) i (P6.3.5) u Diteric-ovu jednaˇ jednaˇcinu cinu stanja dobija se kritiˇcni cni pritisak priti sak a pk = 2 2 . P 6.3.7) (P 6 4b e b) Na osnovu (P6.3.3), (P6.3.6) i (P6.3.7) dobija se vre vrednost dnost kritiˇ cnog cnog odnosa RT k e2 = = 3, 7. pk vk 2

P 6.3.8) (P 6

Primer Primer 6.4 Odrediti Odrediti parametre parametre stanja vlaˇzne zne zasićene cene pare pare pri pritisku 2,0MPa i stepen st epena a suvo´ su voće ce x = 0, 95. 95.

cina stanja kljuˇcale cale vodene pare u zavisnosti zavisn osti od pritiska pr itiska reˇ senje: Na osnovu tablice veliˇcina 0 p (Prilog) dobija se da je za pritisak od p = 20 bara = 2 M P a , ts = 212, 212, 37 C, v = 3 3 3 3 1, 1766 · 10 m /kg,v = 99, 99, 58 · 10 m /kg, 908, 53kJ/kg,i 53kJ/kg,i = 2799kJ/kg,s 2799kJ/kg,s = 2, 4467 4467kJ/kgK,s 340kJ/kgK i = 908, kJ/kgK,s = 6, 340 kJ/kgK i r = T s (s − s ) = 1890, podataka i jednaˇ jednaˇ cina cina (6.94), (6.95), (6.96) i (6.97) 1890, 3kJ/kg. Na osnovu datih podataka dobija se 

−





−















v = v + (v (v − v )x = 0, 0011766 + (0, (0, 09958 − 0, 0011766) · 0, 95 = m3 /kg ≈ 0, 095 m3 /kg = 0, 094660 094660m 095m 





i = i + (i (i − i )x = 908, 908, 53 + (2799 − 908 908,, 53) · 0, 95 = kJ/kg = 2704, 2704, 48kJ/kg 48kJ/kg ≈ 2704 2704kJ/kg 





s = s + (s (s − s )x = 2, 4467 + (6, (6, 340 − 2, 4467) · 0, 95 = 102



kJ/kgK ≈ 6, 145 kJ/kgK. = 6, 145335 145335kJ/kgK 145kJ/kgK.

Do istih rezultata se dolazi na osnovu i,s-dijagrama.

Primer 6.5 Odrediti Odrediti izvod specifiˇ specifiˇcne cne toplote pri konstantnom pritisku po pritisku pri ∂c p konstantnoj temperaturi : ( ∂p )T . ∂i reˇ senje: Na osnovu (4.47) je c p = ( ∂T ) p tako da je

     ∂c p ∂p

∂ = ∂p T

∂i ∂T

p T

∂ 2 i ∂ = = ∂p∂T ∂T

   ∂i ∂p

.

P 6.5.1) (P 6

T p

Iz relacije (P4.5.3)

  ∂i ∂p

= v − T T

  ∂v ∂T

P 6.5.2) (P 6

p

sledi ∂ 2 v − T ∂T 2 p

∂ 2 v = −T ∂T 2

         ∂ ∂T

∂i ∂p

=

T p

∂v ∂T

∂v ∂T

−

p

tako da je

  ∂c p ∂p

∂ 2 v = −T ∂T 2 T

 

p

 

,

P 6.5.3) (P 6

p

.

P 6.5.4) (P 6

p

Primer 6.6 Odrediti Odrediti izvod specifiˇ specifiˇ cne cne toplote pri konstantnoj zapremini po zapremini ∂c v pri konstantnoj temperaturi : ∂v T

 

∂u ∂T v

      

reˇ senje: Na osnovu (2.31) je cv = ∂c v ∂v

∂ = ∂v T

∂u ∂T

v

tako da je

∂ 2 u ∂ = = ∂v∂T ∂T T

   ∂u ∂v

.

P 6.6.1) (P 6

T v

Iz relacije (P4.7.3)

    ∂u ∂v

= T

T

∂p ∂T

− p

v

sledi ∂ 2 p = T ∂T 2

∂ 2 p = T ∂ T 2

           ∂ ∂T

∂u ∂v

T v

+

v

tako da je

∂p ∂T

−

v

∂ 2 p = T ∂T 2 T

∂p ∂T

    ∂c v ∂v

103

v

. v

,

P 6.6.2) (P 6

v

P 6.6.3) (P 6

Primer 6.7 Doka Do kaza zati ti da vaˇzi zi slede´ sl edeća ca term te rmodin odinam amiˇ iˇcka cka relacij rela cija: a: c p = T

   ∂p ∂T

reˇ senje: Po definiciji je (2.47) c p =

∂v ∂T

s

∂i ∂T p

 

.

p

. Iz relacije (4.8)

di = T ds + v dp

sledi

tako da je

           ∂i ∂T

p

∂s ∂T

c p = T

Kako je

∂s ∂T

∂s ∂T

= T

∂s ∂v

=

p

,

p

.

P 6.7.1) (P 6

p

∂T ∂v

p

,

P 6.7.2) (P 6

p

uzimajući ci u obzir Makswell-ovu Makswell- ovu relaciju (4.36)

    ∂s ∂v

∂p ∂T

=

p

P 6.7.3) (P 6 s

dobija se

        ∂s ∂T

tako da je

=

p

∂p ∂T

∂p ∂ T

c p = T

s

∂v ∂T

∂v ∂T

s

,

P 6.7.4) (P 6

p

.

P 6.7.5) (P 6

s

Primer 6.8 Doka Do kaza zati ti da vaˇzi zi slede´ sl edeća ca term te rmodin odinam amiˇ iˇcka cka relacij rela cija a

  ∂i ∂s

= T − v

T

  ∂T ∂v

p

reˇ senje: S obzirom da je

     ∂i ∂s

=

T

∂i ∂p

104

T

∂p ∂s

, T

P 6.8.1) (P 6

i uzevˇsi si u obzir relaciju (P4.5.1) (P4.5. 1)

    ∂i ∂p

= T

T

∂s ∂p

+ v,

P 6.8.2) (P 6

T

dobija se

  ∂i ∂s

= T + v

T

  ∂p ∂s

.

P 6.8.3) (P 6

T

Na osnovu osnov u Maxwel Ma xwell-ove l-ove jednaˇcine cine (4.38)

    ∂p ∂s

=−

p

∂T ∂v

(P 6 P 6.8.4)

,

p

prethodni izraz (P6.8.3) (P6.8.3 ) moˇze ze da se napiˇse se u obliku

  ∂i ∂s

= T − v T

ˇsto st o je trebalo treba lo da se dokaˇ do kaˇze. ze.

105

  ∂T ∂v

p

,

P 6.8.5) (P 6

7. PROCESI PROCESI ZA HLADJENJE HLADJENJE Svaki sistem za postizanje niskih temperatura i za likvefikaciju gasova zasnovan je na ograniˇ ogra niˇcenom cenom broju bro ju termodinam termo dinamiˇ iˇckih ckih procesa. pro cesa. U praksi praks i se najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce koriste: proces pro ces adi jabatskog priguˇsenja senja realnog gasa (Joule-Thomson-ov efekt), proces adijabatskog ˇsirenja sirenja gasa sa i bez vrˇ vrˇsenja senja spoljnjeg rada kao i proces adijabatsko adijabatskogg razmagnetisa razmagnetisav vanja paramagnetnih agnet nih soli. U konkretnim konkret nim sluˇcajevima ca jevima,, u kriogeno kriog enojj tehnici, tehni ci, najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce se koriste kombinacije pomenutih procesa. Postoje i drugi d rugi naˇcini cini postizanja niskih temeperatura kao ˇsto sto su: nuklearno razmagnetisavanje, termomagnetno hladjenje, desorpciono hladjenje i namagnetisav agnetisavanje superprovodnik superprovodnika. Medjutim, Medjutim, mada mogu da budu svrsihodni, ne primenjuju se ˇcesto, cesto, tako da nećemo cemo posebno pos ebno da ih razmatramo razma tramo.. 7.1. Proces priguˇ priguˇ senja senja realnog gasa. Joule-Thomsonov efekt. Ukoliko struja gasa prolazi kroz naglo nagl o suˇzenje zenje presek pre seka a cevi, iza kojeg ko jeg se presek ponovo p onovo proˇsiruje siruje na prvobitnu vrednost vr ednost (na primer - delimiˇcno cno otvorenu dijafragmu, dijafr agmu, slavinu ili vent ventilil- tzv. tzv. prigu priguˇsni sni ili reducir reducir vent ventil) il),, dolazi dolazi do naglog naglog pada pritisk pritiska u struji struji gasa u ˇ je manji presek suˇzenog odnosu na pritisak pred suˇzenjem. zenjem. Sto zenog dela prema preseku cevi Pojava pada pada prit pritis isk ka u stru struji ji gasa gasa u ispred i iza suˇzenja zenja to je ve´ ci ci pad pritiska. Poja procesu proticanja kroz suˇ zen zen presek cevi naziva naziva se priguˇ priguˇ senje senje (reduciranje). Pri procesu priguˇsenja senja jedan deo rada ˇsirenja radnog tela od pritiska p1 do pritiska p2 se utroˇsi si na savladavanje savladavanje sila trenja pri proticanju gasa kroz mesni otpor (priguˇsni sni ventil). Naime, iz I zakona zakona termodinamike termodinamike,, napisanog napisanog za zatvoren zatvoren nepokretan sistem u sluˇ sluˇcaju caju reverzibilnih procesa (2.84) δq = du + pdv, kao i istog zakona napisanog za fluidne struje (2.71). δq = du + d( pv) pv ) + wdw + gdz + δlkz + δl tr , sledi da se rad ˇsirenja sirenja kod fluidne struje pdv utroˇsi si na proticanje proti canje (potiskivanje (po tiskivanje,, istiskivanje) ist iskivanje) pv), na promenu tj. tj. na rad protiv protiv spoljn spoljnih ih sila sila d( pv) prome nu kinetiˇ kinet iˇcke cke energije energ ije wdw i potencijalne energije gdz, na savladavanje sila trenja δl tr i na vrˇsenj se njee tehn te hniˇ iˇckog cko g rada ra da δl kz (2. (2.84) : pdv = d( pv) pv ) + wdw + gdz + δl kz + δl tr . pv ) = pdv + vdp, sledi Kako je d( pv) wdw =

−vdp − gdz − δlkz − δltr .

U sluˇcaju ca ju kada je dz = 0 i kada se ne vrˇsi si tehniˇcki cki rad (δl kz = 0) iz predhodnog izraza se dobija da je wdw = vdp δl tr , (7. (7.1)

−

−

ˇsto sto znaˇci ci da do porasta kinetiˇcke cke energije fluidne struje dolazi pri padu pritiska i ukoliko se smanji rad sila trenja. U sluˇ caju caju malih brzina fluidne struje (w (w 0) dobija se

≈

dp =

− δlvtr .

Prethodan izraz pokazuje da pad pritiska (dp < 0) iza mesnog otpora nastaje zbog vrˇ senja senja rada na savladav savladavanju sila trenja (dltr > 0 rad koji vrˇsi si struja gasa je pozitivan) poz itivan) ˇsto sto znaˇci ci da je priguˇsenje senje potpuno pot puno ireverzibilan proces pro ces praćen cen porastom por astom

−

105

entropije. entropije. Rad sila trenja se transformi transformiˇˇse se u toplotnu toplotnu energiju energiju koju prima radno telo-fluid telo-fluid vdp ). Zbog velike brzine (δl tr = δq tr = vdp) brzin e proticanja na mestu suˇzenja zenja moˇze ze da se smatra da tokom procesa priguˇ priguˇsenja senja nema razmene toplote izmedju izmedju fluida (radnog tela) i okolne okolne sredine (posebno (p osebno u sluˇ caju caju dobre izolacije izolacije cevi), tj. da je proces priguˇ priguˇsenja senja adijabatski proces. Znaˇci, ci, proces priguˇsenja senja se karakteriˇ karakteriˇse se ireverzibilnim, adijabatskim sniˇzenjem zenjem pritiska prit iska bez vrˇsenja senja korisnog rada. Veliˇcina cina pada pritis p ritiska ka zavisi od prirode priro de fluida, flu ida, njegovog stanja, stanj a, brzine, brzi ne, kao i veliˇcine cine suˇzenja zenja cevi.

−

Slika 7.1.

Pri prolaˇ prolaˇzenju zenju gasa kroz priguˇ priguˇsni sni ventil ventil raste brzina struje gasa, a time i njegov njegova kinetiˇcka cka energija, ener gija, opada pritisak (slika 7.1), a raste specifiˇcna cna zapremina (v2 > v1 ) gasa. Deo kinetiˇcke cke energije, e nergije, koji gas utroˇsi si na savladavanje savladavanje sila trenja, prelazi u toplotnu energiju. Temperatura gasa zbog pada pritiska pritiska pri adijabatskom adijabatskom priguˇsenju senju moˇ ze ze da se smanji, smanji, pove´ poveća ca ili ostane nepromenjena, nepromenjena, zavisno zavisno od prirode gasa i poˇcetnih cetnih parametara parametara struje struj e gasa. g asa. Iza priguˇsnog snog ventila brzina brzin a opada o pada a pritis p ritisak ak se povećava, cava, medjutim med jutim ne dostiˇzu zu se poˇcetne cetne vrednosti, zbog ireverzibilnosti procesa. Iz jednaˇcine cine I zakona z akona termodinamike termo dinamike za fluidne struje napisane u diferencijalnom obliku (2.71) w2 δq = di + d( ) + gdz + δlkz + δl tr , 2 gde je i = u + pv, uzimajući ci u obzir da je ukupna koliˇ cina cina toplote jednaka zbiru zbir u spolja dovedene toplote δq sp i toplote δq tr oslobo oslobodje djene ne u proces procesu u rada rada protiv protiv sila sila trenj trenjaa (δq tr = δl tr ) δq = δq sp + δq tr = δq sp + δltr , 106

sledi δq sp = di + d(

w2 ) + gdz + δl teh . 2

Pri adijabatskom procesu priguˇsenja senja (δq sp = 0) bez vrˇsenja senja tehniˇckog ckog rada (δl teh = 0) i pri otsustvu visinske razlike (dz (dz = 0) iz prethodnog izraza se dobija da promena entalpije nastaje nasta je usled promene kinetiˇcke cke energije (odnosno brzine) struje gasa g asa di = odnosno i1

−

w2 d( ), 2

(7. (7.2)

− i2 = 12 (w22 − w12 ).

(7. (7.3)

Promena kinetiˇ kinetiˇcke cke energije energije u odnosu na vrednost vrednost entalpije entalpije je zanemarljiv zanemarljivaa (w2 i1 , i2 ) tako da je i1 i2 0, odnosno

− w1 

− ≈

(7. (7.4)

i1

(7. (7.5)

≈ i2 .

Medjutim, Medju tim, ne znaˇ z naˇci ci da d a je proces pro ces priguˇ prig uˇsenja senja izoentalp izo entalpijski ijski jer se izmedju i zmedju poˇcetnog cetn og i krajnjeg kra jnjeg stanja entalpija menja di = 0, tako da u na juˇzem zem delu ima minimum (slika 7.1). Jednakost (7.5) vaˇ zi zi kako za gasove (realne (r ealne i idealne) ide alne) tako i za teˇ t eˇcnosti, cnost i, za preseke pr eseke dovoljno d ovoljno udaljen ud aljenee od od priguˇ pri guˇsnog sno g ventila vent ila.. Proces Pro ces priguˇ pri guˇsenja sen ja moˇ m oˇze ze da d a se prikaˇ pri kaˇ ze ze uslovn u slovno o u, na prim p rimer, er, i,s-di i,s -dijag jagramu ramu (crtiˇ (cr tiˇcastom cas tom)) linijo lin ijom m i = const. Pri priguˇsenju senju entropija struje gasa raste. Naime, kako kako je vdp , na (4.8) T ds = di vdp, n a osnovu (7.4) (uzimaju´ (uzima jući ci u obzir o bzir da je dp < 0) sledi



−

ds =

> 0. − vdp T

(7. (7.6)

dT , tako da se priguˇsenjem U sluˇcaju ca ju idealno id ealnog g gasa gas a je (2.46) ( 2.46):: di = c p dT, senjem temperatura idealnog gasa ne menja di dT = = 0, (7. (7.7) c p tj. T = const. Postavlja se pitanje pita nje kako se menja temperatura te mperatura realnog gasa ili teˇcnosti cnosti tokom to kom procesa proce sa adijabatskog priguˇsenja. senja. Pojava promene pro mene temperature fluida pri adijabatskom priguˇsenju senju Joule-Thomson-o n-ov v efekt. efekt. S obzirom da se proces adijabatskog priguˇsenja naziva se Joule-Thomso senja karakteriˇ karakteriˇse se promenom pro menom (tj. padom) pritiska pri konstantnoj entalpiji i = const, da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje treba da se odredi vrednost veliˇ cine cine αi =

  ∂T ∂p

.

(7. (7.8)

i

koeficijentt adijabatsk adijabatskog og priguˇ priguˇ senja senja ili Joule-Thomps Veliˇ Vel iˇcina αi naziva naziva se koeficijen Joule-Thompson-ov on-ov koeficijent (diferencijalni Joule Thomson-ov efekat). Na osnovu izraza (primer P4.5)

     ∂T ∂p

i

∂p ∂i

T

107

∂i ∂T

= p

−1,

sledi αi =

  ∂ T ∂p

∂i/∂p) ∂i/∂p)T − ((∂i/∂T , ) p

= i

tako da, uzevˇsi si u obzir da je (primer (pr imer P4.6)

  ∂i ∂p

=v

T

  ∂v ∂T

− T

,

p

Slika 7.2.

kao i da je (2.47)

  ∂i ∂T

dobija se

= c p , p

∂v T ( T ( ∂T ) p αi = c p

− v.

(7. (7.9)

Promena temperature fluida tokom procesa adijabatskog priguˇsenja senja pri konaˇ cnom cnom padu integ ralni ni efekt efek t priguˇ pri guˇ senja senj a (integralni Joule-Thomposon-ov efekt) a pritiska naziva se integral izraˇcunava cunava se na osnovu izraza izraz a p2

T 2

− T 1 =



p2

αi dp =

p1



p1

∂v T ( T ( ∂T ) p c p

− v dp,

(7. (7.10)

gde su T 1 i T 2 temperature fluida ispred i iza priguˇsnog snog ventila. Pri maloj razlici ∆T ∆T i ∆ p primenjuje se relacija ∆T = αi ∆ p =

   −

∂v 1 T c p ∂T 108

v ∆ p.

p

(7. (7.11)

Zavisnost αi od temperature je sloˇ zena. zena. Na slici 7.2 prikazane prikazane su krive krive zavisnosti zavisnosti αi od temperature vazduha pri p ri razliˇcitim citim pritiscima. Uoˇcljivo cljivo je da αi opada opa da sa povećanjem can jem pritisk pritiska. a. Mada je diferen diferencij cijalni alni Joule-Thom Joule-Thomson son-ov -ov efekt mali ( 0.25K/bar 25K/bar)) integralni efekt priguˇsenja senja moˇze ze da bude b ude vrlo veliki. Na primer p rimer,, pri p ri adijabatskom adija batskom priguˇsenju senju vodene voden e 0 pare od pritiska 29.4 MPa i temperature od 450 C do pritiska 0,98 MPa temperatura pare opadne za 2700 C. ∂v v , tako da je αi = 0, pa se, kao ˇsto U sluˇcaju ca ju idealnih gasova gasova ∂T = sto je ranije T p pomenuto, pomenuto, tokom tokom adijabatskog adijabatskog priguˇsenja senja temperatura idealnog gasa ne menja. Iz izraza ∂v v. Pokazuje se da je znak αi (7.9) sledi da je znak αi odredjen odr edjen znakom veliˇcine cine T ∂T p razliˇ razliˇcit cit u razliˇ razliˇcitim citim oblastima oblastima stanja datog realnog gasa. Stanje realnog gasa pri kojem, pri adijabatskom adija batskom priguˇsenju, senju , koeficijent koefic ijent priguˇ prig uˇsenja senja αi menja znak, tj. αi = 0, naziva se taˇcka cka inver inverzi zije je a geometrijsko mesto taˇcka kriva inverzije inverzije.. Kriva cka inverzije - kriva Kriva inverzije inverzije ∂T ∂v T ( ∂T )p v = 0. Pri temperaturi inverzije nalazi se iz uslova da je αi = ( ∂p )i = 0 odnosno T (

∼

 

 − −

T inv inv =

v ∂v ( ∂T )p

=v

  ∂T ∂v

,

(7. (7.12)

p

s obzirom da je αi = 0, u procesu pr ocesu adijabatskog priguˇsenja senja temperatura temp eratura realnog gasa se ne menja. Iz izraza (7.12) i (7.9) sledi αi =

v T ( c p T inv inv

− 1). 1).

(7. (7.13)

Ako je temperatura realnog gasa ispred priguˇsnog snog ventila niˇza za od temperature inverzije , α < , (T < T inv ) iz (7.13) sledi 0 tako da se (na (n a osnovu (7.11)), gas pri p ri procesu p rocesu priguˇsenja senja inv i zagreva (∆T (∆T > 0), 0), jer pritisak gasa pri adijabatskom priguˇ pr iguˇsenju senju opada (∆ p < 0) a uvek je c p > 0.

a)

b) Slika 7.3.

Kao primer, na slici 7.3a prikazana je kriva inverzije azota u p,T-dijagramu. Sa slike se vidi da d a datom dato m pritisku prit isku odgvara o dgvaraju ju dve taˇcke cke inverzije pri razliˇ r azliˇcitim citim temperatu temp eraturama, rama, jedna u oblasti gasne faze (pare) a druga u oblasti teˇcne cne faze. Kriva inverzija inverzija ima maksimum. Ako je pritisak gasa iznad pritiska koji odgovara maksimumu krive inverzije, pri adijabatskom priguˇ prig uˇsenju senju gas se (bez ( bez obzira obzir a na n a poˇ p oˇcetnu cetnu temperatu temp eraturu) ru) zagreva. zagre va. Unutar oblasti oblas ti ograniˇ o graniˇcene cene krivom inverzije αi > 0 tako da se gas pri adijabatskom priguˇsenju senju hladi. hlad i. Izvan ove ove oblasti αi < 0 tako da se pri adijabatsk adijabatskom om priguˇ priguˇsenju senju gas zagreva. zagreva. Sliˇ can can oblik imaju krive krive inverzije drugih gasova. gasova. Za većinu cinu gasova, pri normalnim uslovima, temperatura temp eratura inverzije K medjutim za vodonik je T inv je visoka T inv 800K 183K a za helijum T inv 38K. inv > 800 inv = 183K inv = 38K. Temperatura iznverzije zavisi od pritiska i prirode gasa. Za Van-der Waals-ov gas pri p = 0 dobija se 2a T inv . (7. (7.14) inv = Rb 109

Kako je kritiˇcna cna temperatu temp eratura ra T kr kr =

8 a 27 Rb

sledi

T inv 75T kr inv = 6.75T kr .

(7. (7.15)

Promena temperature realnog gasa pri procesu p rocesu adijabatskog priguˇsenja senja (Joule-Thomson-ov (Joule -Thomson-ov efekt) efekt ) na n a joˇciglednije cigle dnije moˇze ze da se prikaˇ p rikaˇze ze u T,s-dijagra T,s-di jagramu mu (slika (sl ika 7.3b). 7.3 b). Izoentalp Izo entalpee (i=cons ( i=const) t) po svom svom toku mogu mogu da se svrs svrstaju taju u dve dve grupe. grupe. Izoen Izoental talpe pe jedne jedne grupe imaju maksi maksi-mume pri temperaturi inverzije (za dati pritisak) dok nagib izoentalpi druge grupe, koje se nalaze nalaze iznad iznad prve, prve, monoton monotonoo raste raste s porastom porastom entropije entropije.. Kriv Kriva inve inverzij rzija, a, koja prolazi prolazi kroz maksimume izoentalpe izoentalp e prve pr ve grupe, grup e, asimptotski se pribliˇzava zava maksimalno j vrednosti temperature inverzije inverzije u sluˇ caju caju malih pritisaka pritisaka i visokih visokih temperatura. temperatura. Pri tome je odgovarajuća ca izoentalpa izo entalpa horizontalna. S obzirom da nagib izoentalpi iznad iz nad krive inverzije raste s porastom entropije entropije odnosno u ireverzibiln ireverzibilnom om procesu adijabatsko adijabatskogg priguˇ priguˇsenja, senja, sa slike slike (7.3b) je oˇcigledno cigledno da je za hladjenje realnog gasa adijabatskim priguˇsenjem senjem od bilo kog pritiska pritiska neophodno da se gas prethodno, na neki drugi naˇ cin, cin, ohladi do temperatureT temperature T 0 ispod temperature inverzije (T (T inv ci, ci, hladjenje je moguće ce samo u oblasti isinv > T 0 ). Znaˇ pod po d krive inverzije gde je nagib izoentalpi negativan. Pad temperature je ve´ ci ci ˇsto je niˇza za poˇcetna cet na tempe tem perat ratura ura i viˇsi si poˇcetni cet ni pritis pri tisak. ak. Fiziˇcka cka suˇstina stina Joule-Thomson-ovog efekta sastoji se u sledećem: cem: kako kako se pri adijabatskom priguˇsenju senju entalpije ne menja ∆i = ∆u + ∆( pv ∆( pv)) = 0, sledi da se unutraˇsnja snja pv ) : ∆u = ∆( pv energija gasa menja na raˇ cun cun rada proticanja proticanja ∆( pv) ∆( pv)). Pri niskim temperaturama ili niskim pritiscima kada su privlaˇ privlaˇcne cne medjumolekular medjumolekularne ne sile velike velike gas pri pv ) > 0] na raˇcun adijabatskom adija batskom priguˇsenju senju vrˇsi si rad proticanja prot icanja [∆( pv) cun kinetiˇ kinet iˇckog ckog dela unutraˇsnje snje energije energ ije pri ˇcemu cemu temperatu temp eratura ra pada (potenci (po tencijalni jalni deo unutraˇsnje snje energije energ ije raste). raste ). Pri visokim temperaturama ili visokim pritiscima kada su odbojne sile velike pri adija pv ) < 0) tako da raste kako potencijalni batskom priguˇsenju senju nad gasom se vrˇsi si rad (∆( pv) tako i kinetiˇcki cki deo unutraˇ snje snje energije, a time i temperatura gasa. Znaˇci, ci, promene temperature realnog gasa pri adijabatskom priguˇ p riguˇsenju senju je posledica utroˇsenog senog rada na savladavanju medjumolekularnih sila. S obzirom da su u sluˇcaju caju idealnog gasa medjumolekularne interakcije zanemarljive pri adijabatskom a dijabatskom priguˇsenju senju idealnog id ealnog gasa temperatura t emperatura idealnog gasa se ne menja.

−

7.2. Izoentropsko ˇsirenje realnog gasa Izoentrop Izo entropsko sko (reverzibiln (reverz ibilnoo adijabatsko) adija batsko) ˇsirenje siren je realnog realn og gasa sa vrˇsenjem senje m spoljaˇ spo ljaˇsnjeg snjeg rada predstavlja reverzibilan adijabatski proces za razliku od, na primer, ireverzibilnog procesa adijabatsko adijabatskogg priguˇ priguˇsenja. senja. Realan izoentropski izoentropski proces ˇsirenja sirenja ostvaruje ostvaruje se u ekspanzionim maˇsinama sinama kako kako klipnog tako i turbinskog tipa. Kao ˇsto sto je poznato (poglavlje (poglavlje 3.) kod ireverzibilno ireverzibilnogg adijabatsko adijabatskogg procesa je δq = 0 i ds > 0. Medjutim, kod reverzibilnog adijabatskog procesa je δq = 0 ali je ds = 0, tj. takav proces je izoentropski. izoentropski. Oˇ cigledno cigledno je da je svaki svaki izoentropski izoentropski proces pro ces u izolov izolovanom sistemu adijabat adijabatski ski ali nije nije svaki svaki adijabats adijabatski ki proces, u isto isto vreme, vreme, i izoentrop izoentropski ski.. Jasno Jasno je da je izoentropsko ˇsirenje realnog gasa efikasniji naˇcin cin dobijanja niskih temperatura. Promena temperature pri izoentropskom izo entropskom ˇsirenju sirenju realnog r ealnog gasa g asa nalazi nala zi se iz relacije r elacije

     −      ∂T ∂p

dT ( dT (s, p) =

tj.

p2

T 2

T 1 =

p1

Iz relacije (P4.5)

∂T ∂p

s

∂p ∂s

T

110

dp,

s

∂T ∂p

∂s ∂T

(7. (7.16)

p

dp.

(7. (7.17)

s

=

−1,

(7. (7.18)

uzima jući ci u obzir Maxwell-ovu Maxwell- ovu jednaˇcinu cinu (4.38) (4.38 )

  −  ∂s ∂p

∂v ∂T

=

T

,

(7. (7.19)

p

i poznat izraz [(2.47) i (6.67)] c p =

    ∂i ∂T

∂s ∂T

= T

p

(7. (7.20)

p

koefici jent reverzibilnog reverzibi lnog adijabatskog adijaba tskog ˇsirenja dobija dobij a se sledeća ca relacija rela cija za koeficijent αs =

  ∂T ∂p

s

∂v T ( T ( ∂T ) p = . c p

(7. (7.21)

∂v S obzirom da je ( ∂T ) p > 0, i c p > 0, uvek je αs > 0 ˇsto st o znaˇ zn aˇci ci da se pri izoentropskom ˇ sirenj sir enju u tempera temp eratura tura gasa gas a uvek sniˇ zava. zava . Oˇcigledno cigle dno je da s poviˇ p oviˇsenjem senjem temperatu temp erature re i sniˇzenjem zenjem pritiska (tj. pove´ canjem canjem zapremine) αs raste. raste. Kod realnog realnog izoentrop izoentropsk skog og procesa efekt hladjenja je manji od o d idealnog zbog delimiˇ delimiˇcne cne ireverzibiln ireverzibilnosti osti procesa. Konaˇcna cna promena temperature pri procesu izoentropskog ˇsirenja nalazi se na osnovu s,T-dijagrama ili analitiˇcki cki na osnovu jednaˇcina cina (7.17) i (7.21). U sluˇcaju ca ju izoentropijskog procesa kod idealnog gasa je −k T p k = const, (7. (7.22) 1

odnosno

p2 k− T 2 = T 1 ( ) k . p1 1

(7. (7.23)

Na osnovu (7.23) sledi da je promena temperature temp erature pri izoentropskom izo entropskom ˇsirenju sirenju idealnog ideal nog gasa data izrazom p2 k− ∆T = T 2 T 1 = T 1 [( ) k 1], 1], (7. (7.24) p1 1

−

−

gde indeksi indek si 1 i 2 oznaˇcavaju cavaju poˇcetno cetno i konaˇcno cno stanje, stanj e, respektivn resp ektivno. o. Iz (7.21) i (7.9) dobija se v αs αi = , c p

−

(7. (7.25)

α s > αi .

(7. (7.26)

tako da je (c (c p i v su uvek pozitivni) Znaˇci, ci, proces pro ces izoentrop izo entropskog skog ˇsirenja siren ja (s vrˇsenjem senjem spoljaˇ spo ljaˇsnjeg snjeg rada) je efikasniji naˇcin cin hladjenja hladj enja gasa g asa (ili (il i teˇcnosti) cnost i) u poredj p oredjenju enju s ireverzi i reverzibilni bilnim m procesom pro cesom adijab a dijabatskog atskog priguˇ pr iguˇsenja. senja . S porastom por astom pritiska priti ska ili sniˇzenjem zenje m tempe t emperatur raturee (pri ˇcemu cemu se smanjuje smanju je specifiˇ spe cifiˇcna cna zapremina zapre mina v) vrednost za αi se pribliˇ pribl iˇzava zava vredn v rednosti osti za αs . U okolini okol ini kritiˇ kri tiˇcne cne taˇcke, cke, kada c p dostiˇze maksimum, αi αs . Odnos koeficijenata koeficijenata αi i αs dat je izrazom

≈

αi =1 αs

−

v T

  ∂T ∂v

.

(7. (7.27)

p

Na slici 7.4 prikazana je kriva zavisnosti odnosa αi /αs od pritiska p za vazduh pri nekoliko temperatura. temperatura . Uoˇcava cava se da odnos o dnos αi /αs raste sa sniˇ zenjem zenjem temperature tako da se pri 111

relativno relativno niskim temperaturama pribliˇ pribliˇzava zava jedinici. jedinici. Osim toga, pri umereno niskim temperaturama i pritiscima od 5-20 MPa odnos αi /αs ima joˇs uvek relativno relat ivno veliku vrednost, vredn ost, tj. αi je uporedivo sa αs .

Slika 7.4.

Izoentrop Izo entropsko sko ˇsirenje siren je realnog realn og gasa (s vrˇsenjem senjem spoljaˇ spo ljaˇsnjeg snjeg rada) ima veliko preimućstvo cstvo u sluˇcaju ca ju kada je stepen step en ˇsirenja siren ja veliki ili kada se ˇsirenje siren je vrˇsi si od relativno relat ivno visokih visoki h poˇcetnih cetni h temperatura. 7.3. Proces ireverzibilnog adijabatskog ˇ sirenja sirenja gasa iz suda konstantne konstantne zapremine Kod nekih rashladnih sistema za postizanje niskih temperatura koristi se proces adi jabatskog jabatskog ˇsirenja sirenja gasa iz suda konstantne konstantne zapremine, zapremine, gde se on nalazi pod p od pritiskom. pritiskom. Pri isticanju gas vrˇsi si rad proticanja nasuprot sila spoljaˇsnjeg snjeg pritiska, tj. gas ne vrˇsi si koristan tehniˇcki cki rad. Ovaj Ovaj proces je, za z a razliku od izoentropskog ˇsirenja sirenja u ekspanderu (detanderu), ireverzibilan i praćen cen je porastom entropije. Pri otvaranju izduvnog (ispusnog) ventila pritisak p1 gasa u sudu brzo pada na pritisak p2 pri kojem koje m gas ga s izlazi iz lazi iz suda. Veliˇcina cina izvrˇsenog senog rada iznosi iznos i v2

l=



p2 dv = p2 (v2

v1

− v1 ).

(7. (7.28)

Kako je proces adijabatski (δq (δq = 0), 0), na osnovu prvog zakona termodinamike, sledi da je promena prome na unutraˇsnje snje energije energ ije ekvivalentna izvrˇsenom senom radu u2 u1 = p2 (v2 v1 ). (7. (7.29)

−

−

Uzimajući ci u obzir da je u = i pv dobija se da je promena entalpije pri adijabatskom ˇsirenju siren ju iz konstantne konstantn e zapremi z apremine ne p2 ∆i = i1 i2 = p1 v1 (1 ). (7. (7.30) p1

−

−

−

112

U sluˇcaju caju idealnog gasa p1 v1 = RT 1 i ∆i = c p ∆T tako da je promena temperature pri ovom ovom procesu k 1 p2 ∆T = T 1 T 2 = ). (7. (7.31) T 1 (1 k p1

−

−

−

U sluˇcaju caju realnih gasova gasova ∆T moˇ ze ze da se odredi na osnovu osnovu toplotnog toplotnog (i,T)- dijagrama dijagrama i izraza izraza (7.30) . Promena Promena temperatu temperature re je znatno znatno manja u poredjen poredjenju ju sa izoentrop izoentropski skim m ˇsirenjem siren jem a veća ca nego pri adijabatskom adija batskom priguˇsenju. senju. Kao i u sluˇcaju ca ju izoentrops izo entropskog kog ˇsirenja, siren ja, pri adijabatskom isticanju iz suda konstantne zapremine temperatura uvek opada. Pri malim odnosima pp ovaj ovaj proces je, ˇsto sto se tiˇce ce efikasnosti, blizak izoentropskom ˇsirenju sirenju i ne zavisi od poˇcetne cetne temperature T 1 . Jednostavno Jednostavnost st realnog ostvarenja ostvarenja ovog ovog procesa u nekim sluˇ cajevima cajevima mu daje prednost bez obzira na manju termodinamiˇ termodinamiˇ cku cku efikasnost. 1 2

7.4. Adijabatsko ˇ sirenje sirenje realnog gasa u vakuum (Joule-ov efekt) Razmotrimo Razmotrimo joˇ joˇs jedan ireverzibilan ireverzibilan proces u realnom gasu - adijabatsko adijabatsko ˇsirenje sirenje realnog aln og gasa gas a u vakuum vakuu m bez be z vrˇsenja sen ja spolj sp oljaˇ aˇsnjeg snj eg rada, rad a, pri kojem ko jem se u opˇstem ste m sluˇcaju ca ju sniˇzava zava temperatura realnog gasa. Kao ˇsto sto je ranije pokazano pokazano (odeljak 7.3), proces ˇsirenja gasa pod pritiskom p1 iz zapremine V 1 u okolnu sredinu sredi nu (ili kao u naˇsem sem sluˇcaju ca ju u zapreminu zapre minu V 2 ) pritiska p2 je neravnoteˇzan zan proces tako da je elementarni rad ˇsirenja sirenja (2.1): δl = p2 dv. Jednaˇ Jed naˇcina cin a prvog prvo g zakona zako na termo ter modin dinami amike ke za sluˇcaj ca j neravno ner avnoteˇ teˇznog zno g proces pro cesaa ˇsirenj sir enjaa moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u obliku obl iku δq = du + p2 dv. (7. (7.32) Kako je razmatran proces adijabatski (δq (δq = 0), 0), a gas se ˇsiri siri u vakuum ( p ( p2 = 0), 0), sledi da je δl = p2 dv = 0, tj. pri ˇsirenju siren ju gas ne vrˇsi si rad, tako da je du = 0,

(7. (7.33)

odnosno, u procesu adijabatsko adijabatskogg ˇsirenja sirenja gasa u vakuum unutraˇ unutraˇsnja snja energija gasa se ne menja (mada se u toku samog procesa pro cesa ˇsirenja siren ja unutraˇsnja snja energija energ ija gasa u poˇ p oˇcetku cetku smanjuje smanju je a zatim poraste do poˇcetne cetne vrednosti u2 = u1 ). Promena temperature gasa pri ˇsirenju sirenju u vakuum pri u = const data je izrazom

     −     −   − ∂T ∂v

dT =

odnosno

dv,

v2

∆T = T 2

T 1 =

v1

Iz relacije (P4.5)

∂ T ∂v

sledi

∂v ∂u

u

∂T ∂v

Kako je du = T ds

T

=

u

(7. (7.34)

u

∂T ∂v

∂u ∂T

dv.

(7. (7.35)

1

(7. (7.36)

u

=

v

( ∂u ∂v )T . ∂u ( ∂T )v

(7. (7.37)

− pdv sledi

   − ∂u ∂v

= T

T

113

∂s ∂v

T

p.

(7. (7.38)

Na osnovu Maxwell-ove Maxwell- ove jednaˇ jed naˇcine cine (4.37) (4.37 )

    ∂s ∂v

∂p ∂T

=

T

,

(7. (7.39)

v

i izraza (7.38), sledi

   − ∂u ∂v

∂p ∂T

= T

T

p,

(7. (7.40)

v

tako da se smenom prethodnog izraza (7.40) u (7.37) dobija

  ∂T ∂v

p

=

∂p − T ( T ( ∂T )v ,

cv

u

(7. (7.41)

gde je

  ∂u ∂ T

cv =

. v

Smenom (7.41) u (7.35) konaˇ cno cno se dobija izraz za promenu temperature pri adijabatskom adijabat skom ˇsirenju siren ju gasa u vakuum ∂p v p T ( T ( ∂T )v T 2 T 1 = dv. (7. (7.42) cv v



−

∂p T ( ∂T Kako je cv > 0 i ( ∂u )v ∂v )T = T (

−

2

1

− p > 0 sledi ∆T < 0,

tj., u opˇstem stem sluˇcaju ca ju temepratur temep raturaa realnog realn og gasa pri adijabatskom adija batskom ˇsirenju siren ju u vakuum opada. opada . ∂u ∂T Kako je u sluˇ caju caju idealnog gasa ( ∂v )T = 0 iz (7.37) sledi da je ( ∂v )u = 0 tj., pri adijabatskom ˇsirenju sirenju idealnog id ealnog gasa u vakuum temperatura gasa se ne menja. Promena entropije gasa u datom procesu odredjuje se na osnovu izraza v2

∆s =

   ∂s ∂v

v1

dv.

(7. (7.43)

u

Kako je du = 0, sledi T ds = pdv, tako da je

  ∂s ∂v

p . T

(7. (7.44)

p dv > 0, T

(7. (7.45)

=

u

Na osnovu (7.43) i (7.44) sledi v2

∆s =



v1

tj. pri Joule-ovom Joule-ovom efektu entropija entropija raste ˇsto znaˇ ci ci da je proces adijabatsko adijabatskogg ˇsirenja sirenja u vakuum tipiˇcno cno ireverzibiln ireverz ibilnii proc p roces. es. 7.5. Postizanj Postizanje e niskih temperatura temperatura adijabatski adijabatskim m razmagnetis razmagnetisav avanjem anjem 114

paramagnetnih soli Za postizanje niskih temperatura (ispod 0.3 K) pokazuje se da su klasiˇcni cni termodinamiˇ inamiˇcki cki sistemi sistemi nepogodni s obzirom da u datoj temperaturskoj temperaturskoj oblasti entropija ima malu vrednost i slabo zavisi od parametara p i v. Reˇsenje sen je proble pro blema ma je mog mogu´ uće ce ukoliko ukol iko bi se naˇ naˇsao sao i koristio koristio takav takav neuredjen sistem koji bi pri vrlo niskim temperaturama temperaturama imao dovo dovoljn ljnoo velik veliku u vrednos vrednostt entropi entropije, je, zavisn zavisnu u od nekog nekog paramet parametra ra stanja stanja.. Pok Pokazalo azalo se da paramag paramagnetn netnee soli soli retkih retkih zemalj zemaljaa zadovo zadovolja ljav vaju postavlj postavljene ene uslov uslove. e. Param Paramagne agnetne tne soli soli mogu da se predstave predstave sistemom sistemom slabo interaguju interaguju´ćih cih magnetnih magnetnih momenata momenata koji su sve do najniˇzih zih temperatura haotiˇ haotiˇcno cno rasporedjeni. rasporedjeni. Pri datoj temperaturi magnetni magnetni momenti momenti mogu da se orijenti orijentiˇˇsu su (tj. prevedu prevedu u uredjeno uredjeno stanje) pod uticajem spoljnje sp oljnjegg magntenog magntenog polja. Znaˇci, ci, pod uticajem utica jem spoljnjeg sp oljnjeg magnetnog polja jaˇcine cine H povećava cava se uredje ure djenos nostt a time sniˇzava zava entropija entropija sistema sistema magnetnih magnetnih momenata momenata (spinskog (spinskog sistema). sistema). Jasno je da se entropija sistema magnetnih magnetn ih momenata momenat a smanjuje sniˇzavanjem zavanjem temperature. temp erature. Ukoliko se magnetno polje p olje ukloni (tj. uzorak razmagnetiˇ razmagn etiˇse) se) bez b ez promene entropije spinskog sistema, uredjenost spinskog sistema će ce da odgovara niˇzoj zoj temperaturi od one koja odgovara istom stepenu uredjenosti u prisusutvu prisusutvu magnetnog magnetnog polja. Entropija Entropija toplotnih toplotnih vibracija vibracija reˇ reˇsetke setke u datoj dato j oblasti temparatura je zanemarljiva. zanemarljiva. Na slici 7.5 prikazana prikazana je zavisnost entropije entropije paramagnetne paramagnetne soli od temperature u oblasti ispod 1K pri razliˇ razliˇcitim citim jaˇ cinama cinama spoljnjeg magnetnog polja.

∼

Slika 7.5

Oˇcigledno cigledno je da se sa sniˇzenjem zenjem temperature entropija, pri datoj dato j jaˇcini cini spoljnjeg magnetnog polja, u poˇcetku cetku slabo menja. Pri vrlo niskim temperaturama temperaturama dolazi do paralelne paralelne orijentacije orijentacije spinov spinova tako da entropija entropija oˇstro stro pada sa sniˇ zenjem zenjem temperature. temperature. Magnetno polje dovodi do delimiˇcne cne orijentacije spinova spinova prevodeći ci spinski sistem u uredjenije stanje niˇze ze entropije, entropi je, tako da su s u krive k rive ko je odgovara o dgovaraju ju magnet m agnetnim nim poljima pol jima veće ce jaˇ j aˇcine cine ispod ispo d krivih k rivih koje odgovaraju magnetnim poljima manje jaˇcine cine (H 3 > H 2 > H 1 > H 0 = 0). 0). B izotermnog Hladjenje adijabatskim razmagnetisavanjem sastoji se iz procesa A C izoennamagnetisavanja (od H 0 do H 3 ) pri konstantnoj temperaturi T 1 i procesa B tropskog (adijabatskog) razmagnetisavanja (od H 3 do H 0 ) pri ˇcemu cemu dolazi dola zi do sniˇzenja zenja temperature (od T 1 do T 2 ). Pri izotermnom namagnetisavanju paramagnetskih soli (proces A B ) magnetni magn etni momenti delimiˇcno cno se uredjuju (paralelno ( paralelno magnetnom polju), p olju), entropija se smanjuje od sA do sB i osloba o slobadja dja se koliˇcina cina toplote topl ote q = T 1 (sA sB ) u okolnu sredinu. Analogan proces kod klasiˇcnih cnih termodinamiˇckih ckih sistema je izotermno sabijanje gasa. Pri C ) temparatura pada do T 2 pri adijabatskom razmagnetisavanju (proces B pr i saˇcuvano cu vanom m uredjenju spinova (s (sB = sC ). Analogan Analo gan proces pro ces kod klasiˇcnih cnih termodinam termo dinamiˇ iˇckih ckih sistema sistem a je proces je adijabatskog ˇsirenja sirenja u ekspanderu (detanderu).

→

→

−

→

115

→

Metod adijabatskog razmagentisanja primenjuje se za dobijanje niskih temperatura u intervalu od 0.3 - 0.001 K. Donja granica odredjena je temperaturom ΘS pri kojoj je energija interakcije spinova uporediva s energijom toplotnog kretanja. Ispod ove temperature stanje spinskog spin skog sistema je uredjeno uredjen o i bez prisusutva spoljaˇsnjeg snjeg magnetnog magnet nog polja. p olja. Principijelna Principijelna ˇsema uredjaja za postizanje niskih temperatura adijabatskim adijabatskim razmagnetisav netisavanjem paramagnetnih paramagnetnih soli prikazana prikazana je na slici 7.6. Uzorak (1) paramagnetne soli, okaˇˇcen oka cen o nit male toplotne provodljivosti, postavlja se u komoru (2) popunjenu gasnim helijumom. lijumom. Komora je potopljena u teˇ can can helijum koji se nalzi u toplotno izolovanom izolovanom sudu (3). Toplotno izolovan izolovan sud (3) se vakuumira tako da teˇcan can helijum kljuˇca ca pri temperaturi oko 1K. 1 K. Gasni helijum u komori sluˇzi zi za razmenu toplote od uzorka ka teˇcnom cnom helijumu. U poˇ p oˇcetku cetku se u komoru komo ru uvodi uvo di manja ma nja koliˇcina cina gasnog gasno g helijuma, hel ijuma, koji ima veliku veli ku toplotnu top lotnu provodljivost, tako da se uzorak paramagnetne para magnetne soli ohladi do 1K (slika 7.6a). Pri ukljuˇcenju cenju magnetnog magnetnog polja dolazi do orijentacije orijentacije spinov spinova uzorka uzorka paramagnetne paramagnetne soli, pri ˇcemu cemu oslobodjenu bo djenu koliˇcinu cinu toplote toplo te prima kljuˇcaju´ ca jući ci helijum, helij um, tako da temperatu temp eratura ra uzorka uzor ka osta je nepromenjena promenjena (1K) (slika 7.6b). Pomo´ Pomo´ cu cu vakuum pumpe iz kom komore ore (2) se, preko ventila ventila (4), isisava gasni helijum tako da se prekida toplotna razmena uzorka paramagnetne soli s okolnom sredinom sred inom (teˇcnim cnim helijumom) (slika 7.6c). Na kraju, kra ju, iskljuˇcuje cuje se magnetno polje tako da se uzorak dodatno adijabatski hladi (slika 7.6d).

Slika 7.6.

Prethodno razmatranje pokazalo je da za magnetne materijale treba da se uvedu novi parametri stanja- jaˇcina cina magnetnog polja H i magnetizacija J. Da bi se odredila odr edila konaˇcna cna promena temperature pri adijabatskom razmagnetisavanju neophodno je da se poznaje jednaˇcina cina stanja paramagnetne supstance: ϕ(T , H , J ) = 0. Prethodno je pokazano da je entropija entropija magnetnog sistema zavisna zavisna od o d temperature T i jaˇcine cine magnetnog magne tnog polja pol ja H : S = f ( f (T , H ). Osim toga, pokazalo se da u prisustvu magnetnog polja dolazi do polarizacije magnetenog magne tenog materijala mater ijala praćeno ceno oslobadjen oslob adjenjem jem izvesne koliˇcine cine toplote, toplo te, ˇsto sto znaˇci ci da rad magnetnog polja menja stanje sistema. Rad magnetnog polja odredjen je izrazom δL m =

−HdJ.

(7. (7.46)

U ovom sluˇcaju ca ju prvi zakon termodinami termo dinamike ke moˇze ze da se napiˇse se u obliku oblik u δQ = dU + δL m = dU

− HdJ.

(7. (7.47)

Na osnovu drugog zakona termodinamike sledi dU = T dS + dS + HdJ.

(7. (7.48)

Po analogiji an alogiji moˇze ze da se uvede magnetna magn etna entalpija I = U

− H J

116

(7. (7.49)

i termodinam termo dinamiˇ iˇcki cki potencija pot encijall F = I

− T S = U − H J − T S.

(7. (7.50)

U sluˇ sl uˇcaju ca ju izoentrops izo entropskog kog hladjen hl adjenja ja S = S (T , H ) = const tako da je dS =

  ∂S ∂T

dT +

H

  ∂S ∂H

odnosno αM =

  ∂T ∂ H

= S

−

dH = 0,

(7. (7.51)

T

∂S ( ∂H )T . ∂S ( ∂T )H

(7. (7.52)

mag netokaloriˇ kaloriˇ cki cki koefici koe ficijent jent koji definiˇse gde je αM tzv. magneto se promenu temperature s promenom jaˇcine cine magnetnog polja pri izoentropskom izo entropskom procesu. Pri H = const sledi, T dS = C H dT , tako da je H dT, ∂S C H H , = (7. (7.53) ∂T H T

−

 

gde je C H cini cini magnetnog polja H (analogno C p za H toplotni kapacitet pri konstantnoj jaˇ nemagnetne sisteme). Diferencir Difer enciranjem anjem izraza izraz a (7.50) (7.50 ) i koriˇs´ sćenjem cenje m jednaˇcine cine (7.48) (7.48 ) dobija se diferencij difer encijal al termodinamiˇ mod inamiˇckog ckog potencij pot encijala ala dF = SdT JdH, (7. (7.54)

−

−

−

odakle je S = i J =

  −   − ∂F ∂T

∂F ∂H

(7. (7.55) H

(7. (7.56)

.

T

Na osnovu (7.55) i (7.56) dobija se odgovarajuća ca Maxwell-ova Maxwell-ova termodinamiˇcka cka relacija relac ija za magnetne sisteme sisteme ∂S ∂J . = (7. (7.57) ∂H T ∂T H

   

Smenom izraza izraz a (7.53) i (7.57) u izraz (7.52) dobija do bija se izraz za magnetokaloriˇ cki cki koeficijent αM =

−

T C H H

  ∂ J ∂T

,

(7. (7.58)

H

koji je sliˇ can can izrazu (7.21) pri s=const s=const kod termomehani termomehaniˇˇckih ckih sistema. sistema. Da bi se odredila konaˇ cna cna promena temperature pri adijabatskom razmagnetisav ra zmagnetisavanju anju [na osnovu izraza izraz a ∂J (7.58)] neophodno je da se prethodno odredi (∂T )H . Speci Sp ecifiˇ fiˇcna cna toplot top lotaa C J konstantnoj noj magnetizaciji magnetizaciji J definiˇ defin iˇse se se (analogno (anal ogno C v za J pri konstant nemagnetne sisteme). ∂U C J . (7. (7.59) J = ∂T J

 

117

Kako je δQ = C H H dT na osnovu (7.47) i (7.59) sledi C H H = C J J

− H

  ∂ J ∂T

.

(7. (7.60)

H

Za paramagnetne supstance, u sluˇcaju caju kada temperature nisu suviˇse se niske a jaˇcina cina magCurie-ov ov zakon zakon netnog net nog polja po lja nije nij e suviˇ suv iˇse se velika, veli ka, vaˇ zi zi CurieC H , T

J =

(7. (7.61)

gde je C Curie-ova Curie-ova konstanta. Izraz (7.61) predstavlja jednaˇcinu cinu stanja ”idealnog” paramagnetika. Diferenciranjem izraza (7.61) dobija se

−

  ∂J ∂T

−C T H 2 .

= H

(7. (7.62)

Zavisnost Zavisnos t specifiˇ spe cifiˇcne cne toplote toplo te C J J paramagnetika od temperature data je izrazom C J J = R

E exp( exp( ∆ ∆E kT ) , E 2 kT (1 + exp( exp( ∆ )) kT

 

(7. (7.63)

gde je R gasna konstanta a ∆E ∆E razlika energijskih nivoa stanja magnetnih jona suprotnih orijen orijentaci tacija ja spino spinov va. U oblasti oblasti temperatura temperatura T > ΘS gde je ΘS = ∆kE karakt kara kter eris istiˇ tiˇcna cn a temperatura, zavisnost zavisnost C J J od temperature je oblika

−

RA , T 2

C J J =

(7. (7.64)

gde je

Θ2S A= . 4 Na osnovu (7.60), (7.62) i (7.64) dobija se da je

(7. (7.65)

RA + C H 2 C H . H = T 2

(7. (7.66)

Smenom izraza (7.62) i (7.66) u izraz (7.58) dobija se αM = odakle je

T 2



T 1

  ∂ T ∂H

dT = T

=

S

0



H 1

H T , RA 2 H + C

H dH . RA 2 H + C

(7. (7.67)

(7. (7.68)

Na kraju, kra ju, iz (7.68) dobija se da je konaˇ cna cna temperatura po zavrˇ zavrˇsenom senom adijabatskom razmagnetisanju data izrazom T 1 T 2 = , (7. (7.69) CH 1 + RA



118

2 1

a oslobadjena koliˇ cina cina toplote u procesu namagnetisavanja namagnetisavanja (A H

∆Q = T

   0

∂J ∂ T

H

dH = H

   − 0

→ B)

C H dH = T

−

C H 2 . 2T

(7. (7.70)

Sniˇzenje zenje temperatu temp erature re pri adijabatskom adija batskom razmagnetis razmag netisanju anju je ve´ ce ce ˇsto sto je ve´ ca ca jaˇcina cina magC netnog polja H 1 i niˇ n iˇza za polazna pol azna temperatu temp eratura ra T 1 . Sups Su psta tanc ncee sa veliko vel ikom m vre v redn dnoˇ oˇs´ sću cu RA = R4ΘC S su pogodnije za dobijanje niskih temperatura. Izrazi (7.69) i (7.70) primenljivi su u oblasti vaˇ zenja zen ja CurieCur ie-ovog ovog zakona. zako na. 2

119

Primer Primer 7.1 Specifiˇ Specifiˇ cna cna toplota vodene pare pare pri p=12MPa i t=520 0 C iznosi c p = specifiˇ cne cne zapremine od temperature temperature pri p=12MPa, na osnovu po2, 65 kJ . Zavisnost specifiˇ kg K dataka za vodenu paru, prikazana je tabelarno:

t(0 C )

500

520

540

3

v( m 0,02681 81 0,027 0,02782 82 0,028 0,02881 81 kg ) 0,026 Odrediti: a) koeficijent adijabatskog adija batskog priguˇ prig uˇ senja senja ai (diferencijalni JouleThomson-ov efekt); b) integralni efekt priguˇsenja senja ∆T i pri padu pritiska pare od p1 = 12M 12M Pa do p2 = 10 MPa. MPa. reˇ senje: a) Koeficijent adijabatskog adijabatsk og priguˇsenja senja ai = ai = Iz tabele sledi

  ∆v ∆T

=

0, 02782

T

   − ∂T ∂p i ∂v ∂T p

v

c p

− 0, 02681

20

p

odredjen je izrazom (7.9)

m3 = 5 10 kg K

·

5

−

m3 , kg K

tako da je koeficijent adijabatskog adija batskog priguˇ prig uˇsenja senja ai ∼ =

T

∆v ∆T p

 − c p

v

· × 10 5 − 0, 02780 = K/Pa = 2, 65 · 103 = 0, 447 · 10 5 K/Pa. K/Pa. −

793 5

−

b) Pri maloj razlici razlici pritiska pritiska ∆ o vom primeru, moˇze ze da d a se uzme da je αi pribl ri bliˇ iˇzno zn o ∆ p, kao u ovom konsta kon stantn ntna a veliˇcina cina ai =

  ∼  ∂T ∂p

=

i

∆T ∆ p

i

tako integralni efekt priguiˇsenja senja iznosi ∆T = ai ∆ p = 0, 447

× 10

5

−

(12

− 10) · 106 = 8, 94K. 94K.

Primer 7.2 Odrediti promenu temperature i entalpije pri hladjenju vodonika metodama: a) izoentrops izoen tropskog kog ˇsirenja; sirenj a; b) priguˇ pri guˇsenja sen ja i c) adijabatskog adijabatskog ˇsirenja sirenja iz suda konstantne zapremine. Parametri vodonika su T 1 = 80K, 80K, p1 = 4, 0MPa, p2 = 0, 15M 15M P a a eksponent adijabate κ = 1, 41. 41. Pogledati sliku P.7.1. 120

.

Slika P7.1

Nestacionarni proce process ireverzibilnog ireverzibilnog adijabatskog adijabatskog ˇsirenja sirenja iz suda konstantne zapremine prikazan je uslovno (crtkasto). reˇsenje: a) Za proces proces izoentropskog ˇsirenja sirenja (s = const) const), na osnovu osnovu T,s-di T,s-dijag jagrrama za vodon vodonik ik (pog (pogle ledati dati prilog prilog ), i poznatih poznatih para parametar metara a ( p1 i T 1 ), dobija se s1 = 35, 35, 7kJ/kg. U sluˇcaju caj u izoentropsk izoent ropskog og ˇsirenja sirenj a je s1 = s2 = 35, preseka izoenizoen35, 7kJ/kg = const. Iz preseka trope s = s1 = s2 = 35, izobarom om p2 = 0, 15M dobija se 35, 7kJ/kg = const sa izobar 15M P a dobija vrednost vrednost konaˇ cne cne temperature temperature pri ovom procesu procesu hladjenja, tj. T 2 = 22K. 22K. Znaˇci, promen promena a temp temperatu eraturre pri ovom ovom hladjen hladjenju ju iznosi iznosi (∆T istogg didi(∆T ))s=const = 58K. 58K. Iz isto jagrama jagrama se, takodje takodje jednostav jednostavno, no, dobijaju dobijaju poˇ poˇcetne cetne i krajnje krajnje vred vrednosti nosti entalpije, entalpije, tj. i1 = 1260kJ/kg promena entalpije entalpije u ovom sluˇ sluˇcaju caju iznosi 1260kJ/kg i i2 = 710kJ/kg, 710kJ/kg, tako da promena (∆i (∆i)s = i1 i2 = 550kJ/kg. 550kJ/kg. Ukolik Ukoliko o bi se pretp pretposta ostavil vilo o da je vazduh vazduh idealan idealan gas tada bi prome promena na temp temperatu eraturre iznosila (7.24): p2 k− (∆T (∆T ))s = T 1 [1 ( ) k ] = 49K. 49K. p1

−

1

−

b) U sluˇcaju caju izoentalpskog izoentalps kog ˇsirenja sirenja je i = i1 = i4 = 1260kJ/kg 1260kJ/kg = const pa je (iz T,sdijagrama za vodonik) krajnja temperatura T 4 = 72K. 72K. Promena temperatura iznosi (∆T (∆T ))i = T 1

− T 4 = 8K.

c) Kada se vodonik adijabatski ˇsiri siri (δQ = 0) iz suda konstantne konstantne zapremine zapremine promena promena entalpije data je izrazom (7.30): ∆i = i1

− i3 = p1 v1(1 − pp2 ) = 310kJ/kg, 310kJ/kg, 1

gde specifiˇcna cna zapremina zap remina v1 vodonika iznosi v1 =

RT 1 = 0, 08m 08m3 /kg, p1

(gasna konstanta za vodonik iznosi R = 8, 314 /M = 4157J/kgK 314/M 4157J/kgK ). Krajnja vrednost entalpije je i2 = i1 ∆i = 950kJ/kg, 950kJ/kg,

−

121

tako da se na osnovu preseka krive i2 = const sa izobarom izobarom p2 = const dobija da koliˇcina cina toplote toplo te pri ovom procesu procesu iznosi iz nosi T 3 = 42K 42K i da je promena temperature ∆T = T 1

− T 3 = 36K. 36K.

U sluˇ caju caju idealnog idealnog gasa promena temperature temperature pri ovom proce procesu su iznosila bi (7.31) ∆T =

k

− 1 T 1 (1 − p2 ) = 22, 22, 4K. k

p1

Dobijeni rezultati pokazuju da je najefektivniji metod izoentropskog izoentropskog ˇsirenja sirenja (∆T (∆T = adijabatskog ˇsirenja iz suda konstantne zapremine (∆T 58K 58K ), zatim sledi metod adijabatskog (∆T = adijabatsk og priguˇ pr iguˇsenja senja (∆T 36K 36K ), i na kraju metod adijabatskog (∆T = 8K ). Takodje, pokazano je da je u sluˇcaju caju idealnog gasa efekat hladjenja hladj enja slabije slabij e izraˇ zen. zen.

Primer Primer 7.3 Odrediti Odrediti temperaturu temperaturu na kraju procesa procesa adijabatskog adijabatskog razmagnetisavanja uzorka para parame megnetne gnetne soli kalijum kalijum hromove hromove stipse [K C r(SO 4 )2 12H kol iˇcinu cinu 12H 2 O], kao i koliˇ toplote koja se oslobodi oslobodi pri namagnetisavanju jednog jednog mola ove supstance. Poˇ cetne cetne vrednosti vrednosti 5 temperature i jaˇcine cine magnetnog magnet nog polja iznose T 1 = 5, 0K i H 1 = 4 10 A/m, respektivno. Tabliˇ cni cni podaci podaci za kalijum hromovu stipsu su: Θs = 0, 245 K, R = 16, 245K, 16, 7 10 3 J/gK,M = g/mol i C = 5, 9 10 14 JK/g( JK/g (A/m) A/m)2 . Smatrati da se do temperature 0, 5K kalijum 499g/mol 499 hromova stipsa stips a podˇ cinjava cinjava Curie-ovom Curie- ovom zakonu. zakon u.

·

·

·

·

−

−

∼

reˇsenje: Konstanta A u izrazu (7.64) iznosi A = Θ2s /4 = 0, 2452 /4 = 0, 015 K 2 , tako da 015K je vrednost konstante 5, 9 10 14 C/RA = = 2, 35 10 16, 16, 7 10 3 0, 015

·

·

−

−

·

·

−

10

−

A/m) (A/m)

2

.

Na osnovu formule (7.69) dobija se vrednost krajnje temperature: T 2 =

T 1



1+CH 1+CH 12 RA

=

5, 0 1 + 2, 2 , 35 10



·

−

10 (4

80K. · 105 )2 = 0, 80K.

Toplota koja se oslobodi u procesu izotermnog namagnetisanja (T 1 = const) const) (od 0 do H 1 ) iznosi (7.70) ∆Q =

−

C H 12 = 2T 1

=

−0, 944 · 10

−

5, 9 10 14 (4 105 )2 = 2 5, 0

·

−

·

3

−

J/g = · 3 J/g · 499 g/mol = −0, 471 J/mol. 499g/mol 471J/mol.

−

122

−0, 944 · 10

8. PROTICANJE PROTICANJE I ISTICANJE FLUIDA FLUIDA U poglavlju poglavlju 2.4. je pokazano pokazano (jednaˇ (jednaˇcina cina (2.71)) da se, u sluˇ sluˇcaju caju kada fluidna struja ne vrˇsi si tehn te hniˇ iˇcki ck i rad ra d (lkz = 0) i kada duˇ z fluidne struje nema visinske razlike, tj. promene potencijalne energije (gdz (gdz = 0), 0), toplota koja se dovodi dovodi fluidnoj struji troˇsi, si, ne samo na povećanje canje njene unutraˇsnje snje energije energ ije i vrˇsenje senje rada proticanj prot icanjaa (nasuprot (nasu prot spoljaˇ spo ljaˇsnjih snjih sila), već i ne povećanje canje kinetiˇ kinet iˇcke cke energi e nergije je usmere u smerenog nog kretanja kreta nja fluidne fluidn e struje, st ruje, koja koj a se u toplot t oplotnim nim maˇsina si nama ma tran tr ansfo sform rmiˇ iˇse se u mehan meh aniˇ iˇcki ck i rad ra d i pred pr edaa je p otroˇ ot roˇsaˇ saˇcu. cu . U parnim i gasnim turbinama, reaktivnim motorima, raketama itd., rad se dobija na raˇcun cun kinetiˇcke cke energije e nergije struje gasa ili pare pri njihovom isticanju iz specijalnih kratkih cevi. Do promene kinetiˇcke cke energije fluidne struje moˇze ze da d a dodje d odje pri isticanju kako kako kroz cevi konstantnog konstantnog preseka preseka tako i u posebnim cevima promenljivog promenljivog preseka, preseka, tzv. mlaznicima mlaznicima i difuzor d ifuzorima. ima. Ukoliko se fluid fl uid pri prolazu prola zu kroz cev ˇsiri, siri, pri ˇcemu cemu dolazi d olazi do povećanja canja brzine brzin e i pada pritiska u fluidnoj struji, tada se data cev naziva mlaznik. Ukoliko se fluid sabija pri prolazu kroz cev, tako da mu brzina pada a pritisak raste, tada se data cev naziva difuzor. Kako je brzina isticanje fluida kroz mlaznike i difuzore relativno velika, a mlaznici i difuzori su malih duˇzina, zina, vreme prolaˇzenja zenja fluida kroz mlaznike i difuzore je vrlo kratko, tako da moˇ ze ze da se zanemeri razmena toplote izmedju gasa (pare) i zidov zidova cevi a proces isticanja smatra adijabatskim, tj. bez dovodjenja i odvodjenja toplote. 8.1. Adijabatsk Adijabatsko o isticanje isticanje fluida U sluˇcaju ca ju kada duˇ d uˇz strujne strujn e cevi nema visinske visins ke razlike r azlike (dz = 0) i kada fluidna struja ne vrˇsi si tehn te hniˇ iˇcki ck i rad r ad (tzv (t zv.. ˇcist ci stoo str s truj ujan anje je,, δl kz = 0), 0), iz jednaˇcine cine prvog zakona termodinam termo dinamike ike za fluidne fluidne struje struje (2.71) koja je primenlji primenljiv va i za ireverzi ireverzibiln bilnoo struja strujanje, nje, tj. za strujanje strujanje sa trenjem, trenjem, sledi da se dovedena dovedena koliˇ koliˇcina cina toplote (δq) si na povećanje can je entalpi enta lpije je (di) δq ) troˇsi di) i wdw ) fluidne struje: kinetiˇ kin etiˇcke cke energi ene rgije je (wdw) δq = di + wdw.

(8. (8.1)

U praksi praks i se najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce srećemo cemo sa adijabatskim adijab atskim proticanje proti canjem m i isticanjem istica njem fluida, fluida , tako da je izuˇcavanje cavanje reverzibil rever zibilnog nog adijabatskog adija batskog isticanja istic anja jedan od vaˇ znijih znijih zadataka zadat aka termotehni termo tehnike. ke. U sluˇcaju caju adijabatskog isticanja (δq = 0) iz (8.1) sledi di + wdw = 0,

(8. (8.2)

ˇsto sto znaˇci ci da je ubrzav ubrz avanje anje fluidne fluidn e struje struj e (dw > 0) praćeno ceno smanjenjem smanje njem entalpije entalpi je (di < 0) i obrnuto. Integracijom prethodne jednaˇcine cine (8.2) dobija se i2

2 2 − i1 = − w2 −2 w1 ,

(8. (8.3)

tako da je w2 =

 − w12

2(i 2(i2

− i1 ).

