FISIKA ZAT PADAT Bab 2: Kisi Respikoral
Disusun Oleh: Nama
NIM
AYU APRILIA
1308102010015
PRAJA YODHISTIRA
13081020100
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala Darussalam, Banda Aceh 2016
Bab 2: Kisi Respikoral Difraksi Gelombang oleh Kisi Hukum Bragg Kita mempelajari struktur kristal melalui difraksi foton, neutron, dan elektron (Gambar. 1). difraksi tergantung pada struktur kristal dan panjang gelombang. Pada panjang gelombang optik seperti 5000 Å, superposisi gelombang tersebar elastis dengan atom individu dari Kristal biasanya menghasilkan pembiasan optik. Ketika panjang gelombang radiasi sebanding dengan atau lebih kecil dari konstanta kisi, kita dapat menemukan balok terdifraksi pada arah yang sangat berbeda dari arah kejadiannya. W. L. Bragg menyajikan penjelasan sederhana dari balok terdifraksi oleh kristal. Sebenarnya hukum Bragg sangat sederhana namun meyakinkan karena memperoleh hasil yang sebenarnya. Misalkan gelombang terjadinya difraksi secara spekular dari bidang paralel atom dalam kristal dengan masing-masing bidang yang direfleksikan hanya sebagian kecil dari radiasi, seperti cermin ringan keperakan. Dispecular (mirror seperti) refleksi sudut datang sama dengan sudut refleksi. balok difraksi ditemukan ketika direfleksikan dari bidang sejajar pada atom yang saling konstruktif, seperti pada Gambar 2. Kita memperlakukan hamburan elastis, di mana energi dari x-ray tidak berubah pada saat terefleksi. Perhatikan bidang kisi paralel dengan spasi terpisah d. Peristiwa radiasi di permukaan kertas. Perbedaan penjalaran untuk sinar yang dipantulkan dari yang berdekatan bidang adalah 2d sin ɵ, dimana ɵ diukur dari bidang permukaan. interferensi konstruktif radiasi dari bidang berturut-turut terjadi ketika perbedaan penjalaran adalah jumlah n yang dipisahkan sepanjang panjang gelombang sehingga :
Ini adalah hukum Bragg, yang dapat dipenuhi hanya untuk panjang gelombang λ ≤ 2d.
Meskipun refleksi dari setiap bidang adalah spekular, hanya untuk nilai tertentu saja dari ɵ yang akan direfleksikan dari semua bidang parallel yang periodik ditambahkan fasa untuk memberikan refleksi penguatan pada kubus. Jika setiap bidang memberikan pemantulan yang sempurna, hanya bidang permukaan pertama yang dipasang paralel akan terlihat radiasinya, dan panjang gelombang setiap bidang tersebut akan terpantulkan. Tapi setiap bidang memantulkan 10-3 sampai 10-5 dari peristiwa radiasi, sehingga 103 sampai 105 bidang dapat berkontribusi untuk pembentukan Refleksi-Bragg pada kubus dalam kristal yang sempurna. Refleksi pada satu bidang atom dibahas pada Bab 19 pada fisika permukaan. Hukum Bragg adalah konsekuensi dari periodisitas kisi. Melihat bahwa hukum tidak mengacu pada komposisi dasar atom yang terkait dengan setiap titik kisi. Kita akan melihat, bagaimanapun, bahwa komposisi dasar menentukan intensitas relatif dari beberapa urutan difraksi (Dilambangkan dengan n) dari kumpulan bidang sejajar. Refleksi Bragg dari kristal tunggal ditunjukkan pada Gambar. 3 dan 4. untuk rotasi pada sumbu tetap.
PENYEBARAN AMPLITUDO GELOMBANG Derivasi Bragg dari kondisi difraksi (I) memberikan pernyataan rapi untuk kondisi interferensi konstruktif dari gelombang yang tersebar dari titik-titik kisi. kita perlu menganalisis lebih dalam untuk menentukan intensitas hamburan dari dasar atom, yang berarti dari distribusi spasial elektron dalam setiap sel. Dari (1.3), kristal adalah invarian dalam setiap terjemahan dari bentuk T = u1a1 + u2a2 + u3a3, di mana u1, u2, u3 adalah bilangan bulat dan a1, a2, a3 adalah sumbu kristal, properti fisik lokal kristal adalah invarian di bawah T, seperti konsentrasi muatan, kepadatan jumlah elektron, atau kepadatan momen magnetik.
Analisis Fourier Apa yang paling penting bagi kita di sini adalah bahwa jumlah kepadatan elektron n (r) n adalah fungsi periodik dari r, dengan periode a1, a2, a3 di arah sumbu tiga kristal. sehingga
Periodisitas seperti menciptakan situasi yang ideal untuk analisis Fourier. sifat yang paling menarik dari kristal secara langsung berhubungan dengan komponen Fourier dari kerapatan elektron. kita simak dulu fungsi n (x) dengan periode dalam arah x, dalam satu dimensi. Kita memperluas n (x) dalam serangkaian Fourier sinus dan cosinus:
dimana p adalah bilangan bulat positif dan Cp, Sp adala konstan ril, disebut koefisien Fourier dari ekspansi. faktor 2/a dinyatakan sebagai n (x) yang memiliki periode a:
kita menyatakan bahwa 2p/a adalah titik dalam kisi resiprokal ruang Fourier dari kristal. dalam satu dimensi titik-titik ini terletak pada satu garis. Titik-titik kisi resiprokal boleh kita bataskan dalam seri Fourier (4) atau (5). istilah diperbolehkan jika konsisten dengan periodisitas kristal, seperti pada gambar 5; titik lainnya pada daerah respirokal tidak diperbolehkan dalam ekspansi Fourier dari fungsi periodik.
gambar 3: sketsa dari monokromator oleh refleksi Bragg yang melewati spektrum sempit sinar x-ray atau panjang gelombang neutron dari peristiwa sinar spektrum yang luas, bagian atas gambar menunjukkan analisis (diperoleh refleksi dari kristal kedua) dari kemurnian 1,16 Ᾰ sinar neutron dari monokromator kristal kalsium flouride. sinar utama tidak direfleksikan dari kristal kedua (After.G.bacon)
Gambar 4: rekaman x-ray difraktometer silikon bubuk, menunjukkan rekaman kontra sinar difraksi (courtesy of W. Parrish)
Gambar 5: fungsi periodik n (x) dari periode, dan istilah 2p/a yang mungkin muncul dalam Fourier Transform n(x) = np exp (i2px/a). Besaran persyaratan individu nP tidak diplot.