(8. (8.4)

Iz jednaˇ je dnaˇcine cine (8.4) sledi da brzina b rzina w2 fluidne fluid ne struje u taˇ t aˇcki cki 2 moˇze ze da se nadje n adje ako je poznata poz nata brzina w1 u taˇcki cki 1 i razlika razli ka (pad) entalpije entalpi je (i (i2 i1 ) izme i zmedju dju taˇcaka caka 2 i 1. Veliˇcina cin a prom p romene ene entalpije (i (i2 i1 ) najlakˇ najla kˇse se se nalazi iz entropijskog i, s dijagrama (slika 6.14), znaju´ zna jući ci vrednosti poˇcetnog cetnog i krajnjeg krajn jeg pritiska. Razlika entalpije jednaka je duˇzini zini izoentrope (s = const) const) izmedju p1 = const i p2 = const, respektivno). i zmedju poˇ p oˇcetne cetne i krajnje kr ajnje izobare ( p

−

−

123

−

U sluˇ sl uˇca ca ju strujanja bez trenja (δl tr = 0), 0), kada nema visinske razlike (dz (dz = 0) i kada fluidna fluidn a struja struj a ne vrˇsi si tehniˇcki cki rad (δl kz = 0) iz jednaˇcine cine (7.1) sledi: wdw =

−vdp.

tako da se posle integracije dobija w22 2

−

w12 = 2

odnosno

vdp = lr ,

p2

lr =

 −

(8. (8.5)

p1

w12 + 2l 2lr ,

w2 = gde gd e vel v eliˇ iˇcina ci na

p2

 − 

(8. (8.6)

p2

vdp =

p1



vdp

(8. (8.7)

p1

ras p oloˇ ol oˇ zivi zi vi rad, rad , jednak predstavlja tzv. rasp jed nak priraˇ pri raˇsta sta ju kinetiˇ kin etiˇcke cke energi ene rgije, je, koja ko ja se inaˇce ce moˇze ze transformi tran sformisati sati u mehaniˇ mehan iˇcki cki rad. Jednaˇcina cina (8.6) vaˇ vaˇzi zi kako kako za reverzibilno adijabatsko proticanje (i isticanje) tako i za bilo kakav kakav drugi sluˇcaj caj proticanja proticanja bez b ez trenja. Naime, pri izvodjenju izvodjenju izraza (8.6) nisu koriˇ koriˇs´ scene céne nikakve nikakve pretpostavke o karakteru procesa a time niti da je δq = 0, tj. da je proces adijabatski. adijabatski. Zavisnost Zavisnost konaˇ konaˇcne cne brzine u taˇ cki cki 2 od karaktera procesa proticanja proticanja (isticanja) ukljuˇcena cena je preko zavisnosti veliˇ cine cine raspoloˇzivog zivog rada od karaktera procesa. p). U sluˇ Veliˇcina cina raspoloˇ rasp oloˇzivog zivog rada zavisi od karaktera procesa pro cesa preko zavisnosti zavisno sti v = v ( p) sl uˇca ca ju izoentropskog procesa veliˇ cina cina raspoloˇzivog zivog rada jednaka je povrˇsini sini izmedju izoentrope s =const i izobara p1 = const i p2 = const u p, v dijagramu (slika 8.1).

−

Slika 8.1

U sluˇcaju ca ju strujanja struja nja i isticanja istica nja realnih realn ih gasova raspo ra spoloˇ loˇzivi zivi rad se izraˇcu-nava cu-nava na osnovu pvk = eksperimentalnih p,v,T vrednosti, a za z a idealan ide alan gas na osnovu jednaˇcine cine adijabate ( pv const).

−

124

pv ) Smisao raspoloˇzivog zivog rada moˇ ze ze da se dobije na osnovu relacije vdp = d( pv) koje se posle integracije dobija p1



− pdv, iz

v2



vdp =

p2

pdv

− ( p2 v2 − p1 v1 ),

v1

(8. (8.8) v2



ˇsto sto znaˇci ci da je raspoloˇzivi zivi rad jednak razlici rada ˇsirenja sirenja fluidne struje v pdv i rada proticanja ( p2 v2 p1 v1 ). Na osnovu jednaˇcine cine prvog principa princ ipa termodinamike napisanog u obliku (2.57): δq = δq sp + δq tr = di vdp, (8. (8.9) 1

−

−

sledi da je u sluˇ caju caju reverzibilno reverzibilnogg adijabatsko adijabatskogg proticanja proticanja (i isticanja) isticanja) fluida (δq sp = 0 i δq tr = 0, tj. δq = 0) : (8. (8.10) di = vdp, odnosno

p2

i2

− i1 =



p1

vdp =

p1

 −

vdp =

p2

−lr .

(8. (8.11)

Pri ireverzibilno ireverzibilnom m isticanju isticanju fluida raspoloˇ zivi zivi rad je (pri istom padu pritiska) pritiska) manji nego pri reverzibilnom isticanju jer je entalpija u konaˇ cnom cnom stanju ve´ ca ca zbog dodatne toplote koja je oslobodjena trenjem. U praksi pra ksi se proraˇ p roraˇcuni cuni vrˇ v rˇse se za idealn i dealno o (reverzibi (re verzibilno) lno) protic p roticanje anje (ili ( ili isticanje ist icanje)) a nereverzner everzibilnost procesa se uzima u obzir preko empirijskih koeficijenata. const), rasp U sluˇ sl uˇcaju ca ju isti i stican canja ja teˇ t eˇcnosti cno sti,, s obziro obz irom m na njihovu nji hovu nestiˇ nes tiˇsljivost slji vost (v = const) ra spol oloˇ oˇzivi zi vi rad iznosi p p ( p1 p2 ) lr = vdp = v dp = v ( p1 p2 ) = , (8. (8.12) ρ p p

 −

2

 

2

1

−

1

tako da je w2 =

w12 +

2( p1

− p2) .

ρ

−

(8. (8.13)

8.2. Isticanje Isticanje iz konver konvergen gentnog tnog mlaznik mlaznika Kako Kako je u uvodnom uvodnom delu ovog ovog poglavlj poglavljaa napomen napomenuto, uto, za pove´ pove´ canje canje brzine brzine fluidne fluidne struje do dozvuˇ dozvuˇcnih cnih brzina, tj. brzina manjih od brzine zvuka zvuka u fluidnoj fluidno j struji na datom mestu, koriste se posebno profilisani kanali (cevi), tzv. mlaznici, koji ko ji se suˇzavaju zavaju u pravcu kretanja fluida.

Slika 8.2

Razmotrimo sluˇcaj ca j reverzibilnog adijabatskog, tj. izoentropskog (s =const), =const), isticanja isticanja gasa iz konvergentnog mlaznika koji je spojen sa rezervoarom gasa velike zapremine (slika 125

8.2), tako da pri isticanju gasa ne dolazi do primetne promene pritiska gasa u rezervoaru. Neka su parametri gasa u rezervoaru p1 , v1 , T 1 a parametri gasa na izlazu iz mlaznika ce p2 , v2 , T 2 . Pritisak gasa na izlazu iz mlaznika jednak je pritisku p0 okoline u koju gas utiˇce ( p2 = p0 ). Brzina w2 fluidne struje na izlazu iz mlaznika odredjuje se na osnovu izraza (8.4): w2 = gde se promena entalpije (i (i1



w12 + 2(i 2(i1

− i2 ),

− i2 ) odredj o dredjuje uje iz i,s-dijagr i,s-d ijagrama, ama, ili koriˇs´ sćenjem cenje m izraza i zraza (8.4): (8.4) :

 

w12 + 2l 2lr ,

w2 = p p2

p p1



gde se raspoloˇ rasp oloˇzivi zivi rad lr = p vdp = p vdp odredjuje na osnovu eksperimentalnih p,v podataka za izoentropu realnog gasa. U sluˇ caju ca ju izoentropskog isticanja idealnog gasa iz konvergentnog mlaznika, iz 1/k jednaˇcine cine adijabate (izoentrope) (izoentrop e) pvk = const ili vp 1/k = v1 p1 = const, sledi izraz za raspo ras poloˇ loˇzivi ziv i rad: rad :

−

1

2

p2

lr =

 −

vdp =

p1

=

−

1/k v1 p1

k

k

p2

k

 −    −

− 1 p1 v1

−

p

1/k

dp =

p1

1

p2 p1

k

1

( p1 v1

− p2v2 ) =

(k−1)/k 1)/k

,

(8. (8.14)

tako da je brzina izticanja idealnog gasa iz konvergentnog mlaznika data izrazom:

w2 =

 

w12

+

2k k

− 1 p1 v1

   − p2 p1

1

(k−1)/k 1)/k

.

(8. (8.15)

Kako je, s obzirom na veliku zapreminu rezervoara, brzina gasa w1 u rezervoaru mnogo w2 ), brzina isticanja idealnog gasa manja od brizne w2 kojom kojo m gas g as istiˇce ce iz mlaznika mlazni ka (w (w1 iz konvergentnog konvergentnog mlaznika odredjuje od redjuje se na osnovu sledećeg ceg izraza:



w2 =

     − − 2k

k

p1 v1 1 1

p2 p1

(k−1)/k 1)/k

.

(8. (8.16)

Iz izraza (8.16) se vidi da brzina kojom ko jom idealan gas istiˇ istiˇce ce iz konverg konvergentno entnogg mlaznika mlaznika zavisi od stanja gasa ( p1 , v1 , T 1 ) pre ulaza u malznik kao i od pritiska gasa p2 na izlazu iz mlaznika, tj. od pritiska p0 okolne sredine ( p2 = p0 ). Za reˇsavanje savanje praktiˇ prakt iˇcnih cnih zadataka zada taka termo t ermodinami dinamike ke vaˇzno zno je da se odredi odr edi zapreminski zapre minski ili maseni protok pr otok gasa pri isticanju iz mlaznika. Kroz povr p ovrˇˇsinu sinu A2 izlaznog preseka mlaznika za vreme dt prodje masa gasa dm = ρ2 dV, zapremine dV = A2 w2 dt, tako da je maseni protok gasa G = dm/dt dat izrazom: G = ρ2 A2 w2 = A2 w2 /v2 . 126

(8. (8.17)

1/k Iz jednaˇcine cine izoentrop izo entropee sledi s ledi v2 = v1 ( p tako da se smenom v2 u izraz (8.17) dobija: p ) 1 2



A2 w2 p2 G= v1 p1

1/k

.

(8. (8.18)

Smenom izraza (8.16) za w2 u izraz (8.18) za G dobija se konaˇ konaˇcan can izraz za maseni protok idealnog gasa pri izoentropskom isticanju iz konvergentnog mlaznika:

G = A2

       − − 2k p1 k 1 v1

2/k

p2 p1

p2 p1

(k+1)/k +1)/k

.

(8. (8.19)

Iz poslednjeg izraza (8.19) se vidi da se maseni protok gasa pri isticanju kroz dati konvergentni mlaznik, pri konstantnim parametrima p1 , v1 ili T 1 na ulazu u mlaznik, zavisi od veliˇcine cine odnosa od nosa pritisaka prit isaka ψ = p2 /p1 . Zavisnosti brzine isticanja w2 = w2 (ψ) i masenog protoka G = G(ψ) idealnog gasa od odnosa pritisaka ψ = p2 /p1 prikazane su grafiˇcki cki na slikama (8.3) i (8.4), ( 8.4), respektivno. Teorijske krive dobijene su na osnovu izraza (8.16) i (8.19) i predstavljene su crtkastim linijama, dok su eksperimentalne krive predstavljene neprekidnim linijama.

Slika 8.3.

Slika 8.4.

Sa slike sl ike 8.3. 8.3 . uoˇcava cava se da u oblasti oblast i ψk ψ 1 postoji slaganje rezultata dobijenih na osnovu jednaˇcine cine (8.16) (8.16 ) sa eksperimentalnim rezulatatima. re zulatatima. Za vrednost ψ = 1 ( p2 = p1 ) brizna isticanja jednaka je nuli (w (w2 = 0). 0). Brzina isticanja raste kako se smanjuje ψ (tj. opada p2 pri konstantnom p1 ) dost do stiˇ iˇzu´ zući ci u taˇ taˇcki ck i K, pri pr i ψ = ψk , maksimalnu vrednost wK . p pk Odnos pritisaka ψ = p = p = ψk , pri kojem protok gasa pri isticanju iz konvergentnog cni odnos pritisaka pritis aka a pk kritiˇcan ca n mlaznika dostiˇze ze maksimalnu vrednost, naziva se kritiˇcni pritisak. Dalji Da ljim m sniˇ sn iˇzavanje zavan jem m ψ, u intervalu 0 ψ < ψK , dolazi dolaz i do razilaˇ razi laˇzenja zenja eksperime eksp erimenntalnih i teorijskih rezultata. rezultata. Naime, dok teorijski teorijski rezultati (izraz 8.16) ukazuju ukazuju da brizna isticanja treba da raste s opadanjem odnosa pritisaka ψ dostiˇ st iˇzući pri ψ = 0 ( p2 = p0 = 0) maksimalnu vrednost wm = 2kp1 v1 /(k 1) (8.20)

≤ ≤

2 1

1

−

≤



−

(crtiˇcasta casta kriva), eksperimentalni rezultati pokazuju da je brizna brizn a isticanja konstantna (w (w = wK = const) const), tj. u ovoj oblasti smanjenje izlaznog pritiska p2 ne utiˇce ce na brizinu briz inu istica i sticanja! nja! Sliˇcno cno se uoˇcava cava pri analizi anali zi zavisnosti zavisno sti G = G(ψ) sa slik slike 8.4. 8.4. Ekspe Eksperim rimen enta talni lni i teorijski rezultati se dobro slaˇzu zu u oblasti ψk ψ 1. Za ψ = 1 ( p2 = p1 ) maseni protok je jednak nuli (G (G = 0) i raste kako ψ opad op adaa dos d osti tiˇˇzu´ zući ci ma maks ksim imum um GK pri ψ = ψk . U oblasti 0 ψ ψk eksperimentalni rezultati za maseni protok se ne slaˇzu zu s teorijskim (izraz (izr az 8.19). Naime, teorijski rezultati ukazuju da maseni protok treba da opada kako opada ψ tako da za ψ = 0 treba da je i G = 0, dok eksperimentalni rezultati pokazuju da je u ovoj oblasti const), tj. nezavisan od promene izlaznog pritiska! protok konstantan (G (G = GK = const),

≤ ≤

≤ ≤

127

Da bi objasnio protivureˇ protivureˇ cnost cnost izmedju eksperimentalnih eksperimentalnih i teorijskih teorijskih rezultata pri isticanju gasa iz konverge konvergentnog ntnog mlaznika mlaznika Sen-Venan Sen-Venan (1839) je predloˇ predloˇzio zio hipotezu, koja se kasnije asnije pokazal pokazalaa isprav ispravnom nom,, da je u oblasti oblasti odnosa odnosa pritisak pritisakaa ψk 1 pritisak p2 ψ na izlazu iz konvergentnog mlaznika jednak pritisku p0 okolne sredine p2 = p0 , dok je u oblasti odnosa pritisaka 0 ψ < ψk pritisak p2 na izlazu iz konvergentnog mlaznika jednak kritiˇ kri tiˇcnom cno m pritis pri tisku ku pK , koji odgovara maksimalnom masenom protoku i maksimalnoj brzini isticanja, tj. p2 = pK , a ne pritisk pritisku u okolne okolne sredine sredine bez obzira obzira koliko koliko je on nizak. nizak. Na taj naˇcin, cin, porast brzine isticanja i sticanja i porast masenog protoka, pro toka, u oblasti obla sti ψk ψ 1 je mog mogu´ uć sve dotle dok pritisak na izlazu iz mlaznika p2 = p0 , pri sniˇzavanju zavanju pritis pri tiska ka p0 okolne sredine, ne dotigne doti gne kritiˇcnu cnu vrednost vredn ost p2 = pK . Daljim sniˇzavanjem zavanjem pritiska okolne sredine izlazni pritisak se ne menja ve´ c zadrˇzava zava kritiˇcnu cnu vrednost, tako da i brzina isticanja i maseni protok prot ok zadrˇzavaju zavaju svoje svoj e kritiˇcne cne vrednosti vredn osti (wK i GK , respektivno). Vrednost redno st kritiˇcnog cnog odnosa odn osa pritisaka priti saka ψK dobija se iz uslova maksimuma funkcije G = +1)/k G(ψ), tj. potkoren Y (ψ) = ψ 2/k ψ (k+1)/k potkorenee funkc funkcije ije Y ( od koje zavisi funkcija G = G(ψ) Y (ψ ) sa nulom, tj.: (pogledati 8.19). Izjednaˇcavanjem cavanjem prvog izvoda funkcije Y (

≤

≤

≤

≤ ≤

−

dY 2 = ψk dψ k 2

−

− k +k 1 ψ

1

1

k

(8.21)

=0

sledi

2 k/( )k/(k 1) , (8. (8.22) k+1 tako da kritiˇcni cni pritisak, koji je na osnovu Sen-Venan-ove hipoteze najmanji pritisak koji moˇze ze da se dobije na izlazu iz konvergentnog konvergentnog mlaznika, pri datom poˇcetnom cetnom pritisku, bez obzira na pritisak okolne sredine, iznosi: −

ψK = (

pK = p1 ψK = p1

  2 k+1

k/( k/(k−1)

.

(8. (8.23)

Veliˇcina cin a kritiˇ kri tiˇcnog cno g odnos od nosaa pritis pri tisaka aka ψk zavisi samo od eksponenta adijabate k, tj. od prirode prirode gasa. gasa. Za Zavi visn snos ostt ψK (k) je slaba slaba.. Tako ako na prim primer er,, za jedn jednoa oato toms mski ki gas gas (k = 1, 66) ψK = 0, 490 490,, za dvoatomski gas (k (k = 1, 40) ψK = 0, 528 a za troatomski gas (k = 1, 30) ψK = 0, 546 546.. U nizu proraˇcuna cuna moˇ ze ze da se zanemari zavisnost ψK (k) i da se uzme pribliˇzna zna vrednost ψK 0, 5. Kritiˇ Kritiˇcna cna brzina, tj. brizna koja se postiˇ ze ze na izlazu iz konvergentnog konvergentnog mlaznika pri isticanju u sredinu ˇciji je pritisak jednak kritiˇcnom cnom p p , ψ p /p ( 0 = K ) dobija se kada se u izraz (8.16) zameni umesto = 2 1 vredno vre dnost st kritiˇ kri tiˇcnog cno g 2 k/( k/(k 1) odnosa pritisaka pritisaka ψK = ( k+1 ) :

≈

−

wK =



k

2k

−

p1 v1 [1 1

− k +2 1 ] =



2k p1 v1 = k+1



2k RT 1 . k+1

(8. (8.24)

Poredjenjem Poredjenjem dobijenog izraza (8.24) sa izrazom (8.20) vidi se da je kritiˇ kritiˇcna cna brzina manja od maksimalne brzine koju predvidja teorija: wK < wm =



k

2k

−

p1 v1 = 1



k

2k

− 1 RT 1.

(8. (8.25)

Sliˇcno cno prethodnom, p rethodnom, maksimalan protok pro tok kroz konvergentni konvergentni mlaznik dobija se smenom vrednosti ψk u izraz (8.19): GK = A2

    − 2k p1 k 1 v1

2 k+1

2/(k −1)

128

  − 2 k +1

(k+1)/ +1)/(k−1)



=

= A2



2k p1 k 1 v1

−

  2 k+1

 −     

2/(k −1)

1

= A2

2k p1 k + 1 v1

2 = A2 k+1 1/(k−1)

2 k+1

  2 k +1

2/(k−1)

2k p1 . k + 1 v1

= (8. (8.26)

Iz izraz izrazaa (8.26) (8.26) se vidi vidi da je ma maks ksim imala alan n protok protok GK , pri dato dat o j veliˇcini cin i povrˇ pov rˇsine sin e A2 izlaznog popreˇcnog cnog preseka mlaznika, odredjen poˇcetnim cetnim parametrima gasa p1 , v1 i prirodom gasa, tj. eksponentom adijabate k. Ostali kritiˇcni cni parametri para metri vK i T K , tj. paramet parametri ri pri kojim protok i brzina brzina fluida pri isticanju iz mlaznika imaju najve´ na jve´ cu cu vrednost, nalaze se tako ˇsto sto se vrednost kritiˇcnog cnog

 

2 pritiska (izraz 8.23) pK = p1 k+1 (1−k)/k k pK vK = p1 v1k = const i T K pK

vK = v1 i

k/( k/(k−1)

zameni zamen i u odgovaraju´ od govarajuće ce jednaˇcine cine adijabate adijab ate

(1−k)/k

= T 1 p1 1/k

= const: 1/(k−1)

      p1 pK

= v1

(1−k)/k

p1 pK

T K = T 1

k+1 2

= T 1

,

2 . k+1

(8. (8.27)

(8. (8.28)

Smenom Smeno m vrednosti vred nosti poˇcetnih cetni h parameta par ametara ra p1 , v1 odnosno T 1 , izraˇ izr aˇzenih zen ih preko pre ko njihovi nji hovih h kritiˇ kri tiˇccnih vrednosti vrednosti (izrazi 8.23, 8.27 i 8.28), u izraz za kritiˇ kritiˇcnu cnu brzinu isticanja (8.24), dobija se: wK = kp K vK = kRT K . (8. (8.29)





S druge strane, poznato je da je brzina prostiranja zvuˇ cnih cnih talasa, tj. slabih elastiˇcnih cnih ρ) u elastiˇcnoj deformacija (∆ p p i ∆ρ cno j sredini, data izrazom







dp . dρ

a=

(8. (8.30)

Kako Kako su promene promene u fluidu fluidu usled usled prostira prostiranja nja zvuˇ zvuˇcnih cnih talasa talasa brze i slabe, slabe, tako tako da se razmena izmedju izmedju slojeva slojeva pove´ povećane cane i smanjene smanjene gustine i okolnog okolnog vazduha kao i postojanje trenja izmedju slojeva slo jeva mogu da zanemare, proces prostiranja zvuˇcnih cnih talasa moˇze ze da se const). Na taj smatra adijabatskim adijabatskim i reverzibilnim, reverzibilnim, tj. izoentropskim izoentropskim (s (s = const) ta j naˇcin, cin, brzina brzin a prostiranja zvuˇcnih cnih talasa u elastiˇcnoj cnoj sredini odredjuje se na osnovu tzv. Laplase-ove jed j edna naˇ ˇ cine: in e: ∂p a= . (8. (8.31) ∂ρ s

  

Kako je ρ = 1/v sledi dρ =

−dv/v2, tako da je

  ∂p ∂ρ

= s

−v 2

  ∂p ∂v

.

(8. (8.32)

s

S druge strane, iz jednaˇcine cine adijabate pvk = const se posle diferenciranja dobija dp = p

−k dvv ,

129

(8. (8.33)

tako da je

    ∂p ∂v

Iz izraza (8.32) i (8.34) sledi

∂p ∂ρ

= s

−k pv .

(8. (8.34)

= kpv = kRT,

(8. (8.35)

s

tako da se posle zamene dobijenog izraza (8.35) u Laplase-ovu Laplase-ovu jednaˇcinu cinu dobija zavisnost zavisnost brzine prostiranja zvuˇcnih cnih talasa tal asa od o d parametara par ametara stanja sta nja sredine: sredin e: a=



kpv =

√

kRT.

(8. (8.36)

Vidi se da brzina prostiranja zvuka kroz idealan gas zavisi samo od temperature, tj. a = a(T ) T ), dok u sluˇ caju caju prostiranja prostiranja zvuka zvuka kroz realan gas zavisi zavisi i od pritiska, pritiska, tj. a = a( p,T ). S obzirom da se parametri stanja fluida menjaju duˇ z strujne cevi, tj. mlaznika mlaznika iz (8.36) sledi da je brzina prostiranja zvuka razliˇcita cita na razliˇcitim citim presecima mlaznika, tako da na datom preseku ima odredjenu vrednost (tzv. lokalna brzina zvuka). Znaˇ Zn aˇci, ci , krit kr itiˇ iˇcna cn a brzi br zina na wK isticanja fluida iz konvergentnog mlaznika (izraz 8.29) jednaka je lokalnoj brzini zvuka a (8.36) na izlaznom preseku mlaznika: wK = a.

(8. (8.37)

Ovom ˇcinjen cin jenico icom m se objaˇ ob jaˇsnjava snjava zbog zb og ˇcega ceg a ne moˇze ze gas da se ˇsiri sir i u konvergent konver gentnom nom mla mlazni zniku ku pk ), brzinom isticanja (na izlaznom do pritiska koji je niˇzi zi od kritiˇcnog cnog (uvek je p2 presek pre seku) u) većom com od kritiˇ kri tiˇcne cne (uvek (uve k je w wK ), tako da protok pro tok bude bud e veći ci od kritiˇ kri tiˇcnog cno g (uvek ( uvek je G GK ). Naime, neka se pritisak okolne sredine p0 = p2 smanji za ∆ p. ∆ p. Pri brzinama strujanja strujanja fluida manjim od o d kritiˇ kritiˇcne cne (tj. lokalne lokalne brzine zvuka) zvuka) ovaj ovaj poreme´ caj caj pritiska pritiska (∆ p (∆ p)) se prostire u smeru suprotnom strujanju relativnom brzinom (a (a w), tako da se uspostavlja usp ostavlja nova raspode rasp odela la pritisaka priti saka duˇz mlaznika, mlazni ka, pri p ri ˇcemu cemu pritisak priti sak p1 na ulazu u mlaznik p2 = p0 ∆ p = p2 ∆ p) p) ostaje nepromenjen a na izlazu iz mlaznika ima novu vrednost ( p manju za ∆ p od vrednosti pritiska pre nego ˇsto sto je doˇslo slo do poremećaja. ca ja. Na taj ta j naˇcin cin brzina brzina isticanj isticanjaa fluida fluida iz mla mlaznik znikaa poraste. poraste. Kada Kada se pritisa pritisak k okoln okolnee sredine sredine smanji smanji tako tako da pritisak na izlazu iz mlaznika dostigne kritiˇcnu cnu vrednost vredno st p2 = p0 = pK lokalna brzina zvuka zvuka postaje jednaka jednaka kritiˇ kritiˇcnoj cnoj brzini strujanja strujanja fluida, tj. a = wK tako da je relativna brzina prenoˇsenja senja poremećaja caja pritiska u smeru suprotnom strujanju fluida jednaka nuli a w = a wK = 0. Daljim sniˇzenjem zenjem pritiska okolne sredine ispod kritiˇcnog cnog pritiska pK poreme´ p por emećaj ca j pritiska priti ska ∆ se ne prostire duˇz mlaznika, jer je relativna brzina prenoˇsenja senja p orem or eme´ eća ca ja a = wK = 0, tako da se ne menja raspodela pritiska pritiska duˇ z mlaznika mlaznika a time ni pritisak p2 = pK na izlazu iz lazu iz mlaznika mlazn ika ni brzina b rzina isticanja koja zadrˇzava zava prethodnu pr ethodnu vrednost w = wK , jednaku lokalnoj lokalnoj brzini zvuka na izlazu iz mlaznika. mlaznika. U ovom ovom sluˇ caju caju proizilazi, proizilazi, kako se O Rejnolds slikovito izrazio, kao da fluid pri strujanju nije ”saznao” da se pritisak na izlazu, tj. okolnoj sredini, smanjio.

≥

≤

≤

− −

−

−

−

8.3. Izoentropsk Izoentropsko o proticanje proticanje fluida kroz cevi promenljiv promenljivog og preseka. preseka. Nadzvuˇcno cno isticanje. istican je. De Lavalov Lavalov mlaznik. mlaznik . U prethodnom poglavlju poglavlju (8.2) je ustanovljeno ustanovljeno da pri isticanju fluida kroz konvergen konvergentni tni mlaznik, na izlazu iz mlaznika ne moˇze ze da se postigne brzina fluidne struje ve´ ca ca od lokalne brzine brzi ne zvuka, zbog zbo g toga ˇsto sto pritisak priti sak na izlazu izlaz u iz mlaznika mlazn ika ne moˇze ze da bude niˇzi zi od kritiˇcnog, cnog , bez obzira na pritisak okolne sredine. Da bi se iskoristio celokupan pad pritiska ( p1 p0 ) i time postigla pos tigla brzina brzin a istican ist icanja ja veća ca od o d kritiˇ kr itiˇcne, cne, tj. lokalne brzine brzin e zvuka, zv uka, de Laval je predloˇ pr edloˇzio zio de Laval-o Lav al-ov v mlaznik). mlazni k). specijalni kombinovani konvergentno-divergentni mlaznik (tzv.

−

130

Dok se u najuˇ na juˇzem zem preseku prese ku mlaznika mlazn ika postiˇ pos tiˇzu zu kritiˇcne cne vrednosti vredn osti pritiska prit iska pk i brzine wK , u divergentnom diverge ntnom delu d elu de d e Laval-ovog mlaznika mlaz nika postiˇ pos tiˇze ze se pritisak priti sak ispo is pod d kritiˇ krit iˇcnog, cnog, a time tim e brzina brz ina isticanja isticanja iznad kritiˇcne, cne, tj. iznad lokalne lokalne brzine zvuka. Da bi se shvatio shvatio proces isticanja isticanja iz de Lavalov-og mlaznika neophodno je prethodno da se razmotre osnovni uslovi proticanja gasa (fluida) (fluid a) duˇz cevi (kanala) promenljivog prome nljivog popreˇ pop reˇcnog cnog preseka. prese ka. Razmotrimo Razmotrimo zavisnost zavisnost parametara gasa (fluida) i brzine fluidne struje od popreˇ cnog cnog preseka kanala. Na osnov osnovu u zakona zakona odrˇ zanja zanja mase mase fluidne fluidne struje, struje, koji go govo vori ri o tome tome da je maseni maseni const), sledi jedn ed naˇ cina protok kroz bilo koji presek strujne cevi jednak (G (G = dm/dt = const) kontinuiteta za stacionarno proticanje fluida: Aw = const.. v

G = ρAw =

(8. (8.38)

je dnaˇ aˇ cina ci na konkon Diferenciranjem jednaˇcine cine kontinuiteta kontinuiteta (8.38), posle sredjivanja se dobija jedn tinuiteta u diferencijalnom obliku: dA dw + A w

− dvv = 0.

(8. (8.39)

U sluˇcaju caju proticanja fluida bez trenja (δl tr = 0), 0), kada fluidna fluidn a struja ne vrˇsi si tehniˇcki cki rad (δl kz = 0) i kada nema visinske razlike duˇz strujne cevi (dz = 0) iz jednaˇcine cine (2.71), sledi vdp + wdw = 0 tako da je dw v dp. = (8. (8.40) w w2

−

S druge strane, u sluˇcaju caju izoentropskog proticanja (s =const) =const ) vaˇzi zi relaci r elacija ja (8.33) ( 8.33),, tako ta ko da je dv 1 dp . = (8. (8.41) v k p

−

Smenom relacija relacija (8.40) i (8.41) u jednaˇ jednaˇcinu cinu kontinu kontinuiteta iteta u diferencijalnom diferencijalnom obliku (8.39) dobija se dA v 1 1 kpv dp = = 1 dp. (8. (8.42) A w2 kp kp w 2



S obzirom da je (izraz 8.36) a =

−





 −

√kpv iz poslednjeg izraza (8.42) sledi dA 1 = A kp

  −  a w

2

1 dp.

(8. (8.43)

Kako je osnovni kriterijum stiˇsljivosti sljivosti gasa, tzv. Mahov broj (M), jednak odnosu brzine strujanja fluida (w (w) prema lokalnoj brzini zvuka (a (a) : M =

w , a

(8. (8.44)

izraz izr az (8.43) (8. 43) moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u slede´ sle dećem cem obliku obl iku:: dA 1 1 = ( A kp M 2 131

− 1)dp. 1)dp.

(8. (8.45)

Ukoliko se u prethodni izraz (8.45) zameni izraz za promenu pritiska dp = wdw/v dobija dA) s promenom brzine (dw se jednaˇcina cina koja koj a povezuje veliˇcine cine promene promen e preseka prese ka kanala (dA) (dw)) fluidne struje i Mahovim brojem (M (M )) :

−

dA = (M 2 A

− 1) dw . w

(8. (8.46)

jed naˇ cine ci ne profi pr ofila, la, sledi analiza isticanja fluida u zavisIz jednaˇcina cina (8.45) i (8.46), tzv. jednaˇ w/a) nosti od brzine strujanja u odnosu na lokalnu brzinu zvuka (tj. Mahovog broja M = w/a) kao i od oblika cevi (dA (dA  0) : a), povećanje 1. U sluˇcaju ca ju strujanja struja nja nestiˇsljivog sljivog fluida (teˇcnosti) cnost i) (M = 0, w can je brzine brz ine isticanja (dw (dw > 0) i pad pritiska (dp (dp < 0) postiˇze ze u cevi koja se suˇzava zava u pravcu strujanja (dA (dA < 0), 0), tj. u konvergentnom mlazniku i obrnuto. 2. U sluˇcaju caju kada je M < 1, tj. w < a, (sluˇcaj ca j dozvuˇcnog cnog strujanja, tj. isticanja) povećanje canje brzine brzin e isticanja istica nja (dw > 0) i pad pritiska (dp (dp < 0) se javlja kod cevi koje se suˇzava zava ju u pravcu strujanja (dA < 0), 0), tj. u konverg konvergentno entnom m mlazniku. mlazniku. Opadanje Opadanje brzine (dw (dw < 0) i porast pritiska (dp (dp > 0), 0), u sluˇcaju ca ju dozvuˇ doz vuˇcnog cno g istica ist icanja nja (M < 1) javlja se u cevima c evima koje ko je se ˇsire u pravcu pr avcu strujanja (dA > 0), 0), tj. divergiraju, i nazivaju difuzori. se 3. U sluˇcaju ca ju kada je M > 1, tj. w > a, (sluˇ (sl uˇcaj ca j nadzvuˇ nad zvuˇcnog cno g struja str ujanja nja)) povećanje can je brzine brz ine i sniˇzenje zenje pritiska priti ska (dw > 0, dp < 0) se postiˇze ze u difuzoru (dA > 0). 0). Opadanje brzine i rast pritiska (dw (dw < 0,dp > 0), 0), pri nadzvuˇcnom cnom isticanju (M > 1) se postiˇze ze u mlazniku (dA (dA < 0). 0). Znaˇ Znaˇci, ci, u zavisnosti zavisnosti od toga da li je isticanje isticanje s dozvuˇ dozvuˇcnom cnom ili nadzvuˇcnom cnom brzinom ista cev (kanal) moˇze ze da bude mlaznik ili difuzor. 4. U sluˇcaju ca ju kada je M = 1 tj. w = a, fluidna struja je vrlo osetljiva na promenu preseka cevi, jer je imenilac desnog dela izraza (pogledati 8.46)



dw = w

− (1 −dA M 2 )A

vrlo mali. Na osnovu ranije analize (sluˇcaj caj pod p od 2 i 3) sledi, sle di, da bi se brzina brz ina fluidne struje neprek nep rekidn idnoo povećavala cavala od nule do nadzvuˇ nad zvuˇcnih cni h brzina brz ina cev mora mor a da d a se s e u poˇcetku cet ku suˇzava zava (dozvuˇ (do zvuˇcno cno struja str ujanje nje)) a zatim zat im ˇsiri sir i (nad ( nadzvuˇ zvuˇcno cno struje str ujenje nje). ). Na taj ta j naˇ n aˇcin, cin , u najuˇ na juˇzem zem delu del u cevi, tzv. kritiˇcnom cnom preseku, prese ku, postiˇ pos tiˇze ze se s e kritiˇ kr itiˇcna cna brzina, brzin a, koja je jednaka je dnaka lokalno lo kalnojj brzini br zini zvuka w = wK = a, tako da je M = 1. Obrnuto ne vaˇ vaˇzi, zi, tj. u najuˇ na juˇzem zem preseku ne mora da bude M = 1. Iz jednaˇcine cine (8.46) (8.46 ) sledi da u sluˇcaju ca ju kada je M = 1 u najuˇ na juˇzem ze m preseku je dw = 0, ˇsto sto znaˇci ci da je brzina b rzina dostigla dosti gla maksimum ili minimum, zavisno od toga da li je kretanje kreta nje dozvuˇcno cno ili nadzvuˇ nadzv uˇcno. cno.

132

.

Slika 8.5.

Slika 8.6.

Iz prethodn preth odnee analiz a nalizee posta p osta je jasno kako moˇze ze praktiˇ prakt iˇcno cno da se fluid ubrza do nadzvuˇ nadzv uˇccnih brzina, br zina, kada je prethodno pretho dno na n a izlazu konvergentnog konvergentnog mlaznika (na juˇzem zem preseku) preseku ) postigp ostignuta kritiˇcna cna brzina, jednaka lokalnoj lokalno j brzini zvuka wK = a. Naime, potrebno je da se iza kritiˇcnog cnog preseka prese ka kanal dalje ˇsiri siri (divergira), (diverg ira), tako da se ispunjavaju ispun javaju uslovi za dalje povećacanje brzine, tj. nadzvuˇ nadzvuˇcno cno strujenje strujenje (sluˇ (sluˇcaj caj pod 3 iz gornje analize). Kao ˇsto sto je ranije pomenuto, taka ta kav v kombinovani kombinovani konvergentno-divergentnikonvergentno-divergentni- tzv. de Lavalov Lavalov mlaznik omogućava cava da se iskoristi celokupan pad pritiska ( p1 p0 ) od pritiska p1 na ulazu u mlaznik do pk . Na slici 8.5 prikazana je ˇsema pritiska okolne sredine p0 sema de Lav Lavalovog alovog mlaznika sa dijagramom zavisnosti brzine strujanja (w (w) i lokalne brzine zvuka (a (a) od poloˇ pol oˇzaja za ja (l) duˇz mlaznika. Brzina strujanja i maseni protok idealnog fluida, za dati izlazni presek, odredjuje se na osnovu osnovu izraza (8.15) i (8.19), respektivno. Maksimalni Maksimalni maseni protok fluida Gmax = GK odredjen odr edjen je povrˇsinom sinom preseka prese ka na juˇzeg zeg dela de Lavalovog mlaznika mla znika A2 = Amin , na mestu prelaza iz konverg konvergentno entnogg u divergentn divergentnii deo mlaznika, mlaznika, i izraˇ cunava cunava se na osnovu osnovu izraza (8.26). (8.26). Za dati protok protok G povrˇsina sina minimalnog minima lnog preseka prese ka mlaznika mla znika Amin moˇze ze da se odredi odr edi na osnovu izraza (8.17) i (8.19), tj. na osnovu izraza

−

≤

Amin =

Gmin . a

(8. (8.47)

Povrˇ Povrˇsina sina popreˇcnog cnog preseka na izlazu iz mlaznika Amax odredjuje se na osnovu izraza (8.15) i (8.17) tj, na osnovu izraza Amax =

Gv2 , w

(8. (8.48)

gde je u sluˇcaju ca ju idealnog gasa v2 = ( p1 /p2 )1/k v1 . adijabatskog og isticanja isticanja s trenjem trenjem,, proces viˇ U sluˇ sl uˇca ca ju adijabatsk viˇse se nije nepovratan nepovratan a time ni izoentropski, tako da entropija raste (∆s (∆s > 0). 0). Zbog toga promena entalpije nije viˇse se jednaka jedn aka duˇzini zini izoentrop izo entropee (1 2 ), tj. i1 i2 već i1 i2 < i1 i2 (slika 8.6), tako da je shodno izrazu (8.4) brizna isticanja s trenjem (w (w2 ) manja od brine izoentropskog isticanja (w2 ), tj. w2 < w2 .

−





−





133

−

−



Primer 8.1 U sluˇcaju caju izoentropskog isticanja isti canja idealnog dvoatomskog d voatomskog gasa ga sa (vazduh ( vazduha) a) iz i z konvergentnog konvergentn og mlaznik m laznika a odrediti odrediti kritiˇcnu cnu temperaturu T K kao i kritiˇcnu cnu brzinu wK . Tem0 peratura gasa na ulazu u mlaznik iznosi t1 = 100 C. Uzeti da je R = 287J/K. 287J/K. reˇ senje: U sluˇ caju caju izoentropskog izoentropskog (i adijabatskog) adijabatskog) isticanja parametri parametri stanja p1 , T 1 i pK , T K zadovoljava zadov oljavaju ju jednaˇcinu cinu adijabate: adija bate: k/( k/(k−1)

k/( k/(k−1)

pK T K odnosno pK = p1

= p1 T 1 k/( k/(k−1)

  T 1 T K

T K T 1

pK = ψK = p1

P 8.1.1) (P 8

k/( k/(k−1)

    =

Iz relacije (8.23), tj.

= const,

P 8.1.2) (P 8

k/( k/(k−1)

2 k+1

,

P 8.1.3) (P 8

i izraza (P8.1.2) sledi (8.28) T K =

2 2 T 1 = K = 310, 373K 373 310, 8K. k+1 1, 40 + 1

·

Na osnovu izraza (8.29) sledi wK =



kRT K =



1, 40 287 310, 310, 8 = 353, 353, 4m/s.

·

·

Primer 8.2. Dvoatomski gas, ˇcija cija je gasna konstanta R = 296, 296, 9 kgJ K , na ulazu u konvergentni mlaznik ima parametre p1 = 6.4 MPa i T 1 = 300K. 30 0K. Iz mlaznika gas istiˇce ce u sredinu pritiska ps = 0.1M Pa. Preˇcnik cnik izlaznog otvora mlaznika je D2 = 5mm. 5mm. Odredit Odreditii brzinu w2 struje gasa na izlazu iz mlaznika, kao i maseni protok G gasa. reˇ senje: Odnos Odn os izmedju i zmedju kritiˇ kri tiˇcnog cnog priti pr itiska ska pk i pritiska p pritiska p1 na ulazu u mlaznik je (8.22) pκ Ψκ = = p1 gde je κ =

cp cv

  2 κ+1

κ κ−1

= 0, 528 528,,

= 1, 40, 40, pa je pκ = 0, 528 p1 = 3, 379 379 MPa MPa.

Obzirom da gas istiˇ ce ce u sredinu sredinu pritiska ps = 0, 1 MPa manjeg man jeg od kritiˇ kri tiˇcnog cnog ( ps < pκ ), na izlazu iz mlaznika se uspostavlja pritisak p2 jednak jedn ak krit kr itiˇ iˇcnom cn om p2 = pκ = 3, 379MPa. 379MPa. Brzina struje gasa w2 na izlazu iz mlaznika jednaka jednaka je kritiˇ cnoj cnoj brzini wκ (8.24) w2 = wk =



κ p1 v1 = 2 κ+1 134

 2

κ RT 1 = 322m/s, κ+1

tako da je maseni protok G jednak maksimalnom protoku Gm (8.26) G = Gm = A2



κ p1 2 κ + 1 v1

 

= A2 (

2 ) k− k+1

2 κ+1

2

κ−1

1

= A2

· p1

1



κ 1 2 κ + 1 RT 1



  2 κ+1

2

κ−1

=

2k 1 k + 1 RT 1

·

S obzirom da je povrˇ povrˇsina sina izlaznog presek p reseka a mlaznika πD 22 A2 = = 19, 19, 635mm2 4 maseni protok iznosi G = 0, 288kg/s. 288kg/s.

Primer 8.3 Vazduh pod pritiskom 2 MPa i na temperaturi 300 0 C istiˇ ist iˇce ce kroz pravilno pravi lno dimenzionisa dimenzionisan n de Lavalov mlaznik u okolinu pritiska 0,1 MPa. Maseni protok protok vazduha je 10 kg/s. Odrediti: a) kritiˇcan can pritisak, pritis ak, specifiˇ specifiˇcnu cnu zapreminu i brzinu; b) minimalan minimalan presek presek mlaznika mlaznika i c) brzinu brzinu i prese presekk na izlazu iz mlaznika. mlaznika. reˇ senje: a) Kako za dvoatomsk dvoatomskii gas (vazduh) (vazduh) odnos odnos kritiˇ kritiˇcnog cnog pritiska pritiska i pritiska pritiska na ulazu u mlaznik iznosi (8.22) pκ Ψκ = = p1 kritiˇ kri tiˇcan can pritis pri tisak ak je

  2 κ+1

κ κ−1

= 0, 528 528,,

pκ = Ψκ p1 = 0, 528 2M P a = 1, 056MPa. 056MPa.

·

Specifiˇ Specifiˇcna cna zapremina na ulazu u mlazni m laznikk je

RT 1 m3 v1 = . = 0, 082 p1 kg Obzirom da vazduh adijabatski istiˇce ce iz mlaznika, sledi p1 v1κ = pκ vκκ = const, const, odnosno

1

1

v1 p1κ = vκ pκκ = const, const, odakle odakl e je kritiˇ kri tiˇcna cna vrednost specifiˇcne cne zapremin zap reminee (8.27) (8. 27) vκ = v1

  p1 pκ

1

κ

= 0, 1295m3 /kg. kg.

135

Kritiˇcna cna brzina vazduˇsne sne struje iznosi (8.24) (8.24 ) wκ =



κ p1 v1 = 2 κ+1

 2

κ RT 1 = 438m/s. 438m/s. κ+1

b) Obzir Obzirom om da je maseni maseni protok protok G G povezan s presekom mlaznika A, specifiˇ specifi ˇcnom cn om zaprem za premiinom v i brzinom w struje gasa relacijom (8.38) Aw , v

G= sledi da minimalan presek mlaznika iznosi Amin =

Gmax vκ G2 vκ = = 2957mm2 . wκ wκ

c) Na izlazu izlazu iz mlaznika mlaznika brzina brzina struje struje vazduha vazduha je

w2 =

     − − 2

κ

κ

p2 p1

p1 v1 1 1

κ−1 κ

= 698, 698, 4m/s, 4m/s,

specifiˇ speci fiˇcna cn a zaprem za premin ina a

 p1 p2

v2 = v1 i presek mlaznika A2 =

1

κ

= 0, 697m3 kg

G2 v2 = 9980mm2 . w2

Primer Primer 8.4 Kroz pravilno dimenzionisan kovergentno-divergentni (de Lavalov) mlaznik protiˇ protiˇce ce 0,080 kg/s pregrejane pregrejane vodene pare pare na pritisku 6 105 P a i temperaturi temperaturi 2600 C u okolnu sredinu pritiska 0, 5 105 P a. Odrediti: a) Kritiˇcan can pritisak priti sak i kritiˇcnu cnu brzinu; b) teorijsk teorijsku u brzinu isticanja isticanja iz mlaznika i c) presek najuˇzeg zeg dala mlaznika kao i izlazni presek.

·

·

reˇ senje: a) Kako je eksponent eksponent adijabate adijabate k= 1,30 sledi sledi da je kritiˇ kritiˇcan can odnos odnos pritiska pritiska (8.22) ψK =

  2

k

k/( k/(k−1)

= 0, 564 564,,

−1

tako da kritiˇcan can pritisak priti sak iznosi pK = ψK p1 = 0, 564 6 105 P a = 3, 384 P a. 384P

·

· ·

136

Iz i,s-dijagr i,s-dijagrama ama (ili tablica) tablica) za pre pregerjanu gerjanu vodenu vodenu paru nalaze se poˇ poˇcetni cetni para parametri metri pare: za p za p1 = 6 105 P a = 6bara i t i t1 = 2600 C sledi v sledi v1 = 0, 4022 m3 /kg,i1 = 2975kJ/kg 4022m 2975kJ/kg i s1 = 7, 215 kJ/kgK. Kritiˇcna cna brzina iznosi (8.24) 215kJ/kgK.

·

wK =





k p1 v1 = 2 k+1

2

1, 3 6 105 0, 4022 = 522m/s. 522m/s. 1, 3 + 1

· ·

·

b) Teorijska orijska brzina brzina isticanja isticanja iz mlaznika mlaznika odre odredjuje djuje se na osnovu izraza izraza (8.4) uzimaju´ uzimaju´ ci ci da je w1 0 2(i1 i2 ) = 44, 44, 72 i1 i2 , w2 = 2(i

≈



√ −

−

gde se vrednosti za entalpiju (i) uzimaju uzimaju u kJ/kg. kJ/kg. Kako je (teorijsk (teorijski) i) pro proces ces isticanja isticanja kroz mlaznik izoentropski (adijabatski) krajnji parametri pare nalaze se na osnovu preseka izoentrope izoentrope s1 = s2 = 7, 215 izobaree p2 = 0, 5 1065 215kJ/kgK 1065P kJ/kgK = const i izobar Pa = i,s-dijagramu). amu). Tako se dobija da je i2 = 2515kJ/kg 0, 5bara = const (u i,s-dijagr 2515kJ/kg kao i da je stepen st epen suvo´ su voće ce pare x = 0, 943 sto znaˇci ci da je para na n a izlazu izl azu iz mlazni mla znika ka vlaˇzna. zna . Sledi, 943,, ˇsto

·

w2 = 44, 44, 72

√ · √i1 − i2 = 44, 44, 72 2975 − 2515 = 959m/s. 959m/s.

Ukoliko se uzme u obzir gubitak kinetiˇ cke cke energije energije zbog zbog trenja stvarna brzina isticanja je manja od teorijske. c) Povrˇ sina sina preseka najuˇ na juˇ zeg zeg dela d ela de Laval-ovog Laval-ovog mlaznika oderedjuj oderedjujee se na osnovu izraza Amin =

GK vK wK

·

gde je na osnovu (8.27) kritiˇcna cna vrednost vrednost specifiˇ specifiˇcne cne zapremine vK = v1

  p1 pK

1/k

= 0, 4022

Dobija se

1/1,3

·  6 3, 384

0, 080 0, 625 = 9, 58 10 522 Povrˇ sina sina preseka izlaznog dela mlaznika iznosi

·

Amin =

A2 =

−

·

m3 /kg. = 0, 625 625m

5

G v2 0, 080 2, 72 = = 2, 27 10 w2 959

·

·

·

m2

4

−

≈ 96mm 96mm2 .

m2

mm2 , 227mm ≈ 227

gde je specifiˇ specifiˇ cna cna zapremina na izlazu iz mlaznika v2 = v1

1/k

 p1 p2

= 0, 4022

137

1/1,3

·  6 0, 5

= 2, 72m 72m3 /kg.

9. PROCESI PROCESI U KOMPRESORIMA KOMPRESORIMA Kompresori su maˇsine sine koje, koriste´ ci ci energiju pogonskog motora, komprimuju (sabi jaju) vazduh azduh ili neki drugi gas pri ˇcemu cemu se oslobad oslobadja ja toplota, toplota, za razliku razliku od pogonskih pogonskih toplotnih motora kod kojih se na raˇcun cun uloˇzene zene toplotne energije vrˇsi si ekspanzija radnog tela i time dobija mehaniˇcki cki rad. Kompresori Kompresori se ˇsiroko siroko primenjuju primenjuju u mnogim oblastima tehnike. tehnike. Osnovni Osnovni su elementi elementi gasnih turbina, turbin a, vazduˇsnih snih reaktivnih motora i kompresionih uredja ja za hladjenje. hla djenje. Sabijen vazduh iz kompresora koristi se kod pneumatskih pneu matskih motora i drugih radnih maˇsina sina (pumpe, (pump e, testere, teste re, ˇceki´ cekići ci itd.), itd.) , kod motora motor a unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja, sagor evanja, za koˇ cnice cnic e transpo tran sportnih rtnih vozila, u pneumatskom transportu rasutih materijala, itd. Po principu rada i konstrukcionim karakteristikama klasifikuju se na zapreminske kompresore (kompresori (kompre sori statiˇckog ckog sabijanja) sabija nja) i kompresore sa lopaticama (kompresori dinamiˇ din amiˇckog ckog sabija sab ijanja nja). ). Kod zapreminskih kompresora pove p ove´ćanje canje pritiska ostvaruje se smanjenjem radne rad ne zapremine: a) translatorno-osc translatorno-oscilatorni ilatornim m kretanjem pregrade (klipa) i b) rotacionim kretanjem kret anjem ekscentriˇcno cno postavljenog p ostavljenog rotora u odnosu od nosu na geometrijsku osu radnog cilindra. Zapreminski kompresori se dele na klipne i rotacione kompresore. Kod kompresora sa lopaticama radnom telu se saopˇstava stava velika brzina a zatim z atim se njegova kinetiˇcka cka energija energi ja transform tra nsformiˇ iˇse se u poten p otencijalnu cijalnu energ e nergiju iju (energija (en ergija pritiska). prit iska). Kompresori Kompre sori sa lopaticama se dele na centrifugalne (turbo-kompreso (turbo-kompresore) re) i aksijalne kompresore. Mada se statiˇ statiˇcki cki i dinamiˇ dinamiˇcki cki kom kompresori presori razlikuju razlikuju po principu rada i po konstrukkonstrukcionim karakteristikama, karakteristikama, sa stanoviˇ stanoviˇsta sta termodinamike, procesi koji se u njima deˇsavaju savaju su analogni. Da bi se stekla saznanja o procesima u kompresorima dovoljno je da se prouˇce ce procesi pro cesi u na jjednostavn jjednostavnijim ijim i na jrasprostranje jrasprostranjenijim nijim klipnim kompresori kompresorima. ma. Prema broju stepeni sabijanja sabijanja kom kompresori presori (a time i klipni kompresori) kompresori) dele se na jednostepene jednostepene i viˇ viˇsestepene sestepene sa medjustepenim hladjenjem. 9.1. Procesi u jednostepenom jednostepenom klipnom klipnom kompresoru kompresoru Analiza procesa sabijanja kod klipnih kompresora izvodi se na osnovu tzv. indikatorskog dijagrama, (slika 9.1c) koji prikazuje zavisnost veliˇ cine cine pritiska u cilindru kompresora od o d veliˇ veliˇcine cine zapremine gasa u cilindru, cilindru, odnosno hoda klipa u cilindru. cilindru. Indikatorski Indikatorski dijagram se zapisuje pomoću cu tzv. dinamometriˇckog ckog indikatora ind ikatora spo jenog za cilindar komprsora. Princi Pri ncipij pijeln elnaa ˇsema sema realnog jednostepenog klipnog kompresora (cilindra sa klipom) pom) i njego njegov v indik indikatr atros oski ki dija dijagra gram m prik prikaza azani ni su na slic slicii 9.1a 9.1a i c. Klip Klip (K) (K) u cilind cilindru ru (C) vrˇsi si translatorno tra nslatorno oscilatorno kretanje. Pri kretanju klipa od o d krajnjeg levog poloˇ p oloˇzaja zaja spoljnja mrtva taˇcka cka (SMT), otvara se usisni ventil (UV) i u cilindar se usisava vazduh. U krajnje kra jnje desnom poloˇzaju za ju klipa zatvara se usisni ventil i time se zavrˇ zavrˇsava sava proces usisavanja usisavanja (proces 4 1 na indik indikatorsk atorskom om dijagram dijagramu u slik slika 9.1 9.1c). c). Pri kretanju kretanju klipa s desna desna na levo, levo, pri ˇcemu cemu su oba ventila-us ventila-usisni isni (UV) i izduvni ventil (IV) zatvoreni, zatvoreni, gas se sabija do odgovarajućeg ceg pritiska, većeg ceg od pritiska u rezervoaru gde se gas odvodi (proces 1 2 na slici slici 9.1c). 9.1c). Zatim Zatim se otvara otvara izduvni izduvni vent ventil il i sabije sabijeni ni gas se izduv izduvava ava iz cilindra cilindra i odvodi odvodi u odgov odg ovara araju´ jući ci rezervoar. reze rvoar. Proces Pro ces izduvav izd uvavanja anja (2 3 na slici 9.1c) je zavrˇ zavrˇsen sen kada klip dodje u krajnje levi poloˇzaj. zaj. Proces u kom kompresoru presoru se potom ponavlja. ponavlja. Jasno je da se u sluˇcaju caju rada kompresora ne moˇze ze govoriti o ciklusu jer nema termodinamaiˇ inama iˇcke cke zatvoren z atvorenosti osti procesa; pro cesa; radno radn o telo t elo ne dostiˇze ze svoje svoj e poˇ p oˇcetne cetn e parame p arametre; tre; u cilind c ilindar ar se usisava nova koliˇ kol iˇcina cina gasa. Kod realnog realnog klipnog klipnog kompr kompreso esora ra klip klip ne dolazi dolazi do poklopca poklopca cilindr cilindra, a, ve´ već samo samo do

→

→

→

138

spoljnje spo ljnje mrtve taˇcke cke (SMT), (SMT) , jer bi u suprotnom supro tnom doˇslo slo do oˇste´ stećenja cenja ventila. Na taj ta j naˇcin cin jedan deo zapremine (V (V 0 ) cilindra cilin dra je neiskoriˇs´ sćen-tzv. cen-t zv. ˇstetni stetni prostor. prost or. Zapremina Zapre mina cilindra cilin dra izmedju SMT i UMT naziva se radna zapremina (V (V h ) cilindra kompresora.

Slika 9.1

Obiˇ Ob iˇcno je V 0 = (0. (0.04 0.10)V 10)V h . Znaˇci ci u proces pro cesu u izduvavanja iz duvavanja 2 3 jedan deo gasa se ne istiskuje iz cilindra ve´ c osta je u ˇskodljivom skodljivom prostoru. Pri kretanju klipa u suprotnom smeru, posle zatvaranja ventila, zaostali gas u cilindru se ˇsiri siri a pritisak mu opada do pritiska okolne sredine (proces 3 4). 4). Posle otvaranja o tvaranja usisnog ventila u cilindar se usisava usisava nova nova koliˇ cina cina gasa. gasa. Procesi Procesi usisa usisav vanja i izduv izduvavanj avanjaa gasa gasa ne odvijaju odvijaju se pri konst konstan antnim tnim pritiscim pritiscima. a. Pri usisav usisavanju pritisak pritisak u cilindru se menja i niˇ zi zi je od pritiska pritiska okolne okolne sredine, sredine, pA < p4 , a pri izduvavanju pritisak pB u najviˇ na jviˇ soj soj taˇcki cki je, na primer za 5 20% viˇsi si od pritiska prit iska p3 po zavrˇ zavrˇsetku setku procesa izduvav izduvavanja. anja. Pri teorijskoj teorijskoj analizi rada realnog jednostepenog kompresora zanemeruju se varijacije pritiska pri usisavanju i izduvavanju gasa i smatra se da su odgovaraju´ odgovarajući ci procesi izobarni. Idealni indikatorski indikatorski dijagram dijagram realnog jednostepenog kompresora prikazan je na slici 9.1b. Medjutim, s obzirom da je veliˇ cina cina ˇstetnog stetnog prostora (V 0 ) zanemarlj zane marljiva iva u odnosu odn osu na veliˇcinu cinu radnog ra dnog prosto p rostora ra (V (V h ), u daljem dalje m tekstu razmotri´ razmo trićemo cemo rad idealnog ide alnog jednostepenog jedno stepenog klipnog kompresora (bez ˇstetnog stetnog prostora pr ostora i varijacije pritiska p ritiska pri usisavanju i izduvavanju). idealnog jednostepenog jednostepenog klipnog klipnog kompresora kompresora (cilindar sa kliPrinci Pri ncipij pijeln elnaa ˇsema sema idealnog pom) i njegov idealni indikatorski dijagram prikazan je na slici 9.1d i e. Osnovni Osnovni zadatak termodinamiˇ termodinamiˇ cke cke analize procesa sabijanje sabijanje gasa u kom kompresoru presoru je odredjivanje rada Lk koji se troˇ troˇsi si na sabijanje. sabijanje. Ukupan rad Lk tokom procesa sabijanja gasa u kompresoru (4 1 2 3) jednak je algebarskom zbiru rada tokom procesa V V usisavanja L4 1 = p1 V 1 , rada tokom procesa sabijanja L1 2 = V pdV i rada na izduvavanju gasa L2 3 = p2 (V 3 V 2 ) = p2 V 2 :

−

→

→

−

→ → →

→

→

→

−

−



2

1

V 2

Lk = p1 V 1

− p2 V 2 +



pdV.

V 1

Kako je pdV = d( pV ) pV ) 139

− V dp

(9. (9.1)

sledi

V 2



p2

pdV = p2 V 2

V 1

 −

− p1 V 1

V dp,

(9. (9.2)

p1

tako da se zamenom (9.2) u (9.1) dobija vrednost rada koji je potreban za radni proces kompresora p2

Lk =

 −

V dp.

(9. (9.3)

p1

cki cki rad kompresora kompresor a i predstavljen Rad Lk se naziva naziva tehniˇ pred stavljen je ˇsrafiranom srafir anom povrˇsinom sinom 4 1 2 3 na slici (9.1e). Speci Sp ecifiˇ fiˇ can can tehniˇ tehn iˇ cki cki rad kompreso kompr esora ra iznosi izn osi

→ → →

Lk lk = = m

p2

 −

vdp,

(9. (9.4)

p1

gde je m-masa gasa koji se sabija u toku jednog radnog procesa. Teorijska eorijs ka vrednost vrednos t specifiˇ spe cifiˇ cne cne snage potrebne za rad kompresora iznosi p =

dLk dm , = lk dt dt

(9. (9.5)

apacitet kompresor kompresora a (ˇcija gde je dm cija je vrednost vrednost na primer: kod klipnih i dt maseni kapacitet 3 rotacionih kompresora 10m 10m /s, kod centrifugalnih kompresora 70m 70m3 /s, a kod aksijalnih /s). kompresora 250m 250m3 /s) Kompresor je efikasniji i ekonomiˇ cniji cniji ukoliko je rad kompresora Lk manji. Zavisno od brzine procesa sabijanja gasa kao i kvaliteta toplotne izolacije ili pak kvaliteta kvaliteta hladjenja cilindra kompresora, kompresora, proces sabijanja sabijanja moˇ ze ze da se odvija po izotermi izotermi (1 2), 2), politropi (1 2 ) ili adijabati (1 2 ) (pri (prik kazan azan na slic slicii 9.2. 9.2. u p,vp,v- i T, s-dijagramu) Jasno je da izotermni izotermni proces sabijanja sabijanja u kom kompresoru presoru moˇze ze da se ostvari ostvari ukoliko ukoliko se cilindar nalazi u termostatu stalne temperature T 1 , odnosno u praksi, ukoliko se ostvari kvalitetno hladjenje cilindra kompresora i vrˇsi si spora kompresija. Ukoliko se proces sabijanja odvija dovoljno brzo a cilindar je idealno toplotno izolovan, takav takav proces će ce da bude adijabats adijabatski. ki. Realni Realni proces proces sabijan sabijanja ja se odvija odvija po politropi politropi s k ). eksponentom n (1 < n < k) Specifiˇcni cni tehniˇcki cki rad kompresora izraˇcunava cunava se na osnovu izraza (9.3) metodom raˇcunske cun ske integra inte gracij cijee povrˇ pov rˇsine sin e 1 2 3 4 realnog indikatorskog dijagrama. Medjutim, s obzirom da je najve´ ci ci pritisak gasa kod jednostepenog jednostepenog kom kompresora presora p2 = (1 2)MPa, 2)MPa, s dovoljno dovol jnom m taˇcnoˇ cnoˇs´ sću cu moˇze ze da se primen pri menii jednaˇ jed naˇcina cin a stanja sta nja idealn ide alnog og gasa gas a za odred od redjivan jivanje je p T RT p). Uzima jući zavisnosti v = v ( p) ci u obzir o bzir da je u sluˇcaju ca ju izoter i zotermnog mnog procesa pro cesa v = p = p ,

→

→



→



→ → →

÷

1

u sluˇcaju ca ju adijabatskog procesa v =

1

1

1

1

p1k

p1n

1

p k

· v1, i u sluˇcaju · v1, ca ju politropnog politropn og procesa v = p 1

n

zamenom odgovarajućeg ceg izraza za specifiˇcnu cnu zapreminu za preminu u izraz (9.4) dobijaju dobija ju se izrazi za speci sp ecifiˇ fiˇcan can tehniˇ teh niˇcki cki rad kompres komp resora ora.. caju ca ju izotermnog izoter mnog sabijanja sabijan ja je Speci Sp ecifiˇ fiˇcan can tehniˇ teh niˇcki cki rad kompres komp resora ora u sluˇ p2

lk =

 −

p1

p2

vdp =

 −

p1

RT 1

dp = p

140

−RT 1 ln p p21 = −RT 1 ln vv12 ,

(9. (9.6)

caju ca ju adijabatskog adijabat skog sabijanja sabijan ja je u sluˇ v2

lk =

 −

vdp =

v1

k

k

k

− 1 ( p1 v1 − p2v2 ) = k − 1 p1v1

=

− k −k 1 RT 1

  p2 p1

k−1 k



−1

k−1 k

   − 1

p2 p1

=

,

(9. (9.7)

caju ca ju politropno pol itropnog g sabijanja sabijan ja i u sluˇ lk =

n

n

− 1 ( p1v1 − p2 v2 ) = n =

n

− n − 1 RT 1

n−1 n

   − −    − n

p2 p1

p1 v1 1 1

p2 p1

=

n n−1

1 .

(9. (9.8)

Analizom izraza (9.6), (9.7) i (9.8) pokazuje se da je specifiˇcni cni tehniˇcki cki rad pri izotermnom sabija sab ijanju nju najma na jmanji nji (ˇsrafira sra firana na povrˇ pov rˇsina sin a ograniˇ ogr aniˇcena cen a krivom kri vom 4 1 2 3 na slici 9.2).

→ → →

Slika 9.2.

Koliˇ Koliˇcina cina toplote koja se oslobadja oslobadja u toku politropnog procesa sabijanja sabijanja iznosi q1

2

−

= cV

n n

− k (T 2 − T 1). −1

(9. (9.9)

9.2. Procesi u viˇ sestepenom sestepenom klipnom kompresoru sa medjustepenim hladjenjem U tehnici ima potrebe potreb e za koriˇ koriˇs´ scenjem cénjem gasova gasova ˇciji ciji su pritisci do 100 MPa. Medjutim, kako je ranije pomenuto, pritisak sabijenog gasa u jednostepenom kompresoru ne prelazi vrednost od p2 = (1 2)MPa. Pri viˇsim sim pritiscima pr itiscima ( p2 > 2M P a) ˇcak ca k i pri pr i savrˇ sav rˇseno se nom m hladjenj hladjenju, u, temperat temperatura ura (T 2 ) gasa gasa na kraju procesa procesa sabijan sabijanja ja bila bi vrlo vrlo visok visokaa ˇsto sto bi dovelo dovelo do samozapaljenj samozapaljenja a ulja za podmaziv p odmazivanje anje a time i havarije havarije kompresora. kompresora. Zbog toga se za viˇse se pritiske prit iske koriste viˇsestepen seste penii klipni klipn i turbokompres turb okompresori. ori. Viˇsestepeni sestep eni kompresor kompreso r ˇcine cine dva dva ili viˇ viˇse se redno vezana jednostepena jednostepena kom kompresora. presora. Sabijeni Sabijeni gas iz prvog kompresora kompresora se hladi u posebn p osebnom om razmenjivaˇ razme njivaˇcu cu toplote toplo te pre ulaza u sledeći ci stepen step en viˇsestepenog sestep enog kompresora kompres ora itd. Efikasnim Efikasnim hladjenjem u razmenjiv razmenjivaˇ aˇcu cu temperatura gasa se snizi do temperature koju je imao gas na ulazu u prethodni stepen viˇsestepenog sestepenog kompresora.

÷

141

Principijelna ˇsema sema i odgovarajući ci idealni dijgram trostepenog idealnog klipnog kompresora sa medjustepenim hladjenjem prikazani su na slici 9.3.

Slika 9.3.

U prvom stepenu kompresora (I) gas se usisava pri izobarnom procesu 0 1, sabija pri , A politropnom procesu 1 2 zatim izduvava pri izobarnom procesu 2 u razm ra zmen enji jivaˇ vaˇc toplote (R (RI ). Gas koji je u razmenjiv razmenjivaˇ aˇcu cu ohladjen ohladjen do poˇcetne cetne temperature (T 1 ) usisava se drugi stepen kompresora (II) (proces A 3), 3), sabija (proces 3 4) i izduvava (proces B ) u razmen 4 raz menjivaˇ jivaˇc topl t oplote ote (RII ) hladi do poˇcetne cetne temperature, usisava usisava (proces B 4) C ) u razm u III stepenu kompresora, sabija (proces 5 6) i izduvava (proces 6 ra zmen enji jivaˇ vaˇc pred sledeći ci stepen step en kompresora. kompreso ra. Iz indikatorskog indikator skog dijagrama dijagr ama (slika 9.3b) oˇcigledno cigle dno je da se koriˇs´ sćenjem cenje m viˇsestepen seste penog og kompr kompresor esora a s medjustepe medjustepenim nim hladj hladjenje enjem m umesto umesto jednost jednostepeno epenogg iste iste veli veliˇˇcine cine stepena pena kom ompr pres esij ije e β = p4 /p1 , tj. tj. odnos odnosa a krajnj krajnjeg eg p4 i p oˇcetn ce tnog og p1 pritis pri tiska, ka, postiˇ po stiˇze ze osim niˇze ze temperatu temp erature re sabijenog sabij enog gasa i uˇsteda steda u veliˇcini cini specifiˇ spe cifiˇcnog cnog tehniˇ tehn iˇckog ckog rada lk . Uˇstedje ste djena na vredno vre dnost st speci sp ecifiˇ fiˇcnog cno g tehniˇ teh niˇckog ckog rada rad a jednaka jed naka je ˇsrafira sra firano nojj povrˇ pov rˇsini sin i (2-3-4 (2- 3-4-5-5-6-D 6-D). ). Pokazuje Pokazuje se da će ce ukupan tehniˇcki cki rad m-stepenog kompresora da bude najmanji na jmanji u sluˇcaju caju kada su jednaki stepeni kompresije svih stepena kompresora

→

→

→ →

→

β 1 = ... = β i = ... = β m =m

→

→

p2 , p1



→

→

(9. (9.10)

gde je β i = pp ii stepen kompresije kod i-tog kompresora. Pri vrlo velikom broju stepena (m) kompresora linija sabijanja 1 2 3 4 5 6 postaje bliska izotermi 1 3 5 7 ˇsto sto se vidi sa indikatorsk indikatorskog og dijagrama dijagrama (slik (slikaa 9.3b). 9.3b). S obzirom obzirom da se pri izoterm izotermnom nom sabija sabijanju nju izvrˇ izvrˇsi si najmanji najmanji rad, sledi sledi da se koriˇ kor iˇs´ sćenj ce njem em viˇsest se step epen enog og kom kompr pres esor oraa p ostiˇ os tiˇze ze veća ca efikasn efi kasnos ostt i ekono eko nomiˇ miˇcnos cn ostt u p ored or edje jenj nju u sa jednostepenim kompresorom koji bi imao istu vrednost stepena kompresije. 2 1

→

−

→ − −

142

→ → → →

Primer 9.1 Kompresor sabija (komprimuje)10 (komprimuje)103 m3 /h vazduha od pritiska 0,1 MPa do pritiska 1,0 MPa. Odrediti Odrediti neophodnu neophodnu snagu za pogon pogon kompresora, kompresora, ako se sabijanje vrˇ si: si: a) adijabatski; adijabatski; b) politr politropski opski (n = 1, 30) i c) izotermski izotermski reˇ senje: Snaga potrebna za pogon kompresora data je izrazom (9.5) dLk dmlk dm = = lk . dt dt dt

P k =

(P 9 P 9.1.1)

Kako je dobija se

tako da je

pV = mRT

P 9.1.2) (P 9

dm p dV , = dt RT dt

P 9.1.3) (P 9

p dV p1 dV lk lk . = RT dt RT 1 dt

P k =

P 9.1.4) (P 9

a) U sluˇ caju caju adijabatskog adijabatskog sabijanja vazduha (k = 1, 40) specifiˇ specifiˇcni cni rad kompresora dat je izrazom (9.6) tako da na osnovu (P9.1.4) potrebna snaga iznosi (P k )ad =

k k

−

p2 k− p1 [( ) k p1 1

1

− 1] dV = 90, 90, 5kW. dt

b) U sluˇ sl uˇcaju caju politropskog sabijanja sabi janja vazduha vazduh a spe s pecifiˇ cifiˇcni cni rad kompresora dat d at je izrazom iz razom (9.7) (9 .7) tako da na osnovu (P9.1.4) potrebna snaga za pogon kompresora iznosi (P k ) poli =

n n

−

p1 1

  p2 p1

n−1 n



−1

dV = 84, 84, 4kW. dt

c) kada je proc proces es sabijanja izoterman izoterman na osnovu izraza (9.6) i (P9.1.4) (P9.1.4) sledi p2 (P k )izoterm = p1 ln p1

· dV = 64, 64, 0kW. dt

Primer Primer 9.2 Odrediti rad potreban za pogon jednostepenog kompresora i minimalan rad za pogon trostepenog kompresora za sabijanje 1m3 vazduha od pritiska 0,1 MPa do pritiska 12,5 MPa. Eksponent politrope u svakom stepenu iznosi 1,30. reˇsenje: U sluˇ caju caju politropskog politropskog sabijanja vazduha jednostepenim jednostepenim kompresorom kompresorom potreb potreban an rad na osnovu (9.8) iznosi Lk = mlk = m 1

n n

−

p1 v1 1 143

  p2 p1

n n−1



−1

=

=

n n

  p2 p1

p1 V 1 1

−

n n−1



−1

,

P 9.2.1) (P 9

tako da je rad po jedinici zapremine V ) (V )

lk

1

Lk n p1 = V 1 n 1 1

=

−

  p2 p1

n n−1

−1



= 887kJ/m 887kJ/m3 .

U sluˇcaju caj u trostepenog trost epenog kompreso kom presora ra (m = 3) stepen kompresije, na osnovu (9.10), iznosi

 

p β = 2 = p1 

m

p2 = p1

3

12, 12, 5 = 5, 0, 1

tako da je rad potreban za sabijanje jedinica zapremine vazduha (1m (1m3 ) u jednom (prvom) stepen trostepenog kompresora n

(V ) V )

lki =

n

−

=

n n−1

   −  − p2 p1 

p1 1 n n

−

p1 1

1 =

p2 p1

n−1 nm

n n

−



n

p1 β n− 1

1



−1

=

1 = 194, 194, 9kJ/m3 V ) (V )

Kako su radovi potrebni za pogon svakog stepena kompresora medjusobno jednaki, tj. l1 V ) V ) (V ) (V ) l2 = l3 , sledi V ) V ) (V ) (V ) 194,, 9kJ/m3 = 584, 584, 7kJ/m3 . lk = mlk = 3 194 1

·

144

=

ˇ 10. PROCES PROCESII U KLIPNI KLIPNIM M MOTORIMA MOTORIMA UNUTRA UNUTRASNJEG SAGOREVANJA Nalaˇzenje zenje najracionalnijeg na jracionalnijeg naˇcina cina prevodjenja toplotne energije u me-haniˇcki cki rad je jedan jeda n od najvaˇ na jvaˇ znijih zniji h zadataka zada taka tehniˇcke cke termodinam termo dinamike. ike. Neprekidno Neprekidno prevodjenje prevodjenje toplote u rad moˇ ze ze da se ostvari ostvari putem termodinamiˇ termodinamiˇ ckog ckog ciklusa ciklusa (glava (glava 3.). 3.). Pri datim temperaturam temperaturamaa izvora izvora toplote toplote T 1 i hladnjaka T 2 termiˇ mi ˇcki koeficijent iskoriˇ iskoriˇs´ scenja cénja (TKI) ima najviˇ na jviˇsu su vrednost kod Carnott-ovog ciklusa (poglavlje 3.3 izraz (3.32)). T 2 ηt = 1 − , T 1 tako da bi sa stanovi stanoviˇˇsta sta termodinamike termodinamike bilo najcelishodnije konstruisat konstruisatii takve takve toplotne maˇsine sine koje bi radile po Carnott-ovom ciklusu. Toplota oplota za ostv ostvarenje arenje ciklusa ciklusa dobija dobija se sagorev sagorevanj anjem em goriv goriva. Kao hladnja hladnjak k koris koristi ti se okoln okolnaa sredina. sredina. Pri zadatoj temperat temperaturi uri sagorev sagorevanj anja, a, T g i temperaturi hladnjaka T 2 , odnosno okolne sredine T s (T 2 ≈ T s ), term te rmiˇ iˇcki ck i koefi ko efici cije jent nt isko is koriˇ riˇs´ sćenj ce njaa moˇze ze da se p oveća ca ukoliko se smanji razlika izmedju temperature sagorevanja T g i temperature radnog tela T 1 . Najmanja razlika moto ra unutraˇ unutr aˇ snjeg snj eg sagore sag orevanja vanja (MUS). razlika T g − T 1 se postiˇ po stiˇze ze kod motora Motori unutraˇ unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sagorevanja su takvi motori kod kojih se toplota, koja se predaje radnom telu, oslobadja sagorevanjem goriva unutar cilindra motora. Radno telo je, u prvom delu procesa vazduh ili smeˇ smeˇsa sa vazduha sa lako zapaljivim gorivom, a u drugom delu procesa- proizvodi proizvodi sagorevanja sagorevanja goriva. goriva. Gorivo Gorivo moˇ ze ze da bude u teˇ cnom cnom ili gasnom stanju. U gasnim motorima unutraˇ unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sagorevanja temperatura radnog tela je znatno iznad kritiˇ kritiˇcne cne temperature a pritisak nije mnogo visok, tako da moˇ ze ze da se smatra da je radno telo idealan gas, ˇsto znatno po jednostavljuje analizu a nalizu termodinamiˇckog ckog procesa p rocesa (ciklusa). S obzirom o bzirom da d a kod motora unutraˇ unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sago revanja gorivo sagorev sagore va u samom motoru, ovi motori imaju bitne prednosti u odnosu o dnosu na druge toplotne to plotne maˇsine. sine. Kod ovih toplotnih maˇsina sina nema potreb pot rebee za z a velikim vel ikim povrˇsinama sinama kroz koje bi se vrˇsila sila razmena razme na toplote toplo te od izvora ka radnom telu, tako da su oni znatno manjih dimenzija u odnosu na, na primer, parne toplotne maˇsine. sine. S druge strane, kod toplotnih maˇsina, sina, kod kojih se radnom telu toplota dovodi od spoljnjeg sp oljnjeg izvora, gornja gorn ja granica temperature te mperature radnog tela je znatno niˇza za u odnosu o dnosu na motore unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja, sagor evanja, zbog zbo g sniˇzavanja zavanja ˇcvrsto´ cvrstoće ce konstrukcionih konstru kcionih materijala mater ijala s porastom porastom temperat temperature. ure. Kod motora motora unutra unutraˇˇsnjeg snjeg sagorev sagorevanja anja toplota toplota se oslobad oslobadja ja u radnom telu, a ne prenoˇ prenoˇsenjem senjem toplote kroz zidove zidove motora, tako da se zidovi zidovi cilindra i glava glava bloka cilindra prinudno hlade, ˇcime cime je omogućeno ceno poviˇsenje senje gornje temperaturske granic gra nicee ciklus cik lusaa a time tim e poviˇ pov iˇsenje sen je termiˇ ter miˇckog ckog koefici koe ficijent jentaa iskoriˇ iskor iˇs´ sćenja. cen ja. Za oocenu cenu efikasnosti e fikasnosti motora unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja, sagor evanja, osim ocene oce ne step s tepena ena savrˇsenstva senst va ciklusa, ciklusa, mora da se uzme u obzir i ocena stepena savrˇ savrˇsen-stva sen-stva samog motora. Raˇ cuni cuni pokazuju, pokazuju, da bi motori koji bi radili po p o Carnott-ov Carnott-ovom om ciklusu bili glomazni, glomazni, teˇ teˇski ski i skupi, odnosno niskog stepena step ena savrˇ savrˇsen-stva. sen-stva. Obrazloˇzimo zimo osnovne razloge r azloge zbog kojih bi motori koji bi radili po Carnott-ovom ciklusu bili niskog stepena savrˇ savrˇsenosti, senosti, odnosno necelishodni. Na slici 10.1 u p,v- dijagramu prikazan je Carnott-ov ciklus, koji se sastoji iz dve izoterme A-B (T (T 1 = const) i C-D (T (T 2 = const) i dve adijabate B-C i D-A. Temperatura sagorevanja goriva pribliˇ pr ibliˇzno zno je jednaka temperaturi temper aturi radnog tela (T g ≈ T 1 ). Temperatura i pritisak prit isak u taˇ t aˇcki cki C odgovara o dgovara pribliˇ p ribliˇzno zno pritisku priti sku okolne sredine sredi ne (T 2 ≈ T s , pC ≈ ps ). Kako je za benzin T g ≈ T 1 = 2100K, 2100K, a T s ≈ T 2 = 290K, 290K, lako se pokazuje da je, za k=1,33 (viˇse se atomMPa. Sniˇzenje ski gas), pritisak u najviˇsoj soj taˇcki cki ciklusa relativno visok pA > 290 290MPa. zen je pritis pri tiska ka pA moˇze ze da se posti po stigne gne sniˇzenjem zen jem tempe tem perat rature ure T 1 ˇsto st o bi dovelo dove lo do sniˇ sn iˇzenj ze njaa term te rmiˇ iˇckog cko g koefi ko efi-cijenta iskoriˇs´ sćenja. cenja . Na primer, primer , u realnim realn im motorima motor ima unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sagor evanja maksimalni maksima lni pritisci su reda 1.5 -10 MPa. Znaˇ Znaˇci, ci, prvi razlog necelisho necel ishodnost dnostii praktiˇ p raktiˇcnog cnog ostvarenja Carnott-ovog ciklusa kod ovih motora je u tome ˇsto sto bi njegova njegova masa morala da d a bude bud e velika, pA > 290 M P a). da bi se obezb obe zbedila edila ˇcvrsto´ cvrst oća ca pri tako visokom pritisku priti sku ( p 290M 146

.

Slika 10.1.

Drugi razlog se sastoji sasto ji u sledećem: cem: Nagibi izoterme A-B i adijabate B-C se malo razlikuju ra zlikuju i mali su, a pad pritiska je vrlo velik (od pA ≈ 290 MPa do pC ≈ 0.1 MPa) tako da je ciklus vrlo rastegnut rastegnut u pravcu pravcu v-ose; za date uslove uslove stepen ˇsirenja sirenja je vrlo velik velik vC /vA ≈ 400 (u realnim realn im motorima mo torima unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sagor evanja vC /vA ≈ 16). 16). Na osnovu predhodnog sledi da bi cilindri takvih motora morali da budu vrlo velike duˇ zine, zine, koja ne bi odgovarala odgovarala snazi takvog takvog motora. Osim toga gubici usled trenja bi bili veliki ˇsto sto bi dovelo do smanjanja efikasnosti motora. motor a. Na osnovu predhodnog sledi da je osnovni cilj konstruktora motora bio da se ostvare takvi ciklusi koji bi saˇcuvali cuvali preimućstva cstva Carnott-ovog ciklusa a da se odstrane njegovi nedosta nedostaci. ci. Na slici (10.1) su prikazan prikazanii takvi takvi ciklusi: ciklusi: B − C 1 − D − A1 s dovodjenjem toplote po izohori A1 − B i ciklus A2 − B − C 1 − D − A2 s dovodjenjem toplote po izobari A2 − B. U oba ciklus ciklusaa sniˇ sniˇzen zen je, u odnosu odnosu na Carnott Carnott-o -ov v ciklus ciklus,, mak maksim simalan alan pritisa pritisak k pA , i stepen ˇsirenja sirenja (ekspanzije) (ekspanzije) u istom interv intervalu ekstremnih ekstremnih temperatura (T max max = T 1 i T min min = T 2 ). U motorima kod kojih se realizuju realizuju ciklusi s izohornim i izobarnim dovodjenjem dovodjenjem toplote sniˇzen zen je termiˇcki cki koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćenja, cenja , u poredjen por edjenju ju s Carnott-ovim Carno tt-ovim ciklusom, ciklu som, ali je znatno zna tno povećan can stepe ste pen n savrˇ s avrˇsenost sen ostii moto m otora. ra. Klipni Klipn i motori unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sagor evanja ima imaju ju ˇsiroku sirok u primenu (kod automobila, traktora, aviona starog tipa itd.). Osnovni element svakog svakog klipnog klipn og motora unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja je cilindar s klipom. pom. Cilin Cilindar dar ima dva dva otvo otvora ra s venti entili lima ma.. Prek Prekoo jedno jednogg ventil entilaa radno radno telo (vazd (vazduh uh ili zapaljiv zapaljiva smeˇ smeˇsa) sa) se usisav usisava, a kroz drugi se vrˇ vrˇsi si izbacivanje izbacivanje radnog tela (produkata (produkata sagorevanja) sagor evanja) po zavrˇsetku setku ciklusa. ciklu sa. Razlikuju se tri osnovna oblika ciklusa klipnih klipn ih motora unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja: sagor evanja: - Otto-ov Otto-ov ciklus (sagorevanje (sagorevanje pri v = const); - Diesel-ov Diesel-ov ciklus (sagorevanje (sagorevanje pri p = const); - kom kombinov binovani ani Otto-Diesel-o Otto-Diesel-ov v (Sabath´ (Sabathé-ov, e-ov, Seiliger-ov Seiliger-ov ili Trinkler-ov) rinkler-ov) ciklus (sagore(sagorevanje pri v = const a zatim pri p = const). Ispitivanje Ispitivanje rada realnog klipnog motora unutraˇ unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja sagorevanja korisno korisno je da se prikaˇ prikaˇ ze ze preko preko dijagram dijagramaa zavis zavisnos nosti ti pritisk pritiskaa gasa gasa u cilindru cilindru od zapremi zapremine, ne, odnosno odnosno od poloˇzaja zaja klipa za ceo ciklus. Dijagram se snima pomoću cu posebnog instrumenta-indikatora, tako da se naziva indikatorski dijagram. 147

10.1. 10.1. Ciklus Ciklus s dovod dovodjen jenjem jem toplote toplote pri v =const =const - Otto-o Otto-ov v ciklus ciklus ˇ Sema motora (cilindar sa klipom) koji radi po Otto-ovom ciklusu kao i njegov indikatorski dijagram prikazani su na slici 10.2a i 10.2b.

a)

b) Slika 10.2.

Klip K vrˇ vrˇsi si kretanje kretanje u cilindru C, koji ima usisni (UV) i izduvni ventil ventil (IV). Tokom Tokom procesa 7-1 klip se kreće ce s leva na desno, pri ˇcemu cemu se vazduh u cilindru razredjuje, otvara se usisni ventil (UV) i u cilindar ulazi gorivo, koje je pripremljeno u posebnom uredjajukarburatoru. karburat oru. U sluˇ s luˇcaju ca ju Otto-ovog Otto- ovog ciklusa ci klusa radno telo (gorivo) (gor ivo) ˇcine cine smeˇsa sa vazduha s izvesi zvesnom koliˇ cinom cinom pare benzina (ili drugog lako isparljivog isparljivog goriva). goriva). Kada cilindar dodje do dje u krajnji kra jnji desni poloˇzaj zaj (taˇcka cka 1 na indikatorskom indikatorskom dijagramu) zatvara se usisni ventil (UV). Cilindar Cilin dar nastavlja nastavl ja da se kreće ce s desna d esna na levo, pri ˇcemu cemu se gorivo g orivo (radna (radn a smeˇ sm eˇsa) sa) u cilind c ilindru ru sabije sabije tako tako da pritisa pritisak k raste raste (proces (proces 1-2). 1-2). Kada Kada cilindar cilindar dodje u krajnji krajnji levi levi poloˇ poloˇzaj, zaj, a pritisak dostigne odredjenu vrednost, koja odgovara taˇcki cki 2 na indikatorsk in dikatorskom om dijagramu, dijagr amu, pomo´ pom oću cu elektriˇ elekt riˇcne cne svećice cice (S) pali se gorivo (radna (radn a smeˇsa). sa). S obzirom obzir om da je sagorevanje sagor evanje smeˇ smeˇse se skoro trenutno, klip za to vreme ne uspeva uspeva da se pomeri, tako da se proces pro ces sagorevanja moˇze ze smatrati smatr ati izohornim izoho rnim (v = const). Tokom procesa sagorevanja oslobadja o slobadja se odredjena koliˇ cina cina toplote, na raˇcun cun koje se radna smeˇ smeˇsa sa u cilindru zagreva zagreva tako da pritisak raste do vrednosti vrednosti koja odgovara odgovara taˇ cki cki 3 na indikatorskom indikatorskom dijagramu. Pod dejstvom ovog pritiska klip se kreće ce u desno, vrˇse´ seći ci pri tom rad za potrebe potreb e spoljneg potroˇsaˇ saˇca. ca. Kada klip dospe do krajnjeg kra jnjeg desnog poloˇzaja, za ja, otvara se izduvni ventil (IV) tako da gas izlazi iz cilindra, a pritisak pada do vrednosti neˇsto sto veće ce od atmosferskog atmosf erskog (proces (pro ces 4-5). Klip ponovo kre´ kr eće ce u levo, izbacujući ci zaostali deo produkata sagorevanja. Zatim se, u krajnjem levom levom poloˇzaju zaju klipa, zatvara izduvni ventil ventil (IV) a otvara otvara usisni ventil (UV), usisava usisava gorivo i ciklus se ponavlja. Na taj ta j naˇcin, cin, klip u cilindru motora, motor a, koji ko ji radi po p o ciklusu Otto-a, Otto- a, tokom jednog jedno g ciklusa ciklu sa vrˇsi si ˇcetiri cetir i hoda h oda (takta) (takt a) - usisavanje, sabijanje, sabija nje, ˇsirenje siren je posle pos le sagorevanja smeˇse se i izbacivanje produkata sagorevanja u atmosferu. Realan ciklus motora s unutraˇsnjim snjim sagorevanjem, sagor evanjem, kao u primeru rada klipnog motora unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja s brzim sagorevanjem goriva pri v = const, nije zatvorena kriva već petlja. Radno telo se usisava usisava spolja i izbacuje u atmosferu po zavrˇ zavrˇsenom senom ciklusu, ˇsto sto znaˇci ci da se u svakom ciklusu ciklu su koristi nova koliˇ kol iˇcina cina radnog radno g tela. Trenje, hemijske hemijske reakcije reakcije u radnom telu, konaˇ konaˇcna cna brzina klipa, provodjenje provodjenje toplote itd, ukazuju na ireverzibilnost procesa. Analiza takvog ciklusa sa stanoviˇ stanoviˇsta sta teorije toplotnih procesa je nemoguća, ca, zbog toga idealno reverzib reverzibilni ilni ciklus. ciklus. Smatra se da je se termodinam termo dinamiˇ iˇcki cki ispituje ispit uje odgovaraju´ odg ovarajući ci idealno radno radno telo (vazdu (vazduh) h) idealan idealan gas, konst konstant antne ne specifiˇ specifiˇ cne cne toplote, toplote, da se u cilindru cilindru nalazi nalazi konstantna zapremina radnog tela, a da je razlika temperature izvora toplote i radnog tela beskonaˇcno cno mala. Tako se uzima da se dovodjenje toplote top lote radnom telu vrˇsi si od o d spoljnjeg izvora izvora u izohornom procesu (2-3), a ne na raˇ cun cun sagorevanja sagorevanja goriva, goriva, a odvodjenje odvodjenje toplote ka hladnjaku - u izohornom procesu (4-5). Ako su procesi kom komprimo primov vanja (sabijanja) (sabijanja) (1-2) i ˇsirenja (3-4) u ovom ovom ciklusu ciklusu brzi, 148

tako da za dato vreme ne dodje do primetne razmene toplote sa okolinom, tada se oni mogu smatrati smatrati adijabatskim. adijabatskim. Idealizovan Idealizovan ciklus klipnih motora unutraˇ unutraˇ snjeg snjeg sagorevanja sagorevanja sa dovodjenjem dovodjenjem toplote (sagorevanjem) pri izohornom procesu (v =const)- Otto-ov ciklus prikazan je u p, v − i T , s− dijagramu na slici 10.3. Proces 1 → 2 (slika 10.3.) 1 0.3.) odgovara adijabatskoj adijabatsko j kompresiji radnog tela (sme ( smeˇˇsa sa vazduha duha sa benzin benzinom om); ); 2 → 3 - izohornom izohornom dovodjenju dovodjenju toplote (brzo sagorevanje sagorevanje smeˇ smeˇse); se); 3 → 4- adijabatskoj ekspanziji produkata sagorevanja; 4 → 1 izohornom odvodjenju toplote (izbacivanje produkata sagorevanja u atmosferu).

Slika 10.3.

Karakteristi Karakteristiˇˇcni cni parametar parametar ciklusa je stepen adijabatsk adijabatskee kom kompresije presije (ili ekspanzije) ekspanzije) = > 1. Odredi Odr edimo mo termiˇ ter miˇcki cki koefici koe ficijent jent iskoriˇ isko riˇs´ sćenja cen ja (TKI) (TKI ) Otto-vo Ott o-vog g cikl c iklusa usa.. Koliˇ Koliˇcina cina toplote koja ko ja je dovedena dovedena radnom telu tokom tokom izohornog procesa 2 → 3 data je izrazom q1 = cv (T 3 − T 2 ). (10. (10.1) v1 v2

Odredjena koliˇ cina cina toplote tokom izohornog izoho rnog procesa 4 → 1 (apsolutna vrednost) iznosi |q2 | = cv (T 4 − T 1 ).

(10. (10.2)

Kako je TKI po definiciji η=

q 1 − |q 2 | |q2 | , =1− q1 q1

(10. (10.3)

smenom (10.1) i (10.2) u (10.3) dobija se T 1 T 4 − T 1 η =1− =1− T 3 − T 2 T 2

    T 4 T 1

−1

T 3 T 2

−1

.

(10. (10.4)

Iz jednaˇcine cine adijabate primenjene za krajnje taˇcke cke procesa (1 → 2) T 1 v1k−1 = T 2 v2k−1 , sledi T 1 = T 2 gde je  =

v1 v2

k−1

 v2 v1

=

1 1 , = k−1 ( vv12 )k−1

(10. (10.5)

(10. (10.6)

-stepen kompresije. S druge strane, za adijabatu (3 → 4) je T 4 v4k−1 = T 3 v3k−1 , 149

(10. (10.7)

odnosno (v (v4 = v1 , v3 = v2 ),

T 4 v1k−1 = T 3 v2k−1 .

(10. (10.8)

T 4 T 3 = T 1 T 2

(10. (10.9)

Iz (10.5) i (10.8) sledi

Zamenom (10.9) i (10.6) u (10.4) dobija se TKI Otto-vog ciklusa η0 = 1 −

T 1 1 = 1 − k−1 T 2 

(10. (10.10)

Znaˇci, ci, TKI Otto-ovog ciklusa zavisi od o d stepena kompresije ( () i prirode radnog tela (eksponenta adijabate k) i raste rast e s pove´ p ove´ canjem canje m stepena step ena kompresije. kompr esije. Medjutim, Medju tim, posto p ostoji ji ograniˇ ogr aniˇcenje cenje ˇsto sto se tiˇce ce povećanja canja stepena step ena kompresije kompres ije (a time KTI). Pri velikim vrednostima vredn ostima stepen step en kompresije ( ( > 12) dolazi do samozapaljenja smeˇse se goriva i vazduha u cilindru motora. Zavisno od vrste vrste goriv goriva, stepen stepen kompr kompresi esije je je u interv intervalu alu od 5-10 5-10.. Na primer, primer, kod automobils automobilskih kih motora  ≈ 8.5. Na slici 10.4. grafiˇcki cki je prikazana zavisnost η od  za razl ra zliˇ iˇcito ci to k.

Slika 10.4

10.2. Ciklus s dovodjenjem dovodjenjem toplote toplote pri p =const - Diesel-ov ciklus Analiza idealnog ciklusa s dovodjenjem dovodjenjem toplote pri v = const (Otto-ov ciklus) pokazala je da je za pove´ canje canje ekonomiˇ cnosti cnosti motora, koji rade po ovom ciklusu, neophodno neophodn o da se poveća ca step st epen en kompr ko mpresi esije je ( (). Medjutim, Medjutim, kako kako je istaknuto istaknuto u prethodnom poglavlju, postoji ograniˇ ogr aniˇcenje cen je ˇsto sto se tiˇce ce povećanja can ja stepe ste pena na kompres komp resije ije iznad izn ad  = 12 zbog samozapaljenja smeˇse se goriva gor iva i vazduha u cilindru. cilin dru. Pri većim cim stepe st epenima nima kompresije komp resije pritisak priti sak u cilind c ilindru ru toliko to liko poraste da temperatura radnog tela dostiˇze ze temperaturu samozapaljenja smeˇse se goriva i vazduha. Ukoliko Ukoliko bi se odvojeno izvrˇ izvrˇsila sila kompresija kompresija vazduha (u cilindru) cilindru) i goriva goriva (van (van cilindra) u kom kompresoru presoru pa tek po zavrˇ zavrˇsetku setku procesa gorivo gorivo ubrizgalo u cilindar postigao bi se ˇzeljen zelje n cilj; stepen step en kompresije kompresi je moˇze ze da se poveća ca (do  = 20) tako da temperatura vazduha postaje p ostaje viˇ viˇsa sa od temperature samozapaljenja. samozapaljenja. S druge strane, posle uskladjenog uskladjenog i kontrolisanog ubrizgav ubrizg avanja anja goriva dolazi do kontrolisanog samozapaljenja smeˇ se se tako da nije potrebno da se koristi uredjaj ured jaj za stvaranje stvaranje elektriˇcne cne varnice (sa sve´ cicom). cicom). U ovom sluˇcaju, caju, posle samozapaljenja, smeˇsa sa goriva sagoreva postepeno postep eno pri konstantnom pritisku. Na ovom ovom principu principu su zasno zasnov vani motori koji rade po tzv. tzv. Diesel-o Diesel-ovo vom m ciklus ciklusu u (ciklus (ciklus sa dovodjenjem toplote pri p = const). Indikatorski dijagram motora koji radi po Diesel-ovom ciklusu prika-zan je na slici (10.5). 150

Slika 10.5

Taˇ Taˇcka A odgov odg ovara ara poloˇ p oloˇzaju za ju klipa kli pa u cilindru cilin dru motora posle pos le zavrˇsenog senog izbacivanja izbac ivanja proizpr oizvoda sagorevanja u predhodnom ciklusu rada motora i otvaranju usisnog ventila. U procesu A → 1 vrˇsi si se usisavanje usisavanje atmosferskog vazduha, pri malom podpritisku p odpritisku u cilindru cil indru motora. moto ra. U taˇcki cki 1 proces usisavanja usisavanja se zavraˇ zavraˇsava sava zatvaranjem usisnog ventila. Kretanjem klipa u suprotnom smeru vrˇsi si se adijabatsko sabijanje sab ijanje vazduha (proces (pro ces 1 → 2) pri ˇcemu cemu se pritisak prit isak 0 znatno pove´ ca ca a time i njegova njegova temperatura (200 − 300 C iznad temperature samozapal jenja goriva). g oriva). U poˇ p oˇcetku cetku procesa 2 → 3 u cilindar se ubrizgava ubrizgava odredjena koliˇ cina cina goriva koje se pri datoj temperat temperaturi uri spontano spontano zapalju zapaljuje. je. Za vreme sagorev sagorevanja anja goriva goriva klip klip se pomeri za deo svog hoda pri skoro skoro konstantn konstantnom om pritisku. pritisku. Posle Posle zavrˇ zavrˇsenog senog sagorevanja sagorevanja dolazi do adijabatske ekspanzije proizvoda sagorevanja (proces 3 → 4) i kretanju klipa do poloˇ pol oˇzaja za ja koji koj i odgovara odg ovara na n a jvećoj co j radno j zapremini zapre mini cilindra. cilin dra. U taˇcki cki 5 otvara se vazduˇsni sni ventil ventil tako da gas izlazi iz cilindra a pritisak pritisak pada do vrednosti vrednosti neˇ neˇsto sto ve´ veće ce od atmosferatmosferskog pritiska (proces 4 → 5). 5). Zaostali deo vazduha i proizvoda sagorevanja izbacuje se kretanjem klipa do poˇcetnog cetnog poloˇzaja zaja (proces 5 → B ), kada se zatvara izduvni ventil a otvara usisni ventil. S obzirom da se proces 5 → B odvija od vija pri konstantnom konstantn om pritisk pr itisku, u, neˇ n eˇsto sto viˇsem sem od atmosferskog, a proces A → 1 odvija odv ija pri konstantnom konstantn om pritisku, prit isku, neˇsto sto niˇzem zem od atmosferskog, pri zatvaranju izduvnog i otvaranju usisnog ventila dolazi do manjeg pada pritiska pritiska (proces B → A). Idealizo Idealizov van ciklus ciklus MUS s dovod dovodjen jenjem jem toplot toplote e pri p = const const - Diesel Dieselov ov ciklus prikazan je u p, v − i T , s− dijagramu na slici (10.6). Proces 1 → 2 odgovara adijabatskoj kompresiji vazduha; 2 → 3 - izobarnom dovod jenju toplote topl ote (sagorevanje (sa gorevanje smese s mese vazduha vazduh a i ubaˇcenog cenog goriva); 3 → 4 - adijabatsk adijabatskoj oj ekspanzekspanziji proizv proizvoda oda sagorev sagorevanja anja;; 4 → 1 izohornom odvodjenju toplote (izbacivanju proizvoda sagorevanja sagorevanja u atmosferu). atmosferu). Karakteristiˇcni cni parametri cikusa su stepen ekspanzije  = vv12 i stepen predekspanzije ρ = vv32 .

151

Slika 10.6.

Dovedena koliˇ cina cina toplote u procesu 1 → 2 iznosi q1 = c p (T 3 − T 2 ),

(10. (10.11)

a odvedena koliˇ cine cine toplote u procesu 4 → 1 iznosi q2 = cv (T 1 − T 4 ),

(10. (10.12)

tako da je termiˇ ter miˇcki cki stepe ste pen n iskoriˇ iskor iˇs´ sćenja cen ja Diesel Die sel-ovog -ovog ciklus cik lusaa 4 T 1 ( T |q2 | cv (T 4 − T 1 ) T 1 − 1) =1− =1− η =1− . 3 q1 c p (T 3 − T 2 ) kT 2 ( T − 1) T 2

(10. (10.13)

Proces 2 → 3 je izobaran tako da je T 3 v3 = = ρ. T 2 v2

(10. (10.14)

Iz jednaˇcine cine adijabate adijab ate 1 → 2 i 3 → 4 sledi T 1 = T 2 i T 4 = T 3

k−1

 v2 v1

k−1

 v3 v4

=

= T 3

T 2

(10. (10.15)

k−1

 v3 v1

k−1

.

(10. (10.16)

= ρ · ρk−1 = ρk .

(10. (10.17)

Iz (10.15), (10.16) i (10.14) dobija se T 4 T 3 = T 1 T 2

 v3 v2

k−1

Smenom odgovaraju´ odgovarajućih cih odnosa temperatura iz (10.14), (10.14), (10.15) i (10.17) u izraz (10.13) dobija se zavisnost KTI Diesel-ovog ciklusa od parametara  i ρ : ηD = 1 −

1 k k−1 152

ρk − 1 = ρ−1

(10. (10.18)

TKI Diesel-ovog ciklusa raste sa stepenom kompresije  i opadanjem stepena predekspanzije ρ. Na slici 10.7 grafiˇcki cki je prikazana zavisnost z avisnost η od  pri pr i na jˇceˇ ceˇs´ sćim ci m vred vr edno nost stim imaa para pa rame metr traa ρ.

Slika 10.7

10.3. Ciklus s dovodjenjem dovodjenjem toplote toplote pri v =const i p = const -Sa bath´ h´ e-ov e-ov cikl ci klus us** -Sabat Klipni motori unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja s postepenim postep enim izobarnim sago-revanjem goriva imaju niz nedostataka. Na primer, koriˇ koriˇs´ sćenjem cenjem kompresora za ubrizgavanje ubrizgavanje goriva u cilindar troˇsi si se 6 − 10% snage motora. Osim toga visok pritisak pri velikim velikim stepenima kompresij pre sijee izis i ziskuj kuju u sloˇ s loˇzeniju zen iju konstru kons trukciju kciju ovih motora mot ora ˇcime cim e se sniˇzava zava njih n jihova ova ekonom eko nomiˇ iˇcnost. cno st. Teˇznja znj a ka uproˇ upr oˇs´ sćenju cen ju i pobo po boljˇ ljˇsanju san ju rada rad a klipni kli pnih h motora mot ora unutraˇ unut raˇsnjeg snj eg sagore sag orevanja vanja ostost varena je kod tzv. bezkomprsorskih motora koji rade po ciklusu sa kombinovanim dovod jenju toplote u procesima pri v = const i p = const. Kako je ranije napomenuto (poglavlje 10.1 ), kod na primer, Otto-ovih motora radna smesa, koja se sastoji od goriva i vazduha, obrazuj obrazujee se van cilindra cilindra u tzv. karburato arburatoru ru motora motora i posle usisav usisavanja anja sabija sabija u cilindru cilindru u jednom taktu rada motora, pri kretanju kretanju klipa od unutraˇ unutraˇ snje snje mrtve mrtve taˇ cke cke (UMT) ka spoljnjo spo ljnjo j mrtvo mr tvojj taˇcki cki (SMT). Kod Diesel-ovih motora smeˇ smeˇsa sa goriva i vazduha formira se u cilindru motora tako ˇsto sto se prvo usisa i sabije vazduh u cilindru pa se tek tada kontrolisano u cilindar ubrizga i rasprˇsi si gorivo gor ivo koje je prethodno pr ethodno sabijeno u kompresoru. Sliˇcno cno Diesel-ovim motorima, kod motora koji rade po Sabaté-ovom e-ovom ciklusu vazduh i gorivo gori vo se sabija sab ijaju ju odvo o dvojeno jeno a radna radn a smeˇsa sa vazduha vazduh a i goriva go riva formira formi ra u unutraˇsnjosti snjost i cilindra cil indra.. Vazduh azduh se usis usisav avaa u cilin cilindar dar mo moto tora ra i sabij sabijaa do pritis pritisk ka koji odgov odgovara ara tempera tempera-turi samozapaljenja samozapaljenja goriva. goriva. Teˇ cno cno gorivo se pumpom za gorivo gorivo pod visokim visokim pritiskom pritiskom (50-70 MPa) ubacuje u cilindar preko posebne mehaniˇ mehaniˇcke cke mlaznice mlaznice i rasprˇ rasprˇsi si u obliku malih kapljica. U prisustvu zagrejanog vazduha dolazi do samozapaljenja dok je otvorena mlaznica. Manji deo goriva ubrizga se u cilindar taˇcno cno u poloˇzaju za ju spoljnje mrtve taˇcke cke (SMT) klipa i sagoreva sagoreva skoro skoro trenutno trenutno (pri konstantn konstantnoj oj zapremini) zapremini) a ostali veći ci deo uvodi se u cilindar cilin dar u prvom delu hoda ho da klipa ka unutraˇsnjoj snjo j mrtvo mr tvojj taˇ t aˇcki cki (UMT) sagorevaju´ sagor evajući ci pri skoro konstantnom pritisku. Kod nekih tipov tip ova a motora mot ora rasprˇsivanje sivanje goriva g oriva se vrˇsi si u specijal spe cijalnim nim predkomo p redkomorama, rama, koje se obiˇ cno cno nalaze u gornjem delu cilindra motora, spojene sa radnim prostorom cilindra * u literaturi literaturi se koriste koriste i nazivi: Selinger-ov, Selinger-ov, TrinklerTrinkler-ov ov ili kom kombino binov vani Otto-Diesel-ov Otto-Diesel-ov ciklus 153

jednim ili nekoliko uskih kanala. Za vreme sabijanja vazduha pritisak u cilindru raste brˇze ze nego u predkomori, predkomori, tako da dolazi do strujanja strujanja vazduha iz cilindra u pretkomoru pretkomoru ˇcime cime se vrˇsi si rasprˇ ras prˇsivanje sivanj e teˇcnog cno g goriva gor iva ubaˇcenog cen og u predkom pre dkomoru oru glavnog glav nog cilind cil indra. ra. Idealizovan ciklus s dovodjenjem toplote (sagorevanjem) pri v = const i p = Saba th´ e-ov e-ov ciklus cik lus prikazan je na slici 10.8 u p, v − i T , s− dijagramu. const - Sabath´ Ovaj uopˇsteni steni ciklus predstavlja kombinaciju Otto-ovog (sagorevanje pri p ri v = const) i Diesel-ovog (sagorevanje pri p = const) ciklusa.

Slika 10.8

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom sabijanju vazduha u cilindru do pritiska koji odgovara temperaturi iznad temperature samozapaljenja goriva. Proces 2 → 3 odgov odgovara izohorsk izohorskom om dovodj dovodjenju enju toplote, toplote, odnosno odnosno skoro skoro trenutno trenutnom m sagorevanju ubrizganog manjeg dela goriva u smesi s vazduhom visokog pritiska i visoke temperature. U procesu 2 → 3, koji odgovara izobarnom dovodjenju toplote usled sagorevanja drugog (većeg ceg dela) goriva ubrizganog u cilindar cilinda r pri pomeranju klipa udesno ude sno od o d SMT ka UMT. Proces 4 → 5 odgovara adijabatskom ˇsirenju sirenju proizvoda sagorevanja po zavrˇ zavrˇsenom senom ubrizgav ubrizgavanju a time i sagorevanju sagorevanju goriva. goriva. Proces 5 → 1 odgovara izohornom odvodjenju toplote usled izduvavanja iz cilindra proizvoda sagorevanja. Dovedena koliˇcina cina toplote toplo te q1 jednaka je zbiru dovedene koliˇ cine cine toplote q1 = cv (T 3 − T 2 ), pri v = const c onst i dovedena d ovedena koliˇcina cina toplote toplo te q1 = c p (T 4 − T 3 ), pri p = const: q1 = q1 + q1 = cv (T 3 − T 2 ) + c p (T 4 − T 3 ),

(10. (10.19)

a odvedena odved ena koliˇcina cina toplote toplo te pri v = const je q2 = −cv (T 5 − T 1 ).

(10. (10.20)

Termiˇ erm iˇcki cki koefici koe ficijent jent iskoriˇ isko riˇs´ sćenja cen ja (TKI) (TKI ) Sabath´ Sab athé-ovog e-ovo g ciklus cik lusaa iznosi izn osi η =1−

|q2 | cv (T 5 − T 1 ) =1− = q1 cv (T 3 − T 2 ) + c p (T 4 − T 2 ) =1−

(T 5 − T 1 ) . (T 3 − T 2 ) + k(T 4 − T 3 )

(10. (10.21)

Pored stepena kompresije  = vv12 i stepena predekspanzije ρ = vv32 uvodimo uvodimo i tzv. stepen stepen p3 poviˇ pov iˇsenja sen ja pritis pri tiska ka ψ = p2 . Iz jednaˇcine cine adijabate (proces 1 → 2) sledi T 2 = (

v1 k−1 T 1 = k−1 T 1 , ) v2 154

(10. (10.22)

dok je iz jednaˇcine cine izohore (proces 2 → 3) p3 T 3 = ( )T 2 = ψT 2 , p2

(10. (10.23)

T 3 = ψ k−1 T 1 .

(10. (10.24)

odnosno, [na osnovu (10.22)] Iz jednaˇcine cine izobare (proces 3 → 4) je T 4 = (

v4 )T 3 = ρT 3 v3

(10. (10.25)

odnosno, [na osnovu (10.24)] T 4 = ρψ k−1 T 1 .

(10. (10.26)

Konaˇcno cno iz jednaˇcine cine adijabate adija bate (proces (pro ces 4 → 5) sledi v4 v3 T 5 = ( )k−1 T 4 = ( )k−1 T 4 = v5 v1

v3 v2 v1 v2

 

k−1

ρ T 4 = ( )k−1 T 4 , 

(10. (10.27)

odnosno, posle zamene izraza (10.26) u predhodni izraz, dobija se ρ T 5 = ( )k−1 ρψ k−1 T 1 = ψρ k T 1 , 

(10. (10.28)

Posle osle zame zamene ne izraz izrazaa (10.2 (10.21) 1),, (10.2 (10.23), 3), (10.25 (10.25)) i (10.27 (10.27)) u izraz izraz (10.2 (10.20) 0) dobij dobijaa se TKI TKI Sabath´ Saba thé-ovog e-ovog ciklusa c iklusa u funkciji fun kciji parame p arametara tara ,ρ,ψ i k : ψρ k − 1 ηS = 1 − k−1 .  kψ (ρ − 1)] [ψ − 1 + kψ(

(10. (10.29)

odnosnov ov3 = v2 , izraz (10.29) prelazi u izraz (10.10) za TKI Otto-ovog Ako je ρ = 1, odnosn ciklusa: 1 ηS (ρ = 1) = η0 = 1 − k−1 . (10. (10.30)  Ako je ψ = 1, odnosno p3 = p2 izraz (10.29) prelazi u izraz (10.18) za TKI Diesel-ovog ciklusa: ρk − 1 ηS (ψ = 1) = ηD = 1 − . (10. (10.31) k(ρ − 1) TKI Sabathé-ovog e-ovog ciklusa raste s porastom k,  i ψ i opadanjem ρ. Medjutim, treba imati ˇ o viˇse u vidu da su, pri zadatoj zadato j potroˇsnji snji goriva za ciklus, veliˇ cine cine ψ i ρ vezani. Sto St se go gori riva va sagoreva pri v = const con st (veće ce je ψ ) to manje goriva ostaje za sagorevanje pri konstantnom pritisku (manje je ρ) i obrnuto. 10.4. Poredjenje ciklusa motora unutraˇ unutraˇ snjeg snjeg sagorevanja sagorevanja Za poredjenje efikasnosti i ekonomiˇ cnosti cnosti razliˇcitih citih tipova klipnih MUS-a dovoljno je uporediti TKI idealnih ciklusa ovih motora, s obzirom da se efikasnost efikasnost i ekonomiˇ ekonomiˇ cnost cnost motora menja pribliˇ prib liˇzno zno proporcionalno prop orcionalno sa TKI idealnog ciklusa. Najjednostavniji Najjedno stavniji metod se sastoji sasto ji u poredjenju povrˇsina sina -ograniˇcenih cenih linijama koje prikazuju cikluse u T,s-dijagramu. 155

a)

b) Slika 10.9.

Uporedimo TKI ciklusa ciklusa klipnih MUS-a pri jednakim jednakim vrednostima vrednostima odvedene koliˇ koliˇcine cine toplote q2 i stepenima kompresije . Odvedena Odvedena koliˇ koliˇcina cina toplote (u T, s- dijagramu dijagramu na slici10.9a slici 10.9a prikazana prikazan a dva puta ˇsrafiranom srafir anom povrˇ p ovrˇsinom sinom A14BA) A 14BA) kao i stepeni step eni kompresije komp resije = vv12 jednaki jednaki su za sva sva tri ciklusa. ciklusa. S obzirom da je dovedena dovedena koliˇ cina cina toplote q1 (jednaka jedan put ˇsrafiranoj srafirano j povrˇsini sini u T, s- dijagramu) najve´ na jve´ ca ca za Otto-ov ciklus (povrˇsini sini A23 B) a najmanja za Diesel-ov Diesel-ov ciklus (povrˇ (povrˇsina sina A23 B) iz prethodnog bi zakljuˇ zakljuˇcili cili da je TKI (η = 1 − |qq21 | ) Otto-ovog Otto- ovog ciklusa ciklu sa najve´ na jveći ci a Diesel-ov Diese l-ov najmanji na jmanji (oˇcigledno cigle dno TKI Sabath´ Saba thé-ovog e-ovog ciklusa je izmedju njih) η0 > ηS > ηD . Medjutim, takav takav zakljuˇcak cak s obzirom na pretpostavljene p retpostavljene vrednosti parametara nije realan. Poznato je da je stepen kompresije Diesel-ovog i Sabathé-ovog e-ovog ciklusa znatno ve´ ci ci od Otto-ovog Otto-ovog i da je baˇ baˇs to njihov njihova prednost. prednost. Naime, realnije je poredjenje ciklusa pri jednakim na n a jviˇsim sim temperat temp eraturama urama radnog radno g tela i najviˇ na jviˇsim sim pritisci pri tiscima ma kao i jednakim jedn akim odvedeni o dvedenim m koliˇ cinama cinama toplote, jer su oni odredjujući ci za konstrukcione karakteristike motora. motor a. U T, s-dijagramu na slici 10.9b uporedjeni su ciklusi klipnih MUS pri jednakim odvedenim koliˇ cinama cinama toplote, jednakim najve´ na jve´ cim cim temperaturama temperatura ma (Tmax ) radnog tela i jednakim najve´ na jvećim cim pritiscima prit iscima (pmax ). Sa slike se vidi da je u ovm sluˇcaju ca ju dovedena koliˇcina cina toplote q1 najveća ca za Diesel-ov ciklus a najmanja na jmanja za Otto-ov ciklus, tako da je TKI Dieselovog ciklusa najveći, ci, a Otto-ovog na jmanji; kao i u prethodno j analizi TKI Sabathé-ovog e-ovog ciklusa je izmedju njih: ηD > ηS > η0 . Postavlj Postavljaa se pitanje da li je mogu´ moguće ce da se realno pove´ poveća ca stepen kompresije kompresije Otto-ovog Otto-ovog motora i bude jednak stepenu kom kompresij presijee Diesel-ov Diesel-ovog og ili Sabath´ Sabathé-ovog. e-ovog. Uko Ukoliko liko bi se to i ostvarilo ostvarilo pritisak pritisak radnog tela posle sagorevanja sagorevanja goriva goriva bio bi vrlo visok (taˇcka cka 3 u T, s dijagramu na slici a) tako da bi doˇslo slo do havarije havarije motora. Ukoliko bi se iˇslo slo na pove´ canje canje ˇcvrsto´ cvr stoće ce cilind cil indra ra zbog zb og utoˇska ska materi mat erijal jalaa znatno zna tno bi se povećali cal i troˇskovi skovi i smanjil sman jilaa ekonoms ekon omska ka isplativost.

156

Primer Primer 10.1. 10.1. Jedan Jedan motor motor radi sa vazduh vazduhom om kao radnim adnim telom telom po Diesel Diesel-ov -ovom om 5 0 ciklus ciklusu. u. Vazduh azduh se usisava usisava na pritisku pritisku od 0, 8 · 10 Pa i temperaturi od 50 C. Stepen kompresije iznosi 12 a stepen predekspanzije predekspanzije 1,2. Odrediti: Odrediti: a) vre vrednost dnost osnovnih osnovn ih parameta parametara ra stanja sta nja u karakteristiˇ karakteris tiˇcnim cnim taˇckama ckama i b) ter termiˇ miˇcki cki koeficijent koefici jent iskoriˇ isk oriˇs´ sćenja cen ja (TKI) (TK I) ciklusa cikl usa reˇ senje: a) Proces Proces 1 → 4 je izohoran (pogledaj (pogledaj sliku 10.6) tako da je specifiˇ specifiˇcna cna zapremina RT 1 287 · 323 m3 m3 v1 = v4 = . = = 1, 159 p1 0, 8 · 105 kg kg

S obzirom da je dat stepen kompersije =

sledi

v1 = 12, 12, v2

v1 1, 159 m3 m3 v2 = . = = 0, 0965  12 kg kg

Na osnovu poznatog stepena predekspanzije ρ=

dobija se

v3 = 1, 2, v2

m3 m3 v3 = ρv2 = 1, 2 · 0, 0965 . = 0, 116 kg kg

S obzirom da su procesi 1 → 2 i 3 → 4 adijabatski sledi p2 = p1

 v1 v2

κ

= p1 κ = 0, 8 · 105 · 121,40 Pa = 25, 25, 94 · 105 Pa, Pa,

odnosno p4 = p3

κ

κ

  v3 v4

= p2

v3 v4

= 1, 03 · 105 Pa

(jer je p3 = p2 ). Iz jednaˇcine cine stanja, stanja , na osnovu osnov u prethodno p rethodno odredjenih parametara p2 i v2 , sledi T 2 =

p2 v2 = 872K. 872K. R

Kako je proces 2 → 3 izobaran sledi T 3 v3 = = ρ, T 2 v2

tako da je

T 3 = ρT 2 = 1, 2 · 872 K = 1047K. 872K 1047K. 157

Temparatura T 4 dobija se na osnovu jednaˇ jednaˇcine cine stanja i prethodno prethodno odredjenih odredjenih parametara parametara p4 i v4 : p4 v4 1, 03 · 105 · 1, 159 T 4 = = = 416K. 416K. R 287 b) TKI Diesel-ovo Diesel-ovogg ciklusa na osnovu (10.18) (10.18) iznosi ρk − 1 η = 1 − k−1 = 0, 62. 62. k (ρ − 1)

Do istog rezulata moˇze ze da se dodje smenom izraza q1 = c p (T 3 − T 2 )

i

q2 = cv (T 4 − T 1 )

u izraz (3.16) η =1−

|q2 | 1 (T 4 − T 1 ) =1− · = 0, 62. 62. q1 k (T 3 − T 2 )

Diesel-ovom ciklusu ciklusu poznate poznate su temper temperatur aturee u karakteri karakteristiˇ stiˇ cnim cnim Primer Primer 10.2. 10.2. U Diesel-ovom 0 0 0 taˇcka ck ama: t1 = 50 C, t2 = 700 C i t4 = 300 C (slika 10.6). Radno telo je vazduh. Odrediti: a) stepen kompersije kompersije  i stepen predekspanzije ρ b) TKI ovog ovog ciklusa kao i Carnot-ovog Carnot-ovog ciklusa izmedju ekstremnih ekstremnih temperatura. reˇ senje: a) Kako je proces 1 → 2 adijabatski (slika 10.6) sledi T 1 v1k−1 = T 2 v2k−1

P 10..2.1) (P 10

odakle se dobija da stepen kompresije iznosi v1 = = v2

  T 2 T 1

1

κ−1

= 15, 15, 75. 75.

Proces 2 → 3 je izobaran, tako da se dobija T 3 v3 = =ρ T 2 v2 odnosno

T 3 = ρT 2 .

P 10..2.2) (P 10

Na osnovu (P10.2.1) i (P10.2.2) sledi T 2 = T 1

κ−1

  v1 v2

T 3 = ρT 2 = ρT 1

v1 v2

158

= T 1 κ−1 , κ−1

= ρT 1 κ−1 .

P 10..2.3) (P 10

S druge strane, s obzirom da je proces 3 → 4 adijabatski, sledi T 3 = T 4

κ−1

 v4 v3

.

P 10..2.4) (P 10

Kako je v3 = ρv2 i v4 = v1 iz (P10.2.4) sledi T 3 = T 4

  v1 ρv2

κ−1

= T 4

κ−1

  ρ

.

P 10..2.5) (P 10

Iz (P10.2.3) i (P10.2.5) sledi ρT 1 κ−1 = T 4 κ−1 · ρ1−κ tako da stepen predkompresije iznosi ρ=

  T 4 T 1

1 κ

= 1, 506 506..

Na osnovu (P 10.2.2) sledi da je temperatura u karakteristiˇcnoj cno j taˇcki cki 3: T 3 = ρT 2 = 1465K. 1465K. S obzirom obzirom da je kod DieselDiesel-ov ovog og ciklus ciklusaa dove dovedena dena koli koliˇˇcina cina toplote toplote q1 = c p (T 3 − T 2 ) a odvedena koliˇ cina cina toplote q2 = cv (T 4 − T 1 ) dobija se da je TKI ovog ciklusa |q2 | (T 4 − T 1 ) η =1− =1− = 0, 637 637.. q1 κ(T 3 − T 2 ) TKI Carnot-ovog ciklusa koji bi radio izmedju ekstremnih temperatura (T (T min min = T 1 = 323K i T max max = T 3 = 1465K) iznosi ηc = 1 −

T min T 1 min =1− = 0, 780 780.. T max T 3 max

159

11. PROCES PROCESII U GASNIM GASNIM TURBINAMA TURBINAMA Osnovni nedostaci klipnih motora unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja su ograni-ˇcenost cenost snage po jedinici mase motora, nemogućnost cnost adijabatskog ˇsirenja radnog tela do atmosferskog pritiska, kao i neravnomernost njihovog rada usled povratno-translatornog kretanja klipa u cilindu motora. Kod gasnih turbina eliminisana je ve´ cina cina gore pomenutih nedostataka. Sagorevanje Sagorevanje goriva i predaja toplote radnom telu kod gasnih turbina vrˇ vrˇsi si se u posebnom uredja ju - komori za sagorevanje. Radno telo, koga ˇcine cine produkti pro dukti sagorevanja gasnog ˇ ili teˇcnog cnog goriva, g oriva, je gas visoke vi soke temperat temp erature ure i pritiska. priti ska. Sirenje Sire nje radnog r adnog tela se vrˇsi si u mlazniku mlazni ku gde se u isto isto vreme vreme toplotn toplotnaa energij energijaa prevodi prevodi u kineti kinetiˇˇcku cku energij energiju u mla mlaza. za. Prevodjen Prevodjenje je kinetiˇ kinet iˇcke cke energi e nergije je mlaza gasa u koristan kor istan mehaniˇcki cki rad vrˇsi si se na lopaticama lopat icama rotora rotor a gasne turbine. Pored niza prednosti prednosti u odnosu na klipne motore unutraˇ unutraˇ snjeg snjeg sagorevanja sagorevanja primena gasnih gasni h turbina turbi na joˇs nije ˇsiroko siroko rasprostra raspr ostranjena njena.. Da bi se povećao cao koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćenja cenja gasne turbine potrebno je da se pove´ poveća ca temperatura gasov gasova ispred turbine, ˇsto sto zahtev zahtevaa kvalit kvalitetan etan temperat temperaturs urski ki otporan otporan ˇcelik. celik. Osim Osim toga, toga, znatan znatan deo snage snage (≈ 75%) gasne turbine angaˇzovan zovan je za rad kompresora za usisavanje usisavanje i dovodjenje vazduha u komoru za sagore sag orevanje, vanje, ˇcime cim e se sniˇzava zava efekti efe ktivni vni koefici koe ficijent jent iskoriˇ isko riˇs´ sćenja cen ja gasne gas ne turbin tur bine. e. Sliˇcno cno motorima motori ma unutraˇ unut raˇsnjeg snjeg sagorevanja, sagor evanja, radni r adni ciklus ciklu s gasne gasn e turbine tur bine je otvoren, ot voren, jer se iz spoljnje sredine usisava usisava vazduh a iz nje se izbacuju produkti sagorevanja. sagorevanja. Medjutim, Medjutim, radi jednostavnije termodinamiˇ termo dinamiˇcke cke analize pretpostavlja se da je ciklus zatvoren, odnosno da je koliˇ koliˇcina cina radnog tela konstant konstantna. na. Osim toga, predpostavlja predpostavlja se da je radno telo idealan gas konstantn konstantnee specifiˇ cne cne toplote; da su procesi u ciklusu ciklusu povratni; povratni; da je sagorevanje sagorevanje goriva ekvivalentno dovodjenju toplote a izlazak gasova iz gasne turbine - odvodjenju toplote. Gasne turbine naˇsle sle su primenu u energetici, avijaciji, brodogradnji, brodogra dnji, ˇzeleznici zeleznici itd. Idealni ciklusi gasne turbine uslovno uslovno se dele na cikluse s dovodjenjem dovodjenjem toplote u procesu pri konstatnom pritisku (p=const) i konstantnoj zapremini (v=const). 11.1. Ciklus s dovodjenjem dovodjenjem toplote toplote pri p=const Ciklus s dovodjenjem dovodjenjem toplote pri p=const je osnovni osnovni i praktiˇ praktiˇcno cno jedini u praksi primenjivi ciklus kod gasnih turbina. Princi Pri ncipije pijelna lna ˇ sema sema gasne gasne turbine turbine sa sagorev sagorevanj anjem em goriv goriva, odnosno odnosno dovodj dovodjenje enjem m toplote, pri p =const data je na slici (11.1).

Slika 11.1.

Rad gasne turbine ostvaruje se na sledeći ci naˇcin. cin. Atmosferski vazduh pritiska p1 (0.1 MPa) MPa) usisa usisav va se i kompr komprim imuje uje do pritisk pritiskaa p2 (0.4-0.6 MPa) pomo´ cu cu kom kompresora presora (1) i 160

ubacuje u komoru za z a sagorevanje (2). U isto vreme, iz rezervoara za gorivo pomoću cu pumpe (5) gorivo gorivo se neprekidno neprekidno ubrizgav ubrizgava u kom komoru oru gde se uz pomo´ c kom komprimo primov vanog vazduha vrˇsi si sagorevanje, sago revanje, pri p ri ˇcemu cemu se obrazuju obr azuju prod p rodukti ukti sagorevanja sa gorevanja visoke v isoke temperatu temp erature. re. Iz komore produkti sagorevanje ulaze u mlaznik (3) gde se vrˇsi si ˇsirenje sirenje i ubrzavanje ubrzavanje mlaza. Mlaz gasa, velike brzine, iz mlaznika pada na lopatice rotora gasne turbine (4) pri ˇcemu cemu se kinetiˇcka cka energija mlaza prevodi u mehaniˇcki cki rad. Gasne turbine s dovodjenjem toplote pri izobarnoj ekspanziji ( p = const) razlikuju se po tome kakav je proces komprimovanja vazduha u kompresoru; adijabatski, izotermski ili politropski. politropski. U daljem tekstu razmotrićemo cemo odgovaraju´ odgovarajuće ce cikluse cikluse s adijabatsko adijabatskom m i izotermskom kompresijom gasa u kompresoru. 11.1. 11.1.1. 1. Cikl Ciklus us gasn gasne e turb turbin ine, e, sa izob izobar arsk skim im (p= (p= const const)) dov dovodjen odjenje jem m (i odvodjenjem) toplote i adijabatskim (s= const) sabijanjem i ˇ sirenjem sirenjem radnog tela - Joule-ov ciklus Idealizovan ciklus gasne turbine s sagorevanjem pri p = const i kompresijom pri s = const prikazan je u p,v- i T,s- dijagramu na slici 11.2.

Slika 11.2

Proces 1 → 2 predsta predstavlj vljaa adijabat adijabatsk skoo sabijan sabijanje je gasa gasa u kompr kompresor esoru. u. Radnom Radnom telu telu se dovodi dovodi toplota tokom tokom izobarnog ˇsirenja sirenja 2 → 3 radnog tela ˇsto sto odgovara sagorevanju goriv goriva a u komo komori. ri. Proces Proces 3 → 4 odgovara odgovara adijabatskom adijabatskom ˇsirenju sirenju radnog tela (vazduh (vazduh i proizvodi sagorevanja) koji ko ji se vrˇsi si u mlazniku i delimiˇcno cno na lopaticama rotora turbine. Tokom izobarskog procesa 4 → 1 vrˇ vrˇsi si se izbacivanje izbacivanje produkata produkata sagorevanja sagorevanja iz turbine, ˇsto sto odgovara odvodjenju o dvodjenju toplote od radnog tela, i ubacivanje nove koliˇcine cine radnog tela u kompresor. Pritisak p1 (= p4 = const) na izlazu iz turbine je konstantan (i blizak atmosferskom pritis pritisku) ku),, a proces proces 4 → 1 je izoba izobarni rni zbog zbog staci stacion onarn arnog og rada rada ga gasne sne turbine, turbine, a time time i vremenske vremenske nezavisnosti nezavisnosti parametara parametara radnog tela. Kod motora unutraˇ unutraˇ snjeg snjeg sagorevanja sagorevanja izbacivanje radnog tela se vrˇsi si pri izohorskom procesu, pro cesu, s obzirom da je vreme tokom koga je izduvni ventil otvoren vrlo malo pa je i promena zapremine zanemarljiva (dV (dV ≈ 0). 0). cikluss sa dovo dovodj djen enje jem m topl toplot ote e pri pri izob izobar arnoj noj eksp ekspan anzi ziji ji (p = Razmotrimo ciklu const) i adijabatskoj kompresiji (s= const) radnog tela. Karakteristi Karakteristiˇˇcni cni parametri parametri ciklusa ciklusa su stepen porasta pritiska pritiska u kompresoru kompresoru β = pp21 , stepen izobarne ekspanzije (predekspanzije) ρ = vv32 i stepen kompresije  = vv12 . Dovedena koliˇcina cina toplote pri izobarnom procesu 2 → 3 je q1 = c p (T 3 − T 2 ),

(11. (11.1)

a odvedena koliˇ cina cina toplote pri izobarnom procesu 4 → 1 je q2 = c p (T 4 − T 1 ) 161

(11.2)

Termiˇ erm iˇcki cki koefici koe ficijent jent iskoriˇ isko riˇs´ sćenja cen ja datog dat og ciklus cik lusaa iznosi izn osi 4 T 1 ( T |q2 | c p (T 4 − T 1 ) T 1 − 1) ηt = 1 − . =1− =1− 3 q1 c p (T 3 − T 2 ) T 2 ( T − 1) T 2

(11. (11.3)

Kako su procesi 1 → 2 i 3 → 4 adijabatski a, s druge strane, procesi 2 → 3 i 4 → 1 izobarni ( p3 = p2 i p4 = p1 ) sledi T 2 = T 1 i T 3 = T 4

 p3 p4

 p2 p1

k−1 k

k−1 k

= T 1 β

k−1 k

= T 4

 p2 p1

,

k−1 k

(11. (11.4)

k−1 k

= T 4 β

.

(11. (11.5)

Iz (11.3) i (11.5) dobija se T 4 T 3 . = T 1 T 2

(11. (11.6)

S druge strane, za adijabatski proces 1 → 2 vaˇzi zi i jedn je dnaˇ aˇcina ci na T 2 = T 1

 v1 v2

k−1

= T 1 k−1 ,

(11. (11.7)

tako da na osnovu (11.4) i (11.7) sledi β = k .

(11. (11.8)

Na osnovu (11.3), (11.3 ), (11.6), (11.6 ), (11.7) (11.7 ) i (11.8) (11.8 ) termiˇcki cki koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćenja cenja Joule-ovog Joule -ovog ciklusa ciklu sa je ηJ = 1 −

T 1 1 1 = 1 − k 1 = 1 − k−1 T 2  β k −

(11. (11.9)

Termiˇcki cki koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćenja cenja gasne turbine turbi ne s dovodjnjem dovodjnj em toplote toplo te pri p=const p=cons t i adijabatskoj kompresiji raste s porastom stepena kompresije ( (), stepena porasta pritiska (β (β ) i eksponen eksponenta ta adijabat adijabatee (k). (k). Gornja Gornja granica granica stepena kompresi kompresije je () limitirana je temperaturom aturom gasa na ulazu ulazu u turbin turbinu. u. Intere Interesan santno tno je da su pri istim stepenima stepenima kompres kompresije ije termiˇcki cki koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćenja cenja ovog ciklusa ciklu sa i ciklusa ciklu sa klipnog klipn og motora motor a unutraˇsnjeg snjeg sagoresagor evanja s dovodjenjem toplote pri v=const (Otto-ov ciklus) jednaki. 11.1.2. Ciklus gasne turbine s izotermnim izotermnim sabijanjem (T= const) i dovodjenjem dovodjenjem toplote pri izobarnoj ekspanziji (p= const) - Brayton-ov ciklus p = const) Idealan ciklus gasne turbine s dovodjenjem dovodjenjem toplote pri izobarnoj ekspanziji ekspanziji ( p i izotermskoj kompresiji (T (T = const) gasa u kompresoru prikazan ja na slici 11.3 u p,v- i T, s- dijagramu. U odnosu na ciklus prikazan na slici 11.2 ovaj ciklus se razlikuje samo po tome ˇsto sto je u ovom sluˇcaju ca ju proces pro ces 1 → 2 izoterman. U ovom ovom sluˇcaju caju toplota se odvodi od o d radnog tela u izobarnom procesu 4 → 1 (slika 11.3). q2 = c p (T 4 − T 1 ), (11. (11.10) 162

i u izotermskom procesu 1 → 2

p2 q2 = RT 1 ln . p1

(11. (11.11)

Koliˇcina cina toplote dovedena radnom telu sagorevanjem pri izobarskom procesu pro cesu 2 → 3 iznosi q1 = c p (T 3 − T 2 ).

(11. (11.12)

Slika 11.3

Kako je R = c p − cv = c p (1 −

cv k−1 1 , ) = c p (1 − ) = c p c p k k

(11. (11.13)

i imajući ci u vidu da je T 1 = T 2 , na osnovu (11.10), (11.11) i (11.12), sledi da je toplotni koefi ko efici cije jent nt iskor is koriˇ iˇs´ sćenj ce nja a cik c iklu lusa sa p2 1 c p (T 4 − T 1 ) + c p ( k− |q2 + q2 | k ) · T 1 ln p1 ηt = 1 − =1− = q1 c p (T 3 − T 2 )

=1−

4 ( T T 1 − 1) +

T 3 T 2

k−1 p2 k ln p1

−1

.

Zadrˇzimo zimo kao ranije oznake za stepen predekspanzije ρ = p2 β = p1 . S obzirom da je proces 2 → 3 izobarski sledi

(11. (11.14) v3 v2

i stepen step en poviˇsenja senja pritiska prit iska

T 3 v3 = = ρ. T 2 v2

(11. (11.15)

Kako je proces 3 → 4 adijabatski i kako je p3 = p2 i p4 = p1 sledi T 4 = T 3

 p3 p4

1−k k

= T 3

 p2 p1

1−k k

1−k

= T 3 β

k

.

(11. (11.16)

Iz (11.15) i (11.16) sledi 1−k

T 4 = T 2 ρβ odnosno

k

1−k

= T 1 ρβ

k

1 k T 4 ρ = ρβ k = k 1 . T 1 β k −

−

163

, (11. (11.17)

Zamenom (11.15) i (11.17) u (11.14) dobija se izraz za termiˇcki cki koeficijent iskoriˇ iskoriˇs´ sćenja cenja gasne turbine s dovodom dovodom toplote pri p =const i izotermskim izotermskim sabijanjem sabijanjem vazduha (Brayton(Braytonov ciklus). ηB = 1 −

k−1 k

β



k−1 k lnβ − k−1 k

β



1 +ρ

(ρ − 1)

.

(11. (11.18)

Maksimu Mak simum m termiˇ ter miˇckog ckog koefici koe ficijent jentaa iskoriˇ isko riˇs´ sćenja cen ja za dato dat o ρ nalazi se iz uslova da je

  ∂η ∂β

(11.19)

=0 ρ

Iz (11.18) i predhodnog uslova sledi

  ∂η ∂β

k−1

k − 1 1 2k ρ − β k β k = k ρ−1 −

ρ

= 0,

(11. (11.20)

odakle je k −1 k

ρ = β

,

(11. (11.21)

.

(11. (11.22)

odnosno β = ρ k

k −

1

Zamenom β u (11.18) dobija se ηmax za dato ρ ηmax = 1 −

lnρ . ρ−1

(11. (11.23)

11.1.3. Poredjen Poredjenje je TKI ciklusa ciklusa gasnih turbina turbina sa dovodjenjem dovodjenjem toplote toplote pri p= const za sluˇ caj caj adijabatske i izotermne kompresije Poredjenjem Poredje njem termiˇckih ckih koeficijena koefic ijenata ta iskoriˇs´ sćenja cenja gasnih gasni h turbina turb ina sa sagorevanjem sagor evanjem pri p=const za sluˇcajeve ca jeve adijabtske i izotermske kompresije, pri jednakim maksimalnim temperaturama (T (T 3 ) ciklusa kao i jednakim minimalnim ( p ( p1 ) i maksimalnim ( p ( p2 ) pritiscima, p2 tj. jednakim stepenom step enom poviˇsenja senja pritiska p ritiska β = p1 , pokazuje se da je termiˇcki cki koeficijent iskoriˇs´ sćenja cenja ciklusa ciklu sa s adijabatskom adija batskom kompresijom kompresi jom veći ci od koeficijenta koefic ijenta ciklusa ciklu sa sa izotermskim izote rmskim koeficijentom: ηJ > ηB .

(11. (11.24)

Na primer, iz T, s - dijagrama, dijagrama, na kojem su prikazana prikazana oba ciklusa (slika (slika 11.4.), oˇcigledno cigledno je da je (pri jednakim q1 , T 3 i p1 i p2 ) rad ciklusa s adijabatskom kompresijom (povrˇsinska sinska ograniˇ ogr aniˇcena cen a krivom kri vom 1 → 2 → 3 → 4 → 1) ve´ ca ca od rada ciklusa s izotermskom kompresijom  (povrˇ (p ovrˇsina sin a ogr o gran aniˇ iˇcena ce na krivo kr ivom m 1 → 2 → 3 → 4 → 1 ). 164

Slika 11.4.

Osim toga, moˇze ze da se pokaˇze ze da termiˇcki cki koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćenja cenja gasne turbine turbi ne sa sagorevanjem pri p =const i politropskom kompresijom ima vrednost izmedju ηJ i ηB : ηJ > η poli > ηB .