Persamaan (4) lebih mudah dituliskan dalam bentuk
di mana p adalah bilangan bulat positif, negatif, dan nol. Koefisien np adalah bilangan kompleks. Untuk memastikan bahwa n(x) adalah fungsi ril, maka kita memerlukan persamaan :
kemudian jumlah untuk p dan –p adalah bilangan riil. Tanda bintang pada n*-p menandakan konjugat kompleks dari n-p.
Dengan 𝜑 = 2𝜋𝑝𝑥/𝑎, jumlah dari istilah p dan –p dalam persamaan (5) bisa ditunjukkan menjadi riil jika persamaan (6) terpenuhi. Jumlahnya adalah :
dimana perubahan persamaan menjadi fungsi riil :
Jika persamaan (6) terpenuhi. Disini Re{np} dan 2Im{np} menunjukkan bilangan riil dan bagian imajiner dari np. jadi densitas n(x) adalah fungsi riil, seperti yang diinginkan Perluasan dari analisis Faourier untuk fungsi periodik n(r) dalam tiga dimensi menjadi lebih mudah. Kita harus menemukan kumpulan dari vector G, sebagaimana
Adalah menurut variasi translasi semua kristal T yang mewariskan variasi Kristal. Akan menunjukkan kebawah dari kumpulan koefisien Fourier nG amplitudo determinan x-ray menyebar. Inversi Fourier Series. Sekarang kita menunjukkan bahwa koefisien Fourier np dalam persamaan (5) diberikan oleh :
subtitusi persamaan (5) ke (10) diperoleh
jika p´ ≠ p nilai dari integral adalah
Karena p´- p adalah sebuah integer dan exp [i2𝜋(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟)] = 1. Untuk istilah p´ = p integral adalah ecp (i0) = 1, dan nilai dari integral adalah a, jadi np = a-1npa = np, yang mana adalah sebuah identitas, jadi persamaan (10) adalah sebuah identitas,
Sama dengan inversi yang diberikan oleh persamaan (9)
dimana Vc adalah volume dari sebuah sel dari Kristal.
Vector Kisi Resiprok Hasil lebih jauh dari analisis Fourier dari konsentrasi elektron kita harus menemukan vektor G dari jumlah Fourier ∑ 𝑛𝐺 exp(𝑖𝐺 ∙ 𝑟) seperti pada persamaan (9). Disana ada sebuah energi. Sedikit abstrak untuk melakukan prosedur ini. Bentuk prosedur dasar teoritikal untuk keadaan padat dalam fisika, dimana analisis Fourier dilakukan pada waktu lainnya. Konsep dari sumbu vektor b1, b2, b3 dari kisi resiprok :
faktor 2𝜋 tidak digunakan dalam kristalografi tapi cocok untuk keadaan fisika padat. Jika a1, a2, a3 adalah keadaan vektor dari kisi vektor, lalu b1, b2, b3 keadaan vektor dari kisi Kristal. Masing-masing vektor digambarkan dengan persamaan (13) adalah orthogonal untuk dua sumbu kisi Kristal. Dengan demikian b1, b2, b3 mempunyai persamaan :
Dimana, 𝛿 ij = 1 jika i = j dan 𝛿 ij = 0 jika i ≠ j. Titik pada kisi resiprok dipetakan dengan kumpulan dari vektor
Dimana v1, v2, v3 adalah integer. Sebuah vektor G dari bentuk ini adalah sebuah vektor kisi resiprok.
Setiap struktur kristal mempunyai dua kisi yang berhubungan dengan itu, kisi Kristal dan kisi resiprok. Sebuah pola difraksi dari sebuah Kristal, seperti yang diperlihatkan pada sebuah peta dari kisi resiprok dari Kristal. Sebuah gambar mikroskopik, jika bisa dipecahkan dengan sebuah skala yang cukup baik, yaitu sebuah peta dari struktur Kristal dengan spasi nyata. Dua kisi berkaitan dengan definisi persamaan (13). Demikian ketika mereka berotasi pada sebuah pegangan Kristal, kedua kisi berotasi langsung dan kisi resiprok. Vektor kisi sebenarnya mempunyai dimensi dari [panjang]; vektor pada kisi resiprok mempunyai dimensi dari [1/panjang]. Kisi resiprok adalah sebuah kisi pada spasi asosiasi Fourier dengan Kristal. Vektor gelombang selalu tergambar pada spasi Fourier, jadi setiap posisi pada spasi Fourier mungkin mempunyai sebuah gambaran dari sebuah gelombang, tapi disana adalah sebuah pertemuan penting antar titik yang digambarkan dengan kumpulan dari G’s asosiasi dengan struktur Kristal. Vektor G pada Fourier seri (9) hanya vektor kisi resiprok (15), untuk kemudian seri fourier direpresentasi dari densitas elektron dengan invarians yang diinginkan menurut beberapa translasi Kristal T = u1a1 + u2a2 + u3a3 seperti yang digambarkan pada (13) dari (9).
Tapi exp(iG ∙ 𝑇) = 1, karena
Penjelasan dari eksponensial mempunyai bentuk 2𝜋𝑖 dalam integer, karena v1u1 + v2u2 + v3u3 adalah sebuah integer, wujud penjumlahan dari produk integer. Demikian dalam (9) kita mendapatkan variasi yang diinginkan, n(r + T) = n(r). Ini akibat pembuktian representasi Fourier dari sebuah fungsi periodic dalam kisi Kristal yang bisa berisi komponen nG exp( iG ∙ 𝑟) hanya pada vektor kisi resiprok G seperti yang digambarkan pada (15).
Gejala Difraksi Dalil/Teorema.
Himpunan
vektor
kisi
resiprokal
G
menentukan
kemungkinan refleksi x – ray. Dapat dilihat pada Gambar. 6 adanya perbedaan dalam faktor fase adalah exp[i(k − k′) ∙ r] antara balok tersebar dari elemen volume dengan r terpisah . Vektor gelombang masuk dan keluar k dan k′. Asumsikan bahwa amplitudo dari gelombang yang tersebar dari elemen volume sebanding dengan konsentrasi elektron tersebut n(r) . Total amplitudo gelombang yang tersebar di arah k ′ sebanding dengan integral dari kristal n(r)dV kali faktor fase exp[i(k − k′) ∙ r]. Dengan kata lain, amplitudo vektor medan listrik atau magnet pada gelombang elektromagnetik tersebar sebanding dengan integral berikut dimana F kuantitas sering disebut amplitudo hamburan :
Dimana Disini ∆k
mengukur perubahan vektor gelombang dan disebut hamburan vektor
( Gambar . 7 ) . Substitusikan ∆k ke k untuk mendapatkan k′ , yang vektor gelombangnya tersebar.
Gambar 6. Perbedaan panjang lengan dari gelombang yang masuk dari k di titik O , r adalah r sin φ, dan perbedaan sudut fase sama dengan −k′ ∙ r . Untuk gelombang yang keluar perbedaan sudut fase sama dengan −k ′ ∙ r. Total perbedaan sudut fase adalah (k − k ′ ) ∙ r, dan gelombang tersebar dari dV di r memiliki faktor fase exp[i(k − k′) ∙ r]relatif terhadap gelombang yang tersebar dari elemen volume pada daerah O.
Gambar 7. Definisi vektor hamburan ∆k sehingga k + ∆k = k′. Dalam hamburan elastis besaran magnetude k ′ = k. Selanjutnya, Bragg hamburan dari kisi periodik , setiap∆k harus sama dengan vektor kisi resiprokal G.
Pada persamaan (18) komponen Fourier (9) dari n(r) untuk mendapatkan untuk amplitudo hamburan
Ketika vektor hamburan ∆k adalah sama dengan vektor kisi resiprokal tertentu ,
Eksponensial hilang dan F = V nG . Ini adalah latihan sederhana ( Soal 4 ) untuk menunjukkan bahwa F sangatlah kecil ketika ∆k berbeda secara signifikan dari setiap vektor kisi resiprokal . Dalam hamburan elastis foton energi ђω adalah tetap, sehingga frekuensi ω'=c k′
sinar yang muncul adalah sama dengan frekuensiyang datang. Dengan
demikian besaran k dan k′ adalah sama , dan k2= k′2, hasil untuk hamburan elastis elektron dan neutron. Dari (21) dapat ditentukan ∆k = G atau k + G = k′ sehingga kondisi difraksi ditulis sebagai (k + G)2 = k′2, atau
Ini adalah hasil dari teori hamburan elastis gelombang dalam kisi periodik . Jika G adalah vektor kisi resiprokal , jadi -G , dan substitusi dapat menulis (22) sebagai
Ekspresi khusus ini sering digunakan sebagai syarat untuk difraksi . Persamaan (23) adalah pernyataan lain dari kondisi Bragg (1). Hasil dari Soal no.1 adalah bahwa jarak d ( hkl) antara bidang kisi paralel yang normal terhadap arah
G=hb1+kb2+lb3 adalah d(hkl)=2𝝅/│G│. Hasilnya adalah 2k ∙ G= G2 ditulis sebagai 2π
2 ( λ ) sin θ =
2π d
(hkl) ,
atau 2d(hkl) sin θ = λ. Dsini θ adalah sudut antara cahaya masuk pada bidang kristal . Bilangan bulat hkl yang mendefinisikan G tidak harus identik dengan indeks dari bidang kristal yang sebenarnya , karena hkl mungkin berisi faktor n umum , sedangkan dalam definisi indeks di Bab 1 faktor umum telah dieliminasi . Dengan demikian kita mendapatkan hasil Bragg :
dimana d adalah jarak antara bidang sejajar yang berdekatan dengan indeks h/n , k/n, l/n.
Persamaan Laue Hasil asli (21) teori difraksi, yaitu bahwa Δk = G, dapat dinyatakan dengan cara lain untuk memberikan apa yang disebut persamaan Laue. Ini berharga karena representasi geometris mereka. Ambil produk skalar dari kedua Δk dan G berturut-turut dengan a1, a2, a3. Dari (14) dan (15) kita mendapatkan
Persamaan ini memiliki interpretasi geometris sederhana. Pertama persamaan a1. Δk = 2πν1 memberitahu kita bahwa Δk terletak pada kerucut tertentu tentang arah a1. Persamaan kedua memberitahu kita bahwa Δk terletak pada kerucut tentang a2 juga, dan persamaan ketiga mensyaratkan bahwa Δk terletak pada kerucut tentang a3. Dengan demikian, pada refleksi Δk harus memenuhi ketiga persamaan; itu harus terletak pada garis umum dari persimpangan dari tiga kerucut, yang merupakan kondisi parah yang dapat dipenuhi hanya dengan sistematis menyapu atau mencari di panjang gelombang atau kristal orientasi-atau kecelakaan belaka.