(11. (11.25)

11.2. Ciklus gasne turbine turbine s dovodjenjem dovodjenjem toplote toplote pri v=const U praksi se ne koriste gasne turbine koje rade po ciklusu s dovodjenjem toplote u procesu pro cesu v=const v=cons t već se joˇs uvek u vek vrˇse se lab l aborato oratorijska rijska ispiti i spitivanja. vanja. Razlog Razlo g za z a to t o su s u konstrukkon struktivne teˇsko´ sko´ ce ce izrade delova delova za ubacivanje i izbacivanje radnog tela u komori sagorevanja. Posle Posle duˇ ze ze upotrebe ventili ventili ne ”dihtuju” ”dihtuju” dobro usled sopstvenog sopstvenog sagorevanja sagorevanja i time se ne obezbedjuje sagorevanje pri konstantnoj zapremini.

165

Slika 11.5.

pri ncipi ipije jeln lna aˇ sema se ma gasne turbine s dovodjenjem toplote Na slici (11.5) prikazana je princ pri v=const. Atmosferski vazduh se usisava usisava i komprimuje pomoću cu turbokompresora (1) i ubacuje preko rezervoara (2) ve´ veće ce zapremine zapremine i usisnog usisnog ventila ventila (3) u kom komoru oru za sagorevanje sagorevanje (4). Istovremeno se iz rezervoara za gorivo, pomoću cu pumpe (5) i preko odgovarajućeg ceg ventila (6), teˇcno cno gorivo ubacuje uba cuje u komoru za sagorevanje. Zapaljenje smeˇse se goriva i vazduha u komori komo ri za z a sagor sa gorevanje evanje vrˇsi si se s e elek e lektriˇ triˇcnom cno m varnico varn icom m pomo´ p omoću cu svećice cic e (7). (7 ). Proces Pro ces sagore sag orevanja vanja goriva se vrˇsi si pri zatvorenim ventilima (3) i (8). Posle sagorevanja goriva pritisak u komori poraste, otvara se izduvni ventil (8) i proizvodi sagorevanja se usmeravaju u mlaznik (9), gde se vrˇsi si ˇsirenje sirenje i ubrzavanje ubrzavanje mlaza. Iz mlaznika mlaz gasa pada na lopatice rotora gasne turbine turb ine (10), pri ˇcemu cemu se kinetiˇcka cka energi e nergija ja mlaza prevodi prevo di u mehaniˇ mehan iˇcki cki rad. Na slici slici 11.6. 11.6. u p,vp,v- i T,sT,s- dija dijagra grami mima ma prik prikaza azan n je ideal idealan an ciklu cikluss gasne gasne turbin turbinee s dovodom toplote pri v=const i adijabatskoj kompresiji* radnog tela.

Slika 11.6.

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskoj kompresiji vazduha u kompresoru. Porast pritiska radnog tela usled sagorevanja goriva u komori za sagorevanje pri konstantnoj zapremini opisuje se izohornim procesom 2 → 3. Proces 3 → 4 odgovara o dgovara adijab a dijabatskom atskom ˇsirenju siren ju radnog r adnog tela (proizvoda sagorevanja) u mlazniku. U procesu 4 → 1 dolazi do izobarnog odvodjenja topl to plot otee ispuˇ is puˇstan st anje jem m iskor is koriˇ iˇs´ sćeni ce nih h gasova. ga sova. Karakteris Karak teristiˇ tiˇcni cni parametri param etri ciklusa ciklu sa su s u stepen ste pen povećanja canja pritiska priti ska pri kompresiji kompresi ji β = pp21 i stepen dodatnog pove´ canja canja pritiska (pri dovodjenju toplote) λ = pp32 (ili stepen kompresije  = vv12 ). Dovedena koliˇcina cina toplote pri izohornom procesu (2 → 3) iznosi q1 = cv (T 3 − T 2 ),

(11. (11.26)

a odvedena o dvedena koliˇcina cina toplote t oplote pri p ri izobarno izob arnojj kompresiji (proces 4 → 1) iznosi q2 = c p (T 4 − T 1 ).

(11. (11.27)

Termiˇcki ck i koefi ko efici cije jent nt iskor is koriˇ iˇs´ sćenj ce njaa cikl ci klus usaa izno iz nosi si ηt = 1 − *

|q2 | c p (T 4 − T 1 ) T 4 − T 1 . =1− =1−k q1 cv (T 3 − T 2 ) T 3 − T 2

kompresija radnog te la u kompresoru moˇ ze ze da se izvede i pri izotermnom procesu

166

(11. (11.28)

Izrazimo Izrazimo temperature T 2 , T 3 i T 4 preko poˇ p oˇcetne cetne temperatu temp erature re radnog ra dnog tela T 1 . Za adijabatski proces 1 → 2 je k 1 k 1 T 2 p2 k = = β k , (11. (11.29) T 1 p1



−

−

odnosno

k−1 k

T 2 = T 1 β Za izohorni proces 2 → 3 je

.

(11. (11.30)

T 3 p3 = = λ. T 2 p2

(11. (11.31)

Iz (11.30) i (11.31) sledi k−1 k

T 3 = T 2 λ = T 1 λβ Za adijabatski proces 3 → 4 je



T 4 p4 = T 3 p3

.

(11. (11.32)

k−1 k

.

(11. (11.33)

Kako je p4 = p1 i p3 = λp2 = λp1 β, sledi



T 4 p4 = T 3 p3

k−1 k

=

1 (λβ )

k−1 k

.

(11. (11.34)

Na osnovu (11.34) i (11.32) dobija se T 4 =

T 3 (λβ )

k−1 k

k−1 k

T 1 λβ

=

(λβ )

k−1 k

1

= T 1 λ k .

(11. (11.35)

Na osnovu (11.28), (11.2 8), (11.30), (11.3 0), (11.32) (11.3 2) i (11.35) (1 1.35) dobija dobij a se izraz izra z za termiˇcki cki koeficijent koefic ijent iskoriˇs´ sćecenja ciklusa gasa turbine s dovodjenjem toplote pri v=const i adijabatskoj kompresiji radnog tela 1

η =1−

k (λ k − 1) k −1 k

β

(λ − 1)

.

(11. (11.36)

Termiˇcki cki koeficijent iskoriˇ iskoriˇs´ sćenja cenja gasne turbine s dovodjenjem toplote pri v=const raste s stepenom porasta pritiska u kompresoru (β (β ), stepenom poviˇsenja senja pritiska u komori za sagorevanje (λ (λ), kao i eksponentom adijabate (k). Pove´ canje canje TKI ciklusa ci klusa gasne turbine turbi ne ostvaruje o stvaruje se primenom pr imenom regeneraci regen eracije je toplote to plote,, viˇsesestepenim zagrevanjem i hladjenjem radnog tela (uz viˇsestepeno sestepeno sabijanje i ˇsirenje) sirenje) sa regeneracijom toplote itd. 11.3. Usavrˇ seni seni (poboljˇ (po boljˇ sani) sani) ciklus gasne turbine 11.3.1.Ciklus gasne turbine sa regeneracijom Temperatura (T (T 4 ) gasova gasova na izlazu iz turbine je viˇ viˇsa sa od temperature (T (T 2 ) vazduha sabijenog u kompresoru (T (T 4 > T 2 ), ˇsto sto se vidi iz ciklusa ciklusa gasnih turbina s dovodjenjem dovodjenjem p v toplote kako pri = const tako i pri = const prikazanih u T,s-dijagramu na slikama 167

11.4 i 11.6. Znaˇci ci jedan deo energije radnog tela neiskoriˇ neiskoriˇs´ scen cén odlazi u atmosferu (okolnu sredinu). sredinu). Ukoliko Ukoliko bi se deo toplotne energije gasova gasova na izlazu iz turbine usmerio i iskoristio iskoristio za dopunsko dopunsko zagrevanje zagrevanje sabijenog sabijenog vazduha na izlazu iz kom kompresora presora pove´ povećao cao bi se odnos dovedene prema odvedenoj odvedeno j koliˇcini cini toplote top lote a time i TKI gasne turbine. Regeneracija Regeneracija toplote moˇ ze ze da se praktiˇ praktiˇcno cno ostvari ostvari u gasnim turbinama turbinama s dovodom dovodom toplote kako pri p = const tako i pri v = const. Medjutim, Medjutim, razmotri´ razmotrićemo cemo samo gasne turbine sa regeneracijom r egeneracijom toplote u sluˇcaju caju adijabatska kompresija (s (s = const) vazduha u kompresoru i dovodjnjem toplote pri izobarnoj ekspanziji ( p = const) (Joule-ov ciklus). Principijelna ˇsema sema gasne turbine sa regeneracijom regenera cijom toplote prikazana je na slici 11.7. U odnosu na rad gasne turbine bez regeneracije regeneracije toplote (slika 11.1.) u ovom ovom sluˇcaju caju razlika razli ka je u tome ˇsto sto komprimovan vazduh vazdu h iz turbokompre turb okompresora sora (1) prolazi prola zi kroz razmenjivaˇ razme njivaˇc toplote -regenerator (6), gde dobija deo toplotne enrgije qreg (pri konstantnom pritisku) od gasova gasova koji su izaˇsli sli iz mlaznika mlaznika (3), a zatim kroz turbinu turbinu (4) i tek tada se usmerava usmerava u komoru za sagorevanje (2). Idealizovan ciklus gasne turbine sa regeneracijom pri adijabatskoj kompresiji vazduha (s = const) u kompresoru u izobarnom dovodjenju toplote ( p =const) prikazan je u p,v- i T,s -dijagramu na slici 11.8.

Slika 11.7.

Posmatran Posmatran ciklus sastoji se iz procesa adijabatskog adijabatskog (ili izotermnog) sabijanja vazduha vazduha u kompresoru 1 → 2, procesa izobarnog ˇsirenja usled dogrevanja vazduha u regeneratoru 2 → A, procesa izobarnog ˇsirenja sirenja usled dovodjenja toplote pri sagorevanju goriva u komori sagorevanja A → 3, procesa adijabatsk adijabatskog og ˇsirenja sirenja u turbini 3 → 4, procesa izobarnog sabijanja zbog hladjenja izlaznih gasova u regeneratoru 4 → B i procesa izobarnog sabijanja zbog odvodjenja toplote u okolnu sredinu (atmosferu) B → 1.

Slika 11.8

Regeneracija se sasto ji u tome ˇsto sto se deo toplote to plote qreg odveden tokom procesa 4 → B vra´ ca ca radnom telu u procesu 2 → A. Tokom procesa A → 3 i B → 1, kao i ranije ranij e vrˇsi si se razmena toplote izmedju radnog tela i izvora toplote odnosno radnog tela i hladnjaka. 168

Neophodni uslovi za ostvarenje regeneracije su T 2 ≤ T B ≤ T A ≤ T 4 . Potpuna regeneracija bi se ostvarila pod uslovima: T B = T 2 i T A = T 4 . Medjutim, zbog ireverzibilnosti radnih procesa ona se praktiˇ praktiˇcno cno ne ostvaruje. ostvaruje. Za teorijsko teorijsko razmatranje regenerativnog regenerativnog ciklusa ciklusa regeneracije e σ kao odnos koliˇ uvodi se tzv. stepen regeneracij koliˇcine cine toplote koju primaju sabijeni sabijeni  gasovi u regeneratoru iz kompresora qreg = c p (T A − T 2 ) i koliˇ cina cina toplote koju oslobadjaju oslobadja ju  izlazni gasovi u regeneratoru qreg = c p (T 4 − T B ) :  qreg T A − T 2 σ =  = . qreg T 4 − T B

(11. (11.37)

Pri potpunoj regeneraciji (T (T B = T 2 i T A = T 4 ) stepen regeneracije ima najve´ na jve´ cu cu vrednost σ = 1 a u sluˇcaju ca ju kada nema regeneracije (T A = T 2 ) najmanju vrednost σ = 0. U opˇ opˇstem st em sluˇ sl uˇcaju ca ju je 0 < σ < 1. Odredimo TKI ciklusa gasne turbine s dovodjenjem toplote pri p = const i regeneracijo eracijom. m. Neka Neka je T B = T 2 i T A ≤ T 4 . U sluˇ caju caju regeneracije regeneracije radnom telu je potrebno dovesti spolja spo lja manju koliˇcinu cinu toplote toplo te q1 nego kod ciklusa bez regeneracije q1 = c p (T 3 −T 2 ). S   obzirom obzir om da se iz regenerat rege neratora ora sistemu vraća ca koliˇcina cina toplote toplo te qreg = σqreg = σc p (T 4 − T B ) = σc p (T 4 − T 2 ), sledi  q1 = q1 − qreg = c p (T 3 − T 2 ) − c p σ (T 4 − T 2 ).

(11. (11.38)

S druge strane, u sluˇ sluˇcaju caju nepotpune regeneracije regeneracije (0 < σ < 1), 1), odvedena odved ena koliˇcina cina toplote toplo te je smanjena  q2 = c p (T B − T 1 ) + (1 − σ )qreg = c p (T B − T 1 ) + (1 − σ )c p (T 4 − T B ) =

c p (T 2 − T 1 ) + (1 − σ )c p (T 4 − T 2 ).

(11. (11.39)

TKI razmatranog regenerativnog ciklusa, na osnovu (11.38) i (11.39), je : η =1−

|q2 | (T 2 − T 1 ) + (1 − σ )(T )(T 4 − T 2 ) =1− = q1 (T 3 − T 2 ) − σ (T 4 − T 2 ) =

(T 3 − T 2 ) − (T 4 − T 1 ) . (T 3 − T 2 ) − σ (T 4 − T 2 )

(11. (11.40)

Iz (11.40) se dobija da u sluˇcaju caju kada ne posto ji regeneracija (σ = 0) dobija se poznat izraz (11.9). U sluˇ caju caju potpune regeneracije regeneracije (σ = 1) KTI ciklusa sa dovodjenjem toplote pri p = const (bez obzira na prirodu procesa 1 → 2 i 3 → 4) je η=

(T 3 − T 2 ) − (T 4 − T 1 ) (T 3 − T 4 ) − (T 2 − T 1 ) = = T 3 − T 4 T 3 − T 4 =1−

T 2 − T 1 . T 3 − T 4

(11. (11.41)

U sluˇcaju caju kada su procesi 1 → 2 i 3 → 4 adijabatski sledi: k 1 p2 k 1 T 2 = T 1 ( ) k = T 1 β k p1 −

169

−

(11. (11.42)

i k 1 p2 k 1 T 3 = T 4 ( ) k = T 4 β k = T 1 . p1 −

−

(11. (11.43)

tako da se zamenom (11.42) i (11.43) u (11.41) dobija

η =1−

T 1 T 2 =1− . T 4 T 3

(11. (11.44)

Kako je proces 2 → 3 izobaran sledi T 3 v3 = = ρ, T 2 v2

(11. (11.45)

tako da je η =1−

1 T 2 =1− . T 3 ρ

(11. (11.46)

TKI ciklusa sa potpunom p otpunom regeneracijom re generacijom u sluˇcaju caju dovodjenja toplote pri p =const i adijabatskom kompresijom zavisi samo od temeperature T 4 (pri stalnoj stalno j poˇcetnoj cetno j temperaturi T 1 ) na kraju adijabatskog ˇsirenja sirenja gasa, tj. poˇcetka cetka regeneracije [izraz (11.44)] odnosno od stepena predekspanzije predekspanzije ρ [izraz (11.46)] i raste sa njihovim porastom. U tabeli 11.1 prikazana je zavisnost TKI regenerativnog ciklusa, pri p = const i adi jabatskoj jabatskoj kompresiji kompresiji,, od temeperature temeperature regeneracije regeneracije T 4 ; poˇcetna cetna temperatura jednaka je temperaturi okolne sredine T 1 = 300K. Tabela 11.1. T 4 (K ) η

700

800

900

1 0 00

0,57 0,5711 0,62 0,6255 0.66 0.6677 0,70 0,7000

11.3.2. Ciklus s viˇ sestepenim sestepenim dovodjenjem dovodjenjem i odvodjenjem toplote Ciklus gasne turbine s, na primer, dvostepenim dovodjenjem i odvodjenjem toplote prikazan je na slici 11.9.

170

Slika 11.9.

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom sabijanju gasa (u 1. stepen kompresora); 2 → 3 -izobarnom odvodjenju toplote (u hladnjaku); 3 → 4 - adijabatskom sabijanju gasa (u 2. stepenu kompresora); 3 → 4 -izobarnom odvodjenju toplote (u komoru sagorevanja); 5 → 6 -adijabatsk -adijabatskom om ˇsirenju sirenju produkata produkata sagorevanja sagorevanja (u 1.stepen turbine); 6 → 7 - izobarnom dovodjenju toplote (u dopunskoj komori sagorevanja); 7 → 8- adijabatskom ˇsirenju (u 2. stepenu turbine); 8 → 1- izobarskom odvodjenju toplote. U ovakvim gasnim turbinama primenjuje se i regeneracija toplote (u procesu 8 → B i 4 → A). Idealni ciklusi ve´ cine cine savremenih gasnih turbina su sliˇcni cni prethodno prikazanom (slika 11.9). 11.9) . Ukoliko bi se povećao cao broj bro j step s tepeni eni dovodjenja dovodjen ja i odvodj o dvodjenja enja toplote toplo te s koriˇ kor iˇs´ sćecenjem potpune potpune regenera regeneracij cije, e, ovak ovakav av ciklus ciklus bi preˇ preˇsao sao u Carnott Carnott-ov -ov ciklus. ciklus. Medjuti Medjutim, m, s uve´ canjem canjem bro ja stepeni step eni dovodjenja i odvodjenja toplote porasli p orasli bi gubici zbog zb og iverzibilnih procesa i znatno zn atno bi se usloˇznila znila konstrukcija gasne turbine.

171

Primer 11.1. Gasna turbina radi po ciklusu sa izotermnim sabijanjem i dovodom toplote pri p = const (Brayton-o (Brayton-ovv ciklus) ciklus) (slika (slika 11.3). Koeficij Koeficijent ent pre predekspanzije dekspanzije iznosi ρ = v3 /v2 = 2 a koeficijent adijabate k = 1.33. 33. Odrediti: a) termiˇcki cki koeficijent iskoriˇs´ sćenja cenja (TKI) ciklusa ako je koeficijent povećanja canja pritiska priti ska p2 β = p1 = 10; b) koeficijent pove´ canja canja pritiska pritis ka β tako ta ko da ter termiˇ miˇcki cki koefici koefi cijen jentt isko is koriˇ riˇs´ sćenja ce nja (η ) bude na jve´ jv eći, ci, kao i njegovu njegov u najve´ naj veću cu vrednost (ηm ). reˇ senje: a) Termiˇ Termi ˇcki ck i koeficij koefi cijen entt isko is koriˇ riˇs´ sćenja ce nja za β = 10 iznosi (11.18) η =1−

k−1 k

β

1 lnβ − 1] + ρ [ k− k lnβ − k−1 k

β

(ρ − 1)

,

P 11..1.1) (P 11

odakle je η = 0, 299 299.. b) Maksimalna Maksi malna vre vrednost dnost termiˇckog ckog koeficijenta iskoriˇs´ sćenja cenja nalazi nalaz i se iz uslova

  ∂η ∂β

P 11..1.2) (P 11

=0 ρ

odakle je

  ∂η ∂p

k−1

k − 1 1 2k (ρ − β k ) β k = = 0, k ρ−1 −

ρ

odnosno β = ρ k

k

1

−

P 11..1.3) (P 11

= 16, 16, 3.

Smenom β u izraz (P11.1.1) za η dobija se maksimalna maksim alna vre vrednost dnost termiˇckog ckog koeficijenta koeficijen ta iskoriˇs´ sćenja lnρ ηm = 1 − = 0.45. 45. ρ−1

Gasna tur turbin bina a radi po ciklus ciklusu u s dovo dovodjenje djenjem m toplote toplote pri p=const p=const i Primer Primer 11.2 11.2 Gasna izoter izotermsk mskoj oj kompr kompresi esiji ji (Brayt (Brayton-o on-ovv ciklus ciklus (slika (slika 11.3)). 11.3)). Radno adno telo telo je vazduh vazduh s eksp eksponentom adijabate adijabate k = c p /cv = 1.40 i gasnom konstantom R = 287J/kgK. 287J/kgK. Koeficijent povećanja can ja pritis pri tiska ka je β = p2 /p1 = 9 a koeficijent predekspanzije ρ = v3 /v2 = 4. Sma Sm atraju tra ju´ ći ci vazduh idealnim gasom odrediti: a) parametre stanja stan ja radnog tela tel a (vazduha) (vazdu ha) u karakteristiˇ karakterist iˇcnim cnim taˇckama; ckama; b) term te rmiˇ iˇcki ck i koefic k oeficije ijent nt isko is koriˇ riˇs´ sćenja ce nja ciklu ci klusa sa (nt ) i c) maksimalnu vre vrednost dnost termiˇckog ckog koeficijenta koeficijenta (ηm ) ciklusa pri datoj vrednosti koefici jenta predekspanzije. reˇ senje: Parametri radnog tela (vazduh) u taˇ cki cki 1 (pred (pred izotermnu ekspanziju) su T 1 = 300K, 300K, p1 = 0, 1M P a 172

v1 =

RT 1 297 · 300 m3 /kg. = = 0, 861 861m 5 p1 10

Parametri radnog tela tel a u taˇcki cki 2 (posle izvrˇsene sene izotermne izoter mne kompresije) su T 2 = T 1 = 300K, 300K, p2 = βp 1 = 9 · 0, 1 · 106 = 0, 9MPa, v2 =

RT 2 287 · 300 3 , m /kg. = = 0 0957m 0957 p2 0, 9 · 106

Parametri radnog tela u taˇcki cki 3 (posle izobarne ekspanzije) su T 3 = ρT 2 = 4 · 300 = 1200K, 1200K, v3 = ρv2 = 4 · 0, 0957 = 0, m3 /kg, 0, 3828 3828m p3 = p2 = 0, 9MPa.

Parametri radnog tela u taˇcki cki 4 (posle adijabatske ekspanzije) su p4 = p1 = 0, 1MPa, T 4 = T 3

 p3 p4

v4 =

(1− (1−k)/k

= 1200

  0, 9 0, 1

(1− (1−1,4)/ 4)/1,4

= 640, 640, 5K,

RT 4 287 · 640 m3 /kg. = = 1, 8368 8368m 6 p4 0, 1 · 10

Termiˇcki cki koeficijent koefici jent iskoriˇ isko riˇs´ sćenja cenj a (TKI) (TKI ) BraytonBrayt on-ovog ovog ciklusa cikl usa (11.18 (11 .18)) izno i znosi si 1−k

η =1−

[ρ · β

k

1 − 1 + k− k lnβ ] = 0, 41. 41. (ρ − 1)

b) Maksim Mak simaln alna a vrednost ter termiˇ miˇckog ckog koeficijent koefici jenta a iskoriˇ isk oriˇs´ sćenja cenj a pri ρ = const = 4 odredjuje se iz uslova ∂η ( )ρ = 0. ∂β Dobija se β = ρ k

tako da je ηm = 1 −

k

1

−

= 128, 128,

lnρ = 0, 538 538.. ρ−1

cetni cetni parametri arametri radno radnogg tela gasne turbine turbine koja radi po ciklusu ciklusu s Primer Primer 11.3. 11.3. Poˇ dovodjenjem toplote pri v = const i adijabatskoj kompresiji (slika 11.6) su p1 = 0, 1M P a 173

i T 1 = 300K. canja pritiska pritis ka iznosi β = pp21 = 12. 300K. Stepen uvećanja 12. Ukoliko je radno telo vazduh konstantne vre vrednosti dnosti specifiˇ specifiˇ cne cne toplote i ukoliko je maksimalna dozvoljena temperatura temperatura vazduha T 3 = 1200K, 1200K, odrediti: a) parametre stanja sta nja u svim karakteristiˇ karakteris tiˇcnim cnim taˇckama ckama ciklusa; ciklusa ; v1 b) stepen stepen kompresije kompresije  = v2 i c) term te rmiˇ iˇcki ck i koefic k oeficije ijent nt isko is koriˇ riˇs´ sćenja ce nja ciklu ci klusa sa.. Gasna konstanta vazduha iznosi R = 287J/kgK. 287J/kgK. reˇ senje: Specifiˇcna cna zapremina zap remina u taˇcki cki 1 ciklusa cikl usa iznosi izn osi:: RT 1 287 · 300 v1 = m3 /kg. = = 0, 861 861m 5 p1 10 Parametri radnog tela tel a u taˇcki cki 2 (posle izvrˇsene sene adijabatske kompresije) kompresije ) su p2 = βp 1 = 12 · 0, 1M P a = 1, 2MPa, (k 1) p2 (k 1) (1,4−1)/ 1)/1,4 T 2 = T 1 ( ) k = T 1 β k = 300 · 12(1, = 610, 610, 2K, p1 RT 2 287 · 610 v2 = m3 /kg. = = 0, 146 146m 6 p2 1, 2 · 10 Parametri radnog tela u taˇcki cki 3 (posle izobarnog dovodjenja toplote) su T 3 = T max 1200K, max = 1200K, −

−

v3 = v2 = 0, 146 m3 /kg, 146m T 3 1200 p3 = p2 · = 1, 2 · 106 = 2, 36 · 106 P a, T 2 610 tako da je stepen dodatnog dodatnog pove´ povećanja canja pritiska p3 λ= = 1, 967 967.. p2 Parametri radnog tela u taˇcki cki 4 (posle adijabatske ekspanzije) su p4 = p1 = 0, 1MPa, v4 = v3

1/k

 p3 p4

= v3

 p3 p1

1/k

= 0, 146

  2, 36 0, 1

1/1,40

m3 /kg, = 1, 396 396m

v4 p4 1, 396 · 0, 1 · 106 T 4 = = = 486, 486, 4K. R 287 Stepen kompresije iznosi v1 0, 861 = = = 5, 9. v2 0, 146 c) Termiˇcki cki koeficijen koefici jentt iskoriˇ isk oriˇs´ sćenja cen ja ciklusa cikl usa iznosi izno si (11.28 (11 .28)) |q2 | c p (T 4 − T 1 ) T 4 − T 1 ηt = 1 − =1− =1−k = q1 cv (T 3 − T 2 ) T 3 − T 2 486 − 300 = 1 − 1, 40 = 0, 559 ≈ 0, 56. 56. 1200 − 610 Isti rezultat moˇze ze da se dobije na osnovu izraza (11.36) 14,0 k(λ1/k − 1) − 1) 1, 40(1, 40(1, 971/14, η = 1 − (k−1)/k − = 1 = 0, 56. 56. (1,40− 40−1)/ 1)/1,40 (1, β 1)/k (λ − 1) 12(1, (1, 97 − 1)

174

ˇ 12. CIKLUSI CIKLUSI TOPLOTNIH PARNIH PARNIH MASINA. PARNE TURBINE Parne toplotne maˇsine sine su takve maˇsine, sine, koje za razliku od gasnih toplotnih maˇsina sina (na primer prime r motora motor a unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja), sagor evanja), kao radno telo koriste paru (najˇ (na jˇceˇ ceˇs´ sće ce vodenu paru). Parne maˇsine sine se razlikuju od motora unutraˇ snjeg snjeg sagorevanja i po tome ˇsto proizvodi proizvodi sagorevanja sagorevanja goriva goriva ne uˇcestvuju cestvuju neposredno u radnom ciklusu. Osnovna Osnovna osobenost rada ovih maˇsina sina je u tome ˇsto se u toku radnog ciklusa deˇsava sava fazni prelaz kod radnog tela (isparavanje i kondenzacija). Iz praktiˇ praktiˇcnih cnih razloga pogodno je da radno telo na sobnoj temperaturi i atmosfersk atmosferskom om pritisku prit isku bude u teˇcnom cnom stanju. stanj u. Prednost Predn ost ovih motora motor a je u tome ˇsto koriˇs´ sćenje cenje radnog radn og tela, koje tokom ciklusa menja agregatno stanje omogućava cava da se praktiˇcno cno ostvari Carnot-ov Carno t-ov ciklus. U savremenoj energetici toplotne maˇsine sine su naˇsle sle ˇsiroku siroku primenu. Od svih parnih toplotnih maˇsina sina najrasprostranjenije najr asprostranjenije su parne turbine. Klipne parne maˇsine sine skoro da se i ne upotrebljav upotrebljavaju. Zbog toga u daljem izlaganju govori´ govorićemo cemo (jedino) o principima principima rada i ciklusima parnih turbina. 12.1. Carnot-ov Carnot- ov ciklus za vlaˇ znu znu (zasi´ cenu) cenu) vodenu paru* paru * Pri analizi a nalizi ciklusa gasnih gasn ih motora (na primer klipnih kli pnih motora moto ra unutra-ˇsnjeg snjeg sagorevanja) sagor evanja) obrazloˇzeni zeni su razlozi necelishodnosti praktiˇcnog cnog ostvarenja Carnot-ovog ciklusa kod ovih motora - visok maksimalan pritisak radnog tela i velika vrednost stepena kompresije. Osim predhodnih, postoje posto je razlozi koji su vezani za teˇsko´ sko´ ce ce praktiˇcnog cnog ostvarenja izotermn izotermnih ih i adijabat adijabatbats batskih kih procesa procesa (kao (kao ˇsto sto je poznato poznato CarnotCarnot-ov ov ciklus ciklus se sastoji sastoji iz dve dve izoterm izotermee i dve dve adijabat adijabate). e). Otklon Otklon realnog realnog adijabat adijabatsk skog og procesa procesa sabijan sabijanja ja i ˇsirenj sirenjaa od idealnog, uslovljenog nereverzibilnoˇs´ scu cú procesa, je neznatan i ne umanjuje bitno TKI ciklusa. Medjutim, praktiˇcno cno ostvarenje izotermnih procesa dovodjenja i odvo-djenja toplote vezano je sa nepremostivi nepre mostivim m teˇ t eˇsko´ skoćama. cama. Tako se na primer, primer , pribliˇ prib liˇzavanje zavanje realno r ealnogg ka idealnom izotermnom procesu ostvaruje viˇsestepe-nim sestepe-nim sabijanjem vazduha s medjustepenim hladjenjem hladjenjem (kod kom kompresora) presora) ili viˇ viˇsestepenim sestepenim dovodjenjem dovodjenjem i odvodjenjem odvodjenjem toplote sa regeneracijom (kod gasnih turbina). Pri strujanju strujanju (proticanju) (proticanju) fluida tehniˇ tehniˇcki cki se najjednostavnije najjednostavnije ostvaruje ostvaruje dovodjenje dovodjenje i odvodjenje toplote pri izobarnom procesu. Prilikom Prilikom razmatranja razmatranja faznih prelaza ukazano ukazano je na ˇcinjenicu cinjenicu da teˇcnost cnost moˇze ze da se prevede u gasno stanje (i obrnuto) pri izobarnom dovodjenju (odnosno odvodjenju) toplote pri ˇcemu cemu se u dvofaznoj oblasti (oblast zasićene cene pare) izobare poklapaju s izotermama. izotermama. Ukoliko Ukoliko se kod toplotnih ma maˇˇsina sina kao radno telo koristi vlaˇzna zna zasi´ z asićena cena para tokom radnog r adnog ciklusa ciklu sa se jednostavno jedno stavno ostvaruju dve adijabat adi jabatske ske (pri ˇsirenju sirenju i sabijanju sabijanju pare) i dve izobarno-izoterm izobarno-izotermne ne promene stanja (pri isparav isparavanju ili kondenzaciji radnog tela). Znaˇci, ci, koriˇs´ sćenjem cenjem radnog radn og tela koji koj i tokom t okom ciklusa ciklus a menja svoje svo je agregatno agre gatno stanje omogućeno ceno je da se praktiˇ prakt iˇcno cno ostvari Carnot-ov Carno t-ov ciklus. ciklu s. Principijelna ˇsema parne toplotne maˇsine sine (parne turbine) u kojoj kojo j se ostvaruje Carnotov ciklus ciklu s sa vlaˇznom znom (zasićenom) cenom) parom kao radnim telom, predstavljena je na slici 12.1. Na raˇ cun cun toplotne energije, dobijene dobijene sagorevanjem sagorevanjem goriva goriva u kotlu kotlu (1) parne toplotne maˇsine, sin e, vrˇsi si se izobar izo barnono-izo izoter termno mno isparavan isp aravanje je vode, vod e, pri ˇcemu cemu se dobije dob ijeno nojj vlaˇzno zno j zasi´ zas ićecenoj no j pari p ari visokog pritiska priti ska (pribliˇ (pr ibliˇzno zno 10 MPa) povećava cava stepen step en suvoće. ce. Suva para p ara se adijabatski bat ski ˇsiri sir i u parno par nojj turb t urbini ini (2), (2) , transf tra nsform ormiˇ iˇsu´ sući ci svoju svo ju kinetiˇ kin etiˇcku cku energi ene rgiju ju u mehaniˇ meh aniˇcki cki rad a zatim obiˇcno cno u elektriˇ el ektriˇcnu cnu energij en ergiju u u generatoru gener atoru (3) elektriˇ elekt riˇcne cne struje. struje . Para izlazi i zlazi iz turbin tu rbinee s * ovaj ovaj naslov naslov je prihva´ prihva´ cen cen s obzirom na to da se ceo ciklus ostvaruje ostvaruje u oblasti vlaˇzne, zne, odnosno odn osno zasićene cene pare 175

p ovećano ca nom m vlaˇ vl aˇznoˇ zn oˇs´ sću cu i sniˇ sn iˇzeni ze nim m prit pr itis iskom kom (pri (p ribl bliˇ iˇzno zn o 0,01 0, 01 MPa) MPa ) i usme us merava rava u konde kon denz nzat ator or - razmenjivaˇ razmenjivaˇc toplote (4) gde pri konstantnom pritisku predaje preda je toplotu hladnoj hladno j protoˇcnoj cno j vodi tako da joj se dalje pove´ cava cava vlaˇznost. znost. Vlaˇzna zna para (kondenzat) iz kondenzatora se pomoću cu kompresora (5) adijabatski sabija do poˇcetnog cetnog pritiska i temperature (koju je imala na izlazu iz parnog kotla), prevodi u vlaˇznu znu kipuću cu vodu i ubacuje u kotao ˇcime cime se radni ciklus parne turbine zatvara.

Slika 12.1

p1 (od Zanemaruju´ Zanema rujući ci gubitke gu bitke pri p ri protica pr oticanju nju pare p are moˇ m oˇze ze da se smatra sma tra da d a su pritisci priti sci pare pa rep izlaza iz kompresora do ulaza u turbinu) i p2 (od izlaza iz turbine do ulaza u kompresor) konstantni ( p1 = const i p2 = const). Gore opisan radni ciklus parne maˇ sine sine sa vlaˇznom znom parom kao radnim telom moˇze ze da se prikaˇ prikaˇze ze idealnim Carnot-ovim ciklusom cikluso m u p,v i T, s -dijagramu (slika 12.2.).

Slika 12.2.

Proces 1 → 2 odgovara odgovara izobarno-izoterm izobarno-izotermnom nom dovodjenju dovodjenju toplote q1 pri ˇcemu cemu se odviod vi jaju ja ju procesi pro cesi isparavanja, ispar avanja, ˇsirenja siren ja i povećavanja cavanja stepena step ena suvoće ce vlaˇzne zne pare u kotlu parne maˇsine sine (od (o d x=0 do x=1). Tokom procesa pro cesa 2 → 3 suva suva para se adijabatski adijabatski ˇsiri siri u turbini i posta je vlaˇzna. zna. U procesu pro cesu 3 → 4 dolazi do izobarno-izotermnog odvodjenja toplote q2 u kondenzatoru. Sabijanje vlaˇzne zne pare od pritiskap pritiska p2 do pritiska p1 vrˇsi si se s e tokom t okom adijab adi jabatko atkogg procesa 4 → 1 u kompresoru, kompreso ru, pri ˇcemu cemu se maksimalno maksima lno povećava cava njena n jena vlaˇznost znost a radno telo tel o vraća ca u poˇcetno cet no stanje sta nje.. 176

KTI Carnot-ovog Carnot-ovog ciklusa ne zavisi zavisi od prirode radnog tela, i u sluˇ caju caju Carnot-ov Carnot-ovog og ciklusa sa vlaˇznom znom parom KTI se izraˇcunava cunava na osnovu poznatog izraza (3.28): ηc =

T 1 − T 2 T 2 =1− . T 1 T 1

S obzirom da se dovodjenje dovodjenje i odvodjenje toplote vrˇ vrˇsi si tokom tokom izobarnog (izobarno-izoterm(izobarno-izotermdi − vdp) vdp ), nog) procesa pr ocesa na osnovu jednaˇcine cine I zakona termodinamike termo dinamike za fluidne struje str uje (δq (δq = di− sledi da se dovedena (q (q1 ) i odvedena (q (q2 ) koliˇ koliˇcina cina toplote mogu da izraze preko razlike razlike entalpije (i (i) krajnjih kra jnjih taˇcaka caka proc p rocesa. esa. 2

q1 =



di = i2 − i1

(12. (12.1)

di = i4 − i3 = −(i3 − i4 ),

(12. (12.2)

1

i

4

q2 =

 3

tako da se TKI Carnot-ovog Carnot -ovog ciklusa ciklu sa za zasićenu cenu paru moˇze ze da napiˇse se u obliku oblik u η=

i3 − i4 (i2 − i1 ) − (i3 − i4 ) . =1− i2 − i1 i2 − i1

(12. (12.3)

K ) do najviˇ Bez obzira na relativno relativno uzak temperaturski temperaturski interv interval al od najniˇze ze (T 2 ≈ 300 300K na jviˇse se (T 1 ≈ 620)K temperature, * TKI Carnot-ovog Carnot-ovog ciklusa sa pretpostavljeni pretpostavljenim m radnim temperaturskim intervalom, intervalom, bio bi sasvim zadovoljavaju´ zadovoljavajući ci (ηc = 0.52). 52). Medjutim, s obzirom obzir om da se kod Carnot-ovog ciklusa proces delimiˇcnog cnog kondenzovanja kondenzovanja zavrˇsava sava u taˇcki cki 4 (slika 12.2.) 12.2. ) gde je specifiˇ spe cifiˇcna cna zapremina zapr emina relativno relat ivno velika, radna zapremzapr emina i dimenzije kompresora su veliki, u poredjenju s dimenzijama turbine tako da se na rad kom kompresora presora troˇsi si iznad 30% rada parne turbine, (odnos korisnog korisnog rada parne turbine i rada utroˇsenog senog za pogon kompresora predstavljen je odnosom povrˇsina sina 1 234 i 3 411 na slici 12.2) na slici 12.2 u p,v-dijagram p,v-dijagramu. u. Na osnovu prethodnog sledi da je, bez b ez obzira ˇsto sto je TKI Carnot-ovog ciklusa za parnu toplotnu toplo tnu maˇsinu sinu relativno visok, ukupna uku pna efikasnost e fikasnost i ekonomiˇ cnost cnost takve parne ma v sine sin e relativno mala, zbog toga se parne maˇsine sine koje rade po Carnot-ovom ciklusu sa vlaˇznom znom parom p arom ne primenjuju p rimenjuju u praksi. p raksi. 12.2. Rankine-ov ciklus za zasi´ cenu cenu paru Neki nedostaci nedo staci parnih parni h maˇsina sina koje rade po Carnot-ovom Carno t-ovom ciklusu ciklu su sa vlaˇznom znom zasićenom cenom parom, mogu da se eliminiˇsu su ako bi se na primer, odvodjenje toplote u kondenzatoru vrˇsilo silo do potpunog kondenzovanja kondenzovanja vlaˇzne zne pare u vodu (taˇcka cka 4 na slici 12.4.) U datom sluˇcaju ca ju povećanje canje pritiska prit iska od p2 do p1 ne bi se vrˇsilo silo na vlaˇznoj zno j pari već na vodi mnogo manje specifiˇcne cne zapremine zapr emine i kompresibilnosti, tako da bi se umesto kompresora (5-na slici 12.1) koristila koristila vodena pumpa, mnogo manjih dimenzija dimenzija u odnosu na kom kompresor, presor, za ˇciji ciji rad bi se utroˇsilo silo svega oko 1% rada parne turbine sa p,v dijagrama, na slici 12.4, vidi se da je koristan rad parne turbine (pov. 1 234) mnogo ve´ ci ci od rada (pov.1 (pov. 1 144 ) za pogon vodene pumpe. S obzirom na malu kompresibilnost kompresibilnost vode pove´ povećanje canje pritiska pritiska od p2 do p1 se vrˇsi si pri skoro skoro konstant konstantnoj noj specifiˇ cnoj cnoj zapremini, zapremini, tj. izohorski izohorski (umesto (umesto adijabatsko adijabatskogg sabijanja sabijanja u sluˇcaju ca ju Carnot Car not-ovog -ovog ciklus cik lusaa za vlaˇznu znu zasi´ zas ićenu cenu paru). par u). emp eratura ra vode u kritiˇcnoj cno j taˇ t aˇcki cki (taˇcka cka K u p,v i T,s dijagramu dijag ramu na slici 12.2) iznosi iznos i * Temperatu  T = 647,3 K 177

Prethodni nedostaci odstranjeni o dstranjeni su kod parnih toplotnih maˇsina sina (par-nih (par-ni h turbina) koje rade po p o tzv. Rankine-ov Rankine-ovom om ciklusu, sa zasićenom cenom parom kao radnim telom i potpunim kondenzovanju pare pri odvodjenju toplote. Principijelana ˇsema toplotne toplotn e parne parn e turbine turb ine koja ko ja radi ra di po p o Raukine-ovom Raukine -ovom ciklusu prikazana ja na slici 12.3. Razlika Razlika u odnosu na principijeln principijelnu u ˇsemu semu toplotne ma maˇˇsine sine koje bi radile po Carnotovom ciklusu je (slika 12.3) u tome ˇsto sto se umesto kompresora koristi vodena pumpa (5) za izohorsko pove´ canje canje pritiska vode (kondenzata) od p2 do p1 . Na izlazu iz vodene pumpe para (pritiska p1 ) ima za svega nekoliko stepeni viˇsu su temperaturu t emperaturu (T 2 ) od temperature T 2 na ulazu u pumpu. Zbog toga se za dodatno zagrevanje vode (od temeperature T 2 do T 1 ) pre ulaza u kotao (1) koristi dogrevaˇ dogr evaˇ c (6). Dodatno Dod atno zagrevanje zagr evanje se postiˇ pos tiˇze ze koriˇs´ sćenjem cenje m pare sa izlaza kotla.

Slika 12.3.

Idealan Rankine-ov ciklus toplotnih parnih turbina sa zasi´ cenom cenom parom i potpunom kondenzacijom pri odvodjenju toplote * prikazan je u p,v- i T, s-dijagramu na slici 12.4.

Slika 12.4.

Proces 1 → 2 odgovara izobarno-izotermnom dovodjenju toplote q1 , pri ˇcemu cemu se odviod vi jaju ja ju procesi pro cesi isparavanja, ispar avanja, ˇsirenja siren ja i povećavanja cavanja stepena step ena suvoće ce (od x=0 do x=1) zasićene cene ca ju klipnih klipn ih parnih parni h toplotnih toplo tnih maˇsina sina (parne (par ne maˇsine) sine) takav ciklus cik lus se naziva nazi va MajerMa jer* U sluˇcaju ov ciklus 178

vlaˇ zne zne pare u kotlu kotlu (1) parne turbine. Toko okom m procesa 2 → 3 suva zasićena cena para se adi jabatski ˇsiri siri u turbini (2), pove´ cava cava vlaˇznost, znost, opada temperatura i pritisak. Odvodjenju toplote q2 pri potpunoj kondenzaciji kondenzaciji pare u kondenzatoru kondenzatoru (4) i maksimalno maksimalno pove´ povećanje canje vlaˇznosti znosti (do x=0) vrˇsi si se tokom izobarno-izotermnog procesa 3 → 4. Povećanj ca njee prit pr itiska iska vode (kondenzata) od p2 do p1 vrˇsi si se pomoću cu vodene pumpe (5) u izohornom procesu   4 → 1 . Dovodjenje toplote q1 pri dogrevanju vode temperature od T 2 do temperature T 1 u dogreva dogre vaˇˇcu cu (6) vrˇsi si se pri izohornom izoho rnom procesu pro cesu 1 → 1. S obzirom da je razlika temperature T 2 − T 2 vrlo mala (∼ (∼ 1K ) taˇcke cke 4 i 1 ( u T, s p1 = const) i i,s- dijagramu na slikama 12.4 i 12.5) se realno skoro poklapaju, a izobara ( p  u procesu 1 → 1 se skoro poklapa p oklapa sa delom graniˇ cne cne krive 4-1. S druge strane, s obzirom da je kompresibilnost kompresibilnost vode mala i da je nagib levog dela graniˇ graniˇcne cne krive u p,v- dijagramu  veliki, specifiˇ spec ifiˇcne cne zapremine zapr emine u taˇckama ckama 4 i 1 i 1 su pribliˇ pribl iˇzno zno jednake jedna ke v4 ≈ v1 ≈ v1 

Slika 12.5.

vdp ) doveNa osnovu osn ovu jednaˇcine cine I zakona termodinamike termo dinamike za fluidne struje (δq = di − vdp) dene (q (q1 ) i odvedene (q (q2 ) koliˇ cine cine toplote pri izobarnim (izobarno-izotermnim) procesima mogu da se izraze preko razlike entalpija (i) u krajnjim taˇckama ckama odgov od govara araju´ jućih cih procesa (q p= p=const = ∆i). Kod Rankine-ovog Rankin e-ovog ciklusa ci klusa koliˇcina cina toplote toplo te q1 dovodi se radnom telu tokom dva procesa; na prethodno dogrevanje vode tokom izobarnog procesa 1 → 1 (q1 = i1 − i1 ) i tokom izobarno-izotermnog procesa 1 → 2 (q1 = i2 − i1 ) i jednaka je njihovom zbiru ( i2 − i1 ) = i2 − i1 q1 = q1 + q1 = (i1 − i1 ) + (i

(12. (12.4)

Odveden Odve dena a koliˇ kol iˇcina cin a toplo to plote te q2 , pri potpunom kondenzov kondenzovanju anju pare tokom tokom izobarno-izoterm izobarno-izoterm-nog procesa 3 → 4, moˇze ze da d a se izrazi izraz i preko pr eko razlike ra zlike entalpije e ntalpije u taˇckama ckama 4 i 3 datog dato g proce pr ocesa: sa: q2 = i4 − i3 = −(i3 − i4 ).

(12. (12.5)

Na osnovu (12.4) i (12.5) TKI Rankine-ovog ciklusa dat je izrazom q 1 − |q 2 | (i2 − i1 ) − (i3 − i4 ) ηR = = q1 i2 − i1 179

(12. (12.6)

S obzirom obzir om da se taˇcke cke 4 i 1 ( prikazane u T,s- i i,s- dijagramu na slikama 12.4 i 12.5) skoro poklapaju (i (i4 ≈ i1 ), TKI Rankine-ovog ciklusa moˇze ze da se prikaˇ prikaˇze ze u po jednostavljenom obliku

ηR ≈

i2 − i3 . i2 − i4

(12. (12.7)

Uporedimo TKI idealnog Rankine-ovog ciklusa za zasi´ z asićenu cenu paru sa TKI Carnot-ovog ciklusa za zasi´ zasićenu cenu paru pri jednakim jednakim maksimalnim maksimalnim (T 1 ) i minimalnim (T (T 2 ) temperaturama. Koliˇ Koliˇcine cine toplote koje su pri datoj maksimalnoj maksimalnoj temepraturi temepraturi i pritisku pritisku potrebne za isparavanje isparavanje vode i dovodjenje vlaˇzne zne zasićene cene pare u stanje suve zasićene cene pare jednaka su za oba ciklusa. ciklusa. Medjuti Medjutim, m, kod Rankine-o Rankine-ovo vogg ciklusa ciklusa dovodjen dovodjenje je dodatne dodatne toplote toplote za dogrevanje vrˇsi si se pri znatno niˇzoj zoj temperaturi od maksimalne temperature ciklusa; temperatura vode raste do temperature (T (T 2 ) pri kojoj kojo j poˇ p oˇcinje cinje isparavanje isparavanje pri datom pritisku. Znaˇci ci srednja temperatura pri kojoj kojo j se dovodi toplota kod Rankine-ovog ciklusa niˇza za je od temperature (T (T 2 ) pri kojoj se dovodi toplota kod Carnot-ovog ciklusa, tako da je sa teorijskog stanoviˇ stanoviˇsta sta TKI Rankine-ovog ciklusa c iklusa manji od TKI Carnot-ovog ciklusa, ˇsto je trebalo i da se oˇcekuje. cekuje. Medjutim, Medjutim, kada se uzme u obzir da su znatno smanjeni smanjeni gubici na ireverzibilnim procesima pro cesima pri pove´ canju canju pritiska vode u vodeno j pumpi u odnosu o dnosu na procese sabijanja u kompresoru (rad za pogon vodene pumpe pump e je pribliˇ pri bliˇzno zno 30 puta manji od rada r ada za pogon kompresora) ukupna efikasnost i ekonomiˇcnost cnost toplotne top lotne parne par ne turbine turbin e koja ko ja radi po Rankine-ovom Ranki ne-ovom ciklusu ciklu su sa zasićenom cenom parom je neˇsto sto viˇsa sa u poredjen por edjenju ju sa toplotnom toplo tnom parnom parn om turbinom koja radi po Carnot-ovom ciklusu.

12.3. Rankine-o Rankine-ov v ciklus za pregrejanu pregrejanu paru

TKI Rankine-ovog Rankin e-ovog ciklusa ciklu sa za zasićenu cenu paru moˇze ze da se poveća ca ukoliko se dovodjenje dovodjen je toplote zasićenoj cenoj pari nastavi nastavi tako da se radno telo prevede prevede u pregrejanu pregrejanu paru. Rad parne turbine po Rankine-ovom ciklusu za pregrejanu paru i njena principijelna ˇsema sema (slika 12.6) razlikuju razl ikuju se od rada i princ p rincipijel ipijelne ne ˇseme seme Rankine-ovog Ranki ne-ovog ciklusa ciklus a za zasićenu cenu paru po tome ˇsto sto se suva suva zasi´ zasićena cena para na izlazu iz kotla kotla (1) usmerav usmerava u poseban deo parnog kotla tzv. pregrevaˇ pregrevaˇ c (2) gde se dalje zagreva (pregreva) (pregreva) pri izobarnom procesu do temperature koja je iznad temperature temp erature zasićenja cenja pri datom d atom pritisku, odnosno prevodi u tzv. pregrejanu pregrejanu paru. U ovom ovom sluˇcaju caju na turbinu turbinu (3) pada pregrejana para i pri adijabatsko adijabatskom m ˇsirenj sir enju u transf tra nsform ormiˇ iˇse se svoju svo ju kinetiˇ kin etiˇcku cku energi ene rgiju ju u mehaniˇ meh aniˇcki cki rad a zatim zat im u elektr ele ktriˇ iˇcnu cnu energi ene rgiju ju u generatoru (4) elektriˇcne cne struje. 180

Slika 12.6.

S obzirom da je pritisak p ritisak znatno sniˇzen, zen, a temperatura opala ispod temperature zasićecenja, pri datom pritisku, na izlazu iz turbine para je vlaˇ zna zna i zasi´ zasićena. cena. Pri konstantn konstantnom om pritisku i temperaturi para predaje preda je toplotu kondenzatoru (5) pri ˇcemu cemu se izvrˇsi si potpuna kondenzacija. kondenz acija. Pomoću cu vodene voden e pumpe p umpe (6) povećava cava se pritisak priti sak (od p2 do p1 ) vode (kondenzata) i preko dogrevaˇ dogrevaˇca ca (7), gde se vrˇsi si dogrevanje vode (pri p1 = const) i prevodjenje u stanje vlaˇzne zne zasićene cene pare, zatim ubacuje u kotao (1). Usled dovodjenja toplote, top lote, u kotlu se odvija izobarno-izotermno isparavanje isparavanje vode i pove´ cavanje cavanje stepena suvo´ ce ce sve dok se ne dobije dobij e suva zasićena cena para.

Idealan ciklus toplotne parne turbine sa pregrejanom parom- Rankine-ov ciklus za pregrejanu paru prikazan je na slici 12.7 (u p,v- i T, s -dijagramu) i (u i,s-dijagramu) na slici 12.8.

Idealan Rankine-ov ciklus za pregrejanu paru razlikuje se od idealnog Rankine-ovog ciklusa za zasi´ zasićenu cenu paru po tome ˇsto se u izobarnom izobarnom procesu 6 → 1 suva zasićena cena para (iz kotla 1 na slici 12.6) prevodi u pregrejanu paru temperature T p , dovodjenjem dovodjenjem dodatne koliˇ kol iˇcine ci ne top t oplo lote te q1 (u pregre pre grevaˇ vaˇ cu cu 2) i ˇsto sto adijab adi jabats atsko ko ˇsirenj sir enjee i vrˇsenje sen je rada rad a u proces pro cesu u 1→ 2 (u turbin tur binii 4) 4 ) poˇ p oˇcinje cin je sa s a preg p regrej rejano anom m parom pa rom a zavrˇ z avrˇsava sava sa zasi´ zas ićenom cen om paro p arom m male ma le vlaˇznosti zno sti,, tj. velikog stepena suvo´ ce ce (taˇcka cka 2 je vrlo blizu desne graniˇcne cne krive); kod Rankine-ovog ciklus cik lusaa adijab adi jabats atsko ko ˇsirenj sir enjee poˇcinje cin je sa suvom zasi´ zas ićenom cen om parom par om a zavrˇsava sava (u taˇcki cki 2 ) sa zasi´ zas ićenom cen om parom par om veće ce vlaˇznosti zno sti,, odnos od nosno no manjeg man jeg stepe ste pena na suvoće ce (taˇcka cka 2 se nalazi na krivoj krivo j manjeg stepena step ena suvoće ce u odnosu odn osu na taˇcku cku 2). 181

Slika 12.7.

Preostali deo procesa pro cesa Rankine-ovog Rankine -ovog ciklusa za pregrejanu paru je iden-tiˇ iden-t iˇcan can procesima pr ocesima u Rankine-ovom ciklusu za zasićenu cenu paru: pa ru: 2 → 3 odgovara izobarno-izotermnom odvod jenju toplote q2 pri kondenzaciji kondenzaciji u kondenzatoru kondenzatoru (5); 3 → 4 - izohornom izoho rnom povećanju canju pritiska prit iska  kondenzata u vodenoj pumpi (6); 4 → 5 - izobarnom dovodjenju toplote q1 u dogr do grevaˇ evaˇcu cu  (7); 5 → 6 - izobarno-izotermnom dovodjenju toplote q1 za isparav ispar avanje anje i povećanje canje stepena step ena suvo´ su voće ce vlaˇ vl aˇzne zn e zasi´ za sićene ce ne pare pa re u kotlu kot lu (1). (1 ). Ukupna Ukupn a koliˇcina cina toplote toplo te q1 , koja je dovedena radnom telu tokom Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu pr egrejanu paru, jednaka je zbiru zbi ru koliˇcina cina toplote koje su dovedene  tokom izobarnog procesa 4 → 5 (q1 = i5 − i4 ), izobarno-izotermnog procesa 5 → 6 (q1 = i6 − i5 ) i izobarnog procesa 6 → 1 (q1 = i1 − i6 ) : q1 = q1 + q1 + q1 = i1 − i4 .

(12. (12.8)

Odvedena Odveden a koliˇcina cina toplote toplo te q2 (tokom izobarno-izotermnog procesa 2 → 3) iznosi q2 = i3 − i2 = −(i2 − i3 ).

(12. (12.9)

Koristan rad ciklusa lk jednak je razlici rada turbine lT = i1 − i2

(12. (12.10)

l p = i4 − i3 ,

(12. (12.11)

lk = lT − l p = (i1 − i2 ) − (i4 − i3 ).

(12. (12.12)

i rada za pogon vodene pumpe odnosno:

Dovedena koliˇcina cina toplote toplo te (q1 ), odvedena koliˇ cina cina toplote (q2 ) i vrednost korisnog rada ciklusa (l (lk ) srazmerni su odgovarajućim cim otseˇccima ccima na i-osi i,s-dijagrama (na slici 12.8). 182

TKI Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru, na osnovu (12.8), (12.9) i (12.13) dat je izrazom η=

lk q 1 − |q 2 | (i1 − i4 ) − (i2 − i3 ) (i1 − i2 ) − (i4 − i3 ) . = = = q1 q1 i1 − i4 i1 − i4

(12. (12.13)

Slika 12.8.

Uzima jući ci u obzir da je, zbog zbo g praktiˇ prakt iˇcne cne nestiˇsljivosti sljivost i vode vo de (kondenzata) (konden zata),, adijabatsko adijab atsko povećanje canje pritiska priti ska (od p2 do p1 ) skoro izohoran proces (v (v3 ≈ v4 ), na osnovu I zakona vdp ) sledi da je promena entalpije tokom termodinamike za fluidne struje (δq (δq = di − vdp) procesa 3 → 4 jednaka jed naka utroˇsenom senom radu za pogon vodene pumpe (12.11) 4

i4 − i3 =



vdp = v3 ( p1 − p2 ) = lk .

(12. (12.14)

3

Na osnovu izraza (12.4) izraz (12.3) za TKI Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru moˇze ze da se napiˇ na piˇse se u obli ob liku ku η=

(i1 − i2 ) − v3 ( p1 − p2 ) (i1 − i2 ) − v3 ( p1 − p2 ) . = i1 − i4 (i1 − i3 ) − v3 ( p1 − p2 )

(12. (12.15)

S obziro obzirom m da se enta entalpi lpije je u taˇ taˇckam c kamaa 3 i 4 skoro skoro poklap poklapaju aju (pogled (pogledaj aj prethod prethodno no poglavlje i sliku 12.7) i3 ≈ i4 , na osnovu (12.4) sledi da je rad za pogon vodene pumpe zanemarljiv (l (l p ≈ 0) tako da izrazi (12.3) i (12.5) za TKI Rankine-ovog ciklusa mogu da se predstave u aproksimativnom i pojednostavljenom obliku η≈

i1 − i2 , i1 − i3

(12. (12.16)

primenljivom za sluˇcaj caj kada razlika pritisaka p1 − p2 nije suviˇse se velika velika (odnosno kada je i3 ≈ i4 ). TKI Rankin R ankine-ovog e-ovog ciklusa c iklusa jednostavno jedno stavno se odred o dredjuje juje koriˇs´ sćenjem cenje m i,s-dija i, s-dijagrama grama ili tablica termodinamiˇckih ckih parametara sta-nja vodene pare. Uporedimo TKI Rankine-ovog ciklusa za zasićenu cenu i pregrejanu vodenu paru pri istim T vrednostima najniˇ najn iˇze ze temperature ( 1 ) ciklusa i istim istim vrednostima temperature (T (T 2 ) 183

p2 ) i istih vrednostima pri kojoj dolazi do isparav isparavanja [tj. pri istim vrednostima na jniˇ jniˇzih zih ( p pritisaka ( p1 ) pri kojim dolazi do ispara isparav vanja]. anja]. Srednja Srednja vrednost vrednost temperature temperature pri kojoj se dovodi dovodi toplota radnom telu u sluˇ sluˇcaju caju Rankine-ov Rankine-ovog og ciklusa ciklusa za pregrejanu pregrejanu paru viˇ viˇsa sa je od odgovaraju´ odgovarajuće ce srednje vrednosti vrednosti temperature pri kojoj se dovodi dovodi toplota u sluˇ caju caju Rankine-ov Rankine-ovog og ciklusa ciklusa za zasi´ zasićenu cenu paru, jer se dodatno dovodjenje dovodjenje toplote za prevodjenje prevodjenje suve zasićene cene pare u pregrejanu paru vrˇsi si pri viˇsim sim temperaturama (od T 2 do T p ) od temeperature (T (T 2 ) pri kojoj se ovija proces isparavanja pri datom pritisku ( p2 ). Osim toga, tad turbine sa pregrejanom pregrejanom parom (i delimiˇ delimiˇcno cno parom male vlaˇ znosti) znosti) olakˇsan san je u odnosu odn osu na rad turbine turbi ne sa vlaˇznom znom parom, paro m, tako da je i opˇste ste iskoriˇs´ sćenje, cenje , tj. efikasnost efikasnost parnih turbina koje rade po Rankine-ov Rankine-ovom om ciklusu sa pregrejanom pregrejanom parom ve´ veći ci od parnih turbina tur bina koje ko je rade po Rankine-ovom ciklusu sa vlaˇznom znom parom. 12.4. 12.4. Zavis Zavisnost nost TKI Rankin Rankine-o e-ovo vog g ciklus ciklusa a za pregre pregrejan janu u paru paru od polaznih polaznih i krajnjih parametara pare Iz izraza (12.6) sledi da TKI Rankine-ovog ciklusa zavisi uglavnom od vrednosti entalpije (i (i) u taˇ ckama ckama 1 i 2 ciklusa, ciklusa, tako da raste s pove´ povećanjem canjem i1 i smanjenjem i2 , tj, s povećanjem canje m vrednosti vredn osti poˇcetnih cetni h parametara param etara p1 i T p i smanje smanjenje njem m vrednost vrednostii krajnjih krajnjih parametara p2 i T 2 pare, pre i posle adijabatske ekspanzije u turbini i toplotne parne maˇsine sine (parne turbine); u dvofaznoj oblasti parametri p2 i T 2 su vezani jer se kondenzacija zasićene cene pare odvija pri izobarno-izotermnom procesu. Analiza uticaja utica ja veliˇ cine cine osnovnih parametara parametara na TKI Rankine-ov Rankine-ovog og ciklusa svodi se na ispitivanje ispitivanje uticaja poˇcetnog cetnog (na p1 ), poˇcetne jvećeg) ceg) pritiska prit iska ( p cetne (najve´ (na jveće) ce) temperatu temp erature re (T p ) i krajnjeg (najniˇzeg) zeg) pritiska pritiska ( p2 ) ciklusa.

Slika 12.9.

Pri zadatim vrednostima parametara T p i p2 TKI Rankin R ankine-ovog e-ovog ciklusa c iklusa raste s pove´ p ove´ caca njem nje m poˇ p oˇcetnog cet nog pritis pri tiska ka p1 ; s porastom por astom poˇcetnog cetno g pritiska p ritiska od o d p1 na p1 raste temperatura pri  kojoj se odvija proces isparavanja od T 1 na T 1 tako tako da raste i srednja vrednost temperature temperature pri kojoj se dovodi dovodi toplote toplote radnom radnom telu a time time i TKI ciklus ciklusaa (slik (slikaa 12.9 12.9aa i b). Medjutim Medjutim,, kako s porastom pritiska p1 (pri konstantnoj temperaturi T p ) raste ras te vlaˇznost zno st zasi´ zas ićene cen e pare par e na izlazu i zlazu iz turbin t urbinee a time oteˇzava zava rad turbine turb ine treba da se poveća ca temepr t emepratura atura T p na ulazu u turbinu. Jasno je da postoji posto ji granica g ranica do koje ko je moˇze ze da se pove p ove´ća ca pritisak p2 i temepratura temepratura T p odred od redjen jenaa ˇcvrsto´ cvr stoćom com materi mat erijal jala a turb t urbine ine.. Pri zadatim vrednostima p1 i p2 TKI Rankine-ovog ciklusa raste s porastom poˇcetne cetne  temperature T p ; s porastom p orastom poˇcetne cetne temperature (od T p na T p ) raste srednja temperatura pri kojoj se dovodi toplota radnom telu tako da raste i TKI ciklusa (slika 12.10a i b). U ovom sluˇcaju ca ju bilo b ilo bi pogodn pog odno o da d a se poveća ca i poˇ p oˇcetni cetni pritisak priti sak ali, kao u prethodn preth odnom om primeru, prime ru, posto pos toji ji granica gr anica odredjen odr edjenaa ˇcvrsto´ cvrst oćom com materijala materi jala turbine. turb ine. 184

Slika 12.10.

Pri zadatim vrednostima p1 i T p TKI Rank R ankine ine-ovog -ovog ciklus cik lusa a raste ra ste s sniˇ sn iˇzenjem zen jem konaˇcnog cno g   pritiska p2 ; sniˇzenjem zen jem pritis pri tiska ka p2 (od p2 na p2 ) opada temepratura (od T 2 na T 2 ) pri kojoj se odvodi toplota a time raste TKI ciklusa (slika 12.11a i b).

Slika 12.11

Sniˇzenje zen je konaˇcnog cno g pritis pri tiska ka ispod isp od p2 = 4kP a ograniˇceno ceno je temperaturom temperaturo m vode za 0 hladjenje hladjenje (25-30 C). Osim toga, s daljim sniˇzenjem zenjem pritiska p2 raste specifiˇ spec ifiˇcna cna zapremina zapre mina pare pa re ˇsto st o izi i zisk skuj ujee koriˇ ko riˇs´ sćenj ce njee kon k onde denz nzat ator ora a ve´ v ećih ci h dime di menz nzij ija. a. Iz prethodne analize uticaja parametara pare na TKI Rankine-ovog ciklusa sledi da pre svega treba da se teˇzi zi povećanju canju vrednosti vredn osti poˇcetnih cetni h parama p aramatara tara pare (do granice gran ice odredodr ed jene ˇcvrsto´ cvrstoćom com materija turbine). Medjutim, pokazalo se da je mogućnost cnost pove´ canja canja TKI Rankine-ov Rankine-ovog og ciklusa ciklusa putem pogodnog p ogodnog izbora poˇcetnih cetnih i krajnjih parametara parametara pare ograniˇcen. cen. Dalje pove´ canje canje TKI parnih turbina moˇze ze da ide u pravcu pribliˇzenja zenja konfiguracije Rankine-ovog ciklusa Carnot-ovom ciklusu: regeneracijom toplote, viˇsestepenim sestepenim pregrejavanjem pare i primenom tzv. binarnih ciklusa. 12.5. Usavrˇ Usavrˇ seni seni ciklusi toplotnih parno-turbinskih postrojenja postro jenja 12.5.1. Ciklusi sa sukcesivnim (viˇ (viˇ sestepenim) sestepenim) pregrevanjem pregrevanjem pare Da bi se pove´ povećao cao ukupni TKI parno-turbinskih parno-turbinskih postrojenja jedan od naˇ cina cina je da se smanji vlaˇznost znost odnosno pove´ ca ca stepen suvo´ ce ce (do 0.86 -0.88) pare na izlazu iz turbine a time time ola olak kˇsa sa rad turbine. turbine. Ovaj Ovaj cilj je ostvaren ostvaren primenom primenom ciklus ciklusaa sa sukcesi sukcesivni vnim m (viˇsestepenim) sestepenim) pregrevanjem pare (slika 12.12b). Principijelna ˇsema uredjaja uredja ja data je na slici 12.12a. Vodenoj pari, koja je isparila iz kotla (1) tokom izobarno-izoternmog procesa 4 → 5 dovodi se toplota toplot a u dogrevaˇ cu cu (2) (2 ) tokom izobarnog procesa 5 → 1. Pregrejana Pregrejana para se adijabatski ˇsiri u parnoj parno j turbini (3) visokog pritiska pr itiska u procesu proc esu 1 → A a zatim usmerava u dodatni pregrevaˇ c (4) gde joj se preda pr edaje je dodatna d odatna koliˇ cina cina toplote u izobarnom procesu  A → 1 . U drugoj drugo j turbini (5) niskog pritiska vrˇsi si se adijabatsko ˇsirenje sirenje (proces 1 → 2 ) a zatim preko kondenzatora (7) i pumpe pu mpe (8) kondenzat vraća ca u kotao. Stepen suvo´ ce ce pare p are na izlazu iz prve (x (x = 1) u drugu turbinu (x (x < 1) je pove p ove´ćan can u odnosu na vrednost koju bi imala po zavrˇsetku setku adijabatskog adija batskog procesa pro cesa 1 → 2 bez b ez sukcesivno su kcesivnog g (viˇsestepenog) sestep enog) pregrevanja pregr evanja pare. 185

Slika 12.12.

Osim toga pove´ povećava cava se i TKI ciklusa u odnosu na Rankine-ov Rankine-ov ciklus bez sukcesivno sukcesivnogg pregrevanja pare. U praksi se primenjuju primen juju ciklusi sa viˇse se sukcesivnih pregrevanja. 12.5.2. Ciklus parne turbine sa regeneracijom regeneracijom TKI ciklusa ciklusa toplotnih toplotnih parnih turbina, kao u sluˇ caju caju ciklusa ciklusa gasnih turbina, moˇ ze ze znatno da se pove´ ca ca primenom regeneracije toplote. Sva savremena parno-turbinska postp ostrojenja zasnivaju svoj rad na ciklusima sa regeneracijom toplote. Razmotrimo suˇstinu stinu regenerativnog regen erativnog ciklusa na primeru jednostavnijeg, Rankine-ovog ciklusa za zasićenu cenu paru (slika 12.13a). 12. 13a). Ako bi se u ovom ciklusu (1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1) proces adijabatskog ˇsirenja sirenja  pare 1 → 2 zamenio politropskim procesom 1 → 2 (tako da linije 1-2 i 5-3(4) budu ekvidistant ekvidistantne) ne) a sva sva koliˇ koliˇcina cina toplote odvede o dvedena na od pare u procesu 1 → 2 iskoristila za dogrevanje vode (kondenzata) u procesu 3(4) → 5 tada bi se dobio regenerativni ciklus 1 → 2 → 3(4) → 5 → 1. Oˇ cigledno cigledno je da d a bi takav takav regenerativni r egenerativni ciklus imao isti TKI kao  Carnot-ov ciklus 1 → 2 → 3 → 5 → 1 iste vrednosti najviˇ na jviˇ se se (T 1 ) i najniˇ na jniˇze ze temperature (T 2 ); u oba ciklusa su jednake jednake dovedene dovedene koliˇcine cine toplote od o d spoljnjeg izvora radnom telu kao i koliˇ koliˇcine cine toplote koje ko je su od radnog tela predate hladnjaku. Medjutim, Medjutim, praktiˇ praktiˇcno cno je nemoguće ce da se ostvari, gore navedeni, regenerativni ciklus, zbog toga ˇsto sto je praktiˇcno cno  nemogu´ nem oguće ce da se izvede izve de proces pro ces ˇsirenj sir enjaa 1 → 2 sa neperkidnim odvodjen o dvodjenjem jem toplote. Takvom akvom procesu mo ˇzemo zemo da se pribliˇzimo zimo preko niza adijabatskih i izobarno-izotermnih procesa.

a

b Slika 12.13

Proces ukupne regeneracije regeneracije ostvariv ostvarivao ao bi se preko preko niza parcijalnih parcijalnih viˇ viˇse-stepenih se-stepenih regenerati generativni vnih h procesa. procesa. Dvost Dvostepeni epeni regenerati regenerativni vni ciklus prikazan prikazan je na slici slici 12.1 12.13b. 3b. Posle Posle procesa (1 → A) adijabatskog ˇsirenja sirenja pare izobarno-izoternmim hladjenjem (A → B ) od  vlaˇzne zne pare se odvodi toplota qreg i predaje vodi (kondenzatu) u procesu E → F. Vlaˇzna para stanja B adijabatski se ˇsiri siri (proces B → C ) a zatim izobarno-izotermnim hladjenjem  (proces C → D) od vlaˇ vlaˇzne zne pare se odvodi toplota qreg i predaje kondenzatu u procesu 3(4) → E. Samo se u procesu F → 5 kondenzat dogreva do greva na raˇcun cun toplote spoljnjeg izvora. 186

a

b Slika 12.14

U gore opisanom ciklusu, proces regenerativnog dogrevanja kondenzata (3(4) → E i E → F ) F ) i dogrevanja na raˇcun cun toplote spoljnjeg izvora (F (F → 5) odvijalo bi se s manjom temperaturskom temperaturskom razlikom nego da se dogrevanje dogrevanje vrˇ vrˇsi si tokom tokom celog procesa (3(4) → 5) na raˇ cun cun toplote spoljnjeg izvora. Time bi se smanjili smanjili gubici toplote zbog ireverzibiln ireverzibilnosti osti procesa i pove p ove´ćao cao TKI parne par ne turbine. turbine . Regenerativni Rankine-ov Ran kine-ov ciklus za pregrejanu paru (slika 12.14a) 12. 14a) sliˇ s liˇcan can je regenerat rege nerativnom ivnom Rankine-ovom Rankin e-ovom ciklusu cikl usu za zasićenu cenu paru. par u. Jasno je da bi ˇcak cak i u sluˇcaju ca ju idealnog Rankine-ovog ciklusa sa pregrejanom parom TKI bi bio manji od Carnot-ovog za iste vrednosti graniˇcnih cnih temperatura. temperatura . Principijela ˇsema sema parno-turbinskog postro jenja koje radi po viˇsestepe-nom sestepe-nom regenerativnom Rankine-ovom ciklusu za pregerejanu paru prikazana je na slici 12.14b. Pregreja Pregrejana na para iz pregrev pregrevaˇ aˇ ca ca (2) ulazi ulazi u turbin turbinu u (3) gde se, za razliku razliku od odgovaraju´ varaj ućeg ceg neregener nereg enerativn ativnog og ciklusa, ciklu sa, posle pos le adijabatskog adija batskog ˇsirenja siren ja i vrˇsenja senja dela mehaniˇ mehan iˇckog ckog rada jedan deo pare iz prvog prvog stepena turbine odvodi o dvodi u razmenjiv razmenjivaˇ aˇ c toplotetoplote- regenerativni regenerativni dogrevaˇ dogr evaˇ c (5) (5 ) i preko pumpe pump e (6) (6 ) odvodi o dvodi u kotao kot ao (1). ( 1). Sliˇcno cno se deˇ d eˇsava sava pri ostalim ostali m stepen ste penima ima regeneracije. Posle izlaza iz poslednjeg stepena turbine preostali deo iskoriˇ iskoriˇs´ sćene cene pare hladi se u kondenz ondenzato atoru ru (7) (7) i preko preko pumpe pumpe (6) (6) ubacuj ubacujee u kotao otao (1). (1). S obzir obzirom om da u jedno jednom m regenerativnom ciklusu uˇcestvuje cestvuje samo jedan deo radnog tela, prikazivanje prikazivanje regenerativnih ciklusa u T, s-dijagramu je uslovno. U praksi se koriste od 3 do 8 stepena regeneracije u zavisnosti od potrebne snage i paramet parametara ara pare parne turbine turbine.. Bez obzira obzira na to ˇsto sto se u stepenim stepenimaa turbine turbine iskoris iskoristi ti za vrˇ vrˇsenje senje mahaniˇ mahaniˇckog ckog rada samo deo toplotne energije energije pare, zbog smanjenja smanjenja gubitaka gubitaka na ireverzi ireverzibiln bilnee procesa procesa dovod dovodjenj jenjaa toplote toplote pri regenera regenerativ tivnom nom dogrev dogrevanj anju, u, primenom primenom viˇsestepenog sestepenog regenerativnog ciklusa kod parno-turbinskih postro jenja pove´ cava cava se TKI za 10 − 15% 15%.. 12.5.3. Binarni Binarni ciklusi Da bi se pove´ cala cala srednja temperatura pri dovodjenju toplote i na taj ta j naˇcin cin pove´ cao cao TKI ciklusa bilo bi pogodno po godno da se koristi radno r adno telo visoke temperature zasićenja cenja pri srednjim pritiscima. Voda kao radno telo ima relativno nisku kritiˇcnu cnu temperaturu temperatu ru (374, (374, 150 C) visok kritiˇcan can pritisak (22,115 MPa) i nije pogodno pogo dno za takve ciljeve. Medjutim, nije nadjeno takvo radno telo koje ko je bi zadovoljilo gore postavljene p ostavljene uslove a u oblasti niˇzih zih temeperatura temep eratura 0 (20 − 50 C) moglo da se kondenzuje. kondenzuje. Na primer, nadjeno je da ˇzivine zivine zasićene cene pare pri 0 temperaturi od 550 C imaju ima ju pritisak od 1,5MPa 1,5MPa tako da bi mogle da se koriste za viˇ viˇse se 0 tiˇ cna cna temperat temp eratura ura ˇzive temperature, (kri (kritiˇ zive iznosi izn osi 142 14200 C) ali pri uobiˇ uob iˇcajen ca jenom om konaˇcnom cno m 0 pritisku ( p2 ≈ 4kPa) temperatu temp eratura ra ˇzivine zivin e pare bila bi suviˇse se visoka t2 ≈ 217 C). 187

Slika 12.15.

Razradjena Razra djena je i primenj p rimenjena ena ideja i deja sloˇ s loˇzenog zenog ciklusa ciklu sa sa dva d va radna tela t ela (razliˇ (r azliˇcitih citih svojstva) svo jstva) od kojih jedno radi u oblasti visokih temperatura (na primer ˇziva) ziva) a drugo u oblasti niskih temperatura (obiˇcna cna voda). U ovom sluˇcaju caju kondenzator visokotemperaturskog radnog tela sluˇzi zi kao parni kotao, odnosno o dnosno generator, vodene para. Principijelna ˇsema sema i odgovarajući ci binarni ciklus u T,s-dijagramu prikazani su na slici 12.15. ˇ Zivina para, koja je obrazovana u kotlu (1), ulazi u turbinu (3) gde se posle adijabatskog ˇsirenja siren ja i vrˇsenja senja mehaniˇ mehan iˇckog ckog rada usmerav usmer avaa u kondenzator kondenz ator -generator -gene rator vodene voden e pare (4) gde se konden kondenzuj zujee i odaje toplotu toplotu za obrazo obrazov vanje vodene vodene pare. pare. Obrazo Obrazov vana vodena para se preko pregrevaˇ ca ca (2) usmerava usmerava u turbinu (5) gde se adijabatski ˇsiri siri uz vrˇsenje senje mehaniˇckog ckog rada. Iskoriˇ Iskoriˇs´ sćena cena vodena para se hladi u kondenzatoru (6) i pumpom (7) vraća ca u kondenzator-generator vodene pare (4). Crtiˇcastim castim linijama prikazana je kontura ˇzivine zivin e pare kao i ciklus ciklu s ˇzivine zivin e pare u T, s-dijagramu. s-dija gramu. Kako Kako se vidi sa slike, slike, binarni binarni ciklus je blizak blizak Carnot-o Carnot-ovo vom m ciklus ciklusu. u. TKI binarnog binarnog ciklusa dostiˇze ze 0.85-0.95 0.85-0.95 od TKI Carnot-ov Carnot-ovog og ciklusa ciklusa odnosno 0.60-0.70 0.60-0.70 po apsolutnoj apsolutnoj veli ve liˇˇcini. in i. Binarni ciklusi sa ˇzivom zivom i vodom kao radnim telima naˇsli sli su primenu u nekim parnoturbinskim turb inskim postro pos trojenjima jenjima.. Medjutim, Medju tim, vrˇse se se s e joˇs uvek ispitivanja ispit ivanja u cilju nalaˇzenja zenja pogodpog odnijih radnih tela.

188

Primer 12.1. Odrediti TKI parne turbine koja radi po idealnom Rankine-ovom ciklusu za pregrejanu pregrejanu paru (slika 12.7) ako poˇ poˇcetna cetna temperatura temperatura i pritisak iznose t1 = 5000 C i p1 = 2, 0M P a a krajnji pritisak pare na izlazu iz turbine je p2 = 0, 01MPa. 01MPa. reˇ senje: TKI idealnog Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru iznosi (12.6) η=

i1 − i2 . i1 − i3

P 12..1.1) (P 12

Na osnovu tablice za veliˇcine cine stanja pregrejane pregrejane pare pare (prilog) za temperaturu temperaturu od t1 = 5000 C i pritisak p1 = 2, 0M P a = 20 · 105 P a = 20bara m3 /kg,i1 = 20bara dobija se da je v1 = 0, 1756 1756m kJ/kg i s1 = 7, 429 kJ/kgK. Entalpija i2 vlaˇzne zne zasićene cene pare pri pritisku pritis ku p2 = 3467kJ/kg 3467 429kJ/kgK. cine cine stanja kljuˇcale cale vode i suve 0, 01M 01M P a = 0, 1bara dobija se na osnovu tablice za veliˇ pare u zavisnosti od pritiska i izraza (6.95): i2 = i2 + x · r2 = i2 + x(i2 − i2 ),

P 12..1.2) (P 12

v − v s − s x =  . =  v − v s − s

P 12..1.3) (P 12

gde je (6.98) (6.98 ) stepen suvoće ce

3

 Iz tablica se dobija t2 = 45, 45, 820 C, v2 = 1, 0103 dm 14, 70m 70m3 /kg, kg , v2 = 14, i2 = 191, kJ/kgK i s2 = 8, 149 kJ/kgK. Kako se 191, 83kJ/kg,i 83kJ/kg,i2 = 2584kJ/kg,s 2584kJ/kg,s2 = 0, 6492 6492kJ/kgK 149kJ/kgK. taˇcka cka 2 nalazi na istoj izoentropi izoentropi sa taˇckom ckom 1 tj. s = s2 = s1 sledi da u taˇcki cki 2 stepen suvoće x iznosi:

7, 429 − 0, 6492 s2 − s2 s1 − s2 x =  = = = 0, 904 904,, s2 − s2 s2 − s2 8, 149 − 0, 6492

tako da je na osnovu (P12.1.2) entalpija u taˇcki cki 2 i2 = i2 + x(i2 − i2 ) = 191, 191, 83 + 0, 0, 904(2584 − 191 191,, 83) = 2354kJ/kg. 2354kJ/kg.

Kako se taˇcka cka 3 nalazi nalaz i na donjoj graniˇcnoj cnoj krivoj sledi: 191, 83KJ/kg 83KJ/kg ≈ 192 192kJ/kg, i3 = i2 = 191, kJ/kg,

tako da TKI datog idealnog Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru iznosi: η=

i1 − i2 3467 − 2354 = = 0, 340 340.. i1 − i3 3467 − 192

Do istog rezultata rezulta ta moˇze ze (brˇ ( brˇze) ze) da se dodje na n a osnovu o snovu i,s-dijagrama i,s-di jagrama za vodenu paru (prilog). Da bi se razumeo razumeo postupak postupak nalaˇzenja zenja entalpije u datim taˇckama ckama ciklusa, pogledati pogledati sliku P 0 12.1. U preseku izoterme t1 = 500 C i izobare p1 = 2, 0M P a nalazi se taˇcka cka 1. 1 . Sa ordinate o rdinate kJ/kg. Ordinatna taˇcka se oˇcita cit a entalp ent alpija ija za ovu taˇcku cku i2 ≈ 3470 cka 1 daje vre vrednost dnost entapije entapi je 3470kJ/kg. izoentrope s1 = s2 = 7, 43kJ/kgK izobare p2 = s1 = s2 = 7, 43kJ/kgK. 43kJ/kgK. U preseku izoentrope 43kJ/kgK i izobare nalaz i se taˇcka cka 2. Sa ordinate se oˇcita cita entalpija entalp ija date taˇcke: cke: i2 = 2360kJ/kg. 0, 01M 01M P a nalazi 2360kJ/kg. Podatak za entalpiju i3 = i2 = 192kJ/kg donjo j graniˇcnoj cnoj krivoj moˇze ze da se dobije iz 192kJ/kg na donjoj tabele tabele za vlaˇ vlaˇznu znu vodenu vodenu paru paru jer se vred vrednosti nosti za entalpiju entalpiju ispo ispod 2000 J/kg ne nalaze na grafiku. Grafiˇcki cki se dobija da je η = 0, 339 ≈ 0, 34 189

Slika P12.1.

Primer 12.2 Odrediti veliˇ ve liˇcinu cinu promene temperature pregrejavanja vodene pare u pregrejaˇcu cu da bi se povećao cao stepen ste pen suvoće ce pare na kraju procesa procesa adijabat adi jabatskog skog ˇsirenja sirenj a u tur turbin bini i za ∆x = 0, 10 kao i prome promenu nu TKI ciklus ciklusa. a. Parame Parametri tri datog datog (Rank (Rankine ine-ov -ovo og) ciklus ciklusa a za 0 MPa. pregerjanu paru su p1 = 3MPa,t1 = 320 C i p2 = 0, 005 005MPa. reˇ senje: Podaci iz tablica za veliˇ cine cine stanja pregrej pregrejane ane pare pare (prilog ) za pritisak p1 = 0 m3 /kg,i1 = 3M P a = 30bara 30bara i temperaturu pregrejane pare t1 = 320 C su v1 = 0, 08502 08502m kJ/kg i s1 = 6, 615 kJ/kgK. Na kraju procesa procesa adijabatskog adija batskog (izoentropnog) ( izoentropnog) ˇsirenja sirenja do 3038kJ/kg 3038 615kJ/kgK. pritiska p2 = 0, 005 M P a = 0, 05bara 005M 05bara entropija je ostala nepromenjena (slika P 12.2) s2 = cine cine stanja kljuˇcale cale vode i suve pare pare u zavisnosti od s1 = 6, 615 kJ/kgK. Iz tablica za veliˇ 615kJ/kgK. 0 ra, ts = 32, dm3 /kg, pritiska (prilog) dobija se za pritisak p2 = 0, 05b 05bara, 32, 88 C, v2 = 1, 0053 0053dm v2 = 28, /kg, kg, i2 = 2561kJ/kg, kJ/kgK i s2 = 28, 23m 23m3 /k g , i2 = 137, 137, 74kJ 74kJ/ 2561kJ/kg, s2 = 0, 4760 4760kJ/kgK kJ/kgK. Na osnovu izraza (6.98) kJ/kg (6 .98) stepen suvoće ce pri entropiji s2 = s1 = 6, 615 8, 394 394kJ/kgK. 615kJ/kg iznosi s2 − s2 s1 − s2 6, 615 − 0, 4760 x1 =  = = = 0, 775 775.. s2 − s2 s2 − s2 8, 394 − 0, 4760

Da bi se stepen ste pen suvo´ suv oće ce povećao cao na vrednost x∗1 = x1 + ∆x = 0, 775+0 775+0,, 10 = 0, 0, 875 entropija treba da d a se pove´ ca ca na vre vrednost dnost s∗2 = s∗1 = s2 + (s (s2 − s2 ) · x∗1 = 0, 4760 + (8, (8, 394 − 0, 4760) · 0, 875 = kJ/kg ≈ 7, 40kJ/kgK. = 7, 404 404kJ/kg 40kJ/kgK.

190

.

Slika P 12.2 kJ/kgK i pritisak Za datu vrednost entropije s∗1 ≈ 7, 400 pritis ak zasićene cene pare od p1 = p∗1 = 400kJ/kgK 3M P a = 30bara, 30bara, iz tabele za pregrejanu paru (prilog) dobija se temperatura pregrejane ∗ pare t1 = 5600 C kao i v1∗ = 0, 1260 ci temperatura mora da se m3 /kg,i∗1 = 3592kJ/kg. 1260m 3592kJ/kg. Znaˇci 0 ∗ pove pove´ ća ca za ∆t1 = t1 − t1 = 560 − 320 = 240 C. Za x1 = 0, 775 sledi i2 = i2 + (i (i2 − i2 ) · x1 = 137, 137, 74 + (2561 − 137 137,, 74) · 0, 775 = kJ/kg ≈ 2016 kJ/kg, = 2015, 2015, 7665 7665kJ/kg 2016kJ/kg,

a za x∗1 = 0, 875 sledi i∗2 = i2 + (i (i2 − i2 ) · x∗1 = 137, 137, 74 + (2561 − 137 137,, 74) · 0, 875 = kJ/kg ≈ 2258 kJ/kg, = 2258, 2258, 0925 0925kJ/kg 2258kJ/kg,

TKI ciklusa u sluˇcaju caju kada je t1 = 3200 C (x1 = 0, 775) iznosi (12.6) η1 =

i1 − i2 i1 − i2 3038 − 2016 = = = 0, 352 352,, 3038 − 137 137,, 74 i1 − i3 i1 − i2

a TKI ciklusa kada je t∗1 = 5600 C (x∗1 = 0, 875) je η1∗

i∗1 − i∗2 3592 − 2258 = ∗ = = 0, 386 386.. i1 − i2 3592 − 137 137,, 74

Znaˇci ci TKI ciklusa cikl usa se povećao cao za 9, 6% 6%..

191

13. RASHLADNI RASHLADNI UREDJAJI (SISTEMI) (SISTEMI) 13.1. Ciklusi rashladnih maˇ maˇ sina sina i termo-pumpi Hladjenje tela do temperatura temp eratura ispod temperature okolne sredine i njihovo odrˇ o drˇzavanje zavanje u ohladjenom stanju tokom duˇzeg zeg vremena je osnovni zadatak zadata k tehnike hladjenja. Dobijanjem i odrˇzavanjem zavanjem niskih temperatura t emperatura do 170 K bavi se tzv. tehnika umerenog hladjenja; tehnika dubokog dubokog hladjenja hladjenja a od 70 -0,3 K kriogena kriogena tehnik tehnika. Za od 170-70 K - tehnik dobijanje temperatura do 0,0008 K koristi se tehnika magnetnog hladjenja (adijabatsko hladjenja . U poslednje razmagnetisa razmagnetisav vanje paramagnetnih paramagnetnih soli) ili tehnika nuklearnog hladjenja. vreme razradjuje razr adjuje se metod dobijanja niskih temperatura (0,01-0,02 K) rastvaranjem teˇcnog cnog 3 4 He u teˇcnom cn om He . U tehnici tehni ci umerenog umere nog hladjenja hladj enja dobijanje dobij anje niskih temperatu temp eratura ra postiˇ pos tiˇze ze se koriˇs´ sćenjem cenjem rad0 nih tela ˇcija cija je kritiˇcna cna temperatura iznad temperature okolne sredine (20 C) (amonijak, (amonijak, ugljen dioksid, dioksid, freon-12, freon-12, freon-22 itd). Prevodjenje Prevodjenje ovih gasova gasova u teˇ cnost cnost (likvefik (likvefikacija) acija) 0 se deˇsava sava pri temperaturama temperatur ama iznad 0 C tako da se za odvodjenje toplote kondenzacije koristi protoˇcna cna voda ili vazduh. Koriˇs´ sćenjem cenje m kompresorskih kompreso rskih rashladnih rashl adnih maˇsina sina u tehnici tehni ci umerenog hladjenja, osim postizanja i odrˇzavanja zavanja umereno niskih temperatura, moˇ ze ze da se izvrˇsi si likvefikacija likvefikacija hlora i separacija nekih gasova. gasova. U tehnici dubokog hladjenja kao radno telo koristi se metan, kiseonik, argon, azot i drugi. Tehnika ehnika dubokog hladjenja primenjuje primenjuje se za separaciju separaciju gasnih smesa (na primer vazduha), dobijanje dobi janje ˇcistih cistih gasova (O (O2 , N 2 ,Ar,Kr,Xe,He,H 2 , C 2 H 4 i drugi) kao i za likvefikaciju gasova (C (C H 4 , O2 , N 2 ,Ar,F i drugi). U kriogenoj tehnici dobijanje dobijanje niskih temperatura postiˇ ze ze se likvefik likvefikacijom acijom neona, vodonika i helijuma. Osim primena u industriji, rudarstvu, transportu i domaćinstvu cinstvu rashladne maˇsine sine i rashladni sistemi koriste se u nauˇcnim cnim laboratorijama laborator ijama za hladjenje uzoraka pri p ri istraˇzivazivanjima do vrlo niskih temperatura blizu apsolutne nule. rash ladne ne maˇ m aˇ sine sin e i termo t ermo-pu -pump mpe e, Rashladni sistemi mogu da se uslovno podele na rashlad zavisno od o d toga da li je cilj hladjenje tela niˇze ze temperature ili zagrevanje tela viˇse se temperature. Rashladne Rashladne ma maˇˇsine sine rade na principu inverznog inverznog (levokretnog (levokretnog)) ciklusa. ciklusa. Kod inverznog inverznog ciklusa se putem ulaganja ulaganja energije energije predaje toplota od tela niˇ ze ze ka telu viˇ viˇse se temperature (slika (slika 13.1 ). Pri tome je rad utroˇ utroˇsen sen na sabijanje sabijanje radnog tela ve´ veći ci od rada koji izvrˇ izvrˇsi si radno telo pri ˇsirenju. sirenju. Razradjen Razradjen je niz tipova tipova rashladnih rashladnih ma maˇˇsina sina i termo-pumpi. termo-pumpi. Kod gasnih gasni h (vazduˇsnih) snih) i parnih parni h kompresionih kompresi onih rashladnih rashl adnih maˇsina sina ulaˇze ze se mehaniˇ mehan iˇcki cki rad, kod ejektorskih ejektorskih i apsorpcionih - toplotna energija, kod termo-elektri termo-elektriˇˇcnih cnih i termo-magnetnih termo-magnetnih -elektriˇ -elektriˇcna cna energija. energija. Kod ejektorskih ejektorskih rashladnih rashladnih ma maˇˇsina sina umesto kompresora kompresora sabijanje sabijanje radnog radn og tela (pare) (par e) postiˇ po stiˇze ze se koriˇs´ sćenjem cenjem kinetiˇ kinet iˇcke cke energije energ ije struje pare dobijene dobij ene iz kotla na raˇcun cun uloˇzene zen e toplot top lotne ne energi ene rgije. je. U odnosu na prirodu radnog tela rashladne rashladne ma maˇˇsine sine uslovno se dele, u osnovnom osnovnom na a) gasne (ili vazduˇ vazduˇsne) sne) - kod kojih se radno telo gas ( ili vazduh) nalazi u stanju daleko daleko od linije zasićenja cenja i b) parne - kod kojih je radno telo para razliˇ razliˇcitih citih gasova. gasova. Parne rashladne maˇsine sine se dele na parnokompresorske, parnoejektorske parno ejektorske i apsorpcione. Posebnu grupu ˇcine cine termo-elekt termo -elektriˇ riˇcne cne i termo-magn termo -magnetne etne rashladne rashl adne maˇsine sine ˇciji ciji je rad zasnozasno van na Peltije-o Peltije-ovom vom i Etinghansen-o Etinghansen-ovom vom efektu respektivno. U ovim tipovima rashladnih maˇsina sina ne koristi se radno telo u klasiˇcnom cnom smislu. Za dobijanje do bijanje vrlo niskih temperatura koriste se rashladne maˇsine sine i sistemi koji ko ji su zasnovani zasnovani na efektu adijabatskog adijaba tskog razmagnetisav savanja anja paramag paramagnets netskih kih soli. U tehnici tehnici niskih niskih temperat temperatura, ura, zavisno zavisno od toga da li je cilj hladjenja razliˇcitih citih objekata ob jekata ili likvefikacija likvefikacija gasova, gasova, ciklusi rashladne maˇsine sine se uslovno dele na refriˇziderske ziderske cikluse i likvefikacione likvefikacione cikluse, respektivno.

192

.

Slika 13.1.

Kao ˇsto sto je u sluˇcaju caju toplotnih maˇsina sina direktan Carnot-ov ciklus najsavr na jsavrˇˇseniji seniji i sluˇzi zi kao mera savrˇ savrˇsenstva senstva drugih dru gih ciklusa, kod rashladnih maˇsina sina je inverzan Carnot-ov ciklus Inverzan Carnot-ov Carnot-ov ciklus najsavrˇ na jsavrˇseniji seniji i sluˇzi zi kao mera savrˇsenstva senstva drugih drugi h ciklusa. ciklus a. Inverzan prikazan je u T,s-dijagramu na slici 13.1b. Pri izotermnom (T (T 2 = const) ˇsirenju sirenju (proces 2 → 3) od tela niˇze ze temperature odvodi se koliˇcina cin a toplot top lotee q2 i predaje radnom telu. Od radnog tela se odvodi koliˇ cina cina toplote q1 i preda p redaje je telu tel u viˇse se temperature temp erature pri izotermnom (T 1 = const) sabijanju radnog tela (proces 4 → 1). 1). Da bi se predala toplota od o d tela niˇ ze ze ka telu viˇ viˇse se temperature neophodno je da se uloˇzi zi energija (mehaniˇcki cki rad) tokom procesa p rocesa adijabatskog sabijanja (proces 3 → 4). 4). Najniˇ Na jniˇza za temp te mpera eratur turaa T 2 ciklus cik lusa a (rad ( radnog nog tela) tel a) treba tre ba da je za z a beskon b eskonaˇ aˇcno cno mal malu u veliˇ ve liˇcinu cinu niˇza za od temperature T h tela od o d koga se odvodi o dvodi toplota toplot a a najviˇsa sa temperatura temp eratura T 1 ciklusa treba da je za beskon be skonaˇ aˇcno cno mal malu u veliˇcinu cinu viˇsa sa od tempe tem perat ratura ura T t tela kome se predaje toplota. Koliˇ Kol iˇcina cin a toplot top lotee q2 , koja je odvedena od tela niˇze ze temperature, je manja od koliˇ cine cine toplote q1 , koja je predata preda ta telu viˇse se temperatu temp erature re za veliˇcinu cinu uloˇzenog zenog rada l q2 = q1 − l.

(13. (13.1)

Efikasnost (stepen (step en savrˇsenosti) senos ti) ciklus c iklusaa odredj o dredjena ena je odnoso o dnosom m koliˇcine cine toplote toplo te q2 , odvedene od tela niˇze ze temperatu temp erature, re, i uloˇzenog zenog rada l za ciklus i naziva se koeficijent hladjenja =

q2 . l

(13. (13.2)

ˇ je veći Sto ci odnos odn os odvedene odved ene koliˇcine cine toplote toplo te q2 u odnosu na uloˇzen zen rad l, tj. tj . ˇsto st o je veći ci koeficijent hladjenja , ciklus za hladjenje je savrˇ savrˇseniji. seniji. Za razliku od TKI direktnog ciklusa koeficijent hladjenja h ladjenja moˇze ze da bude manji, ve´ ci ci ili jednak jedinici. Sa TKI direktnog dir ektnog ciklusa  koeficijent hladjenja inverznog ciklusa vezan je relacijom q2 = = q1 − q2

q2 q1 q1 −q2 q1

=

1−η 1 = − 1. η η

(13. (13.3)

Kako se kod inverznog Carnot-ovog Carn ot-ovog ciklusa koliˇ cina cina toplote q2 odvodi odvo di od tela niˇze ze tempertemp erature tokom izotermnog procesa 2 → 3, a od radnog tela koliˇ cina cina toplote q1 predaje telu viˇse se temperature temperatur e tokom izotermnog izo termnog procesa 4 → 1, sledi

i

q2 = T 2 (s3 − s2 )

(13.4)

q1 = T 1 (s2 − s3 ) = −T 1 (s3 − s2 ),

(13. (13.5)

193

tako da je koeficijent hladjenja inverznog Carnot-ovog ciklusa =

q2 q2 T 2 = = = l |q1 | − q2 T 1 − T 2

1 . T 1 1 − T 2

(13. (13.6)

Od svih inverznih ciklusa, pri zadatom temperaturskom intervalu T 2 − T 1 , koeficijent hladjenja inverznog Carnot-ovog ciklusa je najve´ na jve´ ci ci i ne zavisi od o d svojstava radnog tela . Znaˇci, ci, pri jednakoj odvedenoj odvedeno j koliˇ cini cini toplote q2 od tela niˇze ze temperat temp erature ure najmanji na jmanji rad se ulaˇze ze u sluˇ sl uˇcaju ca ju inverznog inverz nog Carnot-ovog Carno t-ovog ciklusa c iklusa l = |q1 | − q2 = (T 1 − T 2 )(s )(s2 − s1 ).

(13. (13.7)

Koeficijent hladjenja  Carnot-ovog ciklusa raste s porastom temperature T 2 hladnog izvora i s opadanjem temperature T 1 toplij toplijeg eg izvora, izvora, tj. sa smanjenje smanjenjem m interv intervala ala T 1 − T 2 . S obzirom da je temperatura T 1 pribliˇ pribliˇzno zno konstantn konstantnaa i jednaka jednaka temperaturi okoline okoline (250 ˇ je 30 C), koeficijent hladjenja  uglavnom zavisi od temperature T 2 hladnog izvora. Sto temperatura T 2 niˇza za to treba da se uloˇzi zi ve´ ci ci rad da bi se ona i odrˇzala, zala, tj. smanjuje se koeficij koeficijen entt hladjen hladjenja ja ciklus ciklusa. a. Realni Realni rashlad rashladni ni sistem sistemii ne rade po inve inverzno rznom m CarnotCarnotovom ciklusu iz razloga koji su ranije navedeni (glava 10), pre svega bili bi potrebni vrlo komplikovani komplikovani mehanizmi, tako da bi se izgubile i zgubile sve prednosti ovog inaˇce ce idealnog id ealnog ciklusa. 13.2. Ciklus vazduˇ vazduˇ sne sne (gasne) kompresorske kompresor ske rashladne rashlad ne maˇ sine sine Vazduˇsne sne kompresorske rashladne maˇsine sine konstruisane su ranije od parnih kompresorskih rashladnih ma maˇˇsina, sina, medjutim, medjutim, zbog male efikasnosti efikasnosti i velikih velikih dimenzija dimenzija bile su istisnute. Koriˇs´ scenjem cénjem turbo-kompresora i ekspanzionih turbina, umesto ranijih klipnih kompresora kom presora i klipnih ekspanzionih ma maˇˇsina sina ( ekspander, ekspander, detander), detander), smanjile smanjile su se dimenzije i pove´ cala cala ekonomiˇ cnost, cnost, koja je joˇs uvek manja od parnih kompresorskih rashladnih maˇsina. sina. Osim toga t oga ˇsto sto u odnosu o dnosu na parne kompresorske kompreso rske rashla r ashladne dne maˇsine sine ima imaju ju manje ma nje dimenz me nzij ije, e, vaˇzno zn o prei pr eimu´ mućstvo cs tvo vazd va zduˇ uˇsnih sn ih ras r ashl hlad adni nih h maˇsina sin a je mog mogu´ ućnos cn ostt hlad hl adje jenj nja a do znat zn atno no 0 niˇzih zih temperatura (od -80 do -140 C).

194

Slika 13.2.

Principijelna ˇsema sema vazduˇ vazduˇsne sne rashladne maˇsine sine prikazana je na slici 13.2. Vazduh* (kao radno telo) temperature T 1 i pritiska p1 adijabatski adija batski se ˇsiri u ekspanziono ekspan ziono j maˇsini sini (detanderu) - turbini (1) do pritiska p2 . Ohladjen vazduh temparature T 2 ulazi ula zi u razmen raz menjivaˇ jivaˇc toplote (2) gde od hladnog tela (hladnog izvora) temperature T h , viˇse se od temperat temp erature ure T 2 ohladjenog vazduha, pri konstantnom pritisku ( p2 = const) c onst) prima koliˇcinu cinu toplote toplo te q2 . Na izlazu iz razmenjivaˇ razmenjivaˇca ca toplote temperatura T 3 vazduha je za beskonaˇcno cno malu vrednost niˇza za od temperatu temp erature re T h hladnog tela. Zatim Zat im se vazduh, vazdu h, na raˇcun cun uloˇzenog zen og rada rad a l u turbokompresoru (3), adijabatski sabija do poˇcetnog cet nog pritis pri tiska ka p1 . Temperatura T 4 vazduha pred ulaz u razmenjivaˇ razmenjivaˇc toplote - hladn jak (4) je viˇ v iˇsa sa od o d tempe te mperatu rature re T t protoˇcne cne vode u hladnjaku hla dnjaku (koja (ko ja igra igr a ulogu ulo gu toplijeg to plijeg izvora) tako da pri konstantnom pritisku ( p1 = const) radno telo (vazduh) preda je koliˇ cinu cinu toplote top lote q1 protoˇcnoj cno j vodi. vo di. Po zavrˇsetku setku hladjenja hladj enja temperatu temp eratura ra T 1 vazduha je za beskonaˇ bes konaˇcno cno malu vrednost viˇsa sa od temperature hladne vode.

Slika 13.3.

vazduˇ sne sne rashNa slici 13.3 u p,v- i T, s- dijagramu prikazan je idealan ciklus vazduˇ ladne maˇ sine sine -inverzan Joule-ov Joule- ov ciklus . Proces 1 → 2 odgovara odg ovara adijabatskom adija batskom ˇsirenju siren ju vazduha u ekspanzionoj ekspanziono j maˇsini sini (1); proces 2 → 3 izobarnom dovodjenju koliˇ cine cine toplote q2 u razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu toplote (2); proces 3 → 4 - adijabatskom sabijanju vazduha u turbo -kompresoru (3) i proces 4 → 1 - izobarnom odvodjenju koliˇ cine cine toplote q1 u razme ra zmenj njivaˇ ivaˇcu cu toplote-hladnjaku (4). Dovedena koliˇ cina cina toplotre toplotr e pri izobarnom procesu pr ocesu 2 → 3 je q2 = c p (T 3 − T 2 ),

(13. (13.8)

a odvedena koliˇ cina cina toplote pri izobarnom procesu 4 → 1 je q1 = c p (T 1 − T 4 ) = −c p (T 4 − T 1 ),

(13. (13.9)

tako da koeficijent hladjenja iznosi =

q2 = |q1 | − q2

1 |q1 | q2

−1

=

1 T 4 −T 1 T 3 −T 2

−1

=

1

.

T

T 1 ( T 4 −1) 1

T

T 2 ( T 3 −1)

(13. (13.10)

−1

2

Za adijabatski proces 1 → 2 je



T 1 p1 = T 2 p2

k−1 k

.

(13. (13.11)

* Pri temperaturama temp eraturama iznad izn ad kritiˇcne cne temperature temp erature vazduha (-140,7 (- 140,70 C) vazduh vazdu h moˇze ze da se smatra kao idealan gas. 195

Za adijabatski proces 3 → 4 je k−1 k

 

T 4 p4 = T 3 p3

p1 = p2

k−1 k

.

(13. (13.12)

Iz (13.11) i (13.12) sledi

odnosno

T 1 T 4 , = T 2 T 3

(13. (13.13)

T 4 T 3 = , T 1 T 2

(13. (13.14)

tako na osnovu (13.10), (13.14) i (13.11) koeficijent hladjenja  iznosi =

1 = T 1 − 1 T 2

1 1 . = 1 k T 4 p1 − 1 k −1 ( p2 ) T 3 −

(13. (13.15)

Koeficijent hladjenja inverznog Joule-ovog ciklusa c iklusa naizgled je identiˇ can can koeficijentu hladh lad jenja jenja inve inverzno rznogg Carnot-o Carnot-ovo vogg ciklus ciklusaa (izraz (izraz 13.6 13.6). ). Medjutim Medjutim,, temperat temperatura ura T 2 u izrazu (13.15) pretstavlja najniˇ na jniˇzu zu temperaturu radnog tela u ciklusu a ne (kao ˇsto sto je to sluˇcaj ca j kod Carnot-ovog ciklusa) temperaturu T h razmen raz menjivaˇ jivaˇca ca toplot top lotee (T h ≈ T 3 ). S druge strane najviˇ na jviˇsa sa temperat temp eratura ura T 4 u ciklusu znatno je viˇsa sa od temperature T t hladnjaka (T (T h ≈ T 1 ). Ekvivalntan inverzan Carnot-ov ciklus prikazan je u T,s dijagramu (slika 13.3) konturom 1 → 1 → 3 → 3 → 1. Za ovaj ciklus koeficijent hladjenja je c =

1 , T 1 − 1 T 3

(13. (13.16)

i znatno je ve´ ci ci od koeficijenta hladjenja idealnog ciklusa vazduˇ vazduˇsne sne rashladne maˇsine sine T 1 T 1 ( T 3 < T 2 ). Razmotrimo, na primer, primer , rashladnu rashl adnu maˇsinu sinu koja bi radila rad ila po p o inverznom Carnot0 ovom ciklusu ciklu su od najviˇ na jviˇ se se temeprature t1 = 20 C do d o najniˇ na jniˇze ze temperat temp erature ure t3 = −50 C, pri odgov odg ovara araju´ jućim cim pritiscima priti scima vazduha p1 = 0, 390 MPa i p3 = p2 = 0, 098 MPa. MPa. Koeficije Koeficijent nt hladjenja takvog ciklusa (na osnovu 13.6) bi bio c = 10, 10, 72. 72. Medjutim, Medjut im, u sluˇcaju ca ju inverznog Joule-ovog ciklusa pri temperaturi hladnjaka (t (t1 = 200 C) i istoj temperaturi hladnog tela (t3 = −50 C) radno telo mora da se prethodno ohladi do temperature t2 = −680 C a zatim u delu ciklusa zagreje do t4 = 1100 C (pogl (pogledaj edaj sliku sliku 13. 13.3. 3.)) tako tako da je na osnovu osnovu (13.10) koeficijent hladjenja inverznog Joule-ovog ciklusa je 2,32, odnosno 4,62 puta manji od koeficijenta hladjenja odgovarajućeg ceg inverznog Carnot-ovog Carn ot-ovog ciklusa. U tehnici su realizov r ealizovani ani inverzni Joule-ovi regenerativni ciklusi kod rashladnih r ashladnih maˇsina sina sa vodonikom vodon ikom ili helijumom kao radnim rad nim telom a koriste se za prevodjenje vazduha u teˇcno cno stanje. 13.3. Ciklus parnokompresorskih rashladnih maˇ maˇ sina sina Za dobijanje dobijanje i odrˇzavanje zavanje umereno niskih temperatura (do -1200 C) primenjuju se rashladne maˇsine sine koje kao radna tela koriste lako isparljive teˇcnosti cnosti niske temeperature kljuˇcanja: canja : amonijak amoni jak (N (N H 3 ), ugljen-dioksid (C (C O2 ), hlor-metil (C (C H 3 C l), sumpor-dioksid (SO 2 ) i freon [freon -12 (C (C F 2 C l2 ), freon-22 (C (C H F 2 C l), freon-13 freon-13 (C F 3 C l), freon -14 (C (C F 4 )] 196

- ugljovodonik ugljovod onik kod koga je vodonik vodon ik zamenjen zamen jen halogenim halog enim elementima, elementi ma, najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce fluorom fluor om (F) 0 0 i hlorom h lorom (Cl) sa razliˇcitim citim temperat temp eraturama urama kljuˇcanja canja (od 30 C do - 128 C). Osnovna karakteristika ciklusa parnokompresorskih rashladnih maˇsina sina je ta ˇsto sto se razmena razme na toplote toplo te izmedju izmedj u razmenjivaˇ razmen jivaˇ ca ca toplote topl ote (tela viˇse se i niˇ n iˇze ze temperat temp erature) ure) i radnog r adnog tela ostvaruje ostvaruje pri izobarno-izotermnim izobarno-izotermnim procesima procesima u dvofaznoj dvofaznoj oblasti stanja radnog tela. Na taj ta j naˇcin cin ciklus parnokompresorskih rashladnih maˇsina sina (inverzan Rankine-ov ciklus sa zasićenom cenom i pregrejanom pr egrejanom parom ) blizak b lizak je inverznom Carnot-ovom ciklusu. Principije Princ ipijelna lna ˇsema sema parnokompreso parno kompresorske rske rashlad ra shladne ne maˇsine sine koja radi po inverznom Rankine-ovom ciklusu za z a zasićenu cenu i pregrejanu paru par u prikazan je na slici (13.4). p2 i temperature Iz ispari isp arivaˇ vaˇ ca ca (razme (ra zmenji njivaˇ vaˇca ca toplot top lote) e) (2) vlaˇzna zna zasi´ zas ićena cen a para par a pritis pri tiska kap T 2 ulazi u kompresor (ili turbokompresor) (3) gde se na raˇcun cun uloˇzenog zenog rada l adijabatski sabija do pritiska p pritiska p1 i temperature T 1 tako da se na izlazu iz kompresora nalazi u stanju suve zasićene cene pare (stepena suvo´ ce ce x=1). Iz kompresora para se hladi u razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu toplote (kondenzato (konden zatoru) ru) (4) gde se na raˇcun cun odvedene odved ene koliˇcine cine toplote toplo te q1 pri izobarno-izoterm izobarno-izotermnom nom procesu delimiˇcno cno kondenzuje, tako da iz kondenzatora izlazi teˇcnost cnost u stanju zasićenja cenja (odnosno vlaˇzna zna para stepena suvo´ ce ce x=0). Da bi se izbegao hidrauliˇcni cni udar, umesto u ekspanzionu ekspa nzionu maˇsinu sinu vlaˇzna zna zasićena cena para se uvodi u priguˇ prig uˇsni sni ventil (1), gde se proces pro ces adijabatske ekspanzije zamenjuje nepovratnim nep ovratnim procesom pro cesom adijabatskog priguˇsenja. senja. Pri procesu priguˇ prig uˇsenja senja entropija entrop ija raste (s2 − s1 > 0) i ako je proces adijabatski (a ne izoentropski) tj. bez razmena toplote s okolinom. okolinom. Tokom izoentalpijsko izoentalpijskogg (i= const) procesa priguˇ priguˇsenja senja oslobodje oslob odjena na koliˇcina cina toplote toplo te se utroˇsi si za delimiˇcno cno isparav ispar avanje anje kondenzovanog kondenz ovanog radnog r adnog tela bez vrˇsenja senja mehaniˇckog ckog rada. Pritisak i temperatura vlaˇzne zne pare posle izoentalpijskog (p2 , odnosno T 2 ). Predˇsirenja siren ja na izlazu izlaz u iz priguˇ prig uˇsnog snog ventila opadnu na poˇcetnu cetnu vrednost vredn ost p nost koriˇs´ sćenja cenja priguˇ prig uˇsnog snog ventila je mogućnost cnost postep pos tepenog enog regulisan regu lisanja ja pada temperatu temp erature re pare a time i temperature temperatur e u ohladjenoj ohladjeno j zapremini, izmenom veliˇ cine cine otvora priguˇsnog snog (redukcionog) ventila. Zatim se para uvodi u isparivaˇ isparivaˇc (2) gde na raˇcun cun toplote q2 , primljene od ohladjenog ohladjenog tela, isparav isparava tokom izobarno-izotermnog izobarno-izotermnog procesa. pro cesa. Na izlazu iz isparivaˇ isparivaˇ ca ca p ovećan ca n je step st epen en suvo´ su voće ce vlaˇ vl aˇzne zn e zasi´ za sićene ce ne pare pa re..

Slika 13.4.

Idealizovan Ideali zovan ciklus parnokompresorsk parnokompr esorskih ih rashladn r ashladnih ih maˇ sina sina (inverzan Rankine-ov Rankin e-ov ciklus za zasi´ cenu cenu paru) prikazan je u T, s- dijagramu (slika 13.4). Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom-izoentalpijskom priguˇsenju senju pare u priguˇsnom snom vent ventilu; ilu; proces proces 2 → 3- izobarno-izotermnom isparavanju isparavanju u isparivaˇ isparivaˇcu cu usled dovodjenja koliˇ kol iˇcine ci ne top t oplo lote te q2 od ohladjenog tela; proces 3 → 4 adij a dijaba abatsko tsko j komp ko mpers ersiji iji vlaˇzne zne zasi´ zas ićene cen e pare u kompersoru i proces 4 → 1 izobarno-izotermnom kondenzovanju kondenzovanju u razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu (kondenzatoru (kondenzatoru)) pri odvodjenju toplote q1 od radnog radn og tela te la u okolnu o kolnu sredinu sred inu (protoˇ (pr otoˇcnu cnu vodu). vod u). Koliˇ Kol iˇcina cin a toplot top lotee q2 koja je dovedena radnom telu od hladnog izvora, tokom izobarnoizotermnog procesa 2 → 3, jednaka jedna ka je razlici razli ci entalpija entalpi ja krajnje kra jnje i poˇ p oˇcetne cetne taˇcke cke proc p rocesa esa q2 = i3 − i2 .

(13. (13.17)

Kako je proces 1 → 2, koji odgovara adijabatskom ˇsirenju, izoentalpijski (i1 = i2 ) sledi q2 = i3 − i2 = i3 − i1 . 197

(13. (13.18)

Koliˇ Kol iˇcina cin a toplot top lotee q1 koja je predata toplom izvoru od strane radnog tela, tokom izobarnoizotermnog procesa 4 → 1, iznosi q1 = i4 − i1 . (13. (13.19) Ukupan rad l koji je utroˇ utr oˇsen sen tokom ciklusa jednak je radu ra du kompresora lk i iznosi l = lk = i4 − i3 .

(13. (13.20)

Rad pri adijabatskom ˇsirenju u priguˇsenom senom ventilu, kao ˇsto sto je ranije pomenuto, jednak je nuli. nuli. Koeficijent Koeficijent hladjenja hladjenja parnih rashladnih ma maˇˇsina sina koje ko je rade po idealnom inverznom inverznom Rankine-ovom ciklusu za zasićenu cenu paru, na osnovu (13.17), (13.18) i (13.20) (13 .20) iznosi izn osi =

q2 i3 − i2 i3 − i1 . = = l i4 − i3 i4 − i3

(13. (13.21)

Kako su odvedena i dovedena koliˇcina cina toplote date izrazima q1 = T 1 (s1 − s4 ) = T 1 (s2 − s3 ) = −T 1 (s3 − s2 )

(13.22)

q2 = T 2 (s3 − s2 ),

(13. (13.23)



i



koeficijent koefic ijent hladjenja hladj enja moˇze ze da se prikaˇze ze u obliku oblik u =

q2 q2 T 2 . = = l |q1 | − q2 T 1 ss33−−ss22 − T 2 

(13. (13.24)

S obzirom da je s3 − s2 > s3 − s2 dobija se da je koeficijent hladjenja  inverznog Rankineovog ciklusa neˇsto sto manji od koeficijenta hladjenja  odgov odg ovara araju´ jućeg ceg inverznog Carnot-ovog Carno t-ovog ciklusa. T 2   c = . (13. (13.25) T 1 − T 2 

Koeficijent hladjenja raste sa smanjenjem razlike temperature hladnjaka i hladnog izvora. Pri konstantnoj temperaturi hladnjaka [T [T 1 = 20 − 300 C ] raste s porastom temperature T 2 hladnog izvora. izvora. Koeficijent hladjenja  inverznog Rankine-ovog Rankin e-ovog ciklusa ciklu sa za zasićenu cenu paru neˇsto sto je manji od koeficijenta hladjenja c odgovarajućeg ceg inverznog Carnot-ovog ciklusa (izraz 13.25), zbog zbo g ˇstetnog stetn og utica ja ireverzibiln ireverz ibilnog og procesa pro cesa priguˇsenja. senja . Kao ˇsto sto je ranije rani je reˇceno, ceno, radno telo oslobodje oslob odjenu nu koliˇcinu cinu toplote toplo te u proc p rocesu esu priguˇsenja senja iskoristi iskorist i za z a delimiˇ d elimiˇcno cno isparav ispar avanje. anje. Ovaj deo toplotne energije energije ne predaje se toplijem izvoru, tj. ne uˇcestvuje cestvuje u procesu hladjenja. Neiskoriˇ Neiskoriˇs´ scen cén deo toplotne energije, nastao priguˇsenjem, senjem, za amonijak (N H 3 ) i sumpordioksid (SO (SO 2 ) su skoro zanemarljivi tako da je teorijski ciklus kompresorskih rashladnih maˇsina si na sa N H 3 i SO 2 vrlo blizak Carnot-ovom (na primer, za T 1 = 300 C i T 2 = −150 C ∼ 0, 8). dobija se da je /c = 8). Znaˇci, ci, za razliku r azliku od Carnot-ovog Carnot -ovog ciklusa, ci klusa, u sluˇ sl uˇcaju ca ju parnih p arnih kompresionih rashladnih r ashladnih maˇsina sina koje ko je rade po invrerznom Rankine-ovom ciklusu bitan bit an utica j na vrednost koeficijenta hladjenja imaju osobine radnog r adnog tela t ela (toplota (top lota isparav ispa ravanja, anja, specifiˇ sp ecifiˇcna cna toplota, toplo ta, kritiˇcni cni parame p arametri, tri, itd.). itd.) . Osnovni Osnovni nedostatk nedostatk parnih kompresorsk kompresorskih ih rashladnih rashladnih ma maˇˇsina sina koje rade po RankineRankineovom ovom ciklusu ciklusu sa zasi´ cenom cenom parom je u tome ˇsto sto je rad kom kompresora presora sa vlaˇ znom znom parom vrlo oteˇzan zan uz mogu´ mog ućnost cnost tzv. ”vodenog udara”. Ovaj nedostatak ned ostatak je otklonjen otklon jen kod parnih kompresorskih rashladnih maˇsina sina kod kojih kompresor radi sa suvom (pregrejanom) (pr egrejanom) parom. p arom. 198

Slika 13.5

Savremene parne par ne rashladne ra shladne maˇsine sine rade r ade po inverznom Rankine-ovom ciklusu sa prep regrejanom parom. Inverzan Rankine-ov ciklus sa suvom pregrejanom parom prikazan je na slici 13.5. Dobijanje Dobijanje suve suve pare pred ulaz u kom kompresor presor (taˇcka cka 3 u T,s- dijagramu dijagramu na slici sli ci 13. 13.5) 5) postiˇ po stiˇze ze se većim cim zatvaran zat varanjem jem priguˇ pri guˇsnog sno g ventila, venti la, tako da kroz kro z ispari isp arivaˇ vaˇ c protiˇ pro tiˇce ce manja koliˇ koliˇcina cina radnog tela koja u njemu njemu sva sva ispari. Time je rad kompresora kompresora olakˇ olakˇsan san a i onemogu´ onemo gućen cen je ”vodeni ”vode ni udar”. udar” . Jednostavno se dobija da koeficijent hladjenja parnih rashladnih r ashladnih maˇsina sina koje ko je rade po inverznom Rankine-ovom ciklusu sa suvom pregrejanom parom iznosi =

i3 − i2 i3 − i1 . = i4 − i3 i4 − i3

(13. (13.26)

Jasno je da ovaj ovaj ciklus u odnosu na Rankine-ov ciklus ci klus sa vlaˇznom znom zasićenom cenom parom znatno viˇse se odstupa o dstupa od Carnot-ovog ciklusa tako da mu je i koeficijent hladjenja manji. Medjutim, zbog olakˇsanog sanog rada kompresora sa suvom umesto vlaˇznom znom parom, rashladne maˇsine sine koje rade po ovom ovom ciklusu imaju prednost. prednost. Koeficijent Koeficijent hladjenja hladjenja kom komprepresorske sor ske parne par ne rashla ras hladne dne maˇsine sin e moˇze ze da se poveća ca kako viˇsestep ses tepeni enim m priguˇ pri guˇsenjem sen jem tako i viˇsestepenom sestepenom kompresijom radnog tela. U prvom sluˇcaju caju pove´ cava cava se toplota hladjenja, a u drugo drugom m smanj smanjuje uje se rad rad uloˇ uloˇ zen z en na kom ompre presi siju ju radnog radnog tela. tela. Ka Kaoo prim primer, er, na slic slicii kompresorske ke rashladne rashladne maˇ maˇ sine sine sa dvostepenim dvostepenim 13.6 je prikazan ciklus parne kompresors priguˇ senjem senjem i dvostepenom kompresijom radnog tela.

199

13.4. Ciklus parno ejektorske rashladne maˇ maˇ sine sine Parno ejektorske ejekto rske rashladne rashl adne maˇsine sine su takve rashladne rashl adne maˇsine sine koje, koj e, umesto mehaniˇ mehan iˇcke cke energij energije, e, za svoj svoj rad korist koristee toplotn toplotnu u energij energiju. u. Nai Naime, me, umesto umesto kompresor kompresora, a, za sabija sabijanje nje radnog radnog tela tela korist koristii se ejekto ejektor, r, kompa kompaktan ktan deo bez pokretni pokretnih h elemenat elemenata, a, za ˇciji ciji rad nije nije potrebna pot rebna mehaniˇ mehan iˇcka cka energija. energ ija. Sabijanje Sabij anje pare u ejektoru ejekt oru postiˇ pos tiˇze ze se pomo´ po moću cu kinetiˇ kinet iˇcke cke energije dela pare, koja se obrazuje u kotlu, na n a raˇcun cun dovedene koliˇcine cine toplote qk . Principije Princ ipijelna lna ˇsema sema parno pa rnoejekto ejektorske rske rashladne rash ladne maˇsine sine prikazana p rikazana je j e na slici sl ici 13.7. 13 .7. Radna para par a (na jˇceˇ ceˇs´ sće ce vodena vod ena para) par a) visokog vis okog pritis pri tiska ka p1 i temperature T 1 izlazi iz kotla (6) i adi jabatski jabatski se ˇsiri siri u mlazniku mlazniku (M) ejektora ejektora (2) tako da na izlazu iz mlaznika mlaznika pritisak pritisak i temperatura padaju na vrednost p2 i T 2 , respektivno, re spektivno, a brzina brz ina mlaza pare dostiˇze ze vrednost vredn ost do oko 1000 m/s. Pritisak p2 na izlazu izlaz u iz mlaznika mlazn ika je neˇsto sto niˇzi zi od pritiska priti ska u isparivaˇ ispar ivaˇ cu cu (1), tako da se radno telo (hladna para) iz isparivaˇ isparivaˇca ca usisava usisava u komoru meˇsanja sanja (KM) ekjektora. Smesa radne pare i hladne pare ulazi u difuzor (D) ejektora ejektora gde se kinetiˇ kinetiˇcka cka energija energija mlaza transformiˇ transformiˇse se u potencijalnu potencijalnu energiju energiju (energiju (energiju pritiska) pritiska) tj. smanjuje smanjuje brzina mlaza a pove´ cava cava pritisak i temperatura do vrednosti pm i T m , respektivno ( p1 > pm > p2 ). Na taj naˇ cin cin se za adijabatsko adijabatsko sabijanje sabijanje hladne pare koristi koristi kinetiˇ kinetiˇcka cka energija energija mlaza radne pare, pare , koju je stekao na raˇcun cun koliˇcine cine tolote tolot e qk utroˇsene sene u kotlu (6). Smesa radne r adne i hladne hla dne pare pritiska pm usmerava usmerava se u kondenzator (3) gde se kondenzuje predaju´ preda jući ci toplom toplo m izvoru (hladno (hlad nojj protoˇcnoj cno j vodi) koliˇcinu cinu toplte toplt e q1 . Obrazovan kondenzat se deli na dva mlaza. Veći ci deo se priguˇ prig uˇsuje suje u priguˇsenom senom (regulaci (reg ulacionom) onom) ventilu (4) do pritiska priti ska p2 i temeperaturu T 2 i usmarav usmarava u kondenzator. kondenzator. Drugi (manji) deo kondenzata kondenzata ubacuje se pomo´ cu cu vodene pumpe (5) u kotao pri pritisku p1 . Idealan ciklus parno-ejektorske rashladne maˇsine je prikazan u T,s-dijagramu na slici 13.8. uslovno s obzirom obzir om da su koliˇcine cine hladne pare i radne r adne pare razliˇcite cite za dva dela ovog ciklusa.

Slika 13.7

Slika 13.8

Procesu 1 → 2 odgovar o dgovaraa adij a dijaba abatskom tskom priguˇ pri guˇsenju sen ju većeg ceg dela del a konden kon denzat zata a u priguˇ pri guˇsenom sen om  → ventilu (4); procesu 2 2 -izobarno-izob arno-izote izotermnom rmnom isparav ispar avanju anju vlaˇzne zne zasićene cene pare u isparispar avaˇcu cu (1) (1 ) na n a raˇcun cu n priml pr imlje jene ne koliˇ kol iˇcine ci ne topl to plot otee q2 od hladnog izvora do stanja suve zasi´ za sićene cene  pare pa re (taˇ (t aˇcka cka 2 ); proces 3 → 4 -adijabatsko -adijabatskom m sabijanju sabijanju smeˇ smeˇse se hladne pare i radne pare u difuzoru (D) ejektora (2). Taˇcka cka 3 odgovara stanju smese smanjene vlaˇznosti znosti u komori maˇsanja sanja (KM) pred difuzorom; proces 4 → 5 odgovara izobarnom hladjenju smese suve pare u kondenzatoru (3); proces 5 → 1 izobarno-izotermnoj potpunoj kondenzaciji smese pare u konden kondenzato zatoru. ru. Tokom okom procesa hladjenja hladjenja (4 → 5) i kondenzacije (5 → 1) radno telo (para) predaje preda je koliˇ cinu cinu toplote q1 toplom toplom izvoru. izvoru. Proces Proces 1 → I I odgovara od govara poviˇ pov iˇsenje sen je 200

pritiska u vodenoj pumpi;* proces I I → I I I izobarnom zagrevanju radne pare u kotlu (1); proces I I I → I V izobarno-izotermnom isparavanju isparavanju na raˇcun cun dela dovedene toplote toplo te u kotlu (6) i proces I V → V adijabatskom ˇsirenju sirenju radne pare u mlazniku (M) ejektora e jektora (2) do pritiska p2 . Posle meˇsanja san ja vlaˇzne zne pare par e stanja sta nja V sa suvom zasićenom cenom parom stanja 2 dobija se smesa vlaˇzne zne pare stanja 3. Zbog toga ˇsto sto se tokom ciklusa ne vrˇsi si spoljaˇsnji snji rad (zanemaru (zan emaruju´ jući ci rad vodene voden e pumpe) pump e) ve´ c se dovodi koliˇcina cina toplote toplo te qk u kotlu, umesto ko efici cije jent nt iskor is koriˇ iˇ s´ s´ cenj ce nja a topl to plote ote ξ, definisan odnosom koeficijenta hladjenja uvodi se koefi koliˇ kol iˇcine ci ne top t oplo lote te q2 odvedene odved ene od hladnog hlad nog izvora i uloˇzene zene koliˇcine cine toplote toplo te qk : ξ=

q2 . qk

(13. (13.27)

Jednostavno se pokazuje da koeficijent iskoriˇ iskoriˇs´ sćenja cenja ciklusa parno-ejektorske rashladne maˇsine si ne izno iz nosi si i2 − i2 ξ= , (13. (13.28) g (iIV − i1 ) gde je g− odnos odn os koliˇcine cine pare iz kotla prema koliˇcini cini pare iz isparivaˇ ispar ivaˇ ca. ca. Ciklus parno-ejektorskih par no-ejektorskih rashladnih maˇsina sina u poredjenju sa ciklusom parno-kompresorskih rashladnih maˇsina sina je neuporedivo nesavrˇ nesavrˇseniji, seniji, zbog velikih gubitaka pri ireverzibilnom procesu me meˇˇsanja sanja u ejektoru. ejektoru. Medjutim, Medjutim, zbog jednostavno jednostavnosti sti (kompaktnos (kompaktnost, t, bez pokretnih mehanizama izuzev vodene pumpe) parno-ejektorske rashladne maˇsine sine naˇsle sle su primenu u prehrambenoj prehrambeno j i hemijskoj industriji i sluˇze ze za postizanje i odrˇzavanje zavanje umerene 0 hladno´ hla dnoće ce [temp [t empera eratur turaa t2 = 3 − 10 C ]. Na Najviˇ jviˇsa sa temperatu temp eratura ra ciklusa ciklus a t1 se drˇzi zi u granic gra nicama ama 0 0 od 30 − 40 C dok temperatura u kotlu dostiˇ d ostiˇze ze 180 C. 13.5. Ciklus apsorpcione rashladne maˇ maˇ sine sine Apsorpcione rashladne rashladne ma maˇˇsine sine koriste koriste svojstva svojstva nekih tela da apsorbuju apsorbuju druga tela, ˇcime cime se stvara dvokomponentni dvokomponentni sistem, tzv. binarna (dvojna) smesa. Ukoliko neki rastvor apsorbuje paru rastvaraˇ rastvaraˇca ca dolazi, na izvestan naˇcin, cin, do kondenzacije pare i oslobadjanja toplote. toplote. Apsorbo Apsorbov vanjem anjem pare smanjuje smanjuje se koncen koncentrac tracija ija rastv rastvora ora tako tako da se oslobad oslobadja ja dopunska dopunska koliˇ koliˇcina cina toplote. Ukupna koliˇ koliˇcina cina toplote, oslobodjena u procesu apsorpcije, apsorpcije, ne ki rastvor apsorbuje apsorb uje paru rastvaraˇ ca ca povećava cava temp t empera eratur turu u rastvor ras tvora. a. Znaˇci, ci, kada neki predaje predaje se toplot toplota a rastv rastvoru oru iako iako je tempera temperatur tura a pare pare niˇ niˇ za za od tempera temperatur ture e rastvora. rastvora. Pri ovom procesu dolazi do smanjenja koncentracije rastvora. U apsorb aps orbcio cionim nim rashla ras hladni dnim m maˇsinama sin ama najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce se koristi kori sti dvojna dvo jna smeˇsa sa amo amonij nijaka aka i vode (N (N H 3 − H 2 O). U ovom ovom sluˇ caju caju voda je rastvaraˇ rastvaraˇ c-apsorbent. c-apsorbent. Voda lako i mnogo apsorbuje paru amonijaka pri ˇcemu cemu se rastvor zagreva. za greva. Da bi se proces apsorpcije odrˇzao zao potrebno je da se rastvor neprekidno hladi. Ukoliko se rastvor zagreva dolazi pre svega do isparavanja amonijaka. Principijelna ˇsema apsorpcione rashladne maˇsine sine prikazana je na slici 13.9. Apsorpcione rashladne rashladne ma maˇˇsine sine nemaju pokretnih delova delova (izuzev pumpe). Ulogu kompresora (ili ejektora) ejektora) u ovom ovom sluˇcaju caju igra parni generator generator (1) i apsorber (5). Kod apsorpcionih apsorpcionih rashladnih ma maˇˇsina sina proces apsorpcije odgov o dgovara ara usisav usisavanju pare u kom kompresor, presor, a isparavnje isparavnje u parnom generatoru ge neratoru - sabijanju i izbacivanju pare iz kompresora. Ostali deo ˇseme odgov o dgovara ara ˇsemi semi parnih parn ih kompresorskih kompreso rskih rashladnih rashl adnih maˇsina. sina.

* zbog zanema zanemarlji rljivo vo malog malog rada rada vodene vodene pumpe pumpe (l (l p = iII − i1 ≈ 0) linija 1 → I I → I I I je vrlo bliska liniji 1 → I I I 201

.

Slika 13.9.

Rad apsorpci apsor pcione one rashladne rashl adne maˇsine sine protiˇce ce na sledeći ci naˇcin: cin: U parnom parno m generator gener atoru u (1) pri dovodjenju dovodjen ju koliˇcine cine toplote toplo te qk od spoljaˇsnjeg snjeg izvora dolazi do isparavanja isparavanja komponente s niˇzom zom temperat temp eraturom urom kljuˇcanja canja (na primer amonijak amonij ak N H 3 ) iz binarnog rastvora gde je druga komponenta voda rastvaraˇ c-apsorbat. c-apsorbat. Suva zasićena cena para amonijaka usmerava se u kondenzator (2) gde se potpuno kondenzuje predaju´ preda jući ci koliˇ cinu cinu toplote kondenzacije q1 protoˇ prot oˇcnoj cno j hladno hladn o j vodi (tzv. toplijem topli jem izvoru). izvoru) . Teˇcan can amonijak amoni jak se priguˇsuje suje u priguˇsenom senom (regulacionom) (regulacionom) ventilu ventilu (3), pri ˇcemu cemu opada pritisak pritisak i temperatura, temperatura, neˇ neˇsto sto ispod temperature atur e u isparivaˇ ispar ivaˇ cu cu (4). Na raˇcun cun primljene primlj ene koliˇcine cine toplote toplo te q2 od ohladjenog tela (tzv. hladnijeg hladn ijeg izvora) amonijak amonij ak isparava ispar ava prelaze´ pre lazeći ci u vlaˇznu znu zasićenu cenu paru a zatim se usmerav usmer avaa u apsorber apsorb er (5). U apsorberu apsorb eru pare amonijaka se potpuno apsorbuju rastvorom niˇ n iˇze ze koncentracije trac ije amonijaka, amonij aka, preda pr edaju´ jući ci oslob o slobodj odjenu enu koliˇcinu cinu toplote toplo te apsorpci apsor pcije je qa hladno hladn o j protoˇ prot oˇcnoj cno j vodi. Usled apsorpcije dolazi do pove´ canja canja koncentracije amonijaka u rastvoru. Obogaćen cen i ohladjen ohladjen rastv rastvor or se pumpom pumpom (6) odvodi odvodi u parni parni generato generatorr (1) gde na raˇ cun cun dove dovedene dene koliˇ kol iˇcine ci ne topl to plot otee qk amonijak amonijak isparava isparava i usmerav usmerava se u kondenzator (2). Apsorbent Apsorbent (voda) slabije koncentra koncentracije cije amonijak amonijakaa se iz generatora generatora preko priguˇ priguˇsnog snog ventila ventila (7) usmerav usmerava u apsorber, pri ˇcemu cemu pritisak i temperatura apsorbenta opadaju. Uvodjenjem Uvodjenjem apsorbentata apsorbentata niˇze ze koncentracije koncentra cije (preko priguˇsnog snog ventila) odrˇzava zava se stalna staln a koncentracija koncentra cija amonijaka amoni jaka u apsorbe apsor beru ru koja je inaˇce ce bila povećana cana apsorpci apsor pcijom jom amonijaka amoni jaka iz isparivaˇ ispar ivaˇ ca. ca. Koefic Ko eficije ijent nt toplot top lotnog nog iskoriˇ iskor iˇs´ sćenja cen ja ξ apsorpcione rashladne maˇsine sine dat je izrazom q2 q2 ξ= ≈ , (13. (13.29) qk + l p qk zane za neme meru ruju´ jući ci veliˇ vel iˇcinu ci nu rada ra da l p pumpe (l (l p ≈ 0). 0). Tako, na primer, pri temepraturama T 1 = K, T 2 = 258K 400K, 400 258K i temperaturi okoline T S = 298K 298K dobija dob ija se da je koefici koe ficijent jent iskoriˇ iskor iˇs´ sćenja cen ja toplote ξ = 0, 17 − 0, 50 a odgovarajuća ca vrednost koeficijenta hladjenja  = 0, 47 − 1, 41. 41. Zbog velike iverzibilnosti procesa u apsorpcionom sistemu apsorpcione rashladne maˇsine sine manje su efikasne i ekonomiˇ cne cne od parnih kompresorskih rashladnih maˇsina. sina. Med jutim, juti m, one ima imaju ju i niz preimućstava cstava kao ˇsto sto su jednostavnost jedno stavnost,, bezˇsuman suman rad, mogućnost cnost koriˇs´ sćenja cenja iskoriˇs´ sćenih cenih toplih topli h industrijski indust rijskih h voda i para za dovodjenje dovodje nje toplote toplo te parnom parn om generatoru, niska cena cen a i drugo, tako da su naˇsle sle ˇsiroku primenu. 13.6. Ciklusi Ciklusi za postizanje postizanje niskih temperatura temperatura i likvefik likvefikaciju aciju realnih gasova gasova 202

U 7. 7 . glavi razmatrani razmatra ni su procesi za hladjenje hl adjenje koji ko ji ˇcine cine osnovu o snovu sloˇzenih zenih ciklusa za postip ostizanje niskih temperatura kao i za likvifikaciju gasova. Jasno je da je kako za postizanje tako i za odrˇzavanje zavanje niskih temperatura neophodno de se ostvari termodinamiˇ termo dinamiˇcki cki ciklus delom sastavljen od odgovarajućih cih procesa pro cesa za hladjenje. To se odnosi o dnosi i na postupke p ostupke neprekidnog dobijanja teˇcnih cnih gasova gasova (likvefikacija). (likvefikacija). U ovom poglavlju p oglavlju biće ce razmatrani osnovni ciklusi za postizanje niskih temperatura i likvefikaciju gasova. Idealan ciklus za postizanje niskih temperatura i likvefikaciju gasova prikazan je u T,s-dijagramu na slici 13.10.