Gambar 8. Titik-titik pada sisi kanan adalah poin timbal balik-kisi dari kristal. Vektor k ditarik ke arah insiden x-ray beam, dan asal dipilih sedemikian rupa sehingga k berakhir pada setiap titik kisi resiprokal. Kami menggambar bidang radius k = 2π / λ tentang asal-usul k. Sebuah sinar terdifraksi akan terbentuk jika bidang ini memotong titik lain dalam kisi resiprokal. Lingkup sebagai penyadapan ditarik titik terhubung dengan akhir k oleh vektor kisi resiprokal G. difraksi x-ray beam dalam arah k '= k + G. θ angle adalah sudut Bragg Gambar. 2. Konstruksi ini disebabkan P. P. Ewald.
Sebuah konstruksi yang indah, pembangunan Ewald, dipamerkan pada Gambar. 8. Ini membantu kita memvisualisasikan sifat kecelakaan yang harus terjadi dalam rangka untuk memenuhi kondisi difraksi dalam tiga dimensi. Kondisi dalam dua dimensi (difraksi dari lapisan permukaan) diperlakukan pada Bab 19. Refleksi dari satu pesawat atom berlangsung di arah dari garis persimpangan dua kerucut, misalnya kerucut didefinisikan oleh dua pertama dari persamaan Laue (25). Sekarang dua kerucut akan di intercept umum saling memberikan wavevector partikel di balok insiden melebihi beberapa nilai ambang batas yang ditentukan oleh dua persamaan Laue pertama. Kebetulan disengaja diperlukan, seperti masalah difraksi dalam 3D. Hal ini adalah sangat penting dalam difraksi elektron energi hukum dari permukaan kristal. DAERAH BRILLOUIN Brillouin memberi pernyataan dari kondisi difraksi yang paling banyak digunakan dalam fisika keadaan padat, yang berarti dalam deskripsi teori pita energi elektron dan dari eksitasi elementer jenis lain.
Gambar 9a. Reciprokal kisi poin dekat titik O pada asal kisi resiprokal. Kisi resiprokal vektor GC menghubungkan poin OC; dan GD menghubungkan OD. Dua pesawat 1 dan 2 yang diambil yang merupakan bisectors tegak lurus dari GC dan GD, masing-masing. Vektor dari asal ke bidang 1, seperti 1
1
k1, akan memenuhi kondisi difraksi k1 . ( 𝐺𝑐) = ( 𝐺𝑐)2. Setiap vektor dari asal ke pesawat 2, seperti k2, 2
2
1
1
2
2
akan memenuhi kondisi difraksi k2 . ( 𝐺 D) = ( 𝐺 D)2
Gambar 9b. Lapangan kisi resiprokal dengan vektor kisi resiprokal ditampilkan sebagai garis hitam halus. Garis ditampilkan di putih bisectors tegak lurus dari vektor kisi resiprokal. Alun-alun adalah volume terkecil tentang asal-usul yang dibatasi seluruhnya oleh garis putih. alun-alun adalah WignerSeitz sel primitif dari kisi resiprokal. Hal ini disebut zona Brillouin pertama.
Daerah Brillouin didefinisikan sebagai sel primitif Wigner-Seitz dalam kisi resiprokal. (Pembangunan dalam kisi langsung ditunjukkan pada Gambar. 1.6.) Nilai dari daerah Brillouin adalah menggambarkan interpretasi geometris yang jelas tentang kondisi difraksi 2k ∙ G = G2 dari Persamaan. (23). Kemudian dibagi kedua sisi dengan 4 untuk mendapatkan
Kita sekarang berada di ruang timbal balik, ruang k dan G. Pilih G vektor dari titik asal ke titik kisi resiprokal. Membangun pesawat normal vektor ini G di titik tengahnya. Pesawat ini merupakan bagian dari batas daerah (Gambar. 9a). Sinar x-ray di kristal akan difraksi jika wavevector k yang memiliki besar dan arah yang dibutuhkan oleh (26). Balok difraksi kemudian akan ke arah k - G, seperti yang kita lihat dari (19) dengan ∆k = -G. Dengan demikian pembangunan Brillouin menunjukkan semua wavevector k yang dapat Bragg tercermin oleh kristal. Himpunan pesawat yang bisectors tegak lurus dari vektor kisi resiprokal adalah penting umum dalam teori perambatan gelombang dalam kristal. Gelombang yang vektor gelombang diambil dari asal berakhir pada salah satu pesawat ini akan memenuhi kondisi untuk difraksi. Pesawat ini membagi ruang Fourier dari kristal menjadi fragmen, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9b untuk kisi persegi. Alun-alun adalah sel primitif dari kisi resiprokal. Ini adalah sel Wigner Seitz dari kisi resiprokal. Ini adalah sel Wigner- Seitz dari kisi resiprokal.
Gambar 10 Konstruksi daerah Brillouin pertama untuk sebuah kisi miring dalam dua dimensi. Kita pertama kali menarik sejumlah vektor dari O ke titik terdekat dalam kisi resiprokal. Berikutnya kita membangun garis tegak lurus dengan vektor ini pada titik tengah. daerah terkecil tertutup adalah daerah Brillouin pertama.
𝜋
k =− 2
k=
𝜋 2
Gambar 11 kristal dan kisi timbal balik dalam satu dimensi. Dasar vektor dalam kisi resiprokal adalah b, dengan panjang yang sama untuk yang terpendek vektor kisi resiprokal dari asal yang b dan b. Bisectors tegak lurus vektor ini membentuk batas-batas daerah Brillouin pertama. Batas-batas berada di k.
Sel sentral dalam kisi resiprokal adalah penting khusus dalam teori padatan, dan kita menyebutnya daerah Brillouin pertama. Daerah Brillouin pertama adalah volume terkecil seluruhnya tertutup oleh pesawat yang bisectors tegak lurus dari timbal balik kisi vektor ditarik dari asal. Daerah Brillouin pertama kisi miring dalam dua dimensi dibangun pada Gambar. 10 dan dari linear dalam satu dimensi pada Gambar. 11. Zona batas-batas dari kisi linear di k = ± π/a, di mana a adalah sumbu primitif kisi kristal. Secara historis, daerah Brillouin bukan bagian dari bahasa analisis difraksi xray dari struktur kristal, tapi daerah adalah bagian penting dari analisis struktur energiband elektronik kristal. Utilitas khusus dari daerah Brillouin pertama dikembangkan pada Bab 9.