Slika 13.10

Gas se pri temperaturi T 1 , znatno znatn o iznad iz nad kritiˇcne cne temperat temp erature ure T K gasa gas a (taˇ ( taˇcka cka 1), 1 ), sabija sab ija pri izotermnom procesu 1 → 2 od pritiska p1 do pritiska p2 , pri pr i ˇcemu ce mu se oslo os loba badj djaa koliˇ kol iˇcina ci na toplote q1 , a zatim se ˇsiri pri izoentropskom izoentropskom (adijabatskom) (adijabatskom) procesu 2 → 3 do poˇcetnog cet nog pritiska p1 i temperature T 2 ispod isp od kritiˇcne cne temperatu temp erature re T K gasa, tako da dolazi do potpune likvefikac lik vefikacije ije gasa gas a tj. prelaz pre lazaa gasa gas a u teˇcno cno stanje sta nje (taˇcka cka 3 leˇzi zi na krivo kri vojj zasi´ z asićenja cen ja teˇcnosti cno sti). ).  Na raˇcun cun dovedene doved ene koliˇcine cin e toplot top lotee q2 tokom izobarno-izotermnog procesa 3 → 4 (T 2 = const, p1 = const) dolazi do isparav isparavanja teˇ cnosti. cnosti. Zasi´ Zasićena cena para se iz stanja 4 izobarno ˇsiri siri u procesu pro cesu 4 → 1, na raˇcun cun dovedene doved ene koliˇcine cin e toplot top lotee q2 , do poˇcetne cetne temperat temp erature ure T 1 ciklusa, tako da se zatvara neprekidan ciklus likvefikacije gasa. Spec Sp ecifiˇ ifiˇcna cn a koliˇ kol iˇcina ci na topl to plot otee q1 oslobodjena tokom izotermnog procesa 1 → 2 iznosi q1 = T 1 (s2 − s1 ) = −T 1 (s1 − s2 ).

(13. (13.30)

Ukupna Ukupn a odvedena odved ena koliˇcina cina toplote toplo te q2 jednaka jedna ka je zbiru koliˇcine cine toplote toplo te q2 , odvedene tokom tokom  izobarno-izoterm izobarno-izotermnog nog procesa 3 → 4, i koliˇ kol iˇcine ci ne top t oplo lote te q2 odvedene tokom izobarnog procesa 4→1: q2 = q2 + q2 = (i4 − i3 ) + (i ( i1 − i4 ) = i1 − i3 . (13. (13.31) Ukupan minimalan rad lid koji se utroˇsi si tokom idealnog ciklusa likvefikacije likvefikacije gasa iznosi lid = |q1 | − q2 = T 1 (s1 − s2 ) − (i1 − i3 ) = T 1 (s1 − s3 ) − (i1 − i3 ).

(13. (13.32)

Koeficijent hladjenja idealnog ciklusa je =

q2 i1 − i3 . = lid T 1 (s1 − s3 ) − (i1 − i3 ) 203

(13. (13.33)

Moˇze ze da se uoˇ u oˇci ci da je inverzan inver zan Carnot Car not-ov -ov ciklus cik lus 1 → 2 → 3 → 4 → 1, izmedju temperatura T 1 i T 2 , manje pogodan za likvefikaciju gasa od idealnog ciklusa 1 → 2 → 3 → 4 → 1 jer se sva toplota q2 kod Carnot-ovog Carno t-ovog ciklusa odvodi pri najniˇ n ajniˇzoj zo j temperaturi temp eraturi T 2 pri procesu 3 → 4, dok se kod idealnog ciklusa u procesu 3 → 4 toplota q2 odvodi pri najniˇ na jniˇzoj zo j  temperaturi T 2 a ostali deo toplote q1 pri viˇsoj soj temperaturi (od T 2 do T 1 ). Znaˇci, ve´ ve ća koliˇ cina cina toplote to plote odvodi o dvodi se pri idealnom idea lnom ciklusu likvefikacije likvefikacije gasa, odnosno za istu odvedenu koliˇcinu cinu toplote toplo te kod Carnot-ovog Carno t-ovog ciklusa ciklu sa treba da se uloˇzi zi ve´ ci ci rad. U tabeli tab eli 13.1. prikazane su vrednosti uloˇzenog zenog rada kod idealnog idealno g ciklusa lid i Carnotovog ciklusa lc za dobijanje 1 kg likvefikovanog gasa, njihov odnos lid /lc , kao i temperature klju kl juˇˇcanja an ja T klj gasovaa pri normaln normalnim im uslov uslovima ima.. Vrednost rednostii su dobijene dobijene na osnovu osnovu izraza izraza klj gasov (13.32) za T 1 = 300K 300K i p1 = 0.1MPa. Tabela 13.1 Gas helijum vo donik ne o n azot vazduh

T k (K ) T inv MJ/kg) lc (MJ/kg) MJ/kg ) lid /lc inv (K ) lid (MJ/kg) 4 ,2 20,4 27,3 77,4 88

40 205 2 50 624 603

6,85 11 , 9 1 , 23 0,79 0,74

11 0 54,3 1,25 1,13

0,062 0,219 0,635 0,660

kiseonik 90,2 metan 111,7

893 -

0,64 1,11

0,95 1,53

0, 0 , 67 4 0,720

-

0,43

0,52

0,830

etilen

1 69 , 4

Moˇze ze da se primeti pr imeti [ izraz iz raz (13.32) i Tabela 13.1] da uloˇzen zen rad za ciklus znatno raste s sniˇzenjem zenjem najniˇ na jniˇze ze temperat temp erature ure ciklusa. ciklu sa. Usled ireverzibiln ireverz ibilnosti osti po jedinaˇ jedin aˇcnih cnih procesa pro cesa utroˇsen sen rad u realnim realn im uslovima je mnogo puta veći ci nego neg o kod idealnog ciklusa. Idealan ciklus likvefikacije likvefikacije gasova gasova praktiˇcno cno je neostvarljiv, jer bi za postizanje p ostizanje stanja 2 (pred adijabatsko ˇsirenje) sirenje) bilo neophodno da se postigne pritisak od o d p2 = 50000M 50000M P a da bi se, na primer prime r za z a vazduh, vazduh , posle p osle adijabatskog adija batskog ˇsirenja siren ja dostig d ostigla la taˇ t aˇcka cka 3 na graniˇ g raniˇcnoj cno j krivo kr ivojj zasi´ zas ićenja cen ja teˇcnosti cno sti (slika (sl ika 13. 13.10) 10).. Medjutim, Medjutim, primenom primenom niza stepena odvodjenja toplote sa razliˇ razliˇcitih citih temperaturskih temperaturskih nivoa izmedju izmedj u najviˇ na jviˇse se (T 1 ) i najniˇ na jniˇse se (T 2 ) temperat temp erature ure teˇzi zi se pribliˇ pribl iˇzenju zenju idealnom ideal nom ciklusu ciklus u likvefikacije. likvefikacije . Pove´ canjem canje m broja bro ja stepeni step eni ciklusa ciklu sa poboljˇ pob oljˇsavaju savaju se termodina termo dinamiˇ miˇcke cke karakteristike istike ukupnog ciklusa ali se, s druge strane, time usloˇznjav znjava aparatura. aparatura. Jasno je da broj stepena hladjenja raste sa sniˇzenjem zenjem temperature T 2 . Paralelno Paralelno s odredjivanjem odredjivanjem broja stepeni hladjenja zadatak tehnike tehnike niskih temperatura (kriogena (kriogena tehnika) tehnika) je i da se izabere najpogodniji naˇ cin cin hladjenja hladjenja na svakom svakom stepenu stepenastog pen astog (kaskadnog) hladjenja. hladj enja. Osnovni naˇcini cini hladjenja hlad jenja koji se najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce primenjuju primen juju su: 1) isparavanje ispar avanje teˇcnosti cnosti niske temperatu temp erature re kljuˇcanja; canja ; 2) adijabatsko priguˇsenje senje (Joule-Thomson-ov efekt) i 3) adijabatsko adija batsko ˇsirenje siren je gasa sa i bez be z vrˇsenja senja spoljaˇ spo ljaˇsnjeg snjeg rada. Ciklusi Ciklus i za hladjenje hladj enje koji koj i su zasnovani na n a isparavanju is paravanju teˇ t eˇcnosti cnost i niske nis ke temperat temp erature ure kljuˇcacanja ˇsiroko sir oko se koriste kori ste u oblast obl astii do 200 K. Koriˇ Kor iˇs´ sćenjem cen jem nekoliko neko liko teˇcnosti cno sti razliˇ raz liˇcitih cit ih svojst svo jstava, ava, tako da se jedna teˇcnost cnost (kao radno telo) kondenzuje hladjenjem druge teˇcnosti cnosti na niˇzoj zo j temperaturi, mogu da se pomoću cu parnih kompresorskih rashladnih maˇsina sina dostignu niske temperatu temp erature re (do oko 60 K). Na primer, primer , pomoću cu ovakvog naˇcina cina (ˇcetverostep cetvero stepenim enim hladjenhladj en jem) je m) moˇze ze da se izvrˇ izv rˇsi si likvefikac lik vefikacija ija azo azota ta koriˇs´ sćenjem cen jem amo amonij nijaka, aka, etilen eti lena, a, metana met ana i narav n aravno no 204

azota u odgovaraju´ od govarajućim cim stepenima step enima kaskadne kaskadne rashladne rashl adne maˇsine. sine. Koriˇs´ sćenjem cenje m adijabatskog adija batskog priguˇsenja senja mogu da se likvefikuju likvefiku ju neon ili vodonik vodon ik ukoliko je pretho pre thodno dno,, koriˇ kor iˇs´ sćenjem cen jem step s tepena enasto stog g hladj hl adjenj enja a pomo´ p omoću cu parn p arnee kompres komp resion ionee maˇsine, sin e, post p ostign ignee temperatu temp eratura ra do oko 60 K u poslednj pos lednjem em stepenu step enu kaskade. kaskade. Konaˇcno, cno, koriˇs´ sćenjem cenje m teˇcnog cnog vodonika vodonika za prethodno hladjenje hladjenje helijuma helijuma moˇ ze ze da se likvefikuje likvefikuje helijum adijabatskim adijabatskim prig pr iguˇ uˇsenj se njem em.. Zavisnost Zavisnos t koeficije koe ficijenta nta adijabat adi jabatskog skog priguˇ pr iguˇsenja senja αi od temperature je sloˇzena zena s maksiT mumom blizu kritiˇcne cne temperatu temp erature re k . Maksimum se pomera ka viˇsim sim temperaturama temp eraturama s porastom pritiska, pritiska, tako da mora da se vodi raˇ cuna cuna da se kada je T > T inv pr i prig pr iguˇ uˇsenj se nju u inv pri gas zagreva (α (α1 < 0 za sve pritis p ritiske). ke). Pad temperatu temp erature re je veći ci ˇsto sto je manja poˇcetna cetna temperatura per atura i ˇsto je ve´ ci ci poˇcetni cetni pritisak. priti sak. Zbog Zbo g toga se proces pro ces priguˇsenja senja koristi pri najniˇ na jniˇzim zim temperaturama i pri relativno visokim pritiscima kompresovanog gasa. Dobijanje Dobi janje niskih ni skih tempe te mperatur ratura a adijabatski adija batskim m ˇsirenjem siren jem gasa sa vrˇsenjem senje m rada je efikasnije e fikasnije od adijabatskog adijab atskog priguˇsenja senja posebno pos ebno kada je stepen step en ˇsirenja siren ja gasa visok ili kada se ˇsirenje siren je vrˇsi si od relativno relativno visoke visoke poˇcetne cetne temperature. Kod nekih rashladnih sistema koristi koristi se proces adijabatskog ˇsirenja sirenja gasa bez vrˇsenja senja korisnog rada - proces adijabatskog isticanja iz suda u kome je gas pod pritiskom. U ovom sluˇcaju, ca ju, kao ˇsto je poznato, vrˇsi si se rad istiskivanja nasuprot spoljaˇsnjem snjem pritisku. Ovaj Ovaj proces se razlikuje razlikuje od adijabatsko adijabatskogg (izoentropsk (izoentropskog) og) ˇsirenja sirenja u detanderu detanderu (ekspanzionoj (ekspanzionoj ma maˇˇsini) sini) po tome ˇsto je ireverzibilan ireverzibilan,, tj. u procesu entropija raste. r aste. Zbog jednostavnosti aparature apa rature ovaj ovaj naˇcin cin hladjenja naˇsao sao je primenu u rashladnoj rashladno j tehnici. tehni ci. Promena temperature u ovom sluˇcaju ca ju znatno znat no je manja nego n ego u sluˇcaju ca ju adijabatskog adija batskog ˇsirenja siren ja u detanderu detan deru ali je mnogo veća ca nego u sluˇcaju ca ju adijabatskog adija batskog priguˇ prig uˇsenja. senja . Takve maˇsine sine dobile su naziv kriogene toplotne toplotne pumpe. Ciklusi Ciklusi za hladjenje hladjenje mogu da se uslovno klasifikuju na: 1) cikluse ciklu se sa priguˇsenjem; senje m; 2) kombinovane kombinovane cikluse u kojima ko jima se jedan deo gasa ˇsiri siri u detanderu a drugi dr ugi u priguˇsnom snom ventilu; 3) cikluse sa ˇsirenjem sirenjem u detanderu ili turbodetanderu i 4) cikluse sa ˇsirenjem sirenjem bez vrˇsenja senja korisnog rada r ada ( sa isticanjem gasa). 13.6.1. 13.6.1 . Ciklus likvefikacije sa priguˇ p riguˇ senjem senjem Svaki sloˇzeni zeni ciklus moˇze ze da se pretstavi kao niz odvojenih odvo jenih stepena ciklusa u kojima se hladjenje ostvaruje na razliˇcite cite naˇcine. cine. Razmotrimo najjednostavnije najjedn ostavnije cikluse sloˇzenog zenog (kaskadnog) ciklusa. U poˇcetku cetku razmotrimo razmo trimo teorijski teor ijski ciklus ciklu s hladjenja hladj enja sa prostim prost im priguˇ prig uˇsenjem, senje m, pri ˇcemu cemu se likvefikac lik vefikacion ionii gas ga s ne izdvaja izd vaja već ispa i sparava rava na raˇcun cun dovedene doved ene koliˇcine cin e toplo to plote teqq1 pri pr i na n a jniˇ jn iˇzo zo j temperaturi T 2 ciklusa. Principijelna ˇsema sema i odgovarajući ci idealan Linde-ov ciklus sa prostim priguˇsenjem senjem prik prikaza azani ni su na slici slici 13 13.11 .11aa i b. Ga Gass pritis pritisk ka p1 i temperature T 1 sabija se izotermno (T 1 = const) u kompresoru (1) do pritiska p2 > p1 . U razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu toplote (2) gas se izobarno ( p2 = const) hladi do temperature T m . Gas se zatim adijabatski (izoentalpijski) hladi u priguˇ priguˇsnom snom ventilu ventilu (3) do temperature T 2 koja odgovara poˇcetnom cetnom pritisku p1 . Stanje gasa koje odgovara parametrima p1 i T 2 nalazi se u dvofaznoj oblasti [taˇcka cka (4)] tako da dolazi dola zi do delimiˇcne cne likvefikacije li kvefikacije gasa. ga sa. Obrazovana Obraz ovana teˇcnost cnost isparav ispar ava a pri konstantno konstantn o j temperaturi i pritisku ( p1 =const i T 2 = const) na raˇcun cun dovedene koliˇcine cine toplote toplo te q2 od hladnog hladn og izvora ˇcija cija je temperatu temp eratura ra neˇsto sto viˇsa sa od najniˇ na jniˇze ze temperat temp erature ure T 2 ciklusa a zatim zajedno za jedno sa nelikvefikovanim nelikvefikovanim gasom ga som ulazi u razmenjiva ra zmenjivaˇˇc toplote to plote (2) gde g de se izobarno zagreva ( p1 = const) do poˇcetne cetne temperature. Pretpostavlja se da je razmenjivaˇ razmenjivaˇc toplote izolovan izolovan od okoline okoline (adijabatski (adijabatski uslovi). Na njegovom njegovom toplijem kraju temparature temparature obe struje gasa su jednake i iznose T 2 .

205

.

Slika 13.11.

U T,s-dijagramu na slici 13.11 proces 1 → 2 odgovara izotermnom sabijanju gasa u kompresoru (1); proces 2 → 3− izobarnom hladjenju u razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu toplote (2 ); proces 3 → 4− izoentalpijskom priguˇsenju senju u priguˇsnom snom ventilu (3); proces 4 → 5− izobarnoizotermnom isparavanju isparavanju u isparavaˇ isparavaˇcu cu (4) i proces 5 → 1− izobarnom zagrevanju u razmenjivaˇ menjivaˇ cu cu toplote (2). Kako je razmenjiv razmenjivaˇ aˇ c toplote toplotno izolov izolovan od okoline okoline sledi   q1 = q2 pa je i2 − i3 = i1 − i5 odnosno t5 − i3 = i1 − i2 , tako da uzevˇsi si u obzir da i4 = i3 , sledi q2 = i5 − i4 = t5 − i3 = i1 − i2 . (13. (13.34) S obzirom da je q1 = −T 1 (s1 − s2 ),

(13. (13.35)

na osnovu osnovu prethodnog sledi da rad utroˇ utroˇsen sen na izobarno sabijanje gasa iznosi l = |q1 | − q2 = T 1 (s1 − s2 ) − (i1 − i2 ).

(13. (13.36)

Koeficijent hladjenja idealnog ciklusa sa prostim p rostim priguˇ p riguˇsenjem senjem je L =

q2 i1 − i2 . = l T 1 (s1 − s2 ) − (i1 − i2 )

(13. (13.37)

Pri T 1 = 300K, 300K, p1 = 0.1M P a , p2 = 6 − 20M 20M P a dobija se da je termodinamiˇcki cki koeficijent iskoriˇs´ sćenja cenja za, na primer, prime r, azot kao radni radn i gas L /C = 0.1 − 0.2 tj. manji 3-6 puta nego u ∼ 0.635 pri p1 = 0.1M P a) Razmotrimo sluˇcaju ca ju idealnog ideal nog likvefikacionog likvefikacio nog ciklusa. ciklu sa. (idc = Razmotrimo teori jski ciklus sa prostim priguˇsenjem senjem u sluˇcaju ca ju kada se odvodi likvefikovan likvefikovan gas. Principijelna ˇsema sema ovakvog ovakvog sistema za hladjenje hladjenje (slika (slika 13.12) u principu se ne razlikuje razlikuje od prethodne ˇseme sem e (sli ( slika ka 13.11 13 .11a). a). U odnosu na ranije razmotren razmotren ciklus u ovom ovom sluˇ sluˇcaju caju protok nelikvefiko nelikvefikov vanog gasa iz isparavaˇ isp aravaˇca ca je smanje sma njen n za koliˇcinu cinu x odvedenog likvefikovanog gasa u odnosu na ulazni protok. prot ok. Odgovaraju´ Odgovara juća ca koliˇcina cina gasa pri T 1 mora da se uvede u ciklus da bi se proces likvefikacije normalno norma lno odvijao. odv ijao. Jednaˇcina cina toplotne toplo tne ravnoteˇze ze da d a je i2 = (1 − x)i1 + xi4 ,

(13. (13.38)

tako da tzv. koeficijent likvefikacije iznosi x=

i1 − i2 . i1 − i4 206

(13. (13.39)

Slika 13.12.

Razmotrimo teorijski ciklus hladjenja s priguˇsenjem senjem i prethodnim delimiˇcnim cnim hlad jenjem gasa pomoću cu pomoćnog cnog rashladnog fluida (gasa). Prethodnim hladjenjem gasa do   temperature T 1 (T 1 > T 1 > T 2 ) uvećava cava se efekt priguˇsenja. senja. Osim toga, likvefikacija neona, neona , vodonika i helijuma, ˇcija cija je temperatura temperatur a inverzije relativno re lativno niska, moguća ca je samo ukoliko se gas prethodno ohladi do temperature koja je ispod temperature inverzije pa se tek tada uvodi u priguˇ priguˇsni sni ventil. Ciklus se koristi koristi kako za postizanje niskih temperatura tako i za 207

likvefikaciju gasa. Principijelna ˇsema sema sistema za hladjenje (likvefikaciju) (likvefikaciju) sa priguˇsenjem senjem i prethodnim hladjenjem hladjenjem (Linde-ov (Linde-ov metod) prikazana prikazana je na slici 13.13. Gas posle sabijanja u kompresoru (1) prolazi kroz razmenjivaˇ razmenjivaˇc toplote (2 ) gde se regenerativno hladi suprotnim protokom ohladjenog gasa ga sa a zatim za tim se dodatno do datno hladi pomoću cu rashladnog rashladno g fluida, koji isparav ispa rava a u ispari spar avaˇ avaˇcu (2 ) (za hladjenje vazduha koristi se amonijak ili freon; za vodonik vodon ik i neon-teˇcni cni azot). Zatim se gas uvodi u osnovni osnovni razmenjiv razmenjivaˇ aˇ c toplote (2) gde se hladi suprotnim suprotnim protokom protokom ohladjenog ohladjenog gasa. U odnosu o dnosu na ciklus sistema hladjenja hladjenja sa priguˇ priguˇsenjem senjem bez prethodnog hladjenj hladjenjaa ovaj ovaj ciklus ciklus se razliku razlikuje je po tome tome ˇsto sto je temperat temperatura ura gasa gasa koja se uvodi uvodi u razmenjivaˇc toplote toplo te (2) znatno znatn o niˇza, za, jer je odredjen odr edjenaa temperatu temp eraturom rom kljuˇcanja canja T 1 dodatnog spoljnjeg spo ljnjeg rashladnog rashl adnog fluida u isparav ispar avaˇ aˇcu cu a ne temperatu temp eraturom rom protoˇcne cne vode u razmenjivaˇ razme njivaˇcu cu toplote iza kompresora kompresora (razmenjivaˇ (razmenjivaˇc toplote (2) na slici 13.13). Protok gasa ohladjenog ohladjenog ispod ispo d temperature inverzije ˇsiri siri se u priguˇsnom snom ventilu (3) pri ˇcemu cemu se likvefikuje i ulazi u sabirnu sab irnu posudu p osudu (4), gde ili isparav isp aravaa na raˇcun cun dovedene toplote q2 , ili se odvodi za dalje koriˇsćenje.

Slika 13.13.

Slika 13.14.

Osnovno priimućstvo cstvo ovog ciklusa je da se svi gubici toplote kompenzuju hladjenjem na temperaturskom nivou T 1 a ne kao ranije na najniˇ najn iˇzem zem temperaturskom nivou T 2 , (slika 13.14) 13. 14) ˇcime cim e se povećava cava koefic ko eficije ijent nt likvefikaci lik vefikacije je x gasa. 13.6.2. Ciklus likvefikacije likvefikacije sa ˇsirenjem sirenjem gasa u detanderu i priguˇ senjem senjem (Klod-Hesla (Klo d-Heslandov ndov metod) meto d) Kod ovih ciklusa zajedno zajed no s ireverzibilnim procesom priguˇsenja senja u priguˇsnom snom ventilu primenjuje primenjuje se reverzibilni reverzibilni proces adijabatsko adijabatskogg ˇsirenja u detanderu. detanderu. Adijabatsk Adijabatskoo (izoentropsko) ˇsirenje sirenje gasa u detanderu je efektivnije od procesa priguˇsenja senja (αs > αi , tako da je ∆T s > ∆T i ). Pri ˇsirenju sirenju gasa u detander detanderu u ne mo moˇˇze ze da se likve likvefikuj fikujee gas, gas, zbog toga toga se gas koji je prethodno ohladjen u detanderu uvodi u priguˇ priguˇsni sni ventil ventil i u rezultatu izoentropijskog izoentropijskog priguˇ pri guˇsenja sen ja likvefiku lik vefikuje. je. Principije Princ ipijelna lna ˇsema rashladno rashl adnogg sistema siste ma sa ˇsirenjem siren jem gasa u detanderu detan deru i priguˇ prig uˇsenjem senjem kao i odgovarajući ci ciklus c iklus u T,s-dijagramu prikazani su na n a slici slic i 13.15. 13. 15. Iz kompresora (1) komprimovan gas pritiska p2 hladi se u razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu toplote (2 ) posle pos le ˇcega cega jedan njegov deo D ulazi u sledeći ci razmenjivaˇ razme njivaˇc toplote toplo te (2 ) a drugi deo (1-D) 208

(80%) (80%) - u detande detanderu ru (5). Pri ˇsirenju sirenju u detander detanderu u gas se znatno znatno ohladi ohladi a zatim zatim uvodi uvodi  u suprotan suprotan protok gasa i usmerav usmerava u razmenjiv razmenjivaˇ aˇ c toplote (2 ). Deo D gasa ohladjen u  razmen raz menjivaˇ jivaˇcu cu toplot top lotee (2 ( 2 ) ulazi u priguˇ p riguˇsni sni ventil (3) i delimiˇ d elimiˇcno cno likvefikovan uvodi u vodi u sabirnu s abirnu   posudu pos udu (4) a nelikvefi n elikvefikov kovan an gas vraća ca se u razmenj r azmenjivaˇ ivaˇ ce ce toplote toplo te (2 ) i (2 ) gde se zagreva do poˇcetne cetne temperatu temp erature. re.

Slika 13.15

Za razliku od rashladnih rashladnih sistema sistema sa jednostavni jednostavnim m priguˇ priguˇsenjem senjem (Linde-ov-metod) (Linde-ov-metod) u sluˇcaju ca ju rashla r ashladnih dnih sistema sistem a sa ˇsirenjem siren jem gasa g asa u detand d etanderu eru i priguˇ p riguˇsenjem senjem nije neophoda neoph odan n razr azmenjivaˇc toplote-isp toplo te-isparivaˇ arivaˇc za dodatno dod atno prethod pret hodno no hladjenje hladje nje pomoću cu spoljaˇ spo ljaˇsnjih snjih rashladnih rashl adnih fluida, s obzirom da se temperatura gasa posle ˇsirenja u detanderu znatno sniˇzava. zava. Tako na primer, za likvefik likvefikaciju aciju helijuma helijuma nije neophodno prethodno hladjenje hladjenje helijuma helijuma teˇ cnim cnim vodonikom a kod nekih sistema sa detanderima ˇcak cak ni prethodno hladjenje teˇcnim cnim azotom.

Slika 13.16

Uloga detandera sastoji se u tome da je pri istoj temperaturi T 1 pre detandera i istoj temperaturi posle detandera T d i pritisku p1 ( p1 < p2 ) poviˇ pov iˇsenjem sen jem pritis pri tiska ka p2 ispred detandera (posle sabijanja u kompresoru) potrebno manje prethodno hladjenje, odnosno 209

moguć je rad s viˇsom som poˇcetnom cetno m temperatu temp eraturom rom ispred ispre d detandera deta ndera.. Pri vrlo visokim visokim pritisc pritiscima ima nije neophodno neophodno prethodno prethodno hladjenje hladjenje (slik (slika 13. 13.16). 16). Sa  povećanjem can jem pritis pri tiska ka p2 sniˇzava zava se razlika razli ka tempe te mperatur raturaa ∆T = T 1 − T 3 (∆T (∆T = T 1 − T 3 <  T ), tako da je ∆T ∆T ) ∆T = T 1 −T 2 = 0. Efikasnost kompresorskih detanderskih likvefikacionih sistema sistem a je znatno znatn o veća ca od o d efikasnosti efi kasnosti likvefikacionih likvefikacion ih sistema si stema sa jednost je dnostavnim avnim priguˇ p riguˇsenjem. senjem . Pri vrlo niskim temperaturama t emperaturama ne mogu da se koriste klipni detandri zbog teˇsko´ sko´ ce ce u podmaziv podmazivanju anju klipa i drugih drugih detalja detalja.. Zbog toga su uvedeni uvedeni turbodetand turbodetandara. ara. Kod ciklus ciklusaa niskog niskog pritiska pritiska uloga turbodetandara je nezamenljiv nezamenljivaa s obzirom da je efekt priguˇsenja senja u priguˇ priguˇsnom snom ventilu ventilu pri niskim pritiscima vrlo mali. Ovak Ovakav av metod hladjenja hladjenja poznat kao Kapicin metod leˇzi zi u osnovi savremenih savremen ih likvefikacioni l ikvefikacionih h sistema. sis tema. 



210

Primer Primer 13.1 13.1 Vazduˇ Vazduˇsna sna kompresorska kompresors ka rashladna maˇsina sina proizvodi led temperature 0 0 tb = −5 C od vode temperature ta = 15 C. Pred usisavanjem u kompresor vazduh ima temperaturu t3 = −150 C i pritisak p3 = p2 = 0, 1MPa. Pritisak sabijenog vazduha iznosi p1 = p4 = 0, 5MPa. Na izlazu iz hladnjaka temperatura vazduha iznosi t1 = 250 C. Za3 3 preminski rashod vazduha iznosi dV dt = 10 m /h pri normalnim uslovima. Odrediti: a) temperaturski temperaturski koeficijent hladjenja  inverznog Joul-ovog ciklusa (slika 13.3) po kome radi ova rashladna maˇsina; sina; b) snagu P potr potrebnu za pogon pogon kompresor kompresora a i c) koliˇ cinu cinu dobijenog leda u jedinici jedinici vremena. Eksponent Eksponent adiabate ad iabate za vazduh je k=1,40. Specifiˇ Specifiˇcna cna toplota toplo ta leda je cL = 2, 09kJ/kgK. Specifiˇcna cna toplota toplo ta vode iznosi c pv = 09kJ/kgK. Specifiˇ Specifiˇcna cna toplota toplo ta pri konkJ/kgK. Toplota topljenja leda je λ = 330, 4, 187 187kJ/kgK. 330, 7kJ/kg. Specifiˇ stantnom pritisku vazduha u datoj oblasti temperature je c p = 1, 0034 0034kJ/kgK kJ/kgK a gustina 3 kg/m . vazduha je ρ = 1, 2928 2928kg/m reˇsenje: Temperatura vazduha na izlazu iz kompresora je T 4 = T 3

 p1 p2

k−1 k

= 258 ·

  0, 5 0, 1

1,4−1 1,4

= 408, 408, 6K.

Iz jednaˇcina cin a adijabat adi jabata a (3 → 4) i (1 → 2) sledi da temperatura posle izvrˇsene sene ekspanzije u detanderu detanderu iznosi T 1 298 T 2 = T 3 = 258 · = 188, 188, 16K. 16K. T 4 408,, 6 408 Temperaturski koeficijent hladjenja  iznosi (13.15) =

T 2 188,, 16 188 = = 1, 713 713,, T 1 − T 2 298 − 188 188,, 16

ili direktno (13.15) =

1 1 ( p p2 )

k−1 k

=

1 1,41 1 ( 00,,51 ) 1,41 −

= 1, 713 713..

U razmenjivaˇ razmenjivaˇcu cu toplote tokom izobarnog izobarnog zagrevanja (proces (proces 2 → 3) u jednici jednici vremena vremena vazduh prima od vode koliˇcinu cinu toplote toplo te dQ2 dm · c pv (T 3 − T 2 ) = = dt dt =ρ

dV c pv (T 3 − T 2 ) = 1, 2928 · 103 · 1, 0034 · 103 (258 − 188 188,, 16) = dt kJ/s. = 90, 90, 60MJ/h 60MJ/h = 25, 25, 166 166kJ/s.

Na osnovu osnov u izrza (13.2) veliˇcina cina uloˇzenog zenog rada ( za pogon pogon kompresora) iznosi: iznosi : L=

Q , 

tako da je potrebna snaga za pogon kompresora dL 1 dQ 25, 25, 166 · 103 P = kW ≈ 14, = = = 14, 14, 691 691kW 14, 7kW. dt  dt 1, 713 211

Da bi se od vode mase (m) i temparature (ta ) formirao led temparature (tb ) potrebno je da se voda prvo ohladi do temparature temparature mrˇznjenja znjenja t0 = 00 C. Za to je neophodno da voda u razmenjivaˇcu cu toplote toplo te tokom procesa procesa (2 → 3) preda vazduh vaz duhu u specifiˇcnu cnu koliˇ kol iˇcinu cin u toplot top lotee qa0 =

Qa0 = c pv (ta − t0 ) = 4, 187(15 − 0) = 62, 62, 80kJ/kg. 80kJ/kg. m

Za formiranje leda na temperaturi t0 = 00 C treb treba a da se odvede odvede koliˇcina cina toplote jednaka toploti topljenja leda q0 = λ = 330, 330, 7kJ/kg i da bi se led ohladio do temperature tb = −50 C treba da se odvede koliˇ ko liˇcina cina toplote toplo te q0b = cL (ta − tb ) = 2, 09 · 5 = 10, 10, 45kJ/kg. 45kJ/kg. Ukupno treba da se po jedinici mase leda odvede koliˇcina cina toplote qab =

Qab = qa0 + q0 + q0b = (63, (63, 80 + 330, 330, 7 + 10, 10, 45)kJ/kg 45)kJ/kg = 404, 404, 95kJ/kg. 95kJ/kg. m

Kako odvedenu toplotu Qab prima vazduh (Q2 = Qab ) sledi dQ2 dQab d dm = = (mqab ) = qab dt dt dt dt

tako da je masa formiranog leda u jednici vremena: dm kg 1 dQ2 25, 25, 166 · 103 kg/s , = = = 0 0621 = 223, 223, 7kg/h. 404, 95 · 103 404, dt qab dt s

Primer 13.2 Parnokompresors Parnok ompresorska ka rashladna rashla dna maˇsina sina radi po inverznom inver znom idealnom Rankine-ovom ciklusu sa zasićenom cenom parom (slika 13.4) sa freonom -12 kao radnim telom. Na jviˇ jv iˇsa sa i najniˇ naj niˇza za temperatura tem peratura ciklusa cik lusa iznose izn ose t1 = 300 C i t2 = −200 C, respektivno. Rashladni koeficijent koeficijent ure uredjaja, djaja, tj. koliˇcina cina toplote koja se tokom jednog jednog ˇcasa casa odvede odvede od hladnjaˇce ce . 5 ˙ [razmenjivaˇ [razmenjivaˇca ca toplote (2) na slici 13.4] iznosi Q2 = 2, 00 · 10 kJ/h. Odrediti: a) teorijsku vrednost vrednost rada potrebnog potrebnog za pogon kompresora; kompresora; b) koeficij koeficijent ent hladjenja; c) maseni protok protok freona freona i d) teorijsku snagu motora parnokompresorske parnokompresorske rashladne maˇsine. sine. reˇsenje: Na osnovu tabele veliˇ cine cine stanja prokljuˇ prokljuˇcalog calog freona freona -12 i suve pare pare freona freona 0 12 dobijaju se slede´ sledeći ci podaci podaci za temperaturu temperaturu t1 = 30 C : p1 = 7.4344 4344bbara, v1 = dm3 /kg,v1 = 0, 02433 m3 /k g , i1 = 529, J/k g , i1 = 667, 0, 7734 7734dm 02433m 529, 18k 18k J/k 667, 81k 81k J /k g , s1 = kJ/kgK,s1 = 2, 5573 kJ/kgK 2, 0999 0999kJ/kgK,s 5573kJ/kgK bara v2 = 0, 6868 dm3 /kg, Za temperaturu temperaturu t2 = −200 C podaci podac i su slede´ sl edeći: ci: p2 = 1, 5098 5098bara 6868dm v2 = 0, 1107 m3 /k g , i2 = 481, /kg, kg, i2 = 645, kg, s2 = 1, 9315 kJ/kgK kgK,, s2 = 1107m 481, 79kJ 79kJ/ 645, 32kJ 32kJ//kg, 9315kJ/ kJ/kgK. 2, 5777 5777kJ/kgK. Stepen Ste pen suvo´ su voće ce u taˇcki cki 3 (pred (p red ulaz u kompreso ko mpresor) r) izno i znosi si [na [ na prim p rimer, er, iz jednaˇ j ednaˇcine cine (6.98) (6. 98)]: ]: s3 − s2 x =  . s2 − s2 212

Kako je s3 = s4 = s1 sledi s1 − s2 2, 5573 − 1, 9315 x =  = = 0, 968 968..  s2 − s2 2, 5777 − 1, 9315

Entalpija u taˇcki cki 3 iznosi (6.95) i3 = i2 + (i (i2 − i2 )x = 481, 481, 79 + (645, (645, 32 − 481 481,, 79)0, 79)0, 968 = 640, 640, 09kJ/kg. 09kJ/kg.

Kako je i2 = i1 = i1 sledi da odvedena specifiˇ specifiˇcna cna toplota, toplo ta, tzv specifiˇ specifiˇcni cni rashladna kapacitet iznosi (13.18): q2 = i3 − i2 = i3 − i1 = i3 − i1 = 640, 640, 09 − 529 529,, 18 = 110, 110, 91kJ/kg. 91kJ/kg.

Specifiˇ Specifiˇ cna cna koliˇcina cina toplote predata predata kondenzatoru [(4) na slici 13.4.] iznosi (13.9): q1 = i4 − i1 = i1 − i1 = 667, 667, 81 − 529 529,, 18 = 138, 138, 63kJ/kg. 63kJ/kg.

a) Teorijska vre vrednost dnost utroˇsenog senog specifiˇ specifiˇcnog cnog rada kompresora iznosi (13.20): (13.2 0): l = lk = q1 − q2 = i4 − i3 = i1 − i3 = 667, 667, 81 − 640 640,, 09 = 27, 27, 72kJ/kg. 72kJ/kg.

b) Koeficij Koeficijent ent hladjenja hladjenja je (13.21) =

q2 110,, 907 110 = = 4, 00. 00. l 27, 27, 72

Za inverzni Carnot-ov ciklus izmedju datih temparatura koeficijent hladjenja iznosi: c =

T 2 253, 16 253, = = 5, 06 > . T 1 − T 2 50

c) Kako je dQ2 d(mq2 ) dm Q˙ 2 = , = = q2 dt dt dt dobija se da je maseni protok freona: dm Q˙ 2 2, 00 · 105 kJ/h kg/s. = = = 1803, 1803, 31kg/h 31kg/h = 0, 501 501kg/s. dt q2 110, 91kJ/kg 110, 91kJ/kg

d) Teorijska snaga motora koji pokre´ pokreće ce kompresor iznosi: iznos i: P =

dLk dmlk dm kJ kg = = lk = 27, 27, 72 0, 501 13, 89kW 89kW ≈ 13, 13, 9kW. ≈ 13, dt dt dt kg s

ze da se koristi korist i rashladni ure uredjaj, djaj, koji koristi korist i spoljaˇssPrimer 13.3 Za zagrevanje zgrada moˇze nju sre sredinu dinu kao toplotni toplotni izvor niˇ niˇze ze temp temparatu araturre. Na ovom ovom princip principu u radi tzv. tzv. toplotn toplotna a 213

pumpa. Pomoću cu ovog uredjaja, na osnovu uloˇzenog zenog rada za pogon pogon kompresora kompresora za adijabatsko sabijanje sabijanje radno radnogg tela, toplota se prenosi prenosi sa okolne sre sredine na toplotni izvor viˇ viˇse se temper temperatur ature, e, tj. na vazduh u prostorij prostorijama ama zgr zgrada. ada. Ako je najniˇ najniˇza za pre predvidjena dvidjena tempertemper0 atura okolne sredine t2 = −15 C a ˇzeljena zeljen a temparatura u prostor prostorijama ijama (tj. grejnim telimateli ma0 kondenzatorima) t1 = 25 C, odrediti odrediti koliˇcinu cinu toplote toplo te koja se tokom jednog ˇcasa casa dobija za zagrevanje zgrade pomoću cu toplotne pumpe koja radi po idealnom inverznom Carnot-ovom ciklusu za zasićenu cenu paru (1 − 2 − 3 − 4 na slici 13.4.) sa amonijakom kao radnim telom. Koliki je koeficijent grejanja g datog datog ciklusa? ciklusa? Snaga motora za pogon ogon kompresor kompresora a iznosi P k = 20kW. 20kW. reˇsenje: Na osnovu tabele veliˇcina cina stanja prokljuˇcalog calog amonijaka amonij aka i suve amonijaˇ amoni jaˇcne cne pare   0 dobijaju dobija ju se sledeći ci podaci: podaci: Za t2 = −15 C je i2 = 431, 431, 4kJ/kg, i2 = 1743, 1743, 9kJ/kg, s2 = kJ/kgK, s2 = 6, 828 kJ/kgK ; za t1 = 250 C je i2 = 617, 1, 743 743kJ/kgK, 828kJ/kgK 617, 6kJ/kg, i2 = 1784, 1784, 3kJ/kg,   s1 = 2, 409 kJ/kgK,s1 = 6.322 kJ/kgK. Stepen suvoće ce u taˇcki cki 3 (pred ulaz u kompresor) kompresor ) 409kJ/kgK,s 322kJ/kgK. iznosi (6.98) s3 − s2 s4 − s2 s1 − s2 6, 322 − 1, 743 x3 =  =   =  = = 0, 900 900..   s2 − s2 s2 s2 s2 − s2 6, 828 − 1, 743

Stepe St epen n suvo su vo´ će ce u taˇ taˇcki ck i 2 (posle adijabatske ekspanzije u detanderu) je s2 − s2 s1 − s2 s1 − s2 2, 409 − 1, 743 x2 =  = = = = 0, 131 131.. s2 − s2 s2 − s2 s2 − s2 6, 828 − 1, 743 



Entalp Ent alpije ije u taˇckama ckam a 2 i 3 iznose (na osnovu 6.95), repektivno i2 = i2 + (i (i2 − i2 ) · x2 = 431, 431, 4 − (1743, (1743, 9 − 431 431,, 4) · 0, 131 = 603, 603, 3kJ/kg 

i



i3 = i2 + (i (i2 − i2 ) · x3 = 431, 431, 4 − (1743, (1743, 9 − 431 431,, 4) · 0, 900 = 1612, 1612, 6kJ/kg

Specifiˇ Specifiˇcna cna koliˇcina cina toplote toplo te koja je predata predata kondenzator konden zatoru u (grejnom telu) iznosi q1 = i4 − i1 = i1 − i1 = 1784, 1784, 3 − 617 617,, 6 = 1166, 1166, 7kJ/kg.

Specifiˇ Specifiˇcna cna koliˇcina cina toplote toplo te koja je predata predata radnom telu od okolne oko lne sre sredine dine u delu ciklusa 2 → 3 iznosi: q2 = i3 − i2 = 1612, 1612, 6 − 603 603,, 3 = 1009, 1009, 3kJ/kg. 

Teorijska vre vrednost dnost specifiˇ specifiˇcnog cnog rada za pogon pogon kompresora iznosi: iznosi : lk = q1 − q2 = 1166. 1166.7 − 1009 1009..4 = 157. 157.4kJ/kg.

Koliˇ Koliˇcina cina toplote koja se pre predaje grejnom grejnom telu u jedinici jedinici vremena vremena kao i snaga kompresor kompresora a mogu da se izraze preko masenog protoka dm/dt radnog tela (kroz kompresor): dQ1 dmq1 dm Q˙ 1 = = = q1 dt dt dt

i P k =

dLk dmlk dm , = = lk dt dt dt 214

tako da je P k 1166, 7 · 20 1166, Q˙ 1 = q1 · kJ/h. = = 148, 148, 25kJ/s 25kJ/s = 533, 533, 7kJ/h ≈ 544 544kJ/h. lk 157,, 4 157

Koeficijent grejanja ( koeficijent transformacije toplote) iznosi g =

ili g =

|q1 | 1166,, 7 1166 = = 7, 41 ≈ 7, 4 lk 157, 4 157,

T 1 298 = = 7, 45 ≈ 7, 4. T 1 − T 2 298 − 258

215

14. PROSTIRANJE PROSTIRANJE TOPLOTE TOPLOTE Pri projektovanju pr ojektovanju razliˇcitih citih toplotnih to plotnih uredjaja, uredja ja, rashladnih ra shladnih sistema, toplotnih motora, kompresora, kom presora, transportnih sredstav sredstava, pa ˇcak cak i elektronskih elektronskih uredjaja, treba da se poznaju i uzmu u obzir procesi prostiranja toplote. Zavisno od namene uredjaja u praksi je od interesa da se proces prostiranja toplote potpomo pot pomogne gne ili spreˇci. ci. Na prime pr imer, r, teˇ t eˇzi zi se da d a se u razm r azmenj enjivaˇ ivaˇcima cim a toplot top lotee pove´ p oveća ca intenz int enzite itett razmen raz menjen jenee toplot top lote, e, smanje dimenzije dimen zije razmenjivaˇ razmen jivaˇ ca ca a time uˇstedi stedi materijal. mater ijal. S druge druge strane, strane, kod toplov toplovoda oda treba treba da se smanji smanji i spreˇ spreˇ ci ci prostira prostiranje nje toplote toplote kroz kroz zidove cevi koriˇs´ sćenjem cenje m toplotno toplo tno izolacioni izola cionih h materijala. materi jala. Da bi se osigurao kontinualan i dugotrajan rad toplotnih uredjaja, toplotnih motora, transportnih transportn ih sredstava, sredstava, nadzvuˇcnih cnih letelica itd. neophod-ne su posebne mere zaˇstite stite pojepo jedinih delova ovih uredjaja, na primer komore za sagorevanje i mlaznice raketnih letelica. Postoji opasnost od havarije havarije delova delova zbog opadanja ˇcvrsto´ cvrstoće ce materijala pri dugotrajnom dugotra jnom izlaganju izlaganju visokim visokim temperaturama. temperaturama. Razlikuju se tri naˇcina cina prostiranja toplote: - provodjenjem provodjenjem (kondukcijom) (kondukcijom),, - prelaˇ prel aˇzenjem zenje m (konvekcijom), (konvekcijo m), i - zraˇcenjem cenjem (radijacijo (radi jacijom). m). Ovi oblici prostiranja toplote razlikuju se kako po svojoj prirodi tako i zakonitostima koje koj e ih karakteriˇsu su (opisuju). (opis uju). Prostiranje toplote provodjenjem (kondukcijom) javlja se pri neposrednom kontaktu tela ili delova delova tela razliˇ razliˇcitih citih temperatura a ostvaruje ostvaruje se razmenom dela kinetiˇ kinetiˇcke cke energije haotiˇcnog cnog toplotnog t oplotnog kretanja mikrostrukturnih elemenata tela (molekula, (mole kula, atoma, ato ma, slobodnih elektrona) elektrona) pri medjusobnim medjusobnim sudarima sudarima i difuziji difuziji a takodje i kvantim kvantimaa elastiˇ elastiˇcnih cnih oscilacija oscilacija kristalne kristalne reˇ reˇsetke setke ˇcvrstih cvrstih tela - fononima fononima - pri makroskops makroskopski ki nepokretnoj masi tela. U najˇ na jˇ cistijem cistijem obliku provodjenje toplote se javlja kod ˇcvrstih cvrstih tela i tankih nepokretnih slo jeva teˇcnosti cnosti i gasova. gasova. U metalima i poluprovodnicima p oluprovodnicima provodjenje toplote ostvaruje o stvaruje se sudarima i difuzijom slobodnih elektrona kao kao i fononima. fononima. Dok je kod metala fononsk fononska komponenta kom ponenta toplotnog toplotnog provodjenja provodjenja mala, kod poluprovodnik poluprovodnikaa je znaˇ cajana cajana a kod dielektrika je osnovna. Prostiranje toplote provodjenjem zavisi o d fiziˇckih ckih svojstav svo jstava a tela, od njegovih dimenzija i oblika, kao i od razlike temperature izmedju delova tela. Na primer, metali su najbolji provod provodnici nici toplote. toplote. Bez obzira obzira na jednost jednostav avnos nostt osnov osnovnih nih zakona zakona provod provodjenj jenjaa toplote toplote i relativno dobro razradjenim matematiˇckim ckim aparatom u realnim sluˇcajevima cajevima javljaju se nepremosti nepr emostive ve teˇsko´ skoće ce pre svega zbog zb og nehomogenos nehomo genosti ti tela ˇcija cija se svojstva svoj stva menja men jaju ju sa temperaturom peraturo m i poloˇzajem za jem u zapremini. pre laˇ zenjem zen jem (konvekcijom (konvekci jom)) ostvaruje se prenosom Prostiranje toplote prelaˇ preno som unutraˇsnje snje energije supstancije slobodnim ili prinudnim makroskopskim kretanjem (strujanjem) celokupne mase fluida. Konvekcija Konvekcija je moguća ca samo u fluidima (teˇcnostima cnostima i gasovima). Konvekciono prostiranje pr ostiranje toplote je intenzivnije ˇsto je ve´ ca ca brzina usmerenog kretanja fluida. Slobodna (prirodna) konvekcija javlja se zbog razlike u gustinama delova fluida razliˇcitih citih temperatura. temp eratura. Prinudna konvekcija konvekcija ostvaruje se pod dejstvom spoljnjih sila (pumpe, (pump e, kompresori, ventilatori, meˇsalice). salice). Jednovremeno prostiranje prostiran je toplote toplot e konvekcijom i provodkonvektivna tivna razmena razmena toplote. toplote. Na primer, razmena jenjem (kondukcijom) naziva se konvek toplote toplo te izmedju izmed ju ˇcvrstog cvrsto g tela (zida cevi) i teˇcnosti cnost i ostvarjuje se konvekcijom u delu teˇcnosti cnosti udaljenijem od zidova zidova cevi i provodjenjem pr ovodjenjem sa konvekcijom konvekcijom kroz pograniˇcni cni sloj. cenjem cen jem (radija (rad ijacij cijom) om) ostvaruje se i izmedju tela koja nisu u Prostiranje toplote zraˇ medjusobnom medjus obnom kontaktu, ˇcak cak i kada je j e izmedju iz medju njih vakuum, prenos p renosom om unutraˇ unu traˇsnje snje energije energ ije tela putem energije elektromagnetnih talasa. Proces prostiranja toplote zraˇcenjem cenjem odvija se u tri stadijuma: tako ˇsto sto se prvo deo unutraˇsnje snje energije jednog tela transformiˇse se u energiju elektromagnetnigh talasa, zatim 216

prenosi prenosi elektro elektromag magnetn netnim im talasim talasimaa (fotoni (fotonima) ma) kroz prostor, prostor, i na kraju apsorbuj apsorbujee supsupstancijom stancijom koja se nadje na putu fotona. Pri relativno niskim niskim temperaturama prostiranje prostiranje zraˇcenjem cenjem ostvaruje se, u osnovnim, infracrvenim infra crvenim elektromagnetnim elektro magnetnim talasima (fotonima). U praksi praks i se najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce po javljuju jednovremeno jednovre meno sva tri naˇcina cina prostiranj prost iranjaa toplote toplo te tzv. sloˇzeno zeno ili kombinovano prostir pr ostiranje anje toplote. topl ote. 14.1. PROSTIRANJE TOPLOTE PROVODJENJEM PROVODJENJEM 14.1.1. Temperatursko polje. p olje. Izotermske povr p ovrˇ ˇ sine. sine. Gradijent temperature Proces prostiranja toplote provodjenjem, kao i ostali oblici prostiranja toplote, bitno zavisi od raspodele raspo dele temperature temp erature unutar tela, tako da za izuˇcavanje cavanje toplotnog toplot nog provodjenja veliku vaˇ znost znost ima ju pojmovi p ojmovi temperaturskog polja i gradijenta grad ijenta temperature. tempe rature. Teorija toplotne toplotne provodljiv provodljivosti osti ne bavi se mikrostrukturni mikrostrukturnim m mehanizmom mehanizmom prenosa toplote, ve´ već se supstancija supstancija posmatra kao neprekidna neprekidna sredina (kontinu (kontinuum), um), a razmenjena razmenjena koliˇ cina cina toplote se Fourier-ovim zakonom povezuje p ovezuje sa temperaturskim poljem. Temperatursko polje predstavlja skup vrednosti temperatura u svim taˇckama ckama prostora (koji zauzima telo) u datom trenutku posmatraju: T = f ( f (x,y,z,τ ),

(14. (14.1)

x,y,z − prostorne τ − vreme. S obzirom da je tempergde je T- temperatura; x,y,z− prostorne koordinate; koordinate; τ − atura skalarna veliˇcina, cina, temperatursko polje je skalarno. skalarno. Temperatursko emperatursko polje opasano jednaˇ cinom cinom (14.1) je nestacionarno nestacionarno polje tj. temperatura tela je funkcija i kordinate i vremena. Nestacionarno temperatursko polje odgovara nestacionarnom reˇzimu zimu prostiranja toplote, na primer, pr imer, pri pr i zagrev zagre vanju ili il i hladjenju tela. Ukoliko se raspodela temperature u telu ne menja s vremenom, tada se temperatursko polje naziva naziva stacionarnim: stacionarnim: ∂T T = f ( f (x,y,z); x,y,z ); ,= 0 (14.2) ∂τ i odgovara stacionarnom reˇzimu zimu prostiranja toplote. Temperatur emperaturaa u telu mo moˇˇze ze da zavis zavisii od jedne, jedne, dve dve ili sve sve tri prostorn prostornee koo koordin rdinate ate,, tako da odgovaraju´ odgovarajuća ca temperatursk temperaturska polja mogu da budu jedno-, dvo- ili trodimenziona trodimenziona (odnosno, linijska, povrˇsinska sinska ili prostorna). Na Najprostiji jprostiji oblik ima i ma stacionarno linijsko polje T = f ( f (x),

∂T ∂T ∂T ,= 0 = = 0, ∂y ∂z ∂τ

(14.3)

koje se javlja javlja pri stacionarnom stacionarnom prostiranju prostiranju toplote kroz zidove zidove ˇcija cija je duˇ zina zina i ˇsirina sirina beskonaˇcno cno velika velika u poredjenju s debljinom. Geometrijsko mesto taˇcaka caka jednakih temperatura datog temperaturskog polja u trenutr enuiz oter erms mska ka povrˇ p ovrˇsina si na.. Kako u jedno j istoj tku posmatranja naziva se izot isto j taˇcki cki prostora (tela) ne mogu jednovremeno posto jati dve razliˇcite cite vrednosti temperature, sledi da se izotermske povrˇsine sine medjusobno ne seku; one su ili zatvorene ili se zavrˇ zavrˇsavaju savaju na granici tela. Sa slike 14.1, na kojoj su prikazane bliske izotermske linije (dobijene u preseku ravni sa izotermskim izote rmskim povrˇsinama) sinama ) sa odgov odg ovara araju´ jućim cim temperatu temp eraturama rama T − ∆T , T i T + ∆T ∆ T , vidi se da se temperatura temper atura u telu menja samo u pravcima pr avcima koji preseca ju izotermske povr p ovrˇˇsine sine (na primer, pravac s na slici).

217

.

Slika 14.1

Na jbrˇza Najbrˇ za promena temperature, temperature , tj. razlika temperature temp erature po jedinici duˇzine zine (∆T /∆s), je u pravcu normale n na izoter izo termsk msku u povrˇ p ovrˇsinu. sinu . Graniˇcna cna vrednost odnosa promene temperature ∆T sa rastojanjem izmedju izotermi ∆n su u pravcu normale, kada ∆n ∆n teˇzi zi nuli naziva naz iva se gradijent temperature. ∂T ∆T n0 , )n0 = lim∆n 0 (14. (14.4) ∂n ∆n gde je n0 − jediniˇcni cni vektor normale na izotermsku povrˇsinu sinu u smeru prostiranja temperature. Temperaturski gradijent je vektor normalan na izotermsku povrˇsinu, sinu, usmeren ka porastu temperature a brojno jednak parcijalnom izvodu temperature po pravcu normale. Jedinica gradijenta temperature je K/m. gradT gradT = T = (

→

14.1.2. Fourie-ov zakon Za prostiranje toplote u nekom telu ili sredini neophodno je postojenje razlike temperatura u razliˇ razliˇcitim citim taˇ ckama ckama posmatranog posmatranog tela. Postojanje Postojanje gradijenta gradijenta temperatura je neophodan uslov i za prostiranje toplote provodjenjem (kondukcijom). Umes Um esto to koli koliˇˇcine ci ne topl to plot otee u tehn te hniˇ iˇcko cko j pra p raks ksii se s e ˇceˇ ceˇsće ce kori korist stii toplotni protok (toplotni fluks) Φ definis d efinisan an odnosom odn osom koliˇcine cine toplote toplo te koja prodje pro dje kroz datu povrˇsinu sinu i odgovaraju´ odg ovarajućeg ceg vremenskog intervala. Elementarna toplotni protok dat je izrazom dQ (14. (14.5) dτ dQ− elementarna gde je dQ− elementarna koliˇ koliˇcina cina toplote koja u vremenskom vremenskom interv intervalu alu dτ prodje kroz element ele mentarnu arnu povrˇ pov rˇsinu sinu dA. Jedinica za toplotni protok je J/s =w. Odnos toplotnog toplotnog protoka protoka dφ prema sp ecifiˇ fiˇ cni cni toplotn topl otnii proto p rotok k pr ema p ovrˇsini si ni dA kroz koju se prostire toplota naziva se speci (gustina toplotnog protoka) dΦ =

q=

dΦ dQ , = dA dAdτ 218

(14. (14.6)

a izraˇ izr aˇzava zava se u W/m2 . Veza izmedju elementarne koliˇ cine cine toplote dQ, koja se prostire prostire kroz elemen elementarn tarnu u p ovrˇ ov rˇsinu dA, na izotermnoj izotermno j povrˇsini, sini, u intervalu intervalu vremena dτ, i gradijenta temperature cinom cinom provodjenja provodjenj a toplote t oplote (Fourie(Fourie-ov ov zakon): za kon): data je osnovnom jednaˇ dQ = −λgradTdAdτ. gradTdAdτ.

(14. (14.7)

Fourie-ov zakon moˇze ze da se izrazi i preko vektora specifiˇcnog cnog toplotnog fluksa: q = −λgradT gradT .

(14. (14.8)

Projekcije vektora q na koorinatne ose date su izrazima qx = −λ

∂T , ∂x

qy = −λ

∂T , ∂y

qz = −λ

∂T . ∂z

(14. (14.9)

Intenzitet vektora specifiˇcnog cnog toplotnog fluksa iznosi q = −λ(

∂T ). ∂n

(14. (14.10)

Znak Znak minus minus na desnoj desnoj strani strani jednaˇ jednaˇ cine cine (14.8) (14.8) pokazuj pokazujee da se toplota toplota prostire prostire u smeru smeru sniˇzenja zenja temperature temperat ure tj. u suprotnom smeru o d vektora garadijenta temperature. tempe rature. KoeficiW jent proporcionalnostiλ proporcionalnosti λ[ mK ] u jednaˇ je dnaˇcini cin i (14.8 (1 4.8)) naziva na ziva se koeficijent toplotne provodljivosti i predstavlja predstavlja toplotne karakteristik arakteristikee materijala. materijala. Koeficijent toplotne top lotne provodljivosti bro jno je jednak jed nak gustini fluksa pri jediniˇcnoj cno j vrednosti gradijenta temperature. Na osnovu (14.6) i (14.8) (14 .8) toplotni toplo tni fluks flu ks Φ kroz izotermsku iz otermsku povr p ovrˇˇsinu sinu A, iznosi Φ=−



λ|grad T| T|dA

(14. (14.11)

A

a koliˇcina cin a toplot top lotee Q, koja prodje kroz datu povrˇsinu sinu A u toku vremena τ, iznosi τ

Q=−

  0

λ|grad T| T|dAdτ.

(14. (14.12)

A

Koeficijent Koeficijent toplotne provodljivo provodljivosti sti λ zavis zavisii od vrste vrste materij materijala ala,, njego njegove ve struktur strukture, e, vlaˇznosti, znosti, u manjoj meri od pritiska i temperature, temperature , a u nekim sluˇcajevima ca jevima ˇcak cak i od smera prostiranja toplote. Odredjuje se eksperimentalnim putem i za tehniˇcke cke proraˇcune cune daje da je se tabelarno. tabelarno . Zavisnost koeficijenta toplotne provodljivosti od svo jstva jstva supstancije za sluˇcaj ca j gasova odredjena je i teorijski. Za ve´ cinu cinu toplotno top lotno izolacionih materijala, kako kako pokazuju eksperimenti, e ksperimenti, zavisnost ko0 eficijenta toplotne provodljivosti od temperature t ( C ) je linearna: λ = λ0 (1 + bt) bt),

(14. (14.13)

gde je λ0 − koeficijent toplotne provodljivosti pri temperaturi 00 C, a b− temperaturski koeficijent koefic ijent koji koj i se odredjuje odr edjuje eksperime eksp erimentalno. ntalno. Medjutim, Medju tim, u tehniˇ te hniˇckim ckim proraˇcunima cunim a za uˇzi zi temperaturski temperaturski interv interval, al, uzima se obiˇ cno cno da je vrednost za λ konstanta jednaka srednjoj vrednosti u granicama promene temperature. 219

U sluˇcaju caju gasova gasova i ˇcvrstih cvrstih tela, izuzev metala, λ raste sa pove´ canjem canjem temperature. Ovo je razumljivo s obzirom da kod gasova raste broj sudara u jedinici vremena s porastom temperature, a kod nemetala nemetala s porastom temperature elastiˇ elastiˇcne cne oscilacije oscilacije postaju intenzivnije. Medjutim, Medjutim, u sluˇ caju caju teˇ cnosti cnosti (osim vode i glicerina) glicerina) i metala λ opada s porastom temperature. temperature . Kod metala s pove´ canjem canjem temperature raste otpor kristalne reˇsetke setke kretanju kretan ju slobodnih elektrona. Za razliˇ razl iˇcite cite materijale mater ijale λ[W/mK ] se nalazi u ˇsirokim sirokim granicama, na primer, za gasove 0. 0.6 ≥ λ ≥ 0.006; za teˇcnos cn osti ti 0.7 ≥ λ ≥ 0.07; za metale 420 ≥ λ ≥ 20. 20. W W Najbolji provodnici toplote su srebro (λ (λ ≈ 420 mK ) i bakar (λ (λ ≈ 390 mK ). 14.1.3. Diferencijalna jednaˇ cina cina nestacionarnog provodjenja provodjenja toplote (Fourie-ova (Fourie- ova jednaˇ jed naˇ cina cin a ili i li jednaˇ jedn aˇ cina cin a tempera temp eraturs turskog kog polja po lja)) Da bi se odredila odredila koli koliˇˇcina cina toplote, toplote, koja se prostire prostire provodj provodjenje enjem m za vreme vreme τ kroz izotermsku povrˇsinu sinu A ˇcvrstog cvrstog tela konaˇ cnih cnih dimenzija, na osnovu Fourie-ovog zakona (14.7), neophodno je da se poznaje temperatursko polje unutar razmatranog tela (tj. | grad T |). Jasno je da d a temperatura temperaturskog polja moˇze ze da se menja ne samo od taˇcke cke do taˇcke cke prostora prost ora ve´ c i u istoj isto j taˇcki cki tokom vremena. vremen a. Ovakav Ovakav sluˇcaj ca j nestaciona nesta cionarnog rnog polja pol ja i nestacionarnog provodjenja toplote javlja se pri povremenom zagrevanju ili hladjenju tela (na primer pri kaljenju, aljenju, povremenom povremenom grejanju prostorije prostorije itd.). Veza izmedju vremenske vremenske i prostorne promene temperature te mperature data je diferencijalnom jednaˇcinom cinom temperaturskog temp eraturskog polja. p olja. Diferncija Difer ncijalna lna jednaˇcina cina provodjenja provodje nja toplot t oplotee zasnovana zas novana je na zakonu za konu odrˇ od rˇzanja zanja energije energ ije kao i Fourie-ovom ourie-ovom zakonu zakonu provodjenja provodjenja toplote. Razmatra Razmatra se proces nestacionarnog prostiranja stiranja toplote kroz homogeno homogeno i izotropno ˇcvrsto cvrsto telo. Pretpostavlja Pretpostavlja se da su koeficijent koeficijent provodjenja toplote (λ (λ), specifiˇ cni cni toplotni i kapacitet (c) i gustina (ρ) materijala konstantne veliˇ cine cine i da su unutraˇsnji snji izvori toplote ravnomerno rasporedjeni u telu.

Slika 14.2.

Posmatrajmo u razmtranom telu koje se zagreva (ili hladi) elementarni paralelopiped sa ivicama dx,dy,dz (slika 14.2). U saglas s aglasnosti nosti sa zakonom odrˇzanja zanja energije, energ ije, zbir koliˇcine cine toplote toplo te dQe uvedene toplotnim provodjenjem za vreme dτ, u elementarnu zapreminu dV = dxdydz izdvojenog paralelopipeda i toplote dQi oslobodjene oslobo djene unutraˇsnjim snjim izvorom, za isto vreme, jednak je promepro meni unutraˇ unut raˇsnje snje energi ene rgije je dU supstance sadrˇzane zane u datoj dato j zapremini: dQe + dQi = dU

(14. (14.14)

Oznaˇ Oz naˇcimo ci mo sa dQx , dQy , dQz vrednosti elementarnih koliˇ cina cina toplote uvedenih u posmatranu zapreminu z apreminu u pravcima odgov od govara araju´ jućih cih koordinatnih osa a sa dQx+dx , dQy+dy , dQz+dz 220

vrednosti vredn osti elementar el ementarnih nih koliˇcina cina toplo t oplote te odvedeni o dvedenih h preko suprot s uprotnih nih povrˇ p ovrˇsina sina iz i z posmatr po smatrane ane zapremine. Na osnovu Fourie-ovog zakona, koliˇ cina cina toplote dQx koja se u pravcu x−ose u toku vremena dτ uvede u posmatranu zapreminu kroz povrˇsinu sinu dydz, srazmerna je gradijentu ∂T temperature ∂x u blizini ulazne izotermske povr p ovrˇˇsine sine temperature T: dQx = −λ

∂T dydzdτ ∂x

(14. (14.15)

Koliˇ Kol iˇcina cin a toplot top lotee dQx+dx koja je u pravcu x−ose odvedena kroz suprotnu izlaznu povrˇsinu sinu ∂ ∂T dx) u blizini izlazne izotermske povrˇsine srazmerna je gradijentu temperature ∂x (T + ∂x dx) sine ∂T temperature T + ∂x dx : dQx+dx = −λ

∂ ∂ T dx) dx)dydzdτ. (T + ∂x ∂x

(14. (14.16)

Na osnovu (14.15) i (14.16) sledi da se u paralelopipedu, zbog provodjenja u prvoj x-ose, akumuliˇ aku muliˇse se toplot top lotna na energi ene rgija ja veliˇcine cin e dQxe = dQx − dQx+dx

∂ 2 T = λ 2 dxdydzdτ. ∂x

(14. (14.17)

Sliˇcnim cnim rasudjivanjem dobija ju se izrazi za akumulisanu toplotnu toplo tnu energiju u posmatrano p osmatranojj zapremini zbog provodjenja u pravcu y − i z − ose: dQye = dQy − dQy+dy

∂ 2 T = λ 2 dxdydzdτ, ∂y

(14. (14.18)

dQze = dQz − dQz+dz

∂ 2 T = λ 2 dxdydzdτ, ∂z

(14. (14.19)

tako da ukupna akumulisana koliˇcina cina toplotne energije usled provodjenja pr ovodjenja toplote iznosi ∂ 2 T ∂ 2 T ∂ 2 T dQe = λ( 2 + + )dV dτ. ∂x ∂y 2 ∂z 2

(14. (14.20)

Koliˇ Kol iˇcina cin a toplot top lotee dQi koja je oslobodjena oslobo djena unutraˇsnjim snjim izvorima toplote toplo te iznosi dQi = qi dV dτ,

(14. (14.21)

gde je qi zapreminska gustina toplotnog fluksa unutraˇsnjeg snjeg izvora toplote top lote (J/m3 ). Promena Prome na unutraˇsnje snje energije energ ije dU posmatranog dela tela mase dm = ρdV srazmerna srazmerna je ∂T promeni temperature dT = ∂τ dτ tokom vremena dτ : dU = cdmdT = cρ

∂T dV dτ, ∂τ

gde je c− specifiˇ spe cifiˇcni cni toplotni toplo tni kapacitet a ρ− gustina tela. 221

(14. (14.22)

Na osnovu izraza (14.14), (14.20), (14.21) i (14.22), posle sredjivanja, dobija se diferFouri e-ova jednaˇ jed naˇ cina ci na (linearna encijalna jednaˇcina cina nestacionarnog provodjenja toplote -Fourie-ova parcijalna diferncijalna jednaˇcina cina drugog reda):

odnosno

gde je a =

λ cρ

∂T ∂ 2 T ∂ 2 T ∂ 2 T ρi = a( 2 + + ) + ∂τ ∂x ∂ y2 ∂z 2 cρ

(14. (14.23)

∂T ρi = a2 T + ∂τ cρ

(14. (14.24)

/s) koeficijent temperaturske provodljivosti, provodljivosti , koji (m2 /s) ko ji karakt kar akteriˇ eriˇse se brzi b rzinu nu 2

2

2

∂ ∂ ∂ 2 promene temperature u posmatrano p osmatranojj taˇcki cki tela te la (a (a ≈ ∂T ∂τ ) a  = ∆ = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 diferencijalni diferencijalni Laplase-ov Laplase-ov operator. Jednaˇ Jednaˇcinom cinom (14.23) odnosno (14.24) data je veza izmedju vremenskih vremenskih promena temperature u bilo kojo j taˇ cki cki tela u kojoj se odvija proces toplotnog toplotnog provodjenja. provodjenja. Ukoliko Ukoliko u telu na postoji unutra unutraˇˇsnji snji izvor izvor toplote (qi = 0) Fourie-ova diferencijalna jednaˇcina cina nestacionarnog provodjenja toplote glasi

∂T = a2 T . ∂τ U sluˇcaju ca ju stacionarn staci onarnog og reˇzima zima provodjenja provodje nja toplote toplo te dobija oblik 2 T = 0.

(14. (14.25) ∂T ∂τ

= 0 tako da Fourie-ova ourie -ova jednaˇ je dnaˇcina cina (14. (14.26)

14.1.4 14. 1.4.. Graniˇ Gran iˇ cni cni uslovi usl ovi Fourie-ova diferencijalna jednaˇcina cina (14.24) opisuje pojave po jave prostiranja toplote provodjenjem u najopˇstijem stijem obliku. Da bi se naˇslo slo reˇsenje senje u konkretnom sluˇcaju caju neophodno je da se poznaje raspodela raspodela temperatu temperature re u telu telu u poˇcetnom cetnom trenutk trenutku u ili tzv. p oˇcetni uslovi. Osim toga treba da se pozna p oznaju: ju: geometrijski oblik i dimenzije d imenzije tela, fiziˇcki cki parametri gr aniˇ iˇ cni cn i uslov us lovii koji kararakteriˇ sredine i tela i gran kararakte riˇsu su raspod rasp odelu elu temperat temp erature ure na povrˇsini sini tela ili interakciju inte rakciju izuˇ i zuˇcavanog cavanog tela s okolnom o kolnom sredino sr edinom. m. Svi pretho pre thodno dno naznaˇ na znaˇceni ceni uslovi u slovi nazivaju naz ivaju uslov i jednoz jed noznaˇ naˇ cnosti cno sti ili graniˇ gra niˇ cni cni uslovi. usl ovi. se uslovi Reˇsavanjem savanjem diferencij difer encijalne alne jednaˇcine cine temperatu temp eraturskog rskog polja pol ja koriˇs´ sćenjem cenje m uslova jednoznaˇ noznaˇcnosti cnosti u principu je mogu´ moguće ce da se odredi temperatursko temperatursko polje u celoj zapremini zapremini f (x,y,z,τ ) a na ispitivanog ispitivanog tela u bilo kom trenutku trenutku vremena tj. da se odredi funkcija funkcija T = f ( osnovu Fourie-ovog Fourie- ovog zakona i odgovaraju´ odg ovarajući ci toplotni top lotni protok. prot ok. Medjutim, Medju tim, u praksi prak si se analitiˇ an alitiˇcko cko reˇsavanje savanje diferencija difer encijalne lne jednaˇcine cine temperatu temp eraturskog rskog polja pol ja moˇze ze da do kraja kra ja sprovede samo kod tela pravilnog geometrijskog geometr ijskog oblika i to pri dovoljno prostim uslovima jednoznaˇcnosti. cnosti. Za neˇsto sto sloˇzenije zen ije uslove usl ove koriste kori ste se razliˇ raz liˇcite cit e numeriˇ nume riˇcke, cke, grafiˇ gra fiˇcke cke i ekspe eks perim rimenta entalne lne metod met ode. e.

222

14.1.5. Stacionarno provodjenje toplote kroz ravan ravan zid (ploˇ cu) cu) Razmotrimo Razmotrimo najjednostavniji najjednostavniji i najrasprostranjeniji najrasprostranjeniji sluˇ caj caj prostiranja prostiranja toplote provoprovodjenjem kroz jednoslojan jednoslo jan ravan ravan homogeni zid (ploˇcu) cu) male debljine δ u odnos od nosu u na duˇzinu zinu i ˇsirinu sir inu (slika (sl ika 14.3 1 4.3). ).

Slika 14.3.

Pretpostavimo da je koeficijent toplotne provodljivosti λ konstantan. Na spol s poljnim, jnim, izotermskim izote rmskim povrˇsinama sinama odrˇ od rˇzavaju zavaju se konstantne kons tantne temperatu temp erature re T 1 i T 2 (T 1 > T 2 tako da se toplota prostire od zida ”1” ka zidu ”2”). Kako je pri stacionarnom stacionarnom reˇ zimu zimu ( ∂T svake taˇ cke cke nezavisna nezavisna od ∂τ = 0) temperatura svake vremena, uzimajući ci u obzir da nema unutraˇsnjih snjih izvora toplote (qi = 0) i da se provod∂T jenje toplote vrˇsi si normalno na povrˇsinu sinu zida u pravcu x-ose (∂T 0), Fourie-ova ∂y = ∂t = 0), diferencij difer encijalna alna jednaˇcina cina dobija oblik d2 T = 0. dx2 223

(14. (14.27)

Integracijom poslednje diferencijalne jednaˇcine cine (14.27) dobija se dT = C 1 , dx

(14. (14.28)

T = C 1 x + C 2 .

(14. (14.29)

odakle je Iz graniˇ gra niˇcnih cni h uslova: usl ova: x = 0,

T = T 1 ,

(14. (14.30)

x = δ,

T = T 2 ,

(14. (14.31)

nalaze se konstante C 1 i C 2 : C 1 =

T 2 − T 1 T 1 − T 2 , =− δ δ

C 2 = T 1 ,

(14. (14.32)

tako da je raspodela temperature po debljini zida (temperatursko polje) data izrazom: T = T 1 −

T 1 − T 2 x, δ

(14. (14.33)

tj. temperatura linearno opada po debljini zida (u pravcu x-ose). Specifiˇcan can toplotni top lotni protok pr otok dobija dobi ja se na osnovu Furie-ovog zakona (14.9) (14. 9) napisanog napisan og u obliku ∂T q = qx = −λ . (14. (14.34) ∂x Kako je na osnovu (14.33) ∂T dT T 1 − T 2 , = =− ∂x dx δ sledi q=

λ (T 1 − T 2 ). δ

(14. (14.35)

(14. (14.36)

Na osnovu osnovu (14.6) i (14.36) dobija se izraz za toplotni fluks Φ kroz povr p ovrˇˇsinu sinu A zida Φ=



qdA =

A

λ (T 1 − T 2 )A, δ

(14. (14.37)

i izraz za koliˇcinu cinu toplote toplo te Q koju provodi jednoslojan zid za vreme τ Q=

 τ

dΦdτ =

λ (T 1 − T 2 )Aτ. δ

(14. (14.38)

provodljivost zida U izrazima (14.37) i (14.38) odnos λδ predstavlja toplotnu provodljivost zi da a reci re cipr proˇ oˇcna cn a δ spec ifiˇ cni cni toplotni toplotn i otpor otpo r toplotnoj vrednost λ − specifiˇ toplotno j provodljivosti (termiˇcka cka otpornost) kroz jednoslojan homogeni ravan zid. Znaˇci, ci, gustina gustin a toplotnog toplo tnog protoka proto ka q proporcionalna proporcion alna je razlici temperatura povrˇsina sina zida a obrnuto proporcionalna proporcion alna termiˇckoj ckoj otpornosti. 224

Dobijeni Dobi jeni izrazi i zrazi (14.37) (14. 37) i (14.38) (14.3 8) vaˇze ze u sluˇcaju ca ju kada je j e koeficijent koe ficijent toplotne toplo tne provodljivoprovodl jivosti λ konstantna veliˇ cina. cina. Medjutim, koeficijent toplotne provodljivosti realnih tela zavisi od temperature tako da i raspodela temperature po dubini zida nije linearna kao u prethodno razmatranom idealizovanom sluˇcaju caju (pogleda j primer P14.1, slika P14.1).

14.1.6. Stacionarno provodjenje toplote kroz ravan ravan viˇ seslojni seslo jni zid Za ravan zid sastavljen sastavlj en iz viˇse se (n) slojeva (n (n = 3 u sluˇcaju ca ju prikazanom na slici 14.4.) razliˇcitih citih homogenih materijala, koeficijenta toplotne provod-ljivosti λ1 , λ2 , λ3 ,...,λn , razliˇcitih cit ih deblji deb ljina na δ1 , δ2 , δ3 ,...,δn , moˇze ze za svaki sloj slo j posebno p osebno da se primeni Fourie-ov zakon. Specifiˇcni cni toplotni protok kroz svaki sloj je isti q1 = q2 = q3 = ... = qn = q s obzirom da su pri stacionarnom reˇzimu zimu jednake jedn ake koliˇcine cine dovedene i odvedene toplote. Na osnovu (14.36), za svaki sloj posebno, je

225

.

Slika 14.4.

q=

λ1 (T 1 − T 2 ) δ1

q=

λ2 (T 2 − T 3 ) δ2

λ3 (T 3 − T 4 ) δ3 ....................................... λn q= (T n − T n+1 ) δn q=

odnosno q

δ1 = T 1 − T 2 λ1

q

δ2 = T 2 − T 3 λ2

δ3 = T 3 − T 4 λ3 ................................. δn q = T n − T n+1 λn q

226

(14.39)

(14. (14.40)

tako da se posle p osle sabiranja sabira nja poslednjih p oslednjih jednaˇcina cina (14.40) (1 4.40) dobija do bija

q=

δ1 λ1

T 1 − T n+1 + λδ22 + λδ33 + ... +

δn λn

=

T 1 − T n+1 n δi i=1 λi



.

Termiˇ Term iˇcki ck i otp ot p or Rλ viˇseslo seslo jnog zida jednak jedna k je zbiru termiˇckih ckih otpora otp ora Rλi = slojeva :

Rλ =

n

n





Rλi =

i=1

i=1

(14. (14.41)

δi λi

p o jedi je dinaˇ naˇcnih cn ih

δi λi

(14. (14.42)

Na osnovu (14.41) dobija se da je temperatura na granici k-tog i k + 1− 1− og sloja

k

T k+1 = T 1 − q

 i=1

δi . λi

(14. (14.43)

Temperatu emperatura ra u svak svakom om sloju linearno linearno opada opada sa debljin debljinom om (pri λ = const) ali za ceo viˇseslojni seslojn i zid grafik promene p romene temperature te mperature je izlomljena linija.

14.1.7. Stacionarno provodjenje toplote kroz cilindriˇ cni cni zid (cev) Razmotrimo stacionarno provodjenje toplote kroz homogeni cilindriˇcni cni zid (cev), ˇcija cija je j e duˇ d uˇzina zi na l znatno zna tno veća ca od deblji deb ljine. ne. Unutraˇ Unut raˇsnji snj i polu p olupreˇ preˇcnik cni k cevi ce vi je r1 a spolj sp oljnji nji polu p olupreˇ preˇcnik cni k r2 (slika 14.5). 227

Slika 14.5

Pretpostavimo da je koeficijent provodjenja toplote λ konstantan. Na unutraˇsnjoj snjoj i spoljnjoj njo j povrˇsini sini zida odrˇzavaju zavaju se konstantne temperature T 1 odnosno T 2 (T 1 > T 2 ). Izotermske Izotermske povr p ovrˇˇsine sine su cilindriˇ cilindriˇcne cne a toplotni protok je usmeren radijalno. Pri datim uslovim uslovimaa temperat temperaturs ursko ko polje je jednodim jednodimenzi enzional onalno no tj. temperat temperatura ura se menja menja samo samo u radijalnom pravcu T = T ( T (r). (14. (14.44) Temperatursko polje i specifiˇcni cni toplotni protok kroz cilindriˇcni cni zid odredjuje se integracijom diferencijalnih jednaˇcina cina provodjenja toplote date u cilindriˇcnim cnim koordinatama. Zamenimo Dekartove koordinate x,y,z cilindriˇ cilin driˇcnim cnim koordinata koord inatama ma ϕ,r,z pri pr i ˇcemu ce mu je x = rcosϕ rcosϕ,, y = rsinϕ rsinϕ,, z = z. U cilindriˇcnim cnim koordinatama Laplase-ov operator dobija oblik: ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 2 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 2  =∆= 2 + + 2 + 2 = (r ) + 2 + 2. (14. (14.45) ∂r r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z U sluˇcaju ca ju stacionarn staci onarnog og reˇzima zima provodjenja provodj enja toplote toplo te (∂T ourie -ova jednaˇ j ednaˇcina cina u ∂τ = 0) Fourie-ova cilindriˇcnom cnom koordinatnom sistemu dobija oblik: ∂ 2 T 1 ∂T 1 ∂ 2 T ∂ 2 T + + 2 + = 0. ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 228

(14. (14.46)

Za beskonaˇcno cno dug cilindriˇcni cni zid temperatursko polje zavisi samo od radijus vektora r , tj. T = T ( T (r), tako da diferencijalna jednaˇcina cina stacionarnog provodjenja toplote to plote dobija oblik: d2 T 1 dT 1 d dT + = (r ) = 0. (14. (14.47) dr2 r dr r dr dr Integracijom prethodne jednaˇcine cine dobija se r

dT = C 1 , dr

(14. (14.48)

dr , r

(14. (14.49)

odnosno dT = C 1

tako da je opˇste ste reˇsenje senje diferencij difer encijalne alne jednaˇcine cine (14.47) (14.4 7) oblika T ( T (r ) = C 1 lur + C 2 .

(14. (14.50)

T (r1 ) = T 1 i T ( T (r2 ) = T 2 , posle Kada se u opˇste ste reˇsenje senje (14.50) (14.5 0) uvrste uvrst e graniˇ gran iˇcni cni uslovi: T ( oduzimanj odu zimanja a dobijenih dob ijenih jednaˇcina, cina, sledi T 2 − T 1 = C 1 ln

r2 , r1

tako da je C 1 = (T 2 − T 1 )/ln i C 2 = T 1 − C 1 lnr1 = T 1 −

r2 r1

T 2 − T 1 lnr1 . ln rr21

(14. (14.51)

(14. (14.52)

(14. (14.53)

Smenom konstanti C 1 i C 2 [(14.52) i (14.53)] u opˇste ste reˇsenje senje (14.50) dobija se raspodela raspo dela temperature po debljini cilindriˇcnog cnog zida T ( T (r) = T 1 −

T 1 − T 2 r ln . ln rr21 r1

(14. (14.54)

Na osnovu Fourie-ovog zakona (14.7 ) sledi da toplotni protok kroz cilindriˇcnu cnu povrˇsinu sinu A = 2πrl πr l iznosi dT 2πλl = r2 (T ! − T 2 ). (14. (14.55) φ = −λA dr ln r1 S obzirom obzir om da se unutraˇsnja snja i spoljaˇ spo ljaˇsnja snja povrˇsina sina razlikuju, razli kuju, razlikov razl ikova´ aće ce se i specifiˇ spe cifiˇcni cni toplotni fluksevi kroz date povrˇ povrˇsine. sine. Zbog toga se u tehnici specifiˇcni cni toplotni fluks za cilind cil indriˇ riˇcni cni zid raˇcuna cun a po jednic jed nicii duˇzine zin e cevi: cev i: q=

φ 2πλ = r2 (T 1 − T 2 ). l ln r1

(14. (14.56)

Znaˇci, ci, specifiˇcni cni toplotni protok je potpuno odredjen graniˇcnim cnim uslovima i ne zavisi od radijusa. 229

14.1.8. Stacionarno provodjenje toplote kroz viˇ viˇ seslojni seslo jni cilindriˇ cni cni zid (cev) U sluˇcaju ca ju viˇseslo seslo jnog cilindriˇ cilin driˇcnog cnog zida (cevi) (cevi ) sa n homogenih slojeva, koeficijenata toplotne provodljivosti λ1 , λ2 , λ3 ,...,λn , o dgovar dg ovaraa ju´ jućih ci h preˇ pr eˇcnika cn ika d1 , d2 ,...,dn i dn+1 i duˇzine l (slika 14.6). 14.6) . Temperatu emp erature re na unutraˇsnjoj snjo j i spoljno spo ljno j povrˇsini sini viˇseslo seslo jnog cilindriˇ cilin driˇcnog cnog zida su konstantne i iznose T 1 i T n+1 , respektivno (T (T 1 > T n+1 ). Pri stacionarnom reˇzimu zimu specifiˇ sp ecifiˇcni cni toplotni protok je isti za sve slo jeve tako da je na osnovu osnovu (14.56): d2 1 ql ln = T 1 − T 2 2πλ 1 d1 d3 1 ln = T 2 − T 3 2πλ 2 d2 ........................... dn+1 1 ql ln = T n − T n+1 dn 2πλn ql

(14. (14.57)

Sabiranjem prethodnih prethodni h jednaˇcina cina (14.57) dobija se izraz za specifiˇcni cni toplotni protok kroz viˇsesl se sloo jni jn i cili ci lind ndriˇ riˇcni cn i zid zi d T 1 − T n+1 ql = n (14. (14.58) dk+1 1 ln k=1 2πλk dk



I u ovom ovom sluˇ sluˇcaju caju ukupan ukupan toplotni toplotni otpor jednak jednak je algebars algebarsko kom m zbiru zbiru toplotni toplotnih h otpora otpora po jedinaˇ jedin aˇcnih cnih slojeva. slo jeva.

Slika 14.6.

Temperatura izmedju k-tog i k + 1− 1−tog sloja, na osnovu (14.58), iznosi k

T k+1 = T 1 − ql

 l=1

230

di+1 1 ln di 2πλ i

(14. (14.59)

14.1.9. Stacionarno Stacionarno provodjenje provodjenje toplote kroz sferni zid Razmotrimo homogeni sferni zid koeficijenta toplotne provodljivosti λ ˇciji ci ji je unu un utraˇ tr aˇsnji sn ji slika14..7). p olup ol upre reˇˇcnik cn ik r1 a spoljnji r2 (slika14 7). Tempera emp eratur tura a unutraˇ unu traˇsnje snj e i spolj sp oljnje nje povrˇ pov rˇsine sin e sfere sfe re su su konstantna i iznose T 1 i T 2 , respektivno (T (T 1 > T 2 − izvor toplote se nalazi u unutraˇ snjosti snjosti sfere). Temperatura se menja u pravcu pravcu radijusa. radijusa. Izotermske Izotermske povr p ovrˇˇsine sine su koncentri koncentriˇˇcne cne sferne sfe rne povrˇ pov rˇsine. sin e.

Slika 14.7

Ukoliko se Dekartove koordinate x,y,z zamene sfernim sfernim koordinatama koordinatama r,θ,ϕ pri ˇcemu rsinθcosϕ, ϕ, y = rsinθsin rsinθsinϕ, ϕ, z = rcosθ. Laplase-ov operator u sfernim kordinatama je x = rsinθcos dobija oblik ∂ 2 ∂ ∂ 2 2 ∂ 1 ∂ 1 2  =∆= 2 + + [sin θ ]+ 2 2 = ∂r r ∂r r ∂cosθ ∂cosθ r sin θ ∂ϕ 2 2

∂ ∂ ∂ 2 1 ∂ 2 ∂ 1 1 , = 2 (r )+ 2 (sinθ ) + 2 2 r ∂r ∂r r sinθ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 231

(14. (14.60)

tako da u sluˇcaju ca ju stacionarn staci onarnog og reˇzima zima provodjenje provodj enje toplote toplo te Fourie-ova ourie -ova jednaˇ jed naˇcina cina u sfernim sfern im koordinatama dobija oblik: ∂ 2 T ∂ ∂T ∂ 2 T 1 ∂ 2 ∂T 1 1 + 2 (r )+ 2 (sinθ )+ 2 2 = 0. ∂r 2 r ∂r ∂r r sinθ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2

(14. (14.61)

S obzirom da pri konstantnim temperaturama T 1 i T 2 , temperatura T ne zavisi od pravca, odredjenog uglovima uglovima θ i ϕ, temperatursko polje u sfernom zidu zavisi samo od r, tj. T = T ( T (r), tako da diferencijalna jednaˇcina cina (14.61) dobija jednostavan jednostavan oblik 1 d 2 dT (r )=0 r 2 dr dr odakle je

(14.62)

dr , r2

(14. (14.63)

C 1 + C 2 . r

(14. (14.64)

dT = C 1 tako da je opˇste ste reˇsenje sen je jednaˇ jed naˇcine cin e (14.62 (14 .62)) T ( T (r ) = −

T (r1 ) = T 1 , i T ( T (r2 ) = T 2 iz opˇsteg Ukoliko se uzmu u obzir graniˇcni cni uslovi T ( st eg reˇsenj se njaa (14. (1 4.64 64)) sledi 1 1 T 2 − T 1 = −C 1 ( − ), r2 r1 odakle je C 1 = (T 2 − T 1 )

r1 r2 . r2 − r1

(14. (14.65)

Zamenom konstante C 1 iz (14.65 ( 14.65)) u opˇste ste reˇsenje senje (14.64) (14.6 4) dobija dobij a se s e izraz i zraz za konstantu C 2 : C 2 = T 1 + (T (T 2 − T 1 )

r2 . r2 − r1

(14. (14.66)

Postavljanjem konstanti C 1 i C 2 u opˇste ste reˇsenje senje (14.64) dobija se temperatursko polje unutar homogene sfere T ( T (r) = T 1 − (T 1 − T 2 )

r1 r2 1 1 ( − ). r2 − r1 r1 r

(14. (14.67)

Temperatura se menja po debljini zida po hiperboli. Iz Fourie-ovog zakona (14.7 ) i dobijenog izraza (14.67) sledi da toplotni fluks kroz sfer sf ernu nu p ovrˇsinu si nu A = 4πr 2 iznosi φ = −λA

dT ( dT (r ) r2 r1 πλ((T 1 − T 2 ) . = 4πλ dr r2 − r1

(14. (14.68)

Specifiˇcni cni toplotni protok kroz sfernu povrˇsinu sinu homogenog homog enog sfernog zida, na osnovu (14.68), dat je izrazom φ r2 r1 1 q= = λ(T 1 − T 2 ) (14. (14.69) A r2 − r1 r2 232

14.1.10. Stacionarno provodjenje toplote kroz viˇ seslojni seslo jni sferni zid Za viˇseslojni seslo jni sferni zid od n−sluˇcajeva, ca jeva, analogno analo gno ranijim ranij im izvodjenjim izvod jenjimaa za viˇsestruki sestru ki ravan i viˇsestruki sestru ki cilindriˇ cilin driˇcni cni zid, toplotni toplo tni fluks kroz viˇseslo seslo jni sferni zid iznosi izno si φ=

T 1 − T n+1 n 1 1 i=1 4πλ i ( ri −



1

ri+1 )

(14. (14.70)

gde je λi koeficijent toplotne provodljivosti i-tog sloja, a ri i ri+1 manji i veći ci radijus radi jus itog sloja, T 1 tempe tem perat ratura ura unutraˇ unut raˇsnje snj e povrˇ p ovrˇsine sin e sfere sfer e a T n+1 temperatu temp eratura ra spoljnje spo ljnje povrˇsine sine sfernog zida.

233

ˇ 14.2. PROSTIRANJE TOPLOTE PRELA ZENJEM (KONVEKCIJOM)) Prostiranje toplote prelaˇzenjem zenjem (konv ( konvekcijom) ekcijom) je takav takav proces p roces prostiranja toplote koji se ostvaruje ostvaruje kretanjem kretanjem (premeˇ (premeˇstanjem) stanjem) makroskops makroskopskih kih delova delova fluida a javlja javlja se izmedju izmedju povrˇsina sina ˇcvrstih cvrstih tela i fluida u kretanju pri nehomogenoj nehomogeno j raspo r aspodeli deli temperature. Pravac i smer toplotnog fluksa i proces prostiranja toplote izmedju pokretne fluidne sredine i ˇcvrstog cvrstog tela, pri njihovom kontaktu, zavisi od o d temperatura fluida i ˇcvrstog cvrstog tela. Pod fluidom podrazumevamo po drazumevamo teˇcnosti, cnosti, gasove, smese gasova gasova i pare. konvekcija cija,, koja se javlja pri slobodnom kreRazlikuje se slobodna tj. prirodna konvek tanju (strujanju) fluida zbog razlike gustina zagrejanih i hladnih delova fluida i prinudna konvekcija, konvekcija, koja se javlja usled razlike pritisaka na ulazu i izlazu kanala (cevi) kroz koji se kreće ce fluid, a izazvane radom pumpi, kompresora, ventilatora, meˇsalica salica itd. Procesi slobodne i prinudne konvekcije odigravaju se jednovremeno, medjutim uloga slobodne konvek konvekcije cije je obiˇ cno cno zanemarljiv zanemarljivaa i uzima se u obzir samo u sluˇ caju caju velikog velikog gradijenta temperature i malih brzina prinudnog kretanja. Prostiranje toplote prelaˇzenjem zenjem (konvekciojm) (konvekciojm) praćeno ceno je uvek molekularnim prostiranjem toplote-provodjenjem (kondukcijom). Primeri za prostiranje toplote konvekcijom su : a) prostira prostiranje nje toplote toplote od zagrejan zagrejanee vode u radijat radijatoru, oru, sistem sistemaa central centralnog nog grejanja grejanja ka okolnom okolnom vazduhu azduhu u prostorijama; prostorijama; b) prostiranje prostiranje toplote od dimnih gasov gasova ka vodi kroz zidove zidove parnog kotla; kotla; c) prostiranje prostiranje toplote od o d kondenzov kondenzovane ane pare ka vodi kroz zidove zidove cevi kondenzatora; kondenzatora; d) prostira prostiranje nje toplote toplote od zagreja zagrejanih nih gasov gasovaa ka vodi iz sistem sistemaa za hladjenj hladjenjee kroz kroz zidove zidove cilindra motora unutraˇsnjeg snjeg sagorevanja itd.. 14.2.1. Diferencijalne jednaˇ cine cine konvektivne konvektivne razmene toplote Q, koja se Bez obzira obzir a na sloˇzenost zenos t proce pr ocesa sa konvekcije pokazuje pokazuj e se da je j e koliˇcina cina toplote toplo teQ prostire sa nekog fluida temperature T f po red koga fluid flui d ptrotiˇ ptr otiˇce, ce, graniˇ gra niˇcne cne povrˇ pov rˇsine sin e f na zid pored A temperature T z (T z > T f cinom cinom relativno relat ivno jednos j ednostavnog tavnog oblika, f ), za vreme τ, data jednaˇ zakonom . tzv. Newton-Rihman-ovim zakonom. Q = αA( αA(T f f − T z )τ,

(14. (14.71)

koeficijentt prelaza prelaza toplote toplote , koji karakteriˇ gde je α− koeficijen karakteriˇse se intenzitet prostiranja toplote konvekcijom. Toplotni protok (fluks) φ i specifiˇ spe cifiˇcni cni toplotni toplo tni protok proto k q iznose φ=

Q αA(T f = αA( f − T z ) τ

(14.72)

i

Q = α(T f (14.73) f − T z ) Aτ Iz izraza (14.73) sledi da je koeficijent prelaza toplote α brojno bro jno jednak j ednak specifiˇ spe cifiˇcnom cnom toplottoplo tnom protoku pri jediniˇcnoj cno j razlici temperatura. Primenom Fourier-ovog zakona (14.10) za provodjenje toplote toplo te kroz kr oz pograniˇcni cni sloj slo j q=

qz = −λ

  ∂T ∂n

,

(14. (14.74)

n=0

gde je n normala normal a na n a graniˇ g raniˇcnu cnu povrˇ p ovrˇsinu sinu i Newton-Richma Newto n-Richmann-ovog nn-ovog zakona (14.71) (14.7 1) za razmanu toplote konvekcijom konvekcijom na granicu ˇcvrstog cvrstog tela i pokretnog p okretnog fluida qf = α(tf − T z ), 234

(14. (14.75)

u sluˇ caju caju stacionarnog stacionarnog procesa razmene toplote konvek konvekcijom, cijom, kada je qz = qf , dobija cina cina stacionarne razmene toplote konvekcijom konvekcijom na granici se diferencijalna jednaˇ ˇcvrstog cvrstog tela i pokretnog fluida λ α=− T f f − T z

  ∂T ∂n

.

(14. (14.76)

n=0

Da bi se odredio odredio specifiˇ specifiˇ cni cni toplotni toplotni protok protok q, saglasno saglasno jednaˇ jednaˇcini cini (14.73), treba da se odredi koeficijent prelaza toplote α. Za analitiˇcko cko odredjivanje koeficijenta prelaza toplte α neophodno je poznavanje poznavanje gradijenta temperature (∂T ∂n )n=0 odnosno, temperatursko polje T = T ( T (τ,x,y,z) τ,x,y,z ) u pograniˇ pog raniˇcnom cnom sloju slo ju u taˇcki cki dodira dod ira s povrˇsinom sinom tela, kao i brzinsko brzin sko polje p olje w  = w  (x,y,z,τ ) u pokretnom fluidu.  ima dve U sluˇcaju ca ju dvodimenzionog kretanja nestiˇsljivog sljivog fluida, kada vektor brzine w komponente razliˇcite cite od nule (wx , wy = 0, wz = 0), za analitiˇcko cko opisivanje konvektivne konvektivne jed naˇ cine cin e preno p renosa sa energi ene rgije je:: razmene toplote neophodno je poznavanje, pre svega, tzv. jednaˇ



∂T ∂T ∂T + wx + wy ∂τ ∂x ∂y

  =a

∂ 2 T ∂ 2 T + ∂x 2 ∂y 2



+

qi , cρ

(14. (14.77)

koja je dobijena proˇsirenjem sirenjem Fourier-ove jednaˇcine cine (14.23) na sluˇcaj ca j fluida u kretanju. U jednaˇ je dnaˇcini cin i (14. ( 14.77) 77) su a -koeficijent toplotne provodljivosti, c−specifiˇ spe cifiˇcni cni toplotni toplo tni kapacitet, kapacitet , ρ gustina tela, qi zapreminska zapre minska gustina gust ina toplot t oplotnog nog fluksa fl uksa unutraˇ u nutraˇsnjeg snjeg izvora toplote. toplo te. U sluˇcaju ca ju q kada nema ne ma unutraˇ u nutraˇsnjih snjih izvora toplote toplo te ( i = 0) jednaˇcina cina prenosa energije dobija oblik:



∂T ∂T ∂T + wx + wy ∂τ ∂x ∂y

  =a

∂ 2 T ∂ 2 T . + ∂x 2 ∂ y2



(14. (14.78)

Za reˇ reˇsenje senje problema konvek konvektivne tivne razmene toplote neophodno je da se poznaje pros = w  (x,y,z,τ ). torna torna i vremens vremensk ka zavis zavisnos nostt brzine brzine fluida, fluida, odnosno odnosno tzv. brzinsk brzinskoo polje w  (tj. wx i wy ) kretanja nestiˇsljivog Brzina w sljivog viskoznog fluida, gustine ρ, koeficijenta dinamiˇ nam iˇcke cke viskozn vis koznost ostii η u polju po lju sile teˇze ze ubrzanja ubrz anja g = gx (gy , gz = 0), 0), pri gradijentu pritiska cine kretanja nestiˇsljivog sljivog viskoznog fluida, tzv. Navier p, odredjuje se na osnovu jednaˇcine Stoke St okess-ove ove jedn je dnaˇ aˇ cine ci ne:: ∂w x ∂ wx ∂w x ∂ 2 wx ∂ 2 wx 1 ∂p + wx + wy =g− · + ν + ∂τ ∂x ∂y ρ ∂x ∂x 2 ∂ y2



 (14. (14.79)

∂w y ∂w y ∂ wx ∂ 2 wy ∂ 2 wy 1 ∂p + wx + wy =− · + ν + ∂τ ∂x ∂y ρ ∂x ∂x 2 ∂y 2





gde je ν = η/ρ koeficijent koefici jent kinematiˇ kinema tiˇcke cke viskoznosti. viskozno sti. T ), U sluˇcaju ca ju stiˇsljivih sljivi h fluida, fluida , uzevˇsi si u obzir obzi r zavisnost zavisno st gustine gusti ne od temperatu temp erature re ρ = ρ(T ) jednaˇ jedn aˇcine cine kretanja kreta nja dobija do bijaju ju oblik: ob lik: ∂w x ∂w x ∂w x ∂ 2 wx ∂ 2 wx 1 ∂p gβ θ − + wx + wy = gβθ + ν + ∂τ ∂x ∂y ρ ∂x ∂ x2 ∂y 2



 (14. (14.80)

235

∂w x ∂w x ∂w x ∂ 2 wx ∂ 2 wx 1 ∂p + wx + wy =− + ν + ∂τ ∂x ∂y ρ ∂x ∂x 2 ∂y 2





,

gde je β = (ρ − ρ0 )/ρ0 θ temperatu temp eraturski rski koeficije ko eficijent nt ˇsirenja siren ja fluida, flu ida, ρ i ρ0 su gustine fluida na temperaturama T i T 0 , Θ = T − T 0 . Da bi sistem jednaˇcina cina bio potpun za opisivanje kretanja fluida, potrebna je joˇs jedna je dnaˇcina ci na kontinu kont inuite iteta ta.. Za stiˇsljiv diferencij difer encijalna alna jednaˇcina, cina, tzv. jednaˇ slji v fluid fl uid jednaˇ jed naˇcina cin a kontinuiteta ima oblik ∂ρ ∂ (ρwx ) ∂ (ρwy ) + + = 0. (14. (14.81) ∂τ ∂x ∂y U sluˇ s luˇca ca ju nest ne stiˇ iˇslji sl jivi vih h flui fl uida da ρ =const, =cons t, tako da je j e jednaˇcina cina kontinuiteta kontinui teta dobija do bija jednost je dnostavniji avniji oblik: ∂ wx ∂w y + = 0. (14. (14.82) ∂x ∂y Znaˇci, ci, pro p roces ces konvektivne konvektiv ne razmene raz mene toplot t oplotee u nestiˇ ne stiˇsljivoj sljivo j homogeno homog enojj sredini sred ini s konstantkon stantnim fiziˇckim ckim parametrima opisuje se sistemom diferencijalnih jednaˇcina cina (14.76), (14.78), (14.79) i (14.82). Ove jednaˇ jedn aˇcine, cine, medjutim, opisuju beskonaˇcan can skup procesa konvektivne konvektivne razmene toplote. Da bi se iz datog skupa jednoznaˇ jednoznaˇcno cno izdvojili za nas interesantni interesantni prousl ovi jednozn jedn oznaˇ aˇ cnosti cno sti,, na primer, cesi datom sistemu sistemu jednaˇ jednaˇcina cina treba da se dodaju i uslovi raspodele temperature i brzine na ulazu u kanal, na povrˇ povrˇsini sini tela itd. S obzirom na sloˇzenost zenost sistema diferencijalnih jednaˇcina cina koje opisuju proces konvekkonvektivne tiv ne razmen raz menee toplte top lte,, u opˇstem ste m sluˇcaju, ca ju, nije nij e mog mogu´ uće ce da se nadje nad je reˇsenje sen je u opˇstem ste m obliku obl iku.. Zbog toga se pribegava eksperimentalnom reˇsavanju savanju problema primenom teorije sliˇcnosti. cnosti. Za tehn te hniˇ iˇcke cke pror pr oraˇ aˇcune cu ne na jˇceˇ ceˇs´ sće ce se traˇ tr aˇzi zi p oznavan oz navanje je koefi ko efici cije jenta nta prel pr elaz azaa topl to plot ote. e. Koeficijent prelaza toplote α zavisi zavisi od niza faktora koji utiˇ cu cu kako na provodjenje provodjenje toplote kroz pograniˇ p ograniˇcni cni sloj tako i od faktora koji utiˇcu cu na konvekciju konvekciju fluida. Koeficijent α zavisi od: - uzroka uzroka strujanja (prirodno ili prinudno) prinudno) - brzine brzine strujanj strujanjaa fluida fluida w - reˇzima zima strujanja (lamilarno ili turbulentno) - fiziˇckih ckih svojstava svojstava fluida (gustina −ρ, dinamiˇ din amiˇcka cka viskozn vis koznost ost −η, speci sp ecifiˇ fiˇcni cni toplot top lotni ni kapacitet c p ), - temperatu temperature re fluida T f f - temperatu temperature re zida T z - oblik oblika tela (zida) o - karakteristiˇ cne cne dimenzije tela (zida) l - termiˇcke cke provodljivosti materijala mate rijala tela λ. Znaˇci, ci, koeficijent koefic ijent prelaza prela za toplote toplo te α je sloˇzena zen a funkcija fun kcija viˇse se promen pro menlji ljivih vih:: α = f ( f (w,ρ,τ,c p , T 1 , T z , o , l , λ) λ)

(14.83)

ˇciji ciji analitiˇcki cki oblik, u opˇstem stem sluˇcaju, ca ju, nije poznat. Zbog toga se koeficijent toplotne provodljivosti α odredjuje eksperimentalnim putem na modelu a zatim, se primenom toerije sliˇcnosti cnosti dobijeni dob ijeni rezultati rez ultati prenose p renose na n a ispitivani ob jekt (uzorak). (uzora k). 14.2.2. Osnovi Osnovi teorije sliˇ cnosti. cnosti. toplote

Modeliranje Modeliranje procesa konvek konvektivne tivne razmene razmene

Analitiˇ Anali tiˇcko cko reˇsavanje savanje diferenci difer encijalnih jalnih jednaˇcina cina koje karakteriˇsu su datu fiziˇcku cku po javu predstavlja najiscrpnije najiscr pnije opisivanje date pojave. po jave. Medjutim, u mnogim sluˇcajevima cajevima taˇcno cno analit ana litiˇ iˇcko cko reˇsenje, sen je, usled usl ed sloˇzenost zen ostii pola p olazni znih h difere dif erenci ncijal jalnih nih jednaˇ jed naˇcina, cin a, ne moˇze ze da se dobije dob ije.. Tada se koriste eksperimentalni eksp erimentalni metodi uz primenu teorije sliˇcnosti. cnosti. 236

Teorija eori ja sliˇcnosti cnost i se bavi izuˇcavanjem cavanjem i postavljan po stavljanjem jem uslova sliˇcnosti cnost i najrazl na jrazliˇ iˇcitijih citiji h procesa i pojav po java, a, posebno pri modeliranju izuˇcavanih cavanih procesa. Suˇstina stina metoda sliˇcnosti cnosti bez dimenzionih ionih brojeva bro jeva sliˇ cnosti cnosti polaze´ sastoji se u ustanovlja ustanovljav vanju bezdimenz pol azeći ci od diferencij difer encijalalnih jednaˇ jed naˇcina cin a izuˇ iz uˇcavane cavane po p o jave (sa (s a graniˇ gr aniˇcnim cni m uslovim usl ovima), a), pri ˇcemu cemu je bro br o j tako ta ko ustanov ust anovlje ljenih nih brojeva bro jeva sliˇcnosti cnost i manji man ji od o d bro b roja ja fiziˇ fi ziˇckih ckih veliˇcina cina od kojih koji h su napravljeni napravl jeni ovi bezdim b ezdimanzio anzioni ni kompleksi. Dobijeni brojevi br ojevi sliˇcnosti cnosti mogu da se smatraju novim promenljivim. mo dela ustanovljenja ustanovlje nja brojeva bro jeva sliˇ sl iˇ cnosti: cnosti : metodom dimenzione analPostoje dva modela ize i metodom teorije sliˇcnosti. cnosti. Za primenu primenu metoda teorije sliˇcnosti cnosti neophodno je poznavanje diferencij difer encijalnih alnih jednaˇcina cina ispitivane ispit ivane po jave, ˇcime cime su ukljuˇceni ceni svi parametri param etri bitni bitn i za odvijanj odvijanjee procesa. procesa. U ovom ovom se sastoji sastoji prednos prednostt metoda metoda sliˇ sliˇcnosti cnosti u odnosu odnosu na metod metod dimenzione analize, kod koga se ne polazi od poznavanja diferencijalnih difere ncijalnih jednaˇcina cina izuˇcene cene po jave. Brojevi Bro jevi sliˇcnosti cnost i dobija dob ijaju ju se, metodom meto dom teori t eorije je sliˇcnosti cnost i iz diferencij difer encijalnih alnih jednaˇcina cina razmatrane pojave njihovim transformisanjem u bezdimenzioni oblik. 14.2.2.1. Bezdimenzione promenljive. Brojevi Bro jevi sliˇ cnosti cnosti Definiˇsimo simo brojeve bro jeve sliˇcnosti, cnosti, koji karakteriˇ karakteriˇsu su procese prenosa toplote konvekcijom, konvekcijom, koristeći ci se metodom meto dom teorije teori je sliˇcnosti, cnost i, prevode´ prevo deći ci diferencij difer encijalne alne jednaˇcine cine [(14.76), [(14. 76), (14.78), (14.7 8), (14.79) i (14.82)] koje opisuju proces prenosa toplote konvekcijom u bezdimenzioni oblik. Uvedimo bezdimen bez dimenzione zione promenljive prome nljive (veliˇ ( veliˇcine): cine) : X = W x =

x ; l0 wx ; w0

Y =

y ; l0

τ = ∗

wy ; w0 p P = p0

W y =

τ w0 l0

Θ=

θ θz

(14. (14.84)

gde je l0 − karakteristi arakteristiˇˇcna cna geometrijsk geometrijskaa dimenzija dimenzija za date uslove uslove kretanja kretanja (na primer, preˇcnik cni k cilind cil indriˇ riˇcnog cno g kanala kanal a u kojem ko jem se kreće ce fluid; flui d; w0 - karakterist karakt eristiˇ iˇcna cna brzina brzin a (na ( na primer p rimer,, brzina brzi na fluida duˇz ose kanala); θz = T z − T 0 - karakteristiˇ karakter istiˇcna cna razlika r azlika temperatu temp eratura ra [na primer, prime r, razlika temperature zida (T (T z ) i temperature fluida duˇz ose kanala (T (T 0 )]; θ = T − T 0 ; p0 − karakteristiˇ cni cni pritisak (na primer, pritisak na osi kanala). Tada je x = l0 X ; wx = w0 W x ;

y = l0 Y ; Y ;

τ =

wy = w0 W y ;

l0 τ w0

∗

θ = θz Θ

(14.85)

p = p0 P Uvrstimo promenljive iz (14.85) u jednaˇcinu cinu prenosa energije ene rgije (14.78). Pri tome je, na primer, ∂T ∂θ ∂ (θz Θ) θz w0 ∂ Θ , = = = (14. (14.86) ∂τ ∂ τ ∂ ( wl0 τ ) l0 ∂τ ∗

∗

0

wz

∂T ∂θ ∂ (θz Θ) θz w0 ∂ Θ W x , = w0 W x = w0 W x = ∂x ∂x ∂ (l0 X ) l0 ∂X ∂ 2 θ ∂ ∂ (θz Θ) θz ∂ 2 Θ . = = 2 ∂x 2 ∂ (l0 X ) ∂ (l0 X ) l0 ∂X 2





237

(14. (14.87) (14. (14.88)

Posle mnoˇzenja zenja obe strane tako dobijene jednaˇcine cine sa l02 /a dobija se jednaˇcina cina prenosa energije u novim bezdimenzionim promenljivim: w0 l0 a



∂ Θ ∂ Θ ∂ Θ + W x + W y ∂τ ∂X ∂Y ∗

∂ 2 Θ ∂ 2 Θ = + ∂X 2 ∂Y 2



(14. (14.89)

Na analogan analo gan naˇcin cin izvrˇsimo simo transformac trans formaciju iju jednaˇcina cina kretanja kreta nja (Navier-Sto (Navier -Stockes-ove ckes-ove jednaˇ je dnaˇcine cin e (14.80 (14 .80)). )). Posle Posl e uvrˇstanja sta nja prom p romenl enljiv jivih ih iz (14.85 (14 .85)) u jednaˇ je dnaˇcinu cinu (14.80 (14 .80)) i mnoˇ mn oˇzenjem zen jem 2 leve i desne d esne strane s trane tako dobijene dob ijene jednaˇcine cine sa l0 /νw 0 dobija dobi ja se jednaˇcina cina kretanja kreta nja viskoznog v iskoznog stiˇsljivog sljivog fluida u bezdimenzinim promenljivim: w0 l0 ν



∂W x ∂W x ∂W x + W x + W y ∂τ ∂X ∂ Y ∗



gβθ gβ θz l02 p0 w0 l0 ∂P = Θ− + νw 0 ρw02 ν ∂X

w0 l0 ∂W y ∂W y ∂W y p0 w0 l0 ∂P + W x + W y =− 2 + ν ∂τ ∂X ∂ Y ρw0 ν ∂Y ∗





∂ 2 W x ∂ 2 W x + ∂X 2 ∂Y 2

∂ 2 W y ∂ 2 W y + ∂X 2 ∂Y 2



.



(14. (14.90)

Kompleks uz novu promenljivu pr omenljivu Θ na n a desnoj desno j strani prve jednaˇcine cine (14.90) moˇze ze da se transf tra nsform ormiˇ iˇse se u obli o blik k gβθ gβ θy l02 gβ θz l03 1 . = νw 0 ν 2 w0νlo Jednaˇcina cina kontinuiteta kontinuiteta (14.82) u bezdimenzionim promenljivim dobija oblik

odnosno

w0 ∂W x ∂W y ( + )=0 l0 ∂X ∂Y

(14.91)

∂W x ∂W y + = 0. ∂X ∂Y

(14. (14.92)

Na sliˇcan can naˇcin cin moˇze ze i jednaˇ jed naˇcina cin a stac s tacion ionarn arnee razm r azmene ene toplot top lotee konvekcijom konvekci jom (14.76 (14 .76)) λ α=− T f f − T 0

  ∂T ∂y

,

(14. (14.93)

y =0

da se napiˇse se u novim bezdimenzionim b ezdimenzionim promenljivim (14.85): αl0 =− λ

  ∂ Θ ∂Y

.

(14. (14.94)

Y =0

U ranije transformisanim jednaˇcinama cinama [(14.89), [(14.89) , (14.90), (14.92) i (14.94)] u bezdimenzioni oblik pojav po javljuju ljuju se, osim bezdimenzionih bezdimenzionih veliˇ veliˇcina cina Θ, τ , X , Y , Wx , W y i P (izraz 14.84), bezdimenz bez dimenzioni ioni kompleksi sastavljeni sastavlje ni od raznoro razno rodnih dnih fiziˇckih ckih veliˇcina: cina: ∗

αl0 ; λ

w0 l0 ; ν

w0 l0 ; a 238

gβθ gβ θz l03 ; ν 2

p0 . ρw02

cnosti cno sti dobili su, svaki Ovi kompleksi, kompleksi, tzv. bro jevi sliˇ svaki posebno, imena po nauˇ cnicima cnicima koji su dali znaˇ znaˇcajan cajan doprinos doprinos razvoju razvoju hidrodina hidrodinamik mikee i prostira prostiranja nja toplote, toplote, na primer, primer, Reynold Reynolds-o s-ov v broj (Re), (Re), Nussel Nusselt-o t-ov v broj (Nu), (Nu), Euler-o Euler-ov v broj (Eu), (Eu), P´ eclet-o eclet-ov v broj (Pe), (Pe), Grasoff-ov broj (Gr): αl0 Nu = (14. (14.95) λ w0 l0 ν

Re =

(14. (14.96)

w0 l0 a p0 Eu = ρw02

Pe =

Gr =

(14. (14.97) (14. (14.98)

gβ θz l03 ν 2

(14. (14.99)

Na osnovu os novu ovako definisanih defini sanih brojeva bro jeva sliˇcnosti cnost i (14.95 (14 .95 -14.99 - 14.99)) sistem sist em diferen di ferencijal cijalnih nih jednaˇ je dnaˇcina cina u bezdimenz bezdimenzioni ionim m promenlj promenljivi ivim m [(14.89) [(14.89),, (14.90), (14.90), (14.92) (14.92) i (14.94)] (14.94)],, kojim kojim se opisuje opisuje prenoˇ pre noˇsenje sen je toplot top lotee konvekcijom konvekci jom,, moˇze ze da se napiˇ nap iˇse se u slede´ sle dećem cem obliku obl iku:: ∂ Θ ∂ Θ ∂ Θ ∂ 2 Θ ∂ 2 Θ P e( + W x + W y )= + ∂τ ∂X ∂Y ∂X 2 ∂Y 2

(14. (14.100)

∗

Re

Re

 

∂W x ∂W x ∂W x + W x + W y ∂τ ∂X ∂ Y ∗

∂W y ∂W y ∂W y + W x + W y ∂ τ ∂x ∂Y ∗

 

Gr ∂P = Θ − EuRe + Re ∂X ∂p = −EuRe + ∂Y





∂ 2 W x ∂ 2 W y + ∂X 2 ∂ Y 2

∂ 2 W y ∂ 2 W y + ∂x 2 ∂Y 2





,

(14. (14.101)

∂W x ∂W y + = 0, ∂X ∂Y

(14. (14.102)

∂ Θ )Y =0 . ∂Y

(14. (14.103)

N u = −(

Postupkom koji koj i je sliˇcan can gore opisanim opisa nim uvode se joˇs neki brojevi bro jevi sliˇcnosti, cnost i, kao ˇsto sto su, na primer, Frude-ov broj (Fr), Biot-ov broj (Bi), Fourier-ov broj (Fo), itd: Fr =

gl0 , w02

(14. (14.104)

Bi =

αl0 , λˇc

(14. (14.105)

Fo =

aτ 0 , l02

(14. (14.106)

gde je λˇc -koeficijent toplotne provodljivosti ˇcvrstog cvrstog tela. 239

Neki brojevi bro jevi sliˇcnosti cnosti mogu da se dobiju na osnovu ranije r anije uvedenih brojeva bro jeva sliˇcnosti. cnosti. Takvi su, na primer, Prandt-ov broj (Pr) i Stanton-ov broj (St): Pe ν = , Re a

(14. (14.107)

Nu αa . = Pe λw0

(14. (14.108)

Pr =

St =

Brojevi Brojevi sliˇ sliˇcnosti cnosti mog mogu u da se dobiju dobiju za bilo koju pojavu za koju je poznata poznata analiti analitiˇˇcka cka zavisnost izmedju promenljivih. Veliki znaˇcaj ca j uvedenih brojev bro jevaa sliˇcnosti cnosti je u tome ˇsto sto se na osnovu procene njihovih oc eni odnos od nos ˇ clanova cla nova u odgovaraju´ vredno vre dnosti sti moˇze ze da oceni odg ovarajućim cim diferencij difer encijalnim alnim jednaˇcinama cinam a u bezdimenzionim bezdimenzioni m promenljivim [na primer, u jednaˇcinama cinama (14.100-14.103)] i zakljuˇci ci koji su ˇclanovi clanovi zanemarljivi u odnosu na ostale. Na primer, pri velikim vrednostima Reynoldsovog broja (Re (Re  1) velika velika je vrednost i P´ eclet-ovog eclet-ovog bro ja (P e  1), 1), jer je P e = PrRe a za gasove je P r ≈ 1 (samo za teˇcne cne metale metal e P r < 1), 1), tako da d a se u bezdimenzionoj bezdimenzion oj jednaˇcini cini kretanja kretanja (14.101) i jednaˇ jednaˇcini cini prenosa energije energije (14.103) mogu da zanemare zanemare ˇclanovi clanovi koji uzimaju uzimaju u obzir obzir uticaj uticaj visko viskoznos znosti ti i uticaj uticaj toplotne toplotne provodlji provodljivo vosti sti na ostale ostale procese. procese. U datom sluˇcaju caju fluid moˇze ze da se smatra idealnim, bez viskoznosti i toplotne provodljivosti. 14.2.2 14. 2.2.2. .2. Fiziˇ Fiz iˇ cki cki smisao smi sao bro jeva sliˇ s liˇ cnosti cno sti Fiziˇcki cki smisao brojeva bro jeva sliˇcnosti cnosti sledi iz definicionog izraza a takodje iz polazne diferencijalne cijal ne jednaˇcine, cine, odnosno, odn osno, iz analize anali ze odgovaraju´ odg ovarajuće ce bezdimenz bez dimenzione ione diferencij difer encijalne alne jednaˇcine cine na osnovu osnovu koje je uveden uveden dati bro j sliˇ cnosti. cnosti. Tako na primer: Nusseltt-ov broj (Nu) karakteriˇ karakteriˇse se intenzitet razmene toplote izmedju ˇcvrstog tela i pokretnog fluida u pograniˇ je veće Reynoldsˇcnom cn om slo s lo ju. ju . Sto ce Nu to je inteznivniji intezni vniji proc p roces es konvektivne razmen r azmenee toplote; toplo te;Reynolds2 ov broj (Re) karakteriˇ karakteriˇse se odnos o dnos tzv. inercijalnih (konvektivnih) (konvektivnih) sila (ρw (ρw0 /l0 ) prema sili 2 eclet-ov eclet-ov broj bro j (Pe) visko viskoznog znog trenja trenja (ηw 0 /l0 ) i definiˇ definiˇse se karakter kretanja kretanja fluida* ; P´ karakteriˇse se odnos odn os intenziteta intenzi teta prostiranj prost iranjaa toplote toplo te provodljiviˇ provodl jiviˇs´ sću cu i prenoˇ pren oˇsenja senja toplote topl ote konvekcijom u fluidnoj struji; Grashoff-ov broj (Gr) karakteriˇse se odnos o dnos sile potiska pot iska nastale nas tale usled razlike u gustini fluida, prema sili viskoznog trenja, pri procesu prinudne konvekcije. ˇ je Gr ve´ Euler-ov broj bro j Sto veće ce to je intenzivnij intenzivnijii proces prirodne (slobodne) konvek konvekcije; cije; Euler-ov (Eu) karakteriˇ Prandt-o -ov v broj (Pr) (Pr) arakteriˇse se odnos sila potiska potiska prema inercijalnim inercijalnim silama; Prandt karakteriˇ karakteriˇse se fiziˇcka cka svojstva fluida kao i naˇcin cin prostiranja toplote u fluidu. Njegova Njegova vred÷ nost se kreće ce u intervalu: intervalu: za gasove 0,67-1,0, za teˇcnosti cnosti 1 2500 a za metale 0,005 ÷ 0,05. Stanton-ov broj (St) karakteriˇse se odnos odn os intenziteta intenzi teta prostiranj prost iranjaa toplote toplo te prenoˇ pren oˇsenjem senjem prema konvektivnom prenosu pren osu toplote to plote u teˇcnostima; cnosti ma; Frude-ov broj (Fr) karakt kara kter eriˇ iˇse se odn o dnos os gravitacione sile prema inercionim silama u procesu prinudnog kretanja fluida u polju sile teˇze. Biot-ov broj (Bi) karakteriˇse se intenzitet nestacionarnog procesa prostiranja toplote u ˇcvrsto cvr stom m telu; tel u; Fourier-ov broj (Fo) karakteriˇ karakteriˇse se brzinu promene temperaturskog polja pri nestacionarnom reˇzimu zimu prostiranja toplote, itd.. 14.2.2 14. 2.2.3. .3. Uslovi Usl ovi sliˇ cnosti cno sti fiziˇ ckih cki h po java cnos no st, koji smo do sada obiˇ Pojam sliˇ cno cno veziv vezivali za sliˇ sliˇcnost cnost geometrijskih geometrijskih figura, podrazumevaju´ po drazumevajući ci pri tome proporcionalnost proporc ionalnost njihovih stranica i jednakost odgovarajućih cih sl iˇ cnos cn osti ti fiziˇ fiz iˇ ckih ck ih pro pr o cesa ce sa i uglova, uglova, moˇze ze da se proˇsiri siri na bilo koju fiziˇcku cku pojavu. po javu. O sliˇ * La Lami mina narno rno kret kretanj anjee fluida fluida je pri Re < 2 · 103 . Prelaz Prelaz iz lam laminar inarnog nog u turbulen turbulentno tno 3 4 4 kretanje je pri 2 · 10 < Re < 10 . Pri Re > 10 kretanje je turbulentno. 240

pojava moˇ ze ze da se govori ukoliko one pripadaju pripada ju klasi pojava iste priro p rirode. de. Sliˇcne cne po p o jave analitiˇ anali tiˇcki cki se opisuju opisu ju jednakim jedna kim jednaˇcinama cinama po formi i sadrˇzaju.** za ju.** teo reme sliˇ cnosti cno sti Osnovne postavke p ostavke teorije sliˇcnosti cnosti formulisane su u obliku tri teoreme Prva teorema teor ema sliˇ cnosti cno sti:: ”Kod medjusobno sliˇcnih cnih procesa pr ocesa i pojava p ojava brojne bro jne vrednosti vredno sti odgovara od govara jućih cih istoim ist oimeni enih h bro jeva sliˇcnosti cno sti su jednake jed nake u odgovara od govara jućim cim taˇckama.” ckama .” Ovom teoremom teor emom je ustanovljena veza izmedju brojeva bro jeva sliˇcnosti cnosti i omogućeno ceno je da se definiˇ defin iˇsu su odgovaraju´ odg ovarajući ci kriterijum krite rijumii sliˇcnosti. cnost i. Odgovara se na pitanje pitan je ˇsta sta je karakteristiˇ karakteri stiˇcno cno za sliˇ sliˇcne cne pojave. pojave. Osim Osim toga, toga, iz prve prve teoreme teoreme sledi da je u eksperim eksperimen entim timaa potrebno potrebno i dovoljno da se mere samo one veliˇcine cine koje su sadrˇzane zane u brojevima bro jevima sliˇcnosti cnost i izuˇcavane cavane pojave. po jave. Ova teorema sledi iz druge teoreme sliˇcnosti, cnosti, kojom ko jom je postavljen p ostavljen uslov jednakosti odgov odg ovara araju´ jućih cih bezdimen be zdimenziona zionalnih lnih diferencij difer encijalnih alnih jednaˇcina cina sliˇcnih cnih po java i procesa. pro cesa. Druga teorema sliˇ cnosti: cnosti: ”Diferencijalne jednaˇcine cine koje opisuju odgovarajuću cu je dnaˇ aˇ cine in e sliˇ sl iˇ cnos cn osti ti (krite fiziˇcku cku po javu moguće ce je predstaviti preds taviti u obliku oblik u jedn (kr iterij rijums umske ke jednaˇ je dnaˇcicine) f ( f (K 1 , K 2 , K 3 ,...,K n ) = 0 (14.109) kao funkciju brojeva bro jeva sliˇcnosti cnosti K 1 , K 2 , K 3 ,...,K n dobijenih iz datih diferencijalnih jednaˇcicina.” Jednaˇcina cina sliˇcnosti cnost i predstavlja pred stavlja bezdimen be zdimenziono ziono reˇsenje senje (integral) (integr al) razmatrano razma tranogg zadatka zadat ka primenljivo za sve sliˇcne cne procese i pojave. po jave. Znaˇci, ci, bilo kakva kakva zavisnost zavisno st izmedju izmed ju veliˇcina cina koje karakteriˇsu su datu po javu moguće ce je predstaviti u obliku jednaˇcine cine sliˇcnosti, cnosti, pri ˇcemu cemu je znatno smanjen broj bro j promenljivih a time tim e i zadata zad atak k znat z natno no uproˇ upr oˇs´ sćen. cen . Jasno Jas no je da su jednaˇ jed naˇcine cin e sliˇ s liˇcnosti cno sti jednake jed nake za sliˇcne cne po jave jer su kod sliˇcnih cnih pojav po javaa jednake brojne bro jne vrednosti odgovarajućih cih brojeva bro jeva sliˇcnosti cnosti (prva teorema teorema). ). Smisao Smisao druge druge teoreme teoreme se sastoji sastoji u tome tome da je mog mogu´ u´ ce ce bez integr integracij acijee diferdiferencijalne jednaˇcine cine da se nadje zavisnost izmedju veliˇ cina cina koje karakteriˇ karakteriˇsu su datu pojavu po javu tako ˇsto se kriterijums krite rijumska ka jednaˇ je dnaˇcina cina nalazi nalaz i eksperime eksp erimentalnim ntalnim putem, ustanovljavaju´ ustan ovljavajući ci vezu izmedju odgovarajućih cih kriterijuma (brojeva) (bro jeva) sliˇcnosti cnosti za poseban sluˇcaj ca j a zatim primen juje za sve sliˇcne cne pojave, po jave, naravno, u granicama odredjenim uslovima sliˇcnosti. cnosti. Na primer, f (w,ρ,η,c p , T f λ) mo zavisnost α = f ( moˇˇze ze da se u kriterij kriterijums umskoj koj formi formi predsta predstavi vi f , T z , o , l , λ) F (Re,Gr,Pr) Re,Gr,Pr) gde su Nu,Re,Gr,Pr odgovara jed j edna naˇˇcino ci nom m N u = F ( od govara jući ci bro jevi jev i sliˇcnosti cno sti.. Kada se funkcija F nadje za poseban sluˇcaj caj tada se rezultat primenjuje za sve sliˇcne cne po jave. Tre´ ca ca teor te orem ema a sliˇ sl iˇ cnos cn osti ti ” Da bi pojave p ojave i procesi bili sliˇcni cni neophodno neopho dno je i dovoljno da budu sliˇcni cni njihovi uslovi jednoznaˇ jedno znaˇcnosti, cnost i, a odredju od redjuju´ jući ci kriterijumi krite rijumi sliˇcnosti, cnost i, saˇcinjeni cinje ni od veliˇcina cina koje koj e ulaze ul aze u uslove u slove jednoznaˇ jed noznaˇcnosti cnost i ima i maju ju iste i ste brojne bro jne vrednosti vredn osti u odgovara o dgovaraju´ jućim cim taˇ ta ˇckama cka ma.” .” Ovom teoremom su definisani de finisani potrebni i dovoljni uslovi u slovi sliˇcnosti. cnosti. Takodje, na osnovu o snovu nje je zasnovana zasnovana metoda meto da modeliranja, mo deliranja, tj. eksperimentalnog izuˇcavanja cavanja modela mo dela pojav po java. a. Iz prethodnih teorema (druga teorema) sledi da bi procesi, na primer, konvektivne razmene razme ne toplote toplo te bili sliˇcni cni mora ju odgovara o dgovaraju´ juće ce diferencija difer encijalne lne jednaˇcine cine u bezdime b ezdimenzion nzionim im promenljivim promenljivim (14.100-14.103) (14.100-14.103) da budu jednake, jednake, ˇsto sto je ispunjeno ispunjeno pod uslovom uslovom jednakosti jednakosti odgovaraju´ odgovarajućih cih bezdimenzionih bezdimenzionih promenljivih promenljivih i jednakost jednakost brojeva sliˇ cnosti cnosti datih procesa (prva teorema), tj. moraju da imaju jednake brojne vrednosti, tj. X = idem∗ idem∗, Y = idem, idem, Re = idem,Pr = idem, idem, Gr = idem, N u = idem, idem, θ = idem idem,, W x = idem, idem, W y = idem.

(14. (14.110)

** Pojave koje se matematiˇcki cki opisuju jednaˇcinama cinama jednakim po formi ali razliˇcitim citim po sadrˇzaju za ju nazivaju se analognim. Na primer, pojave po jave toplotne provodnosti elektriˇcne cne provodljivosti i difuzije su analogne. * idem - jedno isto 241

Uzmimo, Uzmimo, na primer, dva sliˇ sliˇcna cna procesa A i B konvek konvektivne tivne razmene toplote pri proticanju iste teˇcnosti cnosti u kanalima proizvoljnog preseka. Neka su karakteristiˇ cne cne dimenzije kanala kanal a njihovi nji hovi preˇcnici cni ci dA i dB . Tada je, shodno (14.84), X A =

xA ; dA

Y A =

yA ; dA

Z A =

zA dA (14.111)

X B =

yB , dB

Y B =

yB , dB

Z B =

zB . dB

Razmotrimo Razmotrimo procese A i B u taˇckama ckama odred od redjen jenim im jednaˇ jed naˇcinama cin ama X A = X B ,

Y A = Y B ,

Z A = Z B

(14. (14.112)

Taˇ Taˇcke (xA , yA , zA ) i (xB , yB , zB ), koje zadovoljavaju uslov (14.112) nazivaju se karakteristiˇcne taˇcke. ke . Za karakteristiˇ karakteri stiˇcne cne taˇcke cke je [(14.111) [(14. 111) i (14.112)] (14.1 12)] xA yA zA dA = = = = C d , xB yB zB dB

(14. (14.113)

gde je C d = dA /dB -konstanta sliˇcnosti cnost i dimenzija. dimen zija. Iz uslova uslova sliˇcnosti cnosti procesa A i B (14.110) sledi W XA = W XB . Kako je W XA XA =

wXA , w0A

W XB XB =

(14. (14.114) wXB , w0B

(14. (14.115)

gde su w0A i w0B karakteristiˇ karakteri stiˇcne cne brzine brzin e fluida fl uida zadate zadat e uslovima u slovima jednoznaˇ jedno znaˇcnosti, cnost i, na n a primer, p rimer, brzina na ulazu u kanal A i B, respektivno, sledi wxA w0A = = C w wxB w0B

(14. (14.116)

w0A gde je C w = w -konstanta sliˇcnosti cnosti brzina. Osim prethodnog, prethodnog , iz uslova uslova sliˇcnosti cnosti sledi 0B da ako su procesi pro cesi A i B sliˇcni cni tada je svaka svaka fiziˇcka cka veliˇcina cina ϕA u datoj dato j taˇcki cki procesa A propo pro porci rciona onalna lna odgovara od govara jućoj co j fiziˇckoj cko j veliˇcini cin i ϕB u karakteristiˇ karakteri stiˇcnoj cno j taˇcki cki procesa pro cesa B, tj.