Resiprokal Lattice untuk Simpel Kubik Vektor terjemahan primitif dari kisi kubik sederhana dapat diambil sebagai 𝑥, ̂ 𝑦̂, 𝑧̂ adalah vektor ortogonal dari satuan panjang. Volume selnya adalah a1 ∙ a2 × a3. Vektor primitif kisi timbal balik dapat diperoleh dari persamaan standar ( 13 ): Berikut adalah kisi resiprokal itu sendiri yaitu kisi kubik sederhana, sekarang kisi konstan (2𝜋/𝑎)
Gambar 12 Primitive basis vektor dari tubuh berpusat kisi kubik.
Gambar 13 Zona Brillouin Pertama kisi kubik bodycentered. Gambar tersebut adalah bentuk rhombik dodecahedron . Batas-batas zona Brillouin pertama adalah pesawat normal yang memiliki enam vektor kisi resiprokal yang berada pada titik tengah mereka: 1 1 1 ± 2b1 = ±(𝜋/𝑎)𝑥̂ ; ± 2b2 = ±(𝜋/𝑎)𝑦̂ ; ± 2b3 = ±(𝜋/𝑎)𝑧̂ ; Enam pesawat terikat kubus tepi dan volume kubus ini zona Brillouin pertama kisi sc kristal Resiprokal Lattice untuk BCC Vektor primitif dari kisi bcc ( Gambar . 12 ) yaitu 1 1 1 a1 = 2 𝑎(−𝑥̂ + 𝑦̂ + 𝑧̂ ); a2 = 2 𝑎(𝑥̂ − 𝑦̂ + 𝑧̂ )a3 = 2 𝑎(𝑥̂ + 𝑦̂ + 𝑧̂ );
(29)
di mana a adalah sisi kubus konvensional dan x, y, z adalah satuan orthogonal vektor sejajar dengan tepi kubus. Volume dari sel primitif adalah: V= |a1 ∙ a2 × a3| (30) Translasi primitif kisi resiprokal didefinisikan oleh (p. 13). Kita dapat menggunakan persamaan (28), b1 = (2𝜋/𝑎) (𝑦̂+𝑧̂ ) b2 = (2𝜋/𝑎)(𝑥̂ + 𝑧̂ );
b3 = (2𝜋/𝑎)(𝑥̂+𝑧̂ )
(31)
Catatan dibandingkan dengan Gambar. 14 (p . 37) bahwa ini hanya vektor primitif kisi fcc, sehingga kisi fcc adalah kisi resiprokal dari bcc. Vektor kisi resiprokal umum , untuk terpisahkan v1, v2, v3, G = v1b1 + v2b2 + v3b3 = (2𝜋/𝑎)[v2 + v3]𝑥̂ + [v1 + v3]𝑦̂ + [v1 + v2]𝑧̂ (32)
Gambar 14 vektor basis primitif dari face - centered cubic G terpendek adalah sebanyak 12 vektor, di mana semua pilihan tandanya bebas: (2𝜋/𝑎)(±𝑦̂ ± 𝑧̂ ) ; (2𝜋/𝑎)(±𝑥̂ ± 𝑧̂ ) ; (2𝜋/𝑎)(±𝑥̂ ± 𝑦̂) ; (33) Satu sel primitif dari kisi resiprokal adalah pipa paralel yang dijelaskan oleh b1 itu, b2 , b3 didefinisikan oleh (31). Volume sel ini dalam ruang timbal balik adalah b1 ∙ b2 × b3 = 2(2𝜋/𝑎)3 . Sel tersebut berisi satu titik kisi resiprokal, karena masingmasing dari delapan titik sudut dibagi di antara delapan pipa paralel. Setiap pipa paralel berisi seperdelapan dari masing-masing delapan titik sudut tersebut(lihat Ara. 12 ) . Sel primitif lain adalah pusat sel timbal balik kisi (Wigner – Seitz)
yang
merupakan zona Brillouin pertama. Setiap sel tersebut berisi satu kisi yang menunjukkan titik pusat sel. Zona ini (untuk kisi bcc) dibatasi dengan bidang normal terhadap 12 vektor dari Persamaan (33) di tengah. Zona tersebut dapat berupa rhombik dodecahedron, seperti ditunjukkan pada Gambar . 13
Respirokal Lattice Untuk Fcc Translasi vektor primitif dari kisi fcc pada gambar. 14 adalah 1 1 1 𝑎1 = 2 𝑎(𝑦̂ + 𝑧̂ ) ; 𝑎2 = 2 𝑎(𝑥̂ + 𝑧̂ ) ; 𝑎3 = 2 𝑎(𝑥̂ + 𝑦̂)
(34)
Volum dari sel primitif adalah 𝑉 = |𝑎1 ∙ 𝑎2 𝑥 𝑎3 | =
(35)
1 4
𝑎3
Vektor translasi primitif yang kisi timbal balik ke kisi fcc adalah 2𝜋
2𝜋
𝑏1 = ( 𝑎 ) (−𝑥̂ + 𝑦̂ + 𝑧̂ ) ; 𝑏2 = ( 𝑎 ) (𝑥̂ − 𝑦̂ + 𝑧̂ ) ; 2𝜋
𝑏3 = ( 𝑎 ) (𝑥̂ + 𝑦̂ − 𝑧̂ )
(36)
Gambar 14 vektor dasar primitif dari kis face-ceneterd cubic
Hal ini adalah vektor translasi primitif kisi bcc, sehingga kisi bcc adalah timbal balik 2𝜋
dengan kisi fcc. Volume sel primitif dari kisi timbal balik adalah 4( 𝑎 )3. G terpendek adalah delapan vektor: 2𝜋
( 𝑎 )(±𝑥̂ ± 𝑦̂ ± 𝑧̂ )
(37)
Batas-batas sel pusat dalam kisi timbal balik ditentukan untuk sebagian besar oleh delapan bidang normal dari vektor ini pada titik tengah. Tapi sudut-sudut segi delapan yang terbentuk dipotong oleh bidang yang berpotongan tegak lurus dari enam vektor kisi timbal balik lainnya: 2𝜋
2𝜋
2𝜋
( 𝑎 )(±2𝑥̂) ; ( 𝑎 )(±2𝑦̂) ; ( 𝑎 )(±2𝑧̂ )
(38)
Perhatikan bahwa (2π/a) (2𝑥̂) adalah vektor kisi timbal balik karena sama dengan 𝑏2 + 𝑏3 . Zona Brillouin pertama adalah volume dengan batas terkecil dari bentuk asal, segi delapan terpotong ditunjukkan pada Gambar. 15. enam bidang terikat sebuah tepi 4𝜋 kubus 4π/a dan (sebelum pemotongan) volume ( 𝑎 )3 .
ANALISIS DASAR FOURIR Ketika kondisi difraksi ∆𝑘 = 𝐺 dari Persamaan. (21) memenuhi, amplitudo hamburan dapat di tentukan dengan (18), untuk kristal dengan N sel dapat ditulis sebagai 𝐹𝐺 = 𝑁 ∫𝑐𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑉 𝑛(𝑟) exp(−𝑖𝐺 ∙ 𝑟) = 𝑁𝑆𝐺 (39) Kuantitas SG disebut faktor struktur dan didefinisikan sebagai integral terhadap satu sel, dengan r = 0 di salah satu sudut.
Gambar 15 zona Brillouin dari kisi face-centered cubic. Sel-sel berada dalam ruang timbal balik, dan kisi resiprokal body centered.
Seringkali hal ini berfungsi untuk menulis konsentrasi elektron n(r) sebagai superposisi dari fungsi konsentrasi elektron nj terkait dengan setiap j atom dari sel. Jika rj adalah vektor ke pusat atom j, maka fungsi nj (r- rj) mendefinisikan kontribusi dari atom untuk konsentrasi elektron pada r. Konsentrasi elektron total pada r karena semua atom dalam sel tunggal adalah jumlah keseluruhan 𝑛(𝑟) = ∑𝑥𝑗=1 𝑛𝑗 (𝑟 − 𝑟𝑗 ) (40) Terhadap dasar atom s. Dekomposisi n(r) tidak unik, karena kita tidak bisa selalu menenetukan berapa banyak kerapatan muatan dikaitkan dengan masing-masing atom. Ini bukan suatu kesulitan penting. Faktor struktur yang didefinisikan oleh (39) sekarang dapat ditulis sebagai integral terhadap atom s dari sel: 𝑆𝐺 = ∑𝑗 ∫ 𝑑𝑉 𝑛𝑗 (𝑟 − 𝑟𝑗 ) exp(−𝑖𝐺 ∙ 𝑟) = ∑𝑗 exp(−𝑖𝐺 ∙ 𝑟𝑗 ) ∫ 𝑑𝑉 𝑛𝑗 (𝜌)exp(−𝑖𝐺 ∙ 𝜌) Dimana 𝜌 ≡ 𝑟 − 𝑟𝑗 .
(41)
Kita sekarang mendefinisikan faktor bentuk atom sebagai 𝑓𝑗 = ∫ 𝑑𝑉 𝑛𝑗 (𝜌) exp(−𝑖𝐺 ∙ 𝜌) , (42) terintegrasi atas seluruh ruang. jika nj(𝜌) merupakan properti atom, fj adalah properti atom. Kita gabungkan (41) dan (42) untuk mendapatkan faktor struktur dasar dalam bentuk 𝑆𝐺 = ∑𝑗 𝑓𝑗 exp(−𝑖𝐺 ∙ 𝑟𝑗 ) (43) Bentuk biasa dari hasil berikut dapat ditulis untuk atom j: 𝑟𝑗 = 𝑥𝑗 𝑎1 + 𝑦𝑗 𝑎2 + 𝑧𝑗 𝑎3 , (44) seperti pada (1.4). Kemudian, untuk refleksi diberi label oleh 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, kita dapatkan 𝐺 ∙ 𝑟𝑗 = (𝑣1 𝑏1 + 𝑣2 𝑏2 + 𝑣3 𝑏3 ) ∙ (𝑥𝑗 𝑎1 + 𝑦𝑗 𝑎2 + 𝑧𝑗 𝑎3 ) = 2𝜋 (𝑣1 𝑥𝑗 + 𝑣2 𝑦𝑗 + 𝑣3 𝑧𝑗 ) , (45) sehingga (43) menjadi 𝑆𝐺 (𝑣1 𝑣2 𝑣3 ) = ∑𝑗 𝑓𝑗 exp[−𝑖2𝜋(𝑣1 𝑥𝑗 + 𝑣2 𝑦𝑗 + 𝑣3 𝑧𝑗 )] (46) Faktor struktur S tidak perlu real karena intensitas penyebaran akan melibatkan 𝑆 ∗ 𝑆, di mana 𝑆 ∗ adalah konjugasi kompleks S sehingga 𝑆 ∗ 𝑆 real. pada nol dari SG intensitas penyebaran akan menjadi nol, meskipun G adalah vektor kisi timbal balik yang sangat baik. apa yang terjadi jika kita memilih sel dengan cara lain, seperti sel konvensional bukan sel primitif, misalnya? dasarnya berubah, tapi sedemikian rupa hamburan fisik tidak berubah. sehingga untuk dua pilihan, 1 dan 2, tidak sulit untuk memenuhi dari (39) yaitu 𝑁1 (𝑐𝑒𝑙𝑙) 𝑥 𝑆1 (𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠) = 𝑁2 (𝑐𝑒𝑙𝑙) 𝑥 𝑆2 (𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠) . Faktor struktur Bcc Dasar dari BCC disebut sel kubik yang memiliki atom identik seperti x 1= y1= z1= 0 dan dari x2 = y2= z2=1/2, kemudian persamaaan (46) menjadi :
Dimana f adalah bentuk atom. Nilai s adalah nol, setiap kali eksponensial memiliki nilai -1, yang setiap argumen adalah –iπ X (bilangan bulat ganjil), kemudian kita mendapatkan : S=0 ketika V1 +V 2+ V3= bilangan bulat ganjil S=2f ketika V1 +V 2+ V3=bilangan bulat genap Logam Natrium memiliki struktur seperti sarang lebah, pola difraksi tidak mengandung baris seperti (100), (300), (111), atau (221), tetapi baris seperti (200), (110), dan (222) yang akan hadir, disini didalam (V1 V 2 V3) disebut sel kubik. Interprestasi yang bagaimana yang menghasilkan nilai 100 yang akan lenyap ketika berefleksi?