ϕA = C ϕ ϕB ,

(14. (14.117)

gde je C ϕ − konstant kons tantaa sliˇcnosti cno sti.. Tako je, na primer, za sliˇcne cne procese A i B u karakteristiˇcnim cnim taˇckama, ckama, na osnovu (14.110) i (14.95), tj. Nu=idem, αA λA dB C λ = = = C α , αB λB dA C d

(14. (14.118)

gde su C λ = λA /λB , C d = dA /dB i C α = C λ /C d odgovara od govara juće ce konstant kons tantee sliˇcnosti cno sti.. 242

Izmedju konstantnih sliˇcnosti cnosti postoje posto je strogo definisani odnosi. Na primer, za sliˇcne cne procese (A i B) prinudne konvekcije konvekcije vaˇ vaˇzi zi uslov ReA = ReB Kako je ReA =

w0A d0A ; ν A

ReB =

(14. (14.119) w0B d0B ν B

(14. (14.120)

i kako je [(14.116), (14.113) i (14.117)] w0A = C w C 0B ,

d0A = C d d0B ,

ν A = cν ν B ,

(14. (14.121)

iz (14.119) sledi ReA C w C d = =1 ReB cν

(14.122)

14.2.4. Modeliranje fiziˇ ckih ckih procesa Kako je u uvodnom delu ovog ovog poglavlja poglavlja napomenuto, napomenuto, zbog sloˇ zenosti zenosti diferencijalni diferencijalnih h jednaˇ jednaˇcina cina koje opisuju procese konvek konvektivne tivne razmene toplote pribegava pribegava se eksperimentaleksperimentalnom izuˇ cavanju cavanju datog procesa. Medjutim, Medjutim, zbog velikog velikog broja parametara parametara koji utiˇ cu cu na datu po javu eksperimenta eksp erimentalno lno izuˇcavanje cavanje je praćeno ceno velikim teˇsko´ skoćama. cama. Da bi se iz ekspereksp erimentalno imental no dobijenih dobi jenih rezultata rezu ltata izvukli izvuk li opˇsti sti zakljuˇcci cci i izvrˇ i zvrˇsila sila korelacija korelac ija sa drugim drug im rezult r ezultaatima primenjuju prime njuju se metode meto de teorije teori je sliˇcnosti cnost i uz koriˇs´ sćenje cenje uopˇstenih steni h promenljivi prome nljivih h i bro jeva sliˇcnosti cno sti.. Poseban Pose ban znaˇcaj ca j teor t eorija ija sliˇcnosti cno sti ima pri modeliranju procesa pro cesa izuˇcavane cavane po jave. Modeliranje se sastoji u izuˇcavanju cavanju odgovarajuće ce pojeve po jeve na modelu ve´ cih cih ili manjih dimenzija dimenzija u specijalnim specijalnim laboratorijskim laboratorijskim uslovima uslovima umesto da se izuˇ cava cava sliˇ cna cna pojav po javaa u prirodi. Pri tome okolna sredina moˇze ze da bude drugaˇ drugaˇcija cija ili ista ali u drugom stanju (na primer, pri dugaˇ d ugaˇcijoj cijoj temperaturi). Na osnovu rezultata dobijenih na modelu mo delu moˇze ze da d a se dâ odgovor o suˇstini stini pojave po jave u prirodnim prirodni m uslovima. u slovima. Modeliranje se zasniva na izuˇcavanju cavanju fiziˇcki cki sliˇcne cne pojave po jave koja ko ja se jednostavnije kontroliˇ kontroliˇse se i ostvaruje. Jasno je da procesi na modelu moraju da se ostvare tako da dobijeni rezultati mogu da se prenesu na ispitivani objekt ob jekt (uzorak) primenom teorije sliˇcnosti. cnosti. Uslove Uslove modeliranja modeliranja,, tj. tj. uslo uslov ve koje koje mo mora ra da zadov zadovol olji ji model i uslo uslove ve pod kojim mora da se na njemu njemu odvija odvija izuˇ izuˇcav cavani proces proces daje teorija teorija sliˇ sliˇcnosti. cnosti. Samo Samo tada mog mogu u rezultati ispitivanja na modelu da se prenesu na uzorak. Razlikujemo dva osnovna uslova modeliranja: uslov modeliranja govori o tome da na modelu mora da se ostvari proces -Prvi uslov pro ces sliˇcan can procesu na uzorku, tj. procesi na modelu i uzorku moraju da imaju ima ju istu fiziˇcku cku prirodu i da se opisuju jednakim diferencijalnim jednaˇcinama. cinama. -Drugi uslov govori o tome koje uslove mora da zadovolji model i o uslovima koji moraju da budu ispunjeni ispunjeni pri merenjima merenjima na modelu. U ovom ovom uslovu su sadrˇ sadrˇzani zani uslovi jed j edno nozn znaˇ aˇ cnos cn osti ti iz kojih koji h sledi zahtev sliˇcnosti cnost i geometrijsk geome trijskih, ih, fiziˇckih, ckih, graniˇcnih cnih i vremenvremen skih uslova. uslova. Odavde, Odavde, pre svega, svega, sledi da model mora da bude geometrijski sliˇcan can uzorku. Sve bitne dimenzije uzorka (d (du ) i modela (d (dm ) moraju da budu vezane relacijom (14.113), tj. du = C d dm , (14. (14.123) gde je C d konstanta sliˇcnosti. cnost i. Znaˇci, ci, model mode l treba da bude taˇcna cna kopija uzorka uzor ka ali umanjena umanj ena C d puta. Uslov Usl ov sliˇ cnosti cno sti fiziˇ ckih cki h parameta para metara ra moˇ ze ze da se ostvari ostvari ako su parametri parametri konϕ stantni. Kada se, na primer, pr imer, fiziˇcka cka svojstva fluida ( m ) u kome se nalazi model (ili koji 243

protiˇcu cu kroz model) jednaka fiziˇckim ckim svojstvima fluida (ϕu ) u kome se nalazi uzorak (ili koji protiˇce ce kroz uzorak) jednaka, tj. ϕu = ϕm , tada je C ϕ = 1. Uslov Us lov sliˇ sl iˇ cnos cn osti ti gran gr aniˇ iˇ cnih cn ih uslova us lova na jˇceˇ ceˇs´ sće ce se svodi svo di na sliˇ sl iˇcnos cn ostt uslova us lova ulaz ul azaa fluid flu idaa u model i uzorak u zorak i sliˇcnost cnost temperaturskih polja na ulazu i na povrˇsini sini uzorka uz orka i modela. Uslov Usl ov sliˇ cnosti cno sti vremena vre mena je bitan samo pri razmatranju nestacionarnih procesa. uslov jedOsim gore navedenih uslova, pri modeliranju mora da bude zadovoljen uslov nakosti nakos ti bro jeva sliˇ cnosti cno sti izuˇ cavanog cavanog procesa pro cesa na modelu i uzorku. Na primer, pri prinudnoj konvekciji za odvijanje procesa bitan je karakter kretanja fluida koji zavisi od brojne vrednosti Reynolds-ovog broja (Re). Pri modeliranju mora da bude zadovoljen uslov: Rem = Reu odnosno, na osnovu (14.96), sledi w0m l0m w0u l0u = ν m ν u tako da brzina fluida pri ulazu u model (w (wom ) mora da ima taˇcno cno odredjenu vrednost wom = wou

lou ν m . lom ν u

Kada Kada kroz model i uzorak uzorak protiˇ protiˇ ce ce jedan jedan isti fluid jednaki jednakih h temperat temperatura, ura, tada je ν m = ν u (C ν = 1), 1), tako da je l0u wom = w0u . l0m U sluˇcaju caju kada je, na primer, C l =

l0u l0m

= 10, 10, dobija se

wom = 10w 10wou , ˇsto sto znaˇci ci da pri jednakim fluidima, brzina fluida u modelu treba da bude toliko puta ve´ ca ca koliko puta su manje dimenzije modela od dimenzija uzorka. Jasno je da osim jednakosti Reynoldsovog broja za uzorak i model, mora da postoji jednakost i drugih brojeva bro jeva sliˇcnosti, cnosti, koji su bitni za izuˇcavanu cavanu pojavu p ojavu (na primer,P primer, P ru = P rm ). S obzirom obzir om da je proces pro ces taˇcnog cnog modelira mod eliranja nja praćen cen velikim teˇsko´ skoćama, cama, razradjen razr adjenii su metodi meto di pribliˇ znog znog modeliranj mod eliranja. a. Medjutim, analiza ovih metoda prelazi granice ovog kursa i mogu se naći ci u priloˇ pril oˇzeno zeno j literatur liter aturi. i. 14.2.3. Odredjiv Odredjivanje anje koeficijen koeficijenta ta prelaza prelaza toplote toplote α primeno prim enom m teor t eorije ije sliˇ cnosti cno sti Primenom Primenom teorije sliˇ sliˇcnosti, cnosti, kako je ranije pomenuto, pomenuto, moˇ ze ze da se odredi koeficijent koeficijent prelaza toplote α pri konvek konvektivnoj tivnoj razmeni toplote. S obzirom na vrlo sloˇ sloˇzenu zenu zavisnost α od niza faktora, ˇciji ciji analitiˇcki cki oblik joˇs nije nadjen, prvo se α odredi eksperimentalnim putem na modelu, pa se zatim dobijeni rezultat na osnovu osnovu teorije sliˇcnosti cnosti prenese na objekat objekat koji nas intere interesuj suje. e. Na osnovu osnovu definici definicije je Nussel Nusseltt-o tt-ovo vogg broja (Nu) (14.95) (14.95) i odgovarajuće ce kriterijumske jednaˇcine cine Nu=F (Re, Gr,Pr) za koeficijent prelaza toplote u stac st acio ionar narno nom m reˇ r eˇ zimu zi mu dobija se α=

λNu λN u λ F (Re,Gr,Pr) Re,Gr,Pr). = F ( l l 244

(14. (14.124)

pri nudne konvekcije konvekcij e teˇ cnosti cno sti Nu= F1 (Re, Pr) tako da je U sluˇ sl uˇca ca ju prinudne α=

λ F 1 (Re,Pr) Re,Pr). l

(14. (14.125)

slob odno o j konvekciji konvekciji teˇ cnosti cnosti Nu = F2 (Gr, Pr) tako da se koeficijent prelaza Pri slobodn toplote odredjuje na osnovu izraza α=

λ F 2 (Gr,Pr) Gr,Pr ). l

(14. (14.126)

Zavisnost Zavisnos t izmedju i zmedju brojeva bro jeva sliˇcnosti, cnost i, tj. odgov odg ovara araju´ juće ce kriterijums krite rijumske ke jednaˇ je dnaˇcine cine (F, F 1 , F 2 ) koje koj e se s e koriste kor iste za nalaˇzenje zenje α, odredjuje se eksperimentalno na modelu. Na osnovu velikog empirijski obrazci obrazci za razliˇcite broja podataka nadjeni su empirijski cite praktiˇcne cne primere a odgovaraju´ varaj ući ci koeficijenti koefic ijenti su tabelisa tab elisani. ni. Na primer p rimer,, u sluˇcaju ca ju prinudne pr inudne konvekcije kriterij kri terijumska umska jednaˇ jedn aˇcina cina dobija dobij a oblik obl ik empiremp irijskog obrasca: P rf 0.25 N u = C Ren P rm Grr ( ) , (14. (14.127) P rz gde su vrednosti vrednosti koeficijenta koeficijenta C, n, m i r tabelirani za razliˇ razliˇcite cite reˇ zime zime strujanja, strujanja, oblika oblika povrˇ pov rˇsine sin e i naˇcina cin a obstru obs trujavanja javanja.. ˇ 14.3. PROLAZENJE TOPLOTE U praksi se prostiranje p rostiranje toplote provodjenjem i konvekcijom konvekcijom skoro nikad ne sreću cu odvopr olaˇ aˇ zenj ze nje e topl to plot ote. e. jen j eno, o, već se najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce javlj jav ljaa kombin komb inovan ovan naˇcin ci n pros pr osti tira ranj njaa topl to plot otee tzv. tz v. prol Prolaˇzenje zenje toplote se javlja izmedju dva fluida razliˇcitih citih temperatura, medjusobno razdvojenih zidom proizvoljnog proiz voljnog oblika (ravan, (ravan, cilindriˇ c ilindriˇcni cni sferni zid, ...). Prostiranje toplote top lote od tople pare ili vode kroz zidove radijatora na okolni vazduh u prostoriji, prostiranje toplote od toplog vazduha kroz zidove sobe na spoljnji atmosferski vazduh itd., predstavl jaju primere prolaˇ zenja zenja toplote. Dok je u prvom primeru potrebno da zid ima veliki veliki koeficijent provodjenja toplote (λ (λ) u drugom primeru teˇ zi zi se da se smanje smanje gubici toplote kroz zid izborom izborom materij materijala ala mal malog og koeficij koeficijen enta ta toplotn toplotnee provod provodlji ljivo vosti sti (tj. (tj. dobrog dobrog toplotno toplotnogg izolatora). U navedenim primerima prostiranje toplote provodjenjem se ostvaruje kroz zidove a konvekcijom sa fluida na jednu stranu zida i sa druge strane zida na fluid (isti ili drugaˇ dru gaˇcije cij e prir p rirod ode). e). 14.3.1. Stacionarno prolaˇ zenje zenje toplote kroz ravan ravan zid Posmatrajmo ravan zid debljine δ (slika 14.8), koeficijenta toplote pro-vodljivosti λ, koji razdvaja dva fluida temperature T f f 1 i T f f 2 (T f f 1 > T f f 2 ). Prema Newton-Richtman-ovom Newton-Richtman-ovom zakonu z akonu (14.73) specifiˇcni cni toplotni protok u stacionarnom reˇzimu zimu od fluida temperature T f pov rˇsini sin i zida zid a f 1 i koeficijenta prelaza toplote α1 ka povrˇ temperature T f f 2 je T f f 1 − T z 1 qf z = . (14. (14.128) 1 α1

Specifiˇ Spe cifiˇcni cni toplotni toplo tni protok proto k kroz zid na ˇcijim cijim je povrˇsinama sinama temperatu temp eratura ra tz1 i T z2 (T z1 > T z2 ) iznosi T z1 − T z2 qz = . (14. (14.129) δ λ

245

Na kraju, specifiˇ cni cni toplotni protok od druge povrˇ povrˇsine sine zida, temperature T z2 , ka fluidu koeficijent prelaza toplote α2 i temperature T f f 2 (T z 1 > T f f 2 ) je qzf =

T z2 − T f f 2 1

.

(14. (14.130)

α2

Slika 14.8

Pri prolaˇzenju zenju toplote, toplo te, u stacio s tacionarn narnom om reˇzimu, zimu, specifiˇ spec ifiˇcni cni toplotni toplo tni protok proto k je j e konstantan q = qf z = qz = qzf , tako da je 1 q = T f (14. (14.131) f 1 − T z 1 , α1 δ = T z1 − T z2 , λ 1 q = T z2 − T f f 2 . α2 q

(14. (14.132) (14. (14.133)

Posle sabiranja poslednjih izraza (14.131 -14.133), dobija se q=

T f f 1 − T f f 2 , k

(14. (14.134)

gde je k− koeficijent prolaza toplote dat izrazom k=

1 1

α1

+

δ λ

246

+

1

α2

.

(14. (14.135)

Otpor Otp or prolaˇzenju zenju toplote toplo te R jednak je reciproˇcnoj cno j vrednosti vred nosti koeficijnta prolaza prol aza toplote R=

δ 1 1 1 = + + k α1 λ α2

(14. (14.136)

Iz (14.131), (14.133), (14.134) i (14.135) sledi da je temperatura na povrˇ povrˇsinama sinama zidova zidova T z 1 = T f f 1 − q

T f 1 f 1 − T f f 2 , = T f f 1 − α1 ( α11 + λδ + α12 )α1

(14. (14.137)

T z2 = T f f 2 − q

T f 1 f 1 − T f f 2 = T f f 2 + α2 ( α11 + λδ + α12 )α2

(14. (14.138)

pro laˇ zenja zen ja toplote top lote kroz kro z ravan viˇ sestruk ses trukii zid od n− slojeva debljine U sluˇ sl uˇca ca ju prolaˇ δ1 , δ2 , ...δ ...δn i odgovarajućih cih koeficijenata toplotne provodljivosti λ1 , λ2 , .... ....λ λn vaˇ vaˇzi zi isti izraz za specifiˇ spe cifiˇcni cni toplotni toplo tni protok prot ok kao u sluˇcaju ca ju jednoslo jedno slojnog jnog zida, s tim ˇsto sto je u ovom sluˇcaju ca ju povećan can otpor otp or prolaˇ pro laˇzenja zen ja toplot top lotee 1 R= + α1

n



k=1

δk 1 . + λk α2

(14. (14.139)

Lako se pokazuje da je temperatura na granici k-tog i k+1-og sloja T k+1

1 = T f + f 1 − q [ α1

k

 l=1

δi ]. λi

(14. (14.140)

14.3.2. 14.3.2 . Stacionarno Stacion arno prolaˇ zenje zenje toplote kroz cilindriˇ cilind riˇ cni cni zid (cev) Specifiˇ Sp ecifiˇcni cni toplotni toplo tni protok prot ok po jedinici jedin ici duˇzine zine pri stacionarn staci onarnom om prolaˇzenju zenju toplote toplo te kroz jednoslo jedn oslojni jni cilindriˇ cilin driˇcni cni zid (cev), (cev) , ˇciji ciji su unutraˇsnji snji i spoljnji spo ljnji preˇcnici cnici d1 i d2 , respektivno (slika 14.9) dobija se sliˇcnim cnim postupkom kao i za prolaˇzenje zenje toplote kroz ravan ravan zid: ql =

Q T f f 1 − T f f 2 , = lτ k

(14. (14.141)

gde je koeficijent prolaza toplote k=

1

πd1 α1

1 1 ln dd21 + + 2πλ

247

1

πd2 α2

(14. (14.142)

Slika 14.9

sestr se struko ukog g cili ci lind ndriˇ riˇ cnog cn og zida zi da od n slo U sluˇ sl uˇca ca ju viˇ sl o jeva, je va, odg o dgovar ovaraa jućih ci h preˇ p reˇcnika cn ika d1 , d2 ,...,dn+1 , i koeficijenata koeficijenata toplotne provodljiv provodljivosti osti λ1 , λ2 ,...,λn , specifiˇ spe cifiˇcni cni toplotni toplo tni protok iznosi ql = k(T f (14.143) f 1 − T f f 2 ) gde je koeficije ko eficijent nt prolaˇ pr olaˇzenja zenja toplote toplo te kroz cilindriˇ cilin driˇcni cni zid od n− slojeva dat izrazom: 1

k=

1

d1 πα1



+

n dk+1 1 k=1 2πλ k ln dk

+

1

(4. (4.144)

dn+1 πα2

Temperatura izmedju k-tog i k+1-og sloja iznosi k

T k+1

ql 1 1 di+1 = T 1 − [ + ]. π α1 d1 i=1 2λi di



(14. (14.145)

14.3.3. Stacionarno prolaˇ zenje zenje toplote kroz sferni zid Razmotrimo Razmotrimo stacionarno stacionarno provodjenje provodjenje toplote kroz jednoslojni jednoslojni sferni zid ˇciji ciji su unutraˇsnji snji i spoljnji spo ljnji preseci prese ci d1 i d2 , respektivno temperatura fluida u unutraˇsnjosti snjosti sfere T f f 1 a temper tem peratura atura fluida van sferne povrˇsine sine T f koeficijent prolaza toplote fluida f 2 (T f f 1 > T f f 2 ), koeficijent unutar sfernog zida je α1 , koeficijent prolaza toplote od spoljnje povrˇsine sine sfere ka okolnoj sredini α2 a koeficijent toplotne provodljivosti materijala sfernog zida je λ. Neka su T z1 i T z2 , temperatu temp erature re na unutraˇsnjoj snjo j i spoljnjo sp oljnjo j povrˇsini sini sferno s fernog g zida, zid a, resp r espekektivno. U stacionarnom reˇzimu zimu toplotni toplotn i fluksevi kroz sve izotermske povrˇsine sine su jednaki tako da je Φ/α1 πd 21 = (T f (14. (14.146) f 1 − T z 1 ), Φ/

2πλ = (T z1 − T z2 ), ( d11 − d12 )

(14. (14.147)

Φ/α2 πd 2 = (T z2 − T f f 2 ).

(14. (14.148)

Posle sabiranja gornjih izraza (14.146-14.148), dobija kπ (T f Φ = kπ( f 1 − T f f 2 ), gde je k=

1 2 1

α1 d

1 + 21λ ( d11 −

1

d2 ) +

(14. (14.149)

(14. (14.150)

1 2 2

α2 d

koeficijent prolaza toplote kroz sferni zid. 14.3.4. 14.3.4 . Toplotna izolacija. izolac ija. Kritiˇ cni cni preˇ cnik cnik izolacije izolac ije Zbog uˇstede stede energije ili zbog potrebe potreb e da se odrˇzavaju zavaju relativno visoke ili niske temperature neophodno je da se smanji specifiˇcni cni toplotni fluks od zagrejanog tela ka hladnijoj sredini ili od zagrejanog sredine ka hladnijem hla dnijem telu. To se uglavnom postiˇze ze koriˇ koriˇs´ scenjem cénjem toplotne izolacije izolacije.. To su tzv. toplotne s u materijali mater ijali sa malom vrednoˇ vredn oˇs´ sću cu koeficijenta koefic ijenta provodjenjem provodje njem λ toplote (λ ( ) kao ˇsto sto su, na primer, azbest, pluta, stiropor, staklena staklena vuna itd. 248

kri tiˇ cni cn i preˇ pr eˇ cnik cn ik izol iz olac acij ije, e, datog U praksi praksi je ˇcesto cesto potrebno potrebno da se odredi odredi tzv. tzv. kritiˇ koeficijenta toplotne provodljivosti λiz pri kome su najve´ na jveći ci gubici gub ici toplot top lote. e. Kritiˇ Kri tiˇcni cni preˇcnik cni k ∂R izolacije dk odgovara minimalnom toplotnom otporu, tako da se iz ∂d iz = 0 dobija da dk , zavisi samo od λiz i koeficijenta koeficijenta prelaza toplote od spoljnje povr p ovrˇˇsine sine izolacije izolacije na okolnu okolnu sredinu (α (α2 ) : 2λiz dk = (14. (14.151) α2 Pri diz > dk opadaju toplotni gubici tako da izolacija opravdava svoju namenu, tj. sman jenje toplotnog fluksa srazmerno je pove´ canju canju debljine izolacije. ˇ 14.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRA CENjEM Svako Svako telo, ˇcija cija je temperatura iznad apsolutne apsolutne nule, emituje i istovremeno istovremeno apsorbuje energiju iz kontinualnog kontinualnog spektra elektromagnetnih talasa. Spektar zraˇcenja cenja ve´ cine cine ˇcvrstih cvrstih i teˇ cnih cnih tela je kontinua kontinualan lan tj. ova ova tela emituju elektromagnetne elektromagnetne talase svih talasnih duˇzina zina od najmanjih na jmanjih do najvećih. cih. Spektar zraˇcenja cenja gasova gasova ima linijski karakter. Gasovi ne zraˇce ce talase talas e svih talasnih talas nih duˇzina zina tako da se ovakvo zraˇcenje cenje naziva selektivno. selek tivno. Za prostiranje toplotne energije elektromagnetnim talasima nije neophodno postojanje substancijalne stancijalne sredine, tj. prostiranje prostiranje se ostvaruje ostvaruje i u vakuumu. akuumu. Toplotnu oplotnu energiju prenose elektromag elekt romagnetni netni talasi talas i svih sv ih talasnih talas nih duˇzina, zina, poˇcevˇ cevˇsi si od radiotala radi otalasa, sa, infracrvenih infra crvenih,, vidljiv v idljivih, ih, ultraljubiˇ ultr aljubiˇcastih castih pa sve do d o rentgen r entgenskih skih zraka. Medjutim, Medju tim, najve´ na jveća ca koliˇcina cina toplotne toplo tne energije energ ije µm. Ovaj moˇze ze da se prenese elektromagnetnim talasima talasne duˇzine zine od 400nm do 800 800µm. topl otno o zraˇ cenje. cen je. Ono se deo spektra elektromagnetnog elektromagnetnog zraˇ cenja cenja uslovno uslovno se naziva naziva toplotn sastoji sasto ji od vidljivog (svetlosnog ) zraˇcenja cenja ( 400-800 nm) i infracrvenog zraˇcenja cenja (od 800nm do 800µ 800µm). Toplotno oplo tno zraˇcenje cenje i zraˇcenje cenje uopˇste ste zavisi od prirode priro de tela, njegove tempertur temp erturee i stanja povrˇsine. sine. Toplotno zraˇcenje cenje je primetno i posebno intenzivno pri visokim temperaturama temperatura ma 0 (iznad 1000 C). Kada toplotno zraˇcenje cenje padne na neko telo te lo jedan deo zraˇcenja cenja se reflektuje, jedan propuˇ propuˇsta sta a jedan apsorbuje. apsorbuje. Apsorbov Apsorbovan deo energije energije toplotnog toplotnog zraˇ cenja cenja se transformiˇse se u energiju haotiˇcnog cnog toplotnog kretanja atoma i molekula usled ˇcega cega dolazi do povećanja canja unutraˇsnje snje energije ener gije i temperatu temp erature re tela. Ukupna energija svih talasnih duˇzina zina izraˇcena cena sa povrˇsine sine tela u jedinici vremena integ ralni ni fluks fluk s zraˇ cenja cen ja Φ naziva se integral Φ=

dQ . dt

(14. (14.152)

Koliˇ Kol iˇcina cin a ener e nergij gijee izraˇ i zraˇcena cen a sa povrˇ pov rˇsine sin e tela t ela u jedin je dinici ici vremen vre mena a u intervalu inte rvalu talasn tal asnee duˇzine zin e λ i λ + dλ naziva se fluks fluk s mono m onohro hromats matskog kog zraˇ z raˇ cenja cen ja Φλ Φλ =

dΦ dλ

(14. (14.153)

Integralni fluks energije izraˇcene cene sa jedinice povrˇsine sine u svim pravcima polusfernog p olusfernog integ ralna na povrˇ pov rˇ sinska sins ka gustina gus tina fluksa fluk sa zraˇ cenja cen ja ili emis em isio iona na moć prostora naziva se integral (emisivnost) E. dΦ E = . (14. (14.154) dA Fluks energije izraˇ cene cene sa jedinice jedinice povrˇ povrˇsine sine u svim pravcima pravcima polusfernog polusfernog prostora u insinska sinska gustina fluksa tervalu talasnih talas nih duˇzina zina λ i λ + dλ naziva se spektralna povrˇ zraˇ raˇ cenj en ja E λ dE E λ = . (14. (14.155) dλ 249

Ako se fluks ukupne energije zraˇ cenja cenja koje pada na telo oznaˇ ci ci sa φ, apsorbovane energije sa Φa , reflektovane energije sa Φr i propuˇstene stene energije energ ije sa φd , tada tad a je jednaˇ jed naˇcina cin a toplotnog bilansa energije zraˇcenja cenja oblika Φa Φr Φd + + = 1, Φ Φ Φ

(14. (14.156)

a + r + d = 1,

(14. (14.157)

tj. gde je a = ΦΦa − koeficijent apsorpcije, r = ΦΦr − koeficijent refleksije i d = ΦΦa − koeficijent transmisije tran smisije (prozraˇ (pro zraˇcnosti cnost i ili dijate d ijatermije) rmije).. Teorijs eor ijski ki su mog mogu´ uća ca tri sluˇcaja: ca ja: 1. a=1, r=d= r=d=00 − apsolutno crno telo, potpuno p otpuno apsorbuje energiju upadnog zraˇcenja; cenja; 2. r=1, a=d= a=d=00 − apsolutno belo telo, potpuno p otpuno reflektuje upadno zraˇcenje cenje i 3. d=1, a= a=r= r=00 − apsolutno apsolutno prozraˇ prozraˇcno cno - diatermno diatermno telo, potpuno propuˇ propuˇsta sta upadno zraˇ ra ˇcenj ce nje. e. U prirodi prirodi ne postoje apsolut apsolutna na crna , bela ili prozra prozraˇˇcna cna tela. tela. Najbliˇ Najbliˇza za apsolut apsolutno no crnom telu je povrˇsina sina prekrivena ˇcadji (gar) za koju je a=0.90-0.96. Kao fiziˇcki cki modul apsoluno crnog tela moˇze ze da posluˇzi zi mali otvor na neprozirnom zidu zatvorene ˇsupljine. supljine. Elektromagn Elektr omagnetno etno zraˇcenje cenje koje koj e ulazi u lazi u ˇsupljinu suplji nu kroz kr oz otvor, posle pos le viˇse se strukog odbijanja odb ijanja na unutraˇ unut raˇsnjo snj o j povrˇ pov rˇsini sin i ˇsuplji sup ljine ne praktiˇ pra ktiˇcno cno se potpu po tpuno no apsorb aps orbuje uje.. Povrˇsinu sinu blisku apsolutno apsol utno belom bel om telu moguće ce je dobiti dobit i paˇzljivim zljivi m poliran pol iranjem jem pi ˇcemu cemu boja bo ja nema glavnu ulogu. Na primer, bela b ela povrˇsina sina reflektuje dobro d obro samo svetlosne (vidljive) zrake dok deo toplotnih (infracrveni (infracrvenih) h) zraka zraka dobro apsorbuje. Sliˇ cno, cno, dok je kvarc kvarc transparentan transparentan za svetlosno svetlosno zraˇ cenje, cenje, neproziran neproziran je za toplotne zrake. zrake. Znaˇ ci, ci, koeficijent koeficijent apsorpcije, refleksije i transmisije bitno zavise od talasne duˇzine zine upadnog zraˇcenja. cenja. Većina cina ˇcvrstih cvrst ih i teˇcnih cnih tela, ˇcak cak i malih debljina deblj ina (od nekoliko mikrona) mikron a) su nerozirna neroz irna za toplotne zrake, pa je za njih d = 0 tj. a + r = 1. ˇ 14.4.1. ZAKONI TOPLOTNOG ZRACENjA 14.4.1.1. 14.4.1.1. Kirhof-o Kirhof-ov v zakon zakon Da bi se u telu koje zraˇci ci odrˇzala zala konstantna temperatura temper atura neophodno je da se emitovana energija nadoknadi apsorpcijom ili proizvodjenjem pr oizvodjenjem energije en ergije u samom izvoru zraˇcenja. cenja. ravno oteˇ teˇ znog zn og zraˇ zr aˇ cenj ce nja. a. Veza izmedju emisione i apsorpcione Tada imamo sluˇcaj ca j tzv. ravn sposobnosti tela u sluˇcaju caju ravnoteˇznog znog zraˇcenja cenja data je Kirhof-ovim zakonom: Odnos emisio emi sione ne mo´ ci ci E prema prem a apsorp aps orpcio ciono nojj mo´ ci ci a tela ne zavisi od prirode tela i za sva tela predstavlja univerzalnu funkciju talasne duˇ zine zine (frekvencije) i temperature tj. E f (λ, T ) T ) = f ( (14.158) a Znaˇci, ci, ako telo viˇse se apsorbuje apsor buje energiju energ iju viˇse se će ce i da zraˇci ci pri dato j temparaturi tempar aturi i u datoj dato j oblasti talasnih duˇzina. zina. Kako apsolutno crno telo ima najve´ na jve´ cu cu vrednost koeficijenta apsorpcije (a (a0 = 1) 1 ) sled s ledii da d a ima i ma i na n a jveću cu emisio emi sionu nu moć E 0 . Jasno je da i emisiona emisio na moć E i apso ap sorp rpci cion onaa moć a (tj. koeficijent apsorpcije) apsorp cije) zavise kako kako od o d talasne duˇzine zine λ i temperature T tako t ako i od fiziˇckih ckih osobina osobin a tela, t ela, oblika i stanja s tanja povrˇsine. sine. S obzirom da u prirodi apsolutno crno telo realno ne postoji uvodi se pojam sivog tela, kao tela koje zraˇci ci na svim talasnim duˇzinama zinama kao apsolutno crno telo, samo mu je ste p en crno´ cr no´ ce ce (koeficijent emisije, emisioni odnos) emis em isio iona na moć  puta manja, gde je  step sivog tela dat izrazom E = , (14. (14.159) E 0 250

E je emisiona moć sivog tela a E 0 emisiona moć crnog tela. Stepen crnoće ce realnih tela je uvek manji od 1 ( ( < 1). 1). S obzirom da je a0 = 1, na osnovu Kirhof-ovog zakona sledi E E 0 = = E 0 , (14. (14.160) a a0 tako da je  = a. (14. (14.161) Znaˇci, ci, stepen crnoće ce (emisioni odnos) sivog tela, pri ravnoteˇ znom znom zraˇcenju, cenju, brojno bro jno je jednak njegovom njegovom koeficijentu koeficijentu apsorpcije. apsorpcije. Kirhof-ov Kirho f-ov zakon vaˇ vaˇzi zi kako za integralno integr alno tako i za monohromat monoh romatsko sko zraˇ z raˇcenje cenje E λ E 0λ = = E 0λ , (14. (14.162) aλ a0λ E λ i E 0λ su spektralne gustine zraˇ cenja cenja sivog sivog i apsolutnog apsolutnog crnog tela, respektivno, respektivno, aλ je monohromatski monohromatski koeficijent koeficijent apsorpcije sivog sivog tela; a0λ je monohromatski monohromatski koeficijent apsorpcije crnog tela (a (a0λ = 1). 1). Spektralni stepen crnoće ce (spektralni koeficijent emisije) E λ λ = , (14. (14.163) E 0λ na osnovu izraza (14.162), brojno je jednak monohromatskom koeficijentu apsorpcije λ = aλ .

(14. (14.164)

14.4.1.2. 14.4.1.2. Lambert-o Lambert-ov v zakon zakon Gustin Gus tina a fluks fl uksa a ener e nergij gijee zraˇ z raˇcenja cen ja apso a psolut lutno no crne crn e ravne r avne povrˇ pov rˇsine sin e razl r azliˇ iˇcita cit a je u razl r azliˇ iˇcitim cit im pravcima. Zbog toga se definiˇse se integralna gustina fluksa zraˇcenja cenja u datom pravcu (tzv. ugaoni ugao ni intenzitet intenzi tet zraˇcenja) cenja ) kao odnos o dnos integralne integra lne povrˇsinske sinske gustine gustin e fluksa zraˇcenja cenja u elementarnom prostornom uglu dω oko pravca odredjenim uglom ϕ− u odnosu na normalu na p ovrˇ ovrˇsinu si nu:: dE ϕ I ϕ = . (14. (14.165) dω Sliˇcno cno se definiˇ defin iˇse se i spektral spe ktralna na gustina gusti na fluksa zraˇcenja cenja u datom pravcu: dE ϕλ ϕλ I ϕλ . (14. (14.166) ϕλ = dω Zavisnost integralne ugaone gustine fluksa energije I ϕ od ugla ϕ u odnosu na normalu na povrˇsinu, sinu, odnosno o dnosno raspod r aspodela ela gustine gusti ne fluksa energije po pravcima, data je Lambert-ovim zakonom: zakonom: I ϕ = I u cosϕ (14. (14.167) gde je I u gustina gusti na fluksa energije ener gije zraˇcenja cenja u pravcu p ravcu normal n ormalee na povrˇsinu sinu (ϕ = 0). 0). Na osnovu Lambert-ovog zakona lako moˇze ze da se odredi integralna gustina zraˇcenja cenja E apsolutno crne elementarne povrˇsine sine dA u odgovarajućoj co j polusferi prostora (normala na povrˇ povrˇsinu sinu je osa polusfer p olusfere). e). Na osnovu osnovu (14.166) i (14.167) sledi da je integralna integralna gustina dE ϕ u elementarnom prostornom uglu dω u datom pravcu odredjenim fluksa fluk sa zraˇcenja cen ja dEϕ uglom ϕ : dE ϕ = I ϕ dω = I u cosϕdω. (14. (14.168) Element Ele mentarn arnaa povrˇ pov rˇsina sin a dAω koja se vidi pod elementarnim prostornim uglom dω na rasto janju r iznosi dAω = r2 dω. 251

.

Slika 14.10

rdϕrsinϕd Θ, sledi dω = dϕsinϕdΘ dϕsinϕdΘ, gde Kako je s druge strane (slika 14.10) dAω = rdϕrsinϕdΘ je Θ polarni ugao sfernog koordinatnog sistema, tako da se posle smene dω u (14.168) i integracijom po Θ i ϕ dobija 2π

E = I u

π/2

  dΘ

0

cosϕsinϕdϕ = πI u .

(14. (14.169)

0

Znaˇci, ci, integralna integra lna gustina gusti na fluksa zraˇcenja cenja u pravcu normale norma le na ravnu povrˇsi-nu si-nu (I u ), π puta je manja od integralne gustine fluksa zraˇcenja cenja u polusferu prostora (E ), ), tako da Lambertov zakon moˇze ze da d a se izrazi i u drugom d rugom obliku I ϕ =

E cosϕ. π

(14. (14.170)

Lambertov zakon u prethodnom obliku vaˇ vaˇzi zi strogo samo za apsolutno crno telo, inaˇce ce 0 moˇze ze da se primen pri menii i za sivo telo tel o sa dovoljno dovol jnom m taˇcnoˇ cnoˇs´ sću cu samo za uglove ugl ove ϕ < 60 . 14.4.1.3. 14.4.1 .3. Raspodel Rasp odela a energije energij e zraˇ cenja cenja po talasnim talasni m duˇ zinama zinama Ranije je pomenuto pomenuto da ukupna gustina fluksa energije zraˇ cenja cenja (odnos-no emisiona emisiona moć) c) tela zavisi od oblika i stanja povrˇsine, sine, ali i od temperature tela. Pri dato j temperaturi temp eraturi energija zraˇcenja cenja raspodeljena raspo deljena je po talasnim duˇzinama. zinama. Raspodela Raspo dela spektralne emisione moći E λ (spektralna povrˇsinska sinska gustina fluksa energije) po talasnim duˇzinama zinama λ data je Planck-ovim zakonom 2πhc 2 1 E λ = , (14. (14.171) hc λ5 (e λkT − 1) gde je h Planck-ova Planck-ova konstanta, c brzina svetlosti u vakuumu, k Boltzman-ova konstanta a apsolutna temperatura. T apsolutna Karakteris Karak teristiˇ tiˇcno cno je da se poloˇ pol oˇzaj za j maksimuma m aksimuma raspode rasp odele le spektral spe ktralne ne emisione emisio ne moći ci (λm ) (Wien-ov zakon zakon pomera s pove´ canjem canjem temperature u stranu kraćih cih talasnih duˇzina zina (Wien-ov pomeranja) (slika 14.11) λm T = b, (14. (14.172) gde je b = 2, 9878 · 10

3

−

mK - Wien-ova konstanta. 252

Slika 14.11.

Integra Inte gralna lna povrˇ pov rˇsinska sin ska gust g ustina ina fluksa fluk sa zraˇcenja cen ja (emisi (em isiion ionaa moć) c) E zavisi zavisi od o d temperature T . Zavisnost Zavisnost emisione mo´ ci ci apsolutno apsolutno crnog tela od temperature ustanovljena ustanovljena je eksperimentalnim putem (Stefan 1979 go god.) d.) a potvrdjena potvr djena je teorijski teo rijski (na osnovu termodinamiˇ te rmodinamiˇckog ckog modela) od strane Boltzmanna tako da se ˇcesto cesto naziva Stefan-Boltzman-ov zakon: ∞

E 0 =



E λ dλ = σ0 T 4 ,

(14. (14.173)

0

gde je σ0 = 5, 76 · 10 8 mW cenja cenja apsolutno crnog tela. 2 K 4 konstanta zraˇ U tehniˇckim ckim raˇcunima cunima je pogodnije pogo dnije da se izraz (14.173) predstavi u obliku −

E 0 = C 0 (

T 4 ) 100

(14. (14.174)

koefici jent zraˇ cenja cenja apsolutno apsolu tno crnog tela. gde je C 0 = 5, 76 mW 2 K 4 tzv. koeficijent Na osnovu osnovu izraza (14.159) i (14.174) dobija se izraz za emisionu emisionu moć sivog sivog tela. E = E 0 = C 0 

  T 100

4

= C s

koefici jent zraˇ cenja cenja sivog tela. gde je C s = C 0 koeficijent 253

4

  T 100

,

(14. (14.175)

Na osnovu (14.174), (14.175) i (14.161) sledi da je pri istoj temperaturi

odnosno

E C s = =  = as , E 0 C 0

(14. (14.176)

C s = as C 0 ,

(14. (14.177)

gde je as koeficijent apsorpcije sivog tela. 14.4.2. 14.4.2 . Razmena toplote zraˇ cenjem cenjem izmedju izmedj u ˇ cvrstih cvrsti h tela Veliˇcina cina integralne integr alne gustine gusti ne fluksa energije ener gije sopstvenog sopstven og zraˇcenja cenja (emisona (emiso na moć) c) E int int nekog tela zavisna je od temperature i fiziˇckih ckih osobina tela, ukljuˇcivˇ civˇsi si i stanje njegove povrˇ povrˇsine, sine, a odredjuje se Stefan-Boltzma Stefan-Boltzmann-ov nn-ovim im zakonom zakonom i nezavisna nezavisna je od stanja okolne sredi sredine ne tj. tj. da li se oko oko njega njega nalaze nalaze topli toplija ja ili hladni hladnija ja tela tela koja koja takodj takodjee zraˇ zraˇce. c e. Ak Akoo posmatrano telo uˇcestvuje cestvuje u razmeni toplote zraˇcenjem cenjem sa okolnim telima t elima to na njegovu povrˇsinu sinu spolja spo lja pada energija energ ija zraˇcenja cenja ˇcija cija je integralna integra lna gustina gustin a fluksa E ext ext . Deo upadnog fluksa aE ext reflektuje sa povrˇ povrˇsine. sine. Zbir gusitne ext telo apsorbuje a ostatak (1 − a)E ext ext reflektuje integralnog fluksa energije sopstvenog zraˇcenja cenja i zraˇcenja cenja reflektivanog sa povrˇsine sine tela naziva se efektivna integralna gustina fluksa energije zraˇcenja cenja E ef : ef E ef ef = E int int + (1 − a)E ext ext .

(14. (14.178)

Efektivno zraˇcenje cenje zavisi kako kako od fiziˇckih ckih osobina i temperature tela koje zraˇci ci tako i od okolnih okolnih tela a takodje i od relativnog relativnog poloˇzaja zaja tela u prostoru. prostoru. Efektivno Efekti vno zraˇcenje cenje je faktiˇcko cko zraˇcenje cenje tela, koje koj e se moˇze ze izmeriti izmer iti instrumentima instr umentima.. Za re zult ltuj uju´ u´ ceg ce g zra z raˇ ˇ cenj ce nja a E r apsolutno crno telo E ef ef = E int int jer je a0 = 1. Gustina fluksa rezu je koliˇ cina cina energije prenesena zraˇcenjem cenjem od jednog ka drugom telu u jedinici vremena sa jedinice jedi nice povrˇsine. sine. Gustina Gusti na fluksa rezultuju´ rezul tujućeg ceg zraˇcenja cenja ( posmatra pos matranog nog na povrˇsini sini izvan tela) jednaka je razlici gustine fluksa efektivnog zraˇcenja cenja E ef ef jednog tela i gustine fluksa upadnog zraˇcenja cenja od strane drugog tela E ext ext E r = E ef ef − E ext ext .

(14. (14.179)

S drug d rugee stran st rane, e, gustin gus tina a fluks fl uksa a rezu r ezultu ltuju´ jućeg ceg zraˇcenja cen ja (po ( posma smatra trano no sa zamiˇ z amiˇsljene slje ne povrˇ pov rˇsisine u telu) jednaka jednaka je razlici gustine fluksa sopstvenog sopstvenog zraˇ cenja cenja E int int tela i dela upadnog zraˇ ra ˇcenja en ja aE ext ext , koju telo apsorbuje: E r = E int int − aE ext ext .

(14. (14.180)

Vrednost i znak E r odredjuje fluks energije koji dato telo predaje okolnim telima ili dobija dobija od njih njih u procesu procesu razmene razmene toplote toplote zraˇ zraˇcenjem. cenjem. Ak Akoo je E r < 0, znaˇci ci da telo pri razmeni zraˇcenja cenja dobija energiju. Na osnovu (14.179) i (14.180) nalazi se veza izmedju gustine fluksa sopstvenog (E (E int (E ef rez ultuju´ ujućeg ceg (E r ) zraˇ zr aˇcenj ce njaa int ), efektivnog (E ef ) i rezult E ef ef =

E int 1−a int − E r . a a

(14. (14.181)

Razmena Razmena toplote toplote zraˇ zraˇcenjem cenjem,, kako ako je prethodno prethodno pomenuto, pomenuto, zavis zavisii i od uzajamnog uzajamnog poloˇ po loˇzaja za ja tela tel a (odno (o dnosno sno njihovi nji hovih h povrˇ pov rˇsina) sin a) koja ko ja uˇcestvu ces tvuju ju u razmen raz meni. i. Na Najˇ jˇceˇ ceˇs´ sće ce se, u praksi, pra ksi, sreću cu dve povrˇsine sine koje zraˇce. ce. U najopˇ na jopˇstijem stije m sluˇcaju ca ju povrˇsine sine mogu imati proizvoljni proiz voljni 254

medjusobni medjusobni poloˇzaj, zaj, pa i takav takav da jedna povrˇ povrˇsina sina obuhvata obuhvata drugu. Razmotrimo Razmotrimo neke najjedno na jjednostavnije stavnije sluˇcajeve. ca jeve. 14.4.2.1. 14.4.2 .1. Razmena toplote zraˇ cenjem cenjem izmedju dve paralelne paralel ne povrˇ sine sine (ploˇ ce) ce) Odredimo Odred imo rezult r ezultuju´ ujuću cu gustinu gu stinu fluksa fl uksa energi e nergije je koja ko ja se zraˇ z raˇcenjem cenje m razmeni razm eni izmedju iz medju dveju parale par alelni lnih h povrˇ p ovrˇsina sin a (ploˇ (p loˇca) ca) ˇcije cij e su dime d imenzi nzije je znatn zn atno o veće ce od o d medju me djusob sobnog nog rasto ras tojan janja. ja. Neka ploˇca ca ”1” ima temperat temp eraturu uru T 1 , konstant kons tantnu nu zraˇcenja cen ja C 1 = 1 C 0 i koeficijent apsorpcije a1 , a neka ploˇca ca ”2” ima temperaturu temperatur u T 2 < T 1 , konstantu konst antu zraˇcenja cen ja C 2 = 2 C 0 i koeficijent apsorpcije a2 . Rezultujuća ca integralana gustina fluksa energije E r koja se razmeni izmedju ploˇ ca ca jednak jednakaa je razlici razlici efekti efektivnih vnih integr integralni alnih h gustina gustina fluksa fluksa energij energijee E 1ef i E 2ef ploˇce ce ”1” i ploˇce”2”, ce” 2”, resp re spekt ektivn ivno: o: E r = E 1ef − E 2ef . (14. (14.182) Na osnovu (14.178) sledi E 1ef = E 1 + (1 − a1 )E 2ef ,

(14. (14.183)

E 2ef = E 2 + (1 − a2 )E 1ef .

(14. (14.184)

Sopstvene integralne gustine fluksa energije zraˇcenja cenja ploˇce ce ”1” i ”2”, na osnovu (14.175) ( 14.175) iznosi respektivno 4 4 T 1 T 1 E 1 = C 1 = a1 C 0 (14. (14.185) 100 100 E 2 = C 2

    T 2 100

4

= a2 C 0

    T 2 100

4

(14. (14.186)

Iz (14.183) i (14.184) sledi E 1ef =

E 1 + (1 − a1 )E 2 , 1 − (1 − a1 )(1 − a2 )

(14. (14.187)

E 2ef =

E 2 + (1 − a2 )E 1 . 1 − (1 − a1 )(1 − a2 )

(14. (14.188)

Smenom E 1ef i E 2ef iz (14.187) i (14.188) u (14.182) dobija se E r =

E 1 a2 − E 2 a1 E 1 a2 − E 2 a1 . = a1 + a2 − a1 a2 1 − (1 − a1 )(1 − a2 )

(14. (14.189)

Ako se E 1 i E 2 iz (14.185) i (14.186) uvrste u (14.189) dobija se da je rezultujuća ca gustina fluksa energije energ ije koja se razmeni razme ni izmedju izmedj u ploˇca ca zraˇcenjem cenje m E r = C 12 12 gde je C 12 12 =

     4

T 1 100

−

1 1

a1 C 0

+

1

a2 C 0

−

1

C 0

=

T 2 100

4

,

(14. (14.190)

1 1

C 1

+

1

C 2

−

1

(14. (14.191)

C 0

efek tivna na konstanta konst anta zraˇ cenja cen ja.. Efektivna konstanta zraˇcenja tzv. efektiv cenja manja je od o d na jmanje konst kon stant antee zraˇ zr aˇcenj ce njaa p ovrˇsina si na ploˇ pl oˇca ca (C 12 12 < C 1 , C 12 12 < C 2 ). 255

14.4.2.2. 14.4.2.2. Razmena Razmena toplote toplote zraˇ cenjem cenjem izmedju tela od o d kojih se jedno nalazi unutar drugog Ra zmena Razme na topl to plot otee zraˇ z raˇcenj ce njem em u sluˇ s luˇca ca ju kada je p ovrˇsina si na tela te la ”1 ”1”” obu o buhva´ hvaćena ce na povrˇ po vrˇsino si nom m tela ”2” (slika 14.12) ˇcesto cesto se sreće ce u tehnici. Neka su oznake za odgovarajuće ce veliˇ cine cine kao u sluˇcaju ca ju paralelnih paral elnih povrˇsina. sina. U odnosu odn osu na prethodn preth odnii sluˇcaj ca j ovde ovd e je jedna povrˇsina sina konveksna (”1”) a druga drug a konkavna (”2”). ( ”2”). Osim toga, veliˇcine cine odgovaraju´ odg ovarajućih cih povrˇsina sina A1 i A2 su razl ra zliˇ iˇcite ci te (A1 > A2 ) tako da na unutraˇ snje snje telo pada samo deo γ 2,1 Φ2ef efektivnog fluksa energije energ ije zraˇcenja cenja φ2ef spoljnjeg tela; γ 2,1 je geometrijski faktor. Preostali deo (1 − γ 2,1 )Φ2ef efektivnog fluksa zraˇcenja cenja spoljnjeg tela pada na povrˇsinu sinu istog tela (spoljnjeg tela). Na spoljnje telo pada celokupan efektivan fluks φ1ef unutraˇ unut raˇsnjeg snje g tela. tel a.

Slika 14.12.

Rezultuju´ Rezul tujući ci razmenjen razme njen fluks energije ener gije zraˇcenja cenja u ovom sluˇ s luˇcaju ca ju dat je izrazom izraz om φ1,2 = φ1ef − γ 2,1 φ2ef .

(14. (14.192)

Analogno izrazu (14.181) veza fluksa sopstvenog, efektivnog i rezultujućeg ceg zraˇcenja cenja data je izrazima φ1 1 − a1 φ1ef = − φ1,2 , (14. (14.193) a1 a1 φ2ef =

φ2 1 − a2 − φ2,1 . a2 a2

(14. (14.194)

Smenom (14.193) i (14.194) u (14.192), vodeći ci raˇcuna cuna da je φ1,2 = −φ2,1 , dobija se φ1,2 =

φ1 a1 1

a1

− γ 2,1 φa22

+ ( a12 − 1)γ 1)γ 2,1 256

(14. (14.195)

Na osnovu osnovu Stefan-Boltzman Stefan-Boltzmann-ov n-ovog og zakona zakona (14.175), sopstveni sopstveni fluks efektivnog efektivnog zraˇ cenja cenja datih tela iznosi φ1 = C 1 (

T 1 4 T 1 4 ) A1 = C 0 a1 ( ) A1 , 100 100

(14. (14.196)

φ2 = C 2 (

T 2 4 T 2 4 ) A2 = C 0 a2 ( ) A2 . 100 100

(14. (14.197)

Zamenom izraza (14.196) i (14.197) u (14.195) dobija se

φ1,2

T 1 4 T 2 4 C 0 [( 100 ) A1 − ( 100 ) A2 γ 2,1 ] . = 1 1 − γ + ( 1)γ 1) 2,1 a1 a2

(14. (14.198)

Geometrijski faktor γ 2,1 moˇze ze da d a se odredi odr edi iz (14.19 ( 14.198) 8) na n a osnovu o snovu ˇcinjenice cinje nice da je pri p ri T 1 = T 2 1 razmenjen toplotni fluks nula (φ (φ1,2 = 0). 0). Sledi da je γ 2,1 = A A2 , tako da se posle smene γ 2,1 u (14.198) i sredjivanja dobija

φ1,2 = C 1,2 A1

     T 1 100

4

−

T 2 100

4

,

(14. (14.199)

gde je C 1,2 =

1

C 1

1 1 1 +A A2 ( C 2 −

1

C 0 )

,

(14. (14.200)

efektivna efekt ivna konstanta zraˇcenja cenja za ovaj sluˇcaj ca j razmena razme na toplote toplo te zraˇcenjem. cenje m. Ako je j e A1  A2 iz (14.200) sledi C 12 12 = C 1 , tako da je

φ1,2 = C 1 A1

     T 1 100

4

−

T 2 100

4

.

(14. (14.201)

Ako se u izraz (14.200) stavi da je A1 = A2 = A dobija se izraz za efektivnu konstantu zraˇcenja cen ja koji ko ji odgovara od govara sluˇcaju ca ju parale par alelni lnih h povrˇ pov rˇsina. sin a. 14.4.2.3. 14.4.2 .3. Razmena toplote zraˇ cenjem cenjem izmedju dve povrˇ p ovrˇ sine sine proizvoljnog proizvolj nog poloˇ po loˇ zaja za ja u prosto pro storu ru Neka su tela ”1” i ”2” na medjusobnom rastojanju r, postavljena tako da normale n1 i n2 elemenata elemen ata njihovih njihovi h povrˇsina sina dA1 i dA2 zaklapaju uglove ϕ1 i ϕ2 sa pravom koja spaja spa ja njihova srediˇsta sta (slika 14.13 14.13). ). Oznaˇcimo cimo sa T 1 i T 2 njihove njihove temeperature, temeperature, C 1 i C 2 a a konstant kons tantee zraˇcenja cen ja i 1 i 2 koeficijente apsorpcije. 257

Slika 14.13

Moˇze ze da se pokaˇ po kaˇ ze ze da je rezult rez ultuju´ ujući ci razmen raz menjen jenii fluks fluk s energi ene rgije je zraˇcenja cen ja oblika obl ika φ1,2 = C 12 12

     4

T 1 100

−

T 2 100

4

ϕ1,2 ,

(14. (14.202)

gde je C 1,2 -efektivni koeficijent zraˇcenja cenja sistema tela a ϕ1,2 =

  dA1

A1

A2

cosϕ1 cosϕ2 dA2 , πr 2

(14. (14.203)

uglovni koeficijent koefic ijent zraˇcenja. cenja . Ovaj koeficijent zavisi od dimenzija, oblika oba tela i njihovog medjusobnog poloˇzaja. zaja. S obziro obz irom m na matema mat ematiˇ tiˇcke cke teˇsko´ skoće ce vezane veza ne za reˇsavanje savanje odgovara od govara jućih cih integra inte grala, la, uglovni ugl ovni koeficije efic ijent nt se najˇ na jˇceˇ ceˇs´ sće ce odred od redjuj jujee grafiˇ gra fiˇckim cki m pute p utem. m. Vrednosti Vredno sti uglovno ugl ovnogg koefici koe ficijent jentaa za razliˇ raz liˇcite cit e sisteme sistem e od o d dvaju tela, razliˇcitih citih po konfiguraciji, konfigur aciji, povrˇsine sine A1 i A2 tabelisane su. 14.4.2.4. 14.4.2.4. Ekrani Da bi se smanjila razmena toplote toplot e zraˇcenjem cenjem izmedju tela, u nauci i tehnici se koriste tzv. zaˇstitni stitn i toplotni top lotni ekrani. ekran i. Na primer, pr imer, da ne n e bi doˇslo slo do pogreˇ pog reˇsnog snog merenja meren ja temper te mperature ature 258

termometri (termoparovi) se moraju mora ju zaˇstiti stiti od fluksa zraˇcenja cenja okolnih tela. tel a. Kao toplotni zaˇ zaˇstitni stitni ekrani koriste koriste se tanki metalni metalni listovi listovi (folije) (folije) neprozirni neprozirni za toplotne toplotne zrake, zrake, visoke visoke reflektivno refle ktivnosti sti (malog ( malog koeficijenta koefic ijenta crno´ c rnoće) ce) i toplotne toplo tne provodljivosti, provodl jivosti, tako da moˇze ze da se uzme uz me da su temperature T e obe povrˇsine sine ekrana ekran a jednake. jedna ke. Razmotrimo Razmo trimo ulogu i efekt ekrana ekran a pri njegovom koriˇs´ sćenju cenju u sluˇcaju ca ju dve beskonaˇ beskon aˇcno cno ravne parale p aralelne lne povrˇ p ovrˇsine sine temperatu temp eratura ra T 1 i T 2 (> T 1 ), zanemar za nemaruju´ ujući ci prostir pr ostiranje anje toplot t oplotee konfekcijom. fekcijom . Pretpostavimo Pretp ostavimo radi r adi jednostavni jed nostavnijeg jeg izvodjen iz vodjenja ja da se koeficijenti koefic ijenti zraˇ zr aˇcenja cenja povrˇ p ovrˇsine sine zidova tela i ekrana jednaki C 1 = C 2 = C e . Tada su efektivn ef ektivnee (privid (p rividne) ne) konstante zraˇcenja cenja izmedju izmed ju prve povrˇsine sine i ekrana ekran a C 1e i ekrana ekran a i druge drug e povrˇsine sine C e2 medjusobno jednake C 1e = C e2 = C 12 12 .

(14. (14.204)

U sluˇcaju caju kada ekran nije postavljen rezultujuća ca razmenjena gustina fluksa zraˇcenja cenja od prve ka drugo j povrˇsini sini iznosi (14.190) E r = C 12 12

     4

T 1 100

T 2 100

−

4

.

(14. (14.205)

Kada se izmedju izmed ju datih povrˇsina sina postavi pos tavi ekran gustina gusti na fluksa zraˇcenja cenja od prve povrˇsine sine ka ekranu je 4 4 T 1 T e E r1e = C 12 − , (14. (14.206) 12 100 100

    

a od ekrana ka drugoj drugo j povrˇsini sini iznosi E re 12 re2 = C 12

     4

T e 100

−

T 2 100

4

.

(14. (14.207)

S obzirom o bzirom da d a su u stanju toplotne ravnoteˇ ze ze razmenjeni r azmenjeni fluksovi jednaki E r1e = E re re2 = E re re na osnovu (14.205), (14.206) i (14.207) sledi

       T e 100

4

1 = 2

T 1 100

4

+

T 2 100

4

.

(14. (14.208)

Zamenom dobijenog izraza za temperaturu ekrana T e u, na primer, izraz (14.206), dobija se 4 4 C 12 T 1 T 2 12 E re − . (14. (14.209) re = 2 100 100

    

Poredjenjem jednaˇcina cina (14.209) i (14.205) zakljuˇcuje cuje se da se koriˇ koriˇs´ sćenjem cenjem jednog ekrana razmenjena gustina fluksa energije e nergije zraˇcenja cenja smanji dva puta: p uta: E re re =

Er . 2

(14. (14.210)

Moˇze ze da se pokaˇ po kaˇ ze ze da se pri koriˇs´ sćenju cen ju n−ekrana ekrana razmenj razmenjena ena gustina gustina fluksa fluksa energij energijee zraˇ zr aˇcenj ce nja a sma s manj njii n + 1− 1− put. Efekt primene ekrana postaje ve´ veći ci ako se koriste koriste ekrani visoke reflektivnosti reflektivnosti (male crnoće) ce) od dobro ispoliranog materijala. 259

Primer 14.1. Odrediti specifiˇ specifiˇcni cni toplotni toplo tni protok q kroz ravan zid debljine δ = 0.2m i naći ci stvarnu stvar nu raspodelu raspodelu temperature t = t(x), (0 ≤ x ≤ δ ) ako je temperatura na jednoj pov povrˇsini t1 = 9500 C a na drugoj t2 = 500 C. Kolika je temperatura u zidu na rastojanju x = 0.1m. Koefic λ = λ0 (1 + bt); bt); λ0 = Koeficije ijent nt provo provodje djenja nja toplote toplote dat je izrazom izrazom:: w 0.1 mK , 0 b = 10 3 C 1 . −

−

dt odnosno reˇsenje: Kako je q = −λ(t) dx

q = −λ0 (1 + bt) bt)

dt dx

sledi

bt2 qx = −λ0 (t + )+c 2 Konstanta c odredjuje se iz uslova da je za x = 0, t = t1 i za x = δ, t = t2 t21 c = λ0 (t1 + b ) 2

pa je

P 14..1.1) (P 14

P 14..1.2) (P 14

t2 t21 λ0 b 2 qδ = −λ0 (t2 + b ) + λ0 (t1 + b ) = λ0 (t1 − t2 ) + (t1 − t22 ) = 2 2 2 b λ0 (t1 − t2 )[1 + (t1 + t2 )], )], 2

odnosno q=

λ0 (t1 − t2 ) b(t1 + t2 ) [1 + ] δ 2

odakle je

P 14..1.3) (P 14

q = 675W/m 675W/m2

S druge strane iz (P14.1.1) i (P14.1.2) sledi q = λ0

odakle je

i kona ko naˇ ˇcno cn o

b (t1 − t) [1 + (t1 + t)], )], δ 2

P 14..1.4) (P 14

2 2qx 2 t2 + t + ( − t1 − t21 ) = 0, b λ0 b b 1 t=− + b



1 2q x ( + t1 )2 − b λ0 b

P 14..1.5) (P 14

Smenom brojnih vrednosti u (P14.1.5) dobija se 3



t = 10 [ 3, 80 − 13, 13, 5 · 01 − 1]0 C = 5650 C

Umesto linearnog pada temparature pri λ = const [”1” na slici P14.1] u realnom realnom sluˇcaju caju kada je λ = λ0 (1 + bt) bt), b > 0, temparatura pada po konveksnoj krivoj [”2” na slici P14.1.5] 260

koja koja je data jedna jednaˇ ˇcinom cinom (P14.1 (P14.1). ). Kada Kada je b < 0, kriva data jednaˇ jednaˇcinom cinom (P14.1) je konkavna.

Slika P14.1.

Primer 14.2. Odrediti debljinu leda koji se obrazuje u toku τ = 1h na mirn mi rnoj oj povrˇsini si ni 0 jezer jezera. a. Smatrati Smatrati da je temp temperatu eraturra okolno okolnogg vazduh vazduha a t = −10 C , sve vreme vreme konstantna, i 0 jednaka temperaturi spoljnje povrˇsine sine leda (t < tl = 0 C ) gde je tl − temperatura topljenja leda). leda). Koeficij Koeficijent ent toplotne toplotne provo provodnosti dnosti −λ ,latentna toplota topljenja leda −∧ i gustina leda −ρ iznose respektivno λ = 2.2

W , m ·0 C

∧ = 335

kJ kg

i ρ = 900

kg . m3

pov rˇsine si ne S (slika reˇsenje: Da bi se od vode mase dm obrazovao sloj leda debljine dx i povrˇ 0 P14.2), na temperaturi tl = 0 C, neophodno je smanjiti smanji ti joj unutraˇsnju snju energiju odvodjen jem odredjene odredjene koliˇcine cine toplote toplo te dQ = ∧dm = ∧ρSdx.

P 14..2.1) (P 14

S druge strane, obzirom na postojanje razlike temperature ∆t = tl − t duˇz rani ra nije je form fo rmiran iranog og leda debljine x, odvedene koliˇ kol iˇcine cin e toplot top lotee dQ tokom vremena dτ iznosi dQ = λ

∆t Sdτ. x

Na osnovu (P14.2.1) i (P14.2.2) je xdx =

λ∆T dτ, ∧ρ

261

P 14..2.2) (P 14

tako da se, (uzimaju´ (uzimaju´ ci ci da je za τ = 0, x = 0) dobija da debljina formiranog sloja leda iznosi 2λ(tl − t) · τ x= = 2.30cm 30cm.. ∧ρ



Primer 14.3. Odrediti temperaturu t2 spoljnje spolj nje povrˇsine sine cilindr cili ndriˇ iˇcne cne peći ci ako se zna 0 da je tempera te mperatu tura ra unu u nutraˇ traˇsnje sn je povrˇsine sin e t1 = 900 C. Unutraˇ Unu traˇsnji snj i polupreˇ polup reˇ cnik cni k cilindra cili ndra iznosi izno si r1 = 0.030 m a spoljnji r2 = 0.30m. Koeficijent toplotne provodljivosti je λ = 0.116 J/Ks. Gubitci toplote iznose q = 250 W/m. reˇsenje: Na osnovu osnov u Fourrier-ove ourrie r-ove jednaˇcine, cine, specifiˇ specifiˇcni cni toplotni toplo tni protok kroz cilindriˇ cilindr iˇ can can zid cevi dat je izrazom πλ((t1 − t2 ) 2πλ q= ln rr21

odakle odakl e je temperatura tem peratura spoljnje spolj nje povrˇsine sin e peći ci t2 = t1 −

q r2 ln = 1100 C. 2πλ r1

Primer 14.4 Da bi se odredila raspodela temperature (temperatursko polje) u dugom ˇceli ce liˇ ˇcno cn om valj va ljku ku preˇ preˇcnik cn ika a d = 2r = 500mm 500mm posle vremena τ = 2h od njegovog stavljanja u pe´ c, c, vrˇsi si se merenje merenj e u manjoj man joj pe´ ci ci na geometrij geomet rijski ski sliˇcnom cnom modelu model u valjka val jka,, napravlj nap ravljenog enog od legure ˇcelika cel ika.. Odrediti preˇcnik cni k modela model a valjka val jka dm kao i vreme τ m raˇcunato cuna to od moment mom enta a stavljanja modela u manju pe´ peć, c, kada treb treba a da se izmeri raspodela raspodela temperature temperature u modelu. Koeficijent toplotn to plotnee provodljivosti provodljiv osti i koeficijent koeficijen t provodljivosti provodlji vosti za ˇcelik celik iznose: izn ose: λ = 40W/m 40W/m0 C i a = 1, 20 · 10 5 m2 /s, respektivno, respektivno, a koeficijent koeficijent prelaza toplote to plote ka valjku u pe´ peći ci je α = 20 0 W/m C. Odgovaraj Odgo varaju´ ući ci podaci za model su: λm = 15W/m 120W/m 120 15W/m C, am = 0, 50· 50 · 10 5 m2 /s i 160W/m20 C. αm = 160W/m −

−

reˇsenje: Sliˇ cnost cnost temperaturskih temperaturskih polja objekta (valjka) i njegovog njegovog modela postoji ukoliko su im jednaki odgovaraju´ odgovarajući ci kriterijumi tj. ukoliko je Bi = Bi m i F o = F om ,

P 14..4.1) (P 14

gde Biot-ov (Bi) i Fourier-ov (Fo) kriterijum za objekt iznose [(14.100) i (14.101), respektivno] αr 120 · 0, 25 Bi = = = 0, 750 750,, λ 40 i aτ 1, 20 · 10 5 · 2 · 3600 Fo = 2 = = 1, 382 382.. r 0, 252 −

Iz uslova Bi m = Bi (P14.4.1) sledi rm =

odnosno

λm λm 15 · Bi m = · Bi = · 0, 750 = 0, m 0, 0703 0703m αm αm 160 dm = 2rm = 0, 1406 m = 140, 1406m 140, 6mm 262

Iz uslova F om = F o (P14.4.1) sledi 2 2 rm rm 0, 07032 τ m = · F om = · Fo = · 1, 382 = 1366s 1366s = 22min 22min 47s. 47s. am am 0, 50 · 10 5 −

caju laminarnog lamina rnog strujanja struja nja fluida duˇz ravnog zida (ploˇce) ce) (Re < Primer 14.5 U sluˇcaju 5 Rek = 5 · 10 ) vaˇzi zi slede´ sl edeća ca empi em piri rijs jska ka krit kr iter eriju ijums mska ka jednaˇ jedn aˇcina ci na:: 0,5 0,33 N uf = 0, 67Re P rf , 67Ref

gde je N uf , Ref i P rf − Nusseltt-ov, Nusseltt-ov, ReynoldsReynolds-ov ov i Praundt-o Praundt-ovv kriterijum kriterijum (broj ) za fluid, respektivno. respektivno. Odredi Odredi sre srednju dnju vre vrednost dnost (po duˇzini) zini) koeficijenta koeficijenta prelaza toplote toplot e (α) i toplotnog fluksa (Φ) izmedj iz medju u tanke ta nke ravne ravn e ploˇ pl oˇce ce duˇzine zi ne l = 1.7m i ˇsirine sirine d=1.5m d=1.5 m i vazduha vazduh a koji struji duˇz obe njene povrˇsine sine brzinom brzino m wf = 2, 0m/s. Temperatura u vazduˇ vaz duˇsnoj sno j struji str uji je tf = 200 C a temperatura tem peratura na povrˇsinama sin ama ploˇce ce je tz = 1000 C. Pri temperaturi od 200 C 5 m2 /s, koeficijent toplotne provodljivosti je kinetiˇcka cka viskoznost viskoz nost vazduha vazduh a je ν f f = 1, 5 · 10 λf = 2, 60 · 10 2 ω/m0 C i P rf = 0, 70. 70. −

−

caju caju Reynolds-ov broj iznosi (14.96) reˇsenje: U ovom sluˇ Re =

wf l 2, 5 · 1, 7 = = 2, 83 · 105 < Rek , 5 ν f 1, 5 · 10 f −

ˇsto sto znaˇci ci da je reˇ reˇzim zim struja str ujanja nja u pograniˇcnom cno m sloju slo ju lamina lam inaran ran tako tak o da moˇze ze da se primen pri meni i gornja kriterijumska kriter ijumska jednaˇcina. cina. Nusseltt-ov Nusseltt-ov kriterijum kriterijum iznosi 0,5 N uf = 0, 67 · Ref P rf 0,33 = 0, 67 · (2, (2, 83 · 105 )0,5 · (0, (0, 70)0,33 = 317. 317.

Na osnovu dobijene vrednosti za Nusseltt-ov broj i izraza (14.88) sledi srednja vrednost koeficijent koefici jenta a prelaza prela za toplot top lotee (duˇz ploˇce): ce): λ 2, 60 · 10 α = N u · = 317 · l 1, 7

2

−

= 4, 85W/m 85W/m20 C.

Toplotni oplot ni fluks razmenjen izmedju obe ploˇce ce ukupne povrˇsine sine A = 2 · l · d = 2 · 1, 7 · 1, 5 = 5, 10m 10m2

iznosi (14.96) Φ=

q αA(tf − tz ) = 4, 85 · 5, 10(100 − 20) = 2, = αA( 2, 00kW 00kW τ

Primer Primer 14.6 14.6 Izmedju dveju paralelnih povrˇ sina sina jednakih konstanti konst anti zraˇ cenja cenja c1 = c2 = 2 c p = 4.50W/m 50W/m K, temperatura T 1 = 700K 700K i T 2 = 300K, 300K, postavljen je paralelno ekran 263

stepan st epana a crno´ crn oće ce  = 0, 1. Odrediti Odrediti gustinu fluksa zraˇ zraˇcenjem cenjem razmenjene energije energije izmedju datih povrˇ povrˇsina sina pre i posle postavljenje ekrana kao i temperaturu temperaturu ekrana. Kolika je gustina fluksa energije zraˇ cenja cenja kada su konstante konsta nte zraˇ cenja cenja povrˇsine sine i ekrana jednake c1 = c2 = ce = c p ? Predpostaviti Predpostaviti da su sve povrˇsine sine beskonaˇcno cno velike, tj. da nema rastapanja gustine fluksa flu ksa energije energi je zraˇcenja. cenj a. caju kada izmedju povrˇsina sina nije postavljen ekran gustina fluksa zraˇ cenjem cenjem reˇsenje: U sluˇcaju razmenjene energije E r izmedju datih paralelnih paralelnih beskonaˇ beskonaˇcnih cnih povrˇ povrˇsina sina data je izrazom (14.190 i 14.191) T 1 4 T 2 4 E r = c12 [( ) −( ) ], 100 100 gde je c12 =

1 1

c1

+

1

−

c2

1

=

c0

2

cp

1 −

1

c0

efektivna efektiv na konstant kon stanta a zraˇcenja. cenja. Kako je j e c1 = c2 = c p = 4, 50W/m 50W/m2 K 4 I c0 = 5, 76W/m 76W/m2 K 4 sledi da je c12 = 3, 69W/m 69W/m2 K 4 , tako da je E r = 3, 69 · [(

700 4 300 4 kW/m2 . ) −( ) ] = 8, 566 566kW/m 100 100

Kada se izmedju izmedju datih povr povrˇ ˇsina sina postavi postavi ekran ekran tada je gustina gustina fluida zraˇ zraˇ cenja cenja od prve povrˇsine sin e ka ekranu ekran u 4 4 T 1 Te E r1e = c1e − , 100 100

    

gde je c1e =

1 1

cp

1

+

ce

−

1

,

c0

efektivni efektiv ni koeficijent zraˇ cenja cenja a T e temperatura temperatura ekrana. Gustina fluksa zraˇ zraˇcenja cenja od ekrana ka drugoj povrˇsini sini iznosi Te 4 T 2 E re ) − ( )4 ] re2 = ce2 [( p0 100 gde je ce2 =

1 1

ce

+

1

cp

−

1

= c1e

c0

W/m2 K 4 efektivna efektiv na konstanta konsta nta zraˇ cenja. cenja. Kako je konstanta konsta nta zraˇ cenja cenja ekrana ce = c0 = 0.576 576W/m sledi da efektivna efektivn a konstanta konsta nta zraˇ cenja cenja izmedju datih povrˇsina sina i ekrana iznosi c pe = c1e = ce2 =

1 1

ce

+

1

cp

−

1

= 0, 56W/m 56W/m2 K.

c0

Kako je u stanju s tanju toplotne toplo tne ravnoteˇze ze E r1e = E re re2 = E re re sledi (

T e 4 1 T 1 4 T 2 4 ) = [( ) +( ) ], 100 2 100 100 264

tako da je temperatura ekrana T e = 593, Gustin a razmenjenog razm enjenog fluksa fl uksa u sluˇ s luˇcaju caju iznosi 593, 53K. 53K. Gustina kada je postavljen ekran iznosi E re re = c pe [( =

T 1 4 T e 4 T 1 4 1 T 1 4 T 2 4 ) −( ) ] = c pe [( ) − [( ) +( ) ]] = 100 100 100 2 100 100

c pe T 1 4 T 2 4 c pe kW 0, 56 E r = · 8, 566 2 = 0, 650 kW/m2 , [( ) −( ) ]= 650kW/m m 2 100 100 2c12 2 · 3, 69

tj. smanjena je oko 13 puta! U sluˇcaju caju kada su konstante konsta nte zraˇ cenja cenja povrˇsine sine i ekrana jednka tj. c1e = ce2 = c12 dobija se E r E re kW/m2 . = 4, 283 283kW/m re = 2 Temperatura ekrana je nezavisna nezavi sna od priro pr irode de povrˇsine sine ekrana, tj. od njene nj ene konstante konsta nte zraˇ cecenja.

265

Termotehnika Knjiga (Objedinjeno)

Recommend Documents