Refleksi biasanya terjadi ketika refleksi dari pesawat yang terikat sel kubik berbeda dalam fase 2π . Dalam kisi ada pesawat intervensi dari atom (gambar 16), yang sama dalam hamburan dengan pesawat lain, yang letaknya tepat berada di tengah, fasenya berhubungan dengan π pada pesawat pertama, sehingga dapat membatalkan knstribusi dari pesawat. Kegagalan paa refleksi (100) terjadi di kisi bcc karena pesawat identik dengan komposisi. Kegagalan akan mudah terjadi ketika banyak diketahui struktur yang sama.
Gambar 16. Keterangan dari tidak adanya (100) pemantulan dari kisi kubus pusat badan (BCC). Perbedaan fasa berturut-turut diantara bidang 𝜋, sehingga amplitude refleksi dari bidang yang bersebelahan adalah
Faktor struktur kisi FCC 11
1
1
Struktur dasar sel kubik memiliki atom yang idenik seperti : 000 ; 02 2
; 202 ;
11 22
0, kemudian persamaan (46) menjadi :
Jika semua indeks bilangan genap adalah S=4f ; maka hal yang serupa terjadi pada bilangan ganjil. Jika hanya satu bilangan bulat yang genap , dua eksponen dari kelipatan ganjil adalah -i𝜋 dan S akan hilang. Jika hanya satu bilangnan bulat yang ganjil, argumen yang sama juga akan diaplikasikan dan S juga akan hilang. Kemudian pada kisi FCC tidak ada refleksi yang dapat terjadi karena adanya indeks sebagian bilangan bulat genap dan bilangan bulat ganjil. Point yang menarik dari gambar (17) yaitu dari kedua sisi FCC pada KCl dan KBr , tetapi KCl menstimulasikan kisi SC karena K+ dan Cl- memiliki jumlah elektron yang sama.
Faktor Atomik Pada persamaan (46) untukstruktur faktor , ada kemungkinan terjadinya fj, yang merupakan ukuran kekuatan hamburan atom di setiap sel satuan , nilai f melibatkan jumlah dan distribusi atom elektron, dan panjang gelombang dan sudut hamburan radiasi, dan kemudian kita dapat memberikan perhitungan klasik pada faktor hamburan.
Gambar 17. Perbandingan refleksi dari sinar x dari KCl dan KBr, didalam nomor atom KCl terdapat K+ dan Cl- dengan ion yang sama. Hamburan dari amplitudo f (K+ ) dan f (Cl- ) hampir sama, jadi kristal tersebut dapat terlihat oleh sinar x jika sebuah atom monoatomik pada kisi simple kubik konstant pada a/2 , hanya bilangan bulat genap yang merefleksikan indeks ketika didasarkan pada sebuah kisi kubik yang konstant terhadap a, didalam KBr terbentuk faktor Br - yang sedikit berbeda ari K+ , dan semua refleksi dari kisi yang ada ( milik dari R.Van Nordstand).
Hamburan radiasi dari sebuah atom dapat dihitung dari efek interferensi di dalam atom tersebut. Bentuk pemfaktoran tersebut dapat kita definisikan (42):
dengan integral diperpanjang selama konsentrasi elektron terkait dengan atom tunggal. Biarkan r membuat sudut α dengan G; kemudian G.r =Gr cos α. maka Jika elektron distribusi bola simetris tentang asal, kemudian
setelah integrasi lebih d (cos α) antara -1 dan 1. Jadi faktor bentuk adalah diberikan oleh
Jika jumlah kerapatan elektron yang sama terkonsentrasi di r = 0, hanya Gr = 0 akan berkontribusi integran. Dalam batas ini (sin Gr) / Gr = 1, dan
Gambar 18 eksperimental faktor hamburan atom mutlak untuk aluminium metallic, setelah Batterman, Chipman dan DeMarco. Setiap diamati diberi label. Tidak ada refleksi terjadi karena indeks sebagian aneh, seperti yang diperkirakan untuk kristal fcc.
jumlah elektron atom. Oleh karena itu f adalah rasio rendition amplitudo tersebar oleh distribusi elektron yang sebenarnya dalam sebuah atom itu tersebar oleh satu elektron terlokalisasi pada suatu titik. Di arah depan G = 0, dan f mengurangi lagi untuk nilai Z. Nilai-nilai dari atom faktor bentuk f untuk atom dapat ditemukan di tabel Internasional untuk x-ray kristalografi, Distribusi elektron keseluruhan dalam solid seperti yang terlihat dalam difraksi sinar-x adalah cukup dekat dengan yang ada pada atom bebas yang sesuai. Pernyataan ini tidak berarti bahwa terluar atau elektron valensi tidak didistribusikan agak dalam membentuk padat; itu berarti hanya bahwa intensitas refleksi x-ray yangdiwakili oleh nilai-nilai atom bebas dari bentuk faktor dan tidak sangat sensitif terhadap redistribusi kecil dari elektron. Sebagai contoh, Batterman dan rekan kerja menemukan kesepakatan dalam 1 persen dibandingkan dari intensitas x-ray dari Bragg refleksi dari besi logam, tembaga, dan aluminium dengan teori nilai atom bebas dari perhitungan fungsi gelombang. Hasil untuk aluminium ditunjukkan pada Gbr.18.
Ada beberapa usaha untuk mendapatkan bukti arah x-ray yang distribusikan elektron dalam ikatan kimia kovalen, terutama dalam kristal yang memiliki struktur berlian. Pertanyaannya sekarang terletak dalam batas-batas apa yang dapat dieksplorasi b metode difraksi sinar-x. di silikon pada titik tengah antara dua atom tetangga terdekat-, ada peningkatan yang cukup dalam konsentrasi elektron atas apa yang diharapkan dari tumpang tindih dari kerapatan elektron dihitung untuk dua atom bebas. hamburan dari permukaan kristal diperlakukan dalam Bab 19. Hal ini ditunjukkan dalam Lampiran yang gerak termal tidak memperluas garis difraksi, tetapi hanya mengurangi intensitas. intensitas hilang muncul kembali selama, sayap rendah tentang posisi garis difraksi.
Kuasi-Kristal Pada tahun 1984 Kuasi-kristal yang pertama kali terlihat, ini adalah struktur yang tidak dapat diindeks untuk setiap Bravais kisi dan "yang memiliki simetri menengah antara kristal dan cairan. "Mereka yang pertama kali terlihat di butir ukuran 2 m di paduan Al dengan 14 di pet Mn. Atom Mn lebih kecil masing-masing dikelilingi oleh 12 atom al diatur di sudut-sudut sebuah icosahedron. Struktur ini terdiri dari icosahedra paralel terpasang di ujung-ujungnya. Kristal tidak dapat menunjukkan simetri lima kali lipat dari ikosahedron, tetapi kristal dapat dibangun oleh nukleasi sel pusat, diikuti oleh pertumbuhan luar dari sana semua ruang bintil tidak dapat diisi dengan mengulangi unit dasar (lihat angka 19 dan 1,7 untuk gambar dalam dua dimensi), meskipun "paralel" bagian dari spesifikasi tidak memberikan jarak jauh agar orientational ke struktur. Hal ini mungkin mengejutkan bahwa x-ray pola difraksi struktur tersebut dapat memiliki simetri lima kali lipat, yaitu bagaimana mereka pertama kali diamati. Kuasi-kristals yang dikenal adalah paduan intermetalik dan konduktor listrik sangat miskin, mereka hampir isolator dengan band gap yang didefinisikan dengan agak (Bab 7) di tingkat Fermi. Mereka sangat menarik secara intelektual dalam memperluas definisi kisi kristal. Pola difraksi kristal jelas kristal yang berbeda dihasilkan dari struktur hampir periodik, yang tidak ketat periodik atau hanya amorf (seperti untuk kaca, pasal 17). Struktur hampir periodik dapat dinyatakan dalam satu dimensi jika kita diberi gelombang elektron biaya density: 𝜌(𝑥) = ∑ [Cn cos{2 πn(1 + τ)x/a] Dimana τ adalah fraksi tidak rasional. istilah dalam 2πn / A sendiri memberi kisi biasa dengan translasi periodisitas α. ketika istilah dalam τ ditambahkan, densitas muatan, hampir periodik, yaitu, periode (1 + τ) α bukan merupakan kelipatan integral periode α, karena τ adalah irasional. Periode memberikan jarak jauh agar nonrandom struktur,
dan urutan jarak jauh memberikan pola difraksi, yang muncul memisahkan diri dari pola yang ditentukan oleh urutan jarak pendek. Ini didominasi oleh poin kisi resiprokal di n 1, tapi akan tampak berkerumun dan tersebar (diperluas). Pola difraksi dari kuasikristals tiga dimensi sangat berbeda, namun, pola didefinisikan dengan baik dan dapat memiliki simetri lima kali lipat dengan yang quasicrytals pertama kali ditemukan. Sebuah komputer yang dihasilkan pola dengan simetri lima kali lipat ditunjukkan pada Gambar 19
Gambar 19 sebuah ubin kuasi-kristal dalam dua dimensi, setelah pekerjaan penrose. Rentang panjang orientational rangka dan jarak jauh agar nonperiodik ditampilkan.
RINGKASAN
Beberapa syarat pernyataan Bragg : 2d sin θ=nλ ; ∆k=G ; 2k.G=G²
Syarat Laue: a1 . ∆k = 2πʋ1 ; a2 . Δk = 2πʋ2 ; a3 . Δk = 2πʋ3
Wujud vektor sederhana dari kisi timbal balik adalah
Disini a1, a2, a3 adalah wujud sederhana vektor dari kisi kristal.
Sebuah kisi vektor resiprokal mempunyai bentuk
Dimana, ʋ1, ʋ2, ʋ3 adalah bilangan bulat atau nol.
Amplitudo tersebar di arah k' = k + Δk = k + G sebanding dengan struktur faktor geometri:
Dimana j berada diatas dasar atom s, dan fj adalah faktor atomik (49) dari jth atom awal. Pernyataan di sisi kanan ditulis untuk bayangan (ʋ1, ʋ2, ʋ3) , untuk G = ʋ1b1+ ʋ2b2+ ʋ3b3.
Fungsi lain dari kisi sederhana T dapat dikembangkan dengan seri Fourier dari bentuk
Pada keadaan pertama Brillouin adalah Wigner-Seitz sel sederhana dari kisi timbal-balik. Hanya gelombang yang vektor gelombangnya k diambil dari sumber permukaan yang berakhir di keadaan Brillouin dari difraksi oleh kristal. Kisi Kristal keadaan awal Brillouin
Kubik sederhana
Kubus
Pusat kubik
Rhombic dodecahedron (fig.13)
Permukaan kubik
potongan octahedron (fig.15)